Tải bản đầy đủ (.pdf) (34 trang)

Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 140

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.87 MB, 34 trang )

(1)


(2)

(3)

2


Tõ một bài toán, nếu chúng ta chịu khó suy nghĩ,
tìm tòi, khai thác, mở rộng, khái quát hóa chúng ta
sẽ nắm chắc hơn kiến thức. Đặc biệt các bạn có
thể sáng tạo những bài toán hay. Sau đây chúng
tôi xin đa ra một số cách khai thác các bài toán
tính nhanh.


Bài toán 1.Tính nhanh
Lời giải.


Cỏch 1.Bin i t s


423134 846267 423133 (423133 1) 846267
423133 423133 846267 846267 423133
423133 846267 423134.


Do đó tử số và mẫu số bằng nhau.
Vậy A1 1.


Cách 2. Đặt 423133 a thì 423134 a 1 và
846267 2a 1, khi đó ta có


NhËn xÐt:


- Các bạn có thể giải cách khác bằng cách biến
đổi mẫu số thành tử số.


- Cho a những giá trị khác nhau, ta có các bài toán
khác nhau thuộc dạng 1.



- Cho a 234567 và đổi vị trí của tử số và mẫu số
ta cú bi toỏn sau:


Bài toán 1.1.Tính nhanh


- Cho a 987654321 ta có bài toán sau:
Bài toán 1.2.Tính nhanh



-Cho a 20132014 thì 2a 1 40264029 ta có bài
toán sau:


Bài toán 1.3.Tính nhanh


- Cc bi ton trn chúng ta dÔ dộng giời tđểng tù
bội toịn 1.


- Tđểng tù bội toịn 1 ta cã hai bội toịn tững quịt
sau:


Bµi toán 2. Chứng minh giá trị của A* và A**
không phụ thuộc vào a.


- Với a 2013 ta có bài toán sau.
Bài toán 2.1.Tính nhanh


Bài toán 3.Tính nhanh
Lời giải.


Cách 1.Mẫu sè b»ng



2222 3456 5677 3456(5678 1) 2222
3456 5678 – 3456 2222 3456 5678
1234.


Do đó mẫu số bằng tử số.
Vậy B1 1.


Gỵi ý.Ta thÊy 3456 2222 5678 và 3456 2222
1234; 5677 5678 1.


Cách 2.Đặt 3456 a ; 2222 b th× 5678 a b;
5677 a b 1 vµ 1234 a b. Ta cã


NhËn xÐt:


- Cho a vộ b nhọng giị trỡ tỉy ý ta ệđĩc cịc bội
toịn dỰng 2.


- Cho a 2010; b 1010 ta cã bµi to¸n sau:
1 a(a b) (a b) a(a b) (a b)
B


a(a b 1) b a(a b) a b
a(a b) (a b) 1.


a(a b) (a b)
1 3456 5678 1234


B .



2222 3456 5677
**


1 2 2014 2016 3


A .


2 2015 2016 4029
*


1 2 2014 2015 2013


A .


2 2013 2014 6043
** 2(a 1)(a 3) 3


A .


2(a 2)(a 3) (2a 3)
* 2(a 1)(a 2) a


A .


2a(a 1) 3a 4


4 20132014 40264029 20132015


A .



20132015 40264029 20132014
3 987654322 1975308643 987654321


A .


987654321 1975308643 987654322
2 234567 469135 234568


A .


234568 469135 234567


a(2a 1) 2a 1 a a(2a 1) (a 1)


A 1.


a(2a 1) (a 1) a(2a 1) (a 1)
1 423134 846267 423133


A .


423133 846267 423134


KHAI THÁC



một số bài tốn tính nhanh



NG¦T. Ngun Tam Sơn




(4)

3


Bài toán 3.1.Tính nhanh


- Đặt 5677 c thì 5678 c 1; 3456 d vµ
1234 e thì d e 2222 ta có bài toán có dạng
tổng quát


Tính
Ta có


- Cho c, d, e những giá trị tùy ý (c không phụ thuộc
d và e) ta có các bài toán dạng 2.


- Cho c 1954 th× c 1 1955; d 2013 và
e 1911 thì d e 102. Ta có bài toán sau:
Bài toán 3.2.Tính nhanh


- Với a, b, c là các số nguyên khác 0 và m, n, h, k
là những số tự nhiên khác 0 bất kì ta cũng có
những bài toán thuộc các dạng tổng quát sau:
Bài toán 4.Rút gọn


Ta cã kÕt qu¶
B* 1;


- Víi a 1945; b 1975; c 2013; m 1; n 2
thì ta có bài toán sau:


Bài toán 4.1.Tính nhanh



- Với a 1890; b 1945; c 79; n 24; c 79;
h 2; k 9 thì ta có bài toán sau:


Bài toán 4.2.Tính nhanh


Các bạn hÃy giải các bài toán trªn nhÐ.


* Cềng thục 4: c 2n 1, , a b k.
Vắi k lộ đắc cựa c2nhđng khềng lộ đắc cựa c. Sè
k lộ do ta tù chản vộ phỉ hĩp vắi bội toịn. Cịch
tÝnh nhđ sau:


- Ph©n tÝch c thành tích các thừa số nguyên tố.
- Tính c2.


- Phẹn tÝch c2 thộnh tÝch cịc thõa sè nguyến tè.
- Chản cịc giị trỡ cựa k lộ đắc cựa c2nhđng khềng
lộ đắc cựa c.


VÝ dô 2.TÝnh hai bé sè tam giác Pytago khi cạnh
kề nhỏ của góc vuông là 105 theo công thức 4.
Lời giải.


Ta có c 105 3.5.7; c2 3.3.5.5.7.7.


Vậy k lấy các giá trị là 9, 25, 45, 49, 75, 63, 98,...
* Víi k 9 th× k2 81; 2k 18


,
a b k 608 9 617.


* Víi k 25 th× k2 625; 2k 50


,
a b k 208 25 233.


VËy cã hai bé sè tháa m·n lµ (105, 608, 617);
(105, 208, 233).


* Cềng thục 5: c 4n, , a b 2k.
Vắi k lộ đắc cựa c2nhđng khềng lộ đắc cựa c.
VÝ dô 3.TÝnh bé sè tam giịc Pytago biạt cỰnh kÒ
nhá bỪng 420 theo cềng thục 5.


Lêi gi¶i.


Víi c 420 2.2.3.5.7, ta cã
c2 2.2.2.2.3.3.5.5.7.7.


Do đó k lấy các giá trị là 8, 16, 9, 25, 49, 24, 18,
25, 49,...


* Víi k 9 th× 2k 18, 4k2 324.
,
a b 2k 4891 18 4919.


2 2


c 4k 176400 324


b 4891


4k 32
2 2
c 4k
b
4k
2 2


c k 11025 625


b 208


2k 50


2 2


c k 11025 81


b 608
2k 18
2 2
c k
b
2k


2 1890 1969 158


B .


9 1890 1945 9 24 1890 711
**



1 1945 1976 2013


B .


2 1945 1975 136


** ***


tq2


m m h


B ; B ; B .


n n k


tq2 ha(b n) hc


B .


kab k(na c)
*** mb(a 2) mc


B ;


nba n(2b c)


** mb(a 1) mc



B ;


nba n(b c)
* b(a 2) c


B ;


ba (2b c)


2 2013 1955 1911


B .


2013 1954 102


tq1 d(c 1) e dc d e dc (d e)


B 1.


(d e) dc dc (d e) dc (d e)
tq1 d(c 1) e


B .


(d e) dc
2 2010 3020 1000


B .


1010 2010 3019

NĂM CƠNG THỨC TÍNH




CÁC BỘ SỐ TAM GIÁC PYTAGO


ngun danh ninh(Hà Đông, Hà Nội)



(5)

4



ON TAP



CHNG I I S 9


Các bạn hÃy giải các bài toán sau


Bi 1.Tìm điều kiện của x, y để biểu thức sau xác định


a) b)


c) d)


Bµi 2.Rót gän biĨu thøc


a) b)


c) d)


Bµi 3.Thùc hiƯn phép tính
a)


b)
c)
d)



Bài 4.Tính giá trị của biểu thức sau


a) víi


b) víi


c) víi


d) víi


Bµi 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a)


b)
c)
d)


Bµi 6.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a)


b)
c)
d)


Bµi 7.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a)


b)
c)
d)



Bội 8. Giời phđểng trừnh
a)


b)
c)
d)


Bài 9.Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức
sau


a)
b)
c)


d) D a a : 2 a .


a 4


a 2 a 2


1 a a 1 a


C a ;


1 a 1 a


a 1 a 1 1


B 2 ;



a 1


a 1 a 1


a 2 a 2 4


A a ;


a 2 a 2 a


4 4x 8 9x 18 36x 72 2.
16x 64 2 9x 36 3 x 4 x 2;


50x 25 8x 4 72x 36 x 1;


2 2 1 2


2 2x 5 18x 45 8x 20 6;


2
4 2 7 5 5 7 12 .


3 7 7 2 7


3 2 3 3 2 ;


3 3 3 3 1


8 2 2 2 3 2 3 ;



3 2 2 2 1


6 2 5 5 3 5 5 ;


3 5 5 2 5


( 22 2)(6 11) 6 11.
(4 7)( 14 2) 4 7;
( 10 2)(6 2 5) 3 5;
(4 15)( 10 6) 4 15;


29 6 20 14 3 20.
48 6 15 72 18 15;
8 2 15 23 4 15;
15 6 6 35 12 6;


2 3


a .


3 2


2


6a 2a 6 1


1


a 5 ;



5
2


5a 4a 5 4


7 2


a ;


2 7


2


14a 4a 14 4


3 5


a ;


5 3


2


15a 8a 15 16


2 2


(3 2 6) (2 6) .



2 2


(2 5) (3 2 5) ;
2 125 2 5 243 2 27;
3 2 2 45 3 20 8;


2


x 8x 16.
2


x 4x 4;


2


x 12x 36;
2


x 10x 25;


2 1 .


x 3 x y


2


3 x 4;


2 x



1


4 3x ;


x 2
2


2x 7 ;


x 3


NGUYễN ĐứC HảO



(6)

5



trng cng thnh

(su tẵm)



(TTT2 số 137+138)


Nhận xét.

Quy luật của hai bài kì này đều dễ,



tất cả các bài gửi về đều cho đáp án đúng,


một số bạn diễn đạt dài, chða nêu chính xác


bản chất của quy luật.



Quy luËt:



Bài 1.

Để ý ba hình nhỏ bên trong, hình ở


giữa đều có màu xám. Vậy hình chèn vào dấu


hỏi chấm là hình C. Nhiều bạn nêu cả một số


quy luật khác, cũng đúng nhðng không cần



thiết.



Bội 2.

GhĐp cịc sè cựa dởy thộnh tõng cẳp


ệềi (7 2) (15 11) (23 ...). Hiỷu giọa sè ệụng


trđắc vộ sè ệụng sau trong mẫi cẳp lẵn lđĩt lộ



5, 4,... VẺy sè cẵn ệiỊn lộ 20, ệĨ cã hiỷu lộ 3.


Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy:

NguyÔn ChÝ


Cềng

, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao,

Phó


Thả

;

Phan Thộnh Vinh

, 7A1, THCS Yến


Phong, Yến Phong,

Bớc Ninh

;

ậinh Hăng


Quẹn

, 7A, THCS Trẵn Mai Ninh, TP. Thanh


Hãa,

Thanh Hãa

;

Ngề Thỡ Ngảc nh

, 8A,


THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu,

Nghỷ An

;


Nhãm bỰn

NguyÔn Thỉy Linh, Lđu ậục


MỰnh, Vò Bừnh Dđểng, NguyÔn Huy Quý,


NguyÔn Hđểng Xen

, 7A, THCS Lý Tự Trng,


Bnh Xuyn,

Vnh Phúc

.



nguyễn xuân bình



QUAN ST VAỉ TNH TON



ẹIEN SO COỉN THIEU



Bài 1.

Điền số còn thiếu vào d·y sau




(7)

6


Sau đây là một số ứng dụng của hằng đẳng thức
trên.


1.Ta cã a3 b3 c3 3abc a b c 0 hc
a b c.


2.Chứng minh bất đẳng thức AM-GM
Với a, b, c 0, ta có


(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2] 0 nªn
a3 b3 c3 3abc.


Đặt thì


với x, y, z 0.


õy chính là bất đẳng thức AM-GM cho ba s
khụng õm.


3.Trục căn thøc ë mÉu sè


4.Chứng minh B 321 224 68 1 1930.
Ta có B (37)3 ( 28)3 ( 1)3 3.37.( 28).( 1).
Từ hằng đẳng thức đã cho, ta thấy với a, b, c là
các số nguyên thì


a3 b3 c3 3abc a b c.


ịp dông ta cã B (37 28 1) hay B 1930.
5.Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến


x3 y3 xy 25. (1)



Ta cã (1) 27x3 27y3 27xy 675


(3x)3 ( 3y)3 ( 1)3 3.3x.( 3y).( 1) 674
(3x 3y 1)(9x2 9y2 1 9xy 3y 3x) 674.
Vừ 3x 3y 1 lộ sè chia 3 dđ 2 vộ lộ đắc sè dđểng
cựa 674 nến 3x 3y 1 {2, 647}.


Tõ ệã ta lẺp ra cịc hỷ phđểng trừnh vộ từm ệđĩc
(x; y) (4; 3), ( 3; 4).


6.Giời phđểng trừnh
Ta cã


7.Biạt rỪng xn yn zn an bn cn(*) ệóng vắi
n 1, 2, 3. Chụng minh (*) ệóng vắi mải sè
nguyến dđểng n.


Tõ gi¶ thiÕt ta cã x y z a b c; (1)
x2 y2 z2 a2 b2 c2; (2)


x3 y3 z3 a3 b3 c3. (3)


Từ (1) và (2) suy ra xy yz zx ab bc ca. (4)
Do đó x3 y3 z3 3xyz a3 b3 c3 3abc.
Kết hợp với (3) suy ra xyz abc. (5)


Tõ (1), (4) vộ (5), theo ệỡnh lÝ ViĐt ệờo thừ x, y, z lộ
nghiỷm cựa phđểng trừnh



X3 (a b c)X2 (ab bc ca) abc 0.
Phđểng trừnh nộy ệđa vÒ dỰng


(X a)(X b)(X c) 0.


VẺy (x; y; z) lộ mét hoịn vỡ cựa (a; b; c) nến (*)
ệóng vắi mải sè nguyến dđểng n.


3 3


3 1 1 1 1


x 3x. . 0


3 3 3 3


1 1 2


x 0 x


3 3 3


1 1


x x .


3 3


3 2 3



(2) x x 0


9
3


9x 9x 2 3. (2)


2 2


3 3 3 3 3 3


3 3


3 3 3 3


3 3 3 3 3 3


1 (3 2) ( 4) 3 2 3 2. 4 4
1 (3 2) ( 4) 3.3 2. 4


1 9 4 2 2 3 2 6 4 8 4 2 5 .


1 54 4 18 41


31 3
A


1 3 2 4
3
x y z 3 xyz,



3 3 3


a x, b y, c z


ỨNG DỤNG CỦA MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC



Thịi nhẺt phđĩng


(GV. THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)
Chúng ta biết đến hằng đẳng thức sau


a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)



(8)

7


(2 ®iĨm)


Hởy chản mét chọ cịi ệụng trđắc cẹu trờ lêi ệóng
trong cịc cẹu hái sau:


Câu 1.Kết quả của phép tính | 5| ( 5) | 5| 5
lµ:


A. 0 B. 5


C. 10 D. 20


Cẹu 2.Thu gản biÓu thục (x y z) (x y z)
(x y z) x y z ta ệđĩc:



A. x y z B. x y z


C. x y z. D. 2(x y z)


Câu 3.Số các bội của 7 lớn 10 và bé hơn 10 là:


A. 2 B. 3


C. 4 D. vô số


Câu 4.Khi nào |a b| |a| |b|?


A. a và b cùng dấu B. a 0 hoặc b 0
C. Cả A và B đều ỳng D. C A v B u sai


(8 điểm)
Câu 5.Thực hiÖn phÐp tÝnh


292 {1357 4[( 8)3 (18 146) : (7 3)2]}.


C©u 6.TÝnh nhanh


(57 – 289) – (76 – 289) (176 43).


Câu 7. Tính tổng và tích các số nguyên x thỏa
mÃn 2 2x 5.


Câu 8.Tính giá trị của biểu thøc


x2 4y 5z víi x 3 vµ y 4x 2z.


Câu 9.Tìm các số nguyên x và y sao cho:
a) (x 2)(y 3) 5;


b) 6x 9y 2014.


Câu 10.Tìm số nguyên x biết:
a) |x 8| 2 9;


b) (3x 1) (x 2);
c) 3 |2x 5| 9;


d) |x 2| (x2 2x)2014 0.


ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG II SỐ HỌC 6



Thời gian làm bài:45 phút (không kể thời gian giao đề)


MÃ ĐỀ: RDKTH009



Cịc bỰn sau giời ệóng thạ cê kừ 63: Dđểng
Lẹm Anh, 8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong,
Bớc Ninh; Phỉng Diỷu Linh, 8C7, THCS LỰc
Viến, Ngề Qun, Hời Phưng.


Lª thanh tó


Trắng đi trước chiếu hết sau 4 nước.


VŨ ĐÌNH HÒA




(9)

8


A. §Ị thi cá nhân


1.Tui ca Max by giờ nhn vi tui ca Mini sau
ệẹy 1 nẽm lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến.
Tuữi cựa Max sau ệẹy 1 nẽm nhẹn vắi tuữi cựa
Mini bẹy giê lộ bừnh phđểng cựa mét sè nguyến.
Nạu bẹy giê tuữi cựa Mini lộ 8, cưn tuữi Max lắn
hển 1 vộ nhá hển 100 thừ hiỷn nay Max bao nhiếu
tuữi? (Canada ệÒ nghỡ)


2. Trong mét dộn hĩp xđắng, sè trĨ em lộ nam
nhiÒu hển tững sè trĨ em vộ nhá hển tững sè
trĨ em. Hái sè trĨ em tham gia dộn hĩp xđắng nhá
nhÊt cã thÓ lộ bao nhiếu? (Uzbekistan ệÒ nghỡ)
3. Mẫi cề gịi muèn cđìi riếng mét con ngùa,
nhđng sè ngùa chử bỪng sè cề gịi. Nạu tững
sè chẹn cựa cịc cề gịi vộ cịc con ngùa lộ 990 thừ
bao nhiếu cề gịi phời chê ệÓ ệạn lđĩt mừnh ệđĩc
cđìi ngùa? (Singapore ệỊ nghỡ)


4.PhĐp toịn hiĨn nhiến lộ sai. Tuy nhiến
nạu ta trõ ệi mét sè nguyến dđểng tõ cịc sè 23,
30, 57 vộ 78, phĐp toịn trến sỳ lỰi ệóng. Hái sè
mộ ta cẵn trõ ệi lộ sè nộo? ( n ậé ệÒ nghỡ)
5.Cẵn chản mét ệéi tõ 4 bỰn nọ vộ 5 bỰn nam.
Ngđêi ta yếu cẵu ệéi ệã phời cã Ýt nhÊt hai bỰn nọ.
Hái cã bao nhiếu cịch chản ệéi? (Romania ệÒ
nghỡ)



6.TÝch cựa 5 sè nguyến dđểng lộ 2014. Hái tững
cựa chóng cã thĨ nhẺn bao nhiếu giị trỡ? (Hăng
Kềng ệỊ nghỡ)


7.Mét con mÌo bớt ệđĩc sè chuét ệen nhiÒu gÊp
3 lẵn sè chuét trớng. Mẫi ngộy con mÌo ẽn 6
chuét ệen vộ 4 chuét trớng. Sau mét sè ngộy, cưn
lỰi 60 chuét ệen vộ 4 chuét trớng. Hái tững sè
chuét mộ mÌo ệở bớt ệđĩc lộ bao nhiếu?
(Malaysia ệÒ nghỡ)


8. M là trung điểm của cạnh CD của hình vng
ABCD có cạnh dài 24 cm. P là điểm thỏa mãn
PA PB PM. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài
đoạn thẳng PM theo cm. (Brunei đề nghị)


9.Trong mét bọa tiỷc cụ hai ngđêi bÊt kừ ệÒu bớt
tay nhau, ngoỰi trõ Bob, ngđêi chử bớt tay vắi mét
sè ngđêi khịc. Khềng cã hai ngđêi nộo bớt tay
nhau nhiÒu hển mét lẵn. Biạt tững sè cịi bớt tay lộ
2014, hái Bob bớt tay vắi bao nhiếu ngđêi? (Hăng
Kềng ệÒ nghỡ)


10. Giị tiÒn vĐ xem nhỰc giao hđẻng lộ $26 ệèi
vắi ngđêi lắn, $18 ệèi vắi thanh thiạu niến vộ $10
ệèi vắi trĨ em. Tững sè tiÒn vĐ cho 131 ngđêi lộ
$2014. Hái sè trĨ em nhiÒu hển sè ngđêi lắn lộ
bao nhiếu? (Trung Qc ệỊ nghỡ)


11.Cho 2 hình vng chồng lên nhau sao cho các


cạnh của hai hình vng song song với nhau và
phần chung của hai hình vng có diện tích là 4 cm2.
Phần chung này có diện tích bằng diện tích hình
vng lớn và bằng diện tích hình vng nhỏ.
Hỏi chu vi nhỏ nhất có thể tính theo cm của hình
8 cạnh tạo bởi hai hình vng chồng lên nhau là
bao nhiêu? (Bulgari đề nghị)


12.Cho biạt sè lđĩng cịc ngềi sao trến bẵu trêi lộ
8 12 98 102 998 1002 ... 99...98
100...02. Trong sè hỰng cuèi cỉng cựa tững, cã
2014 chọ sè 9 trong sè 99...98 vộ cã 2014 chọ sè
0 trong sè 100...02. Hái tững cịc chọ sè cựa sè
cịc ngềi sao trến bẵu trêi lộ bao nhiếu? (Trung
Quèc ệÒ nghỡ)


13. Cho tam giác ABC với D là điểm thuộc cạnh
BC và F là điểm thuộc cạnh AB. Điểm K đối xứng
với B qua DF, K và B nằm khác phía so với AC.
Cạnh AC cắt FK tại P và DK tại Q. Tổng diện tích
của các tam giác AFP, PKQ và QDC l 10 cm2. Nu


1
4


1
9
23 57


30 78


10
13


1
2
2


5


DTH(Dịch và giới thiu)

THI OLYMPIC TỐN HỌC TRẺ



QUỐC TẾ TẠI HÀN QUỐC



(KIMC 2014)




(10)

9


ta cộng tổng diện tích này với diện tích tứ giác DFPQ
thì bằng diện tích tam giác ABC. Tính diện tích
tam giác ABC theo cm2. (Malaysia đề nghị)


14.Sau khi Nadia lến ệạn ệửnh dèc, cề ệi tiạp mét
phẵn ệđêng bỪng cã chiÒu dội 2,5 km, răi ệi


xuèng dèc vộ ệi ệạn mét cịi hă. Sau ệã cề ệi
chiỊu ngđĩc lỰi theo ệđêng cị. VẺn tèc ệi ệđêng
bỪng cựa cề Êy lộ 5 km/h, vẺn tèc lến dèc lộ
4 km/h cưn vẺn tèc xuèng dèc lộ 6 km/h. ChiÒu ệi
cề Êy ệi hạt 1 giê 36 phót, chiỊu vỊ cề Êy ệi hạt
1 giê 39 phót. Nạu cề Êy ệi khềng nghử trong suèt


quị trừnh ệi thừ chiÒu dội tõ vỡ trÝ xuÊt phịt ệạn chẫ
cịi hă lộ bao nhiếu km? (Brunei ệÒ nghỡ)


15. Sịu mẳt cựa mét hừnh lẺp phđểng ệđĩc tề
bỪng 5 mộu khịc nhau. Mét mộu dỉng ệÓ tề cho
2 mẳt cưn 4 mộu cưn lỰi mẫi mộu dỉng ệÓ tề cho
1 mẳt. Hái cã bao nhiếu cịch ệÓ tề mộu hừnh lẺp
phđểng ệã? Hai hừnh lẺp phđểng gải lộ tề mộu
gièng nhau nạu chóng nhẺn ệđĩc tõ nhau bỪng
cịc phĐp quay hoẳc phĐp lẺt. (Viỷt Nam ệÒ nghỡ)
2


3


25.Four positive integers are arranged in a 2 2
table. For each row and column of the table, the
product of the two numbers in this row or column
is calculated. When all four such products are
added together, the result is 1001. What is the
largest possible sum of two numbers in the table
that are neither in the same row nor in the same
column?


(A) 33 (B) 77 (C) 91 (D) 143 (E) 500
For questions 26 to 30, shade the answer as
an integer from 0 to 999 in the space provided


on the answer sheet.


Question 26 is 6 marks, question 27 is


7 marks, question 28 is 8 marks, question 29


is 9 marks and question 30 is 10 marks.
26. This cube has a different whole number on
each face, and has the property that whichever
pair of opposite faces is chosen, the two numbers
multiply to give the same result.


What is the smallest possible total of all 6 numbers
on the cube?


27. How many four-digit numbers containing no
zeros have the property that whenever any its four
digits is removed, the resulting three-digit number
is divisible by 3?


28.A rhombus-shaped tile is formed by joining two
equilateral triangles together. Three of these tiles
are combined edge to edge to form a variety of
shapes as in the example given.


How many different shapes can be formed?
(Shapes which are reflections or rotations of other
shapes are not considered different.)


29. Warren has a strip of paper 10 metres long.
He wishes to cut from it as many pieces as possible,
not necessarily using all the paper, with each
piece of paper a whole number of centimetres
long. The second piece must be 10 cm longer than


the first, the third 10 cm longer than the second
and so on. What is the length, in centimetres, of
the largest possible piece?


30.Terry has invented a new way to extend lists
of numbers. To Terryfy a list such as [1, 8] he
creates two lists [2, 9] and [3, 10] where each term
is one more than the corresponding term in the
previous list, and then joins the three lists
together to give [1, 8, 2, 9, 3, 10]. If he starts with
a list containing one number [0] and repeatedly
Terryfiesit he creates the list [0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3,
4, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 3, 4, ...].


What is the 2012th number in this Terryficlist?



(11)

10


Bµi I.1) §iỊu kiƯn:


Phđểng trừnh ệở cho tđểng ệđểng vắi


2)Cịch 1.Hỷ PT ệở cho tđểng ệđểng vắi


Céng theo vạ hai phđểng trừnh ta ệđĩc
x2(x2 8y2 2y 3) 0


x2[x2 7y2 (y 1)2 2] 0
x 0 (v× x2 7y2 (y 1)2 2 0)


(tháa m·n).



Cịch 2.ậẳt u x2, v 2y. ậiÒu kiỷn: u 0.
Ta ệđĩc HPT


Céng theo vạ cựa (1).2 (2) ta ệđĩc
(u v)2 2(u v) 3


Tõ ệã tÝnh ệđĩc uv vộ giời tiạp bỪng cịch ịp dông
ệỡnh lí Vit o.


Bài II. 1) Đặt S 25n 7n 12n 20n.
Ta cã 65 5.13.


ịp dông tÝnh chÊt (an bn) (a b), vắi mải a, b,
n lộ cịc sè nguyến dđểng vộ a b, ta cã


S (25n 20n) (12n 7n) 5;
S (25n 12n) (20n 7n) 13.


Mµ 5, 13 nguyªn tè cïng nhau nªn S 65.


2) Tõ phđểng trừnh suy ra x lộ đắc sè cựa 4 hay
x { 4; 2; 1; 1; 2; 4}.


Tõ phđểng trừnh còng suy ra


yx(x 1) 2x2 3x 4 (x 1)(2x 1) 5 nªn


x 1 lộ đắc sè cựa 5. Tõ ệã x 1 { 5; 1; 1; 5}
hay x { 6; 2; 0; 4}.



Suy ra x { 2; 4}. Thỏ x 2 ta ệđĩc y 1. Thỏ
x 4 ta ệđĩc y 2.


3)


Céng theo vÕ cña –4028.(1) (2) suy ra
20143 1 4028.20142 (a1 2014)2
(a2 2014)2 ... (a2014 2014)2 1.


Từ đó, trong 2014 số tự nhiên a1, a2, a3,…, a2014
có 2013 số bằng 2014.


Giờ sỏ a1 a2 … a2013 2014. Thay vộo hỷ
ta ệđĩc a2014 2014.


VËy a1 a2 … a2014 2014.
Bµi III.Ta cã


Chụng minh tđểng tù răi céng vạ, suy ra Q 1.
ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi


VËy Q lín nhÊt b»ng 1 khi


Bội IV.1) Vừ OCN OBM (c.g.c) nến ON OM.
Do ệã OMN cẹn tỰi O nến OI MN hay
Mộ nến 4 ệiÓm O, M, H, I cỉng thuéc
ệđêng trưn ệđêng kÝnh OM.


VẺy bèn ệiÓm O, M, H, I cỉng thuéc mét ệđêng


trưn.


2) Gọi P’ là điểm thuộc cạnh AB thỏa mãn AP’ CN.
Suy ra MNP’ đều.


o
OHM 90


o
OIM 90 .


1


x y z .


3
1


x y z .


3
x y x z


x( x) xy xz


2 .


xy yz zx 2(xy yz zx)
2



x( x(x y z) yz x) x( (x y)(x z) x)
xy yz zx
x(x y z) yz x


2
x( x yz x)
x


x x yz x yz x


2 2 2


1 2 2014 1 2 2014


a a ... a 4028(a a ... a )
2


1 2 3 2014


2 2 2 2 3


1 2 3 2014


a a a ... a 2014 (1)


a a a ... a 2014 1. (2)


u v 1
u v 3.



2 2


2uv u v 3 (1)
u 6uv v 9. (2)
3


y
2
2


2 2 2


2 2


2 2 2


x (4y 1) 2y 3
x (x 12y) 9 4y


x (4y 1)(2y 3) 4y 9
x (x 12y) 9 4y .


4


4 2 x 0


5x ( 2x 1 1) 0


2x 1 1 0
x 0 (thỏa mÃn).



1


x .


2


Năm học: 2014 - 2015



Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh chuyên Toán)



THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT


CHUYÊN TP. HAØ NỘI




(12)

11


Tõ kạt quờ cẹu 1) suy ra O thuéc trung trùc MN.
Do ệã O thuéc ệđêng thỬng IP’ hay P’ thuéc OI.
VẺy P’ trỉng P hay MNP ệÒu.


3) Vì AB khơng đổi nên chu vi tam giác IAB nhỏ
nhất khi IA IB nhỏ nhất.


Gọi K là trung điểm AC thì
Vì MNP đều nhận O là tâm nên


Do đó I thuộc đoạn thẳng HK.


Dựng D đối xứng với B qua HK D cố định.
Ta có IA IB IA ID AD. Xảy ra đẳng thức khi
và chỉ khi I thuộc đoạn thẳng AD hay I là trung


điểm HK. Khi đó M trùng H.


KÕt luËn.M trïng H.


Cẹu V. Thỏ vắi n 6 khềng tháa mởn nhđ trong
hừnh dđắi nến n 7.


XÐt n 7.


Ta biạt mẫi cét găm 3 ề cã mét trong tịm cịch tề
mộu. Nạu cã hai cét tề mộu gièng nhau thừ tháa
mởn. Ngđĩc lỰi, khi 7 cét tề mộu khịc nhau thừ tăn
tỰi mét cét chử tề bẻi mét mộu. Giờ sỏ ệã lộ mộu
ệá. Vừ trong 6 cét cưn lỰi lộ 5 trong 6 cét ẻ hừnh
trến nến tăn tỰi cét cã 2 ề ệđĩc tề mộu ệá. Cét nộy
vắi cét ệđĩc tề toộn mộu ệá sỳ chản ệđĩc hừnh
chọ nhẺt tháa mởn.


VËy n bÐ nhÊt lµ 7.


o o


OMI 30 OHI 30 OHI OHK.


o
OHK 30 .
Bội 1:(2 ệiÓm)a) Giời phđểng trừnh
b) TÝnh biạt x 1, y 0 vộ


Bội 2:(2 ệiÓm)a) Giời hỷ phđểng trừnh



b) Hừnh thoi ABCD cã diỷn tÝch lộ (mĐt
vuềng), tam giịc ABD ệÒu. TÝnh chu vi hừnh thoi
vộ bịn kÝnh ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC.
Bội 3:(2 ệiÓm)Cho phđểng trừnh


a) Giời phđểng trừnh vắi m 1.


b) Từm m ệÓ phđểng trừnh (1) cã hai nghiỷm phẹn
biỷt x1, x2 sao cho


Bội 4:(1 ệiÓm)a) Gải lẵn lđĩt
lộ trung bừnh céng vộ trung bừnh nhẹn cựa hai sè
dđểng a vộ b. Biạt trung bừnh céng cựa x, y bỪng
100. TÝnh


b) Giờ sỏ hai ệỰi lđĩng x, y tử lỷ nghỡch (x, y luền
dđểng). Nạu x tẽng a% thừ y giờm m%. TÝnh m
theo a.


Bội 5: (3 ệiÓm) Hừnh vuềng ABCD cã AB 2a,
AC cớt BD tỰi I. Gải T lộ ệđêng trưn ngoỰi tiạp
tam giịc CID, BE tiạp xóc vắi T tỰi E (E khịc C),
DE cớt AB tỰi F.


a) Chụng minh tam giịc ABE cẹn. TÝnh AF theo a.
b) BE cớt AD tỰi P. Chụng minh ệđêng trưn ngoỰi
tiạp tam giịc ABP tiạp xóc vắi CD. TÝnh


c) AE c¾t T tại M (M khác E). Tính AM theo a.


AP.
PD


S a b.


a b


x , y ab


2


2


1 2 2


21x 7m(2 x x ) 58.


2


mx (m 3)x 2m 1 0. (1)
x 3


18 3


2 2


2


(x y 2)( (x 9)(y 7) 15) 0
x 9 y 7 8.



3 3 2


2 2 3 4


(x y)(x y ) (1 4x 1) 6.
(1 4x 1)(x y xy y )


x
y


2


(3 x) (3 x)(9 x ) 4 5(3 x).


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTNK


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH



Năm học:

2014 - 2015




(13)

Bài 1(137+138).So sánh víi 3, biÕt


A 1 22014 32013 42012 ... 20142 2015,
B 1 22013 32012 42011 ... 20132 2014.
Lời giải.(Theo đa số các bạn)


Ta thấy A 1 22014 32013 42012 52011
62010 ... 20133 20142


1 22014 32013 42012 52011



3.(62009 72008 62010 ... 20132 2014)
1 22014 32013 42012 52011


3.(B 1 22013 32012 42011 52010)
3B 42011 2.52010 22013 2


3B 22013(22009 1) 2(52010 1) 3B.
Suy ra


NhẺn xĐt.Trõ mét sè bỰn cho kạt quờ sai
cưn lỰi ệỊu giời ệóng theo nhiỊu cịch khịc nhau.
Sau ệẹy lộ danh sịch cịc bỰn cã lêi giời ệóng vộ
gản hển cờ: NguyÔn Minh ậục, 7A1, THCS Nhẹn
ChÝnh, Thanh Xuẹn, Hộ Néi;TỰ Kim Thanh HiÒn,
6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; TỰ Nam Khịnh, Lế
Vẽn Hời, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Phóc; Vị HỰ Ly, 6A; Ngun Thỡ HiÒn
Trang, ậinh Thỡ HuyÒn Trang, 7A, THCS Nam
Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam;Vò ậục Dòng, 7A, THCS
Hă Xuẹn Hđểng, Quúnh Lđu, Nghỷ An.


hå quang vinh


Bài 2(137+138). Biết x, y, z là những số nguyên
thỏa mãn (x3 y3 z3) 27. Chứng minh rằng
hoặc cả ba số x, y, z cùng chia hết cho 3, hoặc hai
trong ba số đó có tổng chia ht cho 9.


Lời giải.Vì (x3 y3 z3) 27 nên (x3 y3 z3) 3.


Mặt khác ta có (x y z)3 (x3 y3 z3)


3(x y)(y z)(z x) 3.


Suy ra (x y z)3 3 (x y z) 3
(x y z)3 27


(x y)(y z)(z x) 9.


TH1.Mét trong c¸c tỉng x y, y z, z x chia hÕt
cho 9.


TH2. Ýt nhÊt hai trong ba tæng x y, y z, z x
chia hết cho 3.


Chẳng hạn (x y) 3 vµ (y z) 3.


Mµ (x y z) 3 nªn (x y z) (x y) z 3
vµ (x y z) (y z) x 3.


Dẫn đến (x y) x y 3.
Tức là x, y, z đều chia hết cho 3.


NhẺn xĐt.ậẹy lộ mét bội toịn hay vộ võa sục nến
cã nhiÒu bỰn tham gia. Tuy nhiến cã nhọng bỰn
lộm dội dưng, lẺp luẺn chđa chÝnh xịc, cã bỰn
phời dỉng cờ ệỡnh lÝ Phecma. Cịc bỰn sau cã lêi
giời tèt: Bỉi Quang Sịng, ậinh Thỡ Ngảc Anh,
NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao, Phó Thả; Lế Ngảc Hoa, 7E1, THCS Vỵnh


Tđêng, Vỵnh Tđêng; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4,
THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;Ngun Thỡ
Hun Trang, ậinh Thỡ Hun Trang, 7A, THCS
Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam.


Phïng kim dung


Bội 3(137+138). Giời phng trnh


Lời giải. Điều kiện x 0.


Đặt với a 1, b 0.


Phđểng trừnh (1) trẻ thộnh


a b(a b) b (a b)(b 1) 0.
TH1.a b, ta ệđĩc


§iỊu kiƯn x 1.


Bừnh phđểng hai vạ ta ệđĩc
x (x 1)2 x2 3x 1 0


(vừ x 1).
TH2.b 1, ta ệđĩc
ậiÒu kiỷn 0 x 1.


Bừnh phđểng hai vạ ta ệđĩc
x (1 x)2 x2 3x 1 0



(v× 0 x 1).


3 5


x
2


x x 1 x 1 x.


3 5


x
2


2 x 1 x x x x 1.


2 x 1 x x


a a b 1
b


a 2 x 1, b x x


2 x 1 2 x 1 x x 1. (1)


x x


A 3,
B
A 3.



B


A
B



(14)

VẺy phđểng trừnh cã hai nghiỷm lộ


Nhận xét. Đây là bài tốn khơng khó nên có nhiều
bạn gửi bài và số đơng giải nhð trên.


Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Trẵn Thỡ Thu
HuyÒn, NguyÔn Thờo Chi, Trẵn Quèc LẺp, NguyÔn
Quèc Trung, 8A3; TỰ Phđểng Chi, 7A3, THCS
Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Phỉng Thỡ Xuẹn
Thựy, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Phóc;TỰ Họu Tiạn Thộnh, 8A, THCS Cao Xuẹn
Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An; NguyÔn Vẽn Hỉng,
8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa; ậẳng Quang
Anh, 8A, THCS Ngun ChÝch, ậềng Sển, Thanh
Hãa.


Ngun Anh Dịng


Bµi 4(137+138). Cho a, b vµ c là các số thực


dng tháa mởn .


Chứng minh rằng
Lời giải.Đặt


Khi đó


Ta thấy 0 x, y, z 1 và x y z 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành


áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có


NhẺn xĐt.ậẹy lộ mét bội toịn hay vộ khã nến cã
rÊt Ýt bỰn tham gia giời bội. Hẵu hạt cịc bỰn ệỊu
giời ệóng. Mét sè bỰn ệđa ra nhiỊu cịch giời khịc
nhau cho bội toịn vộ cã nhiÒu bỰn lộm bội gièng
hỷt nhau. Nhọng bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: Trỡnh
ậục Viỷt, 8A, THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam;
Vđểng Tiạn ậỰt, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,


ụng Hưa; Trẵn Diỷu Linh, Phan Trđêng Giang, Lế
ậục Anh, Ngề Hăng Ngảc, Phan Thộnh Trung,
9A4, THCS Ngề Sỵ Liến, Hoộn Kiạm, Hộ Néi;
Phan Thỡ Nguyỷt, PhỰm Hoộng Ly, ậẫ Thỡ Thu


Phđểng, ậỰi Vẽn Thđẻng, 9A1, THCS Yến LỰc,
Yến LỰc, Vỵnh Phóc; NguyÔn Thỡ Viến, Ngề Thỡ
Huạ, NguyÔn Vẽn An, 9A, THCS Yến Phong, Yến
Phong, Bớc Ninh; Phan Trẵn Hđắng, 9A, THCS
Quịch Xuẹn Kú, Bè TrỰch, Quờng Bừnh; Lế
Hỉng, 9A, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó Th.


Cao văn dũng


Bi 5(137+138).Cho tp hp


P {, xanh, en, trng}.


HÃy xem mỗi cách chia sau có phải là một phân
hoạch của P:


a) P1 [{}, {xanh, en}]
a) P2 [{trng, đen đỏ, xanh}]
a) P3 [ , {đỏ, xanh}, {đen, trắng}].


Lời giải.a) P1khơng phải là một phân hoạch của
P vì hợp của hai tập hợp {đỏ} và {xanh, đen}
không bằng P.


b) P2 không phải là một phân hoạch của P vì số
phần tử của P2 ít hơn số phần tử của P.


c) P3 không phải là một phân hoạch của P vì P3
có tập rỗng.


Nhn xột.Rt nhiu bn gi li gii n tịa soạn
nhðng đa số các bạn khơng đọc kĩ đề bài nên giải
sai. Các bạn sau có lời giải tốt: Trịnh Đức Việt, 8A,
THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Lê
Hoàng Phúc, 9C, THCS Phan Chu Trinh, TP. Buôn
Ma Thuột, Đắk Lắk.


trỡnh hoội dđểng


Bội 6(137+138). Cho hừnh vỳ vắi ệiÓm O nỪm
trong tam giịc ABC ệÒu. Biạt diỷn tÝch phẵn tề


mộu bỪng nỏa diỷn tÝch tam giịc ABC. Chụng
minh rỪng ệiÓm O thuéc mét trong cịc ệđêng
trung tuyạn cựa tam giịc ABC.


Lêi gi¶i.Trong lêi giải này, kí hiệu S(XYZ) là diện
tích tam giác XYZ.


Cách 1.Gọi M, N, P theo thứ tự là giao điểm của
AO, BO, CO và BC, CA, AB.


Đặt x S(OBC), y S(OCA), z S(OAB).
(Xem hình vẽ trên)


Ta thấy MB S(AMB) S(OMB)
MC S(AMC) S(OMC)


2 2 2


2 2 2


2


2 2 2


2


2


x y z



3 2x 3 2y 3 2z


x y z


3x 2x 3y 2y 3z 2z
(x y z)


3(x y z) 2(x y z )


(x y z) 3 3 .


2 9 7


3(x y z) (x y z) 2


3 x y z


x y z 3.


3 2x 3 2y 3 2z 7


1 x 1 y 1 z


a , b , c .


2x 2y 2z


1 1 1


x , y , z .



2a 1 2b 1 2c 1


1 1 1 3.


6a 1 6b 1 6c 1 7


1 1 1 1


2a 1 2b 1 2c 1


3 5


x .


2



(15)

Do ú


Vậy


Tng tự


Mà nên


với t x(z y)(x y)(x z) y(x z)(y x)(y z)
z(y x)(z x)(z y)


(z y)x3 (x z)y3 (y x)z3



(z x)x3 (x y)x3 (x z)y3 (y x)z3
(z x)(x3 y3) (x y)(x3 z3)


(z x)(x y)(x2 xy y2 x2 xz z2)
(z x)(x y)(xy y2 xz z2)


(z x)(x y)(y z)(x y z).


Do đó x y hoặc y z hoặc z x hay PA PB
hoặc MB MC hoặc NC NA.


Tãm l¹i O thuéc mét trong c¸c trung tun cđa
cđa tam gi¸c ABC.


Cách 2. (Theo Đặng Anh Quang, 8A, THCS
Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa)


Đặt x S(OBM), y S(OCN), z S(OAP),
m S(OCM), n S(OAN), p S(OBP).


Tõ gi¶ thiÕt suy ra x y z m n p. (1)


V× nªn xy xn pm zm.


Tđểng tù yz yp mn xn, zx zm np yp.
Céng theo vạ ba ệỬng thục trến vộ rót gản ta ệđĩc
xy yz zx mn np pm. (2)


Vì AM, BN, CP đồng quy tại O nên theo định lí
Ceva, ta có



hay xyz mnp. (3)


Từ (1), (2) và (3), theo định lí Viét, (x, y, z) là một
hoán vị của (m, n, p).


VẺy cã ba trđêng hĩp xờy ra.


Trđêng hĩp 1.x m. Khi ệã MB MC hay O thuéc
trung tuyạn kĨ tõ A cựa ABC.


Trđêng hĩp 2. x n. Gải H, K theo thụ tù lộ hừnh
chiạu cựa M, N trến AB.




nên MH NK MN // AB
(định lí Thales).


Mộ (theo ệỡnh lÝ Ceva) nến
PA PB hay O thuéc trung tuyạn kĨ tõ C cựa ABC.
Trđêng hĩp 3.x p. Gải K lộ giao ệiÓm cựa BN vộ
MP; Q lộ ệiÓm ệèi xụng cựa O qua K; E, F theo
thụ tù lộ hừnh chiạu cựa M, P trến BO.


V× x p nªn 1ME.BO 1PF.BO ME PF.


2 2


MB NC PA. . 1


MC NA PB
MB NA
MC NC
1
S(NAB) NK.AB


2


1MH.AB S(MAB) x p z n p z
2


x y z MB NC PA 1
m n p MC NA PB


x OM m


p z OA y n


t ,


(x y)(y z)(z x)


1


0 2 S(OBM) S(OCN) S(OAP) S(ABC)
2


S(OBM) S(OCN) S(OAP) S(OCM) S(OAN)
x(z y) y(x z) z(y x)



S(OBP)


y z z x x y


1


S(OBM) S(OCN) S(OAP) S(ABC)
2


xy yz zx


S(OCM) , S(OAN) , S(OBP) .


y z z x x y


yx zy


S(OCN) , S(OAP) ,


z x x y


z . x S(ABC) xz .


y z S(ABC) y z


BM BM OM


S(OBM) S(OBC) . S(ABC)


BC BC AM



S(BOM) S(COM) S(OBC) x .
S(BAM) S(CAM) S(ABC) S(ABC)


BM z OM S(BOM) S(COM)


BC y z AM S(BAM) S(CAM)
S(AMB) S(OMB) S(OAB) z .


S(AMC) S(OMC) S(OCA) y



(16)

15



Cho a, b vộ c lộ nhọng sè nguyến dđểng tháa mởn
2a b, 2b c, 2c a ệÒu l nhng số chính
phng. (*)


Bạn Toán nói rằng: Tồn tại vô số các bộ ba số
nguyên (a, b, c) tháa m·n (*) mµ (a b)(b c)(c a)
chia hÕt cho 20152014.


Theo các bạn thì bạn Tốn nói đúng hay khơng?


nguyễn đức tấn(TP. Hồ Chí Minh)


BẠN TỐN NĨI ĐÚNG KHƠNG?



ĐOẠN NÀO DÀI HƠN?

(TTT2 sè 137+138)
Gäi H là trung đim BC. Suy ra BC 2HB. (1)



Dựng EK AB (K AB).


V× E thuéc trung trùc của BC nên EB EC hay
EBC cân tại E.


Mặt khác, vì nên


Suy ra


Do ú KEB HBE (cnh huyn - gúc nhn)
KE HB.


Mặt khác, AKE vuông tại K có nên


AE 2KE.


Suy ra AE 2HB. (2)


Tõ (1) vµ (2) suy ra BC AE.


NhẺn xĐt.Cã nhiÒu bỰn gỏi lêi giời ệạn tưa soỰn.
Hẵu hạt cịc bỰn ệỊu giời ệóng, vắi nhiỊu cịch vỳ
hừnh phơ khịc nhau. Cịc bỰn sau ệđĩc thđẻng kừ
nộy: Triỷu Quang MỰnh, 7A3, THCS Lẹm Thao,
Lẹm Thao, Phó Thả; Ngun Họu Hoộng, 8A1,
THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;Hoộng
Thạ Sển, 8A1, THCS Hăng Bộng, Hăng Bộng,
Hời Phưng;Lế Thanh Phđểng, 8A, THCS ThỰch
ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; Lế Hoộng Phóc, 9C,
THCS Phan Chu Trinh, TP. Buền Ma Thuét, ậớk


Lớk.


Ngoội ra, cịc bỰn sau còng cã lêi giời tèt: ậẳng
Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,
Thanh Hãa; ậẳng Thanh Tỉng, 9B, THCS
Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa, Hộ Néi;Lế Hỉng,
9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả.


anh com pa


o
EAK 30


o o


BEK 90 EBA 40 .
o
EBA EBC CBA 50


o
EBC ECB 40 .


o
ECB CAB CBA 40


Mà (theo định lí Thales) nên MK PK.
Kết hợp với OK QK suy ra MOPQ là hình bình
hành. Do đó MQ // CO, PQ // AO.


Suy ra (theo định lí Thales).


Do đó, vẫn theo định lí Ceva, ta có


nªn NC NA hay O thc
trung tun kỴ tõ B cđa ABC.


Nhận xét. Bài toán này khó, có ít bạn tham gia
giải và chỉ có bạn Quangcó lời giải tốt.


Nguyễn Minh Hµ


NC MB NC PA. . 1
NA MC NA PB


MB QB PB
MC QO PA
MK ME


PK PF



(17)

16



đĩc tin cề Laura, nọ giịm ệèc trĨ


tuữi cựa cềng ty bÊt ệéng sờn


võa bỡ ệẵu ệéc ngay tỰi cẽn hé


nhộ mừnh, thịm tỏ Sếlềccềc cỉng céng sù


véi vở ệạn hiỷn trđêng. Cề Laura ệở ệđĩc


ệđa ệi cÊp cụu, nhiỷm vô cựa thịm tỏ bẹy


giê lộ xem xĐt kỵ hiỷn trđêng ệÓ từm ra manh


mèi. BỪng cịc biỷn phịp nghiỷp vô, thịm tỏ


Sếlềccềc nhanh chãng kạt luẺn nỰn nhẹn bỡ



ệẵu ệéc vộo lóc gẵn 10 giê sịng, tục lộ vội


tiạng trđắc khi thịm tỏ ệạn. Céng sù cựa


thịm tỏ phịt hiỷn thÊy trong lỡch cềng tịc


cựa nọ giịm ệèc cã ghi 3 cuéc hứn lộm viỷc


tỰi nhộ vộo buữi sịng hềm ệã. Ba ngđêi


ệđĩc hứn lộ ềng Min, ềng Koko vộ ềng Nic.


Sau khi ệảc kỵ cuèn lỡch cềng tịc, thịm tỏ


Sếlềcềc hái ngđêi gióp viỷc cựa nỰn nhẹn:


- Bộ hởy cho tềi biạt cề Laura ệở tiạp nhọng



ai trong s¸ng nay?



- Sịng nay tềi chử ẻ nhộ mét lóc thềi. Sau ệã


tềi ệi chĩ nến khềng biạt hạt nhọng ngđêi


ệở ệạn.



- Thạ bộ cã thÊy ai ệạn khềng?


- Cã. Tềi ệở mẻ cỏa cho mét ngđêi.


- Nam hay nọ vẺy?



- Thđa thịm tỏ, mét ngđêi n ng .



một làn to toàn xoài chín, thơm lừng.



- Có phải khay xoài trên bàn ở góc phòng


kia không?



- Vâng, đúng ạ. Tơi đã bày xồi lên khay và


đặt lên bàn ngay lúc đó. Khi cơ chủ ra tiếp


thì tụi i ch.




- Bà đi chợ có lâu không?



LAỉN XOAỉI



cuỷa ai?




(18)

17



- Mọi hôm tôi chỉ đi chừng nửa tiếng, nhðng


hơm nay tơi tranh thủ tìm mua một số loại


thuốc cho con gái nên đã về khá muộn. Tơi


cũng khơng rõ mình đã đi bao lâu nữa.


Rồi bà giúp việc nói tiếp:



- VỊ tắi nểi, thÊy cề chự bÊt ệéng, tềi cuèng


cuăng gải xe cÊp cụu vộ bịo cờnh sịt.


Sau ệã, thịm tỏ lẺp tục từm cịch liến lỰc vắi


3 ngđêi cã tến trong lch cng tc ca


Laura.



Đầu tiên là anh Koko.



- Sáng nay anh tặng trái cây cho cô Laura


nhân dịp gì vậy? - Thám tử hỏi.



- Tng tri cẹy đ? Khềng hỊ... ậóng lộ tềi cã


ệạn chẫ cề ta theo hứn trđắc, nhđng bÊm


chuềng mởi khềng ai mẻ cỏa nến tềi ệộnh


vÒ. Mộ sao ềng lỰi hái thạ? Tềi chỬng cã lÝ



do gừ ệÓ tẳng cề Êy cờ...



TiÕp theo là ông Min.



- Cú phi sỏng nay ụng ó mang trỏi cõy ti



tặng cô Laura không?



- Trời i! Ti khềng phời lộ ngđêi lởng mỰn


ệạn thạ ệẹu! Tềi ệạn nhđng cỏa ệãng im ửm.


Mộ tỰi sao tềi lỰi tẳng trịi cẹy khi tềi biạt quị


râ lộ cề Êy chỬng thÝch ẽn xoội?



Ngđêi cuèi cỉng thịm tỏ hái lộ ềng Nic.


- Cã ngđêi nãi sịng nay anh ệở mang trịi


cẹy tắi nhộ cề Laura, ệóng khềng?



- Trịi cẹy ị? Sao tềi lỰi phời tẳng cề ta chụ?


Râ lộ cã hứn trđắc, thạ mộ khi tềi gâ cỏa, cề


ta cã thÌm mẻ ệẹu. Thõa tiỊn tềi cịng


khềng mua gừ ệĨ tẳng cho cịi loỰi kiếu kừ


ệã!



Thịm tỏ Sếlềccềc nãi vắi céng sù cựa mừnh:


- Tềi ệở từm ra kĨ khờ nghi răi. Chóng ta sỳ


phèi hĩp vắi cờnh sịt ệĨ ệiỊu tra thếm trđắc


khi kạt luẺn.



* Đố các bạn biết, thám tử đã nghi ai - ông


Min, anh Koko hay ông Nic? Căn cứ vào



đâu mà thám tử lại nghi ngờ nhð vậy?



Anh N. ệở cã lêi khai gian dèi: Trong khoờng


thêi gian tõ 7 ệạn 8 giê tèi, VTV3 khềng phịt


sãng phim trinh thịm. Thềng thđêng, vộo giê


ệã, VTV3 phịt chđểng trừnh Thêi sù.



Hầu hết các bạn đều phát hiện ra sơ hở trong


lời khai của anh N. Tuy nhiên, vẫn có bạn, có


lẽ do chða chú ý tới những gì diễn ra trong


cuộc sống hàng ngày nên đã đða ra câu trả


lời sai.



Hãy trau dồi những hiểu biết thực tế từ cuộc


sống để sau này có thể trở thành thám tử, các


bạn nhé!



Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi:

ậộm Nam Khịnh

,


8A2, THCS HỰ Hưa, HỰ Hưa,

Phó Thả

;

Lế


Vẽn Hời

, 7E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh


Tđêng,

Vỵnh Phóc

;

Ngun Hoộng Anh

,


7A1, THCS Tiến Hđng, Lơc Nam,

Bớc


Giang

;

Ngun Viạt Bịch

, 7A2, THCS Lế


Danh Phđểng, Hđng Hộ,

Thịi Bừnh

;

Chu


Minh Khang

, 7I, THCS Lế Quý n, Cu


Giấy, H Nội.



Thám tử Sêlôccôc




(19)

(20)

19




Vị Kim Thđy



Question 7.

A solar heater uses energy from the Sun to heat


water. The panels of the heater are painted black. Why is this?


A. To improve absorption of infra-red radiation



B. To improve emission of infra-red radiation



C. To improve the conducting properties of the panel


D. To make the panel less noticeable



E. To reduce convection currents



Question 8.

A vacuum will prevent heat transfer by


A. Conduction only



B. Convection only


C. Radiation only



D. Conduction and convection only


E. Conduction, convection and radiation



Physics Terms



improve

tốt hơn



emission

tỏa



less noticeable

bớt sẫm, bớt đậm




current

dòng



prevent

ngăn cản, tránh



Answers.

Chờ các bạn gửi về.



UNIT 10. TRANSFER OF HEAT



Q3.

B.

Q4.

A.



Q5.

E.

Q6.

A.



NhËn xÐt.

B¹n

T¹ Hữu Tiến Thành

, 8A,


THCS Cao Xuân Huy, DiƠn Ch©u,

NghƯ An



giời ệóng cờ 4 cẹu ệđĩc thđẻng k ny.



Đinh thu




(21)

20



Câu 1.



Câu 2.



Câu 3.



Cu 4.

Tr lêi: Khềng thÓ phự kÝn ệđĩc.




Cẹu 5.

a) Cã mđêi sè B tháa mởn lộ:


189654327,

981654327,

789654321,


987654321,

183654729,

381654729,


189654723,

981654723,

147258963,


741258963.



b) Thỏ mđêi sè trến chử cã B 381654729


tháa mn.



Câu 6.



Câu 7.



Câu 8.




(22)

21


Lời giải.


Đặt ;


áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có P.Q [(a b) (b c) (c a)]2 4(a b c)2;


Ta sÏ chøng minh


Từ bất đẳng thức (x y)2 4xy, suy ra (a b)3 (b c)3 (c a)3 4ab(a b) 4bc(b c) 4ca(c a).
Do đó


§Ĩ chøng minh (2) ta sÏ chøng minh (a b c)3 4[ab(a b) bc(b c) ca(c a)] 3abc
a3 b3 c3 3abc ab(a b) bc(b c) ca(c a) (3)



a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) 0
(a b)2(a b c) c(c a)(c b) 0. (4)


Ta thấy (4) luôn đúng nếu giả sử a b c. Suy ra đpcm.
Dấu “ ” xảy ra khi a b c.


NhẺn xĐt.BÊt ệỬng thục (3) cưn cã tến lộ bÊt ệỬng thục Schur. ậẹy lộ bội toịn hay vộ khã, khềng cã
vâ sỵ nộo ệẽng quang trong trẺn ệÊu nộy, phẵn thđẻng xin gịc lỰi kừ sau.


Ngun ngäc h©n


3 3abc3 3 3abc


4 1 4 .


ab(a b) bc(b c) ca(c a)
(a b) (b c) (c a)


3


3 3 3


(a b c) 4 1 3abc . (2)


ab(a b) bc(b c) ca(c a) (a b) (b c) (c a)
3


3 3 3


(a b c) 3abc



2 4 1


ab(a b) bc(b c) ca(c a) (a b) (b c) (c a)


2 2


3


4(a b c) 2(a b c)


P


Q (a b c)[ab(a b) bc(b c) ca(c a)]
(a b c)


2 .


ab(a b) bc(b c) ca(c a)


2 2 2


2 2 2


Q a b (a b)(ab c ) b c (b c)(bc a ) c a (c a)(ca b )
2(a b c)[(a b)(ab c ) (b c)(bc a ) (c a)(ca b )]


2 (a b c)[ab(a b) bc(b c) ca(c a)]


2 2 2



Q (a b) ab c (b c) bc a (c a) ca b .


2 2 2


a b b c c a


P


ab c bc a ca b


Ngđêi thịch ệÊu:Tèng Thộnh Vò, Hảc viến lắp
Cao hảc toịn Giời tÝch, K5, ậỰi hảc Hăng ậục.
Bội toịn thịch ệÊu:Từm sè tù nhiến n sao cho
n cã tÊt cờ k đắc tù nhiến d1, d2, d3, ..., dktháa
mởn 1 d1 d2 d3 ... dk n (k 15) tháa


m·n hai ®iỊu kiÖn sau:
i) n d13 d14 d15;
ii) (d5 1)3 d15 1.
XuÊt xø: Sðu tÇm.


Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.11.2014.



(23)

TỰp chÝ Toịn Tuữi thể ệđĩc tịch ra tõ tỰp chÝ Toịn
hảc & Tuữi trĨ. Nhẹn dỡp trưn 50 nẽm tỰp chÝ Toịn
hảc & Tuữi trĨ ra sè ệẵu tiến, thịng 10.1964
-10.2014, tềi xin kÓ cịc bỰn nghe mét sè kử niỷm
khã quến vắi nhọng bội toịn ệẽng trến tỰp chÝ Êy.
1. Mét lêi ệéng viến ệỡnh hđắng



Mơc §Ị ra kì này trên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
năm 1965 có bài toán sau:


Bi toỏn 1. Chng minh rng trong tất cả các tam
giác có cùng diện tích và độ dài một cạnh, tam
giác cân có chu vi nhỏ nhất.


Trong số báo tháng 5 năm 1966, sau khi đða ra lời
giải chủ yếu sử dụng công cụ đại số (dùng công
thức Hêrông và bất đẳng thức Côsi ), thầy Nguyễn
Đăng Phất đða ra nhận xét: Tất cả các bạn đều
giải theo một trong ba cách trên. Rất hoan nghênh
bạn Lê Quốc Hán đã giải bài này bằng kiến thức
hình học PTCS.


Ta cã thĨ giờ thiạt rỪng cịc tam giịc ABC ệđĩc xĐt
cã ệịy BC chung vộ ệđêng cao AH khềng ệữi (vừ
diỷn tÝch tam giịc khềng ệữi). Do ệã A nỪm trến
ệđêng thỬng (d) song song vắi BC, cịch BC mét


khoờng khềng ệữi. Nhđ vẺy bội toịn ệở cho ệđĩc
ệđa vÒ bội toịn quen thuéc: “Cho trđắc ệoỰn
thỬng BC vộ ệđêng thỬng (d) song song vắi BC.
Xịc ệỡnh ệiÓm A trến (d) sao cho AB AC ệỰt giị
trỡ nhá nhÊt”. Chử cẵn lÊy ệiÓm B’ ệèi xụng vắi B
qua (d) thừ AB AC AB’ AC B’C nến AB AC
ệỰt giị trỡ nhá nhÊt bỪng B’C khi vộ chử khi B’, A,
C thỬng hộng, nghỵa lộ khi vộ chử khi AB AC. Lêi
ệéng viến cựa thẵy ệở khÝch lỷ tềi yếu thÝch mền


hừnh hảc phỬng n tn ngy nay.


2. Bí mật ẩn sau những bài toán


Mục Đề ra kì này trên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ
năm 1968 có bài toán:


Bài toán 2.Không dùng bảng số, so sánh các giá
trị cos36ovà tan36o.


Sau khi nu nhiÒu lêi giời bội toịn bỪng cịch biạn
ệữi lđĩng giịc, thẵy Hoộng Chóng nhẺn xĐt: TÊt
cờ cịc bỰn ệÒu dõng lỰi tỰi ệẹy. Riếng bỰn Lế
Quèc Hịn ệở cã mét nhẺn xĐt hay: Tõ phđểng
trừnh cosx tanx, nhẺn ệđĩc x 38o. VẺy cã thÓ
khềng dỉng bờng sè mộ so sịnh ệđĩc cos38o vộ
tan38o hay khềng? RÊt nhiÒu bỰn trĨ ệở tham gia
trờ lêi cẹu hái ệã vắi nhọng lêi giời khị ệéc ệịo.
Thẵy Hoộng Chóng ệở tững hĩp lỰi vộ giắi thiỷu
chóng trến tỰp chÝ Toịn hảc trong nhộ trđêng xuÊt
bờn ẻ Liến Xề thêi ệã. Tõ ệã, tềi rót ra mét bội hảc:

22



BÍ MẬT ẨN SAU



những bài tốn



PGS. TS. L£ QUèC H¸N



(24)

Giời ệđĩc mét bội toịn lộ ệịng quý, nhđng phịt


hiỷn nhọng bÝ mẺt giÊu sau bi ton cn ng quý
hn!


3. Quyết không theo những lèi mßn


Nẽm 1974, ệoộn hảc sinh Viỷt Nam tham dù thi
Olympic Toịn Quèc tạ ệẵu tiến vộ ệỰt ệđĩc thộnh
tÝch rùc rì vắi 1 HCV, 1 HCB vộ 3 HCậ. Sau khi
bịo Toịn hảc & Tuữi trĨ ệẽng ệÒ ra vộ lêi giời cựa
6 bội toịn cựa kừ thi nẽm Êy, tềi thÊy lêi giời bội
hừnh hảc phỬng sau ệẹy quị dội:


Bài toán 3.Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
tồn tại trên cạnh BC của tam giác ABC một điểm
D sao cho AD2 BD.CD là


Cịc lêi giời tưa soỰn giắi thiỷu ệÒu dỉng ệỡnh lÝ
hộm sè sin hay ệỡnh lÝ hộm sè cềsin trong tam giịc
cỉng nhiÒu phĐp biạn ệữi lđĩng giịc vộ ệỰi sè khị
phục tỰp. Tềi bẽn khoẽn: cã lêi giời nộo mang sớc
thịi hừnh hảc hển khềng? ậÓ ý ệạn vạ phời trong
ệỬng thục AD2 BD.CD, tềi thÊy chử cẵn vỳ ệđêng
trưn tẹm O ngoỰi tiạp tam giịc ABC thừ theo hỷ
thục lđĩng trong ệđêng trưn (AD.DE BD.CD),
ệỬng thục trến tđểng ệđểng vắi ệiÒu kiỷn AD DE
hay OD AE, trong ệã E lộ giao ệiÓm cựa ệđêng
thỬng AD vắi ệđêng trưn (O). Nhđ vẺy, ta cẵn từm
ệiỊu kiỷn ệĨ ệđêng trưn ệđêng kÝnh AO cớt hoẳc
tiạp xóc vắi cỰnh BC. Gải I lộ trung ệiĨm AO vộ
H, J, K lộ chẹn ệđêng vuềng gãc hỰ tõ A, I, O


xuèng BC thừ ệiÒu kiỷn Êy tđểng ệđểng vắi ệiÒu
kiỷn IJ ID hay AH OK AO (dÊu nạu
dÊu – nạu TÝnh AO, AH, OK
theo bịn kÝnh R cựa ệđêng trưn (O) vộ cịc gãc cựa
tam giịc ABC ta nhẺn ệđĩc ệiÒu cẵn chụng minh.


Mõng hển lộ tõ cịch giời Êy, tềi nhẺn ệđĩc bội
toịn sau:


Bội toịn 4.Gải AH, AD, AM lộ ệđêng cao, phẹn
giịc trong vộ trung tuyạn cựa tam giịc ABC.
Chụng minh rỪng ệiÒu kiỷn cẵn vộ ệự ệÓ HD DM
lộ


Một vài kỉ niệm trên đủ lí giải vì sao tơi u mến và
gắn bó với 2 tờ tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ và Toán
Tuổi thơ đến vậy. Mong các bạn yêu mến và gn
bú vi chỳng hn.


Bài tập. Chỉ dùng kiến thức toán THCS, hÃy giải
các bài toán trên.


2A


sin sinB.sinC.
2


o
A 90 ).
o



A 90 ,


2 A


sin sinB.sinC.
2



(25)

24


Questions 1 to 10, 3 marks each


1.The value of 99 2 1 102 is


(A) 0 (B) 100 (C) 198 (D) 200 (E) 202
2.The size, in degrees, of Q is


(A) 40 (B) 55 (C) 60 (D) 80 (E) 90
3.Yesterday it rained continuously from 9:45 am
until 3:10 pm. For how long did it rain?


(A) 3 hours 25 minutes (B) 3 hours 35 minutes
(C) 5 hours 25 minutes (D) 6 hours 25 minutes
(E) 6 hours 35 minutes


4.The value of 8 3.1 is


(A) 11.1 (B) 16.8 (C) 8.31 (D) 24.1 (E) 24.8
5. The change you should receive from a $20
note after paying a bill of $9.45 is



(A) $10.55 (B) $10.45 (C) $11.55
(D) $9.55 (E) $10.65


6. Three-fifths of a number is 48. What is the
number?


(A) 54 (B) 60 (C) 64 (D) 80 (E) 84
7.Which of the following is closest to 100?
(A) 99 2.01 (B) 98 3.011 (C) 97 4.0111
(D) 101 1.01 (E) 102 2.011


8. The adjacent sides of the decagon shown


meet at right angles and all dimensions are in
metres.


What is the perimeter, in metres, of this
decagon?


(A) 45 (B) 60 (C) 34


(D) 90 (E) cannot be calculated
9.If of the children in a choir are boys and the
rest are girls, the ratio of boys to girls is


(A) 4 : 9 (B) 4 : 5 (C) 5 : 4 (D) 9 : 4 (E) 5 : 9
10.By what number must 6 be divided to obtain


as a result?



(A) 18 (B) (C) (D) 2 (E) 9
Questions 11 to 20, 4 marks each
11. In the diagram, the size of three angles are
given. Find the value of x.


1
18
1


2
1


3
5
9


AUSTRALIAN MATHEMATICS COMPETITION



Thursday 2 August 2012



Australian school years 7 and 8


Time allowed: 75 minutes



JUNIOR DIVISION COMPETITION PAPER




(26)

25



(A) 90 (B) 95 (C) 100


(D) 110 (E) 120



12. A jar of mixed lollies contains 100 g of
jellybeans, 30 g of licorice bullets and 20 g of
bilby bears. Extra bilby bears are added to make
the mix 50% bilby bears by weight. How many
grams of bilby bears are added?


(A) 20 (B) 30 (C) 60 (D) 110 (E) 600
13.A square piece of paper is folded in half. The
resulting rectangle has a perimeter of 18 cm.
What is the area, in square centimetres, of the
original square?


(A) 9 (B) 16 (C) 36 (D) 81 (E) 144
14.If 750 45 p, then 750 44 equals
(A) p 45 (B) p 750 (C) p 1
(D) 44p (E) 750p


15. The grid shown is part of a cross-number
puzzle.


Clues


16 across is the reverse of 2 down


1 down is the sum of 16 across and 2 down
7 down is the sum of the digits in 16 across
What is 7 down?


(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15


16.I can ride my bike 3 times as fast as Ted can
jog. Ted starts 40 minutes before me and then I
chase him. How long does it take me to catch
Ted?


(A) 20 min (B) 30 min (C) 40 min
(D) 50 min (E) 60 min


17.Five towns are joined by roads, as shown in
the diagram.


How many ways are there of travelling from town
P to town T if no town can be visited more than
once?


(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9
18.What are the last three digits of 7777 9999?


(A) 223 (B) 233 (C) 333


(D) 323 (E) 343


19. In how many ways can 52 be written as the
sum of three prime numbers?


(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
20.Four points P, Q, R and S are such that PQ 10,
QR 30, RS 15 and PS m. If m is an integer
and no three of these points lie on a straight line,
what is the number of possible values of m?


(A) 5 (B) 49 (C) 50 (D) 54 (E) 55


Questions 21 to 25, 5 marks each
21.A courier company has motorbikes that can
travel 300 km starting with a full tank. Two
couriers, Anna and Brian, set of from the depot
together to deliver a letter to Connor’s house.
The only refuelling is when they stop for Anna to
transfer some fuel from her tank to Brian’s tank.
She then returns to the depot while Brian keeps
going, delivers the letter and returns to the depot.
What is the greatest distance that Connor’s
house could be from the depot?


(A) 180 km (B) 200 km (C) 225 km
(D) 250 km (E) 300 km


22.The square PQRS has sides of 3 metres. The
points X and Y divide PQ into 3 equal parts.


Find the area, in square metres, of XYZ.
(A) (B) (C) (D) (E)
23.The product of three consecutive odd numbers
is 226 737. What is the middle number?


(A) 57 (B) 59 (C) 61 (D) 63 (E) 65
24.A Meeker number is a 7-digit number of the
form pqrstup, where p q 10r s and s t
10u p and none of the digits are zero. For
example, 6 742 816 is a Meeker number. The


value of s in the largest Meeker number is
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 8


(Xem tiếp trang 9)
1
4
1


3
3


16
1


2
3



(27)

26



Bài 16NS.Tìm các số nguyªn x, y tháa m·n x5 27y3 2x.


Lế sển tỉng(GV. THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả)
Bội 17NS.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn abc 1. Chụng minh rỪng


dđểng ệục Lẹm(GV. THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi)
Bội 18NS.Cho hừnh bừnh hộnh ABCD, trến ệoỰn BC lÊy ệiÓm K, AK cớt BD tỰi M, DK ct AB ko di
ti N. Chng minh rng


Ngô văn thái (GV. THPT Phạm Quang Thẩm, Thái Bình)
AK DK 2.



AM DN


2 2 2


a b c .


1 a 1 b 1 c


CUỘC THI GIẢI TỐN DÀNH CHO NỮ SINH

(TTT2 sè 137+138)
Bài 10NS. Đt A 20132014 a1 a2 a3 ... an.


Vì a7 a 42 với mọi số nguyên a nên S A(mod 42).
Mặt khác A 20132014 32014(mod 42).


Ta chứng minh bằng quy nạp toán học
(với n *).


Vậy S chia cho 42 dð 39.


NhẺn xĐt. Bội toịn nộy chử cã hai bỰn sau cã lêi
giời ệóng: Ngun Thỉy Dđểng, Ngun Thu
HiỊn, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.
Bội 11NS. Ta cã (a 1)2 0 nến a2 2a 1;
(b 2)2 0 nến b2 4b 4.


Do đó áp dụng bất đẳng thức AM-GM và sử dụng
giả thiết ta có


DÊu b»ng xảy ra khi a 1 và b 2.


Vậy Min


Nhận xét. Khơng có bạn nào có lời giải đúng cho
bài toán trên.


Bội 12NS. Qua K kĨ ệđêng thỬng song song vắi
BC cớt AB, AC lẵn lđĩt tỰi X, Y. AK cớt BC tỰi I. Gải
L lộ ệiÓm ệèi xụng cựa K qua I. Ta cã cịc tụ giịc
XKDE vộ KFYD lộ cịc tụ giịc néi tiạp.


Ta chụng minh ệđĩc


Do đó tam giác DXY cân tại D.
Suy ra K là trung điểm của XY.
Mà XY BC nên


Do đó tứ giác BKCL là hình bình hành.
Suy ra BK LC, KC BL.


Do đó


VËy MN BC.


Nhận xét. Rất tiếc khơng có bạn nào có lời giải
đúng cho bài tốn này.


Cịc bỰn ệđĩc khen kừ nộy: Ngun Thỉy Dđểng,
Ngun Thu HiỊn, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao,Phó Thả.



nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 2.


Ngun Ngäc H©n


AM AK AN AK; AM AN.


AB AL AC AL AB AC


XK AK YK BI CI.
BY AI CI


DXK DYK
a 1


23
P


b 2
6


23


P .


6


1 1 1


P 2a 1 4b 4 a 2b



a b a b


1 1 1


3a 2b 5


a b a b


a b 1 a 1 b 1


9 a b a 4 b


59 a b a 5 2 2 1 59 3 1 5P


36 4 3 36 4


5 4 2


2014 4 4 3 4 4 3 2


3 3 .(3 ) .3 .(3 ) .3 39 (mod 42).
n


4


3 3 (mod 42)


7 7 7 7


1 2 3 n



7 7 7 7


1 2 3 n


7 7 7


1 1 2 2 n n


S a a a ... a
a a a ... a A A



(28)

Bài 1.Ta điền các số nh sau:


Bài 2.


Vì nên


Bài 3.


Chu vi hình bình hành tô màu là:
4 5 6 7 14 8.


Bài 4. Số tập hợp cần tìm là 8.


Đó là các tập hợp: {a}; {a, d}; {a, e}; {a, d, e}; {b};
{b, d}; {b, e}; {b, d, e}.


Bài 5.Vì chia hết cho



99 nên n chia hÕt cho 9 vµ 11.


Ta cã n chia hÕt cho 11 nªn (a 37) (b 34) 11.
Suy ra a b 3 hc a b 8.


MỈt khác n chia hết cho 9 nên a b 71 9.
Suy ra a b 1 hc a b 10.


Mộ a b vộ a b cỉng tÝnh chơn lĨ nến giời ra ta
ệđĩc a 9 vộ b 1.


NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau giời ệóng cờ 5 bội vộ ệđĩc
thđẻng kừ nộy: NguyÔn Thỡ Hđểng Quúnh, 8A,
THCS Tam Dđểng, Tam Dđểng, Vỵnh Phóc; Vâ
Thỡ BÝch Hĩp, 8G, THCS Lđểng thạ Vinh, TP. Tuy
Hưa, Phó Yến; ậẳng Quang Anh, 7A, THCS
NguyÔn ChÝch, ậềng Sển, Thanh Hãa;KhuÊt Bờo
Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ
Néi;ậẫ Linh Chi vộ NguyÔn Thỡ Thu Hđểng, 8A2,
THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh, Phó Thả.
Cịc bỰn sau ệđĩc khen: NguyÔn Minh TuÊn, 7B,
THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;Ngun
Thỡ Loan, Lế Khịnh Linh, 8A, Trẵn Thu Hun, 9A,
THCS Tam Dđểng, Tam Dđểng, NguyÔn TÊn Huy,
7D, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc.


Ngun Ngäc Minh


n a3640548981270644b



o o


ACD 48 CDE ACD CED 28 .
o


BCD 96
o


ABC 84


27


Bài 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


2


21


A x 4 .


x 4


Bài 5.Cho hình bình hành ABCD có
Tính DBC.


o


CAD 105 .


o



BAC 30 ,


Kì 4



Bội 1. Viạt tÊt cờ cịc sè nguyến cã giị trỡ tuyỷt ệèi nhá hển 2014
theo thụ tù tỉy ý. LÊy mẫi sè céng vắi sè thụ tù cựa nã ta ệđĩc mét
tững. TÝnh tững cựa tÊt cờ cc tng ó.


Bài 2. Tìm x, y biết: |x 10| |x 6| |x 2014| 2008 |3y 8|.
Bài 3.Tìm ba chữ số đầu tiên của M, biết:


M 11 22 33 ... 10001000.


Góc OLYMPIC

Kì 2

(TTT2 sè 134)



(29)

28



Tõ trến cỉng trong hừnh bến lộ FIRE, cưn tõ dđắi


cỉng lộ PARK. BỰn hởy từm 3 tõ ệĨ ệiỊn vộo 3


hộng ngang cưn trèng, vắi ệiÒu kiỷn lộ trong mẫi


tõ ệụng sau chử cã mét chọ cịi khềng gièng vi


nhng ch ci trong từ ng st trn nó.



Mẫn Văn Mạnh


(7A2, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh)



Mẹ buồn bực hái con trai:



- Con đạt điểm tốt trong tất cả các mơn. Tại


sao hạnh kiểm thì vẫn yếu?




Con trai tr¶ lêi:



- Vừ hỰnh kiÓm thừ con khềng nhừn bội cựa bỰn


ệÓ chĐp ệđĩc Ự.



MÈu chuyỷn vui nộy ệđĩc tÊt cờ cịc bỰn dỡch


khị sịt nghỵa. Tuy nhiến, dỡch sịt nghỵa vộ


dỡch sao cho võa thoịt ý võa phỉ hĩp vắi


tiạng Viỷt lỰi lộ hai viỷc khềng gièng nhau


hoộn toộn. Khi dỡch, cịc bỰn ệõng phô thuéc


mét cịch mịy mãc vộo mét nghỵa cơ thĨ nộo


ệã cựa tõ, mộ hởy chó ý ệạn ngọ cờnh, tục lộ


bèi cờnh cựa cẹu chuyỷn mừnh ệang dỡch.


Quan trảng nhÊt lộ thoịt ý vÒ néi dung vộ


thoịt ý vÒ cịch dỉng tõ ngọ.



Chự Vđên xin gỏi quộ tắi:

ậẫ Minh Hiỷp

, 8A,


THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến,

Vỵnh Phóc

;



Dđểng Lẹm Anh

, 8A1, THCS Yến Phong,


Yến Phong,

Bớc Ninh

;

KhuÊt Bờo Chẹu

, 8A,


THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt,

Hộ Néi

;



Hoµng Thị Linh Đan

, 7/5, THCS Lê Văn


Thiêm,

Hà Tĩnh

.



Ch Vờn



DềCH THE NAỉO?




AI IN NG?




(30)

29



NhỪm ệịp ụng nhu cẵu cựa ệéc giờ sau lẵn in
ệẵu, TỰp chÝ ệở chửnh lÝ, bữ sung vộ in tịi bờn
cuèn sịch ngay ệẵu nẽm hảc mắi 2014 - 2015.
Sịch lộ tội liỷu gióp hảc sinh vộ cịc thẵy, cề
giịo phịt hiỷn vộ băi dđìng nhẹn tội toịn hảc.
Cịc chuyến ệÒ, cịc ệÒ toịn trong sịch ệđĩc
tuyÓn chản tõ cịc bội ệẽng trến Toịn Tuữi thể
2 do cịc céng tịc viến lộ nhọng giịo sđ, tiạn sỵ
cã uy tÝn vộ cịc thẵy cề giịo say mế nghiến
cụu bé mền toịn trong nhộ trđêng gỏi vÒ.
Tõ cịc nguăn tội liỷu trến, Ban biến tẺp TỰp chÝ
ệở chản lảc vộ biến tẺp lỰi ệÓ ra


mắt độc giả cuốn sỏch ny.


Sách gồm hai phần.


Phn 1 gm 3 chng vi cịc
chuyến ệÒ:


Chđểng 1. Hảc ra sao? cung
cÊp cho hảc sinh nhọng phđểng
phịp họu Ých ệÓ hảc toịn tèt
hển, ệăng thêi lộ tđ liỷu bữ Ých
gióp cho cịc thẵy, cề giịo trong


viỷc hđắng dÉn phđểng phịp
hảc tẺp vộ giờng dỰy tỰi cịc
nhộ trđêng. Chuyến mơc nộy


cịng gióp cho cịc vỡ phô huynh phđểng phịp
hđắng dÉn con, em hảc ẻ nhộ.


Chđểng 2. Sai ẻ ệẹu? Sỏa cho ệóng lộ tẺp
hĩp nhọng bội toịn cỉng lêi giời cã sai sãt.
Nhọng lêi giời tđẻng lộ ệóng nhđng lỰi mớc lẫi,
nhọng ệỊ toịn sai nhđng vÉn cã lêi giời... qua
ệã trịnh cho thẵy, cề giịo vộ cịc em hảc sinh
mớc nhọng sai lẵm ệịng tiạc trong viỷc ra ệỊ
vộ lộm bội trong kiĨm tra, thi cỏ.


Chđểng 3.Toịn hảc vộ héi nhẺp - Nhừn ra thạ
giắigióp cho thẵy, cề giịo vộ cịc em hảc sinh
tiạp cẺn nhọng kiạn thục toịn hảc cẵn thiạt


trong thêi buữi héi nhẺp, ệăng thêi qua nhọng
ệÒ thi hảc sinh giái mền toịn ẻ nhiÒu vỉng
miÒn trến thạ giắi, gióp chóng ta hiĨu vỊ viỷc
hảc tẺp vộ thi cỏ mền toịn cựa cịc nđắc cã
nÒn giịo dơc tiến tiạn.


Chuyến ệỊ nộy ệđĩc chản lảc trong nhọng bội
viạt cựa cịc tịc giờ: Vò Kim Thựy, Trỡnh Hoội
Dđểng, NguyÔn Bị ậang, Hoộng Trảng Hờo,
NguyÔn Ngảc Hẹn. ậẹy lộ phẵn chửnh lÝ lắn
nhÊt so vắi bờn in lẵn ệẵu.



Phẵn 2 chản lảc cịc bội toịn Thi giời toịn
qua thđ. ậẹy hẵu hạt lộ nhọng
ệÒ toịn hay, mắi cựa cịc giịo
sđ, tiạn sỵ, cịc thẵy, cề giịo, cịc
nhộ nghiến cụu cã tẹm huyạt
vắi toịn hảc trong nhộ trđêng
nhiÒu nẽm qua.


Cuèi sịch cưn cã hđắng dÉn
giời cịc bội toịn cựa hai phẵn
trến ệÓ bỰn ệảc tiỷn tra cụu.
Vừ sịch lộ tẺp hĩp trÝ tuỷ cựa rÊt
nhiÒu nhộ giịo tẹm huyạt vắi
toịn hảc nến sỳ rÊt bữ Ých cho
cịc bỰn yếu toịn, cịc em hảc
sinh, cịc thẵy cề giịo vộ cịc bẺc phô huynh.
Gi ba: 39.500 ng.


Sách bán tại:


1) Tp chí Ton Tui th, số 361 Trờng Chinh,
Q. Thanh Xun, H Nội


2) Đại diện tại miền Nam, 55/12 Trần Đình Xu,
P. Cầu Kho, Q. 1, TP. Hå ChÝ Minh.


3) C¸c cưa hàng sách Giáo dục trong toµn
qc.



Có thể đặt mua tại các cơ sở bðu điện gần
nhất.


TUYỂN CHỌN 10 NĂM TOÁN TUỔI THƠ



CÁC CHUYÊN ĐỀ VÀ ĐỀ TỐN CHỌN LỌC THCS




(31)

30



hử cưn vội thịng
nọa, chóng ta bđắc
sang nẽm 2015. ậã
lộ nẽm chóng ta kử niỷm ngộy Quèc khịnh
2.9.1945 lẵn thụ 70 vộ 40 nẽm Thèng nhÊt ệÊt
nđắc. Mét thêi khớc quan trảng nọa lộ dù kiạn
cuèi nẽm 2015 Céng ệăng ASEAN ệđĩc thộnh
lẺp. Tõ 8.8.1967 Hiỷp héi cịc quèc gia ậềng
Nam ị gải tớt lộ ASEAN (Association of
Southeast Asian Nations) ra ệêi. Lóc ệẵu cã 5
thộnh viến. Viỷt Nam gia nhẺp 28.7.1995 vắi
tinh thẵn Chự ệéng, TÝch cùc, Cã trịch nhiỷm.
Nẽm 2008 chóng ta ệở tữ chục Héi nghỡ cÊp
cao ASEAN tỰi Viỷt Nam. Nẽm 2010 Viỷt Nam
ệở lộ Chự tỡch ASEAN thộnh cềng vắi nhiÒu ệÒ
xuÊt mắi cho hoỰt ệéng cựa khèi. ậạn nay ệở
cã 10 nđắc tham gia ASEAN: Indonesia,
Malaysia, Philippin, Singapore, Thịi Lan,
Brunei, Viỷt Nam, Lộo, Myanma, Campuchia.
Chử cưn ậềng Timo (lộ nđắc thụ 11) cựa ậềng
Namịchđa tham gia. ASEAN cã 600 triỷu dẹn


vắi tững GDP lộ 2000 tử USD. ASEAN hoỰt ệéng
trến cể sẻ Hiạn chđểng ASEAN hừnh thộnh nẽm
2007 vộ cã hiỷu lùc tõ 2008. Hiỷn tỰi Trô sẻ
chÝnh cựa Ban Thđ kÝ Hiỷp héi ASEAN ệẳt tỰi
Giacacta, Indonesia vộ Tững Thđ kÝ ASEAN lộ
ềng Lế Lđểng Minh (ngđêi Viỷt Nam). Hiỷp héi
cã cịc Viỷn ệẳt tỰi cịc nđắc thộnh viến. VÝ dô
SEAMEO RECSAM lộ Trung tẹm Khoa hảc vộ
Toịn hảc Vỉng ậềng Nam ịệẳt tỰi Malaysia.
Hiỷp héi ASEAN ệang hđắng tắi mét Céng
ệăng ASEAN vắi 3 trô cét chÝnh: Céng ệăng
Kinh tạ, Céng ệăng An ninh, Céng ệăng Vẽn
hãa - Xở héi. Céng ệăng ASEAN sỳ mẻ ra con
ệđêng phịt triÓn mắi cho cịc quèc gia ậềng
Nam ị. Trđắc hạt, ngay cuèi nẽm 2015 Céng
ệăng Kinh tạ ASEAN gải tớt lộ AEC sỳ hừnh
thộnh. ậã lộ mét môc tiếu Hiỷp héi ệở ệẳt ra tõ
lẹu vộ ệang hđắng tắi vắi mải nẫ lùc cựa cịc


quèc gia.


Hiỷp héi găm 2 nhãm nđắc lôc ệỡa vộ hời ệờo
hừnh thộnh. Trừnh ệé phịt triĨn kinh tạ cịng gẵn
hừnh thộnh 2 mục vắi thu nhẺp bừnh quẹn ệẵu
ngđêi cưn chếnh lỷch.


Viỷt Nam chóng ta ẻ vộo vỡ trÝ trung bừnh vỊ trừnh
ệé phịt triĨn. Tuy nhiến chóng ta ệụng thụ 4 vÒ
diỷn tÝch, thụ 3 vÒ dẹn sè trong tững sè 10 nđắc
vộ ẻ vộo vỡ trÝ thuẺn lĩi vÒ ệỡa lÝ trong hiỷp héi.


Tõ Hộ Néi ệạn Rẽng gun lộ thự ệề cò cựa nđắc
Myanma lộ 1120 km. ậã lộ nđắc cùc Tẹy
ASEAN. Tõ Hộ Néi ệạn Manila 1170 km. ậã lộ
thự ệề cựa Philippin, nđắc cùc ậềng cựa
ASEAN hiỷn tỰi. Tõ TP. Hă ChÝ Minh ệạn
Singapore 1100 km. Singapore võa cã thÓ coi lộ
nđắc cuèi cựa khu vùc cịc quèc gia lôc ệỡa cựa
ASEAN vừ cã cẵu nèi liÒn vắi Malaysia võa coi
lộ nđắc ệẵu tiến cựa khu vùc cịc quèc gia quẵn
ệờo cựa ASEAN. Tõ TP. Hă ChÝ Minh ệạn
Giacacta (thự ệề Indonesia) 1890 km. Nhđ vẺy
cã thÓ nãi Viỷt Nam nỪm ẻ trung tẹm ậềng Nam


ị. Vỡ trÝ nộy tỰo ệiỊu kiỷn cho Viỷt Nam phịt
triĨn du lỡch, thđểng mỰi vộ thu hót ệẵu tđ.
2015 lộ cét mèc mắi vắi nhọng cể héi vộ thỏ
thịch vắi Viỷt Nam khi Céng ệăng kinh tạ
ASEAN hừnh thộnh.


NĂM 2015

MỘT CỘT MỐC MỚI




(32)

31


Hỏi:Anh Phó ơi! Tại sao em lại cảm thấy ghen
tị khi những bạn học kém hơn em có điểm cao
hơn em? Liệu có cách nào giải quyết khơng ạ?
Mong anh giúp đỡ!


Ngun NhẺt ịnh
(7C1, THCS Qung Ngc, Qung Xng,
Thanh Hóa)



Đáp:


Học kém sao lại điểm cao
Em thử nghĩ lại tại sao thế này


Ra ời gp lm ngđêi hay


RÊt nhiÒu ngđêi giái lộ may cho mừnh.


Hỏi: Anh Phó ơi! Lớp em có một bạn mới
chuyển đến. Bạn ấy có một gia đình nhðng đã
để bạn lại sống với ơng bà nội. Các bạn cùng
lớp lại chế giễu và châm chọc bạn. Em phải làm
gì để ngăn cản các bạn v an i bn mi ?


Nguyễn Đăng Mạnh
(9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ,


Hà Tĩnh)


Đáp:


Nu hon cnh ấy
Khng ai khịc lộ mừnh
BỰn sỳ nghỵ gia ệừnh
Lộ đắc mể duy nhÊt
ậõng lÊy thếm nđắc mớt
Cựa bỰn vèn thiỷt thưi.



Hái:Anh Phã ểi! Em ệở gỏi bội dù thi rÊt nhiÒu
lẵn, so vắi kạt quờ ệỊu ệóng, nhđng sao em lỰi
khềng c ng tn trn bo?


Bùi Thị Thúy Quỳnh
(6A4, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên,


Bắc Giang)


Đáp:


Em gửi cho tờ nào
Tuổi thơ hai hay một
Nếu gửi cho tờ một
Thì vừa quá tuổi rồi
Còn gửi cho tờ hai
Một học kì chứ mấy.


Hỏi: Anh Phã ¬i! NÕu em gửi bài tham gia
chuyên mục khác, không phải mục Giải toán
qua th, thì có phải dán phiếu dự thi không ạ?


Nguyễn Lê Khánh Hiền
(Lâm Thao, Phú Thọ)


Đáp:


Không thi giải toán qua th
Thì bài cứ gửi vô t về tòa



Phong b sỳ ệđĩc mẻ ra


Gửi cho biên tập đọc là biết ngay
Nếu hay in báo liền tay.



(33)

32



Bội 1(140).Từm hai sè nguyến dđểng a vộ b ệÓ nhẺn giị trỡ nguyến.


Lđu lý tđẻng(GV. THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả)
Bội 2(140).Từm tÊt cờ cịc sè nguyến dđểng khềng thĨ biĨu diƠn dđắi dỰng tững
cựa hai hĩp sè.


chu tn (GV. THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ng Hưa, Hộ Néi)
Bội 3(140).Từm tÊt cờ cịc cẳp sè nguyến dđểng (m, n) tháa mởn 10m 8n 2m2.


trần xuân đáng (GV. THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định)
Bài 4(140).Cho x, y và z là các số thực thuộc khoảng (0, 1) và thỏa mãn xyz (1 x)(1 y)(1 z).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


lỰi quang thả (Phưng Giịo dơc - ậộo tỰo Tam Dđểng, Vỵnh Phóc)
Bội 5(140).Cho ệă thỡ M cã sè ệửnh V, sè cỰnh E vộ sè miÒn R. Khi ệã ta cã cềng thục Euler nhđ sau:
V E R 2.


Bạn hãy kiểm chứng cơng thức trên qua các hình đồ thị sau:


vị kim thñy


Bội 6(140). Cho tam giịc ABC khềng cẹn, I lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc trong. Dùng ID BC
(D BC), IO AD (O AD). Chụng minh rỪng OD lộ tia phẹn giịc cựa gãc BOC.



mai anh bỪng (HS. Toịn K42, trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi)
1 1 1


P x y z .


x y z


1 2
Q


a b


1(140).Find two positive integers aand bsuch that is an integer.


2(140).Find all positive integers that cannot be expressed as the sum of two
composite numbers.


3(140).Find all pairs of positive integers (m,n) such that 10m 8n 2m2.
4(140). Let x, y, and z be real numbers in the range of (0, 1) such that
xyz (1 x)(1 y)(1 z). Find the minimum value of the expression


5(140).Given a graph Mwith a Vnumber of vertices, an Enumber of edges
and an Rnumber of regions. The Euler formula is given as: V E R 2.
Verify the above formula with the following graphs.


6(140).LetABCbe a non-isosceles triangle and Ibe the intersection of the three internal angle bisectors.
LetD be a point of BCsuch that ID BCand Obe a point on AD such that IO AD. Prove that OD
is the angle bisector of the angle BOC.



1 1 1.


P x y z


x y z


1 2


Q


a b



(34)



×