Tổng hợp đề thi và lời giải vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thanh Hóa từ năm 2000



T

rịnh Bình sưu tầm tổng hợp

BỘ ĐỀ THI TOÁN

VÀO LỚP 10 TỈNH THANH HÓA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HĨA_{NĂM HỌC 2019 – 2020}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 1

Bài 1. (2 điểm) Cho biểu thức: 2 5 1

3 6 2

x
A

x x x x

+

= − −

+ + − − với x≥0;x≠4.

1. Rút gọn A

2. Tìm giá trị của cảu A khi x= +6 4 2

Bài 2. (2 điểm)

1. Cho đường thẳng

( )

( )

( )

2. Giải hệphương trình 3 2 11
2 5

x y
x y

+ =



 + =


Bài 3: ( 2 điểm)

1. Giải phương trình 2

4 3 0

x − x+ =

2. Cho phương trình:

_x

−

₂

(

_m

−

₁

)

_x

+

₂

_m

− =

_{5 0}

rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. Tìm m để các

nghiệm đó thỏa mãn hệ thức

(

−

−

+

−

)(

−

− +

−

)

=

1

2

2

3

2

2

3

19

x

mx

x

m

x

mx

x

m

Bài 4. (3,0 điểm) Từ một điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O bán kính R, kẻ các tiếp
tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Trê cung nhỏ BC lấy một điểm M
bất kỳ khác B và C. Gọi I,K,P lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên các đường thẳng
AB, AC, BC

1) Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp;
2) Chứng minh

 

MPK MBC

=

3) Xác định vịtrí điểm M trên cung nhỏ BC để tích

MI MK MP

.

.

+ + ≤

+ + + + + +

4 4 4 4 4 4 1

ab bc ca

a b ab b c bc c a ca
---Hết---

Họ và tên ...Số báo danh ...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HĨA_{NĂM HỌC 2018 – 2019}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 2

Câu I: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2

8 7 0

x + x+ = .
2. Giải hệphương trình: 2 6

5 20

x y
x y

− = −


 + =
 .
Câu II: (2,0 điểm) Cho biểu thức 1 :

4 4 2 2

x x x

A

x x x x x

+  
= _ + _

+ +  + + , với x>0.

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tìm tất cả các giá trị của x để 1
3
A

x
≥ .
Câu III: (2,0 điểm)

1. Cho đường thẳng

( )

( )

( )

(

)

2. Cho phương trình 2

( 2) 3 0

x − m− x− = (m là tham số). Chứng minh phương
trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi m. Tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn
hệ thức 2 2

1 2018 1 2 2018 2

x + − =x x + +x .

Câu IV: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi d₁ và d₂ lần lượt là
các tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là
điểm thay đổi trên đường tròn ( )O sao cho E không trùng với A và B. Đường thẳng d
đi qua E và vng góc với đường thẳng EI cắt d1, d2 lần lượt tại M N, .

1. Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh IB NE. =3.IE NB. .

3. Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích AM BN. có giá trịkhơng đổi và tìm giá trị

nhỏ nhất của diện tích tam giác MNI theo R.

Câu V: (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a+ + =b c 1. Chứng minh

2 2 2

1 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HĨA_{NĂM HỌC 2017 – 2018}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 3

Câu 1. (2,0 điểm)

1. Cho phương trình: 2

2 0

+ − =

mx x (1), với mlà tham số.

a. Giải phương trình (1) khi m=0.
b. Giải phương trình (1) khi m=1.
2. Giải hệphương trình: 3 2 6

2 10

− =



 + =


x y
x y

Câu 2. (2,0 điểm) Cho biểu thức: 4 8 : 1 2
4

2 2

y y y

A

y

y y y y

   ₋ 

=  +   − 

 _{+ −}   ₋ 

   , với 0

y> ,y≠4,

y≠ .

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm y để A= −2.

Câu 3. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

( )

( )

1. Tìm m đểđường thẳng

( )

( )

2. Tìm m đểđường thẳng

( )

( )

1 2 2 1 2 16

x − x +x x = .

Câu 4. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn

( )

( )

( )

( )

( )

tại Q.

1. Chứng minh ONFP là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh OF MQ⊥ và PM PF PO PQ. = . .

3. Xác định vị trí điểm E trên cung MN để tổng MF+2ME đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các sốdương thay đổi thỏa mãn:

1 1 1 ₂₀₁₇

a b b c c a+ + + + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

2 3 3 3 2 3 3 3 2

P

a b c a b c a b c

= + +

+ + + + + + .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HĨA_{NĂM HỌC 2016 – 2017}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 4

Câu I: (2,0 điểm)

1.Giải các phương trình:

b. x2 – 5x + 4 = 0

2.Giải hệphương trình: 2x - y = 3
3x + y = 2





Câu II: (2,0 điểm) Cho biểu thức: A = -1 +1 :2

(

)

y y

y y y y

y

y y

− +

 

−

 

  ₋

  với y > 0; y≠1

1.Rút gọn biểu thức B.

2.Tìm các số nguyên y để biểu thức B khi có giá trị nguyên.

Câu III: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng (d): y = nx +1 và
Parabol (P): 2

y = 2x .

1.Tìm n đểđường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 2).

2.Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có
hồng độ lần lượt M(x1; y1), N(x2; y2). Hãy tính giá trị của biểu thức S =x x_{1 2}+y y_{1 2}

Câu IV: (3,0 điểm) Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường trịn đường kính MQ. Hai đường
chéo MP và NQ cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc đường thẳng MQ sao cho EF vng
góc với MQ. Đường thẳng PF cắt đường tròn đường kính MQ tại điểm thứ 2 là K. Gọi L là
giao điểm của NQ và PF. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác PEFQ nội tiếp đường tròn.
2. FM là đường phân giác của góc NFK
3. NQ.LE= NE.LQ

Câu V: (1,0 điểm)

Cho các sốdương m, n, p thỏa mãn: 2 2 2

+ 2n 3p

m ≤ . Chứng minh rằng 1 +2 3

m n≥ p

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HÓA_{NĂM HỌC 2015 – 2016}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Đề số 5

Câu 1 (2 điểm) :

1. Giải phương trình mx2 + x – 2 = 0

a) Khi m = 0

b) Khi m = 1

2. Giải hệphương trình: 5
1

x y
x y

+ =

 − =



Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức Q = 4 3 6 2
1

1 1

b
b

b b

+

+ −

−

− + (Với b≥ 0 và b≠1)
1. Rút gọn Q

2. Tính giá trị của biểu thức Q khi b = 6 + 2 5

Câu 3 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol
(P) : y = x2

1. Tìm n để(d) đi qua điểm B(0;2)

2. Tìm n đểđường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lần
lượt là x1, x2 thỏa mãn: 4 _{1 2}

1 2
1 1

3 0

x x
x x

 

+ − + =

 

 

Câu 4 (3 điểm):Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) khơng đi qua O, cắt
đường tròn (O) tại 2 điểm E, F. Lấy điểm M bất kì trên tia đối FE, qua M kẻ hai tiếp tuyến
MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.

2. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh KM là phân giác của góc
CKD.

3. Đường thẳng đi qua O và vng góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại R,
T. Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất.

Câu 5 (1 điểm): Cho x, y, z là các sốdương thay đổi thỏa mãn điều kiện:
5x2 _{+ 2xyz + 4y}2 _{+ 3z}2 _{= 60}

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HÓA_{NĂM HỌC 2014 – 2015}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 6

Câu 1. (2.0 đ)

1. Giải các phương trình sau:

a. y - 3 = 0
b. y2 – 3y + 2 = 0

b. Giải hệ phương trình:

2

4

3

2

4

x

y

x

y

+

=



 − =



Câu 2. (2.0 đ) Cho biểu thức B ₂y 1: 1 1

y y y y 1

 
−

= _ − _

− _ + _ , với y > 0 và y

≠

a. Rút gọn biểu thức B.

b. Tính giá trị của B khi x =

3

+

2 2

Câu 3 (2.0 đ) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy cho đường thẳng (d): y = nx – 3 và parabol (p) y
= x2.

1. Tìm n đểđường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 0)

2. Tìm n để (d) cắt (p) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lần lượt là x1, x2 thoả mãn

1 2

2

x

−

x

=

Câu 4 (3.0 đ) Cho đường tròn tâm O đường kính EF = 2R. Gọi C là trung điểm của OE; qua
C kẻ đường vng góc với OE cắt đường trịn đó tại hai điểm phân biệt M và N. Trên
cung nhỏ FM lấy điểm K ( K

≠

≠

a. Tứ giác FCDKlà tứ giác nội tiếp.
b. EK . ED = R2

c. NI = FK.

Câu 5 (1 đ) Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

1

1

a b

+ +

1

1

b c

+ +

1

1

c a

+ +

Câu 1 (2.0 điểm):

1. Cho phương trình bậc hai: x2 +2x – 3 = 0, với các hệ số a = 1, b = 2, c = -3

a.Tính tổng: S = a + b + c
b.Giải phương trình trên
2. Giải hệphương trình:

3

2

2

3

4

x

y

x

y

−

=



 + =



Câu 2 (2.0 điểm): Cho biểu thức:

1

1

:

1

1

2

1

y

Q

y

y

y

y

y



 

₊



=



_

+

 

_{ }



_

−

−

−

+



 



1

y

≠

a. Rút gọn biểu thức Q

b. Tính giá trị biểu thức Q khi

y

= −

3 2 2

Câu 3(2.0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng (d): y = 2bx + 1 và Parabol
(P): y = - 2x2_.

a. Tìm b đểđường thẳng (d) đi qua điểm B(1;5)

b. Tìm b đểđường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ thỏa
mãn điều kiện: x12 + x22 + 4(x1 + x2) = 0.

Câu 4(3.0 điểm): Cho (O; R) đường kính EF. Bán kính OI vng góc với EF, gọi J là điểm
bất kỳ trên Cung nhỏ EI (J khác E và I), FJ cắt EI tại L; Kẻ LS vng góc với EF (S thuộc
EF).

a. Chứng minh tứ giác IFSL nội tiếp.

b. Trên đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN = EJ. Chứng minh rằng, tam giác IJN
vuông cân.

c. Gọi (d) là tiếp tuyến tại điểm E. Lấy D là điểm nằm trên (d) sao cho hai điểm D và
I cùng nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờlà đường thẳng FE và ED.JF = JE.OF. Chứng
minh rằng đường thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS.

Câu 5 ( 1.0 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca ≥ 3.
Chứng minh rằng:

4 4 4

3

3

3

3

4

a

b

c

b

+

c

+

c

+

a

+

a

+

b

≥

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HĨA_{NĂM HỌC 2013 – 2014}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 7

Bài 1:(2.0 điểm) 1- Giải các phương trình sau : a) x - 1 = 0

b) x2 - 3x + 2 = 0

2- Giải hệ phương trình :




=
+

=
−

2
7
2

y
x

y
x

Bài 2:(2.0 điểm) Cho biẻu thức: A =

a

2

1

+ + 2 2 a

1

− - 2

2

1
1

a
a

−
+
1- Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2- Tìm giá trị của a ; biết A <

3
1

Bài 3:(2.0 điểm)

1- Chođường thẳng (d) : y = ax + b .Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3)
và song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3

2- Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) .Tìm a để phươmg trình đã

cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x₁2 + 2
2
x = 4

Bài 4:(3.0 điểm) Cho tam tam giác đều ABC có đường cao AH . Trên cạnh BC lấy điểm M
bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ lần lượt vng góc với các cạnh AB ;
AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC)

1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn

2- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ .Chứng minh OH ⊥ PQ
3- Chứng minh rằng : MP +MQ = AH

Bài 5:(1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoảmãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2

2

4
8

b
a

b
a

+
+
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HÓA_{NĂM HỌC 2012 – 2013}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Đề số 8

Bài 1(1.5đ):

1. Cho hai số a1 = 1+ 2; a2 = 1- 2. Tính a1+a2.

2. Giải hệphương trình:




−
=
−

=
+

3
2

1
2

y
x

y
x

Bài 2(2đ): Cho biểu thức A =

2
1
:
4

1
4
2

2 _ +







−
−

−
−

+ a a

a
a

a
a

a

(Với a≥ 0;a≠4)

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tính giá trị của A tại a = 6+4 2

Bài 3(2,5đ): Cho phương trình: x2 _{– (2m-1)x + m(m-1) = 0 (1). (Với m là tham số)}

a. Giải phương trình (1) với m = 2.

b. Chứng minh rằng phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c. Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1). (Với x1 < x2).

Chứng minh rằng x12 – 2x2 + 3 ≥ 0.

Bài 4(3đ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao BD và CK cắt nhau tại H.
1. Chứng minh tứ giác AKHD nội tiếp được trong một đường tròn

2. Chứng minh tam giác AKD và tam giác ACB đồng dạng.

3. kẻ tiếp tuyến Dx tại D của đường trịn tâm O đường kính BC cắt AH tại M. Chứng
minh M là trung điểm của AH

Bài 5(1đ): Cho ba sốdương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:
2

≥
+
+
+
+

+ a b

c
c

a
b
c

b
a

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HÓA_{NĂM HỌC 2011 – 2012}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Đề số 9

Bài I(2,0 điểm)

Cho phương trình : x2 + nx – 4 = 0 (1) (với n là tham số)

1. Giải phương trình (1) khi n = 3

2. Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình (1),tìm n để :

x1(x22 +1 ) + x2( x12 + 1 ) > 6

Bài II (2,0 điểm) Cho biểu thức 3 3 1 1
3

3 3

a a

A

a a a

 + −  

=_ − _ − _

− +  

  với a > 0; a≠9
1.Rút gọn A

2.Tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài III (2,0điểm) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy

Cho parabol (P): y = x2 và các điểm A,B thuộc parabol (P) v ới x_A = -1,x_B = 2

1.T ìm toạđộc ác điểm A,B và viết phương trình đường th ẳng AB.

2. Tìm m đểđường thẳng (d) : y = (2m2 – m)x + m + 1 (với m là tham số ) song song

với đường thẳng AB.

Bài IV(3,0 điểm) Cho tam giác PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, các đường
cao QM, RN của tam giác cắt nhau tại H.

1.Chứng minh tứ gi ác QRMN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

2. Kéo dài PO cắt đường tròn O tại K.Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình
hành.

3. Cho cạnh QR cố định,P thay đổi trên cung lớn QR sao cho tam giác PQR ln
nhọn.Xác định vị trí điểm P đ ể diện tích tam giác QRH lớn nhất.

Bài V( 1,0 điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn : x + y = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 2 33

P x y

xy
= + +
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HÓA_{NĂM HỌC 2011 – 2012}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề)
Đề số 10

Bài 1(1,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 4x + n = 0 (1) với n là tham số.

1.Giải phương trình (1) khi n = 3.

2. Tìm n đểphương trình (1) có nghiệm.

Bài 2(1,5 điểm) Giải hệphương trình: 2 5

2 7

x y

x y

+ =



 _{+ =}



Bài 3(2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 _{và điểm B(0;1)}

1. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm B(0;1) và có hệ số k.

2. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt E và
F với mọi k.

3. Gọi hoành độ của E và F lần lượt là x1 và x2. Chứng minh rằng x1 .x2 = - 1, từđó suy

ra tam giác EOF là tam giác vuông.

Bài 4(3,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia BA
lấy điểm G (khác với điểm B) . Từcác điểm G; A; B kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) .
Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B lần lượt tại C và D.

1. Gọi N là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O). Chứng minh tứ
giác BDNO nội tiếp được.

2. Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từđó suy ra CN DN

CG = DG .

3. Đặt BOD =α Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và α. Chứng tỏ rằng
tích AC.BD chỉ phụ thuộc R, khơng phụ thuộc α.

Bài 5(1,0 điểm) Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2 2 3 2
1

2

m
n +np+ p = − .

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA ĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT THANH HĨA_{NĂM HỌC 2011 – 2012}

MƠNTHI:TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề số 11

HƯỚNG DẪN GIẢ

I

Đề

s

ố

1

Câu I.

1.Rút gọn biểu thức A với với x≥0;x≠4.

(

)(

)

2 5 1

3 3 2 2

x
A

x x x x

+

= − −

+ + − −

(

)

(

)(

)

4 5 3

3 2

x x

x x

− − − +
=

+ −

(

)(

)

12

3 2

x x

x x

− −
=

+ −

4
2

x
x

−
=

−

2. Tìm giá trị của cảu A khi x= +6 4 2

(

)

x= + = + tmđk

2 2

x = + thay vào A ta đc:

(

)

(

)

2 2 4 _{2 2}

1 2

2

2 2 2

A= + − = − = −

+ −

Vậy với x= +6 4 2 thì A= −1 2

Bài 2. (2 điểm)

1. Cho đường thẳng

( )

( )

( )

Vì

( ) ( )

a
b

=

 ≠


Vì (d) đi qua A

( )

( )

2. Giải hệphương trình 3 2 11
2 5

x y
x y

+ =



 + =


3 2 11 3

2 6 1

x y x

x y

+ = =

 

⇔_ ⇔_

= =

 

Bài 3: ( 2 điểm)

1. Giải phương trình 2

4 3 0

x − x+ =

PT có : a b c+ + = − + =1 4 3 0 nên PT có hai nghiệm: x₁=1;x₂ =3

2. Ta có:

∆ =

_'

(

_m

−

₁

)

−

₂

_m

+ =

₅

_m

−

₄

_m

+ =

₆

(

_m

−

₂

)

+ > ∀

_{2 0}

_m

trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

Có :

_x

−

₂

(

_m

−

₁

)

_x

+

₂

_m

− =

_{5 0}

_⇔

_x

₋

₂

_mx

₊

₂

_m

_{− = −}

_{3 2 2}

_x

−

+

− = −

2

1

2

2

3 2 2

x

mx

m

x

−

+

− = −

2

2

2

3 2 2

(

−

−

+

−

)(

−

− +

− =

)

1

2

2

3

2

2

3

19

x

mx

x

m

x

mx

x

m

(

)(

)

⇔

2 2

−

x

−

x

2 2

−

x

−

x

=

19

(

)

(

)

⇔

2

x

+

x

−

6

x

+

x

+

x x

=

15

Theo Vi-et có

 +



_

=

(

−

)

=

−



1 2

1 2

2

1

2

5

x

x

m

x x

m

(

)

(

)

⇔

8

m

−

1

−

12

m

− +

1

2

m

− =

5 15

=





⇔

−

= ⇔

 =



0

8

26

0

₁₃

4

m

m

m

m

Vây:

=





 =



0

13

4

m

m

Bài 4. (3,0 điểm)

1. Chứng minh AIMK là tứ giác

Có:

_{AIM AKM}

 

=

=

90

2. Chứng minh

 

MPK MBC

=

Suy ra:

MCK MPK

 

=

Mà

 

MCK PBM

=

Từ (1) và (2) suy ra

 

MPK MBP

=

MPK MBC

 

=

1) Xác định vịtrí điểm M trên cung nhỏBC để tích

MI MK MP

.

.

∆

IMP

∽

∆

PMK

IM

=

MP

MP

MK

⇒

_{MI MK MP}

_.

=

⇒

_{MI MK MP MP}

_.

_.

=

Để

MI MK MP

.

.

P

K
I

C
B

O
A

Bài 5. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn abc=1, Chứng minh rằng:

+ + ≤

+ + + + + +

4 4 4 4 4 4 1

ab bc ca

a b ab b c bc c a ca
Ta có: _a4+_b4 ≥_{ab a}

(

)

(

)

⇒ ≤ =

+ + + + + +

4 4 2 2 2 2

1
1

ab ab

a b ab ab a b ab a b
Tương tự có: ≤

+ + + +

4 4 2 2

1
1
bc

b c bc b c ; 4+ 4+ ≤ 2+ 2+
1

1
ca

c a ca c a

Suy ra ≤ + +

+ + + + + +

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1 1 1

VT

a b b c c a

Đặt _a2 =_{x b}3_; 2 =_{y c}3_' 2 =_z3 _{ta có: xyz=1 ( do abc=1)}

Suy ra: ≤ + +

+ + + + + +

3 3 3 3 3 3

1 1 1

1 1 1

VT

x y y z z x

Dễcm đc _x3+_y3 ≥_{xy x y}

(

)

(

)

(

)

(

)

≤ + +

+ + + + + +

1 1 1

1 1 1

VT

xy x y yz y z zx z x

(

)

(

)

(

)

≤ + +

+ + + + + +

z x y

VT

xyz x y z xyz y z x zxy z x y

≤ + + =

+ + + + + + 1

z x y

VT

x y z x y z zx y z
Vậy VT≤1 Dấu “_” xảy ra khi a b c= =

Đề

s

ố

2

Câu Ý NỘI DUNG Điể

m

I
(2,0đ)

1
(1,0đ)

Giải phương trình: 2

8 7 0

x + x+ = .

Ta thấy phương trình có các hệ số thỏa mãn a b c− + = − + =1 8 7 0. 0,5
Do đó phương trình có hai nghiệm x= −1; x= −7 0,5

2
(1,0đ)

Giải hệphương trình: 2 6

5 20

x y
x y

− = −


 + =


Hệtương đương với 7 14

5 20

x
x y

=


 + =


2

5 20

x
x y

=


⇔  _{+ =}

 0,5

2
10 20

x
y
=


⇔  _{+ =}


2
10

x
y

=

⇔  ₌

II

1
(1,0đ)

Rút gọn biểu thức 1 :

4 4 2 2

x x x

A

x x x x x

+  

= _ + _

+ +  + + , với x>0.
Ta có: 1 :

4 4 2 2

x x x

A

x x x x x

+  

= _ + _

+ +  + + 

2
1

:

( 2) ( 2) 2

x x x

x x x x

 

+

= _ + _

+ _ + + _

0,25

2
1

:

( 2) 2 2

x x x

x x x

 

+

= _ + _

+ _ + + _ 0,25

2

1 ( 1)

:

( 2) 2

x x x

x x

+ +

=

+ + 0,25

1

( 2)

x x
=

+ 0,25

2
(1,0đ)

Tìm tất cảcác giá trịcủa x để 1

3

A
x
≥ .

Với x>0 ta có 1

( 2)

A

x x
=

+ và x >0; x+ >2 0.

Khi đó

(

)

1 1 1

3 2 3

A

x x x x

≥ ⇔ ≥

+ ⇔ x+ ≤2 3

0,5

1

x

⇔ ≤ ⇔ ≤x 1 0,25

Kết hợp với điều kiện ta được: 0< ≤x 1. 0,25

III
(2,0đ)

1
(1,0đ)

Cho đường thẳng

( )

( )

đường thẳng

( )

(

)

Đường thẳng

( )

( )

3

a
b

=

 ≠
 .

0,5
Khi đó

( )

(

)

1 2.1 b b 3

− = + ⇔ = − (thỏa mãn điều kiện b≠3) . Vậy a=2, b= −3.

0,5
2

(1,0đ)

Cho phương trình 2

( 2) 3 0

x − m− x− = (m là tham số). Chứng minh phương

thỏa mãn hệ thức: 2 2

1 2018 1 2 2018 2
x + − =x x + +x .

Ta có 2

(m 2) 12 0, m

∆ = − + > ∀ nên phương trình ln có hai nghiệm phân
biệt x x1, 2với mọi m.

(Lưu ý: Học sinh có thể nhận xét ac= − <3 0 đểsuy ra phương trình ln
có hai nghiệm phân biệt, trái dấu với mọi m)

0,25

Ta có: 2 2

1 2018 1 2 2018 2
x + − =x x + +x

2 2

1 2018 2 2018 2 1

x x x x

⇔ + − + = +

2 2
1 2

2 1

2 2

1 2018 2 2018
x x

x x

x x

−

⇔ = +

+ + +

0,25

⇔ 1 2

2 2

1 2 1 2

0 (1)
2018 2018 (2)

x x

x x x x

+ =




+ + + = −



Theo định lí Viet ta có: x1+x2 = −m 2. Khi đó:
(1) ⇔ m− = ⇔ =2 0 m 2.

0,25

(2) không xảy ra. Thật vậy:
Do 2

1 2018 1

x + > x ; x₂2+2018> x₂ suy ra

2 2

1 2018 2 2018 1 2 1 2

x + + x + > x + x ≥ −x x . Vậy m=2.

0,25

IV
(3,0đ)

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi d₁ và d₂ lần lượt là các tiếp tuyến

của đường tròn ( )O tại A và B, I là trung điểm của đoạn thẳng OA, E là điểm thay

đổi trên đường trịn ( )O sao cho E khơng trùng với A và B. Đường thẳng d đi qua E

1
(1,0đ)

Chứng minh AMEI là tứgiác nội tiếp.

  0

90

MAI =MEI = 0,5

Suy ra   0
180

MAI+MEI = . Vậy AMEI nội tiếp. 0,5

2
(1,0đ)

Chứng minh IB NE. =3.IE NB. .
+)EAI =EBN(cùng phụ với EBA)

+) AEI =BEN(cùng phụ với IEB). Suy ra ∆IAE∆NBE.

0,5

. .

IA NB

IA NE IE NB
IE NE

⇒ = ⇒ = _0,25

. .

3

IB

NE IE NB

⇒ = ⇒IB NE. =3IE NB. (đpcm). 0,25

3
(1,0đ)

Khi điểm E thay đổi, chứng minh tích AM BN. có giá trị khơng đổi và tìm giá

trịnhỏnhất của diện tích tam giác MNItheo R.

Do tứ giác AMEI nội tiếp nên  AMI =AEI (1).
Tương tự ta có tứ giác BNEI nên BIN =BEN (2).
Theo trên ta có  AEI =BEN (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra  AMI =BIN (4).

0,25

Do tam giác AMI và BIN vuông tại A và B, suy ra ∆AMI∆BIN. 0,25

d1 d2

d

N

M

I
A

O B

Suy ra: AM AI AM BN. AI BI.

BI = BN ⇒ = khơng đổi.
Từ (4) ta có:     0

90

BIN+AIM = AMI+AIM = ⇒MIN=900 hay ∆MNI vuông

tại I . Khi đó: 1 . 1 2 2. 2 2

2 2

MNI

S_∆ = IM IN = AM +AI BN +BI

2

1 3 3

2 . . 2 . . . .

2 2 2 4

R R R

AM AI BN BI AM BN AI BI AI BI

≥ = = = =

0,25

Dấu “=” xảy ra khi AM =AI BN, =BI. Vậy S_∆MNI đạt GTNN bằng
2
3

4

R

0,25

V
(1,0đ)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a b c+ + =1. Chứng minh
2 2 2

1 1

30.

a +b +c +abc≥

(1,0đ)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

(

)

3

2
3

1 3 0

9 0

3 0

a b c abc

ab bc ca abc
ab bc ca abc

 = + + ≥ >

 _{⇒ + + ≥ >}



+ + ≥ >



1 9

abc ab bc ca
⇒ ≥

+ +

0,25
Khi đó: ₂ 1_{2 2} 1 ₂ 1_{2 2} 9

a +b +c +abc≥ a +b +c +ab bc+ +ca =

( )

1 1 1 7

1

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca

= + + +

+ + + + + + + +

Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 9

x+ + ≥y z x+ +y z với mọi x y z, , >0 ta được

(

)

2 2 2 2 2 2

1 1 1 9

2

a +b +c +ab bc ca+ + +ab bc ca+ + ≥ a +b + +c ab bc ca+ +

(

)

( )

9

9 2

a b c

= =

+ +

0,25

Lại có

(

)

(

) (

) ( )

1= a b c+ + =a +b + +c 2 ab bc ca+ + ≥3 ab bc ca+ + 3 0,25
Thay

( ) ( )

( )

a +b +c +abc ≥ + = .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1
3

a= = =b c .

Đề

s

ố

3

Câu 1:

1. Cho phương trình: 2

2 0

+ − =

mx x (1), với mlà tham số

a. Giải phương trình (1) khi m=0.

Khi m=0, ta có phương trình: x− =2 0 ⇔ =x 2
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=2.
b. Giải phương trình (1) khi m=1.

Khi m=1, ta có phương trình: 2

2 0

+ − =
x x

Ta thấy: a b c+ + =0nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

1 1

x = ; x₂ = −2.
2. Giải hệphương trình:

3 2 6
2 10

− =



 + =


x y

x y ⇔

4 16 4 4

2 10 4 2 10 3

= = =

  

⇔ ⇔

 _{+ =}  _{+ =}  ₌

  

x x x

x y y y

Vậy nghiệm của hệphương trình là:

( ) ( )

4

2 2

y y y

A

y

y y y y

   ₋ 

=  +   − 

 ₊ −   ₋ 

   , với 0

y> , y≠4, y≠9.
1. Rút gọn biểu thức A.

(

)

(

)(

)

(

)

4 2 8 _{1 2}

:

2 2 2

y y y _y

A

y

y y y y

 

− − _{ − }

= _ − _

− +  − 

 

(

)(

)

(

(

)

)

1 2 2
4 8

:

2 2 2

y y

y y

y y y y

− − −

− −
=

− + −

(

)

(

)(

) (

)

4 2 ₃

:

2 2 2

y y _y

y y y y

− + _{− +}

=

− + −

(

)

(

)

2
4

.

3
2

y y
y

y
y

−
−

=

− +

−
4

3
y
y
=

− (với y>0, y≠4, y≠9).

2

A= − 4 2

3
y
y

⇔ = −

−

(

)

4y 2 y 3

⇔ = − −

4y 2 y 6 0

⇔ + − =

Đặt y t= >0ta có phương trình:

2

4t + − =2 6 0t

Ta có: a b c+ + =0 nên phương trình có hai nghiệm:

1 1

t = (thỏa mãn đk)

2 6

t = − (không thỏa mãn điều kiện)

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng

( )

( )

1. Tìm m đểđường thẳng

( )

( )

Thay x=2 và y=0vào phương trình đường thẳng

( )

Vậy: với m=7 thì đường thẳng

( )

( )

2. Tìm m đểđường thẳng

( )

( )

1 2 2 1 2 16

x − x +x x = .
Phương trình hồnh độgiao điểm của

( )

( )

2 _{2 3} 2 _{2 3 0}

x = x m− + ⇔ x − x m+ − =

Ta có: ∆ = −'

( ) (

)

Đường thẳng

( )

( )

' 0 m 4 0 m 4

Theo hệ thức Vi-et, ta có: 1 2
1 2

2

. 3

x x
x x m

 + =




= −


2 1

1 2

2

. 3

x x

x x m

 = −


⇔ 

Thay x₂ = −2 x₁ vào biểu thức: 2

1 2 2 1 2 16

x − x +x x = ta có:

(

) (

)

2

1 2 2 1 1 2 1 16

x − −x +x −x =

2 2

1 4 4 1 1 16

x x x

⇔ − + − =

1

4x 20

⇔ =

1 5

x

⇔ =

2 3

x

⇒ = −

Thay vào biểu thức: x x₁. ₂ = −m 3 ta được:
3 15 12

m− = − ⇔ = −m (tm)
Vậy: m= −12.

Câu 4:

1. Ta có: _{MFN =90}0_{(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)}

NE ME

⇒ ⊥

Lại có:

P là trung điểm của ME
O là trung điểm của MN

⇒OPlà đường trung bình của ∆MEN
OP NE

⇒ _

OP ME

⇒ ⊥

- Xét tứ giác ONFP ta có :

 0

90
=

ONF (tính chất tiếp tuyến)

 0

90
=

OPF ( do OP⊥ME)

  0

180
⇒ONF+OPF =

⇒ ONFP là tứ giác nội tiếp ( đpcm).

2. Xét MQF ta có:

 

MN QF

PQ ME

MN PQ O

 
 _


  



 O là trực tâm MQF

⇒OF ⊥MQ ( đpcm)

- Ta có:

d

D

Q
P

F

M N

 

   

0

0
90

90

MFO QMF

MFO PQM

PQM QMF



  _{ }




  _

Mà   0

90

= =

MPQ OPF

Nên MPQ ∽ OPF

Từđó suy ra MP = PQ⇒PM PF. =PO PQ.

OP PF (dpcm)

3. Theo BĐT Cauchy ta được:

2 2

2 2 2 . 2 2 2 2.4 4 2

+ ≥ = = =

MF ME ME MF MN R R

Đẳng thức xảy ra ⇔MF=2ME=2R 2
Mà MF =ME+EF

Nên E là trung điểm MF

Xét MNF ta có: 1
2

= = =

NE ME EF MF

 

ME MF

⇒ =

E

⇒ là điểm chính giữa cung MN .

Câu 5: Đặt x= +a b; y b c; z a c;

1 1 1

2017

x y z

   

1 1 1

2 2 2

P

x y z x y z x y z

  

     

Ta có: 1 1 4
x y xy

1 1 4
+ ≥

+
y z y z

1 1 4

x x xz

1 1 1 1 1 1

2

x y z x y y z x z

 _



    _{ }   _

 

 

1 1 1

4

2x y z 2y x z 2z x y

 _



 _   _

     

 

1 1 1 1 2017

4 4

P

x y z

 _



  _    _


Dấu "" xảy ra khi 3
4034

= = =

Đề

s

ố

4

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(2điểm)

1. Giải các phương trình:
a. x = 6

b. x2 – 5x + 4 = 0. Nhận thấy 1 + (-5) + 4 = 0 phương trình có dạng a+ b + c =

0. Vậy ngiệm của phương trinh là: 1
2
x = 1
x = 4




2. Giải hệphương trình: 2x - y = 3 5 5 x = 1
3x + y = 2 3x + y = 2 y = -1

x=
  
⇔ ⇔
  
  
0.5
0.75
0.75
Câu 2
(2điểm)

1. Vớiy > 0; y≠1 Ư(2)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1

-1 +1

A = :

1
y - y +

2 1

( -1)(y + +1) ( +1)(y - +1)

A = :

( -1) ( 1) ( 1)( 1)

2 1

(y + +1) (y - +1)

A = :

( 1)

1
y + +1- y + -1

A =
2( 1)
1
2
A =
2( 1)
1
A =
1
y y

y y y y

y

y y

y

y y y y

y y y y y y

y

y y

y y y

y
y y
y y
y
y
y y
y
y
− +
 
−
 
  ₋
 
+
 
−
 
+ + −
 
 
+
 
−
 
−

2. Vớiy > 0; y≠1 Ta có A = 1 1 2 1 2

1 1 1

y y

y y y

− + −

= = −

+ + + để A nhận giá trị
nguyên thì 2

1

y+ nguyên hay

{ }

{ }

{ }

2 y+ ⇔1 y+ ∈1 U•(2)⇔ y+ ∈1 1, 2 ⇔ y∈ 0,1 ⇔ ∈y 0,1 (không thỏa
mãn ĐKXĐ).

Vậy khơng có giá trị ngun nào của y để biểu thức B nhận giá trị nguyên

1

1

Câu 3

(2điểm) 1. Đường thẳng (d) đi qua điểm B(1; 2) nên có

2 = n.1+1⇒n = 1 là giá trị cần tìm
2. Xét phương trình hồnh độgiao điểm giữa (d) và (P): 2

2x - nx -1 = 0 Có
2

Δ = n + >8 0 với mọi n nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi
n

Vậy (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồng độ lần lượt M(x1;

y1), N(x2; y2) khi đó y = 2x_{1 1}2;y = 2x_{2 2}2
Áp dụng hệ thức Vi – Ét ta có: 1 2

1

2

−

Theo bài ra ta có

2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2

1 1 1 1

S = 2 .2 4( ) 4. 1

2 4 2 2

x x +y y =x x + x x =x x + x x =− + = − + =

1
S

2

= là giá trị cần tìm.

0.75

0.75

Câu 4

(3điểm) 1.Ta có

 0

MPQ = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn); EF⊥MQ

  0 0 0

EPQ + EFQ = 90 90 180

⇒ + = ⇒tứ giác PEFQ nội tiếp đường trịn đường
kính PQ

2.Tương tự   0 0 0

ENM + EFM = 90 90 180

⇒ + = ⇒tứ giác MNEF nội tiếp
 

PFQ PEQ

⇒ = (hai góc nộ tiếp cùng chắn
cung PQ trong đường trịn đường kính EQ)
 NFM=NEM(hai góc nội tiếp cùng chắn
cung MN trong đường trịn đường kính ME)
 NEM=PEQ(hai góc đối đỉnh)

PFQ =MFK(hai góc đối đỉnh)
 

NFM KFM

⇒ =

hay PM là phân giác của góc NFM
3. Ta có:

 

NPM=NQM(hai góc nội tiếp cùng chắn
cung MN trong đường trịn đường kính MQ)

 

EPF=EQF(hai góc nộ tiếp cùng chắn
cung EF trong đường trịn đường kính EQ)

 
NPE EPL

⇒ = ⇒PE là phân giác trong của ΔNPL. Lại cóPE⊥P Q⇒ PE là phân
giác ngoài của ΔNPL ΕΝ QN= ΕΝ.QL QN. ΕL

ΕL QL

⇒ ⇒ = (đpcm)

1.0

1.0

1.0

Câu 5

(1điểm)

Với a, b, c là các sốdương ta có:

(+) 1 +2 9 (1) (m + 2n)(n + 2m) 9
m + 2n

m n ≥ ⇔ ≥ mn

2 2 2

2m - 4mn + 2n 0 2(m - n) 0

⇔ ≥ ⇔ ≥ (đúng). Dấu bằng xảy ra khi m = n

(+) 2 2 2 2 2

m + 2n≤ 3(m +2n )(2)⇔(m+2 )n ≤3(m +2n )

2 2

2 2 0 2( ) 0

m - 4mn + 2m m - n

⇔ ≥ ⇔ ≥ (đúng). Dấu bằng xảy ra khi m = n
(+) Từ (1) và (2) suy ra

2 2

1 2 9 9 3

+

3(m + 2n )

m n≥ m + 2n≥ ≥ p (do

2 2 2

+ 2 3

m n ≤ p ).
Suy ra 1 +2 3

m n ≥ p. Dấu bằng xảy ra khi m = n = p

0.25

Đề

s

ố

5

Câu 1:

1. a. Khi m = 0 ta có x -2 = 0 => x = 2

b. Khi m = 1 ta được phương trình: x2 + x – 2 = 0 => x₁ = 1; x₂ = -2

2. Giải hệphương trình:
5

1

x y
x y

+ =

 − =

 ⇔

3
2

x
x

=

 =


Vậy hệphương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y) = (3;2)

Cấu 2.

a. Rút gọn Q

Q = 4 3 6 2

1

1 1

b
b

b b

+

+ −

−

− + =

(

)

3 1

4( 1) 6 2

1 1 ( 1)( 1)

4 4 3 3 6 2

( 1)( 1)
1

( 1)( 1)
1

1

b

b b

b b b b

b b b

b b

b

b b

b

−

+ _{+ −} +

− + − +

+ + − − −

=

− +

−
=

− +

=
+

2. Thay b = 6 + 2 2

5=( 5 1)+ (Thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q
đã rút gọn ta được:

2

1 1

5 2

( 5 1) 1

= = −

+

+ +

Vậy b = 6 + 2 5 thì Q = 5-2

Câu 3.

1. Thay x = 0; y = 2 vào phương trình đường thẳng (d) ta được: n = 3

2. Phương trình hồnh độgiao điểm của (d) và (P) là: x2 – x – (n - 1) = 0 (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

3

4 3 0

4

n n

⇔ ∆ = − _ ⇔ _ .

Khi đó theo định lý Vi ét ta có: 1 2
1 2

1
( 1)

x x

x x n

+ =


Theo đề bài: 4 1 2
1 2

1 1

3 0

x x
x x

 

+ − + =

 

 

1 2

1 2
1 2

4 x x x x 3 0

x x
 + 

⇔ _{ }− + =

 

2

1 2

4

2 0
1

6 0( : 1)
2( ); 3( )

n
n

n n DK n

n TM n L

⇒ + + =

− +

⇔ + − = ≠

⇒ = =

Vậy n = 2 là giá trị cần tìm.

Câu 4.

1. HS tự chứng minh

2. Ta có K là trung điểm của EF => OK⊥EF =>  0
90

MKO= => K thuộc đương tròn
đường kính MO => 5 điểm D; M; C; K; O cùng thuộc đường trịn đường kính MO
=>  DKM =DOM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

CKM =COM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có DOM =COM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=>  DKM =CKM => KM là phân giác của góc CKD

3. Ta có: SMRT = 2SMOR = OC.MR = R. (MC+CR) ≥2R. CM CR.

Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vng OMR ta có: CM.CR = OC2 = R2

không đổi
=> SMRT ≥2R2

Dấu = xảy ra ⇔ CM = CR = R 2. Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O
bán kính R 2.

d
E

F
O

M

C
D

R
T

Vậy M là giao điểm của (d) với đường trịn tâm O bán kính R 2 thì diện tích tam giác
MRT nhỏ nhất.

Câu 5

Ta có: 5x2 _{+ 2xyz + 4y}2 _{+ 3z}2 _{= 60}

⇔5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 – 60 = 0

x

∆ = (yz)2 -5(4y2 + 3z2 – 60) = (15-y2)(20-z2)

Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 => 4y2_≤60 và 3z2_≤60 => y2_≤15 và z2_≤20 => (15-y2)_≥0 và

(20-z2) _≥0

=>∆x ≥0

=> x= (15 2)(20 2)
5

yz y z

− + − −

≤

2 2

1

(15 20 )
2

5

yz y z

− + − + −

(Bất đẳng thức cauchy)
=> x≤ 2 35 2 2 35 ( )2

10 10

yz y z y z

− + − − ₌ − +

=> x+y+z ≤ 35 ( )2 10( ) 60 ( 5)2

10 10

y z y z y z

− + + + ₌ − + −

≤6

Dấu = xảy ra khi 2 2

5 0 1

15 20 2

6 3

y z x

y z y

x y z z

+ − =

  =

 _{− = − ⇔} ₌

 

 _{+ + =} _{ =}


Vậy Giá trị lớn nhất của B là 6 đạt tại x = 1; y = 2; z = 3.

Đề

s

ố

6

Câu Nội dung Điểm

1a. Giải pt: y - 3 = 0 <=> y = 3. Vậy pt có nghiệm y = 3 0.25
1.b

Giải pt: y2 – 3y + 2 = 0

Ta có: a = 1, b = - 3, c = 2
a + b + c = 1 + ( - 3) + 2 = 0

Vậy pt có nghiệm y1 = 1, và nghiệm y2 = 2.

0.75

1.b

2

4

4

8

2

2

3

2

4

2

4

2

4

1

x

y

x

x

x

x

y

x

y

x

y

y

+

=

=

=

=









<=>

<=>

<=>