Tải bản đầy đủ (.pdf) (521 trang)

Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (18.89 MB, 521 trang )

(1)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM
Dạng. Nguyên hàm cơ bản


Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

0dxC. 

k xd kxC.




1


d .


1
n


n x


x x C


n


 




 ( ) d 1 ( ) 1 .


1


n


n ax b


ax b x C


a n





  





 1dx lnx C.


x  


 1 dx 1lnax b C.


axba  



 12dx 1 C.


x


x   



 1 2d 1 1 .


(axb) x   a axbC



sin dx x  cosxC.  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.
a


    



cos dx x sinxC.


 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.
a


   




 12 d cot .


sin x x   xC


 2 d 1cot( ) .


sin ( )


x



ax b C


a


axb    




 12 d tan .


cos x xxC


 2d 1tan( ) .


cos ( )


x


ax b C


a


axb   




e xxd exC.  eax bdx 1eax b C.
a







 d .


ln
x


x a


a x C


a


 


 d 1 .


ln
x


x a


a x C


a











♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản


Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.

Tích các hàm mũ PP khai triển theo cơng thức mũ.


Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .


2 2 2 2


a  a a  a


Chứa tích các căn thức của x PP chuyển về lũy thừa.


Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng
K nếu


A. F x'( ) f x( ), x K. B. f x'( )F x( ), x K.
C. F x'( ) f x( ), x K. D. f x'( ) F x( ), x K.
Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1)

x dx2 bằng


A. 2x C . B. 1 3



3xC. C.
3


xC. D. 3x3C
NGUYÊN HÀM



(2)

Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x3


A. . B. . C. . D. .


Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1)

x x4d bằng
A. 1 5


5xC B.


3


4xC C. x5C D. 5x5C
Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1)

x dx5 bằng


A. 5x4C. B. 1 6


6xC. C.


6


xC. D. 6x6C.
Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)

5x dx4 bằng



A. 1 5


5xC. B.
5


xC. C. 5x5C. D. 20x3C.
Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx5


bằng


A. 6x6C. B. x6C. C. 1 6


6xC. D.
4
30xC.
Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)


2


3 dx x


bằng


A. 3x3C. B. 6x C . C. 1 3


3xC. D.


3


xC.


Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) 3


4 dx x


bằng


A. 4x4C. B. 1 4


4xC. C.


2


12xC. D. x4C.
Câu 10. (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x2 là


A. 1 5 1 3


5x 3xC B.
4 2


xxC C. x5x3C. D. 4x32xC
Câu 11. (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x

 

2x4 là


A. x2C. B. 2x2C. C. 2x24xC. D. x24xC.
Câu 12. (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x6 là


A. x2C. B. x26x C . C. 2x2C. D. 2x26x C .
Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

cosx6x


A. sinx3x2C. B. sinx3x2C. C. sinx6x2C. D. sinx C .


Câu 14. (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

2 sinx.


A.

2 sinxdx 2 cosx CB.

2 sinxdx2 cosx C
C.

2 sinxdxsin2x CD.

2 sinxdxsin 2x C
Câu 15. (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x


A. 1 4 1 2


4x 2xC B.
2


3x  1 C C. x3 x C D. x4x2C
Câu 16. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x3 là


A. x23xC. B. 2x23xC. C. x2C. D. 2x2C.
4


4xC 2


3xC 4


xC 1 4



(3)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


A.

 

2

2 1

2 1 .


3


f x dxxx C



B.

 

1

2 1

2 1 .


3


f x dxxx C



C.

 

1 2 1 .


3


f x dx  x C


D.

 

1 2 1 .


2


f x dxx C



Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

x2 22
x


  .


A.

 



3
1


d


3
x


f x x C


x


  


. B.

 



3
2
d


3
x


f x x C


x


  


.


C.

 


3


1
d


3
x


f x x C


x


  


. D.

 



3
2
d


3
x


f x x C


x


  


.



Câu 19. (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1


5 2


f x
x


 .


A. d 1ln 5 2


5 2 5


x


x C


x   


B. d ln 5 2


5 2


x


x C


x   





C. d 1ln 5 2


5 2 2


x


x C


x    


D. d 5 ln 5 2


5 2


x


x C


x   



Câu 20. (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

cos 3x


A.

cos 3xdx3 sin 3x CB.

cos 3 sin 3 
3


x



xdx C


C.

cos 3xdxsin 3x CD.

cos 3  sin 3 
3


x


xdx C


Câu 21. (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là
A. 1 4 1 3


4x 3xC B.
2


3x 2xC C. x3x2C D. x4x3C
Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

exx


A. x 1


e  C B. exx2C C. 1 2
2
x


exC D. 1 1 2


1 2


x



e x C


x  


Câu 23. (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là


A. x2C. B. x25x C . C. 2x25x C . D. 2x2C.
Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

7x.


A. 7 d 7


ln 7
x
x


x C


B. 1


7 dx x7x C



C.


1
7
7 d


1
x


x


x C


x




 




D.

7 dx x7 ln 7xC


Câu 25. (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x
A. 4x3 1 C B. x5x2C C. 1 5 1 2


5x 2xC D.
4


x  x C
Câu 26. (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )3x21 là


A. x3C B.


3
3
x


x C



  C. 6xC D. x3xC


Câu 27. (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm x x

27

15dx


?


A. 1

x27

16C B.


2

16
1


7


x C


   C. 1

x27

16C D.


2

16
1



(4)

Câu 28. (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số 3
(x) x


f e là hàm số nào sau đây?
A. 3exC. B. 1 3


3 


x



e C. C. 1


3 


x


e C. D. 3e3xC.
Câu 29. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính

xsin 2 dx x

.


A.
2


sin
2
x


x C


  . B.


2


cos 2
2


x


x C



  . C. 2 cos 2


2
x


x  C. D.
2


cos 2


2 2


x x


C


  .


Câu 30. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số e2x 1


y


 là
A. 2e2x1C. B. e2x1C. C. 1e2 1


2
x


C





 . D. 1e
2


x
C


 .
Câu 31. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

1


2 3


f x
x





A. ln 2x3C. B. 1ln 2 3


2 x C. C.
1


ln 2 3


ln 2 x C. D.



1



lg 2 3
2 x C.
Câu 32. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số y x2 3x 1


x
   .
A.


3


2


3 1


,
3 ln 3


x
x


C C
x


   . B.


3


2
1



3 ,


3
x
x


C C
x


   .


C.
3


3


ln ,


3 ln 3
x
x


x C C


   . D.


3
3


ln ,



3 ln 3
x
x


x C C


   .


Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

sin 3x


A.

3cos3

x C

. B.

3cos3

x C

. C. 1cos3


3 xC. D.


1
cos3


3 x C


  .


Câu 34. (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

3x2sinx


A. x3cosxC. B. 6xcosx C . C. x3cosxC. D. 6xcosx C .
Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?


A. ln dx x 1 C
x



 


. B. 12 d tan


cos x xx C


.


C.

sin dx x cosx C . D.

e dx xexC.


Câu 36. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu

f x

 

dx4x3x2C thì hàm số f x

 

bằng
A.

 



3
4


3
x


f xx  Cx. B. f x

 

12x22x C .


C. f x

 

12x22x. D.

 



3
4


3
x
f xx  .



Câu 37. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. cos 2 1sin 2


2
d


x xx C


. B.


e
e


1
1
d


e
x


x x C




 




.



C. 1dx ln x C


x  


. D.


1
e
e d


1
x
x


x C


x




 




.


Câu 38. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y2x
A. 2xdxln 2.2xC


. B.

2xdx2xC. C. 2


2


d 2


ln
x
x


x C


. D. 2


1
d


2


x
x


x C


x


 





(5)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số


 

3 sin
f xxx.


A.

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

 



2
3


d cos


2
x


f x x  x C


.


C.

 



2
3


d cos


2
x


f x x  x C



. D.

f x x

 

d  3 cosx C .
Câu 40. (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f xxs inxlà


A. x2cos x+C B. x2cos x+C C.
2


cos x+C
2


x


D.


2


cos x+C
2


x

Câu 41. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:


A. cosx C . B. cosx C . C. sinx C . D. sinx C .


Câu 42. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x2
A. 4x32x C . B. x4x2C. C. 1 5 1 3


5x 3xC. D.
5 3


xxC.
Câu 43. (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

ex2x là.


A. exx2C. B. exx2C. C. 1 2
1


x


e x C


x   . D. 2


x


e  C.
Câu 44. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số ycosx x là


A. sin 1 2
2


xxC. B. sinxx2C. C. sin 1 2
2


x x C


   . D. sinxx2C.
Câu 45. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y x2 3x 1


x



   là


A.


3 2


3


ln .


3 2


x x


x C


   B.


3 2


3


ln .


3 2


x x


x C



  


C.


3 2


3


ln .


3 2


x x


x C


   D.


3 2


2


3 1


.


3 2


x x



C
x


  


Câu 46. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

1 sinx
x


  là
A. lnxcosxC. B. 12 cosx C


x


   . C. ln xcosx C . D. ln xcosx C .
Câu 47. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số

 

1 3


3


F xx là một nguyên hàm của hàm số nào
sau đây trên

 ;

?


A. f x

 

3x2. B. f x

 

x3. C. f x

 

x2. D.

 

1 4
4
f xx .
Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

2x.


A.

f x

 

dx2xC. B.

 

d 2


ln 2
x


f x x C


.


C. f x

 

dx2 ln 2x C


. D.

 



1
2
d


1
x


f x x C


x




 




.


Câu 49. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm ngun hàm của hàm số

 


4



2
2
x
f x


x





(6)

A.

 


3


1
d


3
x


f x x C


x


  


. B.

 



3
2
d



3
x


f x x C


x


  


.


C.

 


3


1
d


3
x


f x x C


x


  


. D.

 



3
2


d


3
x


f x x C


x


  


.


Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số yex?
A. y 1


x


 . B. yex. C. yex. D. ylnx.


Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F x( )

e dx2 , trong đó e là hằng số và
2, 718


e .
A.


2 2
( )


2


e x


F x  C. B.


3
( )


3
e


F x  C. C. F x( )e x C2  . D. F x( )2ex C .
Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1


1 2
f x


x


 trên
1


;
2


 





 



 .
A. 1ln 2 1


2 x C. B.



1


ln 1 2


2  xC. C.
1


ln 2 1


2 x C


   . D. ln 2x 1 C.
Câu 53. (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số

f x

 

2

x

x



A.


2


2



ln 2

2



x

x




C



. B. 2


2x


x C


  . C.

2

2


ln 2



x


x

C



. D.


2


2


2



x

x


C



.
Câu 54. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 1 sinx



A. 1 cosx C . B. 1 cosx C . C. xcosxC. D. xcosxC.
Câu 55. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f(x) 1 3 2 2 2019


3xx  x
A. xxxC


2
3


2
12


1 4 3 2


. B.


2


4 3


1 2


2019


9 3 2


x


xx   x C .
C.



2


4 3


1 2


2019


12 3 2


x


xx   x C . D.


2


4 3


1 2


2019


9 3 2


x


xx   x C .
Câu 56. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1



3 1


f x
x




 trên khoảng


1
;


3


 





 


  là:


A. 1ln(3 1)


3 x C B. ln(1 3 ) xC C.
1


ln(1 3 )


3  xC D. ln(3x 1) C


Câu 57. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?


A.

2 dx x2 ln 2xC. B.


2


2 e


e d
2


x
x


x C


.


C. cos 2 d 1sin 2
2


x xx C


. D. 1 d ln 1


1 x x C


x   


  x 1

.


Câu 58. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số


4
2


2 3


( ) x
f x


x





(7)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A.


3


2 3


( )


3 2


x


f x dx C



x


  


. B.


3


2 3


( )


3
x


f x dx C


x


  


.


C.


3


2 3


( )



3
x


f x dx C


x


  


. D. f x dx( ) 2x3 3 C


x


  


.


Câu 59. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số

f x

 

2

x

 

x

1

. Tìm

f x

 

d

x

.
A.

f x

 

d

x

2

x

x

2

 

x C

. B.

 

d

1

2

1

2


ln 2

2



x


f x

x

x

 

x C



.


C.

 

d

2

1

2


2


x


f x

x

x

 

x C



. D.

 

d

1

2

1

2


1

2



x


f x

x

x

x C



x

 






.


Câu 60. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

3 sin


f xxx.


A.

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

 



2
3



d cos


2
x


f x x  x C


.


C.

 



2
3


d cos


2
x


f x x  x C


. D.

f x x

 

d  3 cosx C .
Câu 61. (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số

 

x2


F xe là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số
sau:


A. f x( )2xex2. B. f x( )x e2 x21. C. f x( )e2x. D.



2


( )
2


x
e
f x


x


 .


Câu 62. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 3x
A. 3


ln 3
x


C




  B. 3xC C. 3xln 3C D. 3


ln 3
x


C







Câu 63. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là
A.


4 3
4  3 


x x


C. B. x4x3C. C. 3x22xC. D.


4 3


3  4 


x x


C


Câu 64. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của
hàm số yx2019?


A.
2020


1
2020



x


 . B.


2020
2020


x


. C. y2019x2018. D.
2020


1
2020


x


 .
Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số yx23x 1


x.
A.


3
3


ln ,


3 ln 3


x
x


x C C R


    B.


3
3


ln ,


3 ln 3
x
x


x C C R


   


C.
3


2
1


3 ,


3
x


x


C C R
x


    D.


3


2


3 1


,
3 ln 3


x
x


C C R
x


   


Câu 66. (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2017 20185
x


x e


f x e



x




 




 


.
A.

 

d 2017 x 20184


f x x e C


x


  


. B.

 

d 2017 x 20184


f x x e C


x


  


.



C.

 

d 2017 x 504,54


f x x e C


x


  


. D.

 

d 2017 x 504,54


f x x e C


x


  



(8)

Câu 67. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 2
cos


x


x e


y e


x




 





 



A. 2ex tanx CB. 2extanx CC. 2 1


cos
x


e C


x


  D. 2 1


cos
x


e C


x


 


Câu 68. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F x

 

của hàm số f x

  

x1



x2



x3 ?


A.

 



4



3 11 2


6 6


4 2


x


F x   xxx C . B. F x

 

x46x311x26x C .
C.

 



4


3 11 2


2 6


4 2


x


F x   xxx C . D. F x

 

x36x211x26x C .
Câu 69. (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số

 

1


5 4




f x



x là:
A. 1ln 5

4



5 x C. B. ln 5x4C. C.
1


ln 5 4


ln 5 x C. D.
1



(9)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


 


TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM


Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện


Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

0dxC. 

k xd kxC


 


1


d .


1



n


n x


x x C


n




 




   


1


1 ( )


( ) d .


1


n


n ax b


ax b x C



a n






  




 


  1dx lnx C.


x  


    1 dx 1lnax b C.


axba  


 


  12dx 1 C.


x


x   


    1 2d 1 1 .


(axb) x   a axbC


 


 

sin dx x  cosxC


  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.


a


    


 


 

cos dx x sinxC


  cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.


a


   


 


  12 d cot .


sin x x   xC


    2 d 1cot( ) .


sin ( )
x


ax b C


a


axb    


 


  12 d tan .


cos x xxC


    2d 1tan( ) .


cos ( )
x


ax b C


a


axb   


 


  e xxd ex C.



 


  eax bdx 1eax b C.


a




 


  d .


ln


x


x a


a x C


a


 


    d 1 .


ln


x



x a


a x C


a











 


Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1


a 


Một số nguyên tắc tính cơ bản

 Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.


 Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ.


 Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .


2 2 2 2



a  a a  a


 Chứa tích các căn thức của x PP chuyển về lũy thừa. 


Câu 1. (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  f x( )  xác  định  trên  \ 1
2


 
 
 


   thỏa  mãn 


 

2 ,

 

0 1,

 

1 2


2 1


f x f f


x


   


 . Giá trị của biểu thức  f

 

1  f

 

3  bằng


A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15  


Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x

 

 là một nguyên hàm của 

 

1
1





f x


x  trên khoảng 

1;

 thỏa 


mãn F e

1

4Tìm F x

 



NGUYÊN HÀM



(10)

A. 2 ln

x1

2  B. ln

x1

3 C. 4 ln

x1

  D. ln

x1

3


Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x

 

  là một nguyên hàm của hàm  số 

 

1 ,
2


f x
x




  


biết F

 

1 2. Giá trị của F

 

0  bằng 


A. 2 ln 2. B. ln 2. C. 2ln

2 .

D. ln

 

2 .


Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019)  Cho  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm 



 

1


2 1


f x
x




 ; biết F

 

0 2. Tính F

 

1 . 


A.

 

1 1 3 2
2


Fln  .  B. F

 

1 ln32.  C. F

 

1 2 3 2ln  .  D.

 

1 1 3 2
2


Fln  . 
Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số y 1


x


  trên 

;0

 
thỏa mãn F

 

2 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 


A.

 

ln

;0



2


x



F x      x


   


B. F x

 

ln xC   x

;0

 với C là một số thực bất kì. 
C. F x

 

ln xln 2  x

;0



D. F x

 

ln

x

C   x

;0

 với C là một số thực bất kì. 


Câu 6. (THPT  Minh  Khai Hà Tĩnh  2019)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  R\ 1

 

  thỏa  mãn 


 

1


1


f x


x


 


 ,  f

 

0 2017,  f

 

2 2018. Tính Sf

 

3  f

 

1 . 


A. Sln 4035.  B. S4.  C. S ln 2.  D. S1. 


Câu 7. (Mã 105 2017)  Cho F x

 

  là một nguyên hàm của hàm  số  ( ) x2


f x e x thỏa mãn 

 

0 3
2


F


Tìm F x

 

.


A.

 

  21
2


x


F x e x B.

 

  25
2


x


F x e x


C.

 

  23
2


x


F x e x D.

 

2  21
2


x


F x e x  


Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

e2x 

và F

 

0 0. Giá trị của F

ln 3

 bằng 


A. 2.  B. 6.  C. 8.  D. 4. 


Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số e2x và 

 

0 201
2


F   Giá trị 


1
2


F  


  là 


A. 1 200


2eB. 2e100 C.


1
50


2eD.


1
100
2e


Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019)  Hàm  số  f x

 

  có  đạo  hàm  liên  tục  trên    và: 


 

2


2e x 1,



(11)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số 

 

2  x


f x x e . Tìm một nguyên hàm F x

 

 của hàm số  f x

 

 
thỏa mãn F

 

0 2019. 


A. F x

 

x2ex2018.  B. F x

 

x2ex2018. 
C.

 

 2 x2017


F x x eD.

 

x2019


F x e


Câu 12. Gọi F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f x

 

2x,  thỏa  mãn 

 

0 1
ln 2


F  .  Tính  giá  trị  biểu 


thức TF

 

0 F

 

1 ...F

2018

F

2019


A.


2019


2 1



1009.
ln 2


T   .  B. T 22019.2020. 


C.


2019


2 1


ln 2


T   .  D.


2020


2 1


ln 2


T   . 


Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x

 

 của hàm số  f x

 

sinxcosx thoả mãn  2
2


F 
 



.


A. F x

 

 cosxsinx3 B. F x

 

 cosxsinx1
C. F x

 

 cosxsinx1 D. F x

 

cosxsinx3 


Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số  f x

 

 thỏa mãn f x'

 

 3 5 sinx và f

 

0 10. Mệnh đề nào dưới 
đây đúng?


A. f x

 

3x5 cosx15 B. f x

 

3x5 cosx2


C. f x

 

3x5 cosx5 D. f x

 

3x5 cosx2 


Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số  f x

 

 thỏa mãn  f

 

x  2 5sinx và  f

 

0 10. Mệnh đề 
nào dưới đây đúng? 


A. f x

 

2x5 cosx3.  B. f x

 

2x5 cosx15. 
C. f x

 

2x5 cosx5.  D. f x

 

2x5 cosx10. 


Câu 16. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm 


 

cos 3


f xx và  2


2 3


F



  . Tính F 9





 
 
 . 


A. 3 2


9 6


F  


    B.


3 2


9 6


F  


    C.


3 6


9 6


F  


    D.



3 6


9 6


F  


   


Câu 17. (Chuyên  Lê  Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 


 

2


1
cos


f x


x


 . Biết 


4


F

k

k


   với mọi k. Tính F

 

0 F

 

F

...F

10



A. 55.  B. 44.  C. 45.  D. 0. 


Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số 

 

2x


f x  , thỏa mãn 


 

0 1


ln 2


F  . Tính giá trị biểu thức TF

 

0 F

 

1 F

 

2 ...F

2019


A.


2020


2 1


ln 2


T   .  B.


2019


2 1


1009.
2


T   .  C. T 22019.2020 D.


2019


2 1



ln 2


T   . 


Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số



(12)

Giả sử ta cần tìm họ ngun hàm I

f x dx

 

, trong đó ta có thể phân tích 


 

 

'

 



f xg u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x

 

 


 



'


dt u x dx


  . Khi đó: I

g t dt

 

G t

 

CG u x

 

C 


Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x

 

 
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp


  

f ax b x x(  )n d   PP t ax b .


    ( ) ( )d ( ).


b



PP


n n


a


f x f x x  t f x






1


   (ln ) d ln .


b


PP


a


f x x t x


x  




    ( ) d .



b


PP


x x x


a


f e e x t e





   (sin ) cos d sin .


b


PP


a


f x x x t x




    (cos ) sin d cos .


b


PP



a


f x x x t x





2


1


   (tan ) d tan .


cos
b


PP


a


f x x t x


x  




    (sin cos ).(sin cos )d sin cos .


b



a


f xx xx x t xx






2 2 2


   f( a x )x ndx PP x asin .t






  




   f

( x2 a2)m

x2ndx PP x atan .t




  





   f a x dx PP x acos 2 .t


a x








 


 


 


 








d


   .


( )( )



x


t ax b cx d


ax b cx d






    


 





1


   s ,.,sk d n .


R ax b ax b x t ax b








 





    d 1


( )


PP
n


n n


x


x
t


a bx a bx






  


 




2. Đổi biến số với hàm ẩn


Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) hoặc đề cho f(x), yêu cầu tính f x( ).


Phương pháp: Đặt t ( x).


Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số,
mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là ( )d ( )d ( )d


b b b


a a a


f u uf t t   f x x 




 


Câu 19. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết F x

 

ex x2 là một nguyên hàm của hàm số 

 



f x  trên . Khi 
đó 

f

 

2x dx bằng 


A. 2ex 2x2CB. 1 2 2 .
2


x


exC   C. 1 2 2 2 .



2
x


exC   D. e2x4x2C


Câu 20. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết 

 

x 2 2


F xex  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên . Khi 
đó 

f

 

2x dx bằng 


A.

2

e

x

4

x

2

C

.

  B. 1 2 4 2 .
2


x


exC   C.

e

2x

8

x

2

C

.

  D. 1 2 2 2 .
2


x


exC  


Câu 21. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x

 

exx2 là một nguyên hàm của hàm số 


 



f x  trên . Khi 
đó 

f

 

2x dx bằng 


A. 1 2 2 2


2


x


exC. B. e2x4x2C. C. 2ex2x2C. D. 1 2 2


2
x



(13)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


Câu 22. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết 

 

ex 2 2


F x   x  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên . Khi 
đó 

f

 

2x dx bằng 


A. e2x8x2C B. 2ex 4x2C C. 1e2 2 2
2


x x C D. 1e2 4 2
2


x x C


Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết 


2

d sin2 ln


f x xxxC



. Tìm nguyên hàm 

f x

 

dx
A.

 

d sin2 ln


2


x


f x x  x C


B.

f x

 

dx2sin 22 x2lnx C .   
C.

 

d 2sin2 2 ln


2


x


f x x  x C


D.

f x

 

d

x

2sin

2

x

2ln

x C


Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho 

f(4 ) dx xx23x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 


A.


2


( 2) d 2


4


x



f xx  xC


B.

f x( 2) dxx27x C .  


C.


2


( 2) d 4


4


x


f xx  xC


D.


2


( 2) d 4


2


x


f xx  xC


.  


Câu 5. [DS12.C3.1.D09.b] Cho 

f x

 

d

x

4

x

3

2

x C

0. Tính 

I

xf x

 

2

d

x

.
A.

I

2

x

6

x

2

C

. B.


10 6


10

6



x

x



I

C

.
C.

I

4

x

6

2

x

2

C

. D.

I

12

x

2

2

.


Câu 23. (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x2.ex31


A.

 

3


3
1


d .e


3


 


f x x x x CB.

f x

 

dx3ex31C
C.

f x

 

dxex31CD.

 

d 1e 3 1



3


 


f x x x C


Câu 24. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f x

 

sin 2 .x esin2x là 


A. sin2 . sin2x 1


x eC


 .  B.


2


sin 1
2


sin 1
x


e


C
x







 .  C.


2


sin x


eCD.


2


sin 1
2


sin 1
x


e


C
x






 . 


Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số 

 

9 1 5


3x


f x
x




  


A.

 



4


4 4


1 1


x ln


3x 36 3


x


f x d C


x


   





B.

 



4


4 4


1 1


x ln


12x 36 3


x


f x d C


x


   




 


C.

 



4



4 4


1 1


x ln


3x 36 3


x


f x d C


x


   




  D.

 



4


4 4


1 1


x ln


12x 36 3



x


f x d C


x


   




 


Câu 26. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019)  Tìm  hàm  số  F x

 

  biết 

 



3
4 d


1


x


F x x


x





  và 



 

0 1


F  . 


A. F x

 

ln

x41

1. B.

 

1ln

4 1

3


4 4


F xx   . 


C.

 

1ln

4 1

1
4



(14)

Câu 27. Biết 





2017


2019


1 1 1


. , 1


1
1


b



x x


dx C x


a x


x


   


  




 




 với  ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a2bB. b2aC. a2018bD. b2018a


Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018)  Biết  rằng  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  trên    của  hàm  số 


 



2

2018
2017


1



x
f x


x





 thỏa mãn F

 

1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x

 



A. 1


2


m  .  B.


2017
2018
1 2


2


m  .  C.


2017
2018
1 2


2



m  .  D. 1


2


m . 


Câu 29. Cho  F x

 

  là  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1


1


x


f x
e




   và  F

 

0  ln 2e.  Tập  nghiệm  S  của 


phương trình F x

 

ln

ex1

2 là: 


A. S

 

3   B. S

2;3

  C. S  

2; 3

  D. S  

3;3

 
Câu 30. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

x3

x21

2019là 


A.



2021 2020


2 2



1 1


1


2 2021 2020


x x






 


 


B.



2021 2020


2 2


1 1


2021 2020


xx


 . 



C.



2021 2020


2 1 2 1


2021 2020


x x


C


 


  .  D.



2021 2020


2 2


1 1


1


2 2021 2020


x x


C







 


 




Câu 31. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của

 

1 ln


.ln


x
f x


x x




  là: 


A. 1 ln d ln ln
.ln


x


x x C



x x




 


B. 1 ln d ln 2.ln


.ln


x


x x x C


x x




 




C. 1 ln d ln ln
.ln


x


x x x C


x x





  


D. 1 ln d ln .ln


.ln


x


x x x C


x x




 




Câu 32. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

x e2 x31 
A. f x

 

dxex31C


. B. f x

 

dx3ex31C




C.

 

d 1 3 1
3


x


f x x eC


 


D.

 

3


3
1
d


3


x


x


f x xe  C




Câu 33. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số 

 

3


3 1


f xx  là 


A.

f x

 

dx

3x1

33x 1 C. B.

f x

 

dx33x 1 C.

C.

 

d 133 1


3


f x xx C


. D.

 

d 1

3 1

33 1


4


f x xxx C




Câu 34. Nguyên hàm của hàm số  f x

 

 3x2 là 
A. 2(3 2) 3 2


3 xx C B.
1


(3 2) 3 2
3 xx C 
C. 2(3 2) 3 2


9 xx C D.


3 1


2 3x2 C 




(15)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


A. 1

2 1

2 1


3 x x C


    .  B. 1 2 1


2 x C


C. 2

2 1

2 1


3 xx CD.



1


2 1 2 1


3 xx C


Câu 36. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số  f x

 

2 .x ln 2


x


 . Hàm số nào dưới đây không là 


nguyên hàm của hàm số f x

 



A. F x

 

2 xC  B. F x

 

2 2

x1

C 



C. F x

 

2 2

x 1

C  D.

 

1


2 x


F x   C


Câu 37. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019)  Khi  tính  nguyên  hàm  3 d
1


x
x
x





,  bằng  cách  đặt 
1


ux  ta được nguyên hàm nào?


A.

2

u24 d

uB.

u24 d

uC.

u23 d

uD.

2u u

24 d

u
Câu 38. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 

 

1


2 2 1


f x


x





 . 


A.

 

d 1 2 1
2


f x xx C


B.

f x x

 

d  2x 1 C


C.

f x x

 

d 2 2x 1 CD.

 





1
d


2 1 2 1


f x x C


x x


 


 





Câu 39. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

ln

x x21

 là 
A. F x

 

xln

x x21

x2 1 C B.


 

ln

2 1

2 1


F xx xx   x  C


C. F x

 

xln

xx21

CD. F x

 

x2ln

xx21

C
Câu 40. (Chuyên Hạ Long - 2018)  Biết rằng trên khoảng  3;


2


 


 


 


 , hàm số 

 



2


20 30 7


2 3


x x


f x



x


 




   có 


một  nguyên  hàm  F x

 

ax2bx c

2x3  (a b c, ,   là  các  số  nguyên).  Tổng  Sa b c   
bằng


A. 4.  B. 3 .  C. 5 .  D. 6 . 


Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số  ( ) sin
1 3cos


x
f x


x




 . 


A. ( ) d 1ln 1 3cos
3


f x x  xC



B.

f x( ) dxln 1 3cos xC
C.

f x( ) dx3ln 1 3cos xCD. ( ) d 1ln 1 3cos


3


f x x   xC




Câu 42. (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số  f x( ) biết  '


2


cos
( )


(2 sin )


x
f x


x




 . 


A. ( ) sin 2
(2 sin )



x


f x C


x


 


 .  B.


1
( )


(2 cos )


f x C


x


 


 . 


C. ( ) 1
2 sin


f x C


x



  


 .  D.


sin
( )


2 sin


x


f x C


x


 



(16)

Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019)  Biết  F x

 

là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 


sin
( )


1 3cos


x
f x


x





  và F 2 2



 



 
 


.Tính F

 

0 . 
A. (0) 1ln 2 2


3


F    .  B. (0) 2ln 2 2
3


F    . C. (0) 2ln 2 2
3


F    . D. (0 1ln 2 2
3


F    . 


Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết 

f x

 

dx3 cos 2x

x5

C.  Tìm  khẳng 
định đúng trong các khẳng định sau.


A.

f

 

3x dx3 cos 6x

x5

C  B.

f

 

3x dx9 cos 6x

x5

C 

C.

f

 

3x dx9 cos 2x

x5

C  D.

f

 

3x dx3 cos 2x

x5

C 
Câu 45. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

tan5x


A.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2


f x xxxxC




B.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2


f x xxxxC




C.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2


f x xxxxC




D.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2



f x xxxxC




Câu 46. (Hồng  Bàng  Hải  Phòng  2018)  Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số


 

3


sin .cos


f xx xF

 

0  . Tính


2


F 


 .


A.


2


F  
 


B.


2



F 
 


C. 1


2 4


F  
 


D. 1


2 4


F 
 




Câu 47. Cho F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1
ln


f x


x x


   thỏa  mãn  1 2
e


F  



    và F

 

e ln 2. 


Giá trị của biểu thức  12

 

e2
e


FF


   bằng  


A. 3ln 2 2 .  B. ln 2 2 .  C. ln 2 1 .  D. 2ln 2 1 .  


Câu 48. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x

 

  là  ngun  hàm  của  hàm  số 


2
( )


8





x
f x


x


  thỏa 


mãn F

 

2 0. Khi đó phương trình F x

 

x có nghiệm là:


A. x0. B. x1. C. x 1. D. x 1 3.
Câu 49. Gọi F x

 

 là nguyên hàm của hàm số 

 

2 12


1


x
f x


x
x


 


 . Biết F

 

3 6, giá trị của F

 

8  là


A. 217


8 . B. 27. C.


215


24 . D.


215
8 . 


Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 

 


2



20 30 7


2 3


x x


f x


x


 




  trên khoảng 


3
;
2


 





 


 


 là




(17)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


1. Công thức thường áp dụng


1 1


dx lnax b C.


axba  




 1 2 d 1 1 .


(axb) x   a axbC





lnalnbln( ).ab


 lna lnb lna
b


  




lnan nln .a



  ln 10.


2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )d .
( )


P x


I x


Q x



Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP Chia đa thức.


Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.


Nếu mẫu khơng phân tích được thành tích số PP thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt Xatan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2a2.


Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  ( ) 2
1


x
f x


x






   trên  khoảng 


1;

 là 


A.

x

3ln

x

1

C

.

  B.

x

3ln

x

1

C

.

 
C.


2


3


.
1


x C


x


 


   D.

2


3


.
1


x C



x


 


  


Câu 52. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 

 



2


3 2


2


x
f x


x







 trên khoảng 


2;

 là


A. 3 ln

2

2
2


x C


x


  


B.



2
3 ln 2


2


x C


x


  




C. 3 ln

2

4
2


x C


x


  



D.



4
3 ln 2


2


x C


x


  


.


Câu 53. (Mã đề 101 - BGD - 2019)  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 



2


2 1
1





x
f x



x   trên 


khoảng

  1;

 là
A. 2 ln

1

2


1


  




x C


x . B.



3
2 ln 1


1


  




x C


x .


C. 2 ln

1

2
1


  




x C


x . D.



3
2 ln 1


1


  




x C


x


Câu 54. (Chuyên  Lê  Dơn  Diện  Biên  2019)  Tìm  một  ngun  hàm  F x

 

của  hàm  số 


 

2

0 ,


b


f x ax x


x



   biết rằng F

 

1 1,F

 

1 4,f

 

1 0 
A.

 

3 2 3 7


2 4 4


F x x


x


   .  B.

 

3 2 3 7


4 2 4


F x x


x


  


C.

 

3 2 3 7


4 2 4


F x x


x


   .  D.

 

3 2 3 1



2 2 2


F x x


x



(18)

Câu 55. Cho biết 






2 13


dx ln 1 ln 2


1 2


x


a x b x C


x x




    


 





Mệnh đề nào sau đây đúng? 


A. a2b8.  B. ab8.  C. 2a b 8.  D. a b 8. 
Câu 56. Cho biết 





3
1


dx aln x 1 x 1 bln x C


xx     


. Tính giá trị biểu thức: P2a b . 


A. 0.  B. -1.  C. 1


2.  D. 1. 


Câu 57. Cho biết  24 11 dx ln 2 ln 3


5 6


x


a x b x C


x x





    


 


. Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2. 


A. 12.  B. 13.  C. 14.  D. 15. 


Câu 58. Cho hàm số  f x

 

 thỏa mãn  f

 

x ax2 b3
x


   ,  f

 

1 3,  f

 

1 2,  1 1


2 12


f     . Khi đó  2ab 
bằng


A. 3
2


 . B. 0. C. 5. D. 3


2.
Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  ( ) 3 12


( 1)


x
f x



x





  trên khoảng (1;) là


A. 3ln( 1) 1
1


x c


x


  


 . B.


2
3ln( 1)


1


x c


x


  



 .


C. 3ln( 1) 2
1


x c


x


  


 . D.


1
3ln( 1)


1


x c


x


  


 . 


Câu 60. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 

 



2



2 1


2


x
f x


x







 trên khoảng 

2; 

 là


A. 2 ln

2

3
2


x C


x


  


 . B.



1
2 ln 2



2


x C


x


  


 .


C. 2 ln

2

1
2


x C


x


  


 . D.



3
2 ln 2


2


x C


x



  


 . 


Câu 61. (THPT  Yên  Khánh  Ninh Bình  2019)  Cho  F x( )  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 


 

4 3 2


2 1


2


x
f x


x x x





    trên  khoảng 

0;

  thỏa  mãn 

 



1
1


2


F  .  Giá  trị  của  biểu  thức 


 

1

 

2

 

3

2019




SFFF   F  bằng


A. 2019


2020. B.


2019.2021


2020 . C.


1
2018


2020. D.
2019
2020


 . 


Câu 62. Giả sử 







 



2 3 d 1


1 2 3 1





  


   


x x C


x x x x g x  (C là hằng số). 


Tính tổng các nghiệm của phương trình g x

 

0. 


A. 1.  B. 1.  C. 3.  D. 3. 


Câu 63. (Nam Trực - Nam Định - 2018)  Cho 




3 2


1
1


I dx


x x






  2 ln 2 ln 1

2




a


b x c x C


x




     .  Khi 


đó Sa b c   bằng 
A. 1


4


B. 3


4.  C.


7



(19)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


Câu 64. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  R\

1;1

  thỏa  mãn 


 

2
1
'


1


f x
x




 .  Biết  f

 

3  f

 

3 4  và 


1 1


2


3 3


f  f 


    .  Giá  trị  của  biểu  thức 


 

5

 

0

 

2


f   ff  bằng 


A. 5 1ln 2
2


 .  B. 6 1ln 2


2



 .  C. 5 1ln 2


2


 .  D. 6 1ln 2


2


 . 


Câu 65. (Quảng Xương - Thanh Hóa  2018)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  \

2;1

  thỏa 
mãn

 

2 1


2


f x


x x


 


  ,  f

 

3  f

 

3 0  và 

 


1
0


3


f  .  Giá  trị  của  biểu  thức 



 

4

 

1

 

4


f   f   f  bằng 


A. 1ln 2 1


3 3. B. ln 80 1 .  C.
1 4


ln ln 2 1


3 5  .  D.
1 8


ln 1
3 5 . 


Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên \ 1

 

 
thỏa mãn 

 

1


1


f x


x


 


 ,  f

 

0 2017,,  f

 

2 2018. Tính S

f

 

3 2018

f

 

1 2017




A. S 1.  B. 2


1 ln 2


S  .  C. S 2 ln 2.  D. 2
ln 2


S . 


Câu 67. (Sở Phú Thọ - 2018)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  \

1;1

  thỏa  mãn 

 

22


1


f x


x


 


 , 


2

 

2 0


f   f   và  1 1 2


2 2


f f  


    . Tính f

 

3  f

 

0  f

 

4  được kết quả 


A. ln6 1


5 .  B.


6
ln 1


5 .  C.


4
ln 1


5 .  D.


4
ln 1


5 . 
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần


Cho hai hàm số u và v liên tục trên 

a b;

 và có đạo hàm liên tục trên 

a b;

. Khi đó: 


 


udvuvvdu


 


Để tính tích phân 

 




b


a


I

f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
Bước 1:Chọn u v,  sao cho  f x dx

 

udv (chú ý: dvv x dx'

 

). 


Tính v

dv và duu dx'. . 


Bước 2:Thay vào cơng thức 

 

 và tính 

vdu.


Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 

vdu dễ tính hơn 


udv


. Ta thường gặp các dạng sau 
Dạng 1 :

 

sin


cos


x


I P x dx


x


 





 


, trong đó P x

 

 là đa thức 
Với dạng này, ta đặt 

 

,   sin


cos


x


u P x dv dx


x


 


 


 




Dạng 2 :I

 

x eax bdx



(20)

Với dạng này, ta đặt 

 



ax b


u P x


dv edx



 






, trong đó P x

 

 là đa thức 
Dạng 3 : I

P x

  

ln mx n dx

 


Với dạng này, ta đặt 



 



ln


u mx n


dv P x dx


 









Dạng 4 : sin
cos


x


x


I e dx


x
 
  
 

 
Với dạng này, ta đặt 
sin
cos
x
x
u
x
dv e dx


  

  
  





 để tính 

vdu ta đặt 


sin
cos
x
x
u
x
dv e dx


  

  
  




 


Câu 68. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

 


2
2
x
f x
x




.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 


  

1 .

 



g xxfx  là 


A.
2
2
2 2
2 2
x x
C
x
 


B.
2
2
2
x
C
x



C.
2
2


2
2
x x
C
x
 


D.
2
2
2 2
x
C
x





Câu 69. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f x

 

x
x





2


3



.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 


  

1

  


g xxfx  là


A. x x C
x
 


2
2
2 3
2 3


B. x C


x



2
3
2 3


C. x x C


x
 



2
2
2 3
3


D. x C


x



2
3
3


Câu 70. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 


2
( )
1
x
f x
x



.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 



( ) ( 1) '( )


g xxf x  


A.
2
2
2 1
2 1
x x
C
x
 


B.
2
1
1
x
C
x



C.
2
2
2 1
1


x x
C
x
 


D.
2
1
1
x
C
x





Câu 71. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

 


2
4
x
f x
x



.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 


  

1

  



g xxfx  là 


A.
2
4
2 4
x
C
x



B.
2
4
4
x
C
x



C.
2
2
2 4
2 4
x x
C
x


 


D.
2
2
2 4
4
x x
C
x
 




Câu 72. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số  f x

 

 liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm 
của hàm số  f x

 

ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f

 

x ex là: 


A. sin 2xcos 2xC. B. 2 sin 2xcos 2xC


C. 2 sin 2xcos 2xCD. 2 sin 2xcos 2xC
Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

4x

1 ln x

 là:



(21)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


A. F x

 

xcosxsinx C . B. F x

 

xcosxsinx C .
C. F x

 

 xcosxsinx C . D. F x

 

 xcosxsinx C . 
Câu 75. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x( )x e. 2x là : 



A. 1 2 1


( )


2 2


x


F xex C


 


  B. 1 2



( ) 2


2


x


F xe x C 


C. F x( )2e2x

x2

C  D. ( ) 2 2 1
2


x


F xex C


 



Câu 76. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

  

 2x1

ex là 
A.

2 3

x


x e CB.

2 3

x


x e C


C.

2 1

x


x e CD.

2 1

x


x e C


Câu 77. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x( )xe2x?


A. 1 2 1


( ) .


2 2


x


F xex C


 


B. 1 2




( ) 2 .


2


x


F xe x C


C. ( ) 2 2x

2

.


F xe x C D. ( ) 2 2 1 .


2


x


F xex C


 


Câu 78. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

x

1 sin x

 là 
A.


2


sin cos
2


x



x x x C


   .  B.


2


cos sin
2


x


x x x C


   . 


C.
2


cos sin
2


x


x x x C


   .  D.


2


sin cos


2


x


x x x C


   . 


Câu 79. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử F x

 

ax2bx c e

x là một nguyên hàm của hàm 
số  f x

 

x e2 x.Tính tích Pabc


A. 4.  B. 1.  C. 5.  D. 3. 
Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số  ( )f x 2 (1xex)là


A.

2 1

x 2


xexB.

2 1

x 2


xexC.

2 2

x 2


xexD.

2 2

x 2


xex


Câu 81. Họ nguyên hàm của  f x

 

xlnx là kết quả nào sau đây? 
A.

 

1 2ln 1 2


2 2


F xx xxCB.

 

1 2ln 1 2


2 4


F xx xxC


C.

 

1 2ln 1 2


2 4


F xx xxCD.

 

1 2ln 1


2 4


F xx xx C . 


Câu 82. (Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 


 

3 2 1 .ln



f xxx


A.

 



3
2


1 ln
3


x


f x dxx xx C


B.

 



3
3


ln
3


x
f x dxx x C




C.

 



3
2 1 ln


3


x


f x dxx xx  x C


D.

 



3
3ln



3


x


f x dxx x  x C




Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

2


sin


x
f x


x


   trên  khoảng 


0;

 là 



(22)

C. xcotxln sinxCD. xcotxln s in

x

C


Câu 84. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x

cosx


A. x33

xsinxcosx

C B. x33

xsinxcosx

C


C. x33

xsinxcosx

C D. x33

xsinxcosx

C


Câu 85. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 

 

4 ex


f xxx  là 


A. 1 5

1 e


5


x


xx CB. 1 5

1 e


5


x


xx C


C. 1 5 e
5


x


xxCD. 4 3

1 e

x


xx C


Câu 86. Cho hai hàm số F x G x

 

,

 

 xác định và có đạo hàm lần lượt là  f x

   

,g x  trên . Biết rằng 


   

2

2



. ln 1



F x G xx x   và 

   



3
2
2


. .


1


x
F x g x


x




  Họ nguyên hàm của  f x G x

   

.  là 


A.

x21 ln

 

x21

2x2CB.

x21 ln

 

x21

2x2C
C.

x21 ln

 

x21

x2CD.

x21 ln

 

x21

x2C
Câu 87. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 


A.

xe xxd exxexCB.


2
d


2



  


xe xx x ex ex C
C.

xe xxd xexexC D.


2
d


2


 


xe xx x ex C


Câu 88. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x

 

G x

 

 xác đinh và có đạo hàm lần lượt là  f x

 



 



g x   trên .  Biết 

 

 

2

2



.G ln 1


F x xx x    và 

   


3
2
2


1


x


F x g x


x




 .  Tìm  họ  nguyên  hàm  của 


   


f x G x .


A.

x21 ln

 

x21

2x2C. B.

x21 ln

 

x21

2x2C.
C.

x21 ln

 

x21

x2C. D.

x21 ln

 

x21

x2C.
Câu 89. Cho  biết 

 

1 3 2 1


3


F x x x


x


     là  một  nguyên  hàm  của 

 


2
2


2


x a


f x



x




 .  Tìm  nguyên  hàm  của 


 

cos


g xx ax


A. xsinxcosx C   B. 1 sin 2 1cos 2
2x x4 x C  
C. xsinxcosC  D. 1 sin 2 1cos 2


2x x4 x C  


Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số 


2


l 1


2x x n


y


x
x


 



  là 


A.



2
2


1 ln
2


x


x x x


x     CB.



2
2


1 ln
2


x


x x x


x     C


C.




2
2


1 ln
2


x


x x x


x     CD.



2
2


1 ln
2


x


x x x



(23)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


Câu 91. (Mã 104 2017) Cho 

 

12


2


F x


x


  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 



x . Tìm nguyên hàm của 


hàm số f

 

x lnx.


A. f

 

x ln dx x ln2x 12 C


x x


 


  


 


B.

 

ln d ln2 12


2


x


f x x x C


x x


   





C.

 

ln d ln2 12
2


x


f x x x C


x x


 


  


 


D. f

 

x ln dx x ln2x 12 C


x x


   


 


Câu 92. (Mã 105 2017) Cho 

 

  13
3
F x


x  là một nguyên hàm của hàm số 


 


f x


x . Tìm nguyên hàm của 


hàm số f x

 

lnx


A.

 

ln d ln3  15
5
x


f x x x C


x x B.

 

 3  5 


ln 1


ln d


5
x


f x x x C


x x


C.

 

ln d  ln3  13
3
x



f x x x C


x x D.

 

 3  3


ln 1


ln d


3
x


f x x x C


x x  


Câu 93. (Mã 110 2017) Cho 

  

1

x


F xxe  là một nguyên hàm của hàm số  f x e

 

2x. Tìm nguyên hàm 
của hàm số  f

 

x e2x.


A. f

 

x e2xdx

42x e

xC


B. f

 

x e2xdx

x2

ex C




C.

 

2 d 2
2


x x x



x


fe x  eC


D.

f

 

x e2xdx

2x e

xC


Câu 94. Cho hàm số  f x

 

thỏa mãn 

 

x


fxxe và  f

 

0 2.Tính  f

 

1 . 


A. f

 

1 3.  B. f

 

1 eC. f

 

1  5 eD. f

 

1  8 2e


Câu 95. (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Cho  hàm  số  f x

 

  thỏa  mãn  f x

 

f

 

x e ,x  x   và 


 

0 2


f  . Tất cả các nguyên hàm của  f x

 

e2x là 


A.

x2 e

xexC  B.

x2 e

2xexCC.

x1 e

xC  D.

x1 e

xC 


Câu 96. (Việt Đức Hà Nội 2019)  Cho  hàm  số  yf x

 

  thỏa  mãn  f '

  

xx1 e ,  

x f

 

0 0  và 


 

d

ex


f x xax b c


 với a b c, ,  là các hằng số. Khi đó: 


A. ab2.  B. ab3.  C. ab1.  D. ab0. 



Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số 


 

e x


f x x. Tính 


 



F x  biết F

 

0 1. 


A. F x

 

 

x1 e

x2.  B. F x

  

x1 e

x1. 
C. F x

  

x1 e

x2.  D. F x

 

 

x1 e

x1.


Câu 98. (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết 

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C   với ab  là  các  số  hữu  tỉ. 
Tính tích ab


A. 1


8


ab .  B. 1


4


ab .  C. 1


8


ab  .  D. 1



4


ab  . 


Câu 99. (Chuyên Đh Vinh - 2018)  Giả  sử  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  f x

 

ln

x2 3


x




   sao  cho 


2

 

1 0



(24)

A. 10ln 2 5ln 5


3 6 . B. 0 . C.


7
ln 2


3 .  D.


2 3


ln 2 ln 5


3 6 .


Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x

 

 là một nguyên hàm của hàm 

số  f x

 

ln

x1

.  Cho  biết  g

 

2 1  và  g

 

3 alnb  trong  đó  ,a b  là  các  số  nguyên  dương 
phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a2b2 


A. T 8. B.T  17. C. T 2. D. T  13.


Câu 101. (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết 

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C   với ab  là  các  số  hữu tỉ.
Tính tích ab


A. 1


8


ab .  B. 1


4


ab .  C. 1


8


ab  .  D. 1


4



(25)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM


Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )



Phương pháp:


Dễ dàng thấy rằng ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x


Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( )
Suy ra u x f x( ) ( )

h x x( )d


Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( )
Phương pháp:


Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )exf x( ) exh x( )
Suy ra x ( ) x ( )d


ef x

eh x x
Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( )
Phương pháp:


Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )exf x( ) exh x( )
Suy ra exf x( )

exh x x( )d


Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( )
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)



Phương pháp:


Nhân hai vế với ep x dx( ) ta được


( ) ( ) ( ) ( ) ( )


( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx


f x e p x e f x h x e f x e h x e




       


        


 


Suy ra f x e( ) p x dx( ) 

ep x dx( ) h x x( )d
Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0
Phương pháp:


Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) 0 ( ) ( )


( ) ( )


f x f x



p x p x


f x f x


 


    


Suy ra ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d
( )


f x


x p x x f x p x x


f x




    




Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0
Phương pháp:


Chia hai vế với [ ( )]f x n ta được ( ) ( ) 0 ( ) ( )



[ ( )]n [ ( )]n


f x f x


p x p x


f x f x


 


    


Suy ra


1


( ) [ ( )]


d ( )d ( )d


[ ( )] 1


n
n


f x f x


x p x x p x x


f x n



  


    


 





(26)

Từ dầy ta dễ dàng tính được f x( )


Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

 

2 1
25
 


ff

 

x 4x3f x

 

2 với mọi



x . Giá trị của f

 

1 bằng
A. 391


400


B. 1


40


C. 41


400



D. 1


10


Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số yf x

 

đồng biến và có đạo hàm
liên tục trên  thỏa mãn

f

 

x

2 f x e

 

. , x  x


 

0 2


f  . Khi đó f

 

2 thuộc khoảng
nào sau đây?


A.

12;13 .

B.

9;10 .

C.

11;12 .

D.

13 14;

.


Câu 3. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số yf x

 

thỏa mãn

 

2 4
19
f   và


 

3 2

 



fxx f x  x . Giá trị của f

 

1 bằng
A. 2


3


 . B. 1


2



 . C. 1. D. 3


4
 .


Câu 4. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \

1;0

thỏa mãn
điều kiện: f

 

1  2 ln 2 và x x.

1 .

f

 

xf x

 

x2x. Biết f

 

2 a b .ln 3 (a, b).
Giá trị 2

a2b2



A. 27


4 . B. 9 . C.


3


4. D.


9
2.


Câu 5. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số yf x

 

thỏa mãn f x

 

0, x 0 và có đạo hàm


 



fx liên tục trên khoảng

0; 

thỏa mãn f

  

x  2x1

f2

 

x , x 0 và

 

1 1
2


f   . Giá



trị của biểu thức f

 

1  f

 

2 ... f

2020

bằng
A. 2020


2021


 . B. 2015


2019


 . C. 2019


2020


 . D. 2016


2021


 .


Câu 6. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \

1;0

thỏa mãn f

 

1 2 ln 2 1 ,


1

   

2

  

1



x xfxxf xx x ,  x \

1;0

. Biết f

 

2 a b ln 3, với a, b là hai
số hữu tỉ. Tính Ta2b.


A. 3


16



T  . B. 21
16


T  . C. 3


2


T  . D. T 0.


Câu 7. (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs yf x

 

thỏa mãn y xy2 và f

 

1 1 thì
giá trị f

 

2 là


A. e2. B. 2e. C. e1. D. e3.


Câu 8. (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên

, f x

 

0 với mọi x và thỏa mãn


 

1 1


2


f   , f

  

x  2x1

f2

 

x .Biết f

 

1 f

 

2 ... f

2019

a 1
b


     với




, , , 1


a b a b  .Khẳng định nào sau đây sai?




(27)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Câu 9. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên

0;


thỏa mãn 2xf

 

xf x

 

3x2 x. Biết

 

1 1


2


f  . Tính f

 

4 ?


A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16.


Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x

 

0 với mọi x, f

 

0 1 và


 

1.

 



f xxfx với mọi x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. f x

 

2 B. 2 f x

 

4 C. f x

 

6 D. 4 f x

 

6


Câu 11. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên


2; 4 và

f

 

x 0, x

2; 4

. Biết 4 3

 

 

3 3,

2; 4 ,

 

2 7
4


x f x fxx  x f  . Giá trị của


 

4


f bằng



A. 40 5 1
2




. B. 20 5 1
4




. C. 20 5 1
2




. D. 40 5 1
4



.


Câu 12. (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn


 

 

,


f xfxx  x  và f

 

0 1. Tính f

 

1 .
A. 2


e. B.



1


e . C. e. D.


e
2.


Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn


 

2 2

 

 



1 1 .


xfx x f x f x


      


    với mọi x dương. Biết f

 

1  f

 

1 1. Giá trị f2

 

2 bằng
A. f2

 

2 2 ln 22. B.


 


2


2 2 ln 2 2


f   .


C. f2

 

2 ln 2 1 . D. f2

 

2 ln 2 1 .



Câu 14. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( '( ))f x 2 f x f( ). ''( )xx32 ,x  x R


f(0) f'(0) 1 . Tính giá trị của Tf2(2)


A. 43


30 B.


16


15 C.


43


15 D.


26
15
Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục và có đạo hàm trên 0;


2


 


 


 


, thỏa mãn



 

tan .

 

3
cos


x


f x x f x


x


  . Biết rằng 3 3 ln 3


3 6


f f a b


    trong đó a b, 


. Giá
trị của biểu thức Pa b bằng


A. 14


9 B.


2
9


C. 7



9 D.


4
9


Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số yf x

 

đồng biến trên

0;

;


 



yf x liên tục, nhận giá trị dương trên

0;

và thỏa mãn

 

3 4
9
f  và


 

2

  



' 1 .


f xxf x


 


  . Tính f

 

8 .


A. f

 

8 49. B. f

 

8 256. C.

 

8 1
16


f  . D.

 

8 49



64



(28)

Câu 17. Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

1 2 và

x21

2 f

 

xf x

 

2

x21

với mọi x. Giá
trị của f

 

2 bằng


A. 2


5 B.


2
5


C. 5


2


D. 5


2


Câu 18. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên
khoảng

0; 

, biết f

  

x 2x1

f2

 

x 0,


 

0, 0


f x   x

 

2 1
6


f  . Tính giá trị của



 

1

 

2 ...

2019



Pff   f .


A. 2021


2020. B.


2020


2019. C.


2019


2020. D.


2018
2019.


Câu 19. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

2;1

thỏa mãn f

 

0 3 và


 



f x

2.f

 

x 3x24x2. Giá trị lớn nhất của hàm số


 



yf x trên đoạn

2;1


A. 3



2 42 . B. 3


2 15. C. 3


42 . D. 3


15.


Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4 và


3 2


( ) ( ) 2 3


f xxf x  xx với mọi x0. Giá trị của f(2) bằng


A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 .


Câu 21. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f

 

0 2 2,


 

0,


f x  x  và f x f

 

. 

  

x  2x1

1 f2

 

x ,  x . Khi đó giá trị f

 

1 bằng


A. 26 . B. 24. C. 15 . D. 23 .


Câu 22. (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

x 2 f x f

 

. 

 

x 2x2x1


  ,  x  và



 

0

 

0 3


ff  . Giá trị của f

 

1 2 bằng


A. 28 . B. 22. C. 19


2 . D. 10 .


Câu 23. (Chuyên Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên  thỏa mãn


x2

   

f xx1

  

fx ex

 

0 1
2


f  . Tính f

 

2 .
A.

 

2 e


3


f  . B.

 

2 e


6


f  . C.

 



2


e
2


3



f  . D.

 



2


e
2


6


f  .


Câu 24. (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \ 0;

1

thỏa mãn điều
kiện f

 

1  2 ln 2 và x x

1 .

f

 

x f x

 

x2x. Giá trị


 

2 ln 3


fa b , vớia b, . Tính


2 2


ab .
A. 25


4 . B.


9


2. C.



5


2. D.


13
4 .


Câu 25. (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số yf x

 

liên tục, nhận giá trị dương trên

0;


thỏa mãn f

 

1 1, f x

 

f

 

x . 3x1, với mọi x0. Mệnh đề nào sau đây đúng?



(29)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x

 

0 thỏa mãn điều kiện


  

2

 



2 3


fxxf x

 

0 1
2


f   . Biết rằng tổng


 

1

 

2

 

3 ...

2017

2018

a


f f f f f


b


      với

a,b*

a


b là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. a 1


b  . B. 1


a


b . C. ab1010. D. ba3029.


Câu 27. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x

 

0,

 

 



4 2


2
2


3x x 1


f x f x


x


 


  và


 

1 1


3


f   . Tính f

 

1  f

 

2 ... f

 

80 .
A. 3240


6481


 . B. 6480


6481. C.


6480
6481


 . D. 3240


6481.


Câu 28. (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x

 

đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn

0; 2


thỏa mãn f x

 

2 f x f

 

. 

 

xf

 

x 20. Biết f

 

0 1, f

 

2 e6. Khi đó


 

1


f bằng


A.


3
2



e . B. e3. C.


5
2


e . D. e2.


Câu 29. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên  thỏa mãn f

 

x 2 .x f x

 

ex2,  x  và f

 

0 0.
Tính f

 

1 .


A. f

 

1 e2. B.


 

1 1
e


f   . C.

 

1 12
e


f  . D.

 

1 1
e


f  .


Câu 30. Cho hàm số yf x

 

thỏa mãn f '

   

x f x. x4x2. Biết f

 

0 2. Tính f2

 

2 .
A. 2

 

313


2
15



f  . B. 2

 

332


2
15


f  . C. 2

 

324


2
15


f  . D. 2

 

323


2
15


f  .


Câu 31. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x

 

f

 

x e ,x x


    và


 

0 2


f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

 

e2x
A.

x2 e

xexC. B.

x2 e

2xexC.
C.

1 e

x


x C. D.

1 e

x
x C.


Câu 32. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên

0; 

thỏa mãn 2xf

 

xf x

 

2x  x

0 ; 

,


 

1 1


f  . Giá trị của biểu thức f

 

4 là:
A. 25


6 . B.


25


3 . C.


17


6 . D.


17
3 .


Câu 33. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn
điều kiện x6 f

 

x 327 f x

 

1 4 0 , x


   


     và f

 

1 0. Giá trị của f

 

2 bằng


A. 1. B. 1. C. 7. D. 7.



Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn:

f

 

x

2 f x f

 

. 

 

x 15x412x,  x  và


 

0

 

0 1


ff  . Giá trị của f2

 

1 bằng


A. 5



(30)

Câu 35. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên

1; 

và thỏa mãn


 

 



3

 



2 .ln


xfxf x xxf x ,  x

1; 

; biết f

 

3e 3e. Giá trị f

 

2 thuộc khoảng


nào dưới đây?
A. 12;25


2


 


 


 . B.


27


13;


2


 


 


 . C.


23
;12
2


 


 


 . D.


29
14;


2


 


 


 .



Câu 36. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên thỏa mãn


 

 


 



3 2 1


2


2
3f x .ef x x x 0


f x


 


   với  x . Biết f

 

0 1, tính tích phân

 



7


0


. d


x f x x


.



A. 11


2 . B.


15


4 . C.


45


8 . D.


9
2.


Câu 37. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số yf x

 

liên tục và không âm trên  thỏa mãn


 

.

 

2 2

 

1


f x fxx f x  và f

 

0 0. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số yf x

 

trên đoạn

1;3

. Biết rằng giá trị của biểu thức P2Mm có dạng




11 3 , , ,


abc a b c . Tính a b c 


A. a b c  7. B. a b c  4. C. a b c  6. D. a b c  5.



Câu 38. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \

1; 0

thỏa mãn f

 

1 2 ln 2 1 ,


1

   

2

  

1



x xfxxf xx x ,  x \

1; 0

. Biết f

 

2  a bln 3, với

a b

,

là hai số
hữu tỉ. Tính Ta2b.


A. 21


16


T  . B. 3


2


T  . C. T 0. D. 3


16


T   .


Câu 39. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên

0; 

thỏa mãn 3 .x f x

 

x f2. 

 

x 2f2

 

x , với


 

0,

0;



f x   x   và

 

1 1
3


f  . Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của



hàm số yf x

 

trên đoạn

1; 2

. Tính Mm.
A. 9


10. B.


21


10 . C.


5


3. D.


7
3.
Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm


Câu 1. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

ex2

x34x

.
Hàm số

2





F x x có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 6. B. 5. C. 3. D. 4 .


Câu 2. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho

 



2
4



1 cos sin cot
sin


x x x


F x dx


x


 


S là tổng


tất cả các nghiệm của phương trình

 


2


F xF 



(31)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số


 

2


2 cos 1
sin


x
f x



x


 trên khoảng

0;

. Biết rằng giá trị lớn nhất của F x

 

trên khoảng

0;


3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.


A. 3 3 4


6


F  


  B.


2 3


3 2


F  


  C. F 3 3



 


 
 


  D.



5


3 3
6


F  
 
Câu 4. Biết F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

xcosx2 sinx


x




 . Hỏi đồ thị của hàm số yF x

 


bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

0; 4

?


A. 2 . B.1. C. 3. D. 0.


Câu 5. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

x cos2 x
x


 . Hỏi đồ
thị của hàm số yF x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?


A.1. B.2. C.vơ số điểm. D.0.


Câu 6. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số

y

f x

 

. Đồ thị của hàm số

 




'



y

f

x

trên

5;3

như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol


2


y ax

bx c

).


Biết

f

 

0

0

, giá trị của

2

f

 

5

3

f

 

2

bằng


A. 33. B. 109


3 . C.


35


3 . D.11.


Câu 7. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên

0; 

thỏa mãn f

 

x f x

 

4x2 3x
x


    và


 

1 2



(32)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH


Dạng. Nguyên hàm cơ bản



Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


0dxC. 

k xd kxC.




1


d .


1


n


n x


x x C


n




 







1



1 ( )


( ) d .


1


n


n ax b


ax b x C


a n






  





 1dx lnx C.


x  


 1 dx 1lnax b C.


axba  




 12dx 1 C.


x


x   


 1 2d 1 1 .


(axb) x   a axbC



sin dx x  cosxC.


 sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.


a


    




cos dx x sinxC.


 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.


a


   





 12 d cot .


sin x x   xC


 2 d 1cot( ) .


sin ( )
x


ax b C
a


axb    




 12 d tan .


cos x xxC


 2d 1tan( ) .


cos ( )
x


ax b C
a



axb   



e xxd ex C.


 1


d .


ax b ax b


e x e C


a






 d .


ln


x


x a


a x C



a


 


 d 1 .


ln


x


x a


a x C


a













Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1


a



Một số nguyên tắc tính cơ bản


Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.

Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ.


Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .


2 2 2 2


a  a a  a


Chứa tích các căn thức của x PP chuyển về lũy thừa.


Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng


K nếu


A. F x'( ) f x( ), x K. B. f x'( )F x( ), x K.


C. F x'( ) f x( ), x K. D. f x'( ) F x( ), x K.


Lời giải
Chọn C


Theo định nghĩa thì hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K


nếuF x'( ) f x( ), x K.



(33)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489



Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1)

x dx2 bằng


A. 2x C . B. 1 3


3xC. C.


3


xC. D. 3x3C


Lời giải


Chọn B.


Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x3


A. . B. . C. . D. .


Lời giải
Chọn D


Ta có .


Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1)

x x4d bằng


A. 1 5


5xC B.



3


4xC C. x5C D. 5x5C


Lời giải
Chọn A


4


d


x x


1 5


5x C


  .


Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1)

x dx5 bằng


A. 4


5xC. B. 1 6


6xC. C.
6


xC. D. 6



6xC.


Lời giải
Chọn B


Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)

5x dx4 bằng


A. 1 5


5xC. B.


5


xC. C. 5x5C. D. 20x3C.


Lời giải
Chọn B


Ta có

5x dx4 x5C.


Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) 6x dx5


bằng


A. 6x6C. B. x6C. C. 1 6


6xC. D.


4



30xC.


Lời giải
Chọn B


Ta có: 6x dx5 x6C


.


Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)


2
3 dx x


bằng


A. 3x3C. B. 6x C . C. 1 3


3xC. D.


3
xC.
4


4xC 3x2C x4C 1 4


4xC


4
3



d
4


x
x x C



(34)

Lời giải
Chọn D


Ta có:


3


2 3


3 d 3.


3


x


x x CxC




Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) 3
4 dx x


bằng


A. 4x4C. B. 1 4


4xC. C.
2


12xC. D. x4C.


Lời giải
Chọn D


Ta có 3
4 dx x


x4C.


Câu 10. (Mã 1032018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x2 là


A. 1 5 1 3


5x 3xC B.
4 2


xxC C. x5x3C. D. 4x32xC


Lờigiải
ChọnA


 




f x dx


x4x2

dx 1 5 1 3
5x 3x C


   .


Câu 11. (Mã104-2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x

 

2x4 là


A. x2C. B. 2x2C. C. 2x24xC. D. x24xC.


Lờigiải
ChọnD


Ta có

f x dx

 

2x4

dxx24x C .


Câu 12. (Mã102-2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x6 là


A. x2C. B. x26x C . C. 2x2C. D. 2x26x C .


Lờigiải
ChọnB


2


2x6 dxx 6x C




Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

cosx6x


A. sinx3x2C. B. sinx3x2C. C. sinx6x2C. D. sinxC.


Lời giải
Chọn A


Ta có

 

2


d cos 6 d sin 3


f x xxx xxxC


.


Câu 14. (Mã1052017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

2 sinx.


A.

2 sinxdx 2 cosx CB.

2 sinxdx2 cosx C


C.

2 sinxdxsin2x CD.

2 sinxdxsin 2x C



(35)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


A. 1 4 1 2


4x 2xC B.
2


3x  1 C C. x3 x C D. x4x2C


Lờigiải


ChọnA


x3x2

dx


14x412x2C.


Câu 16. (Mã103- 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x3 là


A. x23xC. B. 2x23xC. C. x2C. D. 2x2C.


Lờigiải
ChọnA


Ta có

2


2x3 dxx 3xC


.


Câu 17. (ĐềMinhHọa2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

 2x1.


A.

 

2

2 1

2 1 .


3


f x dxxx C


B.

 

1

2 1

2 1 .


3



f x dxxx C




C.

 

1 2 1 .


3


f x dx  x C


D.

 

1 2 1 .


2


f x dxx C




Lờigiải
ChọnB


 





1
2
1



2 1 2 1 2 1


2
1


2 1 2 1
3


f x dx x dx x d x


x x C


    


   




.


Câu 18. (ĐềThamKhảo2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

x2 22
x


  .


A.

 



3


1


d


3


x


f x x C


x


  


. B.

 



3


2
d


3


x


f x x C


x


  


.


C.

 



3


1
d


3


x


f x x C


x


  


. D.

 



3


2
d


3


x


f x x C



x


  


.


Lờigiải
ChọnA


Ta có


3
2


2


2 2


d
3


x


x x C


x x


 



   


 


 


.


Câu 19. (Mã1102017) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1
5 2


f x
x




 .


A. d 1ln 5 2


5 2 5


x


x C


x   


B. d ln 5 2



5 2


x


x C


x   




C. d 1ln 5 2


5 2 2


x


x C


x    


D. d 5 ln 5 2


5 2


x


x C


x   





Lờigiải
ChọnA


Áp dụng công thức dx 1ln ax b C a

0



ax b a   


ta được d 1ln 5 2


5 2 5


x


x C


x   



(36)

Câu 20. (Mã1232017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

cos 3x


A.

cos 3xdx3 sin 3x CB.

cos 3 sin 3 


3
x


xdx C


C.

cos 3xdxsin 3x CD.

cos 3  sin 3 



3
x


xdx C


Lờigiải
ChọnB


Ta có:

cos 3 sin 3 
3


x


xdx C


Câu 21. (Mã1042018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là


A. 1 4 1 3


4x 3xC B.
2


3x 2xC C. 3 2


xxC D. 4 3


xxC


Lờigiải
ChọnA



Câu 22. (ĐềThamKhảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

exx


A. x 1


e  C B. exx2C C. 1 2
2


x


exC D. 1 1 2


1 2


x


e x C


x  


Lờigiải
ChọnC


Câu 23. (Mã101-2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là


A. x2C. B. x25x C . C. 2x25x C . D. 2x2C.


Lờigiải
ChọnB



Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là F x( )x25x C .


Câu 24. (Mã1042017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

7x.


A. 7 d 7
ln 7


x
x


x C


B. 7 dx x7x1C




C.


1


7
7 d


1


x
x


x C



x


 




D.

7 dx x7 ln 7xC


Lờigiải
ChọnA


Áp dụng công thức d , 0

1


ln


x


x a


a x C a


a


   


ta được đáp án B


Câu 25. (Mã1022018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x


A. 4x3 1 C B. x5x2C C. 1 5 1 2



5x 2xC D.


4


x  x C


Lờigiải
ChọnC


Ta có

4

d 1 5 1 2


5 2


xx xxxC



(37)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


A. x3C B.


3


3


x


x C


  C. 6xC D. x3xC



Lờigiải
ChọnD


3x21

dxx3 x C.




Câu 27. (THPTAnLãoHảiPhịng2019) Tìm ngun hàm

x x

27

15dx?


A. 1

2 7

16


2 x  C B.



16
2
1


7


32 x C


   C. 1

2 7

16


16 x  C D.


16
2
1


7
32 x  C



Lờigiải
ChọnD


2 7

15dx 1

2 7

15

2 7

1

2 7

16


2 32


x x   xd x   x  C




Câu 28. (THPTBaĐình-2019) Họ nguyên hàm của hàm số 3
(x) x


f e là hàm số nào sau đây?


A. 3exC. B. 1 3
3 


x


e C. C. 1


3 


x


e C. D. 3



3e xC.


Lờigiải


Ta có: 3 1 3


d ,


3


x x


e xeC


với C là hằng số bất kì.


Câu 29. (THPTCẩmGiàng2 2019) Tính

xsin 2 dx x

.


A.


2


sin
2


x


x C


  . B.



2


cos 2
2


x


x C


  . C. 2 cos 2


2


x


x  C. D.


2


cos 2


2 2


x x


C


  .



Lờigiải


Ta có

xsin 2x

d =x

x xd 

sin 2 dx x


2


cos 2


2 2


x x


C


   .


Câu 30. (THPTHoàngHoaThámHưngYên2019) Nguyên hàm của hàm số ye2x1 là


A. 2e2x 1
C


 . B. e2x 1
C


 . C. 1e2 1
2


x


C


 . D. 1e
2


x
C


 .


Lờigiải


Ta có: e2 1d 1 e2 1d 2

1

1e2 1


2 2


x x x


x x C


  


   


.


Câu 31. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

1


2 3



f x
x





A. ln 2x3C. B. 1ln 2 3


2 x C. C.


1


ln 2 3


ln 2 x C. D.


1


lg 2 3


2 x C.


Câu 32. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1
3x


y x


x


   .



A.


3


2


3 1


,
3 ln 3


x


x


C C
x


   . B.


3


2
1


3 ,


3



x


x


C C
x


   .


C.


3
3


ln ,
3 ln 3


x


x


x C C


   . D.


3
3


ln ,
3 ln 3



x


x


x C C


   .



(38)

Ta có:


3


2 3 1 d 3 ln ,


3 ln 3


x


x x


x x x C C


x


 


      


 



 


.


Câu 33. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

sin 3x


A.

3cos3

x C

. B.

3cos3

x C

. C. 1cos3


3 xC. D.
1


cos3


3 x C


  .


Lờigiải


cos 3
sin 3 dx


3


x


x   C





Câu 34. (ChuyênKHTN2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

3x2sinx


A. x3cosxC. B. 6xcosx C . C. x3cosxC. D. 6xcosx C .


Lờigiải


Ta có

3x2sinx

dxx3cosxC.


Câu 35. (ChuyênBắcNinh-2019) Công thức nào sau đây là sai?


A. ln dx x 1 C
x


 


. B. 12 d tan


cos x xx C


.


C.

sin dx x cosx C . D. e dx xexC


.


Lờigiải


Ta có: ln dx x 1 C
x



 


sai.


Câu 36. (ChuyênBắcNinh2019) Nếu f x

 

dx4x3x2C


thì hàm số f x

 

bằng


A.

 



3
4


3


x


f xx  Cx. B. f x

 

12x22x C .


C. f x

 

12x22x. D.

 



3
4


3


x
f xx  .



Lờigiải


f x

 

4x3x2C

12x22x.


Câu 37. (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?


A. cos 2 1sin 2
2
d


x xx C


. B.


e
e


1


1
d


e


x


x x C





 




.


C. 1dx ln x C


x  


. D.


1


e
e d


1


x
x


x C


x


 





.


Lờigiải


Ta có:


1


e
e d


1


x
x


x C


x


 




sai vì e dx xex C


.



Câu 38. (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Nguyên hàm của hàm số y2x


A.

2xdxln 2.2xC. B. 2xd 2x
x C


. C. 2


2


d 2


ln


x
x


x C


. D. 2


1
d


2


x
x


x C



x


 




.



(39)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Do theo bảng nguyên hàm:


l a
d


n


x


x a


a x C


.


Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số


 

3 sin


f xxx.



A.

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

 



2


3


d cos


2


x


f x x  x C


.


C.

 



2


3


d cos


2


x


f x x  x C



. D.

f x x

 

d  3 cosx C .


Lờigiải


Ta có

 



2


3


d 3 sin d cos


2


x


f x xxx x  x C


.


Câu 40. (SởBìnhPhước2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f xxs inxlà


A. x2cos x+C B. x2cos x+C C.
2


cos x+C
2


x



D.


2


cos x+C
2


x




Lờigiải
ChọnC


Theo bảng nguyên hàm cơ bản


Câu 41. (THPTMinhKhaiHàTĩnh2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:


A. cosx C . B. cosx C . C. sinx C . D. sinx C .


Lờigiải


Ta có cos d

x xsinx C .


Câu 42. (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x2 là


A. 4x32xC. B. x4x2C. C. 1 5 1 3


5x 3xC. D.


5 3


xxC.


Lờigiải.


Ta có

 

d

4 2

d 1 5 1 3


5 3


f x xxx xxxC


.


Câu 43. (THPTCùHuyCận2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

ex2x là.


A. exx2C. B. exx2C. C. 1 2


1


x


e x C


x   . D. 2


x


e  C.



Lờigiải


Ta có:

x 2

x 2
ex dxexC




Câu 44. (ChuyênHùngVươngGiaLai2019) Họ các nguyên hàm của hàm số ycosx x là


A. 1 2


sin
2


xxC. B. 2


sinxxC. C. 1 2
sin


2


x x C


   . D. 2


sinx x C


   .


Lờigiải



1 2


cos d sin
2


xx xxxC


.


Câu 45. (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Họ nguyên hàm của hàm số y x2 3x 1
x



(40)

A.


3 2


3


ln .


3 2


x x


x C


   B.


3 2



3


ln .


3 2


x x


x C


  


C.


3 2


3


ln .


3 2


x x


x C


   D.


3 2


2


3 1


.


3 2


x x


C
x


  


Lờigiải


Ta có:


3 2


2 1 3


( 3 )d ln .


3 2


x x


x x x x C



x


     




Câu 46. (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

1 sinx
x


  là


A. lnxcosxC. B. 12 cosx C
x


   . C. ln xcosx C . D. ln xcosx C .


Lờigiải


Ta có f x

 

dx 1 sinx dx 1dx sin dx x ln x cosx C


x x


 


    


 


.


Câu 47. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Hàm số

 

1 3
3


F xx là một nguyên hàm của hàm số nào
sau đây trên

 ;

?


A. f x

 

3x2. B. f x

 

x3. C. f x

 

x2. D.

 

1 4
4


f xx .


Lờigiải


Gọi

 

1 3
3


F xx là một nguyên hàm của hàm số f x

 

.


Suy ra F'

 

xf x

 

f x

 

x2.


Câu 48. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

2x.


A.

f x

 

dx2xC. B.

 

d 2
ln 2


x
f x x C


.


C.

f x

 

dx2 ln 2xC. D.

 



1


2
d


1


x


f x x C


x


 




.


Lờigiải


Ta có:

 

d 2 d 2
ln 2


x
x



f x xx C


.


Câu 49. (THPT-nĐịnhThanhHóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 


4


2


2


x
f x


x




 .


A.

 



3


1
d


3



x


f x x C


x


  


. B.

 



3


2
d


3


x


f x x C


x


  


.


C.

 



3



1
d


3


x


f x x C


x


  


. D.

 



3


2
d


3


x


f x x C


x


  



.


Lờigiải


Ta có:

 



4 3


2


2 2


2 2 2


d d d


3


x x


f x x x x x C


x x x


  


    



(41)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489



Câu 50. (SởHàNội2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số yex?


A. y 1
x


 . B. yex. C. yex.


D. ylnx.


Lờigiải


Ta có:

 

ex exyex là một nguyên hàm của hàm số yex.


Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính 2


( )


F x

e dx, trong đó e là hằng số và


2, 718


e .


A.


2 2


( )
2



e x


F x  C. B.


3


( )
3


e


F x  C. C. F x( )e x C2  . D. F x( )2ex C .


Lờigiải


Ta có: F x( )

e dx2 e x C2  .


Câu 52. (Chuyên Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

1
1 2


f x


x




 trên
1



;
2


 





 


 


.


A. 1ln 2 1


2 x C. B.


1


ln 1 2


2  xC. C.
1


ln 2 1


2 x C


   . D. ln 2x 1 C.


Lờigiải



Trên khoảng ;1
2


 





 


 


, ta có:

f x x

 

d 1 d
1 2x x





1 1 d 1 2


2 1 2x x


  




1ln 2 1


2 x C


    .



Câu 53. (ChuyênHưngYên2019) Nguyên hàm của hàm số

f x

 

2

x

x



A.


2

2


ln 2

2



x

x



C



. B. 2


2x


x C


  . C.

2

2


ln 2


x


x

C



. D.


2


2



2


x

x



C


.


Lờigiải


Ta có

2

d 2 1 2


ln 2 2


x
x


x x x C


   


.


Câu 54. (ChuyênSơnLa2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 1 sinx


A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. xcosxC. D. xcosxC.


Lờigiải


Ta có

f x x

 

d 

1 sin x x

d  x cosx C .


Câu 55. (THPTĐơngSơnThanhHóa2019) Ngun hàm của hàm số f(x) 1 3 2 2 2019
3xx  x


A. xxxC


2
3


2
12


1 4 3 2


. B.


2


4 3


1 2


2019


9 3 2


x


xx   x C .



C.


2


4 3


1 2


2019


12 3 2


x


xx   x C . D.


2


4 3


1 2


2019


9 3 2


x


xx   x C .




(42)

Sử dụng công thức


1


1


n


n x


x dx C


n


 




ta được:


4 3 2


3 2 4 3 2


1 1 1 2 1


2 2019 . 2. 2019 2019 .


3 3 4 3 2 12 3 2



x x x


x x x dx x C x x x x C


 


            


 


 




Câu 56. (THPTYênKhánh-NinhBình-2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1


3 1


f x
x




 trên khoảng


1
;


3



 





 


  là:


A. 1ln(3 1)


3 x C B. ln(1 3 ) xC C.


1


ln(1 3 )


3  xC D. ln(3x 1) C


Lờigiải


Ta có: 1 1 (3 1) 1ln 3 1 1ln(1 3 x) C


3 1 3 3 1 3 3


d x


dx x C


x x





      


 


(do ;1


3


x 
 )


Câu 57. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?


A. 2 dx 2 ln 2x


x C


. B.


2


2 e


e d
2


x


x


x C


.


C. cos 2 d 1sin 2


2


x xx C


. D. 1 d ln 1


1 x x C


x   


  x 1

.


Lờigiải
ChọnA


Ta có: 2 d 2
ln 2


x
x


x C



.


Câu 58. (Chuyên HồngPhong Nam Định 2019) Cho hàm số


4
2


2 3


( ) x


f x
x




 . Khẳng định nào sau
đây là đúng?


A.


3


2 3


( )


3 2



x


f x dx C


x


  


. B.


3


2 3


( )


3


x


f x dx C


x


  


.


C.



3


2 3


( )


3


x


f x dx C


x


  


. D. f x dx( ) 2x3 3 C


x


  


.


Lờigiải
ChọnB


Ta có


4 3



2


2 2


2 3 3 2 3


( ) 2


3


x x


f x dx dx x dx C


x x x


  


    


 




Câu 59. (SởThanhHóa2019) Cho hàm số

f x

 

2

x

 

x

1

. Tìm

f x

 

d

x

.


A.

f x

 

d

x

2

x

x

2

 

x C

. B.

 

d

1

2

1

2


ln 2

2




x


f x

x

x

 

x C



.


C.

 

d

2

1

2


2



x


f x

x

x

 

x C



. D.

 

d

1

2

1

2


1

2



x


f x

x

x

x C



x

 






.




(43)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Ta có:

2

1

d

1

2

1

2

.



ln 2

2



x

 

x

x

x

x

 

x C





Câu 60. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số


 

3 sin


f xxx.


A.

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

 



2
3


d cos


2


x


f x x  x C


.


C.

 



2
3


d cos


2


x


f x x  x C


. D.

f x x

 

d  3 cosx C .


Lờigiải
ChọnC


Ta có

 



2
3


d 3 sin d cos


2


x



f x xxx x  x C


.


Câu 61. (ChuyênBắcGiang2019) Hàm số

 

x2


F xe là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số
sau:


A. f x( )2xex2. B. f x( )x e2 x2 1. C. f x( )e2x. D.


2
( )


2


x


e
f x


x


 .


Lờigiải
ChọnA


Ta có f x

 

F x

 

f x

 

 

ex2 2xex2.



Câu 62. (ChuyênĐạiHọcVinh2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 3x


A. 3


ln 3


x
C


  B. 3xC C. 3xln 3C D. 3


ln 3


x
C




Lờigiải
ChọnA


Ta có ( )d 3 d 3 d( ) 3
ln 3


x


x x



f x x x x C




 


      


.


Câu 63. (SởPhúThọ2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là


A.


4 3


4  3 


x x


C. B. 4 3


 


x x C. C. 2


3x 2xC. D.


4 3



3  4 


x x


C


Lờigiải
ChọnA


 



4 3
3 2


d


4 3


    


f x dx

x x x x x C.


Câu 64. (Chuyên ĐHSPHàNội2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của
hàm số yx2019?


A.


2020


1


2020


x


 . B.


2020


2020


x


. C. y2019x2018. D.


2020


1
2020


x


 .



(44)

Ta có:


2020
2019


d ,



2020


x


x x C C


là hằng số. Nên các phương án A,B,D đều là nguyên hàm của
hàm số yx2019.


Câu 65. (ChuyênQuốcHọcHuế2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số yx23x 1


x.


A.


3 3


ln ,
3 ln 3


x


x


x C C R


    B.


3 3



ln ,
3 ln 3


x


x


x C C R


   


C.


3


2
1


3 ,


3


x


x


C C R


x



    D.


3


2


3 1


,
3 ln 3


x


x


C C R


x


   


Lờigiải


Ta có:


3


2 3


d ln ,



3 ln 3


1
3


x


x x


x R


x x C C


x




   



 


 


  


.


Câu 66. (QuảngNinh2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2017 20185


x


x e


f x e


x




 




 


.


A. f x

 

dx 2017ex 20184 C
x


  


. B. f x

 

dx 2017ex 20184 C


x


  



.


C. f x

 

dx 2017ex 504,54 C
x


  


. D. f x

 

dx 2017ex 504,54 C


x


  


.


Lờigiải


 

5 5 4


2018 2018 504, 5


d 2017 d 2017 d 2017


x


x e x x


f x x e x e x e C


x x x





   


  


 


 




Câu 67. (HSGBắcNinh2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 2
cos


x


x e


y e


x




 





 




A. 2extanx CB. 2extanx CC. 2 1
cos


x


e C


x


  D. 2 1


cos


x


e C


x


 


Lờigiải


Ta có: 2 2 2 12


cos cos



x


x e x


y e e


x x




 


 


 


2
1


2 2 tan


cos


x x


ydx e dx e x C


x



 


  


 


.


Câu 68. (ChuyênHạLong2019) Tìm nguyên F x

 

của hàm số f x

  

x1



x2



x3 ?



A.

 



4


3 11 2


6 6


4 2


x


F x   xxx C . B. F x

 

x46x311x26x C .


C.

 



4


3 11 2



2 6


4 2


x


F x   xxx C . D. F x

 

x36x211x26x C .


Lờigiải


Ta có: f x

 

x36x211x6

 


4


3 2 3 11 2


6 11 6 2 6


4 2


x


F x x x x dx x x x C


 

        .


Câu 69. (SởBắcNinh2019) họ nguyên hàm của hàm số

 

1
5 4





f x



(45)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


A. 1ln 5

4



5 x C. B. ln 5x4C. C.
1


ln 5 4


ln 5 x C. D.
1


ln 5 4
5 x C.


Lờigiải


Ta có 1 d 1 1 d 5

4

1ln 5 4
5 4 5 5 4  5  


x

x x C



(46)

 


TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM


Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện



Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)

0dxC. 

k xd kxC


 


1


d .


1
n


n x


x x C


n




 




   


1
1 ( )



( ) d .


1
n


n ax b


ax b x C


a n






  




 


  1dx lnx C.


x  


    1 dx 1lnax b C.


axba  


 


  12dx 1 C.
x


x   


    1 2d 1 1 .


(axb) x   a axbC


 


 

sin dx x  cosxC


  sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.


a


    


 


 

cos dx x sinxC


  cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.


a


   



 


  12 d cot .


sin x x   xC


    2 d 1cot( ) .


sin ( )


x


ax b C
a


axb    


 


  12 d tan .


cos x xxC


    2d 1tan( ) .


cos ( )


x


ax b C


a


axb   


 


 

e xxd exC


  eax bdx 1eax b C.


a




 


  d .


ln
x


x a


a x C


a


 


    d 1 .


ln
x


x a


a x C


a











 


Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1
a 
Một số nguyên tắc tính cơ bản


 Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.


 Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ.


 Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .


2 2 2 2


a  a a  a


 Chứa tích các căn thức của x PP chuyển về lũy thừa. 


Câu 1. (Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  f x( )  xác  định  trên  \ 1


2


 
 
 


   thỏa  mãn 


 

2 ,

 

0 1,

 

1 2


2 1


f x f f


x


   


 . Giá trị của biểu thức  f

 

1  f

 

3  bằng


A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15  



Lời giải


Chọn C


 



2


ln 2 1


dxx Cf x


 


NGUYÊN HÀM



(47)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Với  1


2


x , f

 

0 1C1 nên f

 

1  1 ln 3 


Với  1,

 

1 2 2


2


xf  C  nên f

 

3  2 ln 5 


Nên  f

 

1  f

 

3  3 ln15


Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x

 

 là một nguyên hàm của 

 

1


1





f x


x   trên khoảng 

1;

 thỏa 


mãn F e

1

4Tìm F x

 



A. 2 ln

x1

2  B. ln

x1

3 C. 4 ln

x1

  D. ln

x1

3


Lờigiải


Chọn B


 



F x =  1 ln 1
1


    





dx C x C


x  


1

4


F e . Ta có 1C 4 C3 


Câu 3. (THPT Minh Khai  Tĩnh 2019) Cho F x

 

  là một nguyên hàm của hàm  số 

 

1 ,


2
f x


x


  


biết F

 

1 2. Giá trị của F

 

0  bằng 


A. 2 ln 2. B. ln 2. C. 2 ln

 

2 . D. ln

 

2 .


Lờigiải
Cách 1: 


Ta có: 

 

d 1 d ln 2 ,


2



f x x x x C C


x


    






Giả sử F x

 

ln x2C0 là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãnF

 

1 2. 


Do F

 

1  2 C0  2 F x

 

ln x22.Vậy F

 

0  2 ln 2. 


Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019)  Cho  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm 


 

1
2 1
f x


x


 ; biết F

 

0 2. Tính F

 

1 . 


A.

 

1 1 3 2


2


Fln  .  B. F

 

1 ln32.  C. F

 

1 2 3 2ln  .  D.

 

1 1 3 2

2


Fln  . 
Lời giải 


Chọn D 


Ta có 

 

1 1ln 2 1


2 1 2


F x dx x C


x


   




 


Do 

 

0 2 1ln 2.0 1 2 2


2


F    C  C   


Vậy 

 

1ln 2 1 2

 

1 1ln 3 2


2 2




(48)

Câu 5. (Chuyên ĐHSP  Nội 2019) Hàm số F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số y 1
x


  trên 

;0

 


thỏa mãn F

 

2 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 


A.

 

ln

;0



2
x


F x      x


   


B. F x

 

ln xC   x

; 0

 với C là một số thực bất kì. 
C. F x

 

ln x ln 2  x

;0



D. F x

 

ln

x

C   x

;0

 với C là một số thực bất kì. 
Lời giải 


Ta có F x

 

1dx ln x C ln

x

C


x


      với   x

;0



Lại có F

 

2  0 ln 2C 0 C ln 2. Do đó 

 

ln

ln 2 ln


2
x
F x  x    


 . 


Vậy 

 

ln

;0



2
x


F x      x


  . 


Câu 6. (THPT Minh Khai    Tĩnh 2019)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  R\ 1

 

  thỏa  mãn 


 

1
1
f x


x
 


 , f

 

0 2017,  f

 

2 2018. Tính Sf

 

3  f

 

1 . 


A. Sln 4035.  B. S4.  C. Sln 2.  D. S1. 
Lời giải



Trên khoảng 

1;

 ta có  '

 

1


1
f x dx dx


x




ln

x1

C1 f x

 

ln

x1

C1. 


Mà f(2)2018C12018. 


Trên khoảng

;1

 ta có  '

 

1


1
f x dx dx


x




ln 1

x

C2 f x

 

ln 1

x

C2. 


Mà f(0)2017C2 2017. 


Vậy 

 

ln( 1) 2018 khi 1



ln(1 ) 2017 khi 1


x x


f x


x x


  



 


  




. Suy ra  f

 

3  f

 

1 1. 


Câu 7. (Mã 105 2017) Cho F x

 

 là  một nguyên  hàm của  hàm số  f x( )ex2x  thỏa mãn 

 



 3


0
2


F


Tìm F x

 

.



A.

 

  21


2


x


F x e x B.

 

  25


2


x


F x e x


C.

 

  23


2


x


F x e x D.

 

2  21


2


x


F x e x  


Lời giải



Chọn A


Ta có


 

 

  


2


2 d


x x


F x e x x e x C 


Theo bài ra ta có: 

 

0  1  3  1


2 2



(49)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

e2x 


và F

 

0 0. Giá trị của F

ln 3

 bằng 


A. 2.  B. 6.  C. 8.  D. 4. 


Lời giải


 

2 d 1 2 ;

 

0 0 1

 

1 2 1



2 2 2 2


x x x


F x

e xeC F  C  F xe  . 


Khi đó 

1 2 ln 3 1


ln 3 4


2 2


  


F e


Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số e2x và 

 

0 201


2


F   Giá trị 


1
2
F  


  là 


A. 1 200



2eB. 2e100 C.


1
50


2eD.


1
100
2e
Lời giải 


Chọn D


Ta có  2 d 1 2


2


x x


e x eC




Theo đề ra ta được: 

 

0 201 1 0 201 100


2 2 2


F   eC C . 



Vậy 


1
2


2 2


1 1 1 1


( ) 100 100 100


2 2 2 2


x


F xe  F  e    e


  . 


Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019)  Hàm  số  f x

 

  có  đạo  hàm  liên  tục  trên    và: 


 

2


2e x 1,


fx   x f,

 

0 2. Hàm f x

 

 là 


A. y2ex 2x B. y2ex2 C. ye2x x 2 D. ye2x x 1


Lời giải



Ta có: 

f

 

x dx

2



2e x 1 dx


 e2x x C
Suy ra  f x

 

e2x x C


Theo bài ra ta có:  f

 

0 2 1 C2C1. 


Vậy:  f x

 

e2x x 1. 


Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số  f x

 

2x ex. Tìm một nguyên hàm F x

 

 của hàm số f x

 

 


thỏa mãn F

 

0 2019. 


A. F x

 

x2ex2018.  B. F x

 

x2ex2018. 


C. F x

 

x2ex2017.  D. F x

 

ex2019. 


Lời giải


Ta có 

 

2


2


    


f x dx

x e dxx x ex C




(50)

Suy ra 

 


 



2


0 2019


   









x


F x x e C


F  1 C2019C2018. 


Vậy 

 

 2 x2018


F x x e


Câu 12. Gọi F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f x

 

2x,  thỏa  mãn 

 

0 1


ln 2



F  .  Tính  giá  trị  biểu 


thức TF

 

0 F

 

1 ...F

2018

F

2019


A.


2019


2 1


1009.
ln 2


T   .  B. T 22019.2020. 


C.


2019


2 1


ln 2


T   .  D.


2020


2 1


ln 2



T   . 


Lời giải


Ta có 

 

d 2 d 2


ln 2
x
x


f x xx C


 


 



F x  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

2x, ta có 


 

2
ln 2


x


F x  C mà 

 

0 1
ln 2
F   

 

2


0



ln 2
x


C F x


    . 


 

0

 

1 ...

2018

2019



TFF  FF  


2 2018 2019



1


1 2 2 ... 2 2
ln 2


     


2020


1 2 1


.


ln 2 2 1








2020


2 1


ln 2




  


Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x

 

 của hàm số  f x

 

sinxcosx thoả mãn  2


2


F 
 


.


A. F x

 

 cosxsinx3 B. F x

 

 cosxsinx1


C. F x

 

 cosxsinx1 D. F x

 

cosxsinx3 


Lời giải


Chọn C



Có F x

 

f x

 

dx

sinxcosx

dx cosxsinxC 


Do  cos sin 2 1 2 1


2 2 2


F      C  C C


 

 



cos sin 1


F x x x


     . 


Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số  f x

 

 thỏa mãn f x'

 

 3 5 sinx và f

 

0 10. Mệnh đề nào dưới 


đây đúng?


A. f x

 

3x5 cosx15 B. f x

 

3x5 cosx2


C. f x

 

3x5 cosx5 D. f x

 

3x5 cosx2 


Lời giải


Chọn C


Ta có  f x

 

3 5 sinx

dx3x5 cosx C  
Theo giả thiết  f

 

0 10 nên 5C10C5. 



(51)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Câu 15. (Việt Đức  Nội 2019) Cho hàm số  f x

 

 thỏa mãn f

 

x  2 5sinx và f

 

0 10. Mệnh đề 


nào dưới đây đúng


A. f x

 

2x5 cosx3.  B. f x

 

2x5 cosx15. 


C. f x

 

2x5 cosx5.  D. f x

 

2x5 cosx10. 


Lời giải


Ta có:  f x

 

f

 

x dx

2 5sin x

dx2x5 cosxC


Mà  f

 

0 10 nên  5C10C5. 


Vậy  f x

 

2x5 cosx5. 


Câu 16. (Liên Trường  Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm 


 

cos 3


f xx và  2


2 3


F



  . Tính F 9





 
 
 . 


A. 3 2


9 6


F  


    B.


3 2


9 6


F  


    C.


3 6


9 6


F  


    D.



3 6


9 6


F  


   


Lời giải


 

cos 3 d sin 3


3


x
F x

x x C 


2


2 3


F



  C1 

 



sin 3
1
3



x
F x


    


sin


3 6
3 1


9 3 6


F






 


  


  . 


Câu 17. (Chuyên    Quý  Đôn  Quảng  Trị  2019)  Cho  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 


 

2


1
cos



f x


x


 . Biết 


4


F

k

k


   với mọi k. Tính F

 

0 F

 

F

...F

10



A. 55.  B. 44.  C. 45.  D. 0. 


Lời giải


Ta có 

 

d d2 tan


cos


x


f x x x C


x


  





Suy ra 

 



0 0 0


1 1 1


2


9


10


tan , ; 0 1 0 1


2 2 4


3


tan , ; 1 1 0


2 2 4


3 5


tan , ; 2


2 2 4


...



17 19


tan , ;


2 2


19 21


tan , ;


2 2


x C x F C C


x C x F C C


x C x F


F x


x C x


x C x


  




  





  




 
 


    


        




   




    


       


    


   







  









  


 




 






 


  


 





2 0


9 9


10 10


1 2 1


...


9 1 9 8


4


10 1 10 9.


4


C C


F C C


F C C

















    










  


     


 




 





  


     


  


 




 



(52)

Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số 

 

2x


f x  , thỏa mãn 


 

0 1
ln 2


F  . Tính giá trị biểu thức TF

 

0 F

 

1 F

 

2 ...F

2019



A.


2020


2 1


ln 2



T   .  B.


2019


2 1


1009.
2


T   .  C. T 22019.2020.  D.


2019


2 1


ln 2


T   . 


Lời giải 
Chọn A


Ta có: 

 

2 d 2


ln 2
x
x


F x

x C



Theo giả thiết 

 



0


1 2 1


0 0


ln 2 ln 2 ln 2


F   C C  . Suy ra: 

 

2


ln 2
x


F x   


Vậy 

 

 

 



0 1 2 2019


2 2 2 2


0 1 2 ... 2019 ...


ln 2 ln 2 ln 2 ln 2


TFFF  F       


0 1 2 2019

2020 2020


1 1 1 2 2 1


2 2 2 ... 2 .1.


ln 2 ln 2 1 2 ln 2


 


      


 . 


Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số


“ Nếu 

f x dx

 

F x

 

C thì 

f u x

 

. 'u x dx

 

F u x

 

C”. 


Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I

f x dx

 

, trong đó ta có thể phân tích 


 

 

'

 



f xg u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x

 

 


 



'


dt u x dx


  . Khi đó: I

g t dt

 

G t

 

CG u x

 

C 


Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x

 

 


1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp
  

f ax b x x(  )n d   PP t ax b .


    ( ) ( )d ( ).


b


PP


n n


a


f x f x x  t f x





1


   (ln ) d ln .


b


PP


a



f x x t x


x  




    ( ) d .


b


PP


x x x


a


f e e x t e





   (sin ) cos d sin .
b


PP


a


f x x x t x




    (cos ) sin d cos .


b


PP


a


f x x x t x





2


1


   (tan ) d tan .


cos
b


PP


a


f x x t x



x  




    (sin cos ).(sin cos )d sin cos .


b


a


f xx xx x t xx





2 2 2


   f( a x )x ndx PP x asin .t






  




2 2

2


   f ( x a )m x ndx PP x atan .t







  






   f a x dx PP x acos 2 .t
a x








 


 


 


 








d


   .


( )( )


x


t ax b cx d


ax b cx d






    


 






1


   s ,.,sk d n .



R ax b ax b x t ax b








 




    d 1


( )


PP
n


n n


x


x
t
a bx a bx







  


 






2. Đổi biến số với hàm ẩn



(53)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số,
mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là ( )d ( )d ( )d


b b b


a a a


f u uf t t   f x x 




 


Câu 19. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết 

 

x 2


F xex  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên . Khi 


đó 

f

 

2x dx bằng 


A. 2ex 2x2CB. 1 2 2


.
2


x


exC   C. 1 2 2


2 .


2
x


exC   D. e2x4x2C


Lời giải 
Chọn C


Ta có: F x

 

exx2 là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên 
 

 

1

 

1

 

1 2 2


2 2 2 2 2 .


2 2 2



x


f x dx f x d x F x C e x C


      


Câu 20. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết 

 

x 2 2


F xex  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên . Khi 


đó 

f

 

2x dx bằng 
A.

2

e

x

4

x

2

C

.



  B. 1 2 4 2 .


2
x


exC   C.

e

2x

8

x

2

C

.



  D. 1 2 2 2 .


2
x


exC  


Lời giải 
Chọn B



Ta có: F x

 

ex2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x

 

 trên 
 
Suy ra: 


 

 

2

 

2


2 4 2 8


x x x


f xF x  ex exf xex 


 

2

1 2 2


2 8 4 .


2


x x


f x dx e x dx e x C


     


Câu 21. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x

 

exx2 là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên . Khi 


đó 

f

 

2x dx bằng 


A. 1 2 2 2



2
x


exC. B. e2x4x2C. C. 2ex2x2C. D. 1 2 2
2


x


exC
Lời giải


Chọn A


Ta có 

f

 

2x dx 1

   

2 d 2


2 f x x


  1

 

2
2F x C


    1 2 2 2
2


x


e x C
   . 


Câu 22. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết 

 

ex 2 2



F x   x  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

 trên . Khi 


đó 

f

 

2x dx bằng 


A. 2 2


e x 8xCB. 2


2ex4xCC. 1 2 2


e 2


2
x


x C


  .  D. 1 2 2


e 4


2
x


x C


  . 


Lời giải
Chọn D



Đặt  2 d 2d d d


2



(54)

 

2 d 1

 

d 1

 

1 e 2 2 1e2

 

2 2 1e2 4 2


2 2 2 2 2


t x x


f x xf t tF tC  tC  xC  xC




Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết 


2

d sin2 ln


f x xxxC


. Tìm nguyên hàm 

f x

 

dx


A.

 

d sin2 ln


2
x


f x x  x C



B.

f x

 

dx2sin 22 x2lnx C .   
C.


 

 



2


d 2sin 2 ln
2
x


f x x  x C


D.


 

 



2


d

2sin

2ln



f x

x

x

x C





Lời giải 
Chọn C


Ta có: 

2 1

 

1 cos 2

 




2 d sin ln 2 d 2 ln 2 ln 2


2 2


x


f x xxx C  f x x    x  C


 


 

f

   

2x d 2x  1 cos 2x2 ln 2

 

x 2 ln 22C 


 

d 1 cos 2 ln 2 ln 2 2

 

d 2 sin2 2 ln


2


x


f x x x x C f x x x C


     

   . 


Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho 

f(4 ) dx xx23x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 


A.


2


( 2) d 2



4


x


f xx  xC


B.

f x( 2) dxx27x C .  
C.


2


( 2) d 4


4


x


f xx  xC


D.


2


( 2) d 4


2


x


f xx  xC



.  


Lời giải 
Chọn C


Từ giả thiết bài toán 

f(4 ) dx xx23x c . 


Đặt t4xdt4dx từ đó ta có 


2 2


1


( )d 3 ( )d 3


4 4 4 4


t t t


f t t       c f t t  tc


   




Xét 


2 2



( 2)


( 2)d ( 2)d( 2) 3( 2) 4


4 4


x x


f xxf xx    x  cxC




Vậy mệnh đề đúng là 


2


( 2)d 4


4


x


f xx  x C




Câu 5. [DS12.C3.1.D09.b] Cho 

f x

 

d

x

4

x

3

2

x C

0. Tính 

I

xf x

 

2

d

x

.


A.

I

2

x

6

x

2

C

. B.



10 6


10

6



x

x



I

C

.
C.

I

4

x

6

2

x

2

C

. D.

I

12

x

2

2

.


Lời giải 
Chọn A


Ta có: 

 

2

d

1

 

2

d

2

1

4

 

2 3 2

 

2

2

6 2


2

2



xf x f x x x C


I

x

x

 

x

x

C




(55)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


A.

 

3


3
1


d .e


3




 


f x x x x CB.

f x

 

dx3ex31C
C.

f x

 

dxex31CD.

 

d 1e 3 1


3


 


f x x x C
Lời giải

 

d


f x x 2e31d

x


x x 1 e 3 1d

3 1



3


x x  1e 3 1


3


xC



Câu 24. (THPT  Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của  f x

 

sin 2 .x esin2x là 
A. sin2 . sin2x 1


x eC


 .  B.
2


sin 1
2


sin 1
x
e


C
x






 .  C.
2
sin x


eCD.
2



sin 1
2


sin 1
x
e


C
x





 . 
Lời giải


Ta có  sin 2 .x esin2xdx


esin2xd

sin2x



esin2xC 


Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số 

 

9 1 5


3x
f x


x



  


A.

 



4


4 4


1 1


x ln


3x 36 3


x


f x d C


x


   




B.

 



4


4 4



1 1


x ln


12x 36 3


x


f x d C


x


   




 


C.

 



4


4 4


1 1


x ln


3x 36 3



x


f x d C


x


   




  D.

 



4


4 4


1 1


x ln


12x 36 3


x


f x d C


x


   





 


Lời giải 


Chọn A


 



  

  





  



4 4


3 4


4


2 2 2


9 5 4 4 4 4 4 4


3


1 1 1



x x


3 3 4 3 12 3


x x


x dx


f x d d dx dx


x x x x x x x x


 


   




 


 



4 4 4


2 4 4 4 4


4


1 1 1 1



ln


12 12 3 12x 36 3


dx dx x


C
x


x x
x


 


    






 


Câu 26. (Chuyên  Hồng Phong Nam Định 2019)  Tìm  hàm  số  F x

 

  biết 

 



3
4 1d


x


F x x



x





  và 


 

0 1


F  . 


A. F x

 

ln

x41

1. B.

 

1ln

4 1

3


4 4


F xx   . 


C.

 

1ln

4 1

1


4


F xx   .  D.

F x

 

4ln

x

4

1

1


Lời giải 


Chọn C


Ta có: 

 

1 41 d

4 1

1ln

4 1



4 1 4



F x x x C


x


    






Do F

 

0 1 nên 1ln 0 1

1 1


4  C C . 


Vậy: 

 

1ln

4 1

1


4



(56)

Câu 27. Biết 




2017
2019


1 1 1


. , 1


1


1


b


x x


dx C x


a x
x


   


  




 




 với  ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. a2bB. b2aC. a2018bD. b2018a


Lời giải 
Ta có: 







2017 2017 2017 2018


2019 2


1 1 1 1 1 1 1 1


. .


1 2 1 1 4036 1


1 1


x x x x x


dx dx d C


x x x x


x x


            




   


       



 




4036, 2018


a b


    


Do đó: a2b


Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018)  Biết  rằng  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  trên    của  hàm  số 


 



2

2018
2017


1
x
f x


x




 thỏa mãn F

 

1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x

 




A. 1


2


m  .  B.


2017
2018


1 2
2


m  .  C.


2017
2018


1 2
2


m  .  D. 1


2
m . 
Lời giải 


Ta  có 

 



2

2018



2017
1


x


f x dx dx


x




  2017

2 1

2018

2 1



2 x d x




   



2017


2 1


2017
.


2 2017


x



C






 


  


2

2017
1


2 1


C
x


  


 



F x


  


Mà F

 

1 0 12017 0 20181


2.2 C C 2



       


Do đó 

 



2

2017 2018


1 1


2
2. 1


F x


x


  




 suy ra 


 



F x  đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 


2

2017
1
2 x 1



 lớn nhất 

2



1
x


   nhỏ nhất x0 


Vậy 


2017


2018 2018


1 1 1 2


2 2 2


m     . 


Câu 29. Cho  F x

 

  là  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1


1
x
f x


e


   và  F

 

0  ln 2e.  Tập  nghiệm S  của 



phương trình F x

 

ln

ex1

2 là: 


A. S

 

3   B. S

2;3

  C. S  

2;3

  D. S  

3;3

 


Lời giải


Chọn  A.


Ta có 

 

 

1 ln

1



1 1


x


x


x x


dx e


F x f x dx dx x e C


e e


 


      





 


 

0 ln 2 ln 2 1


F   C   eC   


 



: ln x 1 2 ln x 1 1 ln x 1 2 3



(57)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Câu 30. (THPT  Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

x3

x21

2019là 


A.



2021 2020


2 2


1 1


1


2 2021 2020


x x







 


 


B.



2021 2020


2 2


1 1


2021 2020


xx


 . 


C.



2021 2020


2 2


1 1


2021 2020



x x


C


 


  .  D.



2021 2020


2 2


1 1


1


2 2021 2020


x x


C






 


 





Lời giải 
Xét 

f x

 

dx

x3

x21

2019dx

x2

x21

2019x xd . 
Đổi biến tx2 1 dt 2 d x x, ta có: 


 

1

2019 1

2020 2019



d 1 dt dt


2 2


f x xtttt


 


2

2021

2

2020


2021 2020 1 1


1 1


2 2021 2020 2 2021 2020


x x


t t


C C





 


   


 


 


 




Câu 31. (THPT  Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của

 

1 ln


.ln
x
f x


x x


  là: 


A. 1 ln d ln ln
.ln


x



x x C


x x


 


B. 1 ln d ln 2.ln
.ln


x


x x x C
x x




 




C. 1 ln d ln ln


.ln
x


x x x C
x x





  


D. 1 ln d ln .ln


.ln
x


x x x C
x x




 




Lời giải


Ta có 

 

d 1 ln d


.ln
x


I f x x x


x x





Đặt  lnx xt

lnx1 d

xdt. Khi đó ta có  1 ln d


.ln
x


I x


x x


1dt


t


lntC ln .lnx xC


Câu 32. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

x e2 x31 
A.

f x

 

dxex31CB.

f x

 

dx3ex31C


C.

 

d 1 3 1


3
x
f x x eC


 


D.

 

3



3
1


d
3


x


x


f x x eC




Lời giải 
Đặt tx3 1 dt3 dx x2  


Do đó, ta có 

 

d 2 3 1d . d1 1 1 31


3 3 3


x t t x


f x xx exe teCe  C


.


Vậy 

 



3 1


1
d


3
x
f x xe  C




Câu 33. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số  f x

 

33x1 là 



(58)

C.

 

d 133 1
3


f x xx C


. D.

 

d 1

3 1

33 1


4


f x xxx C




Lời giải


Ta có 

 

 



1
3


1


d 3 1 d 3 1


3


f x xxx


1

3


3 1 3 1


4 x x C


    .


Câu 34. Nguyên hàm của hàm số  f x

 

 3x2 là 


A. 2(3 2) 3 2


3 xx C B.


1


(3 2) 3 2


3 xx C 


C. 2(3 2) 3 2



9 xx C D.


3 1


2 3x2 C 


Lời giải


Chọn C


Do 



1
1


1 2


2


1
1
2


3 2


1 1 2


3 2d 3 2 d 3 2 (3 2) 3 2


3 3 9



x


x x x x C x x C








         


 


Câu 35. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 2x1 là 


A. 1

2 1

2 1


3 x x C


    .  B. 1 2 1


2 x C


C. 2

2 1

2 1


3 xx CD.



1



2 1 2 1


3 xx C
Lời giải


Đặt  2 1 d 1 d d d


2 1


t x t x t t x


x


     


  


 



3


2 1


d 2 1d d 2 1 2 1


3 3


t



f x x x x t x C x x C


 

      . 


Câu 36. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số  f x

 

2 .x ln 2


x


 . Hàm số nào dưới đây không là 


nguyên hàm của hàm số f x

 



A. F x

 

2 xC  B. F x

 

2 2

x1

C 


C. F x

 

2 2

x 1

C  D.


 

1


2 x
F x   C
Lời giải


Chọn A


Ta có F x

 

f x

 d

x 2 .x ln 2dx
x


2 .x ln 2dx
x





Đặt  d 1 d


2


u x u x


x


   . 


Vậy 

 

2 ln 2. 2 .du


F x

u 2 ln 2. 2


ln 2
u


C


  1


2 xC


  . 



(59)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Câu 37. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019)  Khi  tính  nguyên  hàm  3 d



1


x
x
x





,  bằng  cách  đặt 


1


ux  ta được nguyên hàm nào?


A.

2

u24 d

uB.

u24 d

uC.

u23 d

uD.

2u u

24 d

u
Lời giải


Chọn A


Đặt ux1xu2 1 dx2 du u


Khi đó  3 dx


1


x
x






 trở thành 



2


2


4


.2 d 2 4 d


u


u u u u


u




 




Câu 38. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 

 

1


2 2 1


f x



x




 . 


A.

 

d 1 2 1


2


f x xx C


B.

f x x

 

d  2x 1 C
C.

f x x

 

d 2 2x 1 CD.

 




1
d


2 1 2 1


f x x C


x x


 


 





Lời giải 
Đặt  2x 1 t2x 1 t2dxtdt. 


Khi đó ta có  1 2 1d


2 xx


12

tdtt  1 dt
2


1
2t C


  1 2 1


2 x C


  


Câu 39. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số 

 

2



ln 1


f xxx   là 


A. F x

 

xln

xx21

x2 1 CB. F x

 

xln

xx21

x2 1 C


C.

 

2




ln 1


F xx xx  CD.

 

2

2



ln 1


F xx xx  C
Lời giải


Đặt t x x21





2 2


2


1 1


1
x x x x
t


x x


   




 



 = 


2


1
1


x x




 


1 2


1


x x


t    . 


1
2


t x


t


    1 1 12



2


dx


t


 




 


t 1 2 x2 1


t


    


 

2



ln 1


f x dxxxdx


= 1 1 12 ln


2 t tdt


 





 


 


= 1 1 12 lnt .


2 t dt I


 


 


 


 




Đặt ulnt  du 1dt


t


  


2


1



dv 1 dt


t


 




  


1


v t
t


  ; 


1 1 1 1 1


ln


2 2


I t t t dt


t t t


   





 

  =  2


1 1 1 1


ln 1


2 t t t 2 t dt


   


  


   


 

  = 


1 1 1 1


ln


2 t t t 2 t t C


   


   


   


     




(60)

Câu 40. (Chuyên Hạ Long - 2018)  Biết rằng trên khoảng  3;
2


 


 


 


 , hàm số 

 



2


20 30 7


2 3


x x


f x


x


 




   có 



một  nguyên  hàm  F x

 

ax2bx c

2x3  (a b c, ,   là  các  số  nguyên).  Tổng  Sa b c   
bằng


A. 4.  B. 3 .  C. 5 .  D. 6 . 


Lời giải
Đặt t 2x 3 t22x 3 dxt td  


Khi đó 


2


20 30 7


d


2 3


x x


x
x


 






2



2 2


3 3


20 30 7


2 2


d


t t


t t
t


     


 


   


   


5t415t27 d

tt55t37t C

5

3


2x 3 5 2x 3 7 2x 3 C


       

2x3

2 2x 3 5 2

x3

2x 3 7 2x 3 C


2



4x 2x 1 2x 3 C


      


Vậy F x

 

4x22x1

2x3. Suy ra Sa  b c 3.


Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số  ( ) sin


1 3cos
x
f x


x


 . 
A. ( ) d 1ln 1 3cos


3


f x x  xC


B.

f x( ) dxln 1 3cos xC
C.

f x( ) dx3ln 1 3cos xCD. ( ) d 1ln 1 3cos


3



f x x   xC




Lời giải


Ta có:  sin d 1 1 d 1 3cos

1ln 1 3cos


1 3cos 3 1 3cos 3


x


x x x C


x   x     


 




Câu 42. (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số  f x( ) biết  '


2


cos
( )


(2 sin )


x


f x


x




 . 


A. ( ) sin 2


(2 sin )
x


f x C


x


 


 .  B.


1
( )


(2 cos )


f x C


x



 


 . 


C. ( ) 1


2 sin


f x C


x


  


 .  D.


sin
( )


2 sin
x


f x C


x


 


 . 



Lời giải 


Ta có  '


2 2


cos d(2 sin ) 1


( ) ( )d d


2 sin


(2 sin ) (2 sin )


x x


f x f x x x C


x


x x




     




 





Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa  Nội 2019)  Biết  F x

 

là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 


sin
( )


1 3cos
x
f x


x


  và F 2 2




 

 


  .Tính F

 

0 . 


A. (0) 1ln 2 2
3


F    .  B. (0) 2ln 2 2
3



F    . C. (0) 2ln 2 2
3


F    . D. (0 1ln 2 2
3


F    . 
Lời giải


Ta có  ( ) sin d


1 3cos
x x
F x


x




  3cosd(cos )xx1


1 3 1



(61)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


mà  3 2


2 2 1  



1
3


F   ln cos  C


    C 2




Do đó, 

 

0   1 3

 

0 1 2  1 4 2    2 2 2


3 3 3


F   ln cos     ln    ln  . 


Vậy 

 

0 2 2 2


3


F   ln  . 


Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019)  Biết 

f x

 

dx3 cos 2x

x5

C.  Tìm  khẳng 
định đúng trong các khẳng định sau.


A.

f

 

3x dx3 cos 6x

x5

C  B.

f

 

3x dx9 cos 6x

x5

C 
C.

f

 

3x dx9 cos 2x

x5

C  D.

f

 

3x dx3 cos 2x

x5

C 


Lời giải
Cách 2:



Đặt x3tdx3dt


Khi đó: 

f x

 

dx3 cos 2x

x5

C 


 

 



3 f 3 dt t 3. 3 cos 2.3t t 5 C


   

f

 

3 dt t3 cos 6t

t5

C


 

3 d 3 cos 6

5



f x x x x C


   . 


Câu 45. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

tan5x. 


A.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2


f x xxxxC




B.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2



f x xxxxC




C.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2


f x xxxxC




D.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos


4 2


f x xxxxC




Lời giải 

 



5
5


5


sin



d tan d d


cos


x


I f x x x x x


x




 


2

 

2



2 2


5 5


1 os . 1 os .s inx


sin .sin .s inx


d d


cos cos


c x c x



x


x x


x x


 


 


Đặt tcosxdt sin dx x 

 



2 2 2 4


5 5


1 . 1 1 2


d d


t t t t


I t t


t t


 


 

  


5 3


1 2 1


dt
t t t


 


  


 


5 2 3 1 d 1 4 2 ln
4


t t t t t t C


t


   


 


      


 


 



 


4 2


4 2


1 1 1 1


cos cos ln cos . ln cos


4 x x x C 4 cosx cosx x C


 


         


2

 

2 2



1


. tan 1 tan 1 ln cos


4 x x x C



(62)

4 2

 

2



1


tan 2 tan 1 tan 1 ln cos



4 x x x x C


        


4 2


1 1 1


tan tan ln cos


4 x 2 x x 4 C


      


4 2


1 1


tan tan ln cos


4 x 2 x x C


    . 


Câu 46. (Hồng  Bàng  -  Hải  Phòng  -  2018)  Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số


 

3


sin .cos



f xx xF

 

0  . Tính


2
F 


 .
A.


2
F  


  .  B. F 2



 



 


  .  C.


1


2 4


F   
  .  D.



1


2 4


F  
  . 
Lời giải


Đặt tsinxdtcos dx x

 

 

d


F x

f x x

sin3xcos dx x

t t3d


4


4


t
C


 


4


sin
4


x
C



  . 


 

0


F 


4


sin


4 C






   C

 



4


sin
4


x


F x


   .


4



sin
2


2 4


F





 

 
 


1
4 
  .


Câu 47. Cho F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

1


ln


f x


x x


   thỏa  mãn  1 2



e
F  


    và F

 

e ln 2. 


Giá trị của biểu thức  12

 

e2


e
FF


   bằng  


A. 3ln 2 2 .  B. ln 2 2 .  C. ln 2 1 .  D. 2ln 2 1 .  


Lời giải 
Chọn A


Ta có:  1 d


ln x


x x


d ln

lnxx

ln lnxCx0, x1. 


Nên: 

 





1


2


ln ln khi  1


ln ln khi 0 1


x C x


F x


x C x


 




 


   







Mà  1 2


e


F  


 


 nên ln ln1 2 2


e C


 


  


 


  C2 2


F

 

e ln 2 nên ln ln e

C1ln 2C1ln 2. 


Suy ra 

 





ln ln ln 2 khi  1


ln ln 2 khi 0 1


x x


F x


x x



 




 


   







Vậy 

 

2


2


1


e
e


FF


 



2
2


1



ln ln 2 ln ln e ln 2


e


 


  


 


3ln 2 2


  . 


Câu 48. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x

 

  là  nguyên  hàm  của  hàm  số 


2


( )
8





x
f x


x



  thỏa 



(63)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Lời giải 
Chọn D


Ta có: 



1


2 2 2


2


2


d 1 8 d 8 8 .


2
8


x


x x x C


x


x      



 


 


Mặt khác:


 

 



2


8 2 0 2


2 0 C C .


F       


 


Nên 

 

2


8 2


x .


F  x


 

 






2 2


2 2


2


8 2 8 2


2


2 0 2


1 3


1 3


2 4 4 0


8 2


1 3


x x x x


x


x x



x .


x
x x


x x


x
F x x        




 


   




    


    


  


  




 




 


Câu 49. Gọi F x

 

 là nguyên hàm của hàm số 

 

2 12


1


x
f x


x
x


 


 . Biết F

 

3 6, giá trị của F

 

8  là


A. 217


8 . B. 27. C.


215


24 . D.


215


8 . 


Lời giải



Chọn A 


Ta có: 

 

2 12 2

1

2 12


1 1


x
x


f x dx dx dx


x x


x x


 


 


 




 


   


 



2


1 1


2 1 2


1


x dx dx dx


x
x


 


  




 


 


12

12

2


2 x 1 d x 1 2 x 1  d x 1 x dx


  

  

 


32


4 1 1


4 1


3
x


x C


x


     . 


Suy ra 

 



3
2


4 1 1


4 1


3
x


F x x C


x




     . 


Mặt khác: 

 



3
2


4 3 1 1


3 6 6 4 3 1 3


3 3


F        CC . 


Vậy 

 



3
2


4 8 1 1 217


8 4 8 1 3


3 8 8


F        . 



Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số 

 



2


20 30 7


2 3


x x


f x


x


 




  trên khoảng 


3
;
2


 





 



  là


A.

4x22x1

2x 3 C. B.

4x22x1

2x3.


C.

3x22x1

2x3. D.

4x22x1

2x 3 C.


Lời giải 
Chọn D


Xét trên khoảng  3;


2


 





 


 , ta có: 


 



2 10 2 3 7


20 30 7


d d d


2 3 2 3



x x


x x


f x x x x


x x


 


 


 


 





(64)

Khi đó: 






2 2


2 2 4 2


5 3 7



10 2 3 7


d d 5 3 7 d 5 15 7 d


2 3


u u
x x


x u u u u u u u u


u
x


 


 


   


     




 







2


5 3 4 2


2


5 7 5 7 2 3 5 2 3 7 2 3


4 2 1 2 3 .


u u u C u u u C x x x C


x x x C


 


              


 


    


 


Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ


1. Công thức thường áp dụng


1 1



dx lnax b C.


axba  




 1 2 d 1 1 .


(axb) x   a axbC






lnalnbln( ).ab


 lna lnb lna


b


  




lnan nln .a


  ln 10.


2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )d .



( )
P x


I x


Q x




Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP Chia đa thức.


Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.


Nếu mẫu khơng phân tích được thành tích số PP thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt Xatan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2a2.


Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số  ( ) 2


1
x
f x


x



   trên  khoảng 



1;

 là 


A.

x

3ln

x

1

C

.

  B.

x

3ln

x

1

C

.

 
C.


2
3


.
1


x C


x


 


   D.

2
3


.
1


x C


x


 


  



Lời giải 


Chọn A 


Trên khoảng 

1;

 thì x 1 0nên 




2 3


( )d d 1 d 3ln 1 3ln 1 .


1 1


x


f x x x x x x C x x C


x x


  


         


   




 



Câu 52. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 

 



2


3 2


2


x
f x


x







 trên khoảng 


2;

 là


A. 3 ln

2

2


2


x C


x



  


B.



2


3 ln 2


2


x C


x


  




C. 3 ln

2

4


2


x C


x


  


D.




4


3 ln 2


2


x C


x


  


.



(65)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Ta có 

 









2 2 2


3 2 4


3 2 3 4



2


2 2 2


x
x


f x


x


x x x


 




   




  


. Do đó 


2

2



3 2 3 4 4



3ln 2


2 2


2 2


x


dx dx x C


x x


x x


 




       






.


Câu 53. (Mã đề 101 - BGD - 2019)  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 



2
2 1

1




x
f x


x   trên 


khoảng

  1;

 là


A. 2 ln

1

2


1


  




x C


x . B.



3


2 ln 1


1



  




x C


x .


C. 2 ln

1

2


1


  




x C


x . D.



3


2 ln 1


1


  





x C


x


Lời giải
Chọn B 


Ta có 

 









2 2 2


2 1 3


2 1 2 3 3


d d d d 2 ln 1 .


1 1


1 1 1


 


 





         


 


    


f x x

x x

x x

x x C


x x


x x x  


Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số 

 

2 3


3 2


x
f x


x x





   là 


A. ln x 1 2 ln x2CB. 2 ln x 1 ln x2C



C. 2 ln x 1 ln x2 CD. ln x 1 2 ln x2 C


Lời giải


Ta có 

 







2


3 3 2 1


3 2 1 2 1 2


x x


f x


x x x x x x


 


   


      . 


Suy ra họ nguyên hàm của hàm số 

 

2 3


3 2



x
f x


x x





   là 


Câu 54. (Chuyên    Quý  Dôn  Diện  Biên  2019)  Tìm  một  nguyên  hàm  F x

 

của  hàm  số 


 

2

0 ,


b


f x ax x


x


   biết rằng F

 

1 1,F

 

1 4,f

 

1 0 


A.

 

3 2 3 7


2 4 4


F x x
x


   .  B.

 

3 2 3 7


4 2 4


F x x
x
  


C.

 

3 2 3 7


4 2 4


F x x
x


   .  D.

 

3 2 3 1


2 2 2


F x x
x
   . 
Lời giải 


Ta có 

 

 

dx 2 dx 1 2


2


b b


F x f x ax ax C



x x


 


    


 




Theo bài ra 


 


 


 



1 3


1


2 2


1 1


1 3


1 4 4


2 2



1 0 0 7


4
a b C b
F


F a b C a


f a b


C


 


    


 


 




  


      


  


  





    




 


 



(66)

Vậy 

 

3 2 3 7


4 2 4


F x x
x


   .


Câu 55. Cho biết 






2 13


dx ln 1 ln 2


1 2



x


a x b x C


x x




    


 




Mệnh đề nào sau đây đúng? 


A. a2b8.  B. a b 8.  C. 2a b 8.  D. a b 8. 


Lời giải
Ta có: 






2 13


1 2 1 2


x A B


x x x x





 


   







2 1


1 2


A x B x


x x


  




 







2


1 2



A B x A B


x x


   




   


2 5


2 13 3


A B A


A B B


  


 




     


 





Khi đó: 






2 13 5 3


dx dx 5 ln 1 3ln 2


1 2 1 2


x


x x C


x x x x


  


    


     




Suy ra a5;b 3 nên a b 8. 


Câu 56. Cho biết  31 dx aln

x 1



x 1

bln x C


xx     



. Tính giá trị biểu thức: P2ab


A. 0.  B. -1.  C. 1


2.  D. 1. 


Lời giải
Ta có: 


3


1


1 1


A B D
xxxx  x


2



3


1 1 1


A x Bx x Dx x


x x


    







2



3


A B D x B D x A
x x


    




  


1
0


1
0


2
1


1
2



A
A B D


B D B


A


D



  


  




 


  













Khi đó: 



3


1 1 1 1


dx dx


2 1 2 1


x x x


x x


 


    


 




1ln

1



1

ln


2 x x x C


     . 


Suy ra  1; 1



2


ab   nên P2ab0. 


Câu 57. Cho biết  24 11 dx ln 2 ln 3


5 6
x


a x b x C
x x




    


 


. Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2. 


A. 12.  B. 13.  C. 14.  D. 15. 


Lời giải


Ta có:  24 11


5 6 2 3


x A B



x x x x




 


   







3 2


2 3


A x B x
x x


  




 







3 2



2 3


A B x A B
x x


  




   


4 3


3 2 11 1


A B A


A B B


  


 




  


 





Khi đó:  24 11 dx 3 1 dx


5 6 2 3


x


x x x x


  




     



(67)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Suy ra a3;b1 nên  2 2


13
Paab b  . 


Câu 58. Cho hàm số  f x

 

 thỏa mãn 

 

2


3


b
f x ax


x



   ,  f

 

1 3,  f

 

1 2,  1 1


2 12


f     . Khi đó  2ab 
bằng


A. 3


2


 . B. 0 . C. 5 . D. 3


2.
Lời giải


Ta có f

 

1 3a b 3

 

1 . 


Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng 

0;

, các điểm x1,  1


2


x  đều thuộc 

0;

 


nên 


 

 

2 3


3 2



d d


3 2


b ax b


f x f x x ax x C


x x








      . 


f

 

1 2 2


3 2


a b
C


  

 

2 . 


+  1 1


2 12



f      2 1


24 12


a


b C


   

 

3 . 


Từ 

 

1 , 

 

2   và 

 

3   ta  được  hệ  phương  trình 


3
2


3 2


1
2


24 12


a b
a b


C
a


b C






  



   






   





2
1
11


6
a
b
C



 

 




 



2a b 2.2 1 5.


Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số  ( ) 3 12


( 1)


x
f x


x





  trên khoảng (1;) là


A. 3ln( 1) 1


1


x c


x


  



 . B.


2
3ln( 1)


1


x c


x


  


 .


C. 3ln( 1) 2


1


x c


x


  


 . D.


1
3ln( 1)



1


x c


x


  


 . 
Lời giải 


Chọn C


Ta có  ( ) 3 3 22 3( 1) 22 3 2 2


( 1) ( 1) 1 ( 1)


x x


f x


x x x x


   


   


     


Vậy  ( )d ( 3 2 2)d



1 ( 1)


f x x x


x x


 


 


2


d( 1) d( 1)


3 2


1 ( 1)


x x


x x


 


 


 


 


2


3 ln x 1 2 (x 1) d( x 1)


  

    3 ln( 1) 2


1


x C


x


   


  vì x1. 


Câu 60. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 

 



2


2 1


2


x
f x


x








 trên khoảng 

2; 

 là


A. 2 ln

2

3


2


x C


x


  


 . B.



1
2 ln 2


2


x C


x


  




(68)

C. 2 ln

2

1
2


x C


x


  


 . D.



3
2 ln 2


2


x C


x


  


 . 
Lời giải 


Chọn B


Đặt x  2 t x  t 1 dxdt với t0 


Ta có  f x

 

dx 2t2 1dt = 2 12 dt 2 lnt 1 C


t t t t


  


  


 


 


Hay 

 

d 2 ln

2

1 .


2


f x x x C


x


   





Câu 61. (THPT  Yên  Khánh  -  Ninh  Bình  -  2019)  Cho  F x( )  là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số 


 

4 3 2


2 1



2


x
f x


x x x





    trên  khoảng 

0;

  thỏa  mãn 

 



1
1


2


F  .  Giá  trị  của  biểu  thức 


 

1

 

2

 

3

2019



SFFF   F  bằng


A. 2019


2020. B.


2019.2021


2020 . C.



1
2018


2020. D.
2019
2020
 . 
Lời giải 


Ta có 

 



2


4 3 2 2


2 1 2 1


2 1


x x


f x


x x x x x


 


 



   . 


Đặt t x x

1

x2x 




dt 2x 1 dx


   . 


Khi đó 

 

 





2


1 1 1


d d


1


F x f x x t C C


t t x x


       







Mặt khác, 

 

1 1


2


F    1 1


2 C 2


     C1. 


Vậy 

 




1


1
1
F x


x x


  


 . 


Suy ra 


 

1

 

2

 

3

2019

1 1 1 ... 1 2019

1.2 2.3 3.4 2019.2020


1 1 1 1 1 1 1 1


1 ... 2019 1 2019


2 2 3 3 4 2019 2020 2020


1 1


2018 2018 .


2020 2020


SFFF F       


 


   


            


   


  


 


Câu 62. Giả sử 








 



2 3 d 1


1 2 3 1




  


   


x x C


x x x x g x  (C là hằng số). 


Tính tổng các nghiệm của phương trình g x

 

0. 


A. 1.  B. 1C. 3 .  D. 3. 


Lời giải 


Ta có x x

1



x2



x3

 1

x23x



x23x2

1

2

2


3 1


 



(69)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 



Đặt tx23x, khi đó dt

2x3 d

x
Tích phân ban đầu trở thành 


2


d 1


1
1


  



t C


t
t




Trở lại biến x, ta có 







2


2 3 d 1


1 2 3 1 3 1





  


     


x x C


x x x x x x


Vậy g x

 

x23x1. 


 

2


3 5


2


0 3 1 0


3 5


2


  






     



 






x


g x x x


x




Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng  3 . 


Câu 63. (Nam Trực - Nam Định - 2018)  Cho 




3 2


1
1


I dx


x x







  2 ln 2 ln 1

2



a


b x c x C
x




     .  Khi 


đó Sa b c   bằng 


A. 1


4


B. 3


4.  C.


7


4.  D. 2 . 



Lời giải 




4 2


1


x


I dx


x x






 


2


1


t x  dt2xdx 


2


1 1



2 1 .


I dt


t t
 




2


1 1 1 1


2 t 1 t 1 t dt




    




 


1 ln 1 1 ln


2 t t 1 t C


 


   




   


2 2


2


1 1


ln ln 1


2 x x x C


 


   


   



2
2


1 1


ln ln 1


2x x 2 x C


       



1
2
1


1
4


a
b
c









 


  S  a b c 7
4
 . 


Câu 64. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  R\

1;1

  thỏa  mãn 


 

2



1
'


1


f x
x




 .  Biết  f

 

3  f

 

3 4  và 


1 1


2


3 3


f  f 


    .  Giá  trị  của  biểu  thức 


 

5

 

0

 

2


f   ff  bằng 


A. 5 1ln 2


2



 .  B. 6 1ln 2


2


 .  C. 5 1ln 2


2


 .  D. 6 1ln 2


2


 . 


Lời giải
Chọn A


Ta có  '

 

21


1


f x
x




 

 

2


1 1 1



' ln


1 2 1


x


f x f x dx dx C


x x




    


 



(70)

Khi đó: 

 



1


2


3


1 1


ln 1


2 1



1 1


ln 1 1


2 1


1 1


ln 1


2 1


x


C khi x
x


x


f x C khi x


x
x


C khi x
x


 


 







 


   







  







 

 

1 3
2


3 3 4


1 1


2 2



3 3


f f C C


f f C


    




     


  


   


   


1 3


2


4
1


C C



C


 



 





 


Vậy  f

 

5  f

 

0  f

 

2 1ln3 3 2 1ln1 1 1ln1 5 5 1ln 2


2 2 C C 2 3 C 2 2 2


         . 


Câu 65. (Quảng Xương - Thanh Hóa  -  2018)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  \

2;1

  thỏa 


mãn

 

2 1


2
f x


x x
 


  ,  f

 

3  f

 

3 0  và 

 


1

0


3


f  .  Giá  trị  của  biểu  thức 


 

4

 

1

 

4


f   f   f  bằng 


A. 1ln 2 1


3 3. B. ln 80 1 .  C.
1 4


ln ln 2 1


3 5  .  D.
1 8


ln 1
3 5 . 
Lời giải


 

2


1
d
2



f x x


x x


 







1


2


3


1 1


ln , ; 2


3 2


1 1


ln , 2;1


3 2



1 1


ln , 1;


3 2


x


C x


x
x


C x


x
x


C x


x


 


    







 


    







   









Ta có 

 

3 1ln 4 1,

; 2



3


f   C   x

 

0 1ln1 1,

2;1


3 2


f  C   x

 

3



1 2



3 ln , 1;


3 5


f  C  x  , 


Theo giả thiết ta có 

 

0 1


3


f2 1

1 ln 2


3


C


   . 


 

1 2ln 2 1


3 3


f


    . 


Và  f

 

3  f

 

3 0 1 3 1ln 1


3 10
C C



   . 


Vậy  f

 

4  f

 

1  f

 

4 1ln5 1 1ln 2 1 1ln 2 1ln 2 2


3 2 C 3 3 3 3 C


       1ln 2 1


3 3


  . 


Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên \ 1

 

 


thỏa mãn 

 

1


1
f x


x
 


 ,  f

 

0 2017,,  f

 

2 2018. Tính S

f

 

3 2018

f

 

1 2017



A. S 1.  B. 2


1 ln 2


S  .  C. S 2 ln 2.  D. 2



ln 2
S . 
Lời giải


Ta có 

 

1 d


1


f x x


x




ln x 1 C




1
2


ln 1   khi   1


ln 1   khi   1


x C x


x C x


   




 


  







Lại có  f

 

0 2017 ln 1 0

C22017 C22017. 



(71)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Do đó S ln 3 1

2018 2018  ln 1

 

 

1

2017 2017  2
ln 2
 . 


 


Câu 67. (Sở Phú Thọ - 2018)  Cho  hàm  số  f x

 

  xác  định  trên  \

1;1

  thỏa  mãn 

 

22


1
f x


x
 


 , 


2

 

2 0


f   f   và  1 1 2


2 2


f f   


    . Tính  f

 

3  f

 

0  f

 

4  được kết quả 


A. ln6 1


5 .  B.


6
ln 1


5 .  C.


4
ln 1


5 .  D.


4
ln 1


5 . 
Lời giải 



Ta có  f x

 

f

 

x dx 22
1dx
x




11 11 dx
x x


 




 


 




1


2


3


1


ln 1



1
1


ln 1 1


1
1


ln 1


1


 


  






 


   







 







khi
khi
khi


x


C x


x
x


C x


x
x


C x


x




Khi đó 


 

 

1 3


1 3


2


2 2


1


2 2 0 ln 3 ln 0


0
3


1 1


1 1


2


ln 3 ln 2


2 2


3




  





   


 


 


      


  


   


 


   




f f C C


C C


C


f f


C C



 


Do đó 

 

3

 

0

 

4 ln 2 1 2 ln3 3 ln6 1


5 5


         


f f f C C C


 


Dạng 4. Nguyên hàm từng phần


Cho hai hàm số u và v liên tục trên 

a b;

 và có đạo hàm liên tục trên 

a b;

. Khi đó: 

 



udvuvvdu


 


Để tính tích phân 

 



b


a


I

f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
Bước 1:Chọn u v,  sao cho  f x dx

 

udv (chú ý: dvv x dx'

 

). 



Tính v

dv và duu dx'. . 


Bước 2:Thay vào cơng thức 

 

 và tính 

vdu.


Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân 

vdu dễ tính hơn 


udv


. Ta thường gặp các dạng sau 


Dạng 1 :

 

sin
cos


x


I P x dx


x


 




 


, trong đó P x

 

 là đa thức 


Với dạng này, ta đặt 

 

,   sin


cos



x


u P x dv dx


x


 


 


 



(72)

Với dạng này, ta đặt 

 


ax b
u P x
dv edx
 






, trong đó P x

 

 là đa thức 
Dạng 3 : I

P x

  

ln mx n dx

 


Với dạng này, ta đặt 



 



ln


u mx n


dv P x dx


 








Dạng 4 : sin
cos


x


x


I e dx


x
 
  
 

 
Với dạng này, ta đặt 

sin
cos
x
x
u
x
dv e dx


  

  
  




 để tính 

vdu ta đặt 


sin
cos
x
x
u
x
dv e dx


  

  
  







Câu 68. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

 



2
2
x
f x
x



.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

  

1 .

 



g xxfx  là 
A.
2
2
2 2
2 2
x x
C
x
 



B.
2
2
2
x
C
x



C.
2
2
2
2
x x
C
x
 


D.
2
2
2 2
x
C
x





Lời giải


Chọn B.


Tính 

 

  

  

  

 



2
2


1 d 1 1 d d


2


x x


g x x f x x x f x x f x x f x x


x



       

 
2


2 2 d



2 2


x x x


x
x x

 


2
2
2 2
2
2 .
2 2


x x x


x C C


x x


 


     


 


 



Câu 69. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số  f x

 

x


x





2


3


.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

  

1

  



g xxfx  là


A. x x C


x
 


2
2
2 3
2 3


B. x C


x





2
3
2 3


C. x x C


x
 


2
2
2 3
3


D. x C


x



2
3
3

Lời giải
Chọn D



Ta có 

  

  



2 2


3


1 d 1 d


3 3


x x


x f x x x f x x C


x x


     
 



Câu 70. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 


2
( )
1
x
f x
x





.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 


( ) ( 1) '( )


g xxf x  


A.
2
2
2 1
2 1
x x
C
x
 


B.
2
1
1
x
C
x




C.
2
2
2 1
1
x x
C
x
 


D.
2
1
1
x
C
x




Lời giải
Chọn D
1


uxdudx



(73)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 



Vậy 

g x dx( ) (x1) ( )f x

f x dx( )


2 2


( 1)


( )


1 1


x x x


g x dx dx


x x

  
 


2
2
( 1)


( ) 1


1


x x


g x dx x C



x

    


2 2
2
1
( )
1


x x x


g x dx C


x
  
  


2
1
( ) .
1
x


g x dx C


x





  




 


Câu 71. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho  hàm  số 

 



2
4
x
f x
x



.  Họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

  

1

  



g xxfx  là 


A.
2
4
2 4
x
C


x



B.
2
4
4
x
C
x



C.
2
2
2 4
2 4
x x
C
x
 


D.
2
2
2 4
4

x x
C
x
 




Lời giải 
Chọn B


Ta có: 

 



2 4
x
f x
x

 



2 2
2


. 4 4 .


4


x x x x


f x


x

   

 
  

 



2 2
2
2 2
3
2 2
2
4
4 .
4
4 4
4 4
4


x x x


x x
x x
f x
x x
x
 
 


 

   
 

 


Suy ra: g x

  

x1

  

fxx f. 

 

xf

 

x  


 

.

 

 

.

 

 



g x dxx fxfxdxx fx dxfx dx


 


2

3

 



4
4
x


dx f x dx
x

 

 
Xét: 


2

3

4
4
x
I dx
x


 


Đặt tx2 4 dt2xdx 


Suy ra: 


 



1


3 2


2


1 1 1


3 3 2


2


2 2 4 4


2 2



1 4


2


dt dt t


I t dt C C C


t x
t t


        


 


và: J

f

 

x dxf x

 

C2 


Vậy: 

 



2 2 2


4 4


4 4 4


x x



g x dx C C


x x x


 


    


  




Cách 2: g x

  

x1

  

fx  

 

1

  


g x dx x fx dx


  


Đặt: 


 

 


1


u x du dx


dv f x dx v f x



(74)

Suy ra: 

 

  

 



2 2



1
1


4 4


x x x


g x dx x f x f x dx dx


x x




    


 


 


2



2


2 2


4


4 2 4



d x
x x


x x





 




2


2


2 4


4


x x


x C


x




   



 2


4
4


x


C
x




 






Câu 72. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số  f x

 

 liên tục trên . Biết  cos 2x là một nguyên hàm 


của hàm số  f x

 

ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f

 

x ex là: 
A. sin 2xcos 2xCB. 2 sin 2xcos 2xC


C. 2 sin 2xcos 2xCD. 2 sin 2xcos 2xC
Lời giải


Chọn C


Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số  f x

 

ex 



nên f x

 

ex

cos 2x

  f x

 

ex  2 sin 2x
Khi đó ta có 

f x

 

e dx xcos 2x C . 


Đặt 

 

d

 

d


d e dx ex


u f x u f x x
v x v




   


 




 


 


 


 


.
 


Khi đó 

f x

 

e dx xcos 2x C 

f x

 

d e

 

x cos 2x C


 

 

ex

 

e dx cos 2


f x fx x x C


 

  

f

 

x e dx x 2sin 2xcos 2x C . 
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số  f

 

x ex là  2 sin 2 xcos 2xC


Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

4x

1 ln x

 là:


A. 2x2lnx3x2. B. 2x2lnx x 2.
C.  2x2lnx3x2C. D. 2x2lnx x 2C


Lời giải


Chọn D


Ta có  f x

 

4x

1 ln x

F x

 

4x

1 ln x

dx 
đặt 


 

2

2

2 2 2
2


1
1 ln


2 1 ln 2 2 1 ln 2 ln


4 2



u x du


F x x x xdx x x x C x x x C
x


dv x v x


   




          




 




Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f x

 

xsinx là 


A. F x

 

xcosxsinx C . B. F x

 

xcosxsinx C .


C. F x

 

 xcosxsinx C . D. F x

 

 xcosxsinx C . 



(75)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 



Đặt  du dx .


dv sin dx cos


u x


x v x


 


 




 


  


 


 


Suy ra 

xsin dxx  xcosx

cos dxx  xcosxsinxC


Câu 75. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x( )x e. 2x là : 


A. ( ) 1 2 1


2 2



x


F xex C


 


  B. ( ) 1 2

2



2
x


F xe x C 


C. ( ) 2 2x

2



F xe x C  D. 2 1


( ) 2


2
x


F xex C


 


Lờigiải


Đặt  2



2 1


2
x
x


du dx
u x


v e
dv e






 




 





 


 


2 1 2 1 2



. .


2 2


x x x


x e dx x e e dx


 

 


2 1 2 1 2


. .


2 4


x x x


x e dx x e e C


   1 2 1


2 2


x


exC





   


Câu 76. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

  

 2x1

ex là 


A.

2x3

exCB.

2x3

exC
C.

2x1

exCD.

2x1

exC


Lời giải
Gọi I

2x1

e xxd . 


Đặt  2 1 du 2d


d d


  


 




 


 


xx


u x x


v e x v e



2 1

2 d

2 1

2

2 3



Ixex

e xxxexexCxexC


Câu 77. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số  ( ) 2x


f xxe ?


A. ( ) 1 2 1 .


2 2


x


F xex C


  B.



2


1


( ) 2 .


2
x


F xe x C



C. ( ) 2 2x

2

.


F xe x C D. ( ) 2 2 1 .


2
x


F xex C


 


Lời giải
Ta có F x( ) xe dx2x


 


Đặt  2 1 2


2
x
x


du dx
u x


v e
dv e dx







 




 





 


 


Suy ra  ( ) 1 2 1 2


2 2


x x


F xxe

e dx 1 2 1 2 1 2 1


2 4 2 2


x x x


xe e C exC


   



 



(76)

A.


2


sin cos
2


x


x x x C


   .  B.


2


cos sin


2


x


x x x C


   . 


C.



2


cos sin


2


x


x x x C


   .  D.


2


sin cos


2


x


x x x C


   . 


Lời giải


Ta có: 

f x

 

dx

x

1 sin x

dx

x xd 

x.sin dx x

x xd 

xd cos

x

 





2 2


= cos cos d = cos sin


2 2


x x


x x x x x x x C


 

   . 


Câu 79. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử F x

 

ax2bx c e

x là một nguyên hàm của hàm 


số  f x

 

x e2 x.Tính tích Pabc


A. 4.  B. 1.  C. 5.  D. 3. 


Lời giải


Chọn A 


Ta đặt: 


2 2


x
x


du xdx


u x


v e
dv e dx




  






 





 




2 2


2 .


x x x


x e dx x e xe dx



 

 


Ta đặt: 


x x


u x du dx
dv e dx v e


 


 




 


 


 



2 x 2 x 2 x x 2 2 2 x


x e dx x e xe e dx x x e


  

   . 


Vậy a1,b 2,c 2 Pabc 4. 


Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số  ( )f x 2 (1x ex)



A. 

2


2x1 exxB.

2x1

exx2.  C. 2x2

exx2.  D.

2x2

exx2. 
Lời giải 


Ta có  2 (1 x) 2 2 x


xe dxxdxxe dx




Gọi I2

xlnxdx. Đặt  u xx du dxx


dv e dx v e


   




 







Khi đó I2xex2

e dxx


Vậy 

2 (1xe dxx) 2

xdxxex2

e dxxx2xex2x C  

=

2x2

exx2C


Câu 81. Họ nguyên hàm của  f x

 

xlnx là kết quả nào sau đây? 


A.

 

1 2ln 1 2


2 2


F xx xxCB.

 

1 2ln 1 2


2 4


F xx xxC


C.

 

1 2ln 1 2


2 4


F xx xxCD.

 

1 2ln 1


2 4


F xx xx C . 
Lời giải 


Ta có F x

 

f x dx

 

xlnxdx. Đặt  ln 2


dx
du



u x x


dv xdx x


v







 




 




 



(77)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Theo cơng thức tính ngun hàm từng phần, ta có: 

 

1 2 1 1 2 1 2


ln ln


2 2 2 4



F xx x

xdxx xxC


Câu 82. (Chuyên    Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Tìm  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 


 

2



3 1 .ln


f xxx


A.

 



3
2


1 ln
3


x
f x dxx xx C


B.

 



3
3


ln
3


x


f x dxx x C




C.

 



3
2


1 ln
3


x


f x dxx xx  x C


D.

 



3
3


ln
3


x


f x dxx x  x C





Lời giải 
Chọn C 


Ta có I

3x21 ln

xdx 


Đặt 


2



2 3


1
ln


3 1


3 1


u x du dx


x


dv x dx


v x dx x x




 





 




 


 


 


  




3

ln

3

1

2 1 ln

2 1

2 1 ln

3


3


x


I x x x x x dx x x x x dx x x x x C


x


   

   

      . 


Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Tất  cả  các  nguyên  hàm  của  hàm  số 

 

2



sin
x
f x


x


   trên  khoảng 


0;

 là 


A. xcotxln sin

x

CB. xcotxln s inxC
C. xcotxln sinxCD. xcotxln s in

x

C


Lời giải
Chọn A 


 

 

d s in2 d


x
F x f x x x


x




Đặt 


2


d d



1


cot


d d


s in


u x


u x


v x


v x


x











 



 









Khi đó: 

 

2 d .cot cot d .cot cos d .cot d sin



s in sin sin


x


x x


F x x x x x x x x x x x


x x x


  

  

  

 


.cot ln s in


x x x C


    . Với x

0;

s inx0ln s inx ln s in

x



Vậy F x

 

 xcotxln s in

x

C


Câu 84. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x

cosx



A. x33

xsinxcosx

C B. x33

xsinxcosx

C


C. x33

xsinxcosx

C D. x33

xsinxcosx

C


Lời giải


Chọn A


Ta có: 3

cos

d 3 d2 3 cos d



(78)

 2 3
1


3 d  


x x x C


3 cos dx x x

3 .d sinx

x

3 .sinx x

3sin dx x3 .sinx x3cosxC2


Vậy

3x x

cosx

dxx33

xsinxcosx

C


Câu 85. (Chuyên  Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số  f x

 

x4xex là 


A. 1 5

1 e



5



x


xx CB. 1 5

1 e



5


x


xx C


C. 1 5


e
5


x


xxCD. 4x3

x1 e

xC
Lời giải


Ta có: 

4

4


ex dx dx e dxx


xxxx




+)  4 5



1


1
dx=


5


x xC




+) Đặt  du dx.


dv e dxx ex
u x


v


 


 




 


 


 



 


Suy ra: 

xe dxxxex

e dxxxexexC2 

1 e

x 2


x C


   . 


Vậy 

4

1 5



e dx 1 e


5


x x


xxxx C




Câu 86. Cho hai hàm số F x G x

 

,

 

 xác định và có đạo hàm lần lượt là  f x

 

,g x

 

 trên . Biết rằng 


   

2

2



. ln 1


F x G xx x   và 

   



3
2



2


. .


1


x
F x g x


x




  Họ nguyên hàm của  f x G x

   

.  là 


A.

x21 ln

 

x21

2x2CB.

x21 ln

 

x21

2x2C
C.

x21 ln

 

x21

x2CD.

x21 ln

 

x21

x2C


Lời giải


Chọn C


Ta có 


   

.

   

.

d

 

.G

 

 

.G

 

d


F x G x

F x G xx

F xxF xx x

 

 




F x .G x

dx F x G x

   

.

F x

 

.G

 

x

dx


 

 


3

 



2 2 2 2 2 2


2


2


ln 1 d ln 1 1 ln 1


1
x


x x x x x x x C


x


 


         




 


 


2

 

2

2


1 ln 1


x x x C


     . 


Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số 

 

. 2x


f xx e  là 


A.

 

1 2 1


2 2


x


F xex C


 


B.

 

1 2

2



2
x


F xe x C



C. F x

 

2e2x

x2

CD.

 

2 2 1


2
x


F xex C


  . 


Lời giải.


Đặt  1


du dx
ux  


 





(79)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


 

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1


. .


2 2 4 2 2


x x x x x



F xx ee dxx eeCex C


 




Câu 87. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng? 


A.

xe xxd exxexCB.


2


d
2


  


xe xx x ex ex C


C.

xe xxd xexexC D.


2


d
2


 


xe xx x ex C
Lời giải


Sử dụng cơng thức: 

u vd u v. 

v ud . 


Ta có:

xe xxd 

xd

 

exxex

e xxd xexexC


Câu 88. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x

 

G x

 

 xác đinh và có đạo hàm lần lượt là  f x

 



 



g x   trên .  Biết F x

 

.G

 

x x2ln

x21

  và 


   



3
2


2
1


x
F x g x


x




 .  Tìm  họ  nguyên  hàm  của 


   


f x G x .


A.

x21 ln

 

x21

2x2C. B.

x21 ln

 

x21

2x2C.


C.

x21 ln

 

x21

x2C. D.

x21 ln

 

x21

x2C.


Lời giải
Ta có: 


   

d

 

d

 


f x G x xG x F x


 


   

.

 

d

 


G x F x F x G x


 

G x F x

   

. 

F x

   

g x dx

   

2

2

3


2


2


d ln 1 d


1


x


f x G x x x x x



x


    




2

2

2


2


ln 1 2 d


1


x


x x x x


x


 


 




 







2 2 2 2


2
1


ln 1 d 1


1


x x x x


x


   




2

2

2

2



ln 1 ln 1


x x x x C


     


2

 

2

2



1 ln 1


x x x C


     .


Câu 89. Cho  biết 

 

1 3 2 1


3


F x x x


x


     là  một  nguyên  hàm  của 

 



2
2


2


x a
f x


x




 .  Tìm  nguyên  hàm  của 



 

cos
g xx ax


A. xsinxcosx C   B. 1 sin 2 1cos 2


2x x4 x C  


C. xsinxcosC  D. 1 sin 2 1cos 2


2x x4 x C  


Lởi giải


Chọn C


Ta có 

 



2
2
2


2 2


1
1


2 x


F x x



x x




     . 


Do F x

 

 là một nguyên hàm của 

 



2
2


2


x a
f x


x




  nên a1. 


 

d cos d


g x xx x x



(80)

Đặt  d d


d cos d sin



u x u x


v x x v x


 
 

 
 
 
 


 

d cos d sin sin d sin cos


g x xx x xx xx xx xxC


 


Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số 



2


l 1


2x x n
y


x
x



 


  là 


A.



2
2


1 ln
2
x


x x x


x     CB.



2
2


1 ln
2
x


x x x


x     C


C.




2
2


1 ln
2
x


x x x


x     CD.



2
2


1 ln
2
x


x x x


x     C
Lời giải


Ta có: 



2


1 2


l



2 ln 1 1


n d


d 2 1 d


x x


x x x I
x


x


x x  x I


 


 






1 2 1 ln d


I

xx x. Đặt 


2



ln
d
d
1
1
d
2 d
x


v x x


u
x
u x
x
v x

 

 

 

 
 






2 2 2


1


2
2


1


ln 1d ln 1 d


l
2


n .


I x x x x


x


x x x x x x x


x x x x x C


   

   
   


 

2
2
1


dx ln


I x C


x

  . 



2
1 2
2 2
2 2
1 2
2
d
2
ln 1


ln ln 1 ln .


2
x
x I
x
x
x


x x
I
x


x x x C x C x x x x C



    
 

       


 
Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện 


Câu 91. (Mã 104 2017) Cho 

 

12


2
F x


x


  là một nguyên hàm của hàm số  f x

 



x . Tìm nguyên hàm của 


hàm số f

 

x lnx.


A. f

 

x ln dx x ln2x 12 C



x x


 


  


 


B.

 

ln d ln2 12


2
x


f x x x C


x x


   




C.

 

ln d ln2 12


2


x


f x x x C


x x



 


  


 


D. f

 

x ln dx x ln2x 12 C


x x


   


 


Lời giải


Chọn C


Ta có: 

 

d 12


2


f x
x


xx


. Chọn  f x

 

21



x

 . 


Suy ra  f

 

x ln dx x 23ln dx x


x


 


. Đặt 


3
2
d
ln d
2
1
d d
x


u x u



(81)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Khi đó: 

 



3 2 3 2 2


ln ln 1 ln 1



ln d d d


2


x x x


f x x x x x C


x x x x x


 


      


 


.


Câu 92. (Mã 105 2017) Cho 

 

  13


3


F x


x  là một nguyên hàm của hàm số 


 


f x



x . Tìm nguyên hàm của 


hàm số f x

 

lnx


A.

 

ln d  ln3  15


5


x


f x x x C


x x B.

 

 3  5


ln 1


ln d


5


x


f x x x C


x x


C.

 

ln d  ln3  13


3



x


f x x x C


x x D.

 

 3  3 


ln 1


ln d


3


x


f x x x C


x x  


Lời giải


Chọn C


Ta có 

 

 

 

 

 




 


       



 


3 3


3


1 1


. . .


3


f x


F x f x x F x x x x


x x  


 

 



 


f x  3x 4 f x lnx 3x 4lnx 


Vậy 

f x

 

ln dx x

3x4ln dx x

 3 ln .

x x4dx 


Đặt 






    




3


4 d


ln ; d d ;


3


x x


u x dv x x u v


x  


Nên 

 





   


         




 





4


4 4


3 3 3 3


ln ln ln 1


ln d 3 ln . d 3 d d


3


3 3


x x x x


f x x x x x x x x x C


x x x x  


Câu 93. (Mã 110 2017) Cho F x

  

x1

ex là một nguyên hàm của hàm số  f x e

 

2x. Tìm nguyên hàm 


của hàm số  f

 

x e2x.


A.

f

 

x e2xdx

42x e

xC B.

f

 

x e2xdx

x2

exC


C.

 

2 d 2


2


x x x


x


fe x  eC


D. f

 

x e2xdx

2x e

xC



Lời giải
Chọn D 


Theo đề bài ta có 

 

2



. xd 1 x


f x e xxeC


, suy ra f x e

 

. 2x

x1

exex

x1 .

ex


   


 

x

1 .

x . x

  

1

. x
f x ex ex efx x e


         



Suy ra 

 

2

 



d 1 d 1 d 1 d 2


x x x x x x


K

fx e x

x e x

x eex

e x x eC.
Câu 94. Cho hàm số  f x

 

thỏa mãn f

 

xxexvà  f

 

0 2.Tính  f

 

1 . 


A. f

 

1 3.  B. f

 

1 eC. f

 

1  5 eD. f

 

1  8 2e


Lời giải 
Ta có: 


 

 

. x
f x

fx dx

x e dx 


Đặt 


x x


u x du dx


dv e dx v e


 


 





 


 


 

 



. x x . x x


f x x e e dx x e e C



(82)

Theo đề:  f

 

0 22  1 CC3 


 

. x x 3


f x x e e


     


 

1 3


f


  . 


Câu 95. (Chuyên Đại Học Vinh 2019)  Cho  hàm  số  f x

 

  thỏa  mãn  f x

 

f

 

x e ,x  x   và 

 

0 2


f  . Tất cả các nguyên hàm của  f x

 

e2x là 



A.

x2 e

xexC  B.

x2 e

2xexCC. 

x1 e

xC  D.

x1 e

xC 
Lời giải


Chọn D 


Ta có  f x

 

f

 

x ex f x

 

ex f

 

x ex 1


 



e

1

 

e 1


x x


f xf x x C


     . 


Vì 

 

0 2 1 2

 

e2x

2 e

x


f  C   f xx

 

2


e dx 2 e dx


f x x x x


 . 


Đặt  2 d d


d e dx ex



u x u x


v x v


  


 




 


 


 


 

 

2



e dx 2 e dx


f x x x x


 

x2 e

x

e dx x

2 e

x ex

1 e

x


x C x C


       . 


Câu 96. (Việt Đức  Nội 2019)  Cho  hàm  số  yf x

 

  thỏa  mãn  f '

  

x x1 e ,  

x f

 

0 0  và 

 

d

ex


f x xax b c


 với a b c, ,  là các hằng số. Khi đó: 


A. ab2.  B. ab3.  C. ab1.  D. ab0. 


Lời giải
Theo đề:  f'

  

x x1 e

x. Nguyên hàm 2 vế ta được 


 

  


  



' d 1 e d 1 e e


1 e e e


x x x


x x x


f x x x x f x x dx


f x x C x C


     


      



 


Mà  f

 

0 00.e0C0C0 f x

 

xex

 

d e dx ex e dx ex ex

1 e

x


f x x x x x x x C x C


 

      . 


Suy ra a1;b    1 a b 0. 


Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai -  Tĩnh - 2018) Gọi F x

 

 là một nguyên hàm của hàm số 


 

e x


f xx  . Tính F x

 

 biết F

 

0 1. 


A. F x

 

 

x1 e

x2.  B. F x

  

x1 e

x1. 
C. F x

  

x1 e

x2.  D. F x

 

 

x1 e

x1.


Lời giải 


Đặt  d d


d e dx e x


u x u x


vx v



 


 




 


  


 




Do đó 

xe dx x xex

e dx x xex exCF x C

;


 

0 1


F  e0 C 1 C 2



(83)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Câu 98. (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết 

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C   với ab  là  các  số  hữu tỉ. 


Tính tích ab


A. 1


8


ab .  B. 1


4


ab .  C. 1
8


ab  .  D. 1
4
ab  . 
Lời giải


Đặt 


d d


1


d cos 2 d sin 2


2


u x


u x


v x x v x







 




 


 


 


 


Khi đó  cos 2 d 1 sin 2 1 sin 2 d


2 2


x x xx xx x


1 sin 2 1cos 2


2x x 4 x C


  


 
1


2
a



  ,  1
4
b . 


Vậy  1


8
ab . 


Câu 99. (Chuyên Đh Vinh - 2018)  Giả  sử  F x

 

  là  một  nguyên  hàm  của  f x

 

ln

x2 3



x




   sao  cho 


2

 

1 0


F  F  . Giá trị của F

 

1 F

 

2  bằng 


A. 10ln 2 5ln 5


3 6 .  B. 0 .  C.


7
ln 2


3 .  D.



2 3


ln 2 ln 5
3 6 . 
Lời giải


Tính  ln

x2 3

dx
x






Đặt 




2


d


ln 3 d


3


d 1


d


x



u x u


x
x


v


v


x x




 




 


 




  




 



Ta có 





2


ln 3 1 d


d ln 3


3


x x


x x


x x x x




   




1ln

3

1ln

,



3 3


x



x C F x C


x x


     


 . 


Lại có F

2

F

 

1 0 1ln 2 ln 4 1ln1 0


3 C 3 4 C


   


    


   


7
2 ln 2


3
C


  . 


Suy ra 

 

1

 

2 ln 2 1ln 2 1ln 5 1ln2 2


3 2 3 5



F  F      C 10ln 2 5ln 5


3 6


  . 


Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x

 

 là một nguyên hàm của hàm 


số  f x

 

ln

x1

.  Cho  biết  g

 

2 1  và  g

 

3 alnb  trong  đó  ,a b  là  các  số  nguyên  dương 
phân biệt. Hãy tính giá trị của T 3a2b2 


A. T 8.  B. T  17.  C. T 2.  D. T  13. 


Lời giải 


Đặt 



1


ln 1


1
1


u x du


x


dv dx v x





 


 


 


 


 





  


 


 

ln

1

1 ln

 

1

1

1 ln

 

1



1


x


g x x dx x x dx x x x C


x





          




 



(84)

Suy ra: g

 

3 2 ln 2 3 3  2 ln 2ln 4 a1, b4 3a2b2 13 


Câu 101. (Sở Quảng Nam - 2018)  Biết 

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C   với ab  là  các  số  hữu  tỉ.


Tính tích ab


A. 1


8


ab .  B. 1
4


ab .  C. 1
8


ab  .  D. 1
4
ab  . 
Lời giải


Đặt 



d d


1


d cos 2 d sin 2


2


u x


u x


v x x v x






 




 


 


 


Khi đó  cos 2 d 1 sin 2 1 sin 2 d



2 2


x x xx xx x


1 sin 2 1cos 2


2x x 4 x C


  


1
2
a


  ,  1
4
b . 


Vậy  1



(85)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM


Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)


Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )


Phương pháp:



Dễ dàng thấy rằng ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x


Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( )
Suy ra u x f x( ) ( )

h x x( )d


Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( )


Phương pháp:


Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )exf x( ) exh x( )


Suy ra x ( ) x ( )d


ef x

eh x x


Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( )


Phương pháp:


Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )exf x( ) exh x( )


Suy ra exf x( )

exh x x( )d


Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) p x( )f x( )h x( )


(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)


Phương pháp:


Nhân hai vế với ep x dx( ) ta được


( ) ( ) ( ) ( ) ( )


( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx


f x e p x e f x h x e f x e h x e




       


        


 


Suy ra f x e( ) p x dx( ) 

ep x dx( ) h x x( )d
Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0


Phương pháp:


Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) 0 ( ) ( )


( ) ( )



f x f x


p x p x


f x f x


 


    


Suy ra ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d


( )


f x


x p x x f x p x x


f x




    




Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )


Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0



Phương pháp:


Chia hai vế với [ ( )]f x n ta được ( ) ( )


( ) 0 ( )


[ ( )]n [ ( )]n


f x f x


p x p x


f x f x


 


    


Suy ra


1


( ) [ ( )]


d ( )d ( )d


[ ( )] 1


n


n


f x f x


x p x x p x x


f x n


  


    


 




NGUYÊN HÀM



(86)

Từ dầy ta dễ dàng tính được f x( )


Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

 

2 1
25


 


f

 

4 3

 

2


 


 



f x x f x với mọi





x . Giá trị của f

 

1 bằng


A. 391


400


B. 1


40


C. 41


400


D. 1


10




Lờigiải
ChọnD


Ta có

 

4 3

 

2



 


f x x f x

 



 



3


2 4




   


 


 


f x


x


f x

 



3


1


4





 


 


 


x


f x

 



4


1


  xC
f x


Do

 

2 1


25


 


f , nên ta có C 9. Do đó

 

41
9


 



f x


x

 



1
1


10


f   .


Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số yf x

 

đồng biến và có đạo hàm
liên tục trên  thỏa mãn

f

 

x

2 f x e

 

. , x  x f

 

0 2. Khi đó f

 

2 thuộc khoảng


nào sau đây?


A.

12;13 .

B.

9;10 .

C.

11;12 .

D.

13 14;

.

Lời giải



Chọn B


Vì hàm số yf x

 

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f

 

0 2 nên f

 

x 0
f x

 

0 với mọi x

0;

.


Từ giả thiết

f

 

x

2 f x e

 

. , x  x suy ra

 

 

. 2,

0;

.


x


fxf x e  x 



Do đó,

 



 



2


1


, 0; .
2


2


x


f x


e x


f x


   


Lấy nguyên hàm hai vế, ta được

 

2 ,

0;



x


f xeC  x  với C là hằng số nào đó.


Kết hợp với f

 

0 2, ta được C 2 1 .


Từ đó, tính được f

 

2 

e 2 1

29,81.


Câu 3. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số yf x

 

thỏa mãn

 

2 4
19


f   và


 

3 2

 



fxx f x  x . Giá trị của f

 

1 bằng


A. 2


3


 . B. 1


2


 . C. 1. D. 3


4


 .


Lời giải
Chọn C



Ta có

 

 

 



 



3 2 3


2


f x


f x x f x x


f x




   

 



 

 



4
3


2


1
4


f x x



dx x dx C


f x f x





(87)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


 

2 4


19


f   19 16 3


4 4 C C 4


     . Suy ra

 

44


3


f x
x
 


 .


Vậy f

 

1  1.


Câu 4. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \

1;0

thỏa mãn
điều kiện: f

 

1  2 ln 2 và x x.

1 .

f

 

xf x

 

x2x. Biết f

 

2 a b .ln 3 (a, b).

Giá trị 2

a2b2



A. 27


4 . B. 9 . C.


3


4. D.


9
2.


Lời giải
Chọn B


Chia cả hai vế của biểu thức x x.

1 .

f

 

xf x

 

x2x cho

x1

2 ta có


 



2

 

 



1


. .


1 1 1 1 1


x x x x



f x f x f x


x x x x x




 


   


       .


Vậy .

 

.

 

d d 1 1 d ln 1


1 1 1 1


x x x


f x f x x x x x x C


x x x x




   


     


  

   .



Do f

 

1  2 ln 2 nên ta có 1.

 

1 1 ln 2 ln 2 1 ln 2 1
2 f   C    CC  .


Khi đó f x

 

x 1

x ln x 1 1



x


    .


Vậy ta có

 

2 3

2 ln 3 1

3

1 ln 3

3 3ln 3 3, 3


2 2 2 2 2 2


f        ab  .


Suy ra



2 2


2 2 3 3


2 2 9


2 2


ab        
   


 



 


.


Câu 5. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số yf x

 

thỏa mãn f x

 

0, x 0 và có đạo hàm


 



fx liên tục trên khoảng

0; 

thỏa mãn f

  

x  2x1

f2

 

x , x 0 và

 

1 1
2


f   . Giá
trị của biểu thức f

 

1  f

 

2 ... f

2020

bằng


A. 2020


2021


 . B. 2015


2019


 . C. 2019


2020


 . D. 2016


2021



 .


Lời giải
Chọn A


Ta có:


  

2

 



2 1


fxxf x

 



 



2 2 1


f x
x
f x




  

 



 



2 d 2 1 d



f x


x x x


f x






 



2


1


x x C


f x


     .


 

1 1
2


f   C0

 

2


1


f x



x x




 




1 1


1


x x


 



(88)

 


 


 





1


1 1


2


1 1



2


3 2


1 1


3


4 3


1 1


2020


2021 2020


f


f


f


f




 












 















 

1

 

2 ....

2020

1 1
2021


f f f


       2020



2021


  .


Câu 6. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \

1;0

thỏa mãn f

 

1 2 ln 2 1 ,


1

   

2

  

1



x xfxxf xx x ,  x \

1;0

. Biết f

 

2 a b ln 3, với a, b là hai
số hữu tỉ. Tính Ta2b.


A. 3


16


T  . B. 21


16


T  . C. 3


2


T  . D. T 0.


Lời giải
Chọn A


Ta có x x

1

   

fxx2

  

f xx x

1




 



 



2


1
1


x


f x f x


x x



  


 





 



2 2


2


2



1 1 1


x x


x x


f x f x


x x x





  


  


 



'


2 2


1 1


x x


f x



x x


 




 


 

 



2 2


1 1


x x


f x dx


x x


 


 



2 2


ln 1


1 2



x x


f x x x c


x


     




 



2
2


1


ln 1 .
2


x x


f x x x c


x


 





     


 


Ta có f

 

1 2 ln 2 1  c 1.


Từ đó

 



2
2


1


ln 1 1
2


x x


f x x x


x


 




   


 



,

 

2 3 3ln 3.


4 4


f   Nên


3
4
3
4


a


b







 



.


Vậy 2 3


.
16



Ta   b


Câu 7. (THPT NguyễnTrãi-ĐàNẵng-2018) Cho hs yf x

 

thỏa mãn y xy2


 

1 1


f   thì
giá trị f

 

2 là


A. e2. B. 2e. C. e1. D. e3.


Lờigiải


Ta có

2


y xy y 2


x
y




  2


d d


y


x x x



y



3


ln
3


x


y C


  


3


3


e
x


C


y


  .


Theo giả thiết f

 

1 1 nên


1


3 1


e 1


3
C


C


 



(89)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Vậy

 



3 1


3 3


=e


x


yf x  . Do đó

 

3


2 e



f  .


Câu 8. (SởHàNội Năm2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên

, f x

 

0 với mọi x và thỏa mãn


 

1 1


2


f   , f

  

x  2x1

f2

 

x .Biết f

 

1 f

 

2 ... f

2019

a 1


b


     với




, , , 1


a b a b  .Khẳng định nào sau đây sai?


A. a b 2019. B. ab2019. C. 2ab2022. D. b2020.


Lờigiải


  

2

 



2x 1 f


fx   x

 




 



2 2x 1


f x
f x


   

 



 



2 dx 2 1


f


x dx


f x
x


 



 





 



2 2 1



d f x


x dx


f x




 



2


1


x x C


f x


    

 

1 (Với C là hằng số thực).


Thay x1 vào

 

1 được 2 1
1
2


C


  





0


C


  .Vậy

 

1 1


1


f x


x x


 


 .


1 1 1 1 1 1


(1) (2) ... (2019) ...


2 1 3 2 2020 2019


Tff   f        


     


1
1


2020



   .


Suy ra: 1 2019


2020


a


a b
b





   






(Chọn đáp số sai).


Câu 9. (THPTChuyênLêHồng PhongNamĐịnh2019) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên

0;



thỏa mãn 2xf

 

xf x

 

3x2 x. Biết

 

1 1
2


f  . Tính f

 

4 ?



A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16.


Lờigiải
ChọnD


Trên khoảng

0;

ta có: 2 '

 

 

3 2 '

 

1 3 2
2
2


xf x f x x x x f x x


x


     .


 



'

3

2

 

'

3

2


.

.



2

2



x f x

x

x f x

dx

x dx



.


 

1 3


.



2


x f x x C


   .

 



 

1 1
2


f  nên từ

 

 có:

 

1 3 1 1


1. 1 .1 0


2 2 2


f  C  CC

 



2


2


x x


f x


  .


Vậy

 




2


4 4


4 16


2


f   .


Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x

 

0 với mọi x, f

 

0 1 và


 

1.

 



f xxfx với mọi x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. f x

 

2 B. 2 f x

 

4 C. f x

 

6 D. 4 f x

 

6



(90)

Ta có:

 



 



1
1


f x


f x x








 


 



1


d d


1


f x


x x


f x x




 




ln

f x

 

2 x 1 C


f

 

0 1 nên C  2 f x

 

e2 x 1 2 f

 

3 e26


Câu 11. (Chuyên Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên


2; 4 và

f

 

x 0, x

2; 4

. Biết 4 3

 

 

3 3,

2; 4 ,

 

2 7
4


x f x fxx  x f  . Giá trị của


 

4


f bằng


A. 40 5 1


2




. B. 20 5 1


4




. C. 20 5 1


2




. D. 40 5 1



4




.


Lờigiải


Ta có: f

 

x 0, x

2; 4

nên hàm số yf x

 

đồng biến trên

2; 4

f x

 

f

 

2 mà


 

2 7
4


f  . Do đó: f x

 

0, x

2; 4

.


Từ giả thiết ta có: 4x f x3

 

f

 

x3x3x34f x

 

1f

 

x3


 

 

 



 



3


3


. 4 1


4 1


f x



x f x f x x


f x



    


 .


Suy ra:

 



 



 


 



2


3 3


d 4 1


1


d d


4 2



4 1 4 1


f x


f x x


x x x C


f x f x




 




   


 


 



2
2
3


3


4 1



8 2


x


f x C


      .


 

2 7 3 2 1


4 2 2


f    CC  .


Vậy:

 





3
2


4


1 1


3
4


x
f x



 


 


 


 


 

4 40 5 1


4


f


  .


Câu 12. (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn


 

 

,


f xfxx  x  và f

 

0 1. Tính f

 

1 .


A. 2


e . B.


1


e. C. e. D.



e
2.


Lờigiải


 

 

(1)


f xfxx .


Nhân 2 vế của (1) với ex ta được e .x f x

 

e .x f

 

xx.ex.
Hay e .x f x

 

  x.ex e .x f x

 

x.e dx x.


Xét I

x.e dx x.


Đặt d d


e dx d ex


u x u x


x v v


  





  





.


.e dx .ex e dx .ex ex


I

x xx

xx  C. Suy ra exf x

 

x.exexC.
Theo giả thiết f(0)1 nên C 2

 

.e e 2

 

1 2


e e


x x
x


x


f x   f



(91)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn


 

2 2

 

 



1 1 .


xfx x f x f x


      


    với mọi x dương. Biết f

 

1  f

 

1 1. Giá trị f2

 

2 bằng


A. 2

 



2 2 ln 2 2


f   . B. 2

 



2 2 ln 2 2


f   .


C. f2

 

2 ln 2 1 . D.


 



2


2 ln 2 1


f   .


Lờigiải


Ta có: xf

 

x 2 1 x21 f x f

 

. "

 

x; x0


 

2

 

 



2. ' 1 2 1 . "


x f x x f x f x



      


 

 

 



 

 

 



 

 



2
2
2


2
'


2


1


' 1 . "


1


' . " 1


1


. ' 1



f x f x f x


x


f x f x f x


x
f x f x


x


   


   


  


Do đó: f x f

 

. '

 

x '.dx 1 12 .dx f x f

 

. '

 

x x 1 c1.


x x


 


     


 


 


 





f

 

1  f' 1

 

   1 1 2 c1c1 1.
Nên f x f

 

. '

 

x .dx x 1 1 .dx


x


 


 


 


f x

 

.d

f x

 

x 1 1 .dx


x


 


   


 




 



2 2



2


ln .


2 2


f x x


x x c


     Vì

 

2 2


1 1


1 1 1 1.


2 2


f     cc


Vậy

 

 



2 2


2


ln 1 2 2 ln 2 2


2 2



f x x


x x f


       .


Câu 14. (ChuyênBắcNinh2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2 3


( '( ))f xf x f( ). ''( )xx 2 ,x  x R


f(0) f'(0) 1 . Tính giá trị của Tf2(2)


A. 43


30 B.


16


15 C.


43


15 D.


26
15


Lờigiải


( '( ))f x 2 f x f( ). ''( )x x32x( ( ). '( )) 'f x f x x32x



3 1 4 2


( ). '( ) ( 2 )
4


f x f x x x dx x x C


 

   


Từ f(0) f'(0) 1 . Suy ra C1. Vậy ( ). '( ) 1 4 2 1
4


f x f xxx


Tiếp, có 2 ( ). '( ) 1 4 2 2 2 ( 2( )) ' 1 4 2 2 2


2 2


f x f xxx   f xxx


2 1 4 2 1 5 2 3


( ) ( 2 2) 2


2 10 3


f x x x dx x x x C


 

     


Từ f(0) 1 . Suy ra C 1. Vậy 2( ) 1 5 2 3 2 1
10 3


f xxxx .


Do đó 43


15



(92)

Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục và có đạo hàm trên 0;
2




 


 


 


, thỏa mãn


 

tan .

 

3


cos


x


f x x f x



x


  . Biết rằng 3 3 ln 3


3 6


f  f a b


   


trong đó a b, . Giá
trị của biểu thức Pa b bằng


A. 14


9 B.


2
9


C. 7


9 D.


4
9




Lờigiải


ChọnD


 

tan .

 

3


cos


x


f x x f x


x


  cos .

 

sin .

 

2


cos


x


x f x x f x


x


   .


 

2



sin .


cos


x
x f x


x


  .


Do đó sin .

 

d 2 d


cos


x


x f x x x


x


 


 


sin .

 

cos2 d


x



x f x x


x


 



Tính 2 d


cos


x


I x


x


.


Đặt


2


d d


d


tan
d



cos


u x


u x


x


v x


v


x











 










. Khi đó




2


d cos


d tan tan d tan d tan ln cos


cos cos


x
x


I x x x x x x x x x x x


x x


 

 

  .


Suy ra

 

. tan ln cos ln cos


sin cos sin


x x x x x


f x



x x x




   .


2 2 ln 2 3 3


3 ln 3 3 3 2 ln


3 6 3 3 9 2


a bf  f        


      


5 3


ln 3
9




  . Suy ra


5
9
1



a
b






  


.


Vậy 4


9


P   a b .


Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số yf x

 

đồng biến trên

0;

;


 



yf x liên tục, nhận giá trị dương trên

0;

và thỏa mãn

 

3 4
9


f  và


 

2

  



' 1 .



f xxf x


 


  . Tính f

 

8 .



(93)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lờigiải


ChọnA


Ta có với  x

0;

thì yf x

 

0; x 1 0.


Hàm số yf x

 

đồng biến trên

0;

nên f

 

x 0, x

0;

.


Do đó f

 

x 2 

x1

  

f xf

 

x

x1

  

f x

 



 

1



f x


x
f x




   .


Suy ra

 




 

d

1 d



f x


x x x


f x


 


 

1

1

3


3


f x x C


    .


 

3 4
9


f  nên 2 8 2


3 3


C     .


Suy ra

 




2
3


1


1 2


3


f x  x  


  , suy ra f

 

8 49.


Câu 17. Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

1 2 và

x21

2 f

 

x f x

 

2

x21



  với mọi x. Giá


trị của f

 

2 bằng


A. 2


5 B.


2
5


C. 5


2



D. 5


2


Lờigiải
ChọnD


Từ giả thiết ta có:

 

 





2
2


2
2


1


. 0


1


x


f x f x


x





 




với mọi x

1; 2

.


Do đó f x

 

f

 

1  1 0 với mọi x

 

1; 2 .
Xét với mọi x

 

1; 2 ta có:


 

 

 



 



 



 



2 2


2


2 2


2 2


2


2 2



2 1 1


1


1 1


1 f x x f x d x d


f x f x


x


f x


x


x
x


x x


f x


 


 


   



   




.


 


 



2
2
2


1
1


d d


1


f x x


x x


x
x


x
f








 




 


 


 



 



2 2


1
d
d


1


x


f x x


x


x


x
f x


 




 






 




 


 




 



1 1


1 C



f x x


x


    




.


f

 

1    1 1 1 CC0. Vậy

 



2


1


x
f x


x


 

2 5


2


f


  .



Câu 18. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên
khoảng

0; 

, biết f

  

x 2x1

f2

 

x 0,


 

0, 0


f x   x

 

2 1
6


f  . Tính giá trị của


 

1

 

2 ...

2019



Pff   f .


A. 2021


2020. B.


2020


2019. C.


2019


2020. D.


2018
2019.




(94)

TH1: f x

 

0 f

 

x 0 trái giả thiết.


TH2: f x

 

0  f

 

x  

2x1 .

f2

 

x

 



 



2 2 1


f x


x
f x




    .

 



 



2 d 2 1 d


f x


x x x


f x




 




 



2


1


x x C


f x


     .


Ta có:

 

2 1
6


f  C0

 

2


1 1 1


1


f x


x x x x


   


  .



1 1 1 1 1 2019


...


1 2 2 3 2020 2020


P


        .


Câu 19. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn

2;1

thỏa mãn f

 

0 3 và


 



2

 

2


. 3 4 2


f x fxxx . Giá trị lớn nhất của hàm số yf x

 

trên đoạn

2;1



A. 3


2 42 . B. 2 153 . C. 3


42 . D. 315.


Lờigiải


Ta có:

f x

 

2.f

 

x 3x24x2 (*)


Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được


 



2

 

2

 

2

 

3 2


. 3 4 2 2 2


f x fx dxxxdxf x d f xxxx C




 





 



 



3


3


3 2 2 2 3 3 2 2 2 1


3


f x



x x x C f x x x x C


         


Theo đề bài f

 

0 3 nên từ (1) ta có

f

 

0

33 0

32.022.0C

273CC9


 



3

3 2

3 2



3


3 2 2 9 ( ) 3 2 2 9 .


f x x x x f x x x x


         


Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số yf x

 

trên đoạn

2;1 .



CÁCH1:


x32x22x 9 x2

x2

2

x2

 5 0,  x

2;1

nên f x

 

có đạo hàm trên

2;1



 





2 2



2 2


3 2 3 2


3 3


3 3 4 2 3 4 2


0,


3 3 2 2 9 3 2 2 9


x x x x


f x


x x x x x x


 


   


         


   


2;1 .



x


  


Hàm số yf x

 

đồng biến trên



 

 

 



3
2;1


2;1 maxf x f 1 42.




   


Vậy


 

 

 



3
2;1


max f x f 1 42


   .


CÁCH2:


 

2




3
3


3


3 3 2 2 2 .


3


223


3 2 2 9


9
3


x x x x


f x    x 


   


    


Vì các hàm số


3


22



2 2


3 , 2


9
3


3 3


y x  y x 



(95)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


3


33 2 223


3 9


2 2


3


y x   x 


   


cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số yf x

 

đồng biến
trên

2;1 .




Vậy


 

 

 



3


2;1ax 1 4


m f x f 2


   .


Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4 và


3 2


( ) ( ) 2 3


f xxf x  xx với mọi x0. Giá trị của f(2) bằng


A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 .


Lờigiải


3 2


3 2


2 2



1. ( ) . ( ) 2 3 ( )


( ) ( ) 2 3 f x x f x x x f x 2 3


f x xf x x x x


x x x





    




        


 


Suy ra, f x( )


x là một nguyên hàm của hàm số g

 

x 2x3.


Ta có

2x3

dxx23x C , C.
Do đó, f x( ) x2 3x C1,


x    (1) với C1 nào đó.


f(1)4 theo giả thiết, nên thay x1 vào hai vế của (1) ta thu được C10, từ đó



3 2


( ) 3


f xxx . Vậy f(2)20.


Câu 21. (SởBắc Ninh 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f

 

0 2 2,


 

0,


f x  x  và f x f

 

. 

  

x  2x1

1 f2

 

x ,  x . Khi đó giá trị f

 

1 bằng


A. 26 . B. 24. C. 15 . D. 23 .


Lờigiải


Ta có f x f

 

.

  

x 2x1

1 f2

 

x

 

 



 



2


.


2 1


1





  




f x f x
x
f x


.


Suy ra

 

 



 



2


.


d 2 1 d


1




 




f x f x x

x x



f x


 





 



2
2


d 1


2 1 d


2 1




  




f x

x x


f x

 



2 2


1



  f xx  x C.


Theo giả thiết f

 

0 2 2, suy ra 1

2 2

2 CC3.


Với C3 thì 2

 

2

 

2

2


1 f xx   x 3 f xx  x 3 1. Vậy f

 

1  24.


Câu 22. (CầnThơ 2018) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

x2 f x f

 

. 

 

x 2x2x1,  x  và


 

0

 

0 3


ff  . Giá trị của f

 

1 2 bằng


A. 28 . B. 22. C. 19


2 . D. 10 .


Lờigiải


Ta có f x f

   

x  f

 

x 2 f x f

 



 

x .



(96)

Suy ra

   



2
3


2



3 2


x


f x fxx   x C. Hơn nữa f

 

0  f

 

0 3 suy ra C9.


Tương tự vì f2

 

x   2f x f

   

x nên

 



2


2 2 2 3 9


3 2


x


f x   x x


     


 


 


. Suy ra


 



2 3



2 2 2 3 9 d 1 4 2 18


3 2 3 3


x x


f xx   x xx  xx C


 


, cũng vì f

 

0 3 suy ra


 



3


2 1 4 2


18 9


3 3


x


f xx  xx . Do đó f

 

1 2 28.


Câu 23. (Chuyên Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên  thỏa mãn


x2

   

f x x1

  

f x ex

 

0 1
2


f  . Tính f

 

2 .


A.

 

2 e
3


f  . B.

 

2 e


6


f  . C.

 



2


e
2


3


f  . D.

 



2


e
2


6


f  .



Lờigiải


Ta có


x2

   

f x x1

  

f x ex


x 1

  

f x f x

  

x 1

  

f x ex


     


x 1

  

f x

x 1

  

f x  ex


      ex

x1

  

f x ex

x1

  

f x e2x


  

2


ex x 1 f x  e x


 


 

ex

x1

  

f xdx

e d2x x

  

1 2


e 1 e


2


x x


x f x C



   


 

0 1
2


f  C0. Vậy

 

1. e
2 1


x


f x


x




Khi đó

 



2


e
2


6


f  .


Câu 24. (LiênTrường-NghệAn-2018) Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \ 0;

1

thỏa mãn điều
kiện f

 

1  2 ln 2 và x x

1 .

f

 

x f x

 

x2x. Giá trị


 

2 ln 3


fa b , vớia b, . Tính


2 2


ab .


A. 25


4 . B.


9


2. C.


5


2. D.


13
4 .


Lờigiải


Từ giả thiết, ta có x x

1 .

f

 

x f x

 

x2x

 



2

 




1
.


1 1 1


x x


f x f x


x x x


  




 



.


1 1


x x


f x


x x




 





 


  , với  x \ 0; 1

.


Suy ra .

 


1


x
f x


x 1d


x
x
x




hay .

 



1


x
f x


x xln x 1 C.



Mặt khác, ta có f

 

1  2 ln 2 nên C 1. Do đó .

 


1


x
f x


x xln x 1 1.


Với x2 thì 2.

 

2 1 ln 3


3 f   

 



3 3
2 ln 3


2 2


f   . Suy ra 3


2


a và 3


2



(97)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Vậy 2 2 9



2


ab  .


Câu 25. (THPTLê Xoay -2018) Giả sử hàm số yf x

 

liên tục, nhận giá trị dương trên

0;


thỏa mãn f

 

1 1, f x

 

f

 

x . 3x1, với mọi x0. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. 2 f

 

5 3. B. 1 f

 

5 2. C. 4 f

 

5 5. D. 3 f

 

5 4.
Lờigiải


Ta có


 

 

. 3 1


f xfx x

 



 



1


3 1


f x


f x x




 





 


 



1


d d


3 1


f x


x x


f x x




 






 





 




d 1


d
3 1


f x


x


f x x


 




ln

 

2 3 1


3


f x x C


   

 



2
3 1


3 x C


f x e  



 


f

 

1 1 nên


4


3 C 1


e   4


3


C


   . Suy ra

 



4
3


5 3, 794


fe  .


Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x

 

0 thỏa mãn điều kiện


  

2 3

2

 



fxxf x

 

0 1



2


f   . Biết rằng tổng


 

1

 

2

 

3 ...

2017

2018

a


f f f f f


b


      với

a,b*

a


b là phân số tối giản.


Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. a 1


b  . B. 1


a


b  . C. ab1010. D. ba3029.
Lờigiải


Ta có

  

2

 



2 3


fxxf x

 




 



2 2 3


f x


x


f x




  


 



 

d

2 3 d



f x


x x x


f x






 




2


1


3


x x C


f x


     .


 

0 1 2


2


f   C .


Vậy

 







1 1 1


1 2 2 1


f x


x x x x



   


    .


Do đó

 

1

 

2

 

3 ...

2017

2018

1 1 1009
2020 2 2020


fff   ff     .


Vậy a 1009; b2020. Do đó ba3029.


Câu 27. (THPT Nam Trực - Nam Định- 2018) Cho hàm số f x

 

0,

 

 



4 2


2
2


3x x 1


f x f x


x


 


  và


 

1 1


3


f   . Tính f

 

1  f

 

2 ... f

 

80 .


A. 3240


6481


 . B. 6480


6481. C.
6480
6481


 . D. 3240


6481.


Lờigiải


 

 



4 2


2
2


3x x 1



f x f x


x


 


  

 



 



4 2


2 2


3 1


f x x x


f x x





(98)

 


 



4 2


2 2


3 1







f x dx

x x dx


f x x


 





 



4 2


2 2


3  1




d f x

x x dx


f x x .


 



 




2


2 2


1
3 1


 


 


 


d f x

x dx


f x x

 



3


1 1


x x C


f x x




    

 




3


1
1


f x C


x x


x




 


 


.


Do

 

1 1
3


f   C0

 

4 2


1
x
f x


x x





 


  = 2 2


1 1 1


2 x x 1 x x 1


 




   


 .


 

1 1 1 1
2 3 1
f    


 


;

 

2 1 1 1
2 7 3
f    


 



;

 

3 1 1 1
2 13 7
f    


 


;.;

 

80 1 1 1


2 6481 6321
f    


 


.


 

1

 

2 ...

 

80


ff   f  1 1 1


2 2 6481.


  = 3240


6481


 .


Câu 28. (SởHàTĩnh -2018) Cho hàm số f x

 

đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn

0; 2 và


thỏa mãn f x

 

2 f x f

 

. 

 

xf

 

x 2 0. Biết f

 

0 1, f

 

2 e6. Khi đó f

 

1 bằng



A.


3
2


e . B. e3. C.


5
2


e . D. e2.


Lờigiải


Theo đề bài, ta có

 

 

 

 

 

 

 



 



2


2 2


2


.


. 0 f x f x f x 1


f x f x f x f x



f x


    


 


    


   


   


 


 


 


 



 



 

 



2


1 ln .


2


f x f x x



x C f x C x D


f x f x




   


       


 


 



 

6


0 1 2


0


2 e


f C


D
f











 




 





. Suy ra :

 

 



2 5


2


2 2


e 1 e


x
x


f x    f  .



Câu 29. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên  thỏa mãn f

 

x 2 .x f x

 

ex2,  x  và f

 

0 0.
Tính f

 

1 .


A. f

 

1 e2. B.

 

1 1
e


f   . C.

 

1 12
e


f  . D.

 

1 1


e


f  .


Lờigiải
ChọnD


Ta có


 

2 .

 

e x2


fxx f x   ex2 f

 

x 2 .e .x x2 f x

 

 1

e .x2 f x

 

1.


Suy ra

e .2

 

d d e .2

 

 

2


e


x x



x
x C
f xxxf xx C  f x  


.


f

 

0 0C0.


Do đó

 

2


ex


x


f x  . Vậy

 

1 1
e


f  .



(99)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. 2

 

2 313


15


f  . B. 2

 

2 332


15


f  . C. 2

 

2 324



15


f  . D. 2

 

2 323


15


f  .


Lời giải
Chọn B


Ta có

   

4 2



' . d d


f x f x xxx xC


 



2 5 3


2 5 3


f x x x


C


    .


Do f

 

0 2 nên suy ra C2.

Vậy 2

 

2 2 32 8 2


5 3


f     


 


332
15


 .


Câu 31. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x

 

f

 

x e ,x  x  và


 

0 2


f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

 

e2x


A.

2 e

x ex


x  C. B.

2 e

2x ex


x  C.


C.

x1 e

xC. D.

x1 e

xC.


Lời giải
Chọn D



 

 

e x

 

ex

 

ex 1

 

ex

1

 

ex


f xfx    f xfx   f x    f xx C .
f

 

0 2 nên C 2. Do đó

 

e2x

2 e

x


f xx . Vậy:


 

e d2x

2 e d

x

2 d e

 

x

2 e

x e dx

2

 

2 e

x e dx


f x xxxx  x  x  x  x




2 e

x ex

1 e

x


x C x C


       .


Câu 32. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên

0; 

thỏa mãn 2xf

 

xf x

 

2x  x

0 ; 

,


 

1 1


f  . Giá trị của biểu thức f

 

4 là:


A. 25


6 . B.


25



3 . C.


17


6 . D.


17
3 .


Lời giải
Chọn C


Xét phương trình 2xf

 

xf x

 

2x

 

1 trên

0; 

:

 

1

 

1

 

1
2


f x f x


x


   

 

2 .


Đặt

 

1


2


g x
x



 , ta tìm một nguyên hàm G x

 

của g x

 

.


Ta có

 

d 1 d 1ln ln


2 2


g x x x x C x C


x


    


. Ta chọn G x

 

ln x.


Nhân cả 2 vế của

 

2 cho eG x   x, ta được:

 

1

 


2


x f x f x x


x




   


 



x f x.

x


 

 

3 .


Lấy tích phân 2 vế của

 

3 từ 1 đến 4, ta được:

 



4 4


1 1


. d d


x f xxx x




 



 

 

 



4
4


3
1


1


2 14 1 14 17


. 2 4 1 4 1


3 3 2 3 6



x f xxf f f  


      


   



(100)

Vậy

 

4 17
6


f  .


Câu 33. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn
điều kiện x6f

 

x 327f x

 

140 , x


     và f

 

1 0. Giá trị của f

 

2 bằng


A. 1. B. 1. C. 7 . D. 7.


Lời giải
Chọn D


Ta có

 

 

 



 



 

 



3 4



6


2 2


3 3


1 1 1


27 1 0 .


3 1 1 1


f x


x f x f x


x x


f x f x f x




 




        


   



   


 


  


Do đó


 

2


3


1 1 1


d d .


1 x x x x C


f x




 


     


  


 



Suy ra


 



3


1 1


1 x C
f x


  


 .


f

 

1  0 C0. Do đó f x

 

 1 x3.
Khi đó f

 

2  7.


Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn:

f

 

x

2 f x f

 

. 

 

x 15x412x,


x


  và


 

0

 

0 1


ff  . Giá trị của f2

 

1 bằng


A. 5



2. B. 8. C. 10. D. 4.


Lời giải
Chọn B


Theo giả thiết,  x :

 

2

 

 

4


. 15 12


fxf x f xxx


 

 

 

 

4


. . 15 12


fx fx f x f x x x


   


 

 

4


. 15 12


f x fxx x


  


 

 

4

5 2


. 15 12 d 3 6



f x fx x x x x x C


 

   

 

1 .


Thay x0 vào

 

1 , ta được: f

 

0 .f

 

0 CC1.
Khi đó,

 

1 trở thành: f x f

 

. 

 

x 3x56x21


 

 

 



1 1


1 1


5 2 2 6 3


0 0 0 0


1 1


. d 3 6 1 d 2


2 2


f x fx x x x xf x   x x x


      


   





 

 

 

 



2 2 2 2


1 7


1 0 1 1 7 1 8


2f f  2 f f


      .



(101)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 35. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên

1; 

và thỏa mãn


 

 



3

 



2 .ln


xfxf x xxf x ,  x

1; 

; biết f

 

3e 3e. Giá trị f

 

2 thuộc khoảng


nào dưới đây?


A. 12;25
2



 


 


 . B.


27
13;


2


 


 


 . C.


23
;12
2


 


 


 . D.


29
14;



2


 


 


 .
Lời giải


Chọn C


Xét phương trình

xf

 

x 2f x

 

.lnxx3 f x

 

 

1 trên khoảng

1; 

:


 

  

  

 

 



2


3 1 2 ln


1 ln . 1 2 ln .


ln ln


x x


x x f x x f x x f x f x


x x x





 


       

 

2 .


Đặt

 

1 2 ln
ln


x
g x


x x




 . Ta tìm một nguyên hàm G x

 

của g x

 

.


Ta có

 

d 1 2 ln d 1 2 ln d ln

1 2 d ln



ln ln ln


x x


g x x x x x


x x x x


   


  



 




2


ln
ln lnx 2 lnx C ln x C


x
 


   


  .


Ta chọn G x

 

ln ln2x


x
 

 .


Nhân cả 2 vế của

 

2 cho eG x  ln2x


x


 , ta được: ln2x f

 

x 1 2 ln3 x f x

 

1



x x





   


 

 



2 2


ln ln


1


x x


f x f x x C


x x




 


    


 

 

3 .


Theo giả thiết, f

 

3e 3e nên thay x 3e vào

 

3 , ta được:

 



 


3


3 3 3


3 2 3 2


ln e 1


. e e 3e e 0


e 3 e


f  CC    .


Từ đây, ta tìm được

 

 



3 23


2


ln ln 2


x


f x f


x



   .Vậy

 

2 23;12


2


f  


 .


Câu 36. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên thỏa mãn


 

 


 



3 2 1


2


2
3f x .ef x x x 0


f x


 


   với  x . Biết f

 

0 1, tính tích phân

 



7



0


. d


x f x x


.


A. 11


2 . B.


15


4 . C.


45


8 . D.


9
2.


Lời giải
Chọn C


Ta có

 

 


 




3 2 1


2


2
3f x .ef x x x 0


f x


 


    3f2

 

x f.

 

x .ef3 x 2 .ex x21


 

 

3  2


2 1


3f x f.  x .ef xdx 2 .ex x dx


ef3 xd

f3

 

x

ex21d

x21

 


3 2


1


ef x exC


   .


Mặt khác, vì f

 

0 1 nên C0.


Do đó ef3 x ex21 f3

 

xx21

 

3 2


1


f x x



(102)

Vậy

 



7


0


. d


x f x x




7
3 2
0


. 1 d


x x x




7



3 2 2


0


1


1 d 1


2 x x


 



7
3


2 2


0


3


1 1


8 x x


 


  



 


45
8


 .


Câu 37. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số yf x

 

liên tục và không âm trên  thỏa mãn


 

.

 

2 2

 

1


f x fxx f x  và f

 

0 0. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số yf x

 

trên đoạn

1;3

. Biết rằng giá trị của biểu thức P2Mm có dạng




11 3 , , ,


abc a b c . Tính a b c 


A. a b c  7. B. a b c  4. C. a b c  6. D. a b c  5.


Lời giải
Chọn A


Ta có:

 

 

 

 

 



 



 

 



 



2


2 2


. .


. 2 1 2 2


1 1


f x f x f x f x


f x f x x f x x dx xdx


f x f x


 


      




 



2 1 2


f x x C



    .


f

 

0 0C 1 f2

 

x  1 x2 1 f2

 

x

x21

2 1 x42x2


 

4 2


2


f x x x


   (do f x

 

0, x  ).


Ta có:

 



 

 

 

 

 

 



3


4 2 1;3 1;3


2 2


0 , 1;3 max 3 3 11; min 1 3


2


x x


f x x f x f f x f



x x




         




.
Ta có: P2Mm6 11 3a6;b1;c0a  b c 7.


Câu 38. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên \

1; 0

thỏa mãn f

 

1 2 ln 2 1 ,


1

   

2

  

1



x xfxxf xx x ,  x \

1; 0

. Biết f

 

2  a bln 3, với

a b

,

là hai số
hữu tỉ. Tính Ta2b.


A. 21


16


T  . B. 3


2


T  . C. T 0. D. 3


16



T   .


Lời giải
Chọn D


Ta có: x x

1

   

fxx2

  

f xx x

1

,  x \

1; 0

.


 

 



2 2 2


2


2


1 1 1


x x x x


f x f x


x x x





  


   ,  x \

1; 0

.



 



2 2


1 1


x x


f x


x x




 




 


 


,  x \

1; 0

.


 



2 2


d



1 1


x x


x f x C


x x


  


 


,  x \

1; 0

.


 



2


1


1 d


1 1


x


x x f x C


x x



 




   


 


 


,  x \

1; 0

.


 



2 2


ln 1


2 1


x x


x x C f x C


x


 


      



 .


 



2 2


ln 1


x x


x x C f x



(103)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Ta có: f

 

1 2 ln 2 1 và f

 

1   1 2 ln 2 2 CC1.


 



2 2


ln 1 1


2 1


x x


x x f x


x



     


 .


 

2 3 3.ln 3
4 4


f


   và

 

2 ln 3 3, 3 2 9 3 3


4 4 16 4 16


f  a b  a b Ta  b   .


Câu 39. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên

0; 

thỏa mãn

 

2

 

2

 



3 .x f xx f.  x 2f x , với


 

0,

0;



f x   x   và

 

1 1
3


f  . Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số yf x

 

trên đoạn

1; 2

. Tính Mm.


A. 9


10. B.



21


10. C.


5


3. D.


7
3.


Lời giải
Chọn C


Ta có: 3 .x f x

 

x f2. 

 

x 2f2

 

x 3 .x f x2

 

x f3. 

 

x 2 .x f2

 

x


 

 



 



2 3


2


3 . .


2


x f x x f x



x


f x





  vì f x

 

0, x

0; 

.


 

 



3 3


2


2 2 d


x x


x x x x C


f x f x




 


     



 



.


 

 



3
2


1


1 2


3 2


x


f C f x


x


    


 .


Ta có:

 

 





3 4 2



2


2 2


6


0, 0;


2 2


x x x


f x f x x


x x





       


.


Vậy, hàm số

 



3
2


2



x
f x


x


 đồng biến trên khoảng

0; 

.


1; 2

0; 

nên hàm số

 



3
2


2


x
f x


x


 đồng biến trên đoạn

1; 2

.


Suy ra,

 

2 4;

 

1 1 5


3 3 3


Mfmf  Mm .



Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm


Câu 1. (ChuyênThái Nguyên2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

ex2

x3 4x

.


Hàm số

2





F x x có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 6. B. 5. C. 3. D. 4 .


Lờigiải



(104)

 



2


2 2


2 2 2 2 2


.  2x 1  4




F xxf xx xx   xx ex x xx


 

 






2
2


2 2


2x 1 1  2 2


  x xex x xxxx


 





 


2
2


2 1


2x 1 1 2 1 2 0 2; 1; ; 0;1


2


   


           


 


x x


x x x x x x e x



2

0


  


F x x có 5 nghiệm đơn nên F x

2 x

có 5 điểm cực trị.


Câu 2. (THCS-THPTNguyễnKhuyến2019) Cho

 



2
4


1 cos sin cot
sin


x x x


F x dx


x


 


S là tổng


tất cả các nghiệm của phương trình

 


2


F xF 


 



trên khoảng

0; 4

. Tổng S thuộc khoảng


A.

6 ;9

 

. B.

2 ; 4

 

. C.

4 ;6

 

. D.

0; 2

.


Lờigiải
Chọn


Ta có:

 



2 2 2


4 4 4


1 cos sin cot 1 cos sin 1 cos cot


sin sin sin


x x x x x x x


F x dx dx dx


x x x


   




Gọi




2
4


1 cos cot
sin


x x


A dx


x




2
4


1 cos sin
sin


x x


B dx


x



Ta có:







2 2


3


4 2


2 4


1


1 cos cot 1 2 cot cot


cot 2 cot . cot


sin sin


cot cot


.


2 2


x x x x


A dx dx x x d x



x x


x x


C


 


    


 


 


 








2 2


2


4 2


1 cos sin 1 cos sin



sin 1 cos


x x x x


B dx dx


x x


 


 






Đặt tcosx, suy ra dt sin .x dx. Khi đó:


 



2 2


2


2 2 2 2 2


2


2



1 1 1 1 1 1 1 1


2 2 1 1


1 . 1 1 1


1


1 1 1


2 cos 1 cos 1


t t


B dt dt dt C


t t


t t t t


t


C


x x


 


   



         


 


 


     




 




 


 




Do đó:


 



2 4


1 1 1 cot cot


2 cos 1 cos 1 2 2



x x


F x A B C


x x


 


 


  


 


   


Suy ra:


 



2 4


1 1 1 cot cot


2 2 cos 1 cos 1 2 2


x x


F x F C C



x x


 


   


 


 


     


2 4


1 1


cot cot 0


cosx 1 cosx 1 x x


    


 


2 4


2 2 4


2 cos cos cos


0
sin sin sin


x x x


x x x



(105)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


 





3


2 2 3


2


2


cos 0 cos 0


* cos


2 1 cos cos 1 cos cos 0


2 cos 0


sin



cos 0
cos 0


1 17
2 cos cos 2 0 cos


4


x x


x


x x x x


x


x


x
x


x x x









 


    


   















    







Theo giả thiết x

0; 4

nên ; 3 ; 2 ; 3 2


2 2 2 2


x x  x   x   ;



; 2


x

x

;


; 2


x

x

.


Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9

.


Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số


 

2


2cos 1
sin


x
f x


x


 trên khoảng

0;

. Biết rằng giá trị lớn nhất của F x

 

trên khoảng

0;



3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.


A. 3 3 4


6



F  


  B.


2 3


3 2


F  


  C. F 3 3




 


 


 


  D.


5


3 3


6


F  



 


Lờigiải


Ta có:


 

2 2 2


2cos 1 cos 1


d d 2 d d


sin sin sin


x x


f x x x x x


x x x




  






2 2



d sin 1 2


2 d cot


sin sin sin


x


x x C


x x x


   


Do F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

2cos2 1


sin


x
f x


x


 trên khoảng

0;

nên hàm số


 



F x có cơng thức dạng

 

2 cot


sin


F x x C


x


    với mọi x

0;

.


Xét hàm số

 

2 cot


sin


F x x C


x


    xác định và liên tục trên

0;

.


 

 

2


2cos 1
'


sin


x


F x f x



x


 


Xét '

 

0 2cos2 1 0 cos 1 2



sin 2 3


x


F x x x k k


x






          .


Trên khoảng

0;

, phương trình F x'

 

0 có một nghiệm


3


x




(106)

0; 

 



max 3



3


F x F C






 


  


 


Theo đề bài ta có,

3

C

3

C

2 3

.


Do đó,

 

2 cot 2 3


sin


F x x


x


    .


Câu 4. Biết F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

xcosx2 sinx
x





 . Hỏi đồ thị của hàm số yF x

 


bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng

0; 4

?


A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0.


Lời giải
Chọn C


Ta có F x'

 

f x

 

xcosx2 sinx
x




  trên

0; 4

.


 

 

cos 2 sin


' x x x 0 cos sin 0


F x f x x x x


x




      trên

0; 4

.


Đặt g x

 

xcosxsinx trên

0; 4

.


Ta có '

 

.sin 0 2


3


x


g x x x x


x





 



    


 


trên

0; 4

.


Từ đó có bảng biến thiên của g x

 

:


g x

 

liên tục và đồng biến trên

 

; 2

g

   

.g 2

0 nên tồn tại duy nhất x1

 

; 2



sao cho g x

 

1 0.


Tương tự ta có g x

 

2 0, g x

 

3 0 với x2

2 ;3

 

, x3

3 ; 4

 

.


Từ bảng biến thiên của g x

 

ta thấy g x

 

0 khi x

0;x1

x

x x2; 3

; g x

 

0 khi


1; 2



xx xx

x3; 4

. Dấu của f x

 

là dấu của g x

 

trên

0; 4

.
Do đó ta có bảng biến thiên của F x

 

:


0


0 0


0




-3π




+


-+


- 0 0



0


x3
x2


x1


π
0



(107)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Vậy hàm số yF x

 

có ba cực trị.


Câu 5. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

x cos2 x
x


 . Hỏi đồ


thị của hàm số yF x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 1. B. 2. C. vơ số điểm. D. 0.


Lời giải
Chọn A


F x

 

  f x

 

nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f x

 

để tìm cực trị hàm số đã cho.
Ta xét hàm số g x

 

xcosx, ta có g x

 

 1 sinx 0 x.



Vì vậy g x

 

là hàm số đồng biến trên toàn trục số.


Hơn nữa ta có


0


2 2


0


2 2


g


g


 


 


  


 


 




  





 


 


 


  




, do đó g x

 

0 có duy nhất nghiệm ;
2 2


 
 


 .


Ta có bảng xét dấu


Kết luận hàm số đã cho có một cực trị.


Câu 6. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số

y

f x

 

. Đồ thị của hàm số


 



'




y

f

x

trên

5;3

như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol


2


y ax

bx c

).


+ +


-


-CT


CT
F(x)


f(x) 0 0



0


x x1 x2 x3



(108)

Biết

f

 

0

0

, giá trị của

2

f

 

5

3

f

 

2

bằng


A. 33. B. 109


3 . C.


35



3 . D. 11.


Lời giải
Chon C


*)Parabol

y ax

2

bx c

qua các điểm

2;3 , 1;4 , 0;3 ,

 

 

 

1;0 , 3;0

 

nên xác định được


2


2

3,

1



y

  

x

x

   

x

suy ra

 



3
2


1


3


3



x



f x

 

x

x C

. Mà


 

 



3
2


1


0

0

0,

3



3



x



f

 

C

f x

 

x

x

.


1

5


3


f    ;

 

2 22
3


f  (1)


*)Đồ thị

f x

'

 

trên đoạn

 

4; 1

qua các điểm

4;2 ,

 

1;0

nên


 

 



2


2


2 2


' 1



3 3 2


x


f x   x  f x    xC


 


.


 

 



2
2


5 5 2 1 2


1 2 2


3 3 3 2 3 2


x


f    C        f x    x


   


, hay

4

14
3

f   .
*) Đồ thị

f x

'

 

trên đoạn

 

5; 4

qua các điểm

4;2 ,

 

 

5; 1

nên


 

 



2


3


3



'

3

14

14



2



x



f

x

x

f x

x C

.




2


3


3. 4


14 14


4 14. 4



3 2 3


f        C   suy ra 3 82


3
C  .


Ta có

 

 



2


3

82

31



14

5



2

3

6



x



f x

x

f

 

(2).


Từ (1) và (2) ta được 2

5

3

 

2 31 22 35


3 3


f   f     .


Câu 7. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm liên tục trên

0; 

thỏa mãn f

 

x f x

 

4x2 3x
x


    và


 

1 2


f  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x

 

tại điểm có hồnh độ x2 là



(109)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Chọn B


 

 

2

 

 

3 2


4 3 4 3


f x


f x x x xf x f x x x


x


         .


Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf x

 

4x33x2

dxx4x3C.
Với x1 ta có: f

 

1  2 C.


Theo bài ra f

 

1 2 2 C 2 C0.
Vậy xf x

 

x4x3  f x

 

x3x2.


Ta có: f

 

x 3x22x; f

 

2 16; f

 

2 12.



Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x

 

tại điểm có hồnh độ x2 là:




16 2 12



(110)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM
Dạng. Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân


1.Địnhnghĩa: Cho hàm số yf x

 

liên tục trên K; a b, là hai phần tử bất kì thuộc K, F x

 



là một nguyên hàm của f x

 

trên K. Hiệu số F b

 

F a

 

gọi là tích phân của của f x

 

từ a


đến b và được kí hiệu:

 

 

 

 



b


b
a
a


f x dxF xF bF a


.


2.Cáctínhchấtcủatíchphân:


 

0


a



a


f x dx



 

 



a b


b a


f x dx  f x dx




 .

 

.

 



b b


a a


k f x dxk f x dx




 

 

 

 



b b b



a a a


f xg x dxf x dxg x dx


 


 




 

 

 



b c b


a a c


f x dxf x dxf x dx




 Nếu f x

 

g x

 

 x

a b;

thì

 

 



b b


a a


f x dxg x dx


.



Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp


1


.


1
x


x dx C








 






1


1
.


1
ax b



ax b dx C


a










  





1


ln


dx x C


x  


1 dx 1.ln ax b C


ax b a  





2


1 1


dx C


x  x


2


1 1 1


.


dx C


a ax b
ax b


  





sin .x dx cosx C


sin

ax b dx

. 1.cos

ax b

C


a


    



cos .x dxsinx C


cos

ax b dx

. 1.sin

ax b

C


a


   




2


1


. cot


sin xdx  x C


2



1 1


. .cot



sin ax bdx a ax b C




2


1


. tan
cos xdxx C


2



1 1


. . tan


cos ax bdxa ax b C




.


x x


e dxeC


ax b. 1. ax b


e dx e C



a


 


 




.
ln


x


x a


a dx C


a


 


2 2


1
ln
2


dx x a



C


x a a x a




 


 




Nhận xét. Khi thay x bằng

ax b

thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1


a.


Câu 1. (ĐềMinhHọa2020Lần1) Nếu

 



2


1


d 2


f x x 


 



3



2


d 1


f x x


thì

 



3


1


d


f x x


bằng


TÍCH PHÂN



(111)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Câu 2. (ĐềThamKhảo2020Lần2) Nếu

 



1


0


d 4



f x x


thì

 



1


0


2f x dx


bằng


A. 16. B. 4. C. 2. D. 8.


Câu 3. (Mã101-2020Lần1) Biết

 



3


1


d 3


f x x


. Giá trị của

 



3


1



2f x dx


bằng


A. 5. B. 9. C. 6. D. 3


2.


Câu 4. (Mã101-2020Lần1) Biết F x

 

x2 là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên . Giá trị của


 



2


1


2 f x dx


 


 


bằng


A. 5. B. 3. C. 13


3 . D.


7
3.



Câu 5. (Mã102-2020Lần1) Biết . Giá trị của bằng


A. . B. . C. . D. .


Câu 6. (Mã102-2020Lần1) Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của


bằng


A. . B. . C. . D. .


Câu 7. (Mã103-2020Lần1) Biết

 



2


1


2


f x dx


. Giá trị của

 



3


1


3f x dx


bằng


A. 5. B. 6. C. 2


3. D. 8.


Câu 8. (Mã103-2020Lần1) Biết F x( )x3 là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên . Giá trị của


3


1


(1 f( ) dx) x


bằng


A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.


Câu 9. (Mã104-2020Lần1) Biết

 



3


2


d 6.


f x x


Giá trị của

 



3



2


2f x dx


bằng.


A. 36. B. 3. C. 12. D. 8.


Câu 10. (Mã 104 -2020Lần 1) Biết

F x

 

x

2 là một nguyên hàm của hàm số

f x

( )

trên . Giá trị


của



3


1


1

f x dx

( )



bằng


A. 10. B. 8. C. 26


3 . D.


32
3 .

 



5



1


d 4


f x x


 



5


1


3f x dx




7 4


3 64 12


 

3


F xx f x

 





2


1



2 f x( ) dx



23


4 7 9



(112)

Câu 11. (Mã101-2020Lần2) Biết

 



3


2


f x dx4


 



3


2


g x dx 1


. Khi đó:

 

 



3


2



f x g x dx
  


 


bằng:


A. 3. B. 3 . C. 4. D. 5.


Câu 12. (Mã101-2020Lần2) Biết

 



1


0


f x 2x dx=2


  


 


. Khi đó

 



1


0


f x dx


bằng :


A. 1. B. 4. C. 2. D. 0.


Câu 13. (Mã102-2020Lần2) Biết

 



3


2


3


f x dx


 



3


2


1


g x dx


. Khi đó

 

 



3


2


f x g x dx



  


 


bằng


A. 4. B. 2. C. 2. D. 3 .


Câu 14. (Mã102-2020Lần2) Biết

 



1


0


2 3


f xx dx


 


 


. Khi đó

 



1


0


d



f x x


bằng


A. 1. B. 5. C. 3. D. 2 .


Câu 15. (Mã103-2020Lần2) Biết

 



2


1


d 3


f x x


 



2


1


d 2


g x x


. Khi đó

 

 



2



1


d


f x g x x


  


 


bằng?


A. 6. B. 1. C. 5. D. 1.


Câu 16. (Mã103-2020Lần2) Biết 1

 



0f x 2xdx4


. Khi đó 1

 



0 f x dx


bằng


A. 3. B. 2 . C. 6. D. 4 .


Câu 17. (Mã104-2020Lần2) Biết


2



1


( ) 2


f x dx




2


1


( ) 3.


g x dx


Khi đó


2


1


[ ( )f xg x dx( )]


bằng


A. 1. B. 5. C. 1. D. 6.


Câu 18. (Mã104-2020Lần2) Biết

 




1


0


2 d 5


f xx x


 


 


. Khi đó

 



1


0


d


f x x


bằng


A. 7 . B. 3 . C. 5 . D. 4.


Câu 19. (Mã103-2019) Biết

 



2



1


d 2


f x x


 



2


1


d 6


g x x


, khi đó

 

 



2


1


d


f x g x x


  


 



bằng


A. 8. B.

4

. C.

4

. D. 8.


Câu 20. (Mã 102 - 2019) Biết tích phân

 



1


0


3


f x dx


 



1


0


4


g x dx 


. Khi đó

 

 



1


0



f xg x dx


 


 




bằng


A. 7. B.

7

. C. 1. D. 1.


Câu 21. (Mã104-2019) Biết 1


0 f x x( )d 2


và 1


0g x x( )d  4


, khi đó 1



0 f x( )g x( ) dx


bằng


A. 6. B. 6. C. 2. D. 2 .


Câu 22. (Mã1012019) Biết

 




1


0


d 2


f x x 


 



1


0


d 3


g x x


, khi đó

 

 



1


0


d


f x g x x


  



 


bằng


A. 1. B. 1. C. 5. D. 5.


Câu 23. (ĐềThamKhảo2019) Cho

 



1


d 2


f x x


 



1


d 5


g x x


, khi

 

 



1


2 d


f x g x x



  


 



(113)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


A.

8

B. 1 C.

3

D. 12


Câu 24. (THPTBaĐình2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên


tục trên Ka, b là các số bất kỳ thuộc K?


A.

( ) 2 ( ) d

( )d +2 ( )d


b b b


a a a


f xg x xf x x g x x


. B.


( )d
( )


d
( )


( )d



b
b


a
b
a


a


f x x
f x


x
g x


g x x









.


C.

( ). ( ) d

( )d . ( )d


b b b



a a a


f x g x xf x x g x x


. D.


2
2


( )d = ( )d


b b


a a


f x x  f x x


 


.


Câu 25. (THPTCẩmGiàng22019) Cho

 



2


2


d 1



f x x






,

 



4


2


d 4


f t t




 


. Tính

 



4


2


d


f y y



.


A. I5. B. I 3. C. I3. D. I 5.


Câu 26. (THPTCùHuyCận-2019) Cho 2

 



0 f x dx3


và 2

 



0 g x dx7


, khi đó 2

 

 



0f x 3g x dx




bằng


A. 16 . B. 18. C. 24. D. 10 .


Câu 27. (THPT-YÊNĐịnhThanhHóa2019) Cho


1
0


( )


f x



dx 1;


3
0


( )


f x


dx

5

. Tính


3


1


( )
f x


dx


A. 1. B. 4. C. 6. D. 5.


Câu 28. (THPT QuỳnhLưu3NghệAn2019) Cho

 



2


1


d 3



f x x 


 



3


2


d 4


f x x


. Khi đó

 



3


1


d


f x x




bằng


A. 12. B. 7. C. 1. D. 12.


Câu 29. Cho hàm số f x

 

liên tục, có đạo hàm trên

1; 2 , f

 

1 8; f 2

 

 1. Tích phân

 




2


1


f ' x dx




bằng


A. 1. B. 7. C. 9. D. 9.


Câu 30. (Sở Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số

f x

 

liên tục trên R và có


2 4


0 2


( )d 9; ( )d 4.


f x xf x x


Tính


4
0


( )d .



I

f x x


A. I 5. B. I 36. C. 9


4


I . D. I 13.


Câu 31. Cho

 

 



0 3


1 0


3 3.


f x dx f x dx




 


Tích phân

 



3


1


f x dx



bằng


A. 6 B. 4 C. 2 D. 0


Câu 32. (ChuyênNguyễn TrãiHảiDương2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và

 



4


0


d 10


f x x


,


 



4


d 4


f x x


. Tích phân

 



3


d



f x x



(114)

A. 4 . B. 7. C. 3. D. 6.


Câu 33. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nếu

 

1


2 1


F x
x


 


 và F

 

1 1 thì giá trị của

 

4


F bằng


A. ln 7. B. 1 1ln 7.
2


C. ln 3. D. 1 ln 7.


Câu 34. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thoả mãn


 



8


1



d 9


f x x


,

 



12


4


d 3


f x x


,

 



8


4


d 5


f x x


.


Tính

 



12



1


d


I

f x x.


A. I17. B. I 1. C. I 11. D. I7.


Câu 35. (THPTQuangTrungĐốngĐaHàNội2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên

0;10

thỏa mãn


 



10


0


7


f x dx


,

 



6


2


3


f x dx



. Tính

 

 



2 10


0 6


P

f x dx

f x dx.


A. P10. B. P4. C. P7. D. P 6.


Câu 36. (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn

 

1;3 thoả:


 

 



3


1


3 d 10


f xg x x


 


 


,

 

 



3



1


2f xg x dx6


 


 


. Tính

 

 



3


1


d


f xg x x


 


 


.


A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.


Câu 37. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn

0;10

 



10



0


7


f x dx


;


 



6


2


3


f x dx


. Tính

 

 



2 10


0 6


P

f x dx

f x dx.


A. P4 B. P10 C. P7 D. P 4


Câu 38. Cho f g, là hai hàm số liên tục trên

 

1;3 thỏa mãn điều kiện

 

 




3


1


3 dx=10


f xg x


 


 


đồng thời


 

 



3


1


2f xg x dx=6


 


 


. Tính

 

 



3



1


dx


f xg x


 


 


.


A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 .


Câu 39. (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên

1;3



thỏa:

 

 



3


1


3 d 10


f xg x x


 


 



 

 



3


1


2f xg x dx6


 


 


. Tính

 

 



3


1


d


I

f xg x x.


A. 8. B. 7. C. 9. D. 6.


Câu 40. (Mã1042017) Cho

 



2


0



d 5


f x x






. Tính

 



2


0


2 sin d 5


I f x x x




 


 .



(115)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Câu 41. (Mã1102017) Cho

 



2



1


d 2


f x x






 



2


1


d 1


g x x




 


. Tính

 

 



2


1



2 3 d


I x f x g x x




 


  .


A. 17


2


IB. 5


2


IC. 7


2


ID. 11


2
I


Câu 42. (THPT HàmRồngThanh Hóa2019) Cho hai tích phân

 




5


2


d 8






f x x

 



2


5


d 3






g x x . Tính


 

 



5


2



4 1 d




  


I f x g x x


A. 13. B. 27. C. 11. D. 3.


Câu 43. (Sở Bình Phước 2019) Cho


2


1


( ) 2


f x dx








2


1



( ) 1


g x dx




 


, khi đó



2


1


2 ( ) 3 ( )


x f x g x dx




 




bằng


A. 5


2 B.



7


2 C.


17


2 D.


11
2


Câu 44. (SởPhúThọ2019) Cho

 



2


0


d 3


f x x


,

 



2


0


d 1


g x x 



thì

 

 



2


0


5 d


f x g x x x


   


 


bằng:


A. 12 . B. 0. C. 8. D. 10


Câu 45. (Chuyên LêHồngPhongNamĐịnh2019) Cho

 



5


0


d 2


f x x 


. Tích phân

 




5


2
0


4f x 3x dx


  


 




bằng


A. 140. B. 130. C. 120. D. 133.


Câu 46. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh-2019) Cho

 



2


1


4f x 2x dx1


 


 



. Khi đó

 



2


1


f x dx


bằng:


A. 1. B. 3. C. 3. D. 1.


Câu 47. Cho

 



1


0


1


f x dx


tích phân

 



1


2
0


2f x 3x dx



bằng


A. 1. B. 0. C. 3. D. 1.


Câu 48. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tính tích phân



0


1


2 1


I x dx




 .


A. I 0. B. I 1. C. I 2. D. 1


2


I   .


Câu 49. Tích phân





1


0



3x1 x3 dx


bằng


A. 12. B. 9. C. 5. D. 6.


Câu 50. (KTNLGVThptLýTháiTổ-2019) Giá trị của


2


0


sinxdx




bằng


A. 0. B. 1. C. -1. D.


2





(116)

Câu 51. (KTNLGVBắcGiang2019) Tính tích phân


2


0



(2

1)


I

x

dx



A. I 5. B. I 6. C. I 2. D. I 4.


Câu 52. Với a b, là các tham số thực. Giá trị tích phân

2



0


3 2 1 d


b


xaxx


bằng


A. b3b a b2  . B. b3b a b2  . C. b3ba2b. D. 3b22ab1.


Câu 53. (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Giả sử


4


0


2
sin 3


2



I xdx a b




 

a b, 

. Khi đó giá trị của


a b là


A. 1


6


B. 1


6


C. 3


10


D. 1


5


Câu 54. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và


 






2


2
0


3 d 10


 


f x x x . Tính

 



2


0


d


f x x


.


A. 2. B. 2. C. 18. D. 18.


Câu 55. (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Cho

2



0


3 2 1 d 6



m


xxx


. Giá trị của tham số m thuộc


khoảng nào sau đây?


A.

1; 2

. B.

;0

. C.

0; 4

. D.

3;1

.


Câu 56. (Mã1042018)


2


12 3


dx
x


bằng


A. 1ln 35


2 B.


7
ln


5 C.



1 7


ln


2 5 D.


7
2 ln


5


Câu 57. (Mã1032018)


2


13 2


dx
x


bằng


A. 2 ln 2 B. 1ln 2


3 C.


2
ln 2


3 D. ln 2



Câu 58. (ĐềThamKhảo2018) Tích phân


2


0 3


dx
x


bằng


A. 2


15 B.


16


225 C.


5
log


3 D.


5
ln


3



Câu 59. (Mã105 2017) Cho     


 


 



1


0


1 1


d ln 2 ln 3


1 2 x a b


x x với a b, là các số nguyên. Mệnh đề nào


dưới đây đúng?


A. a2b0 B. a b 2 C. a2b0 D. a b  2


Câu 60. (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Tính tích phân 2


1


1 1


e



I dx


x x


 




 



(117)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


A. I 1


e


B. I 1 1


e


  C. I1 D. Ie


Câu 61. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tính tích phân


3


0


d


2
x
I


x





.


A. 21


100


I  . B. ln5


2


I . C. log5


2


I . D. 4581


5000


I .


Câu 62. (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019)



2


1


d


3 2


x
x


bằng


A. 2 ln 2 . B. 2ln 2


3 . C. ln 2 . D.


1
ln 2


3 .


Câu 63. Tính tích phân


2


1


1


d
x


I x


x




.


A. I  1 ln 2. B. 7


4


I  . C. I  1 ln 2. D. I 2 ln 2.


Câu 64. Biết


3


1


2


ln ,


x


dx a b c



x




 


với , ,a b c,c9. Tính tổng S  a b c.


A. S7. B. S5. C. S8. D. S6.


Câu 65. (Mã1102017) Cho

F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

lnx


x


 . Tính:

I

F e

 

F

 

1

?


A. 1


2


IB. I 1


e


C. I 1 D. Ie


Câu 66. (Mã1022018)


1


3 1
0


d
x


ex


bằng


A. 1

4



3 ee B.


3


ee C. 1

4



3 ee D.


4


ee


Câu 67. (Mã1012018)


2
3 1
1



e d


x x bằng


A. 1

e5 e2



3  B.



5 2


1


e e


3  C.


5 2


1


e e


3  D.


5 2


e e


Câu 68. (Mã1232017) Cho



6


0


( ) 12


f x dx


. Tính


2


0


(3 ) .


I

f x dx


A. I5 B. I36 C. I4 D. I6


Câu 69. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Tích phân


1


0


1
d
1



I x


x





có giá trị bằng


A. ln 2 1 . B. ln 2. C. ln 2 . D. 1 ln 2 .


Câu 70. (THPTHồngHoaThámHưngn-2019) Tính


3
2
2


d
1
x


K x


x





.



A. K ln 2. B. 1ln8


2 3


K  . C. K 2 ln 2. D. ln .8
3



(118)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM


Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện


1.Địnhnghĩa: Cho hàm số yf x

 

liên tục trên K; a b, là hai phần tử bất kì thuộc K, F x

 


là một nguyên hàm của f x

 

trên K. Hiệu số F b

 

F a

 

gọi là tích phân của của f x

 

từ a


đến b và được kí hiệu:

 

 

 

 



b


b
a
a


f x dxF xF bF a


.


2.Cáctínhchấtcủatíchphân:


 

0



a


a


f x dx



 

 



a b


b a


f x dx  f x dx




 .

 

.

 



b b


a a


k f x dxk f x dx




 

 

 

 



b b b



a a a


f xg x dxf x dxg x dx


 


 




 