Tải bản đầy đủ (.pdf) (34 trang)

Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 182

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (16.94 MB, 34 trang )

(1)


(2)

(3)

ột số bài tốn hình học lớp 7 có sử
dụng các kiến thức về đ−ờng trung
bình của tam giác. Các em học sinh
giỏi lớp 7 phải chứng minh bổ đề đó tr−ớc khi
sử dụng. Bài viết này trình bày các kiến thức
về đ−ờng trung bình của tam giác và một số
bài toán vận dụng.


Định nghĩa. Đ−ờng trung bình của tam giác
là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của
tam giác đó.


Bổ đề. Đ−ờng trung bình của tam giác song
song và bằng nửa cạnh thứ ba của tam giác
đó.


Chøng minh. Xét tam giác ABC có M, N thứ
tự là trung ®iĨm cđa AB, AC. Ta sÏ chøng
minh MN // BC và MN=BC.


2


Cách 1. Vẽ MN // BC (N thuéc AC), vÏ
N’D // AB (D thuéc BC).


Ta cã ΔBDN’ =ΔN’MB (g.c.g).


Suy ra DN’ = MB = MA và BD = N’M. (1)
Từ đó có ΔAMN’ =ΔN’DC (g.c.g).
Suy ra MN’ = DC và N’A = N’C. (2)
Do đó N’ trùng với N, từ đó MN // BC.



Tõ (1) vµ (2) suy ra BD = MN = DC hay
=BC


MN .


2


Cách 2. Trên tia đối của tia NM lấy điểm D
sao cho ND = NM.


Ta có ΔCND =ΔANM (c.g.c).
Suy ra CD = AM = BM và NCDn=A.l
Do đó AB // CD.


Ta lại có ΔBMC =ΔDCM (c.g.c).
Suy ra BC = DM và MCBn =NMC. n
Do đó MN // BC và MN=BC.


2


Cách 3. Kẻ AH, BI, CK cùng vuông góc với
MN (H, I, K đều thuộc MN).


DƠ dµng chøng minh ΔBIM =ΔAHM; ΔAHN =
ΔCKN.


Suy ra BI = AH = CK và IM = HM; HN = KN.
Do đó MN=BC.



2 Từ đó ΔBIK =ΔKCB.
Suy ra BKIn=KBC và IK n = BC.


Do đó MN // BC.


C¸ch 4. Gäi H, D, E thø tự là hình chiếu
vuông góc của A, M, N trên BC.


M



đ

ờng trung bình



của tam giác



Thái nhật phợng



(4)

Gäi M, N thø tù lµ trung điểm của cạnh
huyền các tam giác vuông AHB, AHC th×
MH = MA = MB; NH = NA = NC.


Suy ra MN là đ−ờng trung trực của AH, từ đó
MN ⊥ AH.


Mà BC ⊥ AH. Do ú MN // BC.


Các tam giác cân BMH, CNH cã MD ⊥ BH;
NE ⊥ HC nªn DB = DH; EH = EC.


Suy ra DE=BC.
2



Mặt khác ΔDMN =ΔNED (g.c.g).
Do đó MN=ED=BC.


2


Bài tốn 1. Cho tam giác nhọn ABC có
đ−ờng trung tuyến AM, đ−ờng cao BH. Qua
A kẻ đ−ờng thẳng vng góc với AM cắt BH
tại D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao
cho AE = AD. Chứng minh rằng CE ⊥ AB.
Lời giải.


Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho
AF = AB. Theo Bổ đề thì AM là đ−ờng trung
bình của ΔBCF nên AM // CF, mà EA ⊥ AM
nên EA ⊥ CF. (1)


Ta cã ΔAEF =ΔADB (c.g.c).
Suy ra AEFn=ADB. n


Do đó EF // BD, mà CA ⊥ BD nên CA ⊥ EF. (2)


Tõ (1) và (2) suy ra A là trực tâm của tam
gi¸c CEF.


VËy FA ⊥ CE hay CE ⊥ AB.


Bài tốn 2. Cho tam giác ABC vng tại A.
Vẽ tam giác đều ABD (C và D nằm khác


phía đối với AB). Gọi H là hình chiếu của C
trên BD, M là trung điểm của BC. Hãy so
sánh CH và DM.


Lêi gi¶i.


Gọi K là trung điểm của BH, kết hợp với M
là trung điểm của BC, theo Bổ đề, ta có
MK là đ−ờng trung bình của ΔBHC, do đó
MK // CH v MK=CH. (1)


2


Mà CH DH nên MK ⊥ DH.


Vì ΔABC vng tại A có MB = MC nên MA = MB.
Do đó ΔMAD =ΔMBD (c.c.c).


Suy ra ADMn=BDM. n


Vì MKD vuông tại K có KDMn=30 nên o
=DM


MK . (2)
2


Từ (1) và (2) suy ra CH = DM.
Bµi tËp vËn dơng


Bµi 1. Cho ABC (AB < AC). Trên cạnh AB,


AC thứ tự lấy các điểm D, E sao cho BD =
CE. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của DE,
BC. Chøng minh r»ng MN song song víi tia
phân giác của góc BAC.


Bài 2. Cho ABC có BC = 2AB. Lấy điểm D
trên cạnh BC sao cho BD= AB.


2 Chøng
minh r»ng AC = 2AD.



(5)

ài toán chứng minh một đ−ờng thẳng
hay một đ−ờng trịn ln đi qua một
điểm cố định là dạng tốn hay và khó
th−ờng xuất hiện trong đề thi chọn học sinh
giỏi các lớp 8 và 9, thi vào lớp 10 các tr−ờng
THPT. Bài viết này sẽ giúp các bạn nắm rõ
hơn ph−ơng pháp giải dạng toán này.


Ph−ơng pháp dự đoán điểm cố định. Để
giải dạng toán này ta cần dự đoán đ−ợc điểm
cố định mà đ−ờng thẳng hoặc đ−ờng trịn
đang xét ln đi qua. Muốn dự đốn đ−ợc
điểm cố định ta cần vẽ ít nhất hai vị trí của
đ−ờng thẳng hoặc đ−ờng trịn đó. Sau đây
chúng ta xét một số bài toán minh họa.


Bài toán 1. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội
tiếp đ−ờng tròn (O). Gọi M (khác A, C) là
điểm trên cung BC (có chứa A) của đ−ờng


trịn (O). Các tia BA, CM cắt nhau tại D, các
tia MA, CB cắt nhau tại E. Gọi N là giao điểm
của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác CDE và
đ−ờng tròn (O) (N khác C). Gọi K là trung
điểm của DE. Chứng minh rằng đ−ờng thẳng
NK luôn đi qua một điểm cố định khi M di
động trên cung BC có chứa A.


H−ớng dẫn. Ta vẽ hai vị trí của điểm M và
nhận thấy NK luôn đi qua điểm cố định A.
Lời giải. Xét M thuộc cung AC (xét t−ơng tự
khi M thuc cung AB).


Gọi T là giao điểm của NA vµ DE. Ta cã


n=n


TAD BAN (đối đỉnh); TDNn =NCE ( BAN).n =n


Suy ra TADn=TDN. n


Do đó ΔTAD ΔTDN (g.g).
Suy ra TA = TD⇒TA.TN=TD .2


TD TN


Mặt khác TAEn =MAN (đối đỉnh); n


n=n



TEN MAN (cïng bï víi DCN). n
Suy ra TAEn =TEN.n


Do đó ΔTAE ΔTEN (g.g).
Suy ra TA = TE⇒TA.TN=TE .2


TE TN
Ta cã TD2=


TA.TN = TE2
.


Suy ra TD = TE, từ đó T và K trùng nhau.
Do đó N, K, A thẳng hàng.


Vậy đ−ờng thẳng NK luôn đi qua điểm A cố
định.


Bài toán 2. Cho tam giác ABC (Al<90 )o cân
tại A nội tiếp đ−ờng tròn (O; R). Gọi M (khác
B) là điểm trên cung AB không chứa điểm C.
Vẽ BD vng góc với MC tại D. Vẽ CE vng
góc với MB tại E. Gọi K là giao điểm của BD
và CE. Chứng minh rằng đ−ờng phân giác
của góc CKD ln đi qua một điểm cố định
khi điểm M di động trên cung AB không chứa
điểm C.


H−ớng dẫn. Ta vẽ hai vị trí của M và dự đốn
đ−ờng phân giác của góc CKD ln đi qua


một điểm cố định H là trực tâm tam giác ABC.
Lời giải.


B



chứng minh đ

ờng thẳng, đ

ờng tròn


ln đi qua điểm cố định



Ngun §øc TÊn



(6)

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
Vẽ đờng kính BN của đờng tròn (O).


Dễ thấy MK // AH // NC, MN // CK vµ AN // CH
nên các tứ giác MNCK, ANCH là các hình
bình hành.


Suy ra MK = NC = AH.


Do đó tứ giác MAHK là hình bình hành.
Suy ra AMKn+MKH 180 .n= o


Mà DMK MKDn n+ =90o nên AMC DKH 90 .n n+ = o
Ta có nAMC BAH+n=nABC BAH+n =90 . o
Do đó n n


n


= =BAC



DKH BAH .


2
Mà DKCn=BMCn =BAC. n
Từ đó ta có n


n


=DKC


DKH .


2


Suy ra KH là tia phân giác của góc CKD.
Vậy đ−ờng phân giác của góc CKD ln đi
qua một điểm cố định H.


Bài toán 3. Cho hai đ−ờng tròn (O) và (O’)
cắt nhau tại A và B. Đ−ờng thẳng d đi qua A
cắt các đ−ờng tròn (O) và (O’) thứ tự tại C và
D (A nằm giữa C và D). Chứng minh rằng
đ−ờng trung trực của đoạn thẳng CD luôn đi
qua một điểm cố định khi đ−ờng thẳng d di
động nh−ng luôn i qua A.


Hớng dẫn. Vẽ thêm đờng thẳng d vuông
góc với AB tại A, d cắt các đờng tròn (O) và
(O) thứ tự tại C và D. Các đờng trung trực
của CD và CD cắt nhau tại K. Ta dự đoán



n o


.


=


ABK 90 T đó ta phát hiện đ−ợc điểm cố
định là trung điểm K của MN với AM và AN thứ
tự là đ−ờng kính các đ−ờng trịn (O) và (O’).
Lời giải.


Vẽ đờng kính AM của đờng tròn (O) và
đờng kính AN của đờng tròn (O).


Ta cú M, N cố định và ACMn=90 ; ADNo n =90o
nên CM // DN.


Ta có tứ giác CDNM là hình thang vu«ng.


Gọi I, K thứ tự là trung điểm của CD, MN. Khi
đó IK là đ−ờng trung bình của hình thang
CDNM và K cố định.


Vì IK // CM // DN và MC ⊥ CD nên IK ⊥ CD.
Do đó IK là đ−ờng trung trực của CD.


Vậy đ−ờng trung trực của CD luôn đi qua
điểm cố định K là trung điểm của MN.



Bài toán 4. Cho đoạn thẳng BC cố định. Lấy
điểm A sao cho tam giác ABC nhọn và AB ≠
AC. Đ−ờng trịn (O) đ−ờng kính BC cắt các
cạnh AB, AC thứ tự tại D, E. Gọi M là giao
điểm các tia phân giác của các góc BAC và
DOE. Đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác BDM
cắt cạnh BC tại N. Chứng minh rằng đ−ờng
tròn ngoại tiếp tam giác EMN luôn đi qua một
điểm cố định khi điểm A di động sao cho
ΔABC nhọn.


H−íng dÉn. Vẽ hai vị trí của A ta dự đoán
đờng tròn ngoại tiếp tam giác EMN đi qua
điểm C.


Lời giải.


Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho AK = AE.
Ta cã ΔAKM =ΔAEM (c.g.c).


Suy ra MK = ME, AKMn=AEM. n
Ta l¹i cã ΔOMD =ΔOME (c.g.c).
Suy ra MD = ME.


Do đó MK = ME = MD.


Suy ra tam giác MDK cân tại M.
Do đó MKDn=MDA. n


Suy ra MDAn+AEMn =MKDn+nAKM 180 . = o


Từ đó suy ra tứ giác EMDA nội tiếp.


Do đó MNC MECn+n=MDB MDAn +n=180 .o
Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác EMN luôn
đi qua điểm cố định C.



(7)

BC tại M, đ−ờng thẳng qua M song song với
AC cắt AB tại N. Chứng minh rằng đ−ờng tròn
ngoại tiếp tam giác TAN luôn đi qua một điểm
cố định khác A khi điểm T di động trên tia đối
của tia AC.


H−ớng dẫn. Vẽ thêm một điểm T’ trên tia đối
của tia AC (T’ khác T), tiếp tục vẽ các điểm
M’, N’, ta thấy đ−ờng tròn ngoại tiếp các tam
giác TAN và T’A’N’ cắt nhau tại A và O (O là
tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Lời giải.


Gọi O là tâm đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC khi đó O cố định.


Tõ AB = AC vµ OB = OA = OC suy ra


n n n n


OBA=OAB=OAC=OCA.


Mặt khác OBN OBAn+n=180o =OACn+OAT.n
Do đó OBNn=OAT. n



Ta có NMBn=ACB (vì MN // AC), n NBMn=ABC n
(đối đỉnh) và ABCn=ACB nên n NMBn=NBM.n
Do đó ΔNBM cân tại N, từ đó NB = NM.
Vì tứ giác MTAN là hình bình hành nên TA =
NM = NB.


XÐt ΔOBN vµ ΔOAT cã OB = OA, OBNn=OAT; n
NB = TA.


Suy ra ΔOBN =ΔOAT (c.g.c).
Do đó ONAn=OTA.n


Suy ra tø gi¸c TAON néi tiÕp.


Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác TAN luôn
đi qua điểm O cố định khác A.


Bài toán 6. Cho tam giác ABC và đờng
thẳng d không song song và không cắt các
cạnh của tam giác. Đờng tròn (O) đi qua B
và C, cắt đờng thẳng d tại D và E. Chứng


minh rằng đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác
ADE ln đi qua một điểm cố định khi đ−ờng
tròn (O) di động ln đi qua B và C.


H−íng dÉn. Vẽ thêm đờng tròn (O) đi qua
B, C (O khác O) cắt đờng thẳng d tại D, E.
Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE.


Đờng tròn này cắt đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ADE tại N, ta dự đoán N thuộc MA (M là
giao điểm của BC và d).


Lời giải.


Gi M l giao im của BC và d, ta có M cố
định.


XÐt ΔMCE vµ ΔMDB cã
n


CME chung; MCEn=MDB. n
Do đó ΔMCE ΔMDB (g.g).


Suy ra MC=ME⇒ME.MD=MB.MC.


MD MB (1)


Gọi N là giao điểm của MA và đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ADE.


Chứng minh tơng tù: ME.MD = MN.MA. (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra MN.MA = MC.MB.
Suy ra MN=MC.MB


MA không đổi.
Do đó điểm N cố định.


Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp tam giác ADE luôn


đi qua một điểm cố định N khác A.


Bµi tËp vËn dơng


Bài 1. Cho đ−ờng trịn (O). Vẽ hai đ−ờng kính
AB, CD. Tiếp tuyến của đ−ờng tròn tại B cắt
AC ở M. MD cắt đ−ờng tròn (O) tại E (E khác
D). AE cắt BC tại N. Chứng minh rằng đ−ờng
thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi
hai đ−ờng kính AB, CD thay đổi.



(8)



sè nµo nhØ?

(TTT2 sè 179)


Quy luËt. Bµi 1. Số ở nửa trên hình tròn
bằng hai lần tổng các số ở nửa dới hình tròn
cộng với 3.


Theo quy luật đó,


? = 2[ 9 + 11 + (−7)] + 3 = 29.
Bài 2. Dãy số đã cho chính là dãy


13 − 1; 13 + 1; 23 − 2; 23 + 2; 33 − 3; 33 + 3;
43 − 4; ...


Vậy số còn thiếu là 43 + 4 = 68.


Nhận xét. Quy luật của hai bài kì


này t−ơng đối khó nên có ít bạn có
đáp án đúng. Xin trao th−ởng cho
các bạn: Nguyễn Công Hải, Hạ Hiền L−ơng,
8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;
Lê Đặng Huyền Trang, 7A, THCS Cao Xuân
Huy, Diễn Chõu, Ngh An.


NGUYễN XUÂN BìNH


Trần Phơng Mai, 7B, THCS Hồ Xuân
Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An; Lê Anh Quân,
6D, THCS Trần Mai Ninh, TP. Thanh Hóa,
Thanh Hóa; Nguyễn Công Hải, 8A3, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Hữu
Tuấn Nam, 9A1, THCS Thị trấn Chờ, Yên
Phong, Bắc Ninh; Lê Quang Chiến, 9A,
THCS Quang Sơn, TP. Tam Điệp, Ninh
Bình; Nguyễn Sĩ Huy, Vũ Hải Sơn, THCS
Kiến Quốc, Kiến Thụy, Hải Phòng; Trần
Ngọc Sơn, 8B, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức
Thọ, Hà Tĩnh; Huỳnh Nguyên Phúc, 9A1,
THCS Mỹ Lộc, Phú Mỹ, Bình Định.


bạn điền số no?


Bài 1. HÃy điền số thích hợp vào chỗ trống cho hợp lôgic.


10; 15; 23; 31; 41; ...
Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ (?) cho hợp lôgic.


Ngun Tó Ên(TP. Hå ChÝ Minh)




(9)



Mỗi đội có 60 phút để trả lời 10 câu hỏi.
Các câu 1, 3, 5, 7, 9 chỉ cần ghi đáp số.
Các câu 2, 4, 6, 8, 10 cần ghi cả lời giải.
1. Cho =


+


x
x


9


f(x) .


9 3 TÝnh


1 2 2015 2016


f f ... f f .


2017 2017 2017 2017


⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞


+ + + +


⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟


⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2. Trong tam giác ABC, điểm M nằm giữa A
và B sao cho AM : MB = 1 : 2. C¸c điểm N và
P nằm giữa C và M sao cho CN : NM = 3 : 2,
CP : PM = 1 : 5. Các đoạn thẳng AN và BC
cắt nhau tại điểm Q. Các đoạn thẳng PQ và
AC cắt nhau tại điểm L. Tìm tỉ số CL : LA.


3. Tìm số nguyên lớn nhất p sao cho 142017+
22017


chia hÕt cho 2p
.


4. Trong h×nh ngũ giác ABCDE, các điểm M,
P, N và Q tơng ứng là trung điểm của AB,
BC, CD và DE. Lấy các điểm K và L tơng


ng l trung điểm của QP và MN, nh− hình vẽ
bên d−ới. Nếu KL = 25 cm, tìm độ dài của EA
tính theo đơn vị cm.


5. Cho x vµ y là các số nguyên dơng thỏa
mÃn 0 < x < y < 2018. Có bao nhiêu cặp số
(x, y) tháa m·n x2+


20182=
y2+



20172
?

đề thi toán học trẻ quốc tế



philipPines (Itmo) 2017



Đề thi đồng đội



ThS. phïng kim dung


(GV. THPT Hµ Néi - Amsterdam, Q. Cầu Giấy, Hà Nội)
ThS. Cai Việt Long



(10)

6. Cho các điểm A, B, C, D và E nằm trên
một đờng tròn. Dây AC là đờng kính của
đờng tròn, nh hình vẽ dới. Nếu ABE n =


n=n


EBD DBC , BE = 16 cm và BD = 12 3 cm ,
tìm diện tÝch cđa ngị gi¸c ABCDE.


7. Một l−ới ơ vng kích cỡ 10 ì 10 đ−ợc cắt
ra làm 33 ơ hình chữ nhật kích cỡ 1 ì 3 hoặc
3 ì 1 và 1 hình vng đơn vị kích cỡ 1 ì 1. Có
bao nhiêu vị trí khác nhau của ơ vng đơn vị
kích cỡ 1 ì 1, khơng xét khả năng l−ới ơ
vng kích cỡ 10 ì 10 xoay và đối xứng trục.


8. Chứng minh bất đẳng thức:



π
× + × + + × <1002


99 101 98 102 ... 1 199 .
4


9. Một máy tính chọn ngẫu nhiên 3 điểm khác
nhau trong hình d−ới đây (tất cả các điểm đều
có thể đ−ợc chọn nh− nhau). Cho p


q là xác
xuất chọn ra đ−ợc tam giác với các điểm đã
cho (p, q`, q0) (phõn s p


q này đợc
viết dới dạng phân số tối giản) (xác suất là tỉ
số giữa số cách chọn đợc ba điểm tạo thành
tam giác và tổng số tất cả cách chọn 3 điểm
bất kì). Tìm tổng của p và q.



(11)

đề thi tìm kiếm tài năng



to¸n häc trẻ việt nam 2017 lớp 7 (myts)



phạm văn thuận


(Trung tâm Toán và Khoa học Hexagon)
1. Đồ thị hàm số y = |x| cắt đờng thẳng



y = 10 tại hai điểm (a, b) và (c, d). Tính giá trị
của a + b + c + d.


2. TØ lƯ chiỊu dµi, chiỊu rộng và chiều cao
của một bể chứa nớc hình hộp chữ nhật là
1 : 2 : 4. Tổng diện tích sáu mặt của bể là
112 m2. TÝnh thĨ tÝch cđa bĨ.


3. Cho tam gi¸c ABC.
Phân giác trong của các
góc ABC và ACB cắt
nhau t¹i D.


BiÕt r»ng ∠BDC = 114o
,
tÝnh CAB.


4. Xét cặp số nguyên dơng (a, b) thỏa m·n
®iỊu kiƯn ab


ba = 72. Hái a + b nhận giá trị lớn
nhất là bao nhiêu?


5. Hỡnh d−ới vẽ bộ truyền động gồm ba bánh
răng. Giả sử rằng bánh A có 16 răng, bánh B
có 22 răng, và bánh C có 10 răng. Bánh
răng A quay với vận tốc 60 vòng mỗi phút.
Hỏi bánh răng C quay bao nhiêu vòng mỗi
phút?



6. Trong hình d−ới, ABC là tam giác cân tại
đỉnh A, với AB = AC = 7 cm. Điểm D nằm trên


tia BC sao cho AD = 8 cm. Biết BC = 2 cm,
tính độ dài BD.


7. Xét cặp số thực x, y thỏa mÃn điều kiện
=


x y


3 5 và xy


2 = 600. Tính giá trị cđa biĨu
thøc |10x − 3y|.


8. Hạnh đang cân nhắc mua hai chiếc điện
thoại từ hai nhà cung cấp viễn thông. Hãng
thứ nhất bán chiếc điện thoại giá 120$ và thu
phí mỗi tháng 30$ cho thời gian gọi định mức
mà bạn Hạnh đăng kí. Hãng thứ hai bán
chiếc điện thoại cùng loại giá 40$ nh−ng thu
phí 40$ mỗi tháng cho định mức gọi mà
Hạnh đăng kí. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì
tổng chi phí mà Hạnh phải trả hai cơng ty l
bng nhau?


9. Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất có bảy chữ số
mà không có hai chữ sè nµo gièng nhau, biÕt
r»ng N chia hÕt cho 7 và tổng các chữ số


của nó cũng chia hÕt cho 7.



(12)

11. XÐt ba sè thực x, y, z thỏa mÃn các điều
kiện x = =y z


2 3 4 vµ − =
2
z


x y .


12 Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thøc yz − x.


12. Cho k và l là hai đ−ờng thẳng song song.
Lấy 7 điểm phân biệt trên đ−ờng thẳng k và
9 điểm trên đ−ờng thẳng l. Hỏi có thể vẽ
đ−ợc tất cả bao nhiêu tam giác mà mỗi tam
giác có cả ba đỉnh là ba trong số 16 điểm
này?


13. T×m hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè
A = (1 + 2 + 3 + ... + 2016 + 2017)2


.


14. Trong hình dới, ABC là tam giác vuông
tại A. Lấy hai điểm D, E trên cạnh AC sao
cho ∠ACB = ∠CBE = ∠ABD = 19o



. BiÕt r»ng
=


AE m
,


CD n trong đó m, n là hai số ngun tố
cùng nhau. Tính 3m + 5n.


15. Tìm số tự nhiên N nhỏ nhất có ba chữ số,
chia hết cho 77 và tất cả các chữ số của N
đều là số lẻ.


16. Trong hình bên, ABCDEF là một hình lục
giác đều (có sáu cạnh bằng nhau, sáu góc
bằng nhau). Điểm G nằm trên cạnh AF sao
cho GF=2AF.


3 BiÕt diÖn tÝch của hình lục
giác bằng 120 cm2


, tính diện tích phần tô đậm.


17. Cú chớn tm th, mi tm thẻ ghi một chữ
số từ 1 đến 9. Hỏi cú bao nhiờu cỏch chn


bảy tấm thẻ sao cho tổng các số ghi trên thẻ
chia hết cho 3?


18. Sáu ng−ời soạn văn bản, làm việc mỗi


ngày 5 giờ, hoàn thiện bản thảo một cuốn
sách trong 16 ngày. Hỏi 4 ng−ời làm cơng
việc đó thì hết bao nhiêu ngày mới hoàn
thành, biết rằng mỗi ng−ời làm việc 6 giờ mỗi
ngày và năng suất của họ là nh− nhau?
19. Hỏi trong 100 số tự nhiên liên tiếp thì có
nhiều nhất bao nhiêu số ngun tố?


20. TÝnh tỉng sè ®o cđa chÝn gãc trong h×nh
vÏ: ∠A + ∠B + ∠C + ... + ∠H + ∠I.


21. Hình lập ph−ơng có 8 đỉnh và 12 cạnh.
Bạn Dũng viết lên tám đỉnh của hình lập
ph−ơng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sao cho
có nhiều nhất các cạnh mà tổng hai số tại
hai đầu mút của cạnh là một số lẻ. Hỏi có
bao nhiêu cạnh nh− vậy trong cách viết của
bạn Dũng?


22. Có bao nhiêu cặp số nguyên dơng (x, y)
sao cho 1 1 1 ?


x + =y 2020


23. Tìm số nguyên d−ơng N nhỏ nhất, chia
hết cho 99 và tất cả các chữ số của N đều
chẵn.



(13)




ơm đó, thám tử Sêlơccơc đang chuẩn
bị về quê chơi thì nhận đ−ợc điện thoại
của ơng Minh - bạn thân từ thuở nhỏ.
Ơng Minh nhờ thám tử đi cùng tới nhà một
ng−ời bạn của ông ở ngoại ô. Thám tử đành
gác chuyến về quê để đi cùng.


Một lúc sau, ông Minh đến đón thám tử rồi hai
ng−ời vội vã lờn ng.


Trên đờng đi, ông Minh kể sơ qua cho th¸m
tư:


- Bà Mai bạn tơi hiện sống cùng 3 đứa con,
trong đó cậu con trai là con riêng của chồng,
cịn 2 cơ con gái là con chung. Cách đây ít
lâu, ơng chồng mất vì tai nạn giao thông. Bà
ấy đang dần nguôi ngoai sau nỗi đau thì bỗng
nhiên lại bị mất trộm, hình nh− là mất một kỉ
vật rất quý giá mà ngày tr−ớc ông chồng đã
tặng bà. Tội quá!


Thám tử Sêlôccôc gật đầu vẻ thông cảm:
- Tôi sẽ cố gắng tìm kẻ khả nghi một cách
nhanh nhất. Nếu ông biết chuyện xảy ra nh


thế nào thì kể luôn cho tôi đi!


Thế là ông Minh kể cho thám tử tất cả những
gì ông biết xung quanh vụ mất trộm này.


Thám tử chăm chú nghe với vẻ suy nghĩ rất
tập trung.


Tới nơi, thám tử nhanh chóng trò chuyện
riêng với bà Mai. ít phút sau, ông bắt đầu hỏi


chuyn tt c những ng−ời có mặt ở nhà vào
khoảng thời gian bà Mai bị mất trộm. Những
ng−ời đó là bà giúp việc tên Hoa, ng−ời cháu
họ tên Hùng và cậu Bình - con riêng của
ng−ời chồng quá cố.


Thám tử hỏi lần lợt từng ngời, đầu tiên là bµ
Hoa:


- Bà đã làm gì, ở đâu vào lúc bà chủ bị mất
trộm?


- Lúc đó tơi đang đi mua vài thứ lặt vặt ở hiệu
tạp hóa đầu làng. Ơng có thể gặp chủ hiệu để
kiểm tra.


TiÕp theo lµ cËu Hïng:


- Th−a thám tử, cháu đang mê mải xem bộ
phim khoa học thì nghe tiếng bà Mai kêu lên
hốt hoảng. Cháu vội chạy đến phòng bà.
- Thế à? Cậu quả là đứa cháu ngoan. Mà cậu
xem phim gì thế?



- Phim về loài koala ạ. Lần đầu tiên cháu
đ−ợc thấy cảnh con koala mới lọt lòng, đang
nằm cạnh mẹ, chăm chú ti mẹ. Nhìn mới
đáng yêu làm sao! Cháu −ớc một lần đ−ợc
đến châu Phi để tận mắt ngắm nhìn lồi vật
dễ th−ơng này.



(14)

Cuối cùng là cậu Bình:


- Lỳc đó cháu đang ở ngồi v−ờn ạ. Cháu mới
trồng mấy luống rau nên cứ hay ra nhổ cỏ,
t−ới tắm... Bà Hoa biết rất rõ việc cháu ra
v−ờn lỳc ú bỏc .


- Cháu trồng rau gì thế?
- Su hào, cải bắp, cải cúc ạ.


- Toàn những loại rau bác thích. Hôm nào bác
tới, cháu nấu cho bác ăn với nhé!


- Vâng ạ! Cháu rất mong bác tới!


Hỏi xong cả ba ngời, thám tử gặp riêng ông
Minh:


- Tụi bt u nghi ngờ 1 ng−ời rồi. Ông nên
bảo bà Mai khéo léo nói chuyện với ng−ời đó.
Nếu ng−ời đó khơng thành khẩn thì ta sẽ nhờ
cảnh sát.



Ơng Minh nghĩ mãi mà vẫn ch−a đốn đ−ợc
thám tử Sêlơccơc đã nghi ngờ ai? Các thám
tử Tuổi Hồng có thể giúp ông đ−ợc không?


(TTT2 sè 179)


Mãn qu

μ

cđa


th¸m tư



Khá nhiều bạn tham gia giải câu đố của thám
tử Sêlôccôc nh−ng rất tiếc, ch−a bạn nào giải
đúng. Các bạn ch−a chú ý đến chi tiết “Cơ bé
ra ngồi phịng khách thì thấy trên t−ờng treo
một bức tranh vẽ rất nhiều loài hoa: hoa huệ,
hoa quỳnh, hoa sen, hoa dạ h−ơng... Rồi chợt
nhớ ra điều gì đó, Hà lật giở lại cuốn sách”.
(Tức là cuốn sách về các loài hoa mà cô bé
đang say s−a đọc). Nh− vậy là một trong số
các loài hoa trong bức tranh đã “gợi ý” cho Hà
và sau đó cơ bé đã đọc sách để tra cứu thêm
về lồi hoa đó. Rồi cơ bé kết luận: câu đố của
thám tử nói về HOA SEN.


Các thám tử Tuổi Hồng l−u ý nhé: chúng ta
cần đọc thật kĩ, suy nghĩ, phán đốn từ nhiều
góc độ, lật đi lật lại vấn đề thì mới có thể “phá
án” đ−ợc. Phần th−ởng kì này sẽ đ−ợc để
dành cho kì sau!


Thám tử Sêlôccôc



1.Êxg5+ fxg5 2.Ôh5#



Các bạn đợc thởng kì này: Nguyễn Thành
Nam, 8B, Trờng THCS Văn Lang, TP. Việt
Trì, Phú Thọ; Nguyễn Thu Hiền, 8A3, THCS
Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình; Nguyễn
Văn Bửu, 7/2, THCS Nguyễn Du, Điện
Phơng, Điện Bàn, Quảng Nam; Trần Đức
Anh, 6/1, THCS Lê Văn Thiêm, Đức Thọ, Hà
Tĩnh; Trần Phơng Mai, 7B, THCS Hồ Xuân
Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An.



(15)

ài viết này chỉ nêu một vài ví dụ về
việc xác định vị trí có liên quan tới
Tốn học để thấy rằng Tốn học ln
đồng hành trong cuộc sống th−ờng ngày của
chúng ta.


1. Trong Tốn học, để xác định vị trí của một
điểm trên mặt phẳng tọa độ ta dùng một cặp
gồm 2 số là hồnh độ và tung độ. Ví dụ: tọa
độ của A(−1; 1), B(2; 4). Từ việc xác định tọa
độ của một điểm, ta vẽ đ−ợc đồ thị của các
hàm số đi qua các điểm ú, v biu ...


2. Để tìm chỗ ngồi khi vào rạp, ngời xem
phim nhìn số ghế trên vé của mình. Ví dụ
trên chiếc vé có ghi Số ghế: H1 có nghĩa là
chỗ ngồi của ngời có vÐ nµy lµ ghÕ ë d·y H


vµ thø tù trong d·y lµ sè 1.


3. Quan sát bàn cờ vua thì vua đen ở cột a
hàng 7, vua trắng ở vị trí a5, t−ợng trắng ở vị
trí a8, tốt trắng ở vị trí c7. Nhờ xác định c


vị trí các quân cờ mà các kì thủ có thể ghi lại
các bớc đi của một ván cê.


4. Mỗi địa điểm trên bản đồ địa lí đ−ợc xác
định bởi một cặp gồm 2 số là kinh độ và vĩ
độ, đ−ợc gọi là tọa độ địa lí.


Chẳng hạn: Tọa độ địa lí của mũi Cà Mau là
104o40’ Đ, 8o30’ B có nghĩa là mũi Cà Mau ở
kinh độ 104o


40’ về phía Đơng đối với kinh
tuyến gốc (đi qua đài thiên văn Greenwich
n−ớc Anh) và ở vĩ độ 8o


30’ về phía Bắc đối
với vĩ tuyến gốc (xích đạo).


Từ cách xác định vị trí của một điểm này mà
tàu khi gặp nạn sẽ phát tín hiệu SOS và tọa
độ nơi gặp nạn để tàu cứu hộ đến đúng vị trí
và cứu hộ kịp thời.


(K× sau đăng tiếp)


B



Xỏc nh v trớ ca mt im



Thái Nhật Phợng



(16)



chào 2018!

(TTT2 số 179)


Xét phơng trình


+ =


x 7 x 82 x 2017. (1)
§KX§: x ≥ 82.


Ta cã


⇔ + − + − − + − =


− −


⇔ + + − =


+ + − +


(1) ( x 7 45) (44 x 82) 2018 x 0
x 2018 2018 x



2018 x 0
x 7 45 x 82 44


⎛ ⎞


⇔ − ⎜ − + =⎟


− + + +


⎝ ⎠


1 1


(2018 x) 1 0. (2)


x 82 44 x 7 45
V× x ≥ 82 th× 1 >


+ +
1


x 7 45 > − +
1
x 82 44
> 0 nªn


− +
1


x 82 44 + 1 − + +


1


x 7 45 > 0.
Do đó (2) xảy ra chỉ khi 2018 − x = 0, hay là
x = 2018.


Thử lại đúng.


Vậy ph−ơng trình đã cho có đúng một
nghiệm.


Nhận xét. Cách khác. Từ x ≥ 82 và x + 7 >
x − 82, nếu đặt y = x − 2017 thì y > 0 và (1)
trở thành y+2024 − y 1935 + = y. Bình
ph−ơng hai vế ph−ơng trình này rồi biến đổi
tiếp thì dẫn đến ph−ơng trình bậc bốn mà
tổng các hệ số bằng 0, do đó ph−ơng trình
này có nghiệm y = 1. Từ đó đ−a về ph−ơng
trình tích có một nhân tử là y − 1 và một nhân
tử bậc ba. Do đó ta có y = 1 và một ph−ơng
trình bậc ba vơ nghiệm. Tuy nhiên cách giải
này dài và phức tạp hơn.


Các bạn sau có lời giải đúng, đ−ợc
th−ởng kì này: Nguyễn Thị Diệu
Linh, 8I, Vũ Huyền Trang, 8H, THCS Văn
Lang, TP. Việt Trì, Vũ Minh Khải, Nguyễn
Cơng Hải, Đào Nhân Độ, Nguyễn Công
Hùng, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ; Lê Quang Chiến, 9A, THCS Quang


Sơn, TP. Tam Điệp, Ninh Bình.


Anh Compa

cã bao nhiêu khối lập ph

ơng?


Bài toán. Có 343 khối lập phơng 1 ì 1 ì1 đen và trắng xếp chồng lên nhau
tạo thành khối lập phơng lớn 7 ì 7 ì 7 sao cho mỗi mặt của một khối lập
phơng tiếp giáp với mặt khác màu của khối lập phơng khác. Hỏi số khối
lập phơng đen có thể là bao nhiêu?



(17)

Bài 1(179). Cho dÃy số tự nhiªn sau: 1; 2; 3;
...; 2018. Hái trong d·y số trên có bao nhiêu
số không chia hết cho ít nhất một trong các
số 5, 7 và 8?


Lêi gi¶i. Gäi S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7 lần lợt
là các số hạng chia hết cho 5; 7; 8; 35; 40; 56
vµ 280.


Ta cã


S1 = (2015 − 5) : 5 + 1 = 403.
S2 = (2016 − 7) : 7 + 1 = 288.
S3 = (2016 − 8) : 8 + 1 = 252.
S4 = (1995 − 35) : 35 + 1 = 57.
S5 = (2000 − 40) : 40 + 1 = 50.
S6 = (2016 − 56) : 56 + 1 = 36.
S7 = (1960 − 280) : 280 + 1 = 7.


Sè c¸c sè tù nhiên không chia hết cho ít nhất
một trong các sè 5; 7; 8 lµ



2018 − (403 + 288 + 252 − 57 − 50 − 36 + 7)


= 1211.


Nhận xét. Đây là một bài toán tìm số số hạng
có điều kiện chia hết quen thuộc, các bạn có
lời giải chính xác và ngắn gọn: Nguyễn Duy
Khôi Nguyên, 6H, THCS Đặng Thai Mai, TP.
Vinh, Nghệ An; Lê Anh Quân, 6D, THCS
Trần Mai Ninh, TP. Thanh Hóa, Thanh Hóa;
Trần Quang Đạt, 7A3, THCS L©m Thao,
L©m Thao, Phó Thä.


Phïng Kim dung


Bài 2(179). Cho tam giác ABC với lA=105 ;o
= o


B 45 . Đờng trung tuyến BM của tam
giác ABC cắt tia phân giác của ACBn tại I.
Tính BAI.n


Lời giải.


Vì Al=105 ; o B=45 nên o ACBn=30 . o
Kẻ đờng cao AH của ABC.


Ta có AHB vuông cân tại H và MA = MC =
MH.



Vì HACn=60 nên o ΔAHM đều.
Do đó HB = HA = HM = CM.
Suy ra


n n o n n o


MHC=MCH=30 ; HBM=HMB=15 .
Mµ ICBn=15 nên IB o = IC.


Xét IBH và ICM cã


IB = IC; BH = MC; IBH ICM 15 . n= n= o
Suy ra ΔIBH =ΔICM (c.g.c).


Do đó IH = IM.


Từ đó ΔAIH =ΔAIM (c.c.c).
Suy ra IAH IAMn =n =30 . o
Do đó BAIn=45o +30o =75 . o



(18)

Thanh Lam, 7A, THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn
Ch©u, NghƯ An.


Hå Quang vinh


Bài 3(179). Giải hệ phơng trình


+ + =






+ + + = +


⎪⎩3 3


x y z 2017


(x 3)(y 3)(z 3) 3 xyz.


Lời giải. Điều kiện: x, y, z0 .


áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số


không âm, ta có


+ + +


= + + + + + + +


≥ + 3 + 3 2 + = +3 3
(x 3)(y 3)(z 3)


27 9(x y z) 3(xy yz zx) xyz
27 27 xyz 9 (xyz) xyz (3 xyz) .
Suy ra 3

(

x+3 y

)(

+3 z

)(

+3

)

≥ +3 3xyz .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Nh vậy phơng trình thứ hai trong hệ tơng
đơng với x = y = z.


Thay vào phơng trình thứ nhất, ta đợc


= = 2017


3 x 2017 x .


9


Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhÊt lµ


= = = 2017


x y z


9 .


Nhận xét. Bản chất của bài toán là chứng
minh với x, y, z ≥ 0 thì ta có bất đẳng thức


(

+

)(

+

)(

+

)

≥ +3
3 x 3 y 3 z 3 3 xyz.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
Hầu hết các bạn gửi bài giải theo cách trên.
Các bạn sau đây có bài giải tốt: Nguyễn Hữu
Tuấn Nam, Vũ Tiến Hải, 9A1, THCS Thị trấn
Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Lê Quang
Chiến, 9A, THCS Quang Sơn, TP. Tam Điệp,
Ninh Bình; Trần Phơng Mai, 7B, THCS Hồ
Xuân Hơng, Quỳnh Lu, Nghệ An; Nguyễn

Cao Hùng, Nguyễn Công Hải, Đào Nhân Độ,
Đặng Thái Tuấn, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên,
9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;


Vũ Hải S¬n, Ngun Sü Huy, 9A, THCS KiÕn
Qc, KiÕn Thơy, Hải Phòng.


nguyễn anh dũng


Bài 4(179). Cho các số thực d−¬ng a, b, c
tháa m·n abc = 1. Chøng minh r»ng


++


+ + +


a 1 b 1 c 1


0.


b 1 c 1 a 1


Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng
đ−ơng với


− + + − + + − + ≥


2 2 2


(a 1)(c 1) (b 1)(a 1) (c 1)(b 1) 0



⇔ + + + + +
≥ + + +


2 2 2 2 2 2


(a b c ) (a c b a c b)


3 (a b c). (1)


Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta


+ + + + + ≥ + +


2 2 2


a 1 b 1 c 1 2a 2b 2c.
Mµ a+ + ≥b c 3 abc3 =3.


Suy ra a2+b2+c2 ≥ + +a b c. (2)


+ + ≥ 3 =


2 2 2 2 2 2


a c b a c b 3 a c.b a.c b 3. (3)
Từ (2), (3) suy ra (1) đúng. Suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.



Nhận xét. Đây là bài toán không quá khó, vì
vậy có rất nhiều bạn tham gia giải bài. Các
bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn Thị Quỳnh Chi,
8A1, THCS Yên Phong; Nguyễn Hữu Tuấn
Nam, 9A1, THCS Thị Trấn Chờ, Yên Phong,
Bắc Ninh; Phùng Đăng Dơng, 7C, THCS
Văn Lang, TP. Việt Trì, Nguyễn Công Hải,
8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;
Trần Ngọc Sơn, Phạm Huỳnh; 8B, Nguyễn
An Na, 9A THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ,
Hà Tĩnh; Nguyễn Hồng Khánh Lâm, 8E,
THCS Đặng Thai Mai; Lê Văn Mạnh, 8B
THCS Lý Nhật Quang; Lê Hồng NghÜa, 9B,
THCS Cao Xu©n Huy, DiƠn Ch©u, NghƯ An;
Huỳnh Nguyên Phúc, 9A1, THCS Mỹ Lộc,
Phú Mỹ, Bình Định; Nguyễn Hữu Quyền, 9C,
THCS Nhữ Bá Sỹ, Bút S¬n, Thanh Hãa.



(19)

Bài 5(179). Cho một miếng giấy hình vng
kích th−ớc m ì n ơ vuông. Ng−ời ta nối các
đỉnh của các ô vuông đơn vị bởi các đoạn
thẳng không cắt nhau để chia miếng giấy
thành các tam giác đơn. Tam giác đơn là tam
giác không chứa đỉnh ô vuông đơn vị nào
khác (ba đỉnh của nó) ở bên trong hoặc trên
cạnh của nó. Hãy tính số tam giác đơn thu
đ−ợc.


Lời giải. Số các đỉnh là đỉnh của các ô vuông
đơn vị trong mạng l−ới là (m 1)(n 1) đỉnh, + +


trong đó số đỉnh bên trong hỡnh ch nht


ì


m n ô vuông lµ (m 1)(n 1) . − −


Suy ra số đỉnh trên biên khơng kể ở góc của
hình chữ nhật là


+ + − − − − = + −


(m 1)(n 1) (m 1)(n 1) 4 2(m n 2).
Vậy tổng các góc ở các đỉnh của các ô vuông
đơn vị của miếng giấy là


o o


o o


(m 1)(n 1) 360 2(m n 2) 180
4 90 m.n.360 .


− − × + + − ×
+ × =


XÐt mét cách chia miếng giấy kích thớc


ì


m n ô vuông thành các tam giác đơn một


cách bất kì. Kí hiệu số tam giác đơn thu đ−ợc
là x.


Tổng các góc của x tam giác đơn này là
o


x.180 .


Mặt khác, ta thấy rằng tổng các góc của
những tam giác đó bằng tổng các góc ở các
đỉnh của các ơ vuông đơn vị của miếng giấy.
Suy ra x.180o =m.n.360 ,o từ đó x =2mn.
Vậy số tam giác đơn thu đ−ợc là 2mn.


Nhận xét. Đây là một bài toán tổ hợp với nội
dung về bảng ơ vng. Trong lời giải có sử
dụng yếu tố bất biến là tổng các góc của các
hình tam giác đơn thu đ−ợc sau phép chia. Từ
lời giải trên ta có thể rút ra đ−ợc nhận xét số
tam giác đơn thu đ−ợc khi chia một miếng
giấy theo yêu cầu của đề bài không phụ
thuộc vào cách vẽ các đoạn thẳng.


Một số bạn gửi lời giải và đ−a ra đ−ợc đáp số
đúng nh−ng đã hiểu sai về cách xác định các
đoạn thẳng nối giữa các đỉnh của những ô
vuông đơn v.


trịnh hoài dơng



Bi 6(179). Cho tam giỏc ABC vi AB < AC,
M là trung điểm của BC. Gọi H là hình chiếu
của B trên AM. Lấy điểm Q trên tia đối của
tia AM sao cho AQ = 4MH. Gọi D là giao
điểm của AC và BQ. Chứng minh rằng tâm
đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADQ nằm
trên đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác DBC.
Lời giải. Gọi I là tâm của đ−ờng tròn ngoại
tiếp tam giác ADQ; N, K theo thứ tự là hình
chiếu của I, C trên AM.


Ta có ΔMBH =ΔMCK (g.c.g) và NA = NQ.
Từ đó, chú ý rằng AQ = 4MH; NA = NQ, suy
ra BH = CK; NH = AK; QH = NK.


Do đó ΔBNH =ΔCAK; ΔBQH =ΔCNK.
Điều đó có nghĩa là Nm1=A ; Qm m1 1=N . (1) m2
Từ (1) suy ra


n= m+m =m+m =m+m =n


2 1 1 2 1 2


BDC A Q A N N N BNC. (2)


Tõ (1) vµ (2), chó ý r»ng ID = IA; IN ⊥ QA,


n n n n n


m m m m n



o


o o


1 2 1 1


1
suy ra BDI BDC CDI BDC 90 DIA


2


N N 90 Q N 90 BNI. (3)


= + = + −
= + + − = + =


Từ (2) và (3) suy ra các tứ giác DBCN và
BDNI nội tiếp.


Vậy tứ giác DBCI nội tiếp, suy ra đpcm.
Nhận xét. Các bạn sau có lời giải tốt: Nguyễn
Sĩ Huy, Vũ Hải Sơn, THCS Kiến Quốc, Kiến
Thụy, Hải Phòng.



(20)

The area of a triangle


in a coordinate system



ThS. D−¬ng thu trang (Gmath Education)



TS. Đỗ Đức Thành (GV. Trờng liên cấp Tiểu học và THCS Ngôi Sao Hà Nội)
1. The area of a triangle


• The coordinates of three points are given
Given the coordinates of the three vertices of
a triangle ABC, the area can be found by the
formula below.


A B C B C A C A B


x (y y ) x (y y ) x (y y )
Area


2


− + − + −


=


The two vertical bars mean “absolute value”.
This means that it is always positive even if
the formula produced a negative result.
Polygons can never have a negative area.
• The lengths of three sides are given
A method for calculating the area of a triangle
when you know the lengths of all three sides.
Let a, b, c be the lengths of the sides of a
triangle. The area is given by:


Area= p(p−a)(p b)(p− −c)



in which p is half of the perimeter: p a b c.
2
+ +
=
2. Example


As shown in the coordinates system,
three points A, B, C of a triangle ABC are
respectively: Point A(15, 15); Point B(23, 30);
Point C(46, 15).


15(30 15) 23(15 15) 46(15 30)
Area


2
232.50


− + − + −


=
=


3. Exercise


Three points A, B, C are located on a
coordinate system forming a triangle. The
coordinate of A is (4, 6). The line going
through point A and C is parallel to the x-axis
(point C is on the right of point A) and the


point C’s x-coordinate is twice that of point
A’s. The x-coordinate of point B is the same
as that of the midpoint of segment AC and
the y-coordinate of point B is thrice the
y-coordinate of point A. Find the area of the
triangle ABC.


4. Technical terms


Triangle Tam gi¸c


Absolute value Giá trị tuyệt đối


Length ChiỊu dµi


Area DiƯn tÝch


Perimeter Chu vi
Respectively T−ơng ứng
Located on Đ−ợc đặt trong
Parallel to Song song với


Thrice GÊp ba lÇn


(TTT2 sè 179)


Introduction to Cartesian Coordinates


Nhận xét. bài 1 các bạn đều tìm đúng tọa


độ trung điểm của đoạn thẳng AB với


A(20; 30) và B(2; 4) là M(11; 17).


bài 2 ta cần tìm tọa độ các đỉnh C, D của


hình chữ nhật ABCD khi cho A(2; 5) và
B(10; 5). Các bạn đều nêu ra một nghiệm,
trong khi bài tốn có hai nghiệm C1(10; 11);
D1(2; 11) và C2(10; −1); D2(2; −1), từ đó tâm
của hình chữ nhật t−ơng ứng là M1(6; 8);
M2(6; 2).



(21)

rong đề thi tuyển sinh đại học các năm
tr−ớc đây th−ờng có các câu khó là giải
hệ ph−ơng trình và bất đẳng thức. Bài
viết này xin giới thiệu một số bài toán giải hệ
ph−ơng trình trong đề thi đại học mà cách giải
chỉ cần dùng kiến thức ở trung học cơ sở.
Bài tốn 1. Giải hệ ph−ơng trình


2 2 3


2 2 2


5x y 4xy 3y 2(x y) 0 (1)


xy(x y ) 2 (x y) . (2)


+ + =






+ + = +




(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2011)


Lời giải. Đặt u = x + y, v = xy th× tõ (2) suy ra
v(u2 − 2v) + 2 = u2 ⇔ (v − 1)(u2 − 2v − 2) = 0


=

⇔⎢
= +
⎢⎣ 2
v 1
u 2v 2.


* XÐt v = 1 th× x= 1


y (y = 0 không là nghiệm
của phơng trình) thay vào (1) đợc y = 1.


* Xét u2 = 2v + 2 th× x2 + y2 = 2. Kết hợp với (1)
ta đợc (x 2y)(xy 1) = 0.


Sau khi thử lại, hệ phơng trình cã nghiƯm (x; y)
lµ (1; 1); (−1; −1); ⎛⎜ ⎞ ⎛⎟ ⎜⎟ ⎜− − ⎞⎟



⎝ ⎠ ⎝ ⎠


2 10 10 2 10 10


; ; ; .


5 5 5 5


Bµi toán 2. Giải hệ phơng trình


3 2 3 2


2 2


x 3x 9x 22 y 3y 9y (1)


1


x y x y . (2)


2
+ = +


+ − + =



(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2012)



Lời giải. Hệ phơng trình tơng đơng với
2


2


2 2 2 2


(x y 2)[(x 1) (x 1)(y 1)
(y 1) 12] 0


(x 1) (y 1) x y 3.


− − + +
⎪⎪
+ + − =


− + + + + =


Ta chứng minh đợc


2+ + + 2− <
(x 1) (x 1)(y 1) (y 1) 12 0.


Giải tiếp rồi thử lại ta đợc hệ phơng trình
có nghiệm (x; y) là − ⎞


⎝ ⎠ ⎝ ⎠



1 3 3 1


; ; ; .


2 2 2 2


Bài toán 3. Giải hệ phơng tr×nh


+ + − − + =


+ − + + =

4
4
2 2


x 1 x 1 y 2 y (1)


.


x 2x(y 1) y 6y 1 0 (2)


(§Ị thi tuyển sinh Đại học khối A - A1,


năm 2013)


Lời giải. ĐKXĐ: x 1.


Từ (2) suy ra 4y = (x2 + y − 1)2 ≥ 0.


Tõ (1) ta cã


+ +4 − = 4+ +4 4 + −
x 1 x 1 y 2 (y 1) 1.
Xét x > y4 + 1 và xét x < y4 + 1 đều không
thỏa mãn.


Suy ra x = y4 + 1, kÕt hỵp víi 4y = (x2 + y − 1)2,
gi¶i ra và thử lại ta đợc hệ phơng trình có
nghiệm (x; y) là (1; 0); (2; 1).


Bài toán 4. Giải hệ phơng trình


+ =


− = −

2
3


x 12 y y(12 x ) 12 (1)


.


x 8x 1 2 y 2 (2)


(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A - A1,


năm 2014)



Lời giải. §KX§: −2 3 ≤ ≤x 2 3; y≤12.


áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có


− + −


+ − + −


≤ + =


2


2 2


x 12 y y(12 x )
x 12 y y 12 x


12.


2 2


Suy ra x ≥ 0 và y = 12 x2


. Kết hợp với (2) cã


+
− ⎢ + + + ⎥=
+
⎣ ⎦


2
2
2(x 3)


(x 3) x 3x 1 0.


1 10 x


Sau khi thử lại, hệ phơng trình có nghiệm
(x; y) lµ (3; 3).


T



giải hệ ph

ơng trình trong đề thi


đại học bằng kiến thức toán



ë trung học cơ sở



Tạ Thập



(22)

Trn u thứ một trăm năm m

ơi mốt

(TTT2 số 179)


Đặt BP CQ AR= = =x; BPR CQP ARQn n n= = = .


Giả sử tam giác ABC không có hai góc nào
bằng nhau.


Không mất tính tổng quát, giả sử
n n n> >


BAC CBA ACB. (1)



Tõ (1), chó ý r»ng ARQn=BPRn =CQP, suy n
ra AQR BRP CPQ.n n n< <


Từ đó, lại chú ý rằng CQPn=nARQ=BPR,n
suy ra RQP PRQ QPR.n n n> >


Do đó RP PQ QR.> > (2)


V× AR=BP=CQ=x và ARQn=BPRn =CQPn


= nên dựng đợc các tam gi¸c XOQ’,


XOR’, XOP’ theo thø tù b»ng c¸c tam gi¸c
ARQ, BPR, CQP sao cho c¸c tia OQ’, OR’,
OP’ trïng nhau. (3)


Tõ (1) vµ (3) suy ra OXQn n n’>OXR’>OXP .’


Do đó Q O R O P O.’ > ’ > ’


KÕt hỵp víi (3) suy ra Q R R P PQ.> > (4)
Từ (2) và (4) suy ra mâu thuẫn.


VËy tam gi¸c ABC cã hai gãc b»ng nhau.
Không mất tính tổng quát, giả sử


n n=


BAC CBA. (5)



Ta chứng minh đ−ợc ΔARQ= ΔBPR (g.c.g).
Do đó AQ BR.=


Kết hợp với CQ BP,= suy ra AC=AB.
Do đó CBA ACB.n n= (6)


Từ (5) và (6) suy ra tam giác ABC đều.


Nhận xét. Có ba bạn tham gia giải bài này.
Tiếc rằng một bạn giải sai, một bạn phải
dùng định lí hàm số sin, một bạn phải chia


qu¸ nhiỊu trờng hợp. Không có võ sĩ nào


ng quang trong trận đấu này, phần th−ởng
xin gác lại kì sau.


Ngun Minh Hµ


Trận đấu thứ một trăm năm m

ơi ba



Ng−ời thách đấu: Trần Quang Hùng, GV. THPT chuyên Đại học
KHTN Hà Nội.


Bài tốn thách đấu: Cho hình thang cân ABDC (AB // CD và AB > CD)
nội tiếp đ−ờng tròn tâm O sao cho tâm O nằm ngồi hình thang đó. Gọi
N là giao điểm của AD và BC. Vẽ bán kính OP đi qua N, cắt AB tại M.
Gọi r là bán kính của đ−ờng trịn tiếp xúc với đoạn thẳng ND, đoạn
thẳng NB và đ−ờng tròn (O). Chứng minh rằng 1 1 1 .




(23)

Xét hàm số y = f(x) xác định với x (a; b),
x1, x2(a; b).


Nếu x1 x2 màf(x1) f(x2) thì hàm số f(x)
là hàm số đồng biến trong (a; b).


NÕu x1 x2 mà f(x1) f(x2) thì hàm số f(x)
là hàm số nghịch biến trong (a; b).


Mnh . Nếu hàm số y = f(x) đồng biến
hoặc nghịch biến trong (a; b) và f(x1) = f(x2) thì
x1= x2.


Một ph−ơng pháp giải hệ ph−ơng trình hai ẩn
là sử dụng mệnh đề trên để chuyển về giải
phng trỡnh mt n.


Sau đây là một số bài toán minh họa.
Bài toán 1. Giải hệ phơng trình


+ + − =


+ + − =
⎪⎩
2
2 2


(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)



4x y 2 3 4x 7 (2)


Lời giải. ĐKXĐ: x3; y5.


4 2 Ta có


⇔ + = − + −


⇔ + = − + −


2


2 2


(1) (4x 1)2x (5 2y 1) 5 2y


[(2x) 1].2x [( 5 2y) 1] 5 2y. (3)
XÐt hµm sè f(t) = (t2 + 1)t = t3 + t, víi mäi số
thực t1, t2 và t1 t2 thì


= + − +


= − + −


= − + + + ≤


3 3


1 2 1 1 2 2



3 3


1 2 1 2


2 2


1 2 1 1 2 2


f(t ) f(t ) (t t ) (t t )
(t t ) (t t )


(t t )(t t t t 1) 0.
Suy ra f(t1) ≤ f(t2).


Do đó hàm số y = f(x) đồng biến trên R.


áp dụng mệnh đề vào (3) ta đ−ợc f(u) = f(v)


nªn u = v.


Do đó = − ⇒ = − ≥


2
5 4x


2x 5 2y y , x 0.


2
Tõ x 3



4


≤ , suy ra 2y = 5 − 4x2>
0.
Thay vµo (2) ta ®−ỵc


2
2
2 5 4x


4x 2 3 4x 7 0


2

+⎜ + − − =
⎝ ⎠
⇔ − − + − =
⇔ − + + − − =
4 2
4 2
3


4x 6x 2 3 4x 0


4
5


4x 6x 2( 3 4x 1) 0



4
2


2


(2x 1)(2x 1)(4x 5) 4(1 2x)
0


4 3 4x 1


(2x 1)(5 4x ) 4


(1 2x) 0


4 3 4x 1


1


1 2x 0 x y 2.


2
− + − −
⇔ + =
− +
+
⇔ − ⎢ + ⎥=
− +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⇔ − = ⇔ = ⇒ =



Thử lại thấy đúng.


VËy hÖ phơng trình có nghiệm (x; y) là





1
; 2 .
2


Bài toán 2. Giải hệ phơng trình


+ + − =




+ + − =


⎪⎩


x 1 7 y 4 (1)


y 1 7 x 4 (2)


Lời giải. ĐKXĐ: 1 ≤ x ≤ 7, −1 ≤ y ≤ 7.
Tõ (1), (2) suy ra



+ + − = + + −


⇔ + − − = + − −


x 1 7 y y 1 7 x


x 1 7 x y 1 7 y. (3)
XÐt hµm sè


= + − −


f(t) t 1 7 t víi −1 ≤ t ≤ 7.
Víi mäi sè thùc t1, t2 vµ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 7 th×


1 2 1 1 2 2


1 2 1 2


1 2 1 2


1 2 1 2


1 2


1 2 1 2


f(t ) f(t ) ( t 1 7 t ) ( t 1 7 t )
( t 1 t 1) ( 7 t 7 t )



t t t t


t 1 t 1 7 t 7 t


1 1


(t t ) 0


t 1 t 1 7 t 7 t


− = + − − − + − −
= + − + − − − −
− −
= +
+ + + − + −
⎛ ⎞
= − ⎜ + ⎟
+ + + − + −
⎝ ⎠


giải hệ ph

ơng trình bằng ph

ơng pháp


chng minh hm s ng bin, nghch bin



nguyễn văn thịnh



(24)

1 2
f(t ) f(t ).


⇒ ≤



Suy ra hàm số y = f(t) đồng biến khi −1 ≤ t ≤ 7.


áp dụng mệnh đề vào (3) suy ra f(u) = f(v)


nên u = v.
Do đó


+ + − = ⇔ + − =


⇔ − 2 = ⇔ = ⇒ =


x 1 7 x 4 (x 1)(7 x) 4
(x 3) 0 x 3 y 3.


Thử lại thy ỳng.


Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) là (3; 3).
Bài toán 3. Giải hệ phơng trình


+ − =




⎪ + − − − + =




3 3 2



2 2 2


x y 3y 3x 2 0 (1)


x 1 x 3 2y y 2 0 (2)


Lêi giải. ĐKXĐ: |x| 1; |y 1| 1.
Ta cã


⇔ 3 − − = − 3 − − −


(1) x 3x 2 (y 1) 3(y 1) 2. (3)
XÐt hµm sè f(t) = t3−


3t − 2 víi |t| ≤ 1.
Víi mäi sè thùc t1, t2 vµ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1 th×


− = − − − − −


= − − −


= − + + − ≥


⇒ ≥


3 3


1 2 1 1 2 2


3 3



1 2 1 2


2 2


1 2 1 1 2 2


1 2


f(t ) f(t ) (t 3t 2) (t 3t 2)
(t t ) 3(t t )


(t t )(t t t t 3) 0
f(t ) f(t ).


Suy ra hàm số y = f(t) nghịch biến khi 1 t ≤ 1.


áp dụng mệnh đề vào (3) suy ra f(x) = f(y 1),


từ đó x = y − 1.
Thay vào (2) ta đ−ợc


+ − − − + =


⇔ − − + =


⇔ − + − + =


⇔ − + =



⇔ = ⇒ =


2 2 2


2 2


2 2


2 2


x 1 x 3 1 x 2 0


x 2 1 x 2 0


(1 x ) 2 1 x 1 4
( 1 x 1) 4


x 0 y 1.
Thử li thy ỳng.


Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) là (0; 1).
Bài toán 4. Giải hệ phơng tr×nh


+ + − − + =


+ − + + =

4
4


2 2


x 1 x 1 y 2 y (1)


x 2x(y 1) y 6y 1 0 (2)


Lêi gi¶i. §KX§: |x| ≥ 1.
Tõ (2) suy ra 4y = (x + y 1)2


nên y 0.
Đặt z=4x 1 (z − ≥ 0) th× tõ (1) suy ra


+ + = + +


4 4


z 2 z y 2 y. (3)
XÐt hµm sè f(t)= t4+ +2 t, t≥0.
Víi mäi sè thùc t1, t2 và 0 t1 t2 thì


= + + − + +
= − + + − +

= − +
+ + +
+ +
⎜ ⎟
= − +
+ + +
⎝ ⎠


⇒ ≥
4 4


1 2 1 1 2 2


4 4


1 2 1 2


4 4
1 2
1 2
4 4
1 2
2 2


1 2 1 2


1 2


4 4


1 2


1 2


f(t ) f(t ) ( t 2 t ) ( t 2 t )
(t t ) ( t 2 t 2)


t t


(t t )


t 2 t 2


(t t )(t t )


(t t ) 1 0


t 2 t 2


f(t ) f(t ).


Suy ra hàm số y = f(t) nghịch biến khi t ≥ 0.


áp dụng mệnh đề vào (3) suy ra f(z) = f(y), từ


đó z = y.


Tøc lµ y=4x 1 x=y4 +1.
Thay vào (2) ta đợc


(y4+
1)2+


2(y4+


1)(y − 1) + y2


6y + 1 = 0



⇔ y(y7+ 2y4+ y 4) = 0
NÕu y = 0 th× x = 1.
NÕu y7+


2y4 +


y − 4 = (y − 1)(y6+
y5+


y4+
3y3+


3y2+


3y + 4) = 0 thì y = 1 ⇒ x = 2.
Thử lại thy ỳng.


Vậy hệ phơng trình có nghiệm (x; y) là (1; 0);
(2; 1).


Các bạn hÃy thực hành giải các bài tập sau
nhé.


Bài 1. Giải hệ phơng trình
+ = +


+ + =




3 2 3 2


2 2


x 3y 9x 22 y 3y 9y


1


x y x y .


2


Bài 2. Giải hệ phơng tr×nh


− + − =





− + + = − + + + +


⎪⎩ 2


(53 5x) 10 x (5y 48) 9 y 0
2x y 6 x 2x y 11 2x 66.
Bài 3. Giải hệ phơng trình


− + = + − −






− + + = − − − −


⎪⎩ 2


(1 y) x y x 2 (x y 1) y


2x 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3.
Bài 4. Giải hệ phơng trình


+ + − + = − − +


⎪ + − + + = −

2 2
2 2



(25)



ếu có dịp ngắm nhìn đèo Khau Phạ từ
trên cao, hẳn bạn sẽ hiểu vì sao con
đèo nổi tiếng này lại đ−ợc ví nh− vậy.
Đèo Khau Phạ là cung đ−ờng v−ợt qua núi
Khau Phạ - một ngọn núi thuộc dãy Hoàng
Liên Sơn ở miền Tây Bắc n−ớc ta. Đỉnh Khau
Phạ là đỉnh núi cao nhất trên địa phận tỉnh
Yên Bái (khoảng 1500 m so với mực n−ớc


biển). Trong ngôn ngữ của đồng bào dân tộc
Thái, Khau Phạ nghĩa là Sừng Trời. Nếu bạn
thắc mắc vì sao ng−ời Thái lại gọi nh− vậy thì
hãy nhìn những bức ảnh chụp đỉnh núi Khau
Phạ từ trên cao. Bạn sẽ thấy giữa biển mây
mênh mơng mờ mịt là đỉnh núi nhịn nhọn,
nh− chiếc sừng đang nhô lên. Và bạn hãy
t−ởng t−ợng tiếp nhé: Cung đ−ờng dài gần
30 km này đ−ợc xây dựng bám theo s−ờn núi
quanh co gấp khúc, có chỗ thoai thoải, có
chỗ lại gần nh− dựng đứng... Từ trên cao
nhìn xuống, con đèo màu sáng nổi bật trên
nền xanh sẫm của núi rừng, giống hệt nh−
một dải lụa mềm mại.


Dải lụa này mùa nào cũng rất đẹp, nh−ng ấn
t−ợng nhất là mùa xuân và mùa thu. Xuân
về, hoa rừng đua nở, s−ờn núi nh− những


bức tranh đ−ợc dệt từ mn màu mn sắc.
Tiếng chim hót ríu ran cùng với làn mây
giăng huyền ảo càng khiến bức tranh thêm
phần thơ mộng. Thu sang, lúa d−ới chân đèo
vào mùa thu hoạch. Từ trên đèo nhìn xuống,
những thửa ruộng bậc thang giống hệt những
đợt sóng vàng nhấp nhơ, nhấp nhơ giữa núi
đồi xanh ngắt. Đơi lúc, những con sóng vàng
óng đó lại ẩn hiện sau màn mây trắng bồng
bềnh... Bức tranh mùa vàng tuyệt vời đó cịn
đ−ợc tơ điểm thêm bởi hình ảnh những ng−ời


dân hồ hởi gặt lúa, vui mừng nâng niu thành
quả lao động… Chẳng phải ngẫu nhiên mà
nhiều năm nay, cứ vào mùa lúa chín, đỉnh
đèo Khau Phạ lại trở thành nơi diễn ra Lễ hội
dù l−ợn “Bay trên mùa vàng”, thu hút rất
đông khách tham quan. Mùa hè, khi đi trên
đèo Khau Phạ, bạn có thể nghe thấy tiếng
thác ào ào, tiếng suối róc rách từ xa vẳng lại.
Cịn mùa đơng, nhiệt độ trên núi rất lạnh,
mây phủ kín nh− giăng màn và nếu may
mắn, bạn có thể gặp băng giá.


Đồng bào dân tộc Mông gọi đỉnh Khau Phạ
là Đở Chua, nghĩa là đỉnh núi có nhiều gió.
Với ng−ời Mơng, đây là nơi linh thiêng đất trời
gặp nhau, nên mỗi khi muốn cầu mong
những điều tốt lành, hay cầu m−a thuận gió
hịa, mùa màng bội thu, họ th−ờng lên đỉnh
đèo để cầu khấn.


Với mỗi ng−ời con đất Việt, khi v−ợt đèo
Khau Phạ - một trong những con đèo đ−ợc
lọt vào nhóm “Tứ đại đèo” của Việt Nam -
chúng ta không chỉ đ−ợc chiêm ng−ỡng vẻ
đẹp hùng vĩ và nên thơ của núi rừng, mà còn
thực sự cảm phục những con ng−ời đã xây
dựng nên cung đ−ờng hiểm trở này.


N




Nh− dải lụa trong mây



Đông Nguyễn



(26)

s vụ t ó

c phỏt hin



nh

thế nào



PGS. TS. Lê quốc hán


(GV. Khoa Toán Đại học Vinh, Nghệ An)


1. TRƯờNG PHáI Số HọC PYTHAGORAS


Tờn tui ca Pythagoras gn liền với định lí
hình học mang tên ơng: trong một tam giác
vng, bình ph−ơng cạnh huyền bằng tổng
bình ph−ơng hai cạnh góc vng. Tuy nhiên
những câu chuyện li kì về ơng lại gắn với số
học.


Pythagoras sinh khoảng năm 570 tr−ớc cơng
ngun trên hịn đảo Samos phía đơng biển
Aegea. Sau một thời gian đi du lịch nhiều
n−ớc, ông đến cảng biển Crotona của Đại Hy
Lạp (nay thuộc miền nam Italia) và lập nên
tr−ờng phái triết học gọi là Tr−ờng phái
Pythagoras nổi tiếng và cũng là một học viện
nghiên cứu triết học, toán học, khoa học tự
nhiên.



TriÕt học của trờng phái Pythagoras dựa trên
sự thừa nhận số nguyên là nguyên nhân của
các thuộc tính khác nhau của mỗi ngời và
của các vật chất. Điều này dẫn tới sự tán
dơng và nghiên cứu các tÝnh chÊt sè häc cña


các số. Tuy đạt đ−ợc một số thành tựu về Lí
thuyết số nh−ng họ cũng tạo ra những cơ sở
của thuyết thần bí về các con số về sau. Họ
gọi hai số nguyên d−ơng là cặp số bạn bè
nếu tổng các −ớc thực sự của số này bằng số
kia, chẳng hạn hai số 284 và 220 là cặp số có
tính chất đó. Cặp số này ẩn chứa một nét
huyền bí vì họ cho rằng hai lá bùa có các con
số đó sẽ gắn chặt tình bạn giữa hai ng−ời
mang chúng. Vì vậy số nguyên sau này trở
nên giữ một vai trò quan trọng trong ma thuật,
phù thủy, chiêm tinh và lấy số tử vi. Một ví dụ
khác là họ đ−a ra khái niệm số hồn chỉnh,
đó là số ngun d−ơng bằng tổng các −ớc
thực sự của nó. Số 6 là số hồn chỉnh vì
6 = 1 + 2 + 3. Từ đó họ lí giải vì sao Th−ợng
đế tạo nên vũ trụ này trong đúng sáu ngày (!).


2. ĐịNH Lí PYTHAGORAS Và CáC Bộ BA
PYTHAGORAS



(27)

Sau này đã có nhiều cách chứng minh định lí
trên đ−ợc tìm thấy. Trong lần xuất bản thứ hai


cuốn sách Mệnh đề Pythagoras của mình,
E. S. Loomis đã thu thập và phân loại 371
cách chứng minh định lí nổi tiếng này.


Từ định lí Pythagoras, một vấn đề đặt ra là
tìm bộ ba các số nguyên a, b, c thỏa mãn
điều kiện a2 +b2 =c .2 Một bộ ba a, b, c nh−


vậy đ−ợc gọi là một bộ ba Pythagoras
(chẳng hạn 3, 4, 5). Có thể chứng tỏ rằng
các bộ ba 2kmn, k(m2 −n ), k(m2 2 +n ) trong 2
đó k là số nguyên d−ơng còn m, n là hai số
tự nhiên nguyên tố cùng nhau (m > n) vét
kiệt các bộ ba Pythagoras.


3. KHáM PHá RA CáC ĐạI LƯợNG VÔ Tỉ


Các số nguyên đã đ−ợc trừu t−ợng hóa từ quá
trình đếm các tập hợp hữu hạn đồ vật. Những
nhu cầu hàng ngày đòi hỏi mọi ng−ời ngồi
việc đếm các vật riêng lẻ cịn phải đo l−ờng
các đại l−ợng khác nhau nh− chiều dài, trọng
l−ợng và thời gian. Để thỏa mãn những nhu
cầu đo l−ờng đơn giản này cần đến các phân
số bởi vì một chiều dài chẳng hạn, nhiều khi
khơng biểu diễn đ−ợc đúng một số nguyên
đơn vị. Từ đó dẫn đến khái niệm số hữu tỉ p


q
lµ tØ sè cđa hai sè nguyªn p, q víi q ≠ 0. Số


nguyên có thể xem là trờng hợp riêng cđa sè
h÷u tØ khi mÉu sè q = 1.


Nh− đã biết, việc biểu diễn các số hữu tỉ trên
một trục số khá đơn giản. Lúc đầu ng−ời ta
nhầm t−ởng rằng tất cả điểm biểu diễn tập
hợp các số hữu tỉ lấp đầy trục số. Tuy nhiên
về sau các môn sinh của tr−ờng phái
Pythagoras phát hiện ra rằng có những điểm
trên trục số không ứng với số hữu tỉ nào.
Chẳng hạn không có số hữu tỉ nào trên trục
số ứng với điểm P trên trục số cách gốc O
một khoảng đúng bằng đ−ờng chéo của một
hình vng có cạnh bằng đơn vị. Họ gọi các
số mới này là các số vô tỉ.


Việc phát hiện ra loại số lạ này đã làm cho
các môn sinh của tr−ờng phái Pythagoras
kinh ngạc và bối rối, bởi nó trái với học thuyết
của họ là mọi vật trong vũ trụ đều phụ thuộc
vào các số nguyên (số hữu tỉ chẳng qua là tỉ
số của hai số nguyên), nh−ng số vơ tỉ thì
khơng phải thế. Vụ "xì căng đan lôgic" này
quá lớn đến nỗi ng−ời ta bắt các môn sinh
của tr−ờng phái Pythagoras phải giữ kín nó và
mang theo bí mật này xuống mồ. Nh−ng rồi
có một mơn sinh tên là Hippasus tiết lộ bí mật
này ra ngồi nên đã bị ném xuống biển. Cũng
có dị bản khác cho rằng Hippasus đã bị đuổi
khỏi cộng đồng Pythagoras và một ngôi mộ


đã đ−ợc dựng lên cho kẻ "nghịch đạo" này dù
y ch−a chết.


4. Sù PH¸T TRIĨN TIÕP THEO


Thực ra các môn sinh của tr−ờng phái
Pythagoras chỉ phát hiện ra số vô tỉ 2 . Mãi
về sau (khoảng 425 tr−ớc cơng ngun) thì
Theodorus ở Cyrene mới chứng tỏ đ−ợc rằng
3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15
là những số vơ tỉ. Sau đó vào khoảng năm
370 tr−ớc cơng ngun, vụ "xì căng đan
lơgic" trên mới đ−ợc giải quyết bởi một học trò
xuất sắc của Plato tên là Eudoxus và bởi một
môn sinh của Pythagoras tên là Archytas, khi
các ông đ−a ra một định nghĩa mới về đoạn
thẳng tỉ lệ.


Một môn sinh của Pythagoras là Theaetetus
cũng chứng tỏ đ−ợc rằng nếu n khơng phải là
bình ph−ơng của một số hữu tỉ thì n là số vơ
tỉ. Phải mất một thời gian sau ng−ời ta mới tìm
ra các số vơ tỉ khơng có dạng na. Chẳng
hạn, số π là tỉ số giữa chu vi và đ−ờng kính
của một đ−ờng trịn, hay số e đ−ợc xác định
bởi biểu thức e= + +1 1 1 + +... 1 +...


1! 2! n!



(28)

(TTT2 sè 179)



Cuéc thi gi¶i toán d

nh cho nữ sinh



Bài 22NS.Ta có


3 3 2 2


2 2


4(a b ) 4(a b)(a ab b )
8 P (2a b) 3b 0
P 0


+ = + − +


⎡ ⎤
⇒ = − + >


⇒ >


⇒ = = >


− + ⎛ +


⎜ ⎟
⎝ ⎠


2 2 2 2


2 2



P 0


a ab b b 3b


a


2 4


2


3 3 3


(a b)(a b) 0
(a b) 4(a b ) 8
P a b 2.


⇒ + − ≥


⇒ + ≤ + =


⇒ = + ≤


• P = 1 khi a=3+ 21; b=3− 21


6 6 hc


− +


=3 21 = 3 21⋅



a ; b


6 6


• P = 2 khi a = b = 1.
VËy P∈

{ }

1; 2 .


Nhận xét. Các bạn có lời giải đúng: Trần Thị
Yến Khanh, Hạ Hiền L−ơng, Đào Ph−ơng
Anh, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, THCS
Lâm Thao, Lâm Thao, Vũ Huyền Trang, 8H,
THCS Văn Lang, TP. Việt Trì, Phú Thọ;


Ngun Thị Mai Anh, 9D, THCS Đặng Thai
Mai, TP. Vinh, Nghệ An.


Bài 23NS.ĐKXĐ: x0.
2


2 2


3 3 2 3 2


27 6 3 18


Ta cã 5 1 4 0


x x



x x


2x 7x 33x x(2x 7x 33) 0


⎛ ⎞


+ + = + + + >


⎝ ⎠


⇒ − + − = − − + >


Mµ − + = ⎛ − ⎞ + >


⎝ ⎠


2


2 7 215


2x 7x 33 2 x 0


4 8


⇒x<0.


Đặt a=32x3−7x2+33x, ph−ơng trình đã
cho t−ơng đ−ơng với ax2+5x2+6x+27=0


2



2 3 2


2


2
2


2
x (a 6) (x 3)(9 x) 0
x (2x 7x 33x 216)


(x 3)(9 x) 0
a 6a 36


13 407
x 2 x


4 8


(x 3) 9 x 0


(a 3) 27


⇔ + + + − =
− + +
⇔ + + − =
− +
⎡ ⎡ ⎤ ⎤
⎢ ⎢ + ⎥ ⎥


⎢ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥
⎢ ⎥
⇔ + + − =
⎢ − + ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦


⇔(x+3)A=0 ⇔ + =x 3 0 (v× x < 0 nªn
A > 0) ⇔ = −x 3 (tháa m·n).


Vậy ph−ơng trình đã cho có tập nghiệm là


{ }



= −


S 3 .


Bài 30NS. Cho đ−ờng tròn (O), điểm A cố định ở bên ngồi đ−ờng trịn. Vẽ tiếp tuyến AB
(B là tiếp điểm). Vẽ cát tuyến ACD của đ−ờng tròn (Tia AC nằm giữa hai tia AB và AO). Vẽ
BH ⊥ OA tại H. Gọi M là hình chiếu vng góc của điểm O trên đ−ờng phân giác của góc
DCH. Chứng minh rằng M ln nằm trên một đ−ờng tròn cố định khi cát tuyến ACD thay đổi.


Tạ Thập(TP. Hồ Chí Minh)


Bài 28NS. Giải phơng trình nghiệm nguyªn
|x2−



2xy + y2+


3x − 2y − 1| + 4 = 2x − |x2−


3x + 2|.


Lại Quang Thọ


(Phòng Giáo dục và Đào tạo Tam Dơng, Tam Dơng, Vĩnh Phúc)
Bài 29NS. Giải phơng trình


+ + + + − =


2


6x 8x 2 2 x 3 3x 5.



(29)

Nhận xét. Bạn có lời giải đúng: Trần Cao Kỳ
Duyên, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao,
Phú Thọ.


Bµi 24 NS.


n= n= o


HIM KIH 90 ,IMH IHK (cïng phô n= n IHM ) n


⇒ΔHIM ΔKHM (g.g)


⇒IM=HM



IH HK mµ 2HM = MN (quan hệ vuông
góc giữa đờng kính và dây), 2HK = HA.
Suy ra IM MN IM IH .


IH =HA ⇒MN=HA


Mµ IMN IHA .n= n


Do đó ΔIMN ΔIHA (c.g.c)


n n


⇒INM=IAH ⇒AIHN là tứ giác nội tiếp.
Vậy đ−ờng trịn ngoại tiếp ΔHIN ln đi qua
điểm cố định A.


Nhận xét. Các bạn có lời giải đúng: Trần
Cao Kỳ Duyên, 9A1, Lê Thị Ph−ơng Lan,
Phạm Thùy Linh, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Mai Anh, 9D,
THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh, Nghệ An.


Nguyễn Hiệp

C−ời trong v−ờn anh


Đọc hai mẩu đối thoại vui này, nếu bạn bật c−ời thì hãy giải thích vì
sao bạn c−ời nhé!


L−u ý: Chủ V−ờn không yêu cầu dịch ra tiếng Việt, chỉ yêu cầu nói
rõ điểm nào trong mỗi đoạn khiến bạn cảm thấy buồn c−ời. Bạn có


thể giải thích điều đó bằng tiếng Việt hoặc gạch chân những từ
“gây c−ời” đó.


* Teacher: John, why are you doing your math multiplication on the floor?
John: You told me to do it without using the tables.


** Teacher: Donald, what is the chemical formula for water?
Donald: H I J K L M N O.


Teacher: What are you talking about?
Donald: Yesterday you said it's H to O.



(30)

ớc có ở khắp nơi xung quanh chúng ta.
Hµng ngµy, ai ai cịng dïng n−íc. Ng−êi ta
cã thể cho nhau nớc mà không hề tính
toán. Nớc thật bình thờng chứ có gì mà kì diệu?
Không phải vậy đâu bạn nhé!


6 Để có ấm nớc sôi, bạn phải đun khá lâu. Nh


vy tc l để nóng lên, n−ớc cần một l−ợng nhiệt
khơng hề nhỏ. Chính nhờ đặc tính này mà n−ớc ở
ao hồ, sông biển mới không bị sôi sùng sục lên
d−ới sức nóng thiêu đốt của Mặt Trời. Nếu n−ớc
chỉ cần chút ít nhiệt đã sơi thì sự sống trên Trái Đất
sẽ ra sao nhỉ?


6 Để có thể bốc hơi, n−ớc còn cần l−ợng nhiệt lớn
hơn thế rất nhiều. Nhờ đặc tính này nên nguồn
n−ớc trên Trái Đất mới không bị cạn kiệt dù cho


ánh nắng có chói chang đến đâu và mỗi ngày
trung bình có tới một nghìn tỷ tấn n−ớc bốc thành
hơi.


6 Khi gặp lạnh, mọi vật đều co lại, chỉ riêng n−ớc
là nở ra. Vì có đặc tính này nên băng (n−ớc đá)
mới nổi trên n−ớc. Giả sử băng chìm d−ới đáy
n−ớc thì sao nhỉ? Hoặc là n−ớc sẽ dâng lên, tràn
ngập khắp nơi; hoặc là mùa lạnh, băng sẽ đóng từ
d−ới đáy sơng hồ lên mặt n−ớc. Cuộc sống của
các lồi d−ới n−ớc sẽ ra sao? Con ng−ời và mn
lồi lấy đâu ra n−ớc mà sử dụng?


6 N−ớc là chất duy nhất tồn tại trong tự nhiên d−ới
3 dạng khác nhau: chất lỏng (n−ớc), chất rắn
(băng đá) và chất khí (s−ơng mù, mây). Nếu
khơng có đặc điểm này thì: hoặc là cả Trái Đất sẽ
tồn n−ớc là n−ớc (vì phần lớn l−ợng n−ớc ngọt
của Trái Đất nằm trong những khối băng khổng
lồ); hoặc là cả Trái Đất sẽ nằm im lìm trong băng
tuyết; hoặc là cả Trái Đất sẽ chìm trong s−ơng mù
và mây.


6 N−ớc có một biệt tài là biết “leo” ng−ợc, biết “bò”
chéo, “bò” ngang trong những “đ−ờng ống” siêu tí
hon (hiện t−ợng mao dẫn - sau này bạn sẽ đ−ợc
học). Nhờ đặc tính này mà cây cối mới hút đ−ợc
n−ớc từ d−ới đất để sinh sơi, phát triển.


6 N−ớc cịn một biệt tài nữa là có thể hịa tan rất


nhiều chất. Nhờ đặc tính này mà mn lồi động
vật, thực vật mới hấp thụ đ−ợc ôxy và các chất
dinh d−ỡng cần thiết cho sự sống. Theo các nhà
khoa học thì l−ợng d−ỡng chất có trong n−ớc biển
Atlantic có thể sánh ngang với 20 nghìn vụ mùa
trên đồng ruộng.


6 N−ớc là thành phần chủ yếu trong cơ thể của tất
cả các loài. Cá: 75%, sứa: 99%, khoai tây: 76%,
táo: 85%, cà chua: 90%, d−a chuột: 95%, d−a
hấu: 96%. Cơ thể con ng−ời cũng vậy, trẻ em:
86%, ng−ời già: 50% (riêng bộ não, n−ớc chiếm
80%). Chính vì thế mà mn lồi đều có thể bị
chết khi thiếu n−ớc.


6 Mặc dù nớc bao phủ tới hơn 2/3 diện tích Trái
Đất nhng con ngời lại chỉ có thể sử dụng một
lợng siêu nhỏ, chủ yếu là nớc ngọt. Lợng nớc
quý giá này đang bị ô nhiễm và cạn kiệt dần do sự
thiếu ý thức của con ng−êi.


6 Khơng có n−ớc thì khơng có sự sống nh−ng
cũng chính n−ớc lại là nguồn ni d−ỡng và lây
truyền mầm bệnh. Hầu hết các dịch bệnh nguy
hiểm đều lây lan qua n−ớc.


6 RÊt nhiều điều kì diệu nữa của nớc đang
chờ bạn tìm hiểu, khám phá. Còn bây giờ, bạn
hÃy ghi nhớ cách ứng xử khôn ngoan với
nớc nhé.



- ¡n chÝn, uèng s«i.


- Uống đủ nớc. Khi bị sốt hay tiêu chảy, hãy
bù nớc ngay kẻo sẽ nguy hiểm đến tính
mạng.


- Rưa tay, t¾m géi b»ng níc s¹ch.


- Dùng nớc tiết kiệm, cách đơn giản nhất là
khơng mở vịi nớc q to.


- Không vứt rác xuống cống rÃnh, ao hồ, sông
biển.


- Học cách phòng chống tai họa do nớc gây
ra (đuối nớc, lũ lụt...)


N



Nhân Ngày níc thÕ giíi 22/3 - WORLD WATER DAY 22 March


n

ớc

thật kì diệu!




(31)

thi



câu lạc bộ ttt



thái nhật phợng



Dơng Thu Trang(dịch)


Kì 15



CLB1. Find x, y such that they are integers
and satisfy the following equation:


2x2 + 13 =
y2


.


CLB2. Given two real numbers x, y such that
− =


2 3


3xy x 297; 3x y2 −y3 = −54.
Find A =x3+y3.


CLB3. Find the natural numbers a, b such
that (a+b)+ −(a b)+ab+ =a 1575.


b


CLB4. Find the minimum value of the
following expression
+ + + + +
=
+ +


( ) ( ) ( )
,


a b c b c a c a b


T


ab bc ca


(a, b, c are positive)


CLB5. M, N, P are taken on the side AB, BC,
CA of a triangle ABC such that MA = 2MB,
NB = 2NC, PC = 2PA. E, F are intersection
points of AN with BP and CM, respectively.
D is the intersection point of BP and CM.
Prove that SDEF = SBDM+ SCFN + SAEP.


(TTT2 sè 179)


Câu lạc bộ Toán Tuổi thơ



1. Vỡ li ch bản nên 21829 và 31239 đã đợc in
thành 21829 và 31239, mong bạn đọc thông
cảm.


Ta cã 21829 = (231
)59


vµ 31239 = (321


)59


.
231 = 2.(23


)10 = 2.810


; 321 = 3.(32


)10 = 3.910
.
Do đó 231< 321, từ đó 21829< 31239.


2. Ta cã


2 2


3 3 3 3


1 3.2017 1 3.2017


M


2018 2016 (1 2017) (2017 1)


+ +


= =


− + − −



2 2


3 2 2


1 3.2017 1 3.2017 1


.
2
2.1 6.1.2017 2(1 3.2017 )


+ +


= = =


+ +


3. Ta cã x35 = x3


(x32 − 1) + x(x2 + 1) − x.
V× x32 − 1 = (x4


)8 − 1 #


(x4 − 1) = (x2 − 1)(x2 + 1)
nên x32 1 #


(x2 + 1).
Vậy đa thức d là x.



4. Với các số thực a, b, c tháa m·n a + b + c = 0
th× a3 + b3 + c3 = 3abc.


Do đó từ 1 1 1
x = +y z có


1 1 1


0


x y z


⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ − ⎟ ⎜+ − =
⎝ ⎠
⎝ ⎠
3
3 3


3 3 3 2 2 2


1 1 1 1 1 1


3. . .


x y z x y z


1 1 1 3 xy zx yz


3.


xyz


x y z z y x


⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ + − + − =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ − − = ⇒ + − =
5.


Đặt CH = x > 0.


Vì ABC ΔHAC (g.g) nªn
AC2 = CH.BC ⇔ 82 = x(x + 3,6)


⇔ x2 + 3,6x − 64 = 0 ⇔ (x + 10)(x − 6,4) = 0
⇔ x = 6,4.


Theo định lí Pythagoras ta có
= 2− 2 = 2 − 2 =


AH AC CH 8 6, 4 4,8 cm.
Suy ra


= = = 2


ABC


1 1



S .AH.BC .4,8.10 24 (cm ).


2 2


NhËn xÐt. C¸c bạn sau có lời giải
tốt đợc thởng kì này: Trịnh Duy
Minh, 8C, THCS Trần Mai Ninh, TP. Thanh
Hóa, Thanh Hóa; Vũ Minh Khải, Nguyễn
Công Hải, 8A3, THCS L©m Thao, L©m Thao,
Phó Thä; Ngun Thu HiỊn, 8A3, THCS Thị
trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình.



(32)

Hỏi: Anh ơi! Em thấy anh xuất hiện rất đều
đặn trên TTT, hình nh− anh chẳng nghỉ bao
giờ thì phải. Bây giờ đang là đầu xn, anh
mà khơng tranh thủ du xn đây đó thỡ tic
lm.


Phạm Hồng Mai


(THCS Thuận Châu, Thuận Châu, Sơn La)
Đáp:


Anh mà cứ mải du xuân
Th từ, bài vở biết phần cho ai?


Đến hè ngày rộng tháng dài
Anh đây quyết chí du vài chỗ xa



Quê em ở tận Sơn La


Biết đâu anh sẽ ghé nhà thăm em.


Hi: Anh i! Trc Tết em đ−ợc bố mẹ mua
cho chiếc áo khoác rất đẹp, cả đôi giày siêu
cute nữa. Mới diện c mt hai ln thỡ tri ó


ấm hẳn lên mất rồi. Em chả còn cơ hội diện
nữa. Hic... hic!


Lê Đức Minh


(THCS Yờn Phong, Yờn Phong, Bc Ninh)
Đáp: Để anh nhờ bác Google tìm kiếm Nàng
Bân rồi anh sẽ chuyển “tâm t−” của em cho
bà ấy. Hi vọng bà ấy sẽ đan thêm mấy cái áo
len nữa để em có thêm vài đợt rét Nàng Bân
mà diện giày diện áo, nhé!


Hỏi: Sau một thời gian vắng bóng, vừa rồi em
thấy Chủ V−ờn Tiếng Anh đã quay trở lại. Anh
có thể bật mí cho em biết Chủ V−ờn l Anh
hay l Ch khụng?


Một bạn quên ghi tên
(THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình)
Đáp: iối! Anh mà làm


l bớ mt ny thỡ Chủ


V−ờn sẽ lại “vắng bóng”
mất thơi. Tr−ớc khi trở lại,
anh và Chủ V−ờn đã giao
kèo nh− vậy rồi.



(33)

C¸c líp 6 & 7


Bài 1(182). Tìm chữ số thập


phõn th n sau dấu phẩy
của phép chia 13 cho 23,
trong đó n là số các chữ số
của số đ−ợc viết liờn tip bi
hai s 22018


và số 52018
.
Tạ Minh Hiếu
(GV. THCS Yên Lạc,
Yên Lạc, Vĩnh Phúc)


Bài 2(182). Cho tam giác nhọn ABC có AB <


BC < CA. Vẽ các đờng cao BH, CK của


ΔABC. Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao
cho BE = AC, trên tia đối của tia CK lấy điểm F
sao cho CF = AB. Hãy so sỏnh BF v CE.


Nguyễn Khánh Nguyên


(Số 3/29E đờng Đà Nẵng, Hải Phòng)


Các lớp THCS
Bài 3(182). Giải hệ phơng trình


3 2 2


2 2


x 6x 2y 15x 5y 21
x y xy 7x 6y 14 0.


+ + + =





+ + − − + =


⎪⎩


bïi h¶i quang
(GV. THCS Văn Lang, TP. Việt Trì, Phú Thọ)
Bài 4(182). Cho các số thực dơng a, b, c thỏa
m·n abc = 1. Chøng minh r»ng


ab 1 bc 1 ca 1


a b c .



b 1 c 1 a 1


+ + +


+ + ≥ + +


+ + +


cao minh quang
(GV. THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm,


Vĩnh Long)
Bài 5(182). Một khu rừng hình vng với cạnh
a mét, đ−ợc trồng cây theo mạng l−ới ô vuông
1 m ì 1 m. Trong đó cây đ−ợc trồng ở đỉnh các
ô vuông, kể cả đ−ợc trồng ở đỉnh và cạnh khu
v−ờn hình vng. Khi khai thác gỗ, ng−ời ta
muốn đốn một số cây sao cho từ vị trí cây bị
đốn này khơng nhìn thấy cây bị đốn khác. Hỏi
có thể đốn tối đa bao
nhiêu cây trong mỗi tr−ờng
hợp sau:


a) a = 100;
b) a = 101.


Vũ đình hịa
(GV. tr−ờng Đại học
S− phạm Hà Nội)



Bµi 6(182). Cho ABC


vuông tại A với AB < AC.
Giả sử tồn tại hai đờng
tròn (P) và (Q) có bán kính


bằng nhau và tiếp xúc với nhau sao cho đờng
tròn (P) tiếp xúc với cạnh AB và cạnh BC,
đờng tròn (Q) tiếp xúc với cạnh AC và cạnh
BC. Gọi M, N thứ tự là các tiếp điểm của BC
với các đờng tròn (P) và (Q). Chứng minh
rằng tia phân giác của góc BAC ®i qua trung
®iĨm cđa MN.


l−u lý t−ëng
(GV. THCS Văn Lang, TP. Việt Trì, Phú Thọ)


1(182).Find the nth


digit after the decimal point
of the quotient in the division 13 divided by 23


in which n is the number of digits when we


put 22018


adjacent to 52018
.


2(182).Given an acute triangle ABC with AB<



BC < CA. BH, CK are the altitude of the
triangle. On the opposite ray of ray BH, E is
taken such that BE =AC. On the opposite ray
of ray CK, F is taken such that CF = AB.
Compare BF and CE.


3(182). Solve the following system of equations:


3 2 2


2 2


6 2 15 5 21


7 6 14 0.


+ + + =





+ + − − + =


⎪⎩


x x y x y


x y xy x y



4(182). Given a, b, c > 0 such that abc = 1.


Prove that:


1 1 1


.


1 1 1


+ + +


+ + ≥ + +


+ + +


ab bc ca


a b c


b c a


5(182). A square forest with side of a m is


made of 1 m × 1 m unit square grid. Trees are
planted at the vertex of the unit squares. They
are also planted at the vertices on the side of
the forest. The tree is chopped such that from
the vertex with chopped trees, other chopped
trees cannot be seen. What is the maximum


number of chopped trees in each below case:
a) a = 100;


b) a = 101.


6(182). Given a right triangle ABC with A = 90o



(34)



×