Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ năm 2018- 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA
LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018-2019

Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút
A. TRẮC NGHIỆM (8 điểm)

Câu 1. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương nsao cho

2
1024

15

n



là số tự nhiên

A. 1 B. 4 C. 3 D. 5

Câu 2. Cho hình thang ABCDcó hai cạnh đáy AB CD, sao cho AB4,CD9,

DABDBC. Độ dài đường chéo BDbằng:

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng di qua điểm M

 

2;5 và song song với
đường thẳng y2xcó phương trình là:

A. y2x1 B. y2x1 C. y  2x 9 D. y  2x 1

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm A

 

2;3 và B

 

6;1 .Độ dài đường cao hạ
từ đỉnh O của tam giác OAB bằng:

A. 5

2 B.

5 2

2 C. 5 2 D.

2
2

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho bốn điểm A

  

2;3 ;B 2; 2 ;

 

C  2; 2



,D



3;3



.
Diện tích tứ giác ABCD bằng:

A. 15

2 B.

15 2

2 C. 15 D. 30

Câu 7. Cho bốn điểm A B C D, , , nằm trên đồ thị hàm số y x2sao cho ABCDlà một tứ giác
lồi nội tiếp đường trịn đường kính AC.Gọi M x y



₁; ₁

 

;N x y₂; ₂



lần lượt là trung điểm của

, .

AC BD Giá trị y₁y₂ bằng:

A. 0 B. 2

2 C. 1 D. 2

Câu 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB3,AC 4và phân giác AD. Giá trị

DCDBbằng:
A. 1

7 B.

3

7 C.

4

7 D.

5
7

Câu 9. Gọi S là tập nghiệm của phương trình, số nghiệm của phương trình
2

1 ... 2019 2019 2020

x   x  x x  x là:

A. 2 B. 4 C. 2019 D. 2020

Câu 10. Biết x 3 2 3  3 2 3là một nghiệm của phương trình x3



a1



x2a0.

Giá trị  a a2 1bằng:
A. 3 1

2



B. 3 1 C. 6 2
2



D. 3 1

Câu 11. Cho tam giác ABCvng tại A có đường cao AH,trung tuyến AM. Biết
24

25

AH

A. 3,5 B. 7 C. 8,75 D. 14

Câu 12. Cho tam giác ABCvng tại A có AB 5, đường cao AH 2.Kẻ HK vng
góc AC K( thuộc AC). Độ dài CK bằng:

A. 3 5

2 B.
8 5

2 C.

5 5

2 D.

16 5
5

Câu 13. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng-ten 100m. Biết rằng học sinh đó nhìn
thấy đỉnh tháp ở góc 19 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng 0
1,5 .m Chiều cao của tháp (làm tròn đến đơn vị mét) bằng:

A. 34 B. 35 C. 36 D. 38

Câu 14. Tỉ số giữa bán kính đường trịn nội tiếp và bán kính đường trịn ngoại tiếp của một
tam giác đều là:

A. 1

4 B.

1

3 C.

1

2 D.

2
3

Câu 15. Cho tam giác ABC vng tại A, đường trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với
BC tại D. Biết BD2DC10.Diện tích tam giác ABCbằng:

A. 25 B. 50 C. 50 2 D. 100

Câu 16. Có tất cả bao nhiêu cách xếp bạn An, Bình, Cường, Thắng , Việt ngồi thành một
hàng ngang sao cho hai bạn Thắng và Việt không ngồi cạnh nhau.

A. 48 B. 72 C. 96 D. 118

B. Tự luận (12 điểm)
Câu 1. (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương đôi một phân biệt ln tồn tại 4 số có

tổng là hợp số

b) Bạn Thắng lần lượt chia số 2018 cho 1;2;3;4…;2018 rồi viết ra 2018 số dư tương
ứng sau đó bạn Việt chia số 2019 cho 1;2;3;4;….;2019 rồi viết ra 2019 số dư tương
ứng. Hỏi ai có tổng số dư lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu.

Câu 2. (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:









3 3

2 1 0

3 32 0

x y xy

x y x y

   




    



b) Giải phương trình:







2

1

10 11 1

x x x

x

 _  _{  }

 

 

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABCnội tiếp

 

O ,D thuộc đoạn BC (D không trùng B, C) và

 

O' tiếp
xúc trong với O tại K, tiếp xúc với đoạn CD AD, tại F, E. Các đường thẳng KF KE, cắt (O)
tại M, N

a) Chứng minh rằng MN / /EF

b) Chứng minh rằng MCtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC

c) Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi Dchạy trên BC.

Câu 4. (1,0 điểm) Cho các số thực x x₁, ₂,...,x_n

 

0;1

ĐÁP ÁN
Câu 1,

a) Áp dụng quy tắc chẵn – lẻ. Xét các trường hợp sau:

Ta có a b c, , cùng chẵn nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.

Ta có a b c, , củng lẻ nên đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có tổng và cả hiệu của
chúng là số chia hết cho 2.

Ta có a b c, , có một cặp số lẻ nên hiệu và tổng của 2 số lẻ chiaa hết cho 2.
, ,

a b ccó một cặp là số chẵn nên hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2.

Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài. Hai trường hợp cuối có một cặp số thỏa
mãn đầu bài. Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 nên là hợp
số.

Áp dụng quy tắc số dư. Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0,1,2 ,3,4, Xét các
trường hợp:

*Cả 4 số có số dư khác nhau



0,1,2,3 ; 0,2,3,4 ; 0,1,4,2 ; 0,4,2,3

 

 

 





1, 2,3, 4 bao giờ cũng



có ít nhất 1 cặp số có số dư là



1 4



hoặc



2 3



nên tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5. Với
nhóm số dư



1, 2,3, 4 nên suy ra 2 cặp có tổng chia hết cho 5



*Cả 4 số có số dư trùng nhau nên 6 cặp từng đơi một có hiệu bằng 0 nên chia hết cho 5.

*Cả 2 cặp số có số dư trùng nhau nên hiệu của 2 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5

*Cả 1 cặp có số dư trùng nhau nên hiệu của 1 cặp số đó bằng 0 chia hết cho 5.

Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5. Hay trong 5
số nguyên dương đôi một phân biệt luôn tồn tại 4 số có tổng là hợp số.

b) Gọi T là tổng các số dư của Thắng, V là tổng các số dư của Việt. Gọi t₁;....t₂₀₁₈là số
dư chia 2018cho 1,2,....,2018; gọi v₁;...v₂₀₁₉là số dư chia 2019 cho 1,2...2019.Ta
thấy rằng: T   t₁ t₂ ....t₂₀₁₈;V    v₁ v₂ ... v₂₀₁₉ với i1,2,3,...2018. Nếu

1

2019 i v 0  t_i i 1. Nếu v₁ i 1  v₁ t_i 1



1 1

 

2 1



...



2018 1





2019 2018



2019





V t t t S T S

            . Trong đó



2019



S là tổng các ước khơng vượt q 2018của 2019. Ta có 2019 1.3.773 . Suy ra



2019



677

S  nên ta có V  T 2018 677  T 1341.Suy ra V T

Và V  T 1341

Câu 2.

a) Ta có:

















3



 



3 3

2 1 0

2 1 0

3 32 0 3 3 32 0

x y xy

x y xy

x y x y x y xy x y x y

   



   

 _

 

           

 

 

Ta đặt



2



, 4 .

x y s xy p s  p Khi đó hệ tương đương với :

3

2 1 0

3 3 32 0

s p

s ps s

  




   

b) Điều kiện xác định: x0







 









2

2 2 _{4 3 2}

2

2 2

2
1

9 1 21 1 1 12 8 1 0

1 17

4 1 0 ₈

4 1 3 1 0

3 1 0 1 13

6
1 17 1 13

;

8 6

x x x x x x x x

x

x

x x

x x x x

x x

x

S

 _  _{          }

 

 

 _




    _

       _ 



   

 _



 _{ } 

 

  

 

 

Câu 3.

a) Qua K kẻ tiếp tuyến chung

 

d với

 

O và

 

O' . Gọi H là giao của (d) và BC
/ /

KEF FKH MNK MN EF

b) Ta có tam giác HKFcân tại H suy ra HKF HFK MBMCsuy ra AMlà phân
giác BAC.Suy ra BCM MKCnên ta có MClà tiếp tuyến



KFC



I

H

M

N

O

A

O'

B

_D

_C

K

c) Gọi AMcắt EF tại I. Ta chứng minh I cố định. Thật vậy, ta có AKN  AMN  AIE

nên tứ giác AEIKnội tiếp

Suy ra DEF EKF EAIEIAEKI IKEEIAIKFhay MIF IKF
Suy ra MIF MKI g g( . )MI2 MK MF. (1)

Ta có MClà tiếp tuyến



KFC



suy ra MC2 MF MK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra MI MK.Lúc đó ta có:

MICMCI IACICAMCBBCI ICABCI

Nên CI là phân giác ABC,mà AM là phân giác BAC nên I cố định

Câu 4.

Áp dụng BĐT



AB



2 4AB với A1;B x₁ ...x_nta có:





2





1 2 3 1 2 3

1 x x  x ...x_n 4 x x  x ...x_n với x x₁, ₂,....x_n

 

0;1
Nên x x₁



₁  1



0 x₁2    x₁ 0 x₁ x₁2.Tương tự ta có:

2 2 2 2 2 2

2 2;...; n n 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n

x x x x  x x  x x x x x  x

Suy ra



1 x₁ x₂  x₃ ...x_n



2 4



x₁x₂ x₃ ...x_n



4



x₁2x₂2x₃2...x_n2

