Tải bản đầy đủ

Gián án chuyen de ham so(theo cau truc cua bo GD

Chuyên đề hàm số
Lời nói đầu
“Chuyên đề hàm số” là một trong năm chuyên đề trong: “Tuyển
tập các chuyên đề luyện thi đại học”. Hàm số là một phần quan
trọng trong giải tích. Vì thế việc nắm vững kiến thức cũng như phân
loại được các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán đó là một
phần tất yếu của người học toán. Dựa theo cấu trúc đề thi của bộ giáo
dục và đào tạo năm 2010, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu viết ra
một phần nhỏ “chuyên đề hàm số” theo đúng cấu trúc của bộ. Các
bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy ở các cuốn
sách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các đề thi tuyển sinh đại
học từ các năm đến bây giờ.
Chuyên đề không giải chi tiết từng bài toán mà chỉ là đáp số và
hướng dẫn. Tuy nhiên, chuyên đề có sự phân dạng và phương pháp
giải cụ thể cho từng dạng toán. Lời giải của bài toán sẽ được tác giả
giải trong từng buổi học.
Chuyên đề gồm 6 chuyên đề chính dựa theo cấu trúc của bộ giáo
dục và đào tạo: Chiều biến thiên của hàm số; Cực trị; GTLN và
GTNN của hàm số; Tiếp tuyến và các bài toán liên quan; Tìm trên đồ
thị những điểm thoả mãn tính chất cho trước; Tương giao giữa hai đồ
thị.

Chuyên đề tác giả viết ra vừa là tài liệu để mang đi dạy vừa có
thể đưa cho các em để các em làm bài tập ở nhà.
Do lần đầu viết tài liệu nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu
xót. Mong nhận đựơc sự góp ý từ đồng nghiệp và các em.
Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả hoặc theo địa chỉ:
dinhnguyentoanpt@yahoo.com
hoặc dinhnguyen_dn_toanpt@yahoo.com
Đà nẵng, 20/04/2010
Đình Nguyên
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 1
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học năm 2009 – 2010
Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số
A.Cơ sở lý thuyết:
I. Lý thuyết chung:
1. y = f(x) đồng biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≥
với mọi x

(a, b).
2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b)
( )
' 0f x⇔ ≤
với mọi x

(a, b).
3. y = f(x) đồng biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)
4. y = f(x) nghịch biến trên
[ ]
;a b
thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a).
Chú ý:
 Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của
đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x).
 Nếu hàm số
0y ≥


,
∀∈
(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì
0y ≥

∀∈
[ ]
;a b
.
 Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈


Min f(x)
m≥

x I∀ ∈
 Bất phương trình
( )f x m≤
đúng
x I∀ ∈


Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
 BPT
( )f x m≥
có nghiệm
x I∈

max f(x)
m≥

x I∀ ∈
 BPT
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈


Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
 Tam thức bậc hai: 
2
0y ax bx c= + + ≥

x∀ ∈ ¡

0
0
a >



∆ ≤


2
0y ax bx c= + + ≤

x∀ ∈ ¡

0
0
a <



∆ ≤

B. Bài tập:
1. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3
y m x mx m x= − + + −
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác
định của nó.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
2. Cho hàm số
4mx
y
x m
+
=
+
. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch
biến trên khoảng
( )
;1−∞
.
3. Cho hàm số
3 2
3 4y x x mx= + − −
. Với giá trị nào của m thì hàm số
đồng biến trên khoảng
( )
;0−∞
.
4. Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx= − + + −
. Với giá trị nào của m thì hàm số
đồng biến trên khoảng
( )
0;2
.
5. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x= − + − + + −
. Với giá trị nào của m
thì hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;3
.
6. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x= − − + − +
. Với giá trị nào của
m thì hàm số đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
7. Cho hàm số
( )
( ) ( )
3 2 2
2 7 7 2 1 2 3y x mx m m mx m m= − − − + + − −
.
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên
[
)
2;+∞
.
8. Tìm m để hàm số
1 1
sin sin 2 sin3
4 9
y mx x x x= + + +
luôn đồng biến.
9.Tìm m để
( ) ( )
2
4 5 cos 2 3 3 1y m x m x m m= − + − + − +
luôn nghịch biến.
10.Tìm m để hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
đồng biến với mọi x.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
A.Cở sở lý thuyết:
I. Cực trị hàm bậc ba:
 Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
( )y f x=
có cực đại và cực tiểu
'( ) 0f x⇔ =
có hai nghiệm
phân biệt

2
' 3 0b ac∆ = − >

 Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x
0



0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


<

 Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = x
0



0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
=


>

 Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trình
đường thẳng qua cực đại, cực tiểu.
 Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị.
II. Cực trị hàm bậc bốn:
 y’ = 0
 có đúng 1 nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm (1 nghiệm đơn
và 1 nghiệm kép) thì hàm số y có đúng 1 cực trị.
 Có 3 nghiệm phân biệt: thì hàm số có 3 cực trị.
B. Bài Tập:
11. Tìm m để hàm số:
( ) ( )
3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m= + − + + + + −
đạt
cực tiểu tại x = - 2.
12. Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi
qua CĐ, CT song song với đường thẳng d: y = - 4x + 3.
13. Tìm m để
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x m x m m x
= + − + −
có CĐ, CT nằm trên
đường thẳng d: y = - 4x.
14. Tìm m để
3 2
7 3y x mx x= + + +
có đường thẳng đi qua CĐ, CT
vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7.
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 4
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
15. Tìm m để hàm số
3 2 2
3y x x m x m= − + +
có cực đại, cực tiểu đối
xứng với nhau qua d:
1 5
2 2
y x= −
16. Cho
( ) ( )
3 2
2
cos 3sin 8 1 cos2 1
3
y x a a x a x= + − − + +
a. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.
b. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
. CMR:
2 2
1 2
18x x+ ≤
17. Tìm m để hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m= − − + +
có khoảng cách giữa
các điểm CĐ và CT là nhỏ nhất.
18. Tìm m để hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị
tại x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2
= 1.
19. Tìm m để hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
có 3 điểm cực trị.
20. Tìm m để hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= − + +
có CĐ, CT lập thành
tam giác đều.
21. Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh
của một tam giác vuông cân.
22.Tìm m để hàm số
3 2 2
1
( 2) (5 4) ( 1)
3
y x m x m x m= + − + + + +
đạt cực
trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn điều kiện x
1
< -1 < x
2
.
23. Cho hàm số:
( )
3 2
1 1 3
sin cos sin 2
3 2 4
y x a a x a x
 
= − + +
 ÷
 
.
Tìm a để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
và x
1
2
+ x
2
2
= x
1
+x
2
.
24. Cho hàm số
( )
3 2
3 2 1 3y mx mx m x m= − + + + −
Tìm m để hàm số có CĐ và CT. CMR: khi đó đường thẳng đi qua
CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
25. Cho hàm số
( )
3 2 2 2
3 3 1 3 1y x x m x m= − + + − − −
Tìm m để hàm số có CĐ và CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm
số cách đều gốc tọa độ O.
26. Cho hàm số
( )
3 2
3 3 2 1y x x m m x= − − + −
Tìm m để hàm số có hai cực trị cùng dấu.
27. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
2 1 2 2y x m x m x
= − − + − +
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị
hàm số có hoành độ dương.
28. Cho hàm số
( )
3 2
2 3 3 11 3y x m x m= + − + −
Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT tại hai điểm A, B sao cho 3 điểm A,
B, C(0; -1) thẳng hàng.
29. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2 1 3 2 4y x m x m m= − + + − − + −
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía của
trục tung.
30. Cho hàm số
4 2
1 3
2 2
y x mx= − +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.
31. Cho hàm số:
4 2
2 2y x mx m= − +
Xác định m để hàm số có các điểm CĐ, CT:
a. Lập thành 1 tam giác đều.
b. Lập thành 1 tam giác vuông.
c. Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16.
C. Bài Tập tương tự:
32. Tìm m để đồ thị có cực đại, cực tiểu
a.
3 2
1
. ( 6). (2 1)
3
y x mx m x m= + + + − +
b.
3 2
( 2). 3 . 5y m x x m x= + + + −
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
33. CMR với mọi m hàm số
3 2
2. 3(2 1) 6 .( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
sau
luôn đạt cực trị tại x
1
, x
2
và x
1
– x
2
không phụ thuộc vào m.
34. Tìm m để đồ
3 2 2
3 3( 1)y x mx m x m= − + − +
đạt cực tiểu tại x = 2
35. Tìm m để
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
không có cực trị.
36. Cho hàm số
3 2 2
2. 3(3 1) 12.( ) 1y x m x m m x= − + + + +
Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu.Viết phương trình
đường thẳng đi qua CĐ, CT.
37. Tìm m để
3 2 3
( ) 3 4f x x mx m= − +
có cực đại, cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng y = x.
38. Tìm a để hàm số
3 2
4
. 2(1 sin ) (1 cos2 ). 1
3
y x a x a x= − − − + +
luôn đạt
cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn
2 2
1 2
1x x+ =
39. Tìm m để hàm số
3 2
3
2
m
y x x m= − +
có cực đại, cực tiểu nằm về
2 phía của đường thẳng y = x.
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số
A. Cơ sở lý thuyết:
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x≤


x D∈
thì M = f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.
+Nếu tồn tại 1 điểm x
0
thuộc D sao cho:
0
( ) ( )f x f x≥


x D∈
thì M = f(x
0
) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D.
 Để tìm GTLN, GTNN ta có thể
 Lập bảng biến thiên của hàm số rồi kết luận.
 (Xét trên đoạn
[ ]
;a b
)
+ Giải phương trình y’=0 với x thuộc D. Giả sử có các
nghiệm x
1
, x
2
.
+ Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
)
+ So sánh các giá trị trên và kết luận.
 Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìm
GTLN, GTNN của hàm số theo biến mới.
 Ứng dụng của GTLN, GTNN để giải PT, BPT:

Giải phương trình:
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm, chuyển về dạng
một bên là hàm số theo x, một bên là hàm theo m( giả sử là g(m)).
+ Để PT có nghiệm thì
⇔ min ( , ) ( ) max ( , )f x m g m f x m≤ ≤
.
+ Tương tự cho trường hợp có k nghiệm và vô nghiệm.

Giải bất phương trình:
Áp dụng các tính chất sau:
+Bất phương trình
( )f x m≥
đúng
x I∀ ∈


Min f(x)
m≥

x I∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m≤
đúng
x I∀ ∈


Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
+ Bất phương trình
( )f x m≥
có nghiệm
x I∈

max f(x)
m≥

x I∀ ∈
+Bất phương trình
( )f x m≤
có nghiệm
x I∈


Max f(x)
m≤

x I∀ ∈
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 8
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
B. Bài tập:
40.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 cos2 4siny x x= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
41.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3
4
2sin sin
3
y x x= −
trên đoạn
[ ]
0;
π
.
42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
cos 2 sin cos 4y x x x= − +
.
43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+ +
=
+ +
.
44. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2x
y x e= −
trên đoạn
[ ]
0;1
.
45. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1y x x= + −
.
46. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( ) ( )
3sin 4cos 10 3sin 4cos 10y x x x x= − − + −
.
47. Chứng minh rằng:
sin tan 2x x x+ >
,
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 
.
48. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
8 16 9y x x x= − + −
trên đoạn
[ ]
1;3
.
49. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2 cosx x+
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
50.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
3 9y x x= + −
.
51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3 2
3y x x= −
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 4
sin cosy x x= −
.
53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
y x x= −
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
sin cosy x x= +
.
55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
sin 3 sin 1
2 sin
x x
y
x
+ −
=

.
56.Tìm GTLN, GTNN của hàm số
3
sin cos2 sinx 2y x x= − + +
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 9
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
57.Tìm GTLN, GTNN của
2
3 2y x x= − +
trên đoạn
[ ]
10;10−
.
58. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
2
3
2
x
y
x x
+
=
+ +
.
59. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
x
x
y e
e
= +
.
60. Tìm m để phương trình
3 2
3 0x x m− + =
có ba nghiệm phân biệt.
61. Tìm m để bất PT:
3
3
1
3 2x mx
x
− + − ≤ −
nghiệm đúng với mọi
1x ≥
.
62. a. Tìm m để phương trình
2
2 1x x m+ + =
có nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình
2
2 1x x m+ + >
với mọi x
∈ ¡
.
63. Tìm m để phương trình:
2
9 9x x x x m+ − = − + +
có nghiệm.
64. Tìm m để phương trình:
( ) ( )
3 6 3 6x x x x m+ + − − + − =

nghiệm.
65. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
( ) ( )
4 4 6 6 2
4 sin cos 4 sin cos sin 4x x x x x m+ − + − =

66.Tìm m để phương trình:
cos2 4sin cos 2 0m x x x m− + − =

nghiệmx
0;
4
π
 

 ÷
 
.
C. Bài tập tương tự:
67. Xác định m để phương trình
( )
2
1 4 1x x m+ − + =
có nghiệm.
68. Xác định m để phương trình
9 2 1x x m− = +
có nghiệm thực.
69. Tìm m để BPT:
( ) ( )
2
3 2 2 5 2 5 0m x m x m− − − − + >
có nghiệm.
70.Tìm GTLN, GTNN của
1 9y x x= − + −
trên đoạn
[ ]
3;6
.
71.Tìm m để phương trình:
( ) ( )
2 2 2 2x x x x m− + + − − + =

nghiệm.
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 10
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Chuyên Đề 4: Tiếp tuyến và các bài toán liên quan
A.Cơ sở lý thuyết:
1.Dạng toán 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị hàm số.

Phương pháp:
Áp dụng công thức từ ý nghĩa hình học
của đạo hàm:
( ) ( )
0 0 0
'y y f x x x− = −
 Biết điểm có tung độ và hoành độ cho trước.
 Biết điểm có hoành độ cho trứơc.
 Biết điểm có tung độ cho trước.
2.Dạng toán 2: Viết PTTT có hệ số góc cho trước

Phương pháp:
Từ
( )
'k f x=
ta suy ra các nghiệm x
1
, x
2
. Thế x
1
, x
2
vào y ta được
tọa độ tiếp điểm. Áp dung dạng 1 ta có PTTT.
Các biến dạng của hệ số góc:
 Biết trực tiếp:
1; 2; 3, . ...k v v= ± ± ±
 Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước.
 Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng cho trước.
 Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng
α
.
 Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc
α
.
 Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng
α
cho
trước.
3.Dạng toán 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm A cho trước.

Phương pháp:
Gọi x
i
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó PTTT có dạng
( ) ( ) ( )
'
i i i
y f x x x f x= − +
Vì TT đi qua A nên tọa độ thỏa mãn phương trình, giải phương
trình ta đựơc các nghiệm x
i
. Thế ngược lại ta được PTTT cần tìm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình chính là số tiếp tuyến kẻ từ A
đến đồ thị
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 11
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
B.Bài Tập:
72. Viết PTTT của đồ thị (C):
3
3 5y x x= − +
khi biết:
a. Tại điểm M(2; 7).
b. Hoành độ tiếp điểm là x
0
= - 1.
c. Tung độ tiếp điểm là y
0
= 5.
d. Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
d: 7x + y = 0
73. Cho hàm số (C):
1
2
x
y
x
+
=

a. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với
trục tung.
b. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết tuyết tuyến đi qua điểm
B(3; 4).
c. Viết PTTT của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến đó song
song với tiếp tuyến tại điểm A.
74. Cho hàm số (C):
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
75. Cho hàm số (C
m
):
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp
tuyến của (C
m
) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
76. Cho hàm số (C):
2 1
1
x
y
x

=

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M
thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường
thẳng IM.
77.Chohàmsố(C):
3 2
1 1 4
2
3 2 3
y x x x= + − −
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 12

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×