Đề thi thử THPT quốc gia

CHUYÊN ĐỀ

H

Ệ

TH

ỨC LƯỢ

NG TRONG TAM GIÁC

(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ

STRONG TEAM TỐN VD-VDC)

a. Tính số đo các góc của ABC.

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC.
c. Tính S,R,r.

d. Tính ha,hb,hc

Câu 2. Cho ABC có AB=6, AC=8, góc A=120.
a. Tính diện tích ABC.

b. Tính cạnh BC và bán kính r.
Câu 3. Cho ABC có a=8,b=10,c=13

a) ABC có góc tù hay khơng?

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC.
c) Tính diện tích ABC.

Câu 4. Cho ABC có các góc A = 60 ,B = 45 , b=2. Tính độ dài cạnh a c, , bán kính đường trịn
ngoại tiếp và diện tích tam giác.

Câu 5. Cho tam giác ABCcó AC=7, AB=5, BAC= 60 . Tính BC S, ABC, h Ra, .
Câu 6. Cho tam giác ABC có mb=4, mc=2, a=3. Tính độ dài các cạnh AB AC, .

Câu 9. Tínhh góc A của ABC _{có các cạnh} a,b,c _{thỏa mãn hệ thức} b

(

) (

)

Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a.

2 2 2

2 2 2

tan A c a b
tan B c b a

+ −

=

+ −

b. 2 2 1 cos C

c (a b) 4S.

sin C

−

= − +

c. 2

S=2R .sin A.sin B.sin C

d. 1 2 2 2

S AB .AC (AB.AC )

2

= −

e.a =b.cosC+c.cos B

f.sin A 2 p(p a)(p b)(p c)
bc

Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR

a. 2 2 2 2 2 2 2

MA +MB +MC =GA +GB +GC +3GM

b. 2 2 2 2 2 2

a b c

4(m +m +m )=3(a +b +c ).

Câu 12. Cho ABC có b c+ =2a. Chúng minh rằng
a. sinB+sinC=2sinA.

b. 2 1 1

a b c

h = h + h .

Câu 13. Cho ABC biết A

(

)

( )

(

)

b.Tính chu vi và diện tích củaABC

Câu 14. Cho ABC biết a=40, B= 36 20, C = 73 . Tính A , cạnh b, c của tam giác đó.
Câu 15. Cho ABC biết a=42, 4 m, b=36, 6 m, C = 33 10. Tính A , B và cạnh c.

Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đếnngười ta tốn
thêm bao nhiêu km dây?

Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sơng từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết

87 ,

= 

CAB CBA= 62 . Hãy tính khoảng cách AC và BC.

Câu 18. Cho tam giác ABC có BC=a, A= và hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với nhau.
Tính SABC.

Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi l l l_a, ,_{b c} lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C, , . Chứng
minh rằng

a) 2 cos

2
=

+
a

bc A

l

b c .

b)

cos cos cos

1 1 1

2 ₊ 2 ₊ 2 _{= + +}

a b c

A B C

l l l a b c.

c) 1 + +  + +1 1 1 1 1
a b c

l l l a b c .

Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Chứng minh
rằng: SABCD =

(

)(

)(

)(

)

2
a b c d

p= + + + .

Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , chứng minh rằng

2 2 2

cos cos cos

.
2

a b c A B C

abc a b c

Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , và 2

1,

a=x + +x b=2x+1, c=x2−1 chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng 120.

Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có
a.

2 2 2

cotA+cotB+cotC= a +b +c R

abc .

b. sin

(

)(

)

− −

= p b p c

A

bc .

Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi 1

(

)(

)

ABC

S_ = a b c+ − a+ −c b .

Câu 26. Cho tam giác ABC. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng : 1

2

r
R .

Câu 27. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a.

(

)

2 2

2 2

2 2

cos cos 1

cot cot

sin sin 2

+

 +

+

A B

A B

A B .

b. _3S_2R2

(

)

(

)

16

 + +

S a b c

Câu 29. Cho ABC. Chứng minh rằng 2 2 2

2 2 2

a +b +c  ab+ bc+ ca

Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p khơng đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
các cạnh bé nhất.

Câu 31. Cho tam giácABC. Chứng minh rằng 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

a. a b c 3.

b c+ −a+c+ −a b+a b c+ − 
b. 1 1 1 1.

a b c

h +h +h = r
c. b_{2 2}c a₂ 1.

a b c

h h h

h +h +h r

Câu 33. Cho tam giác ABC có 2 2 2

sin B+sin C=2 sin A. Chứng minh rằng A 60 .

Câu 34. Cho tam giác ABC có

4 4 4
3 3 3

a +b =c . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.

36

GI

Ả

I CHI TI

Ế

T

CHUYÊN ĐỀ

H

Ệ

TH

ỨC LƯỢ

NG TRONG TAM GIÁC

(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CƠ

STRONG TEAM TỐN VD-VDC)

Câu 1. Cho ABC có a=12,b=15,c=13.

a. Tính số đo các góc của ABC.

b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC.

c. Tính S,R,r.

d. Tính h_a,h_b,h_c

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
a. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có:

2 2 2 2 2 2

15 13 12 25

cos 50 7

2 2.15.13 39

b c a

A A

bc

+ − + − _

= = =    .

2 2 2 2 2 2

12 13 15 11

cos 73 37

2 2.12.13 39

a c b

B B

ac

+ − + − _

= = =    .

2 2 2 2 2 2

12 15 13 5

cos 56 16

2 2.12.15 9

a b c

C C

ab

+ − + − _

= = =    .

b. Xét ABC ta có:

(

)

(

)

2 2. 2. 15 13 12

161 161

4 4

a a

b c a

m = + − = + − = m = .

(

)

(

)

2 2. 2. 12 13 15 401 401

4 4 4 2

b a

a c b

m = + − = + − = m = .

(

)

(

)

2 2. 2. 12 15 13 569 569

4 4 4 2

c a

a b c

m = + − = + − = m = .

c. Xét ABC ta có:

12 15 13
20

2 2

a b c

p= + + = + + = .

(

)(

)(

)

S = p p a− p b− p c− = = (đvdt).

Mà r 20 14 14

20

S

S p r

p

=  = = = .

Ta có 12.15.13 117

4R 4S 4.20 14 4 14

abc abc

S =  =R = = .

d. Xét ABC ta có:

1 2S 2.20 14 10 14

.

2 a a 12 3

S a h h

a

1 2S 2.20 14 8 14
.

2 b b 15 3

S b h h

b

=  = = = .

1 2S 2.20 14 40 14

.

2 c c 13 13

S c h h

c

=  = = = .

Câu 2. Cho ABC có AB=6, AC=8, góc A=120.

a. Tính diện tích ABC.

b. Tính cạnh BC và bán kính r.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy

a. Xét ABC ta có:

1 1 3

.sin A .6.8. 12 3

2 2 2

S = bc = = (đvdt).

b. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có:

2 2 2 2 2 1

2. . .cos 6 8 2.6.8. 148 148 2 37
2

BC =AB +AC − AB AC A= + − − = BC= = .

Ta có . . . . 6.8. 148 2 111

4R 4S 4.12 3 3

AB AC BC AB AC BC

S =  =R = = .

khanhhoanl2@gmail.com

Câu 3. Cho ABC có a=8,b=10,c=13
a) ABC có góc tù hay khơng?

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC.
c) Tính diện tích ABC.

Lời giải

Tác giả:Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân.

a) Vì a b cnên A B C .
Ta có

2 2 2

0
1

cos 91 47 '

2 32

a b c

C C

ab

+ −

= = −  

Vậy ABC có góc C là góc tù.

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.
Theo định lý sin :

2 2

13 208

2 6,5

sinC 2sinC 2 1 cos ₁ 1023

2 1

32

c c c

R R

C

=  = = = = 

− _{ }

− −_{ }

 

(đvđd)

c) Áp dụng cơng thức Hê - rơng, ta có:

( )( )( )

ABC

S_ = p p−a p b p c− −

Với 31

2 2

a b c
p= + + =

Do đó 31 31 8 31 10 31 13 25575 5 1023 40

2 2 2 2 16 4

ABC

S_ = _ − _ − _ − _= = 

    (đvdt)

Lời giải

Tác giả:Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân.

Ta có: C =180 −(A+B)=75

Từ định lí sin: 2

sin

a b c

R
sinA =sinB = C =

⇒ sin 2sin 60 6
sin 45

b A

a

sinB



= = =

 ;

sinC 2sin 75

1 3
sin 45

b
c

sinB



= = = +


2

2
2 2sin 45

b
R

sinB

= = =



Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có:

(

)

1 1 2 3 3

sin 6 1 3

2 2 2 2

ABC

S_ = ac B= + = + (đvdt).

Hungtoan96cl@gmail.com, lehoanpc@gmail.com

Câu 5. Cho tam giác ABCcó AC=7, AB=5, BAC= 60 . Tính BC S, ABC, h Ra, .

Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

 2 2 2

2 . .cos

= + −

BC AB AC AB AC BAC =72+52−2.7.5.cos 60 =39BC= 39.

 1. . .sin

2
ABC =

S AB AC BAC 1.5.7.sin 60 35 3.

2 4



= =

 1. . 2.

2



ABC = a  a = ABC

S

S BC h h

BC

35 13
.
26

=

 2

sin =  = 2sin

BC BC

R R

A A = 13.

Câu 6. Cho tam giác ABC có mb=4,mc=2,a=3. Tính độ dài các cạnh AB AC, .
Lời giải

Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn

Có AB=c AC, =b

2 2 2 2 2

2 2( ) 2(9 )

16

4 4

+ − + −

=  =

b

a c b c b

m 2 2

2 46

 c − =b ₍₁₎

2 2 2

2 2( )

4

+ −

=
c

a b c

m

2 2 2

2(3 )
4

4

+ −

 = b c 2 2

2 2

 b − = −c ₍₂₎

Giải hệ gồm 2 phương trình (1), (2) được

2
2

14 14

30 30



= =

 _

 ₌  ₌

 

b b

c c

Vậy

14
30

 =

 ₌


AC

AB .

Lephi@thptthanuyen.edu.vn

Câu 7. Cho tam giác ABC có AB=3,AC=4 và diện tích S =3 3. Tính cạnh BC.

Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi

Ta có S =3 3 1 . .sin

2AB AC BAC

 =3 3 sin 3

2

BAC

 = 60

120
BAC
BAC
 _{= }

+ TH1: BAC=60

Theo định lí cơsin trong tam giác, ta có:

2 2

2 . .cos 60

BC= AB +AC − AB AC  = 9 16 12+ − = 13.
+ TH2: BAC=120

2 2

2 . .cos120

BC= AB +AC − AB AC  = 9 16 12+ + = 37.

Vậy BC= 13 hoặc BC= 37.

anhson9802@gmail.com,Thuthuy1988.nt@gmail.com

Câu 8. Tính bán kính đường trịn nội tiếp ABC biết AB =2,AC =3,BC=4.

Lời giải

Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui

Ta có ,

2
9
2
2
3
4
2 =
+
+
=
+
+

=a b c

p

(

)(

)(

)

= p p a p b p c

S .
.
6
15
2
9
:
4
15
3
=
=
=

=
p
S
r
pr
S

Câu 9. Tínhh góc A của ABC _{có các cạnh} a,b,c _{thỏa mãn hệ thức} b

(

) (

)

Lời giải

Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui

Ta có b

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 b c b bc c a b c b c b bc c a

.
60
2
1
cos
cos
2
0
0
2
2
2
2
2
2
=

=

=

=

Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a.

2 2 2

2 2 2

tan A c a b
tan B c b a

+ −

=

+ −

b. c2 (a b)2 4S.1 cos C
sin C

−

= − +

c. 2

S=2R .sin A.sin B.sin C

d.S 1 AB .AC2 2 (AB.AC )2

2

= −

f.sin A 2 p(p a)(p b)(p c)
bc

= − − − Cho ….

Lời giải

Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong.

a. VP=2 cos cos 2 sin cos

2 cos cos 2 sin cos

ac B a B R A B

bc A=b A = R B A

tan A
tan B

= = VT

b.VP= 2 2 1 (1 cos C)

a b 2ab 4. ab sin C

2 sin C

−

+ − + = 2 2 2

2 cos

a +b − ab C=c =VT.

c. Ta có 1 sin 1.2 sin .2 sin .sin 2 2.sin sin sin .

2 2

S= ab C= R A R B C= R A B C (Điều phải chứng

minh)

d.S 1 AB .AC2 2 (AB.AC )2

2

= − 1 2 2 2

S AB .AC (AB.AC.cos A)
2

 = −

2 2 2

1

S AB .AC (1 cos A)
2

 = − S 1AB.AC.sin A

2

 = (luôn đúng)Điều phải chứng minh.

e. VP=

2 2 2 2 2 2

b(a b c ) c(a c b )

2ab 2ac

+ − ₊ + − _{= a = VT . Suy ra điều phải chứng minh}

f. 2 . 2 1. sin sin .

2

VP S bc A A VT

bc bc

= = = = Điều phải chứng minh.

Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR
a.MA2+MB2+MC2 =GA2+GB2+GC2+3GM2

b.4(m_a2+m2_b+m )_c2 =3(a2+b2+c )2 .

Lời giải

Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong.

a.

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(GA GM) (GB GM) (GC GM) GA GB GC 3GM 2GM(GA GB GC)

GA GB GC 3GM 2GM.0 GA GB GC 3G

VT

M VP

− + − + − = + + + − + +

= + + + − + + +

=

= =

b.

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

VT 2b 2c a 2a 2c b 2b 2a c
3(a b c ) VP

= + − + + − + + −

= + + =

Xuanmda@gmail.com, quankiet2@gmail.com
Câu 12. Cho ABC có b+ =c 2a. Chúng minh rằng

a. sinB+sinC=2sinA.
b. 2 1 1

a b c

h = h + h .

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe

a. Áp dụng định lí Sin cho ABC ta có: 2

sin sin sin

a b c

R
A = B = C = .

Suy ra: a=2 .sinR A, b=2 .sinR B, c=2 .sinR C

2

b+ =c a 2 .sinR B+2 .sinR C=2.2 .sinR A sinB+sinC=2sinA (điều phải chứng

minh)

b. Gọi S tính diện tích ABC ta có: 1 . 1 . 1 .

2 a 2 b 2 c

S = a h = b h = c h

Suy ra: 2

a
S
a

h

= , 2

b
S
b

h

= , 2

c
S
c

h

= .
Theo giả thiết ta có:

2

b+ =c a 2 2 2.2

b c a

S S S

h h h

 + = 2 1 1

a b c

h h h

 = + (điều phải chứng minh)

Câu 13. Cho ABC biết A

(

)

( )

(

)

a. Tính các cạnh và các góc của ABC.

b.Tính chu vi và diện tích củaABC

Lời giải

Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe
a. Ta có: AB= −

(

)

(

)

(

)

Suy ra:

(

)

2
2

4 3 4 8

AB= − + = ,

( )

2
2

4 3 4 8

AC = + = ,

( )

2
2

8 3 0 8 3

BC = + =

( )

2 2

2 2 2 8 8 8 3

1
cos

2 2.8.8 2

b c a

A

bc

+ −

+ −

= = = −  =A 120

Do AB= AC=8 nên ABC cân tại A suy ra: B= = C 30 .

b. Chu vi ABC bằng AB+AC+BC=16 8 3+ .

Diện tích ABC bằng 1. .sin 1.8.8.sin120 16 3

2 2

S = bc A=  = .

Tvluatc3tt@gmail.com

Câu 14. Cho ABC biết a=40, B= 36 20, C = 73 . Tính A , cạnh b, c của tam giác đó.

Lời giải

Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật

Ta có

180

A +B +C =  A =180 −

(

)

(

)

sin 40sin 36 20

25,12
sin sin 70 40

sin 40sin 73
sin sin sin

40, 68
sin sin 70 40

a B

b b

a b c _A

a C

A B C

c c

A




 ₌  _{= }

 

   

= = _ _



 ₌  _{= }

   

 

.

Câu 15. Cho ABC biết a=42, 4 m, b=36, 6 m, C = 33 10. Tính A , B và cạnh c.

Lời giải

Áp dụng định lý cơsin trong tam giác ABC có c2 =a2+b2−2abcosC

2 2 2

42, 4 36,6 2.42, 4.36,6.cos33 10

c 

 = + −  2

539, 28 23, 22

c   c .

Ta có sin sin sin 42, 4sin 33 10 87 40

sin sin 23, 22

a c a C

A A A

A C c



 _

Mặt khác ta lại có
180

A +B +C =  B =180 −

(

)

(

)

luuhuephuongtailieu@gmail.com
Trungkienta1909@gmail.com

Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75. Hỏi so với việc nối thẳng từ A đếnngười ta tốn
thêm bao nhiêu km dây?

Lời giải

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

Ta có AC=10,BC=8,ACB=75.

Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC:

2 2 2 2 2

2 . .cos 2 . .cos

= + −  = + −

AB BC CA BC CA C AB BC CA BC CA C

2 2

8 10 2.8.10.cos 75 11, 072

= + −   km.

Số dây tốn thêm là: 10 8 11, 072+ − 6, 928km.

Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sơng. Biết
87 ,

= 

CAB CBA= 62 . Hãy tính khoảng cách AC và BC.
Lời giải

Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa

Ta có C=180 −  −  = 87 62 31 .

500

sin =sin =sin sin 31 =sin 62=sin 87

AB AC BC AC BC

C B A

857,167
969, 472




  _



AC m

BC m .

vanghhc@gmail.com

Câu 18. Cho tam giác ABC có BC=a, A= và hai đường trung tuyến BM CN, vng góc với
nhau. Tính S_ABC.

Lời giải

Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu

Hai đường trung tuyến BM CN, vuông góc với nhau tại trọng tâm G nên ta có

2+ 2 = 2

GB GC BC

2 2

2

2 2

3 3

   

_{ } +_{ } =

 BM  CN BC

2 2 2 2 2 2

2
4

9 2 4 2 4

 + + 

 _ − + − _=

 

c a b b a c

a

 2 2 2

5

+ =

b c a .

Mặt khác 2 2 2 2

2 cos 2 cos 4

= + −  =

a b c bc A bc A a 4 cotS  =4a2 =S a2. tan.
Vậy diện tích tam giác ABC là 2_.tan

ABC =

S a .

Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi l l l_a, ,_{b c} lần lượt là độ dài các đường phân giác góc A B C, , . Chứng
minh rằng

a) 2 cos
2
=

+
a

bc A

l

b c .

b)

cos cos cos

1 1 1

2 ₊ 2 ₊ 2 _{= + +}

a b c

A B C

l l l a b c.

c) 1 + +  + +1 1 1 1 1
a b c

l l l a b c .

Lời giải

a) Ta chứng minh được sin 2 sin cos

2 2

= A A

A .

Mặt khác S_ABC =S_ABD+S_ACD

1 1 1

sin sin sin

2 2 2 2 2

 = a + a

A A

bc A l c bl

(

)

1 1

.2sin co s sin .

2 2 2 2 2

 bc A A= l_a A b c+ 2 co s

2
 =

+
a

bc A

l

b c

b )
cos

1 1
2

2 2 2

+

= = +

a
A

b c

l bc b c

Tương tự ta có
cos

1 1
2

2 2

= +

b
B

l a c và
cos

1 1

2

2 2

= +

c
C

l b a

Suy ra

cos cos cos

1 1 1

2 ₊ 2 ₊ 2 _{= + +}

a b c

A B C

l l l a b c (dpcm).

c) Ta có

cos cos cos

1 1 1

2 ₊ 2 ₊ 2 _{ + +}

a b c a b c

A B C

l l l l l l

Mà

cos cos cos

1 1 1

2 ₊ 2 ₊ 2 _{= + +}

a b c

A B C

l l l a b c

1 1 1 1 1 1

+

 +  + +

a b c

l l l a b c (đpcm)
vungatoannvx@gmail.com

Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi m_a, m_b, m_c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C

,

2

a b c

m m m

m= + + . Chứng minh rằng: 4

(

)(

)(

)

3

ABC a b c

S_ = m m m− m m− m m− .

Lời giải

Gọi D là điểm đối xứng của A qua trọng tâm G. P là trung điểm của BC, suy ra tứ giác

GCDB là hình bình hành (do hai đường chéo GD và BC cắt nhau tại trung điểm P của mỗi
đường).

A

B C

Ta có: 2 1

GBD GBP GBC ABC

S_ = S_ =S_ = S_ .

Mà GBD có độ dài các cạnh 2

3 b

BG= m , 2

3 a

GD= AG= m , 2

3 c
BD=GC= m .

Nửa chu vi 1 2.

(

)

2 3 a b c 3

p= m +m +m = m .

(

)(

)(

)

2
2
3

GBD a b c

S_   m m m m m m m

 =_{ } − − −

  ( công thức Hê-rông ) .

(

)(

)(

)

4
3

3

ABC GBD a b c

S_ S_ m m m m m m m

 = = − − − ( ĐPCM).

Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. Chứng minh
rằng: S_ABCD =

(

)(

)(

)(

)

2
a b c d

p= + + + .

Lời giải

Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên sinABC=sinADC, cosABC= −cosADC.

(

)

(

)

1 1

sin 1 cos

2 2

ABCD ABC ADC

S =S +S = ab dc+ ABC= ab dc+ − ABC.
Trong ABC ta có: AC2 =a2+ −b2 2abcosABC.

Trong ADC ta có: AC2 =c2+d2−2cdcosADC.

2 2 2 2

2 cos 2 cos

a b ab ABC c d cd ADC

 + − = + −

(

) (

)

(

)

2 2 2 2

cos

2

a b c d

ABC

ab cd

+ − +

 =

Do đó:

(

)

(

) (

)

(

)

2

2 2 2 2

1

1

2 2

ABCD

a b c d

S ab dc

ab cd

 _{+ − +} 

 

= + −

 + 

 

.

=

(

)

(

(

) (

)

)

2

2 _{2 2 2 2}

1
4

4 ab cd+ − a +b − c +d .

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

2 2

4    

= _ ab cd+ − a +b + c +d _{ } ab cd+ + a +b − c +d _ .

=1

(

) (

) (

) (

)

4

 _{+ − −}   _{+ − −} 

 c d a b   a b c d .

2 2 2 2

a b c+ + −d a b c+ − +d a b c− + +d − + + +a b c d

    

= _ _ _ _ _.

(

)(

)(

)(

)

= − − − − với

2

p= + + + ( ĐPCM).

Hieu98kmhd@gmail.com

Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , chứng minh rằng

2 2 2

cos cos cos

.
2

a b c A B C

abc a b c

+ + _{= + +}

Lời giải

Ta có:

(

)

2 2 2

2 . 2 . 2 .

AB BC CA BA BC CB CA AB AC

 + + = + + .

2 2 2

2 cos 2 cos 2 cos

a b c ac B ab C bc A

 + + = + + .

2 2 2

cos cos cos

.
2

a b c A B C

abc a b c

+ +

 = + +

Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là a b c, , và a=x2+ +x 1, b=2x+1, c=x2−1 chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng 120.

Lời giải

Điều kiện , ,a b c là ba cạnh của tam giác khi và chỉ khi:

2

2 2

1 0

2 1 0 1

1 2 1 1

x

x x

x x x x

 − 

 +   



 − + +  + +


.

Với x1 thì ab và ac nên a là cạnh lớn nhất.

Tính

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 2

2 _{2 2}

2 2 2

2

2 1 1 1

cos

2 2 2 1 1

+ + − − + +

+ −

= =

+ −

x x x x

b c a

A

bc x x .

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2 _{2 2 2 2}

2

2 1 1 1 1 1

2 2 1 1

x x x x x x x

x x

+ + − + + + − − − −

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 ₂

2

2 1 2 2

2 2 1 1

x x x x

x x

+ − + +

=

+ −

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 1 2

2 2 1 1

x x x x

x x

 

+ _ + − + _

=

+ −

(

)

2
2

1 1

2

2 1

x
x

− −

= = −

− .

120

 =A .

GV PB: vuduchieu1904@gmail.com,Diephd02@gmail.com

a.

2 2 2

cotA+cotB+cotC=a +b +c R

abc .

b. sin

(

)(

)

− −

= p b p c

A

bc .

Lời giải

FB: Nguyễn Ngọc Diệp

a. Chứng minh:

2 2 2

cotA+cotB+cotC= a +b +c R

Theo định lí sin : 2 sin

sin =  =2

a a

R A

A R (1)

Theo định lí cosin :

2 2 2

2 2 2

2 .cos cos

2

+ −

= + −  =b c a

a b c bc A A

bc (2)

Từ (1) và (2)

(

)

2 2 2

cos
cot

sin

+ −

 A= A= R b c a

A abc .

Tương tự:

(

)

2 2 2

cotB= R a + −c b
abc ,

(

)

cotC= R a +b −c
abc .

Khi đó:

(

) (

) (

)

abc abc abc abc

b. Chứng minh: sin

(

)(

)

2

− −

= p b p c

A

bc .

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có: ,

2

+ −

= = AB AC BC = −

OE r AE p a.

Tam giác AOE vuông tại E nên: tan

(

)

2= = −  = − 2

A OE r A

r p a

AE p a .

Mặt khác 1 sin sin cos

2 2 2

ABC = = =

A A

S pr bc A bc

C
B

A

(

)

(

)

(

)

. sin cos tan sin cos sin

2 2 2 2 2 2



 

 = = − = − _{ }

 

ABC

A A A A A A

S pr bc p p a bc p p a bc (1)

Công thức Hê rông: S_ABC = p p a

(

)(

)(

) (

)

(

)(

)(

)

Từ (1) và (2)

(

)

(

)(

)(

)

(

)(

)

2

sin sin .

2 2

− −

 

 − _{ } = − − −  =

 

p b p c

A A

p p a bc p p a p b p c

bc
Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi 1

(

)(

)

4
ABC

S_ = a b c+ − a c b+ − .

Lời giải

Ta có:

2
a b c
p= + +

(

)(

)

1
4
ABC

S_ = a b c+ − a c b+ − 4S_ABC =

(

)(

)

(

)(

)(

) (

)(

)

4

 p p a− p b− p c− = a b c+ − a c b+ −

(

)(

)(

) (

) (

)

16

 p p−a p b− p c− = a b c+ − a+ −c b

(

) (

)

16. .

2 2 2 2

+ +  + +  + +  + + 

 _ − _ − _ − _= + − + −

   

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a c b

(

)(

)(

)(

) (

) (

)

 + +a b c b c a+ − a+ −c b a b c+ − = a b c+ − a+ −c b

(

)(

) (

)(

)

 a+ +b c b+ −c a = a+ −b c a+ −c b

(

)

(

)

b c a a b c b c a

 + − = − −  + = .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Thuylinh133c3@gmail.com

Câu 26. Cho tam giác ABC. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Chứng minh rằng : 1

2

r
R .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh

Ta có r S

p

= ,

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

2 _{4 4}

4
4

p p a p b p c p a p b p c

abc r S

R

S R pabc pabc abc

− − − − − −

=  = = = .

Mà

(

)(

)

2 2

p a b c

p a− p b−  − − = .

(

)(

)

2 2

p a c b

p a− p c−  − − = ;

(

)(

)

2 2

p b c a

p b− p c−  − − =

(

)(

)(

)

.

8 2

abc r

p a p b p c

R

 − − −   

Dấu bằng xảy ra khi a= =b c.

PB: Fb Bích Ngọc Đặng

a.

(

)

2 2

2 2

2 2

cos cos 1

cot cot

sin sin 2

+ _{ +}

+

A B

A B

A B .

b. _3S _2R2

(

)

c. p  p a− + p b− + p c−  3p.

d. 2 1

(

)

16

 + +

S a b c

Lời giải

dothu.namtruc@gmail.com

a.

(

)

2 2

2 2

2 2

cos cos 1

cot cot

sin sin 2

+
 +
+
A B
A B

(

)

1 sin 1 sin 1

1 cot 1 cot 2

sin sin 2

− + −
  + + + −
+
A B
A B
A B

(

)

2 2 2 2

2 sin sin _{1 1 1}

1
sin sin 2 sin sin

− + _{ }

  _ + _−

+  

A B

A B A B

2 2 2 2

2 1 1 1

1 1

sin sin 2 sin sin

 

 −  _ + _−

+  

A B A B

(

)

2 2

1 1

4 sin sin

sin sin

 

 _ + _ +

 A B A B

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

(

)

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

sin sin 2 sin .sin

1 1

sin sin 4

1 1 1 1 _{sin sin}

2 .

sin sin sin sin

+ 
_ ₊  _{+ }
 _ _
+  


A B A B

A B

A B

A B A B

Dấu = xảy ra

2 2
2 2
sin sin
1 1
sin sin
 =

_  =
=


b. 2

(

)

3S 2R sin A+sin B+sin C , áp dụng định lí sin 2

sin =sinB =sinC=

a b c

R

A

3 3 3

2

3 3 3

3

2

4 8 8 8

 

  _ + + _

 

abc a b c

R

R R R R

3 3 3

3

 abca +b +c (ln đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số a b c3, 3, 3 được

3

3 3 3 3 3 3

3 . . 3

+ +  =

a b c a b c abc)

Dấu = xảy ra a3 =b3 =c3  = =a b c.

c. + Ta có

(

)

( )

+ Áp dụng bất đẳng thức

( )

(

) (

) (

) (

)

(

)

− + − + −  − + − + − = − + + =

p a p b p c p a p b p c p a b c p

+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được

(

)

(

)

(

)

2 2 2

1 1 1 3

− + − + −  + + − + − + − =

p a p b p c p a p b p c p

3

 p a− + p b− + p c−  p

Dấu = xảy ra  − = − = −  = =p a p b p c a b c.

d. Ta có

(

(

)(

)(

)

)

(

)(

)(

)

2

2 = − − − = − − −

S p p a p b p c p p a p b p c

2 2 2 2

+ + + − − + − + +

    

= _a b c_a b c_a b c_ a b c_

(

)

(

)

16

   

= _ b c+ −a _{ }a − −b c _

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1

2 2 2 2 2

16 16 16 16

 

 _ b c+ −a _a = b + bc c+ −a a  b + c −a a = b a + c a −a

(

)

(

)

1 1

.

16 16

 b +a + +c a −a = b + +c a

Dấu = xảy ra

=



_ =  = =

 =


b c

a b a b c

a c

.

Bài 28. Cho ABC. Chứng minh rằng 1

(

)

ABC

S_ = a B b+ A

Lời giải

Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn

Gọi C là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, H=CCAB

Trường hợp 1: Nếu góc B 90 .

Khi đó S_ACBC=2S_ABC, mà S_ACBC' =S_CBC+S_ACC 1

(

)

2 a B b

Suy ra 1

(

)

ABC

S_ = a B b+ A .

Trường hợp 2: Nếu góc B 90 .

Khi đó 1

(

)

2

ABC ACC C BC
S_ = S_ −S_{ }

(

)

2 2

1 1 1

sin 2 sin 2

2 2b A 2a CBH

 

= _ − _

 

2 2

1 1

sin 2 sin 2 B

= + .

Câu 29. Cho ABC. Chứng minh rằng a2+b2+c2 2ab+2bc+2ca

Lời giải

Ta có a b− c 

(

)

( )

Tương tự 2 2 2

( )

2 2

a +c −b  ac ;c2+b2−a2 2bc

( )

Cộng các vế của

( ) ( ) ( )

nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com

Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2p khơng đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
các cạnh bé nhất.

Lời giải

Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan

Tam giác ABC với ba cạnh a, b, c có chu vi là a+ + =b c 2p không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

1 + +1 1 a +b +c  a b c+ +

(

)

(

)

3

a b c a b c

 + +  + +

(

)

(

)

9

a b c a b c

 + +  + + .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3 3 3 3 3 3

. . .

a b c+ + a + +b c  a a + b b + c c =

(

)

Suy ra

(

)

2 2 2

3 3 3 a b c

a b c

a b c

+ +

+ + 

+ +

(

)

(

)

4

9

a b c
a b c

+ +


+ +

(

)

3
1

9 a b c

= + + 8 3

9 p

= .

Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều.

Câu 31. Cho tam giácABC. Chứng minh rằng 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

4
a +b +c  r .

Lời giải

Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan

Ta có: 2 2

(

)

a a − −b c

(

)

2 2

1 1

a a b c

 

− − .

Tương tự:

(

)

2 ₂

1 1

b _b − −_{c a}

(

)

2 2

1 1

c c − −a b

.

Nên ta có:

(

)

(

)

(

)