Tải bản đầy đủ (.pdf) (36 trang)

Tạp chí Toán học tuổi thơ kỳ số 141

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.27 MB, 36 trang )

(1)


(2)

(3)

2


Khi giời cịc bội toịn chóng ta ệở khềng Ýt lẵn mớc
phời sai lẵm ệịng tiạc. Trong chuyến môc Sai ẻ
ệẹu? Sỏa cho ệóng, cã rÊt nhiỊu lêi giời sai lẵm ệở
ệđĩc chử ra. Nhộ sđ phỰm toịn nữi tiạng G.Polya
ệở nãi Con ngđêi phời biạt hảc nhọng sai lẵm vộ
thiạu sãt cựa mừnh. A.A. Stoliar cưn nhÊn mỰnh:
Khềng ệđĩc tiạc thêi gian ệÓ phẹn tÝch trến giê
hảc cịc sai lẵm cựa hảc sinh, cưn J.A.Komenxkee
nãi BÊt kừ mét sai lẵm nộo còng cã thÓ lộm cho
hảc sinh kĐm ệi nạu nhđ giịo viến khềng chó ý
ngay ệạn sai lẵm ệã, vộ hđắng dÉn hảc sinh nhẺn
ra, sỏa chọa, khớc phôc sai lẵm. Sau ệẹy chóng
ta sỳ phẹn tÝch mét sè sai lẵm thđêng gẳp cựa hảc
sinh khi giời toịn vÒ tử lỷ thục.


TÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau
Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thì


(Vi iu kin cỏc mu s u khỏc 0).


1. Sai lầm do áp dụng sai tính chất dÃy tỉ số
bằng nhau


Bài toán 1. Tìm x, y biết và xy 90.
Lời giải sai lầm:áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng
nhau ta cã


Suy ra x 2.9 18; y 5.9 45.


Phân tích sai lầm:Lời giải trên đã áp dụng tính


chất khơng đúng, ú l


Li gii ỳng:


Cách 1: Đặt thì x 2k; y 5k.
Vì xy 90 nên 2k.5k 90


10k2 90 k2 9 k 3.
+ Víi k 3 th× x 6; y 15.
+ Víi k 3 th× x 6; y 15.
VËy (x; y) (6; 15); ( 6; 15).


C¸ch 2: Ta cã x2 36


x 6.


+ Víi x 6 th× y 15.
+ Víi x 6 th× y 15.
VËy (x; y) (6; 15); ( 6; 15).


2. Sai lẵm do khềng xĐt trđêng hĩp tỏ sè bỪng 0
Bội toịn 2. Tm x, y bit


Lời giải sai lầm:áp dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng
nhau ta cã


Suy ra 6x 12 x 2 y 3.


Phẹn tÝch sai lẵm: Lêi giời trến cưn thiạu trđêng
hĩp 2x 3y 1 0.



Lời giải đúng: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng
nhau ta có


+ NÕu 2x 3y 1 0 th× 6x 12 x 2, y 3.
+ NÕu 2x 3y 1 0 th× 2x 1 3y 2 0


VËy (x, y) (2, 3);


Bài toán 3.Cho dÃy tỉ số bằng nhau:


Tính


Lời giải sai lầm:Từ giả thiết suy ra


a 1 b 1


b c d a c d


c 1 d 1


a b d b c a


a b b c c d d a


B .


c d a d a b b c


a b c d .



b c d a c d a b d b c a
1 2; .


2 3


1 2


x ; y .


2 3


2x 1 3y 2 2x 3y 1


5 7 6x


(2x 1) (3y 2) 2x 3y 1.


5 7 12


2x 1 3y 2 2x 3y 1


5 7 6x


(2x 1) (3y 2) 2x 3y 1.


5 7 12


2x 1 3y 2 2x 3y 1.



5 7 6x


2


x xy 90 18


2 5 5


x y k
2 5


x y xy .
a b ab


x y xy 90 9.


2 5 2.5 10
x y
2 5
a b c a b c a b c
x y z x y z x y z


MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP



khi giải các bài toán về tỉ lệ thức


nguyƠn thÞ thu h»ng



(4)

3


b c d a c d a b d b c a
a b c d, suy ra B 4.


Phẹn tÝch sai lẵm:Lêi giời trến cưn thiạu trđêng
hĩp a b c d 0.


Lêi giời ệóng: Lộm tđểng tù nhđ trến ta cẵn xĐt
thếm trđêng hĩp a b c d 0 thừ a b (c d);
b c (a d)


3. Sai lẵm do khềng xĐt trờng hp mẫu số
bng 0


Bài toán 4. Cho c¸c sè x, y, z kh¸c 0 tháa mÃn
điều kiện


HÃy tính giá trị của biểu thức


Lời giải sai lầm:
Ta có


áp dụng tính chất dÃy tỉ số b»ng nhau ta cã:


Phẹn tÝch sai lẵm:Khi ịp dông tÝnh chÊt dởy tử sè
bỪng nhau lêi giời trến ệở khềng xĐt trđêng hĩp
x y z 0.


Lêi giời ệóng: Lộm tđểng tù nhđ trến ta ệđĩc
+ Nạu x y z 0 thừ:


¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã



Suy ra M 2.2.2 8.


+ Víi x y z 0 th× y x z; z y x;
x z y.


Do đó


4. Sai lầm do khơng nắm chắc định nghĩa về
giá trị tuyệt đối


NhËn xÐt. x2 a (a 0) |x| a x a.
Bài toán 5. Tìm x, y, z biÕt r»ng vµ
2x2 3y2 5z2 405.


Lời giải sai lầm:Đặt thì x 2k, y 3k,
z 4k.


Mà 2x2 3y2 5z2 405 nên
2(2k)2 3(3k)2 5(4k)2 405


8k2 27k2 80k2 405
45k2 405 k2 9 k 3.


Do ệã x 2.3 6; y 3.3 9; z 4.3 12.
Phẹn tÝch sai lẵm: Cịch giời trến cưn thiạu
trđêng hĩp k 3, tõ ệã ta cã thếm kạt quờ
x 2.( 3) 6; y 3.( 3) 9; z 4.( 3) 12.
Cịc bỰn hởy giời cịc bội tẺp sau vộ ừng mc cc
sai lm nh trn nh:



Bài 1. Tìm các sè x, y, z biÕt r»ng vµ
xyz 648.


Bµi 2. T×m x biÕt


Bài 3. Cho a, b, c khỏc nhau ụi mt tha món


Tính giá trị biểu thức
Bài 4.Tìm x, y, z biết


y z 1 x z 2 x y 3 1 .


x y z x y z


a b c


P 1 1 1 .


b c a


a b b c c a.


c a b


x 1 60 .
15 x 1


x y z
2 3 4
x y z k



2 3 4


x y z
2 3 4


x y z y x z y x z


M 1 1 1


y z x y z x


z x y ( 1).( 1).( 1) 1.
z x y


y z z x x y 2(x y z) 2.


x y z x y z


y z z x x y .


x y z


y z z x x y 2(x y z) 2


x y z x y z


x y z


M 1 1 1



y z x


y x z y x z


y z x


y x z y x z 2.2.2 8.


z x y


y z z x x y .


x y z


y z 1 z x 1 x y 1


x y z


y z x z x y x y z


x y z


x y z


M 1 1 1 .


y z x


y z x z x y x y z .



x y z


a b b c c d d a


B 4.


c d a d a b b c
a b c d a b c d


b c d a c d


a b c d a b c d.



(5)

4


Chử cã bỰn PhỰm Thu Hđểng, 8A4, THCS Trẵn
ậẽng Ninh, TP. Nam ậỡnh, Nam ậỡnhchử ra ệđĩc
chẫ sai vộ ệđa ra lêi giời ệóng.


Lêi giời ệóng. Lêi giời ệở cho mắi chử ra ệđêng
thỬng BM cớt ệđêng thỬng xy, cưn phời chụng
minh tia BM cớt xy. Do ệã ta cẵn bữ sung nhđ sau:
Vừ xy qua a vộ song song vắi BC nến xy nỪm trến
mét nỏa mẳt phỬng bê BC chụa A. Mẳt khịc, tia
BM cã gèc B trến BC vộ M nỪm giọa A, C nến tia
BM còng nỪm trến mét nỏa mẳt phỬng bê BC


chứa A, nghĩa là tia đối của tia BM nằm trên nửa
mặt phẳng bờ BC khơng chứa A do đó tia đối của
tia BM không cắt xy. Vậy tia BM cắt xy.



BỰn PhỰm Thu HđểngnhẺn giời kừ nộy.


anh kÝnh lóp
Bµi to¸n. Cho tam gi¸c


ABC, ệđêng cao AH. ậẳt
BC a, CA b, AB c.
TÝnh chiÒu dội ệoỰn thng
BH theo a, b v c.


Lời giải.Đặt BH x th× CH a x.


áp dụng định lí Pytago ta có
AH2 AB2 BH2 AC2 CH2.
Suy ra c2 x2 b2 (a x)2


c2 x2 b2 a2 2ax x2
c2 a2 b2 2ax


VËy


Theo bạn, lời giải trên đã hoàn chỉnh chða?
Cao ngọc toản
(GV. THPT Tam Giang, Phong Điền,


Thõa Thiªn - HuÕ)
2 2 2


a c b



BH .


2a
2 2 2


a c b


x .


2a


(TTT2 sè 137+138)


TÌM CHIỀU DÀI ĐOẠN THẲNG



CỊN CẦN GÌ NỮA KHƠNG?



Chỉ có một bn gii ỳng th c kỡ 64:



Phạm Bá Lộc

, 7I, THCS Lê Quý Đôn, Cầu


Giấy,

Hà Nội

.



Lê thanh tú



en i trước chiếu hết sau 2 nước.


VŨ ĐÌNH HÒA



(6)

5




(TTT2 sè 139)
NhËn xÐt.Quy lt bµi 1 rÊt dƠ, tất cả các bài gửi


u cho ỏp ỏn ỳng. Bi 2: Hầu hết các bạn đều
chọn đúng số cần điền là 92, nhðng một số bạn
chỉ cho kết quả mà khơng giải thích, hoặc chỉ nêu
mối liên hệ cụ thể giữa các số, không nêu quy luật
khái quát.


Quy luËt.


Bài 1.Tổng các số trong bốn ơ vng nhỏ của hai
hình đầu đều bằng 30, do đó số cịn thiếu cần
điền vào ơ trống ở hình thứ ba là 14.


Bµi 2.XÐt d·y sè


95, 98, 89, 95, 83, ... , 77, 89.


Các số ở vị trí lẻ giảm dần và cách đều nhau 6
đơn vị, các số ở vị trí chẵncũng giảm dần và cách
đều nhau 3 đơn vị. Theo quy luật đó, số cần điền
vào chỗ trống là 92.


Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy: NguyÔn nh Linh,
7A2;ậỰi Vẽn Thđẻng, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến


LỰc;Lế nh Tuyạt, 6E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Tđêng,Vỵnh Phóc;Ngề Thỡ Ngảc nh, 8A, THCS


Cao Xuẹn Huy, DiƠn Chẹu, Nghỷ An;Trỡnh Thộnh
An, 8A, THCS Phan Huy Chó, ThỰch Hộ, Hộ
Tỵnh.


Cịc bỰn sau ệđĩc tuyến dđểng: NguyÔn Trung
Dòng, 8A, THCS Lế Vẽn Thỡnh, Gia Bừnh, Bớc
Ninh; NguyÔn Huy Quang, 6A, THCS Hoộng
Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Tróc
Quúnh, 7A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế Minh
Viỷt Anh, 6A, THCS Vỵnh Yến, TX. Vỵnh Yến;
Nhãm bỰn Trẵn ậan Trđêng, NguyÔn Mai Chi,
NguyÔn Thỡ Minh Nguyỷt, NguyÔn Thỡ Ninh
Hđểng, ậộo Ngảc Hời ậẽng, 6A, THCS Lý Tù
Trảng, Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc;Vị Trang Nhung,
8A;Trẵn ậục Hiạu, 6A, THCS Mc nh Chi, Ba
nh,H Nội.


nguyễn Xuân Bình

ẹIEN SO NAỉO?



QUY LUAT Kè LAẽ



Bạn hÃy tìm quy luật của các số trong hình vẽ rồi điền tiếp một số vào ô trống.



(7)

6


Ngộy nay, cịc mịy soi ệở
trẻ nến rÊt quen thuéc: Tõ
mịy soi ệă kiÓm tra an ninh
ẻ sẹn bay ệạn mịy chôp “X-quang” hay MRI ẻ cịc
bỷnh viỷn, cho ệạn cịc mịy dư mừn. Cịc mịy ệã

khịc vắi cịc mịy ờnh thềng thđêng ẻ chẫ lộ nã
khềng cho ra cịc bục ờnh trùc tiạp, mộ chử cho ra
cịc “hộm mẺt ệé” (cho biạt chẫ nộo “ệẳc hển chẫ
nộo” theo hđắng nộo). Răi tõ cịc hộm mẺt ệé ệo
theo nhiÒu hđắng khịc nhau ệã, ngđêi ta mắi
dỉng biạn ệữi toịn hảc ệÓ từm ra cịc bục ờnh.
LoỰi biạn ệữi toịn hảc mộ chóng ta nãi ệạn ệđĩc
cịc nhộ toịn hảc, ệẳc biỷt lộ ềng Radon, bớt ệẵu
nghiến cụu tõ ệẵu thạ kũ XX mộ ngộy nay chóng
biạt ệạn dđắi tến gải “biạn ệữi Radon” (hay lộ cịc
mẻ réng cựa nã).


Bội toịn mộ tõ viỷc ệo ệỰc ệđĩc mét sè tÝnh chÊt
gừ ệã (vÝ dô nhđ lộ mẺt ệé theo cịc hđắng) cựa
mét hừnh thÓ, từm ra ệđĩc hừnh dỰng cựa hừnh thÓ
ệã, trong toịn nãi chung ệđĩc gải lộ “bội toịn
ngđĩc”. VÊn ệÒ “bội toịn ngđĩc” lộ mét trong
nhọng vÊn ệÒ quan trảng ệẵy ụng dông cựa toịn
hảc hiỷn ệỰi, tõ viỷc dư mừn cho ệạn dư dẵu khÝ
cho ệạn ệự cịc thụ khịc (Mải thụ mộ khềng “nhừn
thÊy” ệđĩc trùc tiạp, mộ chử ệoịn qua cịc chử sè
ệo ệđĩc giịn tiạp thềi).


§Ĩ làm ví dụ, ta có thể thử giải một baby Radon
transform” sau.


Cho một hình vng mà mỗi ô viết một số nhð
trong hình vẽ (hình dung là mỗi ơ đựng một thứ gì
đó, và các số đó là mật độ của thứ đó):



Bẹy giê khềng ệđĩc gì cịc thụ ra ệÓ xem ề nộo


ệùng thụ gừ, nhđng cã mịy chiạu xiến qua hừnh
vuềng ệÓ ệo mẺt ệé. Xiến theo cịc hộng ngang thừ
biạt ệđĩc cịc tững a b c, d e f, g h k.
Xiến theo cịc hộng dảc thừ biạt a d g, b e h,
c f k. Xiến 45 ệé thừ biạt d b a, g e c,
h k f. Xiến 45 ệé theo ệđêng chĐo khịc thừ biạt
thếm 3 tững nọa lộ d h g, a e k, b f c.
Cẹu hái lộ: Nạu biạt 12 tững ệã thừ cã thÓ từm
ệđĩc 9 sè a, b,..., k khềng?


Nạu từm ệđĩc thừ tục lộ lộm ệđĩc mét biạn ệữi
“baby Radon”.


ậÓ giời bội toịn nộy, ta chó ý trong mẫi cịch chiạu
xiến thừ tững cựa ba tững con bỪng tững cựa 9 sè.
VẺy ta lÊy mét cịch chiạu xiến ệẵy ệự 3 phđểng
trừnh, ba cịch chiạu xiến cưn lỰi, mẫi cịch ta lÊy 2
phđểng trừnh. Ta cẵn giời hỷ 9 phđểng trừnh ệÓ từm
ra 9 sè.


VÝ dô ta cã hỷ găm 9 phđểng trừnh sau:


a b c m1, d e f m2, g h k m3,
a d g m4, b e h m5, d b a m6,
g e c m7, d h g m8, a e k m9
(với m1, m2,... , m9là các số đã biết).


NGUYÊN TẮC TỐN HỌC



CỦA MÁY SOI



GS. Ngun TiÕn Dịng



(8)

7



Bµi 1.Rót gän biĨu thøc víi x vµ 0 a b 2a.


Bµi 2. a) Chøng minh rằng không có các số nguyên x và y nào tháa m·n hÖ thøc
2008x2009 2009y2010 2011.


b) XĐt dởy sè a1 1, a2 3 vộ an 2 2an 1 an 1 vắi mải sè nguyến dđểng n. Chụng minh rỪng
A 4anan 2 1 lộ sè chÝnh phđểng.


Bội 3. a) Giời hỷ phđểng trừnh


b) Từm cịc nghiỷm tù nhiến (x, y) cựa phđểng trừnh (x2 4y2 28)2 17(x4 y4 14y2 49).
Bội 4.Cho cịc sè thùc dđểng a, b, c tháa mởn a3 b3 c3 3. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục


Bội 5. Cho tam giịc nhản ABC, gải H lộ trùc tẹm vộ O lộ tẹm ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABC.
Chụng minh rỪng AH AO khi vộ chử khi


Bội 6. Trong hừnh chọ nhẺt ABCD kÝch thđắc 4 5, cho 6 ệiÓm phẹn biỷt. Chụng minh rỪng tăn tỰi hai
ệiÓm mộ khoờng cịch giọa chóng khềng vđĩt quị 17.


o
ABC 60 .
2 2 2 2010


A a b c .



a b c


3xy 2(x y)
5yz 6(y z)
4zx 3(z x).


1 2a b


a b


1 ax 1 bx


A ,


1 ax 1 bx


ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP 9 CẤP HUYỆN


Thời gian làm bài:90 phút (khơng kể thời gian giao )



(9)

8


A. Đề thi cá nhân


1.V bẹy giê Mini 8 tuữi nến tuữi cựa Mini bẹy giê
lộ 2 lẵn mét sè chÝnh phđểng, tõ ệã tuữi cựa Max
sau ệẹy mét nẽm còng lộ 2 lẵn mét sè chÝnh
phđểng. Vừ tuữi cựa Mini sau ệẹy mét nẽm lộ 9 lộ
mét sè chÝnh phđểng nến tuữi cựa Max bẹy giê lộ
mét sè chÝnh phđểng lĨ. Chó ý rỪng 9 1, 25 1
vộ 81 1 khềng lộ 2 lẵn mét sè chÝnh phđểng nến


tuữi cựa Max bẹy giê lộ 49 tuữi.


2.Chóng ta bớt ệẵu tõ cịc phẹn sè Ta sỳ céng
tỏ sè cựa hai phẹn sè nộy vắi nhau vộ céng mÉu sè
cựa hai phẹn sè nộy vắi nhau ta ệđĩc mét phẹn sè
mắi nỪm giọa hai phẹn sè ban ệẵu. Ta cã


Quị trừnh ệã cụ lẳp lỰi, ta ệđĩc
vộ


Ta thÊy ph©n số nằm giữa và là


Vy số tr em tham gia dộn hĩp xđắng nhá nhÊt
lộ 7 vộ sè trĨ em nam lộ 3.


3. Giờ sỏ cã 13 cề gịi vộ 10 con ngùa thừ ta cã
tững sè chẹn lộ 13.2 10.4 66. Vừ 990 : 66 15
nến cã (13 10).15 45 cề gịi phời ệĩi ệạn lđĩt
mừnh cđìi ngùa.


4.Trđắc hạt chóng ta từm hiỷu cựa hai tỏ sè 57 23
34, hiỷu cựa hai mÉu sè 78 30 48. ậÓ ệđĩc
ệỬng thục ệóng thừ cịc phẹn sè mắi cã kạt quờ


b»ng Mµ vµ


Do đó số phải trừ đi là 6.


5.Sè tÊt cờ cịc ệéi, găm cờ ệéi khềng cã ngđêi
nộo lộ 210 1024. Sè tÊt cờ cịc ệéi khềng cã bỰn



nọ nộo, găm cờ ệéi khềng cã ngđêi nộo lộ 26 64.
Sè cịc ệéi chử cã mét bỰn nọ lộ 4. 26 256. Do ệã
sè cịc ệéi cã Ýt nhÊt mét bỰn nọ lộ 1024 64
256 704.


6. Chú ý rằng 2014 2.19.53. Nếu trong tích đó
có 2 thừa số là 1 thì ta có 1 giá trị của tổng. Nếu
trong tích đó có 3 thừa số là 1 thì ta có 3 giá trị của
tổng. Nếu trong tích đó có bốn thừa số là 1 thì ta
có 1 giá trị của tổng. Vậy số các tổng khác nhau
là 5.


7.Mét ngộy sau, chử cưn lỰi 54 chuét ệen. Trẻ lỰi
nhọng ngộy vÒ trđắc, mẫi ngộy sè chuét trớng
tẽng thếm 4 con vộ hiỷu giọa sè chuét ệen vộ
chuét trớng mẫi ngộy tẽng thếm 2 con. Ta cẵn cã
54 : 2 27 ngộy ệÓ sè chuét ệen vộ sè chuét trớng
bỪng nhau. Vừ ban ệẵu sè chuét ệen gÊp 3 lẵn sè
chuét trớng nến thêi gian ệÓ sè chuét trớng bỪng
sè chuét trớng ban ệẵu lộ 27 : 3 9 ngộy. Do ệã
ban ệẵu cã 4.9 36 chuét trớng vộ cã 3.36 108
chuét ệen. VẺy sè chuét mộ mÌo bớt ệđĩc lộ
36 108 144 con.


8.


Gọi N là trung điểm của AB. Ta có AN 12 cm.
Theo tính chất đối xứng thì điểm P phải nằm trên
đoạn thẳng MN để có PA PB. Nếu điểm P càng


cần N thì PA càng ngắn và PM càng dài. Vì vậy chỉ
tồn tại duy nhất một điểm P để PA PB PM. Khi
cho PN 9 cm thì và PM
24 9 15 cm. Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài
đoạn thẳng PM là 15 cm.


2 2


PA 12 9 15 cm


57 6 51 17 .
78 6 72 24
23 6 17


30 6 24
34 17 .


48 24


2 1 3.
5 2 7
1


2
2
5
0 1 1 2 1 3 2 3 1
1 5 4 7 3 8 5 7 2
4 3 5 2 5 3 4 1.
7 5 8 3 7 4 5 1


0 1 1 2 1 3 2 1
1 4 3 5 2 5 3 1


0 1 1 2 1,
1 3 2 3 1


0 1 1.
1 2 1
0 1.


1 1


DTH(DÞch vµ giíi thiƯu)


LỜI GIẢI ĐỀ THI OLYMPIC



TỐN HỌC TRẺ QUỐC TẾ TẠI HAØN QUỐC



(KIMC 2014)




(10)

9


9.Nạu chử cã 63 ngđêi thừ sè cịi bớt tay nhiÒu nhÊt
lộ Nạu cã 64 ngđêi thừ sè cịi bớt tay
nhiÒu nhÊt lộ sè nộy lắn hển 2014
lộ 2. Khi ệã Bob bớt tay 63 2 61 ngđêi. Nạu cã
65 ngđêi thừ sè cịi bớt tay nhiÒu nhÊt lộ
sè nộy lắn hển 2014 lộ 66. Do ệã
Bob khềng bớt tay bÊt cụ ai vộ cưn cã hai ngđêi
nộo ệã khềng bớt tay nhau (loỰi). VẺy tững sè cã
64 ngđêi tham gia bọa tiỷc vộ sè ngđêi mộ Bob

khềng bớt tay lộ 2014 1953 61 ngđêi.


10.Ta thÊy tững sè tiÒn vĐ cho mét ngđêi lắn vộ
mét trĨ em bỪng sè tiỊn vĐ cho 2 thanh thiạu niến.
Chóng ta sỳ thay thạ mét ngđêi lắn vộ mét trĨ em
bỪng hai thanh thiạu niến. Nạu nhđ khi ệi xem
nhỰc giao hđẻng chử cã 131 thanh thiạu niến thừ sè
tiÒn mua vĐ lộ $18.131 $2358, khi ệã sè tiÒn
chếnh so vắi thùc tạ lộ $2358 $2014 $344.
Tiạp tôc ta sỳ thay mét sè thanh thiạu niến bỪng
nhọng trĨ em. Mẫi trĨ em thay thạ cho mét thanh
thiạu niến thừ sè tiÒn mua vĐ giờm ệđĩc $18 $10
$8. VẺy sè trĨ em ệđĩc thay thạ cho cịc thanh
thiạu niến lộ 344 : 8 43. VẺy sè trĨ em nhiỊu hển
sè ngđêi lắn lộ 43 em.


11.


Diện tích hình vng lớn là 9.4 36 cm2nên hình
vng lớn có cạnh là 6 cm. Diện tích hình vng
nhỏ là 4.4 16 cm2 nên hình vng nhỏ có cạnh
là 4 cm. Chu vi của hình 8 cạnh tạo bởi hai hình
vng chồng lên nhau bằng tổng chu vi hai hình
vng trừ đi chu vi hình chữ nhật là phần chung
của hai hình vng đó. Để chu vi của hình 8 cạnh
nhỏ nhất thì chu vi của hình chữ nhật tơ màu phải
lớn nhất, khi đó diện tích hình chữ nhật tơ màu lớn
nhất. Mà hình chữ nhật tơ màu có diện tích là
4 cm2 và có độ dài một cạnh là 4 cm nên độ dài
cạnh còn lại là 4 : 4 1 cm. Vậy chu vi nhỏ nhất


của hình 8 cạnh tạo bởi hai hình vng chồng lên
nhau là 4.(6 4) 2.(4 1) 30 cm.


12.Sè ng«i sao trên bầu trời là


(10 2)(10 2) (100 2)(100 2) ...
(100...00 2)(100...00 2)


(100 4) (10000 4) ... (100...00 4)
1010...10100 4.2015


1010...10100 8060 1010...12040.


Số các chữ số 1 của số trên là 2015 2 2013.
Vậy tổng các chữ số của số các ngôi sao trên bầu
trời là 2013 2 4 2019.


13.


Ta cã SDFPQ SABC (SBDF SAFP SCDQ)
SABC (SDFK SAFP SCDQ)


SABC (SDFPK SKPQ SAFP SCDQ)


Do đó


Suy ra SABC 3.10 30 cm2.


14. Vắi mẫi km cựa ệoỰn ệđêng Nadia mÊt 15
phót ệĨ ệi lến dèc, mÊt 10 phót ệĨ ệi xng dèc,


tục lộ mÊt 25 phót ệĨ ệi cờ lến dèc vộ xng dèc.
Trến ệoỰn ệđêng bỪng Nadia mÊt 2,5 : 5 0,5 giê
hay 30 phót cho chiỊu ệi vộ mÊt 30 phót cho chiÒu
vÒ. Tững thêi gian cờ ệi vộ vÒ cựa Nadia trến hai
ệoỰn ệđêng dèc lộ 1 giê 36 phót 1 giê 39 phót
(30 phót 30 phót) 135 phót. Tững ệé dội hai
ệoỰn ệđêng dèc lộ 135 : 25 5,4 km. VẺy chiÒu
dội tõ vỡ trÝ xuÊt phịt ệạn chẫ cịi hă lộ 5,4 2,5
7,9 km.


15.Trđắc tiến cã 5 cịch ệÓ tề mộu cho 2 mẳt cỉng
mộu. Hai mẳt ệã cã thÓ lộ hai mẳt ệèi diỷn hoẳc
hai mẳt kÒ nhau.


Nạu hai mẳt ệèi diỷn cỉng mộu thừ bèn mẳt cưn lỰi
ệđĩc tề cịc mộu khịc. Cã ba cịch khịc nhau ệÓ
tề mộu hai mẳt ệèi diỷn trong bèn mẳt ệã, hai mộu
cưn lỰi tề cho hai mẳt ệèi diỷn cưn lỰi.


Nạu hai mẳt ệđĩc tề cỉng mộu lộ hai mẳt kÒ nhau
thừ sè cịch ệÓ tề mộu cho hai mẳt ệèi diỷn vắi hai
mẳt ệã lộ 4.3 : 2 6 cịch. Trong mẫi cịch tề mộu
hai mẳt ệã cã 2 cịch ệÓ tề mộu hai mẳt cưn lỰi.
VẺy sè cịch ệÓ tề mộu hừnh lẺp phđểng ệã lộ
5.(3 6.2) 75 cịch.


KPQ AFP CDQ 1 ABC


S S S S .



3
ABC 2 ABC 1 ABC


S S S .



(11)

10


Bµi 1:a) §iỊu kiƯn: 3 x 3.


Khi ệã hai vạ cựa phđểng trừnh khềng ẹm, bừnh
phđểng hai vạ ta ệđĩc


(3 x)2(3 x)(9 x2) 80(3 x)
(3 x)[(9 x2)(9 x2) 80] 0
(3 x)(81 x4 80) 0


(3 x)(1 x4) 0


x {3, 1, 1} (tháa mÃn điều kiện).
b) Vì x 1 nên


Phng trnh cho tr thnh


Bài 2: a) Điều kiện: y 7. Ta thÊy
vµ (x2 9) (y 7) x2 y 2.


b) Gäi O là trung điểm BD.
Ta có


Vy chu vi hnh thoi ABCD lộ 4.AB 24 (m), bịn
kÝnh ệđêng trưn ngoỰi tiạp ABC lộ DA 6 (m).


Bội 3: a) Vắi m 1 ta ệđĩc


b) XĐt phđểng trừnh mx2 (m 3)x 2m 1 0. (2)
Giờ sỏ (2) cã hai nghiỷm phẹn biỷt x1, x2.


Ta cã


Bµi 4: a) Ta cã hay


2


( a b) 400 a b 20 S 20.


a b ab 200


2
2


2 2 2


1 2 1 2


7 mx (m 3)x (2m 1) 21x 7 58


17


21x 21x 7 58 x x


7
3 m 17 m 7. Thư l¹i tháa m·n.



m 7 8


2


1 2 2 1


21x 7m(2 x x ) 58 21x


2


x 4x 3 0 x 1.


x 3


2


ABCD


OAB OB.OA 3OB S 9 3


S


2 2 4 2


OB 3 AB 6.


AB 2OB, AO 3OB


2 2


2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2


x y 2 0 x 9 y 7


*)


x 9 y 7 8 x 9 y 7 8


x 9 y 7 16 x 7, y 9


x 7, y 9 (tháa m·n).


(x 9)(y 7) 15 x 9 y 7 15


*)


x 9 y 7 8 x 9 y 7 8


x 9 5, y 7 3 x 16, y 2


x 0, y 18


x 9 3, y 7 5



x 4, y 2(tháa m·n).
x 0, y 18


2


x 9 3


2 2 2 2


2 2 2 2


2
2


(x y)(x y)(x xy y ) 6 x y 6


y (y xy y ) y


x 7 x 7 (v× x 0).


y y


y


2 |1 | 1.


(1 4x 1) 4x 1 4x 1


1 0
4x 1



Năm học:

2014 - 2015 *

Môn thi:

Toán

(không chuyên)


THI TUYN SINH LỚP 10 PTNK


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH




(12)

11


b) Ta cã xy x(100 a)%.y(100 m)% nên


Bài 5:a) Vì BE BC BA nên ABE cân tại B.
Gọi O là trung điểm CD thì O là tâm của T.
Vì OB EC và DE EC nên OB // DE.


Mà DO // FB nên tứ giác DOBF là hình bình hành.
Vậy BF DO a nên AF a.


b) Gọi K là trung điểm BP.
Ta cã


Mộ KO lộ ệđêng trung bừnh cựa hừnh thang vuềng
BCDP nến KO CD.


VẺy ệđêng trưn ệđêng kÝnh BP tiạp xóc vắi CD tỰi
O hay ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc ABP tiạp xóc
vắi CD.


Vì EP.EB EO2, EB 2a, EO a nên
Do đó


c) Ta có



Vậy M là trung điểm của cung CD.


Suy ra AM AF2 FM2 a2 9a2 a 10.


o o o o


o o


180 ABE 180 EBC 180 ABC 135


2 2 2


MEC 45 MED 45 .


AEC AEB BEC


a 3a AP


PD AP 3.


2 2 PD


a


EP .


2
o


1DOC 90 KO 1BP.



2 2


1 1


POB POE EOB DOE EOC


2 2


10000 100a


100 m m .


100 a 100 a


C©u 1: (1,5 điểm)


a) Tìm hai số tự nhiên a và b biÕt:
BCNN(a, b) 300; ¦CLN(a, b) 15;
b) Tìm x, y biết (x 1)(2y 5) 143.
Câu 2: (1,5 ®iĨm)


Cho S 3 32 33 ... 3100.
a) Tính 2S 3;


b) Tìm chữ số tận cùng của S.


Câu 3: (1,5 điểm) Cho (với n ).
a) Tìm n để A có giá trị là một số nguyên;
b) Tìm n để A đạt giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị


nhỏ nhất (GTNN).


Cẹu 4: (2 ệiÓm) Cho ệiÓm O nỪm giọa A vộ B.
Trến cỉng nỏa mẳt phỬng bê lộ ệđêng thỬng AB
vỳ ba tia OC, OD, OE sao cho


a) Chøng tá tia OD là tia phân giác của gãc
COE;


b) Vỳ OM lộ tia phẹn giịc cựa gãc AOD; tia OK
lộ phẹn giịc cựa gãc DOC. TÝnh sè ệo gãc MOK.
Cẹu 5: (2 ệiÓm)Từm sè cã bèn chọ sè , biạt
rỪng lộ sè chÝnh phđểng vộ nạu céng thếm
72 vộo sè thừ ệđĩc mét sè chÝnh phđểng.
Cẹu 6: (1,5 ệiÓm) Từm cịc sè tù nhiến a, b, c
khịc 0 tháa mởn ệiÒu kiỷn a b c abc.


abcd
abd


abcd


o o o


BOC 38 , AOD 98 , AOE 54 .


4n 1
A


2n 3



ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI



HUYỆN VĨNH TNG, VNH PHC



Năm học: 2014 - 2015 * Môn: Toán líp 6




(13)

12


Bội 1(139).Cho x vộ y lộ cịc sè nguyến dđểng tháa
mởn Từm giị trỡ nhá nhÊt ca x.


Lời giải.Ta có


Vì y * nên y 1 x 2014.
VËy x nhá nhÊt b»ng 2014 khi y 1.


NhẺn xĐt.Cã mét vội bỰn nhẵm quến ệiÒu kiỷn x,
y nguyến dđểng nến xĐt cờ x y 0. Cịc bỰn cẵn
lđu ý khi kạt luẺn GTNN cựa x ệỰt ệđĩc khi y 1.
Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng vộ trừnh bộy ệứp:
Phan Lế Vẹn Nhi, NguyÔn An Na, 6A, THCS
Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Trẵn Thỡ
Hoộng Minh, 7C, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn
Chẹu,Nghỷ An; NguyÔn nh Linh, 7A2; Lế ậục
Thịi, 6A2, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Lế ậục Anh,
Trẵn Thanh HuyÒn, 7A1, THCS - THPT Hai Bộ
Trđng, TX. Phóc Yến, Vỵnh Phóc.


Phïng kim dung



Bµi 2(139). So s¸nh biĨu thøc P víi biÕt


(víi 1! 1, 2! 1.2, 3! 1.2.3,... ).


Lêi giải.Với mỗi số tự nhiên n 0, ta có


p dông vắi n 1, 2,... , 2012 ta ệđĩc


VËy


Nhận xét. Hầu hết các bài giải gửi về Tòa soạn
đều cho đáp số đúng. Các bạn sau có lời giải tốt:
Đỗ Đức Anh, 6A2; Tạ Kim Thanh Hiền, 6A4,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc;Nguyễn Chí
Cơng, 6A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ; Nguyễn Ngọc nh, Phạm Hiếu Ngân,
Nguyễn Hải Ly, Phạm nh Tuyết, Nguyễn An Na,
Thái Thị Thu Sang, Hoàng Tuấn Tài, Phạm Yến
Nhi, 6A; Nguyễn Văn Việt, 6B, THCS Hoàng Xuân
Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh.


hå quang vinh


Bội 3 (139).Gii phng trnh


Lời giải.Điều kiện


ỏp dng bt ng thc AM - GM cho hai số khơng
âm, ta có



2
2


1 x (4 4x) 4 3x


x x x. 4 4x ;


2 4 4


1 9x (4 4x) 4 13x


x x 9x. 4 4x .


6 12 12


2
2


x x 0 0 x 1.


x x 0


2 2


13 x x 9 x x 16.


1


P .



2


1 1 1 1 1 1


P ...


2! 3! 3! 4! 2013! 2014!


1 1 1 1.


2! 2014! 2! 2


n 2 n 2


n! (n 1)! (n 2)! n!(1 n 1) (n 2)!


n 2 1 (n 2) 1


(n 2)(n! (n 1)!) n!(n 2) (n 2)!


1 1 .


(n 1)! (n 2)!


3 4 2014


P ...


1! 2! 3! 2! 3! 4! 2012! 2013! 2014!
1,



2


x y y 2015 1 1 y 1 1


x y 2015 x y 2015


y 1 x 2014 x 2014y.


x y 2015 y


x 2y 2016


x y 2015



(14)

13


Suy ra


Đẳng thức xảy ra khi và chØ khi


(tháa mởn ệiÒu kiỷn).
VẺy phđểng trừnh cã nghiỷm duy nhÊt lộ


Nhận xét. Có nhiều bạn gửi bài giải và hầu hết
làm theo cách trên. Có thể giải bài toán bằng cách
sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.


Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: Trẵn Quèc LẺp,
Trẵn Thỡ Thu Hun, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao,Phó Thả;Vị Ngảc Duy, Kim Thỡ Hăng Lỵnh,


8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc;
Ngun Thỉy Linh, Vâ Viỷt Anh, NguyÔn Vẽn
Quẹn, NguyÔn Thỡ HỪng, Dđểng Thỡ Linh Chi, Lế
Phđểng Nam, 9B; PhỰm Trẵn Anh, 9E, THCS Lý
NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; Ngun Thỡ
Linh, 9B; Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy Thớng,
9A, THCS Phó Phóc, Lý Nhẹn Hộ Nam; ậẳng
Quang Anh, 8A, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,
Thanh Hãa; NguyÔn Tỉng Lẹm, 9A3, THCS Tõ
Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;NguyÔn Quang Bin,
9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi.


Ngun Anh Dịng


Bài 4(139).Tìm x để biểu thức


đạt giá tr nh nht.


Lời giải.Điều kiện x 0.
Ta có


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Vy vi thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét. Đây là một bài cơ bản và không khó
nên có nhiều bạn tham gia giải bài. Hầu hết các
bạn đều giải đúng, một số bạn giải thiếu giá trị của


x, cã nhiÒu bỰn lộm bội gièng hỷt nhau. Nhọng
bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng: Trỡnh ậục Viỷt, 8A,


THPT chuyến Hộ Néi - Amsterdam; ậẳng Thanh
Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa;
Phan Thộnh Trung, 9A4, THCS Ngề Sỵ Liến, Hoộn
Kiạm; PhỰm Quang Minh, NguyÔn Quang Bin,
9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi;ậẫ Minh
Trung, 8A1, THCS Hai Bộ Trđng, Phóc Yến; ậẫ
Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến, Vỵnh
Phóc; Lế Quang Bờo, 9A; Ngun Minh Trang,
8A1, THCS Yến Phong, Yến Phong; NguyÔn
Tỉng Lẹm, 9A3, THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc
Ninh; Trẵn Quèc LẺp, 8A3; ậộo Thanh Phóc,
9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Hoộng ậục
ThuẺn, Lế Hỉng, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt
Trừ, Phó Thả; Ngun Vẽn Quẹn, NguyÔn Thỡ
HỪng, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng; Lế
Thộnh Vinh, THCS ậẳng Thai Mai, TP. Vinh,
Ngh An.


cao văn dũng


Bi 5(139). Cho n là một số tự nhiên. Ta định
nghĩa n! (đọc là n giai thừa) nhð sau:


a) NÕu n 0 th× n! 1


b) Nếu n 0 thì n! n.(n 1)!.
1) Hãy tính 5! theo định nghĩa trên.


2) Hãy viết 2014! thành một tích các số tự nhiên từ
định nghĩa trên.



Lêi gi¶i.1) Ta cã 5! 5.(5 1)! 5.4!


5.4.(4 1)! 5.4.3! 5.4.3.(3 1)! 5.4.3.2!
5.4.3.2.(2 1)! 5.4.3.2.1! 5.4.3.2.1.(1 1)!
5.4.3.2.1.0! 5.4.3.2.1.1 120.


2) Ta cã 2014! 2014.(2014 1)! 2014.2013!
... 2014.2013...3.2.1.


NhẺn xĐt.TÊt cờ cịc bội ệỊu giời ệóng, tuy nhiến
cã mét sè bỰn quến khềng ghi ệỡa chử nến khềng
ệđĩc khen kừ nộy.


Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: ậẺu Anh Kiến, TỰ
Họu Tiạn Thộnh, 8A; Cao Khớc Tẹn, 7A, THCS
Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;Phan Trẵn
Hđắng,9A, THCS Quịch Xuẹn Kừ, Hoộn KÌo, Bè
TrỰch, Quờng Bừnh;ậẳng Quanh Anh, 8A, THCS
NguyÔn ChÝch, ậềng Sển; NguyÔn Thỡ Thờo Linh,
8D, THCS Nhọ Bị Sủ, HoỪng Hãa, Thanh Hãa;
Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy Thớng, 9A, THCS
Phó Phóc; Ngun Thỡ Lan Hđểng, 9A, THCS
Nam Cao; Trẵn Duy Long, 8D, THCS Nhẹn HẺu,
LÝ Nhẹn, Hộ Nam; TỰ Lế Ngảc Sịng, 8E, THPT
chuyến Hộ Néi - Amsterdam; Tõ Anh Dịng, 8A15;
Ngun Duy Khđểng, 9A9; Ngun Quang Bin,
9A1, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; ậẳng Thanh
Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ụng Hưa,
2


x
2
2
1
2x 2


x x .


2


x 2 0


2 4 2 2


2
2


2 2 2 2 2 2


2 2 2 2


1


x (x 4x 4) 4x 4


x
1


x (x 2) 2x x (x 2)



x


x x 2 x 2 x 2.


2 4


2
1


A x x


x


2 4


2


1
A x x


x


4


x .


5


x 4 4x x 4



9x 4 4x 5


13(4 3x) 3(4 13x) 16.


4 4


2 2



(15)

14


Hộ Néi; Ngun Trung Dịng, 8A, THCS Lế Vẽn
Thỡnh, Gia Bừnh; Trẵn Minh Quẹn, 7A1, THCS Tõ
Sển, TX. Tõ Sển; TỰ Viạt Hoộn, 7C, THCS
NguyÔn Cao, Quạ Vâ, Bớc Ninh; PhỰm Hoộng
Ly, Phan Thỡ Nguyỷt, 9A1; TỰ Kim Thanh HiÒn,
6A4, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; NguyÔn Duy Ngảc,
9E1;Phỉng Quèc Lẹm, 6E2;TỰ Nam Khịnh, Cao
ậục Thộnh, 7E1; Lế Anh Dòng, Kim Thỡ Hăng
Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng; PhỰm
Ngảc Hoa, 8A1, THCS Sềng Lề; ậẫ Minh Hiỷp,
8A, THCS Vỵnh Yến, TP. Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc;
Lẹm Bờo Ngảc, ThỰch Ngun Ngảc Thờo,
NguyÔn Trđêng Thỡnh, 6A1; NguyÔn Tiạn ậỰt,
6A2; ậộo Quèc Hđng, NguyÔn Thạ Bờo, 6A3;
NguyÔn Thỡ BÝch Ngảc, Vị Tỉng Chi, 7A1; Dđểng
Hời Anh, 7A2;Ngun Tỉng Lẹm, ậinh Thỡ Ngảc
Anh, Lế Thạ Hời, Bỉi Hđểng Giang, Bỉi ậục
Thớng, Ngun Thỡ Thanh Hun, Khững Thỡ
Thờo Vẹn, Bỉi Thỡ Quúnh, Ngun Thu HiỊn,
Ngun Phđểng Thờo, Bỉi Trảng Vinh, NguyÔn
Khớc Nhẹn, NguyÔn Họu MỰnh, NguyÔn Hộ Minh

TrÝ, NguyÔn Họu Trung Kiến, TỰ Phđểng Chi,
NguyÔn Thỉy Dđểng, 7A3; Trẵn MỰnh Cđêng,
8A3; NguyÔn Xuẹn Bịch, 9A1; TỰ Anh Dịng,
9A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao; Ngun Thu
HiÒn, 8A2, THCS HỰ Hưa, HỰ Hưa; Hoộng Lế
Cềng Khềi, 8B, THCS Thanh Hộ, Thanh Ba;
Hoộng ậục ThuẺn,9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt
Trừ, Phó Thả.


TRÞNH HOàI DƯƠNG


Bi 6(139). Cho tam giỏc ABC cú t s giữa hai
cạnh chung đỉnh A là 3 : 2. Vẽ trung tuyến AM và
phân giác AK. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác
AKM và AKB.


Lêi gi¶i.Trong lêi gi¶i này, kí hiệu S(XYZ) chỉ diện
tích tam giác XYZ.


Có hai trđêng hĩp xờy ra.
Trđêng hĩp 1.


Chó ý r»ng vµ ta cã


Trđêng hĩp 2.


Chó ý r»ng vµ ta cã


NhẺn xĐt.RÊt nhiÒu bỰn tham gia giời, tuy nhiến
nhiÒu lêi giời quị dội. Xin nếu tến mét sè bỰn cã


lêi giời tđểng ệèi tèt: NguyÔn Duy Khđểng, 9A9,
THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi; NguyÔn Khời
Hđng, 9D, THCS Nhọ Bị Sỵ, HoỪng Hãa, Thanh
Hãa; Hoộng Thỡ Thu Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển,
TX. Tõ Sển, Bớc Ninh; NguyÔn Thỡ Lan Hđểng,
9A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam;NguyÔn
Thỡ HỪng, Lế Phđểng Nam, 9B, THCS Lý NhẺt
Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; NguyÔn Tháa Chi,
Trẵn Thỡ Thu HuyÒn, 8A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm
Thao, Phó Thả; ậẫ Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh
Yến, TP. Vỵnh Yến; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.


ngun minh hµ
S(AKM) KM KC KB 1 KC 1S(AKB) KB 2KB 2 KB


1 AC 1 1 3 1 1.


2 AB 2 2 4


KC AC ,
KB AB
KC KB


KM


2
AC 3.
AB 2



S(AKM) KM KB KC 1 1 KC


S(AKB) KB 2KB 2 KB


1 1 AC 1 1 2 1.


2 AB 2 3 6


KC AC,
KB AB
KB KC


KM



(16)

15


Bội toịn.Dùng tụ giịc ABCD
biạt AB a, BC b, CD c,
MN m, PQ n, vắi M, N, P,
Q tđểng ụng lộ trung ệiÓm cựa
cịc cỰnh AB, BC, CD, DA.


nguyÔn hưa
(Sè 1, ệđêng Trẵn Hđng ậỰo,
TP. Vinh, Nghỷ An)


DỰNG TỨ GIÁC



ĐÁP ÁN NAØO ĐÚNG?

(TTT2 sè 139)


Ta cã CBQ DCE (c.g.c)




Do đó


Vậy các tam giác vng DCE, DMC, CME đồng
dạng.


Mµ DC 2CE nên DM 2MC, CM 2ME
DM 4ME.


Vì EI // AD nªn


Vậy AM 4MI. Đáp án c) đúng.


NhẺn xĐt.Cã nhiÒu bỰn gỏi lêi giời vÒ Tưa soỰn.
Cịc bỰn ệở giời bội nộy bỪng nhiÒu cịch giời khịc
nhau. Mét sè bỰn cưn giời dội. Cịc bỰn sau cã lêi
giời tèt ệđĩc thđẻng kừ nộy: Phan Vẽn ậỰt, 9C,
THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh;ậẳng
Quang Anh, 8C, THCS NguyÔn ChÝch, ậềng Sển,
Thanh Hãa; Trẵn nh Dđểng, 9A, THCS Yến
Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Vò Ngảc nh,
6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;
Ngun Vẽn Cao, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng
HiÒn,ụng Hưa, Hộ Néi.


Ngoội ra, cịc bỰn sau còng ệđĩc khen: Trỡnh
Hđểng Giang, 9A2, THCS PhỰm Huy Quang,
ậềng Hđng, Thịi Bừnh; Khững Tó Uyến, 9A,
THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả; ậẳng


Thanh Tỉng, 9B, THCS Ngun Thđĩng HiỊn,
ụng Hưa, Hộ Néi.


ANh com pa
AM DM 4.


MI ME


o
EMC 90 .


o o



(17)

16



ng Giền lộ chự mét doanh nghiỷp


sèng cỉng ệụa chịu ệang lộ sinh


viến vộ hai ngđêi gióp viỷc. Do thđêng


xuyến ệi cềng tịc xa vộ ệi thẽm vĩ con


ệang ệỡnh cđ ẻ nđắc ngoội nến ềng giao


toộn bé nhộ cỏa, vđên tđĩc cho nhọng


ngđêi ẻ cỉng.



Hềm nay, nhđ thđêng lỷ, ềng Giền trẻ vÒ


nhộ sau ệĩt cềng tịc dội ngộy. Cờ ba ngđêi


trong nhộ ệÒu vui vĨ chộo ệãn ềng ẻ phưng


khịch. Lộ ngđêi chu ệịo, ềng chia quộ cho


tõng ngđêi răi mắi lến phưng riếng. Ngờ


lđng mét lóc, ềng Giền ệụng dẺy mẻ ngẽn


kĐo tự ệÓ cÊt giÊy tê tỉy thẹn. Khềng thÊy



chiạc ệăng hă ệeo tay quý giị vÉn thđêng


ệĨ trong ngẽn kĐo, ềng Giền hèt hoờng lơc


tung hạt ngẽn nộy ệạn ngẽn khịc...



Đốn rằng ai đó trong nhà đã lấy trộm chiếc


đồng hồ nhðng ông Giơn vẫn cố giữ bình


tĩnh, coi nhð chða biết chuyện gì xảy ra.


Sau một hồi suy nghĩ, ông quyết định gọi


điện nhờ thám tử Sêlôccôc giúp đỡ.



Gẵn mét tiạng sau, thịm tỏ ệở tắi nhộ ềng


Giền. Hai ngđêi trư chuyỷn trong phưng


riếng, sau ệã, thịm tỏ yếu cẵu ềng Giền


cho gẳp cờ ba ngđêi - lộ a chu v hai


ngời giúp vic.



Đầu tiên là bà Carina - néi trỵ.



- Trong mấy ngày ơng Giơn đi vắng vừa rồi,


bà đã làm những gì, ở đâu?



- Tềi chử quanh quÈn dản dứp, nÊu nđắng,


giẳt giò thềi. Thùc lưng, tềi rÊt muèn tranh


thự vÒ quế mÊy ngộy nhẹn dỡp ềng chự ệi


vớng... Nhđng ệĩt nộy tềi hay mÊt ngự, mỷt


quị, nến ệộnh thềi.



CHIẾC ĐỒNG HỒ


biến mất





(18)

17



Ngđêi thụ hai lộ ềng Ben - bờo vỷ kiếm lộm


vđên.



ngµy ông Giôn đi vắng?



- Ti xin ng ch cho nghử 2 hềm ệĨ vỊ


nhộ. Nhọng ngộy cưn lỰi tềi vÉn lộm vic


bnh thờng y.



- Nhà ông ở đâu?



-

ngoi ề thộnh phè nộy thềi. Vĩ tềi cụ


giơc vỊ ệĨ gióp thu hoỰch khoai tẹy. Bộ ý


cưn bớt tềi mang ra ệẹy mÊy cẹn khoai mắi.


Ngđêi cuèi cỉng lộ anh Brad - sinh viến,


chịu ềng Giền.



- Trong những ngày ông Giôn đi vắng, anh


đã đi đâu, làm gì?



- Chịu ệi du lỡch vắi nhãm bỰn cỉng trđêng.


RÊt vui bịc Ự.



- ThÕ ð? Các cháu đi vùng nào?



- Bn chỏu i tham quan suối Đá Trắng ở


núi Mây.

à

, cháu có mang về ít đặc sản của


con suối đó đấy, chắc chú Giơn sẽ thích lắm.




- Nghe hÊp dÉn nhØ? Ch¸u mang mãn g× vỊ


thÕ?



- Ngao Ự. Chó Giền rÊt thÝch ẽn ngao nến


dỉ nẳng chịu cịng cè xịch vỊ mÊy cẹn.


Hái chuyỷn cờ 3 ngđêi xong, thịm tỏ nãi


nhá vắi ềng Giền:



hởy nãi chuyỷn riếng vắi ngđêi ệã nhĐ. Tềi


hi vảng ngđêi ệã sỳ thộnh thùc nhẺn téi.


* ậè cịc bỰn biạt, thịm tỏ Slccc nghi


ngờ ai? V sao?



Bà ta phải trả lại



L chuyỷn ệđểng nhiến răi


Vừ chọ tÝn lóc nộy



Nhđ ngản ệÌn trđắc giã


Nạu mộ Bic ệở kÓ


Cho ngội thịm tỏ nghe


Chuyỷn bộ ta thÊt tÝn


Thừ ai cưn dịm tin?


Kạ nhá mộ thềng minh


Bội hảc cho kĨ xÊu


BỰn hởy giọ cho mừnh


Lộm hnh trang cuộc sống.



Trên đây là câu trả lời bằng thơ của b¹n




Nguyễn Văn Quang

Bắc Ninh

. Kì này, tất


cả các bạn đều phán đốn chính xác và vì thế



mà đều có câu trả lời đúng. Xin chúc mừng và


xin gửi q tới những bạn có cách trình bày


mạch lạc, rừ rng nht:

Nguyn Vn c

, 6C;



Nguyễn Văn Quang

, 8A, THCS Lê Văn


Thịnh, Gia Bình,

Bắc Ninh

;

Đỗ Gia Nam

, 6D;



Cao c Thnh

, 7E2, THCS Vỵnh Tđêng,


Vỵnh Tđêng,

Vỵnh Phóc

;

Vị Lế Minh Vị

, 6H,


THCS ậẳng Thai Mai, Vinh,

Nghỷ An

.



Thám tử Sêlôccôc




(19)

(20)

19



1. Integers



An integer is any number in the set { ... , 3,


2, 1, 0, 1, 2, 3, ... }. If x and y are integers


and x 0, then x is a divisor (or factor) of y


provided that y xn for some integer n. In this


case, y is also said to be divisible by x or to


be a multiple of x. For example, 6 is a


divisor or factor of 18 since 18 (6)(3). If x


and y are positive integers, there exist unique


integers q and r, called the quotient and



remainder, respectively, such that y xq r


and 0 r

x. For example, when 18 is


divided by 5, the quotient is 3 and the


remainder is 3 since 18 (5)(3) 3.



Note that y is divisible by x if and only if the


remainder r is 0. For example, 16 has a


remainder of 0 when divided by 8 because 16


is divisible by 8. Also, note that when a


smaller integer is divided by a larger integer,


the quotient is 0 and the remainder is the


smaller integer. For example, 3 divided by 5


has the quotient 0 and the remainder 3 since


3 (5)(0) 3.



(Cßn tiÕp)



Bạn hãy dịch đoạn trên để hiểu về số nguyên


và vài tính chất ban đầu của nó. Sau đây là từ


vựng bạn cần biết.



2. Maths terms



integer

sè nguyªn



divisor

sè chia



factor

đắc sè



multiple

béi sè




positive

dđểng



there exist unique

tån t¹i duy nhÊt



quotient

thđểng



remainder

sè dð



divided by

chia cho



divisible by

chia hÕt cho



smaller integer

số nguyên nhỏ hơn



larger integer

số nguyên lớn hơn


Tạp chí dành 5 suất quà tặng các bạn có bài


dịch s¸t nhÊt, gưi sím nhÊt.



ARITHMETIC




(21)

20


Khi lộm bội tẺp trong sịch giịo khoa, mét sè hảc
sinh thđêng lộm xong yếu cẵu cựa ệÒ bội răi dõng
lỰi. Nhđng nạu cịc em chỡu khã ệÓ ý vộ từm tưi
thếm thừ sỳ thÊy cã nhiỊu ệiỊu thó vỡ. ậềi khi nhê
kạt quờ cựa nhọng bội tẺp ệã gióp dƠ dộng giời
ệđĩc nhiỊu bội tẺp hay vộ khã. Chóng ta sỳ sỏ
dơng kạt quờ hai bội tẺp trong sịch giịo khoa lắp
8 vộ lắp 9 sau ệẹy ệÓ giời mét sè bội toịn khịc.

Bội toịn 1. Chụng minh rỪng vắi mải sè nguyến
n thừ n3 n 6. (Bội 58 SGK toịn 8 tẺp 1).
Lêi giời.Ta cã n3 n n(n 1)(n 1) lộ tÝch cựa
3 sè nguyến liến tiạp. Vừ trong 3 sè nguyến liến
tiạp luền cã mét sè chia hạt cho 2, mét sè chia hạt
cho 3 vộ (2, 3) 1. Do ệã n3 n 6.


Nhê kạt quờ bội toịn nộy ta cã thĨ dƠ dộng giời
ệđĩc cịc bội toịn sau ệẹy:


Bội toịn 1.1.Chụng minh rỪng vắi mải sè nguyến
n thừ n3 5n 6. (ậÒ thi vộo 10 trđêng THPT
chuyến ậHKHTN nẽm 1997).


Lời giải.Ta có n3 5n n3 n 6n 6.


Bài toán 1.2.Chứng minh rằng với mọi số nguyên
a, b thì a3b ab3 6.


Lêi gi¶i. Ta cã a3b ab3 a3b ab ab ab3
b(a3 a) a(b3 b) 6.


Bài toán 1.3. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa
mÃn a b c 20111982.


Chøng minh r»ng M a3 b3 c3 6.
Lêi gi¶i.Ta cã a3 b3 c3


(a3 a) (b3 b) (c3 c) (a b c) 6
(vì a3 a, b3 b, c3 c đều chia hết cho 6 và


a b c 20111982 6).


Bài toán 1.4.Chứng minh rằng với mọi số nguyên
a, b thì ab(ab 1)2 ab(a b)2 36.


Lời giải.Ta có ab(ab 1)2 ab(a b)2
ab(ab 1 a b)(ab 1 a b)
ab(a 1)(b 1)(a 1)(b 1)
(a3 a)(b3 b) 36.


Bài toán 1.5. T×m sè dð trong phÐp chia sè
A 20142014201420143 2014201420142016
cho 30.


Lêi giải. Đặt a 2014201420142014 thì ta cã
A a3 a 2 (a3 a) (2a 2).


Vì a3và a đều có chữ số tận cùng là 4 nên a3 a
5 và a3 a 6 nên a3 a 30.


Mặt khác B 2a 2 4028402840284030 chia
hết cho 10 vµ chia cho 3 dð 1 suy ra B 20 chia
hÕt cho 30. VËy A chia cho 30 dð 10.


Bài toán 2. Với a 0, b 0. HÃy so sánh
và (Bài 26b SGK toán 9 tËp 1).
Lêi gi¶i. Ta cã


Từ đó suy ra nếu a 0, b 0 thì ta có
(2)



DÊu “ xảy ra khi a 0 hoặc b 0.


Sau đây là các bài toán áp dụng (1) và (2).
Bài toán 2.1. Chứng minh rằng


Li gii.ỏp dng bt ng thức (1) ta có


Bài tốn 2.2. Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một
tam giác. Chứng minh rằng


Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (1) ta có


Céng theo v 3 bất ng thc trn ta c


Bài toán 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
(Đề thi vào lớp 10 chuyên
ngữ - ĐHQGHN năm 2011).


(Xem tiếp trang 29)


y x 3 6 x.


a b c b c a c a b


2a 2b 2c a b c .


2 2


a b c b c a 2b;



b c a a c b 2c;


a b c c a b 2a.


a b c


a b c b c a c a b .


2


2 2


2(x 4x 4) 8 2(x 2) 8 2 2.


2 2 2


x x 2 x 7x 14 2x 8x 16


2 2


x x 2 x 7x 14 2 2.


a b a b.


a b a b. (1)
2


( a b) a b 2 ab a b



a b.


a b


ỨNG DỤNG BAØI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA



để giải một số bài toán hay và khó



phan d©n



(22)

21


Nhận xét. Có ba võ sĩ nhận lời thách đấu với ba
lời giải đúng nhðng cùng phải sử dụng tứ giác nội
tiếp, kiến thức hình học 9, học kì II mới học. Do đó
khơng có võ sĩ nào đăng quang trong trận đấu
này.


Xin giới thiệu lời giải bài tốn thách đấu, chỉ dùng
kiến thức hình học 8.


Ta cần có hai bổ đề (bạn đọc tự chứng minh).
Bổ đề 1. Nếu điểm X nằm trong và các điểm Y, Z
nằm ngoài tam giác ABC sao cho các tam giác
XBC, YAC, ZBA đồng dạng thì tứ giác AZXY là
hình bình hành.


Bổ đề 2. Nếu P là trung điểm của BC và điểm S
nằm trong tam giác ABC sao cho thì


Trở lại giải bài tốn thách u.



Gọi S là giao điểm của AX và YZ; K, H theo thứ tự
là hình chiếu của Y, Z trên AC, AB.


Điều kiện cần.


Vì ABZ CAY và YN ZM nªn


VËy ABC ANM. (1)


Vì tứ giác AYXZ là hình bình hành (theo bổ đề 1)
nên SY SZ. Mà YN ZM nên SN SM.


KÕt hỵp víi (1) ABP ANS.


VËy


Điều kiện đủ. Gọi U, V theo thứ tự là hình chiếu
của S trên AB, AC.


Vì và ABZ CAY nên theo bổ đề 2,
ta có


Suy ra


KÕt hỵp víi SU // ZH, SV // YK suy ra


KÕt hỵp víi SY SZ suy ra


VËy YN ZM.



ngun minh hµ
ZM SM ZM SM SZ 1.YN SN YN SN SY


SM SU SV SN.
ZM ZH YK YN


SU SV .
ZH YK


2
2


SU S(SAB). AC AB AC AB ZH. .


SV AB S(SAC) AC AB AC YK


PAB XAC


PAB SAN XAC.


YK.AN AM S(AYN) AM YN AM AM. . . .
ZH.AM AN S(AZM) AN ZM AN AN


AC YK
AB ZH
2


2
S(SAB) AB .


S(SAC) AC


PAB SAC


Ngđêi thịch ệÊu:NguyÔn Minh Hộ, GV. THPT chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi.


Bội toịn thịch ệÊu: Bội toịn thịch ệÊu:Cho tam giịc ABC. ậđêng trưn néi tiạp (I) tiạp xóc vắi
BC tỰi D. ậiÓm M thuéc ệoỰn BC. (I1, r1) vộ (I2, r2) theo thụ tù lộ ệđêng trưn néi tiạp cịc tam giịc
ABM, ACM. (I1, r1) theo thụ tù tiạp xóc vắi MB, MA tỰi X, Y. (I2, r2) theo thụ tù tiạp xóc vắi MC, MA
tỰi Z, T. XY cớt ZT tỰi S. Giờ sỏ r1 r2. Chụng minh rỪng IS BC.


XuÊt xø: S¸ng t¸c.


Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.12.2014 theo dÊu bđu ệiỷn.


TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI CHÍN

(TTT2 sè 139)



(23)

22


KÝ hiỷu.Vắi n lộ mét sè tù nhiến, n! (ệảc lộ n giai
thõa) lộ tÝch cịc sè tù nhiến tõ 1 ệạn n. Quy đắc
0! 1.


Víi a, b, m là các số nguyên, m 0, kÝ hiÖu a b
(mod m) nÕu (a b) m.


Định lí.Nếu p là số nguyên tố thì
(p 1)! 1 (mod p). (1)


Chứng minh.Ta thấy (1) đúng với p 2 và p 3.
Xét p là số nguyên tố lớn hơn 3.



XĐt j lộ mét sè nguyến dđểng bÊt kừ, j p 1.
Khi chia p 1 sè lộ j, 2j, 3j,... , (p 1)j cho p sỳ
ệđĩc cịc sè dđ khịc 0 vộ khịc nhau. ThẺt vẺy,
cịc sè dđ ệÒu khịc 0 vừ p lộ mét sè nguyến tè vộ
cịc sè 1, 2,..., p 1, j ệÒu nhá hển p. Cịc sè dđ
ệÒu khịc nhau vừ nạu ngđĩc lỰi, tăn tỰi 2 sè lộ
mj nj (mod p), vắi 1 n m p 1. Khi ệã
(m n)j p: về lÝ vừ 1 m n p.


VẺy tăn tỰi sè nguyến dđểng k p 1 mộ kj 1
(mod p).


Nạu k j thừ j2 1 (mod p) nến j 1 hoẳc j 1.
Vắi 2 j p 2 thừ tăn tỰi k j, 2 k p 2 sao
cho kj 1 (mod p). Khi ệã tẺp hĩp cịc sè {2, 3,...,
p 2} sỳ ệđĩc chia thộnh cẳp sè cã tÝnh chÊt
trến. Suy ra (p 2)! 1 (mod p).


Mà (p 1) 1 (mod p) nên (p 1)! 1 (mod p).


NhẺn xĐt.ậiÒu ngđĩc lỰi cựa ệỡnh lÝ Wilson cịng
ệóng, tục nạu (p 1)! 1 (mod p) thừ p lộ mét sè
nguyến tè. ThẺt vẺy, nạu p lộ hĩp sè thừ tăn tỰi mét
đắc sè lộ x cựa p, vắi 1 x p.


Suy ra (p 1)! x. Mà p x nên 1 x: vơ lí.
Thí dụ 1. Chứng minh rằng nếu p là một số
nguyên tố lẻ thì (p 1)! p 1 (mod p(p 1)).
Lời giải.Từ chứng minh định lí Wilson ta có


(p 2)! 1 (mod p) hay (p 2)! 1 p.
Suy ra [(p 2)! 1](p 1) p(p 1) hay
(p 1)! p 1 (mod p(p 1)).


ThÝ dô 2.Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố
lớn hơn 3 thì 6(p 4)! 1 (mod p).


Lời giải.Ta có 6(p 4)! ( 1)( 2)( 3)(p 4)!
1.(p 1)(p 2)(p 3)(p 4)! (mod p)
1.(p 1)! (mod p) 1 (mod p) (theo (1)).
ThÝ dô 3.Cho a, n *, n 2 vµ (a, n) 1. Chøng
minh r»ng an 1 (n 1)! 0 (mod n) khi vµ chØ
khi n là số nguyên tố.


Li gii. Nu n là số nguyên tố thì theo định lí
Fermat ta có an 1 1 (mod n).


Theo (1) ta có (n 1)! 1 (mod n).
Do đó an 1 (n 1)! 0 (mod n).


Ngđĩc lỰi, giờ sỏ an 1 (n 1)! 0 (mod n). Nạu n
khềng phời lộ sè nguyến tè thừ n xy, vắi 1 x n.
Vừ an 1 (n 1)! n nến an 1 (n 1)! x.
Mộ (n 1)! x nến an 1 x: về lÝ vừ (a, n) 1.
ThÝ dô 4. Chụng minh rỪng


61! 63! 1 (mod 71).


Lời giải.Với p là số nguyên tố, k *, k p ta cã
1 (p 1)! k!(k 1)(k 2)...(p 1)



k!(k 1 p)(k 2 p)...(p 1 p)
k!( 1)p k 1(p k 1)(p k 2)...1
k!( 1)p k 1 2k(p k 1)!


( 1)kk!( 1)p 1(p k 1)! (mod p).
p 3


2


ĐỊNH LÍ WILSON



KIỊU §×NH MINH



(24)

23


Do đó, nếu p lẻ và ( 1)kk! 1 (mod p) thì


(p k 1)! 1 (mod p).


ịp dông vắi p 71 vộ k 7, k 9 ta ệđĩc
61! 63! 1 (mod 71).


ThÝ dô 5. Chøng minh r»ng nÕu p là một số
nguyên tố lẻ vµ n *, n p, ta cã


(n 1)!(p n)! ( 1)n(mod p).


Lêi gi¶i.Theo (1), tÝnh theo mod p, ta cã
1 (p 1)! (n 1)!n(n 1)...(p 1)



(n 1)!(p (n p))(p (p n 1))...(p 1)
(n 1)!( 1)p n(p n)(p n 1))...1
(n 1)!( 1)p n(p n)!


(n 1)!( 1)n 1(p n)! (v× p lẻ).


Thí dụ 6. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh
rằng


Lời giải.a) Theo (1), tính theo mod p, ta cã
1 (p 1)! 1.3...(p 2).2.4...(p 1)


1.3...(p 2).(2 p)(4 p)...1
12.32...(p 2)2


b) Tng tự cu a).


Thí dụ 7.Tìm tất cả các sè nguyªn tè p sao cho
nÕu a, b * và a2 b2 p thì a p và b p.
Lời giải.Với p 2 thì chọn a, b lẻ: loại.
Xét p 3.


TH1.p 4k 1.


Theo (1) ta có (p 1)! 1 p hay (4k)! 1 p. TÝnh
theo mod p, ta cã


1 (4k)! 1.2.3...(2k).(2k 1)(2k 2)...(4k)
1.2.3...(2k).( 2k)( 2k 1)...( 1)



12.22.32...(2k)2 ((2k)!)2.
Tức là ((2k)!)2 12 p.


Vậy các số nguyên tố có dạng p 4k 1 không
thỏa mÃn.


TH2.p 4k 3. Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử a hoặc b không chia hết cho p. Suy ra cả
hai số a, b đều không chia hết cho p.


Theo định lí Fermat, ta có
ap 1 1 p, bp 1 1 p.
Suy ra ap 1 bp 1 2 p hay
a2(2k 1) b2(2k 1) 2 p.


Mµ a2(2k 1) b2(2k 1) (a2 b2), (a2 b2) p nên
2 p, vô lí.


Vậy p 4k 3 là những số cần tìm.
Bài tập.


Bài 1.Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có
dạng p 4k 1 thì tồn tại một số tự nhiên a nhỏ
hơn p sao cho a2 1 p.


Bài 2.Cho p 4q 1, q * là số nguyên tố lẻ.
Chứng minh r»ng (q!)2 ( 1)q p.


Bài 3.Tìm n * để với mọi a, b phân biệt thuộc
{1!, 2!,... , (n 1)!} thì (a b) khơng chia hết cho n.



p 1


2 2 2 2


1 .3 ...(p 2) ( 1) .
p 1


2
.( 1)


p 1


2 2 2 2


p 1


2 2 2 2



(25)

24



INTERNATIONAL



MATHEMATICAL OLYMPIAD



18 May 2013 (Saturday)


Instructions to Contestants:


- The contest comprises a 3 hours written test.


- Questions are in bilingual versions.


Contestants should answer all ques
- Put your answers on the answer sheet.
- The use of calculators is NOT allowed.


- Measuring instruments like rulers, compasses,
etc. can be used.


1. Let a, b, c, d be positive numbers such that
Find d.


2. How many three-digit positive integers are
there such that, the three digits of every integer,
taken from left to right, form an arithmetic
sequence?


3. Let


Find the value of x [x], where [x] denotes the
greatest integer not exceeding x.


4.Let x, y, z be non-negative numbers such that


Find the minimum value of x y z.


5. Peter, Paul and David joined a table tennis
tournament. On the first day, two of them were
randomly chosen to play a game against each
other. On each subsequent day, the loser of the


game on the previous day would take a rest and
the other two persons would play a game
against each other. After a certain number of
days, it was found that Peter had won 22 games,
Paul had won 20 games and David had won 32
games. What was the total number of games


that Peter had played?


6.The sequence 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2,
2, 2, 1, ... is formed as follows: write down
infinitely many ‘1’s, insert a ‘2’ between the first
and the second ‘1’s, insert two ‘2’s between the
second and the third ‘1’s, insert three ‘2’s
between the third and the fourth ‘1’s, and so on.
If denotes the n-th term of the sequence, find the
value of a1a2 a2a3 ... a2013a2014.


7. There are n different positive integers, each
one not greater than 2013, with the property that
the sum of any three of them is divisible by 39.
Find the greatest value of n.


8.If x is a real number, find the smallest value of
9.The equation 9x3 3x2 3x 1 0 has a real
root of the form where a, b, c are
positive integers. Find the value of a b c.
10. By permuting the digits of 20130518, how
many different eight-digit positive odd numbers
can be formed?



(Xem tiÕp trang 26)
3a 3


b 1,
c


2 2


x 4x 5 x 8x 25.


2 2 2 13


x y z x 2y 3z .


4


2 2 2 2


2 2


1 1 1 1


x 1 1


1 2 2 3


1 1


... 1 .



2012 2013


3 3 3 3


1 512 125 d .


a b c (a b c)


ThS.Phïng Kim Dung



(26)

25


Bội 13NS.ậẳt r a [a] {a} lộ phẵn lĨ cựa a. Ta
viạt [a] cb q vắi c, q . Vừ b nguyến dđểng
nến 0 r 1; 0 q b vộ b 1. Khi ệã a cb
q r.


Ta có


Đặt thì M N 1.


Do b, q nên tõ q b ta cã q b 1. KÕt hỵp
víi 0 r 1 ta cã q r b


* NÕu q b 1 vµ r 0.
Ta cã


.


Do 0 r 1 vµ b 1 nªn .


Suy ra . VËy N 2.


* NÕu q b 1 hc r 0.
NÕu r 0 th× q r 1 q 1.


Tõ q b ta cã q b 1 hay q 1 b.


Do b 0 nªn .


Mặt khác q 0 nên q 1 0 do đó .
Từ đó . Vậy N 1.


NÕu q b 1 th× q b 2, suy ra q 1 r
b 1 r


Do 0 r 1 và b 1 nên .


Khi ú .


Vậy N 1. Do đó M N 1.


VËy biểu thức M nhận hai giá trị là 3; 2.


Nhận xét.Đây là bài tốn hay và khó, chỉ có bạn
Hoàng Thị Thu Uyên, 9A3, THCS Từ Sơn, TX. Từ
Sơn,Bắc Ninhcú li gii ỳng.


Bài14NS.ĐKXĐ x 1.


Ta thấy x 1 khềng lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh.


Vắi x 1 phng trnh cho tng ng vi


Đặt t x x 1 ta cã
x 1


2x 5 x 1 7 x x 1 0


3( x 1) 2(x x 1) 7 ( x 1)(x x 1) 0


x x 1 x x 1


3 2. 7. 0.


x 1 x 1


q 1 r q 1 r


1 0 1


b b


1 r


0 1


b
q 1 r 1 1 r.


b b



q 1 1


b


q 1 0
b


q 1 1


b
r 1
b
r
1 0
b


q r 1 r r


q 1 b 1 1


b b b


q r q r


0 1 0.


b b


q r q r 1



N


b b


q r q r 1 q r q r 1


c 1 c 1


b b b b


a b a 1 cb q r b cb q r 1


M


b b b b


Bội 19NS.Hởy tÝnh tững cịc đắc tù nhiến cựa sè 27 000 001.


Trẵn bị duy linh (SV. lắp K34 ậỰi hảc Kinh tạ TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 20NS.Giời phđểng trừnh:


trÇn anh Tuấn (GV. THCS Phú Phúc, Lý Nhân, Hà Nam)
Bài 21NS.Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lÊy ®iĨm D sao cho CD AB. Gäi E là hình
chiếu của D trên AB. Tia phân giác của góc ABC cắt DE tại F. Tia AF cắt BC tại M. Chứng minh rằng
M là trung điểm của BD.


thn vẽn chđểng (GV THCS Vâ Nhđ Hđng, ậiỷn Bộn, Quờng Nam)
2 x 1 (x 1) x 1 1 2 (x 1) 4x 4 .


x



4 x 3 x



(27)

26


Giời ra ta ệđĩc phđểng trừnh cã nghiỷm lộ
NhẺn xĐt.Bội toịn nộy bỰn: Khững Tó Uyến, 9A,
THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ, Phó Thả cã lêi giời
ệóng.


Bội 15NS. Theo lêi giời cựa bỰn Kim Thỡ Hăng
Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh
Phóc.


Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho thì
tam giác AEC vng cân tại A và tam giác EBA
cân tại E, từ đó ta có


Suy ra


NhẺn xĐt. Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời ệóng cho
bội toịn trến: Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh
Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Hoộng Thỡ Thu
Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;
Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả.


Cịc bỰn sau ệđĩc khen kừ nộy:Hoộng Thỡ Thu
Uyến, 9A3, THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh;
Khững Tó Uyến, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1, THCS Vỵnh


Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.


nh cịc bỰn ệđĩc khen ẻ bừa 4.


Ngun Ngäc H©n


CA 1 2 1.


CB 2 1


CB ( 2 1)AC.


o
EAC 90
x 22 8 6.


2 t 3


2t 7t 3 0 t 1


2


11. Let , and be the three roots of the
equation 8x3 2012x 2013 0. Find the value
of ( )2 ( )2 ( )2.


12. ABCD is a square on the rectangular
coordinate plane, and (31, 27), (42, 43), (60, 27)
and (46, 16) are points on its sides AB, BC, CD
and DA respectively. Find the area of ABCD.


13. In ABC, AB 8, BC 13 and CA 15.
Let H, I, O be the orthocentre, incentre and
circumcentre of ABC respectively. Find


14. Let ABCD be a convex quadrilateral and E
be a point on CD such that the circumcircle of
ABE is tangent to CD. uppose AC meets BE at
F, BD meets AE at G, and AC meets BD at H. If
FG CD, and the areas of ABH, BCE and
ADE are 2, 3 and 4 respectively, find the area
of ABE.


15.Let I be the in-centre of ABC. If BC AC AI


and find


16.A, B, C, M, N are points on the ircumference
of a circle with MN as a iameter. A, B are on the
same side of MN and C is on the other side, with
A being the midpoint of arc MN. CA and CB
meet MN at P and Q respectively. If MN 1 and


, find the greatest length of PQ.
17.How many pairs (m, n) of non-negative integers
are there such that m n and is an odd
positive power of 2?


18.A positive integer is said to be ‘good’ if each
digit is 1 or 2 and there is neither four consecutive
1’s nor three consecutive 2’s. Let denote the


number of n-digit positive integers that are ‘good’.
Find the value of


19. Let p and q be positive integers. If
0.123456789... (i.e. when is expressed as a
decimal the first 9 digits after the decimal point
are 1 to 9 in order), find the smallest value of q.
20. Let a and b be real numbers such that
17(a2 b2) 30ab 16 0. Find the maximum
value of 16a2 4b 16ab 12a 6b 9.2


p
q


p
q
10 8 5


7 6


a a a .


a a
50688
m n
12
MB
13
BAC.
o



ABC ACB 13 ,


HIO.



(28)

27



Vui cười



KHÂM PHỤC



Hoa nói với Hương:



- Hương này, tớ khâm phục cô Tâm


bán bánh kẹo trước cổng trường mình


thật đấy!



- Khâm phục? Tại sao thế?



- Vì cô ấy ngồi cả ngày mà không ăn


một cái kẹo, cái bánh nào, cậu ạ!


- ?!!



ĂN KEM



Mẹ hỏi Tý:



- Tý, giả sử con có 3 que kem, con ăn


hết 2 que; vậy còn lại mấy que kem?


- Dạ, khơng cịn que kem nào cả ạ!



- Ủa! 3 trừ 2 bằng 1 mà.



- Dạ, nhưng khi con ăn xong 2 que kem


thì que cịn lại chảy nước hết, mẹ ạ!


- Trời!!



CHỮ HOA



Thìn gọi điện cho Dậu:



- Dậu ơi, máy tính của tớ cứ mỗi lần


đăng nhập là lại có thông báo: “Từ chối


truy cập”, tớ phải làm sao nhỉ?



- Cậu thử lại lần nữa đi! Mà cậu nhớ


dùng chữ thường nhé.



- Nhưng các phím chỉ tồn chữ in hoa


thơi, cậu ạ!



- ?!!



QUEN TRƯỚC



Mẹ đang nướng bánh gatơ trong bếp.


Hai anh em thập thị ngồi cửa. Tý nói


với em gái:



- Em vào xin mẹ bánh đi, mẹ chiều em


nhất nhà mà!




- Thơi, anh Tý vào đi! Anh quen mẹ


trước em, anh vào đi!



- ?!!



CỔ TÍCH @



Lợi dụng lúc dê mẹ vắng nhà, Sói lẻn


đến và gõ cửa gọi:



- Dê con ngoan ngoãn mau mở cửa ra!


- Chúng tơi đã đổi Password từ lâu rồi,


Sói già ạ! – Các chú Dê con đồng thanh


nói to.



DANH TỪ



Cô giáo giảng bài:



- Danh từ trừu tượng là từ chỉ thứ mà


các em có thể nghĩ đến nhưng khơng


thể chạm được vào nó. Tý, em hãy cho


cơ một ví dụ đi nào!



- Thưa cơ, ví dụ như chiếc xe tay ga mà


bố em dự định mua mấy năm nay ạ!


- Trời!!




(29)

28




Phđểng trừnh trong hỷ tảa ệé Descartes:



x

4

x

2

y

2

, vắi (x; y) (0; 0).

ậẹy lộ mét ệđêng cong ệđĩc nhộ toịn hảc,

thiến vẽn hảc Eudoxus (408 - 347 trđắc


Cềng nguyến) nghiến cụu khi từm cịch giời


bội toịn cữ ệiÓn cẵu phđểng hừnh trưn.



ngđêi ệẵu tiến mề tờ cịc chưm sao vộ từm


giắi thiỷu cịc nghiến cụu vÒ thiến vẽn hảc,


toịn hảc vộo Hy LỰp.



từm thÊy cềng thục ệÓ ệo kÝch thđắc


nhọng kim tù thịp hừnh nãn vộ hnh trụ dựa


trn phng php vt cn.



Hoàng nguyên linh

(Su tầm)




(30)

29


TẺp thÓ găm cịc bỰn Trẵn Trung,
cịn bé UBND xở QuÊt Lđu; Lđu Thỡ Phđểng
Lan, GV. THCS Sển Lềi, Sển Lềi; Trẵn Thiến
Thựy, 8C, THCS Lý Tù Trảng, Hđểng Canh,
Bừnh Xuyến, Vỵnh Phóc.


Vị ậục Duy, 7E2, THCS Vỵnh Tđêng,
Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.


Vị ậục Dịng, Ngề Thỡ Ngảc nh, 7A,
THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu, Nghỷ An;
NguyÔn Phđểng Thờo Vy, 8A1, THCS Hăng



Bộng, Hăng Bộng, Hời Phưng; Bỉi Hđểng
Giang, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó
Thả;Ngun Duy Khịnh, 9A1, THCS Sềng Lề,
Sềng Lề, Vỵnh Phóc; Dđểng Lẹm Anh, 8A1,
THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;
Ngun Thỡ HiỊn, GV. THCS Nhẹn ChÝnh, Lý
Nhẹn,Hộ Nam.


NhẺn xĐt.Mét sè bội toịn cã thÓ cã lêi giời khc
p n nhng úng vẫn c tính iểm.


Toán Tuổi thơ


DANH SÁCH ĐOẠT GIẢI CUỘC THI

VUI CHÀO HÈ 2014



Ngun An Na, 6A, THCS Hoộng Xuẹn Hởn,
ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Tỉng Lẹm, 9A3,
THCS Tõ Sển, TX. Tõ Sển, Bớc Ninh; Hoộng
ậục ThuẺn, 9A, THCS Vẽn Lang, TP. Viỷt Trừ,
Phó Thả;Ngun Vẽn Quẹn, Ngun Thỡ HỪng,
Lế Phđểng Nam, 9B, THCS Lý NhẺt Quang, ậề
Lđểng,Nghỷ An;Ngun Thóy HỪng, Trẵn Huy
Thớng, 9A, THCS Phó Phóc; NguyÔn Thỡ Lan


Hđểng, 9A, THCS Nam Cao, LÝ Nhẹn, Hộ Nam;
NguyÔn Quang Bin, 9A1; NguyÔn Duy Khđểng,
9A9, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; ậẳng Thanh
Tỉng, 9B, THCS NguyÔn Thđĩng HiÒn, ụng
Hưa, Hộ Néi; TỰ Kim Thanh HiÒn, 6A4, THCS


Yến LỰc, Yến LỰc; ậẫ Minh Hiỷp, 8A, THCS Vỵnh
Yến, TP. Vỵnh Yến; Kim Thỡ Hăng Lỵnh, 8E1,
THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc.


Lời giải.áp dụng bất đẳng thức (2) ta có
Dấu “ ” xảy ra khi x 3 hoặc x 6.
Vậy Miny 3 khi x 3 hoặc x 6.


Bài toán 2.4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biĨu thøc
(§Ị thi häc sinh giỏi
lớp 9 thành phố Hà Nội năm 2008).


Li gii.ỏp dụng bất đẳng thức (2) ta có


DÊu “ ” x¶y ra khi x 1.
VËy MinA 2 khi x 1.


Bội toịn 2.5. Giời phđểng trừnh
Lêi giời. ậKXậ


áp dụng bất đẳng thức (2) ta có


.


DÊu “ ” x¶y ra khi hoặc


Mặt khác 4x2 28x 47 2 (2x 7)2 2.
DÊu “ ” x¶y ra khi


VẺy phđểng trnh cho có nghim duy nhất l



Bài tập áp dụng


Bài 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì
2n3 3n2 n 6.


Bài 2.Cho số tự nhiên M 20032004. Viết M thành
tổng của k số tự nhiên n1, n2, ....nk. Đặt S n13
n23 ... nk3. Tìm số dð khi chia S cho 6.


Bội 3.Chụng minh rỪng phđểng trừnh sau khềng cã
nghiỷm nguyến x6– 2x4 6x3 x2– 6x – 2010 0.
Bội 4.Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục


Bội 5.Giời phđểng trừnh


x 2 2 5 x 3 x 4 4 x 7 3 3.


A x 1 2 x 6 3 10 x.


7
x .
2
7
x .
2
7
x .
2
3


x
2


2x 3 7 2x 2x 3 7 2x 2


3 x 7.


2 2


2


2x 3 7 2x 4x 28x 47.


2


2 2


A x 1 2x 5x 7


2x 4x 6 2(x 1) 4 2.


2


A x 1 2x 5x 7.


y x 3 6 x x 3 6 x 9 3.



(31)

30



đểng Thạ Vinh (tến chọ lộ Cờnh Nghỡ,



hiỷu lộ Thôy Hiến, tến dẹn gian gải


ềng lộ TrỰng Lđêng) quế ẻ lộng Cao


Hđểng, huyỷn Thiến Bờn, phự Nghỵa Hđng,


trÊn Sển Nam HỰ, nay lộ thền Cao Hđểng, xở



nguyến khoa Quý Mỉi 1463. Cuéc ệêi ềng


cưn ệĨ lỰi nhiỊu trun thuyạt. Ngay tõ nhá


ềng ệở lộ cẺu bĐ giái nữi tiạng, ệđĩc gải lộ



mà thực ra đó là đề tốn đố nhð của lớp 5 bây



hiĨu nghỷ thuẺt chÌo, viạt Hý phđêng phờ lơc


ngđêi ệẳt nỊn mãng cho loỰi hừnh móa rèi


nđắc, ệẳc sớc cựa Viỷt Nam. ậiÒu thó vỡ


chÝnh lộ quị trừnh hảc vộ dỰy cựa ềng vộ


hảc lộ Lđểng Hay. Sau ệã Lđểng Thạ Vinh lỰi


dỰy con cựa thẵy hảc mừnh lộ Lđểng ậớc


BỪng. Lđểng ậớc BỪng sau ệẫ Bờng nhởn


(thụ hai, chử sau TrỰng nguyến). Lđểng ậớc


BỪng dỰy NguyÔn Bửnh Khiếm. NguyÔn Bửnh


Khiếm ệẫ TrỰng nguyến khoa

Ê

t Mỉi (1535).


Ngun Bửnh Khiếm nữi tiạng vắi cịc lêi tiến


thó vỡ chđa dõng lỰi. NguyÔn Bửnh Khiếm lỰi


dỰy Lđểng Họu Khịnh lộ con Lđểng ậớc


BỪng, thẵy hảc cựa mừnh. Lđểng Họu Khịnh



ệẺu thụ 2 thi Héi, răi bá thi ậừnh. Tiạn sỵ


Lđểng Họu Khịnh sau lộm Thđĩng thđ Bé


Binh (ngang Bé trđẻng Quèc phưng bẹy giê).


ậÊy lộ mét chuẫi cịc danh nhẹn TrỰng



nguyến, Bờng nhởn, Tiạn sỵ truyÒn lỏa cho


nhau vộ truyÒn lỏa cho ệêi.



Ngộy nay chử trõ cã Lđểng Hay, nhọng nhộ


khoa bờng nãi trến ệđĩc ệẳt tến cho nhiÒu


ệđêng phè, nhiÒu trờng hc Vit Nam.



Câu hỏi kì này:



1. Bạn hÃy kể tên 5 vị Trạng nguyên của Việt


Nam.



2. Theo bạn, sau học vị Trạng nguyên là


những học vị nào trong khoa cử ngµy xða?



TÌNH THẦY TRÒ



TÌNH THẦY TRÒ



CỦA NHỮNG NHÀ KHOA BẢNG



CỦA NHỮNG NHAØ KHOA BẢNG




(32)

31



Hái:

DỰo nộy em cờm thÊy rÊt lđêi hảc, nhừn


thÊy sịch vẻ lộ ệẵu ãc cụ ệiến cuăng lến anh


Ự. Anh cã cch g giúp em c khng?



Nguyễn Đăng Mạnh



(9D, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ,



Hà Tĩnh)



Đáp:



Bc ra sn th gin


Hít thẻ Ýt khÝ trêi


TẺp chẹn tay xong răi


Sỳ thờnh thểi ệẵu ãc


Vèc nđắc lỰnh rỏa mẳt


Răi trẻ lỰi hảc bội.



Hái:

Khi viạt bội Giời toịn qua thđ mộ quến


khềng dịn phiạu ệẽng kÝ dù thi thừ bội lộm cã


ệđĩc chÊp nhn khng ?



Một bạn quên ghi tên



Đáp:



Không có phiếu tham dự


Thì là gửi cho vui



Bao giờ có phiu ri


Th dự thi ệđĩc tÝnh


Quy chạ lộ nhđ vẺy


Cho tÊt cờ mải ngđêi.



Hái:

Anh Phã ểi! Em cã mét thớc mớc nhá:



Lóc nộo em còng thÊy anh bẺn rén mộ tỰi sao


anh lỰi khềng ệđĩc lến lộm anh Trđẻng?



NguyÔn Minh Ngäc


(6A7, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền,



Hải Phòng)



Đáp:



Anh ch c lm Phã


Trđẻng ệở cã chỡ nhộ


Trong hả hộng còng thạ


Chử lộ Thụ trđẻng mộ


Viỷc thừ lộm nhđ trđẻng


Chục cụ phã em ộ.




(33)

32



Bội 1(141).BỰn An vỳ mét sè tia chung gèc A. BỰn Bừnh vỳ mét sè tia chung gèc B.
Biạt bỰn Bừnh vỳ nhiỊu hển bỰn An ệóng 1 tia vộ tững sè gãc hai bỰn vỳ ệđĩc lộ
100. Hái mẫi bỰn ệở vỳ bao nhiếu tia?


bùi văn tuyên(Long Biên, Hà Nội)
Bài 2(141).Cho tam giác ABC có Dựng điểm D bên ngoài tam giác ABC
sao cho ACD là tam giác đều. Chứng minh rằng AB2 BC2 BD2.


chu tn (GV. THCS Ngun Thđĩng HiỊn, ng Hưa, Hộ Néi)


Bội 3(141).Giời hỷ phđểng trừnh



nguyÔn tiạn lẹm (GV. trđêng THPT chuyến ậỰi hảc KHTN Hộ Néi)
Bội 4(141).Cho x, y vộ z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn xy yz zx 3. Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biĨu
thục


lế phóc lọ (SV. ậỰi hảc FPT, TP. Hă ChÝ Minh)
Bội 5(141).Tững cựa 5 sè thùc khềng ẹm bỪng 1. Chụng minh rỪng ta cã thÓ xạp 5 sè nộy trến mét
ệđêng trưn sao cho tững cịc tÝch cựa 5 cẳp sè ệụng cỰnh nhau khềng lắn hển


vò ệừnh hưa(GV. ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi)
Bội 6(141).Cho hừnh vuềng ABCD. Cịc ệiÓm E, F lẵn lđĩt thuéc cỰnh AB, BC sao cho EF AE CF.
Dùng hừnh chọ nhẺt EBFG. AC cớt EG tỰi M, DE cớt FG tỰi N. Dùng MP AD (P AD). Chụng minh
rỪng NP // AC.


trần quang hùng (GV. THPT chuyên Đại học KHTN Hµ Néi)
1.


5


2 2 2


3 3 3


x y z


P .


x 8 y 8 z 8


x 3 y 7 5



y 1 z 1 3


z 6 x 4.


o
B 30 .


1(141).An drew some rays from the point A. Binh drew some rays from the point B. Given that Binh
drew one ray more than An, and the total number of angles drawn is 100. Find the number of rays each
person drew.


2(141).LetABCbe a triangle having B 30o. Let Dbe the point outside the triangle such that ACD
is an equilateral triangle. Prove that AB2 BC2 BD2.


3(141).Solve the following simultaneous equations


4(141). Let x,y, and z be positive real numbers such that xy yz zx 3.
Find the minimum value of the expression


5(141).Given 5 non-negative real numbers having a sum of 1. Prove that the
5 numbers can be arranged on a circle such that the sum of the products of
pairs of adjacent numbers is not greater than


6(141). Given a square ABCD. Let the points E and F be on AB and BC
respectively such that EF AE CF. Draw the rectangle EBFGand let Mbe the intersection of ACand
EG, and Nbe the intersection of DEandFG. Let PonADsuch that MP AD. Prove that NP//AC.


1.
5



2 2 2


3 8 3 8 3 8.


x y z


P


x y z


3 7 5


1 1 3


6 4.


x y


y z


z x



(34)

(35)

(36)



×