Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (259.67 KB, 7 trang )

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐIỆN BIÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN
Ngày thi: 09/4/2019
Câu 1. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức 1 : 1 2 1

1 1 1

x
P

x x x x x x

 _{ } _

 _ _{ }  _

      

 

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của xđể biểu thức Q xPnhận giá trị nguyên

2. Cho



x x2 1 2



y 4y2  1



1.Tính giá trị biểu thức x38y32019
Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2x2   x 3 3x x3
2. Giải hệ phương trình:

3
3

6
2
8

3 2

x
y
x

  




   



Câu 3. (3,0 điểm)

1. Chứng minh:









1 1 1 1

... 1 *

2 2 1 1 3 32 2   n1 n 1 n n   n1  n
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A5x2 9y2 12xy24x48y82
Câu 4. (6,0 điểm)

1. Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn

 

O . Kẻ các đường cao BE CF,
của ABC E



AC F, AB



.Các đường cao BE CF, cắt (O) lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng MNsong song với EF OA; vng góc với EF.

b) Gọi Hlà trực tâm của ABC.Chứng minh rằng CH CF. BH BE. BC2

2. Cho điểm O thuộc miền trong của ABC.Các tia AO BO CO, , cắt các cạnh của BC,
,

AC ABlần lượt tại , , .G E F Chứng minh tổng OA OB OC

AG  BE CF khơng phụ thuộc vào
vị trí điểm O

Câu 5. (2,0 điểm)

(2)

ĐÁP ÁN
Câu 1.

1. a) Điều kiện : x0;x1































1 2

1 : 1

1 1 1

1 1 2

: 1

1 1 1 1

1 1

: 1

1 ₁ ₁

1 1

. 1

1 ₁ ₁

1 1

1 1 1

x
P

x x x x x x

x x

x x x x

x x x

x _x _x

x x

x _x _x

x x x x

x x x

 _{ } _

 _ _{ }  _

      

 

 

 _{ }  _ _

_ _{ }  



   

 _{ } _

  

 

 _ _

 

 

 

 _ _

  

  

  

1 1 1

1 1 1 1 1

x x x

Q x P x

x x x x x



        

    

b) Để Q thì x1là ước của 1

0( )
1 1

2( )

1 1

x tm

x VN

    



 

 
  

 



Vậy x0thì Q
2) Ta có:



2 2







2 2 2

2 2

1 2 4 1 1 2 4 1 1

2 1 4 1 (1)

x x y y x x y y x x

x y x y

             

     

Tương tự ta có:



2 2







2 2 2

2 2

4 4 1 1 2 4 1 1 2 4 1

2 4 1 1 (2)

y y x x y y x x y y

x y y x

             

(3)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 2



x2y



  0 x 2y0

Mặt khác x38y3 2019



x2y





x2 2xy4y2



20192019( ....Vi x2y0)

Câu 2.

1.Đặt xa, x  3 b 0

Ta có phương trình: 2 2







2a b 3ab 0 ab 2ab 0

TH1: a  b x x3

1 13

0 ₁ ₁₃

2
3 0

1 13
2
x

x _x

x
x x

x


_






  _ 

_ _  

  

 _


 _


TH2: 2a b 2x x3

0 ₁

4 3 0 ₃

x _x

x x






 _{ }_

_ _  

  

 _{  }




Vậy 1 13;1
2

S    

 

 

3
3

2(1)

: 0

3 2 (2)

x
y

DK y
x

  

 _



   



Cộng PT (1) với PT (2) ta được:

3 2

8 6 2 2 4

3 0 x 3 0

x x x x

y y y y y

      

_  _{ }  _ _  _    _

(4)

TH1: x 2
y

 thay vào phương trình (1) ta được:







3 2

8 6

2 2 6 8 0 1 2 0

1 2

2 1

y y y y

y y

y x

         

  


  _{    }


TH2: x2 2x 4₂ 3 0 x2 2x 1₂ 1₂ 3 0

y y y y y

   

_    _ _   _  

   

2
2

1 1

3 0( )

x VN

y y

 

_  _   

 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

    

x y; 



2;1 ;  1; 2





Câu 3.

1. Ta có:











 































1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1

... ...

2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

...

1 2 2 3 1

1 1 1

... 1

2 2 1 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n

              

   

      

    

       

      



    

    

2. Ta có:



 



























2 2

2 ₂

2 2

5 9 12 24 48 82

9 12 4 4 4 4 4 5 24 82

3 2 4 8 18

3 2 4 4 2

3 2 8 4 2 2

A x y xy x y

y y x x x x x

A y x x x

A y x x

     

 

_     _    

_   _   
_   _   

(5)

A Dấu bằng xảy ra khi

16
3 2 8 0

3
4 0

y x x

x


   

 _

 _{ } 

 _{ }_

GTNN của

2 ₁₆

3
x
A

y




  



Câu 4.

1. a) Ta có Tứ giác BFECnội tiếp

BCF FEB(cùng chắn cung BF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC)
BCF BMN(cùng chắn cung BN của đường tròn (O))

/ / ( ) (*)
BMN FEB MN FE dfcm

  

D

H

N

M

E

F

O

A

B

(6)

Ta có: OM ON R (1)

Mặt khác : ECF FBE(cùng chắn cung EFcủa đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC)
(2)

ECF FBE AM AN AM AN

     

Từ (1) và (2) suy ra OAlà đường trung trực của MN

 

**
Từ (*) và (**) OAEF

1b) Gọi D là giao của AH với BC. Ta có : ADBC
CDH CFB

  (Cchung; D F 90 )0 CH CD CH CF. CB CD. (3)
CB CF

   

(
BDH BEC B

  chung; D E 90 )0 BH BD BH BE. BC BD. (4)
BC BE

   

Cộng vế với vế (3) và (4) ta được:





. . . .

. . .

CH CF BH BE CB CD BD BC

CH CF BH BE BC CD BD BC

  

    

Đặt S_AOB S S₁; _AOC S S₂; _BOC S₃

Ta có: 1 _; 3 1 1 3 ₍₁₎

ABE BEC ABE ABC

S BO S BO S S S BO

S BE S BE S S BE



    

G

E

F

A

B

_C

(7)

3 2 3 2 2 3

1 2 1 2 2 1

; (2)

; (3)

BCF ACF BCF ACF ABC

ABG AGC ABG AGC ABC

S CO S CO S S S S CO

S CF S CF S S S CF

S AO S AO S S S S AO

S AG S AG S S S AG



     



     

Cộng vế với vế: 2



1 2 3



2
ABC

S S S
AO BO CO

AG BE CF S

 

   

Vậy tổng AO BO CO

AG  BE CF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O.
Câu 5.



















3 3 3

3 3

3
3

3 3 2

3 2

1 2 1 2 4 ₁

1) 1 2 4

1 2 2 1

2 1 1 2 1

2 1

2 1 0 3 3 1 0

3 3 3 4
x

x x x x

x x x x x

x x x

  

    

 

      



        

    

4 2
P

   là một số chính phương.

2) x2 2y2 5 (5).Từ phương trình (5) xlẻ  x 2m1



m



Thay vào phương trình (5) ta được:





2 ₂ ₂ ₂





₂

2m1 2y  5 4m 4m2y  4 2m m 1 y 2(6)
Từ pt (6)  ychẵn  y 2k k







Thay vào (6) : 2m m



 1

  

2k 2  2 2m m



 1



4k2 2





1 2 1 (7)

m m k

   