Tải bản đầy đủ (.pdf) (22 trang)

Đề thi thử THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 22 trang )

(1)

CHUYÊN ĐỀ



H

TH

ỨC LƯỢ

NG TRONG TAM GIÁC


(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ



STRONG TEAM TỐN VD-VDC)


Câu 1. Cho ABCa=12,b=15,c=13.


a. Tính số đo các góc của ABC.


b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC.
c. Tính S,R,r.


d. Tính ha,hb,hc


Câu 2. Cho ABCAB=6, AC=8, góc A=120.
a. Tính diện tích ABC.


b. Tính cạnh BC và bán kính r.
Câu 3. Cho ABCa=8,b=10,c=13


a) ABC có góc tù hay khơng?


b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC.
c) Tính diện tích ABC.


Câu 4. Cho ABC có các góc A = 60 ,B = 45 , b=2. Tính độ dài cạnh a c, , bán kính đường trịn
ngoại tiếp và diện tích tam giác.


Câu 5. Cho tam giác ABCAC=7, AB=5, BAC= 60 . Tính BC S, ABC, h Ra, .
Câu 6. Cho tam giác ABCmb=4, mc=2, a=3. Tính độ dài các cạnh AB AC, .


Câu 7. Cho tam giác ABCAB=3,AC=4 và diện tích S =3 3. Tính cạnh BC.
Câu 8. Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB=2,AC =3,BC=4.


Câu 9. Tínhh góc A của ABC có các cạnh a,b,c thỏa mãn hệ thức b

(

b2−a2

) (

=c a2−c2

)

.


Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a.


2 2 2


2 2 2


tan A c a b
tan B c b a


+ −


=


+ −


b. 2 2 1 cos C


c (a b) 4S.


sin C




= − +



c. 2


S=2R .sin A.sin B.sin C


d. 1 2 2 2


S AB .AC (AB.AC )


2


= −


e.a =b.cosC+c.cos B


f.sin A 2 p(p a)(p b)(p c)
bc



(2)

Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR


a. 2 2 2 2 2 2 2


MA +MB +MC =GA +GB +GC +3GM


b. 2 2 2 2 2 2


a b c


4(m +m +m )=3(a +b +c ).



Câu 12. Cho ABCb c+ =2a. Chúng minh rằng
a. sinB+sinC=2sinA.


b. 2 1 1


a b c


h = h + h .


Câu 13. Cho ABC biết A

(

4 3; 1−

)

, B

( )

0;3 , C

(

8 3;3

)

.
a. Tính các cạnh và các góc của ABC.


b.Tính chu vi và diện tích củaABC


Câu 14. Cho ABC biết a=40, B= 36 20, C = 73 . Tính A , cạnh b, c của tam giác đó.
Câu 15. Cho ABC biết a=42, 4 m, b=36, 6 m, C = 33 10. Tính A , B và cạnh c.


Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC CB là 75. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đếnngười ta tốn
thêm bao nhiêu km dây?


Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sơng từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết


87 ,


= 


CAB CBA= 62 . Hãy tính khoảng cách ACBC.



Câu 18. Cho tam giác ABCBC=a, A= và hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với nhau.
Tính SABC.


Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi l l la, ,b c lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C, , . Chứng
minh rằng


a) 2 cos


2
=


+
a


bc A


l


b c .


b)


cos cos cos


1 1 1


2 + 2 + 2 = + +


a b c



A B C


l l l a b c.


c) 1 + +  + +1 1 1 1 1
a b c


l l l a b c .


Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Chứng minh
rằng: SABCD =

(

pa

)(

p b

)(

p c

)(

pd

)

với


2
a b c d


p= + + + .


Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , chứng minh rằng


2 2 2


cos cos cos


.
2


a b c A B C


abc a b c




(3)

Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , và 2


1,


a=x + +x b=2x+1, c=x2−1 chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng 120.


Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
a.


2 2 2


cotA+cotB+cotC= a +b +c R


abc .


b. sin

(

)(

)


2


− −


= p b p c


A


bc .


Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi 1

(

)(

)


4



ABC


S = a b c+ − a+ −c b .


Câu 26. Cho tam giác ABC. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng : 1


2


r
R .


Câu 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:


a.

(

)



2 2


2 2


2 2


cos cos 1


cot cot


sin sin 2


+



 +


+


A B


A B


A B .


b. 3S2R2

(

sin3A+sin3B+sin3C

)

.
c. pp a− + p b− + p c−  3p.
d. 2 1

(

4 4 4

)



16


 + +


S a b c


Câu 29. Cho ABC. Chứng minh rằng 2 2 2


2 2 2


a +b +cab+ bc+ ca


Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p khơng đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
các cạnh bé nhất.


Câu 31. Cho tam giácABC. Chứng minh rằng 12 12 12 12


4
a +b +cr .
Câu 32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:


a. a b c 3.


b c+ −a+c+ −a b+a b c+ − 
b. 1 1 1 1.


a b c


h +h +h = r
c. b2 2c a2 1.


a b c


h h h


h +h +hr


Câu 33. Cho tam giác ABC có 2 2 2


sin B+sin C=2 sin A. Chứng minh rằng A 60 .


Câu 34. Cho tam giác ABC


4 4 4
3 3 3


a +b =c . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.


Câu 35. Tam giác ABC có 2 2 2 2


36



(4)

GI

I CHI TI

T

CHUYÊN ĐỀ



H

TH

ỨC LƯỢ

NG TRONG TAM GIÁC


(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CƠ



STRONG TEAM TỐN VD-VDC)


huyngocnguyen95@gmail.com


Câu 1. Cho ABCa=12,b=15,c=13.


a. Tính số đo các góc của ABC.


b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC.


c. Tính S,R,r.


d. Tính ha,hb,hc


Lời giải


Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
a. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có:


2 2 2 2 2 2


15 13 12 25



cos 50 7


2 2.15.13 39


b c a


A A


bc


+ − + −


= = =    .


2 2 2 2 2 2


12 13 15 11


cos 73 37


2 2.12.13 39


a c b


B B


ac


+ − + −



= = =    .


2 2 2 2 2 2


12 15 13 5


cos 56 16


2 2.12.15 9


a b c


C C


ab


+ − + −


= = =    .


b. Xét ABC ta có:


(

2 2

)

2

(

2 2

)

2


2 2. 2. 15 13 12


161 161


4 4



a a


b c a


m = + − = + − = m = .


(

2 2

)

2

(

2 2

)

2


2 2. 2. 12 13 15 401 401


4 4 4 2


b a


a c b


m = + − = + − = m = .


(

2 2

)

2

(

2 2

)

2


2 2. 2. 12 15 13 569 569


4 4 4 2


c a


a b c


m = + − = + − = m = .



c. Xét ABC ta có:


12 15 13
20


2 2


a b c


p= + + = + + = .


(

)(

)(

)

20.8.5.7 20 14


S = p p ap bp c− = = (đvdt).


Mà r 20 14 14


20


S


S p r


p


=  = = = .


Ta có 12.15.13 117



4R 4S 4.20 14 4 14


abc abc


S =  =R = = .


d. Xét ABC ta có:


1 2S 2.20 14 10 14


.


2 a a 12 3


S a h h


a



(5)

1 2S 2.20 14 8 14
.


2 b b 15 3


S b h h


b


=  = = = .


1 2S 2.20 14 40 14



.


2 c c 13 13


S c h h


c


=  = = = .


Câu 2. Cho ABCAB=6, AC=8, góc A=120.


a. Tính diện tích ABC.


b. Tính cạnh BC và bán kính r.


Lời giải


Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy


a. Xét ABC ta có:


1 1 3


.sin A .6.8. 12 3


2 2 2


S = bc = = (đvdt).



b. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có:


2 2 2 2 2 1


2. . .cos 6 8 2.6.8. 148 148 2 37
2


BC =AB +ACAB AC A= + − − = BC= = .


Ta có . . . . 6.8. 148 2 111


4R 4S 4.12 3 3


AB AC BC AB AC BC


S =  =R = = .


khanhhoanl2@gmail.com


Câu 3. Cho ABCa=8,b=10,c=13
a) ABC có góc tù hay khơng?


b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC.
c) Tính diện tích ABC.


Lời giải


Tác giả:Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân.



a) Vì a b cnên ABC .
Ta có


2 2 2


0
1


cos 91 47 '


2 32


a b c


C C


ab


+ −


= = −  


Vậy ABC có góc C là góc tù.


b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
Theo định lý sin :


2 2


13 208



2 6,5


sinC 2sinC 2 1 cos 1 1023


2 1


32


c c c


R R


C


=  = = = = 




− −


 


(đvđd)


c) Áp dụng cơng thức Hê - rơng, ta có:


( )( )( )


ABC



S = p pa p b p c− −


Với 31


2 2


a b c
p= + + =


Do đó 31 31 8 31 10 31 13 25575 5 1023 40


2 2 2 2 16 4


ABC


S =  −  − = = 


    (đvdt)



(6)

Lời giải


Tác giả:Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân.


Ta có: C =180 −(A+B)=75


Từ định lí sin: 2


sin



a b c


R
sinA =sinB = C =


⇒ sin 2sin 60 6
sin 45


b A


a


sinB




= = =


 ;


sinC 2sin 75


1 3
sin 45


b
c


sinB





= = = +



2


2
2 2sin 45


b
R


sinB


= = =




Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có:


(

)



1 1 2 3 3


sin 6 1 3


2 2 2 2


ABC



S = ac B= + = + (đvdt).


Hungtoan96cl@gmail.com, lehoanpc@gmail.com


Câu 5. Cho tam giác ABCAC=7, AB=5, BAC= 60 . Tính BC S, ABC, h Ra, .


Lời giải


Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn


 2 2 2


2 . .cos


= + −


BC AB AC AB AC BAC =72+52−2.7.5.cos 60 =39BC= 39.


 1. . .sin


2
ABC =


S AB AC BAC 1.5.7.sin 60 35 3.


2 4





= =


 1. . 2.


2




ABC = aa = ABC


S


S BC h h


BC


35 13
.
26


=


 2


sin =  = 2sin


BC BC


R R



A A = 13.


Câu 6. Cho tam giác ABCmb=4,mc=2,a=3. Tính độ dài các cạnh AB AC, .
Lời giải


Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn


AB=c AC, =b


2 2 2 2 2


2 2( ) 2(9 )


16


4 4


+ − + −


=  =


b


a c b c b


m 2 2


2 46


c − =b (1)



2 2 2


2 2( )


4


+ −


=
c


a b c


m


2 2 2


2(3 )
4


4


+ −


 = b c 2 2


2 2


b − = −c (2)



Giải hệ gồm 2 phương trình (1), (2) được


2
2


14 14


30 30




= =




==


 


b b


c c


Vậy


14
30


 =



=



AC


AB .


Lephi@thptthanuyen.edu.vn


Câu 7. Cho tam giác ABCAB=3,AC=4 và diện tích S =3 3. Tính cạnh BC.



(7)

Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi


Ta có S =3 3 1 . .sin


2AB AC BAC


 =3 3 sin 3


2


BAC


 = 60


120
BAC
BAC
=


 
 = 

.


+ TH1: BAC=60


Theo định lí cơsin trong tam giác, ta có:


2 2


2 . .cos 60


BC= AB +ACAB AC  = 9 16 12+ − = 13.
+ TH2: BAC=120


2 2


2 . .cos120


BC= AB +ACAB AC  = 9 16 12+ + = 37.


Vậy BC= 13 hoặc BC= 37.


anhson9802@gmail.com,Thuthuy1988.nt@gmail.com


Câu 8. Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB =2,AC =3,BC=4.


Lời giải



Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui


Ta có ,


2
9
2
2
3
4
2 =
+
+
=
+
+


=a b c


p

(

)(

)(

)


4
15
3
2
2
9
.
3
2

9
.
4
2
9
.
2
9
=





 −





 −





 −
=





= p p a p b p c


S .
.
6
15
2
9
:
4
15
3
=
=
=

=
p
S
r
pr
S


Câu 9. Tínhh góc A của ABC có các cạnh a,b,c thỏa mãn hệ thức b

(

b2−a2

) (

=c a2−c2

)

.


Lời giải


Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui



Ta có b

(

b2−a2

) (

=ca2 −c2

)

b3−ba2−ca2+c3 =0


(

+

)

(

2− + 2

)

− 2

(

+

)

=0

(

+

)

(

2− + 2− 2

)

=0


b c b bc c a b c b c b bc c a



.
60
2
1
cos
cos
2
0
0
2
2
2
2
2
2
=

=

=

=



+

=

+


A
A
bc
A
bc
bc
a
c
b
a
c
bc
b


Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:


a.


2 2 2


2 2 2



tan A c a b
tan B c b a


+ −


=


+ −


b. c2 (a b)2 4S.1 cos C
sin C




= − +


c. 2


S=2R .sin A.sin B.sin C


d.S 1 AB .AC2 2 (AB.AC )2


2


= −



(8)

f.sin A 2 p(p a)(p b)(p c)
bc


= − − − Cho ….



Lời giải


Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong.


a. VP=2 cos cos 2 sin cos


2 cos cos 2 sin cos


ac B a B R A B


bc A=b A = R B A


tan A
tan B


= = VT


b.VP= 2 2 1 (1 cos C)


a b 2ab 4. ab sin C


2 sin C




+ − + = 2 2 2


2 cos



a +bab C=c =VT.


c. Ta có 1 sin 1.2 sin .2 sin .sin 2 2.sin sin sin .


2 2


S= ab C= R A R B C= R A B C (Điều phải chứng


minh)


d.S 1 AB .AC2 2 (AB.AC )2


2


= − 1 2 2 2


S AB .AC (AB.AC.cos A)
2


 = −


2 2 2


1


S AB .AC (1 cos A)
2


 = − S 1AB.AC.sin A



2


 = (luôn đúng)Điều phải chứng minh.


e. VP=


2 2 2 2 2 2


b(a b c ) c(a c b )


2ab 2ac


+ − + + − = a = VT . Suy ra điều phải chứng minh


f. 2 . 2 1. sin sin .


2


VP S bc A A VT


bc bc


= = = = Điều phải chứng minh.


Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR
a.MA2+MB2+MC2 =GA2+GB2+GC2+3GM2


b.4(ma2+m2b+m )c2 =3(a2+b2+c )2 .


Lời giải



Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong.


a.


2 2 2 2 2 2 2


2 2 2 2 2 2 2 2


(GA GM) (GB GM) (GC GM) GA GB GC 3GM 2GM(GA GB GC)


GA GB GC 3GM 2GM.0 GA GB GC 3G


VT


M VP


− + − + − = + + + − + +


= + + + − + + +


=


= =


b.


2 2 2 2 2 2 2 2 2


2 2 2



VT 2b 2c a 2a 2c b 2b 2a c
3(a b c ) VP


= + − + + − + + −


= + + =


Xuanmda@gmail.com, quankiet2@gmail.com
Câu 12. Cho ABCb+ =c 2a. Chúng minh rằng


a. sinB+sinC=2sinA.
b. 2 1 1


a b c


h = h + h .


Lời giải


Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe


a. Áp dụng định lí Sin cho ABC ta có: 2


sin sin sin


a b c


R
A = B = C = .



Suy ra: a=2 .sinR A, b=2 .sinR B, c=2 .sinR C



(9)

2


b+ =c a 2 .sinR B+2 .sinR C=2.2 .sinR A sinB+sinC=2sinA (điều phải chứng


minh)


b. Gọi S tính diện tích ABC ta có: 1 . 1 . 1 .


2 a 2 b 2 c


S = a h = b h = c h


Suy ra: 2


a
S
a


h


= , 2


b
S
b


h



= , 2


c
S
c


h


= .
Theo giả thiết ta có:


2


b+ =c a 2 2 2.2


b c a


S S S


h h h


 + = 2 1 1


a b c


h h h


 = + (điều phải chứng minh)



Câu 13. Cho ABC biết A

(

4 3; 1−

)

, B

( )

0;3 , C

(

8 3;3

)

.


a. Tính các cạnh và các góc của ABC.


b.Tính chu vi và diện tích củaABC


Lời giải


Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe
a. Ta có: AB= −

(

4 3; 4

)

, AC =

(

4 3; 4

)

, BC=

(

8 3;0

)



Suy ra:

(

)



2
2


4 3 4 8


AB= − + = ,

( )



2
2


4 3 4 8


AC = + = ,

( )



2
2



8 3 0 8 3


BC = + =


( )

2


2 2


2 2 2 8 8 8 3


1
cos


2 2.8.8 2


b c a


A


bc


+ −


+ −


= = = −  =A 120


Do AB= AC=8 nên ABC cân tại A suy ra: B= = C 30 .


b. Chu vi ABC bằng AB+AC+BC=16 8 3+ .



Diện tích ABC bằng 1. .sin 1.8.8.sin120 16 3


2 2


S = bc A=  = .


Tvluatc3tt@gmail.com


Câu 14. Cho ABC biết a=40, B= 36 20, C = 73 . Tính A , cạnh b, c của tam giác đó.


Lời giải


Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật


Ta có


180


A +B +C =  A =180 −

(

B +C

)

A =180 −

(

36 20 + 73

)

A = 70 40.
Theo định lý sin ta có


sin 40sin 36 20


25,12
sin sin 70 40


sin 40sin 73
sin sin sin



40, 68
sin sin 70 40


a B


b b


a b c A


a C


A B C


c c


A





==


 


   


= = 





==


   


 


.


Câu 15. Cho ABC biết a=42, 4 m, b=36, 6 m, C = 33 10. Tính A , B và cạnh c.


Lời giải


Áp dụng định lý cơsin trong tam giác ABCc2 =a2+b2−2abcosC


2 2 2


42, 4 36,6 2.42, 4.36,6.cos33 10


c


 = + −  2


539, 28 23, 22


c   c .


Ta có sin sin sin 42, 4sin 33 10 87 40


sin sin 23, 22



a c a C


A A A


A C c







(10)

Mặt khác ta lại có
180


A +B +C =  B =180 −

(

A +C

)

B =180 −

(

87 40 + 33 10

)

B = 59 10


luuhuephuongtailieu@gmail.com
Trungkienta1909@gmail.com


Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC CB là 75. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đếnngười ta tốn
thêm bao nhiêu km dây?


Lời giải


Tác gi: T Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa


Ta có AC=10,BC=8,ACB=75.


Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC:



2 2 2 2 2


2 . .cos 2 . .cos


= + −  = + −


AB BC CA BC CA C AB BC CA BC CA C


2 2


8 10 2.8.10.cos 75 11, 072


= + −   km.


Số dây tốn thêm là: 10 8 11, 072+ − 6, 928km.


Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sơng. Biết
87 ,


= 


CAB CBA= 62 . Hãy tính khoảng cách ACBC.
Lời giải


Tác gi: T Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa


Ta có C=180 −  −  = 87 62 31 .



(11)

500



sin =sin =sin sin 31 =sin 62=sin 87


AB AC BC AC BC


C B A


857,167
969, 472




 




AC m


BC m .


vanghhc@gmail.com


Câu 18. Cho tam giác ABCBC=a, A= và hai đường trung tuyến BM CN, vng góc với
nhau. Tính SABC.


Lời giải


Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu



Hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với nhau tại trọng tâm G nên ta có


2+ 2 = 2


GB GC BC


2 2


2


2 2


3 3


   


+ =


BM  CNBC


2 2 2 2 2 2


2
4


9 2 4 2 4


 + + 


− + − =



 


c a b b a c


a


 2 2 2


5


+ =


b c a .


Mặt khác 2 2 2 2


2 cos 2 cos 4


= + −  =


a b c bc A bc A a 4 cotS  =4a2 =S a2. tan.
Vậy diện tích tam giác ABC là 2.tan


ABC =


S a .


Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi l l la, ,b c lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C, , . Chứng
minh rằng



a) 2 cos
2
=


+
a


bc A


l


b c .


b)


cos cos cos


1 1 1


2 + 2 + 2 = + +


a b c


A B C


l l l a b c.


c) 1 + +  + +1 1 1 1 1
a b c



l l l a b c .


Lời giải



(12)

a) Ta chứng minh được sin 2 sin cos


2 2


= A A


A .


Mặt khác SABC =SABD+SACD


1 1 1


sin sin sin


2 2 2 2 2


 = a + a


A A


bc A l c bl


(

)



1 1



.2sin co s sin .


2 2 2 2 2


bc A A= la A b c+ 2 co s


2
 =


+
a


bc A


l


b c


b )
cos


1 1
2


2 2 2


+


= = +



a
A


b c


l bc b c


Tương tự ta có
cos


1 1
2


2 2


= +


b
B


l a c
cos


1 1


2


2 2



= +


c
C


l b a


Suy ra


cos cos cos


1 1 1


2 + 2 + 2 = + +


a b c


A B C


l l l a b c (dpcm).


c) Ta có


cos cos cos


1 1 1


2 + 2 + 2  + +


a b c a b c



A B C


l l l l l l




cos cos cos


1 1 1


2 + 2 + 2 = + +


a b c


A B C


l l l a b c


1 1 1 1 1 1


+


 +  + +


a b c


l l l a b c (đpcm)
vungatoannvx@gmail.com



Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C


,


2


a b c


m m m


m= + + . Chứng minh rằng: 4

(

)(

)(

)



3


ABC a b c


S = m m mm mm m− .


Lời giải


Gọi D là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G. P là trung điểm của BC, suy ra tứ giác


GCDB là hình bình hành (do hai đường chéo GDBC cắt nhau tại trung điểm P của mỗi
đường).


A


B C



(13)

Ta có: 2 1


3


GBD GBP GBC ABC


S = S =S = S .


Mà GBD có độ dài các cạnh 2


3 b


BG= m , 2


3 a


GD= AG= m , 2


3 c
BD=GC= m .


Nửa chu vi 1 2.

(

)

2


2 3 a b c 3


p= m +m +m = m .


(

)(

)(

)



2
2
3



GBD a b c


S   m m m m m m m


 =  − − −


  ( công thức Hê-rông ) .


(

)(

)(

)



4
3


3


ABC GBD a b c


S S m m m m m m m


 = = − − − ( ĐPCM).


Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Chứng minh
rằng: SABCD =

(

p a

)(

p b

)(

p c

)(

p d

)

với


2
a b c d


p= + + + .



Lời giải


Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên sinABC=sinADC, cosABC= −cosADC.


(

)

(

)

2


1 1


sin 1 cos


2 2


ABCD ABC ADC


S =S +S = ab dc+ ABC= ab dc+ − ABC.
Trong ABC ta có: AC2 =a2+ −b2 2abcosABC.


Trong ADC ta có: AC2 =c2+d2−2cdcosADC.


2 2 2 2


2 cos 2 cos


a b ab ABC c d cd ADC


 + − = + −

(

) (

)



(

)



2 2 2 2



cos


2


a b c d


ABC


ab cd


+ − +


 =



(14)

Do đó:

(

)

(

) (

)



(

)



2


2 2 2 2


1


1


2 2


ABCD



a b c d


S ab dc


ab cd


+ +


 


= + −


 + 


 


.


=

(

)

(

(

) (

)

)



2


2 2 2 2 2


1
4


4 ab cd+ − a +bc +d .



(

)

(

2 2

) (

2 2

)

(

)

(

2 2

) (

2 2

)


1


2 2


4    


= ab cd+ − a +b + c +d   ab cd+ + a +bc +d .


=1

(

) (

2

) (

2

) (

2

)

2


4


+   + − −


c d a b   a b c d .


2 2 2 2


a b c+ + −d a b c+ − +d a b c− + +d − + + +a b c d


    


=    .


(

p d

)(

p c

)(

p b

)(

p a

)



= − − − − với


2


a b c d


p= + + + ( ĐPCM).


Hieu98kmhd@gmail.com


Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , chứng minh rằng


2 2 2


cos cos cos


.
2


a b c A B C


abc a b c


+ + = + +


Lời giải


Ta có:

(

AB+BC+CA

)

2 = 0 AB2+BC2+CA2+2AB BC. +2BC CA. +2AB CA. =0.


2 2 2


2 . 2 . 2 .


AB BC CA BA BC CB CA AB AC



 + + = + + .


2 2 2


2 cos 2 cos 2 cos


a b c ac B ab C bc A


 + + = + + .


2 2 2


cos cos cos


.
2


a b c A B C


abc a b c


+ +


 = + +


Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , và a=x2+ +x 1, b=2x+1, c=x2−1 chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng 120.


Lời giải



Điều kiện , ,a b c là ba cạnh của tam giác khi và chỉ khi:


2


2 2


1 0


2 1 0 1


1 2 1 1


x


x x


x x x x


 − 


 +   




 − + +  + +


.



Với x1 thì abac nên a là cạnh lớn nhất.


Tính

(

)

(

) (

)



(

)

(

)



2 2


2 2 2


2 2 2


2


2 1 1 1


cos


2 2 2 1 1


+ + − − + +


+ −


= =


+ −


x x x x



b c a


A


bc x x .


(

)

(

)(

)



(

)

(

)



2 2 2 2 2


2


2 1 1 1 1 1


2 2 1 1


x x x x x x x


x x


+ + − + + + − − − −


=



(15)

(

)

(

)

(

)


(

)

(

)



2 2



2


2 1 2 2


2 2 1 1


x x x x


x x


+ − + +


=


+ −


(

)

(

)



(

)

(

2

)



2 1 2 1 2


2 2 1 1


x x x x


x x


 



+ + − +


=


+ −

(

)



2
2


1 1


2


2 1


x
x


− −


= = −


− .


120


 =A .


GV PB: vuduchieu1904@gmail.com,Diephd02@gmail.com


Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có


a.


2 2 2


cotA+cotB+cotC=a +b +c R


abc .


b. sin

(

)(

)


2


− −


= p b p c


A


bc .


Lời giải


FB: Nguyễn Ngọc Diệp


a. Chứng minh:


2 2 2


cotA+cotB+cotC= a +b +c R


abc


Theo định lí sin : 2 sin


sin =  =2


a a


R A


A R (1)


Theo định lí cosin :


2 2 2


2 2 2


2 .cos cos


2


+ −


= + −  =b c a


a b c bc A A


bc (2)



Từ (1) và (2)

(

)



2 2 2


cos
cot


sin


+ −


A= A= R b c a


A abc .


Tương tự:

(

)



2 2 2


cotB= R a + −c b
abc ,


(

2 2 2

)



cotC= R a +bc
abc .


Khi đó:


(

2 2 2

) (

2 2 2

) (

2 2 2

)

2 2 2

cotA+cotB+cotC = R b +ca +R a +cb +R a +bc = a +b +c R.


abc abc abc abc


b. Chứng minh: sin

(

)(

)



2


− −


= p b p c


A


bc .


Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: ,


2


+ −


= = AB AC BC = −


OE r AE p a.


Tam giác AOE vuông tại E nên: tan

(

)

tan


2= = −  = − 2



A OE r A


r p a


AE p a .


Mặt khác 1 sin sin cos


2 2 2


ABC = = =


A A


S pr bc A bc


C
B


A



(16)

(

)

2

(

)

(

)

2


. sin cos tan sin cos sin


2 2 2 2 2 2




 



 = = − = −


 


ABC


A A A A A A


S pr bc p p a bc p p a bc (1)


Công thức Hê rông: SABC = p p a

(

)(

p b

)(

p c

) (

SABC

)

2 = p p a

(

)(

p b

)(

p c

)

(2)


Từ (1) và (2)

(

)

(

)(

)(

)

(

)(

)



2


sin sin .


2 2


− −


 


 − = − − −  =


 


p b p c



A A


p p a bc p p a p b p c


bc
Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi 1

(

)(

)



4
ABC


S = a b c+ − a c b+ − .


Lời giải


Ta có:


2
a b c
p= + +


(

)(

)



1
4
ABC


S = a b c+ − a c b+ − 4SABC =

(

a+ −b c

)(

a+ −c b

)



(

)(

)(

) (

)(

)




4


p p ap bp c− = a b c+ − a c b+ −


(

)(

)(

) (

) (

2

)

2


16


p pa p bp c− = a b c+ − a+ −c b


(

) (

2

)

2


16. .


2 2 2 2


+ +  + +  + +  + + 


= + − + −


   


a b c a b c a b c a b c


a b c a b c a c b


(

)(

)(

)(

) (

) (

2

)

2


 + +a b c b c a+ − a+ −c b a b c+ − = a b c+ − a+ −c b



(

)(

) (

)(

)



a+ +b c b+ −c a = a+ −b c a+ −c b


(

)

2 2 2

(

)

2 2 2 2


b c a a b c b c a


 + − = − −  + = .


Vậy tam giác ABC vuông tại A.


Thuylinh133c3@gmail.com


Câu 26. Cho tam giác ABC. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.


Chứng minh rằng : 1


2


r
R .


Lời giải


Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh


Ta có r S



p


= ,

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)



2 4 4


4
4


p p a p b p c p a p b p c


abc r S


R


S R pabc pabc abc


− − − − − −


=  = = = .


(

)(

)

2


2 2


p a b c


p ap b−  − − = .


(

)(

)

2


2 2


p a c b


p ap c−  − − = ;

(

)(

)

2 .


2 2


p b c a


p bp c−  − − =


(

)(

)(

)

1


.


8 2


abc r


p a p b p c


R


 − − −   


Dấu bằng xảy ra khi a= =b c.


PB: Fb Bích Ngọc Đặng




(17)

a.

(

)



2 2


2 2


2 2


cos cos 1


cot cot


sin sin 2


+ +


+


A B


A B


A B .


b. 3S2R2

(

sin3A+sin3B+sin3C

)

.


c. pp a− + p b− + p c−  3p.


d. 2 1

(

4 4 4

)




16


 + +


S a b c


Lời giải


dothu.namtruc@gmail.com


a.

(

)



2 2


2 2


2 2


cos cos 1


cot cot


sin sin 2


+
 +
+
A B
A B


A B

(

)


2 2
2 2
2 2


1 sin 1 sin 1


1 cot 1 cot 2


sin sin 2


− + −
  + + + −
+
A B
A B
A B


(

2 2

)



2 2 2 2


2 sin sin 1 1 1


1
sin sin 2 sin sin


− +



  +


+  


A B


A B A B


2 2 2 2


2 1 1 1


1 1


sin sin 2 sin sin


 


 −  +


+  


A B A B


(

2 2

)



2 2


1 1



4 sin sin


sin sin


 


  + +


A BA B


Áp dụng bất đẳng thức Cô-si


(

)



2 2 2 2


2 2


2 2


2 2 2 2


sin sin 2 sin .sin


1 1


sin sin 4


1 1 1 1 sin sin



2 .


sin sin sin sin

+ 
++
 
+  


A B A B


A B


A B


A B A B


Dấu = xảy ra


2 2
2 2
sin sin
1 1
sin sin
 =

 =
=



A B
A B
A B
.


b. 2

(

3 3 3

)



3S 2R sin A+sin B+sin C , áp dụng định lí sin 2


sin =sinB =sinC=


a b c


R


A


3 3 3


2


3 3 3


3


2


4 8 8 8


 



  + +


 


abc a b c


R


R R R R


3 3 3


3


abca +b +c (ln đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số a b c3, 3, 3 được


3


3 3 3 3 3 3


3 . . 3


+ +  =


a b c a b c abc)


Dấu = xảy ra a3 =b3 =c3  = =a b c.


c. + Ta có

(

x+ +y z

)

2 =x2+y2+z2+2xy+2yz+2zxx2+y2+z2 ,x y z, ,0

( )

*


+ Áp dụng bất đẳng thức

( )

* cho 3 số p a− , p b− , p c− được


(

) (

2

) (

2

) (

2

)

2

(

)


3


− + − + −  − + − + − = − + + =


p a p b p c p a p b p c p a b c p



(18)

+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được


(

)

2

(

)

(

)



2 2 2


1 1 1 3


− + − + −  + + − + − + − =


p a p b p c p a p b p c p


3


p a− + p b− + p c−  p


Dấu = xảy ra  − = − = −  = =p a p b p c a b c.


d. Ta có

(

(

)(

)(

)

)

(

)(

)(

)




2


2 = − − − = − − −


S p p a p b p c p p a p b p c


2 2 2 2


+ + + − − + − + +


    


= a b ca b ca b c a b c


(

)

2 2 2

(

)

2
1


16


   


= b c+ −a  a − −b c


(

)

2 2 2

(

2 2 2

)

2

(

2 2 2

)

2

(

2 2 2 2 4

)



1 1 1 1


2 2 2 2 2


16 16 16 16



 


b c+ −a a = b + bc c+ −a ab + ca a = b a + c aa


(

4 4 4 4 4

)

(

4 4 4

)



1 1


.


16 16


b +a + +c aa = b + +c a


Dấu = xảy ra


=



=  = =


 =


b c


a b a b c



a c


.


Bài 28. Cho ABC. Chứng minh rằng 1

(

2sin 2 2sin 2

)


4


ABC


S = a B b+ A


Lời giải


Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn


Gọi C là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, H=CCAB


Trường hợp 1: Nếu góc B 90 .


Khi đó SACBC=2SABC, mà SACBC' =SCBC+SACC 1

(

2sin 2 2sin 2 A

)



2 a B b



(19)

Suy ra 1

(

2sin 2 2sin 2

)


4


ABC


S = a B b+ A .



Trường hợp 2: Nếu góc B 90 .


Khi đó 1

(

'

)



2


ABC ACC C BC
S = SS


(

)



2 2


1 1 1


sin 2 sin 2


2 2b A 2a CBH


 


=


 


2 2


1 1


sin 2 sin 2 B


4b A 2a


= + .


Câu 29. Cho ABC. Chứng minh rằng a2+b2+c2 2ab+2bc+2ca


Lời giải


Ta có a b− c

(

ab

)

2 ca2+b2−c2 2ab

( )

1


Tương tự 2 2 2

( )



2 2


a +cbac ;c2+b2−a2 2bc

( )

3 .


Cộng các vế của

( ) ( ) ( )

1 , 2 , 3 ta được a2+b2+c2 2ab+2bc+2ca.


nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com


Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p khơng đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
các cạnh bé nhất.


Lời giải


Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan


Tam giác ABC với ba cạnh a, b, c có chu vi là a+ + =b c 2p không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số

(

1;1;1

)

(

a b c; ;

)

ta có:



(

2 2 2

)(

2 2 2

)

(

)

2


1 + +1 1 a +b +ca b c+ +


(

)

2

(

2 2 2

)



3


a b c a b c


 + +  + +


(

)

4

(

2 2 2

)

2


9


a b c a b c


 + +  + + .


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số

(

a; b; c

)

(

a3; b3; c3

)

ta có:


(

)

(

)

(

)

2


3 3 3 3 3 3


. . .


a b c+ + a + +b ca a + b b + c c =

(

a2+b2+c2

)

2.



Suy ra

(

)



2 2 2


3 3 3 a b c


a b c


a b c


+ +


+ + 


+ +


(

)



(

)



4


9


a b c
a b c


+ +



+ +

(

)



3
1


9 a b c


= + + 8 3


9 p


= .



(20)

Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều.


Câu 31. Cho tam giácABC. Chứng minh rằng 12 12 12 12


4
a +b +cr .


Lời giải


Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan


Ta có: 2 2

(

)

2


aa − −b c


(

)

2



2 2


1 1


a a b c


 


− − .


Tương tự:


(

)

2


2 2


1 1


bb − −c a


(

)

2


2 2


1 1


cc − −a b


.



Nên ta có:


(

)

2

(

)

2

(

)

2


2 2 2 2 2 2


1 1 1 1 1 1


a +b +ca − −b c +b − −c a +ca b


(

a b c

)(

1a b c

) (

b c a b c a

)(

1

) (

c a b c

)(

1 a b

)



= + +


− + + − − + + − − + + −


(

1

)(

)

(

1

)(

)

(

1

)(

)



4 p b p c 4 p c p a 4 p a p b


= + +


− − − − − −


(

)(

)(

)



4


p



p a p b p c


=


− − −

(

)(

)(

)



2


4


p


p p a p b p c


=


− − −


2


2 2


1


4 4


p


S r



= = .


chithin.nguyen@gmail.com


Câu 32. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:


a. a b c 3.


b c a+ − +c+ −a b+a b c+ − 
b. 1 1 1 1.


a b c


h +h +h = r
c. b2 2c a2 1.


a b c


h h h


h +h +hr


Lời giải


Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn
a. Ta có:


(

)(

)



2



b c a a c b
b c a a c b+ − + −  + − + + − =c


(

)(

)



2


a c b a b c
a c b a b c+ − + −  + − + + − =a


(

)(

)



2


a b c b c a
a b c b c a+ − + −  + − + + − =b


Nhân theo vế ta có:



(21)

(

a b c b c a c

)(

abc

)(

a b

)

1.


 


+ − + − + −


Ta lại có:


(

)(

)(

)




3


3 3.


a b c abc


b c a+ − +c+ −a b+a b c+ −  b c a+ − c+ −a b a b c+ − 


Dấu " "= xảy ra khi a= =b c hay tam giác ABC đều.


b. Ta có: 1 1 1 1 1 .


1 1 1


2


2. . 2. . 2. .


2 2 2


a b c


a b c


p a b c a b c


S


r S S h h h



a h b h c h


p


+ +


= = = = + + = + +


c. Ta có:


2


1 2


b


a b a


h


h +hh


2


1 2


c


b c b



h


h +hh


2


1 2


a


c a c


h


h +hh


2 2 2


1 1 1 1


.


b c a


a b c a b c


h h h


h h h h h h r



 + +  + + =


Dấu " "= xảy ra khi ha =hb =hc khi đó tam giác ABC đều.


chithin.nguyen@gmail.com


Câu 33. Cho tam giác ABC có sin2B+sin2C=2sin2 A. Chứng minh rằng A 60 .


Lời giải


Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn


Từ giả thiết ta có:


( ) ( )

( )



2 2 2


2 2 2 2


2 2 2


b c a


R + R = R


2 2 2


2



b c a


 + =


Khi đó:


2 2 2 2 2 2


2 2 2


1


cos .


2 2 2 2


b c a a a a


A


bc bc b c a


+ −


= =  = =


+


Suy ra A 60 .



Chubabien@gmail.com, Thuy.tranthithanhdb@gmail.com
Câu 34. Cho tam giác ABC


4 4 4
3 3 3


a +b =c . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.


Lời giải


Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu


Ta có


3


4 4 4 4 4 4 4 4 4


4 4 4


3 3 3 3 3 3 3 3 3 3


a +b =cc =a +b  =a +b + a b a +b


   


(

)



4 4 4 4 4 4 2 2



2


4 4 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 4 4 2 2 2 2


3 2 2


a b a ba ba b a b a b a b a b a b


 + + +  + + = + + = +



(22)

Suy ra c2 a2+b2 mà


2 2 2


cos 0 90


2


a b c


C c


ab


+ −


=    


Vậy tam giác có một góc tù.



Câu 35. Tam giác ABCa2+b2+c2 =36r2 thì có tính chất gì?


Lời giải


Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu


(

)(

)(

)



2


2 2 2 2


2


36 36S 36 p a p b p c


a b c r


p p


− − −


+ + = = =


(

)(

) (

)(

) (

)(

)



36 p b p c p c p a p a p b


p



− − − − − −


= (1)


Ta có 2

(

p b

)(

p c

)

 − + − =p b p c a


Tương tự 2

(

p c

)(

p a

)

b; 2

(

p a

)(

p b

)

c


Suy ra

(

)(

) (

)(

) (

)(

)



8


p b p c p c p a p a p b abc


p p


− − − − − −


 (2)


Từ (1) và (2) suy ra: a2 b2 c2 9abc

(

a b c

)

(

a2 b2 c2

)

9abc


a b c


+ +   + + + + 


+ +


Mà 2 2 2



a +b +cab bc+ +ca


(

a b c

)(

ab bc ca

)

9abc


 + + + + 

(

2 2

) (

2 2

) (

2 2

)



2 2 2 0


a b bc c b c cb b c a ab b


 − + + − + + − + 


(

)

2

(

)

2

(

)

2


0


a b c b c a c a b a b c


 − + − + −   = = .





Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×