Tải bản đầy đủ (.pdf) (83 trang)

Tuyển chọn 50 bài toán Hình học luyện thi vào lớp 10 môn Toán có lời giải chi tiết

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.28 MB, 83 trang )

(1)





TUYỂN CHỌN 50 BÀI HÌNH HỌC


LUY

ỆN THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN




(2)

TĨM T

T LÝ THUY

T HÌNH 9


1. Hệ thức cơ bản trong tam giác vuông


Một tam giác ABC vng tại A, đường cao AH (hình 1)
Ta có:


• 2


.


AB =BH BCAC2 =CH BC.


• 2


.
AH =HB HC


AH BC. = AB AC.


• 1 2 12 1 2


AH = AB + AC


• sinB AC; cosB AB; tanB AC; cotB AB


BC BC AB AC



= = = =


• α là góc nhọn thì 2 2


sin α +cos α =1


• α β, là hai góc nhọn vàα β+ =90othìsinα =cos ; tanβ α =cotβ.


2. Đường trịn


Đường kính và dây cung: (hình 2)


- Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là


đường kính


- Trong một đường trịn đường kính vng góc với


một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.


- Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung


điểm của một dây khơng đi qua tâm thì vng góc
với dây ấy.


Tiếp tuyến của đường trịn (hình 3)


- AB, AC là tiếp tuyến của đường trịn



(O) tại BC


50 BÀI TỐN HÌNH H

ỌC ƠN THI VÀO 10 CĨ ĐÁP ÁN



GV: CƠ MAI QU

ỲNH



H


C
B


A


Hình 1


O


M B


A


Hình 2


C
B


A
O



(3)





AB AC


AO là phân giác BAC
OA là phân giác BOC


=






Vịtrí tương đối của hai đường trịn (hình 4)


- Hai đường tròn (O; R)(O’; r) với Rr
Cắt nhau⇔ − <R r OO'< +R r


Tiếp xúc ngoài⇔OO'= +R r
Tiếp xúc trong⇔OO'= −R r


3. Các loại góc liên quan đến đường trịn


Tên góc Định nghĩa Hình vẽ Cơng thức


tính sốđo


Góc ở tâm



Góc có đỉnh
trùng với tâm
đường trịn
được gọi là góc
ở tâm


 


sđ AOB sđ AmB=


Góc nội tiếp


Góc nội tiếp là
góc có đỉnh nằm
trên đường trịn
và hai chứa hai
dây cung của
đường trịn đó


 1 


2


BAC BC


=
m


B
A



O


C
B


A


O


Tiếp xúc trong
Tiếp xúc ngoài


Cắt nhau


O'


O O O'


O'
O



(4)

Góc tạo bởi
tia tiếp
tuyến và
dây cung


 1 


2



BAx AB


=


Góc có đỉnh
ở bên trong
đường tròn


  


2


sđ BnC sđ Am


sđ BEC= +


Góc có đỉnh
ở bên ngồi
đường trịn


  


2


sđ BC sđ AD
sđ BEC= −


4. Cơng thức tính trong đường trịn



Hình vẽ Cơng thức tính


Độ dài đường tròn C=2πR hay Cd


Độ dài cung tròn


180


Rn
l
A


O x


B


E
D


C
n


m


B


A


O



E


O C


B
D


A


R
d
O


no l


B
A



(5)

Diện tích hình trịn 2


SR


Diện tích hình quạt 2


360
quat


R n
S =π hay



2
quat


lR


S =


5. Chứng minh một tứ giác nội tiếp


• Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường trịn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn
(gọi tắt là tứ giác nội tiếp).


• Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180othì tứ giác đó nội tiếp đường


trịn.


• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc


α thì nội tiếp đường trịn.


• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp
đường trịn. Điểm đó gọi là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác.


• Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
R



(6)

50 BÀI T

P CH

N L

C.



Câu 1. Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN



vng góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK


MN.


1. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp.
2. Tính tíchAH AK. theo R.


3. Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị
lớn nhất đó?


Câu 2. Cho đường trịn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông
trùng với điểmAAH <R. QuaHkẻ đường thẳng vng góc vớid,đường thẳng này
cắt đường tròn tại hai điểmEB (Enằm giữaBH).


1. Chứng minh ABE=EAH và ∆ABH# ∆EAH.


2. Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm của đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắt
ABtại K.Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp.


3. Xác định vị trí điểmHđểAB=R 3.


Câu 3. Cho đường trịn( )O có đường kínhAB=2RE là điểm bất kì trên đường trịn
đó (EkhácAB). Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiFvà cắt đường trịn


( )O tại điểm thứ hai làK.
1. Chứng minh∆KAF# ∆KEA.


2. GọiIlà giao điểm của đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường trịn
( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường tròn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtại



.


F


3. Chứng minhMN/ /AB,trong đóMN lần lượt là giao điểm thứ hai củaAE BE, với
đường tròn( ).I


4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động trên đường
tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFAK Q; là giao điểm củaMFBK.


Câu 4. Cho( ; )O R và điểmAnằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyếnAB AC, với
đường tròn( , CB là các tiếp điểm).


1. Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp.


2. Gọi E là giao điểm củaBCOA. Chứng minhBEvng góc vớiOAvà 2


. .



(7)

3. Trên cung nhỏ BC của (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác BC). Tiếp tuyến tại K của


(

O R;

)

cắt AB, AC theo thứ tự tại PQ. Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng


đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.


4. Đường thẳng qua O và vng góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự
tại M, N. Chứng minh PM +QNMN.


Câu 5. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường trịn đó (C



khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E,
tia AC cắt BE tại điểm F.


1. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh DA DE. =DB DC. .


3. Chứng minhCFD =OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. C hứng


minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
4. Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2.


Câu 6. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến của


đường tròn (O) tại hai điểm AB. Gọi I là trung điểm của OAE là điểm thuộc
đường trịn (O) (E khơng trùng với AB). Đường thẳng dđi qua E và vuông góc với


EI cắt hai đường thẳng d1và d2lần lượt tại M, N.


1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minhENI =EBIvàMIN=90o.


3. Chứng minhAM BN. =AI BI. .


4. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa E của đường trịn (O). Hãy tính
diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.


Câu 7. Cho đường trịn (O; R), đường kính AB. Bán kính CO vng góc với AB, M
điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác AC), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của


H trên AB.



1. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh ACM = ACK


3. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam
giác vuông cân tại C.


4. Gọi dlà tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ ABAP MB. R.



(8)

Câu 8. Cho đường trịn (O) và điểm A nằm bên ngồi (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (O). Một đường thẳng dđi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm BC
(AB < AC, dkhông đi qua tâm O)


1. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
2. Chứng minh 2


. .


AN = AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm, AN = 6cm.
3. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T.


Chứng minh: MT // AC.


4. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại BC cắt nhau tại K. Chứng minh K thuộc
một đường thẳng cố định khi dthay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài.


Câu 9. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường
trịn (O; R). (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường
thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.



1. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.


2. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.


3. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vng góc với OE tại O cắt PQ tại F.
Chứng minh F là trung điểm của BPME // NF


4. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí
của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.


Câu 10. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C


khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn tại K.
Gọi M là điểm bất kì nằm trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng CK cắt
đường thẳng AM, BM lần lượt tại HD. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm
thứ hai là N.


1. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minhCA CB. =CH CD. .


3. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua
trung điểm của DH.


4. Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.


Câu 11. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngồi đường trịn. Kẻ tiếp tuyến AB


với đường trịn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I



khác C, I khác O). Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm DE (D nằm giữa AE). Gọi


H là trung điểm của đoạn thẳng DE.



(9)

2. Chứng minh AB BD
AE = BE.


3. Đường thẳng dđi qua điểm E song song với AO,dcắt BC tại điểm K. Chứng minh:


/ / .


HK DC


4. Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình
chữ nhật


Câu 12. Cho đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là điểm
chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây ANCM cắt nhau tại điểm I.
Dây MN cắt các cạnh ABBC lần lượt tại các điểm HK.


1. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn..
2. Chứng minh 2


. NM.
NB =NK


3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.


4. Gọi PQ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác



MCKE là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O).
Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.


Câu 13. Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm
bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường
tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung
điểm của đoạn thẳng AB.


1. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO.
2. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD.


3. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD


tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua
trung điểm của đoạn thẳng SC.


4. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BDF là hình chiếu vng góc của điểm E


trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB


thì điểm F ln thuộc một đường trịn cố định.


Câu 14. Cho đường trịn

( )

O ,đường kínhAB.Vẽ các tiếp tuyếnAx By, của đường tròn.
M là một điểm trên đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tạiM của đường tròn cắt


,


Ax Bylần lượt tạiP Q, .



1. Chứng minh rằng: Tứ giácAPMO nội tiếp.
2. Chứng minh rằng:AP+BQ=PQ.


3. Chứng minh rằng: 2


. .



(10)

4. Khi điểmM di động trên đường trịn

( )

O ,tìm các vị trí của điểmM sao cho diện tích
tứ giácAPQBnhỏ nhất.


Câu 15. Cho đường tròn

( )

O và điểmAnằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến
,


AM AN với các đường tròn

( )

O

(

M N, ∈

( )

O

)

. QuaAvẽ một đường thẳng cắt đường tròn

( )

O tại hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ). Gọi Hlà trung điểm của đoạn thẳng


.


BC


1. Chứng minh tứ giácANHM nội tiếp được trong đường tròn.
2. Chứng minh 2


. .


AN = AB AC


3. Đường thẳng quaBsong song vớiANcắt đoạn thẳngMNtạiE. Chứng minh
/ / .



EH NC


Câu 16. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà một điểmAsao choOA=3 .R QuaAkẻ 2 tiếp
tuyếnAPAQvới đường tròn( ; )O R ( ,P Q là 2 tiếp điểm). LấyMthuộc đường tròn


( ; )O R sao choPM song song vớiAQ. GọiNlà giao điểm thứ hai của đường thẳngAM


với đường tròn

(

O R;

)

.TiaPNcắt đường thẳngAQtạiK.


1. Chứng minh tứ giácAPOQlà tứ giác nội tiếp vàKA2 =KN KP.


2. Kẻ đường kínhQScủa đường trịn

(

O R;

)

.Chứng minhNSlà tia phân giác củaPNM.


3. GọiGlà giao điểm của 2 đường thẳngAOPK.Tính đội dài đoạn thẳngAGtheo
bán kínhR.


Câu 17. Cho tam giácABCnhọn

(

AB< AC

)

nội tiếp đường tròn( ),O hai đường cao
,


BE CF cắt nhau tạiH. Tia AOcắt đường tròn

( )

O tạiD.
1. Chứng minh tứ giácBCEFnội tiếp đường tròn;
2. Chứng minh tứ giácBHCDlà hình bình hành;


3. Gọi M là trung điểm củaBC, tiaAMcắtHOtạiG. Chứng minhGlà trọng tâm của
tam giácBAC.


Câu 18. Cho đường trịn

(

O R;

)

có đường kínhABcố định. Trên tia đối của tiaABlấy
điểm Csao choAC=R. QuaCkẻ đường thẳngdvng góc vớiCA.Lấy điểmMbất kì
trên

( )

O khơng trùng vớiA B, .TiaBM cắt đường thẳngdtạiP.TiaCM cắt đường tròn

( )

O
tại điểm thứ hai làN,tiaPAcắt đường tròn

( )

O tại điểm thứ hai làQ.


1. Chứng minh tứ giácACPMlà tứ giác nội tiếp;
2. TínhBM BP. theoR.



(11)

4. Chứng minh trọng tâmGcủa tam giácCMBluôn nằm trên một đường tròn cố định
khiMthay đổi trên

( )

O .


Câu 19. Cho∆ABCcó ba góc nội tiếp đường trịn( ),O bán kínhR. Hạ đường caoAH BK,
của tam giác. Các tiaAH BK, lần lượt cắt

( )

O tại các điểm thứ hai làD E, .


1. Chứng minh tứ giácABHKnội tiếp đường trịn. Xác định tâm đường trịn đó.
2. Chứng minh.HK/ /DE.


3. Cho

( )

O và dâyABcố định, điểmCdi chuyển trên

( )

O sao cho∆ABCcó ba góc nhọn.
Chứng minh rằng độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp∆CHKkhơng đổi.


Câu 20. Cho xAy=90 ,o vẽ đường trịn tâmAbán kínhR. Đường trịn này cắtAx Ay, thứ
tự tạiBD. Các tiếp tuyến với đường trịn

( )

A kẻ từBDcắt nhau tạiC.


1. Tứ giácABCDlà hình gì? Chứng minh?


2. TrênBClấy điểmM tùy ý (M khácBC) kẻ tiếp tuyếnMHvới đường tròn

( )

A ,(H
là tiếp điểm).MHcắt CDtạiN. Chứng minh rằng 0


45 .


MAN =


3. P Q; thứ tự là giao điểm củaAM AN; vớiBD. Chứng minh rằngMQ NP; là các đường
cao của∆AMN.



Câu 21. Cho ∆ABC AB

(

<AC

)

có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường trịn

(

O R;

)

.Vẽ đường


cao AHcủa ∆ABC, đường kínhADcủa đường tròn. GọiE F, lần lượt là chân đường
vng góc kẻ từ CBxuống đường thẳngAD M. là trung điểm củaBC.


1. Chứng minh các tứ giácABHFBMFOnội tiếp.
2. Chứng minh HE/ /BD.


3. Chứng minh . .


4
ABC


AB AC BC
S


R


= (SABClà diện tích ∆ABC).


Câu 22. Cho∆ABCnhọn

(

AB<AC

)

ba đường caoAP BM CN, , của∆ABCcắt nhau tạiH.


1. Chứng minh tứ giácBCMNnội tiếp.
2. Chứng minh ∆ANM ∽∆ACB.


3. Kẻ tiếp tuyếnBDvới đường trịn đường kínhAH(Dlà tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnBE
với đường trịn đường kính CH(E là tiếp điểm). Chứng minhBD=BE.


4. Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm. TínhMN.




(12)

2. Chứng minh:AC AN. = AO AB. .


3. Chứng minh:NOvng góc vớiAE.


4. Tìm vị trí điểmM sao cho

(

2.AM +AN

)

nhỏ nhất.


Câu 24. Cho đường tròn tâmObán kínhRvà đường thẳng

( )

d khơng đi qua O, cắt
đường tròn

( )

O tại 2 điểmA B, . Lấy điểm M bất kỳ trên tia đốiBA, qua M kẻ hai tiếp
tuyến MC MD, với đường tròn (C D, là các tiếp điểm).


1. Chứng minh tứ giácMCODnội tiếp đường tròn.


2. GọiHlà trung điểm của đoạn thẳngAB. Chứng minh HMlà phân giác của CHD.


3. Đường thẳng đi quaOvà vng góc vớiMOcắt các tiaMC MD, theo thứ tự tạiP Q, .
Tìm vị trí của điểmMtrên

( )

d sao cho diện tích∆MPQnhỏ nhất.


Câu 25. Cho∆ABCcó ba góc đều nhọn, hai đường caoBDCE cắt nhau tạiH(Dthuộc
;


AC EthuộcAB).


1. Chứng minh tứ giácADHEnội tiếp được trong một đường tròn;


2. Gọi M I, lần lượt là trung điểm củaAHBC. Chứng minhMIvng góc với ED.


Câu 26. Cho∆ABCcó ba góc đều nhọn

(

AB< AC

)

nội tiếp trong đường trịn tâm O, kẻ
đường caoAH. GọiM N, là hình chiếu vng góc củaHtrênABAC.KẻNEvng góc
với AH. Đường vng góc vớiACtạiCcắt đường tròn tại Ivà cắt tiaAHtạiD. TiaAH

cắt đường tròn tạiF.


1. Chứng minh  ABC+ACB=BICvà tứ giácDENCnội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh hệ thứcAM AB. =AN AC. và tứ giác BFIC là hình thang cân.


3. Chứng minh: tứ giácBMEDnội tiếp được trong một đường tròn.


Câu 27. Cho nửa đường trịn

( )

O đường kínhAB. GọiClà điểm cố định thuộc đoạn
thẳng OB (CkhácOB). Dựng đường thẳng d vng góc vớiABtại điểm C, cắt nửa
đường tròn

( )

O tại điểmM.Trên cung nhỏMBlấy điểmN bất kỳ(NkhácMB), tiaAN
cắt đường thẳng d tại điểm F,tiaBNcắt đường thẳngdtại điểmE.Đường thẳngAEcắt
nửa đường tròn

( )

O tại điểm D(DkhácA).


1. Chứng minh:AD AE. = AC AB. .


2. Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng hàng vàF là tâm đường tròn nội tiếp∆CDN.



(13)

Câu 28. Cho ∆ABCnhọn

(

AB< AC

)

nội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng đi qua


B vng góc vớiADtạiEvà cắtACtạiF. GọiHlà hình chiếu củaBtrênACM
trung điểm của BC.


1. Chứng minhCDEFlà tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minhMHC +BAD=90 .o


3. Chứng minhHC 1 BC.


HF + = HE


Câu 29. Cho∆ABCnhọn. Đường trịn tâmOđường kínhBCcắt các cạnhAB AC, lần lượt


tại các điểmM N M,

(

B N, ≠C

)

. GọiHlà giao điểm củaBNCM P; là giao điểm của


AHBC.


1. Chứng minh tứ giácAMHNnội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minhBM BA. =BP BC. .


3. Trong trường hợp đặc biệt khi∆ABCđều cạnh bằng2a. Tính chu vi đường tròn
ngoại tiếp tứ giácAMHN theo a.


4. Từ điểmAkẻ các tiếp tuyếnAEAFcủa đường tròn tâmOđường kínhBC(E F, là
các tiếp điểm). Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng.


Câu 30. Cho∆ABCđều có đường caoAH. Trên cạnhBClấy điểmMtùy ý(M không
trùng với B C H, , ).GọiP Q, lần lượt là hình chiếu vng góc củaM lênAB AC, .


1. Chứng minh tứ giácAPMQnội tiếp được đường tròn và xác định tâmOcủa đường
tròn này.


2. Chứng minhOHPQ.


3. Chứng minhMP+MQ=AH.


Câu 31. Cho∆ABCcó ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn

( )

O có bán kínhR=3cm.


Các tiếp tuyến với

( )

O tạiBCcắt nhau tạiD.
1. Chứng minh tứ giácOBDCnội tiếp đường tròn;


2. GọiMlà giao điểm củaBCOD. BiếtOD=5(cm). Tính diện tích∆BCD



3. Kẻ đường thẳngdđi quaDvà song song với đường tiếp tuyến với

( )

O tại A d, cắt
các đường thẳngAB AC, lần lượt tạiP Q, . Chứng minhAB AP. = AQ AC. .


4. Chứng minhPAD =MAC.


Câu 32. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường
tròn. Điểm M thuộc cung AC(MA; C). HạMHABtại H. Nối MB cắt CA tại E. Hạ



(14)

1. BHKCAMEI là các tứ giác nội tiếp.


2. 2


.


AK AC= AM .


3. AE AC. +BE BM. khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M.


4. Khi M chuyển động trên cung AC thì đường trịn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai
điểm cố định.


Câu 33. Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ở ngồi đường trịn. Vẽ đường thẳng
dOAtại A. Trên dlấy điểm M. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O). Nối


EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.


1. Chứng minh ABHM là tứ giác nội tiếp.


2. Chứng minh 2



. .


OA OB=OH OM =R .


3. Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường tròn cố
định khi M di chuyển trên d.


4. Tìm vị trí của M để diện tích∆HBOlớn nhất.


Câu 34. Cho (O; R) và điểm A thuộc đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên
Ax lấy điểm H sao cho AH < R. Dựng đường thẳng dAx tại H. Đường thẳng dcắt
đường tròn tại EB (E nằm giữa HB).


1. Chứng minh ∆ABH # ∆EAH.


2. Lấy điểm C thuộcAxsao cho H là trung điểm AC. Nối CE cắt AB tại K. Chứng minh


AHEK là tứ giác nội tiếp.


3. Tìm vị trí của H trênAxsao choAB=R 3.


Câu 35. Cho∆ABCvuông ở A. Trên cạnhAClấy 1 điểmM, dựng đường trịn tâm

( )

O
đường kínhMC.Đường thẳngBMcắt đường tròn tâm

( )

O tạiD, đường thẳngADcắt
đường tròn tâm

( )

O tạiS


1. Chứng minh tứ giácABCDlà tứ giác nội tiếp vàCAlà tia phân giác của gócBCS.


2. Gọi E là giao điểm củaBCvới đường tròn

( )

O . Chứng minh các đường thẳng


, ,



BA EM CDđồng quy.


3. Chứng minhMlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácADE.


Câu 36. Cho đường tròn

(

O R;

)

, đường kínhAB.ĐiểmHthuộc đoạn OA. Kẻ dây CD
vng góc vớiABtạiH.Vẽ đường trịn

( )

O1 đường kínhAHvà đường trịn

( )

O2 đường
kính BH. Nối AC cắt đường tròn

( )

O1 tại N. NốiBCcắt đường tròn

( )

O2 tại M.Đường


thẳngMNcắt đường tròn

(

O R;

)

tạiEF.



(15)

2. Cho AH =4cm,BH =9cm. Tính MN.


3. Chứng minhMNlà tiếp tuyến chung của hai đường tròn

( )

O1

( )

O2 .


4. Chứng minhCE=CF =CH.


Câu 37. Cho đường tròn

(

O R;

)

có hai đường kính vng gócABCD. Gọi I là trung
điểm của OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) tại E. Nối AE cắt CD tại H; nối BD cắt AE tại


K.


1. Chứng minh tứ giácOIEDnội tiếp.


2. Chứng minh 2


. 2 .


AH AE= R
3. Tính tanBAE.



4. Chứng minh OK vng góc với BD.


Câu 38. Cho đường tròn tâm O, bán kính R, đường kính AD. Điểm H thuộc đoạn OD.
Kẻ dâyBCADtại H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻCKAM tại K. Đường thẳng


BM cắt CK tại N.


1. Chứng minh 2


. .


AH AD= AB


2. Chứng minh tam giác CAN cân tại A.


3. Giả sử H là trung điểm của OD. Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy là


HD, đường cao BH.


4. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ABN lớn nhất.


Câu 39. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường trịn


(

ACAB

)

. Dựng về phía ngồi∆ABCmột hình vng ACED. Tia EA cắt nửa đường
tròn tại F. Nối BF cắt ED tại K.


1. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn.
2. Chứng minhAB=EK.



3. Cho ABC=30 ;o BC=10cm. Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC
cung nhỏ AC.


4. Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác∆ABClớn nhất.


Câu 40. Cho đường tròn (O;R) đường kính AC cố định. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn
tại A. Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn tại B (B khác A). Tiếp tuyến của
đường tròn tại C cắt AB tại D. Nối OM cắt AB tại I, cắt cung nhỏ AB tại E.


1. Chứng minh OIDC là tứ giác nội tiếp.



(16)

4. Chứng minhODMC.


Câu 41. Cho đường trịn

(

O R;

)

đường kính AB và điểm C thuộc đường trịn. Gọi MN


là điểm chính giữa các cung nhỏ ACBC. Nối MN cắt AC tại I. HạNDAC. Gọi E


trung điểm BC. Dựng hình bình hành ADEF.
1. TínhMIC.


2. Chứng minh DN là tiếp tuyến của đường tròn

(

O R;

)

.


3. Chứng minh rằng F thuộc đường tròn

(

O R;

)

.


4. Cho CAB =30 ;o R=30cm. Tính thể tích hình tạo thành khi cho∆ABCquay một vòng
quanh AB.


Câu 42. Cho đường tròn

(

O R;

)

với dây AB cố định. Gọi I là điểm chính giữa cung lớn


AB. Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AHIM AH; cắt BM tại C.


1. Chứng minh ∆IABvà∆MAClà tam giác cân.


2. Chứng minh C thuộc một đường tròn cố định khi M chuyển động trên cung nhỏ IB.
3. Tìm vị trí của M để chu vi ∆MAClớn nhất.


Câu 43. Cho đường trịn

(

O R;

)

đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên


Ax lấy điểmK AK

(

R

)

. Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O). Đường thẳng
dABtại O, d cắt MB tại E.


1. Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp;


2. OK cắt AM tại I. Chứng minh OI.OK không đổi khi K chuyển động trên Ax;
3. Chứng minh KAOE là hình chữ nhật;


4. Gọi H là trực tâm của∆KMA. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên Ax thì H


thuộc một đường trịn cố định.


Câu 44. Cho đường tròn (O) đường kínhAB=2 .R Gọi C là trung điểm của OA. Dây
MNAB tại C. Trên cung MB nhỏ lấy điểm K. Nối AK cắt NM tại H.


1. Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.


2. Chứng minh tíchAH AK. khơng đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ MB.


3. Chứng minh∆BMNlà tam giác đều.


4. Tìm vị trí điểm K để tổng KM +KN+KB lớn nhất.



Câu 45. Cho đường trịn

(

O R;

)

và điểm A ở ngồi đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến


,


AB ACtới đường tròn (BC là 2 tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn BC IB

(

<IC

)

.



(17)

1. Chứng minh OIBEOIFC là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh I là trung điểm EF.


3. K là một điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K cắt AB; AC tại


MN. Tính chu vi∆AMN nếuOA=2R.


4. Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC tại P Q . Tìm vị trí của A để


APQ


S nhỏ nhất.


Câu 46. Cho 2 đường tròn

( )

O

( )

O' cắt nhau tại hai điểmA B, phân biệt. Đường thẳng
OA cắt

( ) ( )

O ; O' lần lượt tại điểm thứ haiC D, . Đường thẳng O A' cắt

( ) ( )

O ; O' lần lượt


tại điểm thứ haiE F, .


1. Chứng minh 3 đường thẳngAB CE, và DFđồng quy tại một điểm I.


2. Chứng minh tứ giácBEIFnội tiếp được trong một đường tròn.


3. ChoPQlà tiếp tuyến chung của

( )

O

( )

O'

(

P

( )

O Q, ∈

( )

O'

)

. Chứng minh đường



thẳng ABđi qua trung điểm của đoạn thẳngPQ.


Câu 47. Cho hai đường tròn

(

O R;

)

(

O R'; '

)

với R>R'cắt nhau tạiAB. Kẻ tiếp


tuyến chungDEcủa hai đường tròn vớiD

( )

OE

( )

O' sao choBgần tiếp tuyến đó
hơn so vớiA.


1. Chứng minh rằngDAB =BDE.


2. TiaABcắtDE tạiM. Chứng minhM là trung điểm củaDE.


3. Đường thẳngEB cắtDAtại P, đường thẳngDBcắtAEtại Q. Chứng minh rằngPQ
song song vớiAB.


Câu 48. Cho đường trong

(

O R;

)

và đường thẳng dkhơng quaOcắt đường trịn tại hai điểm
, .


A B Lấy một điểmMtrên tia đối của tiaBAkẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D,
là các tiếp điểm). GọiHlà trung điểm củaAB;


1. Chứng minh rằng các điểmM D O H, , , cùng nằm trên một đường tròn.


2. Đoạn OM cắt đường tròn tạiI. Chứng minh rằngIlà tâm đường tròn nội tiếp tam
giácMCD.


3. Đường thẳng qua O, vng góc với OMcắt các tiaMC MD, thứ tự tạiPQ. Tìm vị trí
của điểm Mtrên dsao cho diện tích tam giácMPQ bé nhất.


Câu 49. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

(

O R;

)

. Ba đường cao



; ;



(18)

2. Chứng minhDA DH. =DB DC. .


3. Cho  0 2


60 ; ABC 20 .


BAC= S = cm Tính SABC.


4. Cho BCcố định;Achuyển động trên cung lớnBCsao cho∆ABCcó ba góc nhọn.
Chứng minh điểmHln thuộc một đường trịn cố định.


Câu 50. Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính vng góc là ABCD. Lấy K thuộc
cung nhỏ AC, kẻ KHABtại H. Nối AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E; nối AE cắt
đường tròn (O;R) tại F.


1. Chứng minh BHFE là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh EC.EB = EF.EA.


3. Cho H là trung điểm OA. Tính theo R diện tích∆CEF.


4. Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua một
điểm cố định.


LỜI GIẢI CHI TIẾT


Câu 1. Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN


vng góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK



MN.


4. Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp.
5. Tính tíchAH AK. theo R.


6. Xác định vị trị của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị
lớn nhất đó?


Giải:


1. Chứng minh tứ giácBHCKnội tiếp.
MNAC


90


AKB= °(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)


90


HCB


⇒ = °


Xét tứ giácBCHKcó:


  90 90 180


HCB+AKB= ° + ° = °mà 2 góc ở vị trí
đối nhau



⇒ Tứ giácBCHKnội tiếp.
2. TínhAH AK. theo R.


D
H


K


N
M


C O B



(19)

Xét tam giác∆ACH và∆AKBcó:
 




90


( . )
ACH AKB


ACH AKB g g
A chung



= = °



⇒ ∆ ∆




 #


AC AH


AK AB


⇒ = ⇒AH AK. =AC AB.


Mà 1


4


AC= RAB=2R


2


.


2


R
AH AK


⇒ = ⋅


3. Xác định vị trí củaKđể(KM +KN+KB) max



* Chứng minh ∆BMNđều:
AOM


∆ cân tại M (MC vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)
OA=OM =R⇒ ∆AOMđều⇒MOA = °60


MBN


∆ cân tại BMC CN


BC MN


=






CM CN


⇒ =


Mặt khác: 1 30


2


MBA= MOA= °(góc nội tiếp chắn cung MA)⇒MBN= °60



MBN


∆ cân tại B lại cóMBN = °60 nên ∆MBN là tam giác đều


* Chứng minh KM +KB=KN


Trên cạnh NK lấy điểm D sao choKD=KB.


KDB


⇒ ∆ là tam giác cân mà 1


2


NKB= sđNB =60°


KDB


⇒ ∆ là tam giác đều⇒KB=BD.


Ta có:DMB =KMB(góc nội tiếp chắn cungAB)


120


BDN = °(kề bù với KBD trong ∆KDB đều)


120


MKB= °(góc nội tiếp chắn cung 240°)



 


MBK DBN


⇒ = (tổng các góc trong tam giác bằng180°)


Xét và có:



(2 cạnh tương ứng)




khi KN là đường kính thẳng hàng
BDN


∆ ∆BKM


 


( )


( ) ( .g.c)


BK BD cmt


BDN BKM cmt BDN BKN c


MB MN



= 




= ⇒ ∆ = ∆




=


ND MK


⇒ =


2


KM KN KB KN


⇒ + + =


(KM KN KB) max 4 R



(20)

là điểm chính giữa cung BM.


Vậy với K là điểm chính giữa cung BM thì đạt giá trị max bằng 4R.


Câu 2. Cho đường tròn( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng dtạiA.Trêndlấy điểmHkhông
trùng với điểmAAH <R. QuaHkẻ đường thẳng vng góc vớid,đường thẳng này
cắt đường tròn tại hai điểmEB (Enằm giữaBH).



4. Chứng minh ABE=EAH và ∆ABH# ∆EAH.


5. Lấy điểmCtrêndsao choHlà trung điểm của đoạn thẳngAC,đường thẳngCEcắt
ABtại K.Chứng minhAHEKlà tứ giác nội tiếp.


6. Xác định vị trí điểmHđểAB=R 3.


Giải:


1. Chứng minh:


sđ (t/c góc nội tiếp)


sđ (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây
cung)




Xét và có:




2. Xét


mà (cmt)




Mặt khác:




vng tại K


Xét tứ giác có:


mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Tứ giác nội tiếp.


3. Hạ


K




(KM +KN+KB)


 


ABE =EAH


 1


2


ABE= EA


 1


2



HAE = EA
 


ABE HAE


⇒ =


ABH


∆ ∆EAH




 


90


( . )


( )


AHB


ABH EAH g g
ABE HAE cmt



= °  ⇒ ∆






=  #


( . . )
HEC HEA c g c


∆ = ∆


 ACE CAE


⇒ = CAE =ABE


 


ACE ABE


⇒ =


  90


ABE+CAK = °


  90


ACE CAK


⇒ + = °


AHK



⇒ ∆


AHEK  EHK= AKE= °90


  180


EHK AKE


⇒ + = °


AHEK


OIAB 3


2 2


AB R
AI IB


⇒ = = =


E


O
I


H


K



C


B


A



(21)

Xét vng tại có cos


vng tại có: cos




Vậy cần lấy điểm sao cho độ dài thì


Câu 3. Cho đường trịn( )O có đường kínhAB=2RE là điểm bất kì trên đường trịn
đó (EkhácAB). Đường phân giác gócAEBcắt đoạn thẳngABtạiFvà cắt đường tròn


( )O tại điểm thứ hai làK.
5. Chứng minh∆KAF# ∆KEA.


6. GọiIlà giao điểm của đường trung trực đoạnEFvớiOE, chứng minh đường tròn
( )I bán kínhIEtiếp xúc với đường trịn( )O tạiEvà tiếp xúc với đường thẳngABtại


.


F


7. Chứng minhMN/ /AB,trong đóMN lần lượt là giao điểm thứ hai củaAE BE, với


đường tròn( ).I


8. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giácKPQtheoRkhiEchuyển động trên đường
tròn ( ),O vớiPlà giao điểm củaNFAK Q; là giao điểm củaMFBK.


Giải:


1. Chứng minh


(góc nội tiếp cùng chắn


Xét và có:




2. * Đường tròn và đường tròn


thẳng hàng




Vậy và tiếp xúc trong tại E.


AOI


I  3


2
AI
OAI



OA


= =


30


OAI


⇒ = °⇒BAH = °60


AHB


HBAH = ° ⇒60  1


2


AH
BAH


AB


= =


1 3


2 2


3



AH R


AH
R


⇒ = ⇒ =


H 3


2
R


AH = AB=R 3


KAF KEA


∆ # ∆


 


KAB=KEB KB)


KAF


∆ ∆KEA


 


( )



( . )
KAB AEK cmt


KAF AEK g g
K chung




=  ⇒ ∆





 #


(

I IE;

)

(

O OE;

)



, ,


I O EIE+IO=OE
IO OE IE


⇒ = −


(

I IE;

)

(

O OE;

)



Q
P



N


M I


K
F
E


O B



(22)

* Chứng minh tiếp xúc với tại


Dễ dàng chứng minh: cân tại trung trực của


cân tại


mà 2 góc này ở vị trí đồng vị (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)


Có :


cân tại




tiếp xúc với tại


3. (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)


mà là góc nội tiếp đường trịn



là đường kính


cân tại


Lại có: cân tại mà 2 góc này vị trí đồng vị


(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //).


4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi theo khi chuyển động trên


(góc nội tiếp cùng chắn cung )


(góc nội tiếp cùng chắn cung )


Mà , hai góc này lại ở vị trí đồng vị


(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng //)


Chứng minh tương tự:


Tứ giác có:




(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Tứ giác là hình chữ nhật


Ta có: (đối đỉnh) ở



cân mà vuông cân tại .


Chu vi


Mà (PFQK là hình chữ nhật) và ( cân tại Q)


(

I IE;

)

AB F
EIF


I (IEF)


EOK


OEFI =EKO(=OEF)
/ /


IF OK




   AK =KB AEK( =KEB) AK=KB


AKB


⇒ ∆ K


OK AB


⇒ ⊥



/ /


OK AB


IF AB
OK IF


⊥ 


⇒ ⊥





(

I IE;

)



AB F.


90


AEB= °


90


MEN= ° MEN

(

I IE;

)



MN


(

I IE;

)




EIN


⇒ ∆ I


EOB


OINE =OBE


/ /


MN AB




KPQ


R E

( )

O


 


MFE=MNE

( )

I ME


 


AKE=ABE

( )

O AE


 ( )  


MNE=ABE cmtMFE=AKE
/ /



MQ AK




/ /


NP BK
PFQK MQ/ /AK


/ /


NP BK


90


PKQ= °


PFQK


 


MFA=QFB


 (


KAB=KBAAKB )  MFA=KAB⇒ ∆FQB Q
KPQ KP PQ KQ


∆ = + +




(23)



Mặt khác: cân tại là điểm chính giữa cung


(quan hệ giữa đường vng góc và đường xiên)


Dấu xảy ra




là điểm chính giữa cung


Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tính được


Chu vi nhỏ nhất


Câu 4. Cho( ; )O R và điểmAnằm bên ngồi đường trịn. Kẻ các tiếp tuyếnAB AC, với
đường tròn( , CB là các tiếp điểm).


5. Chứng minhABOClà tứ giác nội tiếp.


6. Gọi E là giao điểm củaBCOA. Chứng minhBEvng góc vớiOAvà 2


. .


OE OA=R
7. Trên cung nhỏ BC của (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác BC). Tiếp tuyến tại K của



(

O R;

)

cắt AB, AC theo thứ tự tại PQ. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không


đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.


8. Đường thẳng qua O và vng góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự
tại M, N. Chứng minh PM +QNMN.


Giải:


1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.


Xét tứ giác có:


(tính chất tiếp tuyến)
(tính chất tiếp tuyến)


Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ


giác nội tiếp.


2. (tính chất của 2 tiếp tuyến
cắt nhau tại 1 điểm)


cân tại .


Mà là tia phân giác (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)


KPQ



P QB QK FK


⇒ = + + =KB+FK
AKB


KK AB


FKFO


KB FK KB FO


⇒ + ≥ +


" "= ⇔KB+FK =KB+FO


FK FO


⇔ =


E AB


FO R


⇒ =


FOB


BK =R 2



⇒ ∆KPQ = +R R 2=R( 2 1).+


ABOC
ABOC
90o


ABO=


90o


ACO=


  90o 90o 180o


ABO ACO


⇒ + = + =


ABOC
AB= AC


ABC


⇒ ∆ A



(24)

nên là đường cao của hay


Xét vng ở BBE là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông
OB = R



3. PK = PB (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm).


KQ = QC (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm).


Xét chu vi








(O) cố định, điểm A cố định nên AB không thay đổi.


4.




(Theo bất đẳng thức Cô-si)


Hay (đpcm).


Câu 5. Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường trịn đó (C


khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E,
tia AC cắt BE tại điểm F.


5. Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.
6. Chứng minh DA DE. =DB DC. .



7. Chứng minhCFD =OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. C hứng


minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
8. Cho biết DF = R, chứng minhtanAFB=2.


Giải:


1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp.


(góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)


Tứ giác có :




Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên Tứ giác
là tứ giác nội tiếp


2. Chứng minh


AOABC AOBC.


ABO




2


. ,



OB OE OA


⇒ = 2


. .


R OE OA


⇒ =


APQ AP AQ QP


∆ = + +


AP AQ PK KQ


= + + +


AP PK AQ QC


= + + +


AB AC


= +


2AB


=



2


. .


4


MP OM MN


OMP QNO MP QN ON OM


ON QN


∆ # ∆ ⇒ = ⇒ = =


2


4 .


MN MP QN


⇒ =


2 .


MN = MP QNMP+NQ
MP+NQMN


FCDE
  90o



ACE=AEB=


FCDE
  180o


FCD+FDE=




FCDE


. .


DA DE=DB DC


I


D


E
F


C


O B



(25)

Xét và có:




(đpcm).


3. * Chứng minh


Vì tứ giác là tứ giác nội tiếp nên


(góc nội tiếp cùng chắn cung )


Mà (góc nội tiếp cùng chắn cung )




Lại có cân tại O nên



cân tại I:
Từ (1) và (2)


* Chứng minh là tiếp tuyến


Ta có: (vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)


là tiếp tuyến của
4. Ta có 2 tam giác vng


(góc nội tiếp chắn


Câu 6. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi d1vàd2là hai tiếp tuyến của



đường tròn (O) tại hai điểm AB. Gọi I là trung điểm của OAE là điểm thuộc
đường trịn (O) (E khơng trùng với AB). Đường thẳng dđi qua E và vng góc với


EI cắt hai đường thẳng d1và d2lần lượt tại M, N.


5. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
6. Chứng minhENI =EBIvà 90o


MIN= .
ACD


∆ ∆BED


 
  .


90


( . )
)


(


o


đ đ
ACD BED


ACD BED g g


ADC BDE



= = ∆





=  #


. .


AD BD


AD ED CD BD


CD ED


⇒ = ⇒ =


 


CFD=OCB


FCDE ( )I


 


CFD=CEA ( )I CD



 


CED=CBA ( )O CA


 


CFD CBA


⇒ =


OCB


CBA =OCB


 

( )

1


CFD OCB


⇒ =


ICF


CFD =ICF

( )

2


 


ICF OCB


⇒ =



IC ( ) :O


  90o


ICF+ICB= DIC


  90o


OCB BCI


⇒ + =


OC CI


⇒ ⊥ ⇒IC ( ).O


( )

.


ICO FEA g g


∆ # ∆


 1 


2


CAE= COE=COI CE) ⇒CIO = AFB





tan 2


2
CO R
CIO


R
CI


= = =
 


tanAFB tanCIO 2.



(26)

7. Chứng minhAM BN. =AI BI. .


8. Gọi F là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa E của đường trịn (O). Hãy tính
diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.


Giải:


1. Chứng minh nội tiếp.


Xét tứ giác có:


mà 2 góc này ở vị trí đối
nhau


Tứ giác nội tiếp.
2. * Chứng minh



Xét tứ giác có:


mà 2 góc này ở vị trí đối
nhau


Tứ giác nội tiếp


(2 góc nội tiếp cùng chắn cung


* Chứng minh


Tứ giác nội tiếp nên (2 góc nội tiếp cùng chắn cung


Lại có:


vuông tại Vậy


3. Chứng minh


Xét và có:


(cùng phụ với góc )



4. Ta có hình vẽ


Khi thẳng hàng sđ



(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
vng cân tại .


(Định lí Pi-ta-go).
AMEI
AMEI


  90 90 180


MAI+MEI = ° + ° = °


AMEI


 .


ENI=EBI
ENBI


  90 90 180


IEN+IBN = ° + ° = °


ENBI


ENI =EBI EI)


90


MIN= °



ENBI EMI =EAI EI)


90   90


AEB= ° ⇒EAI+EBI = °


  90


EMI ENI


⇒ + = °⇒ ∆MNI I. MIN= °90 .
. .


AM BN =AI BI
AMI


∆ ∆BNI MAI =NBI = °90


 


AIM =BNI BIN


( . )
AMI BIN g g


⇒ ∆ # ∆


. . .


AM BI



AM BN AI BI


AI BN


⇒ = ⇒ =


, ,


E I F  1


2


AEF = AF=45°


  45


AMI = AEI = ° AI


MAI


⇒ ∆ A


2 2


2 2 2


2 4 4 2


R R R R



AM AI MI AM AI


⇒ = = ⇒ = + = + =


N
M


E


d2


d1


I O B


A


F


N


M
E


d2


d1


I O B




(27)

Chứng minh tương tự:
vuông cân tại


2


1 1 2 3 2 3


.


2 2 2 2 4


MIN


R R R


S = MI NI = ⋅ ⋅ = (đơn vị diện tích).


Câu 7. Cho đường trịn (O; R), đường kính AB. Bán kính CO vng góc với AB, M
điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác AC),


BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên


AB.


5. Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
6. Chứng minh ACM = ACK


7. Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE =
AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác


vuông cân tại C.


8. Gọi dlà tiếp tuyến của đường tròn (O) tại
điểm A. Cho P là một điểm nằm trên dsao
cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa
mặt phẳng bờ ABAP MB. R.


MA = Chứng
minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của
đoạn thẳng HK.


Giải:


1. Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp:
Xét tứ giác ta có:


(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau


Tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh


Tứ giác nội tiếp nên: (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )
BIN


B


2 2


2 2



3 9 9 3 2


4 16 16 2


R R R R


BI BN IN BI BN


⇒ = = ⇒ = + = + =


CBKH
CBKH


 0


90


BKH =


90o


HCB=


  180o


BKH HCB


⇒ + =



CBKH


 


ACM = ACK


CBKH HCK =HBK HK


Q


N
P


d


E
K


H
M


C


O



(28)

Tứ giác nội tiếp nên: (2 góc nội tiếp cùng chắn cung )
(Đpcm).


3. Chứng minh vng cân tại .



Vì nên là đường trung trực của


Xét và có:


(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )


(2 góc tương ứng) và CM = CE (2 cạnh tương
ứng)


Mặt khác:
Xét có:


vng cân tại C (Đpcm).
4. Chứng minh đi qua trung điểm của
Theo đề bài:


Mà (t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
(t/c góc nội tiếp chắn cung )


(Hệ quả)


Vậy cần lấy điểm sao cho (1)


Gọi là giao điểm của và là giao điểm của với


Xét vuông tại có: PA=PM cân tại P


cân tại P
Từ (1) và (2)



MCBA ( )O MCA =HKB MA


 


HCK MCA


⇒ =


 


ACM ACK


⇒ =


ECM


C


CDAB CO ABCA=CB


AMC


∆ ∆BEC


 


MAC=MBC MC


( )



MA=BE gt
(cmt)
CA=CB


( . . )
AMC BEC c g c


⇒ ∆ = ∆ ⇒MCA =ECB


   90o


ECB+EAC=BCA=


  90o


MCA ECA


⇒ + =


EMC




90o


MCE


ECM
CM CE




=  ⇒ ∆



= 


PB HK


.


AP MB
R
MA =


AP R BO


AM MB BM


⇔ = =


 1 


2


PAM = sđ AM


 1 


2



MBA= sđ AM AM


 


PAM MBA


⇒ = ⇒ ∆PAM# ∆OMB c g c( . . )


1


PA OB


PA PM


PM OM


⇒ = = ⇒ =


Pd PA=PM


N PB HK Q, BM d


QMA


M ⇒ ∆PMAPAM =PMA


  90o


PMA PMQ+ =



  90o


PAM +PQM =


 


PMQ PQM PMQ


⇒ = ⇒ ∆ ⇒PM =PQ

( )

2


.
PM PA PQ



(29)

Vì // (cùng vng góc nên:
(Định lí Ta-let trong )
(Định lí Ta-let trong )




là trung điểm của .


Vậy với mà thì đi qua trung điểm của .


Câu 8. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với
đường tròn (O). Một đường thẳng dđi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm BC
(AB < AC, dkhông đi qua tâm O)


5. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
6. Chứng minh 2



. .


AN =AB AC Tính độ dài
đoạn thẳng BC khi AB = 4cm, AN =


6cm.


7. Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng


NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai


T. Chứng minh: MT // AC.


8. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B


C cắt nhau tại K. Chứng minh K


thuộc một đường thẳng cố định khi d
thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu
bài.


Giải:


1. Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.


Ta có là tiếp tuyến của




( là tiếp tuyến của (O))


Xét tứ giác AMON có:


mà hai góc này ở vị trí đối nhau


AQ HK AB)


NK BN


PA = BPABP


BN NH


BP = PQPBQ


NK NH


PA PQ


⇒ = PA=PQ cmt( ) ⇒NK =NH


N


HK


Pd AP MB. R


MA = PB HK


AMOM (AM ( ))O



90o


OMA


⇒ =


ANON AN
90o


ONA


⇒ =


  90o 90o 180o


OMA ONA+ = + =


E
K


B


T
I


C


N


M


O



(30)

tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).


2. Chứng minh Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm; AN = 6cm.


Xét (O): (góc nội tiếp và góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn
cung BN).


Xét và


chung


(g .g)
ANB ACN


⇒ ∆ # ∆


(tính chất hai tam giác đồng dạng).
(Đpcm).


* Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4cm; AN = 6cm.


Ta có mà AB = 4cm, AN = 6cm nên: (cm) mà


nên cm.


3. Chứng minh MT // AC.



Xét (O): I là trung điểm của dây BC


(quan hệ vng góc giữa đường kính và dây)
Tứ giác OIAN nội tiếp vì


(hai góc nội tiếp cùng chắn mà hai góc cùng nhìn cạnh AO (1)


AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A.


là phân giác (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)


Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung MN).


(2)


Từ (1)(2) ta có: mà hai góc này ở vị trí đồng vị


MT // AC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).


4. Hai tiếp tuyến (O) tại BC cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố
định khi d thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài.


* MN cắt OA tại E.


Ta chứng minh được


Ta chứng minh được OI.OK = OE. OA ( )





2


. .


AN =AB AC


 ANB=BCN


ANB


∆ ∆ACN:




CAN


 ( )


ANB=BCN cmt


AN AB


AC AN


⇒ =


2


.


AN AB AC


⇒ =


2


. ( )


AN =AB AC cmt 2


4.AC=6 ⇔AC=9


AB+BC= AC BC=5


OI BC


⇒ ⊥


  0


90


ANO= AIO=


 AIN AON


⇒ = AN)


OA



MON


 1


2


AON MON


⇒ =


 1


2


MTN = MON


 


MTN AON


⇒ =


 


MTN = AIN




MNOAEMOA



2 2 2


OB OM R



(31)

Từ đó chứng minh được


EM trùng EK.


K thuộc MN cố định (đpcm).


Câu 9. Cho đường trịn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường
trịn (O; R). (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường
thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P.


5. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.


6. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một
đường tròn.


7. Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vng góc
với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm
của BPME // NF


8. Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn
điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để
tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.


Giải:



1. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.


Ta có (4 góc nội tiếp chắn


nửa đường trịn)


là hình chữ nhật.


2. Ta có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)


(2 góc cùng phụ với góc )




Mà ; hai góc này lại ở vị trí đối nhau


là tứ giác nội tiếp.


3. * Chứng minh F là trung điểm của BP.


E là trung điểm của BQ, O là trung điểm của AB


là đường trung bình của


(tính chất đường trung bình của tam giác)


Mà ;


( .g.c)
OEK OIA c



∆ # ∆


  90o


OEK OIA


⇒ = =


EK OA


⇒ ⊥ EMOA


    90o


AMB=MBN =BNA=NAM =


AMBN




 


ANM =ABM


 


ABM =MQB QBM


 



ANM MQB


⇒ =


  180o   180o


ANM +MNP= ⇒MQB+MNP=
MNPQ




OE


⇒ ∆ABQ


/ /
OE AQ




OEOF AQAP


F
E


P
Q


N



M


B
A



(32)



Lại có O là trung điểm của AB là đường trung bình của .


là trung điểm của BP.
* Chứng minh ME // NF


vuông tại N, có F là trung điểm của cạnh BP (đường


trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền)


Xét và có:


(2 góc tương ứng)


Chứng minh tương tự ta có


(cùng vng góc với MN).


4.





Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:


Ta có: 2 2 2 2


. 2


2 2


AM AN MN


AM AN≤ + = = R


2


3
MNPQ


S R


⇒ ≥


Dấu bằng xảy ra khi AM = ANPQ = BP. Hay MN vng góc với AB.


Vậy để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất thì đường kính MN vng góc với đường
kính AB.


Câu 10. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính


AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A, C



khác O). Đường thẳng đi qua C vng góc với AB


cắt nửa đường trịn tại K. Gọi M là điểm bất kì nằm
trên cung KB (M khác K, M khác B). Đường thẳng


CK cắt đường thẳng AM, BM lần lượt tại HD.


/ /


OF AP




OF


⇒ ∆ABP


F




NPB


∆ 1


2


NF BF FB BP


⇒ = = =



ONF


∆ ∆OBF


( . . )
( )


ON OB R


OF chung ONF OBF c c c


FN FB cmt


= = 


 ⇒ ∆ = ∆




=


  90o


ONF OBF


⇒ = =


ON NF



⇒ ⊥


OMME


/ /


ME NF




2SMNPQ =2SAPQ−2SAMN =2 .R PQAM AN.


2


.


AB BP


ABP QBA AB BP QB


QB BA


∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =


2


2 . 2 (2 ) 4


PB+BQPB QB = R = R



2 2



(33)

Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N.
5. Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.


6. Chứng minhCA CB. =CH CD. .


7. Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua
trung điểm của DH.


8. Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố
định.


Giải:


1. Chứng minh tứ giác nội tiếp


Chứng minh được


Vì mà hai góc này cùng nhìn cạnh DA (nên M, C thuộc đường trịn


đường kính AD).


Vậy tứ giác nội tiếp.


2. Chứng minh


Xét và có:



(1)


Mặt khác (cùng phụ với


góc (2)
Từ (1) và (2)



(Đpcm).
3.


* Chứng minh A, N, D thẳng hàng
AMDC là đường cao của tam
giác ABD nên H là trực tâm


Nên A, N, D thẳng hàng


* Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N.


Ta có:




cân tại E (3)


Ta có:


90o


AMD=



  90o


ACD=AMD=


ACMD


. .


CA CB = CH CD
CAH


∆ ∆CDB


  90o


ACH =DCB=


 


CAH =CDB


)


CBM


( . )
CAH CDB g g


⇒ ∆ # ∆



. .


CA CB CH CD


⇒ =


ABD




;


AD BH AN BH


⇒ ⊥ ⊥


,


BNDN ONEN


 


DNE BNO


⇒ = BNO   =OBN OBN, =EDN


 


DNE EDN DEN



⇒ = ⇒ ∆ ⇒ED=EN


90o90o  



(34)

cân tại E (4)


Từ (3) và (4) là trung điểm của HD (Đpcm).
4. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.


Gọi I là giao điểm của MNAB, kẻ IT là tiếp tuyến của nửa đường tròn với T là tiếp


điểm (5)


Mặt khác: (vì và )


cùng thuộc 1 đường tròn (6)


Từ (5) và (6)


ICT ITO CT IO T K


⇒ ∆ # ∆ ⇒ ⊥ ⇒ ≡


là giao điểm của tiếp tuyến tại K của nửa đường tròn và đường thẳng AB
cố định (Đpcm).


Câu 11. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngồi đường trịn. Kẻ tiếp tuyến AB


với đường trịn (O) (B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I



khác C, I khác O). Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm DE (D nằm giữa AE). Gọi


H là trung điểm của đoạn thẳng DE.


5. Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
6. Chứng minh AB BD


AE = BE.
7. Đường thẳng dđi qua


điểm E song song với


AO,dcắt BC tại điểm K.
Chứng minh: HK/ /DC.


8. Tia CD cắt AO tại điểm


P, tia EO cắt BP tại điểm


F. Chứng minh tứ giác


BECF là hình chữ nhật


Giải:


1. Chứng minh bốn điểm


A, B, O, H cùng nằm
trên một đường tròn.



Chứng minh được


Chứng minh được


Tứ giác ABOH nội tiếp
HEN


⇒ ∆ ⇒EH =EN


E




2


.


IN IM IT


⇒ =


EMOMENO= ∆EMO ENON
, , ,


N C O M


⇒ ⇒IN IM. =IO IC.


2



.


IC IO IT


⇒ =


I




I




90o


ABO=


90


AHO= °




K
H


E
D



I


C
B



(35)

Suy ra bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên đường trịn đường kính AO.


2. Chứng minh


Chứng minh được


Xét và có: chung


Chứng minh được


(Đpcm).
3. Chứng minh KH // DC


Tứ giác ABOH nội tiếp mà (do EK//AO)


Suy ra tứ giác BHKE nội tiếp


Chứng minh được (cùng bằng )


Kết luận HK // DC.


4. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.


Gọi giao điểm tia CE và tia AOQ, tia EKCD cắt nhau tại điểm M



Xét có HK // DMH là trung điểm của đoạn DE, suy ra K là trung điểm của
đoạn thẳng ME.


ME // PQ (cùng bằng ) suy ra O là trung điểm của đoạn PQ


Có: Suy ra tứ giác BPCQ là hình bình hành. Suy ra CE // BF.


Chứng minh được (g.c.g)


Mà Suy ra tứ giác BECF là hình chữ nhật.


Cách 2:


AB BD


AE = BE


 


ABD=AEB
ABD


∆ ∆AEB EAB


( . )
ABD AEB g g


∆ # ∆



AB BD


AE BE


⇒ =


 


OBH OAH


⇒ = OAH =HEK


 .


HBK HEK


⇒ =


 


BKH =BCD BEH


M


Q
F


P


K


H


E
D


I


C
B


A O


EDM




KE MK


OQ OP


⇒ = CK


CO


; .


OP=OQ OB=OC


COE BOF



∆ = ∆ ⇒OE=OF



(36)

Kẻ tiếp tuyến AT với (O), chứng minh APDT nội tiếp


dẫn đến (1), chứng minh (g.c.g) (2)


Từ (1) và (2)


Dẫn đến EF là đường kính BECF là hình chữ nhật (Đpcm).


Cách 3:


Chứng minh (g.g)




BECF là hình chữ nhật (Đpcm).


Câu 12. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là điểm
chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây ANCM cắt nhau tại điểm I.
Dây MN cắt các cạnh ABBC lần lượt tại các điểm HK.


T
F


P


K
H



E
D


I


C
B


A O


 


(PAT+PDT =180 )°


 


ATP=CBETAP= ∆BAP ⇒ ATP=ABP


 


ABP EBC


⇒ =


90


EBF = ° ⇒ ⇒


F



P


K
H


E
D


I


C
B


A O


EHB COP


∆ # ∆ EB EH ED


CP CO CB


⇒ = =


EDB CBP


⇒ ∆ # ∆
 


EDP CBP



⇒ =


  90 ,



(37)

5. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường tròn..
6. Chứng minh 2


. NM.
NB =NK


7. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.


8. Gọi PQ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác


MCKE là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O).
Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.


Giải:


1. Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc cùng một đường trịn.
Ta có: (2 góc nội tiếp chắn hai


cung bằng nhau).


Mà hai góc này ở cùng nhìn cạnh IK trong
tứ giác IKNC từ hai đỉnh kề nhau


là tứ giác nội tiếp



thuộc cùng một đường tròn.
2. Chứng minh


(hai góc nội tiếp cùng chắn hai
cung bằng nhau).


Xét và có:


chung
(cmt)


(g.g)


(đpcm).
3. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi
Nối BI cắt đường tròn (O) tại F




Ta có (vì cùng nhìn cung BN =
NC)


(góc nội tiếp chắn


 


MCB=ANM


 



ICK INK


⇒ =


IKNC




, , ,


C N K I




2


. NM.
NB =NK


 


BMN =NBC


NBK


∆ ∆NMB




MNB



 


BMN =NBC
NBK NMB


⇒ ∆ # ∆


2


.


NB NM


NB NK NM


NK NB


⇒ = ⇒ =


AF FC


⇒ =


 


BMH =HMI


 1

(

 

)




2 đ F


MBI = s MA s A+ đ


)


MF


F


K
H


I


N
M


O


C
B


A


E


Q


P



D


K
H


I


N
M


O


C
B



(38)

(góc có đỉnh bên trong đường trịn)


Mà nên


cân tại MMN là phân giác
là đường trung trực của BI.


(1)


Mặt khác (hai góc nội tiếp chắn hai cung AF= FC)
BF là phân giác cũng là đường cao


cân tại B (2)



Từ (1) và (2) ta có BHIK là hình thoi.


4. Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng





nên C, D, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có D, B, P
thẳng hàng.


Lại có




Mà nên


Hay KQ // DP.
Tương tự KP // DQ


Nên KPDQ là hình bình hành. Hình bình hành KPDQ có hai
đường chéo KDPQ cắt nhau


tại trung điểm mỗi đường. Nên D, E, K thẳng hàng (Đpcm).


Câu 13. Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm
bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường
tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung
điểm của đoạn thẳng AB.



5. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO.
6. Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo CSD.


 1

(

 

)



2 đ C


MIB= s MB+s Fđ


   ;


MA=MC AF =CF MBI =MIB
BMI


⇒ ∆


MN




, ,


HK BI BH HI BK KI


⇒ ⊥ = =


 


HBF =FBC


BHK


⇒ ∆


BHK


⇒ ∆ ⇒BH =BK


90o


QCK = −CMK


90o


QCK CBN


⇒ = −


90o


QCK BCN


⇒ = −


CQ CN


⇒ ⊥


90o



CKQ= −CMK
90o


KBP BMK


⇒ = −


 



(39)

7. Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD


tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua
trung điểm của đoạn thẳng SC.


8. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BDF là hình chiếu vng góc của điểm E


trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB


thì điểm F ln thuộc một đường tròn cố định.


Giải:


1. Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.


SD, SC là tiếp tuyến của đường trịn (O; R)


thuộc đường trịn đường kính SO (1)
Mặt khác H là trung điểm của AB




thuộc đường trịn
đường kính SO (2).


Từ (1) và (2) cùng


thuộc đường trịn đường kính SO.
2. Tính độ dài đoạn thẳng SD theo


R và số đo góc .


Xét có:





Ta có:


3. Vì S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn nên SHOD là tứ giác nội tiếp
(góc nội tiếp cùng chắn (3)


Lại có: (đồng vị) nên (4)


Từ (3) và (4) nội tiếp.


Gọi M là giao điểm của BKSC.
Gọi N là giao điểm của AKBC.


Ta có: vì (2 góc nội tiếp cùng chắn



,


OD SD OC SC


⇒ ⊥ ⊥


,
D C




90o


OH AB SHO


⇒ ⊥ ⇒ =


H




, , , ,


C D H O S






CSD


SDO




2 2 2


SO =SD +DO


2 2 2 2 2 2


4 3


SD SO DO R R R


⇒ = − = − =


3


SD R


⇒ =


 1  


sin 30 60 .
2


o o


DO



DSO DSO CSD


SO


= = ⇒ = ⇒ =


  1


2


AHD SOD COD


⇒ = = SD)


 


AKD=SCD  1  1


2 2


AKD= sđ DC = COD
 


AHD AKD ADHK


⇒ = ⇒


 



KHA=CBS KHA =ADKAK)


G


M


N
K


F


E


H


A'
D


C
O


B
A



(40)

(2 góc nội tiếp cùng chắn


H là trung điểm AB nên K là trung điểm của AN. Suy ra AK = KN.
Có: mà AK = KN nên SM = CM nên M là trung điểm của SC.


4. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F ln thuộc


một đường trịn cố định.


Kẻ đường kính của đường trịn tâm O.


Ta có mà


Kéo dài EF cắt tại G.


là trung điểm của BD nên G là trung điểm của


là đường kính đường trịn tâm O nên cố định cố định. Vậy G cố định.
Mà thuộc đường trịn đường kính AG cố định (đpcm).


Câu 14. Cho đường trịn

( )

O ,đường kínhAB.Vẽ các tiếp tuyếnAx By, của đường tròn.
M là một điểm trên đường tròn(M khácA B, ).Tiếp tuyến tạiM của đường tròn cắt


,


Ax Bylần lượt tạiP Q, .


5. Chứng minh rằng: Tứ giácAPMO nội tiếp.
6. Chứng minh rằng:AP+BQ=PQ.


7. Chứng minh rằng: 2


. .


AP BQ=AO


8. Khi điểmM di động trên đường tròn

( )

O ,tìm các vị trí của điểmM sao cho diện tích

tứ giácAPQBnhỏ nhất.


Giải:


1. Xét tứ giác APMQ, ta có (vì PA,
PM là tiếp tuyến của (O))


Vậy tứ giác APMO nội tiếp.


2. Ta có: AP = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt
nhau tại một điểm)


BQ = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một
điểm)


3. Ta có OP là phân giác (tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau tại một điểm)


 


ADK =CBSAC)


/ /


HK BC




AK KN BK



SM =CM = BM


'


AA
' 90o '


ADA = ⇒DADA EFDAEF/ /DA'.
'


BA
/ / ',


EG DA E BA'.


'


AA A' ⇒BA'


90o


AFG= ⇒F


  90o


OAP=OMP=


(

)

.


AP BQ MP MQ PQ Ðpcm



⇒ + = + =


AOM


M2
M1


Q


P


M


O


B
A



(41)

OQ là phân giác (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm)


Mà (hai góc kề bù)


Xét có: (cmt)


(PQ là tiếp tuyến của (O) tại M)


Áp dụng hệ thức lượng vào vng tại O có đường cao OM


(hệ thức lượng)



Lại có (cmt); (bán kính)


Do đó


4. Tứ giác APQB có: nên tứ giác APQB là hình thang
vng.


AB khơng đổi nên đạt GTNN nhỏ nhất


là điểm chính giữa


Tức M trùng hoặc thì đạt GTNN là .


Câu 15. Cho đường trịn

( )

O và điểmAnằm ngồi đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến
,


AM AN với các đường tròn

( )

O

(

M N, ∈

( )

O

)

. QuaAvẽ một đường thẳng cắt đường tròn

( )

O tại hai điểmB C, phân biệt (Bnằm giữaA C, ). Gọi Hlà trung điểm của đoạn thẳng


.


BC


4. Chứng minh tứ giácANHM nội tiếp được trong đường tròn.
5. Chứng minh 2


. .


AN = AB AC



6. Đường thẳng quaBsong song vớiANcắt đoạn thẳngMNtạiE. Chứng minh
/ / .


EH NC


Giải:


1. Vì AN, AM
tiếp tuyến
của (O) nên




BOM


  180o


AOM +BOM = ⇒POQ=90o


POQ


∆ POQ=90o


OMPQ


POQ





2


.


MP MQ OM


⇒ =


;


MP= AP MQ=BQ OM =OA

(

)



2


. .


AP BQ= AO Ðpcm


(

)



/ / ; ,


AP BQ APAB BQAB


(

)

. .


2 2


APQB



AP BQ AB PQ AB


S +


⇒ = =


APQB


SPQ


/ /


PQ AB PQ AB OM AB


⇔ = ⇔ ⇔ ⊥


M


⇔ AB


1


M M2 SAPQB


2


2


AB



  9


ANO=AMO=


I


J


E
H


C


B


O


N
M



(42)

đường tròn đường kính AO


Gọi J là trung điểm của AO


H là trung điểm của BC nên


đường trịn đường kính AO


Suy ra A, O, M, N, H thuộc đường tròn tâm J đường kính AO



Suy ra AMHN là tứ giác nội tiếp đường trịn.


2. Có (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn


Xét và có:


(cmt)
chung


3. Gọi I là giao điểm của MNAC


Ta có MN là trục đẳng phương của đường trịn (J) và (O).


nên phương trình tích của I đối với (J) và (O) bằng nhau.


Vì nên


Câu 16. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà một điểmAsao choOA=3 .R QuaAkẻ 2 tiếp
tuyếnAPAQvới đường tròn( ; )O R ( ,P Q là 2 tiếp điểm). LấyMthuộc đường tròn


( ; )O R sao choPM song song vớiAQ. GọiNlà giao điểm thứ hai của đường thẳngAM


với đường tròn

(

O R;

)

.TiaPNcắt đường thẳngAQtạiK.


4. Chứng minh tứ giácAPOQlà tứ giác nội tiếp và 2


.
KA =KN KP



5. Kẻ đường kínhQScủa đường trịn

(

O R;

)

.Chứng minhNSlà tia phân giác củaPNM.


6. GọiGlà giao điểm của 2 đường thẳngAOPK.Tính đội dài đoạn thẳngAGtheo
bán kínhR.


Giải:


; ; ;


A M O N


⇒ ∈


90o


OHBCAHO=
,


H O


⇒ ∈


 ANB= ACN BN BN)


ANB


∆ ∆ACN


 



ANB=ACN




BAN


( )

.


ANB ACN g g


⇒ ∆ # ∆


2


. .


AN AB


AN AB AC


AC AN


⇒ = ⇒ =


IMN


. . IB IH


IA IH IB IC



IA IC


⇒ = ⇒ =


/ /


BE AN IB IE IE IH EH / /NC.



(43)

1. Ta có:


Trong tứ giác APOQ có tổng hai góc đối bằng
Suy ra tứ giác APOQ nội tiếp đường tròn


(so le trong)


Mà (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn


Xét và có:


chung


(cmt)


2. Ta có: (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)


Mà (giả thiết) nên


Đường kính nên QS đi qua điểm chính giữa nhỏ


(hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)


Hay NS là tia phân giác


3. Gọi H là giao điểm của PQAO


(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOQ ta có:


  90o


APO=AQO=


0


180


 


/ /


PM AQPMN =KAN


 


PMN= APKPN PN)


 


KAN APK


⇒ =



KAN


∆ ∆KPA




K


 


KAN =KPA


( )

.


KAN KPA g g


⇒ ∆ # ∆


(

)



2 . .


KA KN


KA KN KP Ðpcm


KP KA


⇒ = ⇒ =



AQQS
/ /


PM AQ PMQS


QSPM PM


   


s PSđ =s SMđPNS =SNM


(

)

.


PNM Ðpcm


AH PQ


⇒ ⊥


HI
G


S


K


N


Q


P


M



(44)

(góc nội tiếp chắn


(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung


Xét và có:


(cmt)
chung


Mà nên


Vậy có các trung tuyến AHPK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm


Câu 17. Cho tam giácABCnhọn

(

AB< AC

)

nội tiếp đường tròn( ),O hai đường cao
,


BE CF cắt nhau tạiH. Tia AOcắt đường tròn

( )

O tạiD.
4. Chứng minh tứ giácBCEFnội tiếp đường tròn;
5. Chứng minh tứ giácBHCDlà hình bình hành;


6. Gọi M là trung điểm củaBC, tiaAMcắtHOtạiG. Chứng minhGlà trọng tâm của
tam giácBAC.


Giải:


1. Xét tứ giác BCEF có (cùng nhìn


cạnh BC )


Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.


2. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn)


Mà suy ra (1)


Chứng minh tương tự: (2)


2 2


2 1


.


3 3


OQ R


OQ OH OA OH R


OA R


= ⇒ = = =


1 8
3



3 3


AH OA OH R R R


⇒ = − = − =


 1 


2sđ NQ


KPQ= NQ)


 1 


2sđ NQ


NQK= NQ)


 


NQK KPQ


⇒ =


KNQ


∆ ∆KQP


 



NQK =KPQ




K


( )

.


KNQ KQP g g


⇒ ∆ # ∆


KN KQ


KQ KP


⇒ = 2


.


KQ KN KP


⇒ =


2


.


AK =NK KP AK=KQ
APQ





2 2 8 16
. .
3 3 3 9


AG AH R R


⇒ = = =


  0


90
BFC=BEC=




90o


ACD=


DC AC


⇒ ⊥


;


HEAC BH/ /DC



/ /


CH BD


G
H


F


E


M


D
O


C
B



(45)

Từ (1) và (2) suy ra BDCD là hình bình hành.


3. Ta có M là trung điểm của BC suy ra M trung điểm HD.


Do đó AM, HO là các đường trung tuyến của là trọng tâm của


Xét tam giác ABCM trung điểm của BC
Suy ra G là trọng tâm của


Câu 18. Cho đường trịn

(

O R;

)

có đường kínhABcố định. Trên tia đối của tiaABlấy
điểm Csao choAC=R. QuaCkẻ đường thẳngdvuông góc vớiCA.Lấy điểmMbất kì

trên

( )

O khơng trùng vớiA B, .TiaBM cắt đường thẳngdtạiP.TiaCM cắt đường tròn

( )

O
tại điểm thứ hai làN,tiaPAcắt đường tròn

( )

O tại điểm thứ hai làQ.


5. Chứng minh tứ giácACPMlà tứ giác nội tiếp;
6. TínhBM BP. theoR.


7. Chứng minh hai đường thẳngPCNQsong song;


8. Chứng minh trọng tâmGcủa tam giácCMBluôn nằm trên một đường tròn cố định
khiMthay đổi trên

( )

O .


Giải:


1. Ta có AB là đường kính của
là góc nội
tiếp chắn nửa đường trịn


Mặt khác


mà hai góc ở vị trí đối nhau


Suy ra tứ giác ACPM nội tiếp đường
tròn.


2. Xét và có:


chung


AHD



∆ ⇒GAHD


1
3


GM
AM


⇒ =


1
3


GM
AM =


.


ABC




( )

O M,

( )

O AMB
90o90 .o


AMB AMP


⇒ = ⇒ =


90o

( )

  180o


ACP= gtAMP+ACP=


BAM


∆ ∆BPC


  90o


AMB=BCP=




MBA


( )

.


BAM BPC g g


⇒ ∆ # ∆


I
G


D


Q
N
P



M
d



(46)

3. Ta có:


AMNQ là tứ giác nội tiếp (góc trong tại một đỉnh và góc ngồi tại đỉnh
đối diện) (1)


AMPC là tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2)
Từ (1) và (2)


Mà hai góc này ở vị trí so le trong


4. Gọi D là trung điểm của BC là điểm cố định
Qua G kẻ đường thẳng song song với MO cắt AB tại I


G là trọng tâm nên và (tính chất trọng tâm trong tam giác)


Do


Áp dụng định lý Ta-lét cho ta có và
O, D là hai điểm cố định nên I cố định


Do nên theo định lý Ta-lét ta có:


ln cách điểm I cố định một khoảng không đổi.


Khi M di động, điểm G luôn nằm trên đường trịn tâm I, bán kính


Câu 19. Cho∆ABCcó ba góc nội tiếp đường trịn( ),O bán kínhR. Hạ đường caoAH BK,


của tam giác. Các tiaAH BK, lần lượt cắt

( )

O tại các điểm thứ hai làD E, .


4. Chứng minh tứ giácABHKnội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.
5. Chứng minh.HK/ /DE.


6. Cho

( )

O và dâyABcố định, điểmCdi chuyển trên

( )

O sao cho∆ABCcó ba góc nhọn.
Chứng minh rằng độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp∆CHKkhông đổi.


Giải:


BM BA


BC BP


⇒ =


2


. . 2 .3 6 .


BM BP BA BC R R R


⇒ = = =


 


MNQ PAM


⇒ =



 


PCM PAM


⇒ = PM


 


MNQ PCM


⇒ =


/ / .


PC NQ



D




BCM


GMD 2


3


MG= MD


/ /



GI MO


DMO


IDO 2 2


3 3


OI MG


OI OD


OD = MD= ⇒ =


/ /


GI MO 1 1


3 3 3


GI DG R


IG MO


MO= DM = ⇒ = =


G





3


R




3


R



(47)

1. Tứ giác ABHK


mà hai góc cùng nhìn cạnh AB


Suy ra tứ giác ABHK nội tiếp đường trịn
đường kính AB.


2. Theo câu trên tứ giác ABHK nội tiếp
(J) với J là trung điểm của AB


Nên (hai góc nội tiếp cùng


chắn của (J))


Mà (A, H, K thẳng hàng)
(hai góc cùng chắn của
(O))


Suy ra mà hai góc này ở vị


trí đồng vị nên


3. Gọi T là giao điểm của hai đường cao AHBK


Tứ giác CHTK


Suy ra tứ giác CHTK nội tiếp đường trịn đường kính CT


Do đó CT là đường kính của đường trịn ngoại tiếp (*)
Gọi F là giao điểm của CO với (O) hay CF là đường kính của (O)
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa (O))


Mà (gt)


Nên hay (1)


Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa (O))


Mà (gt)


Nên hay (2)


Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFBT là hình bình hành (hai cặp cạnh đối song song)
Do J là trung điểm của đường chéo AB


Nên J cũng là trung điểm của đường chéo FT (tính chất đường chéo hình bình hành)
Xét có O là trung điểm của FC, J là trung điểm của FT


Nên OJ là đường trung bình của
(**)



Từ (*) và (**) ta có độ dài của OJ bằng độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp


Mà độ dài của OJ là khoảng cách từ tâm O đến dây AB (J là trung điểm của dây AB)


  90 ,o


AKB=AHB=


 


BAH =BKH




BH


 


BAH =BAD


 


BAD=BED BD


 ,


BKH =BED


/ / .



HK DE


  90o


CHT =CKT =


CHK




90o


CAF = ⇒FACA


BKCA


/ /


BK FA BT/ /FA


90o


CBF = ⇒FBCB


AHCB


/ /


AH FB AT/ /FB



CTF




CTF




1
2


OJ CT


⇒ =


CHK




F


T
J


E


D


K



H


O


C
B



(48)

Do (O) và dây AB cố định nên độ dài OJ không đổi.


Vậy độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp không đổi.


Câu 20. Cho xAy=90 ,o vẽ đường trịn tâmAbán kínhR. Đường trịn này cắtAx Ay, thứ
tự tạiBD. Các tiếp tuyến với đường tròn

( )

A kẻ từBDcắt nhau tạiC.


4. Tứ giácABCDlà hình gì? Chứng minh?
5. TrênBClấy điểmMtùy ý (M khácBC)


kẻ tiếp tuyếnMHvới đường tròn

( )

A ,(H
là tiếp điểm).MHcắt CDtạiN. Chứng


minh rằng 0


45 .


MAN =


6. P Q; thứ tự là giao điểm củaAM AN; với


.



BD Chứng minh rằngMQ NP; là các
đường cao của∆AMN.


Giải:


1. Theo tính chất tiếp tuyến ta có:
Xét tứ giác ABCD có:


là hình chữ nhật.


Ta có nên ABCD là hình vng.
2. Xét vng và vng có:


(cạnh huyền – cạnh góc vng)
Tương tự:


3. Xét vng có:
vng cân tại C


CHK




  90o


CBA= ADC=





 

(

)



90


90


o


o


BAD


CBA ADC cmt


=





= =





ABCD




AB=AC =R
ADN



∆ ∆AHN


AN chung


AD AH R




= =




ADN AHN


⇒ ∆ = ∆


 


DAN HAN


⇒ =


     90o


DAN+HAN+HAM +BAM =xAy=


 


2.HAN 2.HAM 90o



⇒ + =


  45o


HAN HAM


⇒ + =


45 .o


MAN


⇒ =


BCD


BC=CD=R


BCD


⇒ ∆ ⇒CBD =45o


P
Q


H
N


M
C


D



(49)

Ta có A, B là hai đỉnh cùng nhìn QM một góc
Tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.


là đường cao của (đpcm)


Tương tự ADNP là tứ giác nội tiếp
là đường cao trong


Vậy MQ, NP là các đường cao trong (đpcm)


Câu 21. Cho ∆ABC AB

(

<AC

)

có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn

(

O R;

)

.Vẽ đường


cao AHcủa ∆ABC, đường kínhADcủa đường trịn. GọiE F, lần lượt là chân đường
vng góc kẻ từ CBxuống đường thẳngAD M. là trung điểm củaBC.


4. Chứng minh các tứ giácABHFBMFOnội tiếp.
5. Chứng minh HE/ /BD.


6. Chứng minh . .


4
ABC


AB AC BC
S


R



= (SABClà diện tích ∆ABC).


Giải:


1. Theo đề bài ta có: mà 2 góc


cùng nhìn cạnh AB


Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường trịn đường
kính AB.


M là trung điểm là BCBC là dây cung
nên


Khi đó mà 2 góc ở vị trí đối


nhau


Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường trịn đường
kính OB.


2. Theo đề bài: là tứ


giác nội tiếp


Suy ra: (2 góc nội tiếp cùng chắn


Lại có: (2 góc nội tiếp cùng chắn


45o





  180o


AQM ABM


⇒ + =


180o180o 90o 90o


AQM ABM


⇒ = − = − =


MQ AN MQ


⇒ ⊥ ⇒ ∆AMN


NP AM NP


⇒ ⊥ ⇒ ∆AMN


AMN




  90o


AHB=BFA=



OMBC


  90o


BFO=BMO=


  90o


AEC=AHC = ⇒ACEH


  1


2


CHE=CAE= CE EC)


   1


2


CAE=CAD=CBD= CD DC)


M
E
F


D
H



O


C
B



(50)

Nên mà chúng ở vị trí đồng vị suy ra:
3. Ta có:


Mặt khác trong có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)


Nên vì hai góc nội tiếp cùng chắn


Tương tự ta có:
Ta có:


Từ (1) và (2)
Vậy


Câu 22. Cho∆ABCnhọn

(

AB<AC

)

ba đường caoAP BM CN, , của∆ABCcắt nhau tạiH.


5. Chứng minh tứ giácBCMNnội tiếp.
6. Chứng minh ∆ANM ∽∆ACB.


7. Kẻ tiếp tuyếnBDvới đường trịn đường kínhAH(Dlà tiếp điểm) kẻ tiếp tuyếnBE
với đường trịn đường kính CH(E là tiếp điểm). Chứng minhBD=BE.


8. Giả sử AB = 4cm; AC = 5cm; BC = 6cm. TínhMN.


Giải:



1. Ta có:


Mà hai đỉnh M, N cùng nhìn BC


Tứ giác BCMN nội tiếp đường trịn.


2. Xét và có:


chung


(cùng bù với )


Suy ra (g.g).


3. Gọi O là tâm đường tròn đường kính


AH


Gọi I là tâm đường trịn đườn kính CH
 


CHE=CBD HE/ /BD.


(

)



1 1


. . .sin .sin
2 2



ABC


S = BC AH = BC AB ABC AH = AB ABC
ABC


∆ ABD=90o


 


.sin 2 sin


AB=AD ADB= R ACB( ADB=ACBAB)





2 .sin
2 .sin
AC R ABC
BC R BAC


=



=



  

( )




3


. . 8 .sin .sin .sin 1


AB AC BC= R ACB ABC BAC


    2   

( )



1 1


. .sin .2 .sin .2 .sin .sin 2 .sin .sin .sin 2


2 2


ABC


S = BC AB ABC = R BAC R ACB CBA= R BAC ACB CBA


1
. . 4


ABC


S


AB BA CA R


⇒ =


. .


4
ABC


AB AC BC
S


R


= ⋅


  90o


BMC =BNC=




ANM


∆ ∆ACB




A


 


ANM =ACBBNM


ANM ACB



⇒ ∆ # ∆


E
D


I
O


H
N


M


P


C
B



(51)

Xét và có:
chung


(cùng phụ với


Suy ra: (g.g)


(1)


Ta có: (2 góc nội tiếp cùng chắn


Mà (gt)



Lại có do cân tại I


Xét và có:


chung


(cùng phụ với )


Suy ra: (g.g)


(2)
Từ (1) và (2) suy ra:


4. Đặt


Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:


2 2 2


CN = ACAN


2 2 2 2


AC AN BC BN


⇒ − = −


Vậy



Lại có: (cmt)


(cm).
BDH


∆ ∆BMD




B


 


BDH =BMDMDH)


BDH BMD


∆ # ∆


2


.


BD BH


BD BM BH


BM BD



⇒ = ⇒ =


 


EMC=EHC EC)


  90o


HME+EMC= ⇒HME +EHI =90o


 


IHE=HEIHIE
  90o


HME HEI


⇒ + =


BHE


∆ ∆BEM




HBE


 


BEH =BMEHEI



BHE BEM


∆ # ∆


2


.


BH BE


BE BM BH


BE BM


⇒ = ⇒ =


.


BE=BD


(

)



; 4 0 4


AN =x NB= −x < <x


2 2 2


CN =BCBN



(

)

2


2 2 2


5 x 6 4 x


⇔ − = − −


2 2


25 x 36 16 8x x


⇔ − = − + −


25 36 16 8x


⇔ − + =


8x 5


⇔ =
0, 625
x
⇔ =
0, 625
AN =
ANM ACB
∆ #∆
AN MN


AC BC
⇒ =


. 0, 625.6


0, 75
5
AN BC
MN
AC
⇒ = = =
6
4 - x



(52)

Câu 23. Cho nửa đường tròn O đường kínhAB=2R. Điểm Mdi chuyển trên nửa
đường tròn (M khácAB). Clà trung điểm của dây cungAM. Đường thẳng dlà tiếp
tuyến với nửa đường tròn tại B. TiaAM cắt dtại điểm


N. Đường thẳngOCcắtdtạiE.


5. Chứng minh: tứ giácOCNBnội tiếp.
6. Chứng minh:AC AN. = AO AB. .


7. Chứng minh:NOvng góc vớiAE.


8. Tìm vị trí điểmM sao cho

(

2.AM +AN

)

nhỏ nhất.


Giải:


1. Theo tính chất dây cung ta có:



BN là tiếp tuyến của (O) tại


Xét tứ giác OCNB có tổng góc đối:
Do đó tứ giác OCNB nội tiếp.


2. Xét và có:


chung
Suy ra


Do đó: (đpcm).


1. Theo chứng minh trên ta có:


là đường cao của
là đường cao của


Từ (1) và (2) là trực tâm của (vì O là gia điểm của ABEC)
là đường cao thứ ba của


Suy ra (đpcm).


2. Ta có: (vì C là trung điểm của AM)
Áp dụng BĐT Cơ-si cho hai số dương ta có:


Suy ra tổng nhỏ nhất bằng khi


90o



OCAMOCN =


90o


BOBBNOBN =


  90o 90o 180o


OCN+OBN= + =


ACO


∆ ∆ABN




CAO


  90o


ACO=ABN =


( )

.


ACO ABN g g


⇒ ∆ # ∆ AC AO


AB AN



⇒ =


. .


AC AN =AO AB


OCAMECANECANE

( )

1


OBBNABNEABAME

( )

2


O


⇒ ∆ANE


NO


⇒ ∆ANE


NOAE


2.AM+AN =4AC+AN


2


4AC AN. =4AO AB. =4 .2R R=8R


2


4AC+AN ≥2 2AC AN. =2. 8R =4 2R




(53)

2


AN AM M


⇒ = ⇒ là trung điểm của AN


Khi đó vng tại BBM là đường trung tuyến nên


Vậy với M là điểm chính giữa của nửa đường trịn đường kính AB thì nhỏ
nhất bằng


Câu 24. Cho đường trịn tâmObán kínhRvà đường thẳng

( )

d không đi qua O, cắt
đường tròn

( )

O tại 2 điểmA B, . Lấy điểm M bất kỳ trên tia đốiBA, qua M kẻ hai tiếp
tuyến MC MD, với đường tròn (C D, là các tiếp điểm).


4. Chứng minh tứ giác


MCODnội tiếp


đường tròn.


5. GọiHlà trung điểm
của đoạn thẳngAB.


Chứng minh HM
phân giác của CHD.


6. Đường thẳng đi qua
Ovà vng góc với
MOcắt các tia



,


MC MDtheo thứ tự
tạiP Q, . Tìm vị trí
của điểmMtrên

( )

d


sao cho diện tích∆MPQnhỏ nhất.


Giải:


1. Xét tứ giác MCOD có:


Suy ra tứ giác MCOD nội tiếp đường tròn.


2. Ta có H là trung điểm của H thuộc đường kính MO


5 điểm D; M; C; H; O cùng thuộc đường trịn đường kính MO


(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)


HM là phân giác
ABN


AM =MBAM =BM


2AM+AN



4 2 .R


90 ;o90o


MCODOCM = MDODODM =


90o


ABOHABMHO= ⇒




 


DHM DOM


⇒ =


 


CHM =COM


 


DOM =COM


 


DHM CHM



⇒ = ⇒ CHD.


(d)


Q
P


H


D
C


O


M
B



(54)

3. Ta có:


Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vng OMP ta có:
khơng đổi


Dấu “ = “ xảy ra Khi đó M là giao điểm (d) với đường trịn tâm O


bán kính


Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính thì diện tích nhỏ
nhất.


Câu 25. Cho∆ABCcó ba góc đều nhọn, hai đường caoBDCE cắt nhau tạiH(Dthuộc


;


AC EthuộcAB).


3. Chứng minh tứ giácADHEnội tiếp được trong một
đường tròn;


4. Gọi M I, lần lượt là trung điểm củaAHBC.
Chứng minhMIvng góc với ED.


Giải:


1. Tứ giác ADHE có:
Nên


Do đó: mà 2 góc ở vị trí đối diện


Vậy tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn.
2. Tứ giác BEDC có:


(gt) nên cùng nội tiếp đường trịn
tâm I đường kính BC (1)


Tương tự: Tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn tâm M đường kính AHE, D là giao
điểm của I và đường tròn


Dễ dàng chứng minh
là phân giác


Mà cân tại



Câu 26. Cho∆ABCcó ba góc đều nhọn

(

AB< AC

)

nội tiếp trong đường tròn tâm O, kẻ
đường caoAH. GọiM N, là hình chiếu vng góc củaHtrênABAC.KẻNEvng góc


(

)



2 . . 2 .


MPQ MOP


S = S =OC MP=R MC+CPR CM CP


2 2


.


CM CP=OC =RSMPQ ≥2R2


2.


CM CP R


⇔ = =


2.


R


2



RMRT


( )

;

( )


ADDH gt AEEH gt
  90o


AEH =ADH =


  180o


AEH+ADH =


  90o


BEC=BDC=


(

. .

)


EMI DMI c c c


∆ = ∆


MI


DME


DMI


M MD

(

=ME

)


(

)

.



MI DE Ðpcm


⇒ ⊥


H
M


D
E


A


I C



(55)

với AH. Đường vng góc vớiACtạiCcắt đường trịn tại Ivà cắt tiaAHtạiD. TiaAH
cắt đường tròn tạiF.


4. Chứng minh  ABC+ACB=BICvà tứ giácDENC
nội tiếp được trong một đường tròn.


5. Chứng minh hệ thứcAM AB. = AN AC. và tứ giác


BFIC là hình thang cân.


6. Chứng minh: tứ giácBMEDnội tiếp được trong
một đường trịn.


Giải:


1. Vì ABIC là tứ giác nội tiếp nên:



Vì nên s


mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Suy ra tứ giác DENC là tứ giác nội tiếp.


2. Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vng AHBAHC có:


Suy ra số đo hai cung ICBF bằng nhau
Mặt khác vì ABFIABIC nội tiếp nên


Suy ra là hình thang




Hình thang BCIFFC = BI BCIF là hình thang cân.
3. Có


Xét và có:


(cmt); chung


Suy ra


   ;


ABC=AIC ACB=AIB


    ABC ACB AIC AIB BIC



⇒ + = + =


;


NEAD NCCD  NED=NCD=90o


  180o


NED NCD


⇒ + =


2 2


. ; . . .


AM AB= AH AN AC=AHAM AB= AN AC


90o  ; 90o   ;  


IAC= −AIC BAF = −ABH AIC= ABHIAC=BAF
IC BF


⇒ =


     ; ;


BAF =BIF IAC=IBC BIF =IBC



/ /


IF BCBCIF


   


BAF =CAIBAI=CAF


 


FC BI FC BI


⇒ = ⇒ =




( )

.


AEN AGD g g


∆ #


. . .


AE AN AE AM


AE AD AN AC AM AB


AC AD AB AD



⇒ = ⇒ = = ⇒ =


AME


∆ ∆ADB


AE AM


AB = AD




MAE

(

. .

)


AME ADB c g c


∆ #


D
F


I


E N


M


H


O



C
B



(56)

mà 2 góc ở vị trí đối diện
Suy ra BMED nội tiếp đường tròn.


Câu 27. Cho nửa đường trịn

( )

O đường kínhAB. GọiClà điểm cố định thuộc đoạn
thẳng OB (CkhácOB). Dựng đường thẳng d vng góc vớiABtại điểm C, cắt nửa
đường trịn

( )

O tại điểmM.Trên cung nhỏMBlấy điểmN bất kỳ(NkhácMB), tiaAN
cắt đường thẳng d tại điểm F,tiaBN


cắt đường thẳngdtại điểmE.Đường


thẳngAEcắt nửa đường tròn

( )

O tại
điểm D(DkhácA).


4. Chứng minh:AD AE. = AC AB. .


5. Chứng minh: Ba điểmB F D, , thẳng
hàng vàF là tâm đường tròn nội
tiếp∆CDN.


6. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp


.


AEF


∆ Chứng minh rằng điểm I


luôn nằm trên một đường thẳng cố
định khi điểmN di chuyển trên
cung nhỏMB.


Giải:


1. Có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)


Xét và có:


chung


(g.g)


2. Có EC giao AN tại F nên F là trực tâm của


Mà thẳng hàng


Tứ giác ADFC có hai góc đối bằng nên tứ giác ADFC là tứ giác nội tiếp
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn


Tương tự ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn


    180o


AME ADB BME ADB


⇒ = ⇒ + =


  90o



ADB= ANB=
ADB


∆ ∆ACE


  90o


ADB=ACE=




EAC


ADB ACE


⇒ ∆ # ∆


(

)



. .


AD AB


AD AE AC AB Ðpcm


AC AE


⇒ = ⇒ =



; ,


ANEB ECABAEBBFEA


, ,
BDEAB D F


90o


 


DCF =DAF DF)


 



(57)

Mà (cùng phụ với
Suy ra CF là phân giác


Tương tự cùng có DF là phân giác
Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp


2. Gọi J là giao điểm của (I) với đoạn AB




(1)
AEFJ là tứ giác nội tiếp nên


(2)



Từ (1) và (2) suy ra là trung điểm của BJ (vì )


Suy ra J là điểm cố định


Có nên I luôn thuộc đường trung trực của AJ là đường thẳng cố định.


Câu 28. Cho ∆ABCnhọn

(

AB< AC

)

nội tiếp( ),O vẽ đường kínhAD.Đường thẳng đi qua


B vng góc vớiADtạiEvà cắtACtạiF. GọiHlà hình chiếu củaBtrênACM
trung điểm của BC.


4. Chứng minhCDEFlà tứ giác nội tiếp.
5. Chứng minhMHC +BAD=90 .o


6. Chứng minhHC 1 BC.


HF + = HE


Giải:


 


DAF =NBFAEB) ⇒DCF =NCF




DCN





NDC
DCN




  90o


FAC=CEB= −ABE ⇒ ∆FAC# ∆BEC g g

( )

.
. .


FC AC


CF CE BC AC


BC EC


⇒ = ⇒ =


  180o


FJC=FEA= −AJF


( )

. CF CJ . .


CFJ CAE g g CF CE CA CJ


CA CE


⇒ ∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =



. .


BC AC=CA CJBC=CJC JB



(58)

1. Có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)


Vì nên mà hai góc ở vị trí đối nhau


Suy ra tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp.


2. Vì M là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BHC nên


cân tại M (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
ABCD là tứ giác nội tiếp nên:


3. Vì nên là tứ giác nội tiếp


(hai góc nội tiếp cùng chắn
Mà theo ý 2 ta có:


Suy ra H, E, M thẳng hàng.
Gọi N là trung điểm của FC.


NM là đường trung bình của


MN // BF nên ta có:


(đpcm).


Câu 29. Cho∆ABCnhọn. Đường trịn tâmOđường kínhBCcắt các cạnhAB AC, lần lượt


tại các điểmM N M,

(

B N, ≠C

)

. GọiHlà giao điểm củaBNCM P; là giao điểm của


AHBC.


5. Chứng minh tứ giácAMHNnội tiếp được trong một đường tròn.


N


M
H


F
E


D
O


C
B


A


90o


ACD=


BEAD FED=90o⇒ FED+FCD=180o


MH =MC=MB⇒ ∆MHC



 


MHC MCH


⇒ =


       90 .o


BAD=BCDBAD+MHC=BCD+MCH =DCH =
,


BEAE BHAH BEA =BHA=90oABEH


 


BAE BHE


⇒ = BE)


90o    


BAE= −MHC=BHMBHE=BHM


BFC





(

)




2


2 2 2


1


HF FN


BC HM HN HF FC HF HC HC


HE HE HF HF HF HF HF


+ + +



(59)

6. Chứng minhBM BA. =BP BC. .


7. Trong trường hợp đặc biệt khi∆ABCđều cạnh bằng2a. Tính chu vi đường tròn
ngoại tiếp tứ giácAMHN theo a.


8. Từ điểmAkẻ các tiếp tuyếnAEAFcủa đường trịn tâmOđường kínhBC(E F, là
các tiếp điểm). Chứng minh ba điểmE H F, , thẳng hàng.


Giải:


1. Ta có: nên MN cùng


thuộc đường trịn đường kính AH


Vậy tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn.



2. Tứ giác AMPC có (do H là trực tâm


của và


Từ đó suy ra


3. Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN có đường
kính AH


đều nên trực tâm H cũng là trọng tâm


Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN bằng:


Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp tức giác AMHN bằng
4. Ta có:


Xét và có:


(cmt); chung


Nên (c.g.c). Suy ra


Tương tự ta có:


Mặt khác: Tứ giác AFOPAEOF nội tiếp đường tròn đường kính AO nên năm điểm


A, E, P, O, F cùng thuộc đường trịn đường kính AO.


90 ;o90o



AMH = ANH =


 0


90


APC =
)


ABC


∆ AMC=90o


( )

.


BMC BPA g g


⇒ ∆ # ∆


BM BC


BP BA


⇒ = ⋅ BM BA. =BP BC. .


ABC




2 2 3 2 3



3 3 2 3


AB a


AH AP


⇒ = ⋅ = ⋅ =


2 3


.


3
a
AH π


π =


2 3


3
a


π


2


. . AH AE



AH AP AM AB AE


AE AP


= = ⇒ =


AHE


∆ ∆AEP


AH AE


AE = AP




EAP


AHE AEP


∆ # ∆  AHE= AEP

( )

1


 AHF= AFP

( )

2


E


F


P
H



N


M


O


C
B



(60)

Suy ra tứ giác AEPF nội tiếp đường tròn nên:
Từ (1), (2) và (3)


Vậy ba điểm E, H, F thẳng hàng.


Câu 30. Cho∆ABCđều có đường caoAH. Trên cạnhBClấy điểmMtùy ý(M không
trùng với B C H, , ).GọiP Q, lần lượt là hình chiếu vng góc củaM lênAB AC, .


4. Chứng minh tứ giácAPMQnội tiếp được đường tròn và xác định tâmOcủa đường
tròn này.


5. Chứng minhOHPQ.


6. Chứng minhMP+MQ=AH.


Giải:


1. Xét tứ giác APMQ có:
(gt)



Tứ giác APMQ


nội tiếp trong đường trịn đường kính AM


Gọi O là trung điểm của AM


tứ giác APMQ nội tiếp trong đường
trịn tâm O đường kính AM.


2. Ta có: (gt) nội tiếp


chắn đường trịn đường kính AM
H thuộc đường trịn (O)


Ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn )
(hai góc nội tiếp cùng chắn


Mà ( đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác)


cân tại


Mà (do (2)


Từ (1) và (2) là đường trung trực của
1.


Ta có: (do )


  180o

( )

3



AEP+AFP=


    180o180o


AHE AHF AEP AFP EHF


⇒ + = + = ⇒ =


  90o


APM =AQM =


  180o


APM AQM


⇒ + = ⇒




90o


AHM = ⇒AHM


1
2




 



HPQ=HAC HQ


 


HQP=HAB HP)


 


HAC =HABABC


 


HPQ HQP HPQ


⇒ = ⇒ ∆ HHP=HQ

( )

1


OP=OQ P Q, ∈

( )

O )


OH


PQOHPQ.


1 1
. .
2 2
MAC


S = MQ AC = MQ BC



1 1
. . . .
2 2
MAB


S = MP AB= MP BC AB=BC


M
H


Q
O


P


C
B



(61)

1 1


. . (do )


2 2


MAC


S = MQ AC= MQ BC AC=BC


(do )



(đpcm).


Câu 31. Cho∆ABCcó ba góc nhọn nội tiếp trong đường trịn

( )

O có bán kínhR=3cm.


Các tiếp tuyến với

( )

O tạiBCcắt nhau tạiD.
5. Chứng minh tứ giácOBDCnội tiếp đường tròn;


6. GọiMlà giao điểm củaBCOD. BiếtOD=5(cm). Tính diện tích∆BCD


7. Kẻ đường thẳngdđi quaDvà song song với đường tiếp tuyến với

( )

O tại A d, cắt
các đường thẳngAB AC, lần lượt tạiP Q, . Chứng minhAB AP. = AQ AC. .


8. Chứng minhPAD =MAC.


Giải:


1. Do DB, DC là các tiếp tuyến của (O)


mà 2 góc ở vị trí đối nhau
Tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp.


1
. .
2
ABC


S = AH BC AC=BC


1 1 1



. . . .


2 2 2


MAB MAC ABC


S +S =SMP BC+ MQ BC= AH BCMP+MQ= AH


x


M


Q


d


D


P


G


F


O


C
B



A


  90o


OBD OCD


⇒ = =


  90o 90o 180o


OBD OCD


⇒ + = + =



(62)

2. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào vng tại B


Ta có: (2 tiếp tuyến cắt nhau)


thuộc trung trực là trung trực
Áp dụng hệ thức lượng vào vng, ta có:


Vậy


3. Ta có: (2 góc so le trong do


Mà (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và cung và góc nội tiếp chắn )


Xét và có:


chung; (cmt)



(g.g)


4. Kéo dài BD cắt tiếp tuyến đi qua A của đường trịn (O) tại F


Ta có: (đối đỉnh)


Mà (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp chắn )
(do


cân tại


Tương tự kéo dàu DC cắt tiếp tuyến đi qua A của đường tròn (O) tại G


Ta chứng minh cân tại D


Lại có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)


D là trung điểm PQ


Ta có: (cmt)


Xét và có:


( - cmt);


(c.g.c) (đpcm).


OBD





( )



2 2 2 2


5 3 4


DB OD OB cm


⇒ = − = − =


,


OB=OC=R BD=DC
;


O D


BCOD BCODBC


OBD




( )



2 2


2 4 16



.


5 5


BD


DM DO BD DM cm


DO


= ⇒ = = =


( )



. 3.4 12
. .


5 5


OB BD


BM OD OB BD BM cm


OD


= ⇒ = = =


( )

2



1 16 12


. . . 7, 68


2 5 5


DBC


S = DM BC=DM BM = = cm


 APQ=BAx Ax/ /PQ)


 


xAB= ACBABAB


 


APQ ACB


⇒ =


ABC


∆ ∆AQP




PAQ  APQ=ACB
ABC AQP



⇒ ∆ # ∆ AB AC AB AP. AC AQ. .


AQ AP


⇒ = ⇒ =


 


DBP=ABF


 


ABF = ACBAB


 


ACB=APDABC# ∆AQP)


  


DBP APD BPD DBP


⇒ = = ⇒ ∆ DDB=DP


   


DCQ=ACG= ABC=DQC⇒ ∆DCQ
DB=DC



DP DQ


⇒ = ⇒


ABC AQP


∆ # ∆ 2


2


AB AC BC MC AC MC


AQ AP PQ PD AP PD


⇒ = = = ⇒ =


AMC


∆ ∆ADP


 


ACM = APD  ACB= APQ AC MC
AP = PD
AMC ADP



(63)

Câu 32. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường
tròn. Điểm M thuộc cung AC(MA; C). HạMHABtại H. Nối MB cắt CA tại E. Hạ


EIAB tại I. Gọi K là giao điểm của ACMH. Chứng minh:


5. BHKCAMEI là các tứ giác nội tiếp.


6. 2


.


AK AC= AM .


7. AE AC. +BE BM. không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.


8. Khi M chuyển động trên cung AC thì đường trịn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai
điểm cố định.


1. Chứng minh tứ giác tứ giác và là tứ giác nội tiếp


(2 góc nội tiếp chắn
nửa đường trịn)


Tứ giác có:


Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
Tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác có:


Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
Tứ giác là tứ giác nội tiếp.


2. Xét và có:


chung



(g.g)


(1)


Áp dụng hệ thức lượng trong vng tại M, có MH là đường cao, ta có:
(2)


Từ (1) và (2) ta có


3. Xét và có:
chung


(g.g)


BHKC AMEI


  90o


AMB=KCB=


BHKC


  180o


KHB+KCB=


BHKC


AMEI



  180o


AMB+EIA=


AMEI


AHK


∆ ∆ACB


  90o


AHK = ACK =




CAB


AHK ACB


⇒ ∆ # ∆


AH AK


AC AB


⇒ = ⇒AH AB. = AC AK.


AMB





2


.


AH AB=AM


(

)



2


.


AK AC AM Ðpcm


⇒ =


AEI


∆ ∆ABC


  90o


AIE=ACB=




CAB



AEI ABC


⇒ ∆ # ∆


K


I
E


H
M


C


O B



(64)

(3)


Xét và có:


chung


(g.g)


(4)


Từ (3) và (4)


Vậy không phụ thuộc vào M.



4. Khi M chuyển động trên cung AC thì đường trịn ngoại tiếp tam giác IMC đi qua hai
điểm cố định.


Tứ giác có:


Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
tứ giác là tứ giác nội tiếp


(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
Từ câu 1, ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp.


(2 góc nội tiếp cùng chắn cung
Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung


mà 2 đỉnh cùng nhìn cạnh MC


thuộc cùng 1 đường tròn


Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đi qua hai điểm cố định OC.


Câu 33. Cho đường tròn(O; R)và điểm A cố định ở ngồi đường trịn. Vẽ đường thẳng
dOAtại A. Trên dlấy điểm M. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến ME, MF tới đường tròn (O). Nối


EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.


5. Chứng minh ABHM là tứ giác nội tiếp.


6. Chứng minh 2



. .


OA OB=OH OM =R .


7. Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MEF thuộc một đường trịn cố
định khi M di chuyển trên d.


8. Tìm vị trí của M để diện tích∆HBOlớn nhất.


. .


AE AB


AE AC AB AI
AI AC


⇒ = ⇒ =


BEI


∆ ∆BAM


  90o


BIE=BMA=




ABM



BEI BAM


⇒ ∆ # ∆


. .


BE BA


BE BM BI BA


BI BM


⇒ = ⇒ =


. . ( )


AE AC BE BM AB AI BI


⇒ + = +


2 2


. . 4


AE AC BE BM AB R


⇒ + = =


. .



AE AC+BE BM


BCEI
  90o


BCE+EIB=


BCEI
 


EIC EBC


⇒ = EC).


AMEI
 


EIM EAM


⇒ = ME).


 


EBC =EAM MC)


   2. 


MIC =EIC+EIM = EAM =MOC
, , ,



M C I O





(65)

Giải:


1. Chứng minh ABHM là tứ giác nội tiếp.
ME = MF MO là phân giác của nên


tại H. Mà là tứ giác nội


tiếp.
2.


vuông tại


3. Có EI là phân giác


cân tại


4. Vì cố định.


đường trịn đường kính OB.
Gọi K là trung điểm


Hạ


Mà Dấu “=” xảy ra khi



Vậy vuông cân tại H MO tạo với OA một góc


Câu 34. Cho (O; R) và điểm A thuộc đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên
Ax lấy điểm H sao cho AH < R. Dựng đường thẳng dAx tại H. Đường thẳng dcắt
đường tròn tại EB (E nằm giữa HB).


2. Chứng minh ∆ABH # ∆EAH.


4. Lấy điểm C thuộcAxsao cho H là trung điểm AC. Nối CE cắt AB tại K. Chứng minh


AHEK là tứ giác nội tiếp.


5. Tìm vị trí của H trênAxsao choAB=R 3.


Giải :


1. Chứng minh


Ta có: sđ (t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
sđ (góc nội tiếp chắn cung




EMF


MOEF MAOAMABH


. .


OHB OAM OB OA OH OM



∆ # ∆ ⇒ =


EMO


∆ 2 2


. .


EOH OM =OE =R
;


IMO MEH.


  90o


MEI+IEO=


  90o  


IEH+OIE= ⇒OIE=IEO
OIE


⇒ ∆ OOI =OE= ⇒ ∈R I ( ; ).O R


2
2


. R



OB OA R OA B


OA


= ⇒ = ⇒


90o


OHB= ⇒H


.


OBKB=KO=HK
HNOB


max max .
HBO


SHN HNHK. HK.


max
HBO


S ⇔ ∆HBO ⇔ 45 .o


AHB EAH


∆ # ∆


 1



2


EAH = AE


 1


2


ABE= AEAE)


B
H


F


E



(66)

Xét và có:
chung




2. Chứng minh là tứ giác nội tiếp


Ta có: cân tại




Xét tứ giác có:



Mà 2 góc này ở vị trí đối diện
là tứ giác nội tiếp.


3. Tìm vị trí của trên sao cho


Kẻ tại


Vậy cần lấy điểm trên sao cho thì


Câu 35. Cho∆ABCvng ở A. Trên cạnhAClấy 1 điểmM, dựng đường trịn tâm

( )

O
đường kínhMC.Đường thẳngBMcắt đường trịn tâm

( )

O tạiD, đường thẳngADcắt
đường tròn tâm

( )

O tạiS


4. Chứng minh tứ giácABCDlà tứ giác nội tiếp vàCAlà tia phân giác của gócBCS.


AHB


∆ ∆EAH


 ( )


EAH =ABE cmt




AHB


( . ).
AHB EAH g g



⇒ ∆ # ∆


AHEK


EH AC


EAC


AH HC


⊥ ⇒ ∆


= E


   


ECH EAC KCA ABH


⇒ = ⇒ =


  90o


ABH+BAH =


  90o


KCA BAH



⇒ + =


90o


CKA


⇒ =


AHEK


  90o 90o 180o


AKE+EHA= + =


AHEK


H Ax


3


AB=R
OIAB I


3
2
R
AI IB


⇒ = =



 3  


cos 30 60


2


o o


OAI OAI BAC


⇒ = ⇒ = ⇒ =


1 3


.cos 60 3


2 2


o R


AH AB R


⇒ = = ⋅ =


H Ax 3


2
R


AH = AB=R 3.



I K


C


B


E


d


H
x


O



(67)

5. Gọi E là giao điểm củaBCvới đường tròn

( )

O . Chứng minh các đường thẳng


, ,


BA EM CDđồng quy.


6. Chứng minhMlà tâm đường trịn nội tiếp tam giácADE.


Giải:


1. Ta có (giả thiết)


(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)



A, D nhìn BC dưới góc nên tứ giác ABCD nội tiếp.


Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cùng chắn cung AB). (1)
Ta có tứ giác DMCS nội tiếp


(cùng bù với (2)
Từ (1) và (2)


là phân giác .


2. Giả sử BA cắt CD tại K. Ta có


M là trực tâm Mặt khác
(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn).


thẳng hàng hay BA, EM, CD đồng
quy tại K.


3. Vì tứ giác ABCD nội tiếp
(cùng chắn cung DC). (3)
Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp


(cùng chắn cung ME). (4)


Từ (3) và (4) hay AM là tia phân giác của


Chứng minh tương tự ta có: hay DM là tia phân giác
Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp


* Lưu ý: Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, một phương pháp thường dùng là chứng



minh ba đường thẳng ấy hoặc là ba đường cao, hoặc là ba đường trung tuyến, hoặc là ba đường
phân giác của một tam giác.


Câu 36. Cho đường trịn

(

O R;

)

, đường kínhAB.ĐiểmHthuộc đoạn OA. Kẻ dây CD
vng góc vớiABtạiH.Vẽ đường trịn

( )

O1 đường kínhAHvà đường tròn

( )

O2 đường


90o


BAC=


90o


MDC=


90o


 ADB ACB


⇒ =


 


ADB ACS


⇒ =


).


MDS



 


BCA ACS


⇒ = ⇒CA




BCS


, .


BDCK CABK


⇒ ∆KBC. MEC=90o


, ,


K M E




 


DAC DBC


⇒ =


 



MAE MBE


⇒ =


 


DAM MAE


⇒ = DAE.


 ADM =MDEADE.


.


ADE




K S


D


O
E


M C


B




(68)

kính BH. Nối AC cắt đường trịn

( )

O1 tại N. NốiBCcắt đường tròn

( )

O2 tại M.Đường


thẳngMNcắt đường trịn

(

O R;

)

tạiEF.


5. Chứng minhCMHNlà hình chữ nhật.
6. Cho AH =4cm,BH =9cm. Tính MN.


7. Chứng minhMNlà tiếp tuyến chung của hai đường tròn

( )

O1 và

( )

O2 .


8. Chứng minhCE=CF =CH.


Giải:


1. Chứng minh là hình chữ nhật:


Ta có: (các góc


nội tiếp chắn nửa đường trịn).


CMHN là hình chữ nhật.


2. Áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác vuông ACB:


Suy ra


3. Gọi I là giao điểm của CHMN.
Theo tính chất hình chữ nhật:


cân tại I


Lại có:


Chứng minh tương tự:


Do đó MN là tiếp tuyến chung của và
4. OC cắt MN tại K, cắt (O; R) tại Q





tại K.


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông FCQ: (1)
CMHN


   90o


AMH = ACB=HNB=


   90o


MCN CMH CNH


⇒ = = =




2


. 4.9 36



CH =AH HB= =


6 6 ( ).


CH = ⇒MN = cm


IM =IN =IC=IH⇒ ∆IMH


 


IMH IHM


⇒ =


2 2


O M =O HO MH 2 =O HM2


 


2 2 90 .


o


O MI O HI


⇒ = =





1 90


o


O NI =


1


(O) (O2).


  90 .o


CDQ CFQ


⇒ = =


OC=OB=ROCB =OBC


2 2 2


O M =O B=RO MB 2 =OBNO MB 2 =OCB


2 / /


O M OC


⇒ ⇒OCMN


2



.


CF =CK CQ


Q
K


I


F


E


M
N


D
C


O2


O1 H O



(69)




Do đó (3)


Từ (1); (2) và (3)



Có cân tại C


Vậy


Câu 37. Cho đường trịn

(

O R;

)

có hai đường kính vng gócABCD. Gọi I là trung
điểm của OB.Tia CI cắt đường tròn (O; R) tại E. Nối AE cắt CD tại H; nối BD cắt AE tại


K.


5. Chứng minh tứ giácOIEDnội tiếp.


6. Chứng minh 2


. 2 .


AH AE= R
7. Tính tanBAE.


8. Chứng minh OK vng góc với BD.


Giải:


1. Ta có CD là đường kính của đường trịn (O; R) nên
Theo giả thiết


Do đó:


Suy ra tứ giác OIED là tứ giác nội tiếp.
2.



3. Ta có:


Suy ra EI là phân giác
Do đó


Vậy


( . )
CKI CDQ g g


∆ # ∆ ⇒CK CQ. =CI CD.

( )

2


OHCDHC=HD


2


1
. .2


2


CI CD= CH CH =CH


2 2


CF CH CF CH


⇒ = ⇒ =



OKEFKE=KF⇒ ∆CEFCE=CF.
.


CE=CF =CH


90o


CED=


90o


BOD=


  180o


IED+IOD=


(g .g)


AOH AEB


∆ # ∆


AO AH


AE AB


⇒ = 2


. . 2



AE AH AO AB R


⇒ = =


 1


45
2


o


BEC= BOC=


 1


45
2


o


AEC= AOC=




AEB


1
3



EB IB
EA IA


⇒ = =


 1


tan


3


BE
BAE


AE


= =


K
H


E
I


D
C


O



(70)

4. Xét vng tại O, ta có vì vậy H là trọng tâm của


tam giác DAB.


Do đó AK là đường trung tuyến của tam giác DAB.


Suy ra KB = KD. Vì vậy (quan hệ đường kính – dây cung).


Câu 38. Cho đường trịn tâm O, bán kính R, đường kính AD. Điểm H thuộc đoạn OD.
Kẻ dâyBCADtại H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻCKAM tại K. Đường thẳng


BM cắt CK tại N.


5. Chứng minh 2


. .


AH AD= AB


6. Chứng minh tam giác CAN cân tại A.


7. Giả sử H là trung điểm của OD. Tính R theo thể tích hình nón có bán kính đáy là


HD, đường cao BH.


8. Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ABN lớn nhất.


Giải:


1. Tam giác ABD vuông tại B,


nên



2. Do cân


tại A do đó


Mà nên


(1)


Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O;


R) nên (cùng bù với )


(2)


Từ (1) và (2)


Lại có (giả thiết) cân


tại M


Tam giác CAN có và KC = KN nên cân tại A.


3. Khi OH = HD, tam giác BOD cân tại B , mà nên tam giác OBD


đều


OHA


∆ .tan



3 3


OA OD
OH =OA OAH = =


OKDB


BHAD


2


. .


AH AD=AB


AHBCHB=HC⇒ ∆ABC


 .


ABC= ACB


 


ACB=AMB  ABC=AMB


 


ABC KMN



⇒ =


 


ABC=KMCAMC


 .


KMN KMC


⇒ =


MKCN ⇒ ∆MCN


.


KC KN


⇒ =


AKCNACN


BO BD


⇒ = OB=OD=R


60o


BOH



⇒ = .sin 60 3


2


o R


BH OB


⇒ = = ⋅


K
E


M


I


N


C
B


H


O D



(71)

Thể tích hình nón là


Trong đó: ,



Vậy


4. Hạ Vì AB khơng đổi nên lớn nhất khi NE lớn nhất.
Ta có: AN = AC khơng đổi.


Mà dấu bằng xảy ra khi Lấy I đối xứng với B qua O. Khi thì
do đó NA đi qua I.


Mặt khác AM là phân giác của nên M là điểm chính giữa của cung nhỏ IC.
Vậy điểm M cần tìm là điểm chính giữa cung nhỏ IC.


Câu 39. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường trịn


(

ACAB

)

. Dựng về phía ngồi∆ABCmột hình vng ACED. Tia EA cắt nửa đường
trịn tại F. Nối BF cắt ED tại K.


5. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn.
6. Chứng minhAB=EK.


7. Cho ABC=30 ;o BC=10cm. Tính diện tích hình viên phần giới hạn bởi dây AC
cung nhỏ AC.


8. Tìm vị trí điểm A để chu vi tam giác∆ABClớn nhất.


Giải:


1. là hình vng





Tứ giác nội tiếp đường tròn


(cùng bù với góc



là tứ giác nội tiếp.


2. Có: .


Mà tứ giác là tứ giác nội tiếp

Lại có: (cạnh hình vng)


2


1
. .
3


V = π r h


2


R


r=HD= 3


2
R


h=BH =


2 3


1 3 3


3 4 2 2


R R R


V = π⋅ ⋅ =π ⋅


.


NEAB SABN


,


NENA EA. EA


90o


NAB=




NAC


ACED



  45o


CAE CDE


⇒ = =


BCAF


 


( )OFBC=CAE


)


CAF


    180o


FBC CDE FBC CDK


⇒ = ⇒ + =


BCDK




90o


BAC= =CEK
BCDK



   .


ABC CKD ACB ECK


⇒ = ⇒ =



(72)

Suy ra (cạnh góc vng – góc nhọn)


3. Vì nên do đó tam giác là tam giác đều.


Kẻ ta có


Gọi diện tích hình viên phân là S, ta có:




4. Chu vi lớn nhất lớn nhất. Áp dụng BĐT


Ta có:


Dấu xảy ra khi A là điểm chính giữa nửa đường trịn đường kính BC.


Câu 40. Cho đường trịn (O;R) đường kính AC cố định. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn
tại A. Lấy M thuộc Ax, kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn tại B (B khác A). Tiếp tuyến của
đường tròn tại C cắt AB tại D. Nối OM cắt AB tại I, cắt cung nhỏ AB tại E.


5. Chứng minh OIDC là tứ giác nội tiếp.



6. Chứng minh tích AB.AD không đổi khi M di chuyển trên Ax.
7. Tìm vị trí điểm M trên Ax để AOBE là hình thoi.


8. Chứng minhODMC.


Giải:


1. Có nên OM là trung trực của AB nên và


Lại có nên OIDC là tứ giác nội tiếp.


2. Có (góc nội tiếp chắn nửa


đường trịn)


Mà vng tại C nên
khơng đổi.


3. AOBE là hình thoi
đều
vng tại A nên


.


ABC EKC


∆ = ∆ ⇒AB=EK


30o



ABC = AOC=60 ,o OAC


,


AHBC .sin 60 3


2


o R


AH =OA =


quat AOC AOC


S=SS


2


60 1
. . .
360 2


o
o


S= π ROC AH


2 2


2 2



3 3 25(2 3 3)


( ).


6 4 6 4 12


R R


R cm


π π  π


= − =  − =


 


ABC


∆ ⇔ AB+AC 2(x2+y2)≥(x+y)2


2 2 2 2 2


(AB+AC) ≤2(AB +AC )=2BC =8RAB+AC≤2 2 .R


''='' AB=AC


;


MA=MB OA=OB=R OIAB IA=IB



OCCD OID OCD + =180o


90o


ABC=


ACD


∆ 2


.


AB AD=AC


AE EB BO OA


⇔ = = =


AOE


⇔ ∆ ⇔AOE=60o
AOM




.tan 60o 3


AM =OA =R



D


I
E


C
M


O


B



(73)

4. (cùng phụ với ),
Nên


Mà , suy ra


Do đó


Câu 41. Cho đường trịn

(

O R;

)

đường kính AB


điểm C thuộc đường tròn. Gọi MN là điểm
chính giữa các cung nhỏ ACBC. Nối MN cắt


AC tại I. HạNDAC. Gọi E là trung điểm BC.


Dựng hình bình hành ADEF.
5. TínhMIC.


6. Chứng minh DN là tiếp tuyến của đường tròn



(

O R;

)

.


7. Chứng minh rằng F thuộc đường tròn

(

O R;

)

.


8. Cho CAB =30 ;o R=30cm. Tính thể tích hình


tạo thành khi cho∆ABCquay một vòng quanh


AB.


Giải:


1.


2. Có: tại


Lại có:


Mà là hình chữ nhật


tại là tiếp tuyến của .
3. Theo tính chất hình chữ nhật ta có:


Mà // (cùng


thẳng hàng. Suy ra là tứ giác nội tiếp


4. Hạ Tam giác có nên



Do đó, là tam giác đều


 


AMO=BAC MAB  MAO=OCD=90o


( )

. AM AO


AMO CAD g g


AC CD


∆ # ∆ ⇒ =


OA=OC=R AM OC tanMCA tanODC


AC =CD ⇒ =


    90 .o


MCA ODC ODC MCD


⇒ = ⇒ + = ODMC.


 1   1  


( ) 45 135


2 4



o o


MIA= s Mđ A s+ đCN = s ABđ = ⇒MIC=
 


NC=NBONBC E.


90o90 .o


ACB= ⇒DCE=


( )


NDCD gtCEND


DN ON


⇒ ⊥ NDN ( )O


 


EDC =NCD


      180 .o


EDC= ⇒ =F F DNC⇒ +F ACN = ON ACCB)


, , ,


N E O F



ACNF ⇒ ∈F ( )O


.


CKAB ABCA=30 ,o C=90o B=60o
OBC


∆ ; ; 3


2 2


R R


BK KO BC R CK


⇒ = = = = ⋅


K


F


E
D


I


N
M



O
C



(74)

Khi quay một vịng quanh có hai hình nón tạo thành: hình nón đỉnh và hình
nón đỉnh cùng có tâm hình trịn đáy là bán kính


Gọi thể tích tạo thành là V, ta có:





Câu 42. Cho đường tròn

(

O R;

)

với dây AB cố định. Gọi I là điểm chính giữa cung lớn


AB. Điểm M thuộc cung nhỏ IB. Hạ AHIM AH; cắt BM tại C.
4. Chứng minh ∆IABvà∆MAClà tam giác cân.


5. Chứng minh C thuộc một đường tròn cố định
khi M chuyển động trên cung nhỏ IB.


6. Tìm vị trí của M để chu vi ∆MAClớn nhất.


Giải:


1. Vì cân tại


Tứ giác nội tiếp (cùng bù với


)
Ta có:



Lại có: cân tại


2. Từ chứng minh trên là đường trung trực
của


khơng đổi thuộc đường trịn


3. Chu vi


Có ( không đổi và )


Đặt . Ta có:


Vậy chu vi


Chu vi lớn nhất khi lớn nhất
thẳng hàng.


Câu 43. Cho đường trịn

(

O R;

)

đường kính AB. Kẻ


tiếp tuyến Ax với đường tròn. Trên Ax lấy điểm
ABC


AB A,


B K, CK.


2 2 2


1 1 1



. . . ( )


3 3 3


V = πCK AK+ πCK BK= πCK AK+BK


2 3


2 3


1 1 3


. . 2 500 ( )


3 3 4 2


R R


CK AB R π cm


π π π


= = ⋅ ⋅ = =


 


IA=IBIA=IB⇒ ∆IAB I.


ABMIIAB =IMC





IMB


     ; ;


IAB=IBA IBA=IMA IAB=IMC


 


IMA IMC


⇒ =


MHAC⇒ ∆MAC M.


MI




AC
IC IA


⇒ = ⇒C ( ;I IA)


2( )


MAC MA MC AC MA AH



∆ = + + = +


 


HMA=IBA IBA<90o


 


HMA=IABAH =MA.sinα


2 (1 sin )


MAC MA α


∆ = +


MAC


MAA O M, ,


C
H


M


I


B
A



O


H


I
E
d


M
x


K


O B



(75)

(

)



K AKR . Qua K kẻ tiếp tuyến KM với đường tròn (O). Đường thẳng dABtại O, d
cắt MB tại E.


5. Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp;


6. OK cắt AM tại I. Chứng minh OI.OK không đổi khi K chuyển động trên Ax;
7. Chứng minh KAOE là hình chữ nhật;


8. Gọi H là trực tâm của∆KMA. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên Ax thì H


thuộc một đường trịn cố định.


Giải:



1. nội tiếp.


2. Theo tính chất tiếp tuyến:


là phân giác của tại I


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác vuông ta có


3. Có // (cùng .






mà //


là hình chữ nhật.


4. là trực tâm của // // .


Do đó là hình bình hành .


Vậy thuộc đường tròn .


Câu 44. Cho đường trịn (O) đường kínhAB=2 .R Gọi C là trung điểm của OA. Dây
MNAB tại C. Trên cung MB nhỏ lấy điểm K. Nối AK cắt NM tại H.


5. Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.



6. Chứng minh tíchAH AK. khơng đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ MB.


7. Chứng minh∆BMNlà tam giác đều.


8. Tìm vị trí điểm K để tổng KM +KN+KB lớn nhất.


Giải:


  90o


KAO=KMO= ⇒KAOM


KA=KM


KOAKMKOAM


AOK


2 2


.


OI OK =OA =R


OK BMAM)⇒KOA =EBO


 


; 90o



OA=OB=R KAO=EOB=
( . . )


AKO OEB c g c


⇒ ∆ = ∆


,
AK OE


⇒ = AK OE, KAO=90o


AKEO




HKMAAHKM MH, ⊥KAAH OM MH, OA


AOMHAH =OM =R



(76)

1. Có nên tứ giác là tứ giác nội tiếp.


2.


3. Vì cân tại .


vuông tại


Do đó



Mà (tính chất tam giác cân)


Do đó là tam giác đều.


4. Trên lấy E sao cho


Vì tam giác đều nên đều.


Do đó và .


Lại có: và (cùng cộng với


Từ đó


lớn nhất lớn nhất thẳng hàng.


Câu 45. Cho đường tròn

(

O R;

)

và điểm A ở ngồi đường trịn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến


,


AB ACtới đường tròn (BC là 2 tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn BC IB

(

<IC

)

.


Kẻ đường thẳng dOItại I. Đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại EF.
5. Chứng minh OIBEOIFC là tứ giác nội tiếp.


90 ;o90o


BKA= MCB= ⇒ HCB+HKB=180o BCHK



2


( . ) AC AH . .


ACH AKB g g AH AK AB AC R


AK AB


∆ # ∆ ⇒ = ⇒ = =


OCMNCM =CN⇒ ∆BMN B
MAB


M 2 2


.


AM AC AB R


⇒ = =


.


AM R


⇒ = sin 1  30


2


o



MA


MBA MAB


MB


= = ⇒ =


 


MCB=NCBMNB =60o


MNB




KN KE=KM


BMN MBN=60o⇒MKN =60o⇒ ∆KME
ME=MK KME=60o


MB=MN  KMB=EMN BME=60 )o


( . . ) .


KMB EMN c g c KB EN


⇒ ∆ = ∆ ⇒ =



2


KM +KB=KN⇒ =S KM +KN+KB= KN


SKNK O N, ,


E
H


K


N
M


C O B



(77)

6. Chứng minh I là trung điểm EF.


7. K là một điểm trên cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại K cắt AB; AC tại


MN. Tính chu vi∆AMN nếuOA=2R.


8. Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt AB, AC tại P Q . Tìm vị trí của A để


APQ


S nhỏ nhất.


Giải :



1. Có (tính chất


tiếp tuyến)


nội tiếp
nội tiếp.


2. Tứ giác nội tiếp
Tương tự






cân tại Mà (Đpcm)


3. Có


Suy ra chu vi


4. Có là phân giác của cân tại


mà khơng đổi, do đó nhỏ nhất nhỏ nhất.


vuông tại O


Mà dấu xảy ra khi


min vuông cân tại



Câu 46. Cho 2 đường tròn

( )

O

( )

O' cắt nhau tại hai điểmA B, phân biệt. Đường thẳng
OA cắt

( ) ( )

O ; O' lần lượt tại điểm thứ haiC D, . Đường thẳng O A' cắt

( ) ( )

O ; O' lần lượt


tại điểm thứ haiE F, .


4. Chứng minh 3 đường thẳngAB CE, và DFđồng quy tại một điểm I.


,


OBAB OCAC


  90o


OIE OBE OIBE


⇒ = = ⇒


  180o


OIF+OCF= ⇒OIFC


OIBE


 .


OEI OBI


⇒ =


 .



OFI =OCI OB=OC=R


   


OBI OCI OEI OFI


⇒ = ⇒ =


OEF


⇒ ∆ O. OIEFIE=IF
,


MK =MB NK =NC


2 2 2


2 2 2 3 2 3


AMN AC AB AC AO OC R R


∆ = + = = − = =


AO PAQ PQ, ⊥AO⇒ ∆APQ ASAPQ =2SAOQ


.


APQ



S = AQ OC OC=R SAPQAQ


OAQ


∆ 2 2


. .


AC CQ OC R


⇒ = =


2 . 2 ,


AQ= AC+CQAC CQ = R ''='' AC=CQ


APQ


SAC=CQ⇔ ∆OQA O⇔ =A 45oOA=R 2


N
M


K


Q
P E


F



d


I


O


C
B



(78)

5. Chứng minh tứ giácBEIFnội tiếp được
trong một đường tròn.


6. ChoPQlà tiếp tuyến chung của

( )

O

( )

O'

(

P

( )

O Q, ∈

( )

O'

)

. Chứng minh


đường thẳng ABđi qua trung điểm của
đoạn thẳngPQ.


Giải:


1. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa
đường trịn)


(góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn)


Nên B, C, F thẳng hàng.


AB; CEDF là 3 đường cao của
nên chúng đồng quy.



2. Do suy ra BEIF nội tiếp
đường tròn.


3. Gọi H là giao điểm của ABPQ


Ta chứng minh được
Tương tự,


Vậy hay H là trung điểm của PQ.


Câu 47. Cho hai đường tròn

(

O R;

)

(

O R'; '

)

với R>R'cắt nhau tạiAB. Kẻ tiếp


tuyến chungDEcủa hai đường tròn vớiD

( )

OE

( )

O' sao choBgần tiếp tuyến đó
hơn so vớiA.


4. Chứng minh rằngDAB =BDE.


5. TiaABcắtDE tạiM. Chứng minhM là trung điểm củaDE.


6. Đường thẳngEB cắtDAtại P, đường thẳngDBcắtAEtại Q. Chứng minh rằngPQ
song song vớiAB.


Giải:


90o


ABC=


90o



ABF =


ACF




  90o


IEF=IBF =


2


.


HP HA


AHP PHB HP HA HB


HB HP


∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =


2


.
HQ =HA HB
HP=HQ


Q


H


P


O'
O


I


F
E


D


C B



(79)

1. Ta có = sđ (góc nội tiếp)


= sđ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung).


Suy ra .


2. Xét ∆DMB và ∆AMD có:
chung,




Nên ∆DMBAMD (g.g)


⇒ hay .



Tương tự ta cũng có: ∆EMBAME⇒ hay .


Từ đó: MD = ME hay M là trung điểm của DE.


3. Ta có


⇒ =


⇒ Tứ giác APBQ nội tiếp ⇒ .


Kết hợp với suy ra .


Hai góc này ở vị trí so le trong nên PQ song song với AB.


Câu 48. Cho đường trong

(

O R;

)

và đường thẳng dkhơng quaOcắt đường trịn tại hai điểm
, .


A B Lấy một điểmMtrên tia đối của tiaBAkẻ hai tiếp tuyến MC MD, với đường tròn (C D,
là các tiếp điểm). GọiHlà trung điểm củaAB;


Q
B


P


M
D


O'


O


B


A




DAB 1


2




DB




BDE 1


2




DB


 


DAB=BDE





DMA


 


DAM =BDM


#


MD MA


MB =MD


2


.
MD =MA MB


# ME MA


MB = ME


2


.
ME =MA MB


 ,



DAB=BDM EAB =BEM


 


PAQ+PBQ       180o


DAB+EAB+PBQ=BDM +BEM+DBE=


 


PQB=PAB


 



(80)

4. Chứng minh rằng các điểmM D O H, , , cùng nằm trên một đường tròn.


5. Đoạn OM cắt đường tròn tạiI. Chứng minh rằngIlà tâm đường tròn nội tiếp tam
giácMCD.


6. Đường thẳng qua O, vng góc với OMcắt các tiaMC MD, thứ tự tạiPQ. Tìm vị trí
của điểm Mtrên dsao cho diện tích tam giácMPQ bé nhất.


Giải:


1. Vì H là trung điểm của AB nên hay


Theo tính chất của tiếp tuyến ta lại có hay


Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn.
2. Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD⇒∆MCD cân tại M



MI là một đường phân giác của .


Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ nên sđ = sđ =


CI là phân giác của Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD.


3. Ta có ∆MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính:
.


Từ đó S nhỏ nhất ⇔MD + DQ nhỏ nhất.


Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vng OMQ ta có
không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất ⇔DM = DQ = R.


Khi đó OM = hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính .


Q
P


I
H


D


C M


d O


B



A


OHAB OHM =90 .o


ODDM ODM =90 .o




CMD




CD  1


2


DCI = DI 1


2




CI MCI


.


MCD


1



2 2. . . ( )
2


OQM


S= S = OD QM =R MD+DQ


2 2


.


DM DQ=OD =R


2



(81)

Câu 49. Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

(

O R;

)

. Ba đường cao


; ;


AD BE CF cắt nhau tại H. GọiI là trung điểmBC, vẽ đường kínhAK.
5. Chứng minh ba điểmH I K, , thẳng hàng.


6. Chứng minhDA DH. =DB DC. .


7. Cho  0 2


60 ; ABC 20 .


BAC= S = cm Tính SABC.



8. Cho BCcố định;Achuyển động trên cung lớnBCsao cho∆ABCcó ba góc nhọn.
Chứng minh điểmHln thuộc một đường trịn cố định.


Giải:


1. Vì BC thuộc đường trịn đường kính


AK:


Do đó và là


hình bình hành


I là trung điểm BC nên I là trung điểm
của HK


Suy ra H; I; K thẳng hàng.


2. Ta có (cùng phụ với )


nên
Suy ra
3. Vì


Suy ra chung


Do đó

Suy ra



4. Lấy O’ đối xứng với O qua I suy ra O’ cố định.


Ta có nên OI là đường trung bình của


Do đó và


  90o


ABK=ACK =


/ /


BH CK CH / /BKBHCK


 


HBD=DACACB


( )

.


DBH DAC g g


∆ # ∆


. . .


DB HD


DB DC DA DH



DA= DC ⇒ =


  90o

( )

.


AEB= AFC= ⇒ ∆AEB# ∆AFC g g




;


AE AB


BAC
AF = AC


(

. .

)


AEF ABC c g c


⇒ ∆ # ∆


2


AEF
ABC


S AE


S AF



 
= 


 1


60
2
o


AE


cosBAC cos


AB = = =


2


1


4 80 .


4


AEF


ABC AEF
ABC


S



S S cm


S = ⇒ = =


;


IH =IK OK=OA=RKHA


/ /


OI AH 1


2


OI = AH


O'


K
H


I
D


F


E
O


C


B



(82)

Suy ra nên là hình bình hành


Do đó (khơng đổi)


Vậy H thuộc đường trịn (O’;R) cố định.


Câu 50. Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính vng góc là ABCD. Lấy K thuộc
cung nhỏ AC, kẻ KHABtại H. Nối AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E; nối AE cắt
đường tròn (O;R) tại F.


5. Chứng minh BHFE là tứ giác nội tiếp.
6. Chứng minh EC.EB = EF.EA.


7. Cho H là trung điểm OA. Tính theo R diện tích∆CEF.


8. Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua một
điểm cố định.


Giải:


1. Do F thuộc đường tròn đường kính AB nên


Suy ra là tứ giác nội tiếp.


2. Có chung


Nên



3. Từ chứng minh trên suy ra AC, BF, EH là 3
đường cao của nên chúng cắt nhau tại I.


Do đó và chung nên


(cạnh – góc – cạnh)


Vì nên vuông cân tại O .


Do đó vng cân tại


Mà nên


'/ / , '


OO AH OO =AH OO HA'
'


O H =OA=R


90o


AFB=


  90o


BFE=BHE= ⇒BHFE


  90 ;o



ECA=EFB= AEC


( )

. EC EA . . .


ECA EFB g g EC EB EA EF


EF EB


∆ # ∆ ⇒ = ⇒ =


EAB




EC EA


EF = EB




AEBECF# ∆EAB


( )



2


1
ECF


EAB



S EC


S EA


 
= 


OB=OC=ROBC  45o


OBC


⇒ =


HBE


∆ 3


2


R
HEH =HB= ⋅


2


R
AH =


2 2 2



2 2 2 9 10 10


4 4 4 2


R R R R


AE =AH +HE = + = ⇒ AE=


F
E


I


H
K


O


D
C



(83)

Tương tự


Lại có: (cùng ) nên


4. Các tứ giác BEFHAHCE nội tiếp nên


Suy ra .


Có nên cân tại H nên



Do đó mà


Suy ra F; H; D thẳng hàng. Suy ra FH đi qua D cố định.


2


2 2 2 9 3


2 2


R R


BE =HB +HE = ⇒BE=


/ /


OC EHAB 1 1


3 3 2


EC HO R


EC EB


EB = HB = ⇒ = =


2 2


1 1 1 1 3



5 ECF 5 EAB 5 2 10


EC R


S S EH AB


EA


 


= ⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ =
 


   ;  


AEB=CHB AEB= AHFAHF=CHB


 


AHF =DHB
,


HOOC OC=ODHCD  AHF =DHB


 AHF =DHB   180o   180o






×