Tải bản đầy đủ (.docx) (6 trang)

TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.88 KB, 6 trang )

(1)

* Kiến thức cần đạt:


a. -Dùng các tính chất và cơng thức và các pp để tìm nguyên hàm
- Học thuộc bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm (SGK.
- Dùng phương pháp hệ số bất định


- Dùng phương pháp đổi biến số
- Dùng phương pháp từng phần


- Học thuộc và vận dụng thật tốt bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm
và tích phân.


1


sin cos


1


sin( ) cos( )


1


cos sin


1


cos( ) sin( )


1
1



mx mx


ax b ax b


mxdx mx C


m


ax b dx ax b C


a


mxdx mx C


m


ax b dx ax b C
a


e dx e C


m


e dx e C


a


 





 




   


 


   


 


 









- Công thức biến đổi tích thành tổng









1


cos .cos cos( ) cos( )


2
1


sin .sin cos( ) cos( )


2
1


sin .cos sin( ) sin( )


2


a b a b a b


a b a b a b


a b a b a b


   


   


   


- Công thức hạ bậc:
2



2


1 cos 2
sin


2
1 cos 2
cos


2
x
x


x
x








Bài tập :


Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
1. f(x. = x3 – 3x + 1


x 2. f(x. = 2x + 3x 3. f(x. = (5x + 3.5 4. f(x. = sin4x




(2)

b.Tính tích phân:


Dạng 1: Phương pháp tính tích phân bằng cách sử dụng đ/n, tính chất và nguyên hàm
cơ bản.


Phương pháp


Bước 1: Tìm ngun hàm


Bước 2: Dùng cơng thức Newton-Leibuiz:
Bài tập: Tính các tích phân sau.


1.


2


3


(2sin

x

3cos

x x dx

)









2.


1 3



0

(

x

 

x

1)

dx





3.


1 2


0

(

1)



x


e

x

dx



4.

12

(

x

1)(

x

x

1)

dx


Dạng 2: Phương pháp đổi biến số( đặt ẩn phụ..


Phương pháp:


Ta sử dụng định lí sau: Nếu hàm số x( )t


có đạo hàm '( )t liên tục trên đoạn

 ;

và :




'

( )

; ( )



;

;




t

a

t

b



t

x

a b





 







thì :


'
( ) ( ( )) ( )


b


a f x dx f t t dt








(*.


Chú ý: Trong thực hành , việc áp dụng công thức(*. chỉ là việc thay hàm số f(x. bằng một


hàm số khác theo biến số mới t (t

 ;

), hàm số thay thế là hàm sơ cấp có thể tìm được
nguyên hàm trực tiếp từ bảng nguyên hàm ( hoặc sau một số phép biến đỏi đại số..


( ) ( ) ( ) ( )


b b


a



(3)

a. Đổi biến dạng 1: 1.
1


2
0


1 x dx




2.


1
2
01


dx
x





3.


2


2
0


1


16 x dx




4.
1


2 2


0


4


xx dx




b. Đổi biến dạng 2:


Ví dụ:Tính tích phân sau.
9



4 1


x
dx
x




Phân ích:


Bước 1: Đặt (tùytheo bài toán mà ta đặt sao cho thích hợp.


Bước 2: Đổi cận x thành t (hoặc ngược lại.


Bước 3: Thay vào BT ban đầu và đổi biến số.


Giải:


+ Đặt txt2 x


ta códx=2tdt.


+ Đổi biến số :khi x=4 -> t=2, khi x=9 -> t=3


suy ra:


2


3 3



2 12 2 2 1 7 ln 4


t t


tdt dt
t  t  




Bài tập: Tính các tích phân sau.


a.


1 2


0 x x 1dx


b.


2
1


3


0

1



x



dx



x





c.


6


0 1 4sin cosx xdx






d. 02


sin
1 3cos


x
dx
x




e.


sin
3


4


cos


x


e xdx







f.
2


1 2


0
x


e

xdx



g.


2

1 ln

2


ln



e


e


x


dx


x







h.


cos
3
4


sin



x


e

xdx









Dạng 3:Phương pháp tính tích phân từng phần.



Cơng thức tích phân từngphần:


.

.



b


b
b


a a
a


u dv u v

vdu




(4)

Tích phân các hàm số dể phát hiện u và dv


( ). x


P x e dx


P x( ).cosxdx

P x( ).sinxdx

P x( ).lnxdx


u P(x. P(x. P(x. lnx


dv exdx cosxdx sinxdx P(x.dx


Bài tập: Tính các tích phân sau
1.


2



0 xsinxdx




2. 1 2


ln



e

x



dx


x



3. 1


0ln(1x dx)


4.

23(3x2  1) ln(x 1)dx
Bi tập :


Tính các tích phân sau:


5/


3
3
1


(x 1)dx






6/
4
4
2
4


( 3sin )


cos x x dx







7/
2
2
1
x dx




(pt. *

 



2
2
0


1


2 3dx


x x
8.



2
0


(3 cos2 ).x dx


(pt. 9.





1
0


(ex 2)dx


10.



1
2
0


(6x 4 )x dx


*

 


3
2
2
3 7
4 3
x dx
x x
11.
1
2
0
2 1
1
x
I dx
x x


 



(đđb. 12.


1
2
0


3. .


J

xx dx


(đđb.
13.


2
sin
0
.cos .
x


e x dx


14.



1


0 1



x
x


e dx


e 15.




1
1 ln
e
x dx


x 16.


1


2 5


0


( 3)


x x dx


17.
2
0


.cos .



x x dx





(tp. 18. 1


.ln .
e


x x dx




(tp. 19.


1


3
0


. x


x e dx


20.


4
2

0 cos
x dx
x


21.

1


ln .
e
x dx
22.


5
2


2 .ln(x x 1).dx


23.


2
0
.cos .
x


e x dx


24 .


 





2 3 2


2
1


2 3


x x x dx


x
25 .
 


4 2
3


2 5 3


1


x x dx


x 26.*

 


1
2


0


1


5 6dx


x x 27 . *

 


5
2
4


1 2
6 x dx9


x x 29.


1


3
0


. 1



(5)

28 . *

2 x2  4x8 (PP hệ số bất định. 30.

2 2


dx


x





BÀI TẬP LÀM THÊM


Dạng 1. Phương pháp đổi biến số và sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân :
Bài 1. Tính các tích phân sau :


1.



1
3
0


1


I

x xdx


ĐS :


9


20 2.


2
4


2


1


I x dx


x
 

 


ĐS :
275
12
3.
1


5 3 6
0


(1 )


I

xx dx


ĐS :


1


168 4.


3 3
2
0 1
x dx
I
x





ĐS :
4
3
5 .
2
0
sinx
1 cos
dx
I
x





ĐS : ln2 6 .
22


3
3
1


3 5


I

xdx



ĐS :


65
4


7 .
1


3 4 3
0


(1 )


I

xx dx


ĐS :


15


16 8.


1


3 2


0


2


I

xx dx


ĐS :


8 2 7
15

9.
1
2 2
0
5
( 4)
x
I dx
x



ĐS :
1


8 10. 1


1 ln
e
x
I dx
x



ĐS :


2(2 2 1)
3

11.
2
2
2
2
0 1
x dx
I
x



ĐS :
1
8 4


12.
2
2009
0
sin cos
I xdx



ĐS :
1
2010
13.
2 3
2
5 4
dx
I
x x



ĐS :
1 5
ln


4 3 14.


1


0 2 1


xdx
I
x



ĐS :

1
3
15.
4
1
1
2 1
I dx
x




ĐS : 2 16.
2


2
0


I

xx dx


ĐS : 1


Dạng 2. Phương pháp tích phân từng phần :


b b


b
a



a a


u dv uv

v du





Bài 2. Tính các tích phân sau :


1.
1


0


( 1) x


I

xe dx


ĐS : e 2.
1


0


x


I

xe dx


ĐS : 1
3.


1



2
0


( 2) x


I

xe dx


ĐS :
2
5 3
4
e

4 .
2
1
ln


I

x xdx


ĐS :
3
2ln 2
4

5.
2
0
( 1)sinx



I x dx






ĐS : 2 6.


2
1


ln


e


I

x xdx


ĐS :
2 1


4



(6)

7.


2
1


ln



e


I

x xdx


ĐS :
3


2 1


9


e


8.
1


2
0


x


I

x e dx


ĐS : e-2
9.


1
2
0



(2 1) x


I

x  x e dx


ĐS : 3e-4 10.


3


2
0


ln 3


I

x xdx


ĐS :


3 9


6ln12 ln 3


2 2


 


11.
4
0


sin3 .cos .x x dx






(ñb. 12.


2
2
0


sin xdx






(pt.
13.


2
3
0


cos xdx






(db. 14.
2



3 2


0


cos sinx xdx








×