Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (238.13 KB, 6 trang )

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MƠN: TỐN LỚP 9

NĂM HỌC : 2018-2019

Câu 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4
chữ số đơi một khác nhau lớn hơn 2019.

Câu 2. a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n,số A3n3 15n chia hết cho 18
b) Một đoàn học sinh tham quan quảng trường Đại đồn kết tỉnh Gia Lai. Nếu mỗi ơ tơ
chở 12 người thì thừa 1 người. Nếu bớt đi 1 ơ tơ thì số học sinh của đồn được chia
đều cho các ơ tơ cịn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô?
Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người.

Câu 3. 1) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh
đáy lần lượt là 20 cm và 1 cm. Người ta xếp cây nến trên vào 1 cái hộp có dạng hình
hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Tính thể tích cái hộp

2) Cho đường trịn



O R;



và điểm I cố đinhk nằm bên trong đường tròn (I khác O).
Qua điểm I dựng hai cung bất kỳ ABvà CD.Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của

, , ,
IA IB IC ID

a) Chứng minh rằng bốn điểm M N P Q, , , cùng thuộc một đường tròn

b) Giả sử các dây cung ABvà CDthay đổi vng góc với nhau tại I. Xác định vị trí
các dây cung ABvà CDsao cho tứ giác MNPQcó diện tích lớn nhất.

Câu 4.

a) Giải hệ phương trình













3
2

4 3

1 4 2 5 2 1 5

5 10

x y y x

x x y x y y

 _{ } _ _ _ _ _ _




   



b) Cho , ,x y z0thỏa mãn x2  y2z2 2xyz1.
Tìm GTLN của Pxy yzzx2xyz

(2)

ĐÁP ÁN
Câu 1.

Gọi số cần lập có dạng abcd 2019với a b c d, , ,  ;2 a 9,0b c d, , 9

Xét a2nếu b0thì ta có các số từ 2031 đến 2098. Có 7 cách chọn c, có 7 cách
chọn .d Do đó có 7.7 49 số thỏa mãn. Nếu b0thì có các số từ 2103đến 2198. Có 8
cách chọn b, 8 cách chọn c và 7 cách chọn d. Do đó có 8.8.7448số thỏa mãn

Xét a3thì có các số từ 3012 đến 9876, có 7 cách chọn a, 9 cách chọn b , 8 cách chọn
c và 7 cách chịn d, do đó có: 7.9.8.73528số thỏa mãn

Vậy có tất cả 49 448 3528  4025số thỏa mãn bài toán
Câu 2.

a) Ta có: A3n3 3n18n3



n1

 

n n 1



18nchia hết cho 18

b) Gọi số ô tô là .a ĐK: a ,a1.Vì bớt đi 1 ơ tơ thì số học sinh của đồn được
chia đều cho các ơ tơ cịn lại, nghĩa là



12a1

 

a 1





a 1





a1







 





13 a 1 a 1 U(13) 1;13 a 2;14

       

Với a2thì số học sinh là 25 em, khi bớt đi 1 ơ tơ thì cịn 1 xe chở 25 em (quá 16
em) vô lý

(3)

Câu 3.

1) Ta có đáy cây nến nội tiếp hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Khi đó ABCDlà
mặt đáy hình hộp chữ nhật có chiêu cao bằng chiều cao cây nến h20cm
Ta có: BCEF 2EH 2KE.sinEKH 2.1.sin 600  3

2 2.1 2
AN KM  MI  

Vậy thể tích cái hộp là AB BC h. . 40 3(cm3)

H

B

C

D

A

F

E

I

(4)

a) Ta có MI MA QI, QDnên MQlà đường trung bình AIDMQ/ /AD
Tương tự NPlà đường trung bình BICNP/ /BC

Do đó NMQBADNPQnên tứ giác MPNQnội tiếp
b) Kẻ OH  ABtại H và OK CDtại K

Ta có ABCDOHIKlà hình chữ nhật

Do đó 2 2



2 2

 

2 2 2 2

 

2 2



4 4 4 2

AB CD  BH CK  R OH R OK  R OI

Diện tích tứ giác MPNQlà





2 ₂ ₂

. . 2

2 8 16 4

AB CD

MN PQ _ AB CD _  _ R OI

khơng đổi
GTLN của diện tích tứ giác MPNQlà

2 2

2
4

R OI

, khi đó ABCD

Câu 4.

K

H

P

M

N

Q

B

D

O

C

(5)

a) ĐKXĐ: _x _1;_y_2;



_x₁



3₂_y      _{5 9} ₁ _x ₁ 3₉

Từ phương trình 5x4 



xy



2 



10x3 y y





 











3 2

5x x 2y x x 2y 0 x x 2y 5x 1 0

        

Xét x0thay vào phương trình thứ nhất ta được 4 2 y  4 2 y 4

2 2

8 2 16 4y 16 4 y 2 y 0(tmdk)

        

Xét 2y xthay vào phương trình thứ nhất ta được







1 4 1 4 5

x   x x x 

Đặt







1 4 0 1 4 .

t
x     x t x x  
Ta có phương trình: 2







2 15 0 5 3 0 3

t  t   t t   t







0 0

1 4 2 3 0 ₃

x y

x x x x

x y
  



        
   


Vậy phương trình có nghiệm

   

; 0;0 ; 3; 3
2
x y   _ _

 

 

b) Theo nguyên lý Dirichle thì trong 3 số 2x1;2y1;2z1bao giờ cũng tồn tại ít
nhất 2 số cùng dấu. Giả sử 2x1;2y1cùng dấu. Khi đó



2x1 2



y  1



0 2



x y



4xy1





2 .

2
z
z x y xyz

    Từ giả thiết x2  y2 z2 2xyz  1 1 z2 x2  y2 2xyz





2 2 2 1 .

xy xyz xy z xy 

      Do đó 2 1 1

2 2 2
z z
Pxyyzzx xyz   

Vậy GTLNcủa P là 1.

2 Đạt được khi và chỉ khi

1
2
x  y z

Câu 5.

(6)

- Nếu chỉ có 2 số dư giống nhau. Khi đó phải có 3 số chia cho 3 có số dư lần lượt
là 0,1,2 nên tổng của chúng chia hết cho 3

- Nếu có ít nhất 3 số dư giống nhau. Khi đó tổng của chúng luôn chia hết cho 3
Ta chia 17 số có trong khoảng từ 1 đến 907 thành 3 nhóm: Nhóm I gồm 5 số, nhóm II
gồm 5 số và nhóm III gồm 7 số. Mỗi nhóm ln tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.
Giả sử tổng của 3 số đó ở mỗi nhóm lần lượt là 3 ,3 ,3a b c a b c



, ,  * .



Còn lại