Tải bản đầy đủ (.pdf) (21 trang)

Đề cương học kì 2 lớp 12 Toán học Trường THPT Xuân Đỉnh, Sở GD&DT Hà Nội niên khóa 2018-2019 - Học Toàn Tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1000.47 KB, 21 trang )

(1)

1

TRƯỜNG THPT XUÂN ĐỈNH



NĂM HỌC 2018-2019



MƠN: TỐN - KHỐI: 12


Giáo viên chỉnh sửa: Nhóm trưởng 12 - ngày nộp: 10/03/2019


I. KIẾN THỨC CƠ BẢN TRỌNG TÂM
A. GIẢI TÍCH


1) Khái niệm, các tính chất của nguyên hàm và tích phân.
2) Bảng cơng thức ngun hàm cơ bản.


3) Các phương pháp tìm ngun hàm và tính tích phân.
4) Ứng dụng tích phân.


5) Khái niệm số phức, các phép toán trên tập số phức.


6) Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức.
B. HÌNH HỌC


1) Hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian.


2) Phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng trong không gian tọa
độ Oxyz.


II. MỘT SỐ ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ SỐ 1



Câu 1. Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1
2


f x
x




 và F

 

 3 1. Tính F

 

0
A. F

 

0 ln 2 1 B. F

 

0 ln 2 1 C. F

 

0 ln 2 D. F

 

0 ln 2 3
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) 12cos2


x x


 ?


A. 12 2 1 2


2


cos dx cos C


x x   x


. B. 12 2 1 2


2


cos dx cos C



x xx


.


C. 12 2 1 2


2


cos dx sin C


x x   x


. D. 12 2 1 2


2


cos dx sin C


x xx



Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2x


f xe .
A.


2 1
2


2 1


x


x e


e dx C


x


 




. B. 2 1 2
2


x x


e dxeC



(2)

2
Câu 4. Cho y = f(x) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [-6;6]. Biết rằng

 



2


1


8


f x dx








 



3


1


2 3


f x dx . Tính

 


6


1


I f x dx


.


A. I = 14. B. I = 5. C. I = 14. D. I = 2.


Câu 5. Biết rằng



1



1 3 2


0


3 , ,


5 3


x a b


edxee c a b c R


. Tính


2 3


b c
T   a .


A. T = 9. B. T = 10. C. T = 6. D. T = 5.
Câu 6. Cho


7
x


dx
I


e







, đặt uex7. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 22


7


I du


u





B.


2


2


7


I du


u u







C. 22
7


u


I du


u





D.


2
2
2


7


u


I du


u






Câu 7. Tính nguyên hàm xsin


I

e xdx ta được
A. 1( sin cos )


2


x x


Ie x exC B. 1

sin cos



2


x x


e x exC


C. Iexsinx CD. excosx C


Câu 8. Diện tích S của hình phẳng tơ đậm trong hình dưới đây được tính theo cơng thức nào sau đây?


A.


2 4


0 2


( ) ( )


S  

f x dx

f x dx B.


2 4


0 2


( ) ( )


S  

f x dx

f x dx
C.


2 4


0 2


( ) (x) dx


S

f x dx

f D.
4


0
( )
S

f x dx


Câu 9. Diện tích S của hình phẳng giới hạn giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2
3 2


y  x x  , hai trục
tọa độ và đường thẳng x2 là


A. 3


2


SB. 7


2


SC. S 4 D. 5


2


S


Câu 10. Thể tích khối trịn xoay được tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi
các đường yx, y 2 xy0 là


A. 2
7




B.

C. 3


2




D. 5


6








(3)

3


A. 0 B. 4


100 (C) C.
3


100 (C) D.
6


100 (C)
Câu 12. Cho hàm số yf x( ) liên tục trên

0;10 , thỏa mãn



10


0


( ) 7


f x dx




6


2



( ) 3


f x dx


. Tính
giá trị biểu thức


10 10


2 6


( ) ( )


P

f x dx

f x dx


A. P4 B. P2 C. P10 D. P3
Câu 13. Cho I =


3


01 1


x
dx
x


 


. Nếu đặt tx1 thì I là


A.



2
2
1


I

tt dt B.


2


2
1


2t 2t dt


C.



2
2
1


I

tt dt D.


2


2
1


2 2


I

tt dt

Câu 14. Kết quả của tích phân



1


0


ln 2x1 dx


được biểu diễn dưới dạng aln 3b, khi đó giá trị


của ab3 bằng


A. 3 B. 3


2 C. 1 D.


3
2


Câu 15. Kết quả của tích phân
ln 5


ln 3


ln 3 ln 2


2 3


x x



dx


a b


ee   


, trong đó ,a b là các số hữu tỷ. Giá trị
của a b bằng


A. 0 B. 1 C. -1 D. 2


Câu 16. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 2


, 2


yx yx.


A. 3


20


S  . B. 20


3


S  . C. 4


3



S  . D. 3


4


S  .


Câu 17. Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi mặt phẳng x = 1x = 3, biết rằng khi cắt vật thể
bởi mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x

1 x 3

thì được thiết diện là
một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x22.


A. V 32 2 15 . B. 124
3


V   . C. 124


3


V  . D. V

32 2 15

.
Câu 18. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f x

 

f

 

 x 2 2cos 2 , x  x R. Tính


 


3


2


3
2


I f x dx









.


A. I = -6. B. I = 0. C.I = -2. D. I = 6.


Câu 18. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z  10 đồng thời phần ảo của z gấp ba lần phần thực
của z


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


Câu 19. Gọi A và B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức z 5 3i và ' 3 5z   i. Kết
luận nào sau đây là đúng ?


A. A và B đối xứng nhau qua trục hoành B. A và B đối xứng nhau qua trục tung


C. A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ D. A và B đối xứng nhau qua đường thẳng yx


Câu 20. Cho số phức thỏa mãn z 5( ) 2 . Môđun của số phức là
1


z i


i
z



 




2


1 z z



(4)

4


A. 4 B. 9 C. 13 D. 13


Câu 21. Biết điểm A(3;-2) là điểm biểu diễn của số phức z. Hỏi số phức liên hợp z của z là
A. z 3 2i B. z 3 2i C. z  3 2i D. z  3 2i
Câu 22. Tìm số phức z thỏa mãn


2


1 1 1


1 2 1 2


z   i  i
A. 8 14


25 25


z  i B. 8 14


25 25



z   i C. 10 35


13 26


z  i D. 10 14


13 25


z  i
Câu 23. Tìm số phức z thỏa mãn

1i



z 1 2i

  3 2i 0


A. z 4 3i B. 3 5
2 2


z  i C. 5 3


2 2


z  i D. z 4 3i
Câu 24. Tìm số phức z thỏa mãn zi2z  4 4i


A. z 4 4i B. z 3 4i C. z 3 4i D. z 4 4i
Câu 25. Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn 2i  1 iz

3i1

2


A. 8 B. 9 C. 9 D. 8


Câu 26. Phương trình 2


2 5 0



zz  có nghiệm là z a bi ( ,a b ). Khi đó a


b bằng


A. 1


2 B.
1


3 C.
1


4 D.


1
5


Câu 27. Kí hiệu z z z1, 2, 3z4 là các nghiệm phức của phương trình z4 z2 120. Tổng


1 2 3 4


Tzzzz bằng


A. T 4. B. T 2 3. C. T  4 2 3. D. T  2 2 3.
Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn |z 1| 2. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức


1 3

2


w i z là một đường trịn. Tính bán kính r của đường trịn đó



A. r16 B. r4 C. r25 D. r9


Câu 29. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện
2 z i   z z 2i


A. Một đường thẳng B. Một đường tròn C. Một parabol D. Một elip.
Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho các véctơ a

2;3;1 ,

b  

1;5; 2 ,

c

4; 1;3



3; 22;5



x  . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau ?


A. x2a3bc B. x  2a 3bc C. x2a3bc D. x2a3bc
Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình


2 2 2


2 4 6 2 0


xy  z xyz  . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính mặt cầu

 

S


A. Tâm I

1; 2; 3

và bán kính R4 B. Tâm I

1; 2;3

và bán kính R4
C. Tâm I

1; 2;3

và bán kính R4 D. TâmI

1; 2;3

và bán kính R16
Câu 32. Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( )S đi qua A

0; 2; 0

, B

2;3;1

, C

0;3;1

và có tâm
nằm trên

Oxz

. Phương trình mặt cầu ( )S


A. x2

y6

 

2 z4

2 9 B. x2

y3

2z2 16
C. 2

 

2

2



7 5 26


xy  z  D.

2 2

2


1 3 14


x yz 



(5)

5
A.  7x 11y  z 3 0 B. 7x11y  z 1 0


C.  7x 11y z 150 D. 2x  y z 0


Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 chứa trục Oz và đi qua điểm

2; 3;5



P  có phương trình là


A. 2x3y0 B. 2x3y0 C. 3x2y0 D. y2z0
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 1 7


2 1 4


x y z


d     và


2


1 2 2



:


1 2 1


x y z


d     


 . Mệnh đề nào sau đây đúng ?


A. d1d2 B. d1d2 song song C. d d1, 2 trùng nhau D. d d1, 2 chéo nhau
Câu 36. Trong không gian Oxyz,khoảng cách từ điểm M

2;0;1

đến đường thẳng


1 2


:


1 2 1


xy z


   là


A. 2 B. 3 C. 12 D. 5


17
Câu 37. Trong khơng gian Oxyz,phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường
thẳng đi qua hai điểm A

1; 2; 3

B

3; 1;1




A. 1 2 3


3 1 1


x y z


B.


1 2 3


2 3 4


x y z




C. 3 1 1


1 2 3


x y z


D.


1 2 3


2 3 4


x y z





Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho điểm A

1; 2;3

và mặt phẳng

 

P : 4x3y7z 3 0.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng

 

P


A.


1 4
2 3 .
3 7


x t


y t


z t


  


   


   


B.


1 4
2 3 .


3 7


x t


y t


z t


 

  

  


C.


3
4 2 .
7 3


x t


y t


z t


 



  

  


D.


1 8
2 6 .
3 14


x t


y t


z t


  


   


   


Câu 39. Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng 1: 2 2 3


2 1 1



x y z


d     


 và 2


1


: 1 2


1


x t


d y t


z t


 

  


   




điểm A

1; 2;3

. Đường thẳng  qua A, vng góc d1 và cắt d2 có phương trình là



A. 1 2 3


1 3 5


x y z


  B.


1 2 3


1 3 5


x y z


   C.


1 2 3


1 3 5


x y z


D. 1 2 3


1 3 5


x y z



Câu 40. Trong không gian Oxyz cho

 

P :x2y2z 3 0 và đường thẳng :


2 1 1


x y z


d  


 . Tính
sin của góc giữa đường thẳng d và ( )P ?


A. 2


2 B.
3


2 C.


6


6 D.


6
3


Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương
trình lần lượt là 2x  y z 20170 và x   y z 5 0. Tính số đo độ góc giữa đường thẳng d


và trục Oz.


A. 60 0 B. 0 0 C. 45 0 D. 30 0



Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3;-4;0), B(-1;1;3), C(3;1;0). Tìm tọa



(6)

6
A. D(-2;0;0) hoặc D(-4;0;0). B. D(0;0;0) hoặc D(-6;0;0).


C. D(6;0;0) hoặc D(12;0;0). D. D(0;0;0) hoặc D(6;0;0).


Câu 43. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc


của đường thẳng d:


1 2
3
2
x t
y t
z t
 

 

   

?


A. 1 2


2 3 1



x y z


. B. 1 2


2 3 2


x y z


 . C.


1 2


1 3 2


x y z


 . D.


1 2


2 3 1


x y z


.


Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 5 3


2 1 4



x y z


 . Phương


trình nào sau đây là phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng x + 3 = 0 ?


A.
3
5
2 4
x
y t
z t


   

   


. B.


3
5
3 4
x
y t
z t
 


   

  


. C.


3
5 2
3
x
y t
z t
 

   

  


. D.


3
6
7 4
x
y t
z t
 


   

  

.


Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;-1) và đi qua điểm
A(2;1;2). Mặt phẳng nào sau tiếp xúc với (S) tại A ?


A. x + y - 3z - 8 = 0. B. x - y - 3z + 3 = 0. C. x + y + 3z - 9 = 0. D. x + y - 3z + 3 = 0.
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y –z +1 = 0 và đường
thẳng : 1 2 1


2 1 2


xyz


   . Tính khoảng cách d giữa đường thẳng  và (P) ?


A. 1
3


d  . B. 5


3


d  . C. 2


3



d  . D. d2.


Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 3 6 1


2 2 1


x y z


d     


 và




2:
2


x t


d y t t


z


   

 


. Đường thẳng đi qua điểm A(0;1;1), vng góc với d1 và cắt d2 có PT là



A. 1 1


1 3 4


x yz


 


  B.


1 1


1 3 4


x yz


 


C.


1 1


1 3 4


x yz


 


D.



1 1


1 3 4


xy z


 


 


Câu 48. Cho số phức z a bi a b

, 

thỏa mãn

2i z

2z 13 3i. Tính Pa2b2


A. P5 B. P20 C. P15 D. P10.


Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là
5
3
2 2
x t
y t
z t
 

  

   




1 3 '
1 '
5 '
x t
y t
z mt
  

  

  


. Tìm tham số thực m để hai đường thẳng d1d2 cắt nhau.



(7)

7
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: 1 2


1 2 3


x yz


  và mặt
phẳng (P):

x

2

y

2

z

 

3 0

. Tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) và cách mặt phẳng (P) một
đoạn bằng 2 là:


A. M

  1 3 5; ;



B. M

  2 3 1; ;

C. M

  2 5 8; ;

D. M

  1 5 7; ;


ĐỀ SỐ 2


Câu 1: Tìm I

xlnxdx?
A.


2
ln
2


x


Ix

xdx C . ` B.
2


1
ln


2 2


x


Ix

xdx C .


C. 2ln 1


2


Ix x

xdx C . D. Ix2lnx

xdx C .
Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số

 



3


2
1


x
f x


x


 là


A. 1

2

2
2 1


3 x  xC B.



2 2


1


1 1


3 x x C


   


C. 1

2

2
1 1


3 x  xC D.




2 2


1


2 1


3 x x C


   


Câu 3. Tích phân    



2 2
1


2


2 3 1
4


ax


I dx


ax x . Giá trị nguyên của


a



A.a5 B.a6 C.a7 D.a8


Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.

 

 2


F x x là một nguyên hàm của f x

 

2x.


B. Nếu f(x) = g(x)F(x)G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f x

   

,g x thì F x

 

G x

 


C. Nếu F(x)G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F x

 

G x

 

C (C là hằng số).
D.

f x1

 

f2

 

x dx

f x dx1

 

f2

 

x dx.


Câu 5. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài tốn tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã giải 4
bài tốn đó như sau:


Bài Đề bài Bài giải của học sinh


1


2


1


0


x
e xdx


2 2

 

2



1
1


0


0 0


2
1


1 1


2 2 2


x


x x e e


e xdxe d x   



(8)

8
2


1
2
0


1
2dx
x  x



1

1


2


0
2


0
1


ln 2 ln 2 ln 2 0


2dx x x


x  x      




3
0


sin 2 cosx xdx






Đặt tcosx, suy ra dt sinxdx. Khi x0 thì t 1; khi x thì
1



t  . Vậy


1


1 3


2 2


1


0 0 1


2 4


sin 2 cos 2 sin cos 2


3 3


t


x xdx x xdx t dt


  




    





4
1


1 (4 2 ) ln
e


e x
dx
x


 


  2


1


1 1


1 (4 2 ) ln


1 (4 2 ) ln ln (4 2 ) ln 3


e e


e


e x


dx e x d x x e x e



x


 


       




Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?


A. 5,0 điểm. B. 2,5 điểm. C. 7,5 điểm. D. 10,0 điểm.


Câu 6. Cho tích phân
2


0


(2 ) sin


I x xdx




 . Đặt u 2 x dv, sinxdx thì I bằng


A.


2
2


0


0


(2 x) cosx cosxdx





  

. B.


2
2
0


0


(2 x) cosx cosxdx





  

.


C.


2
2
0



0


(2 x) cosx cosxdx





 

. D.


2
2
0


0


(2 x) cosxdx





 

.


Câu 7. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng Ka b, là hai điểm của K , ngoài ra k là một số


thực tùy ý. Khi đó:


(I)

 

0
a


a



f x dx . (II)

 

 



a b


b a


f x dx f x dx. (III)

.

 

 



b b


a a


k f x dx k f x dx.


Trong ba cơng thức trên:


A. Chỉ có (I) sai. B. Chỉ có (II) sai. C. Chỉ có (I) và (II) sai. D. Cả ba đều đúng.


Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x C1( ) 1 , y f x C2( ) 2 liên tục trên
đoạn [a;b] và hai đường thẳng x a, x b được xác định:


A. 1

 

2

 

x
b


a


S

f xf xd
B. 1

 

2

 

x



b


a


S

f xf x d


C.

 

 

 

 

 

 



1 2


1 2


1 2 x 2 1 x 1 2 x


c c b


a c c


S

f xf xd

f xf xd

f xf xd


1
( )C


2
( )C
a c1


y



(9)

9



D.

 

 

 

 



1


1


1 2 x 1 2 x


c b


a c


S

f xf x d

f xf x d


Câu 9. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s), có gia tốc '

 

3

/ 2


1





v t m s


t . Vận tốc ban đầu


của vật là 6 m / s. Vận tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
A. 14 m/ s . B. 13 m/ s. C. 11m/ s . D. 12 m/ s.


Câu 10. Cho tích phân
2



sin


0


sin 2 . xd


I x e x. Một học sinh giải như sau:


Bước 1: Đặt t sinx dt cos dx x. Đổi cận


1


0


0 0


2 d .
1


2


t


x t


I te t


x t



Bước 2: Chọn d d


d td t


u t u t


v e t v e . Suy ra


1 1 1 1


0 0


0 0


d d 1


t t t t


te t te e t e e .


Bước 3:
1


0


2 td 2


I te t .


Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?



A. Bài giải trên sai từ Bước 1. B. Bài giải trên sai từ Bước 2.
C. Bài giải trên hoàn toàn đúng. D. Bài giải trên sai từ Bước 3.


Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y xx 2y 0 bằng với diện tích
hình nào sau đây ?


A. Diện tích hình vng có cạnh bằng

2

.


B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt

5

và 3.
C. Diện tích hình trịn có bán kính bằng 3 .


D. Diện tích tồn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng
4
2 3


3 .


Câu 12. Thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol 2


4


y x


2
2


y x quay quanh trục

Ox

là kết quả nào sau đây ?


A. V 10 . B. V 12 . C. V 14 . D. V 16 .


Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

2

1 5


1


i


i z i


i



   


 . Môđun của số phức
2


1 2


w  zz có giá trị là



(10)

10
Câu 14. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa

3979


1 (1 )


2


z


i i i



  


 


  ?


A. Phần thực là 21990 và phần ảo là 2. B. Phần thực là 21990 và phần ảo là 2.
C. Phần thực là 21989 và phần ảo là 1. D. Phần thực là 21989 và phần ảo là 1.
Câu 15. Phương trình

2



2i zaz b 0 a b,  có hai nghiệm là 3i và 1 2 i. Khi đó a?
A.  9 2i B. 15 5 i C. 9 2 i D. 15 5 i


Câu 16. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực
của

z

bằng -2 là


A.x 2. B. y2. C. y2x D. y x 2


Câu 17. Trong mặt phẳng phức , số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức
thuộc phần tơ màu như hình vẽ


A. 1z 2 và phần ảo dương.


B. 1z 2 và phần ảo âm.
C. 1z 2 và phàn ảo dương.


D. 1z 2 và phần ảo âm.


Câu 18. Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2x  1

1 2y i

2 2

  i

yi x khi đó giá trị của

2


3


xxyy bằng


A. 1. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 19. Số phức

z

thỏa mãn: z 

2 3i z

 1 9i


A. 2i. B.  2 i. C.  3 i. D. 2i


Câu 20. Tìm số thực x y, để số phức z19y2 4 10xi5 và z2 8y220i11 là liên hợp của nhau?


A. x 2;y2. B. x2;y 2. C. x2;y2. D. x 2;y 2.


Câu 21. Cho số phức z1  1 2iz2   1 2i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?


A. z1z2 0. B. 1
2


1
z


z  . C. z z1. 2  3 4i. D. z1   z2 .
Câu 22. Cho số phức z  1 2i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?


A. z 1 z2
z



. B. z1  1 2i C. z z. 1 0. D. 1 1 2
5 5



(11)

11
Câu 23. Trong , phương trình z   z 2 4i có nghiệm là


A.

z

  

3 4

i

B. z  2 4i C. z  4 4i D. z  5 4i


Câu 24. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều
kiện: |z  1 i| 1 .


A. Đường trịn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1.
B. Hình trịn tâm I(1;-1), bán kính R = 1.


C. Hình trịn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1 (kể cả những điểm nằm trên đường tròn).
D. Đường trịn tâm I(1;-1), bán kính R = 1.


Câu 25. Cho hai vectơ a

1;log 5;3 m

, b

3;log 3; 45

. Với giá trị nào của m thì ab
A. m1;m 1 B. m1 C. m 1 D. m2;m 2
Câu 26. Mặt cầu

 

2 2 2


: 4 1 0


S xyzx  có tọa độ tâm và bán kính R


A. I

2;0;0 ,

R 3. B. I

2; 0; 0 ,

R3. C. I

0; 2;0 ,

R 3. D. I

2;0;0 ,

R 3.
Câu 27. Mặt cầu

 

S tâm I

1; 2; 3

và tiếp xúc với mặt phẳng

 

P :x2y2z 1 0 có phương
trình là


A.

1

 

2 2

 

2 3

2 4.

9
     


x y z B.

1

 

2 2

 

2 3

2 4.


9
     


x y z


C.

1

 

2 2

 

2 3

2 4.
3
     


x y z D.

1

 

2 2

 

2 3

2 16.


3
     


x y z


Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng

 

 đi qua M

0; 2;3

, song song
với đường thẳng : 2 1


2 3


x y


d    z



 và vng góc với mặt phẳng

 

 :x  y z 0 có pt là
A. 2x3y5z 9 0. B. 2x3y5z 9 0.


C. 2x3y5z 9 0. D. 2x3y5z 9 0.


Câu 29. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng qua A

2;5;1

và song
song với mặt phẳng

Oxy



A. 2x5y z 0. B. x 2 0. C. y 5 0. D. z 1 0.


Câu 30. Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng : 1 2 4


2 1 3


x y z


d     


 và


1
' :


2 3


x t


d y t


z t



  


 


   


có vị


trí tương đối là



(12)

12
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

 :x2y2z m 0 và điểm


1;1;1



A . Khi đó m nhận giá trị nào sau đây để khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

 

 bằng 1?
A.2. B.8. C.2 hoặc 8 . D. 3.


Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc
của đường thẳng  đi qua hai điểm A

1; 2;5

B

3;1;1

?


A. 1 2 5.


2 3 4


xyz



 


B.


3 1 1


.


1 2 5


xyz


 




C. 1 2 5.


2 3 4


x y z


D.


1 2 5


.


3 1 1



x y z


Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng  đi qua điểm

2;1; 5 ,



M  đồng thời vuông góc với hai vectơ a

1;0;1

b

4;1; 1



A. 2 1 5.


1 5 1


xyz


 


B.


2 1 5


.


1 5 1


xyz


 





C. 2 1 5.


1 5 1


x y z


  D.


1 5 1


.


2 1 5


x y z


Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1: 2 1 1


1 3 2


x y z


d     


 và


2


1 3



: 2


1


x t


d y t


z t


 


   


   


. Phương trình đường thẳng nằm trong

 

:x2y  3z 2 0 và cắt hai đường
thẳng d1, d2


A. 3 2 1.


5 1 1


x y z


B.



3 2 1


.


5 1 1


x y z


 


C. 3 2 1.


5 1 1


x y z


  D.


8 3


.


1 3 4


x y z




Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng



1


1


: 2


2


x t


d y t


z t


và 2


2


: 1 2


2


x t


d y t


z m t


.



Để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng 0


60 thì giá trị của m bằng


A. m 1 B. m 1 C. 1


2


m D. 1


2


m


Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 62 5
1


x t


d y t


z


và mặt phẳng (P):


3x 2y 1 0. Tính góc hợp bởi giữa đường thẳng

d

và mặt phẳng (P).



(13)

13
Câu 37. Cho số phức z = 1 3i



2 2


  . Số phức (z)2 bằng


A. 1 3i


2 2


  B. 1 3i


2 2


  C. 1 3i D. 3i


Câu 38. Phần ảo của số phức

z

thỏa mãn z2z

2i

 

3 1i



A. 13 . B. 13. C. 9. D. 9 .
Câu 39. Số phức z thỏa mãn : (1 + 2i)z = 3z – i là


A. 1 1


44i B.


1 1
4 4i




C.

 

2

i

2

D.

 

2 2

i




Câu 40. Cho số phức z a bi, khi đó số 1( )
2i zz


A. số thuần ảo B. số thực C. 0 D. i


Câu 41. Trên tập số phức, phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là


A. z 1 i


z 3i


 

  


B.


z 2 3i


z 1 i


 

  


C.


z 3i



z 4i




 


D.


z i


z 4i




  


Câu 42. Gọi z1z2 là các nghiệm của phương trình z2  4 9 0z . Gọi M, N là các điểm biểu
diễn của z1z2 trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là


A. MN4 B. MN5 C. MN 2 5 D. MN2 5


Câu 43. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình 2 2


zzz ?


A. 0 B. 1 C. 3 D. 2


Câu 44. Trong không gian Oxyz cho A

3; 2; 2 , 

 

B 3; 2;0 ,

 

C 0; 2;1

. Điểm G thỏa mãn
0


GA GB GC   . Tọa độ điểm G
A. 2; ;2 1


3 3
G


  B. G

2; 0; 1

C.


2 1
0; ;


3 3
G


  D. G

6; 2; 1


Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu


và điểm . Tiếp diện của (S) tại điểm M
phương trình là


A. B.


C. D.


Câu 46. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào là của mặt cầu tâm I(1;2;3) và tiếp xúc
với (Oyz)?


2 2 2 6 2 4 5 0



(S) : xy  z xyz  M ; ;

4 3 0

  

S


2 2 10 0


xyz  x2y2 10 0z 


2 2 10 0



(14)

14


2 2 2 2 2 2


( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) 4


2 2 2 2 2 2


( 1) ( 2) ( 3) 9 ( 1) ( 2) ( 3) 1


           


           


x y z x y z


x y z x y z


A. B.


C. D.





Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu đi qua và có tâm
thuộc trục Ox có bán kính là


A. B. C. D.


Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  qua A

1; 0; 1

và có véc tơ
chỉ phương u

2; 4; 6

. Phương trình tham số của đường thẳng  là


A.


1 2
: 4


1 6


x t


d y t


z t


   
 

  


B.



2
: 4


6


x t


d y
z t


   
 

  


C.


1
: 2


1 3
x t
d y t


z t


  
  




   


D.


1
: 2


1 3
x t
d y t


z t


  
 

  


Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng


. Vị trí tương đối của và là


A. cắt B. C. và trùng nhau D. và chéo nhau
Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) song song với 2 đường thẳng


2


3 2
1


x t


y t


z t


 

  

  


và 2 1


2 3 4


xyz


 


 . Mặt phẳng (P) có 1 véc tơ pháp tuyến là


A. (-5; 6;-7) B. (5; -6 ;7) C. (-5 ; -6 ; 7) D. (-5 ;6 ;7)


ĐỀ SỐ 3



Câu 1. Khẳng định nào dưới đây là đúng?


A. Mọi hàm số xác định trên tập K đều có nguyên hàm trên đó.


B. Mọi hàm số có giá trị lớn nhất trên tập K đều có nguyên hàm trên đó.
C. Mọi hàm số có giá trị nhỏ nhất trên tập K đều có nguyên hàm trên đó.
D. Mọi hàm số liên tục trên tập K đều có nguyên hàm trên đó.


Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?


A.

f x

   

g xdx

f x dx

 

g x dx

 

B.

k f x dx.

 

k f x dx

 

(k là hằng số)

3 1 0

 

5 5 0



A ; ; , B ; ;


7 4 3 50 5


1


1 1


1
2 4


: 1 3


1 5


x t



d y t


z t


 


   


   


2


2 2


2
1 7


: 3 5


3


x t


d y t


z t



  


   


  


1


d

d

2


1



(15)

15


C.

   

 



3
2


2 '


3


f x


f x f x dx C



D.

   

 



3
2


'


3


f x


f x f x dx C




Câu 3. Một nguyên hàm của hàm số: 2


( ) 1


f x x x


A.



2
2


1
( ) 1



2


 


F x x B.



3
2


1
( ) 1


3


 


F x x


C.



2 2


2


( ) 1


2
x


F x x D.




2
2


1
( ) 1


3


 


F x x


Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f x

 

xcosx
A.


2
sin
2


x


x CB. xsinx c x C os  C. xsinxsinx CD.
2


os
2


x



c x C


Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị yf x( ) và yg x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b


và hai đường thẳng xa x; b
A. ( ) ( ) .


b


a


f xg x dx


B. ( ) ( ) .


b


a


f xg x dx


C.

( ) ( )

.
b


a


f xg x dx


D.

( ) ( )

.



b


a


f xg x dx



Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
1


yx  , trục hoành và 2 đường thẳng
1; 3


xx là
A.


3
2
1


1 .


xdx


B.


3
2 2


1



(x 1)dx.


C.


3
2
1


(x 1)dx.


D.
3


2 2
1


(x 1) dx.



Câu 7. Cho hàm số yf x( ) liên tục và không âm trên [ ; ]a b Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường thẳng xa x; b quay quanh trục hồnh tạo nên một khối trịn xoay. Thể
tích khối trịn xoay là


A. ( ) .
b


a


f x dx



B. ( ) .


a


b


f x dx


C. 2( ) .
b


a


f x dx


D. 2( ) .
a


b


f x dx



Câu 8. Tại một nơi khơng có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt
đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển
động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật

 

2


v t 10tt . Trong đó t (phút) là
thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy


thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là


A.v7 m / p

B.v9 m / p

C.v5 m / p

D.v3 m / p


Câu 9. Khẳng định nào sau đây là sai ?


A.

   

 

 



b b b


a a a


f x g x dx f x dx g x dx


    


 


B. .

 

.

 



b b


a a


k f x dxk f x dx


(k là hằng số)


C. '

   

. 1 2

 

2

 


2



b


a


f x f x dx f bf a


D. '

 

.3 2

 

2

 

2

 



b


a


f x f x dxf bf a




Câu 10. Cho

 


2


1


4
f x dx 


 


5


1


6



f x dx


. Khi đó,

 


5


2


f x dx



(16)

16


A. 10 B. 8 C. 4 D. 2


Câu 11. Tính tích phân
1


0
1


xxdx



A. 1


8 B.


2


11 C.



3


13 D.


4
15


Câu 12. Biết



4


0


1
1 x cos 2xdx


a b






  


. Khi đó giá trị của tích a b. là


A. 32 B. 2 C. 4 D. 12


Câu 13. Tính



4
3
0


I tg xdx




ta được kết quả dạng ablnc. Khi đó tích

a c

.

có giá trị bằng


A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


Câu 14. Công thức nguyên hàm nào sau đây là không đúng?


A. dx lnx C


x  


B.



1


1
1


x


x dx C











   






C.

0 1



ln
x


x a


a dx C a


a


   


D. tan


cos



dx


x C


x 




Câu 15. Tìm nguyên hàm


5
x
x


e


I dx


e





?


A.


5
x


x


e


I C


e


 


B.


1
5
x


I C


e


 


C. 5 ( 5) C


x


I  x ln e   D.I ln

ex 5

C
Câu 16. Một nguyên hàm của hàm số

 

2


cos



x
f x


x


 là


A. xtanxln cosx B. xtanxln cos

x

C. xtanxln cosx D. xtanxln sinx
Câu 17. Biết



0


2 4 0


b


xdx


. Khi đó, b nhận giá trị bằng


A. b0 hoặc b2 B. b0 hoặc b4 C. b1 hoặc b2 D. b1 hoặc b4


Câu 18. Cho

 


2


0


3



f x dx


, khi đó

 


2


0


4f x 3 dx


 


 


bằng


A. 2 B. 4 C. 6 D. 8


Câu 19. Biết
6


0


1
sin cos


64
n


x xdx







. Khi đó, n bằng



(17)

17
Câu 20. Tính tích phân 2


0
sin


x xdx






A. 24 B. 24 C. 223 D. 223
Câu 21. Cho đồ thị hàm số y=f(x)


Diện tích hình phẳng (gạch trong hình) là


A.

 

 



4
3


0 0



f x dx f x dx






B.

 

 



1
3


1 4


f x dx f x dx






C.

 

 



0


3 4


0


f x dx f x dx







D.

 



4


3


f x dx




Câu 22. Nếu gọi S là diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường


0; ; 0; .


2


x


xx yycosx e thì khẳng định nào đây là đúng ?


A. S e2


B. S e2 1


  C. S 12 e2 1




 




  D. Se


Câu 23. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t0(s) chuyển động thẳng với vận tốc v t( )t(5t)
(m/s). Tìm quảng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại ?


A. 125.


6 B.


125
.


12 C.


125
.


3 D.


125
.
9
Câu 24. Thể tích vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2



y = x 2


;xy
quanh trục ox là


A. 2
10


B. 4
3




C.
10


D. 3


10




Câu 25. Điểm biểu diễn số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ?


A. Trục Ox B. Phân giác của góc phần tư thứ I, III. C. Trục Oy D. Gốc tọa độ
Câu 26. Cho các số phức z z z, ,1 2. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai


A. z =z1 2  z = z1 2



B. z = 0 z = 0


C. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãnz 1 là đường trịn tâm O, bán kính R = 1
D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau



(18)

18


A. B. C. D.


Câu 28. Cho số phức z thỏa z i   1 z 2i . Giá trị nhỏ nhất của z


A. 1


2 B. 1 C. 2 D.


1
4
Câu 29. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + z= 2017


A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số
Câu 30. Cho số phức z 3 4i. Khi đó mơđun của z1




A. 1


5 B.


1



5 C.


1


4 D.


1
3
Câu 31. Điểm biểu diễn số phức z ( i)( i)


i


 





2 3 4


3 2 có tọa độ là


A. (1;-4) B. (-1;-4) C. (1;4) D. (-1;4)


Câu 32. Cho số phức z = a + bi. Khi đó số 1

 

z z
2i  là


A. Một số thực B. 0 C. Một số thuần ảo D. i
Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn:(3 2i)z ( 2 i)2 4 i.


Hiệu phần thực và phần ảo của số phức


z là


A. 1 B. 0 C. 4 D. 6


Câu 34. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Số phức z


z ' có phần ảo là


A. aa ' bb '2 2


a b




B. 2 2


aa ' bb '
a ' b '




C. 2 2


aa ' bb '


a b




D. 2 2



2bb '
a ' b '
Câu 35. Thu gọn số phức z = 3 2i 1 i


1 i 3 2i


 




  ta được


A. 21 61i


26 26 B.


23 63


i


2626 C.


15 55


i


2626 D.


2 6



i
1313
Câu 36. Nghiệm của phương trình

4 7 i z

 

 5 2i

6iz


A. 18 13 i


7 7 B. i


18 13


17 17 C. i




18 13


7 17 D. i


18 13
17 17


Câu 37. Gọi z1z2lần lượt là nghiệm của phương trình: z22z 5 0. Tính  z1z2


A. 2 5 B. 10 C. 3 D. 6



(19)

19
Câu 38. Gọi D là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i 1


z i





 . Khi đó D


A. Trục hồnh. B. Trục tung.


C. Đường phân giác y = x. D. Đường phân giác y = -x.


Câu 39. Gọi D là tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho

1



z

i



số thuần ảo. Lựa chọn phương án đúng ?


A. D là trục tung. B. D là trục hoành.


C. D là đường phân giác thứ nhất y = x D. D là trục tung bỏ đi điểm I(0; 1).


Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a(3;0; 2) , c (1; 1;0). Tìm tọa
độ của véc tơ b thỏa mãn biểu thức 2b a 4c0


A. 1; 2; 1
2


 


 


 . B.



1
; 2;1
2


 


 


 . C.


1
; 2;1
2




 


 . D.


1
; 2; 1
2





 


 .


Câu 41. Cho mặt cầu

 

2 2 2


: 2 4 2 0


S xyzxyz . Tâm và bán kính mặt cầu

 

S
A. I

1;2;1 ,

R6 B. I

1; 2; 1 , 

R6


C. I

1; 2; 1 , 

R 6 D. I

1;2;1 ,

R 6


Câu 42. Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng

 

P :x y 2z 5 0,

 

Q :x2y  z 3 0 có phương trình là


A.

2 2 2 1
4


5


   


x y z . B.

4

2 2 2 1


6
   


x y z .



C.

2 2 2 1
4


7


   


x y z . D.

4

2 2 2 1


8
   


x y z .


Câu 43. Phương trình mặt phẳng

Oxz

trong khơng gian Oxyz có dạng


A. x0 B. x z 0 C. y0 D. Đáp án khác.


Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M

1; 2;1

. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M
cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho 12 12 1 2


OAOBOC đạt giá trị nhỏ nhất.
A.

 

P :x2y3z 8 0 B.

 

P :x   y z 4 0


C.

 

P :x2y  z 6 0 D.

 

: 1


1 2 1
x y z


P   



Câu 45. Trong k/gian Oxyz cho đường thẳng 1 2
1


1 2


: 2 ; :


1 1 3


1 3


x t


x y z


d y t d


z t


 


 


   



  




(20)

20
A. Cắt và vng góc B. Cắt nhưng khơng vng góc


C. Song song D. Chéo nhau


Câu 46. Trong không gian Oxyz cho A(3;2;0), đường thẳng d :x 1 y 3 z 2


1 2 2




. Khoảng cách
từ điểm A đến đường thẳng d là


A. 2 B. 3 C. 4 D. 5


Câu 47. Trong khơng gian Oxyz gọi d là phương trình đường thẳng qua A

1; 2;0

và có một
véctơ chỉ phương là u

1;2; 3

. Khẳng định nào dưới đây là sai?


A.


1


: 2 2


3


x t



d y t


z t


 


   


  


B. : 4 2
3 3


x t


d y t


z t





   


  



C.


1


: 2 2


3


x t


d y t


z t


 


   


 


D. : 4 2
1 3


x t


d y t



z t


 


   


  




Câu 48. Trong khơng gian Oxyz gọi d là phương trình đường thẳng qua A

1; 2;0

B

2;0;1

.
Khẳng định nào sau đây là đúng?


A.


1


: 2 2


1


x t


d y t


z t



 


   


  


B.


2


: 2


1


x t


d y t


z t


 

 


   




C. : 2 1


1 2 1


x y z


d     D. : 3 2 1


1 2 1


x y z


d     


Câu 49. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng


1


: 2


2


x t


d y t


z t



 

 

 


; : 1 2


2 3 1


xyz


   và gọi 
là góc giữa d và . Khi đó cos có giá trị bằng


A. 5 13


21 B.


5 14


21 C.


5 15


21 D.


5 17
21



Câu 50. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng


1


: 2


2


x t


d y t


z t


 

 

 


mặt phẳng

 

P : 2x3y  z 1 0
và gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó cos có giá trị bằng


A. 89


21 B.


91



21 C.


5 15


21 D.


5 17
21


Câu 51. Phương trình đường thẳng trong khơng gian Oxyz đi qua điểm A

1; 2;1

và song song
với đường thẳng : 1


2 1 1


x y z


d   


 có phương trình là


A. 1 2 1


2 1 1


x yz


B.


1 2 1



2 1 1


x y z



(21)

21


C. 3 1


2 1 1


x y z


D. Đáp án khác


Câu 52. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vng góc của điểm P

2; 1;3

trên
đường thẳng


3
7 5
2 2


x t


y t


z t






   


  


là điểm có tọa độ nào sau đây:


A.(-3; 2; 4) B. (-3; -2 ;-4) C. (3;-2;4) D. (3;-2;-4 )


Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3 1 1


2 1 2


y


x z


d      và
điểm M(1;2;-3). Mặt cầu tâm M, tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính R bằng bao nhiêu?


A. R2 B. R2 5 C. R2 2 D. R = 4.


Câu 54. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2)  vàB(1;1;1). Phương
trình chính tắc đường thẳng d đi qua A và B là:


A. : 1 2


1 1 1


y


x z


d     B. : 1 2


1 2 3
y


x z


d    


C. : 1 2


1 2 3
y


x z


d    


D.


1 2
:


1 2 3
y



x z


d    


Câu 55. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d): và mp
(P): . Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là:


A. B. C. D.


Câu 56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng


. Góc giữa hai đường thẳng trên là:


A. B. C. D.


1 2


1 1 1





x y z


2 2 4 11 0
xyz 


30 45 60 0


1 2



1 1 1





x y z


2 3 1


2 2 4





x y z





×