Tải bản đầy đủ (.doc) (25 trang)

SKKN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (236.25 KB, 25 trang )

(1)


&



đề tài sáng kiến kinh nghim





---Tên Đề tài SKKN


một số phơng pháp



s dng bt ng thc cụsi



Họ và tên

:

Lê Đình Chiến



Chức vụ

:

Giáo viên



Tổ

: Toán



Đơn vị công tác

:

Trêng THPT Thanh Oai A


Thanh Oai - Hà Nội


SKKN thuộc lĩnh vực chuyên môn: Môn Toán



Năm học 2008-2009



cộng hòa xà hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tù do - H¹nh phóc


--- * * *



(2)

I. Sơ yếu lý lịch



Họ và tên : Lê Đình Chiến


Sinh ngày : 28-5- 1976


Năm vào ngành : 2005


Chc vụ và đơn vị công tác : Giáo viên trờng THPT Thanh Oai A
Trình độ chun mơn : Đại học S phạm Tốn


Nhiệm vụ đợc phân cơng : Giảng dạy Tốn
Khen thởng : ti gii C cp tnh


(Năm học 2005-2006; 2007-2008)


II. Ni dung ti SKKN:


I- Tên Đề tài SKKN:


một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cơsi


II. Lý do chọn đề tài:


Trong chơng trình tốn THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh,
ngay cả học sinh khá và giỏi nhiều bối rối nhất. Tuy nhiên đây là phần quyến
rũ những học sinh say mê với Tốn học và mong giỏi Tốn vì nó địi hỏi học
sinh phải động não, tìm tịi và sáng tạo.


Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài tốn bất đẳng


thức nên tơi viết SKKN "Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với
mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ thuật chứng
minh bất đẳng thức Côsi.


III- Phạm vi, thời gian, đối tợng thực hiện:


Năm học 2008-2009, đối tợng học sinh lớp 10,11, 12 trờng THPT
Thanh Oai A - Hà Nội.



(3)

A- KiÕn thøc cơ bản


* Bt ng thc cụ si


1- Dạng tổng quát (nsè)


x1; x2; x3 .... xn > 0 ta cã n n xx xn
n


x
x


x
x


...
...


2
1
3



2


1    hc


(x1+x2+....+xn) > n n


n


x
x


x1 2.... hc ( m


n


n x x x


n


x
x


x
x


...
)


...



2
1
3


2
1









DÊu "=" x¶y ra  x1= x2=...= xn


* HQ 1: nếu x1 + x2 + ...+xn = S (khơng đổi) thì Max(x1x2...xn) =


2









n
S



DÊu "=" x¶y ra  x1= x2=...= xn


* HQ2: Nếu x1x2...xn = P (khơng đổi) thì Min(x1+x2 + ...+xn) = nn P


DÊu "=" xảy ra x1= x2=...= xn


2- Dạng cụ thÓ cho 2 sè:


x, y > 0 ta cã xyxy


2
DÊu "=" x¶y ra  x = y


3- D¹ng cơ thĨ cho 3 sè:


x, y, z > 0 ta cã 3


2 xyz


z
y
x






DÊu "=" x¶y ra  x = y = z



B- Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi


1- Phơng pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
VD : CMR (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2


a, b, c

R


Sai lầm thờng gặp là:


x, y thì (x - y)2 > 0  x2 + y2 > 2xy


Do đó ta có:


















ac



a


c



bc


c


b



ab


b


a



2


2


2



2
2


2
2


2
2


(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 (sai)
Chẳng hạn: 4 > - 4


2 > - 6
3 > 2



§óng
§óng
§óng



(4)

 4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai)


Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận


đợc bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
Nh vậy ta có lời giải đúng nh sau:


























ca
c


a
a


c


bc
c


b
c


b


ab
b


a
b


a


2
2



2
2


2
2


2
2
2


2


2
2
2


2


2
2
2


2


(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2


= 8 a2b2c2


* Thơng thờng ta ít gặp các bài tốn sử dụng ngay bất đẳng thức Cơ si


nh bài tốn trên mà phải biến đổi bài tốn đến tình huống thích hp ri mi s
dng bt ng thc Cụ si.


Bài toán 1:


0


, 


a b , chøng minh r»ng

a b

8 64ab(a b)2





Gi¶i:


Ta cã :

a b

8 [( a b)2]4



=

(ab)2 ab

4


2
2
2
4


4



)
(
.
64


2
.
)
.(
2


2
).
(
2


b
a
ab


ab
b


a


ab
b
a


Cosi

















Bài toán 2:


Cho a1a2 > 0 , a1c1 > b12 , a2c2 > b22 . Chøng minh r»ng :
(a1 + a2) (c1+ c2) > (b1 + b2)2


Gi¶i:


Tõ gi¶ thiÕt ta cã: a1, a2, c1, c2 cïng dÊu  a1c2 > 0 ; a2c1 > 0
Ta cã: (a1+a2) (c1+c2) = a1c1 + a1c2 +a2c1 +a2c2 > b12 + a1c2+a2c1 +b22


2
2
1


2


2
1


2
2
2
2
2
1
2


1


2
2
2
1
2
1
2


1


)
(


)
(


2


2


b
b


b
b


b
b
b
b


b
c
c
a
a
b


Cosi



















Bài toán 3:


Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab



(5)

Ta cã (1+a+b) > 33 ab


(a+b+ab) > 3 a.b.a.b


(1+a+b)(a+b+ab) > 9ab


Bài toán 4: Chøng minh ; 3a3 + 7b3 > 9ab2


a,b > 0


Gi¶i:


Ta cã: 3a3 + 7b3 > 3a3 +6b3


> 3a3 +3b3 + 3b3
> 33 3a3.3b3.3b3


> 9ab2



Bµi toán 5:


Cho a, b,c,d > 0 và 3
1


1
1


1
1


1
1


1










a b c d


Chøng minh r»ng: abcd <
81



1


Gi¶i:


Tõ gi¶ thiÕt ta cã:


3


1
1
1
3


1
1


1


1
1
1
1


1
1
1


1
1
1



1


)
)(
)(
(


)
(


)
(


)
(


d
c
b


bcd
d
d
c
c
b
b


d


c


b
a

























Ta cã 0



)
1
)(
1
)(
1
(
3
1


1


3 







b c d


bcd
a


T¬ng tù ta cã:


0
)
1
)(


1
)(
1
(
3
1


1


3 







a c d


acd
b


0
)
1
)(
1
)(
1
(
3


1


1


3 







a b d


abd
c


0
)
1
)(
1
)(
1
(
3
1


1


3 








a b c


abc
d


Nhân vế ta đợc:


abcd
d


c
b
a


abcd
d


c
b


a          


 81



1
)
1
)(
1
)(
1
)(
1
(
81
)
1
)(
1
)(
1
)(
1
(


1



(6)

Chøng minh r»ng a, b> 0 ta cã 2008


4017
2009


2008a 2009 b 4017 ab



Gi¶i:


áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho 4017 số trong đó có 2008 số dạng


2008a và 2009 số dạng 2009b ta đợc:


hang
è
h¹ng


è s


s


b
b


b
a


a
a


b
a


2009
2008


)


...


(
)
...


(


2009
2008


2009
2009


2009
2008


2008
2008


2009
2008
















2009
2008 2009


2008 ab >


hang
è
h¹ng


è s


s


b
b


b
a


a
a


2009
2008



)
...
.


).(
...


.
(


40174017 2008 2008 2008 2009 2009 2009


4017


4017 ab




Bài toán 7:


Cho

1

1

1

1

1

1

8



1


0



















)


)(


)(


(:


,,



c


b


a


CMR


c



b


a



cb


a



Giải:



VT=


c
b
a
b


a
c
a


c
b
c


c
b


b
a


a







.


.
)


)(
)(


(1 1 1


8
2





abc
ab
ca
bc


Cosi . .
Bài tËp ¸p dơng:


1)






















1


1



1


1



1


1



1



3


0



2
1



2
1


n


a


a



a



N


n


n


a



a


a


cho



n
n


...


,


,


,...


,



Chøng minh r»ng a1a2...an <


n



n )


( 1
1




2) CMR: mma nn b(mn)mnab ab ; m,nN


1
0


3) Cho













1


0



2


1


2
1


n
n


a


a



a


a


a


a



...


,...


,



CMR: n


n


n
a


a


a .... 1 ( 1)



1
1
1
1
1


2
1






































Bạn đọc tự giải



(7)

* Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi
chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ cịn lại
hằng số.


Bµi toán 1: CMR: a R


a
a








2
1


2


2
2


Giải:


1
1
1
1


1
1
1


2


2
2


2
2


2
2















a
a


a
a
a


a ( )


2
1
1
1
2


2
2









a
a


Cosi .


Bài toán 2: CMR: a.b1




a b


b
a


b
a


2
2


2
2


Giải:


2
2



2
0


2


2
2


2

















Cosi


b
a


ba
a


b
a


ab
b


a
b
a


b
a
VT


(


)
(


Bài toán 3: CMR: 1 3 0




a b


b
a


b
a


)
(


3


1
3


1
1


)
(
).
(


)
(
)
(
)


(


b
a
b


b
a
b


b
a
b
b
a
b
b
a
b
a


Cosi
















> 3


Bài toán 4: CMR: 1 2 2 2





)
(a b
b
a
Giải:


2
2
1


2
2


4


1
2


2


4


2


2


















)
(
.
)
(
.
)
(
.


)
(



b
a
a
b
a
b
a
b


a
b
a
b
a
b
a
b
VT


Bài toán 5: CMR: log3 4 > log4 5


Giải: Theo bất đẳng thức Cơsi ta có


log3 4 + log4 3 > 2 log34.log43 2 (1)
mµ log45 + log4 3 = log4 5.3


= log4 [(4+1)(4-1)]
= log4 (42-1)



< log4 42 = 2 (2)
Tõ (1)(2)  log34 + log43 > log45 + log43



(8)

 log3 4 > log4 5


3. Phơng pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài tốn 1: CMR: abcd  (ac)(bd) a,b,c0


Gi¶i:


Bất đẳng thức tơng đơng với 1







 )( ) ( )( )


( a c b d


cd
d


b
c
a


ab



Theo bất đẳng thức Côsi ta cú:


1
2


1


2
1
2


1












































d
b


d
b
c


a


c
a


d
b


b
c
a


c
d


b
b
c
a


a
VT


Bài toán 2:


Chứng minh : c(a c) c(bc) abac0;bc0


Gi¶i:


Bất đẳng thức tơng đơng với    1



ab
c
b
c
ab


c
a


c( ) ( )


Ta cã:


1
2


1


2
1
2


1





















 
















a


a
b
b


b
c
b
a
c
a


c
a
b
c
VT


Bài toán 3: CMR: 3 1 3 1 1 01 0










a b c a b c


abc ( )( ( ) , ,



Giải: Bất đẳng thức tơng đơng với:


3
3


3 abc 1.1.1 (1a)(1b)(1c)


1
1


1
1


1
1
1
1


1


1 3


3 












)
)(
)(
(


.
.
)


)(
)(


( a b c a b c


abc


1
1


1
1
1
1
1
3
1



1
1
1


1
1


1
3
1





































c
c
b
b
a
a


c
b
a
VT


Bài toán 4:



Tổng quát: n  


n
n
n


n
n


n bb b a b a b a b


a
a


a1 2...  1 2...  1 1 2 2 ... 


Với ai; bi >0 ; i = 1,n
Bạn đọc tự chứng minh.



(9)

CMR: 1 1 1


1


1   


n


n n! n
Bạn đọc tự chứng minh



Gỵi ý: VT= 1 1 1


4
3
3
2
2
1
1


4
1
3
1
2
1




 n


n


n
n


n . . ...


...
.


.


Bµi toán 6:


CMR: 16ab(a-b)2 < (a+b)4 a,b0


Giải:


VT = 16ab(a-b)2 = 4(4ab)(a-b)2


4
2


2
2


2
4


2
4
4


)
(
)
(


)
(



b
a
b


a


b
a
ab



























Bài toán 7:


CMR:


2
1
1


1


1
2


1


2


2 











)
)(
(


)
)(
(


b
a


ab
b


a
Gi¶i:


  






  



2
1
1
1



2
1
1


1
1


2
2
2


2


b
a
ab


b
a


b
a


ab
b
a






















ab
b
a
ab
b
a


ab
b


a


ab
b



a
VT


Cosi


2
1


2
2
2
1
1


2
2
2


2


2
2


2
2



















)
(




pcm)
Đ
2


1


1 2 2


(


VP
b



a








Bài to¸n 8:


Cho a, b >1 chøng minh r»ng:


2


2 2


2
2


b
a
b


a log  log 


log


Gi¶i: Ta cã: a b 2a 2b 2a 2b



2
2


2 log ) log log 2 log .log
log



(10)



2
2


2
4


4


2
2


2
2


2
2
2


2
2


2



2
2


2
2


b
a
b


a
b
a


ab


ab
b


a


b
a


b
a


Cosi
Cosi

























log
log


log
log
log



log
)
log
(log


log
log


log
log


(đpcm)


Bài toán 9: Cho

CMR

abc

a

b



c


b


a



cb


a

















16


1


0



:


,,



Giải:




b
a


c
b
a
do
b


a


c
b
a


b
a
c


b
a
b
a


c
b
a
abc


VT


Cosi
Cosi



























1
2


1
4


2
4


4


2
16
16


2



2
2


)
).(
(


]
)
(
)[
(
.


)
(


.
)
(


Bài toán 10:


729


8


1



0



















)


)(


)(


(


:


,,



a


cc


bb


a


abc


CMR


c



b



a



cb


a


Cho



Giải:


Ta có


729
8
3


3


3


3











]


)
(
)
(
)
(
.[
)
(


)
)(
)(
(


a
c
c
b
b
a
c
b
a


a
c
c
b
b


a
abc
VT


Bài toán 11:


27


8


1



0


















abc


ca


bc



ab


CMR


cb



a


cb


a


Cho



:


,,




(11)

     


27
9
3


1
1


1


1
1
1
1


3































]
[



)
)(
)(
(


c
b


a


c
b
a


c
b
a
abc
ca
bc
ab


abc
ca
bc
ab
VT


Cosi



4. Phơng pháp thêm hằng số


s dng bt ng thc Cơ si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta
cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy
nhiêu. Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta phải thêm hằng số để số
các số hạng bng ch s cn.


Bài toán 1:


CMR: a b 1b a 1abab1


Gi¶i: Ta cã:


 


2
2


1
1
1


1


1 a b a b ab


b


a   (  ).  .   



2
2


1
1
1


1


1 b a b a ab


a


b   (  ).  .(  ) 


Céng vÕ  a b 1b a 1ab (đpcm)


Bài toán 2:


6


1



0





















)


(


)


(


)


(


:


,,



a


c


c


b


b


a


CMR


c




b


a



cb


a


Cho


Giải:


Ta có:


2
3
2
2


3
3
2
2


3








)
(


.
).


(
.


b
a
b


a
b


a


2
3
2
2


3
3
2
2


3  









)
(
.
).


(
.


c
b
c


b
c


b


2
3
2
2


3
3
2
2



3  








)
(
.
).


(
.


c
a
c


a
c


a



(12)

6
2
2
3



2
2
2


2
3
















.


)
(


.
)
(
)


(
)


(a b b c c a a b c


Bài toán 3: Cho












2


4


3



c


b


a



Tìm Max


abc


b


ca
a


b
c
ab


f   2   3  4


Gi¶i:


Ta cã:


2
2
2


2
2
2


2
2
2


2 ab c ab c abc


c


ab   . (  ).  .(  ) 



3
2
2


3
3
3


3
3
3


3 bc a bc a abc


a


bc   . (  ).  .(  ) 


4
2


4
4
4


4
4
4



4 ca b ca b abc


b


ca   . (  ).  .(  ) 


4
1
3
2


1
2
2


1
4
3


2














abc


b
ca
a


bc
c


ab
f


DÊu "=" xảy ra























4


8


6



44


33


22



c


b


a



b


a


c



Vậy Max


4
1
3
2


1


2
2


1






f


Bài toán 4: Cho












4


0



3


0



y



x



tìm Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y)


Giải: A = (3-x)(4- y)(2x+3y)
=


6
1



(13)

36
6
1
3


3
2
3


12
2


6 3











     


 ( x) ( y) ( x y) .
Cosi


DÊu "=" x¶y ra 6-2x=12-3y=2x+3y=6










2


0



y


x



Vậy Max A = 36


Bài toán 5: Cho x, y > 0. T×m Min 2


3


xy


y
x
y
x


f( , )(  )


Gi¶i: Ta cã:


4
27
3
4
16


1


3
2
2
4
16


1


2
2
4
16



1


2
3


3
3
2

























  





xy
y
x


y
x


y
y
x


y
y
x
xy


)
(


)
(
.


)


)(
)(
(


DÊu "=" x¶y ra  4x=2y=2y  y=2x>0
VËy Min f(x,y) =


4
27


Bài toán 6: Cho x, y, z >0 Tìm Min 2 3


6


z
xy


z
y
x
z
y
x


f( , , )(   )


Gi¶i: Ta cã xy2z3 = 6x.3y.3y.2z.2z.2z .


3
2



2
3
6


1


.
.


432
432


432
1
6


2
2
2
3
3
6


3
2


6


6


3


2


6
3


2



















     






z
xy


z
y
x


z
y
x
z


xy


z
z
z
y
y
x
z


xy Cosi


)
(


)
(



.


VËy Min f(x,y,z)=432


DÊu "=" x¶y ra  6x3y2z0


5. Phơng phỏp ghộp i xng



(14)

Phơng pháp cộng:


























2


2



2


2



x


z


z


y


y


x


z


y


x



x


z


z


y


y


x


z


y



x

)

(

)

(

)

(

)




(



Phơng nhân:









zx


yz


xy


xyz



zx


yz


xy


z



y


x



.


.



)


).(



).(


(



2
2
2


với x,y, z >0


Bài toán 1:


CMR:   abca b c0


c
ab
b
ca
a
ba


,
,


Giải: áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có


c
ab
abc
b



ca
a
bc















2


2
1


c
c
ab
b
ca
c


ab


b
ca













 .


2
1


b
a
bc
c
ab
a


bc
c
ab














 .


2
1


Céng vÕ a b c


b
ca
c
ab
a
bc










Bài toán 2:


CMR: 2 0


2
2
2
2
2










a bc


a
b
b
c
c
a
a
c


c
b
b
a


,
,


Giải: áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:


c
a
c
a
c
b
b
a
c


b
b
a















2


2
2
2
2


2
2
2


2
1


.


a
b
a
b
a
c
c
b


a


c
c
b
















2
2
2
2
2


2
2
2



2
1


.


b
c
b
c
b
a
a
c
b


a
a
c















2


2
2
2
2


2
2
2


2
1


.


Cộng vế ta đợc:


a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b


a







2



(15)

Bµi to¸n 3:CMR: a3 +b3 +c3 > a2 2 2 0







b ac c ab ab c


bc , ,


Gi¶i: Ta cã:


a3 +b3 = (a+b)(a2 +b2 -ab) > (a+b)(2ab-ab) = (a+b).ab
b3 +c3 = (b+c)(b2+c2 -bc) > (b+c)(2bc-bc) = (b+c).bc
a3 + c3 = (a+c)(a2 +c2 -ac) > (a+c)(2ac-ac) = (a+c).ac
Cộng vế ta đợc:


2 (a3 +b3 +c3) > (a+b).ab+(b+c).bc+(a+c).ac
> a2(b+c) + b2(c+a) +c2 (a+b)



)
(a ab b ac c ab


ab
c
ac
b
ab
a


Cosi


2
2


2


2
2


2
2


2
2


2













Suy ra a3 +b3 +c3 a2 bc b2 ac c2 ab







Bài toán 4: CMR: ABC1 ABC


2
2


2


2
2


2 tan tan
tan


Gi¶i: Ta cã: tan cot 2 tan( 2 )


2


1 C A B


C







2
1
2
2
1


2
2


C
B


A
B
A


tan
tan



.
tan


tan
tan








1
2
2
2


2
2


2 


tanA.tanB tanB.tanC tanC.tanA


Mặt khác ta có:


2
2
2



2
2


2
2


1 tan2 A tan2 B tan2 A.tan2 B tanA.tanB















T¬ng tù:


2
2
2


2
2



1 tan2B tan2C tanB.tanC













2
2
2


2
2


1 tan2C tan2 A tanC.tanA













Cộng vế ta đợc: tan22 2 2 1
2
2





B C


A tan tan


đccm


Bài toán 5: Cho ABC CMR:


1) (p-a)(p-b)(p-c) <


8


abc


2) ( )


c
b
a
c
p


b
p
a
p


1
1
1
2
1
1


1











Gi¶i: Ta cã p-a = 0


2 




c a



b



(16)

1)


2
2


0 (pa)(pb)(pa)(pb)c


2
2


0 (pb)(pc)(pb)(pc)a


2
2


0 (pc)(pa)(pc)(pa)b


Nhân vế ta đợc: (p-a)(p-b)(p-c) <


8


abc


2) p a p b p a p b p a p b c


2
2



1
1


1
1


2
1






















 ( )( ) ( ) ( )



a
c
p
b
p
c
p
b
p
c


p
b
p


2
2


1
1


1
1


2
1























 ( )( ) ( ) ( )


b
a
p
c
p
a
p
c
p
a



p
c
p


2
2


1
1


1
1


2
1























 ( )( ) ( ) ( )


Cộng v ta c: ( )


c
b
a
c
p
b
p
a
p


1
1
1
2
1
1


1












Bài toán 6: Cho ABC CMR:


(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) < abc


Giải: Theo bất đẳng thức Cô si ta có:


c
b
c
a
a
c
b
b
c
a
a
c


b          





2


0 ( )( ) ( ) ( )


a
c
b
a
b
c
a
c
b
a
b
c


a          




2


0 ( )( ) ( ) ( )


b
a
c
b
c


b
a
a
c
b
c
b


a          




2


0 ( )( ) ( ) ( )


Nh©n vÕ  (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < abc


6. Phơng pháp ghép cặp nghịch đảo 3 số:


Chó ý ta cã: (x+y+z)(11 1 9 x y z0


z
y


x ) (*) , ,


ThËt vËy VT > 33 33 1 9


xyz


xyz. .


Bất đẳng thức trên có ý nghĩa rất lớn trong vai trị nhận dạng và đa các bài
toán xa lạ trở thành bài toán quen thuộc. Các ví dụ sau chứng tỏ điều đó.



(17)

Giải: Ta có : SABC=


a
S
h
h


a a a


2
2


1





.
Tơng tù:


b
S
hb


2



 vµ


c
S
hc


2


 mµ S =p.r


Nªn (*)  2aS 2bS 2cS 9Sp


9
1
1
1


9
1
1
1
2















)
)(


(


)
(


c
b
a
c
b
a


c
b
a
p


Theo (*)  ỳng ddcpcm


Bài toán 2: CMR: ra +rb +rc > 9 r ABC



Chó ý: r pS c


b
p


S
r
a
p


S


ra b c









 ; ;


(S lµ diƯn tÝch ABC) mµ S =p.r


Ta phải chứng minh:


9
1
1



1
9
1
1


1


9








































c
p
b
p
a
p
c
p
b
p
a
p



c
p
b
p
a
p
p


p
S
c
p


S
b
p


S
a
p


S


)]
(
)
(
)
[(



)
(


Theo (*) ỳng cpcm


Bài to¸n 3: CMR      6


c
b
a
b


a
c
c


a
b


với a,b,c 0


Bài toán 4: CMR: a) 2 2 2 9  0











c c a a b a b c a b c


b , ,


b) 0


2
3










a b ab c


c
a
c


b
c
b


a



,
,


Bài toán 5: CMR: 0


2


2
2


2












a b c


c
b
a
b
a



c
a
c


b
c
b


a , ,


Gỵi ý: (a b c)


b
a


c
c
a
c


b
b
c
b


a


a   





































2
3


2
2


2


Bạn c t chng minh bi 3, 4, 5


Bài toán 6: Cho


2


9


1


1


1


1



0





















ba


ac


cb


CMR


cb


a




(18)

Gi¶i:
2
9














b
a
c
b
a
a
c
c
b
a
c
b
c
b
a
9
1
1
1
9
1
1
1
2



































a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
b
a
a
c
c
b
c
b
a
)]
(
)
(
)
[(
)
(



Theo (*)  ỳng cpcm


Bài toán 7: Cho

9



2


1


2


1


2


1


1


0


2
2
2














ab


c


ca



b


bc


a


CMR


cb


a


cb


a

,,



Giải: Theo bất đẳng thức (*) ta có:


9
2
1
2
1
2
1
2
2


2 2 2 2 2 2


2


















ab
c
ca
b
ca
a
ab
c
ac
b
bc


a ) ( ) ( )]


[(
9
2
1
2


1
2
1
2
2
2
2















ab
c
ca
b
ca
a
c
b

a )
(


Mµ 0<(a+b+c)2 < 1


 9
2
1
2
1
2
1
2
2


2 












ca b ca c ab


a ®pcm



7. Phơng pháp đánh giá mu s:


Bài toán 1: CMR 0


2
1
1
1
2
2


2
















abc a bc



c
b
a
ab
c
ac
b
bc


a , ,


Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có


abc
c
b
bc
a
abc
c
b
abc
bc
bc
a
bc
a
bc
a
4


1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2










)
(
T¬ng tù:
abc
c
a
ca

b 4
1
2



abc
b
a
ab
c 4
1
2



Céng vÕ
abc
c
b
a
ab
c
ca
b
bc
a 2
1
1
1

2
2
2











(19)

abc
abc
a
c
abc
c
b
abc
b
a
1
1
1
1
3
3
3


3
3
3 









Gi¶i: Ta cã


)
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
c
b
a
abc
abc
ab


b
a
abc
ab
ab
b
a
abc
ab
b
a
b
a
abc
b
a


















1
1
2
1
1
1
2
2
3
3
T¬ng tù:
)
(a b c
bc


abc
c


b     


1
1


3
3


)


(a b c
ac


abc
a


c     


1
1


3
3


Cộng vế ta đợc:


abc
c
b
a
abc
c
b
a
c
b
a
ca
c
b


a
bc
c
b
a
ab
abc
a
c
abc
c
b
abc
b
a
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
























)
(
)
(
)
(
)
(
®pcm


Bài toán 3: CMR:


abcd
abcd
b
a
d
abcd
a
d
c
abcd
a
c
b
abcd
c
b
a
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4


4
4
4
4
4
4
4


















víi a,b,c,d 0


Gi¶i: Ta cã x,y,z0 ta cã:


yz


x
xy
z
xz
y
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
z

y
x
Cosi
Cosi
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4

4
4
4
4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1





















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(


x4 y4 z4xyz(xyz)


VËy: a b c abcd abc(a b c) abcd abc(a b c d)














1
1
1
4
4
4
)
(a b c d
bcd


abcd
a


c


b       


1
1
4
4
4
)
(a b c d
cda



abcd
a


d


c       


1
1
4
4
4
)
(a b c d
dab


abcd
b


a


d       



(20)

Cộng vế ta đợc: VT(1)


abcd
d


c
b


a
abcd


d
c
b
a


d
c
b
a
dab
d
c
b
a
cda
d
c
b
a
bcd
d
c
b
a
abc


1



1
1


1
1

































)
(


)
(


(
)
(


)
(


®pcm


8. Phơng pháp đổi biến số:


Đổi biến số nhằm mục đích chuyển bài tốn từ tình thế khó biến đổi đại số
(với các biến ban đầu) sang trạng thái d bin i i s hn vi bin mi


Bài toán 1: CMR: 1 0


2


3











a b a bc


c
a
c


b
c
b


a


,
,
)


(


Giải: Đặt














































z


zy


x


c



z


yx


z


b



xz


y


a



za


b



yc


a



xc



b



0


0


0



(1) 3


2
2


2 












z
z
y
x
y


y


x
z
x


x
z
y


6








z
x
z
x
y
x
y
z
x
z
x
y



ThËt vËy: VT = 




























z
y


y
z
z
x
x
z
y
x
x
y


6
2
2


2 




Cosi đpcm


Bài toán 2: Cho ABC có các cạnh a, b, c


CMR: a b c


c
b
a


c


b
a
c


b
a
c
b


a














2
2


2



(21)

Đặt







































2


2


2


2



yx


c



xz


b



y


a



cb


az



ba


cy



ac


bx



Khi ú ta cú:



(1) ( ) ( ) ( ) (2)


4
4


4


2
2


2


z
y
x
z


y
x
y


x
z
x


z
y













Ta cã VT (2)







































x
yz
z
xy
z


xy
y
xz
y


xz
x
yz


z


xy
y
xz
x
yz


2
1
2


1
2


1


z
y
x
zx


yz
xy
yz


xy
xz
xy



zx
yz









. . . đpcm


Bài toán 3: Cho ABC có các cạnh a, b, c CMR:


(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c) abc (1)


Giải:


Đặt:





































2


2


2


2



yx



c



xz


b



y


a



cb


az



ba


cy



ac


bx



Khi ú (1)


2
2
2


x
z
y
x
z
y



xyz   


 . .


ThËt vËy VP =


2
2


2


x
z
y
x
z


y







xyz


y
x
x
z


z
y


Cosi




 . . .



(22)

Bài toán 4: Cho ABC có các cạnh a, b, c ; diện tích S. CMR:


)
(1
2


3
3
1


1


1 4


S
b
a
c
a
c
b


c
b


a        


Gi¶i:


Đặt
























0


0


0



z


c


b


a



y


b


a


c



x


a


c


b



Ta có:


4
4
4


2
1
2
1



xyz
z
y
x


c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a


c
p
b
p
a
p
p
S


)
(



)
)(


)(
)(


(


)
)(
)(
(






















Khi ú: (1) 11 19


z
y
x


4 3


4


1
1
1
3


1
1
1
3
4


3
1


1
1
3
1



xyz
z
y
x


z
y
x
z
y
x
z
y
x


z
y
x
z
y
x


)
(


)
(


)


(


)
(























4


3
3



1
1
1


xyz
z
y
x
z


y


x   (   )


đpcm


Bài toán 5: Cho ABC CMR: ( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 )2 12 (1)


r
c
p
b
p
a


p     


Gi¶i: Ta cã:















2
2
2
2


r


p


S



c


p


b


p


a


p


p



S

(

)(

)(

)




p


c
p
b
p
a
p


r ( )( )( )


2


Đặt:





















0


0


0



c


p


z



b


p


y



a


p


x



th× ta cã:


(1) 12 12 12 (2)


xyz
z
y
x
z
y


x



(23)

VT(2) = 






















2 2 2 2 2


2
1
1


2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
x
z
z
y
y
x
xyz
z
y
x
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x










212 212 212 1 1 1


9. Phơng pháp kiểm tra điều kiện xảy ra dÊu "="


Cho a+b+c+d >0 t×m GTNN cđa


d
c
b
a
c
b
a
d
b
a
d
c
a
d
c


b
c
b
a
d
b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a
S


























* Sai lầm thờng gặp:


Nhiu hc sinh mc sai lm khi bin đổi S thành tổng 4 cặp nghịch đảo và áp
dụng bất đẳng thức Cô si cho từng cặp  S >8 và kết luận MinS =8


DÔ thÊy sù sai lầm trên vì nếu S =8


thì :

0






















d


c


b


a


c


b


a


d


b


a


d


c


a


d


c


b


d


c


b


a




vô lí vì a +b+c+d >0


Li gii ỳng:


tìm Min của S ta cần chú ý S là biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó để
tìm Min (Max) nếu có thờng đạt đợc khi a=b=c=d. Vậy đảo lại cho trớc
a=b=c=d ta có thể dự đốn MinS =


3
40
12
3
4



Sau đó đánh giá các bất đẳng thức có điều kiện dấu "=" xảy ra l tp con ca
iu kin a=b=c=d


Đặt
d
c
b
a
c
b
a
d
b


a
d
c
a
d
c
b


S1           


Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:


12
2
6


1(  )(  )(  )(  )(  )(  ) .


b
d
d
b
a
d
d
a
a
c
c
a


c
d
d
c
b
c
c
b
a
b
a
b
S
Đặt
c
b
a
d
b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a

S












2











































c
b
a
d

b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a


S2 4 1 1 1 1


























c
b
a
b
a
d
a
d
c
d
c
b
d
c
b
a


S2 4 ( ) 1 1 1 1


)]
(
)


(
)
(
)


[(a b c b c d c d a d a b


S             



(24)

C«si


3
4
4
3
16
3


16
4
3
1


2


2


 . S


Từ đó ta có S > 12+



3
1
13
3
40
3
4





VËy Min S = 13


3
1


khi a=b=c=d


Bài toán 2: Cho













1


0



d


c


b


a



d


c


b


a

,

,,





T×m Max S = abcbcdcdadab


Gi¶i:


Sai lầm thờng gặp, theo bất đẳng thc Cụsi ta cú:


2
7


2
7
4
3



2
1


2
1
1


2
1
1


2
1
1


2
1
1











































MaxS



d
c
b
a
S


b
a
d
b
a
d


a
d
c
a
d
c


d
c
b
d
c
b


c
b


a
c
b
a


]
)
(


[
).
(


).
(


).
(


).
(


Rõ ràng dấu "=" xảy ra




























1
1
1
1


b
a
d


a
d


c


d
c
b


c
b
a


4
3


v« lÝ


* Lời giải đúng:


Theo bất đẳng thức Cơ si ta có



























2
4
3
3


4
4


3
3


4. (a b c). a b c



























2
4
3
3


4
4


3
3



4 b c d


d
c


b ).


(
.




















2


4
3
3


4
4


3
3



(25)


























2
4
3
3


4
4


3
3


4 d a b


b
a


d ).


(
.


3
2
3
3



2
1
3
4









¸S . [ (a b c d) ]


DÊu"=" x¶y ra


4
1







a b c d


Bài toán 3: Cho














2


3


0



z


y


x



z


y


x

,

,



T×m MinP =xyz1x1y 1z


Bạn đọc tự làm (Min P =


2
1
2


15






y z


khix )


C. Lêi kÕt:


Trong đề tài này chủ yếu tôi đa ra một số phơng pháp phân tích, đánh giá để
có đợc lời giải các bài tốn bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si
cùng với các ví dụ minh hoạ cơ bản đợc su tập chủ yếu trong bộ đề thi tuyển
sinh đại học. Tuy nhiên trong q trình thực hiện đề tài chắc sẽ khơng tránh
khỏi những thiếu sót, tơi rất mong muốn có đợc sự đóng góp ý kiến của đồng
nghiệp, bạn đọc về nội dung đề tài, tôi xin chân thành cảm ơn!


Thanh Oai, ngày 15/4/2009


Tác giả


Lê Đình Chiến


ý kin nhn xột ỏnh giá xếp loại
của hội đồng khoa học cơ sở


Chủ tịch hội đồng






Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×