Đề thi học sinh giỏi toán 9 Sở Giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Ngãi năm 2018 - 2019

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (296.37 KB, 6 trang )

(1)

QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019
MƠN TỐN

Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1.

a) Cho a b c, , là ba số nguyên thỏa mãn a  b c3 2018 .c Chứng minh rằng

3 3 3

Aa  b c chia hết cho 6

b) Tìm các số nguyên dương ,x ythỏa mãn 4x  1 3y

c) Cho B1.2.3 2.3.4 3.4.5 ....   n n



1



n2



với n *.Chứng minh rằng
B không thể là số chính phương

Bài 2.

a) Giải phương trình : 3x2 4x 11



2x5



3x7
b) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2 2

5
6

x x y y

x y x y xy

    




   


Bài 3.

a) Rút gọn biểu thức





2
2

2
1

1
1

x x

C x

x
x

   



 với x0.

b) Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a  b c 1.Tìm GTLN của Dabac

c) Với , ,x y zlà độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng



y z x



z x y



x y z



xyz

Bài 4. Cho tam giác ABCnhọn



AB AC



,đường phân giác AD D



BC



.Các điểm E và

Flần lượt chuyển động trên các caanhj AB AC, sao cho BECF.Trên cạnh BClấy các
điểm Pvà Q sao cho EPvà FQ cùng song song với AD

a) So sánh BPvà CQ

b) Chứng minh rằng trọng tâm Gcủa tam giác AEFthuộc một đường thẳng cố định
Bài 5. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB2 .R Gọi C là trung điểm của AO, vẽ tia

Cxvuông góc với ABcắt nửa đường trịn (O) tại I. Lấy Klà điểm bất kỳ trên đoạn CI(K
khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia Cxtại D. Vẽ tiếp tuyến
với đường tròn

 

O tại M cắt tia Cxtại N.

a) Chứng minh rằng KMNcân

b) Tính diện tích ABDtheo R khi K là trung điểm của CI

c) Khi Kdi động trên CL.Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp AKDđi qua điểm

(2)

ĐÁP ÁN
Bài 1.

a) Ta có: a  b c3 2018c   a b c



c1

 

c c 1



2016cchia hết cho 6. Mặt
khác



a3b3c3







a b c

 

 a1

 

a a 1

 

b1

 

b b  1

 

c 1

 

c c1



chia
hết cho 6. Do đó Aa3  b3 c3chia hết cho 6

b) Xét x  1 y 1

Xét x2thì 4 8.x Nếu ychẵn , đặt y2k k



 *



 1 3y  1 9k 2 mod8





, vô lý
Nếu ylẻ, đặt y2k1



k *



 1 3y  1 9 .3k 4 mod8 ,





vô lý

Vậy x y 1thỏa mãn bài tốn
c) Ta có :













 



4B1.2.3.42.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 ....n n1 n2 _ n 3 n1 _







₄ ₃ ₂ ₄ ₃ ₂



₂



1 2 3 6 11 6 6 11 6 1 3 1

n n n n n n n n n n n n n n

               

Mặt khác:





4 3 2 4 3 2 2

6 11 6 6 9 3

n  n  n  nn  n  n  n  n



₂





₂



3 4 3 1

n n B n n

     

Do đó Bkhơng thể là số chính phương
Bài 2.

a) ĐKXĐ: 7.
3

x  Phương trình tương đương



 













3 3 3 3 7 4 4 4 3 7 3 7 3 7 3 7 0

3 1 3 7 4 1 3 7 3 7 1 3 7 0

1 3 7 3 4 3 7 0

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

             

             

       

Xét





3 7 1

3 7 1 3

x x

x x x

   


   _  

(3)

Xét





3 7 4 3

3 5

3 7 4 3 ₇ ₄

3 3

x x

x x x

x
    _

   _  
  


Vậy 3;3 5

S    

 

 

b) Hệ phương trình













1 5

x y x y
x y x y

   


 

  



Đặt x y a

x y b

 


  

 ta có:





2
1 5
6
a b
ab
  






Nếu b  0 x y,vơ nghiệm . vậy b0ta có: ab2 6 a 6₂.

   Thế vào



a1



b5được

2
7
3
3 ₄
2 2
1
2
2
4
5 6 0

11
2
2 6
3 3
7
3
3
6
x
x y

b a

x y y

b b

x
x y

b a

x y y

 _{ }

 _ _{ } _
    
 _ _
 __ _{ } _ _{ }
 _
 _{   }

 _ _

 
 _{   } _
 

 
 _   _  

 


Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
Bài 3.

a) Ta có









2 2

2 2 1 2 1

1 1 1

1 1

x x x x x

C x x

x x x

x x
 

      
  
 
2
1 1
1

1 1 1 1

x x

x x x

x x x x

 

 _  _      

   

 

b) Ta có:



 



2 1 1 1

1 .

2 4 4

Da bc a a     a a _a _  

(4)

GTLN của D là 1

4, đạt được khi và chỉ khi

1
3

a  b c

c) Vì , ,x y zlà độ dài ba cạnh của tam giác nên y z x z;  x y x;   y z 0
Áp dụng BĐT Cơ si ta có:



















y z x z x y z
z x y x y z x
x y z y z x y

    

Nhân vế theo vế các BĐT này ta có đpcm
Bài 4.

a) Vì AD là phân giác nên BD BA BD CD

CD CA BA  CA

Lại có PF / /AD/ /QE BP BD CD CQ

BE BA CA CF

    , Mà BECFBPCQ

b) Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC EF, thì MN là đường trung bình của hình
thang PEFQMN / /PE/ /AD, Mà AD cố định, M cố định nên MN cố định. Gọi

Olà trọng tâm tam giác ABC.
Ta có: 2 / /

AG AO

OG MN

AN  AM   mà O cố định nên G di động trên đường thẳng qua O

song song với MN cố định

O

G

M

N

Q

E

F