Hệ thức lượng về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

CHƯƠNG I – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

CHỦ ĐỀ 1 – HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM

GIÁC VUÔNG

A. NỘI DUNG LÝ THUYẾT

1. Hệ thức giữa cạnh góc vng và hình chiếu của nó trên cạnh huyền:

Giả thiết

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

Kết luận

AB2 = BH. BC
AC2 = CH. BC

Chứng minh:

AB2 _{= BH. BC ⟺}AB BH

BC= ABTa chứng minh AHB ∽ CAB
Xét



AHB

&



CAB

AHB̂ = CAB̂ = 90o

Suy ra AB BH 2

AHB CAB AB BH.BC

BC AB

 ∽   =  =

Tương tự đối với AC2 _{= CH. BC}

2

1

H

C

B

A

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao:

Giả thiết

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

Kết luận AH2 _{= BH. HC}

Chứng minh:

AH2 = BH. HC ⟺AH HC

BH = AHTa chứng minh AHC ∽ BHA
Xét AHC và BHA có {Â = Ĉ (cùng phụ A1 ̂)2

AHĈ = BAĈ = 90o

Suy ra AHC BHA AH HC AH2 BH.HC
BH HA

 ∽   =  =

Giả thiết

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

Kết luận AH. BC = AB. AC

2

1

H

C

B

A

2

1

H

C

B

A

Định lý 2: Trong một tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích
hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền.

Chứng minh:

Cách 1:

AH. BC = AB. AC ⟺AH AC

AB =BC Ta chứng minh AHC ∽ BAC
Xét



AHC

AHC

̂ = BAĈ = 90o

Suy ra AHC BAC AH AC AH.BC AB.AC
AB BC

 ∽   =  =

Cách 2:

Ta có

( )

1

AH.BC 1
2

S_ =

Mặt khác:

( )

1

AB.AC 2
2

S

 =

Từ (1)(2) suy ra 1AH.BC 1AB.AC
2 = 2
hay AH. BC = AB. AC

Giả thiết

∆ABC vuông ở A
AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

Kết luận 1 1 1

2 2 2

AH AB AC

= +

2

1

H

C

B

A

Chứng minh:

(

) (

)

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

1 1 AB +AC BC BC 1
AB +AC = AB .AC = AB.AC = BC.AH =AH

3. Công thức cần ghi nhớ:

Cho tam giác ∆ABC vuông ở A (AB < AC), dựng AH ⊥ BC, (H ∈ BC)

Khi đó, ta có:

1) AB2 = BH. BC; AC2 = CH. BC 2) AH. BC = AB. AC

3) AH2

2 2 2
AH AB AC

= +

2

1

H

C

B

A

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP QUAN TRỌNG

DẠNG 1 – TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG TRONG TAM GIÁC VNG

Hướng dẫn giải:

Trong ∆ABC vng ở A có:

BC = √AB2_{+ AC}2 _{= √5}2 _{+ 12}2 _{= 13 cm.}
AB2 _{= BH. BC ⇔ 5}2 _{= BH. 13}

⇒ BH = 25
13 cm

⇒ CH = BC − BH = 13 −25
13=

144
13 cm

Phương pháp giải:

• Xác định vị trí của cạnh huyền, cạnh góc vng.

• Vận dụng hệ thức về cạnh, về đường cao.

• Sử dụng kỹ thuật đại số hình học.

Bài 1: Cho ∆ABC vng ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm, đường cao AH với H ∈ BC.
Tính BH, CH, AH.

H

C

B

A

AH. BC = AB. AC ⇒ AH =AB. AC

BC =

5.12
13 =

60
13 cm

Vậy BH = 25

13 cm; CH =
144

13 cm; AH =
60
13 cm

Hướng dẫn giải:

Trong ∆ABC vuông ở A có:

AC = √BC2_{− AB}2 _{= √10}2 _{− 8}2 _{= 6 cm.}
AB2 = BH. BC ⇔ 82 = BH. 10

⇒ BH = 8
2

10= 6,4 cm

⇒ CH = BC − BH = 10 − 6,4 = 3,6 cm

AH. BC = AB. AC ⇒ AH =AB. AC

BC =

6.8

10 = 4,8 cm
Vậy BH = 6,4 cm; CH = 3,6 cm; AH = 4,8 cm

Bài 2: Cho ∆ABC vuông ở A có AB = 8 cm, BC = 10 cm, đường cao AH với H ∈ BC.
Tính BH, CH, AH.

H

C

B

A

8cm

Hướng dẫn giải:

Trong ∆ABC vng ở A có:

AC = √BC2_{− AB}2 _{= √10}2 _{− 8}2 _{= 6 cm.}
AC2 _{= CH. BC ⇔ 20}2 _{= CH. 25}

⇒ CH =20
2

25 = 16 cm

⇒ BH = BC − CH = 25 − 16 = 9 cm

AH = √AC2 _{− HC}2 _{= √20}2_{− 16}2 _{= 12 cm}
Vậy BH = 9 cm; CH = 16 cm; AH = 12 cm

Bài 3: Cho ∆ABC vuông ở A có AC = 20 cm, BC = 25 cm, đường cao AH với H ∈ BC.
Tính BH, CH, AH.

25cm

20cm

A

B

C

Hướng dẫn giải:

Trong ∆ABC vng ở A có:

BC = BH + HC = 1,8 + 3,2 = 5 𝑐𝑚.

AB2 = BH. CH = 1,8 . 3,2
⇒ AH = 2,4 cm

AC2 = CH. BC = 3,2 . 5 = 16
⇒ AC = 4 cm

AB2 = BH. BC = 1,8 . 5 = 16
⇒ AB = 3 cm

Vậy AH = 2,4 cm; AB = 3 cm; AC = 4 cm

Bài 4: Cho ∆ABC vuông ở A , đường cao AH với H ∈ BC. Có BH = 1,8 cm, CH = 3,2 cm.
Tính AH, AB, AC.

3,2 cm

H

C

B

A

Hướng dẫn giải:

Đặt BH = 𝑥 (0 < 𝑥 < 6,4)
suy ra BC = 𝑥 + 6,4

Trong ∆ABC vng ở A có:

AB2 _{= BH. BC.}
⇔ 62 = 𝑥(𝑥 + 6,4)
⇔ 𝑥2 + 6,4𝑥 − 36 = 0
⇔ (𝑥 − 3,6)(𝑥 + 10) = 0

⇔ [ 𝑥 = 3,6
𝑥 = −10

⇔ 𝑥 = 3,6 (vì 0 < 𝑥 < 6,4)

Suy ra BH = 3,6 cm

Vậy AH = 4,8 cm; BC = 10 cm; AC = 8 cm

Bài 5: Cho ∆ABC vuông ở A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC. Có AB = 6 cm, CH = 6,4 cm.
Tính AH, BC, AC.

6 cm

A

B

C

H

Hướng dẫn giải:

Đặt BH = 𝑥 (𝑥 > 0) suy ra CH = 10 − 𝑥

Trong ∆ABC vuông ở A có:

AH2 = BH. CH.

⇔ 4,82 _{= 𝑥(10 − 𝑥) ⇔ 𝑥}2_{− 10𝑥 + 23,04 = 0}

⇔ (𝑥 − 3,6)(𝑥 − 6,4) = 0 ⇔ [𝑥 = 3,6
𝑥 = 6,4

Ta có AB < AC ⇒ BH < CH ⇔ 𝑥 < 10 − 𝑥 ⇔ 𝑥 < 5 ⇒ Chọn 𝑥 = 3,6 𝑐𝑚

Suy ra BH = 3,6 cm⇒ CH = 10 − 3,6 = 6,4 cm

Ta có:

AH2 = BH. CH = 3,6 . 6,4 = 23,04 ⇒ AB = 4,8 cm
AB2 _{= BH. BC = 3,6 . 10 = 36 ⇒ AB = 6 cm}
AC2 = CH. BC = 6,4 . 10 = 64 ⇒ AC = 8 cm
Vậy AB = 6 cm; AC = 8 cm

Bài 6: Cho ∆ABC vuông ở A, AB < AC, AH ⊥ BC với H ∈ BC. Có AH = 4,8cm, BC = 10cm.
Tính AB, AC.

H

C

B

A

4,8 cm

3

2

1

L

K

D

A

_B

C

I

Hướng dẫn giải:

 a) Tam giác DIL là một tam giác cân.

Ta có: D̂ + D₁ ̂ = 90°₂ & D̂ + D₂ ̂ = 90°₃

Suy ra D̂ = D1 ̂3

Xét ∆DAI & ∆DCL có:

+ D̂ = D₁ ̂₃
+ AD = DC

+ Â = D̂ = 90°

Suy ra ∆DAI = ∆DCL ⇒ DI = DL
Suy ra ∆DIL cân ở D.

 b) Tổng 1₂ 1 ₂

DI +DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

DI = DL ⇒ 1
DI2+

1
DK2 =

1
DL2+

1
DK2

Trong ∆LDK vng ở D có đường cao DC, ta có

1
DL2+

1
DK2 =

1

DC2 (Ko đổi)

Bài 7: (9/tr70/SGK) Cho hình vng ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và
tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vng góc với DI. Đường thẳng này cắt đường
thẳng BC tại L.

Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân.
b) Tổng 1₂ 1 ₂



BÀI TẬP TỰ ƠN TẬP

Câu 1. Hãy tìm 𝑥, 𝑦, 𝑧 trong các hình sau

Hình 1 Hình 2

Hình 3 Hình 4

Hình 5 Hình 6

H

C

B

A

5cm

20cm

x

y

x

y

8cm

6cm

A

B

C

H

H

C

B

A

1cm

4cm

x

y

H

C

B

A

5cm

_x

7cm

y

y

x

1cm

2cm

A

B

C

H

y

6,4cm

H

C

B

A

6cm

Hình 7 Hình 8

Hình 9 Hình 10

Câu 2. Cho ∆ABC (Â = 90°) , AB = 12 cm, BC = 13cm. Tính AC, đường cao AH, các đoạn thẳng
BH, CH và diện tích của tam giác.

Câu 3. Cho ∆ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15, đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH
và HB với HB = 16. Tính diện tích tam giác vuông ABC.

Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 15cm, cạnh đáy bằng 18cm. Tính độ dài các
đường cao.

Câu 5. Tính diện tích của một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10cm, chiều cao ứng
với cạnh bên bằng 12cm.

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong BE, biết EC = 3, BC = 6. Tính độ dài
các đoạn thẳng AB, AC.

15cm

x

H

C

B

A

3
4

y

5cm

z

2cm

H

C

B

A

x

y

H

C

B

A

30cm

x

y

5
6

y

x

125cm

A

B

C

H

Câu 7. Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là 10cm, 17cm, 21 cm.
Câu 8. Cho tam giác ABC cân tại A (𝐴̂ < 90°), kẻ BM ⊥ CA. Chứng minh

2

AM AB

2 1

MC AC

 

= _{ } −

 

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm
A lấy điểm D sao cho DB = DC = AB

2 . Chứng minh rằng BD, DH và HA là độ dài ba cạnh của một
tam giác vuông.

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên
AB và AC. Hãy chứng minh các hệ thức sau:

1)

3

CE CA
BD AB

 

= _ _ 2) AH3 = BC. BD. CE