Tải bản đầy đủ (.pdf) (190 trang)

Củng cố toán 7 - tập 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.62 MB, 190 trang )

(1)




Tài liệu sưu tầm


CỦNG CỐ TOÁN 7 TẬP 1




(2)

PHẦN A. ĐẠI SỐ


CHUYÊN ĐỀ I. SỐ HỮU TỈ. SỐ THỰC
CHỦ ĐỀ 1. TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số a


b với a,b ∈ Z, b ≠0. Tập hợp


số hữu tỉ được kí hiệu là Q.


2. Bất kì số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn trên trục số dưới dạng phân số có
mẫu dương.


Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x.


3. Với hai số hữu tỉ x, y ta ln có hoặc x = y, hoặc x < y, hoặc x > y. Ta có thể so
sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân số đó:


- Nếu x < y thì trên trục số, điểm x ở bên trái điểm y;
- Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm;


- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Nhận biết quan hệ giữa các tập hợp số


Phương pháp giải: Sử dụng các kí hiệu ∈, ∉,⊂ ⊃, N, Z,Q để biểu diễn mối


quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập hợp với nhau.


1A. Điền kí hiệu thích hợp (∈ , ∉,⊂ ⊃, N, Z,Q) vào ô trống


6 N; - 4 N; - 9 Z; - 2 Q;


2
3


Z; 3


5


− Q; Z N; N Z Q.
1


3∉ ;


3


4∈ Z ⊂ ; Z ⊃ .


1B. Điền kí hiệu thích hợp (∈, ∉,⊂ ⊃, N, Z,Q) vào ô trống



2 N; 1 Q; - 11 Z; 1


4


− Q.
2


3


Z; 1


3 N;
1


6


− Z; Z Q.
1


2∉ ;


4


5 ∈ Q⊃ .


Dạng 2. Biểu diễn số hữu tỉ


Phương pháp giải:



- Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số a


bvới a,b ∈ Z, b ≠ 0.


- Khi biểu biễn số hữu tỉ trên trục số, ta thường viết số đó dưới dạng phân số
có mẫu dương tối giản nhất. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết đoạn thẳng đơn
vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.


- Số hữu tỉ âm sẽ nằm bên trái điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị
tuyệt đối của số hữu tỉ đó, tương tự với số hữu tỉ dương.


2A. a) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: 5 2 3; ;


2 3 4




b) Cho các phân số sau: 6 4 4 20


; ; ;


15 12 10 8




− − − .Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
2



(3)

2B.a) Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: 3 1 1; ;


2 3 4





b) Cho các phân số sau: 9 14 4 12


; ; ;


6 21 6 20


− −


− − Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ
2


?
3

Dạng 3. Tìm điền kiện để số hữu tỉ âm hoặc dương


Phương pháp giải:


- Số hữu tỉ a


b là số hữu tỉ dương khi a, b cùng dấu.


- Số hữu tỉ a


b là số hữu tỉ âm khi a,b khác dấu.


3A.Cho số hữu tỉ 2 1


2
a


x= − Với giá trị nào của a thì:


a) x là số dương; b) x là số âm;
c) x không là số dương cũng không là số âm.
3B. Cho số hữu tỉ 3 2


4
a


= . Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương; b) x là số âm;


c) x không là số dương cũng không là số âm.
Dạng 4. So sánh hai số hữu tỉ


Phương pháp giải:Để so sánh hai số hữu tỉ ta thường thực hiện các bước sau:


Bước 1.Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương;


Bước 2.Đưa các phân số ở bước 1 về cùng mẫu số (qui đồng);


Bước 3. So sánh các tử của các phân số ở bước 2, phân số nào có tử lớn hơn


thì sẽ lớn hơn.



Lưu ý: Ngoài phương pháp so sánh hai phân số theo cách trên, ta có thể sử


dụng linh hoạt các phương pháp khác như: So sánh trung gian, so sánh phần bù, so
sánh hai phân số có cùng tử số...


4A.So sánh các số hữu tỉ sau:
a) 2


7 và
1


5; b)
11
6


và 8


9
− ;
c) 2017


2016 và
2017


2018; d)


249
333



và 83


111


.
4B.So sánh các số hữu tỉ sau:


a) 2


5 và
1


3; b)


9
5


và 11


6 ;


c) 34


35 và
35


34; d)



30
55


và 6


11
− .
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


5. Điền kí hiệu thích hợp (∈, ∉,⊃)vào ô trống
-5 N; 4


3


Q; - 2 Z; 2


5


Z.


1
3


− Z; 4


7



− Q; 2


9


− N; N Q.


6. Điền các kí hiệu thích hợp N,Z,Q vào ơ trống (điền tất cả các khả năng có thể):
5∉ ; 12∈ ; 2


5



(4)

Z ⊂ 3


7




-2 ∉ 12
5 ∉


7. Cho các phân số 21; 14; 42 35; ; 5; 28


27 19 54 45 7 36


− − − − −


− − . Những phân số nào biểu diễn
số hữu tỉ 7



9


?


8.So sánh các số hữu tỉ sau:


7
)


8


a và 11


12; b)


2
15


và 3


20
− ;
c) 17


16


và 2



3


; d) 9


21


và 27


63.


9.Cho số hữu tỉ 2 5


2
a
x= +


− . Với giá trị nào của a thì:
a) x là số dương; b) x là số âm;


c) x không là số dương và cũng không là số âm.
10. Cho hai số hữu tỉ a


b
c


d ( a,b,c, d ∈Z, b > 0, d > 0). Chứng minh ad < bc



khi và chỉ khi a
b<


c
d


11*. Cho số hữu tỉ x a 4
a




= ( a ≠ 0). Với giá trị nào của a thì x đều là số


nguyên?


12*. Cho x, y, b,d ∈N*. Chứng minh nếu a
b<


c
d thì


a
b<
xa yc
xb yd
+
+ <
c
d .
HƯỚNG DẪN



1A. 6 ∈ N - 4 ∉N -9 ∈Z - 2 ∈Q


2


3 N


3


5∈Q


ZN N ⊂ ⊂Z Q


1 3


;


3∉N −5∉Z


3


4∈Q ZQ ZN


1B.Tương tự 1A
Lưu ý: 1 1


;


2∉N 2∉Z QN Q; ⊃Z



2A.a) Học sinh tự vẽ biểu diễn b) 6; 4


15 10




2B.Tương tự 2A


a) Học sinh tự vẽ b) 14; 4


21 6




3A. a) Để x là số dương thì2 1 0


2


a> .Từ đó tìm được 1
2
a>


b) Để x là số âm thì2 1 0
2
a


< .Từ đó tìm được 1
2
a<



c) x = 0. Ta tìm được 1


2
a=



(5)

a) 2


3


a> b) 2


3


a< c) 2


3
a=


4A. a) ta có2 10 1; 7
7 =35 5=35 nên


2 1


7 >5


b) 11 33 8; 16


6 18 9 18


− − −



= =


− nên


11 8


6 9



<



c) Ta có 2017 1


2016 > và
2017


1
2018< nên


2017 2017


2016> 2018


d) 249 83


333 111


=



4B. Tương tự 4A


a) )2 1; ) 9 11; )34 35; ) 30 6


5 3 5 6 35 34 55 11


a > b − > c < d − =


− −


5.Tương tự 1A.
6. Tương tự 1A.


Lưu ý: − ∈ − ∈5 Z; 5 Q N; ⊂Z N; ⊂Q;


3 3 2 2


; ;1 ;1


7 Z 7 N 5 N 5 Z




7. Tương tự 2A. 21 35; ; 28


27 45 36


− −




8. Tương tự 4A.


a)7 11


8 <12 b)


2 3


15 20


>


− c)


17 2


16 3


<


d) 9 27


21 63


=

9. Tương tự 3A.


a) 5



2


a< − b) 5


2


a>− c) 5


2
a= −


10. Nếu ad < bc => ad bc a c
bd <bd => <b d


Ngược lại nếu a c a.bd c.bd ad bc
b< =>d b < d => <


11*. x a 4 1 4
a a


= = − . Để x là số nguyên thì 4a=> = ± ± ±a { 1; 2 4}


12*. Ta có : a c


b < d => ad < bc => ady < bcy => ady + abx < bcy + abx


=> a ( bx + dy) < b ( ax+ cy) => a



b < (1)
xa yc
xb yd


+
+
Ta có: a c


b< d => ad < bc => adx < bcx => adx + cdy < bcx + cdy


=> d ( ax + cy) < c (bx + dy) => xa yc c(2)
xb yd d


+ <
+
Từ (1) và (2) suy ra a xa yc c


b xb yd d
+


< <
+



(6)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ


- Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai
phân số có cùng mẫu dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số;


- Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết


hợp, cộng với 0, cộng với số đối.


2. Quy tắc "chuyển vế"


Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi
dấu số hạng đó dấu "+" thành dấu và dấu thành dấu “-” thành dấu “+”


3. Chú ý


Trong Q ta cũng có những tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng,
đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong Z.


Với x, y, z ∈Q thì: x- (y - z) = x - y + z; x - y + z = x - (y - z).
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ


Phương pháp giải: Để cộng, trừ hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:


Bước 1.Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số cùng một mẫu dương;


Bước 2.Cộng, trừ hai tử, mẫu chung giữ nguyên;


Bước 3.Rút gọn kết quả (nếu có thể)


1A. Tính


a) 1 1


21 14



− −


+ ; b) 1 5


9 12




− ;


c) 14 0, 6
20
+


; d) 4, 5 7 .
5
 
− −
 
1B. Tính:


a) 1 1


16 24


+


; b) 1 3



8 20




;
c) 18 0, 4


10
+


; d) 6, 5 1 .
5
 
− −
 


Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ


Phương pháp giải: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số
hữu tỉ ta thường thực hiện các bước sau


Bước 1.Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương


Bước 2.Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành, hiệu của hai số nguyên;


Bước 3."Tách" ra hai phân số có tử là các số ngun tìm được;


Bước 4.Rút gọn phân số (nếu có thể).


2A.a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 4



15


dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 4


15


dưới dạng hiệu của hai số hữu tỉ dương
2B. a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 7


12


dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 7


12



(7)

Phương pháp giải: Để tính tổng hoặc hiệu của nhiều số hữu tỉ ta thực hiện
đúng thứ tự phép tính đối với biểu thức có ngoặc hoặc khơng ngoặc. Sử dụng các
tính chất của phép cộng số hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể)


3A.Thực hiện phép tính ( hợp lí nếu có thê):
a) 1 5 4


12 6 3


− −



+ − ; b) 24 19 2 20


11 13 11 13


 + −+ + − 


     


     .


3B. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):
a) 3 3 5;


16 8 4


− −


+ − b) 25 9 12 25 .


13 17 13 17


 + −+ + − 


     


     


Dạng 4. Tính tổng dãy số có quy luật


Phương pháp giải: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc


trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính


4A. a) Tính 1 1; 1 1; 1 1


2 3 3 4 4 5


A= − B= − C= −


b) Tính A + B và A + B + C.
c) Tính nhanh:


1 1 1 1


...


2.3 3.4 4.5 19.20


1 1 1 1 1 1


...


99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1


D
E


= + + + +


= − − − − −



4B. a) Tính M = 1 1; 1 1; 1 1


3 N 3 5 P 5 7


− = − = −


b) Tính M + N và M + N + P.
c) Tính nhanh:


1 1 1 1


... ;


1.3 3.5 5.7 19.21


E= + + + +


1 1 1 1 1 1


...


99 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1


F = − − − − + −


Dạng 5: Tìm x


Phương pháp giải: Ta sử dụng quy tắc "chuyển vế" biến đổi hạng tự do sang
một vế, số hạng chứa x sang một vế khác.



5A. Tìm x, biết


a) 16 4 3 ;


5 − = −x 5 10 b)


1 8 1


.


20 x 5 10


 


=


 


5B.Tìm x, biết:
a) 1 5 1;


3− = −x 6 4 b)


1 3 1


.


10 x 25 50


 



=


 


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. Tính:


a) 1 1 1 ;


2 3 10


 


+


  b)


1 1 1


;


12 6 4


 


− − −


 



c) 1 1 1 1;


2 3 23 6




− + + d) 2 4 1 .


5 5 2



(8)

7.a) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 11


25


dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.
b) Tìm ba cách viết số hữu tỉ 11


25


dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ dương.


8.Tìm x, biết:


a) 1 2 1


3 5 3


x+ = − −


 ; b)



7 5 12


4 x 3 5




 


+ =


  ;


c) 17 3 5 1


2 7 3 3


x− −− +  −=


 


  ; d)


9 2 7 5


2 3 x 4 4


   −


+ =



 


  .


9*. Tính nhanh;


1 3 5 7 9 11 13 11 9 7 5 3 1
)


3 5 7 9 11 13 15 13 11 9 7 5 3


a A= − + − + − + + − + − + − ;


1 1 1 1 1


) ...


9.10 8.9 7.8 2.3 1.2


b B= − − − − .


HƯỚNG DẪN
1A. a)


1A. a) 1 1 2 3 5


21 14 42 42 42


+=+= −



Tương tự b) 19


36


c) 1


10


− d) 59


10


1B. Tương tự 1A


2A. Ta có thể viết thành các số như sau:
a) 4 1 1


15 15 5


− −


= + ; 4 1 7


15 30 30


− − −


= + ; 4 2 2



15 15 15


− −


= +


b) 4 1 1


15 15 3




= − ; 4 2 2


15 15 15




= − ; 4 1 7


15 15 15




= −
2B. Tương tự 2A


3A. a) Ta thực hiện 2 20 32 54 9



24 24 24 24 4


++==


b) Ta thực hiện 24 2 19 20 ( 2) ( 3) 5


11 11 13 13


− − −


+  + += − + − = −


   


   


3B. Tương tự 3A


a) 29


16


; b) -3


4A. a) 1 ; 1 ; 1


16 12 20


A= B= C= b) A + B = 1



4; A + B + C =
1
10


c) 1 1 1 1 ...1 1 1 1 9


2 3 3 4 19 20 2 20 20


C= − + − + − => = −C =


1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1


99 98 99 97 98 2 3 2


D= − −   − − − − −   − − 


       


2 1 97


99 99


D



(9)

a) 2; 2 ; 2


3 15 35


M = N = P= b) M + N = 4



5; M + N + P =
6
7


c) 10; 16


21 33


E= F = −


5A. a) Ta thực hiện 4 3 16 27 27


5 10 5 10 10


xx


− = − − = => =


b) 8 1 1 8 1 1 8 31


5 20 10 5 20 20 5 20


x xxx


− − = − => − = => = + => =
5B. Tương tự 5A.


a) 1



4


x= − b) 1.
5
x=


6. a) 1


15 b)


1


2 c)


24


23 d)


43
30

7. a) 11 1 6


25 25 25


− − −


= + ; 11 3 8


25 25 25



− − −


= + 11 2 9


25 25 25


− − −


= +


b) 11 4 13


25 25 25


= 11 1 12


25 25 25


= 11 3 97


25 2 50


= −
8. a) 2


5


x= ; b) 149



60


x= ; c) 97


14


x= ; d) 41


6
x= − ;


9*. a) 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13


3 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15


A= −   + −   + −   + −   + −   + − +


           
13
.
15
A
=> =


c) Ta có 1 1 1 ... 1 1 79


9.10 1.2 2.3 7.8 8.9 90


B= − + + + + => = −B



 
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...



(10)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Nhân, chia hai số hữu tỉ


- Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số
rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;


- Phép nhân số hữu tỉ cũng có bốn tính chất: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1,
phân phối với phép cộng và phép trừ tương tự như phép nhân số nguyên;


- Mỗi số hữu tỉ khác 0 đều có một số nghịch đảo.
2. Tỉ số


Thương của phép chia x cho y (với y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu
x


y hoặc x: y.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Nhân, chia hai số hữu tỉ


Phương pháp giải:Để nhân chia hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:


Bước 1.Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số;


Bước 2. Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số;


Bước 3. Rút gọn kết quả (nếu có thể)


1A.Thực hiện phép tính
a) 1, 5. 2 ;


25

 
 


  b)


3 3


1 . ;


5 4

c) 15: 21 ;


4 10





− d)


1 1


2 : 1 .


7 14


 


   


   


1B.Thực hiện phép tính:


4
) 3, 5.


21
a − − 


  b)


2 7


1 .
3 3




c) 5: 3


2 4




− d)


2 4


8 : 2


5 5


 


   


   


Dạng 2. Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ


Phương pháp giải: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai
số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:


Bước 1.Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số (PS có thể không tối giản);


Bước 2.Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;



Bước 3."Tách" ra hai phân số có tử và mẫu là các số ngun vừa tìm được;


Bước 4.Lập tích hoặc thương của các phân số đó.


2A.Viết số hữu tỉ 25


16


dưới các dạng:


a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là 5
12


;


b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là 4


5


.
2B.Viết số hữu tỉ 3


35


dưới dạng:


a) Tích của hai số hữu tỉ có một thừa số là 5


7


;


b) Thương của hai số hữu tỉ, trong đó số bị chia là 2


5



(11)

Dạng 3. Thực hiện các phép tính với nhiều số hữu tỉ


Phương pháp giải:


- Sử dụng đúng bốn phép tính của số hữu tỉ;


- Sử dụng các tính chất của các phép tính để tính hợp lí (nếu có thể);
- Chú ý dấu của kết quả và rút gọn.


3A.Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
a) ( 0, 25). 4 . 3 5 . 7 ;


17 21 23




   


 



    b)


2 4 3 4


. .


5 15 10 15


− −


  + 


   


    ;


c) 21 3 :3 3 1 ;


4 8 6


 




  d)


5 2 3 4 11 3


: :



6 5 8 5 30 8




++


   


    .


3B.Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
a) ( 0, 35). 3 . 35 . 4


14 7 21



   


 


   ; b)


3 5 5 5


. .


7 11 14 11


− −



  + 


   


    ;


c) 15 2 :1 4 1


3 9 6


 




 ; d)


3 2 3 3 1 3


: :


4 5 7 5 4 7


− −


+++


   


    .



Dạng 4. Tìm x


Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc "chuyển vế" biến đổi số hạng tự do sang
một vế, số hạng chứa x sang một vế khác. Sau đó, sử dụng các tính chất của phép
tính nhân, chia các số hữu tỉ.


4A.Tìm x biết:
a) 4 5 3


5 2x 10


− −


+ = ; b) 4 5: 1


3+8 x=12;


c) 1 . 2 0


3 5


x x


  +=


   


    ; d)


3 9 3



. 1, 5 : 0


4x 16 5 x




  +=


   


    .


4B. Tìm x, biết:
a) 2 5 4


5 6x 15


− −


+ = ; b) 2 7: 5


3+4 x=6;


c) 5 . 5 0


3 4


x x



+   =


   


    ; d)


1 8 7


. 2, 5 : 0


3x 13 5 x




  +=


   


    .


Dạng 5. Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên


Phương pháp giải: Tìm điều kiện để số hữu tỉ có giá trị nguyên ta thực hiện
các bước sau:


Bước 1. Tách số hữu tỉ về dạng tổng hoặc hiệu giữa một số nguyên và một


phân số (tử không cịn x);


Bước 2. Lập luận, tìm điều kiện để phân số đó có giá trị nguyên. Từ đó dẫn



đến số hữu tỉ có giá trị nguyên
5A. Cho 3 2


3
x
A
x
+
=


− và


2
3 7
3
x x
B
x
+ −
=
+
a) Tính A khi x = l; x = 2; x = 5


2


b) Tìm x ∈Z để A là số nguyên.
c) Tìm x ∈ Z để B là số nguyên.


d) Tìm x ∈Z để A và B cùng là số nguyên.


5B. Cho 2 1


2
x
A
x

=


+ và



(12)

a) Tính A khi x = 0; x = 1


2; x = 3


b) Tìm x ∈Z để C là số nguyên.
c) Tìm x ∈ Z để D là số nguyên.


d) Tìm x ∈Z để C và D cùng là số nguyên.
IlI. BÀI TẬP VỀ NHÀ


6.Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể)
a) 5 . 7 . 11 .( 30)


11 15 5




    −



  


    ; b)


1 15 38


. .


3 19 45


  


   


    ;


c) 5 .3 13 .3


9 11 18 11


+ − 


   


    ; d)


2 9 3 3


2 . . : .



15 17 32 17


  


   


   


7.Tìm x, biết
a) 3 1 1


7−21x=3; b)


7 3 1


:


6−x 4 =12;


c) 2 3 0


7 4


x x


 +=


  


   ; d)



5 3 5


3, 25 0


4x 5 2 x


 − 


+  =


   


    .


8. Cho 3 1


1
x
A
x

=


− và


2
2 1
2
x x


B
x
+ −
=
+


a) Tìm x ∈ Z để A; B là số nguyên.


b) Tìm x∈ Z để A và B cùng là số nguyên.
HƯỚNG DẪN
1A. a) 3. 2 3


2 25 25


− − =


b) 8. 3 2. 3 6


5 4 5 1 5


==
Tương tự c) 25


14 d) 2.


1B.Tương tự 1A.
a) 2


3 b)



35
9


− c) 10


3 d) 3.


2A. a) 25 5 15.


16 12 4


− −


= b) 25 4: 64 .


16 5 125


− −


=
2B.Tương tự 2A a) 3 5 3.


35 7 25


=


b) 3 2 14: .


35 5 3



=
3A. a) 1 4. . 68. 7 1 1. . 4. 1 4


4 17 21 23 1 1 3 23 69


− − − − − − −


= =


b) 4 . 2 3 4.( 1) 4


15 5 5 5 15


− − −


+= − =


 


 


c) 21 15: 5 21 15 24. 21 3 6. 3


4 24 4 5 1 1


− = − = − =


d) 5 2 4 11 :3 0 :3 0


6 5 5 30 8 8





+ + −= =


 


 


3B.Tương tự 3A
a) 13


245


− b) 5


14


− c) 33



(13)

4A.


a) 5 3 4 5 1 1 5: 1


2x 10 5 2x 2 x 2 2 x 5


− −


= − => = => = => = .;
b) 5: 1 4 5: 5 5: 5 1



8 x 12 3 8 x 4 x 8 4 2


− −


= − ⇒ = => = =


c) Từ đề bài ta có x - 1


3= 0 hoặc x +
2


5=0 . Tìm được x =
1


3 hoặc x =
-2
5


d) Tương tự, x = 3


4 hoặc x =
2
5.


4B.Tương tự 4A
a) 4


25



x= .; b) 21


2
x=


c) x - 5


3


− hoặc x =5


4 d)x =


24


13 hoặc x =
14
25.


5A.


a) Thay x =1 vào A ta được A = 5


2

Thay x = 2 vào A ta được A = -8
Thay x = 5


2 vào A ta được a = -19



b) ta có 3 2 3 9 11 3 11


3 3 3


x x


A


x x x


+ − +


= = = +


− − − Để A nguyên thì


11 ( x− => − ∈ ± ±3) x 3 { 1; 11} tìm được x∈{- 8;2;4;14}


c) Ta có B=


2


3 7 ( 3) 7 7


3 3 3


x x x x


x



x x x


+ − + −


= = −


+ + +


Tương tự ý b) Tìm được x ∈{ -10;-4;-2;4}
d) Để A và B cùng là số nguyên thì x = 4
5B. Tương tự 5A


a) x = 0 => C = -1


2; x =
1


2 => C = 0; x = 3 => C = 1


b) Biến đổi C = 2 - 5
2


x+ , từ đó tìm được x ∈{ - 7; -3; -1;3}


c) Biến đổi D = x - 3 + 4


1


x+ , từ đó tìm được x ∈ {-5;-3;-2;0;1;3}



d) x ∈ {±3}


6. a) -14 b) 2


9 c)


23


66 d)


3
5


7. Tương tự 4A
8. Tương tự 5A


CHỦ ĐỀ 4. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN


I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT



(14)

- Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu |x| là khoảng cách từ điểm x đến
điểm 0 trên trục số.


x khi x ≥ 0
|x| =


-x khi x < 0
- Tính chất:



+ Ta có |x| ≥ 0 với mọi x ∈Q. Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0.
+ Ta có |x| ≥ x và |x| ≥ - x với mọi x ∈ Q.


+ Ta có |x| = |-x| với mọi x ∈ Q.
+ Với a > 0, ta có:


* |x| = a  x = ± a
* |x| ≤ a  - a ≤ x ≤ a
x < -a
* |x| > a 


x > a


x = y
+ Ta có |x| = |y| 


x = -y


2. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân


- Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta có thể viết chúng dưới dạng
phân số thập phân rồi làm theo quy tắc các phép cộng, trừ, nhân, chia phân số.


- Trong thực hành, khi cộng, trừ, nhân hai số thập phân thường áp dụng quy
tắc về giá trị tuyệt đối, về dấu tướng tự như đối với số nguyên.


- Với x, y ∈ Q ta có:
xy = |x|.|y| và | |


| |


x x


y = y khi x,y cùng dấu.


xy = -|x|.|y| và | |


| |
x x


y = − y khi x,y trái dấu.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ, tính giá trị
(hoặc rút gọn) biểu thức hữu tỉ


Phương pháp giải:Ta sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ
x khi x ≥ 0


|x| =


-x khi x < 0


1A. Tính: |- 4, 8|; |0, 5|; - |- 3, 4|; |- 10|; - |- 1,6|.
1B. Tính: |- 3, 2|; |l, 7|; -|- 4, 5|; |- 2l|; - |-3,5|.
2A. Tính giá trị của các biểu thức:


a) A = 3x3 - 6x2+ 2 |x| + 7 với 1


3


x=−


b) B = 4 |x|- 2|y| với 1


4



(15)

a) C = 6x3 - 3x2+ 2|x| + 4 với 2


3
x=− ;
b) D = 2|x| - 3|y| với 1


2


x= và y = -3.


3A. Rút gọn biểu thức 1 1 :1 1 2 | 3 2 |


2 2 6 4


P= − x − x


  khi:


a) 2


3


x≥ ; b) 2



3
x< .


3B.Rút gọn biểu thức 1 1 : 1 15 2 | 3 4 |


4 10 4


P= − x − x


  khi:


a) 4


3


x≥ ; b) 4


3
x< .


Dạng 2. Tìm giá trị của biến thỏa mãn một đẳng thức hữu tỉ cho trước


Phương pháp giải:Ta sử dụng một số chú ý sau:
x khi x ≥ 0


* |x| =


-x khi x < 0


* |x| = a x = ± a ( với a ≥0 cho trước).


a ≥ 0


* |x| = a 
x = ± a


* |x| ≥ 0 với mọi x hữu tỉ. Dấu “=” xảy ra  x = 0
4A. Tìm x biết:


3


) | 2, 5 | 0


4


a x− − = ; b) 1 5 2 1
2− −4 x =3;


c) | 0, 5 2 | 2 0


3


x− − + =x ; d) 2 | 1| 1
2
xx+ = .
4B.Tìm x biết:


a) | 2 3 | 1 0
3


x− − = ; b) 5 1 1



6− + =x 4 4;


c) | 2 1| 1 0
3


x− − + =x ; d)3 | 15 | 5
4
xx+ = .


Dạng 3. Tìm giá trị của biến thỏa mãn một bất đẳng thức hữu tỉ cho trước


Phương pháp giải: Ta sử dụng một số chú ý sau:
- Ta có |x| < a -a< x < a với a > 0


- Ta có |x| ≤ a -a ≤ x ≤ a với a > 0
- Ta có | |x a x a


x a



≥ ⇔  ≤ − với a > 0
- Ta có với a | |x b a x b


b x a
< ≤



(16)

a) | 0, 6 | 1


3


x− < ; b) 7 | 3, 5 |


2


x+ ≥ − .


5B.Tìm x biết:
a) | 1| 31


4


x− ≤ ; b) | 2 1| 3


4
x− > − .


Dạng 4. Cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân


Phương pháp giải:


- Áp dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân.
- Vận dụng các tính chất: giao hốn, kết hợp, phân phối…
6A. Thực hiện phép tính:


a) A = 1,3 + 2,5; b) B = -4,3 - 13,7 + (-5,7) - 6,3;
c) C = 25.(-5).(-0,4).(-0,2) d) D = |11,4 - 3,4| + |12,4 - 15.5|
6B. Thực hiện phép tính:



a) M = 2,4 + 13,5; b) N= 5,2 + (+6,7) - (-4,8) + 2,3;
c) P = 10. (-25).0,4.(-0,1); d) Q= |16,5 – 12,5|+|5,4 - 9,5|.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


7.Tính giá trị của các biểu thức:


a) 2 1


2
4


P=x − − +x với 1
2
x= ;
b) Q = 2|x - 2| -3|1- x| với |x - 1|=4
8.Rút gọn 11 1 31


5 5 5


M = − + − −x x trong các trường hợp sau:


a) 11
5


x≥ ; b) 1


5


x≤ ; c) 1 11



5< <x 5.


9.Tìm x, biết:


a) | 2 1, 5 | 1


4
x


− + = ; b)3 11 3 1


2− 4+ x = 4;


c) | 4 1| 3 1 0
2


x− − x− = ; d) | 1| 2 1
2
x− − x= .
10.Tìm x biết:


a) 1 1


2 3


x− ≤ ; b) 2 1 | 1, 5 |


2


x− > − .



11.Cho biết a = 2,5; b = - 6,7; c = 3,1 và d = - 0,3. Hãy so sánh các hiệu sau:
a) a - b và b - a; b) b - d và d - b; c) b - c và c – b.


12* . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) 2 1 13


3 4


A= x− − ; b) 1| 2 | 3 1 4


3 2


B= x− + − y + .
13*.Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:


a) 2, 25 1|1 2 |


4


A= − + x ; b) 1


1


3 | 2 3 |


2
B


x


=



(17)

HƯỚNG DẪN
1A. Ta có : |-4,8|= 4,8 |0,5| = 0,5


- |-3,4| = -3,4; |-10| = 10; -|- 6|= -1,6
1B. Tương tự 1A


2A. a) Thay x = -1


3 vào biểu thức A ta được


3 2


1 1 1 62


3 6 2 7


3 3 3 9


A= −  − −  + − + =


   


d) Tương tự 4 1 2 | 2 | 3
4


B= − − =


2B. Tương tự 2A


a)


3 2


2 2 2 20


6 3 2 4


3 3 3 9


− − −


    + + =


   


   


b) 2 1 3 | 3 | 8


2 − − = −


3A. a) 2 | 3 2 | 3 2 9 37


3 8


x≥ => x− = x− => = − +P x


b) 2 | 3 2 | 2 3 3 27.



3 8


x< => x− = − x=> =P x


3B. Tương tự 3A


a) 4 17 159


3 2 16


x≥ => =Px+ b) 4 7 97


3 P 2x 16


< => = −
4A. a) Từ đề bài ta suy ra |x- 2,5|= 3


4. Do đó ta có x - 2,5=
3


4 hoặc


x - 2,5 = 3


4


. Tìm được 13 7
;
4 4
x∈  



 


b) Từ đề bài ta suy ra ra 5 1
2


4− x =6. Tìm được


13 17
;
24 24
x∈  


 


c) Từ đề bài ta suy ra ra|0,5x - 2|= 2
3


x+ . Do đó ta có 0,5 x - 2 = x +2


3 hoặc


0,5x - 2 = x - 2


3. Tìm được


16 8
;


3 9



x∈ − 


 


d) Với x ≥-1 thì |x + 1| = x +1, thay lại đề bài ta có 2x - ( x + 1) = -1


2. Tìm


được x = 1


2 ( TM)


Với x < -1 thì |x + 1| = - x - 1 thay lại vào đề bài ta có 2x - ( - x - 1) = 1


2. Tìm


được x = 1


2


( KTM). Vậy x = 1
2


4B. Tương tự 4A
a) 5 4;


3 3
x∈  



  b)


1 5


;
3 6
x∈  − 



(18)

c) 4 2;
3 9
x∈  


  d) x=
65


8


5A. a) Vì | x- 0,6| < 1


3 nên suy ra -
1


3 < x - 0,6 <
1


3. Từ đó tìm được


4 14


15< <x 15



b) Từ đề bài ta suy ra 7 3, 5
2


x+ ≥ , đo đó ta có x + 7


2 ≥ 3,5


hoặc x + 7


2 ≤-3,5. Từ đó tìm được x ≥ 0 hoặc x ≤-7


5B. Tương tự 5A a) 9 17


4 x 4




≤ ≤ b) x 7


8


> hoặc x <1


8


6A. a) A= 3,8


a) B = [( -4,3) + (-5,7)] + [(-13,7) + (-6,3)] = -30
b) B = [( -4,3) + (-5,7)] + [(-13,7) + (-6,3)] = -30



c) C = [10.( -0,1].[ (-25). (-0,4)] = -10
d) D = 11 + 0,1 = 11,1


6B. Tương tự 6A a) M = 15,9 b) N = 19 c)P= 10 d)Q = 8,1
7. a) Ta tính được P = 2


b) Ta có: |x - 1| = 4 từ đó tìm được x ∈{5;-3}. Với x = 5 ta tính được Q = -6;
Với x = -3 ta tính được Q = -2


8. a) 11 2 43


5 5


x≥ =>M = x− b) 1 2 14


5 5


x≤ =>M = x


c) 1 11 11
5< <x 5=>M = − 5


9. Tương tự 4A
a) 5 7;


8 8
x∈  


  b)



5
0;


6
x∈  − 


 


c) 1 3;
2 14
x∈  


  d) x =


1
6


10. Tương tự 5A.
a) 1 5


6 ≤ ≤x 6 b) x > 1 hoặc x <
1
2


11. a) Tính được a - b = 9,2; b - a = -9,2 nên suy ra a - b > b - a
b) Tính được b - d = -6,4; d - b = 6,4 nên suy ra b - d < d - b
c) Tính được b - c =- 9,8; c - b = 9,8 nên suy ra b - c < c - b
12*. a) Do 2 1 0



3


x− ≥ với ∀x nên suy ra A 13
4


≥ − với ∀x . vậy gái trị nhỏ nhất
của A là 13


4


− khi x = 1


6


b) Giá trị nhỏ nhất của B là 4 khi x = 2 và y =6


13*. a) Ta chứng minh được A ≤2,25 với ∀x . Vậy giá trị lớn nhất của A là
2,25 khi x = 1


2


b) Ta chứng minh được 1
3



(19)

x = 3


2



...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 5. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Định nghĩa: Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu x”là tích của n


thừa số x ( n là số tự nhiên lớn hơn 1)
xn = x. x...x (x ∈ Q, n ∈ N, n > 1)


n




(20)

- Khi số hữu tỉ x a( ,a b Z b, 0)
b


= ∈ ≠ ta có :


n n
n
a a
b b
  =
 
  .
- Chú ý: x2n≥ 0 với ∀x ∈Q; ∀n∈ N.


x2n-1 cùng dấu với dấu của x;
(-x)2n = x2n và (-x)2n-1 = x2n+1
2. Các phép toán về lũy thừa
- Tích hai lũy thừa cùng cơ số:
xm . xn = xm+n (x ∈Q, m,n ∈N).
- Thương hai lũy thừa cùng cơ số:


xm : xn = xm-n (x ∈ Q*, m, n ∈ N, m > n).
- Lũy thừa của lũy thừa:


(xm)n = xm -n (x ∈ Q, m,n ∈ N).
- Lũy thừa của một tích:


(x.y)n = xn . yn (x, y ∈ Q, n ∈ N).


- Lũy thừa của một thương : ( , , )



n n
n


x x


x y Q n N
n n


  = ∈ ∈


 
 
- Lũy thừa số mũ nguyên âm:


Với x ∈Q, x ≠ 0; n ∈N* ta có: n 1
n


x
x
=
- Hai lũy thừa bằng nhau:


* Nếu xm


= xnthì m = n với (x ≠ 0; x ≠ ±1).
* Nếu xn


= ynthì x = y nêu n lẻ, x = ± y nếu n chẵn.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



Dạng 1. Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên


Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa lũy thừa của một số hữu tỉ:
xn = x. x...x (x ∈ Q, n ∈ N, n > 1) và các quy ước


n


x1= x với ∀x∈Q ; x0 =1 với ∀x ≠ 0
1A. a) Tính:


4 3 2


4 0


2 1 5


; ; 1 ; ( 0, 4) ; ( 1, 34) .


3 3 7




    


     


     


b) Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa



i) 3.27.9. ii) 25.5.125; iii) 2 4 8. .
3 9 27.


1B. a) Tính ;


3 3 2


4 0


1 2 3


; ; 1 ; ( 0, 6) ; ( 1, 56)


3 3 4




    


     


     


b)Viết các tích sau dưới dạng lũy thừa


i) 2.16.8 ii) 49.7.343; iii) 3 9 27. .
4 16 64


Dạng 2. Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số



Phương pháp giải:Ta sử dụng các công thức về tích hai lũy thừa cùng cơ số:
xm. xn = x m+ n ( x ∈Q, m, n ∈N)



(21)

a)
5 2
1 1
.
2 4
   
   


    ; b)


2 2
1 2
.
2 5
  
   
    ;
c)
2 2
5 35
:
4 24
  
   


    ; d) 25.5



-1


.50.
2B.Thực hiện phép tính:


a)
3 3
5 4
.
2 5
   
   


    ; b)


2 3
1 1
:
9 3
   
   
    ;
c)
5 5
9 27
:
5 20
   
  



    ; d) 3


3


.9-1.
Dạng 3. Tìm số mũ, cơ số của một lũy thừa


Phương pháp giải: Ta sử dụng các tính chất sau:
- Nếu xm = xnthì m = n với (x ≠ 0 ; x ≠ ±1).


- Nếu xn = ynthì x = y nếu n lẻ, x = ± y nếu n chẵn.
- Nếu xm < xn (x >1)  m < n.


3A.Điền số thích hợp vào ô vuông :
a) 16 1


2


 


=    ; b) 64


125


− = 3; c) 0,01 = (0,1) .
3B.Điền số thích hợp vào ô vuông :


a) 64 = 3 ; b) 27 3



8 2


 


− = −


  ; c) 0,25=


2


.
4A. Tìm các số nguyên x, y biết:


a) ( x -1,2)2 = 4; b) (x + l)3 = -125;


c) 34-x = 27; d) ( x + 1,5)8 + (2,7 - y)10 = 0;
e) 3-1. 4x = 5 7


.2


3 ; f) 9


-x


.27x = 243.
4B. Tìm các số nguyên x, y biết:


a) ( x - 1,5)2 = 9; b) ( x -2)3 = 64;


c) 24-x = 32; d) ( x + 1,5)2 + ( y - 2,5)10 = 0.


e) 2-2.2x + 2.2x = 9.26; f) 3-2 .34.3x = 37.


Dạng 4. So sánh lũy thừa


Phương pháp giải:Để so sánh lũy thừa ta thực hiện như sau:


- Biến đổi các lũy thừa cần so sánh về dạng có cùng số mũ hoặc cùng cơ số.
- Có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh.


5A. So sánh:


a) 224 và 316; b) 2300 và 3200; c) 715 và 720;
5B. So sánh:


a) -230 và -320; b) (-5)9 và (-2)18; c) 355 và 610.
6A.Tìm số nguyên dương n, biết:


a) 25< 5n < 625; b) 3.27 > 3n≥ 9; c) 16 ≤ 8n≤ 64.
6B. Tìm n ∈ Z, biết:


a) 49 < 7n < 343; b) 9 < 9n≤ 243; c) 121 ≥ 11n ≥ 1.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


7.Tính giá trị biểu thức:





(22)

a)


10 5



3 7


( 3) .15
25 .( 9)




− ; b)


0


3 1 2 2 1


2 3 2 .4 ( 2) : .8


9 2




   


+   − + −


    .


8.Tìm x, y, biết
a) ( 5x+ 1)2 = 36


49; b)



3 6
2 2
9 3
x
= 
   
    ;


c) (8x-1)2x+1 = 52x+1 ; d) ( x - 3,5)2 +


4
1
0
10
y

 
  .


9. Viết số hữu tỉ 81


625 dưới dạng một lũy thừa. Nêu tất cả các cách viết.


10. So sánh các số sau:


a) 335 và 520; b) 378 và 232.
11*.a) Cho biết l2 + 22 +32 + ... + 102 =385.
Tính A = 32 + 62 + 92+…+ 302.



b) Cho biết l3


+ 23 + 33 + … +103 = 3025
Tính B = 23 + 43 + 63 +... + 203.


12.*. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
a) A = 3n+3 + 3n+1 + 2n+2 + 2n+1 chia hết cho 6;


b) B = 3n+3 - 2n+3 + 3n+2 - 2n+1chia hết cho 10;
HƯỚNG DẪN
1A. a)


4 4 3 3


4 3


2 ( 2) 16 1 ( 1) 1


;


3 3 81 3 3 27


− − −


  = == = −


   


    ;



2 2 5


4 0


5 12 144 2 16


1 ; ( 0, 4) ; ( 1, 34) 1


7 7 49 5 625


− −


=  = =  = =


     


     


b) i) 3.27.9 = 36 ii) 25. 5. 125 = 56
iii)


6


2 4 8 2


. .


3 9 27 3


 


=   


1B. Tương tự 1A.
a)
3
1 1
3 27

 = −
 
  ;
3
2 8
3 27
= −
 
  ;
2
3 49
1
4 16
=
 
 


(-0,6)4 = 81


625 ( 1,56)


0



= 1


b) i)2.16.8 = 28 ii) 49.7.343 = 76 iii)


6


3 9 27 3


. .


4 16 64 4


 
=   
2A. a) 1


512 b)


1


25 c)


36


49 d) 5


2B. Tương tự 2A
a) 8 b)1



3 c)


1024
243


− d) 3


3A. a)


4
1
16
2

 


=    b)


3
64 4
125 5

 
=  


  c) 0,01= (0,1)
2



3B. Tương tự 3A




(23)

x ∈{-0,8;3,2}


b) Từ đề bài ta có x = 1 = -5, tìm được x = -6
c) Từ đè bai ta có 34- x = 33


d) ta chứng minh được ( x + 1,5)8


+ (2,7 - y)10≥ 0 ∀x, y vì vậy để
( x + 1,5)8 + ( 2,7 - y)10 = 0 thì x + 1,5 = 0 và 2,7 - y = ). Từ đó tìm được
x = -1,5; y = 2,7.


4B. Tương tự 4A


a) x ∈{- 1,5; 4,5} b) x = 6


c) x = - 1 d) x = -1,5 ; y = 2,5
5A. a) Ta có 224 = 22.8 và 316 = 32.8 = 98 nên 224 < 316;


b) 2300 = (23)100 = 8100 và 3200 = (32)100 = 9100 nên 2300 < 3200;
c) Ta có 715 < 815 mà 815 = (34)5 = 320 < 720 nên 715 < 720;


5B. Tương tự 5A


a) -230 > -320 b) (-5)9 < 0 < (-2)18 c) 355 < 610
6A. a) Từ đề bài suy ra 52 < 5n < 54, tìm được n = 3


b) Từ đề bài suy ra 34 > 3n ≥ 32, tìm được n ∈{2; 3}
c) Từ đề bài suy ra 24 ≤ 23n ≤ 26, tìm được n = 2
6B. Tương tự 6A



a) n∈∅ b) n = 2 c) n ∈{0; 1; 2}
7. a) 3


5


− b) 74
8. a) 13; 1


35 35
x∈ − − 


  b) x =
2
3


c) 1 3;
2 4
x∈ − 


  d) x=


7
2 ; y=


1
10


9.



2 2 4 4


81 9 9 3 3


625 25 25 5 5


       


= = − =  = −


       


10. Tương tự 5A


11*. a) Ta có 12 + 22 + 32 + …102 = 385
Suy ra ( 12 +22 + 32 +…+102 ) .32 = 385.32
Do đó ta tính được A = 32


+ 62 + 92 + …+302 = 3465.
b) Tương tự ý a) tính được B = 24200


12*. a) Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;


b) Từ đề bài ta có B = 3n+1


(32 + 1) - 2n+1 (22 +1) = 3n+1 .10 - 2n .2.5
=> ĐPCM;


CHỦ ĐỀ 6. TỈ LỆ THỨC


I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1.Định nghĩa:Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c


b =d


( a,b,c,d ∈Q; b ≠ 0, d≠ 0)


Ta có a và d gọi là các ngoại tỉ, b và c là các trung tỉ.
2. Tính chất:


- Nếu a c


b =d = thì ad = bc;



(24)

, , ,
a c a b d c d b
b = d c =d b =a c = a


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên


Phương pháp giải: Để thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số
nguyên ta thực hiện các bước sau:


Bước 1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản;


Bước 2. Thực hiện phép chia phân số



1A. Thay tỉ số của các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a) 3 12:


5 25




; b) 1,2 : 4,8; c) 3: 0, 45


4 .


1B. Thay tỉ số của các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a) 3 15:


5 6




; b) 1,5: 8,25; c) 5: 0, 75


8 .


Dạng 2. Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước,
từ các số cho trước


Phương pháp giải: Ta thực hiện như sau:


- Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước: Áp dụng tính chất 2
Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:



, , ,


a c a b d c d b
b = d c =d b =a c = a


- Lập tất cả các tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước: Từ tỉ lệ thức a c


b =d ta có


thể lâp đươc ba tỉ lệ thức khác bằng cách:


- Giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ: a b


c = d


- Giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ: d c


b =a


- Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau: d b


c = a


- Lập tỉ lệ thức từ các số cho trước: Từ các số đã cho ta lập được đẳng thức


dạng ad = bc và áp dụng tính chất 2.


2A.Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức khơng?
a) 3: 6



5 và


4
: 8


5 ; b)


1
2 : 7


3 và


1
3 :13


4 .


2B. Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức không?
a) 2: 8


5 và


4
:16


5 ; b)


1
4 : 8



3 và


2
3 :13


3 .


3A.a) Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:
i) 14.15 = 10. 21 ii) AB.CD = 2.3
iii) AB.CD = EF.GH iv) 4.AB = 5.MN.
b) Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau: 5 1, 2


15 3, 6


− −


= .


c) Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bôn số sau : 12 ; - 3 ; 40 ; -10
3B.a) Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:


i) 13.18 = 9.26; ii) MA.PQ = 3.5;
iii) MN.PQ = CD.EF ; iv) 2.AB = 7.MN.
b) Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau: 5 1, 6



(25)

c) Lập tất cả các tỉ lê thức có từ bốn số sau : - 1; 5 ; -25 ; 125.
Dạng 3. Tìm số hạng chưa biết của một tỉ lệ thức


Phương pháp giải: Ta sử dụng các tính chất:
Nếu a c



b =d thì
bc
a


d


= ; b ad
c


= ; c ad
b


= ; d bc
a
=
4A. a) Tìm x trong các tỉ lệ thức:


i) 1,2: 0,8 = (- 3,6): (3x); ii) 12 : 5 = x : 1,5;
iii) x : 2,5 = 0,03 : 0,75; iv) 3,75 : x = 4,8 : 2,5.
b) Tìm x, biết:


i) 3


5 20


x =


; ii) 60



15
x


x
= ;
iii) 2 3 1


4 3


x x


=


− ; iv)


12 3 6


32 4


x


x


=


− .


4B. a) Tìm x trong các tỉ lệ thức:


i) l,8: l,3 = (-2,7):(5x); ii) 15 : 4 = x : 3,5;


iii) x: 6,5 = 0,13:0,25; iv) 5,25 : x = 3,6 : 2,4.
b) Tìm x, biết:


i) 9


4 10


x =


; ii) 6


24
x


x
= ;
iii) 5 2 4 1


3 5


x x


=


− ; iv)


10 2 27


6 5



x


x


=


− .
Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức


Phương pháp giải: Để chứng minh tỉ lệ thức a c


b =d ta thường sử dụng một


trong ba cách sau:


Cách 1. Chứng tỏ ad = bc.


Cách 2. Chứng tỏ a


b
c


d có cùng giá trị.


Cách 3.Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau (học ở bài sau)


5A.a) Cho tỉ lệ thức a c


b =d Chứng minh:



i) a c


a b+ =c+d ; ii)


a b a c
c d b d
= +


− + .


b) Cho 2 2


2 2


a b c d
a b c d
+ = +


− − . Chứng minh
a c
b = d .


5B. a) Cho tỉ lệ thức a c


b = d . Chứng minh:


i) a c b d


a b
+ = +



; ii) a b a b


c d c d
= +


− + .


b) Cho: 3


3


a c a c
b d b d


+ = +


+ + . Chứng minh:
a c
b = d


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


6. Thay tỉ số giữa các số sau bằng tỉ số giữa các số nguyên
a) 1,2: 3,36; b) 3 : 21 5


7 14; c)


3
: 0, 54



8 .


7. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các đẳng thức sau: (-2). 15 = 3. (-10).
8. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 3; 9; 27; 81.



(26)

a) 3 :4 8 0, 25 :


5 5= x; b)


2 3 3 1


24 32


x+ = x


; c) 13 2 76


2 5 17


x
x


=


+ .


10. Chứng minh rằng: Nếu a b c d


b c d a


+ = +


+ + ( c + d ≠ 0) thì a = c hoặc a = b + c + d = 0
HƯỚNG DẪN


1A. a) 3 12: 5


5 25 4


=


; b) 1,2:4,8 = 1


4 c)


3 5


: 0, 45


4 =3


1B. Tương tự 1A.
a) 6


25


; b) 2


11 c)



5
6


2A. a) 3: 6 1
5 =10 và


4 1


: 8


5 =10. Do đó


3 4


: 6 : 8


5 =5


b) 2 : 71 1
3 =3 và


1 1


:13


4 =4. Hai tỉ số này khác nhau nên chúng không lập


thành tỉ lệ thức



2B. Tương tự 2A


3A. a) i) Ta có 14.15 = 10.21 từ đó suy ra các tỉ lệ thức sau


14 21 14 10 15 21 15 10


; ; ;


10=15 21=15 10 =14 21=14;


ii) Tương tự 3 2 3 2


; ; ;


2 3 2 3


AB AB CD CD
CD CD AB AB


= = = =


iii) Tương tự AB GH; AB EF CD; GH CD; EF
EF = CD GH =CD EF = AB GH = AB


iv) Tương tự 5 4 5 4


; ; ;


4 5 4 5



AB AB MN MN


MN = = AB = AB =MN


b) Ta có 5 1, 2


15 3, 6


=từ đó suy ra các tỉ lệ thức sau


5 15 3, 6 1, 2 3, 6 15


; ;


1, 2 3, 6 15 5 1, 2 5


= ==


− − − −


c) Từ bố số 12; -3; 40; -10 ta lập được tích sau: 12 . (-10) = (-3) .40, từ đó
suy ra các tỉ lệ thức 12 40 12 3 10 3 10 40


; ; ;


3 10 40 10 40 12 3 12


− − − −


= = = =



− − − −


3B. Tương tự 3A


4A. a) i) Từ đề bài ta có 3 3, 6.08
1, 2


x= − , từ đó tìm được x = -0,8


ii) Từ đề bài ta có 5.x = 12.1,1,5, từ đó tìm được x = 3,6
iii) Từ đề bài ta có 2, 5.0.03


0, 75


x= từ đó tìm được 1
10
x=


iv) Từ đề bài ta có 3, 75.2, 5
4,8


x= từ đó tìm được 125
64
x=


b) i) Từ đề bài ta có 3.5


20



x= , từ đó tìm được x = 3
4


ii) Từ đề bài ta có x2= 900, từ đó tìm được x = ±


30


iii) Từ đề bài ta có (-3) . (2 - x) = 4. ( 3x - 1), từ đó tìm được 2


9
x= −



(27)

4B. Tương tự 4A
a) i) 39


100


x= − ii) 105


8


x= iii) 169


50


x= iv) 7


2
x=



b) 18


5


x= ii) x= ±12 iii) x= -11; iv) x ∈{-4;14}


5A. a) i) Theo đề bài ta có: a c


b =d => ad=bc=> ad + ac= bc +ac


=> a ( c = d) = c( a + b) => a c


a b+ =c+d (ĐPCM)


ii) Từ phần i) ta có a c
a b+ =c+d =>


a a b
c c d
+
=


+ (1)
Chứng minh tương tự ta cóa a b


c c d

=


− (2)


Từ (1) và (2) suy ra a b a c


c d b d
= +


− + ( ĐPCM)
b) 2 2


2 2


a b c d
a b c d
+ = +


− − => ( 2a +b) (c -2b) ( 2c + d) nhân bỏ ngaowcj, thu gọn ta có
bc = ad => a c


b =d ( ĐPCM)


5B. Tương tự 5A
6. a) 1, 2 : 3, 36 5


14


= b) 3 : 21 5 4


7 14= 3 c)


3 25



: 0, 54


8 =36


7. 2 10


3 15


=− 2 3


10 15


=


3 5


2 = 10


− −


10 15


2 3


=

8. 3 27


9 =81



3 9


27=81


81 9


27=3


81 27


9 = 3


9. a) x= 2


19 b) x= 15 c) x = 6


10*. Ta có : a b c d a b 1 b c
b c d a c d d a


+ + + +


= => + =


+ + + + +1


=> a b c d a b c d


c d d a



+ + + + + +


=


+ +


Nếu a + b + c + d ≠0 => c + d = a +d => a = c
Nếu a + b + c + d = 0 thì hệ tỉ lệ thức ln đúng
Vậy a = c hoặc a + b + c + d = 0


CHỦ ĐỀ 7. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
* a c a c a c a c


b d b d b d b d


+ −


= ⇒ = = =


+ −


* a c e a c e a c e a c e


b d f b d f b d f b d f


+ + − +



= = ⇒ = = = =


+ + − +


(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
2) Chú ý:


Khi ta nói các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c tức là: x y z



(28)

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Tìm các số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau


Phương pháp giải: Để tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau, ta thường
làm như sau:


Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi để xuất hiện điều


kiện đã cho của đề bài. Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.


Cách 2. Phương pháp "đặt k" theo 3 bước sau:


- Bước 1. Đặt x y z


k
a = = =b c


- Bước 2. Rút x = a.k; y = b.k; z = c.k.


- Bước 3. Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho của đề bài, tìm



được giá trị của k. Từ đó suy ra các giá trị của x,y,z.
1A. a) Cho


3 6
x y


= . Tìm x,y biết:


i) x + y = 90 ; ii) 4x - y = 42;
iii) xy = 162; iv) 2x2 - y2 = - 8.
b) Cho


2 3 5


x = =y z . Tìm x, y, z biết


i) x + y + z = 30; ii) x - 2y + 3z = 22;
iii) xyz = - 240; iv) x2 + 3y2 - z2 = 150.
c) Cho 2x-3y + z = 42. Tìm x, y, z biết:


i) 1 2 1


3 4 13


x+ = y= z


; ii) ;


3 5 2 7


x = y y = z


− ;


iii) 6x = 4y = z; iv) x = -2y; 7y = 2z.
1B. a) Cho


4 5
x y


= . Tìm x, y biết:


i) x + y = 54; ii) 3x - 2y = 8;
iii) xy = 80; iv) x2 - 3y2 = - 59.
b) Cho


3 5 6


x = =y z


. Tìm x, y, z biết:


i) x + y + z = 56; ii) x - 2y + 3z = - 33;
iii) xyz = 720; iv) x2 - 4y2 + 2z2 = - 475.
c) Cho x - 2y + 3z = 56. Tìm. x, y, z biết:


i) 3 1 3


7 2 4



x= y+ = z+


; ii) ;


6 7 3 8


x = y x = z


− ;


iii) 3x - 4y = 2z; iv) 2x = -3y; 7y = -10z.
Dạng 2. Giải các bài toán chia theo tỉ lệ


Phương pháp giải: Để giải các bài toán chia theo tỉ lệ, ta thường làm như sau:


Bước 1.Gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z (tùy đề bài yêu cầu).


Bước 2. Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ số bằng nhau.


Bước 3.Sử dụng các phương pháp ở dạng 1 để tìm x, y, z rồi kết luận



(29)

2B. Số sản phẩm của hai công nhân lần lượt tỉ lệ với 8;5. Biết rằng người
thứ nhất làm nhiều hơn người thứ hai 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người
làm được.


3A. Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3; 5; 7. Tính mỗi cạnh
của tam giác đó biết chu vi của nó là 40,5cm.


3B.Chia số 48 thành 4 phần tỉ lệ với các số 3; 5; 7; 9.



4A. Ba lớp 7 có tất cả 135 học sinh. Số học sinh lớp 7A bằng 7


8 số học sinh


lớp 7B, số học sinh lớp 7B bằng 16


5 số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh mỗi lớp.


4B. Chia số 237 thành ba phần. Biết phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 5
và 3: phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 8 và 5 . Tìm mỗi số.


Dạng 3. Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước


Phương pháp giải: Để chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta
thường làm như sau:


Cách 1. Sử dung tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để biến đổi dẫn đến đẳng


thức cần chứng minh,


Cách 2.Dùng tính chất của tỉ lệ thức, nếu ad = bc thì a c;...


b = d


Cách 3.Dùng phương pháp "đặt k” theo các bước sau:


Bước 1.Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k .


Bước 2.Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.



Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến


một hệ thức đúng.
5A. Cho a c


b =d (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).


Chứng minh:
i) a b c d


b d
+ = +


; ii) a b c d


a b c d
+ = +


− − ;


iii) 5 2 5 2


5 2 5 2


a b c d
a b a d


+ +


=



− − ; iv)


2 2 2


2 2 2


( )


.


( )


a c a c


b d b d


+ +


=


+ +


5B. Cho a b


c =d (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)


Chứng minh:
i) a c b d



c d


− −


= ; ii) a c a c


b d b d


+ −


=


+ − ;


iii) 3 4 3 4


3 4 3 4


a c b d
a c b d


+ = +


− − ; iv)


2 2 2


2 2 2


( )



.


( )


a b a b


c d c d


+ = +


+ +


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. Tìm các số x, y, z biết
a) 6


5
x



(30)

c)


3 16


x = y


và xy = 192; d)


3 7



x = y
− và x


2


- y2 = -360;
e)


3 4 6


x = =y z


và x + y + z = 52;
f) 1 2 3


2 3 4


xy+ z


= = và x - 2y + 3z = 46;
g) 7 ; 5


10 8


x y


y = z = và 2x - y + 3z = 104.
7. Tỉ số cạnh của hình chữ nhật bằng 2


5 Chu vi hình chữ nhật là 42m. Tính



diện tích của hình chữ nhật.


8. Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300m2. Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3.
Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn.


9. Số học sinh của các lóp 7A, 7B, 7C, 7D tỉ lệ với các số 11; 12; 13 và 14.
Biết hai lần số học sinh lớp 7B nhiều hơn số học sinh lóp 7A là 39 em. Tính số học
sinh mỗi lớp.


10. Cho a c


b = d (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). Chứng minh:


a) a 2b c 2d


b d
=


; b) 2 2


3 3


a c b d
a b b d


=


+ + ;



c)


2 2 2 2


2 2


2 2


( 4 ) ( 4 )


a b c d


a b c d


+ −


=


+ + ; d) ( a + 4c)(2b - 3d) = (b + 4d)(2a - 3c);


e)


2 2


2 2.


ac a c


bd b d




=




11*.Chứng minh rằng:


Nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) (b ≠ 0, d ≠ 0) thì a c
b =d .
12*. Cho a b c a


a b c a
+ = +


− − . Với ad = bc. Chúng minh: a
2


= bc
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)


HƯỚNG DẪN


1A. a) i)Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ( DTSBN) ta có


90
10


3 6 3 6 9


x y x+y



= = = =


+ , từ đó tìm được x = 30; y= 60.
ii) Từ đề bài ta suy ra 4


3 6 12


x= =y x. Áp dụng tính chất của DTSBN ta có


4 4 42


7


3 6 12 12 6 6


x = =y x = xy = =


− , từ đó tìm được x = 21; y = 42
iii) Đặt


3 6


x y
k


= = => x = 3k ; y = 6k



(31)

iv) Đặt



3 6


x = y


= k => x = 3k ; y = 6k


Suy ra 2x2 - y2 = 18k2 - 36k2 = -8 => x = 2


3


±


Nếu k = 2


3=> x = 2; y =4 .nếu k =
-2


3=> x = -2 ; y = -4


b) i) Áp dụng tính chất của DTSBN ta có


30


3 6; 9; 15


2 3 5 2 3 5 10


x y z x y z


x y z


+ +


± = = = = = => = = =


+ +


ii) ta tìm được 76 114 190


; ;


11 11 11


x= y= z=


iii) Đặt


2 3 5


x y z


= = = k => x = 2k ; y = 3k; z= 5k


Do đó xy= 2k.3k.5k = -240 => k = -2 => x = -4; y = -6; z = -10
iv) Đặt


2 3 5


x = =y z


= k => x = 2k; y= 3k; z= 5k => k = ±5


Nếu k = 5 => x = 10; y = 15; z= 25


Nếu k = -5 => x = -10; y = -15; z = -25
c) i) ta có; theo tính chất của DTSBN ta có


1 2 1 2( 1) 39 2) 1


3 4 13 2.3 3.4 13


x y z x y z


x= + = − = − = − − − + −


− + => x = 20; y= 30; z = 92
ii) Ta có


3 5 6 10


x= y => x = y


− − và 2 7 10 35


y = =>z y = z


Do đó 2 3 42 6


6 10 35 12 30 35 7


x y z xy+z



= = = = = −


− − − + − => x= 36; y = 60 ; z = -210
iii) Ta có 6x = 4y = z => 6 4


12 12 12 2 3 12


x x z x y z
= = => = =


Do đó 2 3 42


6


2 3 12 4 9 12 7


x= =y z = xy+z = =


− + => x = 12 ; y = 18 ; z = 72
iv) Ta có ; x = -2y =>


2 1


x = y


− và 7y = 2z => 2 7
y = z


Do đó 2 3 42



6


4 2 7 8 6 7 7


x = = =y z xy+z = = −


− − − + => x = 24 ; y= -12; z = -42
1B. Tương tự 1A


a) i) x= 24 ; y- 30 ii) x = 16 ; y = 20
iii) x = 8; y =10 hoặc x =-8 ; y = -10


iv) x = 4 ; y = 5 hoặc x = -4 ; y= -5


b) i) x = 12 ; y= 20 ; z = 24 ii) x = -9 ; y= -15; z = -18
iii) x = 6 ; y = 10 ; z= 12


iv) x = 15; y+ 25; z = 30 hoặc x = -15; y= -25; z= -30



(32)

2A. Gọi số bi của An và Chi lần lượt là x và y ( viên bi x, y ∈ *


 ). Teo đề bài


ta có


4 5


x y


= và y - x = 4. Áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau ta có



4 5 5 4


x = =y yx


− = 4 => x = 16 ; y= 20


Vậy An có 16 viên bi, Chi có 20 viên bi


2B. Tương tự 2A . hai người làm được 160 và 100 sản phẩm
3A.các cạnh của tam giác là: 8,1cm; 13,5cm; 18,9cm


3B.Tương tự 3A .Các phần là 6; 10; 14; 10


4A. Gọi số học sinh các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x; y ;z 9 học sinh x, y, z


*


)


Theo bài ra ta có x + y + z = 135; x = 7 ; 16


8y y=15z. Áp dụng tính chất DTSBN,


từ đó tìm được x = 42 ; y= 48; z = 45


Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 42; 48; 45
4B. Tương tự 4A


Số thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt 120; 72; 45


5A. i) Ta có a c a b a b a b c d


b d c d c d b d


+ + +


= => = = => =
+


ii) Ta có a c a b a b a; b a b a b c d
b d c d c d c d c d a b c d


+ − + +


= => = = = => => =


+ − − −


iii) Ta có 5 2 5 2 5 2


5 2 5 2 5 2


a c a b a b a b a b
b d c d c d c d c d


+ −


= => = = = = =


+ −



Do vậy 5 2 5 2


5 2 5 2


a b c d
a b a d


+ = +


− −


iv) Ta có:


2 2 2


a c a c a c a c
b d b d b d b d


+      + 


= = =>  =  =


+      + 


=> ; 4 4


4 4


a c a b a b a b a b


b d c d c a c d c d


+ −


= => = = = =


+ −


v) Ta có ; 4 4


4 4


a c a b a b a b a b
b d c d c a c d c d


+ −


= => = = = =


+ −


=> 4


4
a b a b
c d c d


+ =


+ − => ( a- 4b) ( c + b) ( c- 4d)


5B.Tương tự 5A


6. a ) x = 66; y= 55 b) x = -20 ; y = -16
c) x = 6; y = 32 hoặc x = - 6; y = -32


d0 x = -9; y= 21 hoặc x = 9; y= 021


e) x = 12; y= 16; z = 24 f) x =9 ; y= 10; z= 19
g) x = 14; y= 20; z= 32


7.Diện tích cuả hình chữ nhật là: 90m2
8.Chiều dài: 20m, Chiều rộng: 15cm


9.Lớp 7A, 7B, 7C,7D lần lượt có 33; 36;39;42 học sinh
10. a) 2 2 2 2


2 2


a c a b b a b a b c d
b d c d d c d b d


− − −



(33)

b) 2 20; 3 2 3


2 2 3 2 3


a c c a a c a b a c a b
b d d b d b d b d b d b d



− + − +


= = = = = => =


− + − +


Do vậy : 2 2


3 3


a c b d


a b b d


=


+ +


c) Ta có


2 2 2


2


4 ( 4 )


4 ( 4 )


a b a b a b a b
c d c d b a c d



+     +


= = =>  =  =


+     +


=>


2 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2 2


( 4 ) 2 ( 4 )


( 4 ) 2 ( 4 )


a c a b a b a b


b d c d c d c d


+ − +


= = = =


+ − +


Do vậy 2 22 2 22


2 2



( 4) ( 4 )


a b c d


a c d


− −


=


+ +


d) Ta có 2 3 ; 4


2 3 4


a c a c a c a c


b d b d b d b d


− +


= = = =


− +


=> 2 3 4


2 3 4



a c a c
b d b d


− +


=


− + => ( a + 4c) ( 2b- 3d) = ( b =4d) 0 2a - 3c)
e)


2 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2 2


a c ac a c a c ac a c


b d bd b d b d bd b d


− −


= => = = = => =


− −


11*. Ta có a + c = 2b=> d ( a + c) = 2bd. Mà 2bd = c( b+d) nên
d ( a +c) = c ( b+d) => ad +cd = bc + cd =>ad = bc => a c


b = d



12*. Cách 1: Ta có a b c a


a b c a
+ = +


− − => ( a + b) ( c- a) = ( c + a) ( a- b)
=> ac - a2 + bc - ab = ac - bc + a2 - ab => a2 = bc


Cách 2: Đặt a b c a k
a b c a


+ +


= =


− − ; Với


1


. (1)


1
a b k


k a b
a b k


+ +


= => =



− −


Tương tự a = c. 1
(2)
1
k
k
=
+


Từ (1) và (2) => ĐPCM


...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 8. SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN.


SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HỒN. LÀM TRỊN SỐ
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT


1. Khái niệm
Khi viết phân số a


b dươi dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và



(34)

- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước


Ví dụ: 3 37


0, 75; 1, 48
4 = 25 = ; ….


Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn.
- Phép chia a cho b khơng bao giờ chấm dứt


Ví dụ: 2 17


0, 6666...; 1, 5454...;...


3 = 11=


Tuy phép chia không chấm dứt nhưng phần thập phân của kết quả phép chia
có một nhóm chữ số lặp đi lặp lại vơ hạn lần. Ta nói số thập phân thu được là số
thập phân vơ hạn tuần hồn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là
chu kì của nó.


2. Nhận biết một phân số là số thập phân hữu hạn hay là số thập phân vô
hạn tuần hoàn


- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu khơng có ước ngun tố
khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.


- Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2
và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hoàn.


Như vậy, mỗi số hũư tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô
hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn đều biểu


diễn một số hữu tỉ


3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số
Ta thừa nhận các kết quả sau:


1 1 1


0, (1) ; 0, (01) ; 0, (001)


9 99 999


= = =


Ví dụ: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản
a) 0,555…= 5.0,111…= 5.0,(1) = 5.1 5


9=9


b) 0,25454…= 1 .2, 5454... 1 .(2 0, 5454...)


10 =10 +


1 1 1 14


.(2 54.0, 0101...) . 2 54.


10 10 9 55


 



= + = + =


 


4. Làm tròn số
Quy ước làm tròn số


- Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta


giữ ngun bộ phận cịn lại. Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ
đi bằng các các chữ số 0.


- Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc


bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số cuối cùng của bộ phận còn lại. Trong trường
hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các các chữ số 0.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu
hạn hay số thập phân vơ hạn tuần hồn



(35)

1A. Trong hai phân số 16


250
− và


18
390



− , phân số nào viết được dưới dạng số
thập phân hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn?
Giải thích ?


1B. Trong hai phân số 105


750
− và


56
735


, phân số nào viết được dưới dạng số
thập phân hữu hạn, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vơ hạn tuần
hồn? Giải thích?


Dạng 2. Viết một tỉ số hoặc một phân số dưới dạng số thập phân


Phương pháp giải: Để viết môt tỉ số hoăc môt phân số a


b dưới dạng số thập


phân ta làm phép chia a: b.


2A.Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn:


63 6 13 33 4


; ; ; ;



40 11 45 90 13.


2B.Viết các số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vơ hạn tuần hồn:


608 3 90 20 4


; ; ; ;


125 22 33 3 7.


Dạng 3. Viết số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vơ hạn tuần hồn
dưới dạng phân số tối giản.


Phương pháp giải: Ta sử dụng mục 3 phần lí thuyết để biến đổi đưa số thập
phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hồn dưới dạng phân số tốì giản.


3A. Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:


a) -0,25; b) 0,36; c) 0,76; d) -2,245
3B.Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:


a) -0,6; b) 0,68; c) 12,34; d) -0,245.


4A. Viết các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số tối giản:
a) 0,2(28); b) 1,363636…;


c) 0,441(6); d) - 2.636363.


4B. Viết các số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số tối giản:
a) 5,(3); b) 1,4222222...;



c) 1,(09); d) -6,(63).
5A. Tính:


a) 0,1(6) + l,(3); b) 1,(3) + 0,1(2).2 8


11.


5B. Tính:


a) 0,(6) + 1,(6); b) 3,(6) + l,(36).21


5.


Dạng 4. Làm tròn số


Phương pháp giải:Sử dụng quy ước làm tròn số


- Trường hợp 1: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi nhỏ hơn 5 thì ta



(36)

- Trường hợp 2: Nếu chữ số đầu tiên trong các chữ số bị bỏ đi lớn hơn hoặc
bằng 5 thì ta cộng thêm 1 vào chữ số đầu tiên của bộ phận còn lại. Trong trường hợp
số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các các chữ số 0.


6A.a) Làm tròn chục các số sau đây:


i) 146 ii) 83; iii) 47.
b) Làm tròn các số sau đến chữ số thập phân thứ hai:
i) 1,235; ii) 3,046(8); iii) 99,9999.



c) Cho biết π = 3,141592653589793238462 . Hãy làm tròn số π đến chữ số
thập phân;


i) Thứ hai; ii) Thứ tư; iii) Thứ mười bảy.
6B. a) Làm tròn các số sau đến chữ số hàng trăm:


i) 12345; ii) 124995; iii) 523
b) Làm tròn các số sau đến chữ số đến hàng phần nghìn:


i) 1,235; ii) 14,012(6); iii) 7,7338.


c) Cho biết 3=1,732050808. Hãy làm tròn số π đến chữ số thập phân:
i) Thứ nhất; ii) Thứ hai; iii) Thứ sáu.


III. BÀI TẬP VỂ NHÀ


7. Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô
hạn tuần hoàn:


2 4 3 15 81 45 1 39


; ; ; ; ; ;5 ;


15 7 50 36 125 72 25 70


− −


.


8.Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:


4,2; 7,16; 3,(18); 0,5(3); 0,135; 6,7(2).


9. So sánh các cặp số sau:


a) 2,191 và 2,19; b) 5,121 và 5,(12);
c) -4,634 và -4,6(34); d) 0,0101 và 0,(01).


10. Một số sau khi làm tròn đến hàng nghìn cho kết quả là 42000. Số đó có thể
lớn nhất bao nhiêu? Nhỏ nhất bao nhiêu?


11. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là 10,34m và chiều rộng là
5,7m. Tính chu vi và diện tích mảnh vườn (làm trịn đến hàng đơn vị)


HƯỚNG DẪN
1A. 16 8 38


250 125 5


− −


= =


− . Mẫu khơng có ước ngun tố khác 2 và 5 nên phân số
được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn.


18 3 3


390 65 5.13


− −



= =


− . Mẫu có ước nguyên tố là 13 nên phân số được viết dưới dạng
số thập phân vô hạn tuần hoàn


1B.Tương tự 1A. Hai lần lượt được viets dưới dạng hưuc hạn và vơ hạn tuần hồn
2A.63 1, 575; 6 0, (54);13 0, 2(8);33 0.3(6); 4 0, (307692)


40 = 11= 45= 90= 13=


2B.Tương tự 2A.


608 3 90 20 4


4,864; 0,1(36); 2, (72); 6, (6); 0, (571428)



(37)

3A. a) - 0,25 = 25 1


100 4


=


; b) 0,36 = 36 9


100=25


Tương tự c) 19


25; d)



-449
200


3B.Tương tự 3A
a) 3


5


− b) 17


25 c)


617


50 d)


49
200

4A.


a ) 0,02(28) = 0,02 +0, (28) 1 0, (07) 1 0, (07).4 1 7 . 1 113
100 =50= 100 =50+ 100 =50+99 25= 4950


b) 1,363636…= 1 + 0,(36)= 1 + 9.0,( 09) = 1 = 9 . 4 1 4 5
99= +11=11


c) 0.441(6) = 53



120 d) 2 , 636363… =
-29
11


4B. Tương tự 3A
a) 16


3 b)


64


45 c)


12


11 d)


-73
11


5A. a) 0,1(6) + 1,93) = 1 4 3


6+ =3 2


b) 1,(3) + 0,1(2) .2 8 4 11 30. 5
11= +3 90 11 =3


5B.Tương tự 5A . a)7


3 b)



20
3


6A. a ) i) = 146 ≈150 ii) 83 ≈80 iii) 47 ≈50


b) i) 1,235 = 1,24 ii) 3,046(8) ≈3,05 iii) 99,9999≈100,000
c) i) π ≈ 3,14 ii)π ≈ 3,1416


iii) π ≈3,14159265358979324
6B.Tương tự 6A.


7. 2 0,1(3);4 0, (571428); 3 0, 06;15 041(6)


15 7 50 36


= == − =


81 45 1 39


0, 648; 0, 625;5 1, 008; 05(571428)


125= 7 = 25= 70 =


8. 4, 2 21; 7,16 179;3(18) 35


15 25 11


= = =



0,5 ( 3) = 8 ; 0,135 27 ; 6, 7(2) 121


15 =200 = 18


9. a ) 2,191 > 2,19 b) 5,121 < 5,(12)
b) - 4,634> - 4,6(34) d) 0,0101 < 0,(01)
10. Số lớn nhất là: 42499, nhỏ nhất là 41500.


11. Chu vi ; 32m. Diện tích : 59m2


CHỦ ĐỀ 9. SỐ VƠ TỈ. KHÁI NIỆM VỂ CĂN BẬC HAI.
SỐ THỰC



(38)

Số vơ tỉ là số có thể viết dưới dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn. Tập
hợp số vơ tỉ kí hiệu là I


2. Khái niệm căn bậc hai


- Căn bậc hai của số a không âm là số x sao cho x2 = a.


- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là
a, số âm l - a


- Số 0 chi có một căn bậc hai là chính nó.
- Số âm khơng có căn bậc hai.


3. Số thực


Số hữu tỉ và số vô tỉ gọi chung là số thực. Tập hợp các số thực được kí hiệu là
R . Ta có: N ⊂ Z ⊂Q ⊂R



II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Nhận biết mối quan hệ giữa các tập hợp số


Phương pháp giải: Để nhận biết mối quan hệ giữa các tập hợp số cần phải:
- Nắm vững kí hiệu các tập hợp số;


- Nắm vững mối quan hệ giữa các tập hợp số đã học N⊂Z⊂Q⊂R
1A.Điền dấu ∈ ∉; ;⊂ vào ô trống:


- 3 Q 2


3


I 2 R 51
5


− Z
16 N - 16 N Q R Z Q R
1B.Điền dấu ∈ ∉; ;⊂ vào ô trống:


4 Q 4 I 4 R -3,27 Q
0,3(19) I N Z I R


Dạng 2. Tìm căn bậc hai của một số cho trước và tìm một số biết căn bậc
hai của nó


Phương pháp giải:Để tìm căn bậc hai của một số cho trước ta cần:
- Sử dụng định nghĩa căn bậc hai.



- Chú ý: Số dương có hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số âm khơng có căn
bậc hai.


Khi viết a ta phải có a ≥ 0 và a ≥ 0.


- Để tìm một số biết căn bậc hai của nó ta chú ý:
Nếu x = a (a ≥ 0) thì x = a2.


2A. Tìm các căn bậc hai của 3; 16.
2B. Tìm các căn bậc hai của 5; 25.
3A. Điền số thích hợp vào ô trống:


a) = 7 b) 169 = ;
c)

2 = 14 d)


2


2
5
 
 
  =
3B.Điền số thích hợp vào ơ trống:


a) = 8 b) 144 = ;
c)

2 = 16 d)


2




(39)

Dạng 3. Thực hiện phép tính


Phương pháp giải: Thực hiện đúng thứ tự phép tính, chú ý sử dụng tính chất
các phép tính để tính hợp lí


4A. Tính:


a) 3. 16 4. 1
4


A= − b) 5 9 4 0, 36 6 0, 09
16


B= − + − .


4B. Tính:


a) 3 25 3 1
9


C= − ; b) 4 4 3 0,16 2 0, 04.
25


D= − + −


Dạng 4. Tìm x


Phương pháp giải: Ta sử dụng tính chất
Với a ≥ 0 thì x2



= a  x a


x a


 =


= −



5A. Tìm x, biết:


a) x - 4 x = 0 b) 3 1 3 1.
5 x−20 − =4 5


5B. Tìm x, biết:


a) x - 5 x = 0 b) 13 1 2 1.
5 x−30 − =3 6


Dạng 5. So sánh hai số thực


Phương pháp giải:Với a ≥ 0; b ≥ 0, ta có:
* a = b  a = b


* a < b  a < b


6A. So sánh các số thực sau:


a) 25.4 và 25. 4; b) 0, 5 và 0,7.



6B. So sánh các số thực sau:


a) 9.16 và 9. 16 ; b) 3 7 và 8.


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Tính:


a) 36 − 1, 21 − 144 0, 0001


b) 1. 0,81 0, 09


9 +


2 16 1


16 2 : 2


5 25 16


 


+


 


 


  .



8. So sánh:


a) 15 và 4 b) 26 và 2 6


9.Tìm x, biết:


a) 4x2 - 1 = 0 b) 2x2 + 0,82 = 1
c) 5 1 1


12 x− =6 3 d) ( x− =1 5)(x−6 x)=0


10*. Cho 1 ; 4


10 2


A B


x x


= =


+ −



(40)

HƯỚNG DẪN
1A. Điền dấu ∈ ∉ ⊂; ; vào ơ trống ta có kết quả sau:


- 3 ∈; - 2


3∉ 2 ∈ -5



1
5∉


16∈ 16∉  ⊂   ⊂ ⊂


1B .Tương tự 1A


2A. Căn bậc hai của 3 là ± 3; căn bậc hai của 16 là ±4.


2B. Tương tự 2A


3A. a) 49=7 b) 169=13


c) 2


14 =14 d)


2


2 2


5 5


  =
 
 


3B. Tương tự 3A


4A . a) 10 ; b) B = 63



20


.
4B. Tương tự 4A


a) C = 14 b) D= 4


5




5A . a) Từ đề bai ta có x.( x−4)=0 suy ra x = 0 hoặc x- 4 = 0.Từ đó tìm
được x ∈ { 0 ; 16}


b) Từ đề bài ta có 3 1 19
5 x−20 = 20


TH1: 3 1 19


5 x−20= 20 , tìm được x =
25


9


TH2: 3 1 19


5 x−20= 20, tìm được x =
3


2


< 0 ( KTM)
Vậy x = 25


9


5B . Tương tự 5A



(41)

6B. Tương tự 6A


7. 36= −6; 1, 21 1,1;= − 144= −12; 0, 0001=0, 01


b) 1. 0,81 0, 09 0, 6; 2 16 2 16 : 2 1 32


9 5 25 16 5


 


+ = + =


 


8. a) 15<4 b) 26>2 6


9. a) 1


2



x= ± b) 3


10
x= ±


c) 36


25


x= d) x= 0 ; x = 36


10*. a) Tìm GTLN của A = 1


10 khi x = 0;


b) Tìm GTLN của b = 2 khi x = 0


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 10. ÔN TẬP CHUYỀN ĐỀ I
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT



Xem lại Tóm tắt lý thuyếtcác bài từ Bài 1 đến Bài 9 của chương này.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
1A. So sánh các số thực sau:


a) 19


13 và
87


65; b)


2
2


3



(42)

a) 5


17 và
11


34; b) - 0,22(23) và -0,2223.


2A.Thực hiện phép tính:


a) 0, 3 4 .1 3 1. 2 3


5 2 4 2 9



+− +


   


   ; b)

(

)



3


1 2


0, 016 (5) .


16 1


4


− − .


2B.Thực hiện phép tính


a) 0, 4 3 .5 3 1. 4 3


5 8 4 2 5


+− +


   


   ; b)

(

)




3


1 2


1, 25 ( 4) .


25 16


− − .


3A. Tìm x, biết:


a) 8 4 5 .12


5x 3x 16 5


 


− = −


  ; b)


2


2 1 4


3x 5 9


=



 


  ;


3B. Tìm x, biết:


a) 2 1 7 .12


3x 2x 12 5


 


− = −


  ; b)


2


1 3 9


5 2x 4


=
 
  ;
c)
3
4



1, 25 125


5x
= −


 


  ; d) 2


x


+ 2x+4 = 544.
4A.Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:


a) 7 13


4 5


A= − +x ; b) | 5 | 3


4
B= − + +x x .
4B.Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau


a) 1 4 12


3 3


C= x+ + ; b) | 6 | 5
4


D= − + +x x .
5A. Tìm x, y, z biết:


a)


5 3
x y


= và x - y = 20;
b)


5 3 6


x = =y z


và x - y + 2z = 16;
a)


3 2


x = y


; 7x= 5z và 4x - 3y -2z = -24.
5B. Tìm x, y, z biết:


a)


4 7


x = y



và x - y = -15;
b)


4 2 7


x y z


= = và x - 4y + z = 21;
a)


3 5


x y


= ; 3x= 4z và 4x - 3y -2z = -24



(43)

6B.Ba tổ học sinh trồng được tổng cộng 179 cây xung quanh vườn trường. Số
cây tổ I trồng so với số cây tổ II trồng bằng 6:11, so với số cây tổ III trồng bằng
7:10. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. Thực hiện phép tính:


a) (9.0, 08 0, 7.0, 08) 9.12, 5 0, 7.121 9, 49
2


 


+ +



  ;


b)


5 3 3


4 3 4


16 1 2 .5 10 1


1, 5 4 .0, (3) . .


25 3 3.2 .5 5 3


 + 


− − + 




  .


8. Tìm x biết:


a) 3 4, 5 4 3


4x− +5x= ; b) |3x - 2| = | 2x - 3|;


c) (x2 - 4) x = 0; d)



2


1 16


4


3x 25


=


 


  .


9. Tìm x, y, z biết: ;
2 3 5 4
x = y y = z


và x + y - z = 26.


10. Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng nộp kế hoạch nhỏ. Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C
theo thứ tự nộp 2kg, 3kg, 4kg. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh biết số kg giấy thu
được của ba lớp là như nhau và tổng số học sinh 3 lớp là 130 học sinh.


11. Cho số hữu tỉ x 2a 1
a





= (a ≠ 0). Với giá trị nào của a thì x đều là số nguyên.
12. Cho b,d ∈ N*. Chứng minh nếu a c


b < d thì


a a c c
b b d d


+
< <


+ .


HƯỚNG DẪN
1A. a) 19 87


13>65 b) - 2
2


3 > - 2,67


1B. Tương tự 1A a) 5 11


17 <34 b) - 0,22( 23) < -0,2223


2A. a) - 143


90 b) 2.


2B. Tương tự 2A a) -49



40 b) 8.


3A. a) x = 105


64 b) x=


13 7


;


10 x= −10


3B. Tương tự 3A
a) x = -49


10 b)


13 17
;
15 15
x∈ −


 


c) x= 125


16 d) x = 5


4A. GTNN A là 13



5 khi x =
7


4; GTNN B là
23


4 khi
-3


5
4≤ ≤x


4B. Tương tự 4A.
GNTT C là 12


3 khi x= -12 ; GTNN D là
29


4 khi
-5



(44)

5A. a) x = 50 ; y= 30 b) 40; 24; 48


7 7 7


x= y= z=


c) x= 30 ; y = 20; z = 42
5B. Tương tự 4A.


a) x = 20 ; y= 35


b) x = 28 ; y= 14 ; z = 49
c ) 48; 16; 36


5 5


x= y= z=


6A.Số cây tổ I, tổ II, tổ III trồng được lần lượt là: 42; 70; 48 cây.
6B. Số cây tổ I, tổ II, tổ III trồng được lần lượt là: 42; 77; 60 cây.


7. a) 90 b) 271


1290


8. a) x= 150


31 b) x∈ ±{ 1}


c) x∈{0;2} d) 72 48;
5 5
x∈  


 


9. x = 20 ; y = 30 ; z = 24


10. Số học sinh 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là: 60; 40; 30 học sinh
11. x 2a 1 a 1



a a


= = − . Để x là số nguyên thì 1a=> = ±a { 1}


12. Ta có; a c


b <d => ad < bc => ad + cd < bc + cd => d (a +c) < c ( b +d)
=> a c c


b d d
+


<


+ (1)


Ta có: ad < bc => ad + ab < bc + ab => a ( b+d) < b ( a +c)
=> a a c


b b d
+
<


+ (2) Từ (1) và (2) suy ra:


a a c c
b b d d



+
< <


+



(45)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ I


Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút



ĐỀ SỐ 1
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:


Câu 1.So sánh hai số hữu tỉ x = 2


5


và y = 1


3


− ,ta có:



(46)

Câu 2.Kết quả của phép tính 1 3


4 8




− là:
A. 5


8


; B. 1



8


; C. 1


3


; D.1


8.


Câu 3. Giá tri của x thỏa mãn x - 1 3


5=10 là:


A. 1


10; B.


4


15; C.


1


2; D.


2


15


.
Câu 4.Giá trị của x trong đẳng thức 1 5 0


2− − =4 x là:


A. 7


4 và
3


4; B.


7
4

 
  và


3
4;


C. 7


4 và
3
4


 


 ; D.


7
4

 
  và


3
4

 
 .
Câu 5. Căn bậc hai của 16 là:


A. 4; B. - 4;
C. 4 và - 4; D. 196.


Câu 6.Trong các cặp tỉ lệ sau, cặp tỉ số nào lập thành một tỉ lệ thức?
A. 3: 4 và 8 : 6; B. 0,8 ; 2 và 6


5: 3;


C. 0,75:5 và 2


3: 2; D.
2



5: 6 và
4
5: 14.


Câu 7.Giá trị của x thỏa mãn tỉ lệ thức: 3


16 8


x


= là:


A. 6; B.-6; C. 2; D. 3.
Câu 8.Giá trị của x;y thỏa mãn tỉ lệ thức: 2 1 7


16 8


xy+


= và 2x - y = 16 là:


A. 17


2


x= và y =1; B. 15


2


x= và y = 15;


C. 47


2


x= − và y = -31; D. 1


2


x= và y= -15.
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1.Thực hiện các phép tính sau theo cách hợp lí nhất có thể:
a) 4 5 4 0, 5 5 19


16+23+ −16+23; b) (0,125).(- 4,7).(-2)
3


;
c) 121 4: 41: 4


4 3 4 3


 
+


 ; d) 0,16− 0,81+ 0, 64.


Bài 2. Tìm x; y; z thỏa mãn:


a) x: (- 4,2) = (1,25):(0,25);


b) 2 + |1-2x| = 5;


c)


5 3 4


x= =y z


và x - 2y + z = 6;
d)


2 3 4


x y z



(47)

Bài 3. Tổng số học sinh ba lớp 7 là 7A, 7B, 7C là 133 em, biết rằng số học
sinh 7A, 7B, 7C lần lượt tỉ lệ với 2 3 4


: :


3 4 5. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh.


HƯỚNG DẪN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Câu 1. B. Câu 5. C.


Câu 2. D. Câu 6. B.
Câu 3. c. Câu 7. A.
Câu 4. A. Câu 8. A.
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)



Bài 1. a) 45 4 0, 5 5 19 45 5 4 19 0, 5 5, 5
6+23= −16+23= 6−16+23+23+ =


b) ( 0,125). ( -4,7) .(-2)8 = (0,125) . (-2)3 . ( -4,7)
= (0,125) . ( -8) . (-4,7) = (-1) (-4,7)= 4,7


c) 121 4: 41: 4 121 4: 41: 4


4 3 4 3 4 3 4 3


   


+ = −  


   


= 121 41 : 4 83 6


4 4 3 4


 = =


   


   


d) 0,16− 0,81+ 0, 64 = 0,4 - 0,9 = 0,8 = 0,3


Bài 2. a) x : ( -4.2) = (1,250 : ( 0,25) => (1, 25) 5


( 4, 2) (0, 25)


x


= =




=> x = (-4,2).5 = -21


b) 2 + |1 - 2x| = 5 => | 1 - 2x | = 5- 2= 3


Trường hợp 1: 1 - 2x = 3 => 2x = 1 - 3 = -2 => x = -1
Trường hợp 2: 1 - 2x = -3 => 2x = 1 - (-3) = 4 => x = 2
c)


5 3 4


x y z


= = và x - 2y + z = 6


ta có 2 2 6 2


5 3 4 5 6 4 5 6 4 3


x= = => =y z x y = =z xy+z = =
− =


vậy x = 2.5 = 10; y= 2.3= 6; z = 2.4= 8


d) Ta có :


2 2 2 2 2 2


2 3 4 2 3 4 4 9 16


x y z  x  y  z x y z
= = =>  =  =  = = =


     
=>


2 2 2 2 2 2 2 2 2


2 2 8


4


4 9 16 4 18 16 4 18 16 2


x y z x y z xy +z


= = = = = = = =


− +


=> x = 4 ; y = 6 ; z = 8 hoặc x = -4; y = -6; z= -8


Bài 3.Cách 1: Gọi số học sinh của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x; y ; z
Với x; y; z ∈ *



 . Ta có x = y + z = 133


Số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt tỉ lệ với 2 3 4
: :
3 4 5


 x : y : z = 2 3 4: :
3 4 5 =


60.2 60.3 60.4


: : 40 : 45 : 48



(48)

 133


40 45 48 40 45 48 133


x = y = z = x+ +y z =


+ = = 1 => x = 40; y = 45; z = 48
Vaayjsoos học sinh 3 lớp 7A, 7B, 7C làn lượt tỉ lệ 2 3 4


; ;
3 4 5


=> 133 60


2 3 4 2 3 4 133



3 4 5 3 4 5 60


x y z x+ +y z


= = = = =


+ +


Tìm được x = 40; y= 45; z= 48



(49)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


...
...


ĐỀ SỐ 2
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:


Câu 1.So sánh hai số hữu tỉ 2


7


x= − và 1
4
y=


− , ta có:



(50)

Câu 2.Kết quả của phép tính 1 3


2 4




− là:
A. 5


4





B. 5


4 C.
1


4 D.


2
3


Câu 3.Giá trị của x trong phép tính 2x - 1 1


2=4 là:


A. 1


4; B.


3


8; C.


1


2; D.


3
4.



Câu 4. Giá trị của x trong đẳng thức 5 1 0


6− − =6 x


A. -1 và 2


3; B. 1 và
2
3;


C. 1 và 2


3

 


  D.


1
; 1
3 − .


Câu 5.Căn bậc hai của 9 là :


A. 3; B. -3; C. 3 và -3; D. 81.


Câu 6. Trong các cặp tỉ lệ sau, cặp tỉ số nào lập thành một tỉ lệ thức?
A. 2 :3 và 4:8; B. 0,5:2 và 5: 5


4



C. 0,8 : 6 và 2: 4


5 D.


1
: 8


5 và


2
:12
5


Câu 7.Giá trị của x thỏa mãn tỉ lệ thức 3


32 4


x =


là:
A. 8 B. 4 C. 32 D. 24
Câu 8.Giá trị của x; y thỏa mãn tỉ lệ thức 2 1 4


12 3


x+ = y


và 2x - y = 13 là:
A. x = -23



2 và y = 10; B. x =
21


2 và y = 15;


C. x = 23


2 và y = 10; D. x =
21


2 và y = -10.


PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1.Thực hiện các phép tính sau theo cách hợp lí nhất có thể:
a) 3 2 5 2, 5 2 22


14+27+ −14+27 b) (0,375).(-1,5).(-4)
2


c) 11 :5 2 1 : 5


14 7 14 7


 
+


  d) 0, 04− 0, 64+ 1, 44



Bài 2. Tìm x; y; z thỏa mãn: các đại gia cho e xin 500 bạc vào thư với (đéo
cho thì cút)


a) x: (-1,2) = (3,25): (0,15);
b) 15- |3 - 2x| = 11;


c)


3 5 4


x y z


= = và x + 3y - 2z = 20
d) 5; 1


2 3


x y


y = z = và x
2



(51)

Bài 3. Ba tổ trồng được 179 cây xung quanh trường. Số cây tổ I trổng bằng
6:11 tổ II và bằng 7:10 tổ III. Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?


HƯỚNG DẪN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Câu 1. B. Câu 5. C.
Câu 2.C Câu 6. B.
Câu 3. B. Câu 7. D.


Câu 4 C. Câu 8.C
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1. Tương tự Bài 1. Đề 1 a) 6,5; b) -9; c) -7


5 d) 0,6


Bài 2. Tương tự Bài 2. Đề 1


a) -26; b) x= - 2; x = 5; c) x = 6; y = 10; z = 8;
d) x = 10; y = 4; z = 12 hoặc x = -10; y = -4; z = -12.


Bài 3. Gọi số cây tổ I; II; III trồng lần lượt là x, y, z với x, y ,z ∈ *




Theo đề bài ta có 6 7
;


11 10 42 77 60


x x x y z


y z


= = = => = =


Và z + y + z = 179. Tìm được x = 42; y = 77 và z = 60


...


...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHUYÊN ĐỀ 2. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
CHỦ ĐỀ 1. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT



(52)

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx (với k là hằng
số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.


Chú ý:Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ


số tỉ lệ là 1
k


2.Tính chất


Nếu hai đại lượng ti lệ thuận với nhau thì:


- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:


3



1 2


1 2 3


... m
n


y y
y y


k
x = x = x = x =


- Tỉ số giữa hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số giữa hai giá trị tương
ứng của đại lượng kia.


1 1 1 1


2 2 3 3


; ;...; m m


n n


x y
x y x y


x = y x = y x = y


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



Dạng 1. Bài tốn áp dụng cơng thức đại lượng tỉ lệ thuận


Phương pháp giải: Ta dùng công thức y = kx để xác định tương quan tỉ lệ
thuận giữa hai đại lượng và xác định hệ số tỉ lệ.


1A.Hãy viết cơng thức tính:


a) Qng đường đi được S km theo thời gian t giờ của một vật chuyển động
đều với vận tôc 20 km/ giờ;


b) Chu vi của hình vng C cm theo cạnh có độ dài a cm
1B.Hãy viết cơng thức tính:


a) Qng đường đi được S m theo thời gian t giây của một vật chuyển động
đều với vận tốc 6 m/giây;


b) Khối lượng m kg theo thể tích V m3 của thanh kim loại đồng chất có khối


lượng riêng D kg / m3với D


0.


2A.Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 và y tỉ lệ thuận với x theo hệ


số tỉ lệ k2. Hỏi z có tỉ lệ thuận với x khơng? Nếu có hãy tìm hệ số tỉ lệ? Biết k1 ≠0,


k2 ≠0.


2B. Cho biết y1tỉ lệ thuận với x1 theo hệ số tỉ lệ k (k ≠ 0) và y2tỉ lệ thuận với



x2theo hệ số tỉ lệ k. Hỏi y1 - y2có tỉ lệ thuận với x1 - x2khơng? Nếu có hãy tìm hệ số


tỉ lệ?


3A. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1; x2 là hai giá trị của x và y1


,y2 là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng khi x1 - x2= 12 thì y1 - y2 = - 3.


a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với 2 và biểu diễn y theo x;
b) Tính giá trị của y khi x= -2; x = 4.


3B. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 8 thì y = 12.
a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu diễn y theo x;


b) Tính giá trị của y khi x = 2; x = -4,


Dạng 2. Dựa vào tính chất tỉ lệ thuận để tìm các đại lượng


Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận.


4A. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1 ; x2là hai giá trị của x thì y1;



(53)

a) Tính y1 và y2; b) Biểu diễn y theo x


4B. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1, x2là hai giá trị của x và y1,


y2 là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng x1 = -0,5; x2 = -1,5 thì 2y1 - 3y2 = 10,5.


a) Tính y1 và y2; b) Biểu diễn y theo x.



Dạng 3. Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ thuận


Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:


Bước 1.Xác định hệ số tỉ lệ k


Bước 2.Dùng cơng thức y = kx để tìm các giá trị tương ứng của x và y.


5A.Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và bảng sau


x -12 -3 3 6 9


y 2


a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x;
b) Điền số thích hợp vào ơ trống.


5B. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Điền số thích hợp vào ơ trống
trong bảng sau:


x - 4 -2 1


2




y 6 4 -4


a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x;


b) Điền số thích hợp vào ô trống.


6A. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hai giá trị x1, x2của x có hiệu


bằng 2 thì hai giá trị tương ứng y1, y2của y có hiệu bằng - 3.


a) Hãy biểu diễn y theo x;


b) Điền số thích hợp vào ơ trống trong bảng sau:


x - 3 -1


y 3 −32 -3


6B. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Hai giá trị x1, x2 của x có x1 -


4x2= 16 thì hai giá trị tương ứng của y có y1 - 4y2 = -64


a) Hãy biểu diễn y theo x


b) Điền số thích hợp vào ơ trống trong bảng sau:


x - 2 1 3


y 4 -8


Dạng 4. Xét tương quan tỉ lệ thuận giữa hai đại lượng khi biết bảng giá
trị tương ứng của chúng


Phương pháp giải: Ta đi xét xem tất cả thương các giá trị tương ứng của hai


đại lượng có bằng nhau hay khơng.


- Nếu thương bằng nhau thì các đại lượng tỉ lệ thuận;



(54)

V 1 2 3 4 5
m 4,2 8,4 12,6 16,8 21


m
V


a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng


b) Hai đại lượng V và m có tỉ lệ thuận với nhau khơng? Vì sao?
7B. Cho bảng sau:


x -5 -3 -2 4 6


y 10 6 -4 8 -12


Hai đại lượng x và y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ thuận
khơng? Vì sao?


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


8. Cho biết y tỉ lê thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 3


4


− . Hỏi x tỉ lệ thuận với y
theo hệ số tỉ lệ nào ?



9. Cho biết x tỉ lệ thuận với y theo tỉ lệ 2


5


− và y tỉ lệ thuận với z theo tỉ lệ 1
4.


Tìm x khi z = 5; z = -1


5 ; z = 30?


10. Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a. Biết rằng x =
-6 thì y = 2, hãy tìm cơng thức biểu diễn y theo x và tìm x biết y = - 4.


11. Cho đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a. Biết x = -10
thì y = 15, hãy tìm cơng thức biểu diễn y theo x và tìm x biết y = -2019.


12. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x1 -x2 = 15 thì


y1 -y2 = 5.


a) Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x và biểu diễn y theo x;
b) Tính giá trị của y khi x = 6; x = -24.


13. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Khi các giá trị x1, x2của x có tổng


bằng 2 thì hai giá trị tương ứng y1; y2có tổng bằng -14. Hãy biểu diễn y theo x.


14. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Gọi x1; x2 là hai giá trị của x; gọi



y1;y2 là hai giá trị tương ứng của y. Biết 3x1 - 2x2 = 14,4 thì 3y1 - 2y2 = -3,6, hãy biểu


diễn y theo x.


15. Các giá trị tương ứng của t và S được cho trong bảng sau:


t 1 2 3 4 5.


S 40 80 120 160 200


S
t


a ) Điền số thích hợp vào ơ trống trong bảng;



(55)

HƯỚNG DẪN


1A. a) S= 20t b) C = 4a
1B.Tương tự 1A a) S= 20t b) m = V.D
2A.Ta có z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k1 nên z = k1y (1)


Ta có y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k2 nên y = k2x ( 2)


Từ (1) và (2) suy ra z = (k1k2) x


Vậy z tỉ lệ thuận với x1 - x2theo hệ số tỉ lệ k


2B. y1 - y2tỉ lệ thuận với x1 - x2theo hệ số tỉ lệ k



3A. a) Ta có y1 - y2 = kx1 - kx2 = k(x1 - x2)


Từ x1 - x2 = 12 và y1 - y2 = -3 tìm được k =
-1


4. Vậy y =
-1
4x.


b) ta có khi x = -2 thì y = 1


2; khi x = 4 thì y = -1


3B.Tương tự 3A


a) Tìm được y = 3


2x


b) Khi x = 2 thì y = 3; khi x = -4 thì y = -6
4A.a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên 1 2


1 2


y y
x = x


Áp dụng tính chất dãy Tỉ số bằng nhau có: 1 2 1 2 7 1


4 10 4 ( 10) 14 2



y y yy


= = = =


− − −


=> y1 = 2 , y2 = -5


b) y = 1


2x


4B.Tương tự 4A. a) y1 = 1,5; y2 = 4,5 b) y= -3x


5A.Do x và y là hai địa lượng tỉ lệ thuận nên y = kx với k ≠0 => k = y


x


Theo đề bài, thay x = 6; y = 2 ta suy ra k = 2 1
6 =3


b) k = 1


3 => y =
1


3x. Ta có kết quả trong bảng sau


x -12 -3 3 6 9



y -4 -1 1 2 3


5B. Tương tự 5A a) Tìm được k = -2 b) HS tự làm
6A.a) Vì x và y là hai địa lượng tỉ lệ thuận nên 1 2


1 2


y y
x = x


Áp dụng tính chất dãy TSBN ta được 1 2 1 2


1 2 1 2


3
2
y y y y
x x x x


= = = −



Vậy y = 3



(56)

b) Ta có kết quả trong bảng sau


x -3 -2 -1 1 2



y 9


2


3 3


2


3
2


− -3


6B. Tương tự 6A a) y = -4x ; b) HS tự làm
7A. a) Các ô trống đều được điền số 4, 2.


b) V và m là hai địa lượng tỉ lệ thuận vì m = 4,2V


7B. Tương tự 7A x và y không phải là hai địa lượng tỉ lệ thuận
8.x tỉ lệ thuận với y teo hệ số tỉ lệ 4


3

9.Tương tự 2A . Tìm được x = - 1


10z


Khi z= 5 thì x = -1


2; khi z = -


1


5 thì x=
1
50.


Khi z = 30 thì x = -3


10. Khi y = - 4 ta tìm được x = 12
11. Tương tự 3B. Tìm được y = -3


2. Khi y = - 2019 thì x = 1346


12. Tương tự 3A.
a) y = -1


3x b) Khi x = 6 thì y = -2; khi x = - 24 thì y = 8


13. Tương tự 3B. y = -7x .
14. Tương tự 6A. y = - 1


4x


15. Tương tự 7A. a)HS tự làm. b) S= 40t



(57)

...
...
...
...
...


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 2. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỂ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT


Xem lại phần Tóm tắt lý thuyếttrong Bài 1 của Chương này.


- Ta thường gặp hai bài toán cơ bản sau đây về đại lượng tỉ lệ thuận:


Bài toán 1. Toán về đại lượng tỉ lệ thuận.


Bài toán 2.Chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Toán về đại lượng tỉ lệ thuận




(58)

Bước 1.Xác định tương quan, tỉ lệ thuận giữa các đại lượng;


Bước 2. Áp dụng tính chất về tỉ số các giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận.


1A.Cho biết 2m dây thép nặng 50 g.


a) Giả sử x mét dây thép nặng y gam. Hãy biểu diễn y theo x;
b) Cuộn dây thép nặng 10 kg thì dài bao nhiêu mét?


1B.Cho biết 1 tấn nước biển chứa 25 (kg) muối.


a) Giả sử x tấn nước biển chứa y(kg) muối. Hãy biểu diễn y theo x;
b) Hỏi 200g nước biển chứa bao nhiêu gam muối?


2A. Dùng 12 máy thì tiêu thụ hết 100 lít xăng. Hỏi dùng 15 máy (cùng loại)
thì tiêu thụ hết bao nhiêu lít xăng?


2B. Một công nhân may trong 5 giờ được 20 cái áo. Biết năng suất làm việc
không đổi, hỏi trong 12 giờ người đó may được bao nhiêu cái áo?


Dạng 2. Chia một số thành những phần tỉ lệ thuận với các số cho trước


Phương pháp giải:Giả sử chia số S thành các phần x, y, z, t... tỉ lệ với các số
a, b, c, d...


Khi đó: ... ...


... ....


x y z t x y z t S


a b c d a b c d a b c d


+ + =


= = = = =


+ + + + + +


. . .


; ;


... ... ...


a S b S c S


x y z


a b c d a b c d a b c d


= = =


+ + + + + + + + +


3A. Hai thanh kim loại nhơm và sắt có thể tích bằng nhau, khối lượng riêng
của chúng lần lượt là 2,7g/ cm3


và 7,8g / cm3. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam.
Biết rằng tổng khối lượng của chúng là 1050g.



3B. Chu vi của một tam giác là 34 m. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
rằng chúng tỉ lệ với 4; 5; 8.


4A. Diện tích rừng trên thế giới bị chặt phá vào các năm 2002, 2007 và 2012
lần lượt tỉ lệ với 8; 9 và 10. Tính diện tích rừng bị chặt phá vào các năm đó biết rằng
tổng của diện tích rừng bị chặt phá vào các năm đó là 54 triệu ha.


4B.Ba đơn vị cùng vận chuyển 800 tấn hàng. Đơn vị A có 10 xe trọng tải mỗi
xe là 5 tấn; Đơn vị B có 20 xe trọng tải mỗi xe là 4 tấn; Đơn vị C có 14 xe trọng tải
mỗi xe là 5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị vận chuyển được bao nhiêu tấn hàng biết mỗi xe đều
chở một số chuyến như nhau?


5A.Tìm ba số x; y; z biết rằng chúng tỉ lệ với 4; 5; 7 và z - y = 4.


5B.Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi của trường phân
bố ở các khối 6; 7; 8; 9 tỉ lệ với 1,4 ; 1,2; 1,3 và 1,5. Hỏi số học sinh giỏi của mỗi
khối, biết rằng khối 9 nhiều hơn khối 8 là 6 học sinh


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


6. Cứ 100 kg thóc thì cho 70 kg gạo. Hỏi 2 tấn thóc thì cho bao nhiêu kilogam gạo?
7. Trên chiếc đồng hồ khi kim giờ quay được một vịng thì kim phút, kim giây
quay được bai nhiêu vòng?



(59)

9. Hai đơn vị vận tải cùng hợp đồng chuyên chở hàng hóa. Mỗi xe của các đơn
vị cùng được điều động chở một số chuyến như nhau và khối lượng mỗi chuyến
chuyên chở bằng nhau. Cho biết đơn vị 1 có 13 xe, đơn vị 2 có 16 xe và đơn vị 2 vận
chuyển được nhiều hơn đơn vị 1 là 36 tấn hàng. Hỏi mỗi đơn vị chở được bao nhiêu
tấn hàng?



10. Chu vi của một tam giác là 36 m. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
rằng chúng tỉ lệ với 3; 4; 5.


11.Học sinh của ba lớp 7 cần phải trồng và chăm sóc 50 cây xanh. Lớp 7 A có
45 học sinh, lớp 7B có 54 học sinh, lóp 7C có 51 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng
và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết rằng số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh?


12. Chia số 106 thành ba phần tỉ lệ với 3;11


5 4 và 0,8.


13*.Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đưòng cho ba
tổ theo tỉ lệ 5:6:7. Nhưng sau đó, vì số người thay đổi nên số mét đường đã chia lại
theo tỉ lệ 4:5:6. Do đó có một tổ làm ít hơn dự định 10 m đường. Tính số mét đường
chia lại cho mỗi tổ.


HƯỚNG DẪN
1A. a) Ta có y= kx với k ≠ 0.


Ta có x = 2; y = 50; nên tìm được k = 25. Vậy y = 25x.
b) Từ y = 25x => x = 1


25y. Khi y = 10 kg => x = 400 m.


1B.Tương tự 1A. a) y = 25x. b) 5 gam muối
2A. Số lít xăng khi dùng 15 máy là x= 100


12 .15= 125 lít.


2B.Tương tự 2A. Số áo may trong 12 giờ là 48 cái áo.


3A. Gọi khối lượng hai thanh kim loại là m1 và m2 (gam)


( *


1; 2


m m ∈ ). Theo đề bài ta có 1 2


2, 7 7,8
m = m


và m1 + m2 = 1050.


Áp dụng tính chất DTSBN có:


1 2 1 2 1050


2, 7 7,8 2, 7 7,8 2, 7 7,8
m m m +m


= = =


+ + = 100


Tìm được m1 = 270 g; m2 = 780 g.


3B.Tương tự 3A.


Độ dài các cạnh tam giác lần lượt là 8; 10; 16 (m).



4A.Gọi diện tích rừng bị chặt phá vào các năm 2002, 2007, 2012 lần lượt là x,
y, z (ha) (x, y, z > 0).


Ta có:


8 9 10


x = =y z


và x = y + z = 54
Tìm được x = 16; y = 18; 2 = 20.
4B.Tương tự 4A.



(60)

5A. Ta có: z - y = 4 và


4 5 7


x = =y z. Tìm đươc x = 8;y = 10; z = 14.


5B.Số HS các khối 6; 7; 8; 9 lần lượt là 42; 36; 39; 45.
6. Tương tự 1A.Đáp số 1400 (kg).


7. Kim phút quay 12 vòng. Kim giây quay 12.60 = 720 vòng.
8.Tương tự 1A. Đáp số 160 000 (kg).


9.Tương tự 3A.Đáp số 156 và 192 tấn.


10. Tương tự 3B. Độ dài các cạnh là 9; 12; 15 m.
11. Tương tự 3B



Số cây các lớp chăm sóc lần lượt là 15; 18; 17 cây.
12. Đáp số 24; 50; 32.


13*.Gọi số mét đường cả ba tổ phải làm là A(m), số mét đường của ba tổ theo
dự định là x1, y1, z1và chia lại là x2, y2, z2.


Theo đề bài ta có: 1 1 1 1 1 1


5 6 7 5 6 7 18


x y z x + +y z A


= = = =


+ +


Suy ra 1 1 1


5 6 7


; ;


18 18 3 18


A A A A
x = y = = z = (1)


2 2 2 2 2 2 1 1 1 30 30


4 5 6 4 5 6 15 15



x y z x +y +z x + + −y z A


= = = = =


+ +


Suy ra 2 2 2


4 120 5 150 6 180


; ;


15 15 15


A A A


x = − y = − z = − (2)
Theo đề có x1 - x2 = 10 =>


5 4 120


18 15


A A


− = 10 => A = 180.
Vậy x2 = 40; y2 = 50; z2 = 60



(61)

...


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 3. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Định nghĩa


Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a


x hay xy = a với a


là một hằng số khác 0 thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a


2. Tính chất


Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:



(62)

x1.y1 = x2.y2 =... = a.


- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị
tương ứng của đại lượng kia:


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN


Dạng 1. Bài tốn áp dụng cơng thức đại lượng tỉ lệ nghịch


Phương pháp giải: Dùng công thức y =a


x để xác định tương quan tỉ lệ nghịch


giữa hai đại lượng và xác định hệ số tỉ lệ.


1A. a) Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ - 2. Hỏi x tỉ lệ nghịch với y
theo hệ số tỉ lệ nào?


b) Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a (a ≠ 0). Hỏi x tỉ lệ nghịch với


y theo hệ số tỉ lệ nào?


1B. Cho ba đại lượng x, y, z. Hãy tìm mối tương quan giữa các đại lượng x
và z, biết:


a) x và y tỉ lệ nghịch vói nhau theo hệ số a, cịn y và z tỉ lệ nghịch với nhau


theo hệ số b;


b) x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số c, còn y và z tỉ lệ thuận với nhau
theo hệ số d;


2A.Xác định đại lượng đã cho trong mỗi câu sau có phải là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch với nhau khơng? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ?


a) Chiều dài x và chiều rộng y của hình chữ nhật có diện tích bằng a với a là
hằng số cho trước;


b) Vận tốc v và thời gian t khi đi trên cùng quãng đường S;
c) Diện tích S và bán kính R của hình trịn;


d) Năng suất lao động n và thời gian thực hiện t để làm xong một lượng công
việc a.


2B. a) Cho biết một đội dùng x máy cày (cùng năng suất) để cày xong một
cánh đồng hết y giờ. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay khơng?


b) Cho biết x là số trang đã đọc còn y là số trang chưa đọc của một quyển
sách. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không?


c) Cho biết x (m) là chu vi của bánh xe, y là số vòng quay của bánh xe trên đoạn
đường xe lăn từ A đến B. Hai đại lượng x và y có tỉ lệ nghịch với nhau hay không?


3A. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 4 thì y = 8, hãy:
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x;


b) Biểu diễn y theo x.



c) Tính giá trị của y khi x = 8; x = -2.


3B.Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 6 thì y = 15, hãy:
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x.


b) Biểu diễn y theo x.


c) Tính giá trị của y khi x = 3; x = -45


Dạng 2. Dựa vào tính chất tỉ lệ nghịch để tìm các đại lượng



(63)

x1.y1 = x2.y2 =... = a. 1 2 1 3


2 1 3 2


; y ;....


x y x
x = y x = y


4A. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1;x2là hai giá trị của x và y1
- y2 = 5là hai giá trị tương ứng của y. Biết x1 = -10, x2=15, y1 - y2 = 5, hãy


a ) Tính y1 ; y2; b) Biểu diễn y theo x


4B. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1; x2 là hai giá trị của x và


y1; y2là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng



x1 -2x2 = 8 và y1 =5; y2 =15, hãy:


a) Tính x1; x2; b) Biểu diễn y theo x.


Dạng 3. Lập bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng tỉ lệ nghịch


Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước sau:


Bước 1.Xác định hệ số tỉ lệ a.


Bước 2.Dùng công thức x.y = a tìm các giá trị tương ứng của x và y.


5A. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và bảng sau:


x -1 - 2 1 2 4


y 2


a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x
b) Điền số thích hợp vào ô trống


5B.Cho biết y tỉ lệ nghịch so với x theo hệ số tỉ lệ là -1


4


a) Hãy biểu diễn y theo x


b) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:


x - 2 -1 1



y 161 -1


2


Dạng 4. Xét tương quan tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng khi biết bảng giá
trị tương ứng của chúng


Phương pháp giải: Ta xét xem tất cả tích các giá trị tương ứng của hai đại
lượng có bằng nhau hay khơng:


- Nếu tích bằng nhau thì các đại lượng tỉ lệ nghịch.


- Nếu tích khơng bằng nhau thì các đại lượng không tỉ lệ nghịch.
6A.Cho bảng sau:


x -8 - 6 -2 6 4


y 6 8 24 -8 -12


Tính các giá trị x.y và cho nhận xét. Hai địa lượng x và y được cho ở trên có
phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao?


6B.Cho bảng sau:



(64)

y -3 -4 6 3 2


Hai đại lượng x.y được cho ở trên có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ?
Vì sao?



III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


7. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1;x2 là hai giá trị của x và


y1;y2là hai giá trị tương ứng của y. Biết x1= 14, x2 = 21 và y1 - y2 = 3, hãy:


a) Tính y1;y2; b) Biểu diễn y theo x.


8. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1 ;x2là hai giá trị của x và y1;y2


là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng x1 - 5x2 = -39 và y1 - 8; y2 = -12, hãy:


a) Tính. x1;x2; b) Biểu diễn y theo x.


9. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Gọi x1 ;x2là hai giá trị của x và y1;y2


là hai giá trị tương ứng của y. Biết rằng 2x1 - 3y2 = 30 và x2 = 8; y1 = 7, hãy:


a) Tính x1; y2; b) Biểu diễn y theo x.


10. Cho biết x và y là hai đại lượng tí lệ nghịch.


x -6 -3 -1 1 2


y -3


a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x.
b) Điền số thích hợp vào ô trống


11. Cho biết y tỉ lệ nghịch so với x theo hệ số tỉ lệ là -0,6.


a) Hãy biểu diễn y theo x.


b) Điền số thích hợp vào ơ trống trong bảng sau:


x -6 -3 -1 1 2


y -3


12. Cho bảng sau.


x -9 -3 -1 18 6


y 3 9 27 −32 9


2




Hai đại lượng x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng? Vì sao?


HƯỚNG DẪN


1A. a) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ -2 nên
ta có y = 2


x


suy ra x= 2



y


Vậy x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ -2.


b) Tương tự ý a) x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a.
1B. a) x tỉ lệ thuận với z theo hệ số tỉ lệa


b


b) x và z tỉ lê nghịch với nhau theo hê số tỉ lệ c



(65)

2A. a) Vì x,y = a nên x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a.
b) Vì v.t = S nên v và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ S


c) S = πR2 nên S và R không phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch
d) a= n.t nên n và t là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a.
2B. a) c) x và y tỉ lệ nghịch với nhau.


b) Chỉ có x + y là tổng số trang quyển sách là hằng số cịn x và y là khơng
phải hằng số nên hai đại lượng x và y không tỉ lệ nghịch với nhau.


3A. a) Vì x và y là hai đại lượng ti lệ nghịch nên x, y = a . Khi x = 4, y = 8 nên
tìm được a = 32.


b) Ta có y = a


x mà a = 32 nên y =
32



x


c) Khi x = 8 => y = 32


8 ; khi x = -2 => y =
32


2


− = -16.
3B. Tương tự 3A. b) y= 90


x


c) Khi x = 3 => y = 90


3 = 30; khi x = -45 => y =
90


45


− = -2.
4A. Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên


1 2


2 1


x y



x = y hay


1 2


15 10


y y
=


− . Áp dụng tính chất dãy TSBN ta có


1 2 1 2 5 1


15 10 15 ( 10) 25 5


y y yy


= = = =


− − −


Tìm được y1 = 3; y2 = -2


b) Ta có a = x1 .y1 = x2 .y2 = -30 => y =
30
x


4B.Tương tự 4A. a) x1 = 24; x2 = 8 b) Ta có y =
120



x


5A. a) Từ cột thứ 4 ta có a = 2. 2 =4


b) Với a =4 ta có kết quả trong bảng sau:


x -1 -2 1 2 4


y -4 -2 4 2 1


5B. a) y= 1


4
x


b) HS tự làm


6A. Ta thấy trong các cột tích x.y đều bằng -48 nên x và y là hai đại lượng tỉ
lệ nghịch.


6B.Tương tự 6A.


Ta thây trong các cột thứ nhất tích x.y = 12, cột thứ ba tích x.y = -12 nên x và
y không là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.


7.Tương tự 4A. a) Tìm được y1 = 9; y2 = 6 b) y=
126



x



(66)

9.Tương tự 4B.


a) Tìm được x1 = -48; y2 = -42 b) y=
336


x


10. Tương tự 5A. a) a = 3 b) HS tự làm
11. Tương tự 5B. a) y 0, 6


x


= b) HS tự làm


12. Tương tự 6A . HS tự làm
.



(67)

...
...
...
...
...
...
...
...
...


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


- Xem lại phần Tóm tắt lý thuyết trong Bài 3 của Chương này,


- Ta thường gặp hai bài toán cơ bản sau đây về đại lượng tỉ lệ thuận:


Bài toán 1.Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.


Bài toán 2.Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tốn về đại lượng tỉ lệ nghịch


Phương pháp giải: Ta thực hiện các bước sau:



(68)

Bước 2.Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng trong các đại lượng đó.


Bước 3.Áp dụng tính chất tỉ lệ nghịch và tính chất tỉ lệ thức để tìm ra kết quả.



1A.Cho biết 4 người làm cỏ một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 8 người (với cùng
năng suất như thế) làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?


1B.Cho biết ba máy cày, cày xong một cánh đồng hết 30 giờ. Hỏi 5 máy cày
như thế (cùng năng suất) cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ?


2A.Bạn Lan đi từ trường đến nhà với vận tốc 12 km/giờ hết nửa giờ.
Nếu Lan đi với vận tốc 10 km/giờ thì hết bao nhiêu thời gian?


2B.Một người chạy từ A đến B hết 20 phút. Hỏi người đó chạy từ B về A hết
bao nhiêu phút nêu vận tốc chạy về bằng 0,8 lần vận tốc chạy đi.


3A.Để truyền chuyển động quay từ một bánh xe cho một bánh xe khác, người
ta dùng một dây curoa. Nếu bánh xe lớn có đường kính 15 cm quay 40 vịng/phút thì
bánh xe nhỏ có đường kính 12 cm sẽ quay bao nhiêu vòng trong 1phút?


3B. Hai bánh xe răng cưa khớp với nhau. Bánh nhỏ có 27 răng quay 60
vòng trong 1 phút. Nếu bánh xe lớn có 36 răng thì nó quay được bao nhiêu vòng
trong 1 phút?


Dạng 2. Chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số cho trước


Phương pháp giải: Để chia một số thành những phần tỉ lệ nghịch với các số
cho trước. Ta cần lưu ý các nội dung sau:


- Giả sử chia số S thành các phần x,y,z,t... tỉ lệ nghịch với các số a,b,c,d...
Khi đó:


ax = by = cz = dt ….



hay ....


1 1 1 1


x y z t
a b c d


= = =


- Để chia các số S tỉ lệ thuận với các số a,b,c,d... (khác 0) thì ta chỉ cần chia số
S thành các phần tỉ lệ thuận với các số


1 1 1 1; ; ; ....


a b c d


4A. Chia số 520 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với 2; 3; 4. Tìm các số đó.


4B. Có 85 tờ giấy bạc loại 10.000 đồng; 20.000 đồng và 50.000 đồng. Biết trị
giá mỗi loại tiền trên đều như nhau, hỏi mỗi loại có bao nhiêu tờ?


III. BÀI TẬP VỂ NHÀ


5. Cho biết 5 người làm cỏ một cánh đồng hết 8 giờ. Hỏi 8 người (với cùng
năng suất như nhau) làm cỏ cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?


6. Thùng nước uống trên tàu thuỷ dự định để 15 người uống trong 42 ngày.
Nếu chỉ có 9 người trên tàu thì dùng nước được bao lâu? (Coi lượng nước mỗi người
uống trong mỗi ngày là như nhau)



7. Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 45 km/h hết 3 giờ 15 phút. Hỏi chiếc
ơ tơ đó chạy từ A đến B với vận tốc 65km/ h sẽ hết bao nhiêu thời gian?



(69)

9. Cho biết 56 cơng nhân hồn thành một cơng việc trong 21 ngày. Biết năng
suất của các công nhân đều như nhau, hỏi cần phải tăng thêm bao nhiêu, công nhân
nữa để có thể hồn thành cơng việc đó trong 14 ngày?


10. Hai xe máy cùng đi từ A đến B. Một xe đi hết 1 giờ 20 phút, xe kia hết 1
giờ 30 phút. Tính vận tốc trung bình mỗi xe, biết rằng trung bình 1 phút xe thứ nhất
đi hơn xe thứ hai 100 m.


11. Với số tiền để mua 38 m vải loại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại
II, biết giá vải loại II chỉ bằng 95% giá vải loại I?


12. Tại một trạm xe có 114 chiếc ô tô loại 40 tấn; 25 tấn và 5 tấn. Biết 2


3 số xe


loại 40 tấn bằng 2


5 số xe loại 25 tấn và bằng
3


7 số xe loại 5 tấn. Hỏi trạm xe có bao


nhiêu chiếc xe mỗi loại?


13. Ba công nhân phải sản xuất số sản phẩm như nhau, Công nhân thứ nhất,
thứ hai, thứ ba hồn thành cơng việc với thới gian lần lượt là 9 giờ; 6 giờ và 7 giờ 30


phút. Hỏi trong một giờ mỗi công nhân sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Biết rằng
trong 1 giờ, công nhân thứ hai sản xuất nhiều hơn công nhân thứ nhất là 3 sản phẩm


HƯỚNG DẪN


1A.Gọi thời gian để 8 người làm cỏ xong cánh đồng là x (giờ) với x > 0.
Do số người và thời gian làm việc là các đại lượng tỉ lệ nghịch nên 6 8


4
x=


Tìm được x = 3.


1B. Tương tự 1A. Đáp số 18 (giờ).


2A.Gọi thời gian Lan đi với vận tôc 10 km / h là x (giờ) với x > 0.
Do thời gian và vận tôc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 0, 5 10


12
x =


Tìm đươc x = 0,6.


2B.Tương tự 2A. Người đó chạy từ B về A hết 25 phút.
3A.Chu vi bánh xe = đường kính π


Gọi số vòng quay trong 1 phút của bánh xe nhỏ là x (vòng/phút). Chu vi bánh
nhỏ là:12π (cm), chu vi bánh lớn là: 15π (cm). Ta có: 40 12.


15.


x


π
π


= .
Tìm được x = 50.


3B.Tương tự 3A.


Số vòng quay của bánh xe nhỏ trong một phút là 45.
4A.Gợi ba phần phải tìm là x, y, z.


Do x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 3; 4 nên 2.x- 3.y = 4.z


2. 3. 4. 520


40


12 12 12 6 4 3 6 4 3 13


x y z x y z x+ =y z


= = => = = = = =



(70)

4B. Gọi số tờ giây bạc loại 10.000đ, 20.000 đ và 50.000 đ lần lượt là x, y,
z (tờ).


Ta có x + y + z = 85 và 10.000.x = 20.000. y = 50.000.z. Tìm được: x = 50; y
= 25, z = 10 .



5.Tương tự 1A. Đáp số 5 giờ.
6. Tương tự 1A.Đáp số 70 ngày.
7. Tương tự 2A. Đáp số 2,25 giờ.
8. Tương tự 3A. Đáp số 45 vòng/phút.
9. Tương tự 3A.Đáp số 28 công nhân.
10. Tương tự 3B.


Đổi 1 giờ 20 phút = 80 phút; 1 giờ 30 phút = 90 phút. Gọi vận tốc hai xe máy
theo thứ tự là v1 và v2 (m/ph). Theo bài ta có: 80. v1 = 90. v2 và v1 - v2 =100


1 2 1 2 100


10


90 80 90 80 10


v = v = vv = =


v1= 900 (m / ph) = 54(km / h), v2 = 800 (m/ph) = 48(km / h).


11. Gọi số mét vải loại II mua được là x (mét)


Gọi giá tiền mỗi mét vải loại I là a (đồng/ mét) thì giá tiền mỗi mét vải loại II
là 95% a (đồng/ mét).


Ta có : 38 95%.a


x = a . Tìm được x = 40.



12. Tương tự 4A. Số xe mỗi loại là 27; 45; 42.
13. Tương tự 4A. Đáp số 10; 15; 12 sản phẩm.



(71)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 5. HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Khái niệm: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho
với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y
được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số.



2. Chú ý


- Nếu x thay đổi mà y khơng đổi thì y gọi là hàm hằng.
- Hàm số có thể được cho bằng bảng, bằng cơng thức.
- Khi y là hàm số của x ta có thể viết y = f(x), y = g(x),....
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



(72)

Phương pháp giải:Để xét xem đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x
ta thực hiện 2 bước kiểm tra:.


Bước 1. Mỗi giá trị của x đều có một giá trị tương ứng của y.


Bước 2.Giá trị tương ứng của y phải là duy nhất.


1A. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau


x -4 -3 - 2 -1 1 2 3 1 4


y 16 9 4 1 1 4 9 16


Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?


1B. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:


x -4 -3 - 2 -1 1 2 3 4


y 4 4 4 4 4 4 4 4


Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x khơng?



2A. a) Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nêu bảng các giá
trị tương ứng của chúng là:


x -3 -2 - 1 1 2


y 9 3 Khơng có 3


4 3


b) Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá trị
tương ứng của chúng là:


2B. a) Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng các giá
trị tương ứng của chúng là:


x -3 -2 0 1 2


y -6 -4 Khơng có 1 8
5


b) Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không, nếu bảng
các giá trị tương ứng của chúng là:


x -3 -2 - 1 0 -1 1


y 5 1 2 1 6 8


3A. Trong các công thức sau, công thức nào chứng tỏ y là hàm số của x?
a) y = 3x; b) y = x + 2017; c) y = x3 +1;



d) -3y = x; e) y2= 4x; f) x - 2y - 5 = 0;
g) |y| = x; h) x2 + y2 = 1; k) x2 + 2x + y2 = 8.


3B. Trong các công thức sau, công thức nào chứng tỏ y là hàm số của x?
a) y = 5x; b) y = 2017 - x; c) y - x2 + l;


d) - 5y = x e) 3x - y + 4 = 0; f) y2 = 2x;
g) y = 2|x| ; h) x2 + y2 - y = 15; k) x2 - y2 = 9.



(73)

Phương pháp giải:


- Nếu hàm số được cho bằng bảng, ta tìm trong bảng giá trị của hàm số tương
ứng với giá trị cho trước của biến số.


- Nếu hàm số được cho bằng công thức, ta thay giá trị đã cho của biến vào
cơng thức và tính giá trị tương ứng của hàm số.


4A. Cho bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y:


x -3 -2 0 2 4 5


y -11 -8 -2 4 10 13


a) Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x khơng?
b) Tìm giá trị của y tại x = -3, x = 0, x = 4.


4B. Cho bảng giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y:


x -2 -1 0 1 2 3



y -3 0 1 0 -3 - 8


a) Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x khơng?
b) Tìm giá trị của y tại x = -2, x = 1, x = 3.


5A. a) Cho hàm số y = f(x) = 2x2 + 3. Tính f(-1), f(1), f(3), 7


2
f   


 .
a) Chứng tỏ f(a) = f(-a) với mọi a ∈ R;


b) Cho hàm số y = 2x - 5. Lập bảng các giá trị tương ứng của y khi x=- 4;
- 2; - 3 1;


2 4; 1; 2.


5B. Cho hàm số y - f(x) = 3x2 -1. Tính f(-l), f(l), f(2), 5


2
f   


 
a) Chứng tỏ f(a) = f (-a) với mọi a ∈ R


b) Cho hàm số y = 4x - 3. Lập bảng các giá trị tương ứng của y khi x= - 3; -2;
- 3



2; 1;
5
4; 3.


6A. Cho hàm số y = f(x) = 6


x.


a.) Tính f(-2), f (3), f(4);


b) Điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:


x .-3 -2 -1 1 3 4


y


6B. Cho hàm số y = f(x) = |2x - 3|.
a.) Tính f(-l), f(3), f(5);


b) Tính các giá trị của x với f(x) = -2, f(x) = 0, f(x) = 5.
c) Điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:


x .-3 -2 -1 2 3


y



(74)

Phương pháp giải: Dựa vào sự tương quan giữa các đại lượng cho bởi bảng
hoặc dữ kiện lời văn để lập công thức.


7A. Một hàm số được cho bằng bảng sau:



x -3 -2 -1 1


2


3


2 2


y -7 -5 - 3 0 2 3


a) Tìm f(-2), f(1), f(4);


b) Hàm số trên có thể được cho bằng cơng thức nào?
7B.Một hàm số được cho bằng bảng sau:


x -3 -2 -1 1 3 6


y -1 -23 1


3


− 1


3 1


2


8A. Một hàm số được xác định như sau:
x + 3 khi x ≥ 0



y = f ( x) =


- x + 3 khi x ≤ 0
a) Tính f (-2), f( 1);


b) Viết gọn công thức hàm số trên.
8B.Một hàm số được xác định như sau:
2x + 4 khi x ≥ -2


y = f ( x) =


-2x -4 khi x ≤ -2
a) Tính f(-3), f(0);


b) Viết gọn công thức hàm số trên.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ


9. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau


x - 4 -3 -2 -1 1 2 3 4


y 8 4,5 2 0,5 0,5 2 4,5 8


Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?


10. Các giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y được cho trong bảng sau:


x - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3



y 3 3 3 3 3 3 3 3


Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x không?


11. Cho hình vng có cạnh x. Viết cơng thức của hàm số cho tương ứng với
cạnh x của hình vng với:


a ) Chu vi y của nó; b) Diện tích y của nó.
12. Cho hàm số y = f (x) = 12


x .



(75)

b) Điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:


x -3 -2 -1 4 6 12


y


13. Cho hàm số Điền số thích hợp vào ơ trống trong bảng sau:


x -2 - 0,5 1 4


y - 3


8


0 3


2



14. Cho hàm số y - f (x) = |3x+2|.
a) Tính f (-1), f (2), f (6);


b) Tính các giá trị của x với f (x) = -l, f (x) = 0, f (x) = 13
c) Điền các giá trị tương ứng của hàm số vào bảng sau:


x -3 -2 -1 1 2 3


y 1


15. Cho hàm số y = f (x) = |x - 4| + 7.
a) Tìm f(-1), f(3), f(4);


b) Tính các giá trị của x với f(x) = 5, f(x) = 7, f(x) = 8.
16. Một hàm số được cho bằng bảng sau:


x -3 - 2 -1


2 1


3


2 2


y 3


2 1


1
4



- 1


2


3


4 -1


a) Tìm f(-2), f(1), f(2);


b) Hàm số trên có thể được cho bằng công thức nào?
HƯỚNG DẪN


1A. Mỗi giá trị của x đều có duy nhất một giá trị tương ứng của y nên y là
hàm số của x.


1B. Tương tự 1A. Đáp số y là hàm số của x.


2A. a) Ta có khi x = 1 thì khơng xác định được giá trị tương ứng của y nên y
không phải là hàm số của x.


b) Ta có khi x = -2 thì xác định được hai giá trị tương ứng của y là y = -4 và y
= 7nên y không phải là hàm số của x.


2B.Tương tự 2A. a) b) y không phải là hàm số của x.



(76)

4A. a) Mỗi giá trị của x đều có duy nhất một giá trị tương ứng của y nên y là
hàm số của x.



b) Khi x = -3, y = -11; x = 0 thì y = -2; x = 4 thì y = 10.


4B.Tương tự 4A. a) y là hàm số của x. b) HS tự làm.
5A. a) Ta có f (-1) = 5, f ( 1) = 5, f ( 3) = 21, f = 7 55


2 2


  =
 
 


Ta có f (a) = 2(a)2 + 3 = 2a2 + 3, f (-a) = 2(-a)2 + 3 = 2a2 + 3.
Vậy với ∀a∈ thì f (a) f {- a) với mọi a ∈


b) Ta có bảng kết quả sau:


x -4 -2 -3


2


1
4


1 2


y -13 -9 -8 -9


2


-3 -1



5B.Tương tự 5A. HS tự làm.


6A. a) Ta có f (-1) = 5, f (3) = 3, f (5) = 7.


b) Khi f (x) = -2 => |2x - 3| = -2, vô nghiệm bởi |2x - 3| ≥ 0
- Khi f (x) = 0. Tìm được x = 3


2.


Khi f (x) = 5. Tìm được x = 4; x = - 1.
c) Kết quả trong bảng sau:


x -3 -2 -1 1 2 3


y 9 7 5 1 1 3


6B.Tương tự 6A.HS tự làm.


7A. a) Ta có f (-2) = -5, f (1) = 1, f (4) = 7.
b) y = 2x - l.


7B. Tương tự 7A. a) HS tự làm. b) y = 1


3x


8A. a) Ta có -2 < 0 nên thay x = -2 vào f (x) = -x + 3 ta được f (-2) = 5.
Ta có 1 > 0 nên thay x = 1 vào f(x) = x + 3 được f (1) = 4.


b) Công thức hàm số y = |x| + 3.


8B.Tương tự 8A.


a) f (-3) = 2, f (0) = 4. b) Công thức hàm số y = 2 |x + 2|
9.Tương tự 1A. y là hàm số của x.


10. Tương tự 1B. y là hàm số của x.
11. a) y = 4x. b) y = x2.
12. Tương tự 5A. HS tự làm.


13. Các số cần điền lần lượt 3; 0; ; 2;33


2 4



14. Tương tự 6A.


a) HS tự làm.


b) Các đáp số lần lượt x ∈∅; x = - 2


3; x
11


; 5
3


 





 



(77)

15. Tương tự 6A.


a) Ta có f (-1) = 12, f (3) = 8, f (4) = 7.
b) Đáp số lần lượt x∈∅; x = 4; x = ∈ {5; 3}


l6.Tương tự 7A. a) HS tự làm. b) Ta có y = -1


2x


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 6. MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT



1. Mặt phẳng tọa độ:


- Trên mặt phẳng, hai trục số Ox, Oy vng góc với nhau và cắt nhau tại gốc
O của mỗi trục số, khi đó ta có hệ trục tọa độ Oxy. Các trục Ox và Oy gọi là các trục
tọa độ. Trục nằm ngang Ox gọi là trục hoành và trục thẳng đứng Oy là trục tọa tung.
Điểm O gọi là gốc tọa độ.



(78)

Hệ trục tọa độ Oxy


2. Tọa độ của một điểm:
Trên mặt phẳng toạ độ.


- Mỗi điểm M xác định một cặp số (x0;y0). Ngược lại, mỗi cặp số (x0;y0) xác


định vị trí của một điểm M.


- Cặp số (x0;y0) gọi là toạ độ của điểm M, x0 là hoành độ và y0là tung độ của


điểm M.


- Điểm M có toạ độ (x0;y0). Kí hiệu: M (x0;y0 )


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Viết tọa độ của các điểm cho trước trên mặt phẳng tọa độ


Phương pháp giải:Để viết tọa độ của các điểm cho trước trên mặt phẳng tọa
độ ta thực hiện các bước sau:



Bước 1. Từ điểm đã cho kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt trục


hồnh tại điểm x0thì điểm x0biểu diễn hoành độ điểm đã cho.


Bước 2. Từ điểm đã cho kẻ đường thẳng song song với trục hồnh, cắt trục


tung tại điểm y0thì điểm y0 biểu diễn tung độ điểm đã cho.


Bước 3. Hoành độ x0và tung độ y0tìm được là tọa độ điểm đã cho.



(79)

1B. Viết tọa độ các điểm M, N, P, Q trong hình vẽ? Em có nhận xét gì về toa
độ các cặp điểm M, N và P, Q?


2A.a) Viết tọa độ của điểm A nằm trên trục hồnh và có hồnh độ bằng -1;
b) Viết tọa độ của điểm B nằm trên trục tung và có tung độ bằng 2;


c) Viết tọa độ của điểm O là gốc tọa độ.


2B. a) Viết tọa độ của điểm A nằm trên trục hồnh và có hồnh độ bằng 2;
b) Viết tọa độ của điểm B nằm trên trục tung và có tung độ bằng -4;


c) Viết tọa độ của điểm C biết hình chiếu của C trên trục hồnh là có hồnh,
độ bằng -3 và hình chiếu của C trên trục tung là có tung độ bằng 2.


3A. Chiều cao và tuổi của bốn bạn Hoa, Lan, Mai, Hạnh được biểu diễn trên
mặt phẳng tọa độ trong hình vẽ. Hãy cho biết:



(80)

3B. Cân nặng và tuổi của các bé: An, Hà, Tuấn, Thắng, Dũng được biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ trong hình vẽ bên. Hãy cho biết:



a) Ai là người nặng nhất và nặng bao nhiêu?
b) Ai là người ít tuổi nhất và bao nhiêu tuổi?
c) Ai là người nhiều tuổi nhất và bao nhiêu tuổi?
d) Tuấn và Thắng ai nặng hơn và ai nhiều tuổi hơn


Dạng 2. Biểu diễn các điểm có tọa độ cho trước trên mặt phẳng tọa độ


Phương pháp giải:Để biểu diễn các điểm có tọa độ cho trước trên mặt phẳng
tọa độ ta thực hiện các bước sau:


Bước 1. Từ điểm biểu diễn hoành độ điểm đã cho, kẻ đường thẳng song song



(81)

Bước 2. Từ điểm diễn tung độ điểm, đã cho, kẻ đường thẳng song song với
trục hoành.


Bước 3.Giao điểm của hai đường thẳng vừa dựng là điểm phải tìm.


4A. a) Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và đánh dấu các điểm:
A (-1; 0) , B ( 1 ; 2) , C ( 3- 1) , D = 1; 1


2


 


 , E (-2; 3);


b) Xác định dấu của tọa độ điểm M (x; y) khi điểm M nằm trong góc phần tư
thứ I, thứ II, thứ III và thứ IV.



4B. a)Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và đánh dấu các điểm. A ( -2 ; 2), B (1; 2),
C(1; -1), D ( -2; -l). Tứ giác ABCD là hình gì?


b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ điểm M phải thỏa mãn điều kiện gì để:
i) Điểm M ln nằm trên trục hồnh;


ii) Điểm M ln nằm trên trục tung;


iii) Điểm M luôn nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ I;
iv) Điểm M ln nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ IV.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ


5. Một điểm bất kì trên trục hồnh có tung độ bằng bao nhiêu?
Một điểm bất kì trên trục tung có hồnh độ bằng bao nhiêu?


6. a) Một điểm bất kì trên đường thẳng song song với Ox và cách Ox 2 đơn vị
có hồnh độ bằng bao nhiêu?


b) Một điểm bất kì trên đường thẳng song song với Oy và cách Oy 3 đơn vị có
tung độ bằng bao nhiêu?


7. a) Viết tọa độ của điểm A nằm trên trục hồnh và có hồnh độ bằng 3;
b) Viết tọa độ của điểm B nằm trên trục tung và có tung độ bằng -2;


c) Viết tọa độ của điếm C biết hình chiếu của C trên trục hồnh là có hồnh độ
bằng 4 và hình chiếu của C trên tung là có tung độ bằng -1.



(82)

9. Tìm tọa độ các đỉnh hình ngũ giác ABCDE và hình tam giác IMN trong
hình vẽ.



10. Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và đánh dấu các điểm
A ( 3; 2) , B ( -2; 2 ) , C ( 0 ; 1 ) , D 3; 1


2


 


  , E (2 ; - 2)
11. Hàm số được cho trong bảng sau:


x
X


-1 0 1 2 3


y -3 -1 1 3 5




a) Viết các cặp giá trị (x;y) tương ứng của hàm số trên;


b) Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và xác định các điểm biểu diễn các cặp giá trị
của x và y tương ứng ở câu a.


12. Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm A (1; 3)


a) Viết tọa độ điểm A1 sao cho trục hoành là đường trung trực của AA1


b) Viết tọa độ điểm A2sao cho trục tung là đường trung trực của AA2.



13. Viết tất cả các cặp số (a;b) biết a, b ∈ {-2; 2}. Các điểm biểu diễn các cặp
số đó nằm trong các góc phần tư nào?


14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm vị trí các điểm có tọa độ thỏa mãn một
trong các điều kiện sau:


a) x (y - 2) = 0; b) (x + 1)y = 0;


c) (x + l) (2y- 3) = 0; d) (x - 4)2 + (y + 3)2 =0.
HƯỚNG DẪN


1A. - Tọa độ các điểm: M (-2;3), N (3;-2), P(-1;0), Q(0;-1).


- Trong mỗi cặp điểm M và N, P và Q ta thấy hoành độ điểm này bằng tung
độ điểm kia và ngược lại.


1B. Tương tự 1A.


- Tọa độ các điểm M (2;l), N(l;2), P(-3;0), Q(0;-3).


- Trong mỗi cặp điểm M và N, P và Q ta thấy hoành độ điểm này bằng tung
độ điểm kia và ngược lại.


2A. a) A(-l;0). b) B(0;2). c) O(0;0).
2B. a) A(2;0). b) B(0;-4). c) C(-3;2).
3A.a) Hạnh là người cao nhất và cao 15 dm=l,5m .



(83)

c) Lan cao hơn Mai nhưng Mai nhiều tuổi hơn Lan.
3B. Tương tự 3A.



a) Dũng là người nặng nhất và nặng 15kg.
b) An là người ít tuổi nhất và An 1 tuổi.


c) Dũng là người nhiều tuổi nhất và Dũng 4 tuổi.


d) Thắng nặng hơn Tuấn. Tuổi Thắng và Tuấn bằng nhau.
4A.a) Các điểm được biểu diễn trên trục tọa độ như hình vẽ:


b) Khi điểm M nằm trong góc phần tư thứ 1 thì x > 0; y > 0
- Khi điểm M nằm trong góc phần tư thứ II thì x < 0; y > 0
- Khi điểm M nằm trong góc phần tư thứ III thì x < 0; y < 0
- Khi điểm M nằm trong góc phần tư thứ IV thì x > 0; y < 0.
4B. Tương tự 4A.


a) Hệ trục tọa độ Oxy và các điểm A, B, C, D trong hình vẽ:


Tứ giác ABCD là hình vuông.


b) i) y = 0; ii) x = 0; iii) x = y; iiii) x = -y.
5. Một điểm bất kì trên trục hồnh có tung độ bằng 0.


Một điểm bất kì trên trục tung có hồnh độ bằng 0.
6. a) Điểm đó có hồnh độ bằng 2 hoặc -2.


b) Điểm đó có tung độ bằng 3 hoặc -3.


7. a) A (3;0); b) B(0;-2); c) C(4;-l).
8. Ta có tọa độ các điểm là:



A (0;1), B (3;l), C (3;-l), D (0;-l), M(0;3), N(-2;2), P(-l;0).



(84)

10. Tương tự 4A. Các điểm được biểu diễn trên trục tọa độ như .hình vẽ


11.Các cặp giá trị (x;y) là: (-1; -3), (0; - l), (1; 1),(2; 3), (3; 5).
b) Các điểm biểu diễn (x; y) trong hình.


12. a) A1 ( 1; -3) b) A1 ( -1; 3)


13. Có 4 cặp số: a) (-2; -2), (-2; 2), (2; -2), (2; 2)
- Điểm (-2;-2) thuộc góc phần tư thứ III


- Điểm (-2; 2) thuộc góc phần tư thứ II
- Điểm (2;-2) thuộc góc phần tư thứ IV.
- Điểm (2; 2) thuộc góc phần tư thứ I


14. a) x = 0 , y bất kì hoặc y = 2 và x bất kì. Đó là các điểm nằm trên trục tung
hoặc các điểm nằm trên đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 2.


b) x= -1, y bất kì hoặc y = 0 và x bất ki. Đó là các điểm nằm đường thẳng
song song với trục tung và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng -l hoặc các
điểm nằm trên trục hoành.


c) x = -1, y bất kì hoặc y = 3


2 và x bất kì. Đó là các điểm nằm đường thẳng



(85)

điểm nằm đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 3



2


d) Là điểm có hồnh độ bằng 4. Tung độ bằng -3


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 7. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax (a 0)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT




(86)

- Đồ thị của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá
trị tương ứng (x; y) trên mặt phẳng tọa độ.


- Một điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) thì có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y=
f(x). Ngược lại một điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y = f (x) thì nó thuộc đồ thị
hàm số y = f(x).


2. Đồ thị của hàm số y = ax (a 0)


Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = f (x)


Phương pháp giải:Ta thực hiện các bước sau:


Bước 1.Xác định điểm A (1;a) khác gốc tọa độ.


Bước 2.Vẽ đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) và A (1 ; a).


1A.Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số
a) y = x; b) y = 2x; c) y = -x d) y = -3x.


1B. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số
a) y = 0,5x; b) y = -0,5x; c) y = -x; d) y = -1,5x.


2A. a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y = 2x và y
= - 1


2. Có nhận xét gì về đồ thị hai hàm số?



b) Vẽ đồ thị của hàm số y = |x|.


2B.a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y = -3x và y
= 1


3x. Có nhận xét gì về đồ thị hai hàm số?


b) Vẽ đồ thị của hàm số y = - |x| và y= |x| - x


Dạng 2. Xét xem một điểm có thuộc đổ thị của hàm số cho trước hay
không


Phương pháp giải: Để xét xem một điểm có thuộc đồ thị của hàm số cho
trước hay không ta thay tọa độ điểm cần xét vào công thức y = f(x), điểm M (x0;y0)


thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) nếu y0 = f(x0).


3A.Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = -3x:


1 1


;1 , ;1


3 3


A−  B


   , C ( 1 ; -3) , D ( 0; 0)



3B.Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 4x:
A (-1; 4), 1;1 , 1; 2


4 2


B C


   , D ( 0; 0)


4A.Cho các điểm A (- 1; 3), B (- 1; 2), C (0; -1 ), D (2; 0).
a) Những điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = -x + 2.


b) Những điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = 2x2


- 1
4B.Cho các điểm. A(-1; 2), B(-4; 1), C (0; -3), D (2; -5).
a) Những điểm nào thuộc đổ thị hàm số y = -x- 3.


b) Những điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = 17 - x2


.


Dạng 3. Xác định hệ số a của hàm số y = ax, biết đổ thị đi qua một điểm
M (x0; y0) cho trước


Phương pháp giải:Thay tọa độ điểm M (x0;y0) vào y = ax.



(87)

5A. Xác định hệ số a của hàm số y = ax, biết đổ thị hàm số đi qua điểm:
a) A (1 ; -2); b) B (-3; 4).



5B. Xác định hệ số a của hàm số y= (a- 1) x, biết đồ thị hàm số đi qua điểm:
a) A ( 1; 2); b) B (2; -6).


6A.Cho hàm số y = (2a +l.)x. Hãy xác định hệ số a biết:
a) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A (-1; 3);


b) Đồ thị của hàm số đi qua điểm B (2;0);


c) Đồ thị của hàm số là đường phân giác góc phần tư thứ I, III
6B.Cho hàm số y = (3a - l)x. Hãy xác định hệ số a biết:


a) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A (-2; -4);
b) Đồ thị của hàm số đi qua điểm B (1; 0);


c) Đồ thị của hàm số là đường phân giác góc phần tư thứ II; IV.
7A.Cho đường thẳng OA trong hình vẽ là đồ thị của hàm số y = ax.
a) Hãy xác định hệ số a?


b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hồnh độ bằng 2?
c) Đánh dấu điểm trên đồ thị có tung độ bằng 1?


7B. Cho đường thẳng OA trong hình vẽ là đồ thị của hàm số y = ax.
a) Hãy xác định hệ số a?


b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hồnh độ bằng 3?
c) Đánh dấu điểm trên đồ thị có tung độ bằng - 3



(88)

Dạng 4. Xác định các đại lượng và ý nghĩa của chúng dựa vào đồ thị của
hàm số cho trước



Phương pháp giải:Ta thực hiện như sau:


- Xác định rõ ý nghĩa các đơn vị biểu diễn trên trục tung và trục hoành.
- Dựa vào đổ thị xác định hoành độ khi biết tung độ và ngược lại.


8A.Cho hàm số y = f(x) có đồ thị gồm hai đoạn AB, BC như hình vẽ. Tìm giá
trị của x sao cho: a) f (x) > 0; b) f (x) ≤ 0.


8B. Cho hàm số y - f(x) có đồ thị gồm hai đoạn AB, BC như hình vẽ. Tìm giá
trị của x sao cho: a) f(x) > 0; b) f(x) ≤ 0.


9A.Hàm số y = f(x) có đổ thị là đoạn thẳng AB như hình vẽ.
a) Tìm f (-2); f (0); f (l);



(89)

9B.Hàm số y = f (x) có đồ thị là đoạn thẳng AB như hình vẽ.
a) Tìm f (-2); f (0); f (1);


b) Tìm x biết f (x) = 3 ; f (x) = 0 ; f (x) = -1


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


10. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số


a) y = 3x; b) y = - 4x; c) y = - 0,25x; d) y = 0,25x.
11. a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y = 2


3x và y


= 3



2x . Có nhận xét gì về đồ thị hai hàm số?


b) Vẽ đồ thị của hàm số y = 2|x|.


12. a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của các hàm số y = 3


4x và y


= - 3


4x. Có nhận xét gì vể đồ thị hai hàm số?


b) Vẽ đồ thị của hàm số y | |x
x


13. Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y =-1



(90)

B ( 2; 0) , C ( 0; 1), D ( 1; 0)


14. Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = 3 |x| - 2 :
A ( 1; 2), B ( -1; 2) , C ( 0; -02), D ( -1


3; -1)


15. Cho hàm số y = (-2a+3)x. Hãy xác định hệ số a biết:
a) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A (-1; 4);


b) Đồ thị của hàm số đi qua điểm B (-2; 0);


c) Đồ thị của hàm số là đường phân giác góc phần tư thứ I, III


HƯỚNG DẪN


1A.


Đồ thị của hàm số y = x là
đường thẳng qua điểm 0 (0; 0)
và A (l;l).


b) Đồ thị của hàm số y= 2x là
đường thẳng qua điểm 0 (0; 0)
và B (l;2).


c) Đồ thị của hàm số y = - x là đường thẳng qua điểm 0 (0; 0) và C (l;-1).
d) Đồ thị của hàm số y = -3x là đường thẳng qua điểm O(0;0) và D(l;-3).
1B.Tương tự 1A.


2A.


a) Đồ thị của hàm số y = 2x
là đường thẳng qua điểm 0 (0; 0)
và A (l;2).


Đồ thị của hàm số y = 1
2x


là đường thẳng qua điểm 0 (0; 0)
và B (2;-l).


Đồ thị của hai hàm số vng góc với nhau
b) Ta có x khi x ≥ 0



y = |x| =


- x khi x < 0
Đồ thị của hàm số y = |x| là


Tia phân giác của hai góc phần
tư thứ I và II



(91)

3A. Thay x =-1


3 vào y = - 3x ta được: y = 1 bằng tung độ của điểm A. Vậy A


thuộc đổ thị của hàm số y = - 3x.
- Thay x = 1


3 vào y = -3x ta được: y = -1 khác tung độ của điểm B. Vậy B


không thuộc đồ thị của hàm số y = -3x.


Tương tự C, D thuộc đồ thị hàm số y = -3x,
3B.Tương tự 3A.


- Điểm B, C, D thuộc đồ thị của hàm số y = 4x
4A.Tương tự 3A.


a) Điểm A, D thuộc đồ thị của hàm số y = -x + 2
- Điểm B, C không thuộc đồ thị của hàm số y = -x +2
b) Điểm C thuộc đồ thị của hàm số y = 2x2



- 1.


- Điểm A, C, D không thuộc đồ thị của hàm số y = 2x2 -1
4B.Tương tự 3A.


a) Điểm B,C, D thuộc đồ thị của hàm số y = - x - 3
b) Điểm B thuộc đồ thị của hàm số y =17 - x2


.


5A. a) Điểm A (l;-2) thuộc đồ thị của hàm số y = ax nên thay x = 1;y = -2 ta
có -2 = a.l. Tìm a= -2


b) Điểm B(-3;4) thuộc đồ thị của hàm số y = ax nên thay x = -3;y = 4 ta có 4 =
a.(-3). Tìm được a = 4


3


5B.Tương tự 5A. a) a = 3. b) a = -2.
6A.Tương tự 5A. a) a = -2. b) a = -1


2 c) a = 0


6B.Tương tự 5A. a) b) HS tự làm


c) Vì đồ thị là đường phân giác của góc phần tư thứ II; IV nên có dạng y
7A.a) Đồ thị của hàm số y = ax đi qua điểm A (4;1) nên ta có:


1= a .4 => a =1



4


b) Từ điểm trên 2 trục hoành
ta kẻ đường thẳng song song
với trục tung cắt OA tại B. Ta
được điểm B có hoành độ bằng 2.
c) Từ điểm trên -1 trục tung ta kẻ


đường thẳng song song với trục
hoành, cắt OA tại C. Ta được điểm
C có tung độ bằng -1


7B.Tương tự 7A.


8A. a) f(x) > 0 khi 0 < x < 3. b) f(x) < 0 khi -1≤ x ≤0.
8B.Tương tự 8A.


a) -2 ≤x < 3


2 hoăc 0 < x ≤ 2. b)
-3


2 ≤ x ≤0.


9A. a) f (-2) = 4; f (0) = 2; f (l) = l.



(92)

F (x) = 3 => x = -1 vì f (-1) = 3; f (x) = 2 => x = 0 vì f (0) = 2.
9B.Tương tự 9A.


a) f (-2) = -1; f (0) = 1; f (1) = 2.


b) x nhận các giá trị lần lượt là 2; -1; 2
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


10. Tương tự 1A.


a) Đồ thị của hàm số y = 3x
là đường thẳng qua đi điểm
O (0; 0) và A (1; 3).
b) Đồ thị của hàm số


y = -4x là đường thẳng đi qua
điểm O (0; 0) và B( l;-4).


c) Đồ thị của hàm số y = -0,25x là


đường thẳng qua điểm O (0; 0) và C (4; -1).


d) Đồ thị của hàm số y = - 0,25x là đường thẳng qua điểm O (0;0) và D (4;l).
11. Tương tự 1A.


12. Tương tự 2A.


a) HS tự vẽ hình. Nhận xét: Đồ thị của y = 3


4 x


và y = - 3


4 x đối xứng với nhau qua Oy.



b) Ta có 1 khi x > 0
y = | |x


x


-1 khi x < 0
x ≠ 0 nên đồ thị của hàm số
khơng đi qua O(0; 0). Đồ thị
như hình bên


13. Tương tự 3A.


Điểm B,C thuộc đồ thị của hàm số y = 1


2 x+ 1.


14. Tương tự 3A.


- Điểm C, D thuộc đồ thị của hàm số y = 3 |x| - 2.
15. Tương tự 6A.


a) Ta có 4 = (-2a + 3).(-1) => a = 7


2


b) Ta có 0 = (-2a + 3).(-2) => a = 3


2


c) Ta có - 2a +3 = 1 <=> a = 1




(93)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ I
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT



(94)

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



1A. Cho x; y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận và x1 + x2 = 5; y1+ y2 = 10.


a) Hãy biễu diễn y theo x;
b) Tính giá trị của x khi y = 10.


1B. Cho x;y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận và x1 - x2 = 3; y1- y2 = 9.


a) Hãy biễu diễn y theo x;
b) Tính giá trị của x khi y = 12.


2A. Để làm nước mơ người ta ngâm mơ với đường theo công thức: 2kg mơ
với 2,5 kg đường. Hỏi cần bao nhiêu kilôgam đường để ngâm 10 kg mơ?


2B.Một cửa hàng nấu chè bán theo công thức cứ 1,6kg đậu thì phải dùng 1 kg
đường. Hỏi phải dùng bao nhiêu kilôgam đường để nấu chè từ 12 kg đậu?


3A. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 180 cây. Tính số cây trồng được của mỗi
lớp, biết rằng số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với 3; 4 và 5.


3B. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 90 cây. Tính số cây trồng được của mỗi
lớp, biết rằng số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với 4; 6 và 8.


4A. Cho x; y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 2 thì y = 3, hãy:
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x;


b) Biểu diễn y theo x;


c) Tính giá trị của y khi = 3; x = -1



4B.Cho x; y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi. x = -3 thì y = 6, hãy:
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x;


b) Biểu diễn y theo x;


c) Tính giá trị của y khi x = -2; x = - 6.


5A. Cho biết 4 người cùng sơn xong một bức tường hết 8 giờ. Hỏi 6 người (với
cùng năng suất như nhau) cùng sơn xong bức tường đó hết bao nhiêu thời gian?


5B. Một bếp ăn dự trữ gạo cho đủ 10 người ăn trong 40 ngày. Nếu chỉ có 8
người ăn (cùng mức như nhau) thì số gạo đó ăn được trong bao lâu?


6A.Cho hàm số y = f(x) = ax. Chứng minh rằng với mọi x1,x2 thì:


f (x1 + x2 ) =f (x1) + f (x2 ).


6B. Cho hàm số y = f(x) có tính chất f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ).


Chứng minh rằng: f (0) = 0 và f (-x) = -f (x),
7A.a) Viết tọa độ các điểm trong hình vẽ


b) Các điểm sau đây nằm trên đường nào:
- Các điểm có hồnh độ bằng - 1


2


- Các điểm có tung độ bằng 4;



(95)

7B.a) Viết tọa độ các điểm trong hình vẽ


b) Các điểm sau đây nằm trên đường nào:
- Các điểm có hồnh độ bằng 2


3


- Các điểm có tung độ bằng - 2;


- Các điểm có hồnh độ và tung độ là hai số đối nhau.


8A.Hàm số y = f (x) có đồ thị gồm bốn đoạn AB, BC, CD, DE như hình vẽ
a) Tìm giá trị của x sao cho : f (x) > 0 ; f ( x) ≤0 ; f ( x) = 3


b) Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f (x) hãy điền giá trị thích hợp vào bảng sau:


x -2 -1 0 1 2


y 2


8B. Hàm số y = f (x) có đồ thị gồm ba đoạn AB, BC, CD, DE như hình vẽ.
b) Tìm giá trị của x sao cho f (x) > 0; f (x) ≤ 0; f (x) = 2;


b) Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f (x) hãy điền giá trị thích hợp vào bảng sau:


x -2 -1 0 2 4


y



(96)

9. Cho x ; y là 2 đại lượng tỉ lệ thuận và x1 + 2x2 = 2 ; y1 + 2y2 = 8


a) Hãy biểu diễn y theo x;


b) Tính giá trị của x khi y = 16.


10. 16 lít dầu hỏa cân nặng 13,6 kg. Hỏi 36 lít dầu hỏa cân nặng bao nhiêu
kilogam?


11. Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được 81 cây. Tính số cây trồng được của mỗi lóp,
biết rằng số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt tỉ lệ với 2:3 và 4.


12. Số học sinh giỏi, khá, trung bình của khối 7 lần lượt tỉ lệ với 2:3 và 5. Tính
số học sinh giỏi, khá, trung bình, biết tổng số học sinh khá và trung bình hơn học
sinh giỏi là 180 em.


13. Tam giác ABC có số đo các góc A, B , C tỉ lệ với 3:4:5.
Tính số đo mỗi góc của tam giác ABC.


14. Cho x; y là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = -4 thì y = 8, hãy:
a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x;


b) Biểu diễn y theo x;


c) Tính giá trị của y khi x = -1; x = 16.


15. Một bếp ăn dự trữ gạo cho đủ 12 người ăn trong 48 ngày. Nếu có thêm
bốn người nữa (cùng mức ăn như nhau) thì số gạo đó ăn được trong bao lâu?


16. Hàm số y = f(x) có đồ thị là đoạn thẳng AB như hình vẽ
a ) Tìm f ( -1) ; f (0) ; f ( 2)


b) Tìm x, biết



f ( x) = -1 ; f (x ) = 1 ; f ( x) = 3


HƯỚNG DẪN
1A. a) Ta có k = 1 2 1 2


1 2 1 2


10
5
y y y y
x x x x


+


= = =


+ = 2 => y = 2x;
b) Khi y = 10 thì x = 10 :2 = 5.


1B.Tương tự 1A.


a) Ta có y = 3x b) Khi y = 12 thì x = 4.



(97)

x = 2, 5.10


2 = 12,5.


2B.Tương tự 2A.


Gọi x (kg) là khối lượng đường để nấu chè từ 12 kg đậu.


Ta có x = 1.12


1, 6 = 7,5.


3A.Gọi số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là x; y; z


Ta có 180


3 4 5 12 12


x y z x+ +y z


= = = = = 15 => x = 45; y = 60; z = 75.
3B.Tương tự 3A.


Gọi số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là x; y; z Ta có


90


4 6 8 18 18


x y z x+ +y z


= = = = = 5 => x = 20; y - 30; z = 40.


4A. a) Khi x = 2 thì y = 3 nên a = 2.3 = 6. b) y = 6


x


c) Khi x = 3 => y = 2; khi x = -1 => y = -6.


4B. Tương tự 4A.


Khi x = -3 thì y = 6 nên a = -3.6 = -18.
y = -18


x


c) Khi x = -2 => y = 9; khi x = 6 => y = -3


5A.Gọi thời gian 6 người cùng sơn bức tường xong là x (giờ)
Ta có x = 8.4 16


6 ⇔ =x 3


5B. Gọi thời gian 8 người cùng ăn hết số gạo là x (ngày)
Ta có x= 40.10


8 <=> x = 50.


6A. Ta có: f(x1 + x2) = a (x1 +x2) = ax1 + ax2 = f (x1) + f (x2).


6B. Ta có f(0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0) => f (0) = 2f (0) => f (0) = 0.
F (0) = 0 => f(-x + x) = 0 => f(-x) + f(x) = 0 => f(-x) = - f (x).


7A. a) A (-l; -2); B(l; 4); C(2; 2); D(3; -2).
b) Các điểm có hồnh độ bằng 1


2 nằm trên đường thẳng song song với trục


tung và cắt trục hoành tại điểm 1


; 0
2


 


 


- Các điểm có tung độ bằng 4 nằm trên đường thẳng song song với trục hoành
và cắt trục tung tại điểm (0;4).


- Các điểm có hồnh độ bằng tung độ nằm trên đường phân giác góc phần tư
thứ I và III


7B.Tương tự 7A.


A (-2; 3); B(-l; -4); C(3; 1); D(4; 0).
b) Các điếm có hồnh độ bằng 2


3 nằm trên đường thẳng song song với trục


tung và căt trục hoành tại điểm 2; 0
3


 


 



(98)

- Các điểm có tung độ bằng -2 nằm trên đường thẳng song song với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm (0; - 2).



- Các điểm có hồnh độ và tung độ là hai số đối nhau nằm trên đường phân
giác góc phần tư thứ II và IV


8A. a) f(x) > 0 khi -2 ≤ x < -1 hoặc 0 < x ≤ 3;
f(x) ≤ 0 khi -1≤ x ≤ 0; f (x) = 3 khi 1 ≤ x ≤ 3.
b) Ta có bảng kết quả:


x -2 -1 0 1 2


y 2 0 0 3 3


8B.Tương tự 8A.


a) f(x) > 0 khi 0 < x < 10


3


f (x) < 0 khi -2 ≤ x ≤ 0; hoặc 10


3 ≤ x ≤ 4;


f(x) = 2 khi 1 ≤ x ≤ 2.
b) HS tự làm.


9. Tương tự 1A.


a) y = 4x b) Khi y = 16 => x= 4.
10. Đáp số 30,6 kg.



11. Tương tự 3A. Đáp số 18; 27 và 36 cây.
12. Đáp số 60; 90 và 150 học sinh.


13. Đáp số 45°; 60° và 75°.


14. Tương tự 4A. a) HS tự làm. b) y = -32


x


c) Khi x = -1 = -3; y = 32; khi x = 16 => y = -2.
15. Đáp số 36 ngày.


16. a) f(-1) =-3; f (0) = -l; f (2) = 3.
b) Ta có: f(x) = -1 => x = 0 vì f (0) = -1;


f(x) = 1 => x = 1 vì f(1) = 1; f (x) = 3 => x = 2 vì f(2) = 3



(99)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


...
...
...
...
...
...
...
...


ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II


Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút


ĐỀ SỐ 1
PHẨN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:



(100)

A. y = kx; B. y = k


x; C. y =
x


k D. y =


1
.
x k


Câu 2. Chu vi của một tam giác là 72cm. Độ dài các cạnh của tam giác tỉ lệ


với 3; 4; 5. Cạnh nhỏ nhất của tam giác là:


A. 30 cm; B. 24 cm; C.18 cm; D.16 cm.


Câu 3. Cho biết 6 người làm cỏ một cánh đồng hết 8 giờ. Hỏi 4 người (với
cùng năng suất như thế) làm cỏ cánh đổng đó hết bao nhiêu thời gian?


A. 3 giờ; B. 16


3 giờ; C. 12 giờ; D. 10 giờ.


Câu 4.Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y = - 5x.
A . ( 1; 3) B. 1;1


5
 
 


  C. (l.;-5); D. (0;5).
Câu 5.Một hàm số được xác định như sau:


2x - 3 khi x ≥2
y = f (x) =


2x + 5 khi x < 2
Viết gọn công thức hàm số trên?


A. y = 2|x - 2| - l; B. y = -2 |x - 2| + 1;
C. y = 2|x + 1| + 1; D. y = 2 |x - 2|+ 1



Câu 6. Bạn Dũng đi xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc 12 km/giờ hết 25
phút. Nếu Dũng đi với vận tốc 15 km/giờ thì hết bao nhiêu thời gian?


A. 31,25 phút; B. 20 phút;
C. 18 phút; D. 30 phút.


Câu 7.Xác định hệ số a của hàm số y = ax biết đồ thị của nó đi qua (-2; 1).
A.- 1


2 B.


1


2; C. -2; D. 2.


Câu 8. Cho điểm M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = 3x. Xác định tọa độ điểm M
biết x + y = 8.


A. (1;3); B. M(6;2); C.M(2;6); D. M(3;5).
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1. Chia số 117 thành ba phần:


a) Tỉ lệ thuận với 2; 3; 4; b) Tỉ lệ nghịch với 2; 3; 4.


Bài 2. Ba đơn vị vận tải cùng hợp đồng chuyên chở hàng hóa. Mỗi xe của các
đơn vị cùng được điều động chở một số chuyến như nhau và khối lượng mỗi chuyến
chuyên chở bằng nhau. Cho biết đơn vị 1 có 13 xe, đơn vị 2 có 16 xe và đơn vị 3 có
18 xe. Đơn vị 2 vận chuyển được nhiều hơn đơn vị 1 là 36 tấn hàng. Hỏi mỗi đơn vị
chở được bao nhiêu tấn hàng?



Bài 3. Cho đường thẳng OA trong
hình vẽ là đồ thị của hàm số
y = 2(a + l) x.


a) Hãy xác định hệ số a?


b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có
hồnh độ bằng -1.



(101)

tung độ bằng 2 ?


HƯỚNG DẪN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Câu 1. A. Câu 5. D.
Câu 2. C Câu 6. B.
Câu 3. C. Câu 7. A.
Câu 4. C. Câu 8. C.
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài l. a) Ta có


2 3 4 9


x y z x+ +y z


= = = = 13 => x = 26; y = 39; z = 52.
b) Ta có



1 1 1 13


2 3 4 12


x = =y z = x+ +y z


= 108 => x = 54; y = 36; z = 27.


Bài 2.Gọi khối lượng hàng đơn vị 1, đơn vị 2 và đơn vị 3 vận chuyển lần lượt
là x, y, z (tấn).


Theo đề bài ta có: y - x = 36 và


13 16 18


x y z


= =


Tìm được x = 156; y = 192; z = 216.
Bài 3. HS tự vẽ hình.


a) Đồ thị của hàm số y = 2(a + l)x đi qua điểm A (2; 3) nên ta có
3 = 2(a +1).2 => a = -1


4


b) Từ điểm trên -1 trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với trục tung, cắt
OA tại B. Ta được điểm B có hồnh độ bằng -1.



c) Từ điểm trên 2 trục tung ta kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt
OA tại C. Ta được điểm C có tung độ bằng 2


ĐỀ SỐ 2
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Khoanh vào chữ cái đứng truớc câu trả lời đúng:


Câu 1.Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = a


x hay xy =


a với a là một hằng số khác 0 thì ta nói:


A. y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a;
B. y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ 1



(102)

C. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a;
D. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ 1


a


Câu 2. Chu vi của một tam giác là 30cm. Độ dài các cạnh của tam giác tỉ lệ
với 4; 5; 6. Cạnh nhỏ nhất của tam giác là:


A. 6m ; B. 8m; C. 10m; D. 12m


Câu 3. Cho biết 7 công nhân sửa xong đoạn đường hết 12 giờ. Hỏi có 6 công
nhân (với cùng năng suất như thế) sửa xong đoạn đường hết đó hết bao nhiêu thời
gian?



A. 3,5 giờ; B. 10 giờ; C. 14 giờ; D. 16 giờ.
Câu 4.Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 +1?
A. (1;3); B. (-1;3); C. 1 3;


2 2


 


 


  ; D. (0;-l).
Câu 5.Một hàm số được xác định như sau:


-2x - 5 khi x ≥-3
y = f (x) =


2x + 7 khi x < -3
Viết gọn công thức hàm số trên?


A.y = 2|x - 3| - 1 B. y = -2 | x + 3| + 1
C. y = 2 |x = 3| - 1 D. y = 2 | x + 3| + 1


Câu 6. Bạn Lan đi từ trường đến nhà với vận tốc 12 km/giờ hết nửa giờ. Nếu
Lan đi với vận tốc 10 km/giờ thì hết bao lâu?


A. 36 phút; B. 18 phút; C. 72 phút; D. 27 phút.
Câu 7. Xác định hệ số a của hàm số y = ax biết đồ thị của nó đi qua (l;-2).
A. 1



2


− ; B.1


2; C. -2; D. 2.


Câu 8. Cho điểm M (x; y) thuộc đồ thị hàm số y = -2x. Xác định độ điểm M
biết x + y = 3.


A. (l;-2); B.M (l;2); C. M (-1;3); D. M (-3;6).
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1.Chia số 310 thành ba phần:


a) Tỉ lệ thuận với 2; 3; 5; b) Tỉ lệ nghịch với 2; 3; 5.


Bài 2. Ba đội máy san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ
nhất hồn thành cơng việc trong 3 ngày, đội thứ hai hồn thành cơng việc trong 4
ngày, đội ba hoàn thành công việc trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy
(cùng năng suất). Biết rằng đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai 2 máy ?


Bài 3. Cho đường thẳng OA trong hình vẽ
là đồ thị của hàm số y = -4(a + 2)x


a) Hãy xác định, hệ số a ?


b) Đánh dấu điểm trên đồ thị có hồnh
độ bằng 1?



(103)

HƯỚNG DẪN


PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Câu 1. A. Câu 5. B.
Câu 2. B. Câu 6. A.
Câu 3. C. Câu 7. C.
Câu 4. D. Câu 8. D.
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài l. a)Ta có


2 3 5 10


x = = =y z x+ +y z


= 31 => x = 62; y = 93; z = 155.
b)


1 1 1 31


2 3 4 10


x y z x+ +y z


= = = = 300 => x = 150; y = 100; z = 60
Bài 2.Gọi số máy đội 1, đội 2 và đội 3 lần lượt là x,y, z (máy)
(x, y, z > 0). Theo đề bài ta có: x - y - 2 và


3 4 6


x y z


= =
Tìm được x = 8; y = 6; z = 4.


Bài 3. HS tự vẽ hình.


Đồ thị của hàm số y = 4 (a + 2)x đi qua điểm A (3;-2) nên ta
có: -2 = 4 (a + 2).3 => a = -13


6 .


b) Từ điểm trên 1 trục hoành ta kẻ đường thẳng song song với trục tung cắt
OA tại B. Ta được điểm B có hồnh độ bằng 1.


c) Từ điểm trên -3 trục tung ta kẻ đường thẳng song song với trục hoành, cắt
OA tại C . Ta được điểm C có tung độ bằng -3


...
...
...


PHẦN B. HÌNH HỌC


CHUN ĐỀ I. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC.
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG


CHỦ ĐỀ 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Định nghĩa




(104)

cạnh của góc kia.


2. Tính chất của hai góc đối đỉnh
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.


Chú ý:


- Mỗi góc chỉ có một góc đối đỉnh với nó;
- Hai góc bằng nhau chưa chắc đã đối đỉnh.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Nhận biết hai góc đối đỉnh


Phương pháp giải: Xét các cạnh của góc và các tia đối để tìm cặp góc đối đỉnh.
1A. Cho hình a, b, c, d và e. Cặp góc nào đối đỉnh? Cặp góc nào khơng đối
đỉnh? Vì sao?


1B. Vẽ hai đường thẳng aa' và bb' cắt nhau tại O như hình vẽ. Hãy điền vào
chỗ trống (...) trong các phát biểu sau:


a) Góc aOb và góc ... là hai góc đối đỉnh vì
cạnh Oa là tia đối của cạnh Oa' và cạnh Ob
là... của cạnh Ob'.


b) Góc a'Ob và góc aOb' là ... vì cạnh Oa là
tia đối của cạnh ... và cạnh ... là tia đối của
cạnh Ob'.


2A. Vẽ bốn đương thẳng xx', yy', zz', tt' cùng đì qua điểm O. Hãy viết tên các
cặp góc đối đỉnh (khác góc bẹt).



2B. Vẽ ba đường thẳng aa', bb' và cc' cắt nhau tại A. Hãy viết tên các cặp góc
đối đỉnh (khác góc bẹt).


3A.Vẽ góc vuông xAy. Vẽ x Ay' ' đối đỉnh với xAy . Hãy viết tên hai góc
vng khơng đối đỉnh


3B.Vẽ hai góc có chung đỉnh và có cùng số đo là 60°, nhưng không đối đỉnh.
Dạng 2. Tính số đo góc


Phương pháp giải:Sử dụng các tính chất:
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau;



(105)

biết xOy- yOx' = 30°.


4B. Cho hình vẽ bên. Biết  AOC+BOD = 140°.
Hãy tính số đo các góc   AOC COB BOD, , và DOA


5A. Cho góc xOy có số đo bằng 45°, Vẽ hai tia Om, On lần lượt là tia đối của
tia Oy, Ox. Tính số đo các góc cịn lại trên hình.


5B.Vẽ hai đường thẳng cắt nhau sao cho trong các góc tạo thành có một góc
bằng 150°. Tính số đo các góc cịn lại.


6A. Cho hai góc kề nhau xOy và yOz có tổng bằng 150° và  xOyyOz= 90°.
a) Tính số đo xOyyOz


b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh xOzyOz


6B. Cho hai góc kề nhau xOy và yOz có tổng bằng 110° và xOy −yOz= 30°.
a) Tính số đo xOyyOz.



b) Gọi Oz' là tia đối của tia Oz. Hãy so sánh xOzyOz


7A. Đường thẳng xx' cắt đường thẳng yy' tại O. Vẽ tia phân giác Ot của xOy
a) Gọi Ot' là tia đối của tia Ot. So sánh xOt't Oy'


b) Vẽ tia phân giác Om của xOy. Tính góc mOt


7B. Vẽ x Ay' ' đối đỉnh với xAy. Vẽ tia phân giác Az của xAy và tia đối At của
tia Az. So sánh x At' và y At'


Dạng 3. Chứng minh hai góc đối đỉnh


Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai góc xOyx Oy' ' là hai góc đối
đỉnh ta có thể dùng một trong hai cách sau:


Cách 1.Chứng minh tia Ox là tia đối của tia Ox' (hoặc Oy') và tia Oy là tia đối


của tia Oy' (hoặc Ox'), tức là hai cạnh của một góc là các tia đối của hai cạnh của
góc cịn lại.


Cách 2. Chứng minh xOy = x Oy' ' trong đó tia Ox và tia Ox' (hoặc Oy') đối



(106)

8A. Trên đường thẳng xx' lấy điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ xx’, vẽ tia Oy
sao cho xOy = 45°, Trên nửa mặt phẳng còn lại, vẽ tia Oz sao cho Oz ⊥Ox. Gọi Oy'
là phân giác của x Oz'


a) Chứng minh xOyx Oy' 'là hai góc đối đỉnh.


b) Trên nửa mặt phẳng bờ xx' chứa tia Oy, vẽ tia Ot sao cho Ot vuông góc với


Oy. Hãy tính x Ot'


8B. Cho hình vẽ bên:
a) Tính xOm và xOn


b) Vẽ tia On' sao cho xOn' đối


đỉnh với x On' . Trên nửa mặt


phẳng bờ xx' chứa tia On', vẽ tia Oy sao cho n Oy' = 90°. Hai góc mOn
'


n Oy có đối đỉnh khơng? Vì sao?


9A. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O sao cho AOC = 60°.
a) Tính số đo các góc cịn lại.


b) Vẽ tia Ot là phân giác của AOC và Ot' là tia đối của tia Ot. Chứng minh Ot'
là tia phân giác của BOD


9B. Cho hai góc kề bù xOy và yOz. Gọi Om và On lần lượt là các tia phân
giác của các góc xOyyOz


a) Tính số đo mOn


b) Vẽ zOy'đối đỉnh vói xOy và Om' là tia đối của tia Om. Chứng minh Om' và
On lần lượt là tia phân giác của các góc y Oz' và mOm'


10A. Cho góc aOb. Vẽ bOc kề bù với aOb; aOd kề bù với aOb. Vẽ Of là tia
phân giác của bOc; Oe là tia phân giác của dOa. Khi đó cOfvà aOe có phải là hai


góc đối đỉnh khơng? Vì sao?


10B. Cho góc mOn. Vẽ Ox là tia phân, giác của mOn. Vẽ Ox' là tia đối của tia
Ox. Vẽ nOtkề bù với mOn. Khi đó các góc x Ot' mOxcó phải là hai góc đối đỉnh
khơng? Vì sao?


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


11. Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M tạo thành AMC có số đo bằng
30°.


a) Tính số đo các góc BMDAMD.


b) Viết tên các cặp góc đối đỉnh và các cặp góc bù nhau.


12. Chứng minh hai tia phân giác của hai góc kề bù vng góc với nhau.
13. Cho góc mOn. Vẽ nOt kề bù với mOn; mOz kề bù vói mOn. Khi đó mOn
tOz có phải là hai góc đối đỉnh khơng?



(107)

a) Tính số đo các góc yAx', x Ay' 'y Ax'


b) Vẽ tia phân giác At của xAy và tia phân giác At' của x Ay' '. Chứng minh


hai tia At và At' là hai tia đối nhau.


HƯỚNG DẪN


BÀI 1. HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH
1A. Các cặp góc đố i đỉnh: hình a và e.



Các cặp góc khơng đối đỉnh: hình b (khơng chung đỉnh), hình c (một cặp cạnh
khơng là hai tia đối nhau) và hình d (hai góc không bằng nhau).


1B. a) a Ob' ' / tia đối;
b) hai góc đối đỉnh/ Oa'/ Ob.
2A.Ta có hình vẽ:


Các cặp góc đối đỉnh gồm:


xOyx Oy' ' yOz và y Oz' ' zOt và z Ot' '
'


tOxt Ox' xOz và x Oz' ' yOt và y Ot' '
'


zOxz Ox' tOy' và t Oy' xOt và x Ot' '
yOx'y Ox'xOy'z Oy' tOz't Oz' .
2B.Tương tự 2A.


3A.Hai góc vng khơng đối đỉnh là:


xAyxAy'(hoặc các cặp góc xAy và
'



(108)

4A. Ta có:  xOy+yOx' = 180° và  xOyyOx' = 30° => yOx'= 75°.
Suy ra xOy' = 75° (hai góc đối đỉnh).


4B.Tính được xOy' = BOD =70°; AOD=BOC =110°



5A. Ta có: mOn =xOy=45°


Do xOy và xOm kề bù nên:


xOy + xOm =180°


Suy ra xOm = 180° - xOy = 135°.
Mà yOn và xOm đối đỉnh nên




yOn = xOm = 135°.
5B.Tương tự 5A.
Tính được:


   


1 3 150 ; 2 4 30


O =O = ° O =O = °
6A. a) Ta có :


 150 90


120
2


xOy= °+ °= °



=> yOz = 150° - 120° = 30°
b) Ta có yOz' và yOz' kề bù nên:


'


yOz + yOz = 180°


=>yOz' = 150° - 30° = 150°.


Mà xOz = xOy + yOz = 150°. Vậy xOz = yOz'.
6B. Tương tự 6A.


Tính được xOy = 70°, yOz = 40°.


Tính được xOz = 110°, yOz' = 140° => xOz < yOz'.


7A. a) Ta có:  1


2
xOy
O =


O 1=O2(đối đỉnh), xOy = x Oy' '(đối đỉnh)


 


4 5


O =O Lại có:


  


5


' '


xOt =xOy +Ot Oy  ' =x Oy O' + 4 =



(109)

Lại có


  


5


' '


xOy =xOy +Ot Oy  ' =x Oy O' + 4


Mà  xOy'=x Oy' (đối đỉnh)


O 5 =O4=>  xOt'=t Oy' .


b) Vì   1 


1 1


',


2 2



xOm= xOy O = xOy nên:


    


1


1


( ' )


2


mOt=xOm O+ = xOy +xOy = 90°
7B. Tương tự 7A. Ta được  x At' =y At' .


8A. a) Vì Oy' là phân giác x Oz' nên


 1 1


' ' '


2 2


x Oy = x Oz= . 90° = 45°
=>  xOy=x Oy' '


Mà Ox và Ox' là hai tia đối nhao nên


xOy và x Oy' ' đối đỉnh.



b) x Oy' '= 45°, y Ot' = 90° => Ox' là phân giác tOy'


Do đó x Ot' = 45°.


8B.  xOm+x On' = 90° => x = 15° => xOm = 50°, x On' = 40°.
Hai góc mOn và n'Oy là hai góc đối đỉnh.


9A. a) BOD =AOC= 60° (đối đỉnh.).


=> COB +AOC= 180° (kề bù), => BOC=180° −AOC= 120°
=>  AOD=BOC= 120° (đối đỉnh),


b) Vì Ot là phân giác góc AOC nên


 1


2


AOt= AOC= 30°


=> BOt '= AOt= 30° (đối đỉnh).
Tương tự:


' 30  ' '
DOt = ° ⇒BOt =DOt


Do đó Ot' là phân giác của BOD.


9B.a) Tính được mOn= 90°. b) Tương tự ý b) 9A.



10A. Vì góc bOc kề bù với góc aOb nên Oa và Oc là hai tia đối nhan. Tương
tự Ob và Od là hai tia đối nhau.


Do đó hai góc bOc và aOd đối đỉnh => bOc =aOd
Lại có:  1  1


,


2 2


cOf = bOc aOe= aOd nên cOf =aOe


Mà Oa và Oc là hai tia đốì nhau nên cOfaOeđối đỉnh.
10B. Tương tự 10A. Hai góc x Ot' và mOxđối đỉnh.
a) Tính được BMD=3 ,0° AMD=150°



(110)

Các cặp góc kề bù: AMC và AMD, AMD và BMD, BMD và BMC, BMC và
AMC


12. Gọi hai góc kề bù là aOb và bOc, lần lượt nhận Ox và Oy là hai tia phân
giác.


Dễ dàng chứng minh:  1
2


xOy= (aOb + bOc) = 90° => Ox ⊥ Oy.
13. Tương tự 10A. mOn và tOz là hai góc đối đỉnh,


14. a) Tính được  yAx'= y Ax' = 140°; x Ay' '= 40°.


b) Ta chứng minh  xAt=x At' = 20°.


Do Ax và Ax' là hai tia đối nhau, At và At' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
nên At và At' là hai tia đối nhau



(111)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT


1. Định nghĩa



- Hai đường thẳng xx', yy' cắt nhau
và trong các góc tạo thành có một
góc vng được gọi là hai đường
thẳng vng góc.


- Kí hiệu: xx' ⊥ yy'.



(112)

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc vói
một đường thẳng cho trước.


3. Đường trung trực của đoạn thẳng
Đường thẳng vng góc với một đoạn
thẳng tại trung điểm của nó được gọi là


đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Vẽ hình


1A. Vẽ đường trịn tâm O bán kính R = 2 cm. Lấy ba điểm A, B, C phân biệt
bất kì trên đưịng trịn. Vẽ các dây AB, BQ CA. Vẽ các đường trung trực của các
đoạn thẳng AB, BC, CA.


1B. Cho ba điểm A, B, C bất kì. Hãy vẽ các đường trung trực của các đoạn
thẳng AB, BC, CA.


2A.Vẽ góc xOy có số đo bằng 45°. Lấy điểm A bất kì nằm trong xOy. Qua A
vẽ đường thẳng d vng góc với tia Ox tại B, đường thẳng d' vng góc với tia Oy
tại C và đường thẳng d" đi qua A và vng góc với BC.



2B. Vẽ đường thẳng a. Trên đường thẳng a vẽ đoạn AB = 6 cm. Vẽ tiếp đường
thẳng d đi qua điểm A và vng góc với a. Vẽ đường thẳng d' đi qua điểm B và
vng góc với a. Hai đương thẳng d và d' có cắt nhau khơng?


Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vng góc


Phương pháp giải: Muốn chứng minh hai đường thẳng xx' và yy' vng góc
với nhau ta có thể sử dụng một trong 4 cách sau:


Cách 1. Chứng minh một trong bốn góc tạo thành bởi hai đường thẳng ấy là


góc vng.


Cách 2. Chứng minh hai góc kề bù bằng nhau, từ đó suy ra có một góc bằng


90°.


Cách 3. Chứng minh hai tia Ox và Oy là hai tia phân giác của hai góc kề bù


nhau với O là giao điểm của xx' và yy',


3A. Cho xOy = 120°. Vẽ các tia Oz và Ot nằm trong xOy sao cho Oz vuông
góc với Ox và Ot vng góc với Oy.


a ) Tính số đo góc zOt.


b) Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc xOtyOz. Chứng
minh tia Om ⊥ On.


3B. Cho góc mOn có số đo 150°. Vẽ các tia Oa và Ob ở trong góc đó sao cho


Oa, Ob lần lượt vng góc với các tia Om và On.


a) Chứng tỏ aOn = bOm


b) Vẽ tia Ox và tia Oy theo thứ tự là các tia phân giác của các góc aOn và


bOm. Tính xOy.


4A. Cho hai tia Ox và Oy vng góc với nhau. Trong góc xOy, ta vẽ hai tia
Oa và Ob sao cho aOx = bOy = 30°. Vẽ tia Oc sao cho tia Oy là tia phân giác của





(113)

4B. Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy, ta vẽ ba tia gồm
Om, On sao cho xOm = yOn < 90° và Ot là phân giác của mOn. Chứng minh Ot
vng góc với xy.


Dạng 3. Các bài tốn vận dụng tính chất hai đường thẳng vng góc


Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng vng góc để giải các
bài tập liên quan.


5A. Cho xOy= 120°. Ở phía ngồi của góc vẽ hai tia Oc và Od sao cho Od ⊥
Ox và Oc ⊥Oy. Gọi Om và On theo thứ tự là phân giác của xOydOc; Oy' là tia
đối của tia Oy. Chứng minh:


a) Ox là tia phân giác của y Om' ;
b) Oy' nằm giữa hai tia Ox và Od;
c) Góc mOn là góc bẹt.



5B. Cho xOy = 100°. Về phía ngồi của góc vẽ hai tia Oz và Ot sao cho Oz và
Ot lần lượt vng góc với Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của xOy và Om' là tia
đối của tia Om.


a) Chứng minh Om' là tia phân giác của zOt
b) So sánh số đo hai góc mOzyOm


6A. Cho góc nhọn xOy. Trên một nửa mặt phẳng bờ Ox chứa tia Oy, kẻ tia
Ox' vng góc với Ox. Trên một nửa mặt phẳng bờ Oy chứa tia Ox, vẽ tia Oy' vng
góc với Oy. Chứng minh hai góc xOyx Oy' ' có cùng tia phân giác và tổng số đo
hai góc bằng 180°.


6B. Cho góc xOy tù. Bên ngồi góc đó dựng hai tia Oz và Ot lần lượt vng
góc với Ox và Oy. Chứng minh hai góc xOyzOt bù nhau


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


7. Cho góc aOb có số đo bằng 50°. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ob chứa tia Oa,
vẽ tia Om vuông góc với Ob. Trên nửa mặt phẳng cịn lại vẽ tia On vng góc với Oa.


a) Chứng minh hai góc aOm và bOn bằng nhau.


b) Vẽ Om' là tia đối của tia Om. Tính số đo góc m'On.


8. Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Vẽ tia phân giác Om của


BOC. Gọi On là tia đối của tia Om.
Chứng minh:



a) Tia On là phân giác của AOD;


b) Gọi Op là phân giác của BOD. Chứng minh Op ⊥ On.


9. Cho góc xOy. Từ điểm A nằm trong góc đó kẻ AH vng góc với Ox (H
thuộc Ox) và AK vng góc với Oy (K thuộc Oy). Trên tia đối của tia HA lấy điểm
B sao cho HB = HA. Trên tia đối của tia KA lấy điểm C sao cho KC = KA. Chứng
minh OB = OC.


10. Cho góc vng xOy. Điểm M nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho
tia Ox là đường trung trực của MN và Oy là đường trung trực của MP. Chứng minh
ON = OP.



(114)

1B.Tương tự 1A.


Chú ý: Xét hai trường hợp: ba điểm A, B, C thẳng hàng và A, B, C khơng


thẳng hàng.


2A.Ta có hình vẽ bên:


2B.Tương tự 2A.


Kết luận hai đường thẳng d và d' khơng
cắt nhau.


3A. a) Ta có:


9030



xOz= ° =>zOy= °


Do yOt= 90° nên tOz= 60°.


b) Vì Om, On lần lượt là phân giác
của yOz và xOt nên:


 


mOz=nOt = 15°.


Do đó: mOn   =mOt+tOz+zOn= 15° + 60° +15° = 90°
3B.Tương tự 3A.Tính được:


 


aOn=bOm= 60°. b) xOy = 90°.
4A. Ta có: aOb= 30° = xOa suy ra
Oa là phân giác của bOx.


Lại có aOy = 60°, Oy là phân
giác của aOc nên:


 



(115)

  


bOc=bOy+yOc= 90°.



4B.Tương tự 4A. Tính được xOt = yOt = 90° => Ot⊥xy.
5A. a) Có  xOm= yOm = 60°


=>   yOm< yOx<yOy'


=>Tia Ox nằm giữa Om và Oy'
Lại có:


y Ox' = 180°- 120° = 60° = xOm
=> Ox là phân giác của y Om' .


b) xOy '<xOd suy ra tia Oy' nằm giữa hai tia Ox và Od.
c) yOd = 90° - 60° = 30°


  ' '


cOd =cOyy Od = 90°- 30° = 60° => dOn = 30°
=> xOn = 90° + 30° = 120°


 


xOn+xOm= 120° + 60° = 180° hay mOn = 180°.
5B.Tương tự 5A. Ta được:


a)  zOm'=tOm' = 40°


mOz = 140°, yOm' = 130° suy ra mOz > yOm'


6A. Ta có:  xOy+x Oy' = 90° và xOy +xOy' = 90° =>  x Oy' =xOy'.



Mặt khác Ox', Oy' nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox nên Ox nằm
giữa hai tia Ox' và Oy'.


Tương tự Oy nằm giữa hai tia Ox' và Oy'
Gọi Om là phân giác góc xOy, suy ra Oy
nằm giữa Ox' và Om, Ox nằm giữa Oy' và


Om, Om nằm giữa Ox và Oy.
Lại có Om là phân giác góc xOy


=>  xOm= yOmx Oy ' =xOy'(cùng phụ


xOy). Do đó x Om ' = y Om' .


=> Om cũng là phân giác của x Oy' ' (ĐPCM).


6B.Tương tự 6A.


7.Tương tự 4A. Tính được:


a) aOm =bOn= 40°. b) m On' = 50°.


8. Ta có:  BOm=nOA(đối đỉnh), COm =nOD(đối đỉnh).


Mà  BOm=COm=>nOA =nOD


b)    1( )



2


nOp=nOD+DOp= AOD+DOB = 90° => ĐPCM


9. Ox là đường trung trực của AB, O ∈AB
Nên OA = OB


Tương tự ta có OA = OC
Từ đó suy ra ĐPCM
10. Tương tự 9



(116)

(117)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...



CHỦ ĐỀ 3. CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG


I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Góc so le trong. Góc đồng vị


Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b lần lượt tại A và B như hình vẽ.
Khi đó:


a) Hai cặp góc A3 và B1; A4 và B2


được gọi là các cặp góc so le trong.
b) Bốn cặp góc A1 và B1; A2 và B2;


A3 và B3; A4 và B4được gọi là các


cặp góc đồng vị.


c) Hai cặp góc A3 và B2; A4 và B1được



(118)

2. Tính chất


Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b


và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
a) Hai góc so le trong cịn lại bằng nhaư;


b) Hai góc đồng vị bằng nhau;
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



Dạng 1. Xác định các cặp góc so le trong, cặp góc trong cùng phía, cặp
góc đồng vị


Phương pháp giải: Căn cứ vào vị trí của hai góc so với hai đường thẳng và
đường thẳng thứ ba cắt chúng.


1A.Chỉ ra các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía có trong các hình
vẽ sau:


1B. Dựa vào hình vẽ bên, điền vào chỗ trống:
a) ABCBCD là hai góc ...


b) CMN và CAD là hai góc ...
c) CMN và DNA là hai góc ...
d) DAC và ACB là một cặp góc ...
e)CBA và DAB là một cặp góc ...


Dạng 2. Tính số đo góc


Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù để
tính góc.



(119)

2B. Cho đường thẳng p cắt hai đường
thẳng m và n lần lượt tại M và N
như hình vẽ bên. Tính các góc còn
lại, biết 


1



M = 110°, N2= 95°.


3A. Cho hình vẽ. Tính các góc cịn lại
biết  A2 =B4 = 75°.


3B. Cho hình, vẽ bên.
a) Kể tên các cặp góc so le


trong, các cặp góc đồng vị và
các cặp góc trong cùng phía.
b) Tính các góc cịn lại,
biết  


2 2


P =Q = 45°.


4A. Cho hình vẽ bên. Tính
các góc cịn lại, biết


 '


aIK =IKb = 28°.


4B. Cho hình vẽ bên. Biết
'


FEm = 80° và EFn' = 100°.
Tính các góc cịn lại.




(120)

a) Kể tên các cặp góc so le trong,
các cặp góc đồng vị và các cặp
góc trong cùng phía.


b) Tính các góc cịn lại


6. Cho hình vẽ bên. Tính các
Góc cịn lại, biết  xTL=TLy'= 720




7.Cho hình vẽ bên


a) Kể tên các cặp góc so le trong,
các cặp góc đồng vị và các cặp góc
trong cùng phía.


b) Tính các góc cịn lại,
biết aBO = 140°, BOn = 40°.


HƯỚNG DẪN
1A. Hình a)


Các cặp góc so le trong: 


1


M và N4 , M4 và N3


Các cặp góc đồng vị: 



1


M và N2; M2 và N3; M3 và N4; M4 và N1 Các cặp


góc trong cùng phía: M1 và N3; M4 và N4.


Hình b):Tưong tự Hình a).


1B. a) trong cùng phía, b) đồng vị. c) so le trong,
d) so le trong. e) trong cùng phía.



(121)

Tính được: 


1


M = M3 =110°; M2= M4 = 70°; N2=N4= 95°


và N1 = N3= 85°;


3A. Tính được    
   


2 4 4 2


1 3 1 3


75


180 75 105



A A B B


A A B B


= = = =
= = = =
°


° − ° = °



3B. a) Tương tự 1A


b) Tính được    
   


2 3 2 3


1 4 1 4


45


180 45 135


P P Q Q


P P Q Q



= = = =
= = = =
°


° − ° = °



4A.Tính được    


    28 1


' ' ' 28


' ' ' 180 52


aIK a Ic IKb bKc
aIc a IK bIK b Kc


= = = = °
=


° − ° = °
= = =



4B. Tương tự 4A.
5. a) Tương tự 1A.



b) Tính được:   xAz=xAb=x AB' =x Az' = 90°.
 ' ' 10 ;0  ' '


yBz =ABy = ° = y Bz = yBz= 80°.


6.Tương tự 4A. Tính được    
   


' ' ' 72


' ' ' 108


xTL TLy x Tz yLz
xTz x TL TLy y Lz


= = = =
=

= = =
°


°



7.Tương tự 1A.


b) Tính được    
   



140
40
aBO bBc nOd BOm
aBc bBO BOn mOd


= = = =
= = = =
°


°

...
...
...


CHỦ ĐỀ 4. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Nhắc lại kiến thức lớp 6


• Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khơng có điểm chung.
• Hai đường thẳng phân biệt hoặc cắt nhau hoặc song song.


2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song


Nếu đường thẳng c cắt hai đường thắng a, b và trong các góc tạo thành có một
cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song
song với nhau.



II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Chứng minh hai đường thẳng song song


Phương pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song ta có


thể chứng minh theo các cách sau:


Cách 1.Chứng minh hai góc so le


trong bằng nhau: 


3 2



(122)

hoặc  


4 2


A =B


Cách 2.Chứng minh hai góc đồng vị


bằng nhau:  A1=B1 hoặc  A2 =B2, hoặc


 


3 3


A =B , hoăc  A4 =B4



Cách 3.Chứng minh hai góc trong cùng


phía bù nhau:  A4+B1= 180° hoặc  A3+B2= 180° .


Cách 4.Chứng minh hai đường thẳng a


và b cùng vng góc (hoặc song song)
với một đường thẳng khác


1A.Cho hình vẽ bên, biết cAa'= 120° và


ABb= 60°. Hai đường thẳng aa' và
bb' có song song với nhau khơng?
Vì sao?


1B.Cho hình vẽ bên, biết:
 


aMc= yNz= 30°.


Chứng minh hai đường thẳng ax
và by song song với nhau.


2A.Cho hình vẽ bên, biết yAt= 40°,


xOy = 140°, OBz = 130° và OA ⊥ OB.
Chứng minh At // Bz.



2B. Cho hình vẽ bên, biết OAx = 30°,


OBy= 150° và Ot là tia phân giác



(123)

3A. Cho xOy = 120°. Lấy điêm A trên tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
Ox chứa tia Oy vẽ tia At sao cho OAt= 60°. Gọi At' là tia đối của tia At.


a) Chứng minh tt' // Oy.


b) Gọi Om và An theo thứ tự là các tia phân giác của các góc xOy và xAt.
Chứng minh Om // An


3B.Lấy điểm O bất kì trên đường thằng xy. Trên nửa mặt phẳng bờ xy, vẽ tia
Oz sao cho xOz = 50°. Trên tia Oy, lấy điểm B. Trên nửa mặt phẳng bờ xy chứa tia
Oz, vẽ Bt sao cho tBy = 130°.


a) Chứng minh Oz // Bt.


b) Vẽ tia Om và Bn sao lần lượt là các tia phân giác của xOz và xBt. Chứng
minh Om // Bn.


Dạng 2. Tính số đo góc


Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt các tính chất của hai đường thẳng song
song để biến đổi và tính góc.


4A. Cho hình, vẽ bên, biết hai đường
thẳng m và n song song với nhau.
Tính số đo các góc    



1, ,1 2, 3


L T T T


4B.Cho hình vẽ bên với a // b.
Tính số đo của B1


5A. Cho Bx // Ny //Oz, OBx = 130° và


ONy = 140°. Tính BON .



(124)

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


6. Cho hình vẽ sau. Hai đường thẳng mp
và nq có song song với nhau khơng?
Vì sao?


7. Cho hình vẽ bên, biết yBn -148°
 


mAx=zCn = 32°. Chứng minh ba đường
thẳng Ax, By và Cz đôi một song song.


8. Cho xOy = 50°. Lấy điểm A trên tia Ox. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox
chứa tia Oy, vẽ tia At sao cho At cắt Oy tại B và OAt = 80°. Gọi At' là tia phân giác
của góc xAt.


a) Chứng minh At' // Oy.



b) Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm A, bờ là đường thẳng Oy, vẽ tia Bn
sao cho OBn = 50°. Chúng minh Bn // Ox.


9. Cho hình vẽ bên có hai tia Tx và
Ly song song với nhau. Tính số đo
góc TBL, biết  xTB=TBn= 110° và




BLy = 150


HƯỚNG DẪN
1A. Ta có: cAa '+a AB' = 180° (hai góc kề bù)


=> a AB' =180° −cAa'=180° −120° = °60


=>a AB ' =ABb= °60 (hai góc so le trong bằng nhau)


=> aa' // bb'.


1B.  xMN =cMa= °30 (đối đỉnh), MNb = yNz= °30 (đối đỉnh)


=>  xMN=MNb (hai góc so le trong bằng nhau) => ax // by.
2A.Kẻ tia đối Ox' của Ox => yOx'= 40°


=> yOx' = yAt (hai góc đồng vị bằng nhau)
=> Ox' // At (1).


Mặt khác: OA ⊥OB => AOB= °90



=>   x OB' = yOByOx'= ° − ° = °90 40 50


=>  x OB' =OBz=50° +130° =180°


(hai góc trong cùng phía bù nhau)
=>Ox' //Bz (2).



(125)

2B. Vì Ot là phân giác AOB nên:
=   1 1


2 2


AOt=BOt= AOB= . 60° = 30°
=>  xAO=AOt => Ax // Ot (1)


Lại có : tOA OBy + = 30° +150° = 180° => Ot // By. (2)
Từ (1) và (2), ta có Ax // By // Ot.


3A. a) OAt +xOy= 60°+ 120° = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)
=> At // Oy => tt' // Oy


b) Vì Om là phân giác xOy nên:


 1 1


2 2


xOm= xOy= .120° = 60° (1)
Mặt khác : OAt=60° =>xAt= 120°


Vì An là phân giác xAt nên:


 1 1


2 2


xAn= xAt= .120° = 60° (2)


Từ (1) và (2) suy ra xOm =xAn.
Do đó Om // An.


3B.Tương tự 3A.


4A.Tính được: L 1=T2 =42 ;° T 1=T3= 180° - 42° = 138°.


Tính được 


1


B = 180° -108° = 72°.
5A. Kẻ Oz' là tia đối của tia Oz.
Ta có: Bx //Oz =>  xBO+BOz'= 180°
=> BOz' = 50°.


Oz// Ny =>  z ON' +ONy = 180°


=> z ON' =40° =>BON= 50°+ 40° = 90°.


5B. Ta có: Ax // By  xAB+ABy=180° =>ABy = 45°
Lại có: Ct // By => CBy =zCt = 45°. Vậy ABC= 90°.


6. Tương tự 1A.




BAp = 72° = kBq (hai góc đồng vị bằng nhau) suy ra mp|| nq.
7.Tương tự 2A.


 


mAx=zCn = 32° => Ax // Cz.


=> yBn=148° >= yBC=32° =BCz= > By // Cz Suy ra ĐPCM
8. Tương tự 3A


80


OAt= ° =>xAt= 100°.


=> xAt' = 50°


Do đó; xOy = xAt' => Oy // At.
b) xOy =OBn=50° => Ox // Bn.
9. Tương tự 5A.



(126)

(127)

...
...
...
...
...
...


...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 5. TIÊN ĐỀ Ơ-CLIT VỂ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Tiên đề Ơ-Clit


Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song
với đường thẳng đó.


2. Tính chất của hai đường thẳng song song


Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:
a) Hai góc so le trong bằng nhau;


b) Hai góc đồng vị bằng nhau;
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Vận dụng tiên đề Ơ-clit


Phương pháp giải:



* Tiên đề Ơ-clit về hai đường thẳng song song:



(128)

* Nếu qua một điểm ở ngồi đường thẳng, có hai đường thẳng song song với
đường thẳng đã cho thì hai đường thẳng đó trùng nhau.


1A.Chọn các câu khẳng định đúng:


a) Qua điểm A nằm ngồi đường thẳng xy, có một đường thẳng song song
với xy.


b) Qua điểm A nằm ngoài đường thằng xy, có duy nhất một đường thẳng
song song với xy.


c) Qua điểm A nằm ngồi đường thẳng xy, có vơ số đường thẳng song song
với xy.


d) Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng m thì hai
đường thẳng AB và AC trùng nhau.


e) Nếu qua điểm A có hai đường thẳng cùng song song vói đường thẳng d thì
hai đường thẳng đó song song với nhau


1B. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?


a) Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, có ít nhất một đường thẳng song
song với a.


b) Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, có một và chỉ một đường thẳng
song song với a.



c) Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng song song vói đường thẳng m thì hai
đường thẳng AB và AC song song.


d) Nếu hai đường thẳng AB và AC cùng song song với đường thẳng m thì ba
điểm A, B, C thẳng hàng.


2A. Cho hình vẽ bên.


a) Chứng minh AD song song với BC.
b) Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường


thẳng AB không chứa điểm D, lấy điểm
E sao cho BAE = 70°. Chứng minh E, A,
D thẳng hàng theo hai cách sau:


Cách 1:Chứng minh EAD = 180°.


Cách 2:Sử dụng tiên đề Ơ-clit.


2B.Cho hình vẽ bên, trong đó MP song
song với NQ. Trên nửa mặt phẳng không
chứa điểm P có bờ là đường thẳng MN, vẽ
điểm E sao cho EMN =MNQ. Chứng minh các


điểm E, M, P thẳng hàng.


Dạng 2. Vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song để tính số đo góc


Phương pháp giải: Sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song: Nếu
một đường thẳng cắt hai đường thắng song song thì:




(129)

b) Hai góc đồng vị bằng nhau;
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau
3A. Cho hình vẽ dưới đây, biết
a // b và A1 =75°. Tính số đo các


góc cịn lại trên hình.


3B.Cho hình vẽ bên, biết a // b và


3


A = 60°. Tính số đo các góc cịn lại
trên hình.


4A.Tính số đo x trong hình bên.


4B. Tính số đo x trong hình bên.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


5. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?


a) Qua một điểm vẽ được một và chỉ một đường thắng song song với đường
thẳng đã cho


b) Qua một điểm ở ngồi đường thẳng vẽ được ít nhất một đường thẳng song
song với đường thẳng đã cho.



c) Qua một điểm ở ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với
đường thẳng đã cho.


d) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng thì tạo ra cặp góc so le trong bằng
nhau.


e) Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra cặp góc trong
cùng phía bù nhau.


6. Cho hình vẽ bên, trong đó m // n
M2 = 120°. Tính số đo các góc



(130)

7. Cho hình vẽ dưới đây, trong đó
a //b. Tính số đo x.


8.Tính số đo x trong hình vẽ bên.


9. Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt


phẳng không chứa điểm C có bờ là đường thẳng AB, vẽ tia AD sao cho
 


BAD= ABC. Trên nửa mặt phẳng khơng chứa điểm B có bờ là đường thẳng AC, vẽ
tia AE sao cho CAE = ACB. Chứng minh.:


a) AD song song với BC;


b) Ba điểm D, A, E thẳng hàng


HƯỚNG DẪN


1A .Các khẳng định đúng: a, c, d


1B. a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
2A. a) Ta có DAB +ABC= 180°.


Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía.


Từ đó AD // BC (tính chất hai đường thẳng
song song).


b) Cách 1:


 


EAB+BAD= 70° + 110° = 180°
Cách 2: EAB =ABC = 70°


Mà hai góc ở vị trí so le trong nên
AE// BC ( tính chất hai đường thẳng
song song)


Lại có AD//BC ( chứng minh ý a))
nên Ad = AE.


Vậy E, A, D thẳng hàng
2B. Tương tự 2A.


3A. Ta có a //b nên B 1= A1= 75° (hai góc đồng vị).


   



3 1 75 ; 3 1



(131)

Lại có  


1 2 180


A +A = °(hai góc kề bù)
=> A2 = 180°- 75° = 105°.


 


4 2


B =A = 105° (hai góc đồng vị)
 


4 2


B =B = 105°;  A4 = A2 = 105° (cặp góc đối đỉnh).


3B. Tương tự 3A. Tính được    
   


3 1 3 1


2 4 2 4


60
120



A A B B


A A B B


 = = = °


°
=




= = = =





4A.Ta có  A=D= 60°, hai góc ở vị trí
so le trong nên AB //CD.


Từ đó x + C = 180° (hai góc trong cùng phía)
=> x = 180° - 80° = 100°.


4B.Chứng minh MN//PQ. Khi đó P


N là hai góc trong cùng phía. => x = 45°.


5. a) Đúng b) Sai c) Đúng



d) Sai e) Đúng


6.Tính được    
   


2 4 2 4


1 3 3 1


120
60


M M N N


M M N N


= = = =





= = = = °


°



7.Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song ta tính được x = 80°
8. Chứng minh EF//BC.


x = AFE= 50° (hai góc đồng vị).


9. a) Có  BAD=ABC( giả thiết),
Mà hai góc ở vị trí so le trong
nên AD // BC (theo tính chất hai
đường thẳng song song).


c) Tương tự ý a), chứng minh
d) được AE // BC



(132)

AE và AD trùng nhau. Từ đó ba điểm
D, A, E thẳng hàng



(133)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


CHỦ ĐỀ 6. TỪ VNG GĨC ĐẾN SONG SONG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


1. Quan hệ giữa tính vng góc với tính song song


• Hai đương thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì


chúng song song với nhau.


• Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó
cũng vng góc với đường thẳng kia.


/ /
a c


a b
b c





=>
 ⊥


/ /
a b


c b
c a




=> ⊥
 ⊥





2. Ba đường thẳng song song


Hai đường thẳng phân biệt cùng song
song với đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau.


/ /


/ /
/ /


a c


a b
b c




=>




II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



(134)

Phương pháp giải: Sử dụng mối quan hệ giữa tính vng góc và tính song
song hoặc ba đường thẳng song song.


1A.Trong hình bên biết:




BAD = 110°, ABC = 70°, BCD = 90°.
Chứng minh hai đường thẳng a và d


vng góc với nhau


1B. Cho hình vẽ bên, biết BAC= 123°,


ABD = 57° và d ⊥a. Hỏi d có vng góc
với b khơng ?


2A. Trong hình vẽ bên, MN ⊥PN,
 


aMN =MNb = 40°, và NPc= 50°


Chứng minh ba đường thẳng Ma, Nb và
Pc song song với nhau


2B. Cho hình vẽ bên.Hãy chứng tỏ a //b//c


Dạng 2. Tính góc


Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất chứng minh hai đường tahwngr
vng góc hoặc song song; tính chất các cặp góc đối đỉnh, các góc kề bù nhau, các
góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song…





3A.Trong hình vẽ bên, biết 1 2


5
7
A = A ,
 


2 1


BB = 30° và a ⊥c. Tính C1và C2



(135)

4A. Cho hình vẽ, biết Dp // Er //Fq. Khi
đó hai đường thẳng DE và DF có vng
góc với nhau khơng? Vì sao?


4B. Cho hình vẽ, biết Ab//Cc. Khi đó hai
đường thẳng BA và BC có vng góc với
nhau khơng? Vì sao?


5A. Cho góc mOn. Trên tia Om, lấy điểm C;


trên tia On, lấy điểm D. Vẽ ra ngoài mOn các tia Cx và Dy song song với
nhau. Tính số đo mOn, biết OCx = 50° và ODy = 40°.


5B. Cho góc mOn. Trên tia Om, lấy điểm C; trên tia On, lấy điểm D. Vẽ ra
ngoài mOn các tia Cx và Dy song song vói nhau. Tính số đo mOn, biết OCx = 150°
ODy = 120°.


II. BÀI TẬP VỀ NHÀ



6. Trong hình vẽ bên, biết d ⊥ b,


BAD = 100° và ABC = 80°.


Chứng minh hai đường thẳng a và d
vng góc với nhau.


7. Cho hình vẽ bên, biết BAC = 80°. Các tia
Ax, By, Cz có nằm trên các đường thẳng
song song với nhau không? Vì sao?


8. Cho góc mOn. Trên tia Om, lấy điểm C;
trên tia On, lấy điểm D. Vẽ ra ngoài mOn


các tia Cx và Dy song song với nhau. Tính
số đo mOn, biết OCx = 55° và ODy = 35°.


HƯỚNG DẪN
 


BAD+ABC = 180° => a // b


Mà BCD= 90°=>d ⊥b. Do đó d ⊥a.
1B. Tương tự 1A. Kết luận d ⊥ b.


2A. Ta có: aMN =MNb= 40° => Ma // Nb. (1)
Vì MN ⊥NP nên MNP =90° =>bNP = 90° - 40° - 50°.



Mà NPc=50° =>bNP =NPc => Nb// Pc. (2)


Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
2B.HS tự làm.



(136)

Mà a ⊥c => b⊥c => C 1 =C2= 90°.


3B. Tương tự 3A. Tính được B1 = 60° và  B2 = A2= 120°.


4A.Kẻ tia đối Dp' của Dp => EDF  =EDp'+p DF' = 39° + 51° = 90°.
4B. Tương tự 4A.


5A.Kẻ Oz // Cx // Dy. Suy ra:
    
mOn=COz+DOz=OCx ODy+
=> mOn = 90°.


5B. Tương tự 5A.


6. BAD +ABC= 180° => a//b.
Mà d ⊥b nên d ⊥a.


7.Kẻ tia Ax' là tia đối của tia Ax.
Khi đó: x AB ' =uBy = 60°


=> Ax' // By.


Lại có: x AC' = 80°- 60° = 20°.
=>  x AC' +ACz=180°



=> Ax' //Cz.


Do đó các tia Ax, By, Cz nằm trên ba đường thẳng song song với nhau.
8. Tương tự 6A. Tính được mOn= 55° + 35° = 90°



(137)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ I
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài 1 đến Bài 6.
II. BÀI TẬP


* Các bài toán về hai đường thẳng vng góc


1A.Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy. Vẽ tia Oz sao cho


xOz = 60°.


a) Tính số đo yOz.



b) Vẽ Oa và Ob lần lượt là tia phân giác của các góc xOz, yOz. Chứng minh
đường thẳng chứa tia Oa và đường thẳng chứa tia Ob vng góc với nhau.


1B. Cho hai góc kề bù AOCCOB. Gọi OM là tia phân giác của AOC. Kẻ
tia ON vng góc với OM (tia ON nằm trong góc BOC). Tia ON là phân giác của
góc nào? Vì sao?


2A. Cho hai góc kề nhau và yOz có tổng bằng 150° và xOy = 4yOz
a) Tính số đo mỗi góc.


b) Trong xOy vẽ tia Ot ⊥Oz. Chứng minh Ot là phân giác xOy.


2B.Cho hai góc kề nhau aOb và bOc có tổng bằng 125° và cOb - bOa = 25°.
a) Tính số đo mỗi góc.


b) Trong aOb vẽ tia Od ⊥Oc. Tia Od có là phân giác của góc aOb khơng?
3A. Cho xOy = 40°. Vẽ yOz kề bù với xOy. Vẽ zOt = 50° sao cho tia Ot nằm
giữa hai tia Oy và Oz. Tính số đo yOt


3B.Cho hai góc kề bù aOb và bOc , biết aOb - bOc = 120°. Trong góc aOb vẽ
tia Od sao cho aOc = 60°. Chứng tỏ Ob ⊥Od.



(138)

4A. Cho xOy = 110° và Oz là tia phân giác của góc đó. Trên tia Ox, lấy điểm
M, dựng tia Mt nằm trong góc đó sao cho OMt = 70°.


a) Chứng minh Mn //Oy,


b) Gọi Mt' là tia đối của tia Mt, Mn là tia phân giác của OMt'. Chứng minh



Mn //Oz.


4B. Cho aOb = 120° và Oc là tia phân giác của góc đó. Trên tia Oa, lấy điểm
M, dựng tia Mt nằm trong góc đó sao cho OMt = 60°.


a) Chứng minh Mt //Ob,


b) Gọi Mt' là tia đối của tia Mt, tia Mn nằm trong OMt' sao cho t Mn' = 60°.
Chứng minh Mn // Oc.


* Các bài toán về quan hệ từ vng góc đến song song


5A. Cho tam giác ABC có A = 90°. Lấy điểm M trên BC. Vẽ MH ⊥AB và
MK ⊥AC (H ∈ AB, K ∈AC).


a) So sánh BMH và BCA; HBM và KMC
b) Tính số đó HMK.


5B. Cho tam giác ABC có A = 90°. Lấy điểm M trên BC. Vẽ MH⊥AC và
MK⊥AB (H ∈ AC, K ∈AB).


a) So sánh BMH và BCA; HBM và KMC.
b) Tính số đo HMK


* Các bài tốn về định lí


6A. Cho tam giác ABC có A= 40°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D. Trên
nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Dx //BC. Biết xDC= 70°.


b) Tính số đo ACB



c) Vẽ tia Ay là phân giác BAD. Chứng minh Ay //BC.


6B. Cho tam giác MNP có M = 86°. Trên tia đối của tia MP lấy điểm Q. Trên
nửa mặt phẳng bờ MP không chứa điểm N, vẽ tia Qx //NP, biết xQP = 47°.


a) Tính số đo MPN


b) Vẽ tia My là phân giác NMQ. Chứng minh My //NP.
III. BÀI TẬP VỂ NHÀ.


7. Cho hai góc kề nhau aOb và bOc có tổng bằng 140° và


aOb - cOb = 60°.
a) Tính số đo mỗi góc.


b) Trong aOb vẽ tia Od ⊥ Oc. Tia Od là phân giác của góc nào? Vì sao?


8. Cho xOy = 20°.Vẽ yOz kể bù với xOy. Vẽ zOt = 95° sao cho tia Ot nằm
giữa hai tia Oy và Oz. Tính số đo yOt


9. Cho xOy = 80° và Oz là tia phân giác của góc đó. Trên tia Ox lấy điểm M,
dựng tia Mt nằm trong góc đó sao cho OMt =100°,


a) Chứng mình Mt //Oy.


b) Gọi Mt' là tia đối của tia Mt, Mn là tia phân giác của OMt'. Chứng minh
Mn // Oz.




(139)

a) So sánh KHC và BAC; PKC và HBC; ABH và BHK.
b) Chứng minh CHK = HBC


HƯỚNG DẪN
1A. a) yOz = 180°- 60°. = 120°.


b) Ta có :   yOb< yOz< yOa
=> Tia Oz nằm giữa hai tia Oa
và Ob.


Suy ra: aOb  =aOz+bOz = 30° + 60° = 90°.
Vậy Oa ⊥ Ob (ĐPCM).


1B.Tương tự 1A. Kết luận ON là phân
giác của BOC.


2A. a) xOy=120°,yOz=30°


b) zOy  <zOt<zOx


=> tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oz
=>xOt = 150° - 90° = 60°


=> tOy = 60° => ĐPCM.
2B.Tương tự 2A.


a) Tính được aOb = 50° và bOc = 75°.
Tia Od khơng là phân giác của góc aOb.


3A. Do  xOy+yOz=18 ;0° xOy= 40°


=> yOz=140° =>tOy =90°


3B.Tương tự 3A.


aOb= 150°, bOc= 30° =>bOd= 90°. Vậy Ob ⊥Od
4. a) OMt +xOy=180° => Mt // Oy.


Vì Mt' là tia đối của tia Mt nên
'


OMt = 110°.



(140)



OMn = 55°


Mặt khác xOz = 55° nên xOz = OMn.
Suy ra Mn || Oz.


4B.Tương tự 4A.


5A. a) Vì MH ⊥ AB, CA ⊥ AB nên:
MH||CA => BMH =BAC(hai góc đồng vị).
Tương tự HMB =KMC


b) Do MH || CA và MK⊥ AC nên MK ⊥MH
Suy ra HMK = 90°.


5B.Tương tự 6A.



6A. a) Vì Dx || BC =>  ACB=CDx= 70°.
b) Do A=40° =>BAD= 140°.




DAy = 70°.


Do đó DAy = BCA nên Ay || BC.
6B.Tương tự 7A


7.Tương tự 2B.


Tính được aOb = 100° và bOc = 40°
Tia Od là phân giác của góc aOb
8.Tương tự 3A


9.Tương tự 5A.
10.Tương tự 7A



(141)

...
...
...
...
...
...
...
...


ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ I



Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút


ĐỀ SỐ 1
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:


Câu 1.Hai đường thẳng MN và PQ cắt nhau tại A tạo thành MAP= 43°. Số đo


PAN bằng:


A. 137°; B. 43°; C. 180°; D. 86°.
Câu 2.Khẳng định nào đúng?


A. Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh;
B. Hai góc so le trong thì bằng nhau;


C. Nếu a và b cắt c mà trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong
bằng nhau thì a// b;


D. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thì vng góc với nhau.
Câu 3.Hai đường thằng cắt nhau tạo nên bơh góc (khác góc bẹt):


A. Đối đỉnh;


B. Đôi một đối đỉnh;


C. Đôi một không kề nhau đối đỉnh;


D. Bằng nhau.


Câu 4.Cho hình vẽ bên, biết
130 ,o160o


xAB= BCy= và Ax // Cy.
Số đo ABC là:


A. 70°; B. 90°;


C. 80°; D. 65°.


Câu 5.Cho hình vẽ bên dưới biết
110 ,o70o


aAd = ADC= và BC⊥b.
Số đo ABC là:



(142)

C.110°; D. Kết quả khác.
Câu 6.Cho hình vẽ bên . Tìm giá trị của x
A. 10°; B. 90°;


C. 5°; D. 15°.


Câu 7.Cho hình vẽ bên, biết hai tia
Tx//Ly, xTB=TBn= 110° và BLy = 150°.
Tính số đo góc TBL


A. 150°; B. 90°;
C. 110°; D.100°


Câu 8.Chọn câu trả lời đúng:


A. Hai tia phân giác của cặp góc kề nhau thì vng góc với nhau;
B. Hai tía phân giác của cặp góc đối đỉnh thì vng góc với nhau;
C. Hai tia phân giác của cặp góc kề bù thì vng góc với nhau;
D. Hai tia phân giác của cặp góc bù nhau thì vng góc với nhau.
PHẨN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1.(2,0 điểm)


Cho hình vẽ bên dưới, biết:
60 ,O35 ,O85O


CAB= ABC= ACB= .


Tính các góc cịn lại tại mỗi đỉnh.


Bài 2.(2,0 điểm)
Cho hình vẽ bên, biết:


30 ,O90O


xAB= ABC= , By //Cz //Ax.
Tính số đo BCz


Bài 3. (1,5 điểm) Cho mOn = 86°. Trên tia Om, lấy điểm A. Qua A vẽ tia At
sao cho mAt= 86° (tia At nằm trong mOn).


a) Tia At có song song với tia On khơng? Vì sao?
b) Vẽ AH ⊥On (H ∈On). Chứng minh AH⊥At.


c) Tính số đo OHA



(143)

Bài 4.(0,5 điểm)


Cho hình vẽ bên, biết ax // by.
Hai tia


phân giác của xAB và ABy cắt nhau
tại M. Chứng minh AM ⊥ BM


HƯỚNG DẪN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM


Câu 1. A. Câu 5. B.
Câu 2. C. Câu 6. D.
Câu 3. C. Câu 7. D.
Câu 4. A. Câu 8. C.
PHẦN II. TỰ LUẬN


Bài 1. HS tự làm.


Bài 2. Ta có:  ABy=xAB=30° >=  BCz=CBy = 90°- 30° = 60°.
Bài 3.


a) mAt =mOn= 86° At // On.
b) / /


On
At On
AH



AH At


=>







c) OAH = 180° - 90° - 86° = 4°.
d) d⊥AH, At ⊥AH => d // At
=> OBI =OAt ( hai góc đồng vị).
Bài 4.Kẻ Mz // ax // by.


=>   1


2
AMz=xAM = xAB


và   1


2
zMB=MBy= ABy


=> 1( ) 1.180 90


2 2



MAB= xAB+ABy = = =>AMBM



(144)

(145)

...
...
...
...
...
...


ĐỀ SỐ 2
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)


Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:


Câu 1. Cho hình vẽ bên. Để a // b thì sô đo A1là:


A. 60°; C. 80°;
B.100°; D. 120°


Câu 2. Hai góc M và N là hai góc bù nhau. Số đo M lớn hơn số đo N là 20°
thì số đo MN lần lượt là:


A.120° và 100°; C. 55° và 35°;
B.100° và 80°; D.110° và 90°.
Câu 3.Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?
A. A1 và B1 là hai góc đồng vị.


B. A2 và B4 là hai góc so le trong.



C. A2 và B1 là hai góc trong cùng phía.


D. A2 và B4là hai góc trong cùng phía.


Câu 4.Cho hình vẽ bên có a // b. Số đo của BON la:


A.100° C.80°;


B.110°; D.120°;
Câu 5.Cho hình vẽ bên. Số đo của x là:
A. 100°; C. 130°;
B. 110°; D. 120°;
Câu 6. Chọn câu trả lời đúng:


A. Hai góc bằng nhau và có chung đỉnh là hai góc đối đỉnh.
B. Hai góc đối đỉnh thì phải là hai góc nhọn,


C. Hai góc đối đỉnh thì phải là hai góc tù.


D. Có nhũng cặp góc bằng nhau nhưng khơng phải là hai góc đối đỉnh.
Câu 7. Cho MN //PQ và MQ//NP. Tính x.



(146)

B. 140°; D. Kết quả khác


Câu 8.Cho hai đường thẳng a và b
cùng vuông góc với đường thẳng c.
Tính góc x.


A.50°; C. 60°;



B. 70°; D. Kết quả khác.
PHẦN II. TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)


Bài 1. (2,0 điểm)Cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O. Biết xOy = 45°.
a) Tính số đo các góc  x Oy xOy' ', 'x Oy' .


b) Trên tia Ox lấy điểm A khác O. Kẻ đường thẳng aa' đi qua A và song song
với yy'. Kẻ được bao nhiêu đường thẳng aa' như vậy? Vì sao?


c) Chỉ ra các góc ở đỉnh A có số đo bằng 45° và giải thích.


Bài 2. (2,0 điểm) Vẽ hai tia Oy và Oz cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ
chứa tia Ox sao cho xOy = 30° và xOz = 120°


a) Tính số đo yOz


b) Vẽ hai tia Om và On lần lượt là tia đối của các tia Oy, Oz. Chỉ ra hai cặp
góc đối đỉnh có trong hình vẽ.


c) Chứng tỏ hai đường thẳng ym và zn vuông góc với nhau.
Bài 3. (1,5 điểm)


Cho hình vẽ bên, biết TB và LB lần
lượt là phân giác các góc aTLTLC.
Tính tổng  BTL+BLT


Bài 4. (0,5 điểm)


Cho hình vẽ bên có Ox, At và Bz đơi


một song song. Tính AOB, biết


yAt = 40° và OBz= 130°


HƯỚNG DẪN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM


Câu 1. A. Câu 5. D.
Câu 2. B. Câu 6. D.
Câu 3. D. Câu 7. B.
Câu 4. B. Câu 8. C.
PHẦN II. TỰ LUẬN


Bài 1. a)  ABy=xAB=30° >= BCz =CBy= 135°


b) Theo tiên đề Ơ-clit, qua A kẻ được một đường thẳng song song với yy'.
c)OAa  =a Ax' =xOy = 45° (các cặp góc đồng vị).


Bài 2.



(147)

b) yOzmOn, yOnmOz


yOz= 90° => Oy ⊥ Oz => ym ⊥ zn
Bài 3. Ta có : aTn =bTm=60° =>BTL = °30


  13065


TLc=dLn= ° =>BTL= °



=+ BTL = BLT = 95°


Bài 4.Kẻ tia Ox' là tia đôi của tia Ox.
 '


yOx = yAt= 40° và ?x OB' =180° −OBz= 180°-130° = 50°.
Do đó AOB= 40° + 50° = 90°.


CHUYÊN ĐỀ II. TAM GIÁC


CHỦ ĐỀ 1. TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT


*Góc trong của tam giác:


- Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.


- Trong một tam giác vng, hai góc nhọn phụ nhau.
* Góc ngồi của tam giác:


- Góc ngồi của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy.
- Mỗi góc ngồi của một tam giác bằng tổng của hai góc trong khơng kề với nó.
- Góc ngồi của tam giác lớn hơn mỗi góc trong khơng kề với nó.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN


Dạng 1. Tính số đo của một góc, so sánh các góc


Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất trong phần "Tóm tắt lý thuyết" từ


đó thiết lập được mối liên hệ giữa các góc cần tìm và các góc đã biết.


1A.Tính số đo x,y trong các hình vẽ sau:



(148)

2A. Cho tam giác ABC vng tại A có C = 35°. Tia phân giác của góc A cắt
BC tại D. Kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC).


a) Tính góc ADH.


b) Tính góc HAD và HAB.


2B. Cho tam giác ABC, góc ngồi đỉnh C có số đo bằng 100°, 3A=2B
a) Tính góc B, C.


b) Hai tia phân giác Ax và By của các góc A, B cắt nhau tại O. Tính góc
BOA.


3A. Trên hình có Ay song song
với Dx, CDx= 150°;CAy = 40°.
Tính góc ACD bằng cách coi nó
là góc ngồi của một tam giác.
3B.Trên hình có Mx song song với
Py,NMx=60 ,° NPy=35°.Tính góc MNP.


4A. Tính các góc của tam giác ABC biết:
a) A=2B =6C b)  


2 3 4


A= B =C



4B. Tính các góc của tam giác ABC biết:
a) A=2 ;  B CB= 36°.


b)   


3 1 2


A B C
= =


5A.Cho hình vẽ bên. Hãy so sánh:
a) AEM và ABM


b) AEC và ABC


5B. Cho tam giác ABC, D là một điểm trên cạnh BC, O là điểm nằm trong
tam giác.


a) So sánh ADC và ABC. b) So sánh BOCBAC


6A. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD (D thuộc BC). Tính ADB và ADC
biết  B C = 40°.


6B. Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B cắt AC tại E. Tính AEBBEC
biết 2C +B=150°.


Dạng 2. Các bài toán chứng minh



(149)

7A.Cho tam giác MNP, E là một điểm trên MN. Chứng minh: NEP >NMP


7B.Cho tam giác ABC có góc B tù. Chứng minh rằng các góc A và C nhọn.
8A. Cho tam giác MNP có  N >P .Vẽ phân giác MK.


a) Chứng minh MKP   MKN = −N P


b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh M của tam giác MNP, cắt
đường thẳng NP tại E. Chứng minh rằng:   


2
N P
MEP= −


8B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi d là đường thẳng vng góc với BC
tại C. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D và cắt d ở E.


Chứng minh rằng EDC =DEC
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


9. Tính số đo x, y, z trong các hình vẽ sau:


10. Cho tam giác ABC (B <C) có A+2B = 100°. Tính số đo C −B.
11. Cho tam giác ABC, biết   A B C: : = l : 3 : 5.


a) Tính các góc tam giác ABC.


b) Tia phân giác ngoài đỉnh B cắt đường thẳng AC tại D. Tính số đo ADB.
12. Cho tam giác ABC có B =C. Gọi Am là tia phân giác của góc ngồi đỉnh
A. Hãy chứng tỏ rằng Am //BC.


13. Cho tam giác ABC có B =2C. Trên tia đối của tia CB lấy một điểm D sao


cho CDA =CAD. Gọi Ax là tia đối của tia AC.


a) Chứng minh BAx=6CAD


b) Cho góc A= 30° . Tính B; CAD


14. Cho tam giác vng ABC tại A, kẻ AH vng góc với BC (H thuộc BC).
Các tia phân giác góc B và góc HAC cắt nhau tại I.


Chứng minh rằng AIB = 90°.


15. Cho tam giác ABC, E là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh
rằng: BEC   = ABE+ACE+BAC


HƯỚNG DẪN
1A. a) Ta có A=180° −( B C+ ) = 80°. Vậy x = 80°.


b) Cách 1. Ta có   ADC=BAD+ABD. Từ đó suy ra y = ADC = 110°. Mà trong


tam giác ADC có y + 2x = 180°. Từ đó tính được x = 35°.


Cách 2.BAD = 90° - 20° = 70° = 2x. Vậy x = 35° và y -180° - 70° = 110°.


1B. Ta có 3x = 60°. Từ đó suy ra x = 20°.
Tìm được x= ADC - ABD= 20°.



(150)

2A. Tính được ADC = DAB = 45°.
Ta lại có:  ADH =DAC+DCA


=> ADH = 80°.


b) Ta có:


     


  


2


2 3 4 2 3 4


4 6


0
0 ; 0 ; 80


A B C A B C


A B C


+ +


= = = =


+ +


= = ° =


°


° °



= 10°.
Từ đó tính được HAB = 35°.


2B. a) Đáp số B =60 ;° C=80° b) Đáp số BOA = 130°.
3A.Kéo dài AC cắt Dx tại E.


Ta có  AEx=EAy= 40°
Tính được CDE = 30°.


Mà    ACD=CDE+CED=ACD= 70°.


3B.Tương tự 3A. Tính được MNP= 95°.
Ta có   A+ + =B C 180° =>10C= 180°.
Từ đó tính được C=18°;A=108°;B=54°
b) Sử dụng tính chất tỉ lệ thức ta được:


     


2


2 3 4 2 3 4 0


A= B =C = A+ +B C =


+ + °


Từ đó tính được A=40 ;° B=60 ;° C= °80
4B.Tương tự 4A.



Đáp số B =36°; A= =C 72°


Đáp số A=90°;B =30°;C= °60


5A. a) Ta có AEM là góc ngồi tam giác ∆AEB.
Từ đó suy ra AEM > ABM.


b) Ta có MEC >MBC


Kết hơp vói kết quả câu a, suy ra  AEC> ABC
5B.Tưong tự 5A.


a) Đáp số  ADC>ABC
b) Đáp số BOC >BAC.


6A.Sử dụng tính chất góc ngồi
Ta được:


    
2
A
ADB= +C DAC= +C


Tương tự   


2
A
ADC= +B


Suy ra    ADCADB= −B C= 40°. Mà  DAC+ADB= 180°. Từ đó tính được


110 ,70



(151)

6B. Ta có   


   


180


30
2 150


A B C


A C


B C




+ + =  => − =




°


+ =


°


°  90   ; 90 



2 2


B B


CEB= ° − EDC=ADB= ° −


Tương tự 6A. Ta tính được AEB=7 ,5°BEC=105°
7A. Ta có NEP là góc ngồi tam giác ∆PEM .
Từ đó suy ra NEP > NMP.


7B. Cách 1. Do B tù nên ta có góc ngồi của đỉnh B là góc nhọn, suy ra các
góc A, C nhọn.


Cách 2. Do   A+ + =B C 180°mà B >90° => A C+ <180°−90°nên góc A và C đều


là các góc nhọn.


8A. a) Sử dụng tính chất góc ngồi.
Ta được:


     .


2 2


M M


MKN = +P MKP= +N
   
MKPMKN = −N P


b) Ta có


    


2
NMx
MEP=MExMPE= −P


Mà   NMx= +N P. Từ đó suy   
2
N P
MEP= −


8B. Ta có:  90   ; 90 


2 2


B B


CEB= ° − EDC= ADB= ° −
Suy ra  EDC=DEC.


9.a) Đáp số x = 65°; y = 30°; z = 95°. b) Đáp số x = 95°, y = 50°.
10. Ta có A+2B=(  A+ +B C) (+ B C − )


Từ đó tính được C − = °B 80


11. Ta có:       20


1 3 5 1 3 5



A= B =C = A+ +B C =


+ + °


Tính được A=20°;B =60°;C =100°


Tính được BDA=40°


12. Ta có CAx =2C. Từ đó suy ra
 


CAm=C.


Do đó Am//BC.


13. a) Ta có BAx=3C =6CAD
b) Tính được


  50


32 100 2


2


; 6 5



(152)

14. Cách 1 . Do  ABC=HAC(cùng
phụ với BAH). Xét AIB có



    


2 2


B HAC
ABI+BAI = +BAI+
 


ABC+BAH= 90° (vì ∆BAH
vuông ở H) => ĐPCM.


Cách 2. Do  B+HAC. Gọi D là giao điểm của AI và BC.
Xét ∆ACD có       


2 2


HAC B


ADB C+ +DAC= +C = +C
Suy ra ∆BID có     


2
B


BIA= +ADB= +B C= 90°( đpcm)


15. Kéo dài AE cắt BC tại K.
Ta có:   BEK =BAE+EBA;


  


CEK =CAE+ECA.
Ta có   BEC=BEK+KEC


  


ABE+ACE+BAC (đpcm)



(153)

...
...


CHỦ ĐỀ 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng
bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.


= ∆ABC = ∆A'B'C'       


' '; ' '; '


; ;


'
A B A


A A B


C A C BC
B C



B B


A C


C





= =


= = =


=



II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Từ hai tam giác bằng nhau, xác định các cạnh bằng nhau, các góc
bằng nhau. Tinh độ dài các đoạn thẳng các số đo góc.


Phương pháp giải:Dựa vào quy ước viết các đỉnh tương ứng của hai tam giác
bằng nhau theo đúng thứ tự, ta viết được các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau.


1A. Cho ∆ABC = ∆MNP, A=60 ,O P =35O


a) Tìm các cạnh tương ứng bằng nhau.
b) Tính các góc cịn lại của hai tam giác.
1B. Cho ∆ABC = ∆DEF,  20 ,O  75O



B= F=


a) Tìm các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
b) Tính các góc còn lại của hai tam giác.


2A. Cho ∆ABC = ∆MNP, AB = 6 cm, BC = 8 cm, MP = 10 cm.
Tính chu vi của mỗi tam giác trên


2B. Cho ∆ABC = ∆DEF, AB = 7 cm, BC = 5 cm, DF = 6 cm.
a) Tính các cạnh cịn lại của mỗi tam giác.


b) Tính chu vi của mỗi tam giác trên.


Dạng 2. Viết kí hiệu về sự bằng nhau của hai tam giác.


Phương pháp giải: Viết ba đỉnh của tam giác thứ nhất, rồi lần lượt đến các
đỉnh tương ứng của tam gác thứ hai.


3A. Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC (khơng có hai cạnh hoặc góc
nào bằng nhau) và một tam giác có ba đỉnh, là M, N, P. Viết kí hiệu về sự bằng nhau
của hai tam giác đó, biết rằng:



(154)

3B. Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác DEF (khơng có hai cạnh hoặc hai
góc nào bằng nhau) và một tam giác có ba đỉnh là G, H, K. Viết kí hiệu về sự bằng
nhau của hai tam giác đó, biết rằng:


a) EF = GH, ED = GK. b) F   =G D, =H
II. BÀI TẬP VỂ NHÀ


4. Cho ∆ABC = ∆MNP, A= °80 ,P =45°. Tính các góc cịn lại của hai tam. giác.



5. Cho ∆PQR = ∆DEF, PQ = 12cm, QR = 13cm, DF = 15cm.
a) Tính các cạnh cịn lại của mỗi tam giác.


b) Tính chu vi của mỗi tam giác trên.


6. Cho hai tam giác bằng nhau: tam giác ABC (khơng có hai góc nào hoặc hai
cạnh nào bằng nhau) và một tam giác có ba đỉnh là I, J, K. Viết kí hiệu về sự bằng
nhau của hai tam giác đó, biết rằng:


a) AB=JI C, =K b) AB = IK, AC = IJ.
c)    A=K B, =J


HƯỚNG DẪN
1A. a) AB = MN, AC = MP, BC = NP.
b) A =M =60°;C = =P 35°;B =N =85°


1B. Tương tự 1A.


2A. AB = MN = 6cm ; BC = NP = 8cm; AC = MP = 10cm


ABC MNP


C =C = 6 + 8 + 10 = 24cm
2B.Tương tự 2A.


3A. ∆ABC = ∆MNP .
3B. a) ∆DEF = ∆KGH
b)∆DEF = ∆HKG.



4. A =M =80°;P = =C 45°;B =N =55°


5. Tương tự 2A. HS tự giải.


6. a)∆ABC = ∆JIK; b)∆ABC = ∆IKJ; c)∆ABC = ∆AKJI



(155)

...
...


CHỦ ĐỀ 3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM
GIÁC CẠNH - CẠNH - CẠNH (C.C.C)


I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT


Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau.


Xét ∆ABC và ∆A'B'C có:


' '


' ' ' ' '( . . )


' '
AB A B


BC B C ABC A B C c c c


AC A C



= 




= => ∆ = ∆




=


II - BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp
cạnh - cạnh - cạnh


Phương pháp giải:


 Xét hai tam giác.


Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau: cạnh - cạnh - cạnh.
Kết luận hai tam giác bằng nhau.


1A.Trong các tam giác dưới đây có những tam giác nào bằng nhau? Vì sao


1B. Cho hình vẽ với ABCD là
hình vng, tìm trong hình những



(156)

Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh cạnh cạnh để chứng minh
hai góc bằng nhau



Phương pháp giải:


- Chọn hai tam giác có hai góc, là hai góc cần chứng minh bằng nhau.
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh
- Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau


2A.Cho hình vẽ bên. Chứng minh:
a) ∆ABC = ∆ABD


b) AB là phân giác của DAC


2B.Cho hình vẽ bên. Chứng minh:
a) ∆ABC = ∆ABD


b)  ACB= ADB


c) AB là phân giác của DAC


3A. ∆Cho ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh:
a) AM là phân giác của BAC b) AM BC.


3B. Cho ∆ABC có AB = AC, H là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh:
a) .B =C b) AH là phân giác của BAC


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


4. Cho ∆MNP cố MN = MP, I là trung điểm của cạnh NP. Chứng minh:
a)  N =P. b) MI là phân giác của NMP.


c) MI là trung trực của NP.



5. Cho ∆ABC, M là trung điểm BC, N là một điểm trong tam giác sao cho NB
= NC. Chứng minh:


a) ∆NMB = ∆ NMC. b) MBN =MCN.


c) ∆ABC cần thêm điều kiện gì để ∆ABN = ∆ACN.


6. Cho tứ giác ABCD thỏa mãn AB = CD, AD = BC. Chứng minh rằng:
a) ∆ABC = ∆CDA, b) AB // CD và AD // BC


7. Cho tam giác ABC có AB = AC. Lấy hai điểm D, E thuộc cạnh BC sao cho
BD = DE = EC. Biết AD = AE.


a) Chứng minh EAB =DAC.



(157)

HƯỚNG DẪN


1A. ∆ABC = ∆ADC (c. c. c); ∆EFH = ∆GHF (c. c. c)
∆IJL = ∆KLJ (c. c. c); ∆IJK = ∆KLI (c. c. c)


1B. ∆MQR = ∆NRS = ∆OST = ∆PTQ (c.c.c).
2A. a) ∆ABC = ∆ABD (c.c.c)


b) Từ câu a) suy ra CAB =DAB, từ đó ta có ĐPCM.
2B.Tương tự 2A.


3A. a) ∆ABM = ∆ABD (c.c.c)
Suy ra BAM =CAM Suy ra đpcm



b) Suy ra  AMB=AMC( Góc tương ứng)
Mà  AMB+AMC= 180°


=>  AMB= AMC= 90°. Suy ra AM ⊥BC.
3B.Tương tự 3A. HS tự làm.


4. Tương tự 3A. HS tự làm.
5. a) ∆NMB = ∆NMC (c.c.c)
b) Suy ra MBN =MCN(c.g.t.ư)
c) Điều kiện là AB = AC.


6. a) ∆ABC = ∆CDA (c.c.c).
b) =>  BAC=DCA=>AB||CD


 


DAC=BCA=> AD || BC


7. a) ∆ABE = ∆ACD (c.c.c)
=> EAB =DAC.


b) ∆ADM = ∆AEM (c.c.c)


=> DAM =EAM=> AM là phân giác DAE


c) Từ câu a =>  ADE=AED= (180° - 60°): 2 = 60°



(158)

(159)

CHỦ ĐỀ 4. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI
CỦA TAM GIÁC CẠNH - GÓC - CẠNH (C.G.C)
I - TÓM TẮT LÝ THUYẾT



1. Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh


Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa
của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.


Xét ∆ABC va ∆A'B'C' có:
 


' '


' ' ' '( . . )


' '
B A B


B B ABC A B C C G C


BC B C


= 




= => ∆ = ∆




=



2. Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vng của tam giác vng này bằng hai cạnh
góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó bằng nhau.


II - BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Vẽ tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa


Phương pháp giải: Vẽ góc, rồi xác định vị trí hai đỉnh cịn lại của tam giác.
1A.Vẽ tam giác ABC biết A = 90°, AB = AC = 5 cm. Sau đó đo các góc B
C.


1B.Vẽ tam giác MNP biết M = 60°, MN = 3 cm, MP = 4 cm


Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh -
góc - cạnh


Phương pháp giải:


 Xét hai tam giác.


Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh.
Kết luận hai tam giác bằng nhau.


2A. Cho hai tam giác ABC, DEF có A = 50°, E = 70°, F = 60° AB = DE,
AC = DE. Chứng minh: ∆ABC = ∆DEE.


2B. Cho tam giác MNP, từ điểm P kẻ đường thẳng song song với MN, trên
đường thẳng đó lấy điểm K sao cho PK = MN (K và M ở cùng phía so với NP).
Chứng minh ∆MNP = ∆PKM.



Dạng 3. Chứng minh hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) bằng nhau


Phương pháp giải:


Chọn hai tam giác có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh


bằng nhau.



(160)

3A. Cho xOy có Om là tia phân giác, C∈ Om (C≠O). Trên tia Ox lấy điểm A,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Chứng minh:


a) ∆OAC = ∆OBC . b) OAC =OBC và CA = CB.


3A. Cho ∆ABC có AB < AC . Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D.
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh


a) ∆ABD = ∆AED.


b) DA là tia phân giác của góc BDE. Từ đó suy ra  ABC> ACB.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


4. Vẽ tam giác ABC biết B= 60°, AB = BC = 4 cm.


5. Cho tam giác ABC, kẻ AH vng góc với BC,(H ∈ BC). Trên. tia đối của
tia HA lấy điểm K sao cho HK = HA, nối KB, KC. Tìm các cặp tam giác bằng nhau.


6. Cho góc xAy, lấy điểm B trên tia Ax, điểm D trên tia Ay sao cho AB = AD
. Trên tia Bx lấy điểm E, trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE = DC. Chứng minh


∆ABC = ∆ADE.



7. Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. Qua M kẻ đường thẳng d vng
góc với AB. Lấy C∈d ( C≠M ). Chứng minh CM là tia phân giác của góc ACB


8. Cho ∆ABC có AB = AC, phân giác AM (M ∈ BC).
Chứng minh:


a)∆ABM = ∆ACM.


b) M là trung điểm của BC và AM ⊥ BC.


9. Cho ∆ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, lấy điểm D sao
cho AD / /BC và AD = BC. Chứng minh:


a) ∆ABC = ∆CDA. b) AB //CD và ∆ABD = ∆CDB.


10. Cho ∆ABC có A = 90°, trên cạnh BC lây điểm E sao cho BA= BE. Tia
phân giác góc B cắt AC ở D.


a) Chứng minh: ∆A BD = ∆EBD.
b) Chứng minh: DA = DE.


c) Tính số đo BED


d) Xác định độ lớn góc B để EDB =EDC.


11. Cho ∆ABD, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E
sao cho ME = MA. Chứng minh:


a) ∆ABM = ∆ECM. b) AB = CE và AC / /BE


HƯỚNG DẪN


1A.HS tự giải.
1B.HS tự giải.


2A. Tính đượcD= °50 => ∆ABC = ∆DEF (c.g.c)


2B. NMP =MPK(so le trong) và MN = PK; cạnh Mp chung
= >∆MNP = ∆PKM (c.g.c).


3A. a) ∆OAC = ∆OBC (c.g.c).
b) Từ câu a)



(161)

3B. a)∆ABD = ∆AED (c.g.c)
b) =>  BDA=EDA. (c.g.t.ư)
=> ĐPCM.


Và  ADB= AED. Mà ∆DEC có
 


AED>ACB => ĐPCM.


4. Tương tự 1A.1B.HS tự giải.
5. ∆ABH = ∆AKH(c.g.c)


∆BCH = ∆KCH(c.g.c)
∆ABC = ∆AKC(c.c.c).
6. ∆ABC = ∆ADE (c.g.c)
7. ∆MAC = ∆MBC ( c.g.c)
=>  ACM >BCM => đpcm.


8. a) ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)


b) Theo câu a) => BM = CM (c.c.t.ư)
CMA >AMB = 90° => đpcm


9. ∆ABC = ∆CDA (c.g. c).
Từ câu a) => AB = CD và


 


BAC=DCA=>ĐPCM.


10. a) ∆ABD = ∆EBD (c.g.c)


b) => DA = DE (Cặp cạnh tương ứng)
c)  A=E = 90° (Cặp góc tương ứng)
d) Do câu c) nếu có  EDB=EDC thì suy ra


    2.


2
ABC


EBD=ECD= => =B C


Mà  B C+ = °90 nên B= 60°.


11. ∆ABM = ∆ECM (c.g.c)


b) AB = CE (Cặp cạnh tương ứng)


Tương tự a) có ∆AMC = ∆EMB
=> ACM =EBM=> BE / /AC (đpcm)



(162)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...



(163)

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT



Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của
tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.


Xét ∆ABC và ∆A'B'C' có:


 
 
'


' ' ' ' '( . . )


'


B B


BC B C ABC A B C C G C


C C



=




= => ∆ = ∆




=



II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN


Dạng 1. Vẽ tam giác biết mội cạnh và hai góc kề


Phương pháp giải: Vẽ một cạnh của tam giác, rồi vẽ hai tia để xác định vị trí
của đỉnh cịn lại.


1A.Vẽ tam giác ABC biết BC 5 cm, A= °30 ,B= °60


1B.Vẽ tam giác MNP biết MN = 3 cm, M =90 ,° N =30°


Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh
2A.Trong các hình sau có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?


2B.Có những tam giác nào bằng nhau trong hình bên? Vì sao?


Dạng 3. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau



(164)

- Chọn hai tam. giác có hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau.
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.
- Suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.


3A. Cho tam giác ABC có B =C. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.
Chứng minh:


a) ∆ADB = ∆ADC. b) AB = AC .
3B. Cho tam giác có B =C. Chứng minh AB =AC.


3C. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM =


AB. Qua M kẻ đường thẳng a song song với BC, đường thẳng a cắt tia CA tại N.
Chứng mình:


a) ∆ABC = ∆AMN . b) A là trung điểm của NC.


Dạng 4. Sử dụng nhiều trường hợp bằng nhau của tam giác


Phương pháp giải:


Sử dụng các trường hợp cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh -
góc để chứng minh các đoạn, thẳng (góc) bằng nhau.


4A. Cho góc xOy khác góc bẹt và có Ot là tia phân giác. Lấy điểm C thuộc Ot
(C≠O). Qua C kẻ đường vuông góc với Ot, cắt Ox, Oy theo thứ tự ở A, B.


a) Chứng minh: OA = OB.


b) Lấy điểm D thuộc Ct. Chứng minh: DA = DB và OAD =OBD.


4B. Cho tam giác ABC AB ≠AC, tia Ax đi qua trung điểm M của BC . Kẻ BE
và CF vng góc với Ax (E,F ∈ Ax).


a) Chứng minh: BE || CP.


b) So sánh BE và FC; CE và BF.


c) Tìm điều kiện về ∆ABC để có BE = CE.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


5. Vẽ tam giác ABC biết BC = 3cm, A = 35°, B = 65°.



6. Cho góc xOy khác góc bẹt, Oz là tia phân giác góc xOy. Đường thẳng đ
vng góc với Oz tại A (A khác O) cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại B, C. Chứng minh


∆OAB = ∆OAC. Từ đó suy ra A cách đều 2 tia Ox và Oy.


7. Cho tam giác ABC. Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng
qua C song song với AB ở D. Gợi M là giao điểm của BD và AC.


a) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA.


b) Chứng minh M là trung điểm của AC.


c) Đường thẳng d qua M cắt các đoạn thẳng AD,BC lần lượt ở I, K. Chứng
minh M là trung điểm của IK.


8.Cho góc xOy khác góc bẹt, Oz là tia phân, giác. Trên các tia Ox, Oy lần lượt
lấy các điểm A, B sao cho OA = OB. C là điểm trên tia Oz. Gọi D là giao điểm của
AC và Oy, E là giao điểm của BC và Ox. Chứng minh:


a) AC = BC. b) ∆BCD = ∆ACE



(165)

a) ∆BDF = ∆EDC b) BF = EC, c) AD ⊥FC.


10. Cho ∆ABC vuông ở A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD =
AC.


a) Chứng minh ∆ABC = ∆ABD.


b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Chứng minh ∆MBD = ∆MBC.



HƯỚNG DẪN
1A. Học sinh tự vẽ hình.


1B. Học sinh tự vẽ hình.
2A. a) ∆ABD = ∆ACD (g.c.g)
b) Suy ra được FGE =HGE.
Vậy  EFG=EHG (c.g.c).
2B. ∆MPN = ∆MQO (c.g.c)


∆PMO = ∆QMN (c.g.c)


3A.a) Suy ra được  ADB= ADC = 90°.
Vậy ∆ADB = ∆ADC (g.c.g).


b) AB = AC (c.c.t.ư)
3B.Kẻ phân giác góc A .
Tương tự 3A.


3C. a) ∆ABC = ∆AMN (g.c.g)
b) Từ câu a) AN = AC (c.c.t.ư)
=>A là trung điểm NC .


4A. a) ∆OAC = ∆OBC (g.c.g)
=> OA = OB ( c.c.t.ư)).


b) ∆MOD = ∆BOD (c.g.c)
=> DA = DB ( c.c.t.ư).


 



ODA=OBD (c.g.t.ư).


4B. a) BE Ax BE CF||


CF Ax


⊥ 




( Từ ⊥->||)


b) ∆BEM = ∆CFM (g.c.g)
=>BE = CF (c.c.t.ư)


Chứng minh được ∆CME = ∆BMF
vậy CE = BF


c) Nếu BE = CE thì ∆BEM =∆CEM


suy ra AM⊥BC. Khi đó ta có ∆ABM =∆ACM và AB = AC. Lúc này cả E và
F đều trùng nhau ở vị trí điểm M.



(166)

6. Tương tự 4A.học sinh tự CM.
7. ∆ABC = ∆CDA (g.c.g)


b) ∆ADM = ∆CBM (g.c.g)
=> AM = CM (c.c.t.ư)
c) ∆DIM = ∆BKM (g.c.g)


=> IM = MK => đpcm.
8. a) ∆OAC = ∆OBC (c.g.c)
=> AC = BC (c.c.t.ư)


b) ∆AEC = ∆BDC (g.c.g)


9. ∆ABD = ∆AED (c.g.c) => BD = ED
.∆AFD = ∆ACD (c.g.c) => ED = CD.
Mà AF = AC;AB = AE


=>AF - AB = AC - AE hay BF = CE.
Vậy ∆BDF = ∆EDC (c.c.c).


b) Đã có BF = EC.


c) Gọi H là giao điểm của AD và FC.
Ta có ∆AFH = ∆ACH (c.g.c) nên


 


AHF =AHC= 90° => ĐPCM.
10. ∆ABC = ∆ABD (c.g.c).
b) ∆MBD = ∆MBC (c.g.c).


...
...
...
...
...
...


...
...


CHỦ ĐỀ 6. TAM GIÁC CÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT



(167)

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
 ∆ABC cân tại A:


- AB = AC.


- AB,AC là các cạnh bên; BC là cạnh đáy,
- B, C là các góc ở đáy; A là góc ở đỉnh.


Một tam giác là tam giác cân nếu:


- Tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tam giác có hai góc bằng nhau,
2. Tam giác đều


Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau,
Trong tam. giác đều, mỗi góc bằng 60°.


Một tam giác là tam giác đều nếu:


- Tam giác có ba cạnh bằng nhau,
- Tam giác có ba góc bằng nhau,


- Tam giác cân và có một góc bằng 60°.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN



Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều


Phương pháp giải: Dựa và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều.
1A.Cho tam giác ABC có A=80 ,° B=50°. Chứng minh tam giác ABC cân.
1B. Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Qua D kẻ
đường thẳng song song với BC, nó cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác
EBD cân.


2A. Cho tam giác ABC cân tại A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D, tia
phân giác góc C cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác ADE cân.


2B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia
đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE, Chứng minh tam giác ADE cân.


3A. Cho xOy = 120°, điểm A thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ AB ⊥ Ox
(B ∈ Ox) và AC⊥ Oy/ (C ∈Oy). Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?


3B. Cho xOy = 60°, điểm A thuộc tia phân giác của góc xOy. Kẻ AB⊥ 0x (B
∈ Ox) và AC ⊥ Oy (C ∈Oy). Tam giác OBC là tam giác gì? Tại sao?


Dạng 2. Vận dụng tính chất của tam giác câm, tam giác đều để tính số đo
góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau


Phương pháp giải:Dựa vào tính chất về góc của tam giác cân, tam giác đều.
4A. Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các góc cịn lại của tam giác
ABC nếu biết:


a) A = 40°; b) B= 50°; c) C = 60°.



4B. Cho tam giác ABC cân tại B. Gọi Bx là tia phân giác của góc ngồi tại
đỉnh B. Chứng minh Bx //AC.


5A.Cho tam giác ABD cân tại A có A = 40°. Trên tia đối của tia DB lấy điểm
C sao cho DC = DA. Tính số đo góc ACB.



(168)

6A. Cho tam giác ABC có B= 50°, C= 30°. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E
sao cho BD = BA,CE = CA. Tính số đo góc DAE.


6B. Cho tam giác ABC có A =100°. Trên cạnh BC lấy các điểm D, E sao cho
BD = BA,CE = CA. Tính số đo góc DAE


Dạng 3. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để chứng
minh các đoạn thẳng bằng nhau


Phương pháp giải: Dựa vào tính chất về cạnh của tam giác cân, tam. giác
đều.


7A.Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm
D, E sao cho AD = AE. Chứng minh BE = CD.


7B. Cho tam giác MON cân tại O. Gọi C,D theo thứ tự là trung điểm của
OM,ON. Chứng minh CN = DM.


8A.Cho tam giác ABC cân tại A có A= 36°. Tia phân giác của góc B cắt cạnh
AC tại D. Chứng minh DA = DB = BC.


8B. Cho tam giác ABC có A = 60°, B= 40°. Tia phân giác của góc C cắt cạnh
AB tại K. Chứng minh KB = KC.



Dạng 4. Một số bài tập tổng hợp


9A. Cho tam giác ABC cân tại A ( A< 90°). Kẻ BD vuông góc với AC tại D,
kẻ CE vng góc vói AB tại E.


a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Chứng minh DE// BC.


c) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh IB = IC
d) Chứng minh. AI ⊥ BC.


9B. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D trên tia
đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE, Gọi I là giao điểm của BE và CD.


a) Chứng minh IB = IC, ID = IE.
b) Chứng minh DE // BC.


c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, I thẳng hàng.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


10. Cho tam giác ABC cân tại Ạ. Trên các cạnh AC,AB lần lượt lấy M, N sao
cho AM = AN.


a) Chứng minh  ABM = ACN


b) Gọi O là giao điểm của BM. và CN. Chứng minh tam giác OBC cân.


11. Cho tam giác ABC đều. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh:



a) ∆ADF = ∆BED.
b) ∆DEF đều.


12. Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của
tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. Chứng minh BD//EC.


13.Cho tam giác MAB cân tại M. Trên tia đối của tia MB lây điểm C sao cho
MC = MB. Tính số đo góc BAC.



(169)

15. Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi Ax là tia phân giác góc A. Qua trung
điểm M của BC kẻ đường thẳng vng góc với Ax, cắt các đường thẳng AB, AC lần
lượt tại D và E.


a) Chứng minh tam giác ADE cân.


b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DE tại F. Chứng minh BD = BF.
c) Chứng minh BD = CE.


16 . Cho tam giác ABC vuông tại A, B= 30°. Trên tia đối của tia AC lấy điểm
D sao cho AD = AC.


a) Tam giác BCD là tam giác gì? Tại sao?
b) Chứng minh BC = 2 AC.


HƯỚNG DẪN


1A. Tính được C = 50°, do đó tam giác ABC cân tại A.


1B. Chứng minh được   EBD=DBC=EDB, từ đó tam giác EBD cân tại E.
2A. Chứng minh được ∆ADB = ∆AEC (g-c-g) => AD = AE, từ đó tam giác


ADE cân tại A.


2B.Chứng minh được


∆ABD = ∆ACE (c-g-c) => AD = AE,
từ đó tam giác ADE cân tại A.


3A.Chứng minh được


∆OAB = ∆OAC (c.g.c), suy ra
AB = AC và OAB =OAC.


Tính được BAC = 60° nên tam
giác ABC đều.


3B.Chứng minh được


∆OAB = ∆OAC (g.c.g) suy ra
AB = AC=> ĐPCM.


4A. a) B =C= 70°.
b) C =50 ;° A=80°


c)  A=B = 60°.


4B.Chứng minh được
 


xBC=ACB => ĐPCM.



5A.Tính được ADB = 70°, chú ý ∆ADC cân tại D nên
  


2 35


ADB
ACB=DAC= = °


5B.Làm tương tự 5A, ta có AMB = 25° và BAM= 75°
6A. Chú ý tam giác BAD cân tại B,


tam giác CAE cân tại C, tính được


  60 ; 



(170)

6B. Chứng minh được


 18  ,


2
8
2


0 B 1 0 C


ADB= ° − AEC= ° −


Suy ra    180  4


2 2 0



B C A
DAE= + = ° − = °


7A. Chứng minh được ∆ADC = ∆AEB (c-g-c) => BE = CD.
7B.Tượng tự 7A.


8A. Tính được DBA=36°,BDC =BCD=72°. Từ đó tam giác DAB cân tại D,
tam giác BDC cân tại B => ĐPCM.


8B. Chứng minh được KCB =KBC = 40° => ĐPCM.
9A.Chứng minh ∆ABD = ∆ACE (c.g.c ) => ĐPCM.
b) Chứng minh được


  180 


2
BAC


ADE= ACB= ° − => DE // BC
c) Chứng minh được  IBC=ICB => ĐPCM.
d) Gọi M là giao điểm của AI và BC,


chứng minh được AI là tia phân giác của góc BAC,
từ đó AMB = 90° => ĐPCM


9B.a) Chứng minh được ∆ADE cân, từ đó
∆BDE = ∆CED (c-g-c)


=> IBC =ICB=> IB = IC.


b) Chú ý  ABC= ADE.


c) Chứng minh được AI, AM cùng là
phân giác của BAC=> ĐPCM


10. a) Chứng minh được
∆AMB = ∆ANC (c-g-c)
=> ABM =ACN.


b) Dùng kết quả câu a, với chú ý rằng
 


ABC= ACB suy ra OBC =OCB => ĐPCM.
11. a) Chứng minh được AF = BD, với
chú ý  A=B = 60°


∆ADF = ∆BED (c-g-c).



(171)

chứng minh tương tự cũng có
FD = FE => ĐPCM


12. Chú ý ∆BEC cân tại B, từ đó chứng
minh được   


2
ABC


ABD= AEC= => ĐPCM


13. Chú ý các tam giác MAB, MAC cân, ta có



     


MCA MBA+ =MAC+MAB=BAC=>BAC = 90°.
14. Chú ý rằng


90


NMI = ° −IMP,


90


NIM = ° −IMK


   


IMK =IMP=>NMI =NIM


=> ĐPCM.


15. a) Chứng minh được
 


ADE= AED nên tam giác ADE
cân tại A.


b) Dùng kết quả câu a, chứng minh
được BDF =BFD=> BD = BF


c) Dùng kết quả câu b, với chú ý rằng


∆BMF = ∆CME (g-c-g)


=> CE = BF = BD.


16. a) Chứng minh được ∆ABC = ∆A.BD (c-g-c), từ đó suy ra được tam giác
BCD đều,


b) Dùng kết quả câu a, ta có BC = CD = 2AC



(172)

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


...


CHỦ ĐỀ 7. ĐỊNH LÍ PY-TA-GO
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT


1. Định lý Py-ta-go


Trong một tam giác vng, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình
phương của hai cạnh góc vng.


∆ABC vng tại A => BC2



(173)

2. Định lý py-ta-go đảo


Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương
của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vng.


∆ABC có BC2 = AB2 + AC2 => BAC = 90°
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN


Dạng 1. Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông


Phương pháp giải:Sử dụng định lý Py-ta-go.
1A.Tính độ dài x trong mỗi hình vẽ sau:


1B.Tính độ dài x trong mỗi hình vẽ sau:


2A.Một tam giác vng có độ dài các cạnh góc vng tỉ lệ với 5 và 12, chu vi
bằng 30 cm. Tính độ dài cạnh huyền.



2B. Một tam giác vng có cạnh huyền bằng 20 cm, độ dài các cạnh góc
vng tỉ lệ với 3 và 4. Tính độ dài các cạnh góc vng.


3A. Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ AH vng góc với BC tại H. Biết rằng AB
=13cm,AH = 12cm, HC = 16cm. Tính độ dài các cạnh AC, BC.


3B. Cho tam. giác ABC nhọn. Kẻ AH vng góc với BC tại H. Biết rằng AC
= 20 cm, AH = 12 cm., BH = 5 cm. Tính chu vi của tam giác ABC.


Dạng 2. Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác vng


Phương pháp giải:


- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.


- So sánh, bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai
cạnh còn lại.



(174)

4A. Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh
như sau:


a) 9cm, 15cm, 12cm;
b) 5dm, 13dm, 12dm;
c) 7m, 7m, 10m.


4B. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Chứng minh


BAC= 90°.



III. BÀI TẬP VỀ NHÀ


5. Tính độ dài cạnh góc vng của một tam giác vng biết cạnh huyền bằng
26 cm, cạnh góc vng kia bằng 24 cm.


6. Tính độ đài đường chéo của một mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 8 dm,
chiều rộng 6 dm


7. Một tam giác vuông có độ dài các cạnh góc vng tỉ lệ với 3 và 4, chu vi
bằng 24 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vng.


8. Tính độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng cân có độ dài cạnh
huyền bằng:


a) 2 cm; b) 2cm.


9. Cho tam giác ABC có BAC > 90°. Kẻ AH vng góc với BC tại H. Biết AB
= 15 cm; AC = 41 cm, BH = 12 cm. Tính độ dài cạnh HC.


10. Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A. Kẻ BH vng góc với AC tại H. Tính
độ dài cạnh BC biết


a) HA = 7 cm, HC = 2 cm. b) AB = 5 cm, HA = 4 cm.


11. Cho tam giác ABC cân tại A có AB =10cm, BC = 12cm. Gọi M là trung
điểm của BC. Tính độ dài AM.


12. Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh
như sau:



a) 6cm, 10cm, 8cm;
b) 10dm, 24dm, 26dm;
c) 3m, 3m, 5m


HƯỚNG DẪN
1A. Sử dụng định lý Py-ta-go


Hình 1: x2 = 52 +122 => x = 13.


Hình 2: x2 + 32 = 52 => x = 4.


1B. Làm tương tự 1A



(175)

2A. Gọi độ dài các cạnh góc vng của tam giác lần lượt là 5k và 12k với k>
0. Dùng định lý Py-ta-go tính được độ dài cạnh huyền là 13k, do đó


5k +12k + 13k = 30 => k = 1.
Từ đó độ dài cạnh huyền là 13 cm.


2B. Gọi độ dài các cạnh góc vng của tam giác lần lượt là 3k và 4k với k>0.
Dùng định lý Py-ta-go tính được độ dài cạnh huyền là 5k, do đó 5k = 20


=> k = 4.


Từ đó độ dài các cạnh góc vng lần lượt là 12 cm và 16 cm.
3A.Dùng định lý Py-ta-go, ta có


AC2 = AH2 + HC2 => AC = 20 cm.
AB2 = AH2 + BH+2 => BH = 5 cm.
Từ đó BC = HB + HC = 21 cm.


3B.Làm tương tự 3A, ta có
AB = 13 cm, BC = 21 cm.


Từ đó, chu vi của tam giác ABC là 54 cm.
4A. a) 152 = 92 +122 nên tam giác vuông.
b) 132 = 52 +122 nên tam giác vuông.
c) l02 ≠ 72 +72 nên tam giác không vuông.


4B.Kiểm tra được BC2 = AB2 + AC2 => BAC= 90°.


5.Gọi độ dài cạnh góc vng cần tính là x, ta có x2 + 242 = 262 => x =10 cm.
6. Độ dài đường chéo cần tính là 2 2


6 +8 = 10 cm.


7. Làm tượng tự 2A, tìm được độ dài các cạnh của tam giác lần lượt là:
6 cm, 8 cm, 10 cm.


8. Gọi độ dài các cạnh góc vng của tam giác vng cân là x, dùng định lý
Py-ta-go ta có


a) x2 + x2 = 22 => x = 2 cm. b) x2 + x2 = ( 2)2 => x =l cm.


9. Dùng định lý Py-ta-go, ta có
AB2 = AH2 + BH2 => AH = 9 cm.
AC2 = AH2 + HC2 => HC = 40 cm.
10. AB = AC = HB + HC = 9 cm


Dùng định lý Py-ta-go ta có
BC2 = BH2 + HC2



= AB2 - AH2 + HC2
Từ đó BC = 6 cm.



(176)

∆AMB = ∆AMC (c-c-c) => AMB = 90°.
Từ đó tính được AM = 8 cm.


12. 102 = 62 + 82 nên tam giác vuông.
b) 262 = l02 + 242 nên tam giác vuông.
c) 52 ≠32 + 32 nên tam giác không vuông


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...



CHỦ ĐỀ 8. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
CỦA TAM GIÁC VNG


I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT


Ngồi các trường hợp bằng nhau đã biết của hai tam giác vng, cịn có



(177)

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng này bằng cạnh


huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó
bằng nhau.


II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN


Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vng bằng nhau


Phương pháp giải:


- Xét hai tam giác vuông.


- Kiểm tra các điều kiện bằng nhau của hai tam giác vuông (ưu tiên nhìn
cạnh trước).


- Kết luận hai tam giác bằng nhau.


1A.Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A
lần lượt vẽ các tia Bx,Cy sao cho Bx ⊥BA và Cy ⊥ CA. Gọi D là giao điểm của các
tia Bx và Cy. Chứng mình ∆ABD = ∆A CD.


1B. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vng góc với BC (H∈BC). Chứng


minh ∆AHB = ∆AHC.


2A. Cho góc xOy. Tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điếm A thuộc tia Oz
(A ≠O). Kẻ AB vng góc với Ox, AC vng góc với Oy (B∈ Ox, C∈ Oy). Chứng
minh ∆OAB = ∆OAC.


2B. Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Kẻ
DM. vng góc với AB, DN vng góc với AC (M∈AB, N∈AC). Chứng minh


∆ADM = ∆ADN.


Dạng 2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau


Phương pháp giải:


- Chọn hai tam giác vng có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng
minh bằng nhau.


- Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh, để kết
luận hai tam giác bằng nhau.


- Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.


3A. Cho góc xOy, Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho
OA = OB. Qua A kẻ đường thẳng vng góc với Ox, qua B kẻ đường thẳng vng
góc vói Oy, chúng cắt nhau ở M Chứng minh:


a) MA = MB b) OM là tia phân giác góc xOy.


3B. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vng góc vói BC (H∈BC).


Chứng minh:


a) HB = HC; b) BAH =CAH.


4A. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I. Kẻ ID
⊥ AB (D∈AB) kẻ IE⊥AC (E ∈AC) và kẻ IF ⊥ BC (F∈ BC). Chứng minh:


a) ID = IF và IE = IF; b) AI là tia phân giác của góc A.


4B. Cho tam giác ABC cân tại A (A < 90°). Kẻ BH vng góc với AC, CK
vng góc với AB (H ∈ AC, K ∈ AB).


a) Chứng minh AH = AK


b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chúng minh AI là tia phân giác của
góc A.


III. BÀI TẬP VỀ NHÀ



(178)

b) Kẻ HM⊥ DE (M∈DE) và HN⊥DF (N∈DF). Chứng minh HM = HN.
c) Chứng minh ∆HME = ∆HNF.


6. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lây các điểm M,N (M
nằm giữa B và N) sao cho BM = CN. Kẻ MH ⊥AB (H ∈AB) và NK⊥AC (K


∈AC). Chứng minh:


a) ∆MHB = ∆NKC; b) AH = AK; c) ∆AMN cân ở A


7. Cho tam. giác ABC vng tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm


M. Kẻ MD⊥BC (D ∈BC).


a) Chứng minh BA = BD.


b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ∆ABC =


∆DBE.


c) Kẻ DH ⊥MC (H ∈MC) và AK ⊥ME (K ∈ ME). Gọi N là giao điểm của
hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc HMK.


d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.


8. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia
đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.


a) Chứng minh tam giác AMN cân.


b) Kẻ BE⊥AM (E∈AM), CF⊥AN (F∈AN). Chứng minh∆BME = ∆CNF.
c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc
MAN.


d) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vng
góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.


HƯỚNG DẪN
1A.Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC,
từ đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh huyền - cạnh góc
vuông).



1B.Làm tương tự 1A, chứng minh được
∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc
vng)


2A. Do Oz là tia phân giác xOy nên
 


AOB=AOC, từ đó ∆OAB = ∆OAC (cạnh
huyền - góc nhọn).


2B. Làm tương tự 2A, chứng minh được
∆ADM = ∆ADN (cạnh huyền - góc nhọn).
3A.Chứng minh được ∆OAM = ∆OMB


(cạnh huyền - cạnh góc vng)
từ đó => ĐPCM.


3B.Chứng minh được ∆AHB = ∆AHC
(cạnh huyền - cạnh góc vng)



(179)

4A. a) Chứng minh được ∆BID = ∆BIF và
∆CIE =∆CIF (cạnh huyền - cạnh góc nhọn),
từ đó ID = IF = IE.


b) Từ kết quả câu a) chứng minh được
∆AID =∆AIE (cạnh huyền - cạnh góc
vng) => ĐPCM.


4B. a) Chú ý AB = AC, từ đó chứng minh
được ∆AHB =∆AKC (cạnh huyền - góc



nhọn) => AH = AK


b) Từ kết quả câu a) chứng minh được
∆AIK = ∆AIH (cạnh huyền - cạnh góc


vng) => ĐPCM.


5. Ta có ∆DHE = ∆DHF (cạnh huyền -
cạnh góc vng).


b) Từ kết quả câu a)  HDE=HDF(góc
tương ứng).


c) Từ kết quả câu b) chứng minh được
∆DHM = ∆DHN (cạnh huyền - góc


nhọn), từ đó HM = HN.


6. a) Chú ý HBM =KCN , ta có


∆MHB - ∆NKC (cạnh huyền - góc nhọn)
b) Từ kết quả câu a) ta có BH = CK,
mà AB = AC suy ra AH = AK.


c) Chú ý MH = NK => ∆AHM = ∆AKN (c-g-c)
suy ra AM = AN (ĐPCM).


7. Ta có ∆BMA = ∆BMD (cạnh
huyền - góc nhọn), từ đó BA = BD.


b) Từ kết quả câu a) chứng minh được


∆ABC = ∆DBE (g-c-g).


c) Chú ý MA = MD, từ đó ∆MAK = ∆MDH
(cạnh huyền - góc nhọn) => MK = MH
Do đó ∆MKN =∆MH N (cạnh huyền - cạnh
góc vng)


 



(180)

d) Chứng minh được    


2 2


AMD KMH


AMB= = =HMN


Do đó    AMB+AMN =HMN+AMN= 180° => ĐPCM.


8. Chứng minh được


∆ABM = ∆ACN (c-g-c) => ĐPCM.
b) Từ kết quả câu a) chứng minh được


∆BME = ∆CNF (cạnh huyền - góc nhọn).
c) Từ kết quả câu b) ta có


ME = NF, mà AM = AN (do ∆AMN)


=> AE = AF.


Bởi vậy ∆AEO = ∆AFO (c.h-c.g.v) => ĐPCM.
e) Chứng minh được ∆AMH = ∆ANH


f) (cạnh huyền - cạnh góc vng), từ đó suy ra
g) AH là phân giác góc MAN.


Mặt khác AO là phân giác góc MAN nên AH và AO trùng nhau hay A, O, H
thẳng hàng.


...
...
...
...
...
...
...
...
...


ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ II
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT


Xem lại Tóm tắt lý thuyếttừ Bài 1đến Bài 8.
II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP


1A.Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia MA
lấy điểm D sao cho MD = MA.



a) Chứng minh AB = CD và AB //CD.
b) Chứng minh BD// AC.



(181)

d) Trên các đoạn thẳng AB,CD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF.
Chứng minh, ba điểm E, M, F thẳng hàng.


1B.Cho tam giác ABC vng tại A có B= 55°. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không
chứa B, vẽ tia Cx vng góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB.


b) Tính số đo ACB


c) Chứng minh ∆ABC = ∆CDA và AD//BC.


c) Kẻ AH ⊥BC (H ∈BC) và CK⊥ AD (K AD). Chứng minh BH = DK.


d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng và 3
đường thẳng AC, HK, BD cùng gặp nhau ở I.


2A. Cho ∆AMN cân tại A. Trên cạnh đáy MN lấy hai điểm B và C sao cho
MB = NC.


a) Chứng minh ∆ABC cân.


b) Vẽ MH vng góc với đường AB. Vẽ NK vuông góc với đường AC.
Chứng minh ∆MBH = ∆NCK.


c) Các đường thẳng HM và KN cắt nhau tại O. Tam giác OMN là tam giác gì?
Tại sao?


d) Khi BAC= 60° và BM = CN = BC, tính số đo các góc của tam giác AMN


và xác định dạng của tam giác OBC


e) Kẻ AD⊥ BC (D ∈BC), biết rằng AB =10 cm, BC = 16 cm. Tính độ dài AD.
2B. Cho góc xOy bằng 100°, tia Oz là tia phân giác góc xOy. Lấy điểm H thuộc
tia Oz, đường thẳng vng góc với OH tại H cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A, B.


a) Chứng minh HA = HB, OA = OB.
b) Tính số đo các góc của tam giác OAB.


c) Trên tia Oz lấy điểm C sao cho HBC = 60°. Chứng minh tam giác ABC đều.
d) Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BO. Chứng minh AB = OE.


e) Cho AH = 1 cm. Tính độ dài HC.
II. BÀI TẬP VỂ NHÀ


3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia
đối của tia DA lấy điểm M sao cho DM = DA.


a) Chứng minh AC = BM và AC // BM.
b) Chứng minh ∆ABM = ∆MCA.


c) Kẻ AH ⊥BC, MK ⊥BC (H, K ∈ BC). Chứng minh BK = CH.
d) Chứng minh HM // AK.


4. Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia DE lấy điểm K sao cho DK = DE.


a) Chứng minh ∆BDE = ∆ADK và AK // BC.
b) Chứng minh ∆AKE = ∆ECA.



c) Cho A = 65°, C= 55°. Tính số đo các góc của ∆DAK.


d) Gọi I là trung điểm của AE. Chứng minh I là trung điểm của CK.


5. Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại M
a) Chứng minh ∆AMB = ∆AMC.


b) Kẻ ME⊥AB (E∈AB),MF⊥AC (F∈AC). Chứng minh tam giác AEF cân.
c) Chứng minh AM⊥EF.



(182)

6. Cho tam giác ABC vuông tại A, ACB = 30°. Tia phân giác của góc ABC
cắt cạnh AC tại M. Lấy điểm K trên cạnh BC sao cho BK = BA.


a) Chứng minh ∆ABM = ∆KBM.


b) Gọi E là giao điểm của các đường thẳng AB và KM. Chứng minh tam giác
MEC cân.


c) Chứng minh tam giác BEC đều.


d) Kẻ AH⊥EM. (H∈EM). Các đường thẳng AH và EC cắt nhau tại N. Chứng
minh KN ⊥AC.


7. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC
sao cho AD = AE.


a) Chứng minh BE = CD.


b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh tam giác KBC cân.
c) Chứng minh AK là tia phân giác góc A.



d) Kéo dài AK cắt BC tại H. Cho AB =5 cm, BC = 6 cm. Tính độ dài AH.
8. Cho tam giác ABC có B = 60°, AB = 2 cm, BC = 5 cm. Trên cạnh BC lấy
điểm D sao cho BA = BD.


a) Chứng minh tam giác ABD đều.


b) Gợi H là trung điểm của BD. Chứng minh AH⊥ BD.
c) Tính độ dài cạnh AC.


d) So sánh BAC với 90°.


HƯỚNG DẪN
1A. a) Chứng minh được


∆MAB = ∆MDC (c-g-c). Từ kết
quả đó ta có AB = CD và


 


MAB=MDC=>AB//CD.


b) Tương tự câu a) Chứng minh
∆BMD = ∆CMA


c) Dùng kết quả trên chứng minh
được ∆ABC = ∆DCB (c-g-c).


d) Chứng minh được ∆AEM = ∆DFM (c-g-c), từ đó ta có
 



AME=DMFDMF +AMF=180° =>AME +AMF =180°


=> ĐPCM


1B. a) ACB= °35
b) chứng minh được


∆ABC = ∆CDA ( c - g- c)
=>  ACB=CAD, từ đó AD//BC.


c) Từ kết quả câu b) chứng minh được
∆AHB = ∆CKD (cạnh huyền - góc nhọn)
=> ĐPCM.



(183)

=>  AIH =CIK= 180° => ĐPCM.


Tương tự với ∆ABI và ∆CDI suy ra B,I, D cũng thẳng hàng => ĐPCM.
2A. a) Ta có ∆ABM = ∆CAN (c-g-c) => ĐPCM.


b) Dùng kết quả câu a) chứng minh,
được ∆BHM = ∆CKN (cạnh huyền
- góc nhọn).


c) Từ kết quả câu b) ta có HBM =KCN,
từ đó chứng minh được


 


OBC=OCBnên tam giác OBC cân tại O.


d) Chú ý các tam giác ABM, CAN


cân và tam giác ABC đều, từ đó tính được
  30 ;120


AMN = ANM = ° MAN = °
Cũng có OBC = 60° nên tam giác
OBC là tam giác đều.


e) Chứng minh được DB = DC = 8 ,từ đó dùng định lý Py- ta-go tính được AD = 6
cm.


2B.Chứng minh được
∆OHA = ∆OHB (g-c-g)
=> ĐPCM.


b) OAB =OBA=40 ;° AOB =100°.
c) Dùng kết quả câu a) chứng minh
được CA = CB, chú ý




HBC= 60° => ĐPCM.


d) Tính được OBE = 100°, từ đó ∆BOE = ∆OBA (c-g-c).
=>AB = OE.


e) Ta có AC = AB = 2AH = 2 cm, dùng định lý Py- ta-go tính được
HC = 3cm.



3. a) Chứng minh được


∆ADC = ∆MDB (c.g.c). Từ kết đó
ta có AC = BM và DAC =DMB
=> AC //BM


b) ∆ABM = ∆MCA (c-g-c).
c) Chứng minh được


∆BKM = ∆CHA (cạnh huyền - góc nhọn)
=> ĐPCM.


d) Chú ý ∆HDM = ∆KDA => ĐPCM
4. ∆BDE = ∆ADK (c-g-c).


Chú ý DAK =DBE => AK // BC.
b) Chú ý AK = EB = EC, từ đó


∆AKE = ∆ECA (c.g.c).



(184)

Suy ra các góc của ∆DAK.


d) Chứng minh được ∆AIK =∆EIC ( c- g-c) => IK= IC.


Cũng có  AIK =EIC=> AIK+AIC=180°, từ đó ba điểm K,I,C thẳng hàng =>
ĐPCM.


5. a) ∆AMB =∆AMC ( c- g-c)


b) Ta có ∆AME =∆AMF ( cạnh huyền


góc nhọn) từ đó AE = AF => ĐPCM.
c) Ta có AE F ABC 180 


2
BAC
° −


= =


từ đó EF//BC, mà AM ⊥BC.
=> ĐPCM.


d) Chú ý BIM=90°,EBM  =FCM =IBM
chứng minh được ∆BEM = ∆BIM
(cạnh huyền - góc nhọn) => ĐPCM
6. a) ∆ABM= ∆KBM (c-g-c).
b) Từ kết quả câu a) ta có


  90


MKB=MAB= °, MA = MK.
Bởi vậy ∆MAE = ∆MKC (cạnh
huyền - góc nhọn) => ĐPCM.
c) Từ a) và b) suy ra


BE = BA + AE = BK + KC= BC.
Lại có EBC= 60° = ABEC đều
d) Chứng minh được AE = KC =


2


EC



chú ý AN // BC => ∆AEN đều => NE = AE =


2
AE


=> CN = CK, mà KCN = 60°
=> ∆CKN đều => CKN =CBE= 60° => KN // AE=> ĐPCM.


7. a) Chứng mình được


∆AEB = ∆ADC (c-g-c) => BE = CD.
b) Từ kết quả câu a) ta có


 


ABE= ACD, mà  ABC= ACB nên
 


KBC=KCB => ĐPCM.


c) Từ kết quả câu b) ta có KB = KC.
Từ đó ∆AKB = ∆AKC (c-c-c)
=> ĐPCM.


d) Chứng minh được AH ⊥ BC,
HB = HC = 3cm, từ đó dùng định lý
Py-ta-go tính được AH = 4 cm.


8. a) Do B = 60°, BA = BD nên tam


giác ABD đều.


b) Chứng minh được ∆AHB = ∆AHD (c-c-c)
=> ĐPCM.



(185)

AH = 3cm. Dùng định lý Py- ta-go


tính được AC = 19 cm.


d) Ta có AB2 + AC2 = 23, BC2 = 25, từ đó tam giác ABC khơng phải là tam
giác vng và BAC là góc tù. (Trên BC lấy CP = 23 < 5 => P nằm giữa B và C, do
đó PAC = 90° thì BAC > 90.


HƯỚNG DẪN
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM


Câu 1. D Câu 2. B Câu 3. C Câu 4. C
PHẦN II. TỰ LUẬN


a) Vì ∆ABC cân tại A nên AB =AC.
∆ABH = ∆ACH (c - c - c)


=>AHB AHC + =180°


=> AHB =AHC= °90


=> AH ⊥BC



b) Ta có HB = HC =


2
BC


= 2 (cm)


Áp dụng định lí Pitago đối với tam giác vng AHB, ta có
AB2 = AH2 + HB2


Từ đó tính được AH = 32 (cm).


c) Từ a) và b) suy ra BH = CH; IH chung, BIH =CIH = 90°
=> ∆BIH = ∆CIH => IB = IC => ∆BIC cân ở I


d) Cách 1: ∆BIH =∆CIH nên BIH   =CIH=AIM=AIN


Mà NM//BC nên IH ⊥ BC thì IA ⊥ NM hay = IAN =IAM = 90°.


∆NAI = ∆MAI (c.g.c) nên AN = AM mà A, M, N thẳng hàng nên A là trung
điểm MN,


Cách 2: Ta có MN// BC => AMB =MBC;


MàMBC =ABM.Do đó AMB =ABM


=> ∆ABM cân tại A => AB = AM (1).


Chúng minh được ACN =BCN, ∆ANC cân tại A.



=>AN = AC (2).


Hơn nữa AB = AC (3


Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = AN. Mà N, A, M thẳng hàng. Do đó A là trung
điểm của MN.


e) Chứng minh được các cặp tam giác vuông bằng nhau ∆IBE = ∆IBH và
∆ICF = ∆ICH =>IE = IH = IF


f) Cách 1. Ta có MN// BC nên AMC HCM + = 180°.


Mà AMC =ACM;HCM = HCI+ICF =2.ICF; Do đó


    18 


2.ACM 2. 180 0 90


2


ICF ° =>ACM ICF °=>ICM


+ = + = = °


Vậy IC ⊥MC.



(186)

Suy ra ∆NAM cân ở A =>  N =ACN;
∆MAC cân ở A =>  AMC=ACM;
Suy ra     N+AMC=ACN+ACM=NCM
Vậy ∆MCN vuông ở C



...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II


Thời gian làm bài của mỗi đề là 45 phút


ĐỀ SỐ l
PHẨN I. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỀM)


Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:


Câu 1. Hai tam giác bằng nhau nếu chúng thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
A. Có một cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc bằng nhau.



B. Có ba góc bằng nhau.


C. Có một cặp góc bằng nhau và cặp cạnh bằng nhau.



(187)

Câu 2. Cho ∆ABC = ∆MNP, P= 60°, A = 50°.
Tính số đo góc B ? Kết quả nào sau đây là đúng?


A. B = 60°. B. B= 70°. C. B= 80°. D. B= 90°


Câu 3. Cho tam giác ABC vng tại B và có AB = 6cm, BC = 8cm. Độ dài
cạnh AC là:


A. 2 cm. B. 4 cm. C. 10 cm. D. 2 7cm.


Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = AC . Tam giác ABC khơng là tam giác
đều nếu thỏa mãn điều kiện:


A. B = 60°.. B. AB = BC.
C. AB < BC. D. A = 60°.
PHẦN II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)


Cho ∆ABC cân tại A, AB > BC, H là trung điểm của BC .


a) Chứng minh: ∆ABH = ∆ACH. Từ đó suy ra AH vng góc với BC.
b) Tính độ dài AH nếu BC = 4 cm, AB = 6 cm.


c) Tia phân giác của góc B cắt AH tại I . Chứng minh tam giác BIC cân.


d) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt tia BI, CI lần lượt tại M, N.
Chứng minh A là trung điểm của đoạn thẳng MN.



e) Kẻ IE vng góc với AB tại E, IF vng góc với AC tại F. Chứng minh IH
= IE = IF


f) Chứng minh: IC vng góc với MC .
(Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận: 1,0 điểm)


HƯỚNG DẪN


Bài 1. a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng;
Bài 2.


Vì ∆MNP cân tại M (GT)
nên N =P= 50°.


Trong ∆MNP có tổng ba góc bằng
180° nên M = 80°.


Bài 3. a) Vì AH ⊥BC tại H (GT) nên
 


AHB=AHC= 90°


∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền -
cạnh góc vng).


Suy ra HB = HC nên H là trung
điểm của BC.


b) Ta có HB = HC = 12



2 2


BC


= = 6(cm)


Áp dụng định lí Pytago đối với tam giác vng AHB,
ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm).



(188)

d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do đó AD = AE.
=> ∆ADE cân tại A.


Gọi giao điểm, của AH và DE là F, chứng minh ∆DAF = ∆EAF
nên AH ⊥ DE tại F. Suy ra DE / / BC.


e) Ta đã có AD = AE nên để A là trung điểm của DE thì phải có D,A, E thẳng
hàng hay DAE = 180°.


Chú ý rằng:


   
DAB=BAH =CAH =CAE
    
DAB+BAH +CAH +CAE=DAE
Do đó


    180 : 4 4590 .


DAB=BAH =CAH =CAE= ° = ° =>BAC= °



Do đó ∆ABC là tam giác vng cân tại A.


...
...
...
...
...
...
...
...
...
...


ĐỀ SỐ 2


Bài 1.(2,0 điểm) Các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?


a) Góc ngồi của một tam giác lớn hơn góc trong của tam giác đó.


b) Nếu ∆ABC và ∆DEE có AB = DF, BC = EF, AC = DE thì ∆ABC =∆ DEF.
c) Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.


d) Nếu ∆ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm thì ∆ABC vng tại B.
Bài 2. (1,0 điểm) Cho ∆MNP cân tại M có P= 50°. Tính các góc cịn lại của
∆MNP.


Bài 3. (7,0 điểm) Cho ∆ABC có AB=AC = l0cm, BC = l2cm. Kẻ AH ⊥BC
tại H.




(189)

b) Tính độ dài đoạn thẳng AH.


c) Kẻ HI ⊥AB tại I và HK⊥AC tại K. Vẽ các điểm D và E sao cho I, K lần
lượt là trung điểm của HD và HE. Chứng minh: AE = AH


d) Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao? Chứng minh DE // BC.
e) Tìm điều kiện của ∆ABC để A là trung điểm của DE


HƯỚNG DẪN


Bài 1. a) Sai; b) Sai; c) Đúng ; d) Đúng;
Bài 2.


Vì ∆MNP cân tại M (GT)
nên N =P= 50°.


Trong ∆MNP có tổng ba góc bằng
180° nên M = 80°.


Bài 3. a) Vì AH ⊥BC tại H (GT) nên
 


AHB=AHC= 90°


∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền -
cạnh góc vng).


Suy ra HB = HC nên H là trung
điểm của BC.



b) Ta có HB = HC = 12


2 2


BC


= = 6(cm)


Áp dụng định lí Pytago đối với tam giác vng AHB,
ta có AB2 = AH2 + HB2 =>AH = 8(cm).


c) Vì HK ⊥ AC tại K nên  AKH =AKE= 90°.
Do đó ∆AKH = ∆AKE (cạnh - góc - cạnh)
=> AH = AE


d) Chứng minh tương tự câu c, ta có AH = AD Do đó AD = AE.
=> ∆ADE cân tại A.


Gọi giao điểm, của AH và DE là F, chứng minh ∆DAF = ∆EAF
nên AH ⊥ DE tại F. Suy ra DE / / BC.


e) Ta đã có AD = AE nên để A là trung điểm của DE thì phải có D,A, E thẳng
hàng hay DAE = 180°.


Chú ý rằng:


   
DAB=BAH =CAH =CAE
    
DAB+BAH +CAH +CAE=DAE


Do đó


    180 : 4 4590 .


DAB=BAH =CAH =CAE= ° = ° =>BAC= °


Do đó ∆ABC là tam giác vng cân tại A.



(190)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×