TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

* Kiến thức cần đạt:

a. -Dùng các tính chất và cơng thức và các pp để tìm nguyên hàm
- Học thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm (SGK.
- Dùng phương pháp hệ số bất định

- Dùng phương pháp đổi biến số
- Dùng phương pháp từng phần

- Học thuộc và vận dụng thật tốt bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm
và tích phân.

1

sin cos

1

sin( ) cos( )

1

cos sin

1

cos( ) sin( )

1
1

mx mx

ax b ax b

mxdx mx C

m

ax b dx ax b C

a

mxdx mx C

m

ax b dx ax b C
a

e dx e C

m

e dx e C

a

 



 



   

 

   

 

 













- Công thức biến đổi tích thành tổng













1

cos .cos cos( ) cos( )

2
1

sin .sin cos( ) cos( )

2
1

sin .cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   

   

   

- Công thức hạ bậc:
2

2

1 cos 2
sin

2
1 cos 2
cos

2
x
x

x
x







Bài tập :

Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
1. f(x. = x3 _{– 3x +} 1

x 2. f(x. = 2x + 3x 3. f(x. = (5x + 3.5 4. f(x. = sin4x

b.Tính tích phân:

Dạng 1: Phương pháp tính tích phân bằng cách sử dụng đ/n, tính chất và nguyên hàm
cơ bản.

Phương pháp

Bước 1: Tìm ngun hàm

Bước 2: Dùng cơng thức Newton-Leibuiz:
Bài tập: Tính các tích phân sau.

1.

2

3

(2sin

x

3cos

x x dx

)











2.

1 ₃

0

(

x

 

x

1)

dx



3.

1 ₂

0

(

1)

x

e



x



dx



_4.



12

(

x



1)(

x



x



1)

dx

Dạng 2: Phương pháp đổi biến số( đặt ẩn phụ..

Phương pháp:

Ta sử dụng định lí sau: Nếu hàm số x( )t

có đạo hàm '( )t liên tục trên đoạn



 ;



và :











'

( )

; ( )

;

;

t

a

t

b

t

x

a b





 











thì :

'
( ) ( ( )) ( )

b

a f x dx f t t dt















_(*.

Chú ý: Trong thực hành , việc áp dụng công thức(*. chỉ là việc thay hàm số f(x. bằng một

hàm số khác theo biến số mới t (t



 ;



), hàm số thay thế là hàm sơ cấp có thể tìm được
nguyên hàm trực tiếp từ bảng nguyên hàm ( hoặc sau một số phép biến đỏi đại số..

( ) ( ) ( ) ( )

b _b

a

a. Đổi biến dạng 1: 1.
1

2
0

1 x dx



2.

1
2
01

dx
x





_3.

2

2
0

1

16 x dx



4.
1

2 2

0

4

x  x dx



b. Đổi biến dạng 2:

Ví dụ:Tính tích phân sau.
9

4 ₁

x
dx
x



Phân ích:

Bước 1: Đặt (tùytheo bài toán mà ta đặt sao cho thích hợp.

Bước 2: Đổi cận x thành t (hoặc ngược lại.

Bước 3: Thay vào BT ban đầu và đổi biến số.

Giải:

+ Đặt t x  t2 x

ta códx=2tdt.

+ Đổi biến số :khi x=4 -> t=2, khi x=9 -> t=3

suy ra:

2

3 3

2 12 2 2 1 7 ln 4

t t

tdt dt
t  t  





Bài tập: Tính các tích phân sau.

a.

1 ₂

0 x x 1dx



_b.

2
1

3

0

₁

x

dx

x





c.

6

0 1 4sin cosx xdx







_d. 02

sin
1 3cos

x
dx
x






_e.

sin
3

4

cos

x

e xdx






f.
2

1 ₂

0
x

e



xdx



_g.

2

1 ln

2

ln

e

e

x

dx

x





h.

cos
3
4

sin

x

e

xdx







Dạng 3:Phương pháp tính tích phân từng phần.

Cơng thức tích phân từngphần:

.

.

b

b
b

a _a
a

u dv u v





vdu

Tích phân các hàm số dể phát hiện u và dv

( ). x

P x e dx





P x( ).cosxdx



P x( ).sinxdx



P x( ).lnxdx

u P(x. P(x. P(x. lnx

dv ex_{dx cosxdx sinxdx P(x.dx}

Bài tập: Tính các tích phân sau
1.

2

0 xsinxdx





_{2. 1} 2

ln

e

x

dx

x



_3. 1

0ln(1x dx)



_4.



23(3x2  1) ln(x 1)dx
Bi tập :

Tính các tích phân sau:

5/

3
3
1

(x 1)dx






6/
4
4
2
4

( 3sin )

cos x x dx








7/
2
2
1
x dx





(pt. *



 

2
2
0

1

2 3dx

x x
8.





2
0

(3 cos2 ).x dx

(pt. 9.





1
0

(_ex 2)_dx

10.




1
2
0

(6x 4 )x dx

*

 



3
2
2
3 7
4 3
x _dx
x x
11.
1
2
0
2 1
1
x
I dx
x x


 



(đđb. 12.

1
2
0

3. .

J 

_

x  x dx

(đđb.
13.




2
sin
0
.cos .
x

e x dx

14.





1

0 1

x
x

e _dx

e _15.





1
1 ln
e
x dx

x _16.




1

2 5

0

( 3)

x x dx

17.
2
0

.cos .

x x dx





(tp. 18. 1

.ln .
e

x x dx



(tp. 19.



1

3
0

. x

x e dx

20.




4
2

0 cos
x dx
x

21.



1

ln .
e
x dx
22.




5
2

2 .ln(x x 1).dx

23.




2
0
.cos .
x

e x dx

24 .

 



2 3 2

2
1

2 3

x x _{x dx}

x
25 .
 




4 2
3

2 5 3

1

x x _dx

x _26.*



 

1
2

0

1

5 6dx

x x _{27 . *}



 

5
2
4

1 2
6 x dx9

x x _29.




1

3
0

. 1

28 . *



2 x2  4x8 _{(PP hệ số bất định. 30.} 



2 2

dx

x

BÀI TẬP LÀM THÊM

Dạng 1. Phương pháp đổi biến số và sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân :
Bài 1. Tính các tích phân sau :

1.





1
3
0

1

I 

_

x x dx

ĐS :

9

20 _2.

2
4

2

1

I x dx

x
 
 _  _
 



ĐS :
275
12
3.
1

5 3 6
0

(1 )

I 

_

x  x dx

ĐS :

1

168 _4.

3 3
2
0 1
x dx
I
x






ĐS :
4
3
5 .
2
0
sinx
1 cos
dx
I
x






ĐS : ln2 6 .
22

3
3
1

3 5

I 

_

x dx

ĐS :

65
4

7 .
1

3 4 3
0

(1 )

I 

_

x x dx

ĐS :

15

16 _8.

1

3 2

0

2

I 

_

x  x dx

ĐS :

8 2 7
15

9.
1
2 2
0
5
( 4)
x
I dx
x





ĐS :
1

8 _10. 1

1 ln
e
x
I dx
x



_

ĐS :

2(2 2 1)
3

11.
2
2
2
2
0 1
x dx
I
x





ĐS :
1
8 4


12.
2
2009
0
sin cos
I xdx



_

ĐS :
1
2010
13.
2 3
2
5 4
dx
I
x x





ĐS :
1 5
ln

4 3 _14.

1

0 2 1

xdx
I
x





ĐS :

1
3
15.
4
1
1
2 1
I dx
x





ĐS : 2 16.
2

2
0

I 

_

x  x dx

ĐS : 1

Dạng 2. Phương pháp tích phân từng phần :

b b

b
a

a a

u dv uv





v du





Bài 2. Tính các tích phân sau :

1.
1

0

( 1) x

I 

_

x e dx

ĐS : e 2.
1

0

x

I 

_

xe dx

ĐS : 1
3.

1

2
0

( 2) x

I 

_

x e dx

ĐS :
2
5 3
4
e

4 .
2
1
ln

I 

_

x xdx

ĐS :
3
2ln 2
4

5.
2
0
( 1)sinx

I x dx





_



ĐS : 2 6.

2
1

ln

e

I 

_

x xdx

ĐS :
2 ₁

4

7.

2
1

ln

e

I 

_

x xdx

ĐS :
3

2 1

9

e 

8.
1

2
0

x

I 

_

x e dx

ĐS : e-2
9.

1
2
0

(2 1) x

I 

_

x  x e dx

ĐS : 3e-4 10.





3

2
0

ln 3

I 

_

x x  dx

ĐS :

3 9

6ln12 ln 3

2 2

 

11.
4
0

sin3 .cos .x x dx





(ñb. 12.

2
2
0

sin xdx





(pt.
13.

2
3
0

cos xdx





(db. 14.
2

3 2

0

cos sinx xdx



