Tải bản đầy đủ (.pdf) (27 trang)

Đề luyện thi THPT năm 2020 đề số 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 27 trang )

(1)

ĐỀ SỐ 12 Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1. Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 9 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh?


A. 45 . B. 91. C.14 . D. 9 .


Câu 2. Cho cấp số nhân

( )

un có các số hạng thỏa mãn 1 5


2 6


33
66


u u


u u


+ =




 + =


 . Tìm số hạng đầu u1 và công bội


q của cấp số nhân.


A. u1 =2,q=2. B. 1 33, 2
17


u = q= . C. 1 33, 2



17


u = p= . D. u1 =3,q=2.


Câu 3. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2


4a và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao
của hình trụ đó.


A. 4a. B. 2a. C. 3a. D. a.


Câu 4. Cho hàm số y= f x

( )

có bảng biến thiên như sau


Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


A.

(

−; 2

)

. B.

(

−;0

)

. C.

( )

0;1 . D.

(

− +1;

)

.
Câu 5. Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao h bằng 12 .


A.V =32. B.V =96. C.V =68. D.V =64.
Câu 6. Nghiệm của phương trình log3x=3 là


A. 27 . B. 1


27. C. 9 . D.


1
27.


Câu 7. Nếu

( )




4


1


d 9
f x x=


( )



4


3


d 1


f x x= −


thì

( )



3


1


d
f x x


bằng


A. 10 . B. −10. C. 8 . D. −8.



Câu 8. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:


Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng


A. −1. B. −2. C. 0 . D. 1.


( )



y= f x


x – ∞ 0 1 + ∞


y' + 0


y


+ ∞


– ∞


2


– ∞


x – ∞ 0 1 + ∞


y' 0 + 0 – 0 +


y



+ ∞ + ∞


THUVIENTOAN.NET KỲ THI THPT QUỐC GIA 2020



(2)

Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?


A. y=x4−2x2. B. y=x4−2x2−3. C. y= − +x4 2x2−3. D. y=x3−3x2+2


Câu 10. Với a là số thực dương tùy ý,


3
3


log
27


a


 


 


  bằng


A. 3log3a−1. B. 3log3a+1. C. 3 log

(

3a−1

)

. D. 3


1
3log


3



a+ .
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f x

( )

=sinx+3x


A. cos 3 2
2


x x C


− + + . B. cos 3 2


2


x+ x +C. C. −cosx+3x2+C. D. cosx C+ .
Câu 12. Cho số phức z= 5−2i. Tính z .


A. z =5. B. z =3. C. z = 7. D. z = 29.


Câu 13. Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc của điềm M(1;2; 3)− lên mặt phẳng (Oyz) có
tọa độ là


A.

(

1;0;0

)

B. ( 1;2; 3)− − C. (1; 2;3)− D. (0;2; 3)


Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2+4x+2y−4z−16=0. Tìm tâm và bán
kính mặt cầu ( )S .


A. I(2;1; 2),− R=5. B. I(2;1; 2),− R=13. C. I( 2; 1;2),− − R=13. D. I( 2; 1;2),− − R=5.
Câu 15. Phương trình mặt phẳng nào sau đây nhận véc tơ n=

(

2;1; 1−

)

làm véc tơ pháp tuyến


A. 2x+ − − =y z 1 0 B. 2x+ + − =y z 1 0 C. 4x+2y z− − =1 0 D. − − − + =2x y z 1 0


Câu 16. Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc đường thẳng : 1 2 1


1 2 1


x y z


d − = − = +


− −


A. P(2;0; 2)− . B. Q(1; 2; 1)− − . C. N( 1;3;2)− . D. M(1;2;1).


Câu 17. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt
đáy và SA=a 2. Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(

SAB

)



A. 45. B. 30. C. 60. D. 90.


Câu 18. Cho hàm số f x

( )

, bảng xét dấu f

( )

x như sau:


Số điểm cực tiểu của hàm số f x

( )



1
-1


-3
-4


y



(3)

A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .


Câu 19. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y x 9


x


= + trên đoạn

 

1; 4 .
Giá trị của m M+ bằng


A. 65


4 . B. 16 . C.


49


4 . D. 10 .


Câu 20. Cho logab=2 với a b, 0, a1. Khẳng định nào sau đây là sai?


A. loga

( )

ab =3. B. loga

( )

a b2 =4. C. loga

( )

b2 =4. D. loga

( )

ab2 =3.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 22x2x+6 là


A.

( )

0;6 . B.

(

−;6

)

. C.

(

0;64 .

)

D.

(

6;+

)

.


Câu 22. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5. Biết rằng khi cắt hình nón cho bởi mặt phảng qua trục,
thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích tồn phần của hình nón đã cho bằng


A. 50. B. 25. C. 75. D. 5 .
Câu 23. Cho hàm số f x

( )

có bảng biến thiên như sau:


Số nghiệm thực của phương trình 3f x

( )

− =5 0 là



A. 4 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .


Câu 24. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

3


5


x
f x


x



=


+ trên khoảng

(

− +5;

)



A. x−8ln

(

x+ +5

)

C. B. x+8ln

(

x+ +5

)

C. C.


(

)

2


8
5


x C


x


− +


+ . D.

(

)

2


8
5


x C


x


+ +


+ .


Câu 25. Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng cơng thức S=A e. nr; trong đó A là dân số
của năm lấy làm mốc tính, Slà số dân n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2019 dân
số của nước In-Đơ-Nê-Xi-a là 272056300 người (Tính đến ngày 31/12 / 2019 ). Giả sử tỉ lệ tăng
dân số hàng năm không đổi là 1.5% , dự báo dân số của nước này vào năm 2035 là bao nhiêu
người (kết quả làm tròn đến hàng trăm)?


A. 345851300 . B. 445851300 . C. 395851300 . D. 545851300 .


Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, AB =2a. Thể tích
của khối lăng trụ đã cho bằng


A.


2


3
4



a


V = . B.


2


12


a


V = . C.


3


3
4


a


V = . D.


3


12


a
.


Câu 27. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số



2
2


4


2019 2020


x x


y


x x


+ −


=


+ − là


x – ∞ 0 2 + ∞


– 0 + 0 – 0 +



(4)

A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .
Câu 28. Cho hàm số bậc ba 3 2


y=ax +bx +cx+d

(

a b c d, , , 

)

có đồ thị hàm số như hình vẽ. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?


A. a0,b0,c0,d0. B. a0,b0,c0,d0.


C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d0.
Câu 29. Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng.


A.

(

)

(

)



1 2


3 2 2


1 1


2 3 d 1 d


x x x x x x x




− − + − − +


.


B.

(

)

(

)



1 2


3 2 2


1 1


2 3 d 1 d



x x x x x x x




− − + + − +


.


C.

(

)

(

)



1 2


3 2 3 2


1 1


2 2 d 2 2 d


x x x x x x x x




− − + − − − +


.


D.

(

)

(

)



2 2



3 2 3 2


1 1


2 2 d 2 2 d


x x x x x x x x


− −


− − + − − + + −


.


Câu 30. Cho hai số phức z1= −4 3iz2 = +1 2i. Phần thực của số phức 1
2


z


z bằng


A. 1. B. 2


5




. C. 2 . D. 11



5




.


Câu 31. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức


3


1 3


1
i
z


i


 + 


= 
+


  là điểm nào dưới đây?


A. D

( )

2; 2 . B. C

(

1;3 3

)

. C. 1; 3
2 2


B 



 . D. A

(

2; 2−

)

.


1 2 x


y


O
1




2
1


y=x − +x


3 2
2 3


y=xxx+


O x



(5)

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a=

(

1; ;m n

)

, b=

(

3; 2; 2−

)

thỏa mãn a b. =17 và


( )

a b, = 60 . Tính giá trị của biểu thức 2 2


S=m +n .


A. 16 . B. 17 . C. 67 . D. 33 .



Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( )

S : x2+y2+ +

(

z 3

)

2 =5. Mặt cầu

( )

S cắt mặt phẳng


( )

P : 2x− +y 2z+ =3 0 theo một đường trịn có bán kính bằng


A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .


Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

1;3; 2 ,

) (

B 1; 2;1 ,

) (

C 4;1;3

)

. Mặt phẳng đi qua trọng
tâm G của tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng AC có phương trình là


A. 3x−2y+ − =z 4 0. B. 3x−2y+ + =z 4 0. C. 3x−2y+ −z 12=0. D. 3x+2y+ − =z 4 0.
Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

(

−1; 2;3 ,

) (

B 3;0;1 .

)

Vectơ nào dưới đây là một vectơ


pháp tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn AB?


A. n1 =

(

2; 2; 4

)

B. n2 =

(

4; 2; 2−

)

. C. n3 =

(

2; 1;1−

)

. D. n4 =

(

2; 1; 1− −

)

.
Câu 36. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm ba chữ số. Xác suất để số


được Chọn Chia hết cho 5 bằng
A. 1.


5 B.


1


15. C.


1


3. D.



1
6.


Câu 37. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết AC =2 3 ,a BD=2a,
2


SD= aSO vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
SD bằng


A. 21


3 a. B.


2 21


3 a. C.


21


7 a. D.


2 21
7 a.


Câu 38. Cho hàm số f x

( )

( )

1 1
3


f = và f

( )

x ln2 x 1.lnx



x


 = + với x0. Khi đó

( )



2
2
1


d
ln 1


f x
x


x x+




bằng


A.

(

)



3


ln 2 ln 2 1
3


+


. B. ln 2 ln 2 1

(

)




3


+


. C.

(

)



2


ln 2 ln 2 3
9


+


. D. ln 2 ln 2 3

(

)



9




Câu 39. Cho hàm số

( )

2 212


3


x
f x


x m


+


=


+ − (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng

(

2;+ 

)

?


A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .


Câu 40. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 1200. Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo
một thiết diện là một tam giác vng có diện tích bằng 6 . Thể tích của khối nón được giới hạn
bởi hình nón đã cho bằng



(6)

Câu 41. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn log9x=log12 y=log16

(

x+y

)



2


x a b


y


− +


= , với


,


a b là các số nguyên dương. Tính 2


T= +a b


A. 25 . B. 26 . C. 24 . D. 23 .



Câu 42. Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số


2


2


y= xx+m trên đoạn

 

0; 2 bằng 3 . Tổng tất cả các phần tử của Sbằng


A. 1. B. 3 . C. 4 . D. −2.


Câu 43. Cho phương trình 9x−(m+5)3x+3m+ =6 0 (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của
m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

1; 2 là


A.

( )

1;7 . B.

(

1;7 .

C.

1;7 .

)

D.

(

1;+

)

.


Câu 44. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên . Biết 2x−cos sinx x+2020 là một nguyên hàm của exf x

( )

.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số exf

( )

x


A. 2sin2x+sin cosx x−2x C+ . B. 2sin2x−sin cosx x−2x+2020+C.
C. −cos 2x+sin cosx x+2x−2018+C. D. cos 2 sin 2 2 2


2


x


x x C


− + + + + .



Câu 45. Cho hàm số f x

( )

có bảng biến thiên như sau


Số nghiệm thuộc khoảng

( )

0; của phương trình 3f

(

2 2cos+ x

)

− =4 0 là


A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 0 .


Câu 46. Cho hàm số bậc bốn y= f x

( )

có đồ thị như hình bên dưới.


Số điểm cực trị của hàm số

( )

(

3 2

)



3 2


g x = f xx + là


A. 5. B. 3. C. 7. D. 11.


x – ∞ 2 4 + ∞


– 0 + 0 – 0 +



(7)

Câu 47. Có bao nhiêu cặp số thực

( )

x y, thỏa mãn y nguyên dương và


(

)



2 2


2


2 1 4



2


3 3 1


log 2 1 2


2 1


x x x x y


x x y


x x


− + + +


+ + + =


− + ?


A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.


Câu 48. Cho hàm số f x

( )

xác định và liên tục trên \ 0 thỏa

 

mãn


( ) (

) ( )

( )



2 2


2 1 1



x f x + xf x =xfx − , với mọi x \ 0

 

đồng thời thỏa f

( )

1 = −2. Tính


( )


2


1


d
f x x




A. ln 2 1
2


− − . B. ln 2 1


2


− − . C. ln 2 3


2


− − . D. ln 2 3


2 2


− − .


Câu 49. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. SBA=SCA=900, SA=a,


góc giữa hai mặt phẳng

(

SAB

) (

, SAC

)

bằng 0


60 . Tính thể tích khối chóp S ABC. theo a.


A.


3


3
54
a


. B.


3


6


a


. C.


3


3
27
a


. D.



3


3
81
a


.


Câu 50. Cho hàm số f x

( )

=x2−2x. Gọi F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số f f f x

(

(

( )

)

)

. Hàm số


( )

( )

3


g x =F xx nghịch biến trong khoảng nào sau đây?



(8)

BẢNG ĐÁP ÁN


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


B B B B B A A A B C A B D D A A B B B D B C A A A


26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


C B B C C A C B A D A D C D C B A B A B C D B A D
HƯỚNG DẪN GIẢI


Câu 1. Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 9 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh?


A. 45 . B. 91. C. 14 . D. 9 .


Lời giải


Chọn B


Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 14 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 14 học sinh. Vậy số cách
chọn là C142 =91 cách.


Câu 2. Cho cấp số nhân

( )

un có các số hạng thỏa mãn 1 5


2 6


33
66


u u


u u


+ =




 + =


 . Tìm số hạng đầu u1 và công bội


q của cấp số nhân.


A. u1 =2,q=2. B. 1 33, 2
17


u = q= . C. 1 33, 2



17


u = p= . D. u1 =3,q=2.


Lời giải
Chọn B


Áp dụng công thức 1. 1


n
n


u =qu với n2,n .


Ta có


4 4


1 5 1 1 1


5 4


2 6 1 1 1


33 . 33 (1 ) 33 (1)


66 66 (1 ) 66 (2)


u u u u q u q



u u u q u q u q q


 


+ = + = + =




+ =  


+ = + =


 


  


Lấy (2) chia (1) ta được


4
1


4
1


(1 ) 66


2
(1 ) 33



u q q


q


u q


+


=  =


+ . Thay q=2 vào (1) ta được 1


33
17


u = .


Câu 3. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2


4a và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao
của hình trụ đó.


A. 4a. B. 2a. C. 3a. D. a.


Lời giải
Chọn B


Diện tích xung quanh hình trụ là Sxq =2Rh.
Theo đề bài ta có 2



4a =2Rh =h 2a.


Câu 4. Cho hàm số y= f x

( )

có bảng biến thiên như sau


Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


x – ∞ 0 1 + ∞


y' + 0


y


+ ∞


– ∞


2



(9)

A.

(

−; 2

)

. B.

(

−;0

)

. C.

( )

0;1 . D.

(

− +1;

)

.
Lời giải


Chọn B


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

(

−;0

)

(

1;+

)

.
Câu 5. Tính thể tích V của khối lăng trụ đứng có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao h bằng 12 .


A.V =32. B.V =96. C.V =68. D.V =64.
Lời giải


Chọn B



Áp dụng cơng thức tính thể tích khối lăng trụ ta được V =8.12=96.
Câu 6. Nghiệm của phương trình log3x=3 là


A. 27 . B. 1


27. C. 9 . D.


1
27.


Lời giải
Chọn A


Điều kiện x0. Khi đó 3
3


log x=  =3 x 3 =27.
Câu 7. Nếu

( )



4


1


d 9
f x x=


( )



4



3


d 1


f x x= −


thì

( )



3


1


d
f x x


bằng


A. 10 . B. −10. C. 8 . D. −8.


Lời giải
Chọn A


Ta có

( )

( )

( )

( )

( )



3 4 3 4 4


1 1 4 1 3


d d d d d 9 ( 1) 10



f x x= f x x+ f x x= f x xf x x= − − =


.


Câu 8. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:


Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng


A. −1. B. −2. C. 0 . D. 1.


Lời giải
Chọn A


Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=0 và giá trị cực đại của hàm số là y = −1


. Vậy chọn đáp án A


Câu 9. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?


( )



y= f x


x – ∞ 0 1 + ∞


y' 0 + 0 – 0 +


y




(10)

A. 4 2


2


y=xx . B. 4 2


2 3


y=xx − . C. 4 2


2 3


y= − +x x − . D. 3 2


3 2


y=xx +


Lời giải
Chọn B


Dựa vào đồ thị ta thấy:


( )

0 3


y = − loại A,D


( )

1 4


y = − loại C, Chọn B


Câu 10. Với a là số thực dương tùy ý,


3
3


log
27
a


 


 


  bằng


A. 3log3a−1. B. 3log3a+1. C. 3 log

(

3a−1

)

. D. 3


1
3log


3
a+ .
Lời giải


Chọn C
Ta có


3


3



3 3 3


log log log 27


27
a


a


 


= −


 


  =3log3a− =3 3 log

(

3a−1

)

.


Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f x

( )

=sinx+3x
A. cos 3 2


2


x x C


− + + . B. cos 3 2


2


x+ x +C. C. −cosx+3x2+C. D. cosx C+ .


Lời giải


Chọn A


Ta có:

( )

(

sin 3

)

cos 3 2
2
f x dx= x+ x dx= − x+ x +C


.


Câu 12. Cho số phức z= 5−2i. Tính z .


A. z =5. B. z =3. C. z = 7. D. z = 29.
Lời giải


Chọn B


Cách 1: Ta có:

( )

2 2


5 2 5 2 9 3


z = + i z = + = = .


Cách 2: Ta có: z =

( )

( )



2 2


5 2 9 3


z = + − = = .



Câu 13. Trong khơng gian Oxyz, hình chiếu vng góc của điềm M(1;2; 3)− lên mặt phẳng (Oyz) có
tọa độ là


1
-1


-3
-4


y



(11)

A.

(

1;0;0

)

B. ( 1;2; 3)− − C. (1; 2;3)− D. (0;2; 3)
Lời giải


Chọn D


Hình chiếu vng góc của điềm M(1;2; 3)− lên mặt phẳng (Oyz) là điểm M(0;2; 3)− .


Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) :S x2+y2+z2+4x+2y−4z−16=0. Tìm tâm và bán
kính mặt cầu ( )S .


A. I(2;1; 2),− R=5. B. I(2;1; 2),− R=13. C. I( 2; 1;2),− − R=13. D. I( 2; 1;2),− − R=5.
Lời giải


Chọn D


Cách 1: 2 2 2 2 2 2


4 2 4 16 0 ( 2) ( 1) ( 2) 25



x +y +z + x+ yz− =  x+ + y+ + −z =


Tâm mặt cầu ( )SI( 2; 1; 2)− − , bán kính R=5.
Cách 2: 2 2 2


4 2 4 16 0 2; 1; 2; 16


x +y +z + x+ yz− =  = −a b= − c= d = −


Tâm và bán kính mặt cầu ( )S

(

)



2 2 2


2; 1; 2


4 1 4 16 5
I


R a b c d


 − −




= + + − = + + + =






Câu 15. Phương trình mặt phẳng nào sau đây nhận véc tơ n=

(

2;1; 1−

)

làm véc tơ pháp tuyến


A. 2x+ − − =y z 1 0 B. 2x+ + − =y z 1 0 C. 4x+2y− − =z 1 0 D. − − − + =2x y z 1 0


Lời giải
Chọn A


Từ phương trình mặt phẳng 2x+ − − =y z 1 0 suy ra mặt phẳng này có một véc tơ pháp tuyến là


(

2;1; 1

)



n= − .


Câu 16. Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc đường thẳng : 1 2 1


1 2 1


x y z


d − = − = +


− −


A. P(2;0; 2)− . B. Q(1; 2; 1)− − . C. N( 1;3;2)− . D. M(1; 2;1).
Lời giải


Chọn A


Thay tọa độ mỗi điểm M N P Q vào phương trình đường thẳng, ta có đường thẳng , , , d đi qua
điểm P(2;0; 2)− .



Câu 17. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt
đáy và SA=a 2. Tìm số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(

SAB

)



A. 45. B. 30. C. 60. D. 90.



(12)

Ta có CB

(

SAB

)

SB là hình chiếu vng góc của SC lên

(

SAB

)

.
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

(

SAB

)

CSB.


Xét tam giác CSB vng tại B có tan 1


3 3


CB a


CSB


SB a


= = = .


Vậy CSB = 30 .


Câu 18. Cho hàm số f x

( )

, bảng xét dấu f

( )

x như sau:


Số điểm cực tiểu của hàm số f x

( )



A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .


Lời giải


Chọn B


Từ bảng xét dấu, ta thấy f

( )

x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=0 và x=2 nên hàm số


( )



f x có 2 điểm cực tiểu.


Câu 19. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y x 9
x


= + trên đoạn

 

1; 4 .
Giá trị của m M+ bằng


A. 65


4 . B. 16 . C.


49


4 . D. 10 .


Lời giải
Chọn B


Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

 

1; 4 .
Ta có: y x 9 1 92


x x





 


 = + = −


  .


( )


( )


2


2


3 1; 4
9


0 1 0 9 0


3 1; 4


x


y x


x
x


= 





 =  − =  − =  


= − 


 .


D
A


B C



(13)



( )


( )


( )



 1; 4


1 10


3 6 min 6


25
4


4


f


f y m


f


 =




=  = =





 =





 1; 4


maxy=10=M .


Vậy m M+ =16.


Câu 20. Cho logab=2 với a b, 0, a1. Khẳng định nào sau đây là sai?


A. loga

( )

ab =3. B.

( )

2


loga a b =4. C.

( )



2


loga b =4. D.

( )



2


loga ab =3.


Lời giải
Chọn D


Ta có

( )

2 2


loga ab =logaa+logab = +1 2 logab= +1 2.2=5 nên

( )



2


loga ab =3 là đáp án sai.


Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 22x2x+6 là


A.

( )

0;6 . B.

(

−;6

)

. C.

(

0;64 .

)

D.

(

6;+

)

.
Lời giải


Chọn B


Ta có 22x2x+62x +  x 6 x 6.



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = −

(

;6

)

.


Câu 22. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5. Biết rằng khi cắt hình nón cho bởi mặt phảng qua trục,
thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích tồn phần của hình nón đã cho bằng


A. 50. B. 25. C. 75. D. 5 .
Lời giải


Chọn C


Do bán kính đáy của hình nón R=5 và thiết diện của hình nón bị cắt bởi mặt phẳng qua trục
tam giác đều nên độ dài đường sinh của hình nón l=2R=10


2


50 25 75
tp


SRlR   


 = + = + =


Vậy Chọn C


Câu 23. Cho hàm số f x

( )

có bảng biến thiên như sau:


A B



(14)

Số nghiệm thực của phương trình 3f x

( )

− =5 0 là


A. 4 . B. 2 . C. 0 . D. 3 .


Lời giải
Chọn A


Ta có 3f x

( )

− =5 03f x

( )

=5

( )

5
3
f x


 = .


Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị y= f x

( )

và đường thẳng 5
3
y= .
Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.


Câu 24. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

( )

3
5
x
f x


x

=


+ trên khoảng

(

− +5;

)


A. x−8ln

(

x+ +5

)

C. B. x+8ln

(

x+ +5

)

C. C.


(

)

2


8
5


x C


x


− +


+ . D.

(

)

2


8
5


x C


x


+ +


+ .


Lời giải
Chọn A


Ta có:

( )

d 3d 5 8d 1 8 d 8ln 5


5 5 5



x x


f x x x x x x x C


x x x


− + −  


= = = = − + +


+ +  + 




(

)



8ln 5


x x C


= − + + (vì x − +

(

5;

)

).


Câu 25. Để dự báo dân số của một quốc gia, người ta sử dụng công thức S=Ae. nr; trong đó A là dân số
của năm lấy làm mốc tính, Slà số dân n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Năm 2019 dân
số của nước In-Đơ-Nê-Xi-a là 272056300 người (Tính đến ngày 31/12 / 2019 ). Giả sử tỉ lệ tăng
dân số hàng năm không đổi là 1.5% , dự báo dân số của nước này vào năm 2035 là bao nhiêu
người (kết quả làm tròn đến hàng trăm)?


A. 345851300 . B. 445851300 . C. 395851300 . D. 545851300 .



Lời giải
Chọn A


Ta có S=Ae. nr thay số với A=272056300, n=2035 2019 16− = , r=1.5%.
Ta được số dân của In-Đô-Nê-Xi-a vào năm 2035


16.1,5


272056300. 345851340, 2145852


S = e =


Vì kết quả làm tròn đến hàng trăm nên S=345851300 (Người).


Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, AB =2a. Thể tích
của khối lăng trụ đã cho bằng


x – ∞ 0 2 + ∞


– 0 + 0 – 0 +



(15)

A.


2


3
4


a



V = . B.


2


12


a


V = . C.


3


3
4


a


V = . D.


3
12
a
.
Lời giải
Chọn C


Diện tích đáy là:


2



3.
4
ABC


a


S = .


Tam giác AA B' ' vng tại A' nên ta có: AA'= AB'2−A B' '2 =a. 3.
Thể tích lăng trụ là:


2 3


3 3


. '. . 3


4 4


ABC


a a


V =B h=AA S = a = .
Chọn đáp án C


Câu 27. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số


2
2


4
2019 2020
x x
y
x x
+ −
=


+ − là


A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 .


Lời giải
Chọn B
Hàm số
2
2
4
2019 2020
x x
y
x x
+ −
=


+ − có điều kiện xác định là:


2
2



4 0


2019 2020 0


x
x x
 − 


+ − 


 


2 2


1 2; 2 \ 1


2020
x
x x
x
−  


   −
  −

.


• Từ điều kiện xác định suy ra khơng tồn tại lim


x→+yxlim→−y, do đó đồ thị hàm số khơng có


tiệm cận ngang.


• Ta có


(

)(

)


2
1 1
4
lim lim
1 2020
x x
x x
y
x x
+ +
→ →
+ −
= = +


− + và

(

)(

)



2
1 1
4
lim lim
1 2020
x x
x x
y
x x


− −
→ →
+ −
= = −
− + .


Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng x=1.


Kết luận: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 1.


Câu 28. Cho hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d

(

a b c d, , , 

)

có đồ thị hàm số như hình vẽ. Mệnh đề
nào dưới đây đúng?


A. a0,b0,c0,d0. B. a0,b0,c0,d0.
C. a0,b0,c0,d0. D. a0,b0,c0,d0.


Lời giải
Chọn B


O x



(16)

Từ đồ thị ta có lim 0


x→+y= +  a .


Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên d 0.
Gọi x x1, 2 là hoành độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.


Khi đó x x1, 2là nghiệm của phương trinh



2


' 0 3 2 0


y =  ax + bx c+ = .


Suy ra 1 2 0 0
3


c


x x c


a


=    .


Điểm uốn của đồ thị hàm số nằm bên phải trục 0 0
3


b


Oy b


a


    .


Kết luận a0,d0,b0,c0.



Câu 29. Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng.


A.

(

)

(

)



1 2


3 2 2


1 1


2 3 d 1 d


x x x x x x x




− − + − − +


.


B.

(

)

(

)



1 2


3 2 2


1 1


2 3 d 1 d



x x x x x x x




− − + + − +


.


C.

(

)

(

)



1 2


3 2 3 2


1 1


2 2 d 2 2 d


x x x x x x x x




− − + − − − +


.


D.

(

)

(

)



2 2



3 2 3 2


1 1


2 2 d 2 2 d


x x x x x x x x


− −


− − + − − + + −


.


Lời giải
Chọn C


Theo hình vẽ 2 đường cong: y=x3−x2−2x+3; y=x2− +x 1 cắt nhau tại các điểm có hồnh
độ lầnlượt là:x= −1;x=1; x=2.


Ta có diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi 2 đường cong trên là:


(

) (

)



2


3 2 2


1



2 3 1


x x x x x dx




− − + − − +


=

(

)



2


3 2


1


2 2 d


x x x x




− − +




(

)

(

)



1 2



3 2 3 2


1 1


2 2 d 2 2 d


x x x x x x x x




− − + + − − +


=

(

)

(

)



1 2


3 2 3 2


1 1


2 2 d 2 2 d


x x x x x x x x




− − + − − − +


.


1 2 x


y


O
1




2
1


y=x − +x


3 2
2 3



(17)

Câu 30. Cho hai số phức z1= −4 3iz2 = +1 2i. Phần thực của số phức
1
2


z


z bằng


A. 1. B. 2


5



. C. 2 . D. 11


5


.


Lời giải
Chọn C


Ta có z2 = +1 2i nên z2= −1 2i. Suy ra 1
2


4 3
1 2


z i


i
z



=




(4 3 )(1 2 )
(1 2 )(1 2 )



i i


i i


− +


=


− +


10 5
2
5


i
i
+


= = + .


Vậy phần thực của số phức 1
2


z


z bằng 2 .


Câu 31. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức


3



1 3


1
i
z


i


 + 


= 
+


  là điểm nào dưới đây?


A. D

( )

2; 2 . B. C

(

1;3 3

)

. C. 1; 3
2 2


B 


 . D. A

(

2; 2−

)

.


Lời giải
Chọn A


Ta có


2 3



2 3


1 3 3 9 3 3 4


2 2


1 3 3 1


i i i


z i


i i i i


+ + +


= = = +


+ + + − . Vậy điểm biểu diễn của zD

( )

2; 2 .


Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a=

(

1; ;m n

)

, b=

(

3; 2; 2−

)

thỏa mãn .a b=17 và

( )

a b, = 60 . Tính giá trị của biểu thức S=m2+n2.


A. 16 . B. 17 . C. 67 . D. 33 .


Lời giải
Chọn C


Ta có

( )




( )



. 17


. . .cos , 2 17


1
.cos , 17.


2


a b


a b a b a b a


b a b


=  = = =


2 2 2 2


1 m n 68 m n 67


 + + =  + = .


Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

( )

S : x2+y2+

(

z+3

)

2 =5. Mặt cầu

( )

S cắt mặt phẳng


( )

P : 2x− +y 2z+ =3 0 theo một đường trịn có bán kính bằng


A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 .



Lời giải
Chọn B


Mặt cầu

( )

2 2

(

)

2


: 3 5


S x +y + z+ = có tâm I

(

0;0; 3−

)

và bán kính R= 5.
Ta có

(

,

( )

)

2.0 0 2.3 3 1


4 1 4


d =d I P = − − + =



(18)

Khi đó bán kính của đường trịn giao tuyến giữa mặt cầu

( )

S và mặt phẳng

( )

P


2 2


2.
r= Rd =


Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A

(

1;3; 2 ,

) (

B 1; 2;1 ,

) (

C 4;1;3

)

. Mặt phẳng đi qua trọng
tâm G của tam giác ABC và vng góc với đường thẳng AC có phương trình là


A. 3x−2y z+ − =4 0. B. 3x−2y z+ + =4 0. C. 3x−2y z+ − =12 0. D. 3x+2y z+ − =4 0.
Lời giải


Chọn A



Ta có tọa độ điểm G

(

2; 2; 2

)

AC=

(

3; 2;1−

)

.


Vì mặt phẳng

( )

 cần tìm vng góc với đường thẳng AC nên mặt phẳng

( )

 có một véctơ pháp
tuyến là n=

(

3; 2;1−

)

.


Mặt phẳng

( )

 đi qua G

(

2; 2; 2

)

và nhận n=

(

3; 2;1−

)

làm véctơ pháp tuyến, có phương trình


(

) (

)



3 x− −2 2 y− + − = 2 z 2 0 3x−2y+ − =z 4 0.


Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A

(

−1; 2;3 ,

) (

B 3;0;1 .

)

Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn AB?


A. n1 =

(

2; 2; 4

)

B. n2 =

(

4; 2; 2−

)

. C. n3 =

(

2; 1;1−

)

. D. n4 =

(

2; 1; 1− −

)

.
Lời giải


Chọn D


(

4; 2; 2

)

2 2; 1; 1 .

(

)



AB= − − = − −


Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực đoạn ABn4 =

(

2; 1; 1− −

)

.


Câu 36. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 gồm ba chữ số. Xác suất để số
được Chọn Chia hết cho 5 bằng


A. 1.



5 B.


1


15. C.


1


3. D.


1
6.
Lời giải


Chọn A


+ Số các số gồm ba chữ số và chia hết cho 3 là: 999 102 1 300

( )

300.


3 n




+ =   =


+ Số chia hết cho 3 và đồng thời chia hết cho 5 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 15, có tất cả các


số 990 105 1 60
15


+ =



như vậy. Vậy xác suất để lấy được số chia hết cho 5 là 60 1.
300 5


p= =


Câu 37. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết AC=2 3 ,a BD=2a,
2


SD= aSO vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng ABSD
bằng


A. 21


3 a. B.


2 21


3 a. C.


21


7 a. D.



(19)

Chọn D


+) Ta có AB CD// AB//

(

SCD

)



(

,

)

(

,

(

)

)

(

,

(

)

)

2

(

,

(

)

)




d AB SD d AB SCD d A SCD d O SCD


 = = =


(do O là trung điểm của AC).


+) Do tứ giác ABCD là hình thoi tâm O nên ACBD và 3 ,


2 2


AC BD


OC= = a OD= =a.


Tam giác SOD vuông tại O (vì SO

(

ABCD

)

) SO= SD2−OD2 = 2a2−a2 =a.
+) Xét tứ diện OSCDOS OC OD, , đơi một vng góc với nhau tại O nên tứ diện OSCD
vng tại O. Do đó:


(

)



(

)

2 2 2 2 2 2 2


2


1 1 1 1 1 1 1 7


3 3


, OS OC OD a a a a



d O SCD = + + = + + =


(

)



(

)

21


,


7


d O SCD a


 =

(

,

)

2 21


7


d AB SD a


 = .


Câu 38. Cho hàm số f x

( )

( )

1 1
3


f = và f

( )

x ln2 x 1.lnx
x


 = + với x0. Khi đó

( )



2
2


1


d
ln 1


f x
x


x x+




bằng


A.

(

)



3


ln 2 ln 2 1
3


+


. B. ln 2 ln 2 1

(

)



3


+


. C.

(

)




2


ln 2 ln 2 3
9


+


. D. ln 2 ln 2 3

(

)



9




Lời giải
Chọn C


Xét f

( )

x .dx ln2x 1.lnx.dx
x


 = +


.


Đặt 2


ln x+ =1 t ln2x t2 1 lnx.dx t t.d
x


 = −  = .



Suy ra:

( )

(

)



3
2


3 ln 1


d . d


3 3


x
t


fx x= t t t= + =C + +C




Vì vậy:

( )

(

)



3
2


ln 1
3


x


f x C



+


= + .


O


D
A


B C



(20)

Do

( )

1 1 1 1 0


3 3 3


f =  + =  =C C . Suy ra:

( )

(

)



3
2


ln 1
3


x


f x = + .


Vậy

( )

(

)




2 2 2 3 2 2 2


2


2 2


1 1 1 1


(ln 1) ln 1 1


ln 1 (ln )


3 3


ln 1 3 ln 1


f x x x


dx dx dx x d x


x


x x x x


+ +


= = = +


+ +





2


3 3


1


1 1 1 1


ln ln ln 2 ln 2


3 3 x x 3 3


   


= + = +


   


(

2

)



ln 2 ln 2 3
9


+


= .


Câu 39. Cho hàm số

( )

2 212

3
x
f x


x m
+
=


+ − (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng

(

2;+ 

)

?


A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .


Lời giải
Chọn D


Hàm số có tập xác định

2



\ 3


D= −m + .


Ta có

( )



(

)



2
2
2



2 18
3
m
f x


x m


 =


+ − .


Hàm số nghịch biến trên

(

2;+  

)

( )

(

)



2


0 2;


3 2


f x khi x


m




   + 






− + 





2
2


2 18 0 3 1


1 3


1


m m


m
m


 −  −   −




  




 


 .



Do m nhận giá trị nguyên nên m − −

2; 1;1; 2

.
Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.


Câu 40. Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 1200. Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo
một thiết diện là một tam giác vng có diện tích bằng 6 . Thể tích của khối nón được giới hạn
bởi hình nón đã cho bằng


A. 9 3. B. 27 . C. 3 3. D. 9 .
Lời giải


Chọn C


O
S


A



(21)

Gọi đỉnh của hình nón là S, O là tâm đáy. Mặt phẳng qua đỉnh cắt hình nón theo thiết diện là
tam giác SAB và tam giác SAB vng cân tại S.


Ta có 1 . 1 2 6 2 3


2 2


SAB


S = SA SB= SA = SA= .


Xét tam giác OSA vuông tại O, góc OSA=600 nên SO= 3,OA=3.


Vậy hình nón đã cho có:


+ Chiều cao h=SO= 3.
+ Bán kính đáy R=OA=3.


Vậy thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho là 1 2 1 .9. 3 3 3


3 3


V = R h=  = 


Câu 41. Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn log9 x=log12y=log16

(

x+y

)



2


x a b


y


− +


= , với a b,


là các số nguyên dương. Tính T = +a b2


A. 25 . B. 26 . C. 24 . D. 23 .


Lời giải
Chọn B



+) Đặt log9 x=log12 y=log16

(

x+y

)

=t. Suy ra 9 ; 12


16


t t


t


x y


x y


 = =





+ =


 .


+) Do đó:


2


3 1 5


4 2


9 12 3 3 3 1 5



9 12 16 1 1 0


16 16 4 4 3 1 5 4 2


4 2


t


t t t t t


t t t


t


  =− −


   − +


         


+ =   + =   +  − =   =


          =− +  


 
 


+) Khi đó 9 3 1 5



12 4 2


t
t


t
x
y


− +
 


= =  =


  suy ra a=1,b=5. Vậy


2 2


1 5 26
T= + = + =a b .


Câu 42. Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số


2


2


y= xx+m trên đoạn

 

0; 2 bằng 3 . Tổng tất cả các phần tử của Sbằng



A. 1. B. 3 . C. 4 . D. −2.


Lời giải
Chọn A


Xét hàm số f x

( )

=x2−2x m+ là hàm số liên tục trên đoạn

 

0; 2 .
Ta có: f

( )

x =2x−2 và f

( )

x =  =0 x 1.


( )

0 ;

( )

1 1;

( )

2


f =m f = −m f =m.


 0;2ax

( )

ax

1;



m f x m m m


 = − .


 0;2ax  0;2ax

( )

ax

1 ;

3


m y m f x m m m



(22)

TH1: 3 3
3
m
m


m
=


=   = −


 .


Nếu m=3 thì


 0;2

 



maxy=max 2;3 =3(thỏa mãn).
Nếu m= −3 thì


 0;2

 



maxy=max 4;3 =4(loại).


TH2: 1 3 4


2
m
m


m
=

− =   = −


 .


Nếu m=4 thì



 0;2

 



maxy=max 3; 4 =4(loại).
Nếu m= −2thì


 0;2

 



maxy=max 2;3 =3(thỏa mãn).


Vậy có 2 giá trị của tham sốm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó tổng là: 3 ( 2) 1+ − = .


Câu 43. Cho phương trình 9x−(m+5)3x+3m+ =6 0 (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của
m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

 

1; 2 là


A.

( )

1;7 . B.

(

1;7 .

C.

1;7 .

)

D.

(

1;+

)

.
Lời giải


Chọn B


(

)

(

)

(

)

(

)(

)



9 ( 5)3 3 6 0


3 3


3 3 3 2 3 3 0 3 3 3 2 0 .


3 2


x x



x


x x x x x


x


m m


m m


m


− + + + =


 =


 − − + − =  − − − =  


= +


3x =  =3 x 1 thỏa mãn x

 

1; 2 .


Mặt khác: x

 

1; 2  3x

 

3;9 . Vậy để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn


 

1; 2 khi và chỉ khi 3 +    m 2 9 1 m 7.


Câu 44. Cho hàm số f x

( )

liên tục trên . Biết 2x−cos sinx x+2020 là một nguyên hàm của exf x

( )

.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số exf

( )

x


A. 2sin2x+sin cosx x−2x C+ . B. 2sin2x−sin cosx x−2x+2020+C.
C. −cos 2x+sin cosx x+2x−2018+C. D. cos 2 sin 2 2 2


2
x


x x C


− + + + + .


Lời giải
Chọn A


Theo giả thiết

(

2x−cos sinx x+2020

)

=exf x

( )

exf x

( )

= −2 cos 2x.
Xét I =

exf

( )

x dx.


Đặt


( )

( )



e d e d


d d


x x


u u x


v f x x v f x



 =  =






= =


 


  .


( )

( )

(

)

sin 2


e e d 2 cos 2 2 cos 2 d 2 cos 2 2 1


2


x x x



(23)

2


sin 2


2 cos 2 2 1 2sin sin cos 2


2
x



I = − xx+ − + =C x+ x xx C+ .
Câu 45. Cho hàm số f x

( )

có bảng biến thiên như sau


Số nghiệm thuộc khoảng

(

0;

)

của phương trình 3f

(

2 2cos+ x

)

− =4 0 là


A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 0 .


Lời giải
Chọn B


Ta có − 1 cosx   +1 0 2 2cosx4,  x nên từ bảng biến thiên của hàm số f x

( )


ta suy ra 3

(

2 2 cos

)

4 0

(

2 2 cos

)

4


3


f + x − =  f + x =

( )



( )



2 2 cos 0; 2
2 2 cos 2; 4


x a
x b


+ = 



 



+ = 





(

) ( )



( ) ( )



2


cos 1; 0 1


2
2


cos 0;1 2


2
a
x


b
x




=  −



 





=





.


• Phương trình

( )

1 có 1 nghiệm x1 thuộc khoảng

(

0;

)

.


• Phương trình

( )

2 có 1 nghiệm x2 thuộc khoảng

(

0;

)

.


Hai nghiệm x1, x2 phân biệt.


Vậy số nghiệm thuộc khoảng

(

0;

)

của phương trình 3f

(

2 2cos+ x

)

− =4 0 là 2 nghiệm.
Câu 46. Cho hàm số bậc bốn y= f x

( )

có đồ thị như hình bên dưới.


Số điểm cực trị của hàm số

( )

(

3 2

)



3 2


g x = f xx + là


A. 5. B. 3. C. 7. D. 11.


Lời giải
Chọn C


x – ∞ 2 4 + ∞



– 0 + 0 – 0 +



(24)

Từ đồ thị hàm số y= f x

( )

ta suy ra

( )

(

)



2


0 2; 2


2


x a


f x x b


x c


=  −




 =  =  −


 = 


.


Xét hàm số

( )

(

3 2

)




3 2


g x = f xx + .


Ta có g x

( )

=

(

3x2−6x f

) (

x3−3x2+2

)

.


( )

2

(

3 2

)



3 6 0


0


3 2 0


x x


g x


f x x


 − =


 =  


 − + =


 


( )




(

) ( )



( )



3 2


3 2


3 2


0 2


3 2 2 1
3 2 2; 2 2
3 2 2 3


x x


x x a


x x b


x x c


=  =


 − + =  −



 − + =  −




 − + = 



Xét hàm số h x

( )

=x3−3x2+2.


Ta có h x

( )

=3x2−6x.


( )

0 0


2
x
h x


x
=


=  


=


 .


Bảng biến thiên của hàm số h x

( )

như sau:



Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình (1) có 1 nghiệm x10.


Phương trình (2) có 3 nghiệm x20, 0x3 2, x4 2.
Phương trình (3) có 1 nghiệm x5 2.


Mặt khác, các nghiệm này không trùng nhau.


Vậy phương trình g x

( )

=0 có 7 nghiệm đơn. Suy ra hàm số g x

( )

= f x

(

3−3x2+2

)

có 7 điểm
cực trị.


Câu 47. Có bao nhiêu cặp số thực

( )

x y, thỏa mãn y nguyên dương và


(

)



2 2


2


2 1 4


2


3 3 1


log 2 1 2


2 1


x x x x y



x x y


x x


− + + +


+ + + =


− + ?


A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.


Lời giải
Chọn D


Điều kiện: 2



(25)

(

)


(

)

(

)


(

)

(

)

( )


2 2
2 2
2 2
2


2 1 4


2



2 2 2 1 3 3 1


2 3 3 1 2 2 1


3 3 1


log 2 1 2


2 1


log 3 3 1 log 2 1 2 2


log 3 3 1 2 log 2 1 2 *


x x x x y


x x x x y


x x y x x


x x y


x x


x x y x x


x x y x x


− + + +
− + + + +


+ + + − +
+ + + =
− +
 + + + − − + = −
 + + + + = − + +


Xét f t

( )

=logt+2t là hàm số đồng biến trên

(

0;+

)

. Do đó:


( )

(

) (

)



( )



2 2


2 2


2


* 3 3 1 2 1


3 3 1 2 1 (2)


4 0 **


f x x y f x x


x x y x x


x x y



 + + + = − +


 + + + = − +


 + + =


Điều kiện

( )

1 luôn được thỏa mãn do

( )

2 .


Vì vậy để tồn tại

( )

x y, thỏa mãn yêu cầu thì

( )

** có nghiệm. Khi đó ta được 4−   y 0 y 4
Do y nguyên dương nên y

1; 2;3; 4

. Chú ý rằng với y=1, 2,3 sẽ cho ra hai nghiệm x, với


4


y= chỉ cho ra một nghiệm x= −2. Ta có 7 cặp

( )

x y, thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 48. Cho hàm số f x

( )

xác định và liên tục trên \ 0 thỏa

 

mãn


( ) (

) ( )

( )



2 2 '


2 1 1


x f x + xf x =xf x − , với mọi x \ 0

 

đồng thời thỏa f

( )

1 = −2. Tính


( )


2


1



d
f x x




A. ln 2 1
2


− − . B. ln 2 1


2


− − . C. ln 2 3


2


− − . D. ln 2 3


2 2


− − .


Lời giải
Chọn B


Ta có x f2 2

( )

x +2xf x

( )

+ =1 xf

( )

x + f x

( )

(

xf x

( )

+1

)

2 =

(

xf x

( )

+1

)



Do đó

(

( )

)



( )



(

)


( )


(

)


( )


(

)

( )


2 2


1 1 1


1 1


1


1 1


xf x xf x


dx dx x C


xf x


xf x xf x


 
+ +
=  =  − = +
+
+

+

( )


1
1

xf x
x c
 + = −
+


Mặt khác f

( )

1 = −2 nên 2 1 1 0

( )

1 1

( )

12 1


1 c c xf x x f x x x


− + = −  =  + = −  = − −


+
Vậy

( )



2 2


2
1
2


1 1


1 1 1 1


d ln | ln 2


2


f x x dx x



x x x


   


= − − = − + = − −


   


.


Câu 49. Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vng cân tại A. 0


90


SBA=SCA= , SA=a,


góc giữa hai mặt phẳng

(

SAB

) (

, SAC

)

bằng 60 . Tính thể tích khối chóp .0 S ABC theo a.
A.


3


3
54
a


. B.


3


6



a


. C.


3


3
27
a


. D.



(26)

Đặt AB=AC=x; gọi M là trung điểm BC
Tam giác ABC vuông cân tại A nên BC=x 2.


Do ABC vuông cân tại A, SAB,SAC lần lượt vuông tại B C, nên SAB= SAC. Do đó
nếu kẻ BISA I

(

SA

)

thì CISA, từ đó ta được SAmp IBC

(

)

, góc giữa hai mặt phẳng


(

SAB

) (

, SAC

)

là góc giữa hai đường thẳng BI CI, .
TH 1 : BIC=600 BIM =300.


Do IB=IC Tam giác IBM vuông tại M ,


0


2 2


.2 2



2 sin 30 2


x BM x


BM = BI = = =x  =x AB(vô lý do BIA vuông tại I ).


TH2: BIC=1200 BIM =600. Tương tự trên ta tính được 0 6


sin 60 3


BM x


BI = = ; 6


6
x
IM =
.


o SAB vuông ở B đường cao BI nên


2
2


. x


AB AI AS AI


a



=  = .


o AIB vuông tại I nên


4


2 2 2 2 2


2


x x


BI AB AI x a x


a a


= − = − = − .


2 2 6 3


3 3


x x a


a x x


a


 − =  = 2; 6.



6 3


a a


IM BC


 = =


(

)

3


. . .


1 1 1 1 2 6 3


. . . .


3 3 2 6 6 3 54


S ABC S IBC A IBC IBC


a a a


V V V S SI IA IM BC SA a


 = + = + = = = .


Câu 50. Cho hàm số f x

( )

=x2−2x. Gọi F x

( )

là một nguyên hàm của hàm số f

(

f

(

f x

( )

)

)

. Hàm số


( )

( )

3



g x =F xx nghịch biến trong khoảng nào sau đây?


A.

(

−2 2;1− 2

)

. B.

(

−2;1+ 2

)

. C.

(

2 2; 4 .

)

D.

(

0;1+ 2

)

.
Lời giải


Chọn D


Ta có g x

( )

= f

(

f

(

f x

( )

)

)

−3.


Trước hết ta tìm các nghiệm của phương trình f

(

f

(

f x

( )

)

)

− =3 0.
M


A


B


C
S



(27)

Đặt a= f

(

f x

( )

)

, phương trình trở thành:

( )

3 2 2 3 0 3
1
a


f a a a


a
=


=  − − =  



= −


Với a=3: Suy ra f

(

f x

( )

)

=3. Ta đặt b= f x

( )



( )

( )



( )



2 2 3 3


3 2 3 2 3 0


1 1


f x
b


f b b b b b


b f x


=


=


 =  − =  − − =  = −  



= −





Với a= −1 Suy ra f

(

f x

( )

)

= −1. Ta cũng đặt b= f x

( )

.


( )

2

(

)

2

(

( )

)

2


1 2 1 1 0 1 0


f b b b b f x


 = −  − = −  − =  − = .


Vậy ta được:


( )

(

(

( )

)

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)



(

)(

)(

)



2


2


2 2 2


3 3 1 1


2 3 2 1 2 1



g x f f f x f x f x f x


x x x x x x


 = − = − + −


= − − − + − −


( )



1


0 1 2


3


x


g x x


x


= 



 =  = 


 =




(chú ý rằng các nghiệm x= 1 2 và x=1 là nghiệm bội chẵn)


Bảng xét dấu g x

( )



Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số g x

( )

nghịch biến trên

(

−1;3

)

.
Cách 2:


Ta có g x

( )

= f

(

f

(

f x

( )

)

)

−3.


( )

0

(

(

( )

)

)

3


g x   f f f x  .


Theo đề ra ta có

( )

2

( )



2 1,


f x =xxf x  −  xf x

( )

  −  3 1 x 3.
Vậy f

(

f

(

f x

( )

)

)

  − 3 1 f

(

f x

( )

)

  − 3 1 f x

( )

  −  3 1 x 3


Bên cạnh đó g x

( )

là hàm đa thức nên g x

( )

=0 tại hữu hạn điểm.
Vậy g x

( )

nghịch biến trên

(

−1;3

)

.


x – ∞ 3 + ∞






×