Bộ đề thi toán học kì 2 lớp 7

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.7 MB, 68 trang )

(1)



S

ưu tầm tổng hợp

BỘ ĐỀ THI TỐN

HỌC KÌ 2 MƠN TỐN LỚP 7

(2)

ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG DỊCH VỌNG
MƠN TỐN LỚP 7 (2014-2015)

Thời gian: 45 phút

Phần I : Trắc nghiệm (2 điểm) : Khoanh tròn vào trước câu trả lời đúng
Câu 1. (0,5 đ) Đơn thức 3 2

3x (yz)

− có bậc là :

A. 5. B. 3. C. 6. D. 7.
Câu 2. (0,5 đ) Sốnào sau đây là nghiệm của đa thức : ( ) 2 1

f x =− x+
A. 2

3. B.

2. C.

3
2

 _. _D. 2
3

 _.

Câu 3. (0,5 đ) Bộba sốnào sau đây là độba cạnh của tam giác :

A. 5 cm; 10 cm ; 12 cm. B. 2 cm; 3 cm; 5 cm.
C. 3 cm; 9 cm; 14 cm. D. 1,2 cm; 1 cm; 2,2 cm.

Câu 4. (0,5 đ) Cho ∆ABC. Có một điểm Ocách đều ba đỉnh của ∆ABC. Khí đó Olà giao
điểm của:

A. Ba đường trung trực. B. Ba đường phân giác.
C. Ba đường cao. D. Ba đường trung tuyến.
Phần II : Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Thực hiện phép tính ( hợp lí nếu có thể):
a) 1 .155 2( 15) 15

7 7

− + − − b)

1 1 1 1 1

2 3 : 4 3 .

3 2 6 7 5

−

 ₊  ₋ ₊   

     

     

Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x,y,z biết :
a)

3 1 1

4 4x 2

−

 

+ _{=  }

  b) 2

(

x− −1

) (

5 x+2

)

= −10
c) 4x=3y và x+ =y 21

Bài 3. (2 điểm) Cho hai đa thức : 3 3 2
( ) 3 5 4 2 11

f x = x + x− −x + x +

2 2 2 3

( ) 4 3 (3 7 1)

g x =x + − x − x − x −

1. Thu gọn và xắp xếp các đa thức f x( ),g x( )theo lũy thừa giảm dần của biến :

2. Tính tổng f x( )+g x( )

3. Tính hiệu f x( ) g x( )

Bài 4. (3 điểm) Cho ∆ABCvuông tại A, đường phân giác BE E( ∈AC). Trên cạnh BC

lấy điểm Hsao cho BH =BA, gọi giao điểm của BAvà HElà K. Chứng minh
rằng :

1. ∆ABE= ∆HBE.

2. BElà đường trung trực của AH.

(3)

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trịnguyên của nđểbiểu thức2 1

n
n

+ có giá trịngun .
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG DỊCH VỌNG

MƠN TỐN LỚP 7 (2014-2015)
Thời gian:45 phút

Phần I : Trắc nghiệm (2 điểm) :mỗi câu đúng được 0,5 điểm

Câu 1 2 3 4

Đáp án D B A A

Câu 1. (0,5 đ) Đơn thức 3 2
3x (yz)

− có bậc là :

A. 5. B. 3. C. 6. D. 7.
Lời giải

Chọn D

Ta có _₃_{x yz}3

 

2 _{ }₃_{x y z}3 2 2 _{nên đơn thứ}_{c có b}_ậ_{c là}₃_{  }₂ ₂ ₇_.
Câu 2. (0,5 đ) Sốnào sau đây là nghiệm của đa thức : ( ) 2 1

f x =− x+

A. 2

3. B.

2. C.

3
2

 _. _D.

2
3

 _.

Lời giải
Chọn B

Ta có f x

 

0 2 1 0 2 1 1 : 2 3

3 x 3x x 3 x 2

 

            .
Câu 3. (0,5 đ) Bộba sốnào sau đây là độba cạnh của tam giác :

A. 5 cm; 10 cm ; 12 cm. B. 2 cm;
3 cm; 5 cm.

C. 3 cm; 9 cm; 14 cm. D. 1,2 cm; 1 cm;
2,2 cm.

Lời giải
Chọn A

Ba số a b c, , 0 là ba cạnh của tam giác nếu thỏa mãn đồng thời các bất đẳng thức
sau:

a b c ; b c a; a  c b.

(4)

Câu 4. (0,5 đ) Cho ∆ABC. Có một điểm Ocách đều ba đỉnh của ∆ABC. Khí đó Olà giao
điểm của:

A. Ba đường trung trực. B. Ba
đường phân giác.

C. Ba đường cao. D. Ba đường
trung tuyến.

Lời giải
Chọn A

Theo tính chất giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.
Phần II : Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1 điểm) Thực hiện phép tính ( hợp lí nếu có thể):
a) 1 .155 2( 15) 15

7 7

− + − − b)

1 1 1 1 1

2 3 : 4 3 .

3 2 6 7 5

−

 ₊  ₋ ₊   

     

     

Lời giải
a) 1 .155 2( 15) 15

7 7

− + − −

12 2

.( 15) .( 15) 15

7 7

12 2

( 15) 1

7 7
( 15).1
15
= − + − −
 
= − _ + − _
 
= −
= −
b)
2

1 1 1 1 1

2 3 : 4 3 .

3 2 6 7 5

−

 ₊  ₋ ₊   

     

     

7 7 25 22 1

: .

3 2 6 7 25
35 43 1

: .

6 42 25
35 42 1

. .

6 43 25
7.( 7).1
1.43.5

49
215
−
   
=_ + _{ } + _
   
−
 
= _ _
 
−
 
= _ _
 
−
=
−
=
Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x y z, , biết :

3 1 1

4 4x 2

−

 

+ _{=  }

  b) 2

(

x− −1

) (

5 x+2

)

= −10
c) 4x=3y và x+ =y 21

Lời giải
a)

3 1 1

4 4x 2

−

 

+ _{=  }

 

(5)

3 1 1
4 4 4

1 1 3
4 4 4

x
x
+ =
= −
1 2
4 4
2 1
:
4 4
2
x
x
x
−
=
−
=
= −

2 2 5 10 10
3 10 10 2
3 2
2
3
x x
x
x
x
− − − = −
− = − + +

− =
−
=

c) 4x=3y và x+ =y 21
21

4 3 3

3 4 3 4 7

x y x y

x= y⇒ = = + = =

3 3.3 9
3

3 4.3 12
4
x
x
y
y
⇒ = ⇒ = =
⇒ = ⇒ = =

Bài 3. (2 điểm) Chohai đa thức : 3 3 2

( ) 3 5 4 2 11

f x = x + x− −x + x +

2 2 2 3

( ) 4 3 (3 7 1)

g x =x + − x − x − x −

1. Thu gọn và xắp xếp các đa thức f x( ),g x( )theo lũy thừa giảm dần của biến :

2. Tính tổng f x( )+ g x( )

3. Tính hiệu f x( )− g x( )

Lời giải

1. Thu gọn và xắp xếp các đa thức f x( ),g x( )theo lũy thừa giảm dần của biến :

3 3 2 3 2

3 2

( ) 3 5 4 2 11 (3 1) 2 5 4 11
2 2 5 7

f x x x x x x x x

x x x

= + − − + + = − + + − +

= + + +

2 2 2 3 2 2 2 3

3 2

( ) 4 3 (3 7 1) 4 3 3 7 1

7 (1 3 3) 4 1

7 5 5

g x x x x x x x x x

x x

= + − − − − = + − − + +

= + − − + +

= − +

2. Tính tổng f x( )+g x( )

3 2 3 2

3 2

( ) ( ) (2 2 5 7) (7 5 5)
2 2 5 7 7 5 5
(2 7) (2 5) 5 7 5
9 3 5 12

f x g x x x x x x

x x x x x

x x x

+ = + + + + − +

= + + + + − +

= + + − + + +

= − + +

(6)

3 2 3 2

3 2

( ) ( ) (2 2 5 7) (7 5 5)
2 2 5 7 7 5 5
(2 7) (2 5) 5 7 5

5 7 5 2

f x g x x x x x x

x x x x x

x x x

− = + + + − − +

= + + + − + −

= − + + + + −

= − + + +

Bài 4. (3 điểm) Cho ∆ABCvuông tại A, đường phân giác BE E( ∈AC). Trên cạnh BC

lấy điểm Hsao cho BH =BA,gọi giao điểm của BAvà HElà K. Chứng minh

rằng :

1. ∆ABE= ∆HBE.

2. BElà đường trung trực của AH.

3. Elà trực tâm của ∆BKC.
4. So sánh AEvà EC.

Lời giải

E
B

A C

1. Xét ∆ABEvà ∆HBEcó:

( )

BH =BA gt

 _ABE₌_HBE₍_BE _{là tia phân giác )}
BE là cạnh chung

( . . )

ABE HBE c g c

⇒ ∆ = ∆

2.Có: ( )

( )

BH BA gt

EH EA ABE HBE

=


 ₌ _∆ _{= ∆}



⇒BElà đường trung trực của AH.
3. Vì ∆ABE= ∆HBE ⇒BA E=BHE=900
Xét ∆BKC có : CA⊥BKvà KH ⊥BC

Mà CA∩KHtại E ⇒ Elà trực tâm của ∆BKC.

4. Vì BE là đường phân giác của ABC nên EA AB 1

EC = BC < ( BC là cạnh huyền )

E EC

(7)

Bài 5. (0,5 điểm) Tìm giá trịnguyên của nđểbiểu thức2 1

n
n

+ có giá trịnguyên .
Lời giải

Có 2 1 2( 1) 1 2 1

1 1 1

n n

n n n

+ ₌ + − _{= −}

+ + + ( Điều kiện n  1)

Để 2 1

n
n

+ có giá trịnguyên thì

1
1

n+ có giá trịngun
hay n+ ∈Ư(1)1 =

{ }

1; 1−

Lập bảng

n+ 1 -1

n 0 (TM) -2 (TM)

Vậy n∈

{

0; 2−

}

thì biểu thức2 1

n
n

+ có giá trịngun .

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG HẬU
MƠN TỐN LỚP 7 (2016-2017)

Thời gian: 90 phút
I. TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

1. Cho hàm số f x

( )

=2x+1. Giá trị của hàm số f x

( )

tại x= −2 là:

A. 3. B. −3. C. 5. D. −5.
2. Giá trị của biểu thức 2 2

2x y+2xy tại x=1;y= −3 là:

A. 12. B. 24. C. −12. D. −24.

3. Bộba đoạn thẳng có độdài nào sau đây có thểlà độdài ba cạnh của một tam giác
vuông?

A. 3cm, 9cm, 14cm. B. 2cm, 3cm, 5cm.
C. 4cm, 9cm, 12cm. D. 6cm, 8cm, 10cm.
4. Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa hai điểm A và C. Kết luận nào sau đây là

đúng?

A. AB−AM >BM . B. AM +MC>BC.

C. BM >BA và BM >BC D. AB<BM <BC.

II. TỰ LUẬN (8 điểm)

Bài 1 (2,5 điểm).Cho hai đa thức

( )

5 3 2 4

9 4 2 7

f x = − +x x− x +x − x và

( )

5 2

(

4 3

)

9 2 7 2 3

(8)

b) Tính tổng h x

( )

= f x

( ) ( )

+g x .

c) Viết đa thức f x

( )

thành tổng của hai đa thức đều có bậc 5.
Bài 2 (1,5 điểm).Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a) M x

( )

=2x−6.
b)

( )

P x =x − .

( )

(

)(

)

3 3 6

N x = x + x + .

Bài 3 (3,5 điểm).Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB

lấy điểm E sao cho BD=CE. Từ D kẻđường vng góc với BC cắt AB ở M ,
từ E kẻđường vng góc với BC cắt AC ở N .

a) Chứng minh MD=NE.

b) Gọi I là giao điểm của MN và DE. Chứng minh I là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng kẻtừ C vng góc với AC cắt đường thẳng kẻtừ B vng góc

với ABtại O. Chứng minh AO là đường trung trực của BC.

Bài 4 (0,5 điểm). Cho biểu thức 2 3
1

x
M

−
=

+ . Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị

nguyên?

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS DỊCH VỌNG HẬU
MƠN TỐN LỚP 7 (2016-2017)

Thời gian: 90 phút

I. TRẮC NGHIỆM (2 điểm)

1. Cho hàm số f x

( )

=2x+1. Giá trị củahàm số f x

( )

tại x= −2 là:

A. 3. B. −3. C. 5.
D. −5.

Lời giải
Chọn B

( )

2 2.

( )

2 1 4 1 3

f − = − + = − + = −

2. Giá trị của biểu thức 2 2

2x y+2xy tại x=1;y= −3 là:

A. 12. B. 24. C. −12.

D. −24.

Lời giải
Chọn A

Vì thay x=1;y= −3 vào biểu thức ta có: 2

( )

(9)

3. Bộba đoạn thẳng có độdài nào sau đây có thểlà độdài ba cạnh của một tam giác
vuông?

A. 3cm, 9cm, 14cm. B. 2cm, 3cm, 5cm.
C. 4cm, 9cm, 12cm. D. 6cm, 8cm, 10cm.

Lời giải
Chọn D

Vì 2 2 2

10 =6 +8 ( 100)=

4. Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M nằm giữa hai điểm A và C. Kết luận nào sau đây là

đúng?

A. AB−AM >BM . B. AM +MC>BC.

C. BM >BA và BM >BC D. AB<BM <BC.

Lời giải

Chọn D

Vì theo quan hệđường vng góc và đường xiên
II. TỰ LUẬN (8 điểm)

Bài 1 (2,5 điểm).Cho hai đa thức

( )

5 3 2 4

9 4 2 7

f x = − +x x− x +x − x và

( )

5 2

(

4 3

)

9 2 7 2 3

g x =x − + x − − x − x + x .
a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Tính tổng h x

( )

= f x

( ) ( )

+g x .

c) Viết đa thức f x

( )

thành tổng của hai đa thức đều có bậc 5.
Lời giải

a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

( )

5 3 2 4 5 4 3 2

9 4 2 7 7 2 4 9

f x = − +x x− x +x − x = − −x x − x +x + x+ .

( )

5 2

(

4 3

)

5 2 4 3

5 4 3 2

9 2 7 2 3 9 2 7 2 3

7 2 2 3 9

g x x x x x x x x x x x

x x x x x

= − + − − − + = − + + + −

= + + + − −

b) Tính tổng h x

( )

= f x

( ) ( )

+g x .

M C

(10)

( )

(

) (

)

(

) (

)

5 4 3 2 5 4 3 2

5 5 4 4 3 3 2 2

7 2 4 9 7 2 2 3 9

7 7 2 2 2 4 3 9 9

h x f x g x

x x x x x x x x x x

x x

= +

= − − − + + + + + + + − −

= − + + − + + − + + + + − + −

= +

c) Viết đa thức f x

( )

thành tổng của hai đa thức đều có bậc 5.

( )

(

) (

)

5 4 3 2

5 4 3 2 5 4

7 2 4 9

2 4 9 2 6

f x x x x x x

x x x x x x x

= − − − + + +

= − − + + + + − −

Bài 2 (1,5 điểm).Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) M x

( )

=2x−6.

( )

2
25

P x =x − .

( )

(

)(

)

3 3 6

N x = x + x + .

Lời giải
a) M x

( )

=2x−6.

Cho M x

( )

=0
2x 6 0

⇒ − =

2x=6
3

Vậy nghiệm của đa thức M x

( )

=2x−6 là x=3
b)

( )

P x =x − .

Cho P x

( )

2 2

25 0 25 5

x x x

⇒ − = ⇒ = ⇒ = ± .

Vậy nghiệm của đa thức

( )

2
25

P x =x − là x= ±5

( )

(

)(

)

3 3 6

N x = x + x + .
Cho N x

( )

(

)(

)

3 3 6 0

x x

⇒ + + =

2 2

3 0 3 0

3 6 0 3 6 0

x x

 + =  = − <

⇒_ ⇒_

+ = = − <

  (loại)

Vậy đa thức

( )

(

)(

)

3 3 6

N x = x + x + khơng có nghiệm.

Bài 3 (3,5 điểm).Cho ∆ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB

(11)

a) Chứng minh MD=NE.

b) Gọi I là giao điểm của MN và DE. Chứng minh I là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng kẻtừ C vng góc với AC cắt đường thẳng kẻtừ B vng góc

với ABtại O. Chứng minh AO là đường trung trực của BC.

Lời giải

a) Chứng minh MD=NE.

+) Vì ∆ABC cân tại A(gt) ⇒ AB= AC(đn) và  ABC=ACB (t/c)

Ta có:  ABC=ACB(cmt),  ACB=NCE (đối đỉnh) nên  ABC=NCE hay

 

MBD=NCE.

+) Vì MD⊥BC gt

( )

⇒MDB= °90 ; NE⊥BC gt

( )

⇒NEC= °90 .

+) Xét ∆MDB và ∆NEC có:

 

( )

 

₍

₉₀

₎

MBD NCE

BD CE gt
MDB NEC


=



= _



= _{= ° }

(

. .

)

MDB NEC g c g

⇒ ∆ = ∆ ⇒MD=NE (2 cạnh t/ứng).

b) Gọi I là giao điểm của MN và DE. Chứng minh Ilà trung điểm của DE.
+) Vì MD⊥BC gt

( )

; NE⊥BC gt

( )

⇒MD NE (Qh từvng góc đến song song).

 

DMI ENI

⇒ = (2 góc slt)

+) Xét ∆MDI và ∆NEI có:

 

₍

₎

(

)

 

₍

₉₀

₎

DMI ENI cmt
MD NE cmt
MDI NEI


=



= _



= _{= ° }

(

. .

)

MDI NEI g c g

⇒ ∆ = ∆ ⇒DI =IE (2 cạnh t/ứng) hay Ilà trung điểm của DE.
N

A
M

(12)

c) Đường thẳng kẻ từ C vng góc với AC cắt đường thẳng kẻ từ B vng

góc với ABtại O. Chứng minh AO là đường trung trực của BC.

+) Vì OB⊥ AB gt

( )

⇒ABO= °90 ; OC⊥ AC gt

( )

⇒ACO= °90 .

+) Xét ∆ABO và ∆ACO có:

 

(

)

90
:

ABO ACO

AO chung
AB AC cmt



= = °





= _

(

)

O . . .

ABO AC c h c g v

⇒ ∆ = ∆ − ⇒OB=OC (2 cạnh t/ứng)
O

⇒ thuộc đường trung trực của BC (1).

Mà AB=AC(cmt) ⇒ A thuộc đường trung trực của BC (2).

Từ(1) và (2) ⇒ AO là đường trung trực của BC.

Bài 4 (0,5 điểm). Cho biểu thức 2 3
1

x
M

−
=

+ . Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị
nguyên?

Lời giải

(

)

2 1 5

2 3 5

1 1 1

x
x

x x x

+ −
−

= = = −

+ + + .

Để M nguyên thì 2 5
1

−

+ nguyên
5

1 x

⇒ ∈ ⇒ + ∈

+  Ư(5)= ± ±

{

1; 5

}

.
Lập bảng GT

x+ −5 −1 1 5

x −6 −2 0 4

Vậy để M có giá trịngun thì x∈ − −

{

6; 2; 0; 4

}

O

I

E

D

B

C

M

A

(13)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS MỸĐÌNH 2

MƠN TỐN LỚP 7 (2015-2016)
Thời gian: 60 phút

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan (2 điểm)

Hãy khoanh tròn vào chữcái đứng trước mỗi câu trả lời cho là đúng nhất.
Câu 1 . Bậc của đa thức

( )

8 6 4 6 6 4 3

3 3 5

P x =x + x y −y − x y + x là:

A.10. B.8. C.5. D.37.
Câu 2 . Giá trịnào sau đây là nghiệm của đa thức 3 2

x −x + :

A.0. B. 1. C. −1. D. Một kết quả

khác.

Câu 3 . Cho ∆MNP có N =60°;P =50°. So sánh nào sau đây là đúng?
A. NP MP MN> > . B. MP>NP MN> .
C. MN>NP MP> . D. Một kết quảkhác.

Câu 4 . Gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác. Kết luận nào sau đây
đúng:

A. I cách đều ba cạnh của tam giác. B. I cách đều ba đỉnh của tam giá
C. I là trọng tâm của tam giác. D. I là trực tâm của tam giác.
Phần 2. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)Điều tra điểm thi mơn Tốn học kì I của lớp 7 A được ghi lại như sau:

10 8 10 8 5 9 7 9 6 9

6 7 8 5 8 4 8 6 8 8

7 5 9 9 6 7 10 7 4 10

a) Dấu hiệu ởđây là gì? Lớp 7 A có bao nhiêu bạn?

b) Lập bảng tần số.

c) Tính sốtrung bình cộng và tìm M0.
Bài 2. (1,5 điểm)Cho hai đa thức:

( )

3 ₅ 2 ₃ _{2 3} 2

f x =x − x + x+ + x

( )

3 2 2

6 2 6 2

g x = − −x x + x− x − x+

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức f x

( ) ( )

,g x theo lũy thừa giảm

dần của biến.

(14)

Bài 3. (1 điểm)Cho đa thức

( )

2
2

A x =x − x.

a) Tính giá trị của A x

( )

tại x= −2.
b) Tìm các nghiệm của đa thức A x

( )

Bài 4. (3,5 điểm)Cho ∆ABC vng ở A có AB=12cm,AC=9cm.

a) Tính độdài cạnh BC và so sánh các góc của ∆ABC.

b) Trên tia đối của CA lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Qua C kẻ

đường vuông

góc với AD cắt BD tại E. Chứng minh ∆EAD cân.
c) Chứng minh E là trung điểm của BD.

d) Gọi G là giao điểm của AE và BC. Tính độdài đoạn BG.

Bài 5 (0,5 điểm) Tìm GTNN của biểu thức: 2 1

2 1
2

C =x + x+ .

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS MỸĐÌNH 2
MƠN TỐN LỚP 7 (2015-2016)

Thời gian: 60 phút

Phần 1. Trắc nghiệm khách quan (2 điểm)

Hãy khoanh tròn vào chữcái đứng trước mỗi câu trả lời cho là đúng nhất.
Câu 1 . Bậc của đa thức

( )

8 6 4 6 6 4 3

3 3 5

P x =x + x y −y − x y + x là:

A.10. B.8. C.5. D.37.
Lời giải

Chọn B.

( )

8 ₃ 6 4 6 ₃ 6 4 ₅ 3 8 6 ₅ 3

P x =x + x y −y − x y + x =x −y + x ⇒Bậc của đa thức là 8.
Câu 2 . Giá trịnào sau đây là nghiệm của đa thức 3 2

x −x + :

A.0. B. 1. C. −1. D. Một kết quả

khác.

Lời giải
Chọn C.

Đặt

( )

3 2

P x =x −x + . Ta có P

( ) ( ) ( )

− = −1 13− 1 2+ =2 0. Vậy x= −1 là nghiệm của
đa thức.

(15)

Lời giải
Chọn A.

Xét ∆MNP: M N P  + + =180°⇒M=180°−

(

60°+50°

)

=70°.

Vậy M N P  > > . Suy ra NP MP MN> > .

Câu 4 . Gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác. Kết luận nào sau đây
đúng:

A. I cách đều ba cạnh của tam giác. B. I cách đều ba đỉnh của tam giác.
C. I là trọng tâm của tam giác. D. I là trực tâm của tam giác.

Lời giải

Chọn A.

Phần 2. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)Điều tra điểm thi mơn Tốn học kì I của lớp 7 A được ghi lại như sau:

10 8 10 8 5 9 7 9 6 9

6 7 8 5 8 4 8 6 8 8

7 5 9 9 6 7 10 7 4 10

a) Dấu hiệu ởđây là gì? Lớp 7 A có bao nhiêu bạn?

b) Lập bảng tần số.

c) Tính sốtrung bình cộng và tìm M0.

Lời giải

a) Dấu hiệu ởđây là gì? Lớp 7 A có bao nhiêu bạn?

- Dấu hiệu điều tra: điểm thi mơn Tốn học kì I của mỗi học sinh lớp 7A.
- Lớp 7 A có 30 học sinh.

b) Lập bảng tần số.
Bảng tần số

Điểm số

( )

x 4 5 6 7 8 9 10

Tần số

( )

n 2 3 4 5 7 5 4 N =30

(16)

Sốtrung bình cộng:

1. 1 2. 2 ... . 4.2 5.3 6.4 7.5 8.7 9.5 10.4 223

7, 4

30 30

k k

x n x n x n
X

+ + + + + + + + +

= = = ≈ .

Mốt M0 =8.

Bài 2. (1,5 điểm)Cho hai đa thức:

( )

3 2 2

5 3 2 3

f x =x − x + x+ + x

( )

3 2 2

6 2 6 2

g x = − −x x + x− x − x+

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức f x

( ) ( )

,g x theo lũy thừa giảm

dần của biến.

b) Tính f x

( ) ( )

+g x và f x

( ) ( )

−g x .

Lời giải

a) Thu gọn đa thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

( )

3 2 2 3 2

5 3 2 3 2 3 2

f x =x − x + x+ + x =x − x + x+ .

( )

3 2 2 3 2

6 2 6 2 3 2

g x = − −x x + x− x − x+ = − −x x + .

( )

(

3 2

) (

3 2

)

2 3 2 3 2 5 3 4

f x +g x = x − x + x+ + − −x x + = − x + x+ .

( )

(

3 2

) (

3 2

)

3 2

2 3 2 3 2 2 3

f x −g x = x − x + x+ − − −x x + = x +x + x .
Bài 3. (1 điểm)Cho đa thức

( )

A x =x − x.

a) Tính giá trị của A x

( )

tại x= −2.
b) Tìm các nghiệm của đa thức A x

( )

Lời giải
a) Tính giá trị của A x

( )

tại x= −2.

Ta có

( ) ( )

( )

2 2 2 2 8

A − = − − − = .

b) Tìm các nghiệm của đa thức A x

( )

Ta có

( )

0 2 0 0, 2

A x = ⇒x − x= ⇒ =x x= .

Vậy đa thức A x

( )

có nghiệm là x∈

{ }

0; 2 .

Bài 4. (3,5 điểm)Cho ∆ABC vng ở A có AB=12cm,AC=9cm.

a) Tính độdài cạnh BC và so sánh các góc của ∆ABC.

b) Trên tia đối của CA lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Qua C kẻ

(17)

d) Gọi G là giao điểm của AE và BC. Tính độdài đoạn BG.

Lời giải

Hình vẽ

a) Tính độ dài cạnh BC và so sánh các góc của ∆ABC.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vng ABC, ta có:

2 2 2 2 2 2

12 9 225 15

BC =AB +AC = + = = . Suy ra: BC=15 cm

( )

.
Do BC> AB> AC⇒ > >  A C B.

b) Trên tia đối của CA lấy điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Qua C kẻ

đường vng góc với AD cắt BD tại E. Chứng minh ∆EAD cân.

Ta có C là trung điểm của AD (gt) và EC ⊥AD nên CE là đường trung trực của

AD.

E∈EC⇒EA=ED. Vậy ∆EAD cân tại E.

c) Chứng minh E là trung điểm của BD.

Vì ∆EAD cân tại E nên D =A1,

( )

1 .
Theo giảthiết:  A1+A2 = °90 ,

( )

2 .

(18)

Suy ra ∆ABE cân tại E. Vì vậy EA=EB.

Theo b) EA=ED, kết hợp EA=EB, ta được EB=ED. Mà E∈BD.

Vậy E là trung điểm của BD.

d) Gọi G là giao điểm của AE và BC. Tính độdài đoạn BG.

Ta có E là trung điểm của BD, C là trung điểm của AD. Suy ra AE và BC là

hai đường trung tuyến của ∆ABD.

Mà AE cắt BC tại G, suy ra G là trọng tâm ∆ABD.

( )

2 2

.15 10 cm

3 3

BG BC

⇒ = = = .

Bài 5 (0,5 điểm) Tìm GTNN của biểu thức: 2 1

2 1
2

C =x + x+ .
Lời giải

Ta có:

2 1

2 1
2

C=x + x+

(

)

(

)

1
1

x x x

= + + + +

(

) (

)

1 1

x x x

= + + + +

(

)(

)

1 1

x x

= + + +

(

)

2 1 1

1 , .

2 2

x x

= + + ≥ ∀

Dấu “=” xảy ra khi x= −1.
Vậy GTNN của C là 1

2 khi x= −1.

ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG LOMONOXOP
MƠN TỐN LỚP 7 (2015-2016)

Thời gian: 120 phút
I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng.

1. Phát biểu sau đúng hay sai?

(a) Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

(b) Bậc của đa thức khác đa thức không là tổng các số mũ của các biến có mặt
trong dạng thu gọn của đa thức đó.

(19)

(d) Điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là giao ba đường phân giác của
tam giác đó.

2. Phép tính nào sai trong các phép tính sau:
(a) 2 3 3 4

3x y xy. 3x y

− = − (b) 2 2 2

3x y−4x y= −x y

3x y+4x y=7x y (d) 3x y2 +4x y2 =7x y4 2

3. Khẳng định đúng là:

(a) Ba đoạn thẳng có độdài 4cm, 6cm, 10cm là ba cạnh của một tam giác.

(b) Tam giác ABC có A=70 ;° B=60°nên AC<AB<BC.

(d) Nếu 2 2 2

AB +AC =BC thì tam giác ABC vng tại B.

II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. ( 1.5 điểm) Cho

( )

2 5

F x = x − +x và G x

( )

=x2 −ax+2. Tìm a để F

( )

0 =G

( )

−3
Bài 2. (2.5 điểm) Cho hai đa thức

( )

4 3 2 4 3

3 4 2 4 5

M x = x+x − x −x − x + x − −x

( )

2 3

N x = x+

1. Rút gọn và sắp xếp đa thức M x

( )

theo lũy thừa giảm dần của biến.

2. Tính A x

( )

=M x

( )

+N x

( )

và B x

( )

=N x

( )

−M x

( )

3. Tính nghiệm của N x

( )

4. Chứng minh B x

( )

vô nghiệm.

Bài 3. (4.0 điểm) Cho gócxOykhác góc bẹt và tia phân giácOt . Trên tiaOt lấy điểm
M ≠O. Qua Mkẻ đường thẳng vng góc với Ot, cắt Oxtại A, cắt Oy tại B.

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của OA và OB.

1. Chứng minh ∆OABlà tam giác cân.

2. Chứng minh ∆OPM = ∆OQM và OM ⊥PQ .

3. Gọi Ilà giao của OMvà BP. Chứng minh A, I, Q thẳng hàng.
4. Cho OB=5cm, MB=4cm. Tính IP.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG NOMONOXOP
MƠN TỐN LỚP 7 (2015-2016)

Thời gian: 120 phút

(20)

Bài 1. Phát biểu sau đúng hay sai?

(a) Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

(b) Bậc của đa thức khác đa thức không là tổng các sốmũ của các biến có mặt
trong dạng thu

gọn của đa thức đó.

(d) Điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là giao ba đường phân giác
của tam giác đó.

Lời giải
(a) - Đúng

(b) – Sai. Vì bậc của đa thức khác đa thức khơng là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
trong dạngthu gọn của đa thức đó.

Bài 2. Phép tính nào sai trong các phép tính sau:
(a) 2 3 3 4

3x y xy. 3x y

− = − (b) 2 2 2

3x y−4x y= −x y

3x y+4x y=7x y (d) 3x y2 +4x y2 =7x y4 2

Lời giải
Chọn (d)

Vì 2 2 2

3x y+4x y=7x y .
Bài 3. Khẳng định đúng là:

(a) Ba đoạn thẳng có độdài 4cm, 6cm, 10cm là ba cạnh của một tam giác.

(b) Tam giác ABC có A=70 ;° B=60°nên AC<AB<BC.

(d) Nếu 2 2 2

AB +AC =BC thì tam giác ABC vng tại B.
Lời giải

Chọn (c).
II. Tự luận (8 điểm)

Bài1. ( 1.5 điểm)Cho

( )

2 5

F x = x − +x và G x

( )

=x2−ax+2. Tìm a để F

( )

0 =G

( )

−3
Lời giải

( )

0 5

F =

( )

3 11 3

G − = + a

( )

3 5 11 3 2.

(21)

Bài2. (2.5 điểm)Cho hai đa thức

( )

4 3 2 4 3

3 4 2 4 5

M x = x+x − x −x − x + x − −x

( )

2 3

N x = x+

1. Rút gọn và sắp xếp đa thức M x

( )

theo lũy thừa giảm dần của biến.

2. Tính A x

( )

=M x

( )

+N x

( )

và B x

( )

=N x

( )

−M x

( )

3. Tính nghiệm của N x

( )

4. Chứng minh B x

( )

vô nghiệm.

Lời giải

( )

4 3 2 4 3 4 2

3 4 2 4 5 2 5

M x = x+x − x −x − x + x − − = − −x x x + x−

( )

4 2

A x =M x +N x = − −x x + x−

( )

4 2 4 2

2 3 ( 2 5) 8

B x =N x −M x = x+ − − −x x + x− =x +x +

( )

2 3 0 2 3 3
2

N x = x+ = ⇔ x= − ⇔ = −x

( )

4 2 4 1 2 1 31 2 1 31

8 2. 0

2 4 4 2 4

B x =x +x + =x + x + + =_x + _ + > ∀x

 

Do đó B x

( )

vơ nghiệm.

Bài3. (4.0 điểm) Cho góc xOy khác góc bẹt và tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy điểm
M ≠O. Qua Mkẻ đường thẳng vng góc với Ot, cắt Oxtại A, cắt Oy tại B.

Gọi P, Q lần lượt là trungđiểm của OA và OB.

1. Chứng minh ∆OABlà tam giác cân.

2. Chứng minh ∆OPM = ∆OQM và OM ⊥PQ .

3. Gọi Ilà giao của OMvà BP. Chứng minh A, I, Q thẳng hàng.
4. Cho OB=5cm, MB=4cm. Tính IP.

Lời giải

t
x

y
I

Q
P

B
A

(22)

1. Chứng minh ∆OABlà tam giác cân.
OAB

∆ có OM vừa là đường phân giác vừa là đường cao xuất phát từđỉnh O
OAB

⇒ ∆ cân tại O

2. Chứng minh ∆OPM = ∆OQM và OM ⊥PQ .

OAB

∆ cân tại O⇒OA=OB

Mà 1 ; 1

2 2

OP= OA OQ= OB⇒OP=OQ

OPM

∆ và ∆OQM có

 

₍

₎

OP OQ

POM QOM OPM OQM c g c

OM chung

=



= ⇒ ∆ = ∆ − −





Do OP=OQ nên tam giác OPQ cân tại O, OM là tia phân giác nên OM là đường

cao

OM PQ

⇒ ⊥

3. Gọi Ilà giao của OM và BP. Chứng minh A, I , Q thẳng hàng.
I là giao của OM và BP nên I là trọng tâm của ∆OAB

AQ là đường trung tuyến của ∆OAB ⇒ AQ đi qua I

Vậy A, I, Q thẳng hàng.

4. Cho OB=5cm, MB=4cm. Tính IP.

OMB

∆ vuông tại M nên áp dụng Pitago:

( )

2 2 2 2 2

5 4 9 3

OM =OB −MB = − = ⇒OM = cm

( )

1
3

IM = OM = cm
IMB

∆ vuông tại Mnên áp dụng Pitago:

( )

2 2 2 2 2 1 17

4 1 17 17

2 2

IB =IM +MB = + = ⇒IB= cm ⇒IP= IB= cm

ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – LM
MƠN TỐN LỚP 7 (2007-2008)

Thời gian: 60 phút
I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1. Giá trịbiểu thức 2 2

x − xy−y tại 1; 2
2

x= y= − là:

( )

25
24

( )

c −

( )

d −

2. Hiệu của 2 đơn thức 1 3 2
6x y z và

3 2
1

(23)

( )

1 6 4 2
30

a − x y z

( )

1 6 4 2

b x y z

( )

1 3 2

c x y z

( )

1 3 2

d − x y z

3. Cho ∆DEF cân tại D có hai đường phân giác EA và FB cắt nhau tại I. Đáp án

nào sau đây là sai?

( )

a DI là đường phân giác

( )

b DIlà đường cao

( )

c IE>IF

( )

b DIlà đường trung tuyến.

4. Cho ∆ABC nhọn có B >C. Kẻđường cao AH M. là điểm bất kỳthuộc AH. Đáp

án nào sau đây là đúng?

( )

a AB> AC

( )

b HB<HC

( )

c MB>MC

( )

b Cả3 đáp án trên đều sai.

II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (2,5 điểm)Cho hai đa thức:

( )

4 3 4 3 1 1

4 2 2 7 3

4 3

A x = x − x − x + x + x+ − −x

( )

4 3 2 4 3 2 1

2 3 2

B x =x +x + x −x + x −x − x+

1) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định
rõ bậc, hệsốtựdo, hệsốcao nhất của A x

( )

và B x

( )

2) Tính theo cột dọc M x

( )

=A x

( )

+B x

( )

và N x

( )

=A x

( )

−B x

( )

.
3) x= −1 có là nghiệm của đa thức M x

( )

không? Tại sao?

Bài 2. (1,5 điểm)Tìm nghiệm của đa thức:

( )

3 2 1

8 6

F x = x+ − x b)

( ) (

)

(

)

1 7 5 2

G x = + x x −

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm

của BH. Vẽđiểm N sao cho M là trung điểm của AN.

1) Chứng minh ∆AMH = ∆NMB NB; ⊥BC.
2) Chứng minh BN <BA.

3) Chứng minh rằng  BAM <MAH.

4) Gọi I là trung điểm của NC. Chứng minh rằng ba điểm A H I, , thẳng hàng.
Bài 4. (0,5 điểm) Tìm x y, ∈ đểbiểu thức sau có giá trịnguyên: 5.

xy x
M

xy x

+ +
=

(24)

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – LM
MƠN TỐN LỚP 7 (2007-2008)

Thời gian: 60 phút

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

1. Giá trịbiểu thức 2 2

x − xy−y tại 1; 2
2

x= y= − là:

( )

25
24

( )

c −

( )

d −

Lời giải
Đáp án:

( )

c −

2. Hiệu của đơn thức 1 3 2
6x y z và

3 2
1

5x y z là:

( )

1 6 4 2
30

a − x y z

( )

1 6 4 2

b x y z

( )

1 3 2

c x y z

( )

1 3 2

d − x y z

Lời giải
Đáp án:

( )

1 3 2

c x y z

3. Cho ∆DEF cân tại D có hai đường phân giác EA và FB cắt nhau tại I. Đáp án

nào sau đây là sai?

( )

a DI là đường phân giác

( )

b DIlà đường cao

( )

c IE>IF

( )

d DI là đường trung tuyến.

Lời giải
Đáp án:

( )

c IE>IF

4. Cho ∆ABC nhọn có B >C. Kẻđường cao AH M. là điểm bất kỳthuộc AH. Đáp

án nào sau đây là đúng?

( )

a AB> AC

( )

b HB<HC

( )

c MB>MC

( )

d Cả3 đáp án trên đều sai.

Lời giải
Đáp án:

( )

b HB<HC

II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (2,5 điểm)Cho hai đa thức:

( )

4 3 4 3 1 1

4 2 2 7 3

4 3

(25)

( )

4 3 2 4 3 2 1

2 3 2

B x =x +x + x −x + x −x − x+

1) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định
rõ bậc, hệsốtựdo, hệsốcao nhất của A x

( )

và B x

( )

2) Tính theo cột dọc M x

( )

=A x

( )

+B x

( )

và N x

( )

=A x

( )

−B x

( )

.
3) x= −1 có là nghiệm của đa thức M x

( )

không? Tại sao?

Lời giải

1) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định
rõ bậc, hệsốtựdo, hệsốcao nhất của A x

( )

và B x

( )

(

4 4

) (

3 3

)

(

)

1 1 4 3 1

4 2 7 2 3 2 5 2 .

4 3 12

A x = x − x + x − x + x− +x _ − _= x + x + x+

 

( )

(

4 4

) (

3 3

) (

2 2

)

1 3 2 1

3 2 2 4 2 .

12 12

B x = x −x + x + x + x −x − x+ = x +x − x+

+ Bậc của đa thức A x

( )

là 4 và của B x

( )

là 3.

+ Hệsốcao nhất của đa thức A x

( )

là 2 và của B x

( )

là 4.

2) Tính theo cột dọc M x

( )

=A x

( )

+B x

( )

và N x

( )

=A x

( )

−B x

( )

.
+ Tính theo cột dọc M x

( )

=A x

( )

+B x

( )

4 3 1

2 5 2

x + x + x+

3 2 1

4 2

x +x − x+

( )

M x = 4 3 2 1

2 9

x + x +x +

+ Tính theo cột dọc N x

( )

=A x

( )

−B x

( )

4 3 1

2 5 2

x + x + x+

3 2 1

4 2

x +x − x+

( )

M x = 2x4+ −x3 x2 +4x

3) x= −1 có là nghiệm của đa thức M x

( )

khơng? Tại sao?

Tại x= −1 ta có:

( )

2 4 4 3 2 1 2 4 1 1 5.

6 6 6

M x = x + x +x + = − + + = −

(26)

( )

3 2 1

8 6

F x = x+ − x b)

( ) (

)

(

)

1 7 5 2

G x = + x x −
Lời giải

a) Cho

( )

0 3 2 1 0 5 2 0 5 2 48.

8 6 24 24 5

F x = ⇒ x+ − x= ⇒ x+ = ⇒ x= − ⇒ = −x

Vậy nghiệm của đa thức F x

( )

là 48.
5

x= −

b) Cho

( )

(

)

(

)

2 2

1 7 0 7 1 ₇

0 1 7 5 2 0

5 2 0 5 2 2

x x

G x x x

x x

x
 = −


+ = = −

  _

= ⇒ + − = ⇒_ ⇒_ ⇒

− = = 

  _{= ±}


Vậy nghiệm của đa thức G x

( )

là 1; 2.

7 5

x= − x= ±

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm

của BH. Vẽđiểm N sao cho M là trung điểm của AN.

1) Chứng minh ∆AMH = ∆NMB NB; ⊥BC.
2) Chứng minh BN <BA.

3) Chứng minh rằng  BAM <MAH.

4) Gọi I là trung điểm của NC. Chứng minh rằng ba điểm A H I, , thẳng hàng.
Lời giải

1) Chứng minh ∆AMH = ∆NMB NB; ⊥BC.

M H

C
B

(27)

Xét ∆AMH và ∆NMB có:

MH =MB (gt)

MA=MN (gt)
 _AMH =_NMB (đđ)

Suy ra ∆AMH = ∆NMB c g c

(

. .

)

⇒ AHM =NBM = ° ⇒90 NB⊥BC.
2) Chứng minh BN<BA.

Từ ∆AMH = ∆NMB⇒AH =NB

Xét ∆AMH vuông tại H ⇒AH < AB
Suy ra NB< AB (đpcm).

3) Chứng minh rằng  BAM <MAH.
Xét ∆ABN

Có BN <AB (cmt) ⇒BAM <BNM (quan hệgiữa góc và cạnh đối diện trong tam

giác).

Mặt khác ∆AMH = ∆NMB⇒ MAH =MNB

Suy ra ⇒ BAM <MAH (đpcm).

4) Gọi I là trung điểm của NC. Chứng minh rằng ba điểm A H I, , thẳng hàng.
Xét ∆BNC vuông ta B có BI là đường trung tuyến nên IB=IC⇒I thuộc
đường trung trực của BC.

Theo giả thiết ∆ABC cân tại A, có AH là đường cao nên AH là đường trung

trực của BC.

Suy ra ba điểm A H I, , thẳng hàng.

Bài 4. (0,5 điểm) Tìm x y, ∈ đểbiểu thức sau có giá trịnguyên: 5.

xy x
M

xy x

+ +
=

+ +
Lời giải

Xét 5 4 1 1 1

4 4 4

xy x xy x

xy x xy x xy x

+ + + + +

= = = +

+ + + + + +

Đềbiểu thức 1 4 1

M xy x

xy x

∈ ⇔ ∈ ⇒ + + = ±

+ +

 

+ Nếu xy+ + = ⇔x 4 1 x y

(

+ = −1

)

3
Ta có

x -3 -1 1 3

y+ 1 3 -3 -1

y 0 2 -4 -2

(28)

Ta có

x -5 -1 1 5

y+ 1 5 -5 -1

y 0 4 -6 -2

Vậy cặp sốnguyên

( ) (

x y; = −3; 0 ;

) (

−1; 2 ; 1; 4 ; 3; 2 ;

) (

−

) (

−

) (

−5; 0 ;

) (

−1; 4 ; 1; 6 ; 5; 2 .

) (

−

) (

−

)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II
MÔN TOÁN LỚP 7

Thời gian:90 phút
PHẦN I : TRẮC NGHIỆM ( 2điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng
1. Đa thức 2

( )

3

6 f x

=

x

−

x

có nghiệm là :

A. x=0 B. x=0 à x=2v C. x=2 D. x = −2

2. Tích của hai đơn thứ_{c :} 1 3 2 2 3

à
2x y v 3xy

− _là:

A. 2 4 5

3x y

− B. 3 5

2 x y

−

1

4 5

4 x y

−

_{D. Một kết quả khác}
3. Bộnào trong các bộsau là 3 cạnh của tam giác vuông:

3 cm cm cm

,6

,5

3 cm cm cm

, 4

,5

4 cm cm cm

,5

,7

4 cm cm cm

, 2

,3

4. Cho ∆ABCđiểm M nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác ta có điểm
M là :

A. Trọng tâm của tam giác
B. Trực tâm của tam giác

C. Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác
D. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
PHẦN II: TỰ LUẬN ( 8 điểm)

Bài 1.( 2,5điểm)Cho các đa thức sau:
4 3 2

( )

2

3

2

5 f x

=

x

+

x

+

x

−

x

+

3 2 4

( )

2

4

2

1

(29)

1) Sắp xếp đa thức

f x g x

( ); ( )

theo lũy thừa giảm dần của biến. xác định bậc, hệsố

cao nhất, hệsốtựdo của đa thức

f x g x

( ); ( )

2) Tính a)

f x

( )

+

g x

( )

; b)

f x

( )

−

g x

( )

g x

( )

−

2 ( )

f x

3) Tìm nghiệm của đa thức

f x

( )

+

g x

( )

Bài 2.( 1,5điểm)Cho biết : 3 2 3 2

2

3

5

2 M

−

x y

+

x y

−

xy

+ =

x y

−

x y

−

1) Tìm đa thức M . Hãy xác định bậc của đa thức M

2) Tính giá trị của đa thức M khi x=1 và y= −1
Bài 3. ( 3,5điểm)Cho ∆MNPnhọn MN <MP. Đường cao MH.

1) So sánh NHv HPà  NMH =PMH

2) Trên HP lấy điểm Q sao cho NH =HQchứng minh

∆

NMQ

_cân

3) Kẻ QE⊥MP E( ∈MP)_kẻ PF ⊥MQ F( ∈MQ) chứng minh MH EQ PF, , đồng

quy

Bài 4 . ( 0,5điểm)Tìm x∈Z để biểu thức sau có giá trị ngun: 2 3
1

x
A

+
=

−
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II (ĐỀ 9)

MƠN TỐN LỚP 7
Thời gian: 90 phút
PHẦN I : TRẮC NGHIỆM ( 2điểm)

1. Đa thức 2

( )

3

6 f x

=

x

−

x

có nghiệm là :

A. x=0 B. x=0 à x=2v C. x=2 D. x = −2
Chọn : B

2. Tích của hai đơn thứ_{c :} 1 3 2 2 3

à
2x y v 3xy

− _là:

A. 2 4 5

3x y

− B. 3 5

2 x y

−

1

4 5

4 x y

−

_{D. Một kết quả khác}
Chọn : D

3. Bộnào trong các bộsau là 3 cạnh của tam giác vuông:

3 cm cm cm

,6

,5

3 cm cm cm

, 4

,5

4 cm cm cm

,5

,7

4 cm cm cm

, 2

,3

Chọn: B

(30)

A. Trọng tâm của tam giác
B. Trực tâm của tam giác

C. Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác
D. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
Chọn : C

PHẦN II: TỰ LUẬN ( 8 điểm)
Bài 1.( 2,5điểm)Cho các đa thức sau:
4 3 2

( )

2

3

2

5 f x

=

x

+

x

+

x

−

x

+

3 2 4

( )

2

4

2

1 g x

= −

x

+

x

+

x

−

x

+

1) Sắp xếp đa thức

f x g x

( ); ( )

theo lũy thừa giảm dần của biến, xác định bậc, hệ số

cao nhất, hệsốtựdo của đa thức

f x g x

( ); ( )

2) Tính a)

f x

( )

+

g x

( )

; b)

f x

( )

−

g x

( )

g x

( )

−

2 ( )

f x

3) Tìm nghiệm của đa thức

f x

( )

+

g x

( )

Lời giải

1. 4 3 2

( )

2

3

5 f x

=

x

+

x

−

x

+

x

+

; bậc của đa thức là bậc 4 , hệsố1, hệsốtựdo là 5

4 3 2

( )

2

4

1 g x

= − −

x

+

x

+

x

+

bậc của đa thức là bậc 4 , hệsố -1, hệsốtựdo là 1

4 3 2

( )

2

3

5 ( )

2

4

1 __________________________

( )

0

7

6

7

6 f x

x

g x

x

f x

g x

x

=

+

−

+

= − −

+

=

+

+ =

+

4 3 2

( )

2

3

5 ( )

2

4

1 __________________________

( )

2

4 f x

x

g x

x

f x

g x

x

=

+

−

+

−

= − −

+

=

+

+ −

− +

4 3 2

( )

2

4

1 2 ( )

2

4

6

10 __________________________

( )

2 ( )

3

6

2

9 g x

x

f x

x

g x

f x

x

= − −

+

−

=

+

−

+

−

= −

+ −

+

+ − −

Nghiệm của đa thức: ( ) ( ) 7 6 0 7 6 6

7
f x +g x = x+ = ⇒ x= − ⇒ =x −

Bài 2.( 1,5điểm)Cho biết : 3 2 3 2

2

3

5

2

(31)

1) Tìm đa thức M . Hãy xác định bậc của đa thức M

2) Tính giá trị của đa thức M khi x=1 và y= −1

Lời giải

1) 3 2 3 2

2

3

5

2 M

−

x y

+

x y

−

xy

+ =

x y

−

x y

−

⇒ 3 3 2 3

(

2 )

(

3 )

2

5 M

=

x y

+

x y

+ −

x y

−

x y

+

xy

− −

3 3

3

4

7 M

=

x y

−

x y

+

xy

−

bậc của đa thức là bậc 4

2) khi x=1 và y= −1 thì

M

=

3.1 ( 1)

− −

4.1 ( 1) 1( 1)

− + − − = − + − − = −

7

3 4 1 7

7

Bài 3.

1. Ta có MN<MP. Xét 2 tam giác vuông ∆MNHvà ∆MPH

2 2 2 2 2 2

;

NH =NM −HM HP =MP −MH ⇒NH<HP

NH<HP Trên HP lấy điểm Q sao cho NH =HQ Nên điểmQ nằm giữa H và P

⇒

∆

MNH

= ∆

MQH

(c-g-c) ⇒

 

NMH

=

HMQ

mà

HMQ

 

<

HMP

nên

 
HMN < HMP

∆

MNH

= ∆

MQH

(c-g-c) ⇒

MN

=

MQ

( 2 cạnh tương ứng) ⇒

∆

NMQ

_cân_tại
M

3. Xét tam giác

∆

MQP

_có QE ⊥MP E( ∈MP)_;PF ⊥MQ F( ∈MQ) MH ⊥PQ nên

, ,

MH EQ PF cùng cắt nhau tại K ( theo tính chất 3 đường cao của một tam giác cùng cắt
nhau tại một điểm) nên MH EQ PF, , đồng quy

Bài 4 . ( 0,5điểm)Tìm x∈Z để biểu thức sau có giá trị nguyên: 2 3
1

x
A

+
=

−
Lời giải

2 3 2 2 5 5
2

1 1 1

x x

x x x

+ − +

= = = +

− − − đểA nguyên thì x− ∈1 Ư(5)=

{

± ±1; 5

}

Với x− = − ⇒ = − + =1 1 x 1 1 0

Với x− = ⇒ = + =1 1 x 1 1 2
Với x− = − ⇒ = − + = −1 5 x 5 1 4
Với x− = ⇒ = + =1 5 x 5 1 6

Vậy Với x=

{

0; 2; 4; 6−

}

thì A nguyên

N P

F
H

Q
E

(32)

KIỂM TRA: TOÁN 7 (HK II) - ĐỀ 10
LM - 09 - 10 (Đ2) - Thời gian: 60 phút
I. Phần trắc nghiệm (2 điểm): Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

1. Trong các câu sau, câu nào đúng? câu nào sai?

A. Muốn trừhai đơn thức đồng dạng, ta trừhệsố của đơn thức thứnhất cho hệsố của
đơn thức thứhai và giữnguyên phần biến chung.

B. Trong một tam giác đường trung trực là đường vng góc kẻtừđỉnh xuống cạnh đối
diện.

2.Giá trị x= −3không là nghiệm của đa thức nào trong các đa thức sau:

( )

f x = −x B. g x

( )

=x2+9

C. h x

( )

= +x 3 D. k x

( )

=x2+3x

3.Cho ∆MNP nhọn có MN<MP. Kẻ MH ⊥NPtại H, lấy điểm I nằm giữa Mvà H.

A. MNP <MPN B. HP<HN

C. IN <IP D. INH <IPH

II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)Cho các đơn thức: 6 3
2

A= − x y và

(

)

B= −x y y.
1. Thu gọn rồi tìm hệsố và bậc của đơn thức B.

2. Tính A B A B A B+ ; − ; . .
Bài 2. (2,5 điểm) Cho các đa thức sau:

( )

3 4 2 5

2 3 4

F x =x − x + x + − x

( )

4 2 3 1

2 3

G x = − x + x + + −x x

1. Sắp xếp các đa thức F x

( )

,G x

( )

theo lũy thừa giảm dần của biến. Tìm bậc, hệ

số

cao nhất, hệsốtựdo của chúng.

2. Tính: M x

( )

=F x

( )

+G x N x

( ) ( )

; =F x

( )

−G x

( )

3. Tìm nghiệm của đa thức N x

( )

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác MNPcân tại M, có đường cao MI. Trên tia đối của

tia NI lấy điểm A sao cho NA=NI . Lấy điểm B sao cho P là trung điểm của
MB.

1. Chứng minh rằng: I là trung điểm của NP và I cách đều hai cạnh MN MP, .
2. Chứng minh rằng: BI =MA.

(33)

Bài 4. (0,5 điểm) Cho biểu thức: 2₂2 1
2

x
B

+
=

− . Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức B

nhận giá trị nhỏ nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI KIỂM TRA: TOÁN 7 (HK II) - ĐỀ 10

LM - 09 - 10 (Đ2) - Thời gian: 60 phút

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm): Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

1. Trong các câu sau, câu nào đúng? câu nào sai?

A.Muốn trừhai đơn thức đồng dạng, ta trừhệsố của đơn thức thứnhất cho hệsố của
đơn thức thứhai và giữnguyên phần biến chung.

B.Trong một tam giác đường trung trực là đường vng góc kẻtừđỉnh xuống cạnh đối
diện.

Lời giải

A đúng

B sai vì đường trung trực là đường vng góc với cạnh tại trung điểm của cạnh đó.

2.Giá trị x= −3không là nghiệm củađa thức nào trong các đa thức sau:

( )

f x = −x B. g x

( )

=x2+9

C. h x

( )

= +x 3 D.

( )

k x =x + x
Lời giải

Chọn B

Vì

( ) ( )

3 3 9 18 0

g − = − + = ≠ ⇒ x= −3không là nghiệm của g x

( )

3.Cho ∆MNP nhọn có MN <MP. Kẻ MH ⊥NPtại H, lấy điểm I nằm giữa M và H.

A. MNP <MPN B. HP<HN

C. IN <IP D. INH <IPH

Lời giải

Chọn C

Trong ∆MNP: vì MN <MP⇒NH <PH(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Trong ∆INP: vì NH <PH⇒IN <IP(quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).

II. Tự luận (8 điểm)

H
M

N P

(34)

Bài 1. (1,5 điểm)Cho các đơn thức: 6 3
2

A= − x y và

(

)

B= −x y y.
1. Thu gọn rồi tìm hệsố và bậc của đơn thức B.

2. Tính A B A B A B+ ; − ; . .

Lời giải
1.

(

₃

)

2 ₆ ₂ ₆ ₃

5 5. . 5

B= −x y y= x y y= x y .
Hệ số của B:5.

Bậc của B: 9.

2. Ta có: 6 3 6 3 6 3

2 5 3

A B+ = − x y + x y = x y .

6 3 6 3 6 3

2 5 7

A B− = − x y − x y = − x y .

(

6 3

) (

6 3

)

12 6

. 2 . 5 10

A B= − x y x y = − x y .

Bài 2. (2,5 điểm) Cho các đa thức sau:

( )

3 4 2 5

2 3 4

F x =x − x + x + − x

( )

4 2 3 1

2 3

G x = − x + x + + −x x

1. Sắp xếp các đa thức F x

( )

,G x

( )

theo lũy thừa giảm dần của biến. Tìm bậc, hệ
số

cao nhất, hệsốtựdo của chúng.

2. Tính: M x

( )

=F x

( )

+G x

( ) ( )

;N x =F x

( )

−G x

( )

.
3. Tìm nghiệm của đa thức N x

( )

Lời giải

1. Sắp xếp các đa thức F x

( )

,G x

( )

theo lũy thừa giảm dần của biến

( )

3 4 2 5 4 3 2 5

2 3 4 2 3 4

2 2

F x =x − x + x + − x= − x + +x x − x+

Bậc: 4.

Hệ số cao nhất:–2.
Hệ số tự do: 5

( )

4 2 3 1 4 3 2 1

2 3 2 3

2 2

G x = − x + x + + − = −x x x + +x x + −x

Bậc: 4.

Hệ số cao nhất : –2.
Hệ số tự do: 1

(35)

2. Tính: M x

( )

=F x

( )

+G x

( ) ( )

;N x =F x

( )

−G x

( )

4 3 2 5 4 3 2 1

2 3 4 2 3

2 2

M x =F x +G x = −_ x +x + x − x+  _{ }+ − x +x + x + −x _

   

( )

(

4 4

) (

3 3

) (

2 2

)

(

)

5 1

2 2 3 3 4

2 2

M x = − x − x + x +x + x + x + − +x x +_ − _

 

( )

4 3 2

4 2 6 3 2

M x = − x + x + x − x+ .

( )

4 3 2 5 4 3 2 1

2 3 4 2 3

2 2

N x =F x −G x = −_ x +x + x − x+  _{ }− − x +x + x + −x _

   

( )

4 3 2 5 4 3 2 1

2 3 4 2 3

2 2

N x = −_ x +x + x − x+  _{ }+ x −x − x − +x _

   

( )

(

4 4

) (

3 3

) (

2 2

)

(

)

5 1

2 2 3 3 4

2 2

N x = − x + x + x −x + x − x + − −x x +_ + _

 

( )

5 3

N x = − +x .

3. Tìm nghiệm của đa thức N x

( )

0 5 3 0

N x = ⇒ − + =x

5x 3

− = −

3
5

Bài 3. Cho tam giác MNP cân tại M , có đường cao MI. Trên tia đối của

tia NI lấy điểm A sao cho NA=NI . Lấy điểm B sao cho P là trung điểm của
MB.

1. Chứng minh rằng: I là trungđiểm của NP và I cách đều hai cạnh MN MP, .
2. Chứng minh rằng: BI =MA.

3. Gọi C là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm M I C, , thẳng hàng.
Lời giải

B
A

(36)

1. Xét hai tam giác vng MINvà MIP có:

MN =MP (Vì ∆MNP cân tạiM )

 

MNI =MPI (Vì ∆MNP cân tạiM )

Vậy: ∆MIN = ∆MIP (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ IN=IP (hai cạnh tương ứng)

⇒ I là trung điểm của NP

Vì ∆MIN = ∆MIP(cmt) ⇒ NMI =PMI (hai góc tương ứng)

⇒MI là tia phân giác của NMP

⇒ I cách đều hai cạnh MN MP, .

2. Ta có: MNI =MPI (Vì ∆MNP cân tạiM )

Mà MNI +MNA=180° (hai góc kề bù)
MPI +IPB=180° (hai góc kề bù)

⇒MNA =IPB

Ta có : PM =PB (P là trung điểm của MB)

MN =MP (Vì ∆MNP cân tạiM )

⇒MN =PB.

Ta có:

(

)

( )

IN IP cmt

IP NA
IN NA gt

= _

⇒ =



= _

Xét hai tam giác MNA và BPI có:

MN =PB (cmt)
 

MNA=IPB (cmt)

IP=NA(cmt)
Vậy: ∆MNA= ∆BPI (c – g – c)
⇒ BI =MA (hai cạnh tương ứng).

3. Ta có: 2

IN =IP=NA⇒ AI = AP

Trong ∆MAB có: AP là đường trung tuyến và 2

AI = AP

⇒ I là trọng tâm ∆MAB (1)

Vì Clà trung điểm của AB⇒ MC là đường trung tuyến

⇒ MC đi qua I hay ba điểm M I C, , thẳnghàng (đpcm).
Bài 4. Cho biểu thức: 2₂2 1

x
B

+
=

(37)

Lời giải
2

2 2

2 1 5

2
2 2
x
B
x x
+

= = +
− − .

Vì 2 ₂5

= +

− nên Bcó GTNN ⇔ 2
5

x − có GTNN.

Với 2
2

x > thì ₂5 0
2

x − > ; với

2
2

x < thì ₂5 0
2

x − < .

Vậy ta chỉ xét những giá trị 2
2

x <

2
5

x − có GTNN ⇔ 2

2−x có GTLN ⇔

2−x có GTNN (vì 5 ₂ 0
2−x > )

⇔ 2

x có GTLN ⇔ x2 = ⇔ = ±1 x 1 (vì x∈;x2 <2).

Khi đó, GTNN của 2 1 3

1 2

B= + = −

− (khi x= ±1).

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN

MƠN TỐN LỚP 7 (2014-2015)
Thời gian: 60 phút

I.Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

1 . (0,5đ) Kết quảthu gọn của đơn thức 3 2

(

)

. .

4x y xy 3y

₋  ₋  

   

    là:
A. 1 4 3

2x y

− . B. 1 4 3

2x y . C.

3 4

2x y . D.

3 4

1
2 x y

− _.

2 . (0,5đ)Giá trị của biểu thức 3 2

B=x − +x 1tại x= −1là:

A. 4. B. 0. C. -1. D. 6.
3 . (0,5đ)Cho ∆ABCcó Aˆ = °50 ,Bˆ=70° thì:

A. AB<AC<BC. B. BC< AB< AC. C. AC<BC<AB. D.
AB<BC< AC.

4 . (0,5đ)Cho ∆ABC, có AM là trung tuyến và G là trọng tâm, ta có:

A. 1

GM = . B. 3

GM = . C.

2
3

AG = . D.

1
3

GM
GA = .

II.Tự luận (8điểm)

Bài 1. (1,5điểm)Cho đa thức 5 4 5 4 3 2

( ) 4 3 4 8 2

f x = − −x x + x +x −x + x + − x

(38)

Bài 2. (1điểm)Cho hai đa thức 3 2

P(x)=2x +2x−3x +1 và Q(x)=3x2− −5 2x3−x.

1. Tính P(x) Q(x)+ .

2. Tính P(x)-Q(x).

Bài 3. (1,5 điểm)Tìm nghiệm của các đa thức sau:

A(x)=7x+3, B(x)=3x2−2 ,x C(x)= + −4 3 4x

Bài 4.(3,5 điểm)Cho ∆ABC vuông tại B (BA<BC).Trên cạnh AClấy điểm M sao cho
.

AB= AM Đường vng góc với AC tại M cắt BCtại N. Chứng minh:

1. ∆ABN = ∆AMN.

2. Gọi K là giao điểm của ANvà BM. Chứng minhAKlà trung tuyến của ∆ABM

3. Gọi Hlà hình chiếu của BtrênAC. Chứng minh BM là tia phân giác của HBN.
4. Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngồi tại đỉnh C của ∆ABCcắt tiaAN tại

E Tính ABE.

Bài 5.(0,5 điểm)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 13 2

A (x 1) .
41

= − − +

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN
MƠN TỐN LỚP 7 (2014-2015)

Thời gian: 60 phút
I.Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

1 . (0,5đ) Kết quảthu gọn của đơn thức 3 2

(

)

. .

4x y xy 3y

₋  ₋  

   

    là:
A. 1 4 3

2x y

− . B. 1 4 3

2x y . C.

3 4

2x y . D.

3 4

1
2 x y

− _.

Lời giải
Chọn C

Ta có: 3 2

(

)

2 3 2 2 2 1 3 4

. . . .

4x y xy 3y 4 3 x y xy y 2x y

₋  ₋  ₌ ₌

   

    .

2 . (0,5đ)Giá trị của biểu thức 3 2

B=x − +x 1tại x= −1là:

A. 4. B. 0. C. 1 . D. 6.
Lời giải

Chọn C

Với

( ) ( )

3 2

1 B 1 1 1 1 1 1 1

x= − ⇒ = − − − + = − − + = − .

(39)

A. AB<AC<BC. B. BC< AB< AC. C. AC<BC<AB. D.
AB<BC< AC.

Lời giải
Chọn B

Ta có _Aˆ_{+ + =}_Bˆ _Cˆ ₁₈₀_{° ⇒ =}_Cˆ ₁₈₀_{° −}₍_Aˆ₊_Bˆ₎₌₁₈₀_{° −}₍₅₀_{° + ° =}_{70 )} ₆₀_°.

ˆ ˆ ˆ

A C B BC AB AC

⇒ < < ⇒ < < .

4 . (0,5đ)Cho ∆ABC, có AM là trung tuyến và G là trọng tâm, ta có:

A. 1

GM = . B. 3

GM = . C.

2
3

AG = . D.

1
3

GM
GA = .

Lời giải

Chọn B

Theo tính chất đường trung tuyếntrong tam giác.
II.Tự luận (8điểm)

Bài 1. (1,5điểm)Cho đa thức 5 4 5 4 3 2

( ) 4 3 4 8 2

f x = − −x x + x +x −x + x + − x

1. Thu gọn, sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
2. Xác định bậc, hệsốcao nhất, hệsốtựdo của đa thức.

Lời giải
Bài 2. (1điểm)Cho hai đa thức 3 2

P(x)=2x +2x−3x +1 và Q(x)=3x2− −5 2x3−x.

1. Tính P(x) Q(x)+ .

2. Tính P(x)-Q(x).

Lời giải

Ta có: 3 2 3 2

P(x)=2x +2x−3x + =1 2x −3x +2x+1 và

Q(x)=3x2− −5 2x3− = −x 2x3+3x2− −x 5

1. 3 2 3 2

P(x)+Q(x)=2x −3x +2x+ −1 2x +3x − − = −x 5 x 4.

2. 3 2 3 2 3 2

P(x)-Q(x)=2x −3x +2x+ − −1 ( 2x +3x − − =x 5) 4x −6x +3x+6.
Bài 3. (1,5 điểm)Tìm nghiệm của các đa thức sau:

A(x)=7x+3, B(x)=3x2−2 ,x C(x)= + −4 3 4 .x

Lời giải

3
A(x) 0 7 3 0

x x −

= ⇔ + = ⇔ = .

0
0

B(x) 0 3 2 0 (3 2) 0 ₂

3 2 0

x
x

x x x x

x x

=

=

 _

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔_ ⇔



− = =

 _ .

(40)

Bài 4.(3,5 điểm)Cho ∆ABC vuông tại B (BA<BC).Trên cạnh AClấy điểm M sao cho
.

AB=AM Đường vng góc với AC tại Mcắt BCtại N . Chứng minh:

1. ∆ABN = ∆AMN.

2. Gọi K là giao điểm của ANvà BM . Chứng minhAKlà trung tuyến của ∆ABM

3. Gọi Hlà hình chiếu của BtrênAC. Chứng minh BM là tia phân giác của
_.

HBN

4. Đường thẳng chứa tia phân giác của góc ngồi tại đỉnh C của ∆ABCcắt tiaAN

tại E.Tính ABE.

Lời giải

1. Theo giảthiết ∆ABC là tam giác vuông tại Bnên ∆ABNvuông tại B. Mặt khác

MN ⊥AC⇒MN ⊥ AM ⇒ ∆AMN là tam giác vuông tại M .

Xét 2 tam giác vng ∆ABNvà ∆AMNta có:
AN cạnh chung.

(gt)

AB=AM .
ABN AMN

⇒ ∆ = ∆ (cạnh huyền, cạnh góc vng) (đpcm).
 

 
(1)

(2)
(3)

NAB MAN

BNA ANM

BN MN

 ₌



⇒_ =

 ₌



2. Ta có AB= AM(gt)nên ∆ABM cân tạiA.

Mặt khác do (2) nên AN là đường phân giác của ∆ABM .

Theo giảthiết AN∩BM = ⇒K AKlà phân giác và cũng là đường trung tuyến của

ABM

∆ .

(41)

Theo giảthiết BH AC BH//NM HBM BMN

NM AC

⊥

 _⇒ _⇒ ₌

 _⊥

 (5) (so le trong).

Từ(4) và (5) ⇒ NBM =HBM ⇒BM là tia phân giác của NBH.

4. Kẻ EI ⊥AB EQ, ⊥ AC EP, ⊥BC.

Ta có: NAM =NAB⇒EAQ =EAI _vàAE là cạnh chung của ∆EIA,∆EQA
EIA EQA

⇒ ∆ = ∆ ( góc nhọn, cạnh huyền) ⇒EI =EQ(2 cạnh tương ứng).

Mặt khác ∆ECP= ∆ECQ( theo trường hợp cạnh huyền, góc nhọndoEClà cạnh của

chung của ∆ECP,∆ECQ vàECcũng là tia phân giác của góc ngồi tại đỉnh Cnên

 

ECQ=ECP)

Từ ∆ECP= ∆ECQ⇒EP=EQ⇒EI =EP=EQ

Xét ∆EIBvà∆EPB ta có: EI =EP, EB là cạnh chung
 

EIB EPB EBI EBP EB

⇒ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ là tia phân giác của IBP

    90

2 2

IBP

EBI EBP EBN °

⇒ = = = = = °

    _ABE _ABC _CBE _ABC _NBE ₉₀ ₄₅ ₁₃₅ _ABE ₁₃₅

⇒ = + = + = ° + ° = ° ⇒ = °

Cách 2.Xét ABC có EA là tia phân giác trong của góc BAC và EC là tia phân

giácngồi góc ACB và EA EC 

 

E nên E là tâm đường trịn bàng tiếp góc



BAC EB là tia phân giác ngồi góc ABC EBC 45

   ₉₀ ₄₅ ₁₃₅

EBA EBC CBA

        .
Bài 5.(0,5 điểm)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A (x 1) .
41

= − − +

Lời giải

Ta có 2 2 13 2 13 13

(x 1) 0 (x 1) 0 (x 1) A

41 41 x 41

+ ≥ ⇒ − + ≤ ⇒ − − + ≤ − ∀ ⇒ ≤ − .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 13
41

− .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉkhi 2

(x 1)+ = ⇒ + = ⇒ = −0 x 1 0 x 1.

ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG NGHĨA TÂN

MƠN TỐN LỚP 7 (2007-2008)
Thời gian: 60 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (2 điểm)

Hãy khoanh tròn vào chữcái đứng trước mỗi câu trả lời đúng:

Câu 1. Tổng của đa thức 2

(42)

A. −3y+3 B. y+3 C. 2x2−3y+3 D. 2x2−3y+1.
Câu 2. Đa thức

( )

f x =x + x có nghiệm là:

A. x=0. B. x=0 và x=2.
C. x=0 và x= −2. D. x=0và x= ±2.

Câu 3. Trong bộ ba các đoạn thẳng sau, bộ ba các đoạ thẳng nào không thể là ba cạnh
của một tam giác

A. 6cm; 7cm; 8cm B. 3cm; 4cm; 5cm C. 4cm; 5cm; 6cm D. 4cm; 2cm; 3cm.
Câu 4. Cho ∆ABC, có AM là trung tuyến và G là trọng tâm. Tỉsố GM

AM là:
A. 1

2 B.

3 C.
1

4 D.
2
3.
PHẦN II. TỰ LUẬN: (8 điểm)

Bài 1. (1, 5 điểm) Cho đa thức:

( )

2
3

f x = −x x

1) Tính f

 

1 .

2) Xác định hệsốcao nhất, hệsốtựdo của đa thức f x

( )

3) Tìm nghiệm của đa thức f x

( )

Bài 2. (2,5 điểm)Cho hai đa thức

( )

₃ 2 ₆ 4 ₃ 3 ₂ 5 2 ₂ 3

P x = x + +x − x − x −x + x

( )

3 5 4 2 3

2 2 4 1

Q x = − +x x −x −x + x + x−

1) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹthừa giảm của biến.
2) Tính P x

( )

+Q x

( )

3) Chứng tỏđa thức P x

( )

+Q x

( )

khơng có nghiệm.

Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường phân giác BE. Trên tia BC lấy

điểm H sao cho BH =BA. Gọi K là giao điểm của AB và EH.
1) Chứng minh: AE=HE.

2) Chứng minh: BE⊥CK.

3) Chứng minh: AE<EC.

4) Tam giác ABC cần thêm điều kiệngì thì tam giác BKC đều.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG NGHĨA TÂN
MƠN TỐN LỚP 7 (2007-2008)

(43)

Hãy khoanh tròn vào chữcái đứng trước mỗi câu trả lời cho là đúng nhất.

Câu 1. Tổng của đa thức 2

x − +y và x2−2y+1 là:

A. −3y+3 B. y+3 C. 2x2−3y+3 D. 2x2−3y+1.
Lời giải

Chọn C

2 2 2

2 2 1 2 3 3

x − + +y x − y+ = x − y+ .

Câu 2. Đa thức

( )

3
4

f x =x + x có nghiệm là:

A. x=0. B. x=0 và x=2.
C. x=0 và x= −2. D. x=0và x= ±2.

Lời giải
Chọn A

4 0

x + x= ⇒x x

(

2+4

)

=0 ₂ 0

4 0

x
x

=


⇒  _{+ =}

 2

4 (VL)

=

⇒  _{= −}

 .

Câu 3. Trong bộ ba các đoạn thẳng sau, bộ ba các đoạ thẳng nào không thể là ba cạnh
của một tam giác

A. 6cm; 7cm; 8cm B. 3cm; 4cm; 5cm C. 4cm; 5cm; 6cm D. 1cm; 2cm; 3cm.
Lời giải

Chọn D

Nhận xét ba sốdương a b c, , là ba cạnh của một tam giác nếu thỏa mãn đồng thời
các bất đẳng thức tam giác sau: a  b c ; b c a ; b c a .

Ba phương án đầu A, B, C đều thỏa mãn.

Phương án D, có 1 2  3 (Khơng thoảmãn BĐT tam giác).
Câu 4. Cho ∆ABC, có AM là trung tuyến và G là trọng tâm. Tỉsố GM

AM là:
A. 1

2 B.

3 C.
1

4 D.
2
3.

Lời giải
Chọn B

Theo định lý tính chất ba đường trung tuyến trong tam.
PHẦN II. TỰ LUẬN: (8 điểm)

Bài 1. (1, 5 điểm) Cho đa thức:

( )

2
3

f x = −x x .

1) Tính f

 

1 .

2) Xác định hệsốcao nhất, hệsốtựdo của đa thức f x

( )

(44)

Lời giải
1)Ta có

( ) ( ) ( )

1 1 3 1 4

f − = − − − = − .

2) Hệsốcao nhất là: −3. Hệsốtựdo là: 0.
3) Ta có: f x

( )

=0 2

3 0

x x

⇔ − = ⇔ x

(

1 3− x

)

=0 0

1 3 0

x
x

 


   _ 01
3
x
x
 




 

Bài 2. (2,5 điểm)Cho hai đa thức

( )

2 4 3 5 2 3

3 6 3 2 2

P x = x + +x − x − x −x + x

( )

3 5 4 2 3

2 2 4 1

Q x = − +x x −x −x + x + x−

1) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹthừa giảm của biến.
2) Tính P x

( )

+Q x

( )

3) Chứng tỏđa thức P x

( )

+Q x

( )

khơng có nghiệm.

Lời giải

1) Ta có:

( )

2 4 3 5 2 3 5 4 3 2

3 6 3 2 2 2 2 6

P x = x + +x − x − x −x + x = − x +x − +x x +

Q x

( )

= − +x3 2x5−x4−x2+2x3+4x− =1 2x5−x4+x3−x2+4x−1
2) Có

( )

5 4 3 2 5 4 3 2 2

2 2 6 2 4 1 4 5

P x +Q x = − x +x − +x x + + x −x +x −x + x− =x + x+ .

3) Ta có: P x

( )

+Q x

( )

=0
2

4 5 0

x x

⇒ + + =

2 2 5 0

x x x

⇒ + + + =

(

) (

2 2

)

1 0

x x x

⇒ + + + + =

(

)

2 1 0

⇒ + + =

(

)

2 1

⇒ + = − (vô lý) ⇒P x

( )

+Q x

( )

≠ ∀ ∈0, x .

Vậy đa thức P x

( )

+Q x

( )

khơng có nghiệm.

Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường phân giác BE. Trên tia BC lấy

điểm H sao cho BH =BA. Gọi K là giao điểm của AB và EH.
1) Chứng minh: AE=HE.

2) Chứng minh: BE⊥CK.

3) Chứng minh: AE<EC.

4) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tam giác BKC đều.

(45)

1) Xét ∆BAE và ∆BHE có:

BA=BH (gt)

 B1=B2(BE là phân giác)
BE chung.

⇒ ∆BAE= ∆BHE(c.g.c)

⇒AE=HE.

2) Vì ∆BAE= ∆BHE(cmt) ⇒ BAE=BHE hay  BAC=BHK = °90 ⇒KH ⊥BC

Xét ∆BKC có: CA là đường cao (CA⊥BK)

KH là đường cao (KH ⊥BC)

{ }

KH ∩CA= E
E

⇒ là trực tâm tam giác

BE CK

⇒ ⊥

3) Xét ∆EHC có EHC= °90 (BHK= °90 )

EHC

⇒ ∆ vuông tại H

⇒ là cạnh huyền, EH là cạnh góc vng

EH EC

⇒ < mà EH = AE (cmt) ⇒AE<EC.

4) Xét ∆BKC có: BE là phân giác, BE⊥CK
BKC

⇒ ∆ cân tại B

Để ∆BKC đều thì KBC= °60 ⇒ABC= °60 .

Vậy ∆ABC vng tại A có ABC= °60 thì ∆BKC đều.

ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG THĂNG LONG

MƠN TỐN LỚP 7 (2006-2007)
Thời gian: 120 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (3điểm)

(46)

Câu 1. Tam giác ABC vng ở Bcó: AC =15cm AB; =9cm thì:

A.   B> >C A B.   A> >B C C. C  > >A B D.   B> >A C.

Câu 2. Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác thì:
A. Cách đều ba cạnh của tam giác đó.

B. Cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng 1

3 trung tuyến đi qua đỉnh đó.

C. Cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng 2

3 trung tuyến đi qua đỉnh đó

D. Cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Câu 3. Một tam giác cân có góc ởđáy bằng 55° thì góc ởđỉnh có sốđo là:

A. 55° B. 70° C. 100° D. 110°.
Câu 4. Đa thức f x( )=3x−a. Giá trị của a đểnghiệm của đa thức bằng 1 là:

A. a= −3 B. a=0 C. a=1 D. a=3.
Câu 5. Tích của hai đơn thức 1 2 3

3x y

− và 3 4

6x y

− là:
A. 6 12

2x y B. 6x y6 12 C. 2x y5 7 D. Một kết quảkhác

Câu 6. Đa thức _{A x}

( )

=_{9 .}_{x x}−₃2_x2+₂_x−₇ có bậc là:

A. 4 B. 1 C. 2 D. Một kết quảkhác.
PHẦN II. TỰ LUẬN: (7điểm)

Bài 1. (1 điểm) Thời gian giải một bài tốn (tính theo phút) của 35 học sinh được ghi
trong bảng sau:

3 9 7 8 10 9 6

4 10 8 8 10 9 5

7 8 6 6 8 8 8

8 8 10 5 8 7 8

7 4 9 6 4 7 9

1) Lập bảng tần sốvà rút ra một sốnhận xét

2) Tính sốtrung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
Bài 2. (2,5 điểm)Cho hai đa thức

( )

3 2

2 3

7 3

6 7 25

A x x x x

B x x x x

= − + +

= − + − −

(47)

2) Tính

( )

2 ; 2
3

C − C_− _
  .
3) Tìm x để A x

( )

=B x

( )

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân ởA A

(

 > °90

)

. Trên cạnh AB AC, lần lượt lấy

các điểm M và N sao cho AM =AN . Gọi O là giao điểm của CM và BN .

Chứng minh rằng:
a) ∆ABN= ∆ACM .

b) OM =ON .

c) AO⊥BC .

d) OB OC+ >AB .

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG THĂNG LONG
MƠN TỐN LỚP 7 (2006-2007)

Thời gian: 60 phút
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (4 điểm)

Hãy khoanh tròn vào chữcái đứng trước mỗi câu trả lời cho là đúng nhất.

Câu 1. Tam giác ABC vng ở Bcó: AC =15cm AB; =9cm thì:

A.   B> >C A B.   A> >B C C. C  > >A B D.   B> >A C.

Lời giải
Chọn D

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng ABC ta có:

2 2 2

2 2

2 2 2

15 9 144
12

AC AB BC

BC AC AB

BC
BC

= +

⇒ = −

= − =

Trong tam giác ABC ta có: AC >BC> AB ( Vì 15 12> >9) nênB  > >A C .

Câu 2. Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác thì:
A. Cách đều ba cạnh của tam giác đó.

B. Cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng 1

3 trung tuyến đi qua đỉnh đó.

C. Cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng 2

3 trung tuyến đi qua đỉnh đó.

D. Cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

(48)

Chọn A

Vận dụng tính chất ba đường phân giác trong tam giác.

Câu 3. Một tam giác cân có góc ởđáy bằng 55° thì góc ởđỉnh có sốđo là:

A. 55° B. 70° C. 100° D. 110°.
Lời giải

Chọn B

Vì tam giác là tam giác cân nên 2 góc ởđáy bằng nhau. Theo giả thiết góc ởđáy
bằng 55°nên góc ởđỉnh có sốđo là: 180° − ° − ° = °55 55 70 .

Câu 4. Đa thức f x( )=3x−a. Giá trị của a đểnghiệm của đa thức bằng 1 là:

A. a= −3 B. a=0 C. a=1 D. a=3.
Lời giải

Chọn D

Đểđa thức có nghiệm bằng 1 thì f

( )

1 =0 ⇒3.1− = ⇒ =a 0 a 3.
Câu 5. Tích của hai đơn thức 1 2 3

3x y

− và 3 4

6x y

− là:
A. 6 12

2x y B. 6x y6 12 C. 2x y5 7 D. Một kết quả

khác

Lời giải
Chọn C

(

)

( )

2 3 3 4 2 3 3 4 5 7

1 1

6 . 6 . . . 2

3x y x y 3 x x y y x y

₋  ₋ _{= −} ₋  ₌

  _ _

    .

Câu 6. Đa thức

( )

2 2

9 . 3 2 7

A x = x x− x + x− có bậc là:

A. 4 B. 1 C. 2 D. Một kết quả

khác.

Lời giải
Chọn B

Đa thức A x

( )

chưa ở dạng thu gọn. Ta thu gọn:

( )

2 2 2 2

9 . 3 2 7 9 9 2 7 2 7

A x = x x− x + x− = x − x + x− = x−

Vậy của đa thức là bậc 1.
PHẦN II. TỰ LUẬN: (7điểm)

(49)

3 9 7 8 10 9 6

4 10 8 8 10 9 5

7 8 6 6 8 8 8

8 8 10 5 8 7 8

7 4 9 6 4 7 9

2) Tính sốtrung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu
Lời giải

1) Bảng tần số:
Giá trị
(x)

3 4 5 6 7 8 9 ₁₀

Tần số 1 3 2 4 5 11 5 4 N=35

Nhận xét:

- Thời gian giải bài toán nhanh nhất là 3 phút.
- Thời gian giải bài toán chậm nhất là 10 phút.

- Sốhọc sinh giải bài toán từ6 đến 10 phút chiếm tỉ lệcao.
2) 3.1 4.3 5.2 6.4 7.5 8.11 9.5 10.4 7, 34

X = + + + + + + + ≈

M =

Bài 2. (2,5 điểm)Cho hai đa thức

( )

3 2

2 3

7 3

6 7 25

A x x x x

B x x x x

= − + +

= − + − −

1) TínhC x

( )

=A x

( )

+B x

( )

2) Tính

( )

2 ; 2
3

C − C_− _
  .
3) Tìm x để A x

( )

=B x

( )

Lời giải
1)

( )

3 2

3 7

6 7 25
2 3 14 25

A x x x x

B x x x x

C x x x x

= + −

= − − −

( )

2 2. 2 3. 2 14 2 25

(50)

= − − +16 12 28 25−
= −25

3 2

2 2 2 2

2. 3. 14. 25

3 3 3 3

C_− _= _− _ − _− _ − _− _−

       

16 12 28 25
27 9 3

−

= − + −

475
27

= −

3) Để A x

( )

=B x

( )

thì: x3+3x2 −7x=x3−6x2−7x−25

(

) (

)

(

)

3 2 3 2

3 3 2 2

3 7 6 7 25

3 7 6 7 25 0

3 6 7 7 25 0

9 25 0

9 25

x x x x x x

x
x

+ − = − − −

+ − − + + + =

− + + + − + + =

+ =

= −

2 25

x = − (Vơ lý vì x2 ≥0 với mọi giá trị của x)
Vậy khơng tìm được giá trị của x để A x

( )

=B x

( )

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân ởA A

(

 > °90

)

. Trên cạnh AB AC, lần lượt lấy

các điểm M và N sao cho AM =AN . Gọi O là giao điểm của CM và BN .

Chứng minh rằng:
a) ∆ABN= ∆ACM .

b) OM =ON .

c) AO⊥BC .

d) OB OC+ >AB .

Lời giải
GT _∆_ABC_{cân tại} _{A A}

(

 _{> °}₉₀

)

, :

M∈AB N∈AC AM =AN

O là giao điểm của CM và BN

KL a) ∆ABN = ∆ACM

b) OM =ON

c) AO⊥BC

d) OB OC+ > AB

(51)

a) Xét ∆ABN và ∆ACM có:

AB=AC ( Vì ∆ABC cân tại A )
_A _chung

( )

AM = AN gt

( . . )

ABN ACM c g c

⇒ ∆ = ∆

b) ∆ABN = ∆ACM cmt( )

 

ABN ACM

⇒ = ( 2 góc tương ứng) hay MBO =NCO

và  ANB=AMC ( 2 góc tương ứng) (1)

mà ANB kề bù với ONC ; AMC kề bù với OMB (2)

Từ(1) và (2)suy ra ONC =OMB

Lại có AB=AC (Vì ∆ABC cân tại A)

AM = AN gt( )

AB AM AC AN
hay MB NC

⇒ − = −

Xét ∆OMB và ∆ONC có:

 ₍ ₎

ONC=OMB cmt

( )

MB=NC cmt

 ₍ ₎

MBO=NCO cmt

( . . )

OMB ONC g c g

⇒ ∆ = ∆

OM ON

⇒ = (2 cạnh tương ứng)
c) Kéo dài AO cắt BC tại H.

Xét ∆AOM và ∆AON có:

( )
(cmt)

AM AN gt
OM ON

AO là cạnh chung

( . . )

AOM AON c c c

⇒ ∆ = ∆

 

MAO NAO

⇒ = ( 2 góc tương ứng) hay BAH =CAH
AH

⇒ là tia phân giác của BAC .

Xét ∆ABC cân tại A có AH là tia phân giác của BAC ⇒AH cũng là đường cao tại

đỉnh A

AH BC hay AO BC

⇒ ⊥ ⊥ .

d) Trong ∆OBC ta có OB OC+ >BC (3)
ABC

∆ có A> °90 nên A là góc lớn nhất trong tam giác, do đó A> ⇒C BC>AB (4)

(52)

ĐỀ THI HỌC KÌ II 5-T7-HK2- TRƯỜNG LOMONOXOP
MƠN TỐN LỚP 7 (2010-2011)

Thời gian: 60 phút
I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

Câu 1. Trong các câu sau, câu nào đúng? câu nào sai?

A. Có duy nhất một đường xiên kẻ từ một điểm Ađến
đường thẳng d(Anằm ngoài đường thẳng d).

B. Trong một tam giác đều, trực tâm các đều ba đỉnh.
C. 2 3

3x y và 3x y3 2là hai đơn thức đồng dạng.
D. Đa thức 2

x + có nghiệm x= −1.

Câu 2.Giá trị của biểu thức 4

2x −5ytại x= −1;y=4là:

A. −28. B. −22. C. −18. D. −12.

Câu 3.Tích của hai đơn thức 2

4xy và 3

( )

2 3

4 x y

− là:

A. 7 5
3x y

− . B. 6 5
3x y

− . C. 4 5
3x y

− . D. 3 5
3x y

− .
Câu 4. Cho ∆ABCcó AM là đường trung tuyến, Glà trọng tâm. Biết AG=6 cm, độ dài

GMbằng:

A. 2 cm. B. 3 cm. C. 4 cm. D. 6 cm.
Câu 5.Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB,lấy hai điểm phân biệt M N, . Khi đó:

A. AMN ≠BMN. B.
ANM ≠BNM .

C. ∆MAN = ∆MBN . D. Cả3 đều sai.

II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) 1 (2 1 )

2x− 3−4x b)

(

)

2 2

2 (3 12 )

x + − x
Bài 2.(3 điểm) Cho hai đa thức

3 5 2

5 2 4 3

( ) 5 2 7 2

( ) 2 3 5 8

M x x x x x

N x x x x x x

= − + + − +

= − − − + −

1) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định bậc, hệ
sốcao nhất, hệsốtựdo của chúng.

2) Tính theo cột dọc: M x( )−N x M x( ); ( )+2 ( ).N x

(53)

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác ABCvng ởA,có C = °, đường cao 30 AH. Trên đoạn HC

lấy điểm Dsao cho HD=HB.Từ Ckẻ CEvng góc với đường thẳng

(

)

AD E∈AD

1. Chứng minh rằng: ∆ABH = ∆ADH.

2. Chứng minh rằng: ∆ABDđều.

3. Chứng minh rằng: AH =EC.

4. Gọi giao điểm củaAHvà CElà I. Chứng minh rằng ID⊥ AC.
5. Chứng minh rằng: HE//AC.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I KÌ II 5-T7-HK2- TRƯỜNG LOMONOXOP

MƠN TỐN LỚP 7 (2010-2011)
Thời gian: 60 phút

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)
Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

Câu 1. Trong các câu sau, câu nào đúng? câu nào sai?

A. Có duy nhất một đường xiên kẻ từ một điểm Ađến đường thẳng d(Anằm
ngoài đường thẳng d).

B. Trong một tam giác đều, trực tâm các đều ba đỉnh.
C. 2 3

3x y và 3x y3 2là hai đơn thức đồng dạng.
D. Đa thức 2

x + có nghiệm x= −1.

Lời giải
Chọn C

Đáp án A- S.
Đáp án B- Đ.
Đáp án C- S.

Đáp án D- S.

Câu 2.Giá trị của biểu thức 4

2x −5ytại x= −1;y=4là:

A. −28. B. −22. C. −18. D. −12.

Lời giải
Chọn C

Thay x= −1;y=4vào biểu thức 4

2x −5yta có 2

( )

−1 4−5.4= −18

Câu 3.Tích của hai đơn thức 2

4xy và 3

( )

2 3

4 x y

(54)

A. 7 5
3x y

− . B. 6 5
3x y

− . C. 4 5
3x y

− . D. 3 5
3x y

− .

Lời giải
Chọn A

Ta có

(

₂

)

( )

₂ 3

4 .
4

xy _− x y _

 

(

)

2 3 6 3

4 .
4

xy  x y 

= _− _

 

(

)

6 2 3

.4 . . ).( .
4 x x y y

 

= −_ _

 

7 5
3x y
= − .
Câu 4 . Cho ∆ABCcó AMlà đường trung tuyến, Glà trọng tâm. Biết AG=6 cm, độ dài

GMbằng:

A. 2 cm. B. 3 cm. C. 4 cm. D. 6 cm.

Lời giải

Chọn B

Theo tính chất của đường trung tuyến ta có 1 1.6 3

( )

2 2

GM = AG= = cm .

Câu 5.Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB,lấy hai điểm phân biệt M N, . Khi đó:

A. ∆AMN ≠ ∆BMN. B.
ANM BNM

∆ ≠ ∆ .

C. ∆MAN = ∆MBN . D. Cả3 đều sai.
Lời giải

Chọn C
Xét đáp án C.

Ta có M N, thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB MA MB

NA NB

=


⇒  ₌

 (tính chất)

Xét hai ∆MANvà∆MBNcó:
MA MB

NA NB
MN chung

= 



= _⇒




MAN MBN

∆ = ∆ (c.c.c).
II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau

a) 1 2 1

2x 3 4x

 

−_ − _

  b)

(

)(

)

2 2

2 3 12

(55)

Lời giải

a) Xét phương trình 1 2 1 0

2x 3 4x

 

−_ − _=

 

1 2 1 0
2x− +3 4x=
1 1 2

2x+4x= 3
2 1 2

4x+4x= 3

3 2

4x= 3
2 3:

3 4

2 4.
3 3

8
9

Vậy nghiệm của đa thức 1 2 1
2x 3 4x

 

−_ − _

  là

8
9

x= .
b) Xét phương trình

(

)(

)

2 3 12 0

x + − x =

2 0

x + = (vô nghiệm dox2 ≥0với mọi x, 2>0 ) hoặc 3 12− x2 =0
2 1

x =

1
2

x= ±

Vậy nghiệm của đa thức

(

)(

)

2 3 12

x + − x là 1

x= ±
Bài 2. (3 điểm) Cho hai đa thức sau:

( )

3 5 2

5 2 7 2

M x = − x + x + − +x x và N x

( )

=2x5−x2−3x4−5x3+ −x 8.
1. Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định bậc, hệsố
cao nhất, và hệ

sốtựdo của chúng.

2. Tính theo cột dọc: M x

( )

−N x( ); 2 ( )M x

( )

+ N x .

3. Chứng minh rằng đa thức: F x( )=M x( )−N x( )vô nghiệm.

Lời giải

1. + Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến:

( )

5 3 2

5 4 3 2

2 5 2 7

2 3 5 8

M x x x x x

N x x x x x x

= − + + −

(56)

+ Bậc của 2 đa thức M x

( )

và N x

( )

là 5.

+ Hệsốcao nhất của 2 đa thức M x

( )

và N x

( )

là 2.

+ Hệsốtựdo của đa thức M x

( )

là −7và củaN x

( )

là −8.

2. Ta có

( )

5 3 2

5 4 3 2

4 2

2 5 2 7

2 3 5 8

= 3 +3 1

M x x x x x

N x x x x x x

M x N x x x

= − + + −

−

= − − − + −

− +

Vậy

( )

4 2

3 3 1

M x −N x = x + x +

( )

5 3 2

5 4 3 2

5 4 3

= 2 5 2 7
2 4 6 10 2 2 16
2 = 6 6 15 +3 23

M x x x x x

N x x x x x x

M x N x x x x x

− + + −

= − − − + −

+ − − −

Vậy

( )

5 4 3

2 6 6 15 3 23

M x + N x = x − x − x + x− .

3. Ta có

( )

4 2

3 3 1 0,

M x −N x = x + x + > ∀ ∈x (do 4 2

3x ≥0;3x ≥ ∀ ∈0; x ;1>0)
Do đó đa thức F x( )=M x( )−N x( )vô nghiệm.

Bài 3. (3,5 điểm) Cho tam giác ABCvng ởA,có C =30°, đường cao AH. Trên đoạn HC

lấy điểm Dsao cho HD=HB.Từ Ckẻ CEvng góc với đường thẳng

(

)

AD E∈AD

1. Chứng minh rằng: ∆ABH = ∆ADH.

2. Chứng minh rằng: ∆ABDđều.

3. Chứng minh rằng: AH =EC.

4. Gọi giao điểm củaAHvà CElà I.Chứng minh rằng ID⊥ AC.
5. Chứng minh rằng: HE//AC.

Lời giải

1. Chứng minh rằng: ∆ABH = ∆ADH.

Ta có AHlà đường cao của tam giác ABCsuy ra

  ₉₀

(57)

Xét ∆ABHvà∆ADHcó

 

HB HD
AHB AHD
AH chung

= 



= _⇒




ABH ADH

∆ = ∆ (c.g.c).

2. Theo ý 1. ta có ∆ABH = ∆ADH ⇒ AB= AD(cặp cạnh tương ứng)
Xét ∆ABDcó AB= AD, ABD=60°⇒ ∆ABDđều (dấu hiệu nhận biết).
3. Theo ý 2. ta có∆ABDđều, suy ra BAD=60°

Mà BAD  +DAC=BAC= °90 ⇒DAC = ° −90 BAD = ° − ° = °90 60 30

Xét ∆AHCvà∆CEAcó

 
 

90
30

AHC CEA
ACH CAE
AC chung



= = °



= = ° ⇒_




AHC CEA

∆ = ∆ (cạnh huyền- góc nhọn).

⇒ AH =CE(cặp cạnh tương ứng).

4. Xét ∆AHDvng tại Hcó ADH =60° ⇒HAD =30°.

Xét ∆CDEvng tại Ecó CDE = ADH =60°(đối đỉnh) ⇒ DCE=30°
Xét ∆AHDvà∆CEDcó

 
 

AHD CED
AH CE
DCE HAD



= = °



= _⇒



= = _°

AHD CED

∆ = ∆ (g.c.g).

⇒DH =DE(cặp cạnh tương ứng) ⇒ Dthuộc đường trung trực của HE(1)
Xét ∆AECvng tại Ecó EAC =30° ⇒ ACE=60°(2).

Mà HAC  =HAD+DAC=30° +30° =60°(3).

Từ(2) và (3) suy ra ∆IACcân tại I , từđó ta có IA=IC.

Mặt khác

AH CE
IA IH HA

IH IE
IC IE EC

IA IC

= 



= + _{ ⇒ =}



= + _



= _

suy ra I thuộc đường trung trực của HE(4).
Từ(1) và (4) suy ra IDlà đường trung trực của HE⇒ID⊥ HE(5).

Xét ∆IACcó AEvà CHlà hai đường cao cắt nhau tại D⇒ D là trực tâm của
IAC ID AC

∆ ⇒ ⊥ (6).

(58)

ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG LOMONOXOP
MƠN TỐN LỚP 7 (2010-2011)

Thời gian: 60 phút
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (2 điểm)

Hãy khoanh trong vào chữcái đứng trước mỗi câu trả lời cho là đúng nhất.

Câu 1. Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai?

A. Trực tâm của một tam giác lúc nào cũng nằm trong tam giác đó.

B. Trong một tam giác cân, trọng tâm nằm trên đường phân giác đi qua đỉnh của
tam giác cân đó.

−

2 ( )

xy

3 và 3 3

5 x y

là hai đơn thức đồng dạng.
D. Đa thức 2

x

có nghiệm

x

=

0

Câu 2. Giá trịbiểu thức 5 5

x

−

y

tại

x

=

1;

y

= −

1

là:

A. -1. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 3. Tích của đơn thức

1 ( )

3 2

6 xy

và

9 x y

−

là:
A.

3

6 7

2 x y

−

_._B.

3

7 7

2 x y

−

_._C.

3

6 6

2 x y

−

_. _D.

3

7 6

2 x y

−

Câu 4. Cho

∆

ABC

có

AM

là đường trung tuyến,

G

là trọng tâm. Biết

MG

=

3 cm

, độ

dài

AG

bằng:

A. 1,5

cm

. B.

3 cm

. C.

6 cm

. D.

9 cm

Câu 5. Trên đường trung trực của đoạn thẳng

CD

, lấy hai điểm phân biệt

A B

,

. Khi đó:
A.

 

ACB

=

ADB

. B.

CAB

 

=

DAB

AC

=

. D. Cả3 đều đúng.
PHẦN II. TỰLUÂN: (8 điểm)

Câu 1. (1,5 điểm) Tìm nghiệm của các đa thức sau:

2

1

3 x

6 x

5 



−

_

−

_





(

)(

)

2 2

18 x

−

2 x

+

3

Câu 2. (3 điểm) Cho hai đa thức:

( )

4 3 5

2

1 A x

=

x

−

x

+

x

− +

x

( )

3 2 5 4

4

2

3

2 B x

=

x

−

x

−

x

+ −

x

−

a) Sắp xếp các đa thức trên lũy thừa giảm dần của biến. Xác định bậc, hệ số cao
nhất, hệsốtựdo của chúng.

(59)

c) Chứng minh rằng đa thức

H x

( )

=

A x

( )

+

B x

( )

vô nghiệm.

Câu 3. (3,5 điểm ) Cho

∆

CDE

vuông tại

C



D

= °

60

, đường cao CH . Trên đoạn HE

lấy điểm A sao cho HD=HA. Từ E kẻ EB vng góc với đường thẳng

(

)

CA B∈CA .

a) Chứng minh rằng: ∆CDH = ∆CAH.

b) Chứng minh rằng: ∆DCA đều.

c) Chứng minh rằng: CH =BE.

d) Gọi giao điểm của CH và BE là K. Chứng minh rằng KA⊥CE.

e) Chứng minh rằng: HB//CE.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG LOMONOXOP
MƠN TỐN LỚP 7 (2010-2011)

Thời gian: 60 phút
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1. A.Sai .
B.Đúng.
C.Đúng
D.Đúng
Bài 2. Chọn D.
Bài 3. Chọn B.
Bài 4. Chọn C.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC và AM là đường trung tuyến nên

2 6

AG= GM ⇒ AG= cm.

Bài 5. Chọn D.

PHẦN II. TỰ LUẬN

Câu 1. a) Xét 2 1 1 0 2 1 1 1 1 2
3x 6x 5 3x 6x 5 2x 5 x 5

− − −

 

−_ − _= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

 

Vậy đa thức có nghiệm 2
5

x= − .

b) Xét

(

)(

)

2
2

2 2

1
1

18 2 0 ₃

18 2 3 0 9

1
3 0

3 0

x
x

x x

x x x



 _ =

 − = _ =

− + = ⇔ ⇔_ ⇔  ₋

+ = 

 _ _∈∅ _{+ > ∀ ∈} ₌



vì

Vậy tập hợp các nghiệm của đa thức đã cho là 1 1;
3 3

S = − 

(60)

Câu 2.a) Ta có:

( )

4 3 5 5 4 3

2 1 2

2

1 A x

=

x

−

x

+

x

− + =

x

+

x

−

x

− +

x

( )

3 2 5 4 5 4 3 2

4

2

3

2

3

4

2 B x

=

x

−

x

−

x

+ −

x

− = −

x

−

x

+

x

−

x

+ −

x

b) Ta có:

5 4 3

5 4 3 2

2

1

2

3

4

2

4

5

2

4

2

3 x

−

+

−

− +

−

+

−

+ −

+

−

+

−

+

( )

5 4 3 2

4

5

2

4

2

3 A x

B x

x

⇒

−

=

+

−

+

−

+

Ta có:

( )

(

5 4 3 2

)

5 4 3 2

2 B x

= −

2 x

−

3 x

+

x

−

4 x

+ −

x

2 = −

4 x

−

6 x

+

2 x

−

8 x

+

2 x

−

4

Khi đó ta có:

5 4 3

5 4 3 2
5 4 3 2

2

1

4

6

3

8

2

4

6

8

4

8

3

5 x

−

+

−

− +

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

( )

5 4 3 2

2 6 8 4 8 3 5

A x B x x x x x x

⇒ − = + − + − +

c) Ta có

( )

(

5 4 3

) (

5 4 3 2

)

2 2 1 2 3 4 2

H x = A x +B x = x + x − − + + −x x x − x +x − x + −x

5 4 3 5 4 3 2 4 2

2x 2x x x 1 2x 3x x 4x x 2 x 4x 1

= + − − + − − + − + − = − − −

Ta thấy 4 2

0 ; 4 0

x x x x

− ≤ ∀ ∈_ − ≤ ∀ ∈_ nên

( )

4 2

4 1 0

H x = − −x x − < ∀ ∈x .
Nên H x

( )

vô nghiệm.

Vậy H x

( )

vô nghiệm.
Câu 3.

K

B

H

E

A

D

(61)

a) Xét ∆CDH và ∆CAH có:

 

₍

₎

( )

(

)

90
chung

CHD CHA CDH CAH c g c

DH AH GT




= = ° ⇒ ∆ = ∆ − −



 ₌



.
b) Vì ∆CDH = ∆CAH ⇒CD=CA(hai cạnh tương ứng).

Xét ∆DCA có CD=CA⇒ ∆DCA cân tại A.

Mà

D



= °

60

nên ∆DCA là tam giác đều.

c) Xét ∆CDE có DCE= °90 và D = °60 nên DEC= °30 ⇒AEC = °30 .
Ta lại có ∆DCA đều ⇒DCA= °60 mà DCE= °90 ⇒ACE= °30 .

Xét ∆CAE có  AEC= ACE= °30 ⇒ ∆CAE cân tại A.
AC AE

⇒ =

Xét ∆CHA và ∆EBA có:
 

 

₍

₎

(

)

 ₌ _{= °}

 ₌ _{⇒ ∆} _{= ∆}



 ₌



( ) cạnh huyền góc nhọn

CHA EBA

AC AE cmt CHA EBA
HAC BAE đối đỉnh

(

)

⇒CH BE hai cạnhtươngứng= .
d) Xét ∆CKE cĩ là trực tâm của

CB EK

EH CK A CKE KA CE

CB EH A

 ⊥

 _⊥ _⇒ _∆ _⇒ _⊥



 _∩ ₌



.
e) Ta có: ∆CDA đều và CH DA⊥ nên CH là phân giác của


DCA

 ₃₀  ₃₀

HCA KCB

⇒ = ° ⇒ = °.

Lại có: ∆CHA= ∆EBA⇒ HCA AEB= (hai góc
tương ứng).

 ₃₀  ₃₀

AEB HEK

⇒ = ° ⇒ = °.

Ta lại có:

(

)

(

)

CA EA hai cạnh tương ứng

CHA EBA

HA BA hai cạnh tương ứng

 =



∆ = ∆ _{⇒ }



CA BA EA HA CB EH

⇒ + = + ⇒ =

Xét ∆CBK và ∆EHK có:

B
H

E
A

(62)

 

(

)

(

)

(

)

hai cạnh tương ứng
hai cạnh tương ứng

CBK EHK _{BK HK}

CB EH CBK EHK g c g

KC KE
KCB KEH

 ₌ _{= °}

 =

 ₌ _{⇒ ∆} _{= ∆} _{− −} _⇒

 

 ₌ _{= °} _



.
Vì ∆KCE có KC KE= ⇒ ∆KCE cân tại K, mà KA CE⊥ ⇒KAlà tia phân giác của


CKE hay KA là tia phân giác của HKB.

Xét ∆HKB có KB KH= ⇒ ∆HKB cân tại K mà KA là tia phân giác của HKB nên ta

suy ra KA HB⊥ .

Ta thấy //

và phân biệt
KA CE

KA HB HB CE

CE HB

 ⊥

 _⊥ _⇒





ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG LOMONOXOP
MƠN TỐN LỚP 7 (2009-2010)

Thời gian: 60 phút
I. Phần trắc nghiệm ( 2 điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

1. Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?

a) Muốn cộng hai đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệsố với nhau và cộng các phần biến
với nhau.

b)Trong một tam giác đoạn thẳng nối từđỉnh đến trung điểm cạnh đối diện là đường
trung tuyến của tam giác đó.

2. Giá trị x= −2 không là nghiệm của đa thức nào trong các đa thức sau:

A. f x

( )

= +x 2. B. g x

( )

=2x+x2. C. h x

( )

=x2+4. D. k x

( )

=x2−4
.

3. Cho ∆ABC nhọn có  B>C. Kẻ AH ⊥BC tại H, lấy điểm M nằm giữa A và H.
A. AB>AC. B. HB>HC. C. MB>MC. D.

 

MBH >MCH.

1. II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm).Cho các đơn thức: 3 6
3

C= − x y và D=4

(

−xy3

)

2 x.

1. Thu gọn rồi tìm hệsố và bậc của đơn thức D.

2. Tính C+D; C−D; C D. .

(63)

( )

3 4 2 7

2 3 4 5

M x = x − x + x − + x

( )

4 2 3 3

3 4 2

N x = − x + x − +x x +

1. Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định bậc, hệ
sốcao nhất, hệsốtựdo của chúng.

2. Tính theo cột dọc: F x

( )

=M x

( )

+N x

( )

; G x

( )

=M x

( )

−N x

( )

3. Tìm nghiệm của đa thức G x

( )

Bài 3. (3,5 điểm). Cho ∆ABC cân tại A, có đường cao AH. Trên tia đối của tia CH lấy
điểm D sao cho CD=CH. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE.

1. Chứng minh rằng: H là trung điểm của BC và H cách đều hai cạnh AB,
AC.

2. Chứng minh rằng: EH = AD.

3. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng ba điểm E H M, , thẳng
hàng.

Bài 4. (0,5 điểm). Cho biểu thức 22
2 1

x
A

+
=

− . Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A
nhận giá trị lớn nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ II TRƯỜNG LOMONOXOP
MƠN TOÁN LỚP 7 (2009-2010)

Thời gian: 60 phút
II.Phần trắc nghiệm ( 2 điểm)

Khoanh tròn trước câu trả lời đúng:

1. Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai?

a) Muốn cộng hai đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệsố với nhau và cộng các phần biến
với nhau.

b)Trong một tam giác đoạn thẳng nối từđỉnh đếntrung điểm cạnh đối diện là đường
trung tuyến của tam giác đó.

Lời giải

Câu a: Sai.

Vì muốn cộng hai đơn thức đồng dạng, ta cộng các hệsố với nhau và giữnguyênphần
biến.

Câu b: Đúng.

2. Giá trị x= −2 không là nghiệm của đa thức nào trong các đa thức sau:

(64)

Lời giải
Chọn C

Vì

( ) ( )

2 2 4 8 0

h − = − + = ≠ .

3. Cho ∆ABC nhọn có  B>C. Kẻ AH ⊥BC tại H, lấy điểm M nằm giữa A và H.

A. AB>AC. B. HB>HC. C. MB>MC. D.
 

MBH >MCH.

Lời giải
Chọn D

H

B

C

A

M

Ta có: B > ⇒C AC>AB⇒HC>HB⇒MC >MB⇒MBC >MCB hay MBH >MCH.

2. II. Tự luận (8 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm).Cho các đơn thức: 3 6
3

C= − x y và D=4

(

−xy3

)

2 x.

1. Thu gọn rồi tìm hệsố và bậc của đơn thức D.
2. Tính C+D; C−D; C D. .

Lời giải
1.

(

₃

)

2 ₂ ₆ ₃ ₆
4 4. . . 4

D= −xy x= x y x= x y .

Hệsố của đơn thức D là: 4.
Bậc của đơn thức D là 9.
2.

(

)

3 6 3 6 3 6 3 6

3 4 3 4

C+ = −D x y + x y = − + x y =x y .

(

)

3 6 3 6 3 6 3 6

3 4 3 4 7

C− = −D x y − x y = − − x y = − x y .

(

)

(

)

3 6 3 6 3 6 3 6 6 12

. 3 .4 3.4 . 12

C D= − x y x y = − x y x y = − x y .
Bài 2. (2,5 điểm).Cho các đa thức sau:

( )

3 4 2 7

2 3 4 5

(65)

( )

4 2 3 3

3 4 2

N x = − x + x − +x x +

1. Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. Xác định bậc, hệ
sốcao nhất, hệsốtựdo của chúng.

2. Tính theo cột dọc: F x

( )

=M x

( )

+N x

( )

; G x

( )

=M x

( )

−N x

( )

3. Tìm nghiệm của đa thức G x

( )

Lời giải

( )

3 4 2 7 4 3 2 7

2 3 4 5 3 2 4 5

2 2

M x = x − x + x − + x= − x + x + x + x−
Bậc của M x

( )

là 4.

Hệsốcao nhất M x

( )

là −3
Hệsốtựdo của M x

( )

là 7

−

( )

4 2 3 3 4 3 2 3

3 4 2 3 2 4

2 2

N x = − x + x − +x x + = − x + x + x − +x
Bậc của N x

( )

là 4.

Hệsốcao nhất N x

( )

là −3.
Hệsốtựdo của N x

( )

là 3

2.
2.

F(x)= M(x)+N(x)= -6x

+ 4x

+ 8x

+ 4x-2

+

-3x

+ 2x

+ 4x

- x +

3

2 - 3x

_{+ 2x}

_{+ 4x}

_{+5x -}

7

2 G(x)= M(x)+N(x)= 0x

+ 0x

+ 6x - 5 =6x-5

--3x

_{+ 2x}

_{+ 4x}

_{- x +}

3

2 - 3x

+ 2x

+ 4x

+5x -

7

2

3. G x

( )

=0 hay 6 5 0 6 5 5

(66)

Vậy 5

x= là nghiệm của đa thức G x

( )

Bài 3. (3,5 điểm). Cho ∆ABC cân tại A, có đường cao AH. Trên tia đối của tia CH lấy
điểm D sao cho CD=CH. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE.

1. Chứng minh rằng: H là trung điểm của BC và H cách đều hai cạnh AB,
AC.

2. Chứng minh rằng: EH = AD.

3. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh rằng ba điểm E H M, , thẳng

hàng.

Lời giải

M

I

P

H

B

C

D

E

A

Lời giải

1) Xét ∆HAB vuông tại H và ∆HAC vng tại H, ta có:
AB= AC (∆ABC cân tại A)

AH: cạnh chung

Vậy ∆HAB= ∆HAC( cạnh huyền – cạnh góc vng).
Suy ra: HB=HC (hai cạnh tương ứng)

Vậy H là trung điểm của BC.

(67)

Do đó khoảng cách từ H lên hai cạnh AB, AC chính là HP, HI
Xét ∆HPB vuông tại P và ∆HIC vuông tại I , ta có:

HB=HC (chứng minh trên)
 

B=C(∆ABC cân tại A)

Vậy ∆HPB= ∆HIC( cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra: HP=HI (hai cạnh tương ứng)

Nên H cách đều hai cạnh AB, AC.

Chú ý: Ý 2 trong câu này có thể chứng minh AH là tia phân giác của BAC để

suy ra H cách đều hai cạnh AB, AC
2) Ta có:

 

_{( )}

180 ( )

180

ABC HBE kb

DCA ACB kb

 ₊ ₌ _°




+ = °

 mà

 

ABC =ACB (∆ABC cân tại A)
nên HBE =DCA.

Xét ∆HBE và ∆DCA, ta có:

(

)

DC=BH =HC

 

HBE=DCA(chứng minh trên)

(

)

AC=BE =AB

Vậy ∆HBE= ∆DCA( c-g-c).

Suy ra: EH = AD (hai cạnh tương ứng).

3) Trong ∆AHD vng tại H, có HM là đường trung tuyến (M là trung điểm
AD)

nên 1

HM =MD= AD
HMD

⇒ ∆ cân tại M .
 

MHD MDH

⇒ =

Mà MDH =BHE

(

∆DCA= ∆BHE

)

Nên  MHD=BHE

Ta lại có:  BHM+MHD=180°

( )

kb
Do đó: BHM +BHE =180°

Vậy ba điểm E H M, , thẳng hàng.

Bài 4. (0,5 điểm). Cho biểu thức 2₂2 1
3

x
A

x
+
=

(68)

Lời giải
Với mọi x, ta có:

2 2

2 2 2

2 1 2 6 7 7

3 3 3

x x

x x x

+ − +

= = = +

− − −

Vì 2

3 3,

x − ≥ − ∀ ∈x 

7 7

,
3 3 x

−

⇒ ≤ ∀ ∈

− 

7 1

2 ,

3 3 x

−

⇒ + ≤ ∀ ∈

− 

1
,
3

A − x

⇒ ≤ ∀ ∈_

Dấu “=” xảy ra khi x=0.

Vậy x=0 đểbiểuthức A nhận giá trị lớn nhất là 1