Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (242.44 KB, 6 trang )

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG NAI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 29/3/2019
Câu 1. (4,5 điểm)

1) Cho

 

x y; là nghiệm của hệ phương trình 1

2 3 3

x y m

  


 _ _{ }

 (với mlà tham số thực)

Tìm mđể biểu thức Px2 8yđạt giá trị nhỏ nhất
2) Giải hệ phương trình

2 2

3 3

1
1

x y

  




  

 (với ,x ythuộc R)

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Giải phương trình x4 9x324x2 27x 9 0



x



2) Cho ba số thực dương a b c, , .Chứng minh:

3 4

a b c a b c

b c a a b b c c a

 

    _   _

  

 

Câu 3. (4,5 điểm)

1) Cho a b c, , là ba số nguyên khác 0 thỏa 1 1 1.

a  b c Chứng minh rằng : abcchia hết
cho 4

2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Câu 4. (2 điểm)

Cho 1 2 3 ... 99

1 2 2 3 3 4 99 100

A    

    là tổng của 99 số hạng và

2 3 4 ... 100

B     là tổng của 99 số hạng
Tính AB.

Câu 5. (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D E, lần lượt là hai tiếp điểm
của AB AC, với đường trịn

 

I .Biết ba góc BAC ABC BCA, , đều là góc nhọn. Gọi M và

Nlần lượt là trung điểm của hai đoạn BCvà AC
1) Chứng minh : 2AD ABACBC

(2)

Câu 1.
1) Ta có:





1 3 3 3 3 2 2

2 3 3 2 3 3 1 1

x y m x y m x m x m

x y m x y m y x m y m

       

   

    

 _ _{ }  _ _{ }  _{  }  _{ }

   

Ta có: Px2 8y4m2 8



m 1



4m2 8m 8



2m2



2 12 12
Dấu " " xảy ra khi 2m    2 0 m 1

Giá trị nhỏ nhất của Plà – 12 khi m 1













2 2

3 3 3

2 1
1

1 ₃ ₁

x y xy

x y

x y _x _y _{xy x} _y

   

  
 _
 
  
     
 _

Đặt x y S
xy P
 

 

Ta có:









2
2
2
3 2
3 3
3
2
2
2
2
3
2
2
1
1

2 1 ₂

3 1 1

2 3 3 2 0

3 . 1

2
1
1
1
2
2
2 ₁

1 5 5 2 0

5 3 2 0

5 5 2 0( )

1
0 1
2
1
1

S
S
P

S P P

S SP S

S S S

S S
S
P
S
S _P
P
S

S S S

S S

S S VN

P x y

P
S xy

S
 _  _ _

   
 _ _
  
   
  _ _{ } _ _ _ _{ }

 
  
 _  _ 
  
_ _ _ _{ }

 _ _{ }  _ _ _ _ _
 _ _ _ _{ }


 _  _ _ _{  }

_ _{  } 


  

0
1
0 0
1

x
y
y
x
 

 _
 __
 _



 _{ }



(3)

Câu 2.

1. Giải: x4 9x324x2 27x 9 0 *

 

Với x0, *

 

0x  9 0 phương trình vơ nghiệm
Với x0,chia hai vế của phương trình (*) cho x2:

 

2 2

27 9 3 3

* x 9x 24 0 x 9 x 18 0

x x x x

   

      _  _  _  _ 

   





2
2

3 0

3 3 0( ) 3 6

3 3

3 6 0

3 ₆ ₀ 6 3 0 3 6

3 6

x x VN x

x x

x x _x x x x

x
S

   

 _{ } _{ }  _{ }

  

_   _   _   _ _{ } 

 


 _{  }  


 

2. Ta có:

3 4

1 1 1 4

a b c a b c

b c a a b b c c a

a b c a b c

b c a a b b c c a

 

    _   _

  

 

       

_  _{ }  _{ }  _ _   _

  

       

















2 2 2

4 4 4

a b a b c b c a c

b a b c b c a c a

a b b c c a

b a b c b c a c a

  

      

  

  

   

  

Ln đúng vì , ,a b clà các số dương. Dấu bằng xảy ra khi a b c

Câu 3.

1. Ta có: 1 1 1 bc a b





(1)
a   b c  

(4)

+)Với b chẵn, mà a lẻ nên cchẵn, (vì bcchẵn nên a b



c



chẵn suy ra c chẵn, vì alẻ),
suy ra abcchia hết cho 4

+)Với cchẵn, tương tự abcchia hết cho 4

2) Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000. Suy ra A1000

B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà không nguyên tố cùng nhau với
999.

C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Ta có: 9993 .373

B=(số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3) – (số các số
các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3)
+Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3 là:

999 3

1 333
3

 _{ }

+Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 là

999 37

1 27
37

 _{ }

Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết
cho 111) là: 999 111 1 9

111

 _{ }

Số các số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia
hết cho 3 là : 27 9 18 

Suy ra B333 18 351.  Vậy C  A B 1000 351 649 

Câu 4.

Ta có:



 





 



1 2 3 99

...

1 2 2 3 3 4 99 100

2 1 2 3 2 3 4 3 ... 98 99 98 99 100 99

1 2 3 4 ... 99 99 100

A    

   

          

       

(5)

100 100 1 999

A B

    

Câu 5.

a) Gọi Flà tiếp điểm của BC với đường trịn (I)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AD AE BD; BF CE; CF
Suy ra: ABACBC



ADDB

 

 AECE

 

 BF CF



 AD AE2AD.

b) Gọi S là giao điểm của BIvà MN. Ta cần chứng minh D E S, , thẳng hàng.
Thật vậy:

Do MN là đường trung bình của tam giác ABCnên MN / /ABB₂ BSM (so le trong)
và B₂ B₁BSM B₁suy ra MBScân tại M nên MBMS MC

Tam giác BSCcó đường trung tuyến 1

SM  BCnên tam giác BSCvuông tại S
Ta có:

Tứ giác IECFvà IESClà các tứ giác nọi tiếp (đường trịn đường kính IC)
Nên 5 điểm , , , ,I E S C F cùng thuộc đường trịn đường kính IC

2

1

2

S

N

M

D

E

I

A

(6)

Lại có tam giác ADEcân tại A nên

1 1

180

90 (2)

2 2

A A

AED ADE    B C

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai năm 2018 - 2019

 





 

































 

 

 







































 

 





 





 

 



2

1

1

2

S

N

M

D

E

I

A

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về