Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng ôn thi THPT 2021

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (18.89 MB, 521 trang )

(1)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM
Dạng. Nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


_

0dx C. 

_

k xd kx C.



d .

1
n

n x

x x C

n


 





 ( ) d 1 ( ) 1 .

n ax b

ax b x C

a n




  





 1dx lnx C.

x  



 1 dx 1lnax b C.

ax b a  



 1₂dx 1 C.

x   



 1 ₂d 1 1 .

(ax b) x   a axb C







sin dx x  cosxC. _ _sin(_ax _{b x}_)d 1_cos(_ax _b₎ _C_.
a

    





_

cos dx x sinx C.

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.
a

   



 1₂ d cot .

sin x x   x C



 ₂ d 1cot( ) .

sin ( )

ax b C

ax b    



 1₂ d tan .

cos x x  x C



 ₂d 1tan( ) .

cos ( )

ax b C

ax b   







e xxd ex C. _ _eax b_d_x 1_eax b _C_.
a

 _  _



 d .

ln
x

x a

a x C

 



 d 1 .

ln
x

x a

a x C

a
 
 




 _ _



♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản



Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn.



Tích các hàm mũ PP  khai triển theo cơng thức mũ.



Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .

2 2 2 2

a  a a  a



Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng
K nếu

A. F x'( ) f x( ), x K. B. f x'( )F x( ), x K.
C. F x'( ) f x( ), x K. D. f x'( ) F x( ), x K.
Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1)

_

x dx2 bằng

A. 2x C . B. 1 3

3x C. C.
3

x C. D. 3x3C
NGUYÊN HÀM

(2)

Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

__x3_là

A. . B. . C. . D. .

Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1)

_

x x4d bằng
A. 1 5

5x C B.

4x C C. x5C D. 5x5C
Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1)

_

x dx5 bằng

A. _5x4__C_. _B.1 6

6x C. C.

x C. D. _6x6__C_.
Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)

_

5x dx4 bằng

A. 1 5

5x C. B.
5

x C. C. 5x5C. D. 20x3C.
Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) _{6x dx}5



bằng

A. 6x6C. B. x6C. C. 1 6

6x C. D.
4
30x C.
Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)

3 dx x



_bằng

A. 3x3C. B. 6x C . C. 1 3

3x C. D.

x C.

Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) 3

4 dx x



bằng

A. 4x4C. B. 1 4

4x C. C.

12x C. D. x4C.
Câu 10. (Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x2 là

A. 1 5 1 3

5x 3x C B.
4 2

x x C C. x5x3C. D. 4x32xC
Câu 11. (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

2x4 là

A. _x2__C_. _B._2x2__C_. _C.₂_x2_₄_x__C_. _D._x2_₄_x__C_.
Câu 12. (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x6 là

A. x2C. B. x26x C . C. 2x2C. D. 2x26x C .
Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

cosx6x là

A. sinx3x2C. B. sinx3x2C. C. sinx6x2C. D. sinx C .

Câu 14. (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

2 sinx.

_

2 sinxdx 2 cosx C B.

_

2 sinxdx2 cosx C
C.

_

2 sinxdxsin2x C D.

_

2 sinxdxsin 2x C
Câu 15. (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x là

A. 1 4 1 2

4x 2x C B.
2

3x  1 C C. _x3_{ }_x _C _D._x4__x2__C
Câu 16. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x3 là

A. _x2_₃_x__C_. _B.₂_x2_₃_x__C_. _C._x2__C_. _D.₂_x2__C_.
4

4x C 2

3x C 4

x C 1 4

(3)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 



2 1



2 1 .

f x dx x x C



 



2 1



2 1 .

f x dx x x C



 

1 2 1 .

f x dx  x C



 

1 2 1 .

f x dx x C



Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

x2 2₂
x

  .

 

3
1

3
x

f x x C

  



. B.

 

3
2
d

3
x

f x x C

  



 

1
d

3
x

f x x C

  



. D.

 

3
2
d

3
x

f x x C

  



Câu 19. (Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

_{ }

5 2

f x
x


 .

A. d 1ln 5 2

5 2 5

x C

x   



B. d ln 5 2

5 2

x C

x   



C. d 1ln 5 2

5 2 2

x C

x    



D. d 5 ln 5 2

5 2

x C

x   



Câu 20. (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

cos 3x

_

cos 3xdx3 sin 3x C B.

_

cos 3 sin 3 
3

xdx C

_

cos 3xdxsin 3x C D.

_

cos 3  sin 3 
3

xdx C

Câu 21. (Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là
A. 1 4 1 3

4x 3x C B.
2

3x 2xC C. _x3__x2__C _D._x4__x3__C
Câu 22. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

exx là

A. x 1

e  C B. exx2C C. 1 2
2
x

e  x C D. 1 1 2

1 2

e x C

x  

Câu 23. (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là

A. _x2__C_. _B._x2_₅_{x C}_ _. _C.₂_x2_₅_{x C}_ _. _D._2x2__C_.
Câu 24. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

_7x_.

A. 7 d 7

ln 7
x
x

x C



B. 1

7 dx x7x C



1
7
7 d

1
x

x C



 





_

7 dx x7 ln 7x C

Câu 25. (Mã 102 2018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x là
A. 4x3 1 C B. x5x2C C. 1 5 1 2

5x 2x C D.
4

x  x C
Câu 26. (Đề Tham Khảo 2018) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )3x21 là

A. x3C B.

3
3
x

x C

  C. 6xC D. x3xC

Câu 27. (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm _{x x}



2_₇



15_dx



A. 1



_x2_₇



16__C _B.





16
1

x C

   C. 1



_x2_₇



16__C _D.





16
1

(4)

Câu 28. (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số 3
(x) x

f e là hàm số nào sau đây?
A. 3exC. B. 1 3

3 

e C. C. 1

3 

e C. D. 3e3xC.
Câu 29. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính

_

_

xsin 2 dx x

_

A.
2

sin
2
x

x C

  . B.

cos 2
2

x C

  . C. 2 cos 2

2
x

x  C. D.
2

cos 2

2 2

x x

  .

Câu 30. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số e2x 1

y 

 là
A. 2e2x1C. B. e2x1C. C. 1e2 1

2
x



 . D. 1e
2

x
C

 .
Câu 31. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

2 3

f x
x




A. ln 2x3C. B. 1ln 2 3

2 x C. C.
1

ln 2 3

ln 2 x C. D.





lg 2 3
2 x C.
Câu 32. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số _y _x2 ₃x 1

x
   .
A.

3 1

,
3 ln 3

x
x

C C
x

   . B.

2
1

3 ,

3
x
x

C C
x

   .

C.
3

ln ,

3 ln 3
x
x

x C C

   . D.

3
3

ln ,

3 ln 3
x
x

x C C

   .

Câu 33. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

sin 3x



3cos3

x C



. B.

3cos3

x C



. C. 1cos3

3 xC. D.

1
cos3

3 x C

  .

Câu 34. (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

3x2sinx là

A. _x3__cos_x__C_. _B.₆_x__cos_{x C}_ _. _C._x3__cos_x__C_. _D.₆_x__cos_{x C}_ _.
Câu 35. (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?

A. ln dx x 1 C
x

 



. B. 1₂ d tan

cos x x x C



_

sin dx x cosx C . D.

_

e dx xex C.

Câu 36. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Nếu

_

f x

_{ }

dx4x3x2C thì hàm số f x

 

bằng
A.

 

3
4

3
x

f x x  Cx. B. f x

 

12x22x C .

C. f x

 

12x22x. D.

 

3
4

3
x
f x x  .

Câu 37. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. cos 2 1sin 2

2
d

x x x C



. B.

e
e

1
1
d

e
x

x x C



 





C. 1dx ln x C

x  



. D.

1
e
e d

1
x
x

x C



 





Câu 38. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Nguyên hàm của hàm số y2x là
A. 2xd_x_ln 2.2x__C



. B.

_

2xdx2xC. C. 2

d 2

ln
x
x

x C



. D. 2

1
d

x
x

x C

 



(5)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

3 sin
f x  x x.

_

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

 

2
3

d cos

2
x

f x x  x C



 

2
3

d cos

2
x

f x x  x C



. D.

_

f x x

 

d  3 cosx C .
Câu 40. (Sở Bình Phước 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x xs inxlà

A. _x2__{cos x+C} _B._x2__{cos x+C} _C.
2

cos x+C
2

 D.

cos x+C
2

x

Câu 41. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:

A. cosx C . B. cosx C . C. sinx C . D. sinx C .

Câu 42. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

__x4__x2_là
A. 4x32x C . B. x4x2C. C. 1 5 1 3

5x 3x C. D.
5 3

x x C.
Câu 43. (THPT Cù Huy Cận 2019) Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

__ex_2_x_là.

A. ex x2C. B. exx2C. C. 1 2
1

e x C

x   . D. 2

e  C.
Câu 44. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số ycosx x là

A. _sin 1 2
2

x x C. B. _sin_x__x2__C_. _C. _sin 1 2
2

x x C

   . D. __sin_x__x2__C_.
Câu 45. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y x2 3x 1

   là

3 2

ln .

3 2

x x

x C

   B.

3 2

ln .

3 2

x x

x C

  

3 2

ln .

3 2

x x

x C

   D.

3 2

3 1

3 2

x x

C
x

  

Câu 46. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

1 sinx
x

  là
A. lnxcosxC. B. 1₂ cosx C

   . C. ln xcosx C . D. ln xcosx C .
Câu 47. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số

_{ }

1 3

F x  x là một nguyên hàm của hàm số nào
sau đây trên



 ;



A. f x

 

3x2. B. f x

 

 x3. C. f x

 

x2. D.

 

1 4
4
f x  x .
Câu 48. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

2x.

_

f x

_{ }

dx2xC. B.

 

d 2

ln 2
x

f x x C



C. _{f x}

_{ }

d_x_2 ln 2x __C



. D.

 

1
2
d

1
x

f x x C



 





Câu 49. (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tìm ngun hàm của hàm số

 

2
2
x
f x



(6)

 

1
d

3
x

f x x C

  



. B.

 

3
2
d

3
x

f x x C

  



 

1
d

3
x

f x x C

  



. D.

 

3
2

3
x

f x x C

  



Câu 50. (Sở Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số yex?
A. y 1

 . B. _y__ex_. _C._y__ex_. _D._y__ln_x_.

Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính F x( )

_

e dx2 , trong đó e_{là hằng số và}
2, 718

e .
A.

2 2
( )

e x

F x  C. B.

3
( )

3
e

F x  C. C. F x( )e x C2  . D. F x( )2ex C .
Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

_{ }

1 2
f x

x


 trên
1

;
2

 



 

 .
A. 1ln 2 1

2 x C. B.





ln 1 2

2  x C. C.
1

ln 2 1

2 x C

   . D. ln 2x 1 C.
Câu 53. (Chuyên Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số

f x

 



2 

x

là

2 ln 2

2 x

C



. B. 2

x C

  . C.

2 ln 2

x

C



. D.

2 x

C



.
Câu 54. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 1 sinx

A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. xcosxC. D. xcosxC.
Câu 55. (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f(x) 1 3 2 2 2019

3x  x  x là
A. x  x  x C

2
3

2
12

1 4 3 2

. B.

4 3

1 2

2019

9 3 2

x  x   x C .
C.

4 3

1 2

2019

12 3 2

x  x   x C . D.

4 3

1 2

2019

9 3 2

x  x   x C .
Câu 56. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1

3 1

f x
x



 trên khoảng

1
;

 



 

  là:

A. 1ln(3 1)

3 x C B. ln(1 3 ) x C C.
1

ln(1 3 )

3  x C D. ln(3x 1) C

Câu 57. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

_

2 dx x2 ln 2x C. B.

2 e

e d
2

x
x

x C



C. cos 2 d 1sin 2
2

x x x C



. D. 1 d ln 1

1 x x C

x   





  x 1



Câu 58. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số

4
2

2 3

( ) x
f x



(7)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A.

2 3

( )

3 2

f x dx C

  



. B.

2 3

( )

3
x

f x dx C

  



2 3

( )

3
x

f x dx C

  



. D. f x dx( ) 2x3 3 C

  



Câu 59. (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số

f x

 



2  

x

1

. Tìm



f x

 

d

x

.
A.



f x

 

d

x



2 

x

 

x C

. B.

 

d

1

2

1 ln 2

2 f x

x





x

 

x C



 

d

2

1

2 f x

x





x

 

x C



. D.

 

d

1

2

1

2 f x

x

x C

x



 







Câu 60. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

3 sin

f x  x x.

_

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

_{ }

2
3

d cos

2
x

f x x  x C



_{ }

2
3

d cos

2
x

f x x  x C



. D.

_

f x x

 

d  3 cosx C .
Câu 61. (Chuyên Bắc Giang 2019) Hàm số

_{ }

F x e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số
sau:

A. f x( )2xex2. B. f x( )x e2 x21. C. f x( )e2x. D.

( )
2

x
e
f x

 .

Câu 62. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )_{f x} _3x_là
A. 3

ln 3
x



  B. 3xC C. 3xln 3C D. 3

ln 3
x





Câu 63. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là
A.

4 3
4  3 

x x

C. B. x4x3C. C. 3x22xC. D.

4 3

3  4 

x x

Câu 64. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của
hàm số yx2019?

A.
2020

1
2020

 . B.

2020
2020

. C. y2019x2018. D.
2020

1
2020

 .
Câu 65. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số yx23x 1

x.
A.

3
3

ln ,

3 ln 3

x
x

x C C R

    B.

3
3

ln ,

3 ln 3
x
x

x C C R

   

C.
3

2
1

3 ,

3
x

C C R
x

    D.

3 1

,
3 ln 3

x
x

C C R
x

   

Câu 66. (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

_{ }

2017 2018₅
x

x e

f x e



 

 _  _

 

.
A.

 

d 2017 x 2018₄

f x x e C

  



. B.

 

d 2017 x 2018₄

f x x e C

  



 

d 2017 x 504,5₄

f x x e C

  



. D.

 

d 2017 x 504,5₄

f x x e C

  

(8)

Câu 67. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 ₂
cos

x e

y e



 

 _  _

 

là
A. 2ex tanx C B. 2extanx C C. 2 1

cos
x

e C

  D. 2 1

cos
x

e C

 

Câu 68. (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên F x

_{ }

của hàm số f x

_{  }

 x1

_

x2

_

x3 ?

_

 

3 11 2

6 6

4 2

F x   x  x  x C . B. _{F x}

_{ }

__x4_₆_x3_₁₁_x2_₆_{x C}_ _.
C.

 

3 11 2

2 6

4 2

F x   x  x  x C . D. F x

 

x36x211x26x C .
Câu 69. (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

5 4



f x

x là:
A. 1ln 5

_

_

5 x C. B. ln 5x4C. C.
1

ln 5 4

ln 5 x C. D.
1

(9)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


_

0dx C. 

_

k xd kx C.



d .

n x

x x C



 







1 ( )

( ) d .

n ax b

ax b x C

a n



  





 1dx lnx C.

x  



 1 dx 1lnax b C.

ax b a  



 1₂dx 1 C.

x   



 1 ₂d 1 1 .

(ax b) x   a axb C





_

sin dx x  cosxC.

 sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.

    





_

cos dx x sinx C.

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.

   



 1₂ d cot .

sin x x   x C



 ₂ d 1cot( ) .

sin ( )
x

ax b C

ax b    



 1₂ d tan .

cos x x  x C



 ₂d 1tan( ) .

cos ( )
x

ax b C

ax b   



 _{e x}xd __ex __C.



 eax bdx 1eax b C.

 _  _



 d .

x a

a x C

 



 d 1 .

x a

a x C

 
 





 _ _



♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a

Một số nguyên tắc tính cơ bản



Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn.



Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ.



Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .

2 2 2 2

a  a a  a



Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1
2

 
 
 

 thỏa mãn

 

2 ,

 

0 1,

 

1 2

2 1

f x f f

   

 . Giá trị của biểu thức f

 

1  f

 

3 bằng

A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15

Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x

_{ }

là một nguyên hàm của

_{ }

1
1




f x

x trên khoảng



1;



thỏa

mãn F e



1



4Tìm F x

 

NGUYÊN HÀM

(10)

A. 2 ln



x1



2 B. ln



x1



3 C. 4 ln



x1



D. ln



x1



3

Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

_{ }

1 ,
2

f x
x





biết F

_{ }

1 2. Giá trị của F

_{ }

0 bằng

A. 2 ln 2. B. ln 2. C. 2ln



2 .



D. ln

 

2 .

Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm

 

2 1

f x
x



 ; biết F

 

0 2. Tính F

 

1 .

 

1 1 3 2
2

F  ln  . B. F

 

1 ln32. C. F

 

1 2 3 2ln  . D.

 

1 1 3 2
2

F  ln  .
Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số y 1

 trên



;0



thỏa mãn F

 

2 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

 





F x  _ _   x

 

B. F x

 

ln xC   x





với C là một số thực bất kì.
C. F x

 

ln xln 2  x





D. F x

 

ln



x



C   x





với C là một số thực bất kì.

Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f x

_{ }

xác định trên R\ 1

_{ }

thỏa mãn

 

f x

 

 , f

 

0 2017, f

 

2 2018. Tính S f

 

3  f

 

1 .

A. Sln 4035. B. S4. C. S ln 2. D. S1.

Câu 7. (Mã 105 2017) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số ( ) x2

f x e x thỏa mãn

 

0 3
2

F .

Tìm F x

 

  21
2

F x e x B.

 

  25
2

F x e x

 

  23
2

F x e x D.

 

2  21
2

F x e x

Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

e2x

và F

 

0 0. Giá trị của F



ln 3



bằng

A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.

Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số e2x và

 

0 201
2

F   Giá trị

1
2

F _{ }

  là

A. 1 200

2e B. 2e100 C.

1
50

2e D.

1
100
2e

Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên  và:

 

2e x 1,

(11)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số

 

2  x

f x x e . Tìm một nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

thỏa mãn F

_{ }

0 2019.

A. F x

 

x2ex2018. B. F x

 

x2ex2018.
C.

 

 2 x2017

F x x e . D.

 

 x2019

F x e .

Câu 12. Gọi F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

2x, thỏa mãn

_{ }

0 1
ln 2

F  . Tính giá trị biểu

thức T F

_{ }

0 F

_{ }

1 ...F

_

2018

_

F

_

2019

_

.
A.

2019

2 1

1009.
ln 2

T   . B. T 22019.2020.

2019

2 1

ln 2

T   . D.

2020

2 1

ln 2

T   .

Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x

_{ }

của hàm số f x

_{ }

sinxcosx thoả mãn 2
2

F_ _
 

A. F x

 

 cosxsinx3 B. F x

 

 cosxsinx1
C. F x

 

 cosxsinx1 D. F x

 

cosxsinx3

Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x'

 

 3 5 sinx và f

 

0 10. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?

A. f x

 

3x5 cosx15 B. f x

 

3x5 cosx2

C. f x

 

3x5 cosx5 D. f x

 

3x5 cosx2

Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn f

_{ }

x  2 5sinx và f

_{ }

0 10. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?

A. f x

_{ }

2x5 cosx3. B. f x

_{ }

2x5 cosx15.
C. f x

_{ }

2x5 cosx5. D. f x

_{ }

2x5 cosx10.

Câu 16. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm

 

cos 3

f x  x và 2

2 3

F_



_

  . Tính F 9



 
 
 .

A. 3 2

9 6

F_ _ 

  B.

3 2

9 6

F_ _ 

  C.

3 6

9 6

F_ _ 

  D.

3 6

9 6

F_ _ 

 

Câu 17. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

1
cos

f x

 . Biết

F_



k



_k

  với mọi k. Tính F

 

0 F

 



F









...F







A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.

Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x  , thỏa mãn

 

0 1

ln 2

F  . Tính giá trị biểu thức T F

 

0 F

 

1 F

 

2 ...F



2019



.
A.

2020

2 1

ln 2

T   . B.

2019

2 1

1009.
2

T   . C. _T _₂2019.2020_. _D.

2019

2 1

ln 2

T   .

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

(12)

Giả sử ta cần tìm họ ngun hàm I

_

f x dx

 

, trong đó ta có thể phân tích

 



 



 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x

_{ }

 

dt u x dx

  . Khi đó: I

_

g t dt

 

G t

 

CG u x



 



C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x

_{ }

1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp

_

f ax b x x(  )n d  PP t ax b .

 ( ) ( )d ( ).

n n

f x f x x  t f x





(ln ) d ln .

f x x t x

x  



 ( ) d .

x x x

f e e x t e





(sin ) cos d sin .

f x x x t x



 (cos ) sin d cos .

f x x x t x





(tan ) d tan .

cos
b

f x x t x

x  



 (sin cos ).(sin cos )d sin cos .

f x x x x x t x x





2 2 2

_f( _a _x )_x nd_x PP _x _asin ._t





  



 _f



₍ _x2 _a2₎m



_x2n_d_x PP _x _a_{tan .}_t




  





_f a x d_x PP _x _acos 2 ._t

a x





 _ 

 

 

 







( )( )

t ax b cx d

ax b cx d





    

 





s ,.,sk d n .

R ax b ax b x t ax b





 _ _  _ _ _

 



 d 1

( )

PP
n

n n

x
t

a bx a bx





  

 




2. Đổi biến số với hàm ẩn

 Nhận dạng tương đối: Đề cho f x( ), yêu cầu tính f(x) hoặc đề cho f(x), yêu cầu tính f x( ).

 Phương pháp: Đặt t ( x).

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân khơng phụ thuộc vào biến số,
mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là ( )d ( )d ( )d

b b b

a a a

f u u f t t   f x x 



Câu 19. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết _{F x}

_{ }

__ex __x2_{là một nguyên hàm của hàm số}

_{ }

f x trên . Khi
đó

_

 

2x dx bằng

A. 2ex 2x2C. B. 1 2 2 .
2

e x C C. 1 2 2 2 .

2
x

e  x C D. e2x4x2C.

Câu 20. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết

 

x 2 2

F x e  x là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên . Khi
đó

_

 

2x dx bằng

2 e



4 x



C

.

B. 1 2 ₄ 2 _.
2

e  x C C.

e



8 x



C

.

D. 1 2 ₂ 2 _.
2

e  x C

Câu 21. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết _{F x}

_{ }

__ex__x2_{là một nguyên hàm của hàm số}

 

f x trên . Khi
đó

_

 

2x dx bằng

A. 1 2 2 2

e  x C. B. e2x4x2C. C. 2ex2x2C. D. 1 2 2

2
x

(13)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 22. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết

 

ex 2 2

F x   x là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên . Khi
đó

_

_{ }

2x dx bằng

A. _e2x_₈_x2__C_. _B._2ex _₄_x2__C_. _C.1_e2 ₂ 2
2

x_ _x __C_. _D.1_e2 ₄ 2
2

x_ _x __C_.

Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết



₂



_d _sin2 _ln

f x x x xC



. Tìm nguyên hàm

_

f x

_{ }

dx?
A.

 

d sin2 ln

f x x  x C



. B.

_

f x

 

dx2sin 22 x2lnx C .
C.

 

d 2sin2 2 ln

f x x  x C



. D.

_

f x

 

d

x



2sin

x



2ln

x C



.
Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho

_

f(4 ) dx xx23x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

( 2) d 2

f x x  xC



. B.

_

f x( 2) dxx27x C .

( 2) d 4

f x x  xC



. D.

( 2) d 4

f x x  xC



Câu 5. [DS12.C3.1.D09.b] Cho

_

f x

 

d

x



4 x



2 x C



₀. Tính

I



_

xf x

 

d

x

.
A.

I



2 x



x



C

. B.

10 6

10

6 x

I





C

.
C.

I

4

x



2 x



C

. D.

I



12 x



2

Câu 23. (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

_ _x2_.ex31_.

 

3
1

d .e

3


 



f x x x x C. B.

_

f x

 

dx3ex31C.
C.

_

f x

 

dxex31C. D.

 

d 1e 3 1

3


 



f x x x C.

Câu 24. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của _{f x}

 

__{sin 2 .}_{x e}sin2x_là

A. sin2 . sin2x 1

x e  C

 . B.

sin 1
2

sin 1
x

C
x



 . C.

sin x

e C. D.

sin 1
2

sin 1
x

C
x





 .

Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số

 

₉ 1 ₅

f x
x





 

4 4

1 1

x ln

3x 36 3

f x d C

   





 

4 4

1 1

x ln

12x 36 3

f x d C

   





 

4 4

1 1

x ln

3x 36 3

f x d C

   





 

4 4

1 1

x ln

12x 36 3

f x d C

   





Câu 26. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F x

 

biết

 

3
4 d

F x x






và

 

0 1

F  .

A. F x

 

ln



x41



1. B.

 

1ln



4 1



4 4

F x  x   .

 

1ln



4 1



1
4

(14)

Câu 27. Biết









2017

2019

1 1 1

. , 1

1
1

x x

dx C x

a x

   

 _ _   



 





với ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a2b. B. b2a. C. a2018b. D. b2018a.

Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F x

_{ }

là một nguyên hàm trên  của hàm số

 





2018
2017

x
f x




thỏa mãn F

_{ }

1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x

_{ }

A. 1

m  . B.

2017
2018
1 2

m  . C.

2017
2018
1 2

m  . D. 1

m .

Câu 29. Cho F x

_{ }

là nguyên hàm của hàm số

 

f x
e



 và F

 

0  ln 2e. Tập nghiệm S của

phương trình F x

 

ln



ex1



2 là:

A. S 

_{ }

3 B. S 

_

2;3

_

C. S  

_

2; 3

_

D. S  

_

3;3

_

Câu 30. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 x3



x21



2019là









2021 2020

2 2

1 1

2 2021 2020

x x

 _ _ 

 _ 

 

 

. B.









2021 2020

2 2

1 1

2021 2020

x  x 

 .









2021 2020

2 ₁ 2 ₁

2021 2020

x x

 

  . D.









2021 2020

2 2

1 1

2 2021 2020

x x

 _ _ 

 _ _

 

 

Câu 31. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của

 

1 ln

.ln

x
f x

x x



 là:

A. 1 ln d ln ln
.ln

x x C

x x



 



. B. 1 ln d ln 2.ln

.ln

x x x C

x x



 



C. 1 ln d ln ln
.ln

x x x C

x x



  



. D. 1 ln d ln .ln

.ln

x x x C

x x



 



Câu 32. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

x e2 x31
A. _{f x}

_{ }

_d_x__ex31__C



. B. _{f x}

_{ }

_d_x_₃_ex31__C



 

d 1 3 1
3

f x x e  C

 



. D.

 

3
1
d

f x x e  C



Câu 33. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số

 

3 1

f x  x là

_

f x

 

dx



3x1



33x 1 C. B.

_

f x

 

dx33x 1 C.

 

d 133 1

f x x x C



. D.

 

d 1



3 1



33 1

f x x x x C



Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

 3x2 là
A. 2(3 2) 3 2

3 x x C B.
1

(3 2) 3 2
3 x x C
C. 2(3 2) 3 2

9 x x C D.

3 1

2 3x2 C

(15)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 1



2 1



2 1

3 x x C

    . B. 1 2 1

2 x C.

C. 2



2 1



2 1

3 x x C. D.





2 1 2 1

3 x x C.

Câu 36. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f x

_{ }

2 .x ln 2

 . Hàm số nào dưới đây không là

nguyên hàm của hàm số f x

 

A. F x

 

2 x C B. F x

_{ }

2 2



x1



C

C. _{F x}

_{ }

_2 2



x _1



__C _D.

_{ }

2 x

F x   C

Câu 37. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm 3 d
1

x
x
x






, bằng cách đặt
1

u x ta được nguyên hàm nào?

_



u24 d



u. B.

_



u24 d



u. C.

_



u23 d



u. D.

_

2u u



24 d



u.
Câu 38. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

2 2 1

f x



 .

 

d 1 2 1
2

f x x x C



. B.

_

f x x

 

d  2x 1 C.

_

f x x

 

d 2 2x 1 C. D.

 





1
d

2 1 2 1

f x x C

x x

 

 



Câu 39. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

__ln



_x_ _x2_₁



_là
A. _{F x}

_{ }

__x_ln



_x_ _x2_₁



_ _x2_{ }₁ _C_. _B.

 

_ln



2 ₁



2 ₁

F x x x x   x  C.

C. F x

_{ }

xln



x x21



C. D. F x

_{ }

x2ln



x x21



C.
Câu 40. (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng 3;

 

 

 

 , hàm số

 

20 30 7

2 3

x x

f x

 



 có

một nguyên hàm F x

_{ }





ax2bx c



2x3 (a b c, , là các số nguyên). Tổng Sa b c 
bằng

A. 4. B. 3 . C. 5 . D. 6 .

Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) sin
1 3cos

x
f x



 .

A. ( ) d 1ln 1 3cos
3

f x x  xC



. B.

_

f x( ) dxln 1 3cos xC.
C.

_

f x( ) dx3ln 1 3cos xC. D. ( ) d 1ln 1 3cos

f x x   xC



Câu 42. (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f x( ) biết '

cos
( )

(2 sin )

x
f x



 .

A. ( ) sin ₂
(2 sin )

f x C

 

 . B.

1
( )

(2 cos )

f x C

 

 .

C. ( ) 1
2 sin

f x C

  

 . D.

sin
( )

2 sin

f x C

 

(16)

Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

sin
( )

1 3cos

x
f x



 và F 2 2


 


 
 

.Tính F

_{ }

0 .
A. (0) 1ln 2 2

F    . B. (0) 2ln 2 2
3

F    . C. (0) 2ln 2 2
3

F    . D. (0 1ln 2 2
3

F    .

Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết

_

f x

_{ }

dx3 cos 2x

_

x5

_

C. Tìm khẳng
định đúng trong các khẳng định sau.

_

_{ }

3x dx3 cos 6x

_

x5

_

C B.

_

_{ }

3x dx9 cos 6x

_

x5

_

C

_

_{ }

3x dx9 cos 2x

_

x5

_

C D.

_

_{ }

3x dx3 cos 2x

_

x5

_

C
Câu 45. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

tan5x.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



Câu 46. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Biết F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

 

sin .cos

f x  x x và F

 

0  . Tính

F_ _

 .

F_ _ 
 

. B.

F_ _
 

. C. 1

2 4

F__  
 

. D. 1

2 4

F__ 
 

Câu 47. Cho F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

_{ }

1
ln

f x

x x

 thỏa mãn 1 2
e

F _{ }

  và F

 

e ln 2.

Giá trị của biểu thức 1₂

 

e2
e

F_ _F

  bằng

A. 3ln 2 2 . B. ln 2 2 . C. ln 2 1 . D. 2ln 2 1 .

Câu 48. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x

 

là ngun hàm của hàm số

2
( )




x
f x

thỏa

mãn F

 

2 0. Khi đó phương trình F x

 

x có nghiệm là:

A. x0. B. x1. C. x 1. D. x 1 3.
Câu 49. Gọi F x

 

là nguyên hàm của hàm số

_{ }

2 1₂

x
f x

x
x

 

 . Biết F

 

3 6, giá trị của F

 

8 là

A. 217

8 . B. 27. C.

215

24 . D.

215
8 .

Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

20 30 7

2 3

x x

f x

 



 trên khoảng

3
;
2

 



 

 

là

(17)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1. Công thức thường áp dụng

1 1

dx lnax b C.

axb a  



 1 ₂ d 1 1 .

(ax b) x   a axb C





lnalnbln( ).ab

 lna lnb lna
b

  



ln_an __nln ._a

  ln 10.

2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )d .
( )

P x

I x

Q x






Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức.



Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  phân tích mẫu Q x( ) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.



Nếu mẫu khơng phân tích được thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2a2.

Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2
1

x
f x




 trên khoảng



1;



là

x



3ln



x



1 



C

.

x



3ln



x



1 



C

.





.
1

x C

 

 D.

_

_

.
1

x C

 



Câu 52. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

_{ }





3 2

x
f x






trên khoảng



2;



là

A. 3 ln

_

_

2
2

x C

  

 B.





2
3 ln 2

x C

  



C. 3 ln

_

_

4
2

x C

  

 D.





4
3 ln 2

x C

  

 .

Câu 53. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 





2 1
1





x
f x

x trên

khoảng



  1;



là
A. 2 ln

_

_

  



x C

x . B.





3
2 ln 1

  



x C

x .

C. 2 ln

_

_

2
1

  



x C

x . D.





3
2 ln 1

  



x C

x .

Câu 54. (Chuyên Lê Q Dơn Diện Biên 2019) Tìm một ngun hàm F x

 

của hàm số

 



0 ,



f x ax x

   biết rằng F

 

1 1,F

 

1 4,f

 

1 0
A.

 

3 2 3 7

2 4 4

F x x

   . B.

 

3 2 3 7

4 2 4

F x x

   _.

 

3 2 3 7

4 2 4

F x x

   . D.

 

3 2 3 1

2 2 2

F x x

(18)

Câu 55. Cho biết







2 13

dx ln 1 ln 2

1 2

a x b x C

x x



    

 



Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a2b8. B. ab8. C. 2a b 8. D. a b 8.
Câu 56. Cho biết

_

_

_

3
1

dx aln x 1 x 1 bln x C

x x     



. Tính giá trị biểu thức: P2a b .

A. 0. B. -1. C. 1

2. D. 1.

Câu 57. Cho biết ₂4 11 dx ln 2 ln 3

5 6

a x b x C

x x



    

 



. Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2.

A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Câu 58. Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

x ax2 b₃
x

   , f

 

1 3, f

 

1 2, 1 1

2 12

f _{ }_{ }  . Khi đó 2ab
bằng

A. 3
2

 . B. 0. C. 5. D. 3

2.
Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 1₂

( 1)

x
f x




 trên khoảng (1;) là

A. 3ln( 1) 1
1

x c

  

 . B.

2
3ln( 1)

x c

  

 .

C. 3ln( 1) 2
1

x c

  

 . D.

1
3ln( 1)

x c

  

 .

Câu 60. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

_{ }





2 1

x
f x






trên khoảng



2; 



là

A. 2 ln





3
2

x C

  

 . B.





1
2 ln 2

x C

  

 .

C. 2 ln





1
2

x C

  

 . D.





3
2 ln 2

x C

  

 .

Câu 61. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

 

4 3 2

2 1

x
f x

x x x




  trên khoảng



0;



thỏa mãn

 

1
1

F  . Giá trị của biểu thức

 



2019



S F F F   F bằng

A. 2019

2020. B.

2019.2021

2020 . C.

1
2018

2020. D.
2019
2020

 .

Câu 62. Giả sử











 

2 3 d 1

1 2 3 1



  

   



x x C

x x x x g x (C là hằng số).

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x

_{ }

0.

A. 1. B. 1. C. 3. D. 3.

Câu 63. (Nam Trực - Nam Định - 2018)_Cho





3 2

1
1

I dx

x x







2 ln 2 ln 1





b x c x C



     . Khi

đó S a b c  bằng
A. 1

4


. B. 3

4. C.

(19)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 64. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f x

 

xác định trên R\



1;1



thỏa mãn

 

2
1
'

f x
x



 . Biết f

 

3  f

 

3 4 và

1 1

3 3

f _{ } f_ _

    . Giá trị của biểu thức

 

f   f  f bằng

A. 5 1ln 2
2

 . B. 6 1ln 2

 . C. 5 1ln 2

 . D. 6 1ln 2

 .

Câu 65. (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f x

 

xác định trên \



2;1



thỏa
mãn

 

₂ 1

f x

x x

 

  , f

 

3  f

 

3 0 và

 

1
0

f  . Giá trị của biểu thức

 

f   f   f bằng

A. 1ln 2 1

3 3. B. ln 80 1 . C.
1 4

ln ln 2 1

3 5  . D.
1 8

ln 1
3 5 .

Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

xác định trên \ 1

_{ }

thỏa mãn

_{ }

f x

 

 , f

 

0 2017,, f

 

2 2018. Tính S 



 

3 2018





 

1 2017



A. S 1. B. 2

1 ln 2

S  . C. S 2 ln 2. D. 2
ln 2

S .

Câu 67. (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

xác định trên \

_

1;1

_

thỏa mãn

 

₂2

f x

 

 ,





 

2 0

f   f  và 1 1 2

2 2

f_ _ f _{ }

    . Tính f

 

3  f

 

0  f

 

4 được kết quả

A. ln6 1

5 . B.

6
ln 1

5 . C.

4
ln 1

5 . D.

4
ln 1

5 .
Dạng 4. Nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên

_

a b;

_

và có đạo hàm liên tục trên

_

a b;

_

. Khi đó:

 

udvuv vdu 



Để tính tích phân

_{ }

I 

_

f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
Bước 1:Chọn u v, sao cho f x dx

_{ }

udv (chú ý: dvv x dx'

_{ }

Tính v

_

dv và duu dx'. .

Bước 2:Thay vào cơng thức

_{ }

 và tính

_

vdu.

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

_

vdu dễ tính hơn

udv



. Ta thường gặp các dạng sau
Dạng 1 :

 

sin

cos

I P x dx

 

 _ _

 



, trong đó P x

_{ }

là đa thức
Với dạng này, ta đặt

 

, sin

cos

u P x dv dx

 

 _{ } _

 

Dạng 2 :I

 

x eax b dx

(20)

Với dạng này, ta đặt

 

ax b

u P x

dv e  dx

 






, trong đó P x

_{ }

là đa thức
Dạng 3 : I

_

P x

_{  }

ln mx n dx

_

Với dạng này, ta đặt





 

u mx n

dv P x dx

 






.

Dạng 4 : sin
cos

I e dx

x
 
  
 



Với dạng này, ta đặt
sin
cos
x
x
u
x
dv e dx

  

  
  




để tính

_

vdu ta đặt

sin
cos
x
x
u
x
dv e dx

  

  
  



.

Câu 68. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số

_{ }

2
2
x
f x
x



. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

  

1 .



 

g x  x f x là

A.
2
2
2 2
2 2
x x
C
x
 


. B.
2
2
2
x
C
x



. C.
2
2

2
2
x x
C
x
 


. D.
2
2
2 2
x
C
x



.

Câu 69. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x

 

x
x




. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

  

  

g x  x f x là

A. x x C
x
 


2
2
2 3
2 3

. B. x C

x



2
3
2 3

. C. x x C

x
 



2
2
2 3
3

. D. x C

x



2
3
3
.

Câu 70. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số

2
( )
1
x
f x
x



. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( ) ( 1) '( )

g x  x f x

A.
2
2
2 1
2 1
x x
C
x
 


. B.
2
1
1
x
C
x



. C.
2
2
2 1
1

x x
C
x
 


. D.
2
1
1
x
C
x



.

Câu 71. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số

 

2
4
x
f x
x



. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

  

  

g x  x f x là

A.
2
4
2 4
x
C
x



. B.
2
4
4
x
C
x



. C.
2
2
2 4
2 4
x x
C
x

 


. D.
2
2
2 4
4
x x
C
x
 


.

Câu 72. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x

_{ }

liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm
của hàm số f x

_{ }

ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f

_{ }

x ex là:

A. sin 2xcos 2xC. B. 2 sin 2xcos 2xC.

C. 2 sin 2xcos 2xC. D. 2 sin 2xcos 2xC.
Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

4x



1 ln x



là:

(21)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. F x

_{ }

xcosxsinx C . B. F x

_{ }

xcosxsinx C .
C. F x

_{ }

 xcosxsinx C . D. F x

_{ }

 xcosxsinx C .
Câu 75. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )x e. 2x là :

A. 1 2 1

( )

2 2

F x  e _x _C

 

B. 1 2

_

_

( ) 2

F x  e x C

C. F x( )2e2x



x2



C D. _{( )} ₂ 2 1
2

F x  e _x _C

 

Câu 76. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

  

 2x1



ex là
A.



2 3



x

x e C. B.



2 3



x 

x e C.



2 1



x

x e C. D.



2 1



x

x e C.

Câu 77. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )xe2x?

A. 1 2 1

( ) .

2 2

F x  e _x _C

 

B. 1 2

_

_

( ) 2 .

F x  e x C

C. ( ) 2 2x





F x  e x C D. ( ) 2 2 1 .

F x  e _x _C

 

Câu 78. (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x



1 sin x



là
A.

sin cos
2

x x x C

   . B.

cos sin
2

x x x C

   .

C.
2

cos sin
2

x x x C

   . D.

sin cos

x x x C

   .

Câu 79. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử F x

 





ax2bx c e



x là một nguyên hàm của hàm
số f x

_{ }

x e2 x.Tính tích Pabc.

A. 4. B. 1. C. 5. D. 3.
Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x 2 (1x ex)là



2 1



x 2

x e x . B.



2 1



x 2

x e x . C.



2 2



x 2

x e x . D.



2 2



x 2

x e x .

Câu 81. Họ nguyên hàm của f x

 

xlnx là kết quả nào sau đây?
A.

 

1 2ln 1 2

2 2

F x  x x x C. B.

 

1 2ln 1 2

2 4

F x  x x x C.

 

1 2ln 1 2

2 4

F x  x x x C. D.

 

1 2ln 1

2 4

F x  x x x C .

Câu 82. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số

 



₃ 2 _{1 .ln}



f x  x  x.

_{ }





3
2

1 ln
3

f x dxx x  x C



. B.

_{ }

3
3

ln
3

x
f x dxx x C



 





3
2 _{1 ln}

f x dxx x  x  x C



. D.

 

3
3_ln

f x dxx x  x C



Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

₂

sin

x
f x

 trên khoảng



0;



là

(22)

C. xcotxln sinx C. D. xcotxln s in





C.

Câu 84. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x



cosx



là
A. x33



xsinxcosx



C B. x33



xsinxcosx



C

C. x33



xsinxcosx



C D. x33



xsinxcosx



C

Câu 85. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

 

4 ex

f x x x là

A. 1 5

_

_{1 e}

_

x  x C. B. 1 5

_

_{1 e}

_

x  x C.

C. 1 5 _e
5

x x C. D. 4 3



1 e



x  x C.

Câu 86. Cho hai hàm số F x G x

 

xác định và có đạo hàm lần lượt là f x

   

,g x trên . Biết rằng

   

_

_

. ln 1

F x G x x x  và

_{   }

3
2
2

. .

x
F x g x



 Họ nguyên hàm của f x G x

   

. là



x21 ln

 

x21



2x2C. B.



x21 ln

 

x21



2x2C.
C.



x21 ln

 

x21



x2C. D.



x21 ln

 

x21



x2C.
Câu 87. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

_

xe xxd ex xexC. B.

2
d

  



xe xx x ex ex C.
C.

_

_{xe x}xd _xex_ex_C_. _D.

2
d

 



xe xx x ex C.

Câu 88. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x

_{ }

, G x

_{ }

xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f x

_{ }

 

g x trên . Biết

_{ }





.G ln 1

F x x  x x  và

_{   }

3
2
2

F x g x



 . Tìm họ nguyên hàm của

   

f x G x .



x21 ln

 

x21



2x2C. B.



x21 ln

 

x21



2x2C.
C.



x21 ln

 

x21



x2C. D.



x21 ln

 

x21



x2C.
Câu 89. Cho biết

_{ }

1 3 ₂ 1

F x x x

   là một nguyên hàm của

_{ }





2
2

x a

f x



 . Tìm nguyên hàm của

 

cos

g x x ax.

A. xsinxcosx C B. 1 sin 2 1cos 2
2x x4 x C
C. xsinxcosC D. 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số





l 1

2x x n

x
x

 

 là





2
2

1 ln
2

x x x

x     C. B.





2
2

1 ln
2

x x x

x     C.





2
2

1 ln
2

x x x

x     C. D.





2
2

1 ln
2

x x x

(23)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 91. (Mã 104 2017) Cho

 

1₂

F x

 là một nguyên hàm của hàm số f x

 

x . Tìm nguyên hàm của

hàm số f

_{ }

x lnx.

A. f

_{ }

x ln dx x ln₂x 1₂ C

x x

 

  _  _

 



 

ln d ln₂ 1₂

f x x x C

x x

   



_{ }

ln d ln₂ 1₂
2

f x x x C

x x

 

  _  _

 



D. f

 

x ln dx x ln₂x 1₂ C

x x

   



Câu 92. (Mã 105 2017) Cho

 

  1₃
3
F x

x là một nguyên hàm của hàm số

 

f x

x . Tìm nguyên hàm của

hàm số f x

 

lnx

_



 

ln d ln₃  1₅ 
5
x

f x x x C

x x B.





 

 3  5 

ln 1

ln d

5
x

f x x x C

x x

_



 

ln d  ln₃  1₃ 
3
x

f x x x C

x x D.





 

 3  3

ln 1

ln d

3
x

f x x x C

x x

Câu 93. (Mã 110 2017) Cho

  



F x  x e là một nguyên hàm của hàm số f x e

 

2x. Tìm nguyên hàm
của hàm số f

 

x e2x.

A. _f_

_{ }

_{x e}2x_d_x_

_

₄_₂_{x e}

_

x__C



B. _f_

_{ }

_{x e}2x_d_x_

_

_x_₂

_

_ex __C



 

2 d 2
2

x x x

f e x  e C



_

f

 

x e2xdx



2x e



xC

Câu 94. Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn

_{ }

f x xe và f

_{ }

0 2.Tính f

_{ }

1 .

A. f

_{ }

1 3. B. f

_{ }

1 e. C. f

_{ }

1  5 e. D. f

_{ }

1  8 2e.

Câu 95. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn _{f x}

_{ }

_ _f_

_{ }

_x _e ,x _{ }_x __và

 

0 2

f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

_{ }

e2x là



x2 e



xexC B.



x2 e



2xexCC.



x1 e



xC D.



x1 e



xC

Câu 96. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

thỏa mãn f '

_{  }

x  x1 e ,

_

x f

_{ }

0 0 và

 





f x x ax b c



với a b c, , là các hằng số. Khi đó:

A. ab2. B. ab3. C. ab1. D. ab0.

Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

 

e x

f x _x  _. Tính

 

F x biết F

_{ }

0 1.

A. F x

_{ }

 

_

x1 e

_

x2. B. F x

_{  }

 x1 e

_

x1.
C. F x

  

 x1 e



x2. D. F x

 

 



x1 e



x1.

Câu 98. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết

_

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C với a, b là các số hữu tỉ.
Tính tích ab?

A. 1

ab . B. 1

ab . C. 1

ab  . D. 1

ab  .

Câu 99. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F x

_{ }

là một nguyên hàm của f x

_{ }



x₂ 3





 sao cho





 

1 0

(24)

A. 10ln 2 5ln 5

3 6 . B. 0 . C.

7
ln 2

3 . D.

2 3

ln 2 ln 5

3 6 .

Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm

số f x

_{ }

ln

_

x1

_

. Cho biết g

_{ }

2 1 và g

_{ }

3 alnb trong đó ,a b là các số nguyên dương
phân biệt. Hãy tính giá trị của _T _₃_a2__b2

A. T 8. B.T  17. C. T 2. D. T  13.

Câu 101. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết

_

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C với a, b là các số hữu tỉ.
Tính tích ab?

A. 1

ab . B. 1

ab . C. 1

ab  . D. 1

(25)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Phương pháp:

Dễ dàng thấy rằng ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x 

Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( )
Suy ra u x f x( ) ( )

_

h x x( )d

Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( )
Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )_ex f x( )_ exh x( )
Suy ra x ( ) x ( )d

e f x 

_

e h x x
Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( )
Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc ex f x( )exf x( )exh x( )_ex f x( )_ exh x( )
Suy ra ex f x( )

_

exh x x( )d

Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( )_ p x( )_f x( )_h x( )
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Phương pháp:

Nhân hai vế với ep x dx( ) ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx

f x e p x e f x h x e f x e h x e



       

      _  _  

 

Suy ra f x e( ) p x dx( ) 

_

ep x dx( ) h x x( )d
Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0
Phương pháp:

Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ra ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d
( )

f x

x p x x f x p x x

f x



    



Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức _{f x}( )_ _{p x}( ) [ ( )]_ _{f x} n_0
Phương pháp:

Chia hai vế với [ ( )]_{f x} n_{ta được} ( ) _{( )} ₀ ( ) _{( )}

[ ( )]n [ ( )]n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ra

( ) [ ( )]

d ( )d ( )d

[ ( )] 1

n
n

f x f x

x p x x p x x

f x n

  

    

 



(26)

Từ dầy ta dễ dàng tính được f x( )

Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

_{ }

2 1
25
 

f và f

_{ }

x 4x3_f x

_{ }

_2 với mọi


x . Giá trị của f

 

1 bằng
A. 391

400

 B. 1

 C. 41

400

 D. 1

10


Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x

 

đồng biến và có đạo hàm
liên tục trên  thỏa mãn



_f_

 



2 _ _{f x e}

 

. , x _{ }_x __và

 

0 2

f  . Khi đó f

_{ }

2 thuộc khoảng
nào sau đây?

_

12;13 .

_

_

9;10 .

_

_

11;12 .

_

_

13 14;

_

Câu 3. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x

 

thỏa mãn

 

2 4
19
f   và

 

3 2

 

f x x f x  x . Giá trị của f

_{ }

1 bằng
A. 2

 . B. 1

 . C. 1. D. 3

4
 .

Câu 4. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x

 

liên tục trên \



1;0



thỏa mãn
điều kiện: f

 

1  2 ln 2 và x x.



1 .



f

 

x  f x

 

x2x. Biết f

 

2 a b .ln 3 (a, b).
Giá trị 2



a2b2



là

A. 27

4 . B. 9 . C.

4. D.

9
2.

Câu 5. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x

 

thỏa mãn f x

 

0, x 0 và có đạo hàm

 

f x liên tục trên khoảng



0; 



thỏa mãn f

  

x  2x1



 

x , x 0 và

_{ }

1 1
2

f   . Giá

trị của biểu thức f

 

1  f

 

2 ... f



2020



bằng
A. 2020

2021

 . B. 2015

2019

 . C. 2019

2020

 . D. 2016

2021

 .

Câu 6. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên \

_

1;0

_

thỏa mãn f

_{ }

1 2 ln 2 1 ,



   

  





x x f x  x f x x x ,  x \

_

1;0

_

. Biết f

_{ }

2 a b ln 3, với a, b là hai
số hữu tỉ. Tính T a2b.

A. 3

T  . B. 21
16

T  . C. 3

T  . D. T 0.

Câu 7. (THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y f x

_{ }

thỏa mãn y xy2 và f

_{ }

1 1 thì
giá trị f

 

2 là

A. e2. B. 2e. C. e1. D. e3.

Câu 8. (Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên



, f x

 

0 với mọi x và thỏa mãn

 

1 1

f   , f

  

x  2x1



 

x .Biết f

 

1 f

 

2 ... f



2019



a 1
b

     với





, , , 1

a b a b  .Khẳng định nào sau đây sai?

(27)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 9. (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên

_

0;

_

thỏa mãn 2xf

 

x  f x

 

3x2 x. Biết

 

1 1

f  . Tính f

 

4 ?

A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16.

Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x

_{ }

0 với mọi x, f

_{ }

0 1 và

 

f x  x f x với mọi x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f x

 

2 B. 2 f x

 

4 C. f x

 

6 D. 4 f x

 

6

Câu 11. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm liên tục trên



2; 4 và



f

 

x 0, x



2; 4



. Biết 4 3

 

3 3,



2; 4 ,



 

2 7
4

x f x _f x _ x  x f  . Giá trị của

 

f bằng

A. 40 5 1
2



. B. 20 5 1
4



. C. 20 5 1
2



. D. 40 5 1
4


.

Câu 12. (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

 

f x  f x x  x  và f

 

0 1. Tính f

 

1 .
A. 2

e. B.

e . C. e. D.

e
2.

Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn

 

2 2

 

1 1 .

xf x x f x f x

      

    với mọi x dương. Biết f

 

1  f

 

1 1. Giá trị f2

 

2 bằng
A. _f2

_{ }

₂ _ _{2 ln 2}_₂_. _B.

 

2 2 ln 2 2

f   .

C. f2

 

2 ln 2 1 . D. _f2

_{ }

₂ _ _{ln 2 1}_ _.

Câu 14. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( '( ))f x 2 f x f( ). ''( )x x32 ,x  x R

và f(0) f'(0) 1 . Tính giá trị của T  f2(2)

A. 43

30 B.

15 C.

15 D.

26
15
Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục và có đạo hàm trên 0;

2


 

 

 

, thỏa mãn

 

tan .

 

3
cos

f x x f x

x


  . Biết rằng 3 3 ln 3

3 6

f__ f_ _a b

    trong đó a b, 

. Giá
trị của biểu thức Pa b bằng

A. 14

9 B.

2
9

 C. 7

9 D.

4
9


Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên

_

0;

_

;

 

y f x liên tục, nhận giá trị dương trên

_

0;

_

và thỏa mãn

 

3 4
9
f  và

 



  

' 1 .

f x  x f x

 

  . Tính f

 

8 .

A. f

_{ }

8 49. B. f

_{ }

8 256. C.

 

8 1
16

f  . D.

 

8 49

(28)

Câu 17. Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn f

_{ }

1 2 và



x21



2 f

 

x _f x

 

_2



x21



với mọi x. Giá
trị của f

_{ }

2 bằng

A. 2

5 B.

2
5

 C. 5

 D. 5

Câu 18. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm liên tục trên
khoảng

_

0; 

_

, biết _f_

_{  }

_x _ ₂_x_₁

_

_f2

_{ }

_x _₀_,

 

0, 0

f x   x và

_{ }

2 1
6

f  . Tính giá trị của

 

2 ...



2019



P f  f   f .

A. 2021

2020. B.

2020

2019. C.

2019

2020. D.

2018
2019.

Câu 19. Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm liên tục trên đoạn



2;1



thỏa mãn f

_{ }

0 3 và

 



_{f x}



2_._f_

 

_x _₃_x2_₄_x_₂_{. Giá trị lớn nhất của hàm số}

 

y f x trên đoạn

_

2;1

_

là
A. 3

2 42 . B. 3

2 15. C. 3

42 . D. 3

15.

Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4 và

3 2

( ) ( ) 2 3

f x xf x  x  x với mọi x0. Giá trị của f(2) bằng

A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 .

Câu 21. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f

 

0 2 2,

 

0,

f x  x  và f x f

 

. 

  

x  2x1



1 f2

 

x ,  x . Khi đó giá trị f

 

1 bằng

A. 26 . B. 24. C. 15 . D. 23 .

Câu 22. (Cần Thơ 2018) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn __f_

_{ }

_x _2_ _{f x f}

_{ }

_. _

_{ }

_x _₂_x2__x_₁

  ,  x  và

 

0 3

f  f  . Giá trị của _f

_{ }

1 _2 bằng

A. 28 . B. 22. C. 19

2 . D. 10 .

Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm trên  thỏa mãn



x2

   

f x  x1

  

f x ex và

 

0 1
2

f  . Tính f

_{ }

2 .
A.

 

2 e

f  . B.

 

2 e

f  . C.

 

e
2

f  . D.

 

e
2

f  .

Câu 24. (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên \ 0;

_

1

_

thỏa mãn điều
kiện f

_{ }

1  2 ln 2 và _{x x}

_

__{1 .}

_

_f_

_{ }

_x _ _{f x}

_{ }

__x2__x_{. Giá trị}

 

2 ln 3

f a b , vớia b, . Tính

2 2

a b .
A. 25

4 . B.

2. C.

2. D.

13
4 .

Câu 25. (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y f x

 

liên tục, nhận giá trị dương trên



0;



và
thỏa mãn f

_{ }

1 1, f x

 

 f

 

x . 3x1, với mọi x0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

(29)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

0 thỏa mãn điều kiện

  



 

2 3

f x  x f x và

 

0 1
2

f   . Biết rằng tổng

 

3 ...



2017





2018



f f f f f

      với



a,b*



và a

b là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b  . B. 1

b . C. ab1010. D. ba3029.

Câu 27. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

0,

 

4 2

2
2

3x x 1

f x f x

 

  và

 

1 1

f   . Tính f

_{ }

1  f

_{ }

2 ... f

_{ }

80 .
A. 3240

6481

 . B. 6480

6481. C.

6480
6481

 . D. 3240

6481.

Câu 28. (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn



0; 2



và
thỏa mãn _f x

_{ }

_2 f x f

_{ }

. 

_{ }

x _f

_{ }

x _20. Biết f

_{ }

0 1, _f

_{ }

₂ __e6_{. Khi đó}

 

f bằng

3
2

e . B. e3. C.

5
2

e . D. e2.

Câu 29. Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên  thỏa mãn f

 

x 2 .x f x

 

ex2,  x  và f

_{ }

0 0.
Tính f

_{ }

1 .

A. _f

_{ }

₁ __e2_. _B.

 

1 1
e

f   . C.

_{ }

1 1₂
e

f  . D.

_{ }

1 1
e

f  .

Câu 30. Cho hàm số y f x

 

thỏa mãn f '

   

x f x. x4x2. Biết f

 

0 2. Tính f2

 

2 .
A. 2

_{ }

313

2
15

f  . B. 2

_{ }

332

2
15

f  . C. 2

_{ }

324

2
15

f  . D. 2

_{ }

323

2
15

f  .

Câu 31. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x

 

x e ,x x


    và

 

0 2

f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

 

e2x là
A.



x2 e



xexC. B.



x2 e



2xexC.
C.



1 e



x C. D.



1 e



x
x C.

Câu 32. Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên

_

0; 

_

thỏa mãn 2xf

_{ }

x  f x

_{ }

2x  x

_

0 ; 

_

 

1 1

f  . Giá trị của biểu thức f

_{ }

4 là:
A. 25

6 . B.

3 . C.

6 . D.

17
3 .

Câu 33. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn
điều kiện _x6 _f_

_{ }

_x 3_₂₇ _{f x}

_{ }

_₁ 4 __{0 ,}_{ }_x

   

     và f

 

1 0. Giá trị của f

 

2 bằng

A. 1. B. 1. C. 7. D. 7.

Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn:



f

 



2 f x f

 

. 

 

x 15x412x,  x  và

 

0 1

f  f  . Giá trị của _f2

_{ }

₁ _bằng

A. 5

(30)

Câu 35. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên



1; 



và thỏa mãn

 





 

2 .ln

xf x  f x xx  f x ,  x



1; 



; biết _f

 

3_e __3e_{. Giá trị} _f

_{ }

₂ _{thuộc khoảng}

nào dưới đây?
A. 12;25

 

 

 . B.

13;

 

 

 . C.

23
;12
2

 

 

 . D.

29
14;

 

 

 .

Câu 36. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên  thỏa mãn

 

3 2 ₁

2
3f x .ef x x x 0

f x

 

   với  x . Biết f

 

0 1, tính tích phân

 

. d

x f x x



A. 11

2 . B.

4 . C.

8 . D.

9
2.

Câu 37. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x

 

liên tục và không âm trên  thỏa mãn

 

₂ 2

 

₁

f x f x  x f x  và f

 

0 0. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y f x

 

trên đoạn



1;3



. Biết rằng giá trị của biểu thức P2Mm có dạng





11 3 , , ,

a b c a b c . Tính a b c 

A. a b c  7. B. a b c  4. C. a b c  6. D. a b c  5.

Câu 38. Cho hàm số y f x

 

liên tục trên \



1; 0



thỏa mãn f

 

1 2 ln 2 1 ,



   

  





x x f x  x f x x x ,  x \



1; 0



. Biết f

 

2  a bln 3, với

a b

,

là hai số
hữu tỉ. Tính T a2b.

A. 21

T  . B. 3

T  . C. T 0. D. 3

T   .

Câu 39. Cho hàm số y f x

 

liên tục trên



0; 



_{thỏa mãn} 3 .x f x

_{ }

x f2. 

_{ }

x 2f2

_{ }

x , với

 





f x   x   và

 

1 1
3

f  . Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số y f x

 

trên đoạn



1; 2



. Tính M  m.
A. 9

10. B.

10 . C.

3. D.

7
3.
Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm

Câu 1. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

ex2



x34x



.
Hàm số







F x x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4 .

Câu 2. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho

 









2
4

1 cos sin cot
sin

x x x

F x dx

 



_

và S là tổng

tất cả các nghiệm của phương trình

_{ }

F x F_ _

(31)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

2 cos 1
sin

x
f x

x


 trên khoảng

_

0;

_

. Biết rằng giá trị lớn nhất của F x

_{ }

trên khoảng

_

0;

_

là

3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 3 3 4

F_ _ 

  B.

2 3

3 2

F_  _

  C. F 3 3


 

 
 

  D.

3 3
6

F_ _ 
 
Câu 4. Biết F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

xcosx₂ sinx



 . Hỏi đồ thị của hàm số yF x

 

có
bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng



0; 4



A. 2 . B.1. C. 3. D. 0.

Câu 5. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x

_{ }

là nguyên hàm của hàm số f x

 

x cos₂ x
x


 . Hỏi đồ
thị của hàm số yF x

_{ }

có bao nhiêu điểm cực trị?

A.1. B.2. C.vơ số điểm. D.0.

Câu 6. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số

y



f x

 

. Đồ thị của hàm số

 

'

y



f

x

trên





5;3



như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol

y ax





bx c



Biết

f

 

0 

0

, giá trị của

2 f

 



5 

3 f

 

2

bằng

A. 33. B. 109

3 . C.

3 . D.11.

Câu 7. Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm liên tục trên

_

0; 

_

thỏa mãn f

_{ }

x f x

 

4x2 3x
x

    và

 

1 2

(32)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH

Dạng. Nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)



_

0dx C. 

_

k xd kx C.



d .

n x

x x C



 







1 ( )

( ) d .

n ax b

ax b x C

a n



  





 1dx lnx C.

x  



 1 dx 1lnax b C.

ax b a  



 1₂dx 1 C.

x   



 1 ₂d 1 1 .

(ax b) x   a axb C





_

sin dx x  cosxC.

 sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.

    





_

cos dx x sinx C.

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.

   



 1₂ d cot .

sin x x   x C



 ₂ d 1cot( ) .

sin ( )
x

ax b C
a

ax b    



 1₂ d tan .

cos x x  x C



 ₂d 1tan( ) .

cos ( )
x

ax b C
a

ax b   



 _{e x}xd __ex __C.



_ 1

d .

ax b ax b

e x e C

 _  _



 d .

x a

a x C

 



 d 1 .

x a

a x C

 
 





 _ _



♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a

Một số nguyên tắc tính cơ bản



Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn.



Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ.



Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .

2 2 2 2

a  a a  a



Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng

K nếu

A. F x'( ) f x( ), x K. B. f x'( )F x( ), x K.

C. F x'( ) f x( ), x K. D. f x'( ) F x( ), x K.

Lời giải
Chọn C

Theo định nghĩa thì hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng K

nếuF x'( ) f x( ), x K.

(33)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 2. (Mã 101 - 2020 Lần 1)

_

x dx2 bằng

A. 2x C . B. 1 3

3x C. C.

x C. D. 3x3C

Lời giải

Chọn B.

Câu 3. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

__x3_là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải
Chọn D

Ta có .

Câu 4. (Mã 103 - 2020 Lần 1)

_

x x4d bằng

A. 1 5

5x C B.

4x C C. x5C D. 5x5C

Lời giải
Chọn A

x x



1 5

5x C

  .

Câu 5. (Mã 104 - 2020 Lần 1)

_

x dx5 bằng

A. 4

5x C. B. 1 6

6x C. C.
6

x C. D. 6

6x C.

Lời giải
Chọn B

Câu 6. (Mã 101- 2020 Lần 2)

_

5x dx4 bằng

A. 1 5

5x C. B.

x C. C. 5x5C. D. 20x3C.

Lời giải
Chọn B

Ta có

_

5x dx4 x5C.

Câu 7. (Mã 102 - 2020 Lần 2) ₆_{x dx}5



bằng

A. 6x6C. B. x6C. C. 1 6

6x C. D.

30x C.

Lời giải
Chọn B

Ta có: ₆_{x dx}5 __x6__C



Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2)

2
3 dx x



_bằng

A. 3x3C. B. 6x C . C. 1 3

3x C. D.

3
x C.
4

4x C 3x2C x4C 1 4

4x C

4
3

d
4

x
x x C

(34)

Lời giải
Chọn D

Ta có:

2 3

3 d 3.

x x C x C



Câu 9. (Mã 104 - 2020 Lần 2) 3
4 dx x



bằng

A. ₄_x4__C_. _B.1 4

4x C. C.
2

12x C. D. _x4__C_.

Lời giải
Chọn D

Ta có 3
4 dx x



x4C.

Câu 10. (Mã 1032018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x2 là

A. 1 5 1 3

5x 3x C B.
4 2

x x C C. _x5__x3__C_. _D.₄_x3_₂_x__C

Lờigiải
ChọnA

 

f x dx



_



x4x2



dx 1 5 1 3
5x 3x C

   .

Câu 11. (Mã104-2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

2x4 là

A. _x2__C_. _B.₂_x2__C_. _C.₂_x2_₄_x__C_. _D._x2_₄_x__C_.

Lờigiải
ChọnD

Ta có

_

f x dx

 



_



2x4



dxx24x C .

Câu 12. (Mã102-2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x6 là

A. x2C. B. x26x C . C. 2x2C. D. 2x26x C .

Lờigiải
ChọnB





2x6 dxx 6x C



Câu 13. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

cosx6x là

A. sinx3x2C. B. sinx3x2C. C. sinx6x2C. D. sinxC.

Lời giải
Chọn A

Ta có

_{ }

_

_

d cos 6 d sin 3

f x x x x x x x C



Câu 14. (Mã1052017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

2 sinx.

_

2 sinxdx 2 cosx C B.

_

2 sinxdx2 cosx C

_

2 sinxdxsin2x C D.

_

2 sinxdxsin 2x C

(35)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 1 4 1 2

4x 2x C B.
2

3x  1 C C. _x3_{ }_x _C _D._x4__x2__C

Lờigiải

ChọnA



_x3__x2



_d_x



1₄x41₂x2C.

Câu 16. (Mã103- 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x

 

2x3 là

A. x23xC. B. 2x23xC. C. x2C. D. 2x2C.

Lờigiải
ChọnA

Ta có

_

_

2x3 dxx 3xC



Câu 17. (ĐềMinhHọa2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

 2x1.

 



2 1



2 1 .

f x dx x x C



 



2 1



2 1 .

f x dx x x C



 

1 2 1 .

f x dx  x C



 

1 2 1 .

f x dx x C



Lờigiải
ChọnB

 













1
2
1

2 1 2 1 2 1

2
1

2 1 2 1
3

f x dx x dx x d x

x x C

    

   



Câu 18. (ĐềThamKhảo2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

x2 2₂
x

  .

 

f x x C

  



. B.

 

2
d

f x x C

  



 

1
d

f x x C

  



. D.

 

2
d

f x x C

  



Lờigiải
ChọnA

Ta có

3
2

2 2

d
3

x x C

x x

 

   

 

 



Câu 19. (Mã1102017) Tìm nguyên hàm của hàm số

_{ }

1
5 2

f x
x



 .

A. d 1ln 5 2

5 2 5

x C

x   



B. d ln 5 2

5 2

x C

x   



C. d 1ln 5 2

5 2 2

x C

x    



D. d 5 ln 5 2

5 2

x C

x   



Lờigiải
ChọnA

Áp dụng công thức dx 1ln ax b C a

_

_

ax b a   



ta được d 1ln 5 2

5 2 5

x C

x   

(36)

Câu 20. (Mã1232017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

 

cos 3x

_

cos 3xdx3 sin 3x C B.

_

cos 3 sin 3 

3
x

xdx C

_

cos 3xdxsin 3x C D.

_

cos 3  sin 3 

3
x

xdx C

Lờigiải
ChọnB

Ta có:

_

cos 3 sin 3 
3

xdx C

Câu 21. (Mã1042018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là

A. 1 4 1 3

4x 3x C B.
2

3x 2xC C. 3 2

x x C D. 4 3

x x C

Lờigiải
ChọnA

Câu 22. (ĐềThamKhảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

exx là

A. x 1

e  C B. exx2C C. 1 2
2

e  x C D. 1 1 2

1 2

e x C

x  

Lờigiải
ChọnC

Câu 23. (Mã101-2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là

A. _x2__C_. _B._x2_₅_{x C}_ _. _C.₂_x2_₅_{x C}_ _. _D.₂_x2__C_.

Lờigiải
ChọnB

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )f x 2x5 là _{F x}_{( )}__x2_₅_{x C}_ _.

Câu 24. (Mã1042017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

7x.

A. 7 d 7
ln 7

x
x

x C



B. _{7 d}x _x_₇x1__C



7
7 d

x
x

x C

x


 





_

7 dx x7 ln 7x C

Lờigiải
ChọnA

Áp dụng công thức d , 0





x a

a x C a

   



ta được đáp án B

Câu 25. (Mã1022018) Nguyên hàm của hàm số f x

 

x4x là

A. 4x3 1 C B. x5x2C C. 1 5 1 2

5x 2x C D.

x  x C

Lờigiải
ChọnC

Ta có





d 1 5 1 2

5 2

x x x x  x C

(37)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. x3C B.

x C

  C. 6xC D. x3xC

Lờigiải
ChọnD



₃_x2_₁



_dx__x3_{ }_x _C_.



Câu 27. (THPTAnLãoHảiPhịng2019) Tìm ngun hàm

_

x x



27



15dx?

A. 1



2 7



2 x  C B.





16
2
1

32 x C

   C. 1



2 7



16 x  C D.





16
2
1

7
32 x  C

Lờigiải
ChọnD



2 ₇



15_dx 1



2 ₇





2 ₇





2 ₇



2 32

x x   x  d x   x  C



Câu 28. (THPTBaĐình-2019) Họ nguyên hàm của hàm số 3
(x) x

f e là hàm số nào sau đây?

A. 3exC. B. 1 3
3 

e C. C. 1

3 

e C. D. 3

3e xC.

Lờigiải

Ta có: 3 1 3

d ,

x x

e x e C



với C là hằng số bất kì.

Câu 29. (THPTCẩmGiàng2 2019) Tính

_



xsin 2 dx x



sin
2

x C

  . B.

cos 2
2

x C

  . C. 2 cos 2

x  C. D.

cos 2

2 2

x x

  .

Lờigiải

Ta có

_

_

xsin 2x

_

d =x

_

x xd 

_

sin 2 dx x

cos 2

2 2

x x

   .

Câu 30. (THPTHoàngHoaThámHưngYên2019) Nguyên hàm của hàm số ye2x1 là

A. 2e2x 1
C


 . B. e2x 1
C


 . C. 1e2 1
2

C


 . D. 1e
2

x
C

 .

Lờigiải

Ta có: e2 1d 1 e2 1d 2





1e2 1

2 2

x x x

x x C

  

   



Câu 31. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

2 3

f x
x




A. ln 2x3C. B. 1ln 2 3

2 x C. C.

ln 2 3

ln 2 x C. D.





lg 2 3

2 x C.

Câu 32. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 1
3x

y x

   .

3 1

,
3 ln 3

C C
x

   . B.

2
1

3 ,

C C
x

   .

3
3

ln ,
3 ln 3

x C C

   . D.

3
3

ln ,
3 ln 3

x C C

   .

(38)

Ta có:

2 ₃ 1 _d 3 _ln _,

3 ln 3

x x

x x x C C

 

      

 

 



.

Câu 33. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

sin 3x



3cos3

x C



. B.

3cos3

x C



. C. 1cos3

3 xC. D.
1

cos3

3 x C

  .

Lờigiải

cos 3
sin 3 dx

x   C



Câu 34. (ChuyênKHTN2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

3x2sinx là

A. _x3__cos_x__C_. _B.₆_x__cos_{x C}_ _. _C._x3__cos_x__C_. _D.₆_x__cos_{x C}_ _.

Lờigiải

Ta có

_



3x2sinx



dxx3cosxC.

Câu 35. (ChuyênBắcNinh-2019) Công thức nào sau đây là sai?

A. ln dx x 1 C
x

 



. B. 1₂ d tan

cos x x x C



_

sin dx x cosx C . D. e dx _x_ex__C



Lờigiải

Ta có: ln dx x 1 C
x

 



sai.

Câu 36. (ChuyênBắcNinh2019) Nếu _{f x}

_{ }

_d_x_₄_x3__x2__C



thì hàm số f x

 

bằng

 

3
4

f x x  Cx. B. f x

 

12x22x C .

C. f x

 

12x22x. D.

 

3
4

x
f x x  .

Lờigiải

Có f x

 





4x3x2C



12x22x.

Câu 37. (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. cos 2 1sin 2
2
d

x x x C



. B.

e
e

1
d

x x C



 





C. 1dx ln x C

x  



. D.

e
e d

x
x

x C

x


 





Lờigiải

Ta có:

e
e d

x
x

x C

x


 





sai vì e dx _x_ex __C



Câu 38. (THPTLươngThếVinhHàNội2019) Nguyên hàm của hàm số y2x là

_

2xdxln 2.2xC. B. 2xd 2x
x C



. C. 2

d 2

x
x

x C



. D. 2

1
d

x
x

x C

 





(39)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Do theo bảng nguyên hàm:

l a
d

x a

a x C



Câu 39. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

3 sin

f x  x x.

_

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

 

d cos

f x x  x C



 

d cos

f x x  x C



. D.

_

f x x

 

d  3 cosx C .

Lờigiải

Ta có

 





d 3 sin d cos

f x x x x x  x C



Câu 40. (SởBìnhPhước2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x xs inxlà

A. _x2__{cos x+C} _B._x2__{cos x+C} _C.
2

cos x+C
2

 D.

cos x+C
2



Lờigiải
ChọnC

Theo bảng nguyên hàm cơ bản

Câu 41. (THPTMinhKhaiHàTĩnh2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( )f x cosx là:

A. cosx C . B. cosx C . C. sinx C . D. sinx C .

Lờigiải

Ta có cos d

_

x xsinx C .

Câu 42. (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

x4x2 là

A. 4x32xC. B. x4x2C. C. 1 5 1 3

5x 3x C. D.

5 3

x x C.

Lờigiải.

Ta có

_{ }



4 2



d 1 5 1 3

5 3

f x x x x x x  x C



Câu 43. (THPTCùHuyCận2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

ex2x là.

A. exx2C. B. exx2C. C. 1 2

e x C

x   . D. 2

e  C.

Lờigiải

Ta có:



x 2



x 2
e  x dxe x C



Câu 44. (ChuyênHùngVươngGiaLai2019) Họ các nguyên hàm của hàm số ycosx x là

A. 1 2

sin
2

x x C. B. 2

sinxx C. C. 1 2
sin

x x C

   . D. 2

sinx x C

   .

Lờigiải





1 2

cos d sin
2

xx x x x C



Câu 45. (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Họ nguyên hàm của hàm số y x2 3x 1
x

(40)

3 2

ln .

3 2

x x

x C

   B.

3 2

ln .

3 2

x x

x C

  

3 2

ln .

3 2

x x

x C

   D.

3 2

3 1

3 2

x x

C
x

  

Lờigiải

Ta có:

3 2

2 1 3

( 3 )d ln .

3 2

x x

x x x x C

     



Câu 46. (ChuyenPhanBộiChâuNghệAn2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

1 sinx
x

  là

A. lnxcosxC. B. 1₂ cosx C
x

   . C. ln xcosx C . D. ln xcosx C .

Lờigiải

Ta có f x

_{ }

dx 1 sinx dx 1dx sin dx x ln x cosx C

x x

 

 _  _     

 



Câu 47. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Hàm số

_{ }

1 3
3

F x  x là một nguyên hàm của hàm số nào
sau đây trên



 ;



A. f x

 

3x2. B. f x

 

 x3. C. f x

 

x2. D.

 

1 4
4

f x  x .

Lờigiải

Gọi

_{ }

1 3
3

F x  x là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

Suy ra F'

_{ }

x  f x

_{ }

 f x

_{ }

x2.

Câu 48. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

2x.

_

f x

_{ }

dx2xC. B.

 

d 2
ln 2

x
f x x C



_

f x

 

dx2 ln 2x C. D.

 

2
d

f x x C

x


 





Lờigiải

Ta có:

 

d 2 d 2
ln 2

x
x

f x x x C



Câu 49. (THPT-nĐịnhThanhHóa 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

 

x
f x



 .

 

1
d

f x x C

  



. B.

 

2
d

f x x C

  



 

1
d

f x x C

  



. D.

 

2
d

f x x C

  



Lờigiải

Ta có:

 

4 3

2 2

2 2 2

d d d

x x

f x x x x x C

x x x

  

  _  _   

(41)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 50. (SởHàNội2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số yex?

A. y 1
x

 . B. yex. C. y_ex_.

D. ylnx.

Lờigiải

Ta có:

 

ex ex yex là một nguyên hàm của hàm số yex.

Câu 51. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính 2

( )

F x 

_

e dx, trong đó e_{là hằng số và}

2, 718

e .

2 2

( )
2

e x

F x  C. B.

( )
3

F x  C. C. F x( )e x C2  . D. F x( )2ex C .

Lờigiải

Ta có: F x( )

_

e dx2 e x C2  .

Câu 52. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

_{ }

1
1 2

f x



 trên
1

;
2

 



 

 

A. 1ln 2 1

2 x C. B.





ln 1 2

2  x C. C.
1

ln 2 1

2 x C

   . D. ln 2x 1 C.

Lờigiải

Trên khoảng ;1
2

 



 

 

, ta có:

_

f x x

_{ }

d 1 d
1 2x x






1 1 d 1 2





2 1 2x x

  





1ln 2 1

2 x C

    .

Câu 53. (ChuyênHưngYên2019) Nguyên hàm của hàm số

f x

 



2 

x

là

2 ln 2

2 x

C



. B. 2

x C

  . C.

2 ln 2

x

C



. D.

2 x

C



Lờigiải

Ta có





d 2 1 2

ln 2 2

x
x

x x x C

   



Câu 54. (ChuyênSơnLa2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

 1 sinx

A. 1 cos x C . B. 1 cos x C . C. xcosxC. D. xcosxC.

Lờigiải

Ta có

_

f x x

 

d 

_



1 sin x x



d  x cosx C .

Câu 55. (THPTĐơngSơnThanhHóa2019) Ngun hàm của hàm số f(x) 1 3 2 2 2019
3x  x  x là

A. x  x  x C

2
3

2
12

1 4 3 2

. B.

4 3

1 2

2019

9 3 2

x  x   x C .

4 3

1 2

2019

12 3 2

x  x   x C . D.

4 3

1 2

2019

9 3 2

x  x   x C .

(42)

Sử dụng công thức

n x

x dx C

n


 





ta được:

4 3 2

3 2 4 3 2

1 1 1 2 1

2 2019 . 2. 2019 2019 .

3 3 4 3 2 12 3 2

x x x

x x x dx x C x x x x C

 

            

 

 



Câu 56. (THPTYênKhánh-NinhBình-2019) Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 1

3 1

f x
x



 trên khoảng

1
;

 



 

  là:

A. 1ln(3 1)

3 x C B. ln(1 3 ) x C C.

ln(1 3 )

3  x C D. ln(3x 1) C

Lờigiải

Ta có: 1 1 (3 1) 1ln 3 1 1ln(1 3 x) C

3 1 3 3 1 3 3

d x

dx x C

x x



      

 



(do ;1

x _ _
 )

Câu 57. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. 2 dx 2 ln 2x

x C



. B.

2 e

e d
2

x C



C. cos 2 d 1sin 2

x x x C



. D. 1 d ln 1

1 x x C

x   





  x 1



Lờigiải
ChọnA

Ta có: 2 d 2
ln 2

x
x

x C



Câu 58. (Chuyên Lê HồngPhong Nam Định 2019) Cho hàm số

4
2

2 3

( ) x

f x
x



 . Khẳng định nào sau
đây là đúng?

2 3

( )

3 2

f x dx C

  



. B.

2 3

( )

f x dx C

  



2 3

( )

f x dx C

  



. D. _{f x dx}_{( )} ₂_x3 3 _C

  



Lờigiải
ChọnB

Ta có

4 3

2 2

2 3 3 2 3

( ) 2

x x

f x dx dx x dx C

x x x

  

  _  _   

 



Câu 59. (SởThanhHóa2019) Cho hàm số

f x

 



2  

x

1

. Tìm



f x

 

d

x



f x

 

d

x



2 

x

 

x C

. B.

 

d

1

2

1 ln 2

2 f x

x





x

 

x C



 

d

2

1

2 f x

x





x

 

x C



. D.

 

d

1

2

1

2 f x

x

x C

x



 







(43)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có:



2

1 

d

1

2

1 .

ln 2

2 _{ }

_x

_

_

_x

_{ }

_{x C}



Câu 60. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

3 sin

f x  x x.

_

f x x

 

d 3x2cosx C . B.

_{ }

2
3

d cos

f x x  x C



_{ }

2
3

d cos

f x x  x C



. D.



f x x

 

d  3 cosx C .

Lờigiải
ChọnC

Ta có

_{ }

_

_

2
3

d 3 sin d cos

f x x x x x  x C



Câu 61. (ChuyênBắcGiang2019) Hàm số

_{ }

F x e là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số
sau:

A. f x( )2xex2. B. f x( )x e2 x2 1. C. _{f x}_{( )}__e2x_. _D.

2
( )

e
f x

 .

Lờigiải
ChọnA

Ta có f x

 

F x

 

 f x

_{ }



 

ex2 2xex2.

Câu 62. (ChuyênĐạiHọcVinh2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )_{f x} _3x_là

A. 3

ln 3

x
C


  B. _3x__C _C.₃x_{ln 3}__C _D.3

ln 3

x
C




Lờigiải
ChọnA

Ta có ( )d 3 d 3 d( ) 3
ln 3

x x

f x x x x C



 

      



Câu 63. (SởPhúThọ2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x3x2 là

4 3

4  3 

x x

C. B. 4 3

 

x x C. C. 2

3x 2xC. D.

4 3

3  4 

x x

Lờigiải
ChọnA

 

_

_

4 3
3 2

4 3

    



f x dx



x x x x x C.

Câu 64. (Chuyên ĐHSPHàNội2019) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của
hàm số yx2019?

2020

 . B.

2020

. C. y2019x2018. D.

2020

1
2020

 .

(44)

Ta có:

2020
2019

d ,

2020

x x C C



là hằng số. Nên các phương án A,B,D đều là nguyên hàm của
hàm số yx2019.

Câu 65. (ChuyênQuốcHọcHuế2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số yx23x 1

3 ₃

ln ,
3 ln 3

x C C R

    B.

3 ₃

ln ,
3 ln 3

x C C R

   

2
1

3 ,

C C R

    D.

3 1

,
3 ln 3

C C R

   

Lờigiải

Ta có:

2 3

d ln ,

3 ln 3

1
3

x x

x R

x x C C



   


 

 

  



Câu 66. (QuảngNinh2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

_{ }

2017 2018₅

x e

f x e



 

 _  _

 

A. f x

 

dx 2017ex 2018₄ C
x

  



. B. f x

 

dx 2017ex 2018₄ C

  



C. f x

 

dx 2017ex 504,5₄ C
x

  



. D. f x

 

dx 2017ex 504,5₄ C

  



Lờigiải

 

5 5 4

2018 2018 504, 5

d 2017 d 2017 d 2017

x e x x

f x x e x e x e C

x x x



   

 _  _  _  _   

 



Câu 67. (HSGBắcNinh2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2 ₂
cos

x e

y e



 

 _  _

 

là

A. 2extanx C B. 2extanx C C. 2 1
cos

e C

  D. 2 1

cos

e C

 

Lờigiải

Ta có: 2 ₂ 2 1₂

cos cos

x e x

y e e

x x



 

 _  _ 

 

2
1

2 2 tan

cos

x x

ydx e dx e x C

 

 _  _   

 



Câu 68. (ChuyênHạLong2019) Tìm nguyên F x

_{ }

của hàm số f x

_{  }

 x1

_

x2

_

x3 ?

_

 

3 11 2

6 6

4 2

F x   x  x  x C . B. _{F x}

_{ }

__x4_₆_x3_₁₁_x2_₆_{x C}_ _.

 

3 11 2

2 6

4 2

F x   x  x  x C . D. F x

 

x36x211x26x C .

Lờigiải

Ta có: _{f x}

_{ }

__x3_₆_x2_₁₁_x_₆

_{ }





3 2 3 11 2

6 11 6 2 6

4 2

F x x x x dx x x x C

 

_

        .

Câu 69. (SởBắcNinh2019) họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

1
5 4




f x

(45)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 1ln 5

_

_

5 x C. B. ln 5x4C. C.
1

ln 5 4

ln 5 x C. D.
1

ln 5 4
5 x C.

Lờigiải

Ta có 1 d 1 1 d 5

_

_

1ln 5 4
5 4 5 5 4  5  



x x C

(46)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản có điều kiện

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


_

0dx C. 

_

k xd kx C.



d .

1
n

n x

x x C



 







1
1 ( )

( ) d .

1
n

n ax b

ax b x C

a n



  





 1dx lnx C.

x  



 1 dx 1lnax b C.

ax b a  



 1₂dx 1 C.
x

x   



 1 ₂d 1 1 .

(ax b) x   a axb C







sin dx x  cosxC.

 sin(ax b x)d 1cos(ax b) C.

    







cos dx x sinx C.

 cos(ax b x)d 1sin(ax b) C.

   



 1₂ d cot .

sin x x   x C



 ₂ d 1cot( ) .

sin ( )

ax b C
a

ax b    



 1₂ d tan .

cos x x  x C



 ₂d 1tan( ) .

cos ( )

ax b C

ax b   







e xxd ex C.

 eax bdx 1eax b C.

 _  _



 d .

ln
x

x a

a x C

 



 d 1 .

ln
x

x a

a x C

 
 





 _ _



♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (axb) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản



Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn.



Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ.



Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 1 1cos2 , cos2 1 1cos2 .

2 2 2 2

a  a a  a



Chứa tích các căn thức của x PP  chuyển về lũy thừa.

Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

 
 
 

 thỏa mãn

 

2 ,

 

0 1,

 

1 2

2 1

f x f f

   

 . Giá trị của biểu thức f

 

1  f

 

3 bằng

A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15

Lời giải

Chọn C

 

ln 2 1

dx x C f x



NGUYÊN HÀM

(47)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Với 1

x , f

 

0 1C1 nên f

 

1  1 ln 3

Với 1,

_{ }

1 2 2

x f  C nên f

 

3  2 ln 5

Nên f

 

1  f

 

3  3 ln15

Câu 2. (Sở Phú Thọ 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của

_{ }




f x

x trên khoảng



1;



thỏa

mãn F e

_

1

_

4Tìm F x

_{ }

A. 2 ln



x1



2 B. ln



x1



3 C. 4 ln



x1



D. ln



x1



3

Lờigiải

Chọn B

 

F x = 1 ln 1
1

    





dx C x C



1



4

F e . Ta có 1C 4 C3

Câu 3. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

 

1 ,

2
f x

x




biết F

 

1 2. Giá trị của F

 

0 bằng

A. 2 ln 2. B. ln 2. C. 2 ln

 

2 . D. ln

 

2 .

Lờigiải
Cách 1:

Ta có:

_{ }

d 1 d ln 2 ,

f x x x x C C

    





.

Giả sử F x

 

ln x2C₀ là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãnF

 

1 2.

Do F

 

1  2 C₀  2 F x

 

ln x22.Vậy F

 

0  2 ln 2.

Câu 4. (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm

 

1
2 1
f x

x


 ; biết F

 

0 2. Tính F

 

1 .

 

1 1 3 2

F  ln  . B. F

 

1 ln32. C. F

 

1 2 3 2ln  . D.

 

1 1 3 2

F  ln  .
Lời giải

Chọn D

Ta có

 

1 1ln 2 1

2 1 2

F x dx x C

   





 

0 2 1ln 2.0 1 2 2

F    C  C 

Vậy

 

1ln 2 1 2

 

1 1ln 3 2

2 2

(48)

Câu 5. (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Hàm số F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số y 1
x

 trên

_

;0

_

thỏa mãn F

 

2 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

 





2
x

F x  _ _   x

 

B. F x

 

ln xC   x



; 0



với C là một số thực bất kì.
C. F x

 

ln x ln 2  x





D. F x

 

ln



x



C   x





với C là một số thực bất kì.
Lời giải

Ta có F x

 

1dx ln x C ln







_

     với   x





Lại có F

_{ }

2  0 ln 2C 0 C ln 2. Do đó

_{ }

_

_

ln 2 ln

2
x
F x  x   _ _

 .

Vậy

_{ }

_

_

2
x

F x  _ _   x

  .

Câu 6. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số f x

_{ }

xác định trên R\ 1

_{ }

thỏa mãn

 

1
1
f x

x
 

 , f

 

0 2017, f

 

2 2018. Tính S  f

 

3  f

 

1 .

A. Sln 4035. B. S4. C. Sln 2. D. S1.
Lời giải

Trên khoảng

_

1;

_

ta có '

 

1
f x dx dx

x






ln



x1



C1 f x

 

ln



x1



C1.

Mà f(2)2018C₁2018.

Trên khoảng

_

;1

_

ta có '

 

1
f x dx dx

x






ln 1



x



C2 f x

 

ln 1



x



C2.

Mà f(0)2017C₂ 2017.

Vậy

_{ }

ln( 1) 2018 khi 1

ln(1 ) 2017 khi 1

x x

f x

x x

  


 

  



. Suy ra f

_{ }

3  f

_{ }

1 1.

Câu 7. (Mã 105 2017) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số _{f x}( )_ex2_x_thỏa mãn

_{ }

 3

0
2

F .

Tìm F x

 

  21

F x e x B.

 

  25

F x e x

 

  23

F x e x D.

 

2  21

F x e x

Lời giải

Chọn A

Ta có

 











  

2 d

x x

F x e x x e x C

Theo bài ra ta có:

 

0  1  3  1

2 2

(49)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 8. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

e2x

và F

_{ }

0 0. Giá trị của F

_

ln 3

_

bằng

A. 2. B. 6. C. 8. D. 4.

Lời giải

 

2 _d 1 2 _;

 

₀ ₀ 1

 

1 2 1

2 2 2 2

x x x

F x 

_

e x e C F  C  F x  e  .

Khi đó

_

_

1 2 ln 3 1

ln 3 4

2 2

  

F e .

Câu 9. (Sở Bình Phước 2019) Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số e2x và

 

0 201

F   Giá trị

1
2
F _{ }

  là

A. 1 200

2e B. 2e100 C.

1
50

2e D.

1
100
2e
Lời giải

Chọn D

Ta có 2 d 1 2

x x

e x e C



Theo đề ra ta được:

 

0 201 1 0 201 100

2 2 2

F   e C C .

Vậy

1
2

2 2

1 1 1 1

( ) 100 100 100

2 2 2 2

F x  e  F _{ } e    e

  .

Câu 10. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f x

 

có đạo hàm liên tục trên  và:

 

2e x 1,

f x   x f,

_{ }

0 2. Hàm f x

 

là

A. _y_2ex _2_x_. _B._y__2ex_₂_. _C._y__e2x_{ }_x ₂_. _D._y__e2x_{ }_x ₁_.

Lời giải

Ta có:

_

f

_{ }

x dx





2e x 1 dx



_

 e2x x C.
Suy ra f x

 

e2x x C.

Theo bài ra ta có: f

 

0 2 1 C2C1.

Vậy: f x

 

e2x x 1.

Câu 11. (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f x

 

2x e x. Tìm một nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

thỏa mãn F

 

0 2019.

A. F x

 

x2ex2018. B. F x

 

x2ex2018.

C. F x

 

x2ex2017. D. F x

 

ex2019.

Lời giải

Ta có

_{ }





    



f x dx



x e dxx x ex C.

(50)

Suy ra

 

0 2019

   








F x x e C

F  1 C2019C2018.

Vậy

 

 2 x2018

F x x e .

Câu 12. Gọi F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

_2x_{, thỏa mãn}

_{ }

₀ 1

ln 2

F  . Tính giá trị biểu

thức T F

_{ }

0 F

_{ }

1 ...F

_

2018

_

F

_

2019

_

.
A.

2019

2 1

1009.
ln 2

T   . B. T 22019.2020.

2019

2 1

ln 2

T   . D.

2020

2 1

ln 2

T   .

Lời giải

Ta có

 

d 2 d 2

ln 2
x
x

f x x x C



 

F x là một nguyên hàm của hàm số _{f x}

_{ }

_2x_, ta có

 

2
ln 2

F x  C mà

 

0 1
ln 2
F 

 

ln 2
x

C F x

    .

 

1 ...



2018





2019



T F F  F F



2 2018 2019



1 2 2 ... 2 2
ln 2

     

2020

1 2 1

ln 2 2 1






2020

2 1

ln 2





Câu 13. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

sinxcosx thoả mãn 2

F_ _
 

A. F x

_{ }

 cosxsinx3 B. F x

_{ }

 cosxsinx1

C. F x

 

 cosxsinx1 D. F x

 

cosxsinx3

Lời giải

Chọn C

Có F x

_{ }



_

f x

_{ }

dx

_

_

sinxcosx

_

dx cosxsinxC

Do cos sin 2 1 2 1

2 2 2

F_ _     C  C C

 

 

cos sin 1

F x x x

     .

Câu 14. (Mã 123 2017) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x'

 

 3 5 sinx và f

 

0 10. Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A. f x

 

3x5 cosx15 B. f x

 

3x5 cosx2

C. f x

 

3x5 cosx5 D. f x

 

3x5 cosx2

Lời giải

Chọn C

Ta có f x

 



_



3 5 sinx



dx3x5 cosx C
Theo giả thiết f

 

0 10 nên 5C10C5.

(51)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 15. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn f

_{ }

x  2 5sinx và f

_{ }

0 10. Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A. f x

_{ }

2x5 cosx3. B. f x

_{ }

2x5 cosx15.

C. f x

_{ }

2x5 cosx5. D. f x

_{ }

2x5 cosx10.

Lời giải

Ta có: f x

_{ }



_

f

_{ }

x dx

_

_

2 5sin x

_

dx2x5 cosxC.

Mà f

_{ }

0 10 nên 5C10C5.

Vậy f x

_{ }

2x5 cosx5.

Câu 16. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm

 

cos 3

f x  x và 2

2 3

F_



_

  . Tính F 9



 
 
 .

A. 3 2

9 6

F_ _ 

  B.

3 2

9 6

F_ _ 

  C.

3 6

9 6

F_ _ 

  D.

3 6

9 6

F_ _ 

 

Lời giải

 

cos 3 d sin 3

x
F x 

_

x x C

2 3

F_



_

  C1

 

sin 3
1
3

x
F x

  

sin

3 6
3 ₁

9 3 6





 

 _ _  

  .

Câu 17. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

1
cos

f x

 . Biết

F_



k



_k

  với mọi k. Tính F

 

0 F

 



F









...F







A. 55. B. 44. C. 45. D. 0.

Lời giải

Ta có

_{ }

d d₂ tan

cos

f x x x C

  



Suy ra

_{ }

0 0 0

1 1 1

tan , ; 0 1 0 1

2 2 4

tan , ; 1 1 0

2 2 4

3 5

tan , ; 2

2 2 4

...

17 19

tan , ;

2 2

19 21

tan , ;

2 2

x C x F C C

x C x F

F x

x C x

  



  



  



 
 

    

  _ _ _  _     



   



    

       

    

   



 _ _ _ _

  

 _ _ _

_ _ _  _




  

 _{ } _



 



 _ _

 

  

 



2 0

9 9

10 10

1 2 1

...

9 1 9 8

10 1 10 9.

C C

F C C















    

 _







  

     

 



 



  

     

  

 



(52)

Câu 18. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

f x  , thỏa mãn

 

0 1
ln 2

F  . Tính giá trị biểu thức T F

_{ }

0 F

_{ }

1 F

_{ }

2 ...F

_

2019

_

2020

2 1

ln 2

T   . B.

2019

2 1

1009.
2

T   . C. T 22019.2020. D.

2019

2 1

ln 2

T   .

Lời giải
Chọn A

Ta có:

_{ }

2 d 2

ln 2
x
x

F x 

_

x C.

Theo giả thiết

 

1 2 1

0 0

ln 2 ln 2 ln 2

F   C C  . Suy ra:

 

ln 2
x

F x 

Vậy

_{ }

_

_

0 1 2 2019

2 2 2 2

0 1 2 ... 2019 ...

ln 2 ln 2 ln 2 ln 2

T F F F  F     



0 1 2 2019



2020 2020

1 1 1 2 2 1

2 2 2 ... 2 .1.

ln 2 ln 2 1 2 ln 2

 

      

 .

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

“ Nếu

_

f x dx

 

F x

 

C thì

_

f u x



 



. 'u x dx

 

F u x



 



C”.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I 

_

f x dx

 

, trong đó ta có thể phân tích

 



 



 

f x g u x u x dx thì ta thức hiện phép đổi biến số tu x

_{ }

 

dt u x dx

  . Khi đó: I

_

g t dt

_{ }

G t

_{ }

CG u x



_{ }



C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay tu x

_{ }

1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp

_

f ax b x x(  )n d  PP t ax b .

 ( ) ( )d ( ).

n n

f x f x x  t f x





(ln ) d ln .

f x x t x

x  



 ( ) d .

x x x

f e e x t e





(sin ) cos d sin .
b

f x x x t x



 (cos ) sin d cos .

f x x x t x





(tan ) d tan .

cos
b

f x x t x

x  



 (sin cos ).(sin cos )d sin cos .

f x x x x x t x x





2 2 2

f( a x )x ndx PP x asin .t





  







2 2



f ( x a )m x ndx PP x atan .t





  





f a x dx PP x acos 2 .t
a x





 _ 

 

 

 







( )( )

t ax b cx d

ax b cx d





    

 





s ,.,sk d n .

R ax b ax b x t ax b





 _ _  _ _ _

 



 d 1

( )

PP
n

n n

x
t
a bx a bx





  

 





2. Đổi biến số với hàm ẩn

(53)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

b b b

a a a

f u u f t t   f x x 



Câu 19. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết

_{ }

x 2

F x e x là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

trên . Khi

đó

_

 

2x dx bằng

A. 2ex 2x2C. B. 1 2 2

.
2

e x C C. 1 2 2

2 .

2
x

e  x C D. e2x4x2C.

Lời giải
Chọn C

Ta có: F x

_{ }

exx2 là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên 

 

1 2 2

2 2 2 2 2 .

2 2 2

f x dx f x d x F x C e x C



_



_

    

Câu 20. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết

 

x 2 2

F x e  x là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên . Khi

đó

_

_{ }

2x dx bằng
A.

2 _e

_

4 _x

_

_C

.

B. 1 2 ₄ 2 _.

2
x

e  x C C.

_e

_

8 _x

_

_C

.

D. 1 2 ₂ 2 _.

2
x

e  x C

Lời giải
Chọn B

Ta có: F x

_{ }

ex2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

trên 

Suy ra:

 





 

2 4 2 8

x x x

f x F x  e  x e  x f x e  x

 





1 2 2

2 8 4 .

x x

f x dx e x dx e x C



_



_

   

Câu 21. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x

_{ }

exx2 là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

trên . Khi

đó

_

_{ }

2x dx bằng

A. 1 2 2 2

2
x

e  x C. B. e2x4x2C. C. 2ex2x2C. D. 1 2 2
2

e x C.
Lời giải

Chọn A

Ta có

_

 

2x dx 1

   

2 d 2

2 f x x



_

 

2
2F x C

  1 2 2 2
2

e x C
   .

Câu 22. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết

 

ex 2 2

F x   x là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên . Khi

đó

_

_{ }

2x dx bằng

A. 2 2

e x 8x C. B. 2

2ex4x C. C. 1 2 2

e 2

2
x

x C

  . D. 1 2 2

e 4

2
x

x C

  .

Lời giải
Chọn D

Đặt 2 d 2d d d

(54)

 

₂ _d 1

 

_d 1

 

1 _e ₂ 2 1_e2

 

₂ 2 1_e2 ₄ 2

2 2 2 2 2

t x x

f x x f t t F t C  _  t _C  x C  x C



Câu 28. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết



₂



_d _sin2 _ln

f x x x xC



. Tìm nguyên hàm

_

f x

_{ }

dx?

 

d sin2 ln

2
x

f x x  x C



. B.

_

f x

 

dx2sin 22 x2lnx C .
C.

 

d 2sin 2 ln
2
x

f x x  x C



. D.

 

d

2sin

2ln

f x

x



x



x C





Lời giải
Chọn C

Ta có:

_

_

2 1

_

_{ }

_

1 cos 2

_{ }

2 d sin ln 2 d 2 ln 2 ln 2

2 2

f x x x x C  f x x    x  C





_

_{   }

2x d 2x  1 cos 2x2 ln 2

_{ }

x 2 ln 22C

 

_d _{1 cos} _{2 ln} _{2 ln 2} ₂

 

_d _{2 sin}2 _{2 ln}

f x x x x C f x x x C



_

     

_

   .

Câu 46. [DS12.C3.1.D09.b] Cho

_

f(4 ) dx xx23x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

( 2) d 2

f x x  xC



. B.

_

f x( 2) dxx27x C .
C.

( 2) d 4

f x x  xC



. D.

( 2) d 4

f x x  xC



Lời giải
Chọn C

Từ giả thiết bài toán

_

f(4 ) dx xx23x c .

Đặt t4xdt4dx từ đó ta có

2 2

( )d 3 ( )d 3

4 4 4 4

t t t

f t t _{ }   _{ } c f t t  tc

   



Xét

2 2

( 2)

( 2)d ( 2)d( 2) 3( 2) 4

4 4

x x

f x x f x x    x  c  xC



Vậy mệnh đề đúng là

( 2)d 4

f x x  x C



Câu 5. [DS12.C3.1.D09.b] Cho

_

f x

 

d

x



4 x



2 x C



₀. Tính

I



_

xf x

 

d

x

I



2 x



x



C

. B.

10 6

10

6 x

I





C

.
C.

I

4

x



2 x



C

. D.

I



12 x



2

Lời giải
Chọn A

Ta có:

 

d

1  

d

1 

 

2 3 2

 



2

6 2

2

xf x f x x x C

I



_

x



_

x



 



x



x



C

(55)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 

3
1

d .e



 



f x x x x C. B.

_

f x

 

dx3ex31C.
C.

_

f x

 

dxex31C. D.

 

d 1e 3 1

3


 



f x x x C.
Lời giải

 



f x x 2e31d


_

x x 1 _e 3 1_d



3 ₁



3




_

x _x  1_e 3 1

3


 x _C_.

Câu 24. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của f x

_{ }

sin 2 .x esin2x là
A. sin2 . sin2x 1

x e  C

 . B.
2

sin 1
2

sin 1
x
e

C
x



 . C.
2
sin x

e C. D.
2

sin 1
2

sin 1
x
e

C
x




 .
Lời giải

Ta có _{sin 2 .}_{x e}sin2x_dx



_ _esin2x_d



_sin2_x





esin2xC

Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số

 

₉ 1 ₅

3x
f x

x




 

4 4

1 1

x ln

3x 36 3

f x d C

   





 

4 4

1 1

x ln

12x 36 3

f x d C

   





_{ }

4 4

1 1

x ln

3x 36 3

f x d C

   





_{ }

4 4

1 1

x ln

12x 36 3

f x d C

   





Lời giải

Chọn A

 

  



  







  



4 4

3 4

2 2 2

9 5 ₄ ₄ ₄ ₄ ₄ ₄

1 1 1

x x

3 ₃ 4 ₃ 12 ₃

x x

x dx

f x d d dx dx

x x _x _x _x _x _x _x

 

   

 _ _ _



 





4 4 4

2 4 4 4 4

1 1 1 1

12 12 3 12x 36 3

dx dx x

C
x

x x
x

 

     _ _



 _ _



Câu 26. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số F x

_{ }

biết

_{ }

3
4 ₁d

F x x






và

 

0 1

F  .

A. F x

 

ln



x41



1. B.

 

1ln



4 1



4 4

F x  x   .

 

1ln



4 1



F x  x   . D.

F x

 



4ln



x



1 



1

.
Lời giải

Chọn C

Ta có:

 

1 ₄1 d



4 1



1ln



4 1



4 1 4

F x x x C

    





Do F

 

0 1 nên 1ln 0 1





1 1

4  C C .

Vậy:

 

1ln



4 1



(56)

Câu 27. Biết









2017
2019

1 1 1

. , 1

x x

dx C x

a x
x

   

 _ _   



 





với ,a b. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a2b. B. b2a. C. a2018b. D. b2018a.

Lời giải
Ta có:













2017 2017 2017 2018

2019 2

1 1 1 1 1 1 1 1

. .

1 2 1 1 4036 1

1 1

x x x x x

dx dx d C

x x x x

x x

            

 _ _  _ _ _ _ _ _ 

   

       

 



4036, 2018

a b

  

Do đó: a2b.

Câu 28. (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F x

_{ }

là một nguyên hàm trên  của hàm số

 





2018
2017

1
x
f x

x




thỏa mãn F

_{ }

1 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x

_{ }

A. 1

m  . B.

2017
2018

1 2
2

m  . C.

2017
2018

1 2
2

m  . D. 1

2
m .
Lời giải

Ta có

 



₂



2018

2017
1

f x dx dx

x






2017



2 1



2018



2 1



2 x d x





_

 





2017

2 ₁

2017
.

2 2017





 







2017
1

2 1

C
x

  



 

F x



Mà F

_{ }

1 0 1₂₀₁₇ 0 ₂₀₁₈1

2.2 C C 2

     

Do đó

 





2017 2018

1 1

2
2. 1

F x

  



suy ra

 

F x đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi





2017
1
2 x 1

lớn nhất





1
x

  nhỏ nhất x0

Vậy

2017

2018 2018

1 1 1 2

2 2 2

m     .

Câu 29. Cho F x

_{ }

là nguyên hàm của hàm số

 

1
x
f x

e


 và F

 

0  ln 2e. Tập nghiệm S của

phương trình F x

 

ln



ex1



2 là:

A. S 

_{ }

3 B. S

_

2;3

_

C. S  

_

2;3

_

D. S  

_

3;3

_

Lời giải

Chọn A.

Ta có

_{ }

1 ln





1 1

x x

dx e

F x f x dx dx x e C

e e

 

   _  _    

 _  _



 

0 ln 2 ln 2 1

F   C   eC 

 













: ln x 1 2 ln x 1 1 ln x 1 2 3

(57)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 30. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 x3



x21



2019là









2021 2020

2 2

1 1

2 2021 2020

x x

 _ _ 

 _ 

 

 

. B.









2021 2020

2 2

1 1

2021 2020

x  x 

 .









2021 2020

2 2

1 1

2021 2020

x x

 

  . D.









2021 2020

2 2

1 1

2 2021 2020

x x

 _ _ 

 _ _

 

 

Lời giải
Xét

_

f x

 

dx

_



x21



2019dx

_



x21



2019x xd .
Đổi biến _t__x2_{ }₁ _{dt 2 d}_ _{x x}_, ta có:

 





2019 1



2020 2019



d 1 dt dt

2 2

f x x t t  t t 







2021





2020

2021 2020 ₁ ₁

1 1

2 2021 2020 2 2021 2020

x x

t t

C C

 _ _ 

  _ _

 _  _   

 

 

Câu 31. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của

 

1 ln

.ln
x
f x

x x


 là:

A. 1 ln d ln ln
.ln

x x C

x x


 



. B. 1 ln d ln 2.ln
.ln

x x x C
x x



 



C. 1 ln d ln ln

.ln
x

x x x C
x x



  



. D. 1 ln d ln .ln

.ln
x

x x x C
x x



 



Lời giải

Ta có

_{ }

d 1 ln d

.ln
x

I f x x x

x x




_



_

Đặt lnx xt



lnx1 d



xdt. Khi đó ta có 1 ln d

.ln
x

I x

x x




_

1dt



_

lnt C ln .lnx x C.

Câu 32. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x e2 x31
A.

_

f x

_{ }

dxex31C. B.

_

f x

_{ }

dx3ex31C.

 

d 1 3 1

3
x
f x x e  C

 



. D.

 

3
1

d
3

f x x_ e  _C



Lời giải
Đặt t x3 1 dt3 dx x2

Do đó, ta có

 

d 2 3 1d . d1 1 1 31

3 3 3

x t t x

f x x x e  x e t e C e  C



Vậy

 

3 ₁

1
d

3
x
f x x e  C



Câu 33. (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số f x

 

33x1 là

(58)

 

d 133 1
3

f x x x C



. D.

 

d 1



3 1



33 1

f x x x x C



Lời giải

Ta có

 



 



1
3

d 3 1 d 3 1

f x x x x







3 1 3 1

4 x x C

    .

Câu 34. Nguyên hàm của hàm số f x

 

 3x2 là

A. 2(3 2) 3 2

3 x x C B.

(3 2) 3 2

3 x x C

C. 2(3 2) 3 2

9 x x C D.

3 1

2 3x2 C

Lời giải

Chọn C

_

_

_

_





1
1

1 2

1
1
2

3 2

1 1 2

3 2d 3 2 d 3 2 (3 2) 3 2

3 3 9

x x x x C x x C



         



Câu 35. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

 2x1 là

A. 1



2 1



2 1

3 x x C

    . B. 1 2 1

2 x C.

C. 2



2 1



2 1

3 x x C. D.





2 1 2 1

3 x x C.
Lời giải

Đặt 2 1 d 1 d d d

2 1

t x t x t t x

     



 





2 1

d 2 1d d 2 1 2 1

3 3

f x x x x t x C x x C



_



_

 

_

      .

Câu 36. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số _{f x}

_{ }

2 .x ln 2

 . Hàm số nào dưới đây không là

nguyên hàm của hàm số f x

 

A. F x

 

2 x C B. _{F x}

_{ }

_2 2



x_1



__C

C. _{F x}

_{ }

_2 2



x _1



__C _D.

 

2 x
F x   C
Lời giải

Chọn A

Ta có F x

 



_

f x

 d

x 2 .x ln 2dx
x



_

2 .x ln 2dx
x



_

Đặt d 1 d

u x u x

   .

Vậy

_{ }

2 ln 2. 2 .du

F x 

_

u 2 ln 2. 2

ln 2
u

  1

2 x C

  .

(59)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 37. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Khi tính nguyên hàm 3 d

x
x
x






, bằng cách đặt

u x ta được nguyên hàm nào?

_



u24 d



u. B.

_



u24 d



u. C.

_



u23 d



u. D.

_

2u u



24 d



u.
Lời giải

Chọn A

Đặt u x1xu2 1 dx2 du u.

Khi đó 3 dx

x
x






trở thành





.2 d 2 4 d

u u u u



 



Câu 38. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

2 2 1

f x



 .

 

d 1 2 1

f x x x C



. B.

_

f x x

 

d  2x 1 C.
C.

_

f x x

_{ }

d 2 2x 1 C. D.

_{ }





1
d

2 1 2 1

f x x C

x x

 

 



Lời giải
Đặt 2x 1 t2x 1 t2dxtdt.

Khi đó ta có 1 2 1d

2 x x



1₂

_

tdt_t  1 dt
2



_

1
2t C

  1 2 1

2 x C

   _.

Câu 39. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến - 2018) Nguyên hàm của hàm số

_{ }





ln 1

f x  x x  là

A. F x

 

xln



x x21



 x2 1 C. B. F x

 

xln



x x21



 x2 1 C.

_{ }





ln 1

F x x x x  C. D.

_{ }





ln 1

F x x x x  C.
Lời giải

Đặt t x x21







2 2

1 1

1
x x x x
t

x x

   



 

1
1

x x



 

1 2

x x

t    .

1
2

t x

   1 1 1₂

 

 _  _

 

; _t 1 ₂ _x2 ₁

  

 





ln 1

f x dx x x  dx



= 1 1 1₂ ln

2 t tdt

 



 

 



= 1 1 1₂ lnt .

2 t dt I

 

 

 

 



Đặt ulnt  du 1dt



dv 1 dt

 

_  _

  

v t
t

  ;

1 1 1 1 1

2 2

I t t t dt

t t t

   

 _  _  _  _

 



  = 2

1 1 1 1

ln 1

2 t t t 2 t dt

   

  

   

 



  =

1 1 1 1

2 t t t 2 t t C

   

   

   

   

(60)

Câu 40. (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết rằng trên khoảng 3;
2

 

 

 

 , hàm số

 

20 30 7

2 3

x x

f x

 



 có

một nguyên hàm F x

 





ax2bx c



2x3 (a b c, , là các số nguyên). Tổng Sa b c 
bằng

A. 4. B. 3 . C. 5 . D. 6 .

Lời giải
Đặt _t_ ₂_x_{ }₃ _t2_₂_x_{ }₃ _d_x__{t t}_d

Khi đó

20 30 7

2 3

x x

x
x

 





2 2

3 3

20 30 7

2 2

t t

t t
t

     

 

   

   



_



_



5t415t27 d



t t55t37t C









2x 3 5 2x 3 7 2x 3 C

       



2x3



2 2x 3 5 2



x3



2x 3 7 2x 3 C





4x 2x 1 2x 3 C

    

Vậy F x

 





4x22x1



2x3. Suy ra Sa  b c 3.

Câu 41. (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) sin

1 3cos
x
f x

x


 .
A. ( ) d 1ln 1 3cos

f x x  xC



. B.

_

f x( ) dxln 1 3cos xC.
C.

_

f x( ) dx3ln 1 3cos xC. D. ( ) d 1ln 1 3cos

f x x   xC



Lời giải

Ta có: sin d 1 1 d 1 3cos





1ln 1 3cos

1 3cos 3 1 3cos 3

x x x C

x   x     

 



Câu 42. (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số f x( ) biết '

cos
( )

(2 sin )

f x



 .

A. ( ) sin ₂

(2 sin )
x

f x C

 

 . B.

1
( )

(2 cos )

f x C

 

 .

C. ( ) 1

2 sin

f x C

  

 . D.

sin
( )

2 sin
x

f x C

 

 .

Lời giải

Ta có '

2 2

cos d(2 sin ) 1

( ) ( )d d

2 sin

(2 sin ) (2 sin )

x x

f x f x x x C

x x



     



 



Câu 43. (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Biết F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

sin
( )

1 3cos
x
f x

x


 và F 2 2



 

 

  .Tính F

 

0 .

A. (0) 1ln 2 2
3

F    . B. (0) 2ln 2 2
3

F    . C. (0) 2ln 2 2
3

F    . D. (0 1ln 2 2
3

F    .
Lời giải

Ta có ( ) sin d

1 3cos
x x
F x

x






  _3cosd(cos )_xx₁




1 3 1

(61)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

mà 3 2

2 2 1

1
3

F_ _  ln cos_ _ C 

    C 2

Do đó,

 

0 1 3

 

0 1 2 1 4 2 2 2 2

3 3 3

F   ln cos     ln    ln  .

Vậy

 

0 2 2 2

F   ln  .

Câu 44. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết

_

f x

_{ }

dx3 cos 2x

_

x5

_

C. Tìm khẳng
định đúng trong các khẳng định sau.

_

_{ }

3x dx3 cos 6x

_

x5

_

C B.

_

_{ }

3x dx9 cos 6x

_

x5

_

C
C.

_

_{ }

3x dx9 cos 2x

_

x5

_

C D.

_

_{ }

3x dx3 cos 2x

_

x5

_

C

Lời giải
Cách 2:

Đặt x3tdx3dt.

Khi đó:

_

f x

_{ }

dx3 cos 2x

_

x5

_

C

 





3 f 3 dt t 3. 3 cos 2.3t t 5 C



_

   

_

 

3 dt t3 cos 6t



t5



C

 

3 d 3 cos 6





f x x x x C



_

   .

Câu 45. (Chuyên Hạ Long - 2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x

 

tan5x.

 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



 

d 1tan4 1tan2 ln cos

4 2

f x x x x xC



Lời giải

 

5
5

sin

d tan d d

cos

I f x x x x x



_



_



_



 



2 2

5 5

1 os . 1 os .s inx

sin .sin .s inx

d d

cos cos

c x c x

x x

 



_



_

Đặt tcosxdt sin dx x



 











2 2 ₂ ₄

5 5

1 . 1 _{1 2}

d d

t t _t _t

I t t

t t

  _ _



_

 

_



5 3

1 2 1

dt
t t t

 

 _   _ 

 



5 2 3 1 d 1 4 2 ln
4

t t t t t t C

   

 

      

 

 



4 2

1 1 1 1

cos cos ln cos . ln cos

4 x x x C 4 cosx cosx x C

 

       



 

2 2



. tan 1 tan 1 ln cos

4 x x x C

(62)



4 2

 



tan 2 tan 1 tan 1 ln cos

4 x x x x C

      

4 2

1 1 1

tan tan ln cos

4 x 2 x x 4 C

    

4 2

1 1

tan tan ln cos

4 x 2 x x C

    .

Câu 46. (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Biết F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

 

sin .cos

f x  x x và F

_{ }

0  . Tính

2
F_ _

 .
A.

2
F_ _ 

  . B. F 2



 


 

  . C.

2 4

F_ _  
  . D.

2 4

F_ _ 
  .
Lời giải

Đặt tsinxdtcos dx x.

 

F x 

_

f x x

_

sin3xcos dx x 

_

t t3d

t
C

 

sin
4

x
C

  .

 

F 

sin

4 C



   C

_{ }

sin
4

F x 

   .

sin
2

2 4




 

 
 

1
4 
  .

Câu 47. Cho F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

_{ }

f x

x x

 thỏa mãn 1 2

e
F _{ }

  và F

 

e ln 2.

Giá trị của biểu thức 1₂

 

e
F_ _F

  bằng

A. 3ln 2 2 . B. ln 2 2 . C. ln 2 1 . D. 2ln 2 1 .

Lời giải
Chọn A

Ta có: 1 d

ln x

x x





_

d ln



_ln_xx



ln lnx C, x0, x1.

Nên:

 









ln ln khi 1

ln ln khi 0 1

x C x

F x

x C x

 



 

   




Mà 1 2

F _{ }

 

nên ln ln1 ₂ 2

e C

 

  

 

  C2 2

; F

_{ }

e ln 2 nên ln ln e

_

_

C₁ln 2C₁ln 2.

Suy ra

 









ln ln ln 2 khi 1

ln ln 2 khi 0 1

x x

F x

x x

 



 

   




Vậy

 

e
e

F_ _F

 





2
2

ln ln 2 ln ln e ln 2

 

 _ _  

 

3ln 2 2

  .

Câu 48. (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x

 

là nguyên hàm của hàm số

( )
8




x
f x

thỏa

(63)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Lời giải
Chọn D

Ta có:









2 2 2

d 1 8 d 8 8 .

2
8

x x x C

x      


 



Mặt khác:

 

8 2 0 2

2 0 C C .

F       

Nên

_{ }

8 2

x .

F  x 

 





2 2

2 ₂

8 2 8 2

2 0 ₂

1 3

2 4 4 0

8 2

1 3

x x x x

x _x

x .

x
x x

x x

x
F x x        



 

   

 _

_ _ _     

    

  

  



 



 

Câu 49. Gọi F x

_{ }

là nguyên hàm của hàm số

_{ }

2 1₂

x
f x

x
x

 

 . Biết F

 

3 6, giá trị của F

 

8 là

A. 217

8 . B. 27. C.

215

24 . D.

215

8 .

Lời giải

Chọn A

Ta có:

 

2 1₂ 2





2 1₂

1 1

x
x

f x dx dx dx

x x

 

 

 _  _  _  _

 

   



1 1

2 1 2

x dx dx dx

x
x

 

   _ _ 



 







1₂









1₂





2 x 1 d x 1 2 x 1  d x 1 x dx



_

  

_

  

_





4 1 1

4 1

3
x

x C

x


     .

Suy ra

 





3
2

4 1 1

4 1

3
x

F x x C



     .

Mặt khác:

 





3
2

4 3 1 1

3 6 6 4 3 1 3

3 3

F        CC .

Vậy

 





3
2

4 8 1 1 217

8 4 8 1 3

3 8 8

F        .

Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

20 30 7

2 3

x x

f x

 



 trên khoảng

3
;
2

 



 

  là



4x22x1



2x 3 C. B.



4x22x1



2x3.



3x22x1



2x3. D.



4x22x1



2x 3 C.

Lời giải
Chọn D

Xét trên khoảng 3;

 



 

 , ta có:

 





2 ₁₀ ₂ ₃ ₇

20 30 7

d d d

2 3 2 3

x x

f x x x x

x x

 

 

 



(64)

Khi đó:













2 2

2 2 4 2

5 3 7

10 2 3 7

d d 5 3 7 d 5 15 7 d

2 3

u u
x x

x u u u u u u u u

u
x

 

 

   

  _   _  _   _





















5 3 4 2

5 7 5 7 2 3 5 2 3 7 2 3

4 2 1 2 3 .

u u u C u u u C x x x C

x x x C

 

              

 

    

Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ

1. Công thức thường áp dụng

1 1

dx lnax b C.

axb a  



 1 ₂ d 1 1 .

(ax b) x   a axb C





lnalnbln( ).ab

 lna lnb lna

  



ln_an __nln ._a

  ln 10.

2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )d .

( )
P x

I x

Q x



_



Nếu bậc của tử số P x( ) bậc của mẫu số Q x( ) PP  Chia đa thức.



Câu 51. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2

1
x
f x

x



 trên khoảng



1;



là

x



3ln



x



1 



C

.

x



3ln



x



1 



C

.





2
3

.
1

x C

 

 D.

_

_

2
3

.
1

x C

 



Lời giải

Chọn A

Trên khoảng

_

1;

_

thì x 1 0nên





2 3

( )d d 1 d 3ln 1 3ln 1 .

1 1

f x x x x x x C x x C

x x

  

  _  _        

   



Câu 52. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

_{ }





3 2

x
f x






trên khoảng



2;



là

A. 3 ln

_

_

x C

  

 B.





3 ln 2

x C

  



C. 3 ln

_

_

x C

  

 D.





3 ln 2

x C

  

 .

(65)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta có

_{ }

















2 2 2

3 2 4

3 2 3 4

2 2 2

x
x

f x

x x x

 



   



  

. Do đó













3 2 3 4 4

3ln 2

2 2

dx dx x C

x x

 



       

 _  _

 _  _



Câu 53. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

 





2
2 1

1




x
f x

x trên

khoảng

_

  1;

_

là

A. 2 ln





  



x C

x . B.





2 ln 1

  



x C

x .

C. 2 ln

_

_

  



x C

x . D.





2 ln 1

  



x C

x .

Lời giải
Chọn B

Ta có

 





















2 2 2

2 1 3

2 1 2 3 3

d d d d 2 ln 1 .

1 1

1 1 1

 

 



         

 

  _  _



f x x



x x



x x



x x C

x x

x x x

Câu35. Họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

₂ 3

3 2

x
f x

x x




  là

A. ln x 1 2 ln x2C. B. 2 ln x 1 ln x2C.

C. 2 ln x 1 ln x2 C. D. ln x 1 2 ln x2 C.

Lời giải

Ta có

 







3 3 2 1

3 2 1 2 1 2

x x

f x

x x x x x x

 

   

      .

Suy ra họ nguyên hàm của hàm số

_{ }

₂ 3

3 2

x
f x

x x




  là

Câu 54. (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm một nguyên hàm F x

 

của hàm số

 



0 ,



f x ax x

   biết rằng F

 

1 1,F

 

1 4,f

 

1 0

 

3 2 3 7

2 4 4

F x x
x

   . B.

 

3 2 3 7

4 2 4

F x x
x
   _.

 

3 2 3 7

4 2 4

F x x
x

   . D.

 

3 2 3 1

2 2 2

F x x
x
   .
Lời giải

Ta có

 

dx ₂ dx 1 2

b b

F x f x ax ax C

x x

 

  _  _   

 



Theo bài ra

 

1 3

2 2

1 1

1 3

1 4 4

2 2

1 0 ₀ ₇

4
a b C b
F

F a b C a

f _{a b}

 

    

 

 

 _ _

  

      

  

  



    



 

 

(66)

Vậy

 

3 2 3 7

4 2 4

F x x
x

   .

Câu 55. Cho biết







2 13

dx ln 1 ln 2

1 2

a x b x C

x x



    

 



Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a2b8. B. a b 8. C. 2a b 8. D. a b 8.

Lời giải
Ta có:







2 13

1 2 1 2

x A B

x x x x



 

   















2 1

1 2

A x B x

x x

  



 















1 2

A B x A B

x x

   



 

2 5

2 13 3

A B A

A B B

  

 

_ _

     

 

Khi đó:







2 13 5 3

dx dx 5 ln 1 3ln 2

1 2 1 2

x x C

x x x x

  

 _  _     

     



Suy ra a5;b 3 nên a b 8.

Câu 56. Cho biết ₃1 dx aln



x 1



x 1



bln x C

x x     



. Tính giá trị biểu thức: P2ab.

A. 0. B. -1. C. 1

2. D. 1.

Lời giải
Ta có:

1 1

A B D
x x x x  x













1 1 1

A x Bx x Dx x

x x

    













A B D x B D x A
x x

    





1
0

2
1

1
2

A
A B D

B D B


  

  

 _

 

_   _ 

_ _ 

 _





Khi đó:









1 1 1 1

dx dx

2 1 2 1

x x x

x x

 

 _   _

 

 _ _



1ln







2 x x x C

     .

Suy ra 1; 1

a b  nên P2ab0.

Câu 57. Cho biết ₂4 11 dx ln 2 ln 3

5 6
x

a x b x C
x x



    

 



. Tính giá trị biểu thức: Pa2ab b 2.

A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Lời giải

Ta có: ₂4 11

5 6 2 3

x A B

x x x x



 

   















3 2

2 3

A x B x
x x

  



 















3 2

2 3

A B x A B
x x

  



 

4 3

3 2 11 1

A B A

A B B

  

 

_ _

  

 

Khi đó: ₂4 11 dx 3 1 dx

5 6 2 3

x x x x

  

 _  _

     

(67)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Suy ra a3;b1 nên 2 2

13
Pa ab b  .

Câu 58. Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

 

b
f x ax

   , f

 

1 3, f

 

1 2, 1 1

2 12

f _{ }_{ }  . Khi đó 2ab
bằng

A. 3

 . B. 0 . C. 5 . D. 3

2.
Lời giải

Ta có f

 

1 3a b 3

 

1 .

Hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng



0;



, các điểm x1, 1

x đều thuộc



0;



nên

 

2 3

3 2

d d

3 2

b ax b

f x f x x ax x C

x x

 _












_  __    .

+ f

 

1 2 2

3 2

a b
C

  

 

2 .

+ 1 1

2 12

f _{ }_{ }   2 1

24 12

b C

   

 

3 .

Từ

 

1 ,

 

2 và

 

3 ta được hệ phương trình

3
2

3 2

1
2

24 12

a b
a b

C
a

b C



  


 _{  }




   




2
1
11

6
a
b
C


 

 



 


2a b 2.2 1 5.

Câu 59. (Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 3 1₂

( 1)

x
f x




 trên khoảng (1;) là

A. 3ln( 1) 1

x c

  

 . B.

2
3ln( 1)

x c

  

 .

C. 3ln( 1) 2

x c

  

 . D.

1
3ln( 1)

x c

  

 .
Lời giải

Chọn C

Ta có ( ) 3 3 2₂ 3( 1) 2₂ 3 2 ₂

( 1) ( 1) 1 ( 1)

x x

f x

x x x x

   

   

   

Vậy ( )d ( 3 2 ₂)d

1 ( 1)

f x x x

x x

 

 



d( 1) d( 1)

3 2

1 ( 1)

x x

 

 

 



3 ln x 1 2 (x 1) d( x 1)

  

_

  3 ln( 1) 2

x C

   

 vì x1.

Câu 60. (Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

_{ }





2 1

x
f x






trên khoảng



2; 



là

A. 2 ln





x C

  

 . B.





1
2 ln 2

x C

  

(68)

C. 2 ln





1
2

x C

  

 . D.





3
2 ln 2

x C

  

 .
Lời giải

Chọn B

Đặt x  2 t x  t 1 dxdt với t0

Ta có f x

_{ }

dx 2t₂ 1dt = 2 1₂ dt 2 lnt 1 C

t t t t

  

 _  _   

 



Hay

 

d 2 ln





1 .

f x x x C

   





Câu 61. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

 

4 3 2

2 1

x
f x

x x x




  trên khoảng



0;



thỏa mãn

 

1
1

F  . Giá trị của biểu thức

 



2019



S F F F   F bằng

A. 2019

2020. B.

2019.2021

2020 . C.

1
2018

2020. D.
2019
2020
 .
Lời giải

Ta có

_{ }





4 3 2 2

2 1 2 1

2 1

x x

f x

x x x x x

 

 

   .

Đặt _t_ _{x x}

_

_₁

_

_ _x2__x





dt 2x 1 dx

   .

Khi đó

_{ }





1 1 1

d d

F x f x x t C C

t t x x

       





Mặt khác,

_{ }

1 1

F  1 1

2 C 2

    C1.

Vậy

 





1
1
F x

x x

  

 .

Suy ra

 



2019



1 1 1 ... 1 2019

1.2 2.3 3.4 2019.2020

1 1 1 1 1 1 1 1

1 ... 2019 1 2019

2 2 3 3 4 2019 2020 2020

1 1

2018 2018 .

2020 2020

SF F F F  _     _

 

   

 _         _  _  _

   

  

Câu 62. Giả sử











 

2 3 d 1

1 2 3 1



  

   



x x C

x x x x g x (C là hằng số).

Tính tổng các nghiệm của phương trình g x

_{ }

0.

A. 1. B. 1. C. 3 . D. 3.

Lời giải

Ta có x x

_

1

_

x2

_

x3

_

 1



x23x



x23x2



1





3 1

 

(69)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Đặt tx23x, khi đó dt

_

2x3 d

_

x.
Tích phân ban đầu trở thành





d 1

1
1

  





t C

t
t

Trở lại biến x, ta có











2 3 d 1

1 2 3 1 3 1



  

     



x x C

x x x x x x .

Vậy g x

_{ }

x23x1.

 

3 5

0 3 1 0

3 5

  





     

 _{ }





g x x x

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 3 .

Câu 63. (Nam Trực - Nam Định - 2018)_Cho





3 2

1
1

I dx

x x







2 ln 2 ln 1





b x c x C
x



     . Khi

đó S a b c  bằng

A. 1

4


. B. 3

4. C.

4. D. 2 .

Lời giải





4 2

I dx

x x







t x dt2xdx





1 1

2 1 .

I dt

t t
 





_

_

1 1 1 1

2 t 1 t 1 t dt

 _ 

    

 _ _ 

 



1 ln 1 1 ln

2 t t 1 t C

 

 _    _



 

2 2

1 1

ln ln 1

2 x x x C

 

 _    _

 





2
2

1 1

ln ln 1

2x x 2 x C

     

1
2
1

1
4

a
b
c





 _ 


 


 S  a b c 7
4
 .

Câu 64. (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f x

 

xác định trên R\



1;1



thỏa mãn

 

1
'

f x
x



 . Biết f

 

3  f

 

3 4 và

1 1

3 3

f _{ } f_ _

    . Giá trị của biểu thức

 

f   f  f bằng

A. 5 1ln 2

 . B. 6 1ln 2

 . C. 5 1ln 2

 . D. 6 1ln 2

 .

Lời giải
Chọn A

Ta có '

_{ }

₂1

f x
x





 

1 1 1

' ln

1 2 1

f x f x dx dx C

x x



    

 

(70)

Khi đó:

 

1 1

ln 1

2 1

1 1

ln 1 1

2 1

1 1

ln 1

2 1

C khi x
x

f x C khi x

x
x

C khi x
x

 

 

 _



 

_    




 _

  






 

1 3
2

3 3 4

1 1

2 2

3 3

f f C C

f f C

    




     

  

   


   


1 3

4
1

C C

 


 




Vậy f

 

5  f

 

0  f

 

2 1ln3 ₃ ₂ 1ln1 ₁ 1ln1 5 5 1ln 2

2 2 C C 2 3 C 2 2 2

         .

Câu 65. (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f x

 

xác định trên \



2;1



thỏa

mãn

 

₂ 1

2
f x

x x
 

  , f

 

3  f

 

3 0 và

 

f  . Giá trị của biểu thức

 

f   f   f bằng

A. 1ln 2 1

3 3. B. ln 80 1 . C.
1 4

ln ln 2 1

3 5  . D.
1 8

ln 1
3 5 .
Lời giải

 

1
d
2

f x x

x x


 















1 1

ln , ; 2

3 2

1 1

ln , 2;1

3 2

1 1

ln , 1;

3 2

C x

x
x

C x

x
x

C x

 

    

 _



 

    




 _

   






Ta có

_{ }

3 1ln 4 ₁,

_

; 2

_

f   C   x ,

_{ }

0 1ln1 ₁,

_

2;1

_

3 2

f  C   x ,

 





1 2

3 ln , 1;

3 5

f  C  x  ,

Theo giả thiết ta có

_{ }

0 1

f  ₂ 1

_

1 ln 2

_

   .

 

1 2ln 2 1

3 3

    .

Và f

 

3  f

 

3 0 ₁ ₃ 1ln 1

3 10
C C

   .

Vậy f

 

4  f

 

1  f

 

4 1ln5 ₁ 1ln 2 1 1ln 2 1ln 2 ₂

3 2 C 3 3 3 3 C

       1ln 2 1

3 3

  .

Câu 66. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

xác định trên \ 1

_{ }

thỏa mãn

 

1
f x

x
 

 , f

 

0 2017,, f

 

2 2018. Tính S



 

3 2018





 

1 2017



A. S 1. B. 2

1 ln 2

S  . C. S 2 ln 2. D. 2

ln 2
S .
Lời giải

Ta có

 

1 d

f x x

x






ln x 1 C









1
2

ln 1 khi 1

x C x

   


 

  




Lại có f

_{ }

0 2017 ln 1 0

_



_

C₂2017 C₂2017.

(71)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Do đó S _ln 3 1







2018 2018 _{ }ln 1



 

 



2017 2017 _ 2
ln 2
 .

Câu 67. (Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

xác định trên \

_

1;1

_

thỏa mãn

_{ }

₂2

1
f x

x
 

 ,





 

2 0

f   f  và 1 1 2

2 2

f_ _ f  _{ }

    . Tính f

 

3  f

 

0  f

 

4 được kết quả

A. ln6 1

5 . B.

6
ln 1

5 . C.

4
ln 1

5 . D.

4
ln 1

5 .
Lời giải

Ta có f x

 



_

f

 

x dx ₂2
1dx
x






1₁ 1₁ dx
x x

 

 _  _

 

 



ln 1

1
1

ln 1 1

1
1

ln 1

 

  

 _



 

_    




 _

 





khi
khi
khi

C x

x
x

C x

x
x

C x

Khi đó

 

₁ ₃

1 3

2 2

2 2 0 _{ln 3} _ln ₀

0
3

1 1

ln 3 ln 2

2 2



  

 _ _ _ _

   

 

 

       _

   _

   

  _ _ _ _

   

 __

f f _C _C

C C

f f

C C

Do đó

_{ }

4 ln 2 ₁ ₂ ln3 ₃ ln6 1

5 5

         

f f f C C C .

Dạng 4. Nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên



a b;



và có đạo hàm liên tục trên



a b;



. Khi đó:

 

udvuv vdu 



Để tính tích phân

 

I

_

f x dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
Bước 1:Chọn u v, sao cho f x dx

 

udv (chú ý: dvv x dx'

 

Tính v

_

dv và duu dx'. .

Bước 2:Thay vào cơng thức

_{ }

 và tính

_

vdu.

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

_

vdu dễ tính hơn

udv



. Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1 :

 

sin
cos

I P x dx

 

 _ _

 



, trong đó P x

 

là đa thức

Với dạng này, ta đặt

_{ }

, sin

cos

u P x dv dx

 

 _{ } _

 

(72)

Với dạng này, ta đặt

 

ax b
u P x
dv e  dx
 






, trong đó P x

_{ }

là đa thức
Dạng 3 : I 

_

P x

_{  }

ln mx n dx

_

Với dạng này, ta đặt





 

u mx n

dv P x dx

 






.

Dạng 4 : sin
cos

I e dx

x
 
  
 



Với dạng này, ta đặt

sin
cos
x
x
u
x
dv e dx

  

  
  




để tính

_

vdu ta đặt

sin
cos
x
x
u
x
dv e dx

  

  
  




.

Câu 68. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số

_{ }

2
2
x
f x
x



. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

  

1 .



 

g x  x f x là
A.
2
2
2 2
2 2
x x
C
x
 



. B.
2
2
2
x
C
x



. C.
2
2
2
2
x x
C
x
 


. D.
2
2
2 2
x
C
x




.
Lời giải

Chọn B.

Tính

_{ }

_

_{  }

_

_{  }

_

_{  }

_{ }

2
2

1 d 1 1 d d

x x

g x x f x x x f x x f x x f x x

x



       




2 2 d

2 2

x x x

x
x x

 





2
2
2 2
2
2 .
2 2

x x x

x C C

x x

 

     

 

Câu 69. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số f x

 




. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

  

  

g x  x f x là

A. x x C

x
 


2
2
2 3
2 3

. B. x C




2
3
2 3

. C. x x C

x
 


2
2
2 3
3

. D. x C

x



2
3
3
.
Lời giải
Chọn D

Ta có



  



  

2 2

1 d 1 d

3 3

x x

x f x x x f x x C

x x


     
 



Câu 70. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số

2
( )
1
x
f x
x




. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( ) ( 1) '( )

g x  x f x

A.
2
2
2 1
2 1
x x
C
x
 


. B.
2
1
1
x
C
x




. C.
2
2
2 1
1
x x
C
x
 


. D.
2
1
1
x
C
x



.
Lời giải
Chọn D
1

ux dudx

(73)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vậy

_

g x dx( ) (x1) ( )f x 

_

f x dx( )

2 2

( 1)

( )

1 1

x x x

g x dx dx

x x

  
 



2
2
( 1)

( ) 1

x x

g x dx x C

x

    




2 2
2
1
( )
1

x x x

g x dx C

x
  
  




2
1
( ) .
1
x

g x dx C



  





Câu 71. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hàm số

 

2
4
x
f x
x



. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

  

  

g x  x f x là

A.
2
4
2 4
x
C

x



. B.
2
4
4
x
C
x



. C.
2
2
2 4
2 4
x x
C
x
 


. D.
2
2
2 4
4

x x
C
x
 


.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

 

2 ₄
x
f x
x



 





2 2
2

. 4 4 .

x x x x

f x

x

   

 


 





2 2
2
2 2
3
2 2
2
4
4 .
4
4 4
4 4
4

x x x

x x
x x
f x
x x
x
 
 

 

   
 


Suy ra: g x

_{  }

 x1

_{  }

f x x f. 

_{ }

x  f

_{ }

 

g x dx _x f x  f x _dx x f x dx f x dx







 

4
4
x

dx f x dx
x

 




Xét:





4
4
x
I dx
x





Đặt tx2 4 dt2xdx

Suy ra:

 

3 ₂

1 1 1

3 3 ₂

2 2 4 4

2 2

1 ₄

dt dt t

I t dt C C C

t x
t _t

 _ _
        





và: J 

_

f

_{ }

x dx f x

_{ }

C₂

Vậy:

_{ }

2 2 2

4 4

4 4 4

x x

g x dx C C

x x x

 

    

  



Cách 2: g x

_{  }

 x1

_{  }

f x

 



  

g x dx x f x dx



_



_



Đặt:

 

u x du dx

dv f x dx v f x

(74)

Suy ra:

_{ }

_

_{  }

_{ }





2 2

1
1

4 4

x x x

g x dx x f x f x dx dx

x x



    

 







2 2

4 2 4

d x
x x

x x




 







2 4

x x

x C



   

 2

4
4

C
x



 



Câu 72. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x

 

liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm

của hàm số f x

_{ }

ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f

_{ }

x ex là:
A. sin 2xcos 2xC. B. 2 sin 2xcos 2xC.

C. 2 sin 2xcos 2xC. D. 2 sin 2xcos 2xC.
Lời giải

Chọn C

Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

nên f x

_{ }

ex 

_

cos 2x

_

  f x

_{ }

ex  2 sin 2x.
Khi đó ta có

_

f x

 

e dx xcos 2x C .

Đặt

 

d e dx ex

u f x u f x x
v x v



   

 



 

 

 

 

Khi đó

_

f x

 

e dx xcos 2x C 

_

f x

 

d e

 

x cos 2x C

 

e dx cos 2

f x f x x x C

 

_

  

_

f

 

x e dx x 2sin 2xcos 2x C .
Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số f

_{ }

x ex là 2 sin 2 xcos 2xC.

Câu 73. (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

4x

_

1 ln x

_

là:

A. 2x2lnx3x2. B. 2x2lnx x 2.
C. 2x2lnx3x2C. D. 2x2lnx x 2C.

Lời giải

Chọn D

Ta có f x

_{ }

4x

_

1 ln x

_

 F x

_{ }



_



_

1 ln x

_



dx
đặt

 









2 2 2
2

1
1 ln

2 1 ln 2 2 1 ln 2 ln

4 2

u x du

F x x x xdx x x x C x x x C
x

dv x v x


   



          



 _ _{ }




Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f x

 

xsinx là

A. F x

 

xcosxsinx C . B. F x

 

xcosxsinx C .

C. F x

 

 xcosxsinx C . D. F x

 

 xcosxsinx C .

(75)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Đặt du dx .

dv sin dx cos

u x

x v x

 

 



 

  

 

Suy ra

_

xsin dxx  xcosx

_

cos dxx  xcosxsinxC.

Câu 75. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )x e. 2x là :

A. ( ) 1 2 1

2 2

F x  e _x _C

 

B. _{( )} 1 2

_

₂

_

2
x

F x  e x C

C. ( ) 2 2x





F x  e x C D. 2 1

( ) 2

2
x

F x  e _x _C

 

Lờigiải

Đặt ₂

2 1

2
x
x

du dx
u x

v e
dv e





 



 




 _

2 1 2 1 2

. .

2 2

x x x

x e dx x e e dx



_

 

_

2 1 2 1 2

. .

2 4

x x x

x e dx x e e C



_

   1 2 1

2 2

e x  C

 _  _

 

Câu 76. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

  

 2x1



ex là



2x3



ex C. B.



2x3



exC.
C.



2x1



exC. D.



2x1



exC.

Lời giải
Gọi I

_

_

2x1

_

e xxd .

Đặt 2 1 du 2d

d d

  

 



 

 

 x  x

u x x

v e x v e .



2 1



2 d



2 1





2 3



I  x ex

_

e xx  x ex exC x exC.

Câu 77. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2x

f x xe ?

A. ( ) 1 2 1 .

2 2

F x  e _x _C

  B.





( ) 2 .

2
x

F x  e x C

C. ( ) 2 2x





F x  e x C D. _{( )} ₂ 2 1 _.

2
x

F x  e _x _C

 

Lời giải
Ta có _{F x}_{( )}_ _{xe dx}2x



Đặt ₂ ₁ ₂

2
x
x

du dx
u x

v e
dv e dx






 



 




 _

Suy ra _{( )} 1 2 1 2

2 2

x x

F x  xe 

_

e dx 1 2 1 2 1 2 1

2 4 2 2

x x x

xe e C e x  C

    _  _

 

(76)

sin cos
2

x x x C

   . B.

cos sin

x x x C

   .

cos sin

x x x C

   . D.

sin cos

x x x C

   .

Lời giải

Ta có:

_

f x

 

dx

_



1 sin x



dx

_

x xd 

_

x.sin dx x

_

x xd 

_

xd cos









2 2

= cos cos d = cos sin

2 2

x x

x x x x x x x C

 

_

   .

Câu 79. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử F x

_{ }





ax2bx c e



x là một nguyên hàm của hàm

số f x

 

x e2 x.Tính tích Pabc.

A. 4. B. 1. C. 5. D. 3.

Lời giải

Chọn A

Ta đặt:

2 ₂

x
x

du xdx

u x

v e
dv e dx



  





 




 



2 2

2 .

x x x

x e dx x e xe dx



_

 

_

Ta đặt:

x x

u x du dx
dv e dx v e

 

 



 

 

 









2 x 2 x ₂ x x 2 ₂ ₂ x

x e dx x e xe e dx x x e



_

  

_

   .

Vậy a1,b 2,c 2 Pabc 4.

Câu 80. Họ nguyên hàm của hàm số ( )_{f x} _2 (1_x __ex)_là

A. 



2x1 exx . B.



2x1



exx2. C. 2x2



exx2. D.



2x2



exx2.
Lời giải

Ta có 2 (1 x) 2 2 x

x e dx xdx xe dx



Gọi I2

_

xlnxdx. Đặt u _xx du dx_x

dv e dx v e

   



 

 _ 



.
Khi đó I2xex2

_

e dxx .

Vậy

_

2 (1x e dxx) 2

_

xdxxex2

_

e dxx x2xex2x C



2x2



exx2C.

Câu 81. Họ nguyên hàm của f x

 

xlnx là kết quả nào sau đây?

 

1 2ln 1 2

2 2

F x  x x x C. B.

 

1 2ln 1 2

2 4

F x  x x x C.

 

1 2ln 1 2

2 4

F x  x x x C. D.

 

1 2ln 1

2 4

F x  x x x C .
Lời giải

Ta có F x

_{ }



_

f x dx

_{ }



_

xlnxdx. Đặt ln ₂

dx
du

u x _x

dv xdx x






 



 



 _{ }

(77)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Theo cơng thức tính ngun hàm từng phần, ta có:

 

1 2 1 1 2 1 2

ln ln

2 2 2 4

F x  x x

_

xdx x x x C.

Câu 82. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số

 





3 1 .ln

f x  x  x.

 





3
2

1 ln
3

x
f x dxx x  x C



. B.

 

3
3

ln
3

f x dxx x C



_{ }





3
2

1 ln
3

f x dxx x  x  x C



. D.

_{ }

3
3

ln
3

f x dxx x  x C



Lời giải
Chọn C

Ta có I

_



3x21 ln



xdx

Đặt





_

_

2 3

1
ln

3 1

u x du dx

dv x dx

v x dx x x



 



 



 

 

 

 _ 

_

  





_ln







2 _{1 ln}





2 ₁





2 _{1 ln}



I x x x x x dx x x x x dx x x x x C

   

_

   

_

      .

Câu 83. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số

 

₂

sin
x
f x

 trên khoảng



0;



là

A. xcotxln sin





C. B. xcotxln s inxC.
C. xcotxln sinx C. D. xcotxln s in





C.

Lời giải
Chọn A

 

d _{s in}2 d

x
F x f x x x



_



_

Đặt

d d

cot

d d

s in

u x

v x










 

 

 _




Khi đó:

_{ }

₂ d .cot cot d .cot cos d .cot d sin





s in sin sin

x x

F x x x x x x x x x x x

x x x



_

  

_

  

_

  

_

.cot ln s in

x x x C

    . Với x

_

0;

_

s inx0ln s inx ln s in

_

_

Vậy F x

 

 xcotxln s in





C.

Câu 84. (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x



cosx



là

A. x33



xsinxcosx



C B. x33



xsinxcosx



C

C. x33



xsinxcosx



C D. x33



xsinxcosx



C

Lời giải

Chọn A

Ta có: ₃

_

__cos

_

_d _ _{3 d}2 _ _{3 cos d}

(78)

 2 3
1

3 d  



x x x C





3 cos dx x x



3 .d sinx





3 .sinx x



3sin dx x3 .sinx x3cosxC2

Vậy

_

3x x

_

cosx

_

dxx33

_

xsinxcosx

_

C

Câu 85. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x

 

x4xex là

A. 1 5

_

_{1 e}

_

x  x C. B. 1 5

_

_{1 e}

_

x  x C.

C. 1 5

e
5

x x C. D. 4x3



x1 e



xC.
Lời giải

Ta có:





ex dx dx e dxx

x x  x  x



+) 4 5

1
dx=

x x C



+) Đặt du dx.

dv e dxx ex
u x

 

 



 

 

 

Suy ra:

_

xe dxx xex

_

e dxx xexexC₂



1 e



x ₂

x C

   .

Vậy





1 5

_

_

e dx 1 e

x x

x x  x  x C



Câu 86. Cho hai hàm số F x G x

 

xác định và có đạo hàm lần lượt là f x

 

,g x

 

trên . Biết rằng

   





. ln 1

F x G x x x  và

_{   }

3
2

. .

x
F x g x



 Họ nguyên hàm của f x G x

   

. là



x21 ln

 

x21



2x2C. B.



x21 ln

 

x21



2x2C.
C.



x21 ln

 

x21



x2C. D.



x21 ln

 

x21



x2C.

Lời giải

Chọn C

Ta có

   



   





 



F x G x 

_

F x G x  x

_

F x x F x  x x.

 



F x .G x



dx F x G x

   



F x

 

.G

 





_

 

_







 







2 2 2 2 2 2

ln 1 d ln 1 1 ln 1

1
x

x x x x x x x C

 

   _ _       



 





 



1 ln 1

x x x C

     .

Câu33. Họ nguyên hàm của hàm số

 

. 2x

f x  x e là

 

1 2 1

2 2

F x  e _x _C

 

. B.

_{ }

1 2

_

_

2
x

F x  e x C.

C. F x

 

2e2x



x2



C. D.

_{ }

₂ 2 1

2
x

F x  e _x _C

  .

Lời giải.

Đặt 1

du dx
ux  

 



(79)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

. .

2 2 4 2 2

x x x x x

F x x e  e dx x e  e C e _x _C

 



Câu 87. (Sở Bắc Ninh 2019) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

_

xe xxd ex xexC. B.

d
2

  



xe xx x ex ex C.

_

_{xe x}xd _xex_ex_C_. _D.

d
2

 



xe xx x ex C.
Lời giải

Sử dụng cơng thức:

_

u vd u v. 

_

v ud .

Ta có:

_

_{xe x}xd 

_

_xd

 

_ex _xex

_

_{e x}xd _xex_ex_C_.

Câu 88. (Sở Bắc Giang 2019) Cho hai hàm số F x

_{ }

, G x

_{ }

xác đinh và có đạo hàm lần lượt là f x

_{ }

 

g x trên . Biết _{F x}

_{ }

_.G

_{ }

_x _ _x2_ln



_x2_₁



_và

   

3
2

2
1

x
F x g x



 . Tìm họ nguyên hàm của

   

f x G x .



x21 ln

 

x21



2x2C. B.



x21 ln

 

x21



2x2C.



x21 ln

 

x21



x2C. D.



x21 ln

 

x21



x2C.

Lời giải
Ta có:

   

 



 



f x G x x G x F x



   

 



 



G x F x F x G x

 

_

G x F x

_{   }

. 

_

F x

_{   }

g x dx.

   





d ln 1 d

f x G x x x x x

    









ln 1 2 d

x x x x

 

  _  _ 



 











2 2 2 2

2
1

ln 1 d 1

x x x x

   













ln 1 ln 1

x x x x C

     



 



1 ln 1

x x x C

     .

Câu 89. Cho biết

_{ }

1 3 ₂ 1

F x x x

   là một nguyên hàm của

_{ }





2
2

x a
f x



 . Tìm nguyên hàm của

 

cos
g x x ax.

A. xsinxcosx C B. 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

C. xsinxcosC D. 1 sin 2 1cos 2

2x x4 x C

Lởi giải

Chọn C

Ta có

 





2
2
2

2 2

1
1

2 x

F x x

x x



     .

Do F x

 

là một nguyên hàm của

 





2
2

x a
f x



 nên a1.

 

d cos d

g x x x x x

(80)

Đặt d d

d cos d sin

u x u x

v x x v x

 
 

 
 
 

 

d cos d sin sin d sin cos

g x x x x xx x x xx x xC



Câu 90. Họ nguyên hàm của hàm số





l 1

2x x n
y

x
x

 

 là





2
2

1 ln
2
x

x x x

x     C. B.





2
2

1 ln
2
x

x x x

x     C.





2
2

1 ln
2
x

x x x

x     C. D.





2
2

1 ln
2
x

x x x

x     C.
Lời giải

Ta có:









1 2

2 ln 1 ₁

n d

d 2 1 d

x x

x x x I
x

x x  x I

 



_

 







1 2 1 ln d

I 

_

x x x. Đặt





ln
d
d
1
1
d
2 d
x

v x x

u
x
u x
x
v x

 

 

 
 _
 
 _{ }

.





















2 2 2

2
2

ln 1d ln 1 d

l
2

n .

I x x x x

x x x x x x x

x x x x x C

   

   
   



2
2
1

dx ln

I x C

x


_

  .













2
1 2
2 2
2 2
1 2
2
d
2
ln 1

ln ln 1 ln .

2
x
x I
x
x
x

x x
I
x

x x x C x C x x x x C


    
 

       



Dạng 4.2 Tìm ngun hàm có điều kiện

Câu 91. (Mã 104 2017) Cho

 

1₂

2
F x

 là một nguyên hàm của hàm số f x

 

x . Tìm nguyên hàm của

hàm số f

_{ }

x lnx.

A. f

 

x ln dx x ln₂x 1₂ C

x x

 

  _  _

 



 

ln d ln₂ 1₂

2
x

f x x x C

x x

   



_{ }

ln d ln₂ 1₂

f x x x C

x x

 

  _  _

 



D. f

 

x ln dx x ln₂x 1₂ C

x x

   



Lời giải

Chọn C

Ta có:

 

d 1₂

f x
x

x  x



. Chọn f x

 

₂1

x

 .

Suy ra f

 

x ln dx x 2₃ln dx x

 



. Đặt

3
2
d
ln d
2
1
d d
x

u x u

(81)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Khi đó:

_{ }

3 2 3 2 2

ln ln 1 ln 1

ln d d d

x x x

f x x x x x C

x x x x x

 

      _  _

 



Câu 92. (Mã 105 2017) Cho

 

  1₃

F x

x là một nguyên hàm của hàm số

 

f x

x . Tìm nguyên hàm của

hàm số _{f x}

 

_ln_x

_



 

ln d  ln₃  1₅ 

f x x x C

x x B.





 

 3  5

ln 1

ln d

f x x x C

x x

_



 

ln d  ln₃  1₃ 

f x x x C

x x D.





 

 3  3 

ln 1

ln d

f x x x C

x x

Lời giải

Chọn C

Ta có

 

 



 

      _ _  

 

3 3

1 1

. . .

f x

F x f x x F x x x x

x x

 



 



 

 f x  3x 4 f x lnx 3x 4lnx

Vậy

_

f x

 

ln dx x

_



3x4ln dx x



 3 ln .

_

x x4dx

Đặt




    



4 d

ln ; d d ;

x x

u x dv x x u v

Nên

 



   

     _  _    



 



4 4

3 3 3 3

ln ln ln 1

ln d 3 ln . d 3 d d

3 3

x x x x

f x x x x x x x x x C

x x x x

Câu 93. (Mã 110 2017) Cho F x

  

 x1



ex là một nguyên hàm của hàm số f x e

 

2x. Tìm nguyên hàm

của hàm số f

 

x e2x.

_

f

 

x e2xdx



42x e



xC B.

_

f

 

x e2xdx



x2



exC

_{ }

2 _d 2

x x x

f e x  e C



D. _f_

_{ }

_{x e}2x_d_x_

_

₂__{x e}

_

x__C



Lời giải
Chọn D

Theo đề bài ta có

_{ }

_

_

. xd 1 x

f x e x x e C



, suy ra _{f x e}

_{ }

_. 2x __

_

_x_₁

_

_ex___ex_

_

_x__{1 .}

_

_ex

 

 



1 .



x . x

  



. x
f x e x e x e f x x e

       

Suy ra

_{ }

_

_

_

_

 

_

_

_

_

d 1 d 1 d 1 d 2

x x x x x x

K 

_

f x e x

_

x e x

_

x e e x 

_

e x x e C.
Câu 94. Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn f

_{ }

x xexvà f

_{ }

0 2.Tính f

_{ }

1 .

A. f

_{ }

1 3. B. f

_{ }

1 e. C. f

_{ }

1  5 e. D. f

_{ }

1  8 2e.

Lời giải
Ta có:

 

. x
f x 

_

f x dx

_

x e dx

Đặt

x x

u x du dx

dv e dx v e

 

 



 

 

 

 

. x x . x x

f x x e e dx x e e C

(82)

Theo đề: f

_{ }

0 22  1 CC3

 

. x x 3

f x x e e

   

 

1 3

  .

Câu 95. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x

 

 f

 

x e ,x  x  và

 

0 2

f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

 

e2x là



x2 e



xexC B.



x2 e



2xexCC.



x1 e



xC D.



x1 e



xC
Lời giải

Chọn D

Ta có _{f x}

_{ }

_ _f_

_{ }

_x _ex _ _{f x}

_{ }

ex_ _f_

_{ }

_x ex _1

 





 

e 1

x x

f x  f x x C

     .

Vì

 

0 2 ₁ 2

 

e2x



2 e



f  C   f x  x

 





e dx 2 e dx

f x x x x



_



_

 .

Đặt 2 d d

d e dx ex

u x u x

v x v

  

 



 

 

 

 





e dx 2 e dx

f x x x x



_



_

 



x2 e



x

_

e dx x



2 e



x ex



1 e



x C x C

       .

Câu 96. (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

thỏa mãn _f '

_{  }

_x _ _x_1 e ,

_

x _f

_{ }

0 _0_và

 





f x x ax b c



với a b c, , là các hằng số. Khi đó:

A. ab2. B. ab3. C. ab1. D. ab0.

Lời giải
Theo đề: _f'

_{  }

_x _ _x_1 e

_

x_{. Nguyên hàm 2 vế ta được}

 





  



  



' d 1 e d 1 e e

1 e e e

x x x

f x x x x f x x dx

f x x C x C

     

      



Mà f

_{ }

0 00.e0C0C0 f x

_{ }

xex.

 

d e dx ex e dx ex ex



1 e



f x x x x x x x C x C



_



_

 

_

      .

Suy ra a1;b    1 a b 0.

Câu 97. (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Gọi F x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm số

 

e x

f x x  . Tính F x

_{ }

biết F

_{ }

0 1.

A. F x

 

 



x1 e



x2. B. F x

  

 x1 e



x1.
C. F x

  

 x1 e



x2. D. F x

 

 



x1 e



x1.

Lời giải

Đặt d d

d e dx e x

u x u x

v  x v 

 

 



 

  

 

Do đó

_

xe dx x xex

_

e dx x_{ }_xex _ex__C__{F x C}



;



 

0 1

F  e0 C 1 C 2

(83)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 98. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết

_

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C với a, b là các số hữu tỉ.

Tính tích ab?

A. 1

ab . B. 1

ab . C. 1
8

ab  . D. 1
4
ab  .
Lời giải

Đặt

d d

d cos 2 d sin 2

u x

v x x v x





 



 

 

 _

Khi đó cos 2 d 1 sin 2 1 sin 2 d

2 2

x x x x x x x



1 sin 2 1cos 2

2x x 4 x C

  

2
a

  , 1
4
b .

Vậy 1

8
ab .

Câu 99. (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F x

_{ }

là một nguyên hàm của f x

_{ }



x₂ 3





 sao cho





 

1 0

F  F  . Giá trị của F

_{ }

1 F

_{ }

2 bằng

A. 10ln 2 5ln 5

3 6 . B. 0 . C.

7
ln 2

3 . D.

2 3

ln 2 ln 5
3 6 .
Lời giải

Tính ln



x₂ 3



dx
x





Đặt





ln 3 d

d ₁

u x u

x
x

x _x



 

 _ 

 _ 

 



 _{  }

 __

Ta có





_

_





ln 3 1 d

d ln 3

x x

x x x x



   





1ln





1ln





3 3

x C F x C

x x

     

 .

Lại có F

_

2

_

F

_{ }

1 0 1ln 2 ln 4 1ln1 0

3 C 3 4 C

   

_  _{ }    _

   

7
2 ln 2

3
C

  .

Suy ra

 

2 ln 2 1ln 2 1ln 5 1ln2 2

3 2 3 5

F  F      C 10ln 2 5ln 5

3 6

  .

Câu 100. (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Gọi g x

_{ }

là một nguyên hàm của hàm

số f x

_{ }

ln

_

x1

_

. Cho biết g

_{ }

2 1 và g

_{ }

3 alnb trong đó ,a b là các số nguyên dương
phân biệt. Hãy tính giá trị của _T _₃_a2__b2

A. T 8. B. T  17. C. T 2. D. T  13.

Lời giải

Đặt





ln 1

1
1

u x du

dv dx _v _x



 

 

 

 

 




 _{  }_

 







1 ln

 





1 ln

 



g x x dx x x dx x x x C



          





(84)

Suy ra: g

_{ }

3 2 ln 2 3 3  2 ln 2ln 4 a1, b4 __3a2__b2_{ }₁₃

Câu 101. (Sở Quảng Nam - 2018) Biết

_

xcos 2 dx xaxsin 2x b cos 2x C với a, b là các số hữu tỉ.

Tính tích ab?

A. 1

ab . B. 1
4

ab . C. 1
8

ab  . D. 1
4
ab  .
Lời giải

Đặt

d d

d cos 2 d sin 2

u x

v x x v x





 



 

 

 _

Khi đó cos 2 d 1 sin 2 1 sin 2 d

2 2

x x x x x x x



1 sin 2 1cos 2

2x x 4 x C

  

1
2
a

  , 1
4
b .

Vậy 1

(85)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)

Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )u x f x'( ) ( )h x( )

Phương pháp:

Dễ dàng thấy rằng ( )u x f x( )u x f x( ) ( )[ ( ) ( )]u x f x 

Do dó ( )u x f x( )u x f x( ) ( )h x( )[ ( ) ( )]u x f x  h x( )
Suy ra u x f x( ) ( )

_

h x x( )d

Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( ) f x( )h x( )

Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc exf x( )exf x( )exh x( )_ex f x( )_ exh x( )

Suy ra x ( ) x ( )d

e f x 

_

e h x x

Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) f x( )h x( )

Phương pháp:

Nhân hai vế vói ex ta durọc ex f x( )exf x( )exh x( )_ex f x( )_ exh x( )

Suy ra ex f x( )

_

exh x x( )d

Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f x( )_ p x( )_f x( )_h x( )

(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)

Phương pháp:

Nhân hai vế với ep x dx( ) ta được

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) p x dx ( ) p x dx ( ) ( ) p x dx ( ) p x dx ( ) p x dx

f x e p x e f x h x e f x e h x e



       

      _  _  

 

Suy ra f x e( ) p x dx( ) 

_

ep x dx( ) h x x( )d
Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f x( ) p x( ) f x( )0

Phương pháp:

Chia hai vế với f x( ) ta đựơc ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ra ( )d ( )d ln | ( ) | ( )d

( )

f x

x p x x f x p x x

f x



    



Từ đây ta dễ dàng tính được f x( )

Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f x( ) p x( ) [ ( )] f x n0

Phương pháp:

Chia hai vế với [ ( )]_{f x} n_{ta được} ( ) ( )

( ) 0 ( )

[ ( )]n [ ( )]n

f x f x

p x p x

f x f x

 

    

Suy ra

( ) [ ( )]

d ( )d ( )d

[ ( )] 1

f x f x

x p x x p x x

f x n

  

    

 



NGUYÊN HÀM

(86)

Từ dầy ta dễ dàng tính được f x( )

Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn

_{ }

2 1
25

 

f và _

_{ }

_₄ 3

_{ }

 

 

f x x f x với mọi



x . Giá trị của f

 

1 bằng

A. 391

400

 B. 1

 C. 41

400

 D. 1



Lờigiải
ChọnD

Ta có _

_{ }

_₄ 3_

_{ }

_2

 

f x x f x

 

2 4



   

 

 

f x

f x

 



 

_ _  

 

f x

 

  x C
f x

_{ }

2 1

 

f , nên ta có C 9. Do đó

_{ }

₄1
9

 


f x

 

1
1

 f   .

Câu 2. (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y f x

_{ }

đồng biến và có đạo hàm
liên tục trên  thỏa mãn

_

_f_

_{ }

_

2 _ _{f x e}

_{ }

. , x _{ }_x __và _f

_{ }

₀ _₂_{. Khi đó} _f

_{ }

₂ _{thuộc khoảng}

nào sau đây?



12;13 .





9;10 .





11;12 .





13 14;



Lời giải

Chọn B

Vì hàm số y f x

_{ }

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f

_{ }

0 2 nên f

_{ }

x 0
và f x

_{ }

0 với mọi x



0;

_

Từ giả thiết

_

_f_

_{ }

_

2_ _{f x e}

_{ }

. , x _{ }_x __{suy ra}

_{ }

_. 2_,

_

_0;

_

f x  f x e  x 

Do đó,

 





, 0; .
2

f x

e x

f x


   

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được

_{ }

2 _,

_

_0;

_

f x e C  x  với C là hằng số nào đó.

Kết hợp với f

_{ }

0 2, ta được C 2 1 .

Từ đó, tính được f

_{ }

2 



e 2 1



29,81.

Câu 3. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số y f x

_{ }

thỏa mãn

 

2 4
19

f   và

 

3 2

 

f x x f x  x . Giá trị của f

_{ }

1 bằng

A. 2

 . B. 1

 . C. 1. D. 3

 .

Lời giải
Chọn C

Ta có

 

3 2 3

f x

f x x f x x

f x



   

 

4
3

1
4

f x x

dx x dx C

f x f x



(87)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Mà

 

2 4

f   19 16 3

4 4 C C 4

     . Suy ra

 

₄4

f x
x
 

 .

Vậy f

_{ }

1  1.

Câu 4. (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y f x

 

liên tục trên \



1;0



thỏa mãn
điều kiện: f

 

1  2 ln 2 và x x.



1 .



f

 

x  f x

 

x2x. Biết f

 

2 a b .ln 3 (a, b).

Giá trị 2



a2b2



là

A. 27

4 . B. 9 . C.

4. D.

9
2.

Lời giải
Chọn B

Chia cả hai vế của biểu thức x x.



1 .



f

 

x  f x

 

x2x cho



x1



2 ta có

 





 

. .

1 ₁ 1 1 1

x x x x

f x f x f x

x _x x x x



 

   _ _ 

       .

Vậy .

 

d d 1 1 d ln 1

1 1 1 1

x x x

f x f x x x x x x C

x x x x



   

 _ _   _  _    





  







   .

Do f

 

1  2 ln 2 nên ta có 1.

 

1 1 ln 2 ln 2 1 ln 2 1
2 f   C    CC  .

Khi đó f x

 

x 1



x ln x 1 1



x


    .

Vậy ta có

 

2 3



2 ln 3 1





1 ln 3



3 3ln 3 3, 3

2 2 2 2 2 2

f        a b  .

Suy ra





2 2

2 2 3 3

2 2 9

2 2

a b        
   

 

 

Câu 5. (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y f x

 

thỏa mãn f x

 

0, x 0 và có đạo hàm

 

f x liên tục trên khoảng



0; 



thỏa mãn f

  

x  2x1



 

x , x 0 và

_{ }

1 1
2

f   . Giá
trị của biểu thức f

 

1  f

 

2 ... f



2020



bằng

A. 2020

2021

 . B. 2015

2019

 . C. 2019

2020

 . D. 2016

2021

 .

Lời giải
Chọn A

Ta có:

  



 

2 1

f x  x f x

 

2 2 1

f x
x
f x



  

 





2 d 2 1 d

f x

x x x

f x





_



_



 

x x C

f x

     .

Mà

_{ }

1 1
2

f   C0

 

f x

x x



 



1 1

x x

 

(88)

 





1 1

3 2

1 1

4 3

1 1

2020

2021 2020



 



 _ _





 






 _ _







 

2 ....



2020



1 1
2021

f f f

       2020

2021

  .

Câu 6. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên \

_

1;0

_

thỏa mãn f

_{ }

1 2 ln 2 1 ,



   

  





x x f x  x f x x x ,  x \



1;0



. Biết f

 

2 a b ln 3, với a, b là hai
số hữu tỉ. Tính T a2b.

A. 3

T  . B. 21

T  . C. 3

T  . D. T 0.

Lời giải
Chọn A

Ta có x x



1

   

f x  x2

  

f x x x



1



 





 

1
1

f x f x

x x



  



 









 

2 2

1 1 1

x x

x x

f x f x

x x x




  

  

 

2 2

1 1

x x

f x

x x

 

_ _ 

 

 

 

2 2

1 1

x x

f x dx

x x

 







 

2 2

ln 1

1 2

x x

f x x x c

     



 

2
2

ln 1 .
2

x x

f x x x c

 



  _     _

 

Ta có f

 

1 2 ln 2 1  c 1.

Từ đó

 

2
2

ln 1 1
2

x x

f x x x

 



 _     _

 

_{ }

2 3 3ln 3.

4 4

f   Nên

3
4
3
4






 



Vậy 2 3

.
16

T a   b

Câu 7. (THPT NguyễnTrãi-ĐàNẵng-2018) Cho hs y f x

_{ }

thỏa mãn _y_{ }_xy2_và

 

1 1

f   thì
giá trị f

_{ }

2 là

A. e2. B. 2e. C. e1. D. e3.

Lờigiải

Ta có

y xy y 2

x
y



  2

d d

x x x

y



_



_

ln
3

y C

  

e
x

y 

  .

Theo giả thiết f

_{ }

1 1 nên

3 1

e 1

3
C

 

(89)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy

_{ }

3 ₁

3 3

y f x  . Do đó

_{ }

2 e

f  .

Câu 8. (SởHàNội Năm2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên



, f x

 

0 với mọi x và thỏa mãn

 

1 1

f   , f

  

x  2x1



 

x .Biết f

 

1 f

 

2 ... f



2019



a 1

     với





, , , 1

a b a b  .Khẳng định nào sau đây sai?

A. a b 2019. B. ab2019. C. 2ab2022. D. b2020.

Lờigiải

  



 

2x 1 f

f x   x

 

2 2x 1

f x
f x

   

 





2 dx 2 1

x dx

f x
x



_

 

_



 





 





2 2 1

d f x

x dx

f x



_



_



 

x x C

f x

    

 

1 (Với C là hằng số thực).

Thay x1 vào

_{ }

1 được 2 1
1
2

  



  .Vậy

 

1 1

f x

x x

 

 .

1 1 1 1 1 1

(1) (2) ... (2019) ...

2 1 3 2 2020 2019

T  f  f   f _  _{ }   _ _  _

     

1
1

2020

   .

Suy ra: 1 2019

2020

a b
b




   





(Chọn đáp số sai).

Câu 9. (THPTChuyênLêHồng PhongNamĐịnh2019) Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên

_

0;

_

thỏa mãn 2xf

_{ }

x  f x

_{ }

3x2 x. Biết

 

1 1
2

f  . Tính f

_{ }

4 ?

A. 24 . B. 14 . C. 4 . D. 16.

Lờigiải
ChọnD

Trên khoảng



0;



ta có: 2 '

 

3 2 '

 

1 3 2
2
2

xf x f x x x x f x x

     .

 





3 

 



3 .

2 x f x

x

x f x

dx

x dx







_



_

 

1 3

x f x x C

   .

 



Mà

_{ }

1 1
2

f  nên từ

 

 có:

_{ }

1 3 1 1

1. 1 .1 0

2 2 2

f  C  CC

 

x x

f x

  .

Vậy

_{ }

4 4

4 16

f   .

Câu 10. (Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số f x

_{ }

0 với mọi x, f

_{ }

0 1 và

 

f x  x f x với mọi x. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f x

 

2 B. 2 f x

 

4 C. f x

 

6 D. 4 f x

 

6

(90)

Ta có:

 

1
1

f x

f x x







 

d d

f x

x x

f x x



 





ln



f x

 



2 x 1 C

Mà f

 

0 1 nên _C_{  }₂ _{f x}

_{ }

__e2 x 1 2 _ _f

_{ }

₃ __e2_₆

Câu 11. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm liên tục trên



2; 4 và



f

_{ }

x 0, x



2; 4



. Biết 4 3

 

3 3,



2; 4 ,



 

2 7
4

x f x _f x _ x  x f  . Giá trị của

 

f bằng

A. 40 5 1



. B. 20 5 1



. C. 20 5 1



. D. 40 5 1



Lờigiải

Ta có: f

 

x 0, x



2; 4



nên hàm số y f x

 

đồng biến trên



2; 4



 f x

 

 f

 

2 mà

 

2 7
4

f  . Do đó: f x

 

0, x



2; 4



Từ giả thiết ta có: 4x f x3

 

_f

 

x _3x3x3_4f x

 

1__f

 

x _3

 

. 4 1

4 1

f x

x f x f x x

f x



    

 .

Suy ra:

 

3 3

d 4 1

d d

4 2

4 1 4 1

f x

f x x

x x x C

f x f x



 

 _ _

   

 



 

2
2
3

4 1

8 2

f x C

 _  _   .

 

2 7 3 2 1

4 2 2

f    CC  .

Vậy:

 





3
2

1 1

3
4

x
f x

 

 

 

 



_{ }

4 40 5 1

f 

  .

Câu 12. (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f x( ) là hàm số liên tục trên  thỏa mãn

 

f x  f x x  x  và f

_{ }

0 1. Tính f

_{ }

1 .

A. 2

e . B.

e. C. e. D.

e
2.

Lờigiải

 

(1)

f x  f x x .

Nhân 2 vế của (1) với ex ta được e .x f x

 

e .x f

 

x x.ex.
Hay _e .x f x

_{ }

_  x.ex e .x f x

_{ }



_

x.e dx x.

Xét I 

_

x.e dx x.

Đặt d d

e dx d ex

u x u x

x v v

  




  



.e dx .ex e dx .ex ex

I

_

x xx 

_

xx  C. Suy ra exf x

_{ }

x.exexC.
Theo giả thiết f(0)1 nên C 2

 

.e e 2

 

1 2

e e

x x
x

f x   f

(91)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 13. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn

 

2 2

 

1 1 .

xf x x f x f x

      

    với mọi x dương. Biết f

 

1  f

 

1 1. Giá trị f2

 

2 bằng

A. 2

_{ }

2 2 ln 2 2

f   . B. 2

_{ }

2 2 ln 2 2

f   .

C. _f2

_{ }

₂ __{ln 2 1}_ _. _D.

 

2 ln 2 1

f   .

Lờigiải

Ta có: _xf

 

x _2 1 x2_1 f x f

 

. "

 

x _; x0

 

2_. _' ₁ 2 ₁ _{. "}

x f x x f x f x

 _ _   _  _

 

2
2
2

2
'

' 1 . "

' . " 1

. ' 1

f x f x f x

x
f x f x

_ _   

_ _  

Do đó: f x f

 

. '

 

x '.dx 1 1₂ .dx f x f

 

. '

 

x x 1 c₁.

x x

 

     

  _ _

 

 



Vì f

_{ }

1  f' 1

_{ }

   1 1 2 c₁c₁ 1.
Nên f x f

 

. '

 

x .dx x 1 1 .dx

 

 _   _

 



f x

 



f x

 



x 1 1 .dx

 

  _   _

 



 

2 2

ln .

2 2

f x x

x x c

     Vì

 

2 2

1 1

1 1 1 1.

2 2

f     c c 

Vậy

 

2 2

ln 1 2 2 ln 2 2

2 2

f x x

x x f

       .

Câu 14. (ChuyênBắcNinh2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn 2 3

( '( ))f x  f x f( ). ''( )x x 2 ,x  x R

và f(0) f'(0) 1 . Tính giá trị của T  f2(2)

A. 43

30 B.

15 C.

15 D.

26
15

Lờigiải

Có _{( '( ))}_{f x} 2_ _{f x f}_{( ). ''( )}_x __x3_₂_x__{( ( ). '( )) '}_{f x f x} __x3_₂_x

3 1 4 2

( ). '( ) ( 2 )
4

f x f x x x dx x x C

 

_

   

Từ f(0) f'(0) 1 . Suy ra C1. Vậy ( ). '( ) 1 4 2 1
4

f x f x  x x 

Tiếp, có 2 ( ). '( ) 1 4 2 2 2 ( 2( )) ' 1 4 2 2 2

2 2

f x f x  x  x   f x  x  x 

2 1 4 2 1 5 2 3

( ) ( 2 2) 2

2 10 3

f x x x dx x x x C

 

_

     

Từ f(0) 1 . Suy ra C 1. Vậy 2( ) 1 5 2 3 2 1
10 3

f x  x  x  x .

Do đó 43

(92)

Câu 15. (Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục và có đạo hàm trên 0;
2



 

 

 

, thỏa mãn

 

tan .

 

cos

f x x f x

x


  . Biết rằng 3 3 ln 3

3 6

f_ _ f_ _a b

   

trong đó a b, . Giá
trị của biểu thức Pa b bằng

A. 14

9 B.

2
9

 C. 7

9 D.

4
9



Lờigiải

ChọnD

 

tan .

 

cos

f x x f x

x


  cos .

 

sin .

 

₂

cos

x f x x f x

x


   .

 

₂

sin .

cos

x
x f x

x


_ _  .

Do đó sin .

_{ }

d ₂ d

cos

x f x x x

x
 _

 

 



sin .

 

_cos2 d

x f x x

 

_

Tính ₂ d

cos

I x



_

Đặt

d d

tan
d

cos

u x

v x



 _






 



 _





. Khi đó





d cos

d tan tan d tan d tan ln cos

cos cos

x
x

I x x x x x x x x x x x

x x



_

 

_

 

_

  .

Suy ra

_{ }

. tan ln cos ln cos

sin cos sin

x x x x x

f x

x x x



   .

2 2 ln 2 3 3

3 ln 3 3 3 2 ln

3 6 3 3 9 2

a b  f  f     _{ }  _

     _{ } _

5 3

ln 3
9



  . Suy ra

5
9
1

a
b





  


Vậy 4

P   a b .

Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên

_

0;

_

;

 

y f x liên tục, nhận giá trị dương trên



0;



và thỏa mãn

 

3 4
9

f  và

 



  

' 1 .

f x  x f x

 

  . Tính f

 

8 .

(93)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lờigiải

ChọnA

Ta có với  x



0;



thì y f x

 

0; x 1 0.

Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên

_

0;

_

nên f

_{ }

x 0, x

_

0;

_

Do đó _f

_{ }

x _2 

_

x1

_{  }

f x  f

_{ }

x 

_

x1

_{  }

f x

 





f x

x
f x



   .

Suy ra

 



1 d



f x

x x x

f x


 



 





f x x C

    .

Vì

_{ }

3 4
9

f  nên 2 8 2

3 3

C     .

Suy ra

_{ }

_

_

2
3

1 2

f x _ x  _

  , suy ra f

 

8 49.

Câu 17. Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn f

_{ }

1 2 và



_x2_₁



2 _f_

_{ }

_x ___{f x}

_{ }

_2



_x2_₁



  với mọi x. Giá

trị của f

_{ }

2 bằng

A. 2

5 B.

2
5

 C. 5

 D. 5

Lờigiải
ChọnD

Từ giả thiết ta có:

 





2
2

. 0

f x f x



 _ _ 



với mọi x



1; 2



Do đó f x

_{ }

 f

_{ }

1  1 0 với mọi x

 

1; 2 .
Xét với mọi x

 

1; 2 ta có:





 





 

_

_

 

_

_

2 2

2 1 1

1 1

1 f x x f x d x d

f x f x

f x

x
x

x x

f _x

 

 

 _ _  

   







 

2
2
2

1
1

d d

f x _x

x x

x
x

x
f






 



 

 



_

 

2 2

1
d
d

f x x

x
f x

 



 

 _ _



 



 

 



_

 

1 1

1 C

f x _x

    



Mà f

 

1    1 1 1 CC0. Vậy

 

x
f x

x




_{ }

2 5

  .

Câu 18. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm liên tục trên
khoảng

_

0; 

_

, biết _f_

_{  }

_x _ ₂_x_₁

_

_f2

_{ }

_x _₀_,

 

0, 0

f x   x và

_{ }

2 1
6

f  . Tính giá trị của

 

2 ...



2019



P f  f   f .

A. 2021

2020. B.

2020

2019. C.

2019

2020. D.

2018
2019.

(94)

TH1: f x

_{ }

0 f

_{ }

x 0 trái giả thiết.

TH2: f x

 

0  f

 

x  



2x1 .



 





2 2 1

f x

x
f x



    .

 





2 d 2 1 d

f x

x x x

f x





_

 

_



 





x x C

f x


     .

Ta có:

_{ }

2 1
6

f  C0

 

1 1 1

f x

x x x x

   

  .

1 1 1 1 1 2019

...

1 2 2 3 2020 2020

        .

Câu 19. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn



2;1



thỏa mãn f

 

0 3 và

 





 

. 3 4 2

f x f x  x  x . Giá trị lớn nhất của hàm số y f x

_{ }

trên đoạn



2;1



là

A. 3

2 42 . B. 2 153 . C. 3

42 . D. 315.

Lờigiải

Ta có:



f x

 



2.f

 

x 3x24x2 (*)

Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được

 





 







 





 



3 2

. 3 4 2 2 2

f x f x dx x  x dx f x d f x x  x  x C



 





 









 

3 ₂ 2 ₂ ₃ 3 ₂ 2 ₂ ₁

f x

x x x C f x x x x C

         

Theo đề bài f

 

0 3 nên từ (1) ta có



 



33 0



32.022.0C



273CC9

 







₃ ₂





₃ ₂



3 2 2 9 ( ) 3 2 2 9 .

f x x x x f x x x x

         

Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x

 

trên đoạn



2;1 .



CÁCH1:

Vì x32x22x 9 x2



x2



2



x2



 5 0,  x



2;1



nên f x

 

có đạo hàm trên



2;1



và

_{ }













2 ₂

2 2

3 2 3 2

3 3

3 3 4 2 ₃ ₄ ₂

3 3 2 2 9 3 2 2 9

x x _x _x

f x

x x x x x x

  _ _

   

         

   



2;1 .



  

Hàm số y f x

 

đồng biến trên





 

 

3
2;1

2;1 maxf x f 1 42.



   

Vậy

 

 

3
2;1

max f x f 1 42

   .

CÁCH2:

 





3
3

3 ₃ 2 ₂ 2 _.

223

3 2 2 9

9
3

x x x x

f x _  _  _x _

   

    

Vì các hàm số

2 2

3 , 2

9
3

3 3

y _x _ y _x _

(95)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

3₃ ₂ 223

3 9

2 2

y _x _  _x _

   

cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y f x

 

đồng biến
trên



2;1 .



Vậy

 

 

2;1ax 1 4

m f x f 2

   .

Câu 20. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f(1)4 và

3 2

( ) ( ) 2 3

f x xf x  x  x với mọi x0. Giá trị của f(2) bằng

A. 5 . B. 10 . C. 20 . D. 15 .

Lờigiải

3 2

2 2

1. ( ) . ( ) 2 3 ( )

( ) ( ) 2 3 f x x f x x x f x 2 3

f x xf x x x x

x x x




    



      _ _  

 

Suy ra, f x( )

x là một nguyên hàm của hàm số g

 

x 2x3.

Ta có

_



2x3



dxx23x C , C.
Do đó, f x( ) x2 3x C₁,

x    (1) với C1 nào đó.

Vì f(1)4 theo giả thiết, nên thay x1 vào hai vế của (1) ta thu được C₁0, từ đó

3 2

( ) 3

f x x  x . Vậy f(2)20.

Câu 21. (SởBắc Ninh 2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f

 

0 2 2,

 

0,

f x  x  và f x f

 

. 

  

x  2x1



1 f2

 

x ,  x . Khi đó giá trị f

 

1 bằng

A. 26 . B. 24. C. 15 . D. 23 .

Lờigiải

Ta có _{f x f}

_{ }

_. _

_{  }

_x _ ₂_x_₁

_

₁_ _f2

_{ }

 





2 1



  



f x f x
x
f x

Suy ra

 





d 2 1 d



 





f x f x x



x x

f x

 





 





2
2

d 1

2 1 d

2 1



  





f x



x x

f x

 

2 2

  f x x  x C.

Theo giả thiết f

 

0 2 2, suy ra 1



2 2



2 CC3.

Với C3 thì 2

_{ }





1 f x x   x 3 f x  x  x 3 1. Vậy f

 

1  24.

Câu 22. (CầnThơ 2018) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn _f

 

x _2 f x f

 

. 

 

x 2x2x1,  x  và

 

0 3

f  f  . Giá trị của _f

 

1 _2 bằng

A. 28 . B. 22. C. 19

2 . D. 10 .

Lờigiải

Ta có _f x f

   

 x _ _f

 

x _2 f x f

 



 

x .

(96)

Suy ra

   

2
3

3 2

f x f x  x   x C. Hơn nữa f

_{ }

0  f

_{ }

0 3 suy ra C9.

Tương tự vì _f2

 

x _  2f x f

   

 x nên

_{ }

2 ₂ 2 3 ₉

3 2

f x   x x 

   _    _

 

 

. Suy ra

 

2 3

2 ₂ 2 3 _{9 d} 1 4 2 ₁₈

3 2 3 3

x x

f x  _ x   x _ x x  x  x C

 



, cũng vì f

_{ }

0 3 suy ra

 

2 1 4 2

18 9

3 3

f x  x  x  x . Do đó _f

_{ }

1 _2 28.

Câu 23. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm trên  thỏa mãn



_x_2

   

_{f x} _ _x_1

  

_f_ _x _ex_và

_{ }

₀ 1
2

f  . Tính f

_{ }

2 .

 

2 e
3

f  . B.

 

2 e

f  . C.

 

e
2

f  . D.

 

e
2

f  .

Lờigiải

Ta có



_x_2

   

_{f x} _ _x_1

  

_f_ _x _ex



_x 1

  

_{f x} _{f x}

  

_x 1

  

_f_ _x ex

     



x 1

  

f x



x 1

  

f x  ex

_  __  _  ex_

_

x1

_{  }

f x _ex_

_

x1

_{  }

f x _ e2x



  

ex x 1 f x  e x

 

_  _  

_

_ex

_

x1

_{  }

f x _dx

_

e d2x x



  

1 2

e 1 e

x x

x f x C

   

Mà

 

0 1
2

f  C0. Vậy

 

1. e
2 1

f x

x




Khi đó

 

e
2

f  .

Câu 24. (LiênTrường-NghệAn-2018) Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên \ 0;

_

1

_

thỏa mãn điều
kiện f

_{ }

1  2 ln 2 và _{x x}

_

__{1 .}

_

_f_

_{ }

_x _ _{f x}

_{ }

__x2__x_{. Giá trị}

 

2 ln 3

f a b , vớia b, . Tính

2 2

a b .

A. 25

4 . B.

2. C.

2. D.

13
4 .

Lờigiải

Từ giả thiết, ta có _{x x}

_

__{1 .}

_

_f_

_{ }

_x _ _{f x}

_{ }

__x2__x _

_{ }





 

1
.

1 ₁ 1

x x

f x f x

x x x

  

 _ 

 

1 1

x x

f x

x x



 

_ _ 

 

  , với  x \ 0; 1







Suy ra .

 

x
f x

x 1d

x
x
x






hay .

 

x
f x

x xln x 1 C.

Mặt khác, ta có f

_{ }

1  2 ln 2 nên C 1. Do đó .

 

x
f x

x xln x 1 1.

Với x2 thì 2.

 

2 1 ln 3

3 f   

 

3 3
2 ln 3

2 2

f   . Suy ra 3

a và 3

(97)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy 2 2 9

a b  .

Câu 25. (THPTLê Xoay -2018) Giả sử hàm số y f x

_{ }

liên tục, nhận giá trị dương trên

_

0;

_

và
thỏa mãn f

_{ }

1 1, f x

 

 f

 

x . 3x1, với mọi x0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2 f

 

5 3. B. 1 f

 

5 2. C. 4 f

 

5 5. D. 3 f

 

5 4.
Lờigiải

Ta có

 

. 3 1

f x  f x x

 

3 1

f x

f x x



 



 

d d

3 1

f x

x x

f x x



 





 





 

d 1

d
3 1

f x

f x x

 





 

2 3 1

f x x C

   

 

2
3 1

3 x C

f x e  

 

Mà f

_{ }

1 1 nên

3 C ₁

e   4

   . Suy ra

 

4
3

5 3, 794

f e  .

Câu 26. (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f x

_{ }

0 thỏa mãn điều kiện

  

₂ ₃



 

f x  x f x và

 

0 1

f   . Biết rằng tổng

 

3 ...



2017





2018



f f f f f

      với



a,b*



và a

b là phân số tối giản.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b  . B. 1

b  . C. ab1010. D. ba3029.
Lờigiải

Ta có

_{  }

_

_{ }

2 3

f x  x f x

 

2 2 3

f x



  

 



2 3 d



f x

x x x

f x





_



_



 

x x C

f x

     .

Vì

_{ }

0 1 2

f   C .

Vậy

 







1 1 1

1 2 2 1

f x

x x x x

   

    .

Do đó

_{ }

3 ...

_

2017

_

_

2018

_

1 1 1009
2020 2 2020

f  f  f   f  f     .

Vậy a 1009; b2020. Do đó ba3029.

Câu 27. (THPT Nam Trực - Nam Định- 2018) Cho hàm số f x

 

0,

 

4 2

2
2

3x x 1

f x f x

 

  và

 

1 1

f   . Tính f

 

1  f

 

2 ... f

 

80 .

A. 3240

6481

 . B. 6480

6481. C.
6480
6481

 . D. 3240

6481.

Lờigiải

 

4 2

2
2

3x x 1

f x f x

 

  

 

4 2

2 2

3 1

f x x x

f x x

 _ _

(98)

 

4 2

2 2

3 1

 _ _





f x dx



x x dx

f x x 

 





 

4 2

2 2

3  1





d f x



x x dx

f x x .





 



 

2 2

1
3 1

 

 _   _

 



d f x



x dx

f x x 

_{ }

1 1

x x C

f x x



    

 

1
1

f x C

x x



 

 

 

1 1
3

f   C0

 

₄ ₂

1
x
f x

x x



 

  = 2 2

1 1 1

2 x x 1 x x 1

 



 _{ } _{ } 

 .

 

1 1 1 1
2 3 1
f  _  _

 

;

_{ }

2 1 1 1
2 7 3
f  _  _

 

;

_{ }

3 1 1 1
2 13 7
f  _  _

 

;.;

_{ }

80 1 1 1

2 6481 6321
f  _  _

 

 

2 ...

 

f  f   f  1 1 1

2 2 6481.

  = 3240

6481

 .

Câu 28. (SởHàTĩnh -2018) Cho hàm số f x

_{ }

đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn

_

0; 2 và

_

thỏa mãn _f x

 

_2 f x f

 

. 

 

x _f

 

x _2 0. Biết f

_{ }

0 1, f

_{ }

2 e6. Khi đó f

_{ }

1 bằng

3
2

e . B. e3. C.

5
2

e . D. e2.

Lờigiải

Theo đề bài, ta có

_{ }

 

2 2

. 0 f x f x f x 1

f x f x f x f x

f x

  _  _

 

    

   

   

 

 

 

1 ln .

f x f x x

x C f x C x D

f x f x



   

_ _        

 

Mà

 

0 1 ₂

2 e

f _C

D
f



 _ _





 



 




. Suy ra :

_{ }

2 ₅

2 2

e 1 e

x
x

f x    f  .

Câu 29. Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên  thỏa mãn f

 

x 2 .x f x

 

ex2,  x  và f

_{ }

0 0.
Tính f

_{ }

1 .

A. f

 

1 e2. B.

_{ }

1 1
e

f   . C.

_{ }

1 1₂
e

f  . D.

_{ }

1 1

f  .

Lờigiải
ChọnD

Ta có

 

2 .

 

e x2

f x  x f x   ex2 f

_{ }

x 2 .e .x x2 f x

_{ }

 1



e .x2 f x

_{ }



1.

Suy ra



e .2

_{ }



d d e .2

_{ }

x x

x
x C
f x  x x f x x C  f x  



Vì f

_{ }

0 0C0.

Do đó

 

f x  . Vậy

_{ }

1 1
e

f  .

(99)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. 2

_{ }

₂ 313

f  . B. 2

_{ }

₂ 332

f  . C. 2

_{ }

₂ 324

f  . D. 2

_{ }

₂ 323

f  .

Lời giải
Chọn B

Ta có

_{   }



4 2



' . d d

f x f x x x x xC



 

2 5 3

f x x x

    .

Do f

 

0 2 nên suy ra C2.

Vậy 2

 

2 2 32 8 2

5 3

f  _   _

 

332
15

 .

Câu 31. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f x

 

 f

 

x e ,x  x  và

 

0 2

f  . Tất cả các nguyên hàm của f x

 

e2x là



2 e



x ex

x  C. B.



2 e



2x ex

x  C.



x1 e



xC. D.



x1 e



xC.

Lời giải
Chọn D

 

e x

 

ex 1

_

 

_

 

f x  f x    f x  f x   f x    f x x C .
Vì f

 

0 2 nên C 2. Do đó

 

e2x



2 e



f x  x . Vậy:

 

_{e d}2x



_{2 e d}





_{2 d e}



 



_{2 e}



x _{e d}x



₂

 

_{2 e}



x _{e d}x

f x x x x x  x  x  x  x





2 e



x ex



1 e



x C x C

       .

Câu 32. Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên

_

0; 

_

thỏa mãn 2xf

_{ }

x  f x

_{ }

2x  x

_

0 ; 

_

 

1 1

f  . Giá trị của biểu thức f

_{ }

4 là:

A. 25

6 . B.

3 . C.

6 . D.

17
3 .

Lời giải
Chọn C

Xét phương trình 2xf

_{ }

x  f x

_{ }

2x

_{ }

1 trên

_

0; 

_

 

1
2

f x f x

x


   

_{ }

2 .

Đặt

 

g x
x

 , ta tìm một nguyên hàm G x

_{ }

của g x

_{ }

Ta có

 

d 1 d 1ln ln

2 2

g x x x x C x C

    



. Ta chọn G x

 

ln x.

Nhân cả 2 vế của

_{ }

2 cho eG x   x, ta được:

_{ }

x f x f x x



   

 



x f x.



 x

 

_{ }

3 .

Lấy tích phân 2 vế của

_{ }

3 từ 1 đến 4, ta được:



 



4 4

1 1

. d d

x f x  x x x



 





 

4
4

3
1

2 14 1 14 17

. 2 4 1 4 1

3 3 2 3 6

x f x  x  f f f  

 _ _      _  _

   

(100)

Vậy

 

4 17
6

f  .

Câu 33. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn
điều kiện _x6__f_

_{ }

_x _3_₂₇__{f x}

_{ }

_₁_4__{0 ,}_{ }_x

     và f

 

1 0. Giá trị của f

 

2 bằng

A. 1. B. 1. C. 7 . D. 7.

Lời giải
Chọn D

Ta có

 





 

3 4

2 2

3 3

1 1 1

27 1 0 .

3 1 1 1

f x

x f x f x

x x

f x f x f x



 



        

   

   

 

   _  _

Do đó

 

1 1 1

d d .

1 x x x x C

f x



 

     

  

 



Suy ra

 

1 1

1 x C
f x

  

 .

Có f

 

1  0 C0. Do đó f x

 

 1 x3.
Khi đó f

 

2  7.

Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f x

_{ }

thỏa mãn:



_f_

_{ }



2_ _{f x f}

_{ }

_. _

_{ }

_x _₁₅_x4_₁₂_x_,

  và

 

0 1

f  f  . Giá trị của f2

_{ }

1 bằng

A. 5

2. B. 8. C. 10. D. 4.

Lời giải
Chọn B

Theo giả thiết,  x :



_{ }



_{ }

. 15 12

f x  f x f x  x  x

 

. . 15 12

f x f x f x f x x x

   

 

. 15 12

f x f x  x x

_ _  

 





5 2

. 15 12 d 3 6

f x f x x x x x x C

 

_

   

 

1 .

Thay x0 vào

_{ }

1 , ta được: f

_{ }

0 .f

_{ }

0 CC1.
Khi đó,

_{ }

1 trở thành: f x f

_{ }

. 

_{ }

x 3x56x21

 





 

1 1

5 2 2 6 3

0 0 0 0

1 1

. d 3 6 1 d 2

2 2

f x f x x x x x  f x   x x x

    _ _ _   _

   



 

2 2 2 2

1 7

1 0 1 1 7 1 8

2f f  2 f f

 _  _      .

(101)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 35. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên



1; 



và thỏa mãn

 





 

2 .ln

xf x  f x xx  f x ,  x



1; 



; biết _f

 

3_e __3e_{. Giá trị} _f

_{ }

₂ _{thuộc khoảng}

nào dưới đây?

A. 12;25
2

 

 

 . B.

27
13;

 

 

 . C.

23
;12
2

 

 

 . D.

29
14;

 

 

 .
Lời giải

Chọn C

Xét phương trình



xf

 

x 2f x

 



.lnxx3 f x

 

1 trên khoảng



1; 



 

  

  

 

3 1 2 ln

1 ln . 1 2 ln .

ln ln

x x

x x f x x f x x f x f x

x x x



 

       

 

2 .

Đặt

_{ }

1 2 ln
ln

x
g x

x x



 . Ta tìm một nguyên hàm G x

 

của g x

 

Ta có

 

d 1 2 ln d 1 2 ln d ln





1 2 d ln





ln ln ln

x x

g x x x x x

x x x x

   

   _  _

 







ln
ln lnx 2 lnx C ln x C

x
 

    _ _

  .

Ta chọn G x

 

ln ln₂x

x
 
 _ _
 .

Nhân cả 2 vế của

 

2 cho eG x  ln₂x

 , ta được: ln₂x f

_{ }

x 1 2 ln₃ x f x

_{ }

x x




   

 

2 2

ln ln

x x

f x f x x C

x x



 

_  _     

 

 

3 .

Theo giả thiết, _f

 

3_e __3e_{nên thay}_x_ 3_e_vào

_{ }

₃ _{, ta được:}

 

3 3 3

3 2 3 2

ln e ₁

. e e 3e e 0

e 3 e

f  CC    .

Từ đây, ta tìm được

_{ }

3 ₂3

ln ln 2

f x f

   .Vậy

 

2 23;12

f _ _

 .

Câu 36. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên  thỏa mãn

 

3 2 ₁

2
3f x .ef x x x 0

f x

 

   với  x . Biết f

 

0 1, tính tích phân

_{ }

. d

x f x x



A. 11

2 . B.

4 . C.

8 . D.

9
2.

Lời giải
Chọn C

Ta có

 

3 2 ₁

2
3f x .ef x x x 0

f x

 

    ₃_f2

_{ }

_{x f}_. _

_{ }

_x _.ef3 x __{2 .e}_x x21

 

3  2

2 1

3f x f.  x .ef xdx 2 .ex x dx



_



_



_

ef3 xd



 





_

ex21d



x21



 

3 2

ef x ex  C

   .

Mặt khác, vì f

 

0 1 nên C0.

Do đó ef3 x ex21 f3

 

x x21

 

3 2

f x x

(102)

Vậy

_{ }

. d

x f x x



7
3 2
0

. 1 d

x x x



_







3 2 2

1 d 1

2 x x



_

 





7
3

2 2

1 1

8 x x

 

  

 

45
8

 .

Câu 37. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y f x

 

liên tục và không âm trên  thỏa mãn

 

₂ 2

 

₁

f x f x  x f x  và f

 

0 0. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y f x

_{ }

trên đoạn



1;3



. Biết rằng giá trị của biểu thức P2Mm có dạng





11 3 , , ,

a b c a b c . Tính a b c 

A. a b c  7. B. a b c  4. C. a b c  6. D. a b c  5.

Lời giải
Chọn A

Ta có:

_{ }

 

2 2

. .

. 2 1 2 2

1 1

f x f x f x f x

f x f x x f x x dx xdx

f x f x

 

      









 

2 ₁ 2

f x x C

    .

Mà f

 

0 0C 1 f2

 

x  1 x2 1 f2

 

x 



x21



2 1 x42x2

 

4 2

f x x x

   (do f x

 

0, x  ).

Ta có:

_{ }





 

 

 

 

4 2 1;3 1;3

2 2

0 , 1;3 max 3 3 11; min 1 3

x x

f x x f x f f x f

x x



         



.
Ta có: P2M m6 11 3a6;b1;c0a  b c 7.

Câu 38. Cho hàm số y f x

 

liên tục trên \



1; 0



thỏa mãn f

 

1 2 ln 2 1 ,



   

  





x x f x  x f x x x ,  x \



1; 0



. Biết f

 

2  a bln 3, với

a b

,

là hai số
hữu tỉ. Tính T a2b.

A. 21

T  . B. 3

T  . C. T 0. D. 3

T   .

Lời giải
Chọn D

Ta có: x x



1

   

f x  x2

  

f x x x



1



,  x \



1; 0







 

_

_

 

2 2 2

1 1 1

x x x x

f x f x

x x x




  

   ,  x \



1; 0



 

2 2

1 1

x x

f x

x x



 

_ _ 

 

 

,  x \



1; 0



 

2 2

1 1

x x

x f x C

x x 

  

 



,  x \



1; 0



 

1 d

1 1

x x f x C

x x

 



 _   _  

 

 



,  x \



1; 0



 

2 2

ln 1

2 1

x x

x x C f x C

 

      

 .

 

2 2

ln 1

x x

x x C f x

(103)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Ta có: f

 

1 2 ln 2 1 và f

 

1   1 2 ln 2 2 CC1.

 

2 2

ln 1 1

2 1

x x

x x f x

     

 .

 

2 3 3.ln 3
4 4

   và

 

2 ln 3 3, 3 2 9 3 3

4 4 16 4 16

f  a b  a b Ta  b   .

Câu 39. Cho hàm số y f x

 

liên tục trên



0; 



_{thỏa mãn}

_{ }

3 .x f x x f.  x 2f x , với

 





f x   x   và

 

1 1
3

f  . Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số y f x

 

trên đoạn



1; 2



. Tính M  m.

A. 9

10. B.

10. C.

3. D.

7
3.

Lời giải
Chọn C

Ta có: 3 .x f x

 

x f2. 

 

x 2f2

 

x 3 .x f x2

 

x f3. 

 

x 2 .x f2

 

2 3

3 . .

x f x x f x

f x




  vì f x

 

0, x



0; 



 

3 3

2 2 d

x x

x x x x C

f x f x



 

_ _     

 



Mà

 

3
2

1 2

3 2

f C f x

    

 .

Ta có:

_{ }









3 4 2

2 ₂

0, 0;

2 ₂

x x x

f x f x x

x _x




       

 _ .

Vậy, hàm số

 

3
2

x
f x

x


 đồng biến trên khoảng



0; 



Mà



1; 2







0; 



nên hàm số

 

3
2

x
f x

x


 đồng biến trên đoạn



1; 2



Suy ra,

 

2 4;

 

1 1 5

3 3 3

M  f  m f  Mm .

Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm

Câu 1. (ChuyênThái Nguyên2019) Cho F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

 

ex2



x3 4x



Hàm số







F x x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6. B. 5. C. 3. D. 4 .

Lờigiải

(104)







 



















2 ₂

2 2 2 2 2

.  2x 1  4



F x x  f x x x x   x x ex x x x 



 



 







2
2

2 2

2x 1 1  2 2

  x x ex x x x x x



 









 

2
2

2 1

2x 1 1 2 1 2 0 2; 1; ; 0;1

   

           _ _

 

x x

x x x x x x e x





₀

  

F x x có 5 nghiệm đơn nên _{F x}



2 __x



_{có 5 điểm cực trị.}

Câu 2. (THCS-THPTNguyễnKhuyến2019) Cho

 









2
4

1 cos sin cot
sin

x x x

F x dx

 



_

và S là tổng

tất cả các nghiệm của phương trình

_{ }

F x F_ _

 

trên khoảng

_

0; 4



_

. Tổng S thuộc khoảng



6 ;9

 



. B.



2 ; 4

 



. C.



4 ;6

 



. D.



0; 2





Lờigiải
Chọn

Ta có:

 

















2 2 2

4 4 4

1 cos sin cot 1 cos sin 1 cos cot

sin sin sin

x x x x x x x

F x dx dx dx

x x x

   



_



_



_

Gọi





2
4

1 cos cot
sin

x x

A dx

x




_

và





2
4

1 cos sin
sin

x x

B dx

x



_

Ta có:

















2 2

4 2

2 4

1 cos cot 1 2 cot cot

cot 2 cot . cot

sin sin

cot cot

2 2

x x x x

A dx dx x x d x

x x

 

    

 

 _  _

 















2 2

4 ₂

1 cos sin 1 cos sin

sin _{1 cos}

x x x x

B dx dx

x _x

 

 





Đặt tcosx, suy ra dt sin .x dx. Khi đó:







 











2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1

1 . 1 1 1

1 1 1

2 cos 1 cos 1

t t

B dt dt dt C

t t

t t t t

x x

 

   

          _  _

 

 

     

 _ _

 

 _  _

 

 



Do đó:

 

2 4

1 1 1 cot cot

2 cos 1 cos 1 2 2

x x

F x A B C

x x

 

   _  __  _

 

   

Suy ra:

 

2 4

1 1 1 cot cot

2 2 cos 1 cos 1 2 2

x x

F x F C C

x x



 

   

 _ _ _  __  _ 

 

     

2 4

1 1

cot cot 0

cosx 1 cosx 1 x x

    

 

2 4

2 2 4

2 cos cos cos

0
sin sin sin

x x x

(105)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 









2 2 3

cos 0 _cos ₀

* _cos

2 1 cos cos 1 cos cos 0

2 cos 0

sin

cos 0
cos 0

1 17
2 cos cos 2 0 cos

x _x

x x x x

x
x

x x x



 _ _



_  

    

   _







 _

_  _



    





Theo giả thiết x



0; 4





nên ; 3 ; 2 ; 3 2

2 2 2 2

x x  x   x   ;

; 2

x



x







;

; 2

x



x







Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9



Câu 3. (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

2cos 1
sin

x
f x

x


 trên khoảng







. Biết rằng giá trị lớn nhất của F x

 

trên khoảng







là

3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 3 3 4

F_ _ 

  B.

2 3

3 2

F_  _

  C. F 3 3



 

 

 

  D.

3 3

F_ _ 

 

Lờigiải

Ta có:

 

2 2 2

2cos 1 cos 1

d d 2 d d

sin sin sin

x x

f x x x x x

x x x



  







2 2

d sin 1 2

2 d cot

sin sin sin

x x C

x x x



_



_

   

Do F x

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

2cos₂ 1

sin

x
f x

x


 trên khoảng







nên hàm số

 

F x có cơng thức dạng

 

2 cot

sin

F x x C

    với mọi x







Xét hàm số

 

2 cot

sin

F x x C

    xác định và liên tục trên

_



_

 

2cos 1
'

sin

F x f x

x


 

Xét '

 

0 2cos₂ 1 0 cos 1 2





sin 2 3

F x x x k k





          .

Trên khoảng







, phương trình F x'

 

0 có một nghiệm

x



(106)

0; 

 

max 3

F x F C



 

 _ _  

 

Theo đề bài ta có,



3 

C



3 

C



2 3

Do đó,

 

2 cot 2 3

sin

F x x

    .

Câu 4. Biết F x

 

là nguyên hàm của hàm số f x

 

xcosx₂ sinx
x



 . Hỏi đồ thị của hàm số yF x

 

có
bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng



0; 4





A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0.

Lời giải
Chọn C

Ta có F x'

 

f x

 

xcosx₂ sinx
x



  trên



0; 4





 

cos ₂ sin

' x x x 0 cos sin 0

F x f x x x x



      trên



0; 4





Đặt g x

 

xcosxsinx trên



0; 4





Ta có '

 

.sin 0 2

g x x x x



 



    _

 


trên



0; 4





Từ đó có bảng biến thiên của g x

 

Vì g x

 

liên tục và đồng biến trên



 

; 2



và g

   



.g 2



0 nên tồn tại duy nhất x₁



 

; 2



sao cho g x

 

₁ 0.

Tương tự ta có g x

 

₂ 0, g x

 

₃ 0 với x₂



2 ;3

 



, x₃



3 ; 4

 



Từ bảng biến thiên của g x

 

ta thấy g x

 

0 khi x



0;x₁



và x



x x₂; ₃



; g x

 

0 khi



1; 2



x x x và x



x₃; 4





. Dấu của f x

 

là dấu của g x

 

trên



0; 4





.
Do đó ta có bảng biến thiên của F x

 

0 0

4π

-3π
2π

-π

- 0 ₀

x₃
x₂

x₁ _2π _3π _4π

π
0

(107)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy hàm số yF x

 

có ba cực trị.

Câu 5. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F x

_{ }

là nguyên hàm của hàm số f x

 

x cos₂ x
x


 . Hỏi đồ

thị của hàm số yF x

_{ }

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1. B. 2. C. vơ số điểm. D. 0.

Lời giải
Chọn A

Vì



F x

 



  f x

 

nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f x

 

để tìm cực trị hàm số đã cho.
Ta xét hàm số g x

_{ }

xcosx, ta có g x

_{ }

 1 sinx 0 x.

Vì vậy g x

_{ }

là hàm số đồng biến trên toàn trục số.

Hơn nữa ta có

2 2

 

  

 

 



  



 

 _ _{ } _

 

  



, do đó g x

_{ }

0 có duy nhất nghiệm ;
2 2

 
 _ _

 .

Ta có bảng xét dấu

Kết luận hàm số đã cho có một cực trị.

Câu 6. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số

y



f x

 

. Đồ thị của hàm số

 

'

y



f

x

trên





5;3



như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol

y ax





bx c



+ +

-CT
CĐ

CT
F(x)

f(x) 0 0

4π
0

x x₁ x2 x3

(108)

Biết

f

 

0 

0

, giá trị của

2 f

 



5 

3 f

 

2

bằng

A. 33. B. 109

3 . C.

3 . D. 11.

Lời giải
Chon C

*)Parabol

y ax





bx c



qua các điểm



2;3 , 1;4 , 0;3 ,

 



1;0 , 3;0

 



nên xác định được

2 3,

1 y

  

x

   

x

suy ra

 

3
2

3 x

f x

 



x



x C



. Mà

 

3
2

0 0,

3 x

f

 

C



f x

 



x



x

Có

_

_

f    ;

_{ }

2 22
3

f  (1)

*)Đồ thị

f x

'

 

trên đoạn



 

4; 1



qua các điểm





4;2 ,

 



1;0



nên

 





 

2 2

' 1

3 3 2

f x   x  f x   _ x_C

 

Mà

_{ }

2
2

5 5 2 1 2

1 2 2

3 3 3 2 3 2

f    C    _ _   f x   _ x_

   

, hay

_

_

14
3

f   .
*) Đồ thị

f x

'

 

trên đoạn



 

5; 4



qua các điểm





4;2 ,

 

 

5; 1



nên

 

3 '

3

14

2 x

f

x



x





f x





x C



Mà













3. 4

14 14

4 14. 4

3 2 3

f        C   suy ra ₃ 82

3
C  .

Ta có

 

3

82

31

14

5

2

3

6 x

f x





x





f



 

(2).

Từ (1) và (2) ta được 2

_

_

_{ }

2 31 22 35

3 3

f   f     .

Câu 7. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên



0; 



thỏa mãn f

 

x f x

 

4x2 3x
x

    và

 

1 2

f  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

tại điểm có hồnh độ x2 là

(109)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Chọn B

 

3 2

4 3 4 3

f x

f x x x xf x f x x x

         .

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf x

 



_



4x33x2



dxx4x3C.
Với x1 ta có: f

 

1  2 C.

Theo bài ra f

 

1 2 2 C 2 C0.
Vậy xf x

 

x4x3  f x

 

x3x2.

Ta có: f

 

x 3x22x; f

 

2 16; f

 

2 12.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

tại điểm có hồnh độ x2 là:





16 2 12

(110)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM
Dạng. Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân

1.Địnhnghĩa: Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên K; a b, là hai phần tử bất kì thuộc K, F x

_{ }

là một nguyên hàm của f x

_{ }

trên K. Hiệu số F b

_{ }

F a

_{ }

gọi là tích phân của của f x

_{ }

từ a

đến b và được kí hiệu:

 

b
a
a

f x dxF x F b F a



2.Cáctínhchấtcủatíchphân:



 

f x dx





 

a b

b a

f x dx  f x dx



 .

 

b b

a a

k f x dxk f x dx





 

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 





 

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx



 Nếu f x

_{ }

g x

_{ }

 x

_

a b;

_

thì

_{ }

b b

a a

f x dx g x dx



Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

1
x

x dx C







 













1
.

1
ax b

ax b dx C









  





dx x C

x  



1 dx 1.ln ax b C

ax b a  



1 1

dx C

x  x



_

_

1 1 1

dx C

a ax b
ax b

  





sin .x dx cosx C



sin



ax b dx



. 1.cos



ax b



    



cos .x dxsinx C



cos



ax b dx



. 1.sin



ax b



   



. cot

sin xdx  x C



_

_





1 1

. .cot

sin ax b dx a ax b C



. tan
cos xdx x C



_

_





1 1

. . tan

cos ax b dx a ax b C



x x

e dxe C



ax b. 1. ax b

e dx e C

 

 



.
ln

x a

a dx C

 



2 2

1
ln
2

dx x a

x a a x a



 

 



 Nhận xét. Khi thay x bằng

_

ax b

_

thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

Câu 1. (ĐềMinhHọa2020Lần1) Nếu

_{ }

d 2

f x x 



và

_{ }

d 1

f x x



thì

_{ }

f x x



bằng

TÍCH PHÂN

(111)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 2. (ĐềThamKhảo2020Lần2) Nếu

 

d 4

f x x



thì

 

2f x dx



bằng

A. 16. B. 4. C. 2. D. 8.

Câu 3. (Mã101-2020Lần1) Biết

_{ }

d 3

f x x



. Giá trị của

_{ }

2f x dx



bằng

A. 5. B. 9. C. 6. D. 3

Câu 4. (Mã101-2020Lần1) Biết F x

 

x2 là một nguyên hàm của hàm số f x

 

trên . Giá trị của

 

2 f x dx

 

 



bằng

A. 5. B. 3. C. 13

3 . D.

7
3.

Câu 5. (Mã102-2020Lần1) Biết . Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. (Mã102-2020Lần1) Biết là một nguyên hàm của hàm số trên . Giá trị của

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 7. (Mã103-2020Lần1) Biết

_{ }

f x dx



. Giá trị của

_{ }

3f x dx



bằng

A. 5. B. 6. C. 2

3. D. 8.

Câu 8. (Mã103-2020Lần1) Biết F x( )x3 là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên . Giá trị của

(1 f( ) dx) x



bằng

A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.

Câu 9. (Mã104-2020Lần1) Biết

_{ }

d 6.

f x x



Giá trị của

_{ }

2f x dx



bằng.

A. 36. B. 3. C. 12. D. 8.

Câu 10. (Mã 104 -2020Lần 1) Biết

F x

 



x

2 là một nguyên hàm của hàm số

f x

( )

trên . Giá trị

của





1 

f x dx

( )



bằng

A. 10. B. 8. C. 26

3 . D.

32
3 .

 

d 4

f x x



 

3f x dx



7 4

3 64 12

 

F x x f x

_{ }







2 f x( ) dx



4 7 9

(112)

Câu 11. (Mã101-2020Lần2) Biết

 

f x dx4



và

 

g x dx 1



. Khi đó:

 

f x g x dx
  

 



bằng:

A. 3. B. 3 . C. 4. D. 5.

Câu 12. (Mã101-2020Lần2) Biết

 

f x 2x dx=2

  

 



. Khi đó

 

f x dx



bằng :

A. 1. B. 4. C. 2. D. 0.

Câu 13. (Mã102-2020Lần2) Biết

 

f x dx



và

 

g x dx



. Khi đó

 

f x g x dx

  

 



bằng

A. 4. B. 2. C. 2. D. 3 .

Câu 14. (Mã102-2020Lần2) Biết

_{ }

2 3

f x  x dx

 

 



. Khi đó

 

f x x



bằng

A. 1. B. 5. C. 3. D. 2 .

Câu 15. (Mã103-2020Lần2) Biết

_{ }

d 3

f x x



và

_{ }

d 2

g x x



. Khi đó

_{ }

f x g x x

  

 



bằng?

A. 6. B. 1. C. 5. D. 1.

Câu 16. (Mã103-2020Lần2) Biết 1

_{ }

0f x 2xdx4



. Khi đó 1

_{ }

0 f x dx



bằng

A. 3. B. 2 . C. 6. D. 4 .

Câu 17. (Mã104-2020Lần2) Biết

( ) 2

f x dx



và

( ) 3.

g x dx



Khi đó

[ ( )f x g x dx( )]



bằng

A. 1. B. 5. C. 1. D. 6.

Câu 18. (Mã104-2020Lần2) Biết

 

2 d 5

f x  x x

 

 



. Khi đó

 

f x x



bằng

A. 7 . B. 3 . C. 5 . D. 4.

Câu 19. (Mã103-2019) Biết

 

d 2

f x x



và

 

d 6

g x x



, khi đó

 

f x g x x

  

 



bằng

A. 8. B.



4

. C.

4

. D. 8.

Câu 20. (Mã 102 - 2019) Biết tích phân

_{ }

f x dx



và

_{ }

g x dx 



. Khi đó

_{ }

f x g x dx

 

 



bằng

A. 7. B.

7

. C. 1. D. 1.

Câu 21. (Mã104-2019) Biết 1

0 f x x( )d 2



và 1

0g x x( )d  4



, khi đó 1





0 f x( )g x( ) dx



bằng

A. 6. B. 6. C. 2. D. 2 .

Câu 22. (Mã1012019) Biết

_{ }

d 2

f x x 



và

_{ }

d 3

g x x



, khi đó

_{ }

f x g x x

  

 



bằng

A. 1. B. 1. C. 5. D. 5.

Câu 23. (ĐềThamKhảo2019) Cho

_{ }

d 2

f x x



và

_{ }

d 5

g x x



, khi

_{ }

2 d

f x g x x

  

 

(113)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489



8

B. 1 C.



3

D. 12

Câu 24. (THPTBaĐình2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên

tục trên K và a, b là các số bất kỳ thuộc K?



( ) 2 ( ) d



( )d +2 ( )d

b b b

a a a

f x  g x x f x x g x x



. B.

( )d
( )

d
( )

( )d

b
b

a
b
a

f x x
f x

x
g x

g x x





_

( ). ( ) d

_

( )d . ( )d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x



. D.

2
2

( )d = ( )d

b b

a a

f x x  f x x

 



Câu 25. (THPTCẩmGiàng22019) Cho

 

d 1

f x x







 

d 4

f t t



 



. Tính

 

f y y



A. I5. B. I 3. C. I3. D. I 5.

Câu 26. (THPTCùHuyCận-2019) Cho 2

 

0 f x dx3



và 2

 

0 g x dx7



, khi đó 2

 

0f x 3g x dx



bằng

A. 16 . B. 18. C. 24. D. 10 .

Câu 27. (THPT-YÊNĐịnhThanhHóa2019) Cho

1
0

( )

f x



dx 1;

3
0

( )

f x





5

. Tính

( )
f x



A. 1. B. 4. C. 6. D. 5.

Câu 28. (THPT QuỳnhLưu3NghệAn2019) Cho

_{ }

d 3

f x x 



và

_{ }

d 4

f x x



. Khi đó

_{ }

f x x



bằng

A. 12. B. 7. C. 1. D. 12.

Câu 29. Cho hàm số f x

 

liên tục, có đạo hàm trên



1; 2 , f



 

1 8; f 2

 

 1. Tích phân

_{ }

f ' x dx





bằng

A. 1. B. 7. C. 9. D. 9.

Câu 30. (Sở Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số

f x

 

liên tục trên R và có

2 4

0 2

( )d 9; ( )d 4.

f x x f x x



Tính

4
0

( )d .

I

_

f x x

A. I 5. B. I 36. C. 9

I . D. I 13.

Câu 31. Cho

 

0 3

1 0

3 3.

f x dx f x dx



 



Tích phân

_{ }

f x dx



bằng

A. 6 B. 4 C. 2 D. 0

Câu 32. (ChuyênNguyễn TrãiHảiDương2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  và

_{ }

d 10

f x x



 

d 4

f x x



. Tích phân

_{ }

f x x

(114)

A. 4 . B. 7. C. 3. D. 6.

Câu 33. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nếu

_{ }

2 1

F x
x

 

 và F

 

1 1 thì giá trị của

 

F bằng

A. ln 7. B. 1 1ln 7.
2

 C. ln 3. D. 1 ln 7.

Câu 34. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên  thoả mãn

 

d 9

f x x



 

d 3

f x x



 

d 5

f x x



Tính

_{ }

I 

_

f x x.

A. I17. B. I 1. C. I 11. D. I7.

Câu 35. (THPTQuangTrungĐốngĐaHàNội2019) Cho hàm số f x

 

liên tục trên



0;10



thỏa mãn

 

f x dx



 

f x dx



. Tính

_{ }

2 10

0 6

P

_

f x dx

_

f x dx.

A. P10. B. P4. C. P7. D. P 6.

Câu 36. (ChuyênLêQuýĐônĐiệnBiên2019) Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn

 

1;3 thoả:

 

3 d 10

f x  g x x

 

 



 

2f x g x dx6

 

 



. Tính

 

f x g x x

 

 



A. 7. B. 6. C. 8. D. 9.

Câu 37. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f x

_{ }

liên tục trên đoạn

_

0;10

_

và

_{ }

f x dx



;

 

f x dx



. Tính

 

2 10

0 6

P

_

f x dx

_

f x dx.

A. P4 B. P10 C. P7 D. P 4

Câu 38. Cho f g, là hai hàm số liên tục trên

_{ }

1;3 thỏa mãn điều kiện

_{ }

3 dx=10

f x  g x

 

 



đồng thời

 

2f x g x dx=6

 

 



. Tính

 

f x g x

 

 



A. 9 . B. 6 . C. 7 . D. 8 .

Câu 39. (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên



1;3



thỏa:

 

3 d 10

f x  g x x

 

 



và

 

2f x g x dx6

 

 



. Tính

 

I 

_

_f x g x _ x.

A. 8. B. 7. C. 9. D. 6.

Câu 40. (Mã1042017) Cho

 

d 5

f x x







. Tính

 

2 sin d 5

I f x x x



 



_

_  _  .

(115)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 41. (Mã1102017) Cho

_{ }

d 2

f x x







và

_{ }

d 1

g x x



 



. Tính

_{ }

2 3 d

I x f x g x x



 



_

_   _ .

A. 17

I B. 5

I  C. 7

I D. 11

2
I

Câu 42. (THPT HàmRồngThanh Hóa2019) Cho hai tích phân

_{ }

d 8







f x x và

_{ }

d 3







g x x . Tính

 

4 1 d





_

_   _

I f x g x x

A. 13. B. 27. C. 11. D. 3.

Câu 43. (Sở Bình Phước 2019) Cho

( ) 2

f x dx







và

( ) 1

g x dx



 



, khi đó





2 ( ) 3 ( )

x f x g x dx



 



bằng

A. 5

2 B.

2 C.

2 D.

11
2

Câu 44. (SởPhúThọ2019) Cho

_{ }

d 3

f x x



_{ }

d 1

g x x 



thì

_{ }

5 d

f x g x x x

   

 



bằng:

A. 12 . B. 0. C. 8. D. 10

Câu 45. (Chuyên LêHồngPhongNamĐịnh2019) Cho

 

d 2

f x x 



. Tích phân

 

2
0

4f x 3x dx

  

 



bằng

A. 140. B. 130. C. 120. D. 133.

Câu 46. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh-2019) Cho

 

4f x 2x dx1

 

 



. Khi đó

 

f x dx



bằng:

A. 1. B. 3. C. 3. D. 1.

Câu 47. Cho

_{ }

f x dx



tích phân



_{ }



2
0

2f x 3x dx



bằng

A. 1. B. 0. C. 3. D. 1.

Câu 48. (THPTYênPhong1BắcNinh2019) Tính tích phân

_

_

2 1

I x dx





_

 .

A. I 0. B. I 1. C. I 2. D. 1

I   .

Câu 49. Tích phân

_

_

_

3x1 x3 dx



bằng

A. 12. B. 9. C. 5. D. 6.

Câu 50. (KTNLGVThptLýTháiTổ-2019) Giá trị của

sinxdx





bằng

A. 0. B. 1. C. -1. D.



(116)

Câu 51. (KTNLGVBắcGiang2019) Tính tích phân

(2

1)

I



_

x



dx

A. I 5. B. I 6. C. I 2. D. I 4.

Câu 52. Với a b, là các tham số thực. Giá trị tích phân





3 2 1 d

x  ax x



bằng

A. b3b a b2  . B. b3b a b2  . C. b3ba2b. D. 3b22ab1.

Câu 53. (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Giả sử

2
sin 3

I xdx a b





_

 



a b, 



. Khi đó giá trị của

a b là

A. 1

 B. 1

 C. 3

 D. 1

Câu 54. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f x

_{ }

liên tục trên  và

 





2
0

3 d 10

 



f x x x . Tính

_{ }

f x x



A. 2. B. 2. C. 18. D. 18.

Câu 55. (ChuyênNguyễnTrãiHảiDương2019) Cho





3 2 1 d 6

x  x x



. Giá trị của tham số m thuộc

khoảng nào sau đây?



1; 2



. B.



;0



. C.



0; 4



. D.



3;1



Câu 56. (Mã1042018)

12 3

dx
x



bằng

A. 1ln 35

2 B.

7
ln

5 C.

1 7

2 5 D.

7
2 ln

Câu 57. (Mã1032018)

13 2

dx
x



bằng

A. 2 ln 2 B. 1ln 2

3 C.

2
ln 2

3 D. ln 2

Câu 58. (ĐềThamKhảo2018) Tích phân

0 3

dx
x



bằng

A. 2

15 B.

225 C.

5
log

3 D.

5
ln

Câu 59. (Mã105 2017) Cho _  _  

 

 



1 1

d ln 2 ln 3

1 2 x a b

x x với a b, là các số nguyên. Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A. a2b0 B. a b 2 C. a2b0 D. a b  2

Câu 60. (THPTAnLãoHảiPhòng2019) Tính tích phân ₂

1 1

I dx

x x

 

 _  _

 

(117)

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. I 1

 B. I 1 1

  C. I1 D. Ie

Câu 61. (THPTHùngVươngBìnhPhước2019) Tính tích phân

2
x
I






A. 21

100

I  . B. ln5

I . C. log5

I . D. 4581

5000

I .

Câu 62. (THPTĐoànThượng-HảiDương-2019)

3 2

x
x



bằng

A. 2 ln 2 . B. 2ln 2

3 . C. ln 2 . D.

1
ln 2

3 .

Câu 63. Tính tích phân

d
x

I x





_

A. I  1 ln 2. B. 7

I  . C. I  1 ln 2. D. I 2 ln 2.

Câu 64. Biết

ln ,

dx a b c



 



với , ,a b c,c9. Tính tổng S  a b c.

A. S7. B. S5. C. S8. D. S6.

Câu 65. (Mã1102017) Cho

F x

 

là một nguyên hàm của hàm số f x

_{ }

lnx

 . Tính:

I



F e

 



F

 

1

A. 1

I  B. I 1

 C. I 1 D. Ie

Câu 66. (Mã1022018)

3 1
0

d
x

e  x



bằng

A. 1





3 e e B.

e e C. 1





3 e e D.

e e

Câu 67. (Mã1012018)

2
3 1
1

e d



x x bằng

A. 1



_e5 _e2



3  B.





5 2

e e

3  C.

5 2

e e

3  D.

5 2

e e

Câu 68. (Mã1232017) Cho

( ) 12

f x dx



. Tính

(3 ) .

I

_

f x dx

A. I5 B. I36 C. I4 D. I6

Câu 69. (ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh2019) Tích phân

1
d
1

I x






có giá trị bằng

A. ln 2 1 . B. ln 2. C. ln 2 . D. 1 ln 2 .

Câu 70. (THPTHồngHoaThámHưngn-2019) Tính

3
2
2

d
1
x

K x






A. K ln 2. B. 1ln8

2 3

K  . C. K 2 ln 2. D. ln .8
3

(118)

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM

Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện

1.Địnhnghĩa: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên K; a b, là hai phần tử bất kì thuộc K, F x

 

là một nguyên hàm của f x

_{ }

trên K. Hiệu số F b

_{ }

F a

_{ }

gọi là tích phân của của f x

_{ }

từ a

đến b và được kí hiệu:

 

b
a
a

f x dxF x F b F a



2.Cáctínhchấtcủatíchphân:



 

f x dx





 

a b

b a

f x dx  f x dx



 .

 

b b

a a

k f x dxk f x dx





 

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 





 

�