Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Tĩnh năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (257.65 KB, 7 trang )

(1)

SỞ GD& ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

MƠN: TỐN
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ

Câu 1. Đường thẳng yaxbđi qua điểm 1;4
2
A_ _

 và B

 

2;7
Tính M  313a5b b 313a5b b

Câu 2. Dãy số

 

a_n thỏa mãn a_n_₁ a_n   3, n *và a₂ a₁₉ 25.Tính tổng

1 2 ... 20

S  a a  a

Câu 3. Cho hai số thực a b, thỏa mãn

3 2

2 7 0
.
2 3 5 0

a a a

b b b

    




   

 Tính a b

Câu 4. Viết phương trình đường thẳng dđi qua A

 

1;2 và cách gốc tọa độ O một khoảng
lớn nhất.

Câu 5. Cho số thực a0.Tìm GTNNcủa

4 3 2

3 1

a a a a

a a

   





Câu 6. Cho các số a b c, , khác 1và các số , ,x y zkhác 0 thỏa mãn

x by cz
y cz ax
z ax by

 



  


  


Tính tổng 1 1 1

1 1 1

a b c

  

  

Câu 7. Cho đa thức P x

 

x4 ax3 bx2 cxd. Biết P

 

1 3;P

 

2 6;P

 

3 11.
Tính Q4P

 

4 P

 

1

Câu 8. Tìm các số thực abiết a 15và 1 15

a  đều là các số nguyên.
Câu 9. Cho góc nhọn có tan 2.Tính

2 2

2sin 3sin cos cos
sin cos cos 1

M    

  

 



 

(2)

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 11. Giải phương trình :3 24 x 12 x 6

Câu 12. Cho tam giác ABCvng tại A có đường cao AH

a) Khi AB12cm,tỉ số giữa bán kính đường trịn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác bằng
2

5 Tính diện tích tam giác ABC

b) Gọi E F, lần lượt là hình chiếu của Hlên AB AC,
Chứng minh rằng: BE CH CF BH  AH BC

(3)

ĐÁP ÁN
Câu 1.

Đường thẳng yaxbđi qua điểm 1;4
2
A_ _

 và B

 

2;7 nên

2 8 2

2 7 3

a b a

a b b

  
 

 _{ }  _
 
Khi đó



 







3 3 ₃ ₃

26 15 3 26 15 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3

M             

Câu 2.

Ta có: a₃ a₂ 3;a₄ a₃ 3 a₂ 2.3;...a₁₉ a₂ 17.325a₂ a₂ 17.3

2 13 1 2 3 16

a a a

       

Vậy S     a₁ a₁ 3 a₁ 2.3 ...  a₁ 19.320a₁3. 1 2 3 ... 19



   



250
Câu 3.
Ta có:













3 2
3 2
3 2
3 2
3

3 2 2

2 7 0

1 1 0

2 3 5 0 1 6 0

a a a
a a a

a b b a
b b b b b

    
    
 _ _ _ _ _ _ _ _
 
       
 _
 _





₂



 



1 1 1 1 0 1

a b a a b b a b  a b

   _           _

Câu 4.

Gọi phương trình đường thẳng d là yaxb.Vì

 

d đi qua A

 

1;2   a b 2

Gọi M N, lần lượt là giao điểm của dvới trục Oy Ox, và khoảng cách từ O đến d là OH

Ta có





2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1

2 1

4 4

5 5

1 1 1

a a
OH OM ON b b b

a
b a a

a a a


    
 
 
     
  

Dấu " " xảy ra

1
2_.
5
2
a
b
  

 
 


Do đó phương trình đường thẳng (d): 1 5
2 2
y  x

Câu 5.
Vì a0nên

2
2
1 1
3
.
1
a a
a a
P
a
a

   

 Đặt
1
2
t a
a

(4)

Ta có:

1 1 3 1 3.2 7

1 2 . 1

4 4 4 4 2

t t t t t
P

t t t

 

        

Do đó GTNN của Plà 7 1
2  a
Câu 6.

Ta có:





x by cz x a ax by cz

a ax by cz

        

  

Tương tự: 1 ; 1

1 1

y z

b axbycz c  axbycz





ax by cz

x y z

ax by cz ax by cz

 

   

   

Câu 7.

Đặt

 





 

2 1 0; 2 0; 3 0

R x P x  x  R  R  R 

Do đó R x

  

 x1



x2



x3



xm



  









1 2 3 2

P x x x x x m x

       

Vậy Q4. 3.2.1 4_



m



18_ 

      

2 . 3 . 4 .  1 m



 3 195
Câu 8.

Đặt x a 15; y 1 15



x y,



    

Ta có: 1 15 16





15
15

y xy y x

     



Nếu yxthì vế phải là số vơ tỉ cịn vế trái là số ngun, vơ lý. Do đó x y

16 0 4.

xy x y

       Thay vào ta tìm được 4 15

4 15

a
a

  


  


Câu 9.
Ta có:

2 2

2
2

2 2

2sin 3sin .cos cos

2 tan 3tan 1 15
cos

sin cos cos 1 tan 1 1 tan 8
cos

   

 



    



 

  

(5)

Câu 10.

Ta có 1

2 2

AD ID AB

AB  IB    .

Mặt khác





2 ₂

2 2 2 2

15 5
4

AD  AB BD   AB 

30( ) 15 .

AB cm AD cm

   

Lại có 1 2

AD AB DC AD

BC DC

DC  BC  BC  AB   
Mặt khác





2 2 2 2

900 15 4 25( ) 40( )

AB  AC BC   DC  DC DC cm AC  cm
Vậy diện tích tam giác ABClà 600cm2

Câu 11.

ĐKXĐ: x12. Đặt





2
3

3 2

6
24

6 36 0

12 0

a b

x a

a a
a b

x b

     

 _ _ _ _ _ _

  _ _

   









0 30
4

0 24 0

*) 24( )

6 12 36

3 24 27

*) 3( )

3 12 9

4 24 64

*) 88( )

10 12 100
a

a a a a

a x

x tmdk

b x

a x

x tmdk

b x

a x

x tmdk

b x





    _ 

  


  

 

   

 _  _{ }

 

  

 

  

 _  _{ }

 

   

 

   

 _  _{ }

 

(6)

Câu 12.

a) Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC thì I là tâm đường
trịn nội tiếp tam giác ABC. Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vng góc của Itrên

, , .
AB AC BC

Đặt BC2OA2 ;R IM INIPr
Theo bài thì 2 5

5
r

BC r

R   

Ta có AC2 BC2 AB2 25r2 144

Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau thì BM BP CP, CFvà tứ giác AMINlà hình vng
nên AM  ANr

Do đó ABAC r BM  r CE2rBP CP 2rBC7rAC7r12
Từ đó ta có:





2 2 3

25 144 7 12 7 12 0

r
r r r r




      _{  }




Với r3cmthì AC9cmS_ABC 54cm2
Với r4cmthì AC16cmS_ABC 96cm2

b) Ta có: BE CF CF BH AH BC BE BC CH. . CF. BC BH.  AH BC.

O

F

E

H P

N

M

I

A

B

(7)

Ta lại có : EH / /ACnên BE EH AF BE AC. AB AF AEHF. (

AB  AC  AC   là hình chữ nhật)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:





. . . ( )

BE BC CH CF BC BH BE ACCF AB AB CF AF AB AC AH BC dfcm
Câu 13.

Gọi xlà giá mới mà doanh nghiệp phải bán. ĐK: x0 đơn vị: triệu đồng

Theo bài ra số tiền mà doanh nghiệp sẽ giảm là: 27x(triệu đồng) mỗi chiếc
Khi đó, số lượng xe tăng lên là: 20. 27



x



: 0,1 200 27



x



(chiếc)

Do đó số lượng xe mà doanh nghiệp bán được là:





600200. 27x 6000 200 x (chiếc)

Vậy doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là:



6000200x x



(triệu đồng)
Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là:



6000 200 x



.23(triệu đồng)
Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được sau khi bán giá mới là:



 











2
2
2

6000 200 6000 200 .23 200 10600 138000

200 53 690 200 26,5 2450 2450

x x x x x

x x x

      

        