Tải bản đầy đủ (.pdf) (36 trang)

Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 131

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.59 MB, 36 trang )

(1)


(2)

(3)

2


ậỡnh lÝ Menelaus, ệỡnh lÝ Ceva vộ ệỡnh lÝ Thales
ệđĩc sỏ dông rÊt hiỷu quờ trong cịc bội toịn
chụng minh ệoỰn thỬng bỪng nhau, tÝnh tử sè cịc
ệoỰn thỬng, tÝnh gãc, chụng minh ba ệiÓm thỬng
hộng, chụng minh ba ệđêng thỬng ệăng quy,...
Trong bội viạt nộy chóng tềi sỳ ệđa ra mét sè vÝ dô
hay cã sỏ dông cịc ệỡnh lÝ trến.


ậỡnh lÝ Menelaus.Cho tam giịc ABC vộ ba ệiÓm
A’, B’ vộ C’ lẵn lđĩt trến cịc ệđêng thỬng BC, CA
vộ AB sao cho hoẳc cờ ba ệiÓm A’, B’ vộ C’ ệÒu
nỪm trến phẵn kĐo dội cựa ba cỰnh, hoẳc mét
trong ba ệiÓm nỪm trến phẵn kĐo dội mét cỰnh vộ
hai ệiÓm cưn lỰi nỪm trến hai cỰnh cựa tam giịc.
ậiỊu kiỷn cẵn vộ ệự ệĨ A’, B’ vộ C’ thỬng hộng lộ


Hđắng dÉn chụng minh.Qua C kĨ ệđêng thỬng
song song vắi AB cớt A’C’ tỰi M.


ậỡnh lÝ Ceva. Cho ba ệiÓm D, E, F nỪm trến ba
cỰnh tđểng ụng BC, CA, AB cựa tam giịc ABC.
Khi ệã ba ệđêng thỬng AD, BE, CF ệăng quy khi
vộ chử khi


Hđắng dÉn chụng minh.Qua C kĨ ệđêng thỬng
song song vắi BE cớt AD tỰi N. Qua A kĨ ệđêng
thỬng song song vắi BE cớt CF tỰi M.


1. Bội toịn vÒ chụng minh ệoỰn thỬng bỪng nhau
Bội toịn 1. Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C cã


ệđêng cao CK. Vỳ ệđêng phẹn giịc trong CE cựa
tam giịc ACK. ậđêng thỬng ệi qua B song song
vắi CE cớt ệđêng thỬng CK tỰi F. Chụng minh
rỪng ệđêng thỬng EF chia ệoỰn thỬng AC thộnh
hai phẵn bỪng nhau.


Gi¶i.


Ta cã


Do đó BCE cân tại B nên BC BE.


Mặt khác BF // CE nên theo nh lớ Thales ta cú


Mà BC BE nên CF BC . (1)
FK BK


CK EK CK FK EK BK CF BE .


FK BK FK BK FK BK


BEC A ACE KCB KCE BCE.
DB EC FA 1.


DC EA FB
A B B C C A 1.
A C B A C B


MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA




ủũnh lớ Menelaus vaứ ủũnh lớ Ceva


nguyễn đễ



(4)

3


Vì CE là phân giác của nên


Mà (vì ACK CBK) nên


Từ (1) và (2) suy ra


Giờ sỏ ệđêng thỬng EF cớt cỰnh AC tỰi D. ịp
dông ệỡnh lÝ Menelaus vộo tam giịc ACK bỡ cịt
tuyạn DEF cớt cịc cỰnh ta cã


Tõ (3) vµ (4) suy ra


2. Bội toịn vỊ chụng minh ba ệiĨm thỬng hộng,
chụng minh ba ệđêng thỬng ệăng quy


Bội toịn 2.Cho hừnh bừnh hộnh ABCD. Trến cỰnh
AB lÊy ệiÓm K. Qua K kĨ ệđêng thỬng song song
vắi AD. Trến ệđêng thỬng ệã lÊy ệiÓm L bến trong
hừnh bừnh hộnh, trến cỰnh AD lÊy ệiÓm M sao cho
AM KL. Chụng minh rỪng ba ệđêng thỬng CL,
DK vộ BM ệăng quy.


Gi¶i.


Gải N lộ giao ệiĨm cựa hai ệđêng thỬng BM vộ
CL.



Ta cã tụ giịc MLKA lộ hừnh bừnh hộnh nến
ML AK. Giờ sỏ ệđêng thỬng ML cớt cỰnh BC tỰi
P. Khi ệã ta cã LP KB, MD CP. Ta sỳ chụng
minh N nỪm trến ệđêng thỬng KD.


áp dụng định lí Menelaus vào tam giác BMP bị cát


tuyÕn CLN cắt các cạnh ta có


Suy ra ba im K, N, D thẳng hàng (áp dụng định
lí Menelaus vào AMB).


VẺy ba ệđêng thỬng CL, DK vộ BM ệăng quy.
Bội toịn 3. Cho ba ệđêng trưn ệềi mét ngoội
nhau (O1), (O2) vộ (O3). Biạt tiạp tuyạn chung
ngoội cựa hai ệđêng trưn (O1) vộ (O2) cớt nhau tỰi
C, tiạp tuyạn chung ngoội cựa hai ệđêng trưn (O1)
vộ (O3) cớt nhau tỰi B vộ tiạp tuyạn chung ngoội
cựa hai ệđêng trưn (O2) vộ (O3) cớt nhau tỰi A.
Chụng minh rỪng ba ệiÓm A, B, C thỬng hộng.
Giời.


Gải bịn kÝnh cựa cịc ệđêng trưn cã tẹm O1, O2,
O3 lẵn lđĩt lộ r1, r2, r3. K, Q lẵn lđĩt lộ tiạp ệiÓm
cựa tiạp tuyạn tỰi C vắi (O2) v (O1). Khi ó


(vì các điểm C, O1, O2 thẳng
hàng và O2K // O1Q).



Tng tù
Do ệã


áp dụng định lí đảo Menelaus vào O1O2O3 thì
ba điểm A, B, C thẳng hàng.


(Xem tiÕp trang 26)


3 3


1 2 1 2


2 3 1 2 3 1


BO r


CO AO r r 1.


CO AO BO r r r


3 3


2 2


3 3 1 1


BO r


AO r ; .



AO r BO r


1 1 1


2 2 2


CO O Q r


CO O K r


BN ML PC 1 BN AK MD 1.


NM LP CB NM KB AD


AD 1 AD CD.
CD


AD CF KE 1. (4)
CD KF AE


CF AE . (3)
FK KE
AE BC . (2)


KE BK
AC BC
CK BK



(5)

4


Nhận xét. Đa số các bài gửi về đều biết lời giải sai

bằng cách đða ra lời giải đúng (khơng mấy khó
khăn), nhðng số bạn chỉ rõ chỗ sai lại khơng


nhiỊu. Bội giời sai ẻ chẫ: Thạ (2) vộo (3) ta ệđĩc
x( x2) 1 vộ coi ệẹy lộ phĐp biạn ệữi tđểng
ệđểng. Thùc chÊt bỪng phĐp thạ nộy ta chử ệđĩc
mét phđểng trừnh hỷ quờ cựa phđểng trừnh ệở cho.
Do ệã ệở xuÊt hiỷn nghiỷm ngoỰi lai x 1.
Lêi giời ệóng. Vắi nhẺn xĐt trến chử cẵn thỏ vộ
loỰi nghiỷm x 1 vộ kạt luẺn phđểng trừnh về
nghiỷm. Cịng cã thĨ xĐt ệiỊu kiỷn nhđ nhiỊu bội
cựa cịc bỰn gỏi vÒ:


Tõ phđểng trừnh ta cã x2 x 1.
Vừ x2 0 nến x 1 0 hay x 1.
VẺy x 1 bỡ loỰi vừ khềng tháa mởn.


Chử cã hai bỰn ệđĩc nhẺn thđẻng: NguyÔn Thỡ
Tuyạt Nhi, 9A, THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc
Giang; NguyÔn ậục ThuẺn, 9A3, THCS Lẹm
Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.


anh kính lúp
Trong một đề kiểm tra


toịn lắp 8 cã bội toịn sau:
Bội toịn. Cho hừnh bừnh
hộnh ABCD. Mét ệđêng
thỬng ệi qua D cớt AC,
AB, CB theo thụ tù tỰi E, F, G.



So s¸nh víi 1.


Đáp án đề kiểm tra của bài tốn này nhð sau:
Lời giải.Vì CD // AF nên


V× AD // CG nên


Do ú


Bạn có hài lòng với lời giải này không?


nguyn c tn(TP. H Chớ Minh)
DE DE EC AE AC 1.


DF DG AC AC AC


ED EA ED EA DE AE .


EG EC ED EG EA EC DG AC


DE EC DE EC DE EC .


EF EA DE EF EC EA DF AC


DE DE
DF DG


MỘT BÀI TỐN HÌNH LỚP 8




PHƯƠNG TRÌNH X

2

+ X + 1 = 0 CĨ NGHIỆM THỰC?




(6)

5



Bạn hãy tìm một số để điền vào dấu chấm hỏi (?) cho hợp lôgic nhé.


trđểng cềng thộnh(sđu tẵm)
(TTT2 sè 129)


NhẺn xĐt.Quy luẺt cựa kừ nộy tđểng ệèi khã, rÊt dÔ nhẵm
lÉn nạu cịc bỰn khềng từm hiÓu sẹu cịc dọ kiỷn nếu ra.
Mét sè bỰn chử xĐt quy luẺt theo hộng ngang hoẳc theo cét
dảc, tuy ệịp ịn ệđa ra lộ ệóng nhđng lẺp luẺn nhđ vẺy lộ
chđa ệẵy ệự.


Quy luẺt: Theo hộng ngang (tõ trịi sang phời) vộ theo cét
dảc (tõ trến xuèng dđắi), hừnh cuèi cỉng cã tÊt cờ cịc ệẳc
ệiÓm chung cựa 2 hừnh trđắc ệã. VẺy theo quy luẺt, hừnh
cẵn ệiÒn vộo lộ hừnh B.


Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy lộ: NguyÔn Tiạn Dòng, 8A1,
THCS thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;NguyÔn Ngảc
nh, 7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh;Mai
Tiạn Thộnh, 9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;
NguyÔn Vẽn Cao, 8A, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng
Hưa, Hộ Néi; ậẳng Thỡ Ngảc Minh, 8B8, THCS Trđểng
Cềng ậỡnh, Lế Chẹn, Hời Phưng.


Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Họu Duy, 6A,
THCS Quạ Nham, Tẹn Yến, Bớc Giang;NguyÔn Thanh


Bừnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Lế Sển, 8A, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh
Phóc;Ngun Thu Hđểng, 7A1, THCS Yến Phong, Yến
Phong, Bớc Ninh; ậẫ Quang Huy, 6C, THCS Ngun
Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh.


NguyƠn Xu©n B×nh

ĐÚNG QUY LUẬT



ĐIỀN SỐ NÀO?




(7)

6



CÊp sè céng lộ mét dởy sè mộ hiỷu cựa sè liÒn sau vắi sè liÒn trđắc lộ mét


sè khềng ệữi. Hiỷu nộy gi l cng sai ca cấp số cộng.



Chẳng hạn d·y sè 2, 6, 10, 14... lµ mét cÊp sè cộng có công sai bằng 4 vì


4 6 2 10 6 14 10.



Bài toán.

Tìm tổng của cấp số cộng: 2, 5, 8, 11, 14.



Lêi giời.

CÊp sè céng ệđĩc biÓu diÔn bẻi hừnh vỳ bẺc thang.



Trến hừnh vỳ, ban ệẵu ta vỳ 5 hừnh chọ nhẺt trến 5 dưng, mẫi hừnh chọ nhẺt ệđĩc ghĐp bẻi cịc


hừnh vuềng cã mét cỰnh bỪng 1. TÝnh tõ trến xuèng dđắi, cịc dưng lẵn lđĩt cã 2, 5, 8, 11, 14


ề vuềng, ụng vắi diỷn tÝch cựa hừnh chọ nhẺt ệđĩc tỰo trến mẫi dưng.



Sau ệã, trến dưng 1, ta vỳ tiạp 14 ề vuềng ệÓ ệđĩc hừnh chọ nhẺt cỰnh lộ 16. Cịc dưng tiạp


theo ệđĩc vỳ thếm lẵn lđĩt 11, 8, 5, 2 vung.




Phần vẽ thêm có diện tích bằng phần ban đầu.



Tng hai phn gm hnh v ban u vộ hừnh vỳ thếm tỰo thộnh mét hừnh chọ nhẺt cã kÝch


thđắc lộ 5 16 80.



Từ đó tổng của cấp số cộng ban đầu là 2 5 8 11 14 80 : 2 40.



Đáp số:

40.



Nhn xột.

Ta có thể dùng cách trên để tính tổng của những cấp số cộng bất kì.



TÍNH TỔNG CỦA CẤP SỐ CỘNG


bằng vẽ hình kẻ ô vuông




(8)

7


C©u 1. (1,5 ®iĨm)


a) T×m x biÕt


b) T×m x, y biÕt 2x 624 5y.
Câu 2. (3,0 điểm)


1.Cho S 2 22 23 ... 2100.
a) Chøng minh r»ng S 15.


b) T×m ch÷ sè tËn cïng cđa S.
c) Rót gän tỉng S.


2.Tững cựa n sè tù nhiến lĨ ệẵu tiến cã phời lộ mét sè chÝnh phđểng khềng? Vừ sao?
3.Chụng minh rỪng



C©u 3. (1,5 điểm)


Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vÏ tia Om vµ tia On sao cho
a) Chøng minh r»ng


b) Gäi Ot lµ tia n»m trong gãc xOy sao cho
Chøng minh r»ng tia Ot n»m trong góc mOn và
Câu 4. (3,0 điểm)


1.Cho So sánh A víi 0,01.


2.Chøng minh r»ng S (1 2 3 ... n) 7 kh«ng chia hÕt cho 10, víi n .


3.So sánh và


Câu 5. (1,0 điểm)


Tm số tự nhin cã 3 chọ sè, biạt rỪng khi chia sè ệã cho cịc sè 25, 28, 35 thừ ệđĩc cịc sè dđ lẵn lđĩt
lộ 5, 8, 15.


2010
2011


2009 2


B .


2009 2



2009
2010


2009 1


A


2009 1


1 3 5 9999


A .


2 4 6 10000


nOt mOt.
xOt tOy.
xOn yOm.


o o


xOm 90 ; yOn 90 .


1 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1


a) 1 .


2 3 4 199 200 101 102 200


51 52 53 100



b) 1 3 5 99.


2 2 2 2


2 2 ... 2 462 2,04 : (x 1,05) : 0,12 19.
11. 13 13 . 15 19 . 21


ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 6 CẤP HUYỆN


Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)



(9)

8


Bµi 1.


Cịch 1.ậđêng thỬng AD cớt BE tỰi I.
Theo giờ thiạt AE 2AC vộ CD CB


A là trọng tâm của BED
DI là trung tun cđa BED
AD 2AI.


Mµ AD BE BE 2AI
BEA vuông tại A


BA AC ABC vuông tại A.


Cỏch 2.Trờn tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho
CI CA. Từ đó AI AE (vì AE 2AC).


Tø gi¸c ADIB là hình bình hành AD BI.


Theo giả thiết AD BE


BI BE BEI cân tại B.
BA EI ABC vuông tại A.


Nhận xét. Bài toán trên có thể phát biểu lại lµ:
AD BE khi vµ chØ khi ABC lµ tam giác vuông tại A.
Bài 5.


Cách 1.


Gi giao iểm ca PQ vắi ệđêng trưn (O) lộ K vộ
PM, PN cớt ệđêng trưn (O) lẵn lđĩt tỰi D vộ E.
Ta cã ba ệiĨm O, J, P thỬng hộng.


Mµ PJM vµ POD là các tam giác cân tại O
JM OD.


V AB tiạp xóc vắi ệđêng trưn (J) tỰi M nến JM AB


OD AB Tng tự


Mặt khác tiếp tuyến tại Q cđa (J) song song víi
BC tiÕp tun t¹i K cđa (O) song song víi BC


Gải F lộ giao ệiĨm cựa AP vắi ệđêng trưn (J) thừ


(v× ) MF NQ.


Mµ AM AN AMF ANQ (c.g.c)


Suy ra BAP CAQ.


MAF NAQ.


DPA KPE
MF NQ


KB KC BD DK KE EC


DA DK KE EA


2DA AK 2KE AK DA KE.


EA EC.
DA DB.


PMJ PDO
BE


AI
2


ThS.NguyÔn bị ệang
(Tđ vÊn chđểng trừnh phịt triĨn giịo dơc Trung hảc cựa Bé Giịo dơc vộ ậộo tỰo)

OLYMPIC TOÁN CHÂU AÂU



dành cho nữ sinh




(10)

9


C¸ch 2.


Tiạp tuyạn tỰi Q vắi ệđêng trưn (J) cớt cỰnh AB tỰi
E. AP cớt ệđêng trưn (J) tỰi D. PC cớt ệđêng trưn
(J) tỰi F.


Ta cã AN2 AD.AP vµ CN2 CF.CP


KĨ tia tiạp tuyạn Px chung cựa hai ệđêng trưn nhđ
hừnh vỳ.


Ta cã


Từ (1) và (2) ta có


Mà EQ BC


Vì EQ EM nªn (4)


Tõ (3), (4) suy ra


MQ ND MD NQ


ADM AQN (c.g.c)
Suy ra


Các bạn hÃy giải hai bài toán trên theo nhiều cách
khác nhé.


BAP CAQ.



EMQ AND


1 1


EMQ AEQ ABC.


2 2


AEQ ABC.


1 1


APN CPN APC ABC


2 2


1


AND APN ABC. (3)
2


AN AP
CN CP
AD AP . (2)


CF CP


DFP APx ACP DF// AC.


2


2


AN AD.AP. (1)
CF.CP
CN


DANH MUỳC SAÙCH TOAÙN TUOĂI THÔ

DUửNG CHO THỷ VIEẢN TRỷÔửNG HOỳC


Ngộy 29.11.2013 Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc Viỷt Nam ệở cã cềng vẽn sè 1881/NXBGDVN gỏi Giịm ệèc
cịc Sẻ Giịo dôc vộ ậộo tỰo, Giịm ệèc cịc Cềng ty cữ phẵn Sịch - TBTH trến toộn qc vỊ viỷc xẹy
dùng: Danh mơc sịch tham khờo dỉng cho thđ viỷn trđêng hảc tõ nẽm hảc 2013 - 2014. Trong ệã cã
cịc Ên phÈm sau cựa tp chí Ton Tui th:


TÊN SáCH TáC GIả GIá BìA ĐốI TƯợNGSử DụNG


Tạp chí Toán Tuổi thơ 1 (phát hành hàng tháng) Nhiều tác giả 7.000 đ GV, HS
Tuyển chọn 10 năm Toán Tuổi thơ - Tuyển chọn


cỏc toỏn tiu hc 39.500 GV, HS


Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2011 Tiểu học Nhiều tác giả 104.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2012 Tiểu học Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2013 Tiểu học Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS
Tạp chí Toán Tuổi thơ 2 (phát hành hàng tháng) Nhiều tác giả 7.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2011 THCS Nhiều tác giả 104.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2012 THCS Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS
Tổng tập Toán Tuổi thơ năm 2013 THCS Nhiều tác giả 145.000 đ GV, HS


Vũ Kim Thựy,
NguyÔn Xuẹn Mai,
Trẵn Thỡ Kim Cđểng




(11)

10


Câu 1.a) Biến đổi HPT trở thành


Nh©n theo vÕ 3 PT trªn suy ra
[(x 1)(y 1)(z 1)]2 36.


NÕu (x 1)(y 1)(z 1) 6 th×
x 1 1, y 1 2, z 1 3 nªn
x 2, y 3, z 4.


NÕu (x 1)(y 1)(z 1) 6 th×
x 1 1, y 1 2, z 1 3 nªn
x 0, y 1, z 2.


Vậy (x; y; z) (2; 3; 4), (0; 1; 2).
b) Điều kiện x 1. Biến đổi PT trở thành


VËy S {3; 2}.


Cẹu 2.a) NhẺn xĐt: Vắi a, b lộ 2 sè nguyến dđểng
thừ (a2013 b2013) (a b).


ịp dông ta ệđĩc


P 2(12013 22013 ... n2013) [(12013 n2013)
(22013 (n 1)2013) ... (n2013 12013)] (n 1);
P [(12013 (n 1)2013) (22013 (n 2)2013) ...


((n 1)2013 12013)] 2n2013)] n.


Mµ (n, n 1) 1 nên P n(n 1).
b) Nếu p 3 thì q 2.


Nếu p 3 thì (p2 1) 3. Suy ra 2q2 3.
Khi đó q 3 nên p2 19: vô nghiệm.
Vậy (p, q) (3; 2).


Chú ý. Từ 2q2 p2 1 2, suy ra p lẻ. Do đó
(p2 1) 8 hay 2q2 8. Suy ra q 2 p 3.


Cẹu 3. Quy ệăng mÉu thục hai vạ, biạn ệữi tđểng
ệđểng vộ rót gản, ta ệđĩc


a b c ab bc ca 6.
áp dụng BĐT AM - GM ta có


Suy ra đpcm.


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1.
Câu 4.


a) Vì nên tứ giác BQCR nội tiếp.


b) Vì và FC FB nªn FC, FB


thứ tự là phân giác ngồi và trong của DFP.
Do đó


Suy ra QD BD CD DS.
PF BP CP PF



BP FP CP PB DB .


BD FD CD PC DC


EFC EBC HFD
ACB AFE AQR


2


3 3


a b c 3 abc 3, ab bc ca 3 (abc) 3.


2 2


2


(x 1)(x 2) (x 1)(x 1) 6
3 x 1 2 x 2 2 x 1


(x 1)(x 2) 2 x 2 (x 1)(x 1)
2 x 1 6 3 x 1 0


( x 1 2)( x 2 x 1 3) 0.
x 1 2 x 3 (tháa m·n).


x 2 x 1 3 2x 1 2 (x 2)(x 1) 9


x x 2 (4 x)



x x 2 4 x


x 4
x 2 (tháa m·n).


(x 1)(y 1) 2
(y 1)(z 1) 6
(z 1)(x 1) 3.


Môn thi: Toán dành cho chuyên toán * Năm học: 2013 - 2014



THI TUYN SINH LP 10


THPT CHUYấN VNH PHC




(12)

11


Câu 1.(2,5 điểm)Tìm x biết


Câu 2.(2,5 điểm)


a) Chứng tỏ rằng 231 810 168chia hÕt cho 7.
b) Chøng tá r»ng sè 812013cã Ýt h¬n 4027 chữ số.
Câu 3.(2,0 điểm)


a) Tính


b) Cho 2013 số nguyến dđểng a1, a2,... , a2013
tháa mởn


Chụng minh rỪng Ýt nhÊt 2 trong sè 2013 sè


nguyến dđểng ệở cho bỪng nhau.


C©u 4.(3,0 điểm)
Cho hình vẽ.


Biết BE DE,


Chứng tỏ rằng AB // CD.


o o


ABE 50 , CDE 40 .


1 2 2013


1 1 ... 1 1007.


a a a


1 1 1 1


A ... .


2.5 5.8 8.11 152.155


2 1 22 3 1


a) x x b) x .


5 3 5 4 2



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7



TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU, QUẬN 1, TP. H CH MINH



Năm học: 2013 - 2014



Thi gian lm bi:90 phút (khơng kể thời gian giao đề)


Do đó QD DS nên D là trung điểm QS.


c) Gäi M lµ trung điểm BC thì M thuộc đoạn thẳng
DC. Vì tứ giác BQCR nội tiếp nên


DQ.DR DB.DC. (1)


Ta sẽ chứng minh DB.DC DP.DM. (2)
ThËt vËy (2) DB.DC


DB.DC DB.DP DP.DC DB.DC
DB.CP PB.DC: đúng do ý b).
Từ (1) và (2) suy ra DQ.DR DP.DM.


VẺy tụ giịc PQMR néi tiạp nến ệđêng trưn ngoỰi
tiạp PQR ệi qua trung ệiÓm cựa BC.


Câu 5.Giả sử có 16 số thỏa mãn điều kiện bài ra.
Khi đó, ta có 16 số dð phân biệt khi chia cho 16,
trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. Suy ra trong ba số
a, b, c có cả số chẵn và số lẻ.



XĐt trđêng hĩp a, b chơn vộ c lĨ.
Cã tÊt cờ 9 sè lĨ ệđĩc tỰo thộnh lộ


Trong 8 sè lĨ ệđĩc chản, cã 5 trong 6 sè thuéc tẺp
hĩp


HiÖu 2 sè bÊt kì trong 6 số này có dạng


V 6 số ệÒu cã xi chơn mộ trong 5 sè chơn
luền cã 2 sè cã hiỷu chia hạt cho 8 nến trong 5 sè
thuéc X tăn tỰi 2 sè khi chia 16 cã cỉng sè dđ: về lÝ.
Tđểng tù, trđêng hĩp trong ba sè a, b, c cã hai
sè lĨ, mét sè chơn còng khềng xờy ra.


i


x c


i j 10 i j


x c x c (x x ).
X {aac, abc, bac, bbc, cac, cbc}.
aac, abc, acc, bac, bbc, bcc, cac, cbc, ccc.



(13)

12



Bài 1(129). Tìm tất cả các số có hai chữ số
biết rằng số là bội số của 72.



Lời giải. Vì 72 8.9 và ƯCLN(8, 9) 1 nên
là béi sè cđa 72 khi vµ chØ khi M chia
hÕt cho cả 8 và 9.


M 8 khi và chỉ khi 8 nên b {0; 8}.
M 9 khi và chØ khi (6 4 a 7 2 b) 9 hay
(19 a b) 9. Suy ra (1 a b) 9.


Với b 0 thì (1 a) 9 nên a 8.


Víi b 8 th× a 9 nên a 9 (vì là số có hai ch÷
sè).


VËy


NhẺn xĐt.Cã nhiỊu lêi giời cựa cịc bỰn bỡ mớc lẫi
sai vÒ lẺp luẺn lềgic. Mét sè bỰn ệở quến khềng
loỰi nghiỷm ngoỰi lai Sau ệẹy lộ mét sè
bỰn cã lêi giời tèt: NguyÔn Duy Khđểng, 6E;
NguyÔn Thỡ Sen, 7D; NguyÔn Linh Giang, 7B,
THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; NguyÔn Thỡ
Ngảc Anh, 6D; Trẵn Thỡ Hoộng Minh, 6C; Cao
Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu,
Nghỷ An; Trẵn ậục Toộn, 7D, THCS Bớc Lý;
NguyÔn Thỡ Kim Ngẹn, 7B, THCS Nhẹn Nghỵa;
Trẵn Duy Long, 7D, THCS Nhẹn HẺu; NguyÔn
Hoộng Anh, 7C, THCS Tiạn Thẽng, Lý Nhẹn, Hộ
Nam; PhỰm Ngảc Hoa, 7A1, THCS Sềng Lề,
Sềng Lề; NguyÔn Hoội Phđểng, 7D, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn Lế Minh HỪng, TỰ


Hoộng NhẺt Mai, 6A1, THCS vộ THPT Hai Bộ
Trđng, Phóc Yến, Vỵnh Phóc; NguyÔn Minh
Hoộng, 6A1, THCS Supe, thỡ trÊn Hỉng Sển, Lẹm
Thao;Ngun Hoộng Nam, 7D; Vị Hoộng Nam,
Bỉi Ngảc Tẹn, 7C; THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ, Phó
Thả; Lế Vị Hoộng ậục, 6D1, THCS ậộ Nơng;
NguyÔn Minh Ngảc, PhỰm Thu Thờo, NguyÔn Anh
Chi, 6A7, THCS Chu Vẽn An, Ngề Qun, Hời
Phưng; Ngun Cờnh Tn, 6D, THPT Chuyến
Hộ Néi - Amsterdam; Tõ Anh Dòng, 7A15, THCS
Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;NguyÔn Thỡ Hđêng,
Phan Thộnh Vinh, 6A2; Ngun Thỡ TiỊn, 6A1,
THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Thu Lan,
6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ; NguyÔn Thỡ Thđ,
7A1, THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bc Ninh.


hoàng trọng hảo


Bi 2(129). Vi mi sè thùc x, kÝ hiỷu phẵn
nguyến cựa x lộ [x], lộ sè nguyến lắn nhÊt khềng
vđĩt quị x. Từm hai chọ sè tẺn cỉng cựa số


Lời giải.Ta có


Vì 720 10100 9.10100 10100 10101 7 nên


Mà 102020 720 (10202)10 (72)10 (10101 7) nªn
(10101 7)B,
víi B (10202)9 (10202)8.72 ... 10202.(72)8 (72)9.
Ta thÊy 10101 7 cã hai chữ số tận cùng là 93; 718


72.(74)4 49.24014có hai chữ số tận cùng là 49.
Suy ra hai chữ số tận cùng của A là hai chữ số tận
cùng của 93.49 hay 57.


NhẺn xĐt.Sè lêi giời gỏi vÒ khềng nhiÒu. Cịc bỰn
sau cã ệịp sè ệóng: Cao Thỡ Vẹn Anh, Ngun
Thỡ Ngảc Hun, Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS Cao
Xuẹn Huy, DiƠn Chẹu, Nghỷ An; Trẵn Thỡ Thóy
Hộ, 7C, THCS Liến Hđểng, Vò Quang, Hộ Tỵnh.


hå Quang vinh


Bội 3(129). Giời hỷ phđểng trnh


Lời giải.Điều kiện: x y 4xy 0; x z 3xz 0;
y z 2yz 0. Đặt


Ta c a 2b 1 (1)2b c 3 (2)
3c 2a 5. (3)


x y x z y z


a , b , c .


x y 4xy x z 3xz y z 2yz


x y 2(x z) 1
x y 4xy x z 3xz


2(x z) y z 3


x z 3xz y z 2yz


3(y z) 2(x y) 5.
y z 2yz x y 4xy


2020 20 202 2


101 101


10 7 (10 7 )B


A


10 7 10 7


20 100
101


7 10


0 1.


10 7


2020 100 2020 20 20 100


101 101 101


10 10 10 7 7 10 .



10 7 10 7 10 7


2020 100
101
10 10
A .
10 7
ab 08.
ab 80; 98 .


ab
72b


M 64a72b


64a72b



(14)

13


Tõ (1) vµ (2) suy ra c a 2.


Thay vộo (3) ta ệđĩc


Suy ra Từ đó


NhËn thÊy nÕu mét trong ba sè x, y, z b»ng 0 th×
tõ (4), (5), (6) suy ra hai số còn lại cũng bằng 0,
không thỏa mÃn điều kiện của bài toán.


Vi x, y, z cng khịc 0, chia cờ hai vạ cựa (4) cho
xy, cựa (5) cho xz, cựa (6) cho yz, ta ệđĩc



Céng theo vạ cựa ba phđểng trừnh trong hỷ trến vộ
rót gản, suy ra .


Tõ ệã từm ệđĩc nến


(tháa m·n ®iỊu kiƯn).
VËy hƯ cã nghiƯm duy nhÊt lµ


NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn khềng khã. Cể bờn lộ
nhẺn ra phĐp ệẳt Èn phô vộ kỵ nẽng giời hỷ
phđểng trừnh bẺc nhÊt (hoẳc hỷ quy vÒ bẺc nhÊt)
ba Èn sè ệển giờn. Hẵu hạt cịc bỰn gỏi bội giời
ệỊu lộm ệóng.


Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: PhỰm Ngảc Hoa,
7A1, THCS Sềng Lề, Sềng Lề, Vỵnh Phóc;ậẳng
Quang Anh, 7A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,
Thanh Hãa;Ngề Thỡ Huạ, 8A, THCS Yến Phong,
Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Lỷ Giang, Lế Thỡ
Thu Uyến, Nghiếm Thỡ Ngảc nh, Vâ Thỡ Hăng
Liỷu, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ
Tỵnh; KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt,
ThỰch ThÊt, Hộ Néi; PhỰm Thỡ BÝch Ngảc, 8B,
THCS Nhẹn ChÝnh; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D,
THCS Bớc Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;ThỰch ậục Anh,
8C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiƠn Thộnh, DiƠn
Chẹu,Nghỷ An.


Ngun Anh Dịng



Bội 4(129).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c tháa
mởn ệiÒu kiỷn abc 1. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa


biÓu thức


Lời giải. Vì abc 1 nên


Tng tự:


Cộng theo vạ cịc bÊt ệỬng thục trến ta ệđĩc


ậỬng thục xờy ra khi vộ chử khi a b c 1.
NhẺn xĐt. ậẹy lộ bội toịn bÊt ệỬng thục khềng
quị khã nến cã nhiÒu bỰn tham gia giời bội, ệẳc
biỷt lộ cịc bỰn ẻ cịc tửnh Vỵnh Phóc, Phó Thả,
Bớc Ninh, Hộ Néi, Hộ Tỵnh, Nghỷ An... Hẵu hạt
cịc bỰn tham gia giời bội ệỊu giời ệóng, mét sè
bỰn biạn ệữi dội mắi ệi ệạn kạt quờ. Sau ệẹy lộ
mét sè bỰn cã lêi giời tèt vộ ngớn gản: Hoộng ậục
ThuẺn, 8A; Bỉi Ngảc Tẹn, 7C, THCS Vẽn Lang,
Viỷt Trừ; Ngun Thóy Qnh, 9A2; Hoộng Phóc
ậỰt, 9A4, THCS GiÊy Phong Chẹu, Phỉ Ninh; Bỉi
Hăng Thịi, Bỉi ậinh Hđểng, 7A3; ậinh Trảng Phó,
8A1; Vị Thỉy Linh, Ngun ậục ThuẺn, 9A3,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; TỰ Lế
Ngảc Sịng, 7E; Trỡnh ậục Viỷt, 7B, THPT Chuyến
Hộ Néi - Amsterdam, Hộ Néi;Trẵn Thỡ Tđêng Vy,
Nghiếm Thỡ Ngảc nh, 8B; NguyÔn HỰnh Nhung,
Trẵn NguyÔn ậục Thả, 9B, THCS Hoộng Xuẹn


Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;NguyÔn Thanh Lẹm, Ngề
TrÝ Nguyến, 8C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu;
NguyÔn Hăng Quèc Khịnh, 9C; NguyÔn Doởn
Quyạt, 9B, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An;
MÉn ậục Bừnh Minh, PhỰm ậẫ Nguyỷt Anh, Chu
Thanh HuyÒn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong;
Trẵn Thỡ Thu nh, THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc
Ninh; Hoộng Thỡ HỪng, 9A, THCS LẺp ThỰch,
LẺp ThỰch; PhỰm ậẽng Tỉng, Bỉi ậục Thộnh,
9D, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến; NguyÔn ậục Bừnh,
9B, THCS Lý Tù Trảng, Bừnh Xuyến; NguyÔn Thỡ
Thếm, ậẫ Thỡ Thu An, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến
LỰc,Vỵnh Phóc;Trẵn Quèc Toờn, 8F, THCS Trẵn
Mai Ninh, TP. Thanh Hãa; NguyÔn Danh Thớng,
8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;
PhỰm Viỷt Anh, 9C1, THCS Trn Phú, TP. Bc
Giang,Bc Giang.


Cao văn dũng


2 2 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2


2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2


2 2 2 2 2 2



1 1 1


P


b c c 1 c a a 1 a b b 1


a b b


a b c a b c a b a b c a b b


1 a b b 1 1. (®pcm)


a b b 1 a b b 1


2 2 2 2 2 2


bc 1 , ca 1 .


2c a a c 1 a 2a b a b 1 b


2 2 2 2 2


ab abc 1 1 .


2b c 2bc c 2bc c b c 1 c


ab bc ca


P .



2b c 2c a 2a b


6 6


(x; y; z) ; ; 3 .


25 29


6 6


x , y , z 3


25 29


1 1 1, 29 1 25,


z 3 y 6 x 6


1 1 1 1


x y z 3


1 1 2 1 1 9 1 1, , 9.


x y 3 x z 2 y z 2


x y 1


x y 4xy 5 3(x y) 2xy (4)



x z 3 2(x z) 9xz (5)


x z 3xz 5 2(y z) 9yz. (6)


y z 9


y z 2yz 5


1 a 3 9


b , c a 2 .


2 5 5


1


3(a 2) 2a 5 a .



(15)

14



Bài 5(129).Cho một đồ thị G. Giả sử e {u, v} là
một cạnh của G, tức là u và v là các đầu mút
(đỉnh) của e. Ta nói hai đỉnh u, v kề nhau và cạnh
e là nối u với v. Bậc của u, kí hiệu deg(u), là số
cạnh coi u là đầu mút. Đỉnh u gọi là đỉnh chẵn hay
lẻ tùy theo bậc của u là chẵn hay lẻ.


a) Hãy tìm tập hợp V các đỉnh, tập hợp E các cạnh
của đồ thị G sau:



b) Tìm bậc và tính chẵn, lẻ của mỗi đỉnh của G.
Lời giải. a) Tập hợp các đỉnh của đồ thị G là
V {g, h, i, j, k}.


Tập hợp các cạnh của đồ thị G là


E {{g, h}, {g, i}, {g, j}, {k, h}, {i, h}, {i, k}, {i, j}}.
b) deg(g) 3, g là đỉnh lẻ; deg(h) 3, h là đỉnh lẻ;
deg(i) 4, i là đỉnh chẵn; deg(j) 2, j là đỉnh chẵn;
deg(k) 2, k là đỉnh chẵn.


Nhận xét.Đây là bài toán dễ, là khái niệm mở đầu
của lí thuyết đồ thị (graph). Có rất đơng các bạn
gửi bài đến tịa soạn, hầu hết đều giải đúng. Một
số bạn cịn viết sai kí hiệu cạnh của đồ thị, có một
bạn sai khi gọi giao điểm của các cạnh là các đỉnh
của đồ thị.


Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: Phan Nguyến
Khềi, 9A; NguyÔn Hăng Quèc Khịnh, PhỰm Quèc
Toộn, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, Vinh, Nghỷ An;
ậẳng Quanh Anh, 7A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng
Sển, Thanh Hãa;NguyÔn Thỡ Thờo Phđểng, 8A;
Trẵn Vẽn ậé, 8C; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D;
NguyÔn Minh Quẹn, Hoộng Trảng Lđĩng, 9B,
THCS ậục Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam;NguyÔn Khịnh
Linh, 6D; TỰ Lế Ngảc Sịng, 7E, THPT Chuyến Hộ
Néi - Amsterdam; PhỰm ậục Hiỷp, PhỰm Kú Anh,
Tõ Anh Dịng, Ngun Khớc Nam, 7A15; NguyÔn
Duy Khđểng, 8A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ


Néi;Ngun Thỡ Phđểng, Ngun ậục Tẹm, 8A;
Chu Thanh Hun, NguyÔn Thỡ Thanh Hđểng, 9A,
THCS Yến Phong, Yến Phong; Mai Tiạn Thộnh,
9C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh;
NguyÔn Thỡ Thếm, Ngun Thỡ Tó Linh, 9A1,
THCS Yến LỰc, Yến LỰc; NguyÔn Hoội Phđểng,
7D; NguyÔn Thanh Tẹm, 8B; NguyÔn Vẽn Hỉng,
NguyÔn Quèc Nghiến, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,


Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Dđểng Gia Huy, 8A1;
Ngun ậục ThuẺn, 9A3; Hoộng Phóc ậỰt, 9A4;
Ngun Thanh Bừnh, ậinh Minh Hộ, NguyÔn ậục
MỰnh, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lm Thao, Phú
Th.


TRịNH HOàI DƯƠNG


Bi 6(129).Cho tam gic ABC néi tiạp ệđêng trưn
tẹm O bịn kÝnh R vộ ệđêng cao AH bỪng M,
N theo thụ tù lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa H trến
AB, AC. Chụng minh rỪng M, O, N thỬng hộng.
Lêi giời.Cã hai trđêng hĩp xờy ra.


Trđêng hĩp 1. ABC nhản.


Gải K lộ giao ệiÓm thụ hai cựa AO vộ ệđêng trưn
(O).


Ta thÊy AN.AC AH2(vì AH BC và HN AC)



Do ú


Suy ra NAO KAC (c.g.c).
VËy


Tđểng tù
Tãm lỰi


ậiÒu ệã cã nghỵa lộ M, O, N thỬng hộng.
Trđêng hĩp 2. ABC khềng nhản.
Chụng minh tđểng tù trđêng hĩp 1.


NhẺn xĐt.Bội toịn nộy dƠ, rÊt nhiỊu bỰn tham gia
giời. Tuy nhiến nhiÒu lêi giời quị dội. Xin nếu tến
mét vội bỰn cã lêi giời tèt: Trẵn Thỡ Thu nh, 9A3,
THCS Tõ Sển, Tõ Sển, Bớc Ninh;Vò Thỉy Linh,
9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Duy Khđểng, 8A9, THCS Giờng Vâ, Ba
ậừnh, Hộ Néi; Ngun Trung Phóc, 9A; Ngun
Hăng Quèc Khịnh, 9C, THCS ậẳng Thai Mai,
Vinh, Nghỷ An.


Ngun Minh Hµ


o o o


AOM AON 90 90 180 .


o



AOM 90 .


o


AON ACK 90 .
AN AK .
AO AC


2


2R (v× AH 2R)


AO.AK (v× AK 2AO 2R).



(16)

15


Cho d·y sè 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4,
4, 5, 5, 5, 5, 5, ... Hỏi số hạng thứ
2014 là số nào?


Thi Nht Phng
(GV. THCS Ngun Vẽn Trẫi, Cam
Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)


Cã rÊt nhiỊu cịch chia tam giịc ệđĩc cịc bỰn gỏi
ệạn. Xin giắi thiỷu hai cịch chia cho mẫi phẵn a,
b, c.


Gải I lộ giao ệiÓm ba ệđêng phẹn giịc cựa tam
giịc ABC. Vừ tam giịc ABC khềng cẹn nến ba
ệoỰn thỬng IA, IB, IC ệềi mét khềng bỪng nhau.


Giờ sỏ IA IB IC.


a)C¸ch 1


C¸ch 2


b)Cịch 1.Vỳ ệđêng trưn (I, IA) cớt cỰnh AB tỰi G,
cớt cỰnh BC ẻ D vộ E, cớt cỰnh AC ẻ F.


C¸ch 2


c)Cịch 1.Vỳ ệđêng trưn (I; R) (vắi r R IA, r lộ
bịn kÝnh ệđêng trưn néi tiạp ABC) cớt cỰnh AB
tỰi K, H; cớt cỰnh BC ẻ D, E; cớt cỰnh AC ẻ G, F.


C¸ch 2


NhẺn xĐt. ậa sè cịc bỰn gỏi lêi giời ệÒu cã kạt
quờ ệóng. Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: Vi Quý
Vđểng, 8A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó
Thả; Ngun Vẽn Hỉng, 9C, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; PhỰm Thỡ Thớm, 9C,
THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng Hưa; TỰ Mai
Anh, 9A1, THCS Lđểng Thạ Vinh, Thanh Xuẹn,
Hộ Néi; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu
Vẽn An, Ngề QuyÒn, Hời Phưng.


Compa vui tÝnh khen bạn: Hoàng Đức Thuận, 8A,
THCS Văn Lang, TP. Việt Trì, Phó Thä.



Anh compa


SỐ HẠNG THỨ 2014




(17)

16


thộnh phè nả, ềng Bin nữi tiạng lộ mét
doanh nhẹn thộnh ệỰt. Gẵn ệẹy, do
hay phời ệi ệẹy ệi ệã, lỰi thếm từnh hừnh
an ninh trẺt tù cã nhiÒu phục tỰp khã lđêng nến
ềng Bin quyạt ệỡnh sỳ tuyÓn chản cho mừnh mét
vỷ sỵ.


Ngđêi trĩ lÝ cựa ềng Bin ệở từm ệđĩc 4 ụng cỏ
viến. Tuy nhiến, chản ai trong sè hả thừ ềng Bin
chđa thÓ quyạt ệỡnh ệđĩc. Cờ 4 ngđêi ệÒu cã tay
nghÒ cao vộ sục kháe tèt, biạt cẹn nhớc lùa
chản thạ nộo ệẹy? Vèn lộ bỰn cựa nhau, lỰi rÊt
tin tđẻng Sếlềccềc nến ềng Bin ệở nhê thịm tỏ
gióp ệì. Thịm tỏ vui vĨ nhẺn lêi vộ vắi kinh
nghiỷm lẹu nẽm cựa mừnh, ềng ệở cã kạ hoỰch
bÝ mẺt ệĨ gióp bỰn mừnh lùa chản.


Hềm ệã, tỰi mét nhộ hộng ệềng ệóc, ềng Bin
mêi thịm tỏ, ngđêi trĩ lÝ cỉng 4 ụng cỏ viến tắi
gẳp mẳt.


Bến mẹm cểm thẹn mẺt, ềng Bin rãt rđĩu mêi
mải ngđêi. TÊt cờ ệÒu vui vĨ nẹng cèc, trõ mét
ụng cỏ viến. Anh ta nãi mừnh khềng biạt uèng
rđĩu nến nhÊt ệỡnh khềng uèng. Ai nãi thạ nộo


anh còng khềng nghe. Thịi ệé cựa anh khiạn ềng
Bin vộ ngđêi trĩ lÝ ệÒu cờm thÊy khềng ệđĩc vui.
Mét lóc sau, khi mải ngđêi ệang ẽn uèng,
chuyỷn trư thừ bẫng cã tiạng la hĐt thÊt thanh
vảng vộo tõ bến ngoội. Hừnh nhđ cã tến cđắp tịo
tĩn xềng vộo nhộ hộng. Ngay lẺp tục, 2 ụng cỏ


viến vỷ sỵ lao ra. Ngđêi khềng biạt uèng rđĩu lóc
nởy vộ mét ngđêi nọa thừ vÉn ngăi yến bến ềng
Bin. Ngđêi trĩ lÝ cựa ềng Bin gớt lến:


- Sao 2 cậu còn ngồi ngây ra đấy? Lỡ đâu có
ai đó muốn hại ơng Bin thì sao?


Mẳc cho ngđêi trĩ lÝ quịt thịo, hai ngđêi vÉn
im lẳng vộ vÉn ệụng yến bến ềng Bin.


l¹! VƯ sÜ mµ cø ú ra, chẳng chịu xông pha gì
cả?.


Một lúc sau, 2 ứng cử viên kia chạy vào báo
cáo:


- Thđa ềng, ệở bớt ệđĩc tến cđắp!


hÊp tÊp chỰy theo. Riếng ngđêi khềng biạt uèng
Bin bùc quị, cđêi khÈy:


- Bớt ệđĩc răi mộ anh cịng khềng quan tẹm
đ? ậóng thẺt lộ...



Ngđêi vỷ sỵ vÉn im lẳng, khềng cởi cẹu nộo
còng khềng tá thịi ệé gừ.


Sau buữi ệã, thịm tỏ Sếlềccềc ệở ệđa ra ý
Bin vộ ngđêi trĩ lÝ nghe thịm tỏ phẹn tÝch còng
cờm thÊy rÊt thuyạt phôc vộ hả ệở ệăng lưng
nhÊt trÝ chản ngđêi đng ý nhÊt.


Đố các bạn biết: Thám tử Sêlơcơc đã khun
chọn ai? Vì sao?


CHỌN



vệ sú


Nguyễn Đức



(18)

17


Bt ngời phụ n tr


Vì nói dối lộ rồi


Chỉ nghe loáng thoáng thôi
Mà sao biết râ vËy?


Nộo mÊt cờ chiạc tói
Nộo khãc ệạn lộ thđểng
Cề phôc vô gian tham
Hởy khai ngay kĨo muén!



ậẹy lộ cẹu trờ lêi bỪng thể cựa bỰn Vò ậục Anh,
6C, THCS NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninhvộ ệã
lộ cẹu trờ lêi ệóng. RÊt nhiỊu bỰn khịc cịng ệđa
ra ý kiạn nhđ bỰn ậục Anh. Tuy nhiến, mét sè
bỰn, cã lỳ do cịch phịn ệoịn chđa chẳt chỳ nến
ệở ệẳt nghi vÊn vộo chộng trai phôc vô. Ngoội
bỰn ậục Anh, nhọng bỰn sau còng ệđĩc nhẺn
phẵn thđẻng kừ nộy: PhỰm Thỡ Thóy An, 6A,
THCS Khịnh NhỰc, Yến Khịnh, Ninh Bừnh;Cao
Thỡ Vẹn Anh, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn
Chẹu, Nghỷ An; ậẳng Thỡ Thanh HuyÒn, 6/5,
THCS Lế Vẽn Thiếm, TP. Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh; Lế
Thộnh Tẹm, 8E, THCS Hỉng Vđểng, TP. Tuy
Ha,Phú Yn.


Thám tử Sêlôccôc


VUẽ MAT TROM TRONG QUAN AấN

(TTT2 sè 129)


BỰnậộo Bị ậẽng, 8A, THCS Tam Cđêng, Vỵnh
Bờo,Hời Phưng ệở giời bỪng bội thể ệÒ cê kừ
56 nhđ sau


Thạ cê cụ tđẻng khã ghế
Suy ệi tÝnh lỰi hÒ hÒ ra luền


D5 xe xuèng chiÕu vua


Vua ta bÝ nđắc tèt ệộnh cụu nguy
D5 tèt ệụng oai hỉng



Mã liền thấy thế d3 đi liền
Vua lại lần nữa lâm nguy
Tốt đứng e4 phóng vù d3


Chỉ đợi có thể lập cơng
F2 đang đứng đi liền f4


Lẵn nộy vua hạt nđắc ệi


Bên đen yếu thế nên đành thua thôi.


Ngoội bỰn ậẽng, cịc bỰn sau còng ệđĩc
thđẻng kừ nộy: Dđểng Lẹm Anh, 7A4, THCS
Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; TỰ Bờo
Anh Ngảc, 7E, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,
Nghỷ An; Lế Huy Quang, 9C, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng; NguyÔn Thanh Bừnh, 9A1,
THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả.


Lª Thanh Tó


Trắng đi trước chiếu hết sau 3 nước.


LÊ THANH TÚ



(19)

(20)

19


definition

định nghĩa



notation

kí hiệu



property

tính chất


assumption

giả thiết


condition

điều kiện


theorem

định lí


formula

cơng thức


formulation

phát biểu



proof

chøng minh



solution

lêi gi¶i


argument

lËp luËn


conclusion

kÕt luËn



remark

nhËn xÐt



number



quantity

sè lđĩng



size

độ lớn



abstract

tãm t¾t


introduction

giíi thiƯu


references

các tham khảo



article

bài báo



paper

bài báo



publication

đăng, xuất bản




referee

phản biện



system

hệ, hệ thống



it



all

tất cả



every

mọi



each

mỗi



any

bất kì, tùy ý


there is a

có một



none

không có



both

c¶ hai



either

cịi nộo cịng ệđĩc


neither

khềng cã cịi nộo


cardinal numbers

sè ệạm



ordinal numbers

sè thø tù



most

hÇu hÕt, tËn cïng



least

Ýt nhÊt




greatest

lín nhÊt


smallest

nhá nhÊt



multiples

béi



many

nhiỊu



few

Ýt



a, an

cã thĨ thay cho sè 1



some

mét vµi



one of

mét trong



mentioned earlier

ệở ệỊ cẺp trđắc ệã



that

đó



but

nhðng



as

nh là



too

quá



enough



equality

bằng nhau


difference

khác nhau


therefore

do vậy



deduce that

suy ra rằng



do vậy




e.t.c

vân vân



because



since



then

do đó



so

do đó



TỪ THƯỜNG GẶP TRONG


báo tốn, sách tốn




(21)

20



đông ba (Hà Nội)
Sðu tầm
Bạn hãy thay mỗi


chọ cịi bẻi mét chọ
sè sao cho ệđĩc
phĐp tÝnh ệóng, biạt
rỪng cịc chọ cịi khịc
nhau biÓu thỡ cịc chọ
sè khịc nhau. Lêi giời


cẵn ghi râ lẺp luẺn.


1.ậẹy lộ trđêng hảc cựa chóng tềi. Trđêng cựa chóng tềi rÊt lắn, rÊt sỰch sỳ.


2.Trến giị sịch cựa tềi cã rÊt nhiÒu sịch Trung Vẽn. Giị sịch cựa tềi rÊt ngẽn nớp.
3.TiÓu Hời, ệẹy lộ vđên hoa nhộ bỰn ộ? Vđên hoa nhộ bỰn ệứp thạ!


4.Nhà của chúng tơi có nhiều đồ dùng. Đồ dùng trong nhà chúng tôi rất sạch sẽ, rất đẹp. Tơi rất
thích nhà của tơi.


Cịc bỰn cã lêi giời tèt: PhỰm Thỡ Hộ, 9D, THCS Lế Quý ậền, TP. Lộo Cai; Ngun Tiạn Dịng, 8A1,
THCS Thỡ trÊn Phè Lu, Bờo Thớng, Lộo Cai;NguyÔn Duy Khịnh, 8A1, THCS Sềng Lề; Ngun
Tuyạt Mai, 8A1, THCS Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến; Lế Thỡ Phđĩng, 8E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Tđêng,Vỵnh Phóc;ậẳng Thỡ Hđêng, NguyÔn Quang Minh, 8B; Chu Thỡ Hời Yạn, 7A3; NguyÔn Thỡ
Mai, 7A4, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn Thỡ Phđểng, 9A, THCS Trung Nghỵa, Yến Phong,
Bớc Ninh.


BÝnh Nam Hµ

ĐẾN VỚI TIẾNG HÁN




(22)

Lêi giời. ậẹy lộ bội toịn khã. Chử cã mét vâ sỵ
nhẺn lêi thịch ệÊu lộ vâ sỵ Lế Huy Quang, 9C,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc. Xin
giắi thiỷu lêi giời cựa vâ sỵ Quang.


Ta thÊy


Từ đó, chú ý rằng KM BS, KN CS, suy ra


VËy KB KC.



Gải H lộ trùc tẹm cựa ABC. Chó ý rỪng BF, CE
lộ cịc ệđêng cao cựa HBC, tđểng tù nhđ trến, ta
cã LB LC.


VËy KL BC.


LÊy D, R sao cho c¸c tø gi¸c AHDF, QRKL là
những hình bình hành (R NK).


Ta thy HE NC và HD // AF, AF CF, CF // NS.
Do ú


Mặt khác, vì CHE CAF nªn


Vậy EHD CNS.
Điều đó có nghĩa là


Kạt hĩp vắi DE SN, SN RN, suy ra DE // RN.
Kạt hĩp vắi DF // RQ, EF // NQ, ta ệđĩc


DEF RNQ.


Do đó


Nãi c¸ch kh¸c 2KL HA.


NhẺn xĐt. ậđểng nhiến vâ sỵ Quang lộ ngđêi
ệẽng quang trong trẺn ệÊu nộy.



Ngun Minh Hµ
KL RQ QN 1.


HA DF FE 2
HED NCS.
HE HE EC 2NC NC.
HD AF FC 2NS NS


EHD CNS.


2 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2 2


1 1


KB KS MB MS BF BE


4 4


1CE 1CF NC NS KC KS .


4 4


2 2 2 2 2


1 1 1 1


MB BF; MS BE; NS CF; NC CE.



2 2 2 2


BF CF BC BE CE .


21



Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV trđêng THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.


Bài toán thách đấu: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi Ao, Bo, Cotheo thứ tự là hình chiếu của A, B, C
trên BC, CA, AB; A1, A2theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên BoCo; B1, B2theo thứ tự là hình chiếu
của C, A trên CoAo; C1, C2 theo thứ tự là hình chiếu của A, B trên AoBo.


Chøng minh r»ng S(A1B1C1) S(A2B2C2).
XuÊt xø: S¸ng t¸c.


Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.03.2014 theo dÊu bđu ệiỷn.


TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI BA




(23)

22


Bội tẺp toịn trư chểi xuÊt hiỷn trong mét sè kừ thi
Olympic toịn Quèc gia vộ Quèc tạ vắi ệÒ bội vộ
lêi giời thđêng khị ệa dỰng nến thó vỡ vộ hÊp dÉn,
rÊt thÝch hĩp vắi hảc sinh trung hảc cể sẻ. Toịn trư
chểi cã thĨ gióp phịt triĨn tđ duy suy luẺn lềgÝc,
khờ nẽng giời quyạt cịc bội toịn thùc tạ, khờ nẽng
sỏ dông vộ kạt nèi cịc kiạn thục...


1. Phđểng phịp ệỰi lđĩng bÊt biạn



ậẹy lộ mét trong nhọng phđểng phịp khị họu
hiỷu trong giời toịn trư chểi.


ậỰi lđĩng (hay tÝnh chÊt) bÊt biạnlộ ệỰi lđĩng (tÝnh
chÊt) khềng thay ệữi trong quị trừnh thùc hiỷn cịc
phĐp biạn ệữi.


Giả sử trò chơi ở một trạng thái ban đầu. Do tính
bất biến nên không thể thay đổi trạng tháitừ chẵn
thành lẻ, từ trắng thành đen, từ chia hết thành chia
có dð.... Từ đó ta có kết luận về trạng thái cuối
cùngcủa trị chơi.


BÊt biạn ệđĩc sỏ dơng ệĨ giời quyạt nhiỊu dỰng
toịn khịc nhau, khềng chử cịc bội toịn trư chểi.
BÊt biạn nhiỊu khi khã nhẺn biạt, ệĨ giời cẵn phẹn
tÝch ệĨ phịt hiỷn hoẳc tỰo ra quy luẺt bÊt biạn.
2. Phđểng phịp ệỰi lđĩng bÊt biạn trong trư chểi
Bội 1.TỰi mẫi ề cựa mét lđắi 4 4 chụa mét dÊu
céng hoẳc dÊu trõ. Mẫi lẵn, ta ệữi dÊu cựa tÊt cờ
cịc ề trến cỉng mét hộng hoẳc cỉng mét cét tõ
céng sang trõ vộ ngđĩc lỰi. Biạt ban ệẵu lđắi cã 1
dÊu céng vộ 15 dÊu trõ, hái cã thÓ ệđa lđắi vÒ
dỰng cã toộn dÊu céng ệđĩc khềng?


Giời. Thay dÊu céng bỪng sè 1 vộ dÊu trõ bỪng
1. XĐt tÝch tÊt cờ cịc sè trến lđắi. TÝch nộy bỪng
1 nạu cã sè chơn dÊu trõ vộ bỪng 1 nạu cã sè lĨ
dÊu trõ. Qua mẫi phĐp biạn ệữi, tÝch nộy khềng
thay ệữi(vừ mẫi phĐp biạn ệữi thừ tÝch cịc sè trến


hộng hay cét ệđĩc ệữi dÊu vÉn khềng ệữi).
Ban ệẵu, tÝch cịc sè trến bờng lộ 1 nến khềng
thĨ ệđa vỊ bờng cã tÝch cịc sè bỪng 1 (găm toộn
dÊu céng).


Bội 2. Trến bộn cê 8 8 cã 32 quẹn trớng vộ 32
quẹn ệen, mẫi quẹn chiạm mét ề vuềng. TỰi mẫi
bđắc ệi ngđêi chểi thay tÊt cờ cịc quẹn trớng
thộnh quẹn ệen vộ tÊt cờ cịc quẹn ệen thộnh


quẹn trớng trến mét hộng hoẳc mét cét nộo ệã.
Hái sau họu hỰn bđắc, cã thÓ cưn lỰi mét quẹn
ệen trến bộn cê khềng?


Giời.Nạu trđắc khi chuyÓn cã k quẹn ệen trến hộng
(cét) ệỡnh chuyÓn thừ sè quẹn trớng trến hộng (cét)
Êy lộ 8 k. Sau khi chuyÓn thừ hộng (cét) cã 8 k
quẹn ệen vộ k quẹn trớng. Sè quẹn ệen trến bộn
cê sau khi chuyÓn lộ (8 k) k 8 2k, l số
chn.


Vì ban đầu có 32 quân đen nên số quân đen trên
bàn cờ luôn luôn là chẵn.


Vy khềng thÓ tõ trỰng thịi 32 (sè chơn) quẹn ệen
trến bộn cê ệđa ệạn trỰng thịi cưn lỰi mét (sè lĨ)
quẹn ệen trến bộn cê ệđĩc.


Bội 3. (Về ệỡch toịn Rio Plata, 1996 - 1997)
Trến mét ệđêng trưn viạt 1996 sè 0 vộ mét sè 1.


Mét bđắc ệi cho phĐp chản mét sè vộ ệữi hai sè
liÒn kÒ cựa sè ệđĩc chản ệã, tõ 0 thộnh 1 vộ 1
thộnh 0. Hái cã thÓ ệữi tÊt cờ cịc sè 0 thộnh sè 1
ệđĩc khềng? Cẹu hái cịng nhđ vẺy nạu lóc ệẵu ta
cã 1997 sè 0?


Giời.Nhãm 1996 sè 0 thộnh 499 nhãm, mẫi nhãm
cã 4 sè 0. Lẵn thụ nhÊt chản sè ẻ vỡ trÝ thụ hai
trong mẫi nhãm vộ thùc hiỷn ệữi sè. Hai sè 0 thụ
nhÊt vộ thụ ba trẻ thộnh sè 1. Lẵn thụ hai chản sè
ẻ vỡ trÝ thụ ba vộ ệữi nèt hai sè 0 ẻ vỡ trÝ thụ hai vộ
thụ tđ. Nhđ vẺy ta ệđĩc bèn sè 0. Cụ tiạp tôc lộm
nhđ vẺy, ta ệđĩc 1997 sè 1.


Khềng thÓ ệữi tÊt cờ 1997 sè 0 vộ mét sè 1 thộnh
1998 sè 1 ệđĩc.


Thật vậy, sau mỗi phép đổi hai số liền kề (0 thành
1 và 1 thành 0) tính chẵn lẻ của tổng tất cả các số
trên vòng tròn hoặc tăng 2 đơn vị, hoặc giảm 2
đơn vị, hoặc khơng đổi. Nghĩa là, tính chẵn lẻ của
tổng các số trên vòng tròn là bất biển.


Do tững lóc ệẵu lộ 1 nến khềng thĨ biạn thộnh sè
chơn lộ 1998 ệđĩc (khi cã tÊt cờ 1998 sè 1).
Bội 4. (Chản ệéi tuyÓn Hăng Kềng tham dù IMO
2000, vưng 1)


Cã 1999 tịch uèng trộ ệẳt trến bộn. Lóc ệẵu tÊt cờ
ệỊu ệđĩc ệẳt ngỏa. TỰi mẫi bđắc ệi, ta lẺt ngđĩc


100 tịch trong sè chóng (óp thộnh ngỏa, ngỏa


BẤT BIẾN



trong tốn trị chơi




(24)

23


thộnh óp). Hái sau mét sè bđắc ệi, cã thĨ lộm cho
tÊt cờ chóng ệỊu óp xng ệđĩc khềng, tỰi sao?
Trờ lêi cẹu hái nộy trong trđêng hĩp chử cã 1998
tịch.


Giời. Theo quy tớc chểi, lẵn ệẵu ta phời óp 100
tịch. Sau ệã, tỰi mẫi thêi ệiÓm, giờ sỏ cã k tịch
ệang ệẳt ngỏa ệđĩc óp xuèng thừ 100 k tịch
ệang óp ệđĩc lẺt ngỏa lến. Do ệã sè cịc tịch óp
ệở tẽng lến k chiạc vộ giờm ệi 100 k. VẺy sè tịch
óp bỡ thay ệữi ệi mét sè chơn lộ (100 k) k 100
2k, lộ mét sè chơn nến tÝnh chơn lĨ cựa tững sè
cịc tịch óp khềng thay ệữi. Mộ ban ệẵu sè tịch
óp ẻ trỰng thịi chơn nến khềng thĨ lộm cho sè
tịch óp bỪng 1999 (trẻ vỊ trỰng thịi lĨ) ệđĩc.
Nạu sè tịch ngỏa lóc ệẵu lộ 1998 (sè chơn) thừ cã
thĨ óp tÊt cờ cịc tịch, cịch lộm nhđ sau: ậịnh sè
cịc tịch theo thụ tù 1, 2,…, 1998. Lẵn lđĩt óp mẫi
lẵn 100 tịch, sau 18 lẵn óp ệđĩc 1800 tịch
chuyÓn trỰng thịi tõ ngỏa sang óp. Lẵn thụ 19 óp
99 tịch trong sè 198 tịch ngỏa cưn lỰi (sè 1801,
1802,…, 1899) vộ lẺt ngỏa mét tịch (thÝ dô, sè 1).
Nhđ vẺy, sau 19 lẵn, sè tịch ngỏa cưn lỰi lộ 100


(sè 1 vộ 1900,…, 1998). Lẵn thụ 20 óp nèt 100
tịch nộy vộ tÊt cờ 1998 tịch ệỊu bỡ óp.


Bµi 5. (Thi Olympic 30.4 lÇn 8, 2007, líp 10) Víi
mét tam thøc bËc hai, cho phÐp thùc hiƯn mét
trong hai phÐp to¸n sau:


1) Hoịn vỡ hỷ sè cựa x2vộ sè hỰng tù do.
2) Thay x bỪng x m vắi m lộ sè thùc tỉy ý.
Hái cã thÓ nhẺn ệđĩc tam thục 30x2 4x 1975
tõ tam thục x2 5x 2007 sau mét sè bđắc thùc
hiỷn liến tiạp mét trong hai phĐp toịn trến khềng?
Giời. Sau khi thùc hiỷn phĐp toịn thụ nhÊt, tam
thục bẺc hai P(x) ax2 bx c trẻ thộnh f(x) cx2
bx a. Ta thÊy biỷt thục b2 4ac khềng ệữi
sau phĐp hoịn vỡ.


Thùc hiƯn phÐp to¸n thø hai, tam thøc trë thµnh
P(x m) a(x m)2 b(x m) c ax2 (b
2am)x (am2 bm c). BiÖt thøc (b 2am)2


4a(am2 bm c) b2 4ac, cũng không đổi
sau phép biến đổi.


VẺy biỷt thục lộ mét ệỰi lđĩng bÊt biạn sau cờ
hai phĐp biạn ệữi.


Tam thục Q(x) 30x2 4x 1975 cã Q 8053,
cưn tam thục R(x) x2 5x 2007 cã R
237016 nến cờ hai phĐp toịn trến khềng thÓ nhẺn


ệđĩc tam thục Q(x) tõ tam thc R(x).


3. Kĩ thuật tô màu


Nhiu khi phi sỏng tạo bằng cách dùng kĩ thuật
tô màu để phát hiện bất biến.


Bài 6.(Vô địch Liên Xô lần thứ hai, 1968)


a) (Lắp 8, 9) Trong mét lđắi 4 4 ệđĩc ệẳt cịc dÊu


céng vộ cịc dÊu trõ nhđ trong hừnh 1. Cho phĐp
ệăng thêi ệữi dÊu tÊt cờ cịc dÊu trong cịc ề cựa
mét hộng, mét cét hoẳc trến ệđêng thỬng song
song vắi mét trong hai ệđêng chĐo chÝnh cựa hừnh
vuềng (ệẳc biỷt, cã thÓ ệữi dÊu cựa ề gãc). Chụng
minh rỪng theo quy tớc nộy ta khềng bao giê nhẺn
ệđĩc bờng cã tÊt cờ cịc ề chụa cịc dÊu céng tõ
bờng cã 15 dÊu céng vộ 1 dÊu trõ (khềng nỪm tỰi
ề gãc) nhđ hừnh 2.


H×nh 1 H×nh 2


b) (Lắp 10) Trến tÊt cờ cịc ề cựa mét bộn cê 8 8,
mét ề khềng phời ề gãc ệđĩc ệẳt dÊu trõ, cịc ề
cưn lỰi ệẳt dÊu céng. Cho phĐp ệăng thêi ệữi dÊu
tÊt cờ cịc sè trong cịc ề cựa mét hộng, mét cét
hoẳc mét ệđêng chĐo (ệđêng chĐo lộ ệđêng ệi
cựa quẹn tđĩng, nãi riếng, cã thÓ ệữi dÊu mét ề
gãc bÊt kừ). Chụng minh rỪng theo quy tớc nộy ta


khềng bao giê nhẺn ệđĩc bờng cã tÊt cờ cịc ề chử
chụa cịc dÊu céng tõ bờng ẻ hừnh 2.


Giời. a) Tề ệen tịm ề nhđ trong hừnh 2. Vừ mải
ệđêng thỬng song song vắi cỰnh hoẳc ệđêng
chĐo hừnh vuềng bao giê còng chử cớt mét sè chơn
(0 hoẳc 2) cịc ề ệen nến sau cịc phĐp ệữi dÊu
nhđ trong ệẵu bội, tÝnh chơn lĨ cựa tững sè dÊu trõ
trong cịc ề ệen ệã lộ bÊt biạn. Do ệã tõ bờng ban
ệẵu cã 1 dÊu céng vộ 15 dÊu trõ, bỪng phĐp biạn
ệữi trến ta khềng thĨ ệđa vỊ bờng cã trỰng thịi cã
16 dÊu céng.


b) Chia bộn cê 8 8 thộnh bèn lđắi 4 4 vộ ịp
dông cẹu a) cho bờng vuềng cã chụa dÊu trõ.
4. Bội tẺp


Bài 7. (Vô địch Kiev, 1974)


Cịc sè 1, 2,... , 1974 ệđĩc viạt trến bờng. Ngđêi
chểi ệđĩc phĐp thay hai sè bÊt kừ bẻi mét sè khịc
bỪng tững hoẳc bỪng hiỷu cựa cịc sè ệã. Hởy chử
ra rỪng, sau 1973 lẵn thùc hiỷn phĐp toịn ệã, sè
cưn lỰi trến bờng khềng thĨ bỪng 0.


Bài 8. (Vơ địch toàn liên bang Nga lần thứ 5,
1971, lớp 10)



(25)

24


1. Rachelle uses 3 pounds of meat to make 8

hamburgers for her family. How many pounds of
meat does she need to make 24 hamburgers for
a neighborhood picnic?


(A) 6 (B) (C) (D) 8 (E) 9
2. In the country of East Westmore, statisticians
estimate there is a baby born every 8 hours and a
death every day. To the nearest hundred, how
many people are added to the population of East
Westmore each year?


(A) 600 (B) 700 (C) 800 (D) 900 (E) 1000
3.On February 13 The Oshkosh Northwester listed
the length of daylight as 10 hours and 24 minutes,
the sunrise was 06:57 AM, and the sunset as
08:15 PM. The length of daylight and sunrise were
correct, but the sunset was wrong. When did the
sun really set?


(A) 05:10 PM (B) 05:21 PM
(C) 05:41 PM (D) 05:57 PM
(E) 06:03 PM


4. Peter’s family ordered a 12-slice pizza for
dinner. Peter ate one slice and shared another
slice equally with his brother Paul. What fraction
of the pizza did Peter eat?


(A) (B) (C) (D) (E)



5.In the diagram, all angles are right angles and
the lengths of the sides are given in centimeters.
Note the diagram is not drawn to scale. What is, X
in centimeters?


(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5


6.A rectangular photograph is placed in a frame
that forms a border two inches wide on all sides of
the photograph. The photograph measures 8
inches high and 10 inches wide. What is the area
of the border, in square inches?


(A) 36 (B) 40 (C) 64 (D) 72 (E) 88
7. Isabella must take four 100-point tests in her
math class. Her goal is to achieve an average
grade of 95 on the tests. Her first two test scores
were 97 and 91. After seeing her score on the
third test, she realized she can still reach her goal.
What is the lowest possible score she could have
made on the third test?


(A) 90 (B) 92 (C) 95 (D) 96 (E) 97
8.


today’s sale”. In addition, a coupon gives a 20%
discount on sale prices. Using the coupon, the
price today represents what percentage off the
original price?



(A) 10 (B) 33 (C) 40 (D) 60 (E) 70
9.The Fort Worth Zoo has a number of two-legged
birds and a number of four-legged mammals. On
one visit to the zoo, Margie counted 200 heads
and 522 legs. How many of the animals that
Margie counted were two-legged birds?


(A) 61 (B) 122 (C) 139 (D) 150 (E) 161
10.How many 4-digit numbers greater than 1000
are there that use the four digits of 2012?


(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 12
11. The mean, median, and unique mode of the
positive integers 3, 4, 5, 6, 6, 7, are all equal.
What is the value of x?


(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 11 (E) 12
12.What is the units digit of 132012?


(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9
13.Jamar bought some pencils costing more than
a penny each at the school bookstore and paid
$1.43. Sharona bought some of the same pencils
and paid $1.87. How many more pencils did
Sharona buy than Jamar?


(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
1
4
1


6
1
8
1
12
1
24
1
7
2
2
6
3


2012 AMC 8 PROBLEMS




(26)

25


14. In the BIG N, a middle school football
conference, each team plays every other team
exactly once. If a total of 21 conference games
were played during the 2012 season, how many
teams were members of the BIG N conference?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10
15. The smallest number greater than 2 that
leaves a remainder of 2 when divided by 3, 4, 5,
or 6 lies between what numbers?


(A) 40 and 50 (B) 51 and 55
(C) 56 and 60 (D) 61 and 65
(E) 66 and 99



16.Each of the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9
is used only once to make two five-digit numbers
so that they have the largest possible sum. Which
of the following could be one of the numbers?


(A) 76531 (B) 86724


(C) 87431 (D) 96240


(E) 97403


17.A square with integer side length is cut into 10
squares, all of which have integer side length and
at least 8 of which have area 1. What is the
smallest possible value of the length of the side of
the original square?


(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
18. What is the smallest positive integer that is
neither prime nor square and that has no prime
factor less than 50?


(A) 3127 (B) 3133


(C) 3137 (D) 3139


(E) 3149


19.In a jar of red, green, and blue marbles, all but


6 are red marbles, all but 8 are green, and all but
4 are blue. How many marbles are in the jar?
(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 12
20. What is the correct ordering of the three
numbers and , in increasing order?


(A) (B)


(C) (D)


(E)


21.Marla has a large white cube that has an edge
of 10 feet. She also has enough green paint to
cover 300 square feet. Marla uses all the paint to
create a white square centered on each face,
surrounded by a green border. What is the area of
one of the white squares, in square feet?


(A) (B) 10 (C) (D) 50 (E)


22.Let R be a set of nine distinct integers. Six of
the elements are 2, 3, 4, 6, 9, and 14. What is the
number of possible values of the median of R?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
23.An equilateral triangle and a regular hexagon
have equal perimeters. If the area of the triangle
is 4, what is the area of the hexagon?


(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) (E)


24.A circle of radius 2 is cut into four congruent
arcs. The four arcs are joined to form the star
figure shown. What is the ratio of the area of the
star figure to the area of the original circle?


(A) (B) (C) (D) (E)


25.A square with area 4 is inscribed in a square
with area 5, with one vertex of the smaller square
on each side of the larger square. A vertex of the
smaller square divides a side of the larger square
into two segments, one of length a, and the other
of length b. What is the value of ab?


(A) (B) (C) 1 (D) 1 (E) 4
2
2
5
1
5
3
1
2
1
4
6 3
4 3
50 2
10 2
5 2



7 5 9


21 19 23


5 9 7


19 23 21


9 5 7


23 19 21


5 7 9


19 21 23


9 7 5


23 21 23


9
23
5 7,



(27)

26



MỘT SỐ ỨNG DỤNG ...

(TiÕp theo trang 3)


3. Bài toán về góc



Bi ton 4. Cho ba ệđêng thỬng a, b vộ c cớt
nhau tỰi ệiÓm K tỰo thộnh hai gãc nhản bỪng
nhau nhđ hừnh vỳ. Trến ệđêng thỬng a lÊy hai
ệiÓm A1vộ A2, trến ệđêng thỬng b lÊy hai ệiÓm B1
vộ B2 sao cho giao ệiÓm cựa A1B1 vộ A2B2 lộ
ệiÓm C1thuéc c. Gải C2lộ giao ệiÓm cựa cựa cịc
ệđêng thỬng A2B1 vộ A1B2. Chụng minh rỪng


Gi¶i.


Gải C3lộ giao ệiÓm cựa cịc ệđêng thỬng KC1 vộ
A1B2.


áp dụng định lí Ceva vào tam giác B2KA1ta có


Mẳt khịc ệđêng thỬng A2B1 cớt hai cỰnh KB2,
KA1 vộ phẵn kĐo dội cỰnh A1B2 cựa tam giịc
B2KA1 nến ịp dơng ệỡnh lÝ Menelaus ta cã


Tõ (1) vµ (2) suy ra


Theo giả thiết ta có nên ta có


Từ (3) vµ (4) ta cã


Suy ra KC2 lộ ệđêng phẹn giịc ngoội cựa tam
giịc A1KB2, tõ ệã KC2 KC3.


VËy



Bµi tËp vËn dơng


Bội 1.Cho tam giịc nhản ABC dùng ra phÝa ngoội
tam giịc cịc tam giịc cẹn ệăng dỰng A’BC, AB’C,
ABC’. Cịc tam giịc cẹn nộy cã cịc cỰnh ệịy
tđểng ụng lộ BC, AC vộ AB. Chụng minh rỪng cịc
ệđêng thỬng AA’, BB’ vộ CC’ ệăng quy.


Bội 2.Cho tam giịc ABC cã trung tuyạn BM. Trến
tia ệèi cựa tia MB lÊy ệiÓm N. Qua N vỳ ệđêng
thỬng cớt cịc ệđêng thỬng AM vộ AB lẵn lđĩt tỰi
P vộ Q. Cịc ệđêng thỬng QM vộ NC cớt nhau tỰi
E; cịc ệđêng thỬng BE vộ AC cớt nhau tỰi F.
Chụng minh rỪng PM MF.


Bội 3. Cho tam giịc ABC vuềng tỰi C cã ệđêng
cao CK. KĨ ệđêng phẹn giịc CE cựa tam giịc
ACK. Gải D lộ trung ệiÓm cựa AC, hai ệđêng
thỬng DE vộ CK cớt nhau tỰi F. Chụng minh rỪng
BF // CE.


Bội 4.Cho tam giịc ABC cã trung tuyạn AD. Trến
AD lÊy ệiÓm K sao cho AK : KD 3 : 1. Hái ệđêng
thỬng BK chia diỷn tÝch tam giịc ABC theo tử sè
nộo?


o
1 2



C KC 90 .


1 2 1


2 2 2


A C KA .


B C KB


1 3 1


2 3 2


A C KA . (4)


B C KB


2 3 1 3


B KC A KC


2 3


1 1 2 1 2 2 1 2


1 2 3 1 2 1 2 1 2 2


2 3 2 2 1 2 1 3



1 3 1 2 2 2 2 3


B C


KB A A KB B C A A


B B C A A K B B A C KA


B C B C A C A C . (3)


A C A C B C B C


1 2 2 1 2


1 2 1 2 2


KB B C A A 1. (2)


B B A C KA


2 3


1 1 2


1 2 3 1 2


B C


KB A A 1. (1)



B B C A A K


o
1 2



(28)

27



Vui vui về ngựa



- Tõ ngớn nhÊt ệđĩc dỉng ệÓ


chử ngùa lộ tõ chử cã 2 chọ cịi


trong tiạng ệỡa phđểng ẻ mét


vỉng thuéc Mềng Cữ. Cưn tõ dội nhÊt găm


hển 30 chọ cịi, ệđĩc mét bé lỰc ngđêi da ệá


sỏ dơng.



-

xụ sẻ cã nhiỊu bẽng tuyạt lộ New Zealand


cã mét gièng ngùa cã bé lềng khềng thÊm


nđắc.



- Ngđêi ta ệở tõng ghi nhẺn ệđĩc trđêng hĩp


mét con ngùa mứ sinh 19 ngùa con cỉng mét


lóc.



- Nguy cể mớc bỷnh tiÓu ệđêng ẻ nhọng


ngđêi chẽn ngùa thÊp hển 50% so vắi nhọng


ngđêi lộm nghÒ khịc.



- Trến thạ giắi cã 23 dẹn téc coi ngùa lộ loội


vẺt thẵn thịnh, linh thiếng. Mét bé lỰc ẻ chẹu



Phi cưn quan niỷm: Ai bỡ chạt vừ nhọng lÝ do


liến quan tắi ngùa thừ linh hăn sỳ ệđĩc lến


ngay thiến ệđêng.



- Nạu ệẳt trđắc mẳt ngùa mét thỉng cộ phế


vộ mét thỉng ca cao thừ 4/5 trđêng hĩp ngùa


sỳ chản cộ phế.



- Ngùa cã khờ nẽng ệỡnh hđắng tuyỷt vêi.


ậếm ệen, bởo tuyạt hay giã mđa ệỊu khềng


lộm chóng lỰc lèi.



- Ngùa võa ngự ệụng võa ngự nỪm. Khi cờm


thÊy chđa thùc sù an toộn hoẳc chđa quị


mỷt, ngùa thđêng võa ệụng võa lim dim, gộ


gẺt... Cưn nhọng lóc hoộn toộn bừnh an hoc



- Góc nhìn của ngựa rất rộng, gần nh là hình


tròn. Chúng có thể nhìn thấy hầu hết mọi thứ


phía sau mà không cần ngoái đầu lại.



- Sn khấu xiạc ệđĩc xẹy dùng theo... ngùa.


Sẹn khÊu xiạc tiếu chuÈn luền cã ệđêng kÝnh


gẵn 13 m - kÝch thđắc ệđĩc coi lộ phỉ hĩp


nhÊt ệÓ ngùa cã thÓ phi nđắc ệỰi mộ khềng


lộm ngđêi ệang cđìi bỡ ngở.




(29)

28



Mỉa xuẹn lộ mỉa ệẵu tiến cựa nẽm. Cã phời vừ thạ mộ nã



ệđĩc thiến nhiến đu ịi?



Cẹy cèi ệẹm chăi nờy léc, phỉ sa thớm ệá. Tiạng chim


cuèi vđên, ệẵu ngâ rÝu ran nhđ mêi gải mẫi ngđêi hởy gẵn


nhau hển cho thịng ngộy tđểi ệứp.



Mïa xu©n...



Thạ răi nhđ quy luẺt cựa tỰo hãa, mỉa xuẹn còng phời


nhđêng chẫ cho mỉa hỰ, mỉa thu, mỉa ệềng.



Ba mïa tr«i qua, cã ai còn nhớ mùa xuân?



Hay khi cy cối m chi, ting chim rÝu ran thừ ta mắi nhđ


Bẻi vừ mỉa xuẹn lộ mỉa ệẵu tiến cựa nẽm. Vỡ trÝ Êy ệẹu


chử xịc ệỡnh vưng tuẵn hoộn cựa ệÊt trêi mộ cưn nhớc mẫi


ngđêi: sù khẻi ệẵu cựa bao dù ệỡnh, đắc mể ệở ệạn.


Nạu khềng sao con chim lỰi hãt, léc biạc lỰi ệẹm chăi?


Mỉa xuẹn...



NguyÔn Phđểng Linh



I am a book

- ệã lộ ệịp ịn cựa cẹu ệè vui


bỪng thể

What I am?

mộ Chự Vđên ệđa ra


trến TTT2 sè 129. Nhọng trang sịch ệđĩc vÝ


nhđ nhọng chiạc lị mộu trớng chụa ệẵy cịc


kÝ tù mộu ệen - mộ khi ệảc nhọng kÝ tù ệã


chóng ta cã thĨ từm thÊy bao ệiỊu bữ Ých.


RÊt nhiÒu bỰn cã cẹu trờ lêi nhđ vẺy, tuy


nhiến, cịng cã nhiỊu bỰn lỰi ệđa ra mét sè



lêi giời khịc, chđa thùc sù thuyạt phôc.


Chự Vđên xin gỏi quộ tắi:

NguyÔn Quang


Minh

, 7A1, THCS ậăng Cđểng, Yến LỰc;


NguyÔn Hđểng Giang

, 6A3, THCS vộ THPT


Hai Bộ Trđng, TX. Phóc Yến,

Vỵnh Phóc

;


ậẳng Quang Anh

, 7A, THCS NguyÔn ChÝch,


ậềng Sển,

Thanh Hãa

;

Vâ Hỉng TuÊn

, 7A,



THCS Đặng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghệ An

;


Đặng Thị Thanh Huyền

, 6/5, THCS Lê Văn


Thiêm, TP. Hà Tĩnh,

Hà Tĩnh

.



Ch Vđên




(30)

29


hð chứng minh của nhà toán học


nổi tiếng Pythagore của Ai Cập thì


nếu một tam giác vng với độ dài


hai cạnh góc vng là 1 thì độ dài cạnh


huyền sẽ là



Sè nộy ệđĩc coi lộ hỪng sè Pythagore vộ cã


thÓ dỉng nã ệÓ xịc ệỡnh ệé dội ệđêng chĐo


cựa mét hừnh vuềng.



ậỡnh lÝ Pythagore còng cung cÊp mét phđểng


phịp cho cịc nhộ kiạn tróc vộ xẹy dùng nếu


ra mét gãc vuềng. LÊy vÝ dô, trong hừnh vỳ thừ


gãc ệèi diỷn vắi cỰnh dội 5 sỳ lộ mét gãc


vuềng vừ 3

2

4

2

5

2

.




Ngđêi Ai CẺp ệở dỉng phđểng phịp ệo cỰnh


tam giịc ệÓ tỰo ra nhọng gãc vuềng ẻ kim tù


thịp.



sềng hđểng

(Hộ Néi)



2 2


1 1 2 1,4142.


1,4142



CĂN BẬC HAI CUA 2



Siêu thị có ở Mỹ từ 1930, có ở châu Âu


từ 1946.



Từ 1920 th từ c chuyển từ chu ằu


qua chẹu Mủ bỪng mịy bay.



Từ 1882 ở Pháp, tất cả trẻ em từ 7 tuổi


đều phải đi học.



Nđắc Phịp cã 27000000 ngđêi lao ệéng.


Dẹy chuyÒn sờn xuÊt ề tề ệẵu tiến cã ẻ


Mủ nẽm 1890.



Nẽm 1800 cưn 3/4 sè ngđêi lao ệéng ẻ


chẹu ằu lộm nềng nghiỷp. ậạn nẽm 2000



chử cưn 3% sè ngđêi lao ệéng lộ nềng dẹn.


Gutenberg, ngđêi ậục phịt minh ra cịch


in sịch tõ giọa thạ kử XV. NghỊ in ra ệêi tõ


ệÊy.



Internet xt hiƯn ë Mỹ từ 1965-1968.



Vũ Đô Quan



BAẽN CO BIET




(31)

30


gy nhá bỰn gẳp


cịc thẵy, cề giịo


hộng ngộy. BỰn


ệở phẵn nộo hiĨu nghỊ dỰy


hảc lộm gừ. Thẵy hiỷu trđẻng lộm gừ bỰn cịng


hiĨu sể sể răi nhử? Thẵy, cề vộ thẵy hiỷu


trđẻng chỡu sù giịm sịt cựa thanh tra. ậạn


bỷnh viỷn bỰn gẳp bịc sỵ, y sỵ, y tị, nha sỵ,


dđĩc sỵ. Trđắc nọa, khi bĐ hển bẹy giê, bỰn


cưn gẳp cề bờo mÉu. ậi siếu thỡ vắi mứ, bỰn


gẳp nhẹn viến bịn hộng, nhẹn viến thu


ngẹn,... Phô trịch gian hộng lộ trđẻng gian


hộng. Muèn cã hộng bịn ẻ siếu thỡ cẵn cã


nhẹn viến phô trịch mua hộng. Hộng ệÓ


trong kho cã ngđêi coi kho (thự kho) trềng giọ.


Ra chĩ bỰn gẳp ngđêi bịn thỡt, ngđêi bịn cị,


nhọng ngđêi bịn cịc mẳt hộng khịc nọa:


rau, bịnh, hoa quờ... BỰn cưn thÊy bịc thĩ



giẵy, cớt tãc, nhuém tãc. ậÊy lộ cịc nghÒ


nghiỷp bỰn hay thÊy. Theo bỰn, muèn lộm



mét ngềi nhộ thừ cẵn nhọng ngđêi thĩ lộm


nhọng nghÒ gừ? Muèn sỏa chọa nhộ hay gải


chung lộ dỡch vô vÒ nhộ cỏa thừ cẵn nhọng thĩ


nộo? Cưn bỰn, lắn lến bỰn sỳ lộm nghÒ gừ?


Nạu lộm nghÒ ệã bỰn sỳ phời lộm nhọng viỷc


gừ? Muèn mét tê bịo ra ệêi thừ phời cã nhọng


cềng viỷc gừ?



bÝnh nam hµ



BẠN SẼ

LÀM NGHỀ GÌ?



(TTT2 sè 129)

Cịc bỰn sau nhẺn giời:

TrẵnThỡ DiÔm Quúnh

,


7G, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,

Nghỷ


An

;

Chu Thỡ Hời Yạn

, 7A3, THCS Yến Phong,


Yến Phong,

Bớc Ninh

;

NguyÔn Phđểng


Thờo

, 9A, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn,

Hộ


Nam

;

Ngun Tiạn Dịng

, 8A1, THCS Thỡ


trÊn Phè Lu, Bờo Thớng,

Lộo Cai

;

Vị Hoộng


Nam

, 7C, THCS Vẽn Lang, Viỷt Trừ,

Phó Thả

.


NXM


BAạO VAử ÁP THẤP NHIEẢT ứỚI



Cấp gió

Tốc độ gió (m/s)



1

0,3 - 1,5




2

1,6 - 3,3



3

3,4 - 5,4



4

5,5 - 7,9



5

8,0 - 10,7



6

10,8 - 13,8



7

13,9 - 17,1



8

17,2 - 20,7



9

20,8 - 24,4



10

24,5 - 28,4



11

28,5 - 32,6



12

32,7 - 36,9




(32)

31



Hái: Em hảc rÊt dèt mền VẺt lÝ. Anh cã
phđểng phịp gióp em hảc tèt mền ny c
khng ?


Phạm Thị Hải Anh



(6A, THCS Phan Bội Chu, th trấn T K,
Hi Dng)


Đáp:


Vật lí khoa học thùc hµnh


ậi kÌm lÝ thuyạt toịn thềng minh
Quan sịt thđêng ngộy vộ giời thÝch
Gớn ệiÒu ệđĩc hảc vắi xung quanh
Thuéc thềng lÝ thuyạt lộm bội tẺp
ThÝ nghiỷm chđa lộm thỏ hừnh dung
Nhọng gừ ệển giờn thừ ịp dông
Cịi LÝ cựa VẺt răi sỳ quen.


Hái:Anh Phã ểi! Em vộ cịc bỰn bá chung bội
giời vộo mét phong bừ ệÓ gỏi thừ có c khng
?


Nguyễn Huy Thành Nam


(7D, THCS Nhữ Bá Sỹ, thị trấn Bút Sơn,
Hoằng Hóa, Thanh Hóa)


Đáp:


iu ny anh ó tr li


Đừng quên tên tuổi và nơi học hành


Quan trọng là phải tự mình


Dự thi sẽ giỏi sẽ thành tài năng
Rồi ngồi nhớ tuổi trăng rằm


Gửi chung bài giải råi nh»m gi¶i cao.


Hỏi: Anh Phó ơi! Hạn nộp bài giải là ngày
nào và nếu vẫn nộp đúng hẹn nhðng muộn hơn
các bn khỏc thỡ cú b thit khụng ?


Hoàng Anh Quân


(Số 8 ngõ 163 Nguyễn Khang, Cầu Giấy, Hà Nội)


Đáp:


Np mun đúng hạn hì hì
Nghe ra cứ thấy kì kì làm sao


Thi gì cũng có thời gian


Không qua giới hạn hoàn toàn ôkê
Dấu tem bu điện còn kia...



(33)

các Líp 6 & 7


Bội 1(131). Cho m vộ n lộ
cịc sè nguyến dđểng tháa
mởn phẹn sè tèi giờn vộ


phẹn sè khềng tèi
giờn. Từm đắc chung lắn nhất
ca 4m 3n v 5m 2n.


nguyễn Đễ(Hải Phòng)
Bài 2(131).So sánh


tống thành vũ
(Cao học toán K5, Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa)


các Lớp THCS


Bi 3(131).Gii phng trnh


bùi hải quang
(GV. THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Thọ)


Bi 4(131).Cho cịc sè thùc dđểng a, b vộ c thuéc
ệoỰn [3; 5]. Chụng minh rỪng


hă ệục khịnh
(HS. 11 toịn, THPT chuyến Quờng Bừnh)
Bội 5(131). Vắi mẫi sè nguyến dđểng n, gải Anlộ
sè nguyến dđểng cã 2nchọ sè vộ cịc chọ sè ệÒu
bỪng 1. Chụng minh rỪng sè An cã Ýt nhÊt n đắc
sè nguyến dđểng phẹn biỷt lộ nhọng sè ệềi mét
nguyến tè cỉng nhau.


trẵn bị duy linh
(Lắp Marketing 1, K34,


ậỰi hảc Kinh tạ TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 6(131).Tõ ệiÓm P bến ngoội ệđêng trưn tẹm
O, kĨ cịc tiạp tuyạn PA, PB tắi ệđêng trưn (O), vắi
A vộ B lộ nhọng tiạp ệiÓm. Gải C, D lộ nhọng ệiÓm
thuéc cung lắn AB sao cho AC BD; I lộ giao ệiÓm
cựa AD vắi BC; M lộ trung ệiÓm AI. Chụng minh
rỪng P, M, C thỬng hộng.


trẵn Quèc luẺt
(HS. 10A1, THPT Cao Thớng, Hđểng Sển, Hộ Tỵnh)


ab 1 bc 1 ca 1 a b c.


3 3x 12x 7 3 x2 3x 2 x 1.


2


1 1 1 1


A 1 ... ,


1008 3 5 2013


1 1 1 1 1


B ... .


1007 2 4 6 2014


4m 3n


5m 2n
m


n


32



1(131).Letmandnbe positive integers such that the fraction is irreducible
and the fraction is not irreducible. Find the greatest common divisor
of 4m 3nand 5m 2n.


2(131).Compare the values of AandBwhere


3(131).Solve the following equation.


4(131).Leta,b, and cbe positive real numbers in the range of
[3; 5]. Prove that


5(131).For each positive integer n, let Anbe the number having 2ndigits which are all equal to 1. Prove
that Anhas at least ndistinct positive divisors which are pairwise coprime.


6(131).From the point Poutside a circle centered at O, draw the tangent lines PAandPBwhereAand
B are points of tangents. Let C and D be points on the major arc AB such that AC BD, I be the
intersection of ADandBC, and Mbe the midpoint of AI. Prove that P,M, and Care collinear.


ab 1 bc 1 ca 1 a b c.


x x x x x


3 3 12 7 3 2 3 2 1.



2
A


B


1 1 1 1 ... 1 ,


1008 3 5 2013


1 1 1 1 ... 1 .


1007 2 4 6 2014


m n
m n
4 3
5 2
m
n

phiếu


đăng kí


tham dự


cuộc thi


GTQT


năm học


2013-2014




(34)

(35)

(36)




×