Một số chuyên đề vận dụng và vận dụng cao của Vted ôn thi THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.72 MB, 822 trang )

(1)

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VẬN

DỤNG VÀ VẬN DỤNG

CAO VTED CÓ LỜI GIẢI

CHI TIẾT

Sưu tầm và chỉnh sửa bởi tạp chí và tư liệu toán học

Link: https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/

(2)

1 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 2 2 3

3 3 1

yx  mx  m  xm có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh.
A.



1;1



. B. 3 3;

2 2

 



 

 . C.

2 2
;
3 3

 



 

 . D.

4 4
;
3 3

 



 

 .

Câu 2. Có bao nhiêu số ngun khơng âm m đề đồ thị hàm số _y__x3_₃_x2__mx__m_₂_{có các điểm}
cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?

A. 4. B. 2. C. Vơ số. D. 3 .

Câu 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 ₃ 2 ₃ 2 ₁ 3

yx  mx  m  x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A.



1;1



. B. 3 3;

2 2

 



 

 . C.

2 2
;
3 3

 



 

 . D.

4 4
;
3 3

 



 

 .

Câu 4. [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số yx42x22 và ymx4nx21 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015m3 .n

A. 2018. B.

2017

. C. 2017. D. 2018.

Câu 5. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2 2 3

2 1 1

y  x  m  x  m xm có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A.



1;



. B.



0;1





;1



. D.



; 0

 

 1;



Câu 6. [2D1-3] Cho hàm số f x

 

x3ax2bx c , có đồ thị

 

C với , ,a b c là các số thực. Biết

 

C có hai điểm cực trị A và B, ba điểm , ,O A B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sabc ab c  bằng

A. 9. B.

25

9 

. C. 16

 . D. 1.

Câu 7. [2D1-2.10-3] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Có bao nhiêu số nguyên



2018; 2018



m  để đồ thị hàm số 1 3 2

_

₂ ₁

_

₃

y x mx  m x có hai điểm cực trị nằm về
hai phía của đường thẳng y x?

A. 2017. B. 4034. C. 4033. D. 2016.

Câu 8. [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số yx33x22. Tính đố dài đoạn thẳng AB.

A. AB2 2. B. AB2 17. C. AB2 5. D. AB2 10.

(3)

2 | VD_VDC
A. 5; 358

3 27
M_  _

 . B.

5 338
;
3 27
N_  _

 . C. Q



 5; 234



. D. P



5; 14



Câu 10. [2D1-2] Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3x22x1. Viết phương
trình đường thẳng AB.

A. 7 14

9 9

y  x . B. 14 7

9 9

y x . C. 7 14

9 9

y x . D. 14 7

9 9

y  x .
Câu 11. [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2



2 ₁



y x mx  m  x có hai
điểm cực trị A và B sao cho góc AOB nhọn.

A.  1 m1. B. m1. C. m 1. D. 1
1
m
m

 


 _


Câu 12. [2D1-2] Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x1. Tính cos



OA OB ,



.
A. cos





OA OB    . B. cos





2
5
OA OB   .
C. cos





OA OB   . D. cos





1
5
OA OB    .

Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 2

6 9 2

yx  mx  x m có hai điểm cực trị ,A B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng 4 5

5 . Tính tích các phần tử của S
A. 1. B. 37

8 . C.

64. D. 1

Câu 14. Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33mx23



m21



xm3m (với m là
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại



2;1



C 
A. 5

 . B. 8

5. C.

8
5

 . D. 5

Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số yx33mx23



m21



xm3 ln có hai điểm cực trị A và B,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi Anằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A. y 3x1. B. y 3x1. C. y3x1. D. y3x1

Câu 16. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33x2m có hai điểm cực trị A, B sao cho
góc AOB1200

A. 2. B. 0. C. 1. D. 4.

Câu 17. Biết rằng đồ thị hàm yx33mx23



m21



xm3 ln có hai điểm cực trị ,A B trong đó A
là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A. y 3x1. B. y 3x1. C. y 3x1. D. y3x1

Câu 18. Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số





3 2 2 3

3 3 1

(4)

3 | VD_VDC
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
Tính tổng các phần tử của S.

A. 6. B. 4 2. C. 6. D. 4 2
Câu 19. Tìm m để hàm số 1 3

_

₁

_

2 4

_

₁

_

3 3

y x  m x  m có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác
phía với đường trịn x2y24x 3 0?

_

1;1 .

_

_

2; 2 .

_

C. 1 1; .
2 2

 



 

  D.



 ; 1

 

 1;



.
Câu 20. Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 ln có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính

đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?
A m1. B.

3
3

.
4

m C. _m_ 3_2. _D.

3
1

.
2
m

Câu 21. Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường
trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?

A 2. B.

3
3

2 4 C. 1. D. 3

1
.
2

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2 2

2 1 3 2 4

y x  m x  m  m x có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục

tung.

A. 1

m  . B. 1m2. C. 1
2

m  . D. m1 hoặc m2.
Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2

3 1 3 2 2

yx  m x  m m x m có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 0. B. 3. C. 1. D. 4.

Câu 24. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số _y_₂_x3__mx2_₁₂_x_₁₃_{có điểm cực đại và điểm}
cực tiểu cách đều trục tung.

A. 2. B. 1. C. 0 . D. 3 .

Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x2mx2
có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1

yx . Tính tổng các phần tử của S.
A. 2

3. B.

2. C.

-3

2. D.

2
3
 .

Câu 26. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33mx24m3 có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng yx.

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên m 



5;5



để đồ thị của hàm số yx3



m2



x2m x m2  32m2
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh?

(5)

4 | VD_VDC
Câu 28. Với mọi m0; đồ thị hàm số 1 4 2 2

y x mx m luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua
ba điểm cực trị nay đi qua điểm (2; 24)A . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1m3. B. 5m7. C. 3m5. D. 0m2.
Câu 29. Biết rằng hàm số

2 3

x x m

x
 


 có hai điểm cực trị phân biệt x x1; 2.Tính giá trị biểu thức

1 2

1 2
( ) ( )
f x f x

x x



 .

A. S  2. B. S 4. C. S 2. D. S  4.
Câu 30. [2D1-4] Cho hàm số





2 3

1 1

x m m x m
y

x m

   



 có đồ thị





. Hỏi điểm nào trong các điểm
dưới đây là điểm cực đại của



C_m



tương ứng với mm₁ đồng thời cũng là điểm cực tiểu của





tương ứng với mm2.
A. 1 5;

2 4
M_ _

 . B.

1 7

;

2 4

N_  _

 . C.

1 5

;

2 4

P_  _

 . D.

1 7
;
2 4
Q_ _

 .
Câu 31. [2D1-4] Biết rằng hàm số

2
2

3 5 1

x x

x x m

 


  có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m1. Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

A. 3

1 1

x
y

m m

 

  . B.









2 1 2 1

x
y
m m
 
  .
C.









2 1 2 1

x
y

m m

 

  . D.

1 1
x
y
m m
 
  .
Câu 32. Gọi , , A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 4 2 ₂

y x x  . Viết phương trình đường
trịn đi qua ba điểm , , A B C.

A. x2 y2 4 0 B. 2 2 3 ₇ _0.

x  y  y 
C. 2 2 3 1 0.

x y  y  D. x2 y2 3y100.

Câu 33. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2m x2 2m có ba điểm
cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích
bằng nhau.



 2; 2





_6_{2; 2}6



_C.

 

2 D.

 

6₂

Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y



2m1



x 3 m vng góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21

A. 3
4

m . B. 1

m C. 1

m  D. 3

2
m

(6)

5 | VD_VDC
A.

 

3 . B.

_{ }

1 . C.

 

6 . D. .

Câu 36. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

_

m1

_

x 4 m tạo với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21 góc 45 . 0

A. 4; 2
3

 



 

 . B.

2
4;

 

 

 

 . C.



4; 2



. D.

4 2

;

3 3

 

 

 

 .

Câu 37. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx2m có ba
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.

A. m1. B. 0m1. C. 0m2. D. m2.

Câu 38. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 2.

4
A. 1 .

m B. 1.

m C. m 2. D. 1 .

2 2
m

Câu 39. Cho hàm số

2 ₃ ₃

x x m

x m
  


 có đồ thị

 

C . Biết đồ thị

 

C có một điểm cực trị thuộc
đường thẳng yx1. Tìm điểm cực trị cịn lại của hàm số đã cho.

A. x2. B. x3. C. x5. D. x7.
Câu 40. Cho hàm số

2
2

x x m

x m
 


 có đồ thị

 

C . Biết

 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng

4 8

y x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m 1. B.  1 m0. C. 0m1. D. m1.

Câu 41. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x33mx23m1 có hai điểm cực trị
đối xứng nhau qua đường thẳng :d x8y740.

A. m2. B. m 4. C. m 2. D. m4.
Câu 42. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2

2 2

yx  x  m có ba điểm cực trị cùng với
gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. m0. B. m1. C. m 2. D. 2
2
m .

Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số _y__x4_₂_{m x}2 2__m_₁_{có ba điểm}
cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ nhất.

1
5

m  . B.

1
5

m   . C. 1

m  . D.

1
5

m  .

Câu 44. Gọi A x y



₁; ₁



, B x



₂; y₂



là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 3 2
3

y x mx  x m. Tính tỉ

số 1 2

1 2
y y
T

x x






A. 2



1 2



T   m . B. 2



1 2



T  m . C. 1



1 2



T  m . D. 1



1 2



(7)

6 | VD_VDC
Câu 45. Với m1, đồ thị hàm số yx44



m1



x22m1 có ba điểm cực trị. Viết phương trình

của parabol đi qua ba điểm đó.

A. y 2



m1



x22m1. B. y2



m1



x22m1.
C. _y_₆

_

_m_₁

_

_x2_₂_m_₁_. _D.





6 1 2 1

y  m x  m .

Câu 46. Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 2x24x3. Tính diện tích S của
tam giác OAB.

A. 322
27

S  . B. 166

S . C. 232

S  . D. 116

27
S  .

Câu 47. [2D1-3] Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số yx33x m có hai điểm cực
trị là ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 10, với O là gốc tọa độ.

A. m 20m20. B. m20. C. m10. D. m 10m10
Câu 48. [2D1-4] Gọi ,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x m . Hỏi tam giác OAB có

chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).

A. 4 5. B. 2 5. C. 2 5 2 . D. 4.

Câu 49. [2D1-4] Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3ax b có phương
trình y 6x7. Tính y

 

2 .

A. y

 

2 33. B. y

 

2  3. C. y

 

2 3. D. y

 

2  33.
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 1 3 2

_

₂ ₁

_

₃

y x mx  m x
có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung.

A. m1. B. 1; \ 1

 

m_ _

  . C.
1

2 m

   . D. 0m2.

Câu 51. Cho hàm số yax3bx2cx d a ,( 0,b23ac0) có đồ thị

 

C . Biết gốc tọa độ O thuộc
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Sabcdbc ad ?
A. 1

 . B. 27

 . C. 9

 . D. 25

9
 .

Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42



m2



x2m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng ₁₂₀0_.

3
1
2

m   . B.

3
1
2

m   . C.
3

1
3

m D.

3
1

2
m .

Câu 53. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x23 1



m x



 1 3m có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .

A. m2. B. m4. C. 1
2

m . D. m1.

(8)

7 | VD_VDC

A. 5

 . B. 8

5. C.

8
5

 . D. 5

Câu 55. Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số yx42mx22 có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho tứ
giác ABCD nội tiếp với 3 9;

5 5
D_ _

 

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Câu 56. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx4 2mx22có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho
tứ giác ABCD nội tiếp với 3 9;

5 5
D_ _

 .

A. 4. B. 2 . C. 3. D. 1.

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2mx22m3 có ba điểm
cực trị và ba điểm này nội tiếp đường trịn có bán kính bằng 1.

A. 1; 1 3

m m   . B. 1; 1 5

2
m m   .

C. m1. D. 1 3

2
m  .

Câu 58. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42



m1



x23m2 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đơi độ dài cạnh đáy.

A. m  1 315. B. m  1 3120. C. m  1 360. D. m  1 2 1203 .
Câu 59. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4

_

_

2 1 3 2

y x  m x  m có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m 1. B. 0m1. C.  1 m1. D.  1 m0.

Câu 60. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42



m1



x22m3 có ba điểm cực
trị , ,A B C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện tích
của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng 4

9.
A. 1 15

m  . B. 1 3
2

m   . C. 5 3
2

m  . D. 1 15
2
m  .

(9)

8 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018

MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 2 2 3

3 3 1

yx  mx  m  xm có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh.
A.



1;1



. B. 3 3;

2 2

 



 

 . C.

2 2
;
3 3

 



 

 . D.

4 4
;
3 3

 



 

 .
Lời giải

Chọn C

Ta có y 3x26mx3



m21



 

1 .

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hồnh khi

 

1 có hai nghiệm phân
biệt x₁, x₂ và y y₁. ₂0.

Khi đó ta có
1 2

. 0

y y

 













2 2

1 2

9 9 9 0

2 2 0

m m

x m x m

   


 

    









2 2

1 2 1 2

9 9 9 0

4 . 2 0

m m

x x m x x m

   


 

   




2 2

2 2 2

9 9 9 0

4 4 4 0

m m

m m m

   


 

   





2
9m 4 0

   2 2

3 m 3

    .

Vậy 2 2

3 m 3

   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2: Có bao nhiêu số ngun khơng âm m đề đồ thị hàm số 3 2

3 2

yx  x mxm có các điểm
cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hồnh?

A. 4. B. 2. C. Vô số. D. 3.

Lời giải
Chọn D

Ta có _y_{ }₃_x2_₆_x__m

_{ }

₁ _.

(10)

9 | VD_VDC
Khi đó ta có

1 2
0
. 0
y y

 











2
1 2

9 3 0

2 6

1 1 0

3
m
m
x x
 



   
  
 

 






1 2 1 2
3

2 6

. 1 0

3
m

x x x x



   
   
 

 


2
3

2 6 3

0
3 3
m
m m



      

   

   

3
m
  .

Vậy m



0;1; 2



thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 2 2 3

3 3 1

yx  mx  m  xm có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A.



1;1



. B. 3 3;

2 2

 



 

 . C.

2 2
;
3 3
 

 

 . D.

4 4
;
3 3
 

 

 .
Lời giải
Chọn A

Ta có 2





3 6 3 1

y  x  mx m 

 

1 .

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi

 

1 có hai nghiệm phân biệt
1

x , x₂ và x x₁. ₂0.

Ta có
1 2
0
. 0
x x

 









2 2
2

9 9 0 0

3 1
0
3
m m
m
   

  




2 ₁ ₀
m

     1 m1.

Vậy m 



1;1



thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4: [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số yx42x22 và ymx4nx21 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015m3 .n

A. 2018. B.

2017

. C. 2017. D. 2018.
Lời giải

Chọn D

Ta khảo sát hàm yx42x22 xem các điểm cực trị. y 4x34x.
0

' 0
1
x
y
x


 _{ }
 

.

Vì a 1 0 nên ta có A



0; 2



là điểm cực đại, B



1;1 ,



 

1;1 là điểm cực tiểu.

Để đồ thị hai hàm số trên có chung ít nhất 1 điểm cực trị, điểm cực trị đó là ,B C ứng với
trường hợp m0,n0 (các trường hợp cịn lại loại)

Hàm sốymx4nx21 có điểm cực đại là ,B Cnên

 

1 1 1 1 2

1015 3 2018

4 2 0 4

1 0

y m n m

m m

m n n

y

       

     
  
  
   



Câu 5: [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2 2 3

2 1 1

y  x  m  x  m xm có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.



1;



. B.



0;1



(11)

10 | VD_VDC
Lời giải

Chọn A

Ta tính 2





2 2 2 1 1

y   x  m  xm .
0

y  có 2 nghiệm trái dấu 1 0 1
2

m


   

 .

Câu 6: [2D1-3] Cho hàm số f x

 

x3ax2bx c , có đồ thị

 

C với , ,a b c là các số thực. Biết

 

C có hai điểm cực trị A và B, ba điểm , ,O A B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sabc ab c  bằng

A. 9. B.

25

9 

. C. 16

 . D. 1.

Lời giải
Chọn B

Ta có cơng thức đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số yax3bx2cx d a , 0 là
2

2 2

3 9 9

c b bc

y x d

a a

 

_  _  

 

Áp dụng vào bài, ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số f x

 

x3ax2bx c
2

2 2

3 9 9

b a ab

d y_  _x c

 

Ba điểm , ,O A B thẳng hàng 0 9
9

c ab c

     .
2

2 5 25 25

9 9 9

Sabcab c c  c c _c _   

 

Câu 7: [2D1-2.10-3] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Có bao nhiêu số nguyên



2018; 2018



m  để đồ thị hàm số 1 3 2

_

_

2 1 3

y x mx  m x có hai điểm cực trị nằm về
hai phía của đường thẳng y x?

A. 2017. B. 4034. C. 4033. D. 2016.

Lời giải
Chọn B.

Hàm số 1 3 2

_

_

2 1 3

y x mx  m x

 

TXĐ: D.

Ta có y x2mx2m1

Hàm số có

 

1 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y x2mx2m1 có hai nghiệm phân biệt



m 1



2 0



     m1

Khi đó hai điểm cực trị là 1; 11
3
A_ m _

  và



 



2
1

2 1; 2 1 2 3

B_ m m m  _

 .

(12)

11 | VD_VDC



 



11 1

1 2 1 2 1 2 3 0

3 3

m m m m

    

_  _      

 _ _{ }  _

 







3 2



3m 8 4m 12m 3m 10 0

      



₃_m ₈



_m ₂





₄_m2 ₄_m ₅



₀

      

1 6

2
2

8
3
m

 _




 

_  








Vì m là số nguyên thỏa mãn m 



2018; 2018



nên ta có



2018; 2017;... 1;3; 4;...2018



m    có 4034 giá thị thỏa mãn.

Câu 8: [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số yx33x22. Tính đố dài đoạn thẳng AB.

A. AB2 2. B. AB2 17. C. AB2 5. D. AB2 10.
Lời giải

Chọn C.
TXĐ: D.
Ta có y 3x26x
Khi đó y 0 0

2
x
x



  _



Khơng mất tính tổng qt, giả sử hai điểm cực trị là A



0; 2



và B



2; 6



Dễ có AB2 5

Câu 9: [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số yx35x23x1. Tìm tọa độ trung điểm của AB.

A. 5; 358
3 27
M_  _

 . B.

5 338
;
3 27
N_  _

 . C. Q



 5; 234



. D. P



5; 14



.
Lời giải

Chọn A.
TXĐ: D.

Ta có y 3x210x3. Dễ có y ln có hai nghiêm phân biệt nên hàm số ln có hai cực trị
A, B. Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm uốn I

Ta có y 6x10; y 0 5
3
x

  5; 358
3 27

I 

 _  _

(13)

12 | VD_VDC
Câu 10: [2D1-2] Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3x22x1. Viết phương

trình đường thẳng AB.
A. 7 14

9 9

y  x . B. 14 7

9 9

y x . C. 7 14

9 9

y x . D. 14 7

9 9

y  x .
Lời giải

Chọn B.

Ta có y  3x22x2, y   0 3x22x 2 0 có hai nghiệm phân biệt là hồnh độ ,A B

Do 1 1 . 14 7

3 9 9 9

y_ x _ y x

  nên phương trình đường thẳng AB là

14 7

9 9

y x .

Câu 11: [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2



2 1



y x mx  m  x có hai
điểm cực trị A và B sao cho góc AOB nhọn.

A.  1 m1. B. m1. C. m 1. D. 1
1
m
m

 

 _


.
Lời giải

Chọn D.

Ta có 2





2 1

y x  mx m  , 0 1
1
x m
y

x m
 

    _ _



Do đó



 





 



2 2

1 2 1 2

1; , 1;

3 3

m m m m

A m     B m    

   

   

. Để AOB nhọn thì











 



2 2

2 1 4

cos , 0 . 0 1 0

m m

OA OB   OA OB   m     





4 2 2

1 1

5 13 0 1 0

1
9

m m

m m m

   

 

 _   _    _{ }




Câu 12: [2D1-2] Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x1. Tính cos



OA OB ,



.
A. cos





OA OB    . B. cos





2
5
OA OB 
 

.
C. cos





OA OB   . D. cos





1
5
OA OB  
 

.
Lời giải

Chọn A.

Ta có y 3x33, y  0 x 1. Do đó A



1; 1 ,





1;3



Do đó OA

_

1; 1 ,

_

OB 

_

1;3

_

. Suy ra cos





4 2

2. 10 5

(14)

13 | VD_VDC
Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 2

6 9 2

yx  mx  x m có hai điểm cực trị ,A B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng 4 5

5 . Tính tích các phần tử của S

A. 1. B. 37

8 . C.

64. D. 1

Lời giải
Chọn A

TXĐ: D
2

3 12 9

y  x  mx

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y0 có hai nghiệm phân biệt

36m 27 0


    

3
2

3
2
m

m








 



 

Lấy y chia cho y ta được: 1 2 2 3 4





3 3

y_ x _y  m x m

 

Phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là





2 3 4 m xy4m0

Theo giả thiết:









4 4 5

;

2 3 4 1

m
d O

  

 _ _

 

 





2 16 2

16 4 3 4 1

m  m 

   

 

 

4 2

1024m 1616m 592 0

   

2
2

1
37
64
m
m
 



 _


Kết hợp với điều kiện

 

1 suy ra giá trị m thỏa mãn là m1;m 1
Do đó tích các giá trị m của S là 1.

 

1  1.

Câu 14: Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2





3 3 1

yx  mx  m  xm m (với m là
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại



2;1



C 
A. 5

 . B. 8

5. C.

8
5

 . D. 5

(15)

14 | VD_VDC
Chọn C

TXĐ: D

Ta có: 2





3 6 3 1

y  x  mx m 

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y0 có 2 nghiệm phân biệt





2 2

9m 9 m 1 9 0



       luôn đúng với m

1 1; 2 1

x m x m

    

Lấy y chia cho y ta được: 1 2

3 3

y_ x _y x

 

 phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2xy0
Gọi A m



 1; 2m2



; B m



 1; 2m2





3 ;3 2



AC m m

    và BC

_

 1 m m; 2 1

_

Theo giả thiết AC BC. 0



3m



1m

 

 3 2 m



2m1



0
 

5m 8m 0

  

0
8
5
m
m






  


Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là: 8
5
 .
Câu 15: Biết rằng đồ thị hàm số 3 2





3 3 1

yx  mx  m  xm ln có hai điểm cực trị A và B,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi Anằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A. y 3x1. B. y 3x1. C. y3x1. D. y3x1
Lời giải

Chọn B
TXĐ: D

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y0 có 2 nghiệm phân biệt





2 2

9m 9 m 1 9 0



       luôn đúng với m

1 1; 2 1

x m x m

    

Lấy y chia cho y ta được: 1 2

3 3

y_ x _y x m

 

(16)

15 | VD_VDC
Gọi A m



 1; 3m2



; B m



 1; 3m2



Ta thấy điểm cực đại Anằm trên đường thẳng 3xy 1 0 hay y 3x1

Câu 16: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33x2m có hai điểm cực trị A, B sao cho
góc AOB1200

A. 2. B. 0. C. 1. D. 4.

Lời giải
Chọn C

3 ₃ 2 ₃ 2 ₆ ₀ 0

2 4

A A

B B

x y m

y x x m y x x

x y m

  




       _{ }

    












2
4

1 . 1 2

120 4

2 . ₄ ₄ 2 3

m m

OA OB

cos AOB cos m

OA OB _m _m



 

       

 


Câu 17: Biết rằng đồ thị hàm _y__x3_₃_mx2_₃



_m2_₁



_x__m3

ln có hai điểm cực trị ,A B trong đó A
là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A. y 3x1. B. y 3x1. C. y3x1. D. y3x1
Lời giải

Chọn B









3 2 2 3 2 2

2
1

3 3 1 3 6 3 1 0

1
x m

y x mx m x m y x mx m

x m
 




           _{ }

 


Hàm số có hệ số a0 nên x_CT x_C_Dx_Am 1 y_A 3m  2 3x_A1.

Câu 18: Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số





3 2 2 3

3 3 1

yx  mx  m  x m m có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
Tính tổng các phần tử của S.

A. 6. B. 4 2. C. 6. D. 4 2
Lời giải

Chọn A









3 2 2 3 2 2

3 3 1 3 6 3 1 0

1 2 2

CD CD

CT CT

y x mx m x m m y x mx m

x m y m



           

     


  _ _{ } _{ } _


Theo giả thiết ta có:

















2 2

1 2

1 2 2 2 1 2 2 6 1 0 6

m   m   m  m m  m  m m  

(17)

16 | VD_VDC
Câu 19: Tìm m để hàm số 1 3

_

_

2 4

_

_

1 1

3 3

y x  m x  m có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác
phía với đường tròn x2y24x 3 0?



1;1 .





2; 2 .



C. 1 1; .
2 2

 



 

  D.



 ; 1

 

 1;



.
Lời giải

Chọn C

Ta có

_

_





2 0

2 1 0

2 1

y x m x y

x m


     

  .
Để hàm số có ĐCĐ, ĐCT thì m 1.

Khi đó, đặt F x y



;



x2y24x3





3 1









4 16

0 1 ; 1 3 0

3 9

x  y m F F x y  m   m.

















2 1 0 ; 4 1 8 1 3 4 1.

x m y F F x y  m  m   m  .

Giả thiết suy ra 2

1 2 2

1 1

. 0 0 4 1 0 .

2 2

F F  F   m    m

Câu 20: Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 ln có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?

A m1. B.
3

3
.
4

m C. _m_ 3_2. _D.

3
1

.
2
m
Lời giải

Chọn D





3 2

4 4 4

y  x  mx x x m
0

0 x

x m


  

  .

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là













2
2
0; 3

; 3

B m m

C m m


 

  

Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có

4
2
2

BC m

AB AC m m

AH m


  

(18)

17 | VD_VDC

Do đó, 1 . . .

2 4

ABC

AB AC BC

S BC AH

 





₂

2
2

. 1

2 2 2 2

1 1 1

3 .

2 4 4 32

m m

AB AC m

AH m m

m m



    

   

Dấu bằng xảy ra khi
2

1 1

2 4 2

m
m

  

Câu 21: Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 ln có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?

A 2. B.

3
3

2 4 C. 1. D. 3

1
.
2
Lời giải

Chọn B





3 2

4 4 4

y  x  mx x x m
0
0 x
y
x m

  
  .

Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là













2
2
0; 3
; 3
; 3
A

B m m

C m m


 

  

Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có

4
2
2

BC m

AB AC m m

AH m


  



Do đó, 1 . . .

2 4

ABC

AB AC BC

S BC AH

 





₂

2
2

. 1

2 2 2 2

1 1 1 3

3 .

2 4 4 32 2 4

m m

AB AC m

AH m m

m m



    

    

Dấu bằng xảy ra khi
2

1 1

2 4 2

m
m

(19)

18 | VD_VDC
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2 2

2 1 3 2 4

y x  m x  m  m x có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục
tung.

A. 1

m  . B. 1m2. C. 1
2

m  . D. m1 hoặc m2.
Lời giải.

Chọn B.

Ta có y  3x22 2

_

m1

_

x



m23m2



Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục tung
0

   có hai nghiệm phân biệt trái dấu





3 m 3m 2 0

     1 m2.

Câu 23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2

3 1 3 2 2

A. 0. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải.

Chọn D.

Ta có y 3x26



m1



x3m m



2











0 2 1 2 0

y  x  m x m m  

2
x m
x m



  _ _





đồ thị hàm số ln có hai điểm cực
trị với mọi m.

Khi đó y_C_D  y m

_{ }

3 2

m m m

    và x_CT m2

Ta có m33m2m2  m2

3 2

3 2 2

m m m m

     

 

     


3 2

3 4 0

3 2 0

m m

m m m

   

 

  



1
2
1
0
m
m
m
m



 _{ }



  





Vậy có 4 giá trị thực của m thỏa yêu cầu đề.

Câu 24: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số 3 2

2 12 13

y x mx  x có điểm cực đại và điểm
cực tiểu cách đều trục tung.

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Lời giải.

(20)

19 | VD_VDC
Ta có y 6x22mx12, y  0 3x2mx 6 0

 

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi _m2_₇₂_₀_{luôn đúng với mọi}
m.
Khi đó

 

* có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Giả thiết suy ra x₁x₂0 0
3

m


  m0.
Vậy có 1 số thực m thỏa đề bài.

Câu 25: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x2mx2
có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1

yx . Tính tổng các phần tử của S.
A. 2

3. B.

2. C.

-3

2. D.

2
3
 .
Lời giải

Chọn C

Tập xác định D.
Đạo hàm: y 3x26x m .

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂

9 3m 0 m 3

     

 

1 .

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B của đồ thị hàm số là
2

2 2

: : ( 3) 2

3 3 9 3 3

b bc m

AB y c x d AB y m x

a a

 

 _  _        

 

Tọa độ trung điểm I của AB là 1 2

_

_

1 2
1

; ( 3) 2 (1; )

2 3 3

x x

I_  m x x  m_I m

  với

1 2 2
x x 

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d: 1
2
yx





3 1

/ / ₃

1
1

2
m
AB d

I d

m


  




_  



 _{  }






 




 


(không thỏa mãn)
2

(thỏa mãn)
2

Câu 26: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33mx24m3 có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng yx.

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.

Lời giải
Chọn A

Tập xác định D.

Đạo hàm y 3x26mx; 0 0
2
x
y

x m



    _



Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu m0.

(21)

20 | VD_VDC
,

A B đối xứng qua đường thẳng yx OAOB 3 2 1

4 2 4 2

m m m m

       .

Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên m 

_

5;5

_

để đồ thị của hàm số 3

_

_

2 2 3 2

2 2

yx  m x m x m  m
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh?

A. 8. B. 5. C. 7. D. 6.

Lời giải
Chọn C

Đồ thị

 

C của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh


 

C cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt.

Xét phương trình x3



m2



x2m x m2  32m20

 

1 .

( )( 2)( ) 0

2
x m

x m x m x m x m

x m




        



   


 

1 có ba nghiệm phân biệt 2 0 { 4; 3; 2;1; 2;3; 4}
1

m m

m m m

m m

 






_    _     
 


   


Vậy có 7 giá trị nguyên của m thuộc



5;5



.
Câu 28: Với mọi m0; đồ thị hàm số 1 4 2 2

y x mx m ln có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua
ba điểm cực trị nay đi qua điểm (2; 24)A . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1m3. B. 5m7. C. 3m5. D. 0m2.
Lờigiải

Chọn B.

Ta có: _y_'__x3_₂_mx _' ₀ 0
2
x
y

x m



  _{ }

 


2 2

4 2 2 3 2 2

1 1 1

( 2 ) '

4 4 2 4 2

mx mx

y x mx m  x x  mx  m  xy m .

Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc parabol: ( ) :P

2
2
2
mx

y  m .

Vậy điểm (2; 24)A thuộc ( ) :P 2 6
24 2

4
m

m m

m


    _{ }

 


Đối chiếu điều kiện ta có m6.
Câu 29: Biết rằng hàm số

2 3

x x m

x
 


 có hai điểm cực trị phân biệt x x1; 2.Tính giá trị biểu thức

1 2

1 2
( ) ( )
f x f x
S

x x



 .

(22)

21 | VD_VDC
Chọn B.

Bổ đề: ( )
( )
u x
y

v x

 có 0

0
'( ) 0
( ) 0
y x

v x






thì 0 0

0 0

( ) '( )
( )

( ) '( )
u x u x
y x

v x v x

 

Thật vậy: ' '( ) ( ) ( ) '( ) '( )₀ 0 '( ) ( )₀ ₀ ( ) '( )₀ ₀ 0
( )

u x v x u x v x

y y x u x v x u x v x

v x


     

0 0 0 0

'( ) ( ) ( ) '( )
u x v x u x v x

   0 0

0 0

( ) '( )
( ) '( )
u x u x
v x  v x

0 0
0
0 0
( ) '( )
( )
( ) '( )
u x u x
y x

v x v x

  

Áp dụng bổ đề ta có f x( )₁ 4x₁3; f x( ₂)4x₂3.

Vậy 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) 4( )

f x f x x x

x x x x

 

  

  .

Câu 30: [2D1-4] Cho hàm số





2 3

1 1

x m m x m
y

x m

   



 có đồ thị





. Hỏi điểm nào trong các điểm
dưới đây là điểm cực đại của



C_m



tương ứng với mm1 đồng thời cũng là điểm cực tiểu của





tương ứng với mm2.
A. 1 5;

2 4
M_ _

 . B.

1 7

;

2 4

N_  _

 . C.

1 5

;

2 4

P_  _

 . D.

1 7
;
2 4
Q_ _

 .
Lời giải

Chọn B.

Ta có





2 2

2 1

x mx m
y
x m
  
 
 .
1
0
1
x m
y
x m
 

    _ _


Lập BBT suy ra điểm CĐ và điểm CT của đồ thị hàm số là



_1; 2 _{2 ;}

 

_1; 2 ₂



A m m m B m m m .

YCBT

1 2

2 2

1 1 2 2

2
3

1 1 ₂

2 2

2
m

m m

m m m m

m




  
 _
_ _
      
  _



Suy ra điểm cần tìm là 1; 7

2 4

N_  _
 .
Câu 31: [2D1-4] Biết rằng hàm số

2
2

3 5 1

x x

x x m

 


  có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m1. Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

A. 3

1 1

x
y

m m

 

  . B.









2 1 2 1

x
y

m m

 

(23)

22 | VD_VDC
C.









2 1 2 1

x
y

m m

 

  . D.

3
1 1
x
y
m m
 
  .
Lời giải

Chọn C.

Ta có









2
2

6 2 5 2

x m x m

x x m

    

 

 

Các điểm cực trị x x₁; ₂ của hàm số thỏa mãn phương trình x2

_

6m2

_

x5m 2 0.
Theo định lý ViÉt ta có: 1 2

1 2

6 2

. 5 2

x x m

x x m
  




 


Các điểm cực trị ,A B của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình 6 5

2 2
x
y
x


 .

Ta có









1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

24 22 20

6 5 6 5 3 4

2 2 2 2 4 1 1

x x x x

x x m

y y

x x x x x x m

  

  

    

      .

Gọi I là trung điểm của AB





3 4
3 1;
2 1
m
I m
m
  

 _  _

 
.

Suy ra I thuộc đường thẳng









2 1 2 1

x
y

m m

 

  .

Câu 32: Gọi , , A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 4 2 2
2

y x x  . Viết phương trình đường
trịn đi qua ba điểm , , A B C.

A. x2 y2 4 0 B. 2 2 3 7 0.
2

x y  y 
C. 2 2 3 ₁ _0.

x y  y  D. x2 y2 3y100.
Lờigiải
ChọnC

2 2

y  x  x,

0 2
3
0 1
2
3
1
2
x y

y x y

x y

   



    


    



Suy ra ba điểm cực trị là A



0; 2



, 1;3
2
B_ _

 ,

3
1;

2
C_ _

 .

(24)

2 4
3 13
2 4
3 13
2 4
b c
a b c

a b c


   


   



    


0
3
2
1
a
b
c




_  

 



Vậy phương trình đường trịn là 2 2 3 1 0
2

x  y  y 

Nhận xét: Dạng bài tập này nếu làm theo cách trên thì mang thiên hướng tự luận nhiều; sau
đây tôi đưa ra một cách làm khác để bạn đọc tham khảo.

Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình 3

0
x x 
Ta thấy x42x2 4 2y _ _{x x}



3__x



__x2 _₄_₂_y 2

2y 4 x

  

Ngoài ra, x42x2 4 2y_

_

₄_₂_y

_

2_₂_x2_₄_₂_y_₀

2 2

4y 18y 2x 20 0

     2 2

4y 6.2y 2x 20 6y 0

     





2 2 2

4y 6 4 x 2x 20 6y 0

       4x24y26y 4 0 2 2 3

1 0
2

x y y

    

Câu 33: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2m x2 2m có ba điểm
cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích
bằng nhau.



 2; 2





62; 26



 

2 D.

 

62
Lờigiải

ChọnD

Trước hết để trục hoành chia tam giác tạo bởi ba điểm cực trị
thành hai đa giác thì phương trình x4 2m x2 2 m0 có bốn
nghiệm phân biệt, tức là

4
0
1
0
m m
m
m
  
 




 

Do tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số k

nên 2

AMN ABC
S k S .

Theo giả thiết 1

AMN MNCB AMN ABC

S S S  S . Do đó 1

k .

Suy ra:

_

;

_

_

;

_

1 Δ

2 2

d A Ox d A BC c c

   



₄







2 0

m m m m m m

       6

(25)

24 | VD_VDC
Từ

 

* và

 

** ta có 6

m

Câu 34 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

_

2m1

_

x 3 m vng góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21

A. 3
4

m . B. 1

m C. 1

m  D. 3

2
m
Lờigiải

ChọnA





3 2

y  x  x , 0 0 1

2 3

x y

  


 _{ }

   


 .

Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A



0;1



, B



2; 3



. Suy ra hệ số góc của đường thẳng
AB là 3 1 2

2 0
AB

k     

 .

Do đường thẳng y



2m1



x 3 m vng góc với AB nên 2 1 1 3

2 4

m  m .

Câu 34: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y



m1



x 4 m song
song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21.

 

3 . B.

_{ }

1 . C.

 

6 . D. .
Lời giải

Chọn D

3 2 2

3 1 ' 3 6

yx  x  y  x  x

0 1

' 0

2 3

x y

  


 _{ }

   


Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là



0;1 , 2; 3

 





suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

 

d :y 2x1.

Ta có y



m1



x 4 m song song

 

d :y 2x1 1 2

4 1

m
m

  


_   

 


Câu 35: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y



m1



x 4 m tạo với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21 góc _{45 .}0

A. 4; 2
3

 



 

 . B.

2
4;

 

 

 

 . C.



4; 2



. D.

4 2

;

3 3

 

 

 

 .
Lời giải

Chọn A

3 2 2

3 1 ' 3 6

(26)

25 | VD_VDC

0 1

' 0

2 3

x y

  


 _{ }

   


Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là

_

0;1 , 2; 3

_{ }



_

suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

 

d :y 2x1.

Đặt

_{ }

 :y

_

m1

_

x 4 m.

Ta có

_{   }









2 1 1 2

cos , ₄

5 1 1 ₃

m
m




   _

   

 

  _ _{ }

  _

Câu 36: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx2m có ba
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.

A. m1. B. 0m1. C. 0m2. D. m2.
Lời giải

Chọn B

4 2

yx  mx m
3

' 4 4

y  x  mx.

Hàm số có 3 điểm cực trị m0.

2
0

' 0 x y m

x m y m m

  


 _{ }

     


Nên tọa độ 3 điểm cực trị là A



0;m B





m;m2m C

 

,  m;m2m



.
, , ,

A B C O tạo thành 1 tứ giác (tứ giác lồi) 2

0 0 0 1

y m m m

         .

Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 2.

4
A. 1 .

m B. 1.

m C. m 2. D. 1 .

2 2
m
Hướng dẫn giải

Chọn B.





' 4 4

' 0 4 0

y x mx

y x x m

x m

 

   




 

(27)

26 | VD_VDC
Với m0 hàm số có ba điểm cực trị A



0;m B





 m;m2 m

 

, C m;m2 m



cùng với
gốc tọa độ O tạo thành tứ giác khi m2m00m1.

Ta có 2 2. .1 . 2 1 1.

2 4 2 2 2

ABOC ABO B A

S  S_  x y  m m  m

Câu 38: Cho hàm số

2 ₃ ₃

x x m

x m
  


 có đồ thị

 

C . Biết đồ thị

 

C có một điểm cực trị thuộc
đường thẳng yx1. Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số đã cho.

A. x2. B. x3. C. x5. D. x7.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Ta có





 

2
'

2 2 3

* .

x mx m

x m

  





Đặt g x

_{ }

 x2 2mx2m3.

Hàm số có 2 cực trị khi

 

' 0 1 3

1 3.

0 1 3

m m

g m m m

 

     



     

 

    

 



Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình y2x3.

Đồ thị

_{ }

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng yx1 nên tọa độ điểm cực trị là nghiệm
của hệ sau:

2 3 2

1 1

y x x

y x y

  

 



 

  

 

Thay vào (*) suy ra 7.
2
m

Với 7
2

m thay vào (*) ta có x2x5.

Câu 39: Cho hàm số

2 ₂

x x m

x m
 


 có đồ thị

 

C . Biết

 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng

4 8

y x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m 1. B.  1 m0. C. 0m1. D. m1.
Hướng dẫn giải

(28)

27 | VD_VDC
Ta có





 

2
'

2
2

* .

x mx m

x m

 




Đặt g x

_{ }

 x2 2mxm.

Hàm số có 2 cực trị khi

 

' 0

0 1.

0 m m

g m
 



   







Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình y2x2.

Đồ thị

_{ }

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng y4x8 nên tọa độ điểm cực trị là
nghiệm của hệ sau:

2 2 3

4 8 4

y x x

y x y

  

 



 

  

 

Thay vào (*) suy ra 9.
5
m

Câu 40: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x33mx23m1 có hai điểm cực trị
đối xứng nhau qua đường thẳng :d x8y740.

A. m2. B. m 4. C. m 2. D. m4.
Lời giải

Chọn A.

Ta có: 3 2 6 ; 0 0

2
x

y x mx y

x m



    _{ }




.
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m0.

Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là:

_

_









0; 3 1 ; 2 ; 4 3 1 2 ; 4

A  m B m m  m AB m m .
Trung điểm của đoạnABlà _{I m m}



_{; 2} 3_₃_m_₁



Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng d x: 8y740_làABvng góc với
đường thẳng d x: 8y740 và I

 





3 ₃

3 3

8.2 4 0 ₄ ₁₆ ₀

2
2

8 2 3 1 74 0 16 23 82 0

2
m

m m _m _m

m
m

m m m m m

m
 

     

  

_ _ _    

        

 

 _



Câu 41: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số _y__x4_₂_x2_₂_m_{có ba điểm cực trị cùng với}
gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. m0. B. m1. C. m 2. D. 2
2
m .
Lời giải

(29)

28 | VD_VDC

Ta có: 3 0

' 4 4 0

1
x

y x x

x


   _{ }

 


. Khi đó 3 điểm cực trị là:



0; 2





1; 2 1 ,





1; 2 1



A m B  m C m

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác ABCD. Do tính chất đối xứng, ta
có:A O I, , thẳng hàng AO là đường kính của đường trịn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác

ABOC.

Vậy ABOB AB OB. 0  

_{ }

1 1 2

_

m1

_

0m1.

Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số _y__x4_₂_{m x}2 2__m_₁_{có ba điểm}
cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ nhất.

1
5

m  . B.

1
5

m   . C. 1

m  . D.

1
5

m  .
Lời giải

Chọn B.

Ta có y 4x3 4m x2 0 x 0

x m



    _{ }

 


Điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị là m0.

Khi đó ba điểm cực trị là:_A

_

_0;_m__{1 ,}

_

_{B m}



_;__m4__m__{1 ,}

 

_C __m_;__m4__m_₁



_.
Ta lại có: _AB_ _m2__m8_,_AC _ _m2__m8_,_BC_ ₄_m2 _₂_m _.

Gọi I là trung điểm của BCI



0;m4m1



và AI  m8 m4.
Diện tích tam giác ABC là: 1_. _. 4

2
ABC

S_  AI BCm m .
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là:



2 8



₃

4 4 ₃ 4

4 2 2 2 2 2

. . 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2

.3 . .

4 ABC 4 2 2 2 2 2 2 2 4

m m m

AB AC BC

R m m m

S m m m m m m m

 _ _ _ _

   _  _ _   _ 

   

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCnhỏ nhất bằng
3
3 2

4 khi

4 6

2 6

1 1 1

2m m m 2m  2.

Câu 43: Gọi A x y



₁; ₁



, B x



₂; y₂



là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 3 2
3

y x mx  x m. Tính tỉ

số 1 2

1 2
y y
T

x x






A. 2



₁ 2



T   m . B. 2



₁ 2



T  m . C. 1



₁ 2



T  m . D. 1



₁ 2



T   m .
Lời giải

(30)

29 | VD_VDC
Ta có y  x2 2mx1 và 1 2



2 ₁



3 3 3

m
y_ xm y_  m  x

  .

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B là 2



2 ₁



3 3

m
y  m  x .

Giá trị 1 2
1 2
y y
T

x x




 chính là hệ số góc của đường thẳng AB. Do đó





2
2

1
3

T  m  .

Câu 44: Với m1, đồ thị hàm số yx44



m1



x22m1 có ba điểm cực trị. Viết phương trình
của parabol đi qua ba điểm đó.

A. _y_{ }₂

_

_m_₁

_

_x2_₂_m_₁_. _B.





2 1 2 1

y m x  m .
C.

_

_

6 1 2 1

y m x  m . D.

_

_

6 1 2 1

y  m x  m .
Lời giải

Chọn A

Ta có y 4x38



m1



x và .1 2





2 2 1
4

yy x m x  m .

Do đó đường parabol đi qua ba điểm cực trị là y 2



m1



x22m1.

Câu 45: Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 2x24x3. Tính diện tích S của
tam giác OAB.

A. 322
27

S  . B. 166

S . C. 232

S  . D. 116

27
S  .
Lời giải

Chọn…

Đáp án diện tích là 76
27
OAB

S  .

Đạo hàm y 3x24x4.
2

0 ₂

3
x
y

 


 

  


Các điểm cực trị là A



2;5



và 2 121;
3 27
B__ _

. Khi đó

8 256 8 1105

;

3 27 37

AB _ __AB



Phương trình đường thẳng AB: 32x9y190.
Ta có





2 2

19 19

;

1105
32 9

d O AB  

 .

Vậy 1



;



. 1 19 . 8 1105 76

2 2 1105 27 27

OAB

(31)

30 | VD_VDC
Câu 46: [2D1-3] Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số yx33x m có hai điểm cực

trị là ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 10, với O là gốc tọa độ.

A. m 20m20. B. m20. C. m10. D. m 10m10
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có y 3x23 0 1
1
x
y

x




  _{ }
 


 Hàm số đạt cực trị tại x 1 và x1.
Với x  1 ym2.

Với x 1 ym2

 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A



1;m2 ,





1;m2



Đường thẳng AB có phương trình 2xym0



;



5
m
d O AB

  , AB

_

1 1

_

2

_

m 2 m2

_

2  20





1 1

. ; . 20.

2 2 5

OAB

S AB d O AB m

   

Theo giả thiết SOAB10

10
10

10
m
m

m


  _{ }

 


Câu 47: [2D1-4] Gọi ,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x m . Hỏi tam giác OAB có
chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).

A. 4 5. B. 2 5. C. 2 5 2 . D. 4.

Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có y 3x23 0 1
1
x
y

x




  _{ }
 


 Hàm số đạt cực trị tại x 1 và x1.
Với x  1 ym2.

Với x 1 ym2

 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A



1;m2 ,





1;m2



Ta có 2

1 ( 2)

OA  m , 2

1 ( 2)

(32)

31 | VD_VDC

Chu vi tam giác OABlà _{2 5} _{1 (} ₂₎2 _{1 (} ₂₎2

OAB

C OA OB AB   m   m

2 2 2 2

2 5 1 (2 m) 1 (2 m)

      

Đặt u



1; 2m v



, 



1; 2m



  u v



2; 4



   

 _{2 5} _{2 5} _{2 5} ₂2 ₄2 _{4 5}

OAB

C   u  v   u v     .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 0
1 2

m
m
m


  

 .

Vậy chu vi tam giác OABnhỏ nhất bằng 4 5.

Câu 48: [2D1-4] Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3ax b có phương
trình y 6x7. Tính y

 

2 .

A. y

 

2 33. B. y

 

2  3. C. y

 

2 3. D. y

 

2  33.
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có y 3x2a

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệta0.

Khi đó hàm số đạt cực trị tại ₁
3

a
x   và ₂

3
a
x    .

Ta có 3 1 2

3 3

yx ax b  x y ax b

 Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số là ₁ 2 ₁
3

y  ax b, ₂ 2 ₂
3

y  ax b.

 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình 2
3
y ax b

Theo giả thiết, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

6 7

y  x
2

9
6

7
7

a
a

b
b



 
  


_ _



 



(33)

32 | VD_VDC
Câu 49: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 1 3 2

_

_

2 1 3

y x mx  m x
có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung.

A. m1. B. 1; \ 1

 

m_ _

  . C.
1

2 m

   . D. 0m2.
Lời giải

Chọn B.

Ta có: y'x22mx2m1
2

' 0 2 2 1 0

y  x  mx m  , _{ }_' _m2_₂_m_₁



m 1



2
 
Để hàm số có hai cực trị thì

_

m1

_

20m1

Gọi x x₁, ₂ là hai điểm cực trị. Để hai cực trị nằm về cùng một phía với trục tung thì;
1 2

. 0 2 1 0

2
x x   m  m .
Vậy 1; \ 1

 

2
m_ _

  thỏa điều kiện bài toán đã cho. Đáp án B.

Câu 50: Cho hàm số yax3bx2cx d a ,( 0,b23ac0) có đồ thị

 

C . Biết gốc tọa độ O thuộc
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Sabcdbc ad ?
A. 1

 . B. 27

 . C. 9

 . D. 25

9
 .
Lời giải

Chọn D

Ta có: y' 3 ax22bx c , '_y_'b23ac0 (theo giả thiết) nên hàm số đã cho ln có hai
cực trị.

Ta lại có:

1 2 2

3 9 3 9 9

b b bc

y y x c x d

a a a

 

 _  __  _  

   

. Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị của

hàm số là

2 2

3 9 9

b bc

y c x d

a a

 

_  _  

 

Vì đường thẳng này đi qua O nên 0

9
bc
d

a
 

9
bc
d

a
  .

Ta có:





2 2

2 2
1

9 9 9

b c bc

abcdbcad bc  b c  bc 1

_

_

2 25 25

9 bc 9 9

     .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó là 25
9

 đạt được khi bc 5.

Câu 51: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42



m2



x2m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200.

3
1
2

m   . B.

3
1
2

m   . C.
3

1
3

m D.

3
1

(34)

33 | VD_VDC
Lời giải

Chọn A.

Do 5

3 3

  

  nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
3


Ta có: y'4x34



m2







4x x m 2

   .

Để hàm số có ba cực trị thì m  2 0 m 2. Khi đó ba điểm cực trị lần lượt là _A



_0;_m2





2; 4 4



B  m  m và C



m2; 4 m4



Do đặc điểm cực trị của hàm bậc bốn, tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A. Tham khảo
hình vẽ minh họa:

Suy ra A120, ACI30. Xét tam giác vng ACI, ta có:









4 4

1 1

tan 2

3 2 3

m m

C m

IC m

  

     

 3

1
2
3
m

   .
Đáp án A.

Câu 52: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x23 1



m x



 1 3m có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .

A. m2. B. m4. C. 1
2

m . D. m1.
Lời giải

Chọn D
TXĐ:D.





3 6 3 1

y  x  x m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A B  y0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2





9 9 1 m 0 9m 0 m 0

        .

Hai điểm cực trị: A



1 m; 2m m2



, B



1 m; 2 2 m m





2 ; 4





1; 2



AB m  m m  m  m


x

y

I

A

C

B

(35)

34 | VD_VDC
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB y:  2mx2m2.





4 . ; . 4

2
OAB

S   d O AB AB 3

2 2

. 4 16 8 1 2

4 1

m m m m

m


     



3 2

2 4 0 1

m m m m

       .

Câu 53: Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thì hàm số _y__x3_₃_mx2_₃



_m2_₁



_x__m3__m_(với
m là
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC có bán kính
đường trịn ngoại tiếp bằng 5, trong đó C



2;1



A. 5
8

 . B. 8

5. C.

8
5

 . D. 5

Lời giải

Chọn A
TXĐ:D.











2 2

3 6 3 1 3 1 1

y  x  mx m   xm xm

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A B  y0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂

1 1

m m m

      .

Hai điểm cực trị: A m



1; 2 2 m



, B



1m; 2 2  m



.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB: 2xy0.



2; 4



AB 


, AC  



1 m m; 2 1 ,



BC 



m3; 2m3



.
Ta có: 1. .

_

;

_

. .

2 4R

AB AC BC
AB d C AB 







2 1 .









2 3



2
4 1

1
.

2 5 4 5

m  m m  m
 

 

4 3 2

25 80 64 0 ₈

5
m

m m m

m




    

 _{ }


Câu 54: Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số yx42mx22 có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho tứ
giác ABCD nội tiếp với 3 9;

5 5
D_ _

 

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.

Lời giải
Chọn

(36)

35 | VD_VDC
3

4 4

y  x  mx

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị , ,A B C m0.
Ba điểm cực trị: A



0; 2



, _B



_m_{; 2}__m2





_{; 2} 2



C  m m .

Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2



2 2



2 2 0 0

x y  ax by c a b  c nên ta có:

















2 2

0 4 4

2 2 2 2

a b c

ma m b c m m

 _ _{  }




      




       



3
0

4 1

2 4 2

m m

m


 


 


_ 


   






Vậy phương trình đường trịn

_{ }

3 3

2 2 4 1 2 4 2

: m m m m 0

C x y y

m m

    

    .

Theo đề:

_{ }

 

1
1

3 9 1 5

; 2 1 0

5 5 1 0 2

1 5

2
m
m

D C m m m

m m

m l


 



  

 _ _{ } _ _{ } _ _ _



  _

  

  _



 
 _


Câu 55: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx4 2mx22có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho
tứ giác ABCD nội tiếp với 3 9;

5 5
D_ _

 .

A. 4. B. 2 . C. 3. D. 1.

Lời giải
Chọn B

Ta có: _y __x4 _₂_mx2_₂__y_'_₄_x3_₄_mx__{x x}



2__m



_.
Đồ thị hàm số có 3 cực trị m0 *

 

(37)

36 | VD_VDC
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IOyI



0;a



. Để ABCD nội tiếp thì

D phải thuộc đường tròn tâm I này.















 

2 2

2
2

2 2 2 2 2

3 9

2 2

5 5

1
0
1
1

1 5

1 1 0

1 5

IA IB IC ID a m m a a

m l

m
a

m m m m _m

m l

   

          _{ } _  _

   










 _




 _





_ _ _{ }

    _ _

 








 _{ }
 





Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra.

Cách giải theo cơng thức tính nhanh: ab0m0 *

 





















 

2 2

2 2 2 2

2 2 2 0 2 2 2 0

1 5

2 1 0

1 5

D ABC m m b m c m m m

m m m

m l

             


 


 


    _ 


 
 _


Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra.

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2mx22m3 có ba điểm
cực trị và ba điểm này nội tiếp đường trịn có bán kính bằng 1.

A. 1; 1 3

m m   . B. 1; 1 5

2
m m   .

C. m1. D. 1 3

2
m  .
Lời giải

Chọn B

Ta có: _y __x4 _₂_mx2_₂_m_{ }₃ _y_'_₄_x3_₄_mx__{x x}



2__m



_.
Đồ thị hàm số có 3 cực trị m0 *

 

(38)

37 | VD_VDC

Gọi I là tâm đường trịn có bán kính bằng 1 ngoại tiếp tam giác ABC  IOyI



0;a



. Để

ABC nội tiếp đường trịn có bán kính 1













2
2

2 2 2 2

1 2 3 2 3 1

2 2 1

2 2

2 1 0( ) ₁ ₅

2 4

2 3 1

1 5

2 1 0 _{( )}

IA IB IC a m m m a m

a m m

a m

m m VN

a m _m

a m

m m a m

m m _m _l

            



    

   _ _

  

 _ _    

 _ _ 

 



 _ _ _ _ _ _ _



 _ _ _{ } _ _{ }



 



Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra chọn B.

Câu 57: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42



m1



x23m2 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh đáy.

A. m  1 315. B. m  1 3120. C. m  1 360. D. m  1 2 1203 .
Lời giải

Chọn A

Ta có 3

_

_

_

_

' 4 4 1 4 1

y  x  m x x x_  m _;

2
0
' 0

1
x

x m


 _{ }

 



Để hàm số có ba điểm cực trị m 1.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là



_0;3 _{2 ,}





_1; 2 _{1 ,}

 

_1; 2 ₁



A m B  m m m C m m m .

Do AOy B C; , đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A.
Theo giả thiết _AB_₂_BC _ _AB2_₄_BC2



_m ₁

 

_m ₁



4 ₁₆



_m ₁





_m ₁



3 ₁₅ _m ₁ 3₁₅

             (thỏa mãn).
Vậy m  1 315.

Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm, khi tìm được điều kiện

_

m1

_{ }

 m1

_

4 16

_

m1

_

ta thay
lần lượt các giá trị của m ở đáp án vào biểu thức trên để tìm đáp án đúng.

Câu 58: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x42



m1



x23m2 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m 1. B. 0m1. C.  1 m1. D.  1 m0.
Lời giải

(39)

38 | VD_VDC

Ta có 3

_

_

_

_

' 4 4 1 4 1

y  x  m x x x_  m _;

2
0
' 0

1
x

x m


 _{ }

 


Để hàm số có ba điểm cực trị m 1.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là



_0;3 _{2 ,}





_1; 2 _{3 ,}

 

_1; 2 ₃



A m B  m m m C m m m .

Do AOy B C; , đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A.

Khi đó 1 .

_

_

2 1

ABC B A B

S_  AH BC x y y  m m .
Theo giả thiết S__ABC  1

_

m1

_

5 1 m0.

Kết hợp với điều kiện, ta được  1 m0.

Câu 59: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42



m1



9.
A. 1 15

m  . B. 1 3
2

m   . C. 5 3
2

m  . D. 1 15
2

m  .
Lời giải

Chọn D

x
y

H
A

(40)

39 | VD_VDC

Ta có 3

_

_

_

_

' 4 4 1 4 1

y  x  m x x x_  m _;

2
0
' 0

1
x

x m


 _{ }

 


Để hàm số có ba điểm cực trị m 1.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là



_{0; 2} _{3 ,}





_1; 2 _{2 ,}

 

_1; 2 ₂



A m B  m m  C m m  .

Do AOy B C; , đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A.

Gọi M N, lần lượt là giao điểm giữa AB AC, với trục hoành; gọi H là trung điểm của BC.

Ta có













 

2 ₂

2 4

. ₂ ₃ ₄

2 _*

1 _. ₁ 9

AMN A

ABC A B

AO MN _m

S AO y

S _{AH BC} AH _y _y _m





 

 _ _   

   

Do 2m 3 0,m 1 nên

 

* 2 2 2 7 0 1 15
4

m m m 

      .

Do m 1 nên 1 15
4
m  .

Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm, khi tìm được điều kiện









2
4

2 3 4

9
1
m
m






ta thay lần lượt các giá
trị của m ở đáp án vào biểu thức trên để tìm đáp án đúng.

x
y

H
N
M

(41)

(42)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

  

x  x1



x1

 

2 x2



1. Hàm số g x

_{ }

 f x

_{ }

x
có bao nhiêu điểm cực trị.

A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.

Câu 2: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

 

x 



x21





x4



. Hàm số y f

_

3x

_

có bao nhiêu
điểm cực đại.

A. 3. B. 0. C. 2 . D. 1.

Câu 3: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm f '

 

x x x



1



x2 ,



3  x . Số điểm cực trị của hàm số





2
y f x  x là

A. 3. B. 2. C. 5. D.

4.

Câu 4: Cho hàm số y f x

_{ }

có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số y f

_

3x

_

A. 6. B. 3. C. 5. D. 2.

Câu 5: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm _f _'

_{ }

_x __x2

_

_x_₁

_



_x2_₆_x_₄



_{. Hàm số}

 

y f x có bao
nhiêu điểm cực trị.

A. 6. B. 3. C. 5. D. 2 .

Câu 6: Cho hàm số f x

_{ }

có

_{  }

_





' 1 2

f x  x x  x , với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số _{f x}



2_₈_x__m



_{có 5 điểm cực trị}

A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.

Câu 7: Cho hàm số y f x

_{ }

là một đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm
số y f _f x

 

_.

(43)

Câu 8: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

 

x x2



x1 13



x15



3. Tìm số điểm cực trị của hàm
số ₂5

4
x
y f

x
 
 _ _


 

A. 4 . B. 7. C. 2 . D. 6.

Câu 9: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm _{f x}_{'( )}__{x x}2₍ _₁₎₍_x__{4) ,}2 _{ }_x __{. Tìm số cực trị của hàm số}
2

( )
y f x .

A. 3. B. 5. C. 2 . D. 4 .

Câu 10: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm _{f x}_{'( )}__{x x}2₍ _₁₎₍_x__{4) ,}2 _{ }_x __{. Tìm số điểm cực trị của}

hàm số y f x( 2).

A. 4 . B. 5. C. 3. D. 2 .

Câu 11: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm

3
3

( 1)(4 5)(13 15)

'( ) x x x

f x

  

 . Tìm số điểm cực trị của hàm

số ₂5

x
y f

 

 _ _


 .

A. 4 B. 7.

C. 3. D. 6.

Câu 12: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( ) trên . Đồ thị của hàm số y f x( ) như hình vẽ

Đồ thị hàm số





2
( )

y f x có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

Câu 13: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f

_{ }

x . Đồ thị của hàm số f

_{ }

x như hình vẽ

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số _y_₂_{f x}

_{ }

__x2_là

x



2

. B.

x



1

. C.

x

 

1

. D.

x



0

(44)

Đồ thị của hàm số y f x

_{ }

3x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 . B. 7. C. 3. D. 2 .

Câu 15: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( )x22x, mọi xR. Hàm số y f x( 28 )x có bao
nhiêu điểm cực trị?

A. 6 B. 3 C. 5 D. 2

Câu 16: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R thỏa mãn f(x) f"'(x)x(x 1) ( 2 x4)3 mọi
xR. Hàm số _{g x}_{( )}__{( '( ))}_{f x} 2__{2 ( ). "( )}_{f x f} _x _{có bao nhiêu cực trị?}

A. 3 B. 1 C. 2 D. 6

Câu 17: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn





2 ₄

'(x) (x). f''(x) 15 x 12 ,

f  f   x  x R. Hàm số g(x)f(x). f'(x) có bao nhiêu điểm cực
trị?

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Câu 18: Cho hàm số y f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

(x) (x)
2f 3f

y 

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Câu 19: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm trên R và đồ thị f x

_{ }

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y3f x 5f x  bằng:

(45)

Câu 20: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm trên R và đồ thị f '

_{ }

x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y2f x 3f x  bằng:

A. 3. B. 2. C. 4 D. 7.

(46)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

  

x  x1



x1

 

2 x2



1. Hàm số g x

_{ }

 f x

_{ }

x
có bao nhiêu điểm cực trị.

A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.

Lời giải
Chọn C

Ta có g x

 

 f

 

x  1



x1



x1

 

2 x2



.
Do đó g x

_{ }

0 



x1



x1

 

2 x2



0

1
1

2
x
x
x

 



 



 


Từ đó suy ra bảng xét dấu

Do vậy, g x

_{ }

 f x

_{ }

xcó hai cực trị.

Câu 2: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

 

x 



x21





x4



. Hàm số y f

_

3x

_

có bao nhiêu
điểm cực đại.

A. 3. B. 0. C. 2 . D. 1.

Lời giải
Chọn D

Ta có y f

_

3x

_

 



3x



21 3





 x 4







x26x8





x1



.
Do đó f

_

3x

_

0



x26x8





x1



0

1
4
2
x
x
x

 



_ 

 


(47)

Từ đó suy ra hàm số có một cực đại.

Câu 3:

Cho hàm số

f x

 

có đạo hàm

 

x x x



1



x2 ,



3  x .

Số điểm cực trị của hàm

số

y f x



22x



là

A.

B.

C.

D.

4.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có y f x



22x



y'



f x



22x



'



2x2





x22x













2x x 2 x 1 x 2x 2 .

    

Từ đó suy ra hàm số





y f x  x

có 3 điểm cực trị

Câu 4:

Cho hàm số

y f x

 

có bảng biến thiên như sau

Tìm số điểm cực trị của hàm số

y f



3x



A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có y f

_

3x

_

 y'



_

3x

_



' f ' 3

_

x

_{  }

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

y f x

_{ }

có 3 điểm cực trị.

Như vậy từ

_{ }

ta thấy hàm số

y f

_

3x

_

cũng có 3 điểm cực trị

Câu 5: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm _f _'

_{ }

_x __x2

_

_x_₁

_



_x2_₆_x_₄



_{. Hàm số}

 

y f x có bao
nhiêu điểm cực trị.

A. 6. B. 3. C. 5. D. 2.

(48)

 

2 4





4 2



' 2 . ' 2 . 1 6 4

y  x f x  x x x  x  x  .

Cho 2

0
0

' 0 3 5 3 5

3 5 ₃ ₅

x
x

y x x

x _x










 _      




  _ _{ } _

 _

Do đó 'y 0 có 5 nghiệm phân biệt và 5 nghiệm này là nghiệm đơn nên hàm số đã cho có 5
cực trị.

Câu 6: Cho hàm số f x

 

có f'

  

x  x1





x22x



, với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số f x



28xm



có 5 điểm cực trị

A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y f x

_{ }

là một đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm
số y f _f x

 

_.

A. 5. B. 3. C. 4 . D. 6.

Lời giải

Chọn C.

Vì hàm số y f x

_{ }

là một đa thức nên dựa vào đồ thị ta có

_{ }

3 2

3
f x x  x

 

y f f x f x f x

  _ _ 

 

   

 

3 . 6 . 3 . 2 0 0

2
f x

y f x f x f x f x f x f x f x f x

f x
 



      _  _ _ 

 _


3 2

3 6 0

3 0

3 2

3
x

x x

x x


   _



 _

_   
 
 _ _ _

 _ _



(49)

8 | VD_VDC

Câu 8: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

 

x x2



x1 13



x15



3. Tìm số điểm cực trị của hàm
số ₂5

x
y f

x
 
 _ _


 

A. 4 . B. 7. C. 2 . D. 6.

Lời giải

Chọn D.





2 2

20 5 5

. 0 5

0
4

4 ₄

x x

y f x

f
x

x _x

 


   

 _ _  _ _
  


   

 _ _

 


2 2 2

2 2 2 2

0
1

5 5 5 4 15 65 60

0 0 4

4 4 4 4

3
4
3
x
x

x x x x x x

f x

x x x x

x
x

 




       

    _

_ _ _ _ _ _{ } _   


   

        _



 


Trong đó x0 là nghiệm bội chẵn. Vậy hàm số ₂5

4
x
y f

x
 
 _ _



  có 6 điểm cực trị.

Câu 9: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( )x x2( 1)(x4) ,2  x . Tìm số cực trị của hàm số

( )
y f x .

A. 3. B. 5. C. 2 . D. 4 .

Lời giải

Chọn A.

Theo đề bài ta có: _y_ _{f x}₍ 2₎_{suy ra}

2 4 2 2 2

' 2 . '( ) 2 . ( 1)( 4)

y  x f x  x x x  x  .

5 2 2

2 .(x x 1)(x 1)(x 2) (x 2)

    

Dễ thấy phương trình _y_'_₀__{2 .(}_x5 _x_₁₎₍_x_₁₎₍_x__{2) (}2 _x_₂₎2 _₀_{có 3 nghiệm đơn hoặc}

nghiệm bội lẻ. là: x0;x1;x 1 nên hàm số 2

( )

y f x đạt cực trị tại các điểm đó.
Vì y f x( 2)là hàm số chẵn nên (1)f  f( 1) suy ra hàm số có 2 cực trị.

Câu 10: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm _{f x}_{'( )}__{x x}2₍ _₁₎₍_x__{4) ,}2 _{ }_x __{. Tìm số điểm cực trị của}

hàm số y f x( 2).

A. 4 . B. 5. C. 3. D. 2 .

Lời giải

(50)

Theo đề bài ta có: y f x( 2) suy ra

2 4 2 2 2

' 2 . '( ) 2 . ( 1)( 4)

y  x f x  x x x  x  .

5 2 2

2 .(x x 1)(x 1)(x 2) (x 2)

    

Dễ thấy phương trình y'02 .(x5 x1)(x1)(x2) (2 x2)2 0 có 3 nghiệm đơn hoặc
nghiệm bội lẻ. nên hàm số _y_ _{f x}₍ 2₎_có

3 điểm cực trị.

Câu 11: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm

3
3

( 1)(4 5)(13 15)

'( ) x x x

f x

  

 . Tìm số điểm cực trị của hàm

số ₂5

x
y f

 

 _ _


 .

A. 4 B. 7.

C. 3. D. 6.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Đặt ₂5

x
u



 . Ta có:





2 2 2 2 3

2 2

2 5₃
2

20 5 (5 4)(20 5 20)(65 15 60)

( ) ' '. '( )

( 4) 5

( 4)

x x x x x x x

f u u f u

x x

      

 



. Phương trình



f u( ) '



0 có các nghiệm bội lẻ là 1, 2, 4; 3; 4
3

x x  x x x và điểm làm cho
đạo hàm không xác định là x0. (Đến đây phải chứng minh hàm f liên tục tại điểm x0

bằng cách lấy nguyên hàm

3
3

( 1)(4 5)(13 15)

'( ) x x x

f x

  

 , vượt quá kiến thức học kỳ I của lớp
12)

Câu 12: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( ) trên . Đồ thị của hàm số y f x( ) như hình vẽ

Đồ thị hàm số y



f x( )



2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Từ đồ thị ta có: f x( )0 có nghiệm đơn là x0;x3 và nghiệm kép x1

(51)

Ta có:





( ) ' 2 '( ). ( )

y f x  y  f x f x có các nghiệm đơn là x0;x3; ;x x₁ ₂ và nghiệm bội 3 là

x . Xem bảng xét dấu sau:

Câu 13: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f

_{ }

x . Đồ thị của hàm số f

_{ }

x như hình vẽ

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số

_{ }

y f x x là

x



2

. B.

x



1

. C.

x

 

1

. D.

x



0

Hướng dẫn giải
Chọn D.

 

2 2

y f x  x.

 

y  f x  x

0
1
1

x
x
x
x



 _{ }



 





x  1 0 1 2 

y 

0



0



0


y

(52)

Câu 14: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f

_{ }

x . Đồ thị của hàm số f

_{ }

x như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y f x

_{ }

3x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 . B. 7. C. 3. D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

 

y f x 

 

0 3

y  f x  

0
1
1

2
x
x
x
x



 _{ }



 






x  1 0 1 2 

y 

0



0



0



0



Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 15: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( )x22x, mọi xR. Hàm số y f x( 28 )x có bao
nhiêu điểm cực trị?

A. 6 B. 3 C. 5 D. 2

Hướng dẫn giải
Chọn C

Xét hàm số y f x( )có_{f x}_{'( )}__x2_₂_x₌₀

0
x

  hoặc x2

Xét hàm số _y_ _{f x}₍ 2__{8 )}_x _có_y_'_₍₂_x__8).f'(x2__{8 )}_x ₌₀

2x 8 0

   , _x2_₈_x_₀_,_x2_₈_x_₂_ _x__{4 3 2,}_ _x__0,_x__4,_x__8,_x_{ }_{4 3 2}_và _y_'_đổi

dấu qua các nghiệm nên hàm số có 5 cực trị

A. 3 B. 1 C. 2 D. 6

(53)

Chọn C

Xét hàm số g(x)
Có

'( ) 2. '( ). "(x) (2. '(x).f"(x) 2.f(x).f"'(x))

g x  f x f  f  = 2.f(x).f"'(x)) =_{2 .(}_{x x}__{1) .(}2 _x_₄₎3₌₀

0, 1, 4

x x x

     . '( )g x chỉ đối dấu qua x=0,x= -4 nên hàm số có 2 cực trị

Câu 17: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn





2 4

'(x) (x). f''(x) 15 x 12 ,

f  f   x  x R. Hàm số g(x)f(x). f'(x) có bao nhiêu điểm cực
trị?

A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

Lời giải:

Ta có g'(x)f'(x). f'(x) f(x). f''(x) 



_f_'(x)



2 _f_{(x). f''(x)} _{15 x}4 ₁₂_x

  

'(x) 0 15x 12 0

g    x

3
0

4
5
x
x
 


_

 


nên hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn đáp án C

Câu 18: Cho hàm số y f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

(x) (x)
2f 3f

y 

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

Lời giải:

Ta có ' '(x). 2



f(x)ln 2 3f(x)ln 3



y  f   '(x)_(x) 0 (1)_(x)

2f ln 2 3f ln 3 (2)

 

 




+ Đồ thị hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm
+

(x)

2 3

(2) ln

3 2

f
 
_ _ 

 

 ₂

3
3

(x) log 1

f   

Từ đồ thị hàm số suy ra phương trình (2) có 1 nghiệm kép
Vậy số điểm cực trị của hàm số là: 3

(54)

Câu 19: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm trên R và đồ thị f x

_{ }

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y3f x 5f x  bằng:

A. 6. B. 5. C. 4 D. 3.

Lời giải

Chọn B.

Ta có y' f'

_{ }

x .3f x ln 3 f'

_{ }

x .5f x ln 5

 

   

' 3f x ln 3 5f x ln 5

f x  

 

 

 

   

 

   

' 0

' 0 ' 3 ln 3 5 ln 5 0

3 ln 3 5 ln 5 0

f x f x

f x

y   f x _  _   

 



Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số f x

_{ }

có 3 điểm cực trị  f'

_{ }

x 0 có 3 nghiệm phân
biệt.

Với    

 

5
ln

3 5 3

3 ln 3 5 ln 5 0 ln

5 3 5

f x

f x f x

f x

     

  _{ }  _{ } _{ }

     

Do đồ thị hàm số f x

_{ }

cắt đường thẳng

5
ln

3
5

y_{  } 

  tại hai điểm phân biệt nên f x

 

0có hai
nghiệm phân biệt.

Vậy Số điểm cực trị của hàm số y3f x 5f x  bằng 5

Câu 20: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm trên R và đồ thị f '

_{ }

x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y2f x 3f x  bằng:

A. 3. B. 2. C. 4 D. 7.

Lời giải

Chọn C.

Ta thấy đồ thị của hàm số f

_{ }

x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, suy ra hàm số f x

_{ }

có
4 điểm cực trị.

(55)

14 | VD_VDC

Vì



2f x ln 2 5 f x .ln 5



với mọi x nên y'0 f

_{ }

x 0.

(56)

1 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1
ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)

I. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số

Định lý 1: Nếu hàm số y f x

 

đạt cực trị tại điểm x₀. Khi đó nếu f x

 

có đạo hàm tại x₀

thì f

 

x₀ 0.

+ Điều ngược lại có thể khơng đúng, tức có thể f

_{ }

x₀ 0 nhưng hàm số f x

_{ }

không đạt cực
trị tại x₀.

Chẳng hạn như hàm số yx y3, x5

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
Chẳng hạn như hàm số y x y,  x x



2



Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.

+ Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại x₀ là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x₀ hoặc hàm
số khơng có đạo hàm tại x₀.

+ Điều kiện đủ:

Định lý 2: Giả sử hàm số y f x

 

liên tục trên khoảng



a b;



chứa điểm x₀ và có đạo hàm
trên các khoảng



a x; ₀



và



x b₀;



. Khi đó:

+ Nếu f

 

x 0, x



a x; ₀



và f

 

x 0, x



x b₀;



thì hàm số y f x

 

đạt cực tiểu tại
điểm x₀.

+ Nếu f

 

x 0, x



a x; ₀



và f

 

x 0, x



x b₀;



thì hàm số f x

 

đạt cực đại tại điểm

x .

Nói một các khác:

II. Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số

Định lí 3: Giả sử hàm số y f x

 

có đạo hàm đến cấp hai tại x0 và f

 

x0 0, f

 

x0 0

(57)

2 | VD_VDC

+ Nếu f

 

x₀ 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.
+ Nếu f

 

x₀ 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Trong trường hợp f

 

x₀ 0 thì chưa thể khẳng định được x₀ là điểm cực trị của hàm số hay
không.

Chứng minh

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng



a b;



chứa điểm x₀; f

 

x₀ 0 và f

 

x₀ 0. Khi
đó theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có:

 

0 0

0
0

0 0

lim lim 0

x x x x

f x f x f x

f x

x x x x

 

   

   

 

Do đó tồn tại h0 sao cho



x₀h x; ₀h







a b;



và

 

0
0

f x

x x




 với mọi



0 ; 0

  

\ 0

x x h x h x .

+ Vì x x 00, x



x0h x; 0



nên f

 

x 0, x



x0h x; 0



+ Vì x x ₀0, x



x x₀; ₀h



nên f

 

x 0, x



x x₀; ₀h



Vậy f

 

x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0. Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại x0.

Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng



a b;



chứa điểm x₀, f

 

x₀ 0 nếu f

 

x₀ 0.
Hàm số f đạt cực trị tại x₀.

Chú ý: Định lý này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số
cho các hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó
khăn).

Tổng qt của định lí 3. Nếu hàm số f x

 

có đạo hàm đến cấp n tại điểm x₀ và

 

 1

_{ }

0 0 ... 0 0

f x  f x   f  x  và f n

 

x₀ 0. Khi đó:
+ n lẻ, hàm số không đạt cực trị tại điểm x₀.

+ n chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm x₀; cụ thể nếu f n

 

x₀ 0 hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x và nếu f n

 

x₀ 0 hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Nếu f n

 

x₀ 0 chưa kết luận được x₀ có là điểm cực trị của hàm số hay không

(58)

3 | VD_VDC
Câu 1: Cho hàm số y f x

 

. Đồ thị của hàm số y f

 

x như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x

 

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Câu 2: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị của y f x( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x( )_{có bao nhiêu}
điểm cực trị ?

A. 2. B. 3 . C. 4. D. 1.

Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị của y f x( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x( )x_{có bao}

nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 .

(59)

4 | VD_VDC

A. 2 B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 5: Cho hàm số y f x

_{ }

. Đồ thị của hàm số y f'

_{ }

x như hình vẽ bên.

Hỏi điểm cực đại của hàm số y f x

_{ }

x là?

A. x1. B. x0. C. x2. D. x 1.

Câu 6: Cho hàm số y f x

_{ }

. Đồ thị của hàm số y f'

_{ }

x như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y2f x

  

 x1



2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4. B. 2. C. 3 . D. 0 .

(60)

5 | VD_VDC

Đồ thị của hàm số y f x

_{ }

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Câu 8: Cho hàm số y f x( ). Đồ thị hàm số y f x( ) như hình vẽ

Đồ thị của hàm số y3 ( ) 7f x  x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .

Câu 9: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu x₀ là nghiệm của phương trình f x( )0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

B. Nếu hàm số ( )f x đạt cực trị tại x₀ thì hàm số có đạo hàm tại x₀.

C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm.

D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x₀ thì f x( ₀)0.

Câu 10: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( ) xác định trên . Đồ thị hàm số y f x( ) như hình
vẽ dướ đây:

Hỏi hàm số y f x( 2) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

(61)

6 | VD_VDC

x
y

-1 ₂

-1
1

O 1

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y f(x) x là:

A. x1 B. x0 C. x2 D. x 1

Câu 12: Cho hàm số 3

y x  x. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Cực đại của hàm số là 2 B. Cực đại của hàm số là -1

C. Cực đại của hàm số là -2 D. Cực đại của hàm số là 1

Câu 13: Cho hàm số y f(x) có f'(x)x (x 2)2  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số y f(x) là:

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

Câu 14: Cho hàm số y f x( ) có f x( )x2

_

x1

_

x2

_

. Hỏi số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là
bao nhiêu ?

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .

Câu 15: Cho hàm số y f x( ) có f x( )x2



x3



2. Hỏi số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là bao
nhiêu ?

A. 2. B. 3 . C. 1. D. 0 .

Câu 16: Cực đại của hàm số yx33x2 là

A. 1. B. 1. C. 4 . D. 0 .

Câu 17: Các điểm nào dưới đây là điểm cực đại của hàm số y2 sin 2x

A. ,

4 2

x k k B. 3 ,

x  k k

C. ,

x k k D. 3 ,

4 2

x  k k

Câu 18: Các điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số y2 sin 2x

A. ,

4 2

x k k B. 3 ,

x  k k

C. ,

x k k D. 3 ,

4 2

x  k k

Câu 19: Cho hàm số 1 3 2 ₃ 4

3 3

y x x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Chực tiểu của hàm số là 3 . B. Chực tiểu của hàm số là 1.

C. Cực tiểu của hàm số là 23
3

 . D. Cực tiểu của hàm số là 9 .

Câu 20: Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x₀ thuộc khoảng ( ; ).a b

(62)

7 | VD_VDC

I. Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )₀ 0.

II. Nếu f x( ) f x( ),₀  x ( ; )a b thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f x( ).

III. Nếu f x( ) f x( ),₀  x ( ; )\{ }a b x₀ thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f x( ).

IV. Nếu x₀ là điểm cực đại của hàm số f x( ) thì f"( )x₀ 0.

Số mệnh đề đúng là?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.

Câu 21: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và điểm x₀ thuộc khoảng ( ; ).a b Xét các
mệnh đề sau:

(1) Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )₀ 0.

(2) Nếu f x'( )₀ 0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ).

(3) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x₀) và f x'( )  0, x ( ; )x b₀ thì x₀ là điểm cực đại của hàm số

( ).

f x

(4) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x₀) và f x'( )  0, x ( ; )x b₀ thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số

( ).

f x

(5) Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm

0 0

( ; ( ))x f x song song hoặc trùng với trục hoành.

Số mệnh đề đúng là?

A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x₀, f x'( )₀ 0và hàm số f(x) có đạo
hàm cấp 2 tại điểm x₀.

Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu f"( )x 0thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f(x).
(2) Nếu f"( )x 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
(3) Nếu f"( )x 0thì x₀ khơng là điểm cực trị của hàm số f(x).
(4) Nếu f"( )x 0thì x₀ là điểm cực trị của hàm số f(x).
(5) Nếu f"( )x 0thì f x( ₀)là cực đại của hàm số f(x).

(6) Nếu f"( )x 0thì f x( )₀ là cực tiểu của hàm số f(x).

Số mệnh đề đúng là?

A. 6 B. 4 C. 5 D. 2

Câu 23: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x₀ thuộc khoảng (a,b).

(1) Nếu f x( ₀)f(x), x ( , )a b thì f x( ₀)là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).
(2) Nếu f x( ₀)f(x), x ( , )a b thì f x( ₀)là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).
(3) Nếu f x( ₀)f(x), x ( , ) \a b

 

x₀ thì f x( )₀ là cực đại của hàm số f(x).

(63)

8 | VD_VDC

Số mệnh đề đúng là?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4

Câu 24: Cho hàm số y f x( ). Đồ thị của hàm số y f x'( )như hình vẽ bên

Đồ thị của hàm số y2 ( )f x x2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 25: Cho hàm số y f x

_{ }

xác định và có đạo hàm f

_{ }

x . Đồ thị của hàm số f

_{ }

x như hình dưới
đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

; 2

_

B. Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

 ; 1

_

C. Hàm số y f x

_{ }

có ba điểm cực trị.

D. Hàm số y f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng

_

0;1

_

Câu 26: Đồ thị hàm số 3 2

3 9 1

   

y x x x có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB?

A. P

_

1; 0

_

. B. M

_

0; 1

_

. C. N

_

1; 10

_

. D. Q

_

1;10

_

Câu 27: Đồ thị hàm số _y_{ }_x3_₃_x2_₅_{có hai điểm cực trị là}_A_và_B_{. Tính diện tích}_S_{của tam giác}

OAB với O là gốc tọa độ.

A. S9. B. 10



S . C. S5. D. S10.

Câu 28: Đồ thị của hàm số _y__x3_₃_x_₂_{có 2 điểm cực trị}

A, B. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AB.

A. M

_

0; 2

_

. B. M

_

2; 0

_

. C. M

_

1; 0

_

. D. M

_

2; 4

_

Câu 29: Đồ thị hàm số yx36x29x1 có 2 điểm cực trị A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. AB 5. B. AB4 2. C. AB2 2. D. AB2 5.

Câu 30: Đồ thị hàm số

2 ₅

x
y




 có hai điểm cực trị A, B. Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A, B

là?

(64)

9 | VD_VDC
Câu 31: Đồ thị hàm số

2 ₁

x x
y

 


 có hai điểm cực trị A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB5. B. AB2 5. C. AB2 15. D. AB2 13.

Câu 32: Đồ thị hàm số yx48x22 có ba điểm cực trị A, B, C. Gọi S là diện tích tam giác

ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. S 4 2. B. S16. C. S 8 2. D. S32.

Câu 33: Đồ thị hàm số _y_{ }₂_x4_₄_x2_₃_{có ba điểm cực trị}

A, B, C. Gọi R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 5

R . B. 5

R . C. 5

R . D. 5

R .

Câu 34: Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Câu 35: Cực đại của hàm số _y__x3_₅_x_ _x2_₁

A. 1. B. 5.

3 C. 4. D.
148
27



Câu 36: Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x

 

có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.

Câu 37: Cho hàm số y f x

_{ }

liên tục trên Rvà có bảng xét dấu như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x

_{ }

có bao nhiêu điểm cực đại.

A. 2. B. 4. C. 3 . D. 1.

(65)

10 | VD_VDC

A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 9 .

Câu 39: Cho 3 đường cong

     

C1 , C2 , C3 _{là đồ thị của các hàm số}y f x

 

_,y f'

 

x _,y f"

 

x _.

Hỏi đồ thị các hàm số y f x

 

, y f '

 

x , y f"

 

x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào?

_{  }

C₃ , C₂

_{  }

, C₁ . B.

_{     }

C₂ , C₁ , C₃ . C.

_{     }

C₂ , C₃ , C₁ . D.

_{     }

C₁ , C₂ , C₃ .

Câu 40: Cho hàm số y f x( )x35x x21 . Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là?

A. 1 và 5 .

3 B. 4 và 4. C. 1 và 1. D. 4 và 148 . 27

Câu 41: Cho hàm số ( ) 1 4 2 1.

4 2

y f x  x x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực tiểu của hàm số là  2 và 2. B. Cực tiểu của hàm số là 0.

C. Cực tiểu của hàm số là 1 .
2

 D. Cực tiểu của hàm số là 3 .
2


Câu 42: Cho hàm số

2 ₅

( )

x
y f x



 

 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực đại của hàm số là 5. B. Cực đại của hàm số là 1.

C. Cực đại của hàm số là 10. D. Cực đại của hàm số là 2.

Câu 43: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm _f_

_{  }

_x _ _x_₁

_



_x2_₂



_x4_₄



_{. Số điểm cực trị của hàm số}

 

y f x là?

A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 1.

Câu 44: Cho hàm số 1 4 2 1
4x x 2

y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực đại của hàm số là 1
2

(66)

11 | VD_VDC
C. Cực đại của hàm số là  2 và 2 . D. Cực đại của hàm số là 3

 .

Câu 45: Cho hàm số y f x

_{ }

có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số y 2f x

_{ }

3 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 . B. 7 . C. 5. D. 9.

Câu 46: Điểm cực đại của hàm số 2

2 sin .

yx x

A. , .

x  k  k  B. 2 , .

x  k  k

C. 7 , .

x  k k D. 7 2 , .

x  k  k

Câu 47: Điểm cực đại của hàm số _y__x__{2 sin}2_x_.

A. , .

x  k  k  B. 2 , .

x  k  k

C. 7 , .

x  k k D. 7 2 , .

x  k  k
Câu 48: Gọi S_{là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số} 2

2 sin

yx x trên khoảng

_

0; 2018

_

.
Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 412271



. B. 2468491



. C. 412699



. D. 1221798



Câu 49: Cho hàm số _y__x3__ax2__bx__c _{có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị}

của hàm số f x

_{   }

 y 22 .y y 

A. 0 . B. 2. C. 3. D. 1.

(67)

12 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1
ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)

I. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số

Định lý 1: Nếu hàm số y f x

 

đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó nếu f x

 

có đạo hàm tại x0

thì f

 

x₀ 0.

+ Điều ngược lại có thể khơng đúng, tức có thể f

 

x₀ 0 nhưng hàm số f x

 

không đạt cực
trị tại x₀.

Chẳng hạn như hàm số yx y3, x5

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
Chẳng hạn như hàm số y x y,  x x



2



Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.

+ Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại x0 là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x0 hoặc hàm

số khơng có đạo hàm tại x₀.

+ Điều kiện đủ:

Định lý 2: Giả sử hàm số y f x

 

liên tục trên khoảng



a b;



chứa điểm x₀ và có đạo hàm
trên các khoảng



a x; ₀



và



x b₀;



. Khi đó:

(68)

13 | VD_VDC

+ Nếu f

 

x 0, x



a x; ₀



và f

 

x 0, x



x b₀;



thì hàm số f x

 

đạt cực đại tại điểm

x .

Nói một các khác:

II. Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số

Định lí 3: Giả sử hàm số y f x

 

có đạo hàm đến cấp hai tại x₀ và f

 

x₀ 0, f

 

x₀ 0

thì x₀ là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa,
+ Nếu f

 

x₀ 0 thì x₀ là điểm cực tiểu.
+ Nếu f

 

x₀ 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Trong trường hợp f

 

x₀ 0 thì chưa thể khẳng định được x₀ là điểm cực trị của hàm số hay
không.

Chứng minh

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng



a b;



chứa điểm x₀; f

 

x₀ 0 và f

 

x₀ 0. Khi
đó theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có:

 

0 0

0
0

0 0

lim lim 0

x x x x

f x f x f x

f x

x x x x

 

   

   

 

Do đó tồn tại h0 sao cho



x₀h x; ₀h







a b;



và

 

0
0

f x

x x




 với mọi



0 ; 0

  

\ 0

x x h x h x .

+ Vì x x ₀0, x



x₀h x; ₀



nên f

 

x 0, x



x₀h x; ₀



+ Vì x x ₀0, x



x x₀; ₀h



nên f

 

x 0, x



x x₀; ₀h



Vậy f

 

x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x₀. Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại x₀.

Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng



a b;



chứa điểm x₀, f

 

x₀ 0 nếu f

 

x₀ 0.
Hàm số f đạt cực trị tại x₀.

Tổng quát của định lí 3. Nếu hàm số f x

 

có đạo hàm đến cấp n tại điểm x0 và

 

 1

 

0 0 ... 0 0

(69)

14 | VD_VDC

+ n chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm x₀; cụ thể nếu f n

 

x₀ 0 hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x và nếu f n

 

x₀ 0 hàm số đạt cực đại tại điểm x₀.

Nếu f n

 

x₀ 0 chưa kết luận được x₀ có là điểm cực trị của hàm số hay không

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số y f x

 

. Đồ thị của hàm số y f

 

x như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y f x

 

có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Lời giải
Chọn B

Xét phương trình:

 

x a

f x x b

x c





  _ 

 


Khi đó ta có bảng xét dấu:

(70)

15 | VD_VDC

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.

Lời giải
Chọn D.

Ta có bảng biến thiên từ sự quan sát đồ thị hàm số y f x( )

Vậy hàm số y f x( )_cómột điểm cực trị.

Câu 3: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị của y f x( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x( )x_{có bao}

nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 .

Lời giải
Chọn A.

Ta đặt hàm số yg x( ) f x( )x, có g x( ) f x( ) 1 ;

số nghiệm của phương trình f x( ) 1 0  bằng số giao điểm của đường y f x( ) và y1.

Từ đồ thị ta thấy hai đường cắt nhau tại 2 điểm x 1, x2; tiếp xúc tại1 điểm x1, nên
( ) ( ) 1

   

(71)

16 | VD_VDC

Câu 4: Cho hàm số y f x( ). Đồ thị của hàm sốy f x'( ) như hình vẽ dưới. Hỏi hàm số y f x( )có

bao nhiêu điểm cực trị?.

A. 2 B. 3. C. 4. D. 5.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Đạo hàm đổi dấu khi qua các điểm x0,xx x₁, x₂ nên đồ thị hàm số y f x( ) có 3 điểm cực
trị

Câu 5: Cho hàm số y f x

_{ }

. Đồ thị của hàm số y f'

_{ }

x như hình vẽ bên.

Hỏi điểm cực đại của hàm số y f x

_{ }

x là?

A. x1. B. x0. C. x2. D. x 1.

(72)

17 | VD_VDC

Xét hàm số y f x

_{ }

x có y' f '

_{ }

x 1
Từ đồ thị ta thấy

 

' 0 ' 1

 



  _{  }




y f x

 

' 0 ' 1

 


  _{  }




y f x

 

'0 '    1 1 2

y f x x

Vậy hàm số đạt cực đại tại x 1

Câu 6: Cho hàm số y f x

_{ }

. Đồ thị của hàm số y f'

_{ }

x như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y2f x

  

 x1



2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4. B. 2. C. 3 . D. 0 .

Lời giải
Chọn C.

(73)

18 | VD_VDC

Từ đồ thị ta thấy:

 





' 0 ' 1





     _{ }

 


y f x x

 





' 0 ' 1

1 3

 


     _{ }

 


y f x x

 





3 1

' 0 ' 1

  


     _{ }




y f x x

Ta thấy hàm số có đạo hàm đổi dấu ba lần khi qua các nghiệm nên hàm số có ba cực trị.

Câu 7: Cho hàm số y f x

_{ }

. Đồ thị của hàm số y f'

_{ }

x như hình vẽ bên.

Đồ thị của hàm số y f x

_{ }

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.

Lời giải
Chọn C.

Từ đồ thị hàm số ta thấy f '

_{ }

x   0 x R; f '

_{ }

x 0 x 1. Vậy hàm số y f x

_{ }

đồng
biến trên Rdo đó hàm số khơng có cực trị.

(74)

19 | VD_VDC

Đồ thị của hàm số y3 ( ) 7f x  x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .

Lời giải
Chọn C.

Ta có y3f x( ) 7 .

Xét phương trình 0 ( ) 7
3

y  f x 

Từ đồ thị hàm số y f x( ), ta thấy phương trình ( ) 7
3

f x  có 2 nghiệm xx₀0và x2.

 Bảng biến thiên của hàm số y3 ( ) 7f x  x:

Vậy đồ thị hàm số y3 ( ) 7f x  x có đúng 1 điểm cực trị.

Câu 9: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu x₀ là nghiệm của phương trình f x( )0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số.

B. Nếu hàm số ( )f x đạt cực trị tại x₀ thì hàm số có đạo hàm tại x₀.

C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số khơng tồn tại đạo hàm.

D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x₀ thì f x( ₀)0.

Lời giải
Chọn C.

- Mệnh đề A sai.

Xét hàm số yx3y3x2

(75)

20 | VD_VDC

- Mệnh đề B, D sai. Xét hàm số y x

Hàm số đạt cực tiểu tại x0 nhưng hàm số khơng có đạo hàm tại x0.

Câu 10: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( ) xác định trên . Đồ thị hàm số y f x( ) như hình
vẽ dướ đây:

Hỏi hàm số 2

( )

y f x có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.

C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.

Lời giải
Chọn B.

Từ đồ thị hàm số y f x( ), ta thấy:
0

( ) 0 1
3

f x x






  _ 

 




 



( ) 0 ; 0 3;

f x   x   



 



( ) 0 0;1 1;3

f x   x  .
Ta có _y__



_{f x}₍ 2₎



 __{2 . (}_{x f x}_ 2₎

0
0

0 1

( ) 0

x
x

y x

f x

 


 

  _ _  

 

 _{  }





 



2
2

2
0

( ) 0 ; 3 3;

3
x

f x x

 

  _     




(76)

21 | VD_VDC

Vậy hàm số _y_ _{f x}₍ 2₎_{có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.}
Câu 11: Cho hàm số y f(x). Đồ thị hàm số y f'(x) như hình vẽ

x
y

-1 ₂

-1
1

O 1

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y f(x) x là:

A. x1 B. x0 C. x2 D. x 1

Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta có: y f(x) x  y' f'(x) 1

Đồ thị hàm số:y f'(x) cắt đường thẳng y1 tại 3 điểm trong đó có 1 điểm tiếp xúc nên
phương trình y' f'(x) 1 0  có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép.

Dấu của 'y

Vậy điểm cực tiểu của hàm số y f(x) x là:x2

Câu 12: Cho hàm số 3

y x  x. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Cực đại của hàm số là 2 B. Cực đại của hàm số là -1

C. Cực đại của hàm số là -2 D. Cực đại của hàm số là 1

Hướng dẫn giải
Chọn A

Ta có: ' 3 2 3 0 1
1
x

y x

 

   _{ }

(77)

22 | VD_VDC

BBT:

Câu 13: Cho hàm số y f(x) có f'(x)x (x 2)2  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số y f(x) là:

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0

Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta có: '(x) x (x 2)2 0 2
0
x

  

   _{ }




(x0 là nghiệm kép)
Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Câu 14: Cho hàm số y f x( ) có _{f x}__{( )}__x2

_

_x_₁

_

_x_₂

_

_{. Hỏi số điểm cực trị của hàm số}_y_ _{f x}_{( )}_là

bao nhiêu ?

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .

Lời giải
Chọn A.

Ta thấy 2

_

_

_

( ) 1 2

   

f x x x x có nghiệm đơn là 2 và 1, nghiệm kép là 0 nên







( ) 1 2

   

f x x x x đổi dấu qua hai nghiệm đơn. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 15: Cho hàm số y f x( ) có f x( )x2



x3



2. Hỏi số điểm cực trị của hàm số y f x( ) là bao
nhiêu ?

A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .

Lời giải
Chọn D.

Ta thấy f x( )x2

_

x3

_

2 có 2 nghiệm kép là 0 và 3 nên f x( )x2

_

x3

_

2 khơng đổi dấu
qua hai nghiệm đó. Vậy hàm số khơng có cực trị.

Câu 16: Cực đại của hàm số yx33x2 là

A. 1. B. 1. C. 4. D. 0 .

Lời giải
Chọn C.

+ Có y 3x23, nghiệm của y 3x23 là x 1.

+ y 6x, suy ra y 

_{ }

1  6, hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại là y

_{ }

1 4.

(78)

23 | VD_VDC

A. ,

4 2

x k k B. 3 ,
4

x  k k

C. ,

x k k D. 3 ,
4 2

x  k k
Lời giải
Chọn C

2sin 2 ' 4 cos 2 0 ,
4 2

y x y  x x k k

Mà '' 8sin 2 '' 8sin 0 2 ,
4 2 2

y   xy _ k _  _ k_ khi k  l l

   



Vậy ,
4

x k k là các điểm cực đại của hàm số.

Câu 18: Các điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số y2 sin 2x

A. ,

4 2

x k k B. 3 ,
4

x  k k

C. ,

x k k D. 3 ,

4 2

x  k k
Lời giải
Chọn B

2sin 2 ' 4 cos 2 0 ,
4 2

y x y  x x k k

Mà '' 8sin 2 '' 8sin 0 2 1,
4 2 2

y   xy _ k _  _ k_ khi k l l

   



Vậy 3 ,
4

x  k k là các điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 19: Cho hàm số 1 3 2 ₃ 4

3 3

y x x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Chực tiểu của hàm số là 3 . B. Chực tiểu của hàm số là 1 .

C. Cực tiểu của hàm số là 23
3

 . D. Cực tiểu của hàm số là 9.

Lời giải
Chọn C

Ta có: 3 2 2

1 3

1 4

3 ' 2 3 0 ₂₃

3 3 3

x y

y x x x y x x

x y

   





          _

    


(79)

24 | VD_VDC

Vậy Cực tiểu của hàm số là 23
3



Câu 20: Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x₀ thuộc khoảng ( ; ).a b

Xét các mệnh đề sau:

I. Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )₀ 0.

II. Nếu f x( ) f x( ),₀  x ( ; )a b thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f x( ).

III. Nếu f x( ) f x( ),₀  x ( ; )\{ }a b x₀ thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f x( ).

IV. Nếu x₀ là điểm cực đại của hàm số f x( ) thì f"( )x₀ 0.

Số mệnh đề đúng là?

A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Câu 21: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và điểm x₀ thuộc khoảng ( ; ).a b Xét các
mệnh đề sau:

(1) Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )₀ 0.

(2) Nếu f x'( )₀ 0 thì x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ).

(3) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x₀) và f x'( )  0, x ( ; )x b₀ thì x₀ là điểm cực đại của hàm số

( ).

f x

(4) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x₀) và f x'( )  0, x ( ; )x b₀ thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số

( ).

f x

(5) Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm

0 0

( ; ( ))x f x song song hoặc trùng với trục hoành.

Số mệnh đề đúng là?

A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x₀, f x'( )₀ 0và hàm số f(x) có đạo
hàm cấp 2 tại điểm x₀.

Xét các mệnh đề sau:

(80)

25 | VD_VDC

(6) Nếu f"( )x 0thì f x( )₀ là cực tiểu của hàm số f(x).
Số mệnh đề đúng là?

A. 6 B. 4 C. 5 D. 2

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là 1,2,5,6

Câu 23: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x₀ thuộc khoảng (a,b).

 

x₀ thì f x( )₀ là cực đại của hàm số f(x).

(4) Nếu f x( ₀)f(x), x ( , ) \a b

 

x₀ thì f x( )₀ là cực tiểu của hàm số f(x).

Số mệnh đề đúng là?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4

Hướng dẫn giải:

Các mệnh đề đúng là 1,2,3,4

Câu 24: Cho hàm số y f x( ). Đồ thị của hàm số y f x'( )như hình vẽ bên

Đồ thị của hàm số y2 ( )f x x2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số g(x)= 2

(81)

26 | VD_VDC

'( ) 2 '( ) 2 x 0

g x  f x   x f x'( )x 2hoặc 2x4(quan sát đồ thị)
BBT

Từ bbt ta có đt hàm số y= g(x) có 3 điểm cực trị

Câu 25: Cho hàm số y f x

_{ }

xác định và có đạo hàm f

_{ }

x . Đồ thị của hàm số f

_{ }

x như hình dưới
đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

; 2

_

B. Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

 ; 1

_

C. Hàm số y f x

_{ }

có ba điểm cực trị.

D. Hàm số y f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng

_

0;1 .

_

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có bảng biến thiên

A, B, D sai, C đúng.

Câu 26: Đồ thị hàm số 3 2

3 9 1

   

y x x x có hai điểm cực trị là A và B. Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB?

A. P

_

1; 0

_

. B. M

_

0; 1

_

. C. N

_

1; 10

_

. D. Q

_

1;10

_

Hướng dẫn giải
Chọn C.

3 ₃ 2 ₉ ₁ _ ₃ 2 ₆ ₉

       

y x x x y x x

Lấy y chia cho y. Ta có: . 1 1 8 2
3 3

 



 _  _ 

 

y y x x

Vậy đường thẳng AB có phương trình là y 8x2.
Thay tọa độ các điểm trong đáp án vào thì N

_

1; 10

_

thỏa.

Câu 27: Đồ thị hàm số 3 2

3 5

   

y x x có hai điểm cực trị là A và B. Tính diện tích S của tam giác

(82)

27 | VD_VDC

A. S9. B. 10



S . C. S5. D. S10.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

3 2 2

3 5  3 6

       

y x x y x x

0
0  ₂

   _



y _x

Khi đó ta có 2 điểm cực trị A

_

0;5 ;

_

_

2;9

_

. Ta có OA5; d B OA

_

;

_

d B Oy

_

;

_

 x_B 2
Diện tích tam giác OAB là 1 .

_

;

_

1.5.2 5

2 2

  

S OA d B Oy .

Câu 28: Đồ thị của hàm số _y__x3_₃_x_₂_{có 2 điểm cực trị}

A, B. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AB.

A. M

_

0; 2

_

. B. M

_

2; 0

_

. C. M

_

1; 0

_

. D. M

_

2; 4

_

Lời giải
Chọn A

TXĐ: D.

3 3 0 1

y  x    x  .

Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị là A

_

1; 4

_

và B

_

1; 0

_

. Vậy M

_

0; 2

_

Câu 29: Đồ thị hàm số 3 2

6 9 1

yx  x  x có 2 điểm cực trị A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. AB 5. B. AB4 2. C. AB2 2. D. AB2 5.

Lời giải
Chọn D

TXĐ: D.

2 1

3 12 9 0

3
x

y x x




   _{   }




. Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị là A

_

1;3

_

và B

_

3; 1

_

.
Vậy AB2 5.

Câu 30: Đồ thị hàm số

2 ₅

x
y




 có hai điểm cực trị A, B. Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A, B

là?

A. y2x. B. y 2x. C. 2yx. D. 2y x.

Lời giải
Chọn A

TXĐ: D.

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là









5
2
2

y x




 




Câu 31: Đồ thị hàm số

x x
y

 


 có hai điểm cực trị A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB5. B. AB2 5. C. AB2 15. D. AB2 13.

(83)

28 | VD_VDC

Ta có















2 1 2 1
2

x x x x

    

 







4 1

x x

 




.
0

y  2

4 1 0

x x

    2 3

2 3

x
x

   
 

  


3 2 3
3 2 3

y
y

   
 

  


Suy ra AB



2 3

 

2 4 3



2 2 15.

Câu 32: Đồ thị hàm số _y__x4_₈_x2_₂_{có ba điểm cực trị} _A_, _B_,_C_{. Gọi}_S_{là diện tích tam giác}

ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. S 4 2. B. S16. C. S 8 2. D. S32.

Lời giải
Chọn D.

Ta có _y_{ }₄_x3_₁₆_x_₀ 0
2
x
x



  _{ }







0; 2
A

 , B



 2; 14



, C



2; 14



và M



0; 14



là

trung điểm của BC.

Ta có AM 16, BC4 suy ra 1 .

S  AM BC 1.4.16 32
2

  .

Câu 33: Đồ thị hàm số y 2x44x23 có ba điểm cực trị A, B, C. Gọi R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 5

R . B. 5

R . C. 5

R . D. 5

R .

Lời giải
Chọn B.

Ta có _y ₈_x3 ₈_x ₀

     0

1
x
x



  _{ }







0;3
A

 , B



1;5



, C



1;5



và M



0;5



.
Ta có ABAC 1222  5, BC2 và AM 2.

Suy ra 1 . . .
2 4

AB AC BC

S AM BC

  .

AC AB
R

  5. 5 5

2.2 4

  .

Câu 34: Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?

(84)

29 | VD_VDC
Chọn B.

Câu 35: Cực đại của hàm số _y__x3_₅_x_ _x2_₁

A. 1. B. 5.

3 C. 4. D.
148
27



Hướng dẫn giải
Chọn C.





2 . 1
' 3 5

x x

y x



  







2 1
' 0 3 5

x x

y x



   

 (1)

Nếu x 1 thì (1) 2

1
3 5 2 ₅

x x

 



   

 


Nếu x 1 thì (1) 2

1
3 5 2 ₅

x x






     _

 


(loại)
Lập bảng biến thiên ta thấy cực đại của hàm số là y

 

1 4.

Câu 36: Cho hàm số y f x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x

 

có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Câu 37: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên Rvà có bảng xét dấu như hình vẽ

Hỏi hàm số y f x

_{ }

có bao nhiêu điểm cực đại.

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.

Lời giải

Chọn A.

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 2 nên hàm số đạt cực đại tại x 2.

(85)

30 | VD_VDC

A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 9 .

Lời giải

Chọn C.

Ta có g x'

_{ }

2f x f

_{ }

. '

_{ }

x ;

 

1 1

0
0

' 0 1

' 0

2
3

x x

x
f x

g x x

f x

x
x

   
 _




 



    




 _


 


Bảng xét dấu

x  x1 1 0 2 3 

 

g x _ 0 + 0  0 + 0  0 +

Vậy hàm số g x

 

_{ }f x

 

_2 có 5 điểm cực trị.

Câu 39: Cho 3 đường cong

_{     }

C₁ , C₂ , C₃ là đồ thị của các hàm số y f x

_{ }

, y f'

_{ }

x , y f"

_{ }

x .
Hỏi đồ thị các hàm số y f x

_{ }

, y f '

_{ }

x , y f"

_{ }

x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào?

  

C₃ , C₂

  

, C₁ . B.

     

C₂ , C₁ , C₃ . C.

     

C₂ , C₃ , C₁ . D.

     

C₁ , C₂ , C₃ .

Lời giải

(86)

31 | VD_VDC
+ Nhận xét: Nếu đồ thì hàm số yg x'

_{ }

cắt Oxtại điểm có hồnh độ x₀, và g x'

_{ }

đổi dấu
khi qua x₀ thì hàm số yg x

_{ }

đạt cực trị tại x₀.



C₂



đạt cực trị tại các điểm đồng thời là hoành độ giao điểm của

 

C₁ và Ox.
+

_{ }

C₁ đạt cực trị tại các điểm đồng thời là hoành độ giao điểm của

_{ }

C₃ và Ox.

Vậy đồ thị các hàm số y f x

_{ }

, y f '

_{ }

x , y f"

_{ }

x theo thứ tự, lần lượt tương ứng là



    

, C1 , C3 .

Câu 40: Cho hàm số y f x( )x35x x21 . Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là?

A. 1 và 5 .

3 B. 4 và 4. C. 1 và 1. D. 4 và 148 .27
Hướng dẫn giải

Chọn D.

+ Tập xác định 
+



 







3 2

5 ( 1) ; 1 1;

( )

5 1 1;1

x x x

f x

x x x

 _ _ _ _{   } _


 

 _ _ _ _{ }



nếu x
nếu x

-Xét tại x1, ta có:

3 2

1 1

( ) (1) 5 ( 1)

lim lim

1 1

x x

f x f x x x

x x

 

   

  

  Hàm số khơng có đạo hàm tại x1

-Xét tại x 1, ta có:

3 2

( 1) ( 1)

( ) ( 1) ₅ ₁

lim lim

1 1

x x

f x f _x _x _x

x x

     

  _ _ _

  

  Hàm số khơng có đạo hàm tại x 1

-Tại mọi x\



1;1



thì



 







2
/

3 2 5 ; 1 1;

( ) .

3 2 5 1;1

x x

f x

x x

 _ _ _{  } _ _


 

    



neáu x
neáu x

+ f/( )x 0x5₃.
+ Xét dấu f/( )x

(87)

32 | VD_VDC

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực đại là 4 và và giá trị cực tiểu là 148 .
27



Câu 41: Cho hàm số ( ) 1 4 2 1.

4 2

y f x  x x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực tiểu của hàm số là  2 và 2. B. Cực tiểu của hàm số là 0.

C. Cực tiểu của hàm số là 1 .
2

 D. Cực tiểu của hàm số là 3 .
2


Hướng dẫn giải

Chọn D.

+ Tập xác định 

+ Hàm số có đạo hàm trên  và f/( )x x32 .x

( ) 0 2

2
x

f x x





 _ 

 _{ }


+ Hàm số có đạo hàm cấp hai trên  và f/ /( )x 3x22.

/ /

(0) 2 0

f    Hàm số đạt cực đại tại x0, giá trị cực đại là (0) 1.

f  

/ /₍ ₂₎ ₄ ₀

f    Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  2, giá trị cực tiểu ( 2) 3.
2

f   

Vậy hàm số đã cho chỉ có duy nhất một giá trị cực tiểu là 3 .
2



Câu 42: Cho hàm số

5
( )

x
y f x



 

 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực đại của hàm số là 5. B. Cực đại của hàm số là 1.

C. Cực đại của hàm số là 10. D. Cực đại của hàm số là 2.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

+ Tập xác định \

 

2

+ Hàm số có đạo hàm tại mọi x 2 và

2
/

4 5

( )

( 2)

x x

f x

 

(88)

33 | VD_VDC

/ 1

( ) 0

5
x

f x



 _{ }

 


+ Hàm số có đạo hàm cấp hai tại mọi x 2 và //( ) 18 ₃.

( 2)

f x




/ / 2

(1) 0
3

f   Hàm số đạt cực tiểu tại x1, giá trị cực tiểu là (1)f 2.

/ /_{( 5)} 2 ₀

f     Hàm số đạt cực đại tại x 5, giá trị cực đại là ( 5)f   10.
Vậy hàm số đã cho chỉ có duy nhất một giá trị cực đại là 10.

Câu 43: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm _f_

_{  }

_x _ _x_₁

_



_x2_₂



_x4_₄



_{. Số điểm cực trị của hàm số}

 

y f x là?

A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có

_{  }

_



 

2 2



1 2 2

f x  x x  x  .
Khi đó f

_{ }

x chỉ đổi dấu khi đi qua x1.
Do đó hàm só đã cho có 1 cực trị.

Câu 44: Cho hàm số 1 4 2 1

4x x 2

y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Cực đại của hàm số là 1

 . B. Cực đại của hàm số là 0 .

C. Cực đại của hàm số là  2 và 2 . D.Cực đại của hàm số là 3
2

 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có _y _x3 ₂_x

   .

0
2 0 2

2
0

x
x

y x x





  _ 

 _{ }



   .

(89)

34 | VD_VDC

Vậy cực đại của hàm số là 1
2

 .

Câu 45: Cho hàm số y f x

_{ }

có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số y 2f x

_{ }

3 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4 . B. 7 . C. 5. D. 9.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Số điểm cực trị của hàm số y 2f x

_{ }

3 bằng số điểm cực trị của hàm số

_{ }

y f x  .
Đồ thị của hàm số

_{ }

y f x  C được suy ra từ đồ thị ban đầu bằng cách tịnh tiến theo trục

Oy xuống dưới 3

2 đơn vị.
Đồ thị hàm số

_{ }

y f x  được suy ra từ

_{ }

C bằng cách giữ nguyên phần của

_{ }

C bên trên
trục hoành; lấy đối xứng qua Ox phần của

_{ }

C dưới trục Ox.

Dựa vào đồ thị suy ra số điểm cực trị là 7.

Câu 46: Điểm cực đại của hàm số _y__x__{2 sin}2_x_.

A. , .

x  k  k  B. 2 , .

x  k  k

C. 7 , .

x  k k D. 7 2 , .

x  k  k
Hướng dẫn giải

Chọn A.

TXĐ: D.
' 1 2.2.cos .sin

(90)

35 | VD_VDC

1 12

' 0 sin 2 ,

7
2

x k

y x k

x k





  

      
  



" 4 cos 2

y  x

Ta có: " 2 3 0
12

y _ k_ 

  , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 12 k ,k .




    

" 2 3 0
12

y _  k_  

 

, suy ra hàm số đạt cực đại tại 7 , .
12

x  k  k 

Câu 47: Điểm cực đại của hàm số 2

2 sin .

yx x

A. , .

x  k  k  B. 2 , .

x  k  k

C. 7 , .

x  k k D. 7 2 , .

x  k  k
Hướng dẫn giải

Chọn C.

TXĐ: D.
' 1 2.2.cos .sin

y   x x

1 12

' 0 sin 2 ,

7
2

x k

y x k

x k





  

      
  



" 4 cos 2

y  x

Ta có: " 2 3 0
12

y _ k_ 

  , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 12 k ,k .




    

" 2 3 0
12

y _  k_  

 

, suy ra hàm số đạt cực đại tại 7 , .
12

x  k  k 

Câu 48: Gọi S_{là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số} _y__x__{2 sin}2_x_{trên khoảng}



0; 2018 .



Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 412271



. B. 2468491



. C. 412699



. D. 1221798



Hướng dẫn giải
Chọn A.

(91)

36 | VD_VDC

4 cos 2

y  x

Do 4 cos 2 2 3 0

12 6

y _



k



_ _



k



_ 

   

7 7

4 cos 2 2 3 0

12 6

y_



k



_ _



k



_  

    nên hàm số đạt cực đại tại

7
12

x  k.
Mà

_

0; 2018

_

0 7 2018 0 641

x    k   k

Ta có các phần tử của tập S_là7 ;19 ;...;7699
12 12 12

  

, các phần tử này lập thành một cấp số cộng
có 642 số hạng với số hạng đầu 7



và cơng sai d .
Do đó tổng của các phần tử tập S bằng

642 2. 641.

412271
12

2 2



 



 

 

  .

Câu 49: Cho hàm số 3 2

yx ax bxc có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị
của hàm số f x

_{   }

 y 22 .y y 

A. 0 . B. 2. C. 3. D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có _f_

_{ }

_x __{2 .}_{y y}_{ }__{2 .}_{y y}_{ }__{2 .}_{y y}__{ }₁₂_y_{ }₁₂



_x3__ax2__bx__c



Hàm số _y__x3__ax2__bx__c _{có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt nên phương trình}

3 2

x ax bx c có ba nghiệm đơn phân biệt.

(92)

1 | VD_VDC

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2 9x15. Viết
phương trình của đường thẳng .

A. :y8x12.. B. :y 8x12.. C. :y12x8.. D. :y12x8..

Câu 2. Tìm điều kiện của tham số ,a m sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số









3 2

2 3 1 6 2 1

y x  m x  m x song song với đường thẳng d y: ax.

A. m 2 a a



0 .



. B. m 3 a a



0 .



C. m  3 a a



0 .



. D. m2 a a



0 .



Câu 3. Cho hàm số 3 2

_

_

yax bx cxd a có đồ thị

_{ }

C . Biết b2 3ac0, tìm phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

_{ }

C .

A. y 2 .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

  . B.

y .

3 3 9

b bc

c x d

a a
 
 _  _  
 
.
C.
2
2
y .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

 

. D. y 2 .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

  .

Câu 4. Cho hàm số _y__ax3 __bx2__cx__{d b}_,



2_₃_ac_₀



_{có đồ thị}

 

C . Biết đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 9ad bc.. B. 9cab.. C. cd 3ab.. D. ad 9bc..

Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số a m, sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số 3

_

_

_

_

2 3 1 6 1 2

y x  m x  m  m x vng góc với đường thẳng yax.

A. 1 1 1





m a
a
 
 _  _ 
 

. B. 1 1 1





3
m a
a
 
 _  _ 

 
.

C. 1 1 1





2
m a
a
 
 _  _ 
 

. D. 1 1 1





2
m a

a
 
 _  _ 

 
.

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3

3 4

yx  mx  m có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.

A. 1

m  . B. 1

m  . C. 1

m  . D. m 1.

Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số _y__x3_₂_mx2_



_m2_₁



_x_₁_{ln có hai cực trị}
1, 2

x x . Tính giá trị
biểu thức

 

1 2

f x f x

x x




 .

A. 2





3 2 3

k  m  m . B. 2





3 2 3

k  m  m .





2 3

k    . D.





2 3

(93)

2 | VD_VDC

Câu 8. Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x5. Tính bán kính R của đường tròn
ngoại tiếp tam giác OAB.

A. R5. B. R 5. C. R10. D. R2 5.

Câu 9. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x26x8. Viết
phương trình của .

A. :y 6x6. B. :y6x6. C. :y 6x6. D. :y6x6.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y2x33



m1



x26m



1 2 m x



là đường thẳng y 4x.

A. m0. B. m1. C. 1

m . D. 1

m  .

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số yx3mx27x3 vng góc với đường thẳng 9 1

y x .

A. m 1. B. m 6. C. m 12. D. m 10.

Câu 12. Kí hiệu d_min là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2

1
3

y x mx  x m . Tìm dmin.

A. _min 2

d  . B. _min 4 13

d  . C. _min 4

d  . D. _min 2 13

d  .

Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3 3 2

yx  x m nằm khác phía đối với đường thẳng yx.

A. m0. B. m0. C. m0. D. 0m2.

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số msao cho hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2 2

yx  x m x m đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5

2 2

y x

A. m 1. B. m0. C. m1. D. 1

m .

Câu 15. Với mọi m1, đồ thị hàm số ymx33mx2(2m1)x 3 m ln có hai điểm cực trị và
gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà  đi qua.

A. 1; 3
2
K_  _

 . B.

1
3;

2
K_  _

 . C.

1
;3
2
K_ _

 . D.

1
3;

2
K_ _

 .

Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị A B, của đồ thị hàm
sốy  x3- 3mx2 4m3 cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

A. m 2. . B. m 3. . C. m 4. . D. m  1..

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số 3

_

_





- 3 -1 2 - 3 2

-y  x m x  m m x m  m có hệ số góc bằng 2

3


(94)

3 | VD_VDC

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 3 2 4 3

-27

y  x mx  m có hai

điểm cực trị A B, cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp
(1; 2)

I .

A. 0m12.. B. m 6. C. m3.. D. m12..

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x4- 2mx22m m 4 có ba cực

trị tạo thành một tam giác đều.

A. m33.. B. m2. . C. _m_ 3_2._. _D._m__3._.
Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số 4 2

_

_

y ax bx c a có ba điểm cực ,A B và C, khi đó tìm tung độ
của điểm G là trọng tâm ABC

A.
2
6
G
b
y c
a

  . B.

2
12
G
b
y c
a

  . C.

6
G
b
y c
a

  . D.

2
12
G
b
y c
a
  .

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4mx2m m 4 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 0

120 .

A. ₃1

m  . B. m 33. C. ₃2
3

m  . D. ₃4

3
m  .

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22m4m có ba
điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

A. m1. B. m2. C. 1

m . D. m3.

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị thàm số yx4mx21 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

A. m 1. B. m 2. C. m1. D. m2.

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2(m1)x2 3m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

A. m0. B. 1

m  . C. m1. D. 1

2
m .

Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2
1
2
x x
y
x
 



A. y2x1. B. y 2x1. C. y 2x1. D. y2x1.

Câu 26. Biết rằng hàm số

1
x mx n
y

 



 có hai điểm cực trị x x1; 2. Viết phương trình đườngthẳng đi

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

A. ymxn. B.

y xn. C. y mxn. D.

y xn.

Câu 27. Biết rằng hàm số

2
)

2
( x x m
f x

 



 có hai điểm cực trịx x1; 2. Tính

 

1 2

f x f x

x x






A. 1

k  . B. k 1. C. 1

(95)

4 | VD_VDC

Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a



0



có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của
đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó.

1 8

b
R

a b

  . B.

1 8

b
R

a b

  . C.

1 8

b
R

a b

  . D.

1 8

b
R

a b

  .

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ymx42



m1



x21

có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy và thỏa mãn OABC.

A. 3

m . B. 4

m  . C. 3

m  . D. 4

m .

Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a c



, 0



có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy
và thỏa mãn OB AC. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

A. b2 2ac. B. b24ac. C. b2 2ac. D. b2  4ac.

Câu 31. . Tìm tất cả các tham số m sao cho đồ thị hàm số yx4



2m3



x2m1 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

A. _m_{ }_{2 3.}3 _. _B._m 3 3_3.

  . C. _m_3_3._. _D._m_{ }3_3._.

Câu 32. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx42mx22m m 4 có ba điểm cực trijlaf ba
đỉnh của một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1

A. 2. . B. 3. . C. 0. . D. 1..

Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số _y__x3_₃_mx2_₃



_m2_₁



_x__m3__m_có

hai điểm cực trị cùng với điểm I

 

1;1 tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính

5.
R

A. m 3;1 .
5

 

 _ _

 . B.

3
m 1; .

 

 _ _

  . C.

3
m ;1 .

 

  

  . D.

3
m 1; .

 

  _ _

  .

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 1

mx x m

  



 vng góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

A. m 1. . B. m 1.
2

 . C. m 1.. D. m 1.

  .

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx2m3 có hai điểm cực

trị cùng với điểm 1;7

C_ _

 

tạo thành một tam giác cân tại C.

A. m 1. B. 1

m . C. m 1. D. 1

m  .

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 4

_

_

2 1 3

y x  m x m có ba
điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

A. 1

(96)

5 | VD_VDC

Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx32mx2m3 có hai điểm cực
trị A và B sao cho góc AOB120.

A. ₂4 27

m  . B. 6 3

m  . C. 2 3

m  . D. 12

m  .

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3
3 9 2 27

2 2

m m

yx  x  có hai điểm

cực trị A và B cùng với gốc tọa độ O là ba đỉnh của một tam giác vuông.

A. Với mọi m. B. m3. C. m9. D. m0.

Câu 39. Biết đồ thị hàm số yx46x24x6 có ba điểm cực trị , ,A B C. Hỏi ba điểm cực trị của
đồ thị hàm số thuộc đường cong nào dưới đây?

A. _y__₃



_x2_{ }_x ₂



_. _B. 3

1 4
4 2x
y x   .





3 x

y x   . D. y4x312x4.

Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 22m1 có ba điểm cực trị
là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm H

 

0;1 là:

A. m1. B. m0.

C. 2





1m m  2m 0. D. 2





1m m  2m 0.

Câu 41. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





4 2

4 2 1

yx  m x  m có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
120.

24
1 1

m  . B.

16
1 1

m  . C.

48
1 1

m  . D.

1
2
1

m  .

Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số





3 2 2

3x mx

y   m  x có hai điểm cực trị ,A B sao cho ,A B nằm khác phía và cách đều
đường thẳng y5x9. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 0 . B. 6 . C. 6. D. 3.

Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





_

_

3 2 2

1 1

2 1 1

3 2

y x  m x  m m x có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng 2. Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên.

A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .

Câu 44. Cho hàm số 1 3 2



2 ₁



₁

y  x mx  m  x có đồ thị là



C_m



. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm





A a b sao cho A là điểm cực đại



C_m



tương ứng với mm₁ và A là điểm cực tiểu ứng với

mm . Tính ab

A. S 1. B. S 1. C. S  2. D. S 3.

Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

3 2 3

3 4

yx  mx  m có hai điểm cực trị , A B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng

2 1 0

(97)

6 | VD_VDC

A. 0 . B. 1

 . C. 1. D. 1

Câu 46. Cho điểm C



5;9 .



Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 2 2

1
3

y x mx  m  x có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC cân tại C. Tính
tổng tất cả các phần tử của S.

A. 0. . B. 9.

2 . C.

15
.
2

 . D. 15.

2 .

Câu 47. Cho



C_m



là đồ thị của hàm số yx33mx1 (với m0 là tham số thực). Gọi d là đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của



C_m



. Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I



1;0



bán kính

R tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích
tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0 .

Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

3 2 2 3

3 3( 1)

yx  mx  m  x m m có hai điểm cực trị ,A B sao cho OA 2.

OB Tính tổng tất

cả các phần tử của S.

A. 6. B. 6 . C. 3. D. 0 .

Câu 49. Biết đồ thị của hàm số yx3bx2cx d có hai điểm cực trị và gốc tọa độ nằm trên đường
thẳng đi qua hai điểm này. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Sbcdbc3d.

A. 4. B. 6. C.

4

. D. 6 .

Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ₂ 4 ₂ 2 3

y x  mx 

có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần
tử của S.

A. 2 2 3 . B.  2 3. C.



1

. D. 0 .

Câu 51. [2D1-3] Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn



0; 2017



để đồ thị hàm số













3 2

2 1 3 2 2

yx  m x  m x m có hai điểm cực trị A B, nằm về hai phía của trục
hoành?

A. 2014 . B. 2015 . C. 2013. D. 2012.

Câu 52. [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ymx33x

có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC đều với C



2;1



. Tính tổng tất cả các phần tử
của S.

A. 0 . B.

4

3

. C.

3. D. 3.

Câu 53. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx3mx24m3 có 2
điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.

A. m0. B.

m



1

. C.

4 4

1 1

;

2 2

(98)

7 | VD_VDC

Câu 54. [2D2-3] Tìm tất của các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số yx42mx2 có 3
điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.

A. m1. B.

0 

m



1

. C. 3

0m 4. D. m0.

Câu 55. Ta có y 4x34mx_₄_{x x}



2__m



_{Tìm tất cả các giá trị thực của tham số}

m để đồ thị hàm số

4 2

yx  mx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2 1

A. m1. B. m2 22. C. m 2. D. m 2 1 .

Câu 56. Cho hàm số y3x46x22, có đồ thị

 

C . Gọi A là điểm cực đại của

 

C ; ,B C là điểm
cực tiểu của

 

C . Gọi d là đường thẳng đi qua A và S là tổng khoảng cách từ ,B C đến d.
Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S.

A. 4 4 5
5

 . B. 6 3 10

 . C. 4 4 5 . D. 2 2.

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx4



3m1



x23 có ba điểm cực

trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2

3 độ dài cạnh bên.

A. 5

m  . B. 3

m  . C. 5

m . D. 3

5
m .

Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33x22 có hai điểm cực
trị nằm về hai phía của đường tròn



C_m



:x2y22mx4my5m2 1 0

A. 1 5

3
m

  . B. 1 5

3
m

   . C. 3 1

5m . D.
3

1
5 m

   .

Câu 59. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số yx33mx26m3 tạo với trục hồnh góc 45.

A. m 1;m1. B. 1 ; 1

2 2

m  m . C. m 1. D. 1

m  .

Câu 60. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

4 2

2 4

y x  mx  có các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.

_

;0

_{  }

 2 . B.

_

;0

_



_{ }

2 . C.

_

2; 2

_

. D.

_{ }

2 .

(99)

8 | VD_VDC

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019

CHUN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2 9x15. Viết
phương trình của đường thẳng .

A. :y8x12. B. :y 8x12. C. :y12x8. D. :y12x8.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có:

3 2

3 9 15.
y' 3 6 9.

1
' 0

y x x x

x x

x
y

   

  

 


 _{ }




Đồ thị có 2 điểm cực trị là A

_

1; 20 ,

_

_

3; 12 .

_

Gọi phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là yaxb. Ta có:

3 12 8

20 12

a b a

a b b

    

 



 

   

 

Vậy phương trình của đường thẳng  là y 8x12..

Câu 2. Tìm điều kiện của tham số a m, sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số









3 2

2 3 1 6 2 1

y x  m x  m x song song với đường thẳng d y: ax.

A. m 2 a a



0 .



B. m 3 a a



0 .



C. m  3 a a



0 .



D. m2 a a



0 .



(100)

9 | VD_VDC
Ta có phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị có dạng là:

y .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

 

Suy ra





6 9 3 3.

y m  m x m  m

Vì đường thẳng  song song song với đường thẳng d y: axnên:

6 9

3 3 0

6 9 0.

m m a

m m

m m a

   


   


    
.
a
  

Với a0 thì m  3 a.

Câu 3. Cho hàm số _y__ax3 __bx2__cx__{d a}

_

_₀

_

_{có đồ thị}

 

C . Biết b2 3ac0, tìm phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

_{ }

C .

A. y 2 .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

  B.

y .

3 3 9

b bc

c x d

a a
 
 _  _  
 
C.
2
2

y .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

 

D. y 2 .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

 

Hướng dẫn giải

Chọn B.





3 2

' 3 2 .

b 3 .

y ax bx cx d a

y ax bx c

    

  

  

Với b2 3ac0,phương trình 'y 0 có 2 nghiệm phân biệt x x₁, ₂ và 'y đổi dấu khi đi qua 2
nghiệm đó nên đồ thị có 2 điểm cực trị A x

_

₁; y , B₁

_

_

x₂; y₂

_

Lấy y chia cho 'y ta được:

Vì y x'

_{ }

₁  y x'

_{ }

₂ 0 nên ta có

1 1

2 2

3 3 9

b bc

y c x d

a a

b bc

y c x d

a a
  
   
  
  

 
 _ _ _ _
 

 


Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

_{ }

C là:

y .

3 3 9

b bc

c x d

a a

 

 _  _  

(101)

10 | VD_VDC

Câu 4. Cho hàm số 3 2





, 3 0

yax bx cxd b  ac có đồ thị

_{ }

C . Biết đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 9ad bc. B. 9cab. C. cd 3ab. D. ad 9bc.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị có dạng là:

y .

3 3 9

b bc

c x d

a a
 
 _  _  
 

 

2
2
'.g .

3 3 9

b bc

y y x c x d

a a

 

  _  _  

 

Vì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O nên: 0 9 .

d ad bc

   

Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số a m, sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số 3

_

_

_

_

2 3 1 6 1 2

y x  m x  m  m x vng góc với đường thẳng yax.

A. 1 1 1





3
m a
a
 
 _  _ 
 

. B. 1 1 1





m a
a
 
 _  _ 

 
.

C. 1 1 1





2
m a
a
 
 _  _ 
 

. D. 1 1 1





2
m a
a
 
 _  _ 

 
.
Lời giải
Chọn A.

Ta có: 2

_

_

_

_

6 6 1 6 1 2

y  x  m x m  m .

Khi đó: _'. 1



₉ 2 ₆ ₁



₆

_

_{1 1 2}

_

_

3 6

x m

y y _   _  m  m x m m  m

  .

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y 



9m26m1



x m m



1 1 2



 m



Vì hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3

_

_

_

_

2 3 1 6 1 2

y x  m x  m  m x vng góc với đường

thẳng yax nên









0
0

9 6 1 1 3 1 1 1 1

3 1 1

a
a

m m a m

m m
a
a a




 
           
    _  _
 
   
.

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3

3 4

yx  mx  m có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.

A. 1

m  . B. 1

m  . C. 1

m  . D. m 1.

(102)

11 | VD_VDC

Ta có:









2 0 0; 4

3 6 0

2 2 ; 0

x A m

y x mx

x m B m

  

   

  



Để hàm số có hai cực trị thì m0.

Vì tam giác OAB vng cân tại O nên

6 2 0( )

16 4

. 0

m loai

OA OB _m _m

m
m
OA OB



  
 _
 
  _
 


 


  .

Vậy 1

m  .

Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số _y__x3_₂_mx2_



_m2_₁



_x_₁_{ln có hai cực trị}
1, 2

x x . Tính giá trị
biểu thức

 

1 2

f x f x

x x




 .

A. 2



₃ 2 ₂ ₃



k  m  m . B. 2



₃ 2 ₂ ₃



k  m  m .





2 3

k    . D.





2 3

k    .

Lời giải
Chọn D.

Ta có: 2 2

3 4 1

y  x  mxm  .

Khi đó:

2 2 2 2 2

'. 1

3 9 9 3 9 9

x m

y y _  m_ _  _x m  m

   

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

2 2 2 2

9 3 9 9
m

y _  _x m  m

 

Nên

 

2 2

3 3

1 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

9 3 9 9 9 3 9 9

m m

x m m x m m

f x f x

x x x x

   
          
   
 _ _ _ _
 
 





2 ₂ ₃

2 2

9 3 9

m
m

k 

      .

Câu 8. Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x5. Tính bán kính R của đường tròn

ngoại tiếp tam giác OAB.

A. R5. B. R 5. C. R10. D. R2 5.

Lời giải
Chọn A.

Ta có: 2

_

_

_

_

3 3 0 1 1;3 , 1; 7

y  x   x  A B  .

Khi đó: 

2 2 2

40 2

10, 5 2, 2 5 cos

2. . 20 5 5

OA OB AB

OA OB AB AOB

OA OB

 

(103)

12 | VD_VDC

 4 5

sin 1

5 5

AOB

    1. . .sin 1. 10.5 2. 5 5

2 2 5

OAB

S_ OA OB AOB

    .

Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OABlà: . . 10.5 2.2 5 5

4 _OAB 4.5

OA OB AB
R

S_

  

Câu 9. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x26x8. Viết
phương trình của .

A. :y 6x6. B. :y6x6. C. :y 6x6. D. :y6x6.

Lời giải
Chọn A

Đạo hàm y 3x2 6x 6. Ta có 1 1 6 6
3 3

y__ x _y x

 . Do đó đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị là y 6x6.

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y2x33



m1



x26m



1 2 m x



là đường thẳng y 4x.

A. m0. B. m1. C. 1

m . D. 1

m  .

Lời giải
Chọn C

Đạo hàm y 6x26 1



m x



6m



1 2 m



Ta có 0

1 2

x m

 

  

  

 .

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì 1 2 1

m  mm .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

3 3 9

b bc

y c x d

a a

 _

 _

 __  __  

 , do đó đường

thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

















9 1 3 1 .6 1 2

6 1 2

3 6 9.2

m m m m

y m m x

 _  _ _

 

 _   _ 

 

 

Đường thẳng có hệ số góc k 4 nên









9 1

6 1 2 4

3 6

m m

 _ 

 _ _ _{ }

 

 

3m 2m 1 0

   

1
1
3

m
 




  


Nhận xét 1

m  thì 0

bc
d

(104)

13 | VD_VDC

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y x3 mx27x3 vng góc với đường thẳng 9 1

y x .

A. m 1. B. m 6. C. m 12. D. m 10.

Lời giải
Chọn B

Đạo hàm y 3x22mx7.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt

0 m 21 0



      .

Hệ số góc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là





2 2

2 2 2

7 21

3 3 3 3 9

b m

k c m

 _  _

 _  _

 __  __ __  __ 

    .

Ycbt tương đường 2



21 2



.9 1 2 25 5

9 8

m m

 


     

 

 .

Câu 12. Kí hiệu d_min là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2

1
3

y x mx   x m . Tìm d_min.

A. _min 2

d  . B. min

4 13
3

d  . C. _min 4

d  . D. _min 2 13

d  .

Lời giải
{Ban đọc xem lại hai cách giải để chọn đáp án đúng}

Chọn C

Đạo hàm y  x2 2mx1. Nhận xét y 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là









2 2

4 2 3 2 4

1 . 1 1 . 9 1

9 3 3 3 9

b b ac

AB c m m

a a

 _   

 _ _ _

  __  __  _   _ 

   

6 4 2

4 4 5 4

AB m m m

    

Đặt tm t2, 0. Ta có 2 4 3 4 2 5 4, 0
3

AB t  t  t t

Xét hàm số y4t34t2 5t 4 với t0.

Đạo hàm y 12t2  8t 5 0, t . Do đó yy

 

0 4, t 0.

Do đó 4

AB . Vậy khoảng cách nhỏ nhất hai điểm cực trị là _min 4
3

d  .

Chọn D.

(105)

14 | VD_VDC
Xét phương trình y 0 hay _x2_₂_mx_{ }₁ ₀

1 0,

m m



      

 Hàm số ln có cực đại, cực tiểu.

Gọi x x₁, ₂ là nghiệm của phương trình y 0 1 2
1 2

2
1

x x m

x x

 


 

 


Ta có 1 3 2 1 1 1 2



1 2



2 1

3 3 3 3 3

y x mx  x m _ x m y_  m x m

 

Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là: ₁ 2



1 2



₁ 2 1

3 3

y   m x  m ,





2 2

1 1

3 3

y   m x  m

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y



₁; ₁



,B x y



₂; ₂























1 2 1 2 1 2 1 2

4 4

1 1 1 4

9 9

d AB x x m x x  m   x x x x 

        _   _{ }  



 





2 2 2

4 4 2 13

1 (1 ) 4 4 1 .4

9 m m 9 3

   

 _   _   _  _ 

   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m0.

Vậy _min 2 13

d  .

Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3 3 2

yx  x m nằm khác phía đối với đường thẳng yx.

A. m0. B. m0. C. m0. D. 0m2.

Lời giải
Chọn C.

Ta có y 3x23mx.

Xét phương trình y 0 3x2 3mx 0 x 0

x m



     _{ }




 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt m0.
Với x0ym.

Với

(106)

15 | VD_VDC

 Với m0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

_

_

0; , ;

A m B m m_  _

 

Để A và Bnằm khác phia đối với đường thẳng yx thì



x_Ay_A



x_By_B



0

Hay

_

_

3 4

0 0 0 0

2 2

m m

m m m  m

 _   _     

 

Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số msao cho hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2 2

yx  x m x m đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5

2 2

y x

A. m 1. B. m0. C. m1. D. 1

m .

Lời giải
Chọn B

Ta có y 3x26x m 2

Xét phương trình y 0 2 2

3x 6x m 0

   

9 3m


   

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì    9 3m2   0 3m 3.

Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2

1 2
2

1 2

x x

m
x x

 



 





Ta có

2 2

3 2 2 1 1

3 2 1

3 3 3 3

m m

yx  x m xm_ x _y _  _xm

   

 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là

2 2

1 2 1 1

3 3

m m

y  _  _x m

 

2 2

2 2 1 2

3 3

m m

y  _  _x m

 

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y



₁; ₁



,B x y



₂; ₂



.
Đề A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1 5

2 2

d y x thì d AB

M d








, với Mlà trung
điểm của AB

Ta có 1 2 1 2

;

2 2

x x y y

M_   _

  hay





1; 2

M m m

Vì Mdnên 2 2 1.1 5 2 0 0

1
2 2

m m m m

m



      _{  }

(107)

16 | VD_VDC

Ta lại có





2 1; 2 1 2 1; 2 1 ( 2 1)

AB x x y y x x    x x 

 





2;1



u

Vì dAB nên AB u. d 0

 

hay

_

_

_

_

2 1 2 1

2 2 1 0 0

x x  _  _ x x  m

 

(do x₁x₂)

Vậy với m0 thì A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1 5

2 2

d y x .

A. 1; 3
2
K_  _

 . B.

1
3;

2
K_  _

 . C.

1
;3
2
K_ _

 . D.

1
3;

2
K_ _

 .

Lời giải
Chọn C.

Ta có y 3mx26mx2m1

Xét phương trình y  0 3mx26mx2m 1 0

9m 3 (2m m 1) 3 (m m 1) 0, m 1



         

 Với mọi m1, hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x₁, ₂.

Ta có: 3 3 2 (2 1) 3 1 1 2 2 10

3 3 3 3 3

m
ymx  mx  m x m_ x _y_  m x_  

   

 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là: ₁ 2 2 ₁ 10

3 3 3

m
y _  m x_  

 

2 2

2 2 10

3 3 3

m
y _  m x_  

 

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y



₁; ₁



,B x y



₂; ₂



 Đường thẳng  đi qua A và B có phương trình 2 2 10

3 3 3

m
y_  m x_  

 

hay 2



m1



x3y m 100.

Gọi K x y



₀; ₀



là điểm cố định mà  luôn đi qua khi m thay đổi





0 0

2 m 1 x 3y m 10 0, m 1

       



2x0 1



m 2x0 3y0 10 0, m 1

(108)

17 | VD_VDC

0 0

2 1 0 1

;3
2

2 3 10 0 2

3
x x
K
x y
y

   
   

_ _ _ _    
 
 _ _

A. m 2. B. m 3. . C. m 4. D. m  1.

Lời giải
Chọn D

' 3 6

' 0 3 6 0
0

y x mx

x m
 
   


  _


Để hàm số có 2 cực trị m0.

Toạ độ 2 điểm ,A B là:A(0; 4m3) , (2 ;0)B m . Suy ra tam giác

OAB

vng tại

O

Ta có 4 1. . 4 1. 4 3 2 4

2 2

OAB

S_   OA OB  m m 

1 1

m m

    

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị

hàm số 3

_

_





- 3 -1 2 - 3 2

-y  x m x  m m x m  m có hệ số góc bằng 2

3


A. m 1. B. m 4. C. m



0;3



D. m 



1; 4



Lời giải
Chọn C

2 2

' 3 6( 1) (2 3 2)
y  x  m x m  m

Hàm số có 2 cực trị   ' 0  9(m1)23(2m23m2)0

3 5

3 1 0

3 5

2
m
m m
m
 



    
 _



Ta có:
2 2
2

1 2 2 (2 3 2)( 1)

( ). ' ( 2 )

3 3 3 3 3

x m m m m m

y   y _   m xm m    _

 

Suy ra đường thẳng đi qua 2 cực trị là:

2 2

2 2 (2 3 2)( 1)

( 2 )

3 3 3

m m m m

y   m x m m   

Hệ số góc bằng 2
3

 2 2 2 2 0

2 (t/m)

3 3 3

m
m
m
m




     _{ }


.

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 3_- 2 4 3

y  x mx  m có hai

điểm cực trị A B, cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp
(1; 2)

I .

A. 0m12. B. m 6 C. m3. D. m12.

(109)

18 | VD_VDC

Chọn C

' 3 2

' 0 3 2 0
0

₂
3

y x mx

x
m
x
 
   




 


Để hàm số có 2 cực trị m0.
Toạ độ 2 điểm ,A B là:

4 2

(0; ) , ( ; 0)
27 3

m m

A B .

(1; 2)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp

2 2

IA IO
OAB IA IB IO

IB IO
 

    _{ }



3 3
2
2
4 4

1 ( 2) 5 2 2 _{3 (t/m)}

27 27

0 (l)

2 2

( 1) 4 5 1 1

3 3
m m
m
m
m m
 
     
  _ _
 
_ _ _


 _ _{ }  _{  }
 
 

. Chọn C

Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y  x4- 2mx22m m 4 có ba cực
trị tạo thành một tam giác đều.

A. m33. B. m2. . C. _m_ 3_2. _D._m__3.

Lời giải
Chọn A

3 2

' 4 4 4 ( )
y  x  mx x x m

Hàm số có 3 cực trị m0.
Toạ độ 3 điểm cực trị là

4 4 2 4 2

(0; 2 ) , ( ; 2 ) , ( ; 2 )
A m m B m m m  m C  m m m  m .
Rõ ràng ABC cân tại A.

Để ABC đều 3

AI BC

  . Với I(0;m4m22 )m là trung điểm BC

2 2 4

0 (l)
4 3 4 12

3 (t/m)
m

AI BC m m

m


    _{ }


.

Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số _y __ax4__bx2__{c a}

_

_₀

_

_{có ba điểm cực ,}_{A B}_và_C_{, khi đó tìm tung độ}

của điểm G là trọng tâm ABC
A.
2
6
G
b
y c
a

  . B.

2
12
G
b
y c
a

  . C.

2
6
G
b
y c
a

  . D.

2
12
G
b
y c
a
  .

Hướng dẫn giải

Chọn A

TXĐ: D.

4 2
y  ax  bx.

(110)

19 | VD_VDC
Với x0yc và

2 2 2

2 4 2 4 4

b ab b b ac

x y c

a a a a a

   

         với  b24ac.

Vậy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là





, ; , ;

2 4 2 4

b b

A c B C

a a a a

     
    
   
   
   
.

Tung độ của điểm G là trọng tâm ABC:

3 6

A B C

y y y b

y c

 

   .

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4mx2m m 4 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng ₁₂₀0_.

1
3

m  . B. _m_{ }3₃_. _C.

2
3

m  . D.

4
3
m  .

Hướng dẫn giải

Chọn C

TXĐ: DR.





3 2

4 2 2 2

y  x  mx x x m .

Đồ thị hàm số có ba cực trị ab0m0.
Khi đó ba điểm cực trị: A



0;m m 4



2 2

4 4

; , ;

2 4 2 4

m m m m

B_  m m _ C_  m m _

   

Gọi I là trung điểm

2
4

0;
4

BCI_ m m _

 
.
2
,
4 2
m m

AI  BI   .

Theo đề

 

4
0
3

cot 60 3 3. ₂

2 16

m l

AI m m

BI AI
BI m



      
 _{ }

.

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22m4m có ba
điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.

A. m1. B. m2. C. 1

m . D. m3.

Hướng dẫn giải

Chọn A

TXĐ: DR.





3 2

4 4 4

y  x  mx x x m .

Đồ thị hàm số có ba cực trị ab0m0.

Khi đó ba điểm cực trị: A



0;2m4m





4 2

 

4 2



;2 , ; 2

B  m m m m C m m m m .

Yêu cầu bài toán 4 2

 

2 0 1

2 1 0

m l

m m m m

m m


    _  
  

.

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị thàm số yx4mx21 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.

A. m 1. B. m 2. C. m1. D. m2.

Hướng dẫn giải

(111)

20 | VD_VDC
TXĐ: DR.





3 2

4 2 2 2

y  x  mx x x m .

Đồ thị hàm số có ba cực trị ab0m0.
Khi đó ba điểm cực trị: A

_

0;1

_

2 2

;1 , ;1

2 4 2 4

m m m m

B_   _ C_   _

   

Gọi I là trung điểm

0;1
4

BC I_  _

 
.
2
, 2
4 2
m m

AI  BC  .

2 5

. 2 .2 4 2

2 4 2 2

ABC

m m m

S  AI BC      m  .

A. m0. B. 1

m  . C. m1. D. 1

2
m .

Lời giải

Chọn A





3 2

' 4 4( 1) 4 1

y  x  m x x x m . Đồ thị hàm số có 3 cực trị m 1 *

 

Khi đó 3 cực trị là: _A

_

_{0; 3}_m__{2 ,}

_



_m__1;1__m__m2

 

_,_C _ _m__1;1__m__m2



_{ }_ABC_cân

đỉnh A, BC//Ox. Để hàm số có có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân đỉnh
A





 





4 1

. 0 1 1 0

m L

AB AC m m

m TM
 

        


 
.

Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2
1
2
x x
y
x
 



A. y2x1. B. y 2x1. C. y 2x1. D. y2x1.

Lời giải

Chọn D

Ta có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:.









2
1 '
2 1
2 '
x x
y x
x
 
  
 .

Câu 26. Biết rằng hàm số

2
2

1
x mx n
y

 



 có hai điểm cực trị x x1; 2. Viết phương trình đườngthẳng đi

qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

A. ymxn. B.

y xn. C. y mxn. D.

y  xn.

Lời giải
Chọn B









2
1 2
2

2
2 1
' 1
1

mx n x m

y x x

   

   



(112)

21 | VD_VDC

Hai điểm cặc trị là:



1 2



1 2 2 1

1 2 1 2

;1 ; ;1 ; 1;

2 2 2 2

m x x

m m m

M x N x MN x x u

x x x x


 
    _ _
   _  _ 
     
 
     
 

là vectơ chỉ
phương của MN vậy chọn. B.

Câu 27. Biết rằng hàm số

2
)

2
( x x m
f x

 



 có hai điểm cực trịx x1; 2. Tính

 

1 2

f x f x

x x






A. 1

k  . B. k 1. C. 1

k . D. y 1.

Lời giải

Chọn A

Ta có









1 2
2

2 2 2 4

' ;

x m x

y x x

  

 

 là hai nghiệm của phương

trình:x2 



2m x



20x x_{1 2}  2

 

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 1 1

1 1

2 2

x x x x

f x f x

x x x x x x

  

        

 

2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1

f x f x x x

x x x x x x x x

  

   

 

Cách 2:

Ta có

_{ }









2
2

2 2 2 4

x m x

f x

  





; f '

 

x  0 x2



2m x



 2 0 *

 

Mà 

_{  }

*  2m

_

2 8 0, m  suy ra hàm số f x

 

ln có hai điểm cực trị x x₁, ₂ với
mọi m và x₁x₂ m2; x x_{1 2}  2.

Khi đó















2
1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 4 4 12 1

.
2

2 4 12

2 2 4

m x x x x m m

m m

x x x x x x

     

    

   

   

 

Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a



0



có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của
đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó.

A.
2
1 8
8
b
R
a b

  . B.

2
1 8
4
b
R
a b

  . C.

2
1 8
8
b
R
a b

  . D.

2
1 8
4
b
R
a b
  .
Lời giải
Chọn A

Ta có 3





' 4 2 2 2 ; ' 0

y ax bx x ax b y _b

x
a



     
 _{ }

.

Để hàm số có ba cực trị, điều kiện là 0
2

b
a

(113)

22 | VD_VDC

Gọi A B C, , là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số và giả sử A



0;c



; ,
2 4
b
B
a a
 _ 
  

 
 
 
;
2 4
b
C
a a
 _ 
 
 
 
 

với _{ }_b2_₄_ac

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:

2
0; ;
4 4
b
H AH
a a

 
  
 

 
4
2
16 2
b b
AB AC
a a
  

Ta có 1 . . . 4 2. 2 4

2 4

ABC

AB BC CA

S AH BC R AH AB

    

2 2

2 4 2

1 8
4 .

4 16 2 8

b b b b

R R

a a a a b

   

 _ _ _  _   

   

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ymx42



m1



x21

có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy và thỏa mãn OABC.

A. 3

m . B. 4

m  . C. 3

m  . D. 4

m .

Lời giải
Chọn B

*) Với m0 hàm số có một cực trị. Khơng thỏa mãn bài tốn.

*) Xét m0, ta có 2

_

_

' 4 1 ; ' 0 ₁

y x mx m y _m

m



 
 _   _   _
 

.

Để hàm số có ba điểm cực trị, điều kiện là 1 0 1

0
m
m
m
m
 


 _{ }



Do A Oy , nên gọi A



0; 1 ,



B m 1;y₀ ,C m 1;y₀

m m

     

 _ _ _ _

   

Theo giả thiết 2 2 1 4. 1 4

OA BC m



      (thỏa mãn)

Vậy 4

m  .

Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a c



, 0



có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy
và thỏa mãn OB AC. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

A. _b2_{ }₂_ac_. _B._b2_₄_ac_. _C._b2 _₂_ac_. _D._b2 _{ }₄_ac_.

Lời giải

(114)

23 | VD_VDC

Ta có 3





' 4 2 2 2 ; ' 0

y ax bx x ax b y _b

x
a



     
 _{ }

.

Để hàm số có ba cực trị, điều kiện là 0
2

b
a

  .

Do A Oy , nên giả sử A



0;c



, ; ,
2 4
b
B
a a
 _ 
  
 
 
 
;
2 4
b
C
a a
 _ 
 
 
 
 

với 2

b ac
   _.
Ta có
2
2
4
,
2 4

b b ac

OB
a a
  
  _{ } _
 
4
2
16 2
b b
AC
a a
 

Theo giả thiết 2 2 2 2

0
4

OB AC b ac b

b ac


    _{ }


Do ,a c0 nên _b2_₂_ac

Câu 31. . Tìm tất cả các tham số m sao cho đồ thị hàm số yx4



2m3



x2m1 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác đều.

A. m 2 3.3 B. _m 3 3_3.

  C. m33. D. m 33.

Lời giải
Chọn B

Ta có: y'4x32 2



m3



' 0 _{3 2}

2
x
y _m
x



  _
 _


Để hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 2 0 3.

2 2



  

 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:





2 2

3 2 4 8 13 3 2 4 8 13

0; 1 , ; , C ;

2 4 2 4

m m m m m m

A m B_     _ _     _

   

   

Ta thấy AB AC nên để ABC đều thì ABBC

2
2

12 9 4 3 2
4.

4 2

m m m

    

_ _ 

 



3 2



4 3 2

16 2

m m

 

  _{3 2} _{2 3}3 3 3_3.

m m

     

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

(115)

24 | VD_VDC

Chọn B

Ta có: y'4x34mx

' 0 x

y
x m


 _{ }



Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m0.

 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:







4 2

 

4 2



0; 2 , ; 2 , C ; 2

A m  m B m m m  m  m m m  m

Ta thấy ABAC m m 4 nên để ABC cân tại A.

Gọi I là trung điểm của BC



4 2



0; 2

I m m m

    AIm2 và AI BC.

1
.
2
ABC

S AI BC

 _  . Mà . .

4
ABC

AB AC BC
S





2AI AB

  ( vì R1 và AB AC ) 2 4

2m m m

  

2 1 0

m m
    
1
1 5
2
m
m



 
 _


Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số _y__x3_₃_mx2_₃



_m2_₁



_x__m3__m_có

hai điểm cực trị cùng với điểm I

 

1;1 tạo thành một tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính

5.
R

A. m 3;1 .
5

 

 _ _

  B.

3
m 1; .

 

 _ _

  C.

3
m ;1 .

 

  

  D.

3
m 1; .

5
 
  _ _
 
Lời giải
Chọn B

Ta có: _y_'_₃_x2_₆_mx_₃



_m2_₁



2 2 1

' 0 2 1 0

1
x m

y x mx m

x m

 

      _{ }
 


Để hàm số có 2 điểm cực trị thì m 1 m1( ln đúng ).

 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A



m 1; 2  m2 ,





m 1; 2  m2



 đường thẳng AB có phương trình: 2xy0.



;



2 1 3 5

5
4 1
d I AB   

 .

2 2

2 5, 5 12 9, 5 8 5
AB IA m  m IB m  m .





; .

2
ABI

S_  d I AB AB. Mà . .

4
ABI

AB AI BI
S



(116)

25 | VD_VDC

 2 2

5 12 9. 5 8 5 6 3

m m m m

m
 


     
 

.

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 1

mx x m

  



 vng góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

A. m 1. B. m 1.

 C. m 1. D. m 1.

2
 
Lời giải
Chọn C
Ta có:





2
2

(2 2 1)

2 1

m x x

 





Để hàm số có 2 điểm cực trị thì 'y 0 có hai nghiệm phân biệt 1
2

x  m0

vì ₂_x2_₂_x_{ }₁ ₀_{có hai nghiệm phân biệt} 1

x  .

Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

( 2 1) '

1
(2 1) '

mx x m

y mx

  

  

 .

Vì đường thẳng trên vng góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhấty x nênm 1

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx2m3 có hai điểm cực
trị cùng với điểm 1;7

C_ _

  tạo thành một tam giác cân tại C.

A. m 1. B. 1

m . C. m 1. D. 1

m  .

Lời giải

Chọn B.

Ta có y 3x26mx.

Để hàm số có hai điểm cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt   36m20m0
Gọi x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó

1
2
2
0
x m
x





.

Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó





2 ; 3

A m  m và





B m .

Gọi





;

M m m là trung điểm của AB.

Ta có



_{2 ; 4} 3



_, _1; 3 7

AB  m m CM m_  m  _

 

 

. Để tam giác ABC cân tại C thì

. 0

CM AB AB CM 

 

6 7 3 2

4 2 2 0

m m m m

     1

  .

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 4

_

₂ ₁

_

2 ₃

(117)

26 | VD_VDC

A. 1

m . B. m1. C. m2. D. m4.

Lời giải
Chọn B

Ta có 1 3

_

_

2 2 1

y  x  m x

2
0
0
8 4
x
y
x m


   
 


. Để hàm số có ba điểm cực trị thì 8 4 0 1
2

m  m .

Gọi A B C, , là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó







 



0; 3 , 8 4; 8 9 1 , 8 4; 8 9 1

A m B m  m  m C  m  m  m .

Gọi I là trung điểm của AO 0; 3
2

I  

  

 .

Ta có _AB



₈_m__{4; 8}_ _m2_₈_m__{2 ,}



_AC



_ ₈_m__{4; 8}_ _m2_₈_m_₂



Để ABOC là hình chữ nhật thì AB AC và I cũng là trung điểm của BC

















2
2
2
2
2

8 4 8 8 2 0
8 4 8 8 2 0

1
3

8 9 1 1

m m m

m
m
m m
m
      
_ _ _{ } _ _ _ 
 _ _
_ _ _

   
 
 _
 _


.

Nhận thấy m1 thỏa mãn.

Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx32mx2m3 có hai điểm cực
trị A và B sao cho góc AOB120.

A. ₂4 27

m  . B. 6 3

m  . C. 2 3

m  . D. 12

m  .

Lời giải
Chọn A

Ta có y 3x24mx. Để hàm số có hai điểm cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt

16m 0 m 0

      .

Gọi x x₁, ₂ là hai nghiệm của y 0 khi đó 1
2
4
3
0

x m
x




 _

.

Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó 4 5 3





; , 0;

3 27

A_ m  m _ B m

 

Dựa trên tọa độ điểm ,A B ta nhận thấy để góc AOB120 khi

2 2 ₄

3 5 12 3 27

tan 30 2

4 ₃ ₃₆ ₅ ₂₅

m m m

       

 _.

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3
3 9 2 27

2 2

m m

yx  x  có hai điểm

cực trị A và B cùng với gốc tọa độ O là ba đỉnh của một tam giác vuông.

(118)

27 | VD_VDC

Lời giải
Chọn D

Ta có y 3x29mx

Để hàm số có hai điểm cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt   81m20m0
Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình y 0

3
0

x m

x


 




Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó

_

_

27
3 ; 0 , 0;

2
m
A m B_ _

 

Nhận thấy A nằm trên trục hoành và B nằm trên trục tung. Như vậy tam giác ABO luôn là
tam giác vuông với mọi giá trị m0

A. y3



x2 x 2



. B. y4x312x4.





3 x

y x   . D. y4x312x4.

Lời giải

Chọn A

4 2 3

6x 4x 6 y 4x 12x 4

yx       

4 4

0 x 12 0

y   x  . Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là x x x₁; ₂; ₃

Chia y cho y ta được

3 6

. 3

yy_ x x x

 

   , khi đó ta có y1 3



x12 x1 2







2 3 2 2 2

y   x x  và





3 3 3 3 2

y   x  x

Vậy ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thuộc đồ thị hàm số _y__₃



_x2_{ }_x ₂



Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 22m1 có ba điểm cực trị
là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm H

 

0;1 là:

A. m1. B. m0.

C. ₁__m2



_m4_{ }₂ ₂_m



_₀_. _D.₁__m2



_m4_{ }₂ ₂_m



_₀_.

Lời giải
Chọn C

4 2 2 3 2

2 2 1 4 4

yx  m x  m  y x  m x. Để hàm số có ba cực trị thì m0 khi đó

0 2 1

2 1

x y m

x m y m m

x y m

m m

    




_      

      


 





_{0; 2} _{1 ,}





_; 4 ₂ _{1 ,}

 

_; 4 ₂ ₁



A m B m m m C m m m

(119)

28 | VD_VDC
Tam giác ABC cân tại A, để H

 

0;1 là trực tâm của tam giác ABC thì BH AC



_; 4 ₂ _{2 ;}





_; 4



BH  m m  m AC m m

 





2 4 4

2 2 0

AC m m m m

BH        1 m2



m42m2



0.

Câu 41. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





4 2

4 2 1

yx  m x  m có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
120.

24
1 1

m  . B.

16
1 1

m  . C.

48
1 1

m  . D.

1
2
1

m  .

Lời giải
Chọn A

Cách 1:









4 2 3

4 1 2m 1 y 4x 8 m 1

yx  m x       x

Để hàm số có ba cực trị thì 4.



8



m1



 0 m1

Khi đó

















0 2 1

2 1 4 1 2 1

x y m

x m y m m

y
    



_        


      


 























0; 2 1 , 2 1 ; 4 1 2 1 , 2 1 ; 4 1 2 1

A m B m m m C m m m

            

ABC

 cân tại A do đó BAC120 OAC 60











2 1
tan 3
4 1
C
A C
m

x
OAC

y y m


   
 





3 1
1
24
m
  
3
1
1
24
m
   .
Cách 2:

Ta có









4x 8 1 0

2 1

y m x

x m

 

      

 


Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị m1

Khi đó









0 2 1

2 1 2 1 4 1

x y m

x m y m m

    

 

       



Suy ra ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A



0; 2m1 ;





 2



m1 ; 2



m 1 4



m1















2 1 ; 2 1 4 1

(120)

29 | VD_VDC
Do tam giác ABC luôn cân tại A _ _A_₁₂₀0_.

Ta có





















2 2 2

4 1 32 1 8 1

cos cos120

2 . ₄ ₁ ₃₂ ₁

m m m

AB AC BC

AB AC _m _m

    
 
  
  













3
3
3 ₃

8 1 1

1 1

24 1 1 1

2 ₈ ₁ ₁ ₂₄

m
m m
m
 
        
 
.

Cách khác: Áp dụng công thức

3
3
8
cos
8
b a
A
b a


 .

Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số





3 2 2

3x mx

y   m  x có hai điểm cực trị ,A B sao cho ,A B nằm khác phía và cách đều
đường thẳng y5x9. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 0 . B. 6 . C. 6. D. 3.

Lời giải
Chọn A

Cách 1: 1 3 2



2 ₁



2 ₂ 2 ₁

y x mx  m  xyx  mxm 









3
1
1 3
0
2
3
1

1 3 2

x m y m m

y

      

 
 _{   } _ _

 











1 1

1; 3 2 , 1; 3 2

3 3

A m m m  B m m m 

 __    __ __    __

Để hai điểm cực trị ,A B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y5x9 thì trung điểm I

của AB phải thuộc đường thẳng y5x9

Với 1



3 ₃



; m

I m_ m  __ ₅ ₉ 1



3 ₃



3 18 27 0

m m m m  m

     

Gọi m m m1; 2; 3 là nghiệm của phương trình này, khi đó ta có 1 2 3 0
b
m

m m    

(Định lý Vi-et cho phương trình bậc ba).

Cách 2:

Ta có y x22mx m 21

Do   m2m2   1 1 0 m nên hàm số ln có hai điểm cực trị với mọi m.

Gọi I là trung điểm của AB

A B
I

x x

x  m

   1 3

y m m

(121)

30 | VD_VDC
YCBT trung điểm I của AB thuộc đường thẳng y5x9

5x 9

I I

   1 3 3

5 9 18 27 0

3m m m m m

       

Suy ra tổng tất cả các giá trị của m bằng 0.

Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số









3 2 2

1 1

2 1 1

3 2

y x  m x  m m x có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB có
diện tích bằng 2. Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên.

A. 1. B. 0 . C. 2. D. 4

Lời giải:

Chọn A





2 2

2 1

yx  m xm m. 0

1
x m
y

x m



 _{ }

 




Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

3 2

1 1

; 1

3 2

A m_ m  m  _

 ,

3 2

1 1 5

3 2 6

B m_  m  m  _

 

1
1;

AB  

  _ _

 



Suy ra 37

AB và AB x: 6y2m33m2m 6 0.





3 2

2 3 6

;

m m m

d O AB    

Vậy diện tích tam giác OAB là

3 2

2 3 6

2 2 3 6 24

m m m

S       m  m m 

Phương trình trên chỉ có một nghiệm nguyên là m3.

Câu 44. Cho hàm số 1 3 2



2 1



1
3

y x mx  m  x có đồ thị là



C_m



. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm





A a b sao cho A là điểm cực đại



C_m



tương ứng với mm₁ và A là điểm cực tiểu ứng với

mm . Tính ab

A. S 1. B. S 1. C. S  2. D. S 3

Lời giải:

Chọn B

Ta có: y x2 2mx m 21; 0 1
1
x m
y

x m
 _{ }  

 



(122)

31 | VD_VDC
Với m₁ thì A a b





là điểm cực đại nên

 

1 1

m a

y a b
 







Với m2 thì A a b





là điểm cực tiểu nên

 

2 1

m a

y a b
 







Từ hai điều trên ta có:

















3 2 3 2

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

3a a a a a 3a a a a a

   

            

    a0b 1

Khi a0 thì m1 1 và m2  1 thử lại vào hàm số kiểm tra điều kiện ta thấy thoả mãn yêu

cầu bài toán. Vậy A



0; 1



Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

3 2 3

3 4

yx  mx  m có hai điểm cực trị , A B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng

2 1 0

x y  . Tổng các phần tử của S là

A. 0 . B. 1

 . C. 1. D. 1

Lời giải:

Chọn B

Đồ thị hàm số yx33mx24m3 có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía và cách đều
đường thẳng Δ :x2y 1 0 khi và chỉ khi ABΔ

Hệ số góc của đường thẳng AB là ₂ 2

k   m ; hệ số góc của Δ là _Δ 1
2

k   .

Do đó _Δ 2 2 1 1

2 2

k k   m   m  .

Khi 1

m thì đồ thị hàm số 3 3 2 1

2 2

y x  x  có hai điểm cực trị là 0;1
2

A_ _

 

và B



1; 0



; loại
trường hợp này vì ABΔ

Khi 1

m  thì đồ thị hàm số 3 3 2 1

2 2

y x  x  có hai điểm cực trị là 0; 1
2

A_  _

  và B



1;0



.
Trường hợp này nhận.

Câu 46. Cho điểm C



5;9 .



Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 2 2

1
3

y x mx  m  x có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC cân tại C. Tính
tổng tất cả các phần tử của S.

A. 0. B. 9.

2 C.

15
.
2

 D. 15.

Lời giải

(123)

32 | VD_VDC
3
3
2 2
3 3
3 29

3 2 _4;

1 ₃

' 2 1 0

1 3 2 3 25

6;
3 3
A
A
B
B
m m

m m _AC _m

x m

y x mx m

x m m m m m

y BC m

     
   _ _
  


 
   

     _  _{ }
         
 _  _ _
 
 _
 _ _ _



Yêu cầu bài toán









2 2

3 3

2 3 29 2 3 25

4 6

3 3

m m m m

AC BC m     m    

     _ _    _ _

   

3 3

8 60 36 0

3 3

m m m

m

 

 

    _ 

 
 _

.

Vậy tổng 3 3 3 3 3 0.

2 2

S      

Câu 47. Cho



C_m



là đồ thị của hàm số yx33mx1 (với m0 là tham số thực). Gọi d là đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của



C_m



. Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I



1;0



bán kính

A. 1. B. 2. C. 3. D. 0 .

Lời giải
Chọn A

Ta có y 3x23m, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi 2

3 0

x  m có hai nghiệm phân biệt
khi m0.

Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là :d y2m1 và

  

_C _: _x_₁



2__y2 _₉_.

Đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

A

B

nên hoành độ của điểm

A

B

là
nghiệm của phương trình



1 4 m2



x22 1 2

_

 m x

_

70.

Ta có A x



A; 2mxA1



, B x



B; 2mxB1



; IA



xA1; 2mxA1





; IB



xB1; 2mxB1





Khi đó 1 . .sin

2
IAB

S_  IA IB AIB suy ra diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất khi



sinAIB1AIB90.
Hay ta có







 

2 1 2





cos

A B A B

x x mx mx

AIB

IA IB

    

  





 

2 1 2





0
3.3

A B A B

x  x   mx  mx 

  

_

x_A1

_

x_B1

_{ }

 2mx_A1 2

_

mx_B1

_

0



_{1 4} 2





_{1 2}





₂ ₀

A B A B

m x x m x x

(124)

33 | VD_VDC













2 2

2 1 2
7

1 4 1 2 2 0

1 4 1 4

m m

 

 

  _ _  _ _ 

 

  _ _

7 8 0

m m

       .

Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

3 2 2 3

3 3( 1)

yx  mx  m  x m m có hai điểm cực trị ,A B sao cho OA 2.

OB  Tính tổng tất

cả các phần tử của S.

A. 6. B. 6 . C. 3. D. 0 .

Lời giải

Chọn D.

Cách 1: Tập xác định D.

2 2

' 3 6 3( 1) 0(*)
y  x  mx m  

2 2

' 9m 9(m 1) 9 0

      (ln đúng)

 Phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt với  m 

Ta có 1 1

1 1

A A

B B

x m x m

   

 



 

   

 

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị ,A B có dạng: y 2x

( _A; 2 _A); ( _B; 2 _B)

A x x B x x

  

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 A A 2 A 2 2

A B

B B B

x y x

OA OA

x x

OB OB x y x



        



TH1: xA m1;xB m1

2 2 2 2

2 ( 1) 2( 1) 3 2 2

A B

x  x  m  m m 

TH2: x_A m1;x_B m1

2 2 2 2

2 ( 1) 2( 1) 3 2 2

A B

x  x  m  m m  

Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 0.

A. 4. B. 6. C.

4

. D. 6 .

Lời giải
Chọn A

Ta có y 3x22bx c . Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị b23c0.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

2
:

3 3 9

b bc

d y c x d

a a

 

 _  _  

 

Vì O



0;0

  

 d 9

d bc d

    ,



a1



Vậy ta có Sbcdbc3d 9d212d 

_

3d2

_

24 4.

Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 4 2 2 3
2

y x  mx 

có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần
tử của S.

(125)

34 | VD_VDC

Lời giải
Chọn B

Ta có y 8x34mx





4x 2x m

  .

Đồ thị hàm số có ba cực trị khi ₂_x2__m_₀_{có hai nghiệm phân biệt khác}_{0 khi và chỉ khi}

m .

Khi đó ba điểm cực trị là 0; 3
2

A_  _

 

;

2 ₃

;

2 2

m m m

B__    __

 

;

2 ₃

;

2 2

m m m

C__    __

 

Gọi I



0;t



là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC.
Ta có hệ phương trình

2 2
2 2
IA IO
IA IB
 






2
2
2
2 2
3
2
3 3

2 2 2

t t

m m m m

t t
 
 
 
 

 
  
 

   _  _
 
_ _

 


 

4 3
3
4

4 12 8 0,

m
t

m m m


 

 
 _ _ _ _

.

Từ

 

 ta có 4 3

0 (ktm)
1 3 (ktm)
4 12 8 0

1
1 3

m m m

m
m



  

   
 _{ }

   

.

Vậy ta có tổng các phần tử của Slà:  2 3.

Câu 51. [2D1-3] Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn



0; 2017



để đồ thị hàm số













3 2

2 1 3 2 2

yx  m x  m x m có hai điểm cực trị A B, nằm về hai phía của trục
hồnh?

A. 2014 . B. 2015 . C. 2013. D. 2012.

Lời giải

Chọn A





3 2 2 1 3 2

y  x  m x m . Để hàm số có 2 cực trị

5 105

4 5 5 0

5 105
8
m
m m
m

 




      
 




Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là













3 2

2 1 3 2 2 0

x  m x  m x m 









1 2 2 0

x x mx m

     

 

2 2 0

g x x mx m



 

    



Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì g x

 

0 có 2 nghiệm phân biệt

 

2 0 1 2

1 0

g m m m m

m
g
         

_ _

 



(126)

35 | VD_VDC

Câu 52. [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ymx33x

có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC đều với C



2;1



. Tính tổng tất cả các phần tử
của S.

A. 0 . B.

4

3

. C.

3. D. 3.

Lời giải

Chọn C

Ta có y 3mx2 3x 0 x 1

       . (Điều kiện: m0)

Gọi A 1; 2 1 ;B 1; 2 1

m m m m

   

 

   

   

là 2 điểm cực trị. Gọi I



0; 0



là tâm đối xứng của hàm
số trên.





1 1

2 ; 4 ; 2; 1

AB CI

m m

 

 _ _   

 

 

Để hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC đều

. 0

20 3

. 5 3

3 ₂

AB CI

AB _m

 _



_    






 

A. m0. B.

m



1

. C.

4 4

1 1

;

2 2

m  m . D. m 1;m1.

Lời giải

Chọn C

Ta có 3 2 6 0 0

2
x

y x mx

x m




    _{ }




2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ









1 2

1 1

4 2 4 1

2 9 2

S d x x m m m

 

 _  _      

 

A. m1. B.

0 

m



1

. C. ₀__m_3₄_. _D._m_₀_.
Lời giải

Chọn C

Ta có y 4x34mx0 có 3 cực trị m0.

3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

5 5

2 5

1 1 1

32 32

b m

S m m

a


         

So sánh điều kiện thì 0m1 thỏa u cầu.

Câu 55. Ta có y 4x34mx





4x x m

  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

4 2

(127)

36 | VD_VDC

A. m1. B. m2 22. C. m 2. D. m 2 1 .

Lời giải

Chọn A.

Cách 1. Giải theo cách làm tự luận.

Hàm số có ba điểm cực trị  2m0 m0

0
0 x
y

x m



   

 


Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là A



0;0



, _B



_m_;__m2



_,_C



_ _m_;__m2



_{và trung điểm}

AB là





I m

Ta có ABAC m4m, BC2 m, AI m2

Diện tích tam giác ABC là 1 2

.
2
ABC

S_  BC AI m m

ABC

S
r

p


 

m m

m m m



 

2 1

 

3 2 1

1 1
m
m

  

 

1 1

2 1
m

m
 

  





1 2 1 1

m m

    









3 _{3 2 2} 2 ₂ _{2 1} ₀

m m m

     





2 2 1






  



Đối chiếu điều kiện có m1

Cách 2. Giải trắc nghiệm

1 1

b
r

b
a



 

 

 

 

4
1 1 8

m
m


 

2 1

 

Câu 56. Cho hàm số y3x46x22, có đồ thị

_{ }

C . Gọi A là điểm cực đại của

_{ }

C ; ,B C là điểm
cực tiểu của

 

C . Gọi d là đường thẳng đi qua A và S là tổng khoảng cách từ ,B C đến d.

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S.

A. 4 4 5
5

 . B. 6 3 10

 . C. 4 4 5 . D. 2 2.

Lời giải

(128)

37 | VD_VDC
Ta có y 12x312x

0
0

1
x
y

x


    _{ }



Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là A



0; 2



, B



1; 1



_

 1; 1

_

Gọi I



0; 1



là trung điểm của đoạn BC

Ta có Sd B d



;



d C d



;



2d I d



;



2IA

Vậy maxS2IA6
Ta xét hai trường hợp

TH1: d x: 0. Ta có Sd B d



;



d C d



;



2

TH2: :d kx  y 2 0



;





;



Sd B d d C d

3 3
1

k k

  



 2

6
1
k




Với k 



3;3



ta có

6 3 10

5
1




(Lập bảng biến thiên)

Vậy min 3 10

S . Chọn đáp án B

Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx4



3m1



x23 có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2

3 độ dài cạnh bên.

A. 5

m  . B. 3

m  . C. 5

m . D. 3

5
m .

Lời giải

Chọn A.

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 3 1 0 1
3

m  m 

Giả sử ba điểm cực trị là A



0; 3



3 1 3 1

; 3

2 2

m m

B_   _  _  _

 

và

3 1 3 1

; 3

2 2

m m

C_   _  _  _

 

Dễ có

3 1 3 1

2 2

m m

AB   _{ }  _

  ,

3 1
2

2
m

BC  

Theo bài ta ta có

BC AB

3 1 2 3 1 3 1
2

2 3 2 2

m m m

      

  _{ } _

(129)

38 | VD_VDC

3 1 3 1

2 2

m m

   

   

_ _  _ _

   

3 1

0( )

5
2

3 1 3

2
2

l
m
m

 






   

 

 _



Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33x22 có hai điểm cực
trị nằm về hai phía của đường tròn





:x2y22mx4my5m2 1 0

A. 1 5

3
m

  . B. 1 5

3
m

   . C. 3 1

5m . D.
3

1
5 m

   .

Lời giải

Chọn C.

Ta có



C_m



có tâm I m m



; 2



, bán kính R1

3 6

y  x  x. 0 0
2
x
y

x


    _



Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A



0; 2



và B



2; 2



Dễ có IA 5m28m4,

2 2 36

5 4 8 5 1

5
5

IB m  m  _ m _  R

 

Ta có B nằm ngồi đường trịn



C_m



. Vậy ,A B nằm về hai phía của đường trịn



C_m



khi và
chỉ khi A nằm trong đường tròn



C_m



   5m28m41_₅_m2_₈_m_{ }₃ ₀ 3 ₁

5 m

  

A. m 1;m1. B. 1 ; 1

2 2

m  m . C. m 1. D. 1

m  .

Lời giải
Chọn B.

Ta có y 3x26mx, 0 0
2
x
y

x m



    _



. Hàm số có 2 cực trị khi m0.

Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là _A



_{0; 6}_m3

 

_,_B _{2 ; 2}_m _m3



_{. Do đó}



_{2 ; 4} 3



AB m  m



Để đường thẳng AB tạo với trục hồnh góc 45 thì

4 2 1

2
4 2

m m

 

  



 


(130)

39 | VD_VDC

Câu 60. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

4 2

2 4

y x  mx  có các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.

_

;0

_{  }

 2 . B.

_

;0

_



_{ }

2 . C.

_

2; 2

_

. D.

_{ }

2 .

Lời giải
Chọn D.

Ta có y  4x34mx, y 0 x₂ 0

x m



   




TH1: Hàm số có 1 điểm cực trị khi m0. Khi đó điểm cực trị của đồ thị là A



0; 4



(thỏa
mãn).

TH2: Hàm số có 3 điểm cực trị khi m0.

Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là _A

_

_{0; 4 ,}_

_



_{m m}_; 2__{4 ,}

 

_C _ _{m m}_; 2_₄



Để các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên các trục tọa độ thì 2

4 0 2

m   m (do

m ).

(131)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1. Cho hàm số y2x39mx212m x2 1 ( với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số mđể hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn x_CD2 x_CT.

A. m 2 B. 1

m

B. m 2 hoặc m4 D. m 2 hoặc m 4

Câu 2. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình 'y 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

B. Phương trình 'y 0 có đúng 1 nghiệm thực.

C. Phương trình 'y 0 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình 'y 0 vơ nghiệm trên tập số thực.

Câu 3. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d với , , ,a b c d là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình 'y 0 có 2 nghiệm thực phân biệt.

B. Phương trình 'y 0 có đúng 1 nghiệm thực.

C. Phương trình 'y 0 vơ nghiệm trên tập số thực.

D. Phương trình ' 0y  có 3 nghiệm thực phân biệt.

(132)

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

2
0

3 0

b ac





 


2
0

3 0

b ac





 


2
0

3 0

b ac





 


2
0

3 0

b ac





 


Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số ymx4



m2018



x22019 có ba điểm
cực trị

A. 2018m0 B. 0

2018

m
m




 _



C. 2018

m
m
 


 _



D. 0m2018

Câu 6. Đường cong ở hình bên là của đồ thị hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực. Mệnh
đề nào dưới đây đùng

A. ab0 B. ab0 C. ab0 D. ab0

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3

_

₁

_



2 ₄ ₃



₁
3

y x  m x  m  m x

có hai điểm cực trị

A.  5 m 1 B. 1m5 C.  5 m1 D.  1 m5

Câu 8. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số









3 2 2

2 10 1

y x  m x  m  x có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn
1 2

1 1

x x  . Hỏi

S có bao nhiêu phần tử nguyên

A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

Câu 9. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 1 3 2

3 4

y x ax  ax có

điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn

2 2

1 2

2 2

2 1

2 9

x ax a a

a x ax a

 

 

  . Tính tổng các phần tử của S.

(133)

Câu 10. Biết hàm sốyax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng:

A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0

Câu 11. Cho hàm số
2

x m

y
x




 ( với m là tham số thực ). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có
hai điểm cực trị.



 1;



. B.



 1;

  

\ 1 . C.



1;



. D.



 1;

  

\ 1

Câu 12. Cho hàm số y2x33



m1



x26



m2



x1. Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số có
điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng

_

2;3

_



1;3

 

 3; 4



. B.



1; 4



. C.



4;1



. D.



 4; 3

 

 3;1



Câu 13. Đuờng cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d . Mệnh đề nào sau đây
đúng?

A a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.

Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên m 



2018; 2018



để hàm số _y__x3__mx2_

_

₃_m_₄

_

_x__m2_₂_m_có
hai điểm cực tri trái dấu?

A 2020. B. 2019. C. 2017. D. 2018.

Câu 15. Cho hàm số y f x

 

có đạo hám f

  

x  x m





x23x m 5 ,



x. Tìm tập hợp tất cả các

x
y

(134)

4 | VD_VDC

A 29; \



5;1



 

 

 

  B.





; \ 1; 5
4

 

  

 

 

C. 29; \

_

5;1

_

 

  

 

  D.





; \ 1;5
4

 

 

 

 

Câu 16. Cho hàm số 2 3 2 _{2 3}



2 ₁



3 3

y x mx  m  x . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m

để hàm số có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x x_{1 2}2

_

x₁x₂

_

1. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A 2. B. 0. C. 1. D. 3.

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2





3 8 1

yx  x  m  m x có hai cực
trị trái dấu.

A. 0m8 B. 4 19m 4 19

C. m0 hoặc m8 D. 1 15

2m 2

Câu 18. Cho hàm số 3 2





3 3 1

yx  mx  m  xm . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai
điểm cực trị trái dấu.

A.  1 m1 B. m 1 C. m1 D. m 1hoặc m1

Câu 19. Cho hàm số
3

3 1

2 4 2

y  x  mx . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai điểm cực
trị thuộc đoạn



1;1



A. 1 ;
16

 

 

 

  B.

1
;0
16

 



 

  C.



0;



1
; 0
16

 



 _

 

Câu 20. Biết hàm số 1 3

_

₂

_

_

₅ ₄

_

₃ ₁
3

y x  m x  m x m có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn

1 2 2

x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m0 B. 0m1 C. m1 D. 1m2

Câu 21. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 4 sin cos 1
cos

a x x

a x

 

 có ba điểm

cực trị thuộc khoảng 0;7
3



 

 

 .

A. 0 3

  . B. 0a1. C. 0 3

  . D. 0a2

Câu 22. Biết hai hàm số f x

 

x3ax22x1 và g x

 

 x3bx23x1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b bằng

A. 30. B. 2 6. C. 3 6. D. 3 3

Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1

_

2 1

_

2 50 1

3 2 9

y x  m x  x

có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁2x₂.

(135)

5 | VD_VDC

Câu 24. Cho hàm số y



m2



x33x2mx5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng



0;





3;1 \

  

2 . B.



 3; 2



. C.



2;1



. D.



 ; 3

 

  2;



Câu 25. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 ₃ ₂
3

y x m x  m x có hai điểm

cực trị phân biệt x x₁; ₂ thỏa mãn x₁x₂ 4là

_

;a

_{ }

 b;

_

.Tính S ab.

A. S 4. B. S12. C. S  4. D. S  12.

Câu 26. Số điểm chực trị của hàm số 3 2

yax b x c xd



a0



có thể là?

A. 2 . B. 0 hoặc 2 . C. 1hoặc 2 . D. 0 hoặc 1hoặc 2 .

Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 3

yx m x có cực trị.

A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 4 2

2 3

yx  m x  có cực trị.

A. m0. B. m0. C. m0. D.  m .

Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x m
x

  có cực trị.

A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.

Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx43mx24 có ba điểm cực trị đều
nằm trong khoảng

_

2; 2

_

m



0

. B. 4 0

3 m

   . C.

 

2 m



0

. D. 8 0

3 m

   .

Câu 31. Cho hai hàm số

_{ }

1 3 1 2 ₁

3 2

f x  x  x ax và

_{ }

1 3 2 ₃

g x  x x  axa. Tìm tất cả các giá trị

thực của tham số a để mỗi hàm số trên đều có hai điểm cực trị đồng thời giữa hai điểm cực trị
của hàm số này có một điểm cực trị của hàm số kia.

A. 1

a . B. 15

a  hoặc 0 1
4

  .

C. 15 0

4 a

   . D. 15

a  .

Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42mx21 có ba điểm cực trị đều
lớn hơn 1.

m



0

. B.

0 

m



1

. C.

m



0

. D.

0 

m



1

Câu 33. Cho các số thực abc. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng về cực trị của hàm số







y x a x b x c  .

A. Hàm số khơng có cực trị.

B. Hàm số đạt cực trị x x1; 2 tại thỏa mãn ax1 b x2c.

C. Hàm số đạt cực trị tại x x₁; ₂ thỏa mãn x₁x₂a hoặc x₁x₂ c.

(136)

6 | VD_VDC

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

_

_

6 2 1

y x mx  m x m có cực

trị.

A. m 3 hoặc m2. B.  2 m3.

C.  3 m2. D. m 2 hoặc m3.

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y



m2



x33x2mx5 có cực trị.

A.  3 m1 hoặc m 2. B. m1 hoặc m3.

C.  1 m3. D.  3 m1.

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx2



m1



x1khơng có
cực trị.

A. 0 1
4

  . B. 4 0

13 m

   . C. 0 4
13

  . D. 1 0
4 m
   .

Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx42



m1



x2 1 có ba điểm cực
trị.

A. 0 m1. B. m0 hoặc m 1.

C.  1 m1. D. m1 hoặc m0.

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 4 2 3

4 2

y x mx  chỉ có cực tiểu mà

khơng có cực đại.

A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.

Câu 39. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

_

_





3 1

y  xm x  xm

đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 1. Tính tổng các phần tử của S.

A. 1. B. 2. C. 1. D. 2.

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số









3 2 2

3 4 3

y x  m x  m xm m đạt cực trị tại các điểm x x1, 2 thỏa mãn

1 2

1 x x

   .

A. 7

m  . B. 7 3

2 m

    . C. m 3. D. m1 hoặc m 3.

Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3

_

₂

_

2 ₍₅ ₄₎
3

y x  m x  m x có hai

điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁  1 x₂.

A. 1

m  . B. m 3. C. 1

m  . D. m 3.

Câu 42. Cho hàm số

3 2

(cos 3 sin ) 8(1 cos 2 ) 1
3

y  x  a a x   a x

(với a là tham số thực). Biết hàm
số ln có hai điểm cực trị x x1, 2_{. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức} 2 2

1 2

Sx x

(137)

Câu 43. Biết hàm số 2 3 ( 1) 2 ( 2 4 3)
3

y  x  m x  m  m x có hai điểm cực trị a và b. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức S  ab2(ab)

A. 8. B. 18 . C. 38 . D. 33 .

Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3 2 2
2( 3)
3

y x mx  m  x đạt cực trị tại

các điểm x1_,x2_{sao cho}x1_,x2_{là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng có độ dài}
cạnh huyền bằng 5

A. 13

m  . B. 14

m  . C. 13

m . D. 14

m  .

Câu 45. Cho hai hàm số ( ) 1 3 2 3 1
3

f x  x mx  mx và ( ) 1 3 2 4 1
3

g x  x mx  mx . Tìm tất cả các

giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị của hàm số f x( ) nằm giữa hai điểm cực trị của

hàm số g x( ).

A. 0

m
m

 





. B. 1 0

56 m

   . C. 1 1

4 m 56

    . D. 1 0

4 m

   .

Câu 46. Cho hàm số y f x

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g x

 

xác

định theo f x

 

có đạo hàm g x'

 

 f x

 

m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

 

g x có duy nhất một điểm cực trị.

A.  4 m0. B. 4

m
m

 


 _



. C. 4

m
m

 


 _



. D.  4 m0.

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx3x2



m1



x3 có hai điểm
cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.

A. 0 3 21
6

m 

  . B. 0 3 21
3

m 

  . C. 3 21 0

3 m



  . D. 3 21 0

6 m



  .

(138)

A. a0,b0,c0. B. a0,b0,c0. C. a0,b0,c0. D. a0,b0,c0.

Câu 49. Tìm m để hàm số 1 3 1





2 2





3 2

y x  m x  m x có hai điểm cực trị lớn hơn 1.

A. 0m1. B. m1. C.  1 m1. D. m 1.

Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx23 2



m1



x1 có hai
điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁22x x_{1 2}3x₂24x₁5x₂1.

A. 4;1
11

 



 

 . B.

4
1;

 



 

 . C.

4
1;

 

 

 . D.

4
1;

 

 

 

 .

Câu 51. Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm _f_

_{ }

_x __x2

_

_x_₁

_



_x2_₂_mx_₅



_{. Có bao nhiêu giá trị}
nguyên của tham số m để hàm số y f x

 

có đúng một điểm cực trị.

A. 3 . B. 4. C. 6 . D. 5.

Câu 52. Biết hàm số f x

 

x3x2mx có một cực trị bằng 1. Cực trị cịn lại của hàm số đã cho bằng.

A. 5

 . B. 13

27. C.

27 . D.

5
27 .

Câu 53. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số yx3



m1



x2



m4



x4 có giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu đều dương.

A. 11. B. 13 . C. 12. D. 14.

Câu 54. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số yx33x2mx m 2 có hai cực trị trái dấu.

A. 4. B. 2. C. vô số. D. 3.

Câu 55. Cho hàm số 1 3 1 2 ₄ ₁₀

3 2

y x  mx  x có hai điểm cực trị x x₁, ₂. Giá trị lớn nhất của biểu thức







1 1 2 9

S x  x  là?

A. 49 . B. 49. C. 1. D. 1.

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 5 2( 1) 3 (2 3) 1

5 3

y x  m x  m x có

bốn điểm cực trị lập thành một cấp số cộng.

A. m

_{ }

6 . B. m

_{ }

9 . C. 6;14
9

m_{ } _

 . D.

14
9;

m_{ } _

 .

Câu 57. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
4

(139)

_

6; 6 \ 0

_

_{ }

. B.

_

6; 6 \ 0

_{  }

. C.

_

2; 2 \ 0

_{  }

. D.

_

2; 2 \ 0

_

_{ }

Câu 58. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42(m2)x24(m3)x1 có ba
điểm cực trị.

A. 11

m  . B. 13

m  . C. 5 13

    . D. 5 11
4

    .

Câu 59. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx48mx33



m2



x24 chỉ có
đúng một điểm cực trị.

A. m2 hoặc 2 m 1. B. m 2 hoặc 1 2
2 m 3
   .

C. m2 hoặc m 1. D.  1 m2.

Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số



2 ₂ ₂



3 ₃





2 ₉ 2 ₂

y m  m x  m m x  m x có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂ và

1 2 2 1

x x  mx mx .

A. 1 5

2 m 2

   . B. 0 5
2

  .

C. 1 5

2 m 2

   và m0. D. 1

m  hoặc 5
2

m .

Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 2

1
3

y x mx mx có hai điểm cực trị x x₁, ₂

thỏa mãn x₁x₂ 2 2.

A. m 1 hoặc m2. B. m 2 hoặc m1.

C. m1 hoặc m0. D. m0 hoặc m2.

Câu 62. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số _y__x3_₂

_

_m_₁

_

_x2_



_m2_₄_m_₁



_x_₂_m2_₂_{có hai}
điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn



1 2



1 2

1 1 1

2 x x

x x   .

A. m

 

1;5 . B. m 



1;5



. C. m 



1;1



. D. m 



5;1



Câu 63. Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.

(140)

Câu 64. Biết hàm số f x( )2x33ax26x1 và g x( )2x33bx212x4 có chung ít nhất một
điểm cực trị.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b bằng

A. 2 22. B. 2 6. C. 3 2. D. 3 6.

Câu 65. Tìm m để hàm số f x( )x33x2mx1 có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁2x₂2 3.

A. 3

m  . B. 2

m . C. 3

m . D. 2

m  .

Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y



1m x



3x2



m2



x2 có hai
điểm cực trị trái dấu.

A. m 2. B.  2 m1. C. m1. D. 2

m
m

 


 _



Câu 67. Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số ymx33



m1



x29



m2



x1có hai điểm
cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁2x₂ 1 bằng

A. 10

3 . B.

3. C.

3. D.

8
3.

Câu 68. Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.

Câu 69. Tìm m để hàm số f x

 

mx42x21 có ba điểm cực trị x1_, x2_, x3_{thỏa mãn}

2 2 2

1 2 3 2

x x x  _.

A. m1. B. 1

m . C. m2. D. 1

m .

Câu 70. Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số yx33x2mx có một cực trị bằng 1.

A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2.

(141)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số y2x39mx212m x2 1 ( với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số mđể hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn x_CD2 x_CT.

A. m 2 B. 1

m

B. m 2 hoặc m4 D. m 2 hoặc m 4

Lời giải
Chọn A

2 2

' 6 18 12

y  x  mx m

HS có CĐ, CT   ' 81m272m29m20m0
Khi đó 2 điểm cực trị là x₁ 2 ;m x₂ m.

+ Nếu 2 m mm0 thì x_CD  2 ;m x_CT  m

2 2

4 ₁( )

CD CT

x x m m L

m




     _

 



+ Nếu 2 m mm0 thì xCD  m x; CT  2m

2 2 0( )

2( )

CD CT

m L

x x m m

m TM




    _{ }

 


Câu 2: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(142)

B. Phương trình ' 0y  có đúng 1 nghiệm thực.

C. Phương trình ' 0y  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

D. Phương trình 'y 0 vô nghiệm trên tập số thực.

Lời giải
Chọn A

Dựa vào đồ thị thấyđồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Phương trình 'y 0 có 3 nghiệm thực
phân biệt.

Câu 3: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d với , , ,a b c d là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Phương trình ' 0y  có 2 nghiệm thực phân biệt.

B. Phương trình ' 0y  có đúng 1 nghiệm thực.

C. Phương trình 'y 0 vô nghiệm trên tập số thực.

D. Phương trình 'y 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải
Chọn A

Dựa vào đồ thị thấyđồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Phương trình 'y 0 có 2 nghiệm thực
phân biệt.

Câu 4: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d với , , ,a b c d là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ₂ 0

3 0

b ac





 


B. ₂ 0

3 0

b ac





 


C. ₂ 0

3 0

b ac





 


D. ₂ 0

3 0

b ac





 


Lời giải
Chọn A

' 3 2

y  ax  bx c

Dựa vào đồ thị thấy a0

(143)

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số ymx4



m2018



x22019 có ba điểm
cực trị

A. 2018m0 B. 0

2018

m
m




 _



C. 2018

m
m
 


 _



D. 0m2018

Lời giải

Chọn D

Ta có y 4mx32



m2018







 

0 4 2 2018 0

2 2018 0 1

y mx m x

mx m




      _{ }

  


Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình

 

1 có hai nghiệm phân biệt x0





0; 2018

2 2018 0

0 2018

2018 0

m m

m m

m
m




 




  

_ _

 


 _ _



0 m 2018
  

Câu 6: Đường cong ở hình bên là của đồ thị hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực. Mệnh
đề nào dưới đây đùng

A. ab0 B. ab0 C. ab0 D. ab0

Lời giải

Chọn B

Ta có: 3





4 2 4 2

y  ax  bxx ax  b

2
0
0

y _b




  

 _{ }


Từ dáng điệu đồ thị hàm số suy ra a0 và do hàm số có ba điểm cực trị nên y 0 phải có ba
nghiệm phân biệt, do đó b0

(144)

14 | VD_VDC

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3

_

_





1 4 3 1

y x  m x  m  m x

có hai điểm cực trị

A.  5 m 1 B. 1m5 C.  5 m1 D.  1 m5
Lời giải

Chọn B

Ta có y 2x22



m1



x m 24m3

Hàm số có hai điểm cực trị  y0 có hai nghiệm phân biệt







₂



' m 1 2 m 4m 3 0
       

2 ₆ ₅ ₀ ₁ ₅

m m m

       

Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số









3 2 2

2 10 1

y x  m x  m  x có hai điểm cực trị x₁ và x₂ thỏa mãn
1 2

1 1

x x  . Hỏi

S có bao nhiêu phần tử nguyên

A. 3 B. 4 C. 1 D. 2

Lời giải

Chọn C

Ta có y x22



m2



x m 210





2 2

2 10

m m



     4m14

Hàm số có hai điểm cực trị 4 14 0 7
2

m m

     

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình y 0 lần lượt là x₁ và x₂.

Theo giả thiết: ₁ ₂ _{1 2}

1 2

1 1

10 x x 10x x

x x    









2 m 2 10 m 10 10m 2m 96 0

        





3
/
16

t m
m






  


Vậy có 1 giá trị nguyên của m

Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 1 3 2

3 4

y x ax  ax có

điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn

2 2

1 2

2 2

2 1

2 9

x ax a a

a x ax a

 

 

(145)

15 | VD_VDC

A. 6. B. 12. C. 4. D. 12 .

Lời giải

Chọn C

3 2 2

3 4 2 3

3 x

y x ax  ax y  ax a.

Để hàm số có điểm cực trị x x₁, ₂ thì 2

2 3 0

x  ax a có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂.

2 0

3 0

a a

a





    _{ }

 


Theo vi-et: 1 2
1 2

. 3

x x a

x x a

 




 


và x₁2 2ax₁3 ;a x₂22ax₂3a

















2 2

1 2

2 2

2 1 1 2

1 2

2 12

2 3 2 9

2 2

2 3 2 9 2 12

2 12 2.2 12

2 2 4( )

2 12 2.2 12

a x x a

ax a ax a a a

a ax a ax a a a x x a

x x a a a

a tm

a x x a a

 

  

    

    

  

        

  

Câu 10: Biết hàm sốyax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây đúng:

A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0

Lời giải

Chọn A

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d0.

- Vì lim

xy  nên 0

a .

- Hàm số có hai điểm cực trị dương nên phương trình y 3ax22bx c 0có hai nghiệm
dương phân biệt. Do đó

x
y

(146)

16 | VD_VDC
2

0 0

b
a

c
a




  





 _{  }




Câu 11: Cho hàm số
2

x m

y
x




 ( với m là tham số thực ). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có
hai điểm cực trị.



 1;



. B.



 1;

  

\ 1 . C.



1;



. D.



 1;

  

\ 1

Lời giải

Chọn A





2 2

1 ₁

x m x x m

y y

x _x

  



   

 _ có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, phương trình

2 ₂ ₀

x  x m  có hai nghiệm phân biệt khác 1.

1 0 1

1 2 0 1

m m



      




     



Câu 12: Cho hàm số y2x33



m1



x26



m2



x1. Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số có
điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng



2;3





1;3

 

 3; 4



. B.



1; 4



. C.



4;1



. D.



 4; 3

 

 3;1



Lời giải

Chọn A

















3 2 2 1

2 3 1 6 2 1 6 6 1 6 2 0

y x m x m x y x m x m

x m

 



             _{ }

  


Để hàm sơ có điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng



2;3



thì





1 4

2 2;3

1 2

x m

m
m

 


  




     

 



_{  } _



(147)

A a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.

Lời giải

Chọn A

Vì lim

xy  nên a0.

Đồ thị cắt trục tung thì x0yd 0.

Vì hai điểm cực trị của hàm số trái dấu nên .a c0 c 0.

Điểm uốn 0 0.

x b



   

Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên m 

_

2018; 2018

_

để hàm số _y__x3__mx2_

_

₃_m_₄

_

_x__m2_₂_m_có
hai điểm cực tri trái dấu?

A 2020. B. 2019. C. 2017. D. 2018.

Lời giải

Chọn A

Ta có giả thiết . 0 3 4 0 4
3

a c m m

      



2018,...,1



  

Câu 15: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hám f

  

x  x m





x23x m 5 ,



x. Tìm tập hợp tất cả các
giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị?

A 29; \



5;1



 

 

 

  B.





; \ 1;5
4

 

  

 

 

C. 29; \

_

5;1

_

 

  

 

  D.





; \ 1;5
4

 

 

 

 

Lời giải

(148)

18 | VD_VDC
Ta có giả thiết suy ra f

_{ }

x 0 có ba nghiệm phân biệt.

Mà f

 

x  0



x m





x23x m 5



0

 

3 5 0 1

x m

x x m




   

Do đó, PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khác m:





9 4 20 0

3 5 0

29
4
1;5

m m m

m
m

    



   






 

Câu 16: Cho hàm số 2 3 2 _{2 3}



2 ₁



3 3

y x mx  m  x . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m

để hàm số có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x x_{1 2}2

_

x₁x₂

_

1. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A 2. B. 0. C. 1. D. 3 .

Lời giải

Chọn B

Ta có





3 2 2

2 2

2 3 1

3 3

y x mx  m  x













2 2

2 2 2 3 1

0 2 2 2 3 1 0

3 1 0

y x mx m

x mx m

    

      

    

Giả thiết suy ra:

2
2

2 / 13

13 4 0 2 / 13 2

.
3

3 1 2 1 ₀

2 / 3

m m

m m _m

 _


       

  

 

   

  

 _


Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số _y__x3_₃_x2_



_m2_₈_{m x}



_₁_{có hai cực}
trị trái dấu.

A. 0m8 B. 4 19m 4 19

C. m0 hoặc m8 D. 1 15

2m 2

Lời giải

(149)

19 | VD_VDC

Hàm số 3 2





3 8 1

yx  x  m  m x có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số





3 2 2

3 8 1

yx  x  m  m x cắt trực hồnh tại ba điểm phân biệt

Xét phương trình: _x3_₃_x2_



_m2_₈_{m x}



_{ }₁ ₀





3 ₃ 2 ₁ 2 ₈

x x m m x

     

 

Vì x0 khơng phải là nghiệm của

 

1 nên

 





3 2

3 1

x x

m m

 

    , với x0.

Xét hàm số

 

3 2

3 1 1

x x

f x x x

x x

 

    , với x0.

Ta có: f

 

x 2x 3 1₂

    ;

_{ }

0 ₁

f x




  

  


Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên:

 

1 có ba nghiệm phân biệt 



2 ₈



15
4

m m

    1 15

2m 2

Chọn D.

Câu 18: Cho hàm số _y__x3_₃_mx2_₃



_m2_₁



_x__m3_{. Tìm tất cả các giá trị thực}

m để hàm số có hai
điểm cực trị trái dấu.

A.  1 m1 B. m 1 C. m1 D. m 1hoặc m1

Lời giải

Chọn A.

Tập xác định: D.

Ta có _y_{ }₃_x2_₆_mx_₃



_m2_₁



Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình 2





3 6 3 1 0

y  x  mx m  

có hai nghiệm trái dấu a c. 0





9 m 1 0

    1 m1. Chọn A

Câu 19: Cho hàm số
3

3 1

2 4 2

y  x  mx . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai điểm cực
trị thuộc đoạn



1;1



+ ∞

+∞

+

1
1

+

15
4

∞

₊

f x

( )

f' x

( )

x

0 ∞

(150)

20 | VD_VDC

A. 1 ;
16

 

 

 

  B.

1
;0
16

 



 

  C.



0;



1
; 0
16

 



 

 

Lời giải

Chọn D.

Tập xác định: D.
Ta có

3 3

2 2

y   x m.

Hàm số có hai điểm cực trị thuộc đoạn



1;1



khi và chỉ khi phương trình
2

3 3

6 0

2 2

y   x m

_{ }

1 có hai nghiệm x x₁; ₂ 



1;1



Phương trình
2

3 3

6 0

2 2

x m

   2

x x m

    f x

 

4m.
Ta có: f x

 

x2x

 

2 1

f x  x ;

 

2 1 0 1

f x  x  x

Bảng biến thiên

Từ Bảng biến thiên ta được: 1 4 0 1 0

4 m 16 m

       . Chọn D.

Câu 20: Biết hàm số 1 3

_

_

_

_

2 5 4 3 1

y x  m x  m x m có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn

1 2 2

x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m0 B. 0m1 C. m1 D. 1m2

Lời giải

Chọn A.

Ta có y x22



m2



x



5m4



. Hàm số có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁ 2 x₂
khi và chỉ khi phương trình y 0có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂thỏa mãn x₁  2 0 x₂2

1

4

0

2

1

2

1

0 x

y'

y

(151)

21 | VD_VDC

















1 2

2 5 4 0

2 2 0

m m
x x
      


  








1 2 1 2

9 0

2 4 0

m m

x x x x


   


   








; 0

 



9 0
m
m
   






 m0. Chọn A

Câu 21: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 4 sin cos 1
cos

a x x

a x

 

 có ba điểm

cực trị thuộc khoảng 0;7



 

 

 .

A. 0 3

  . B. 0a1. C. 0 3

  . D. 0a2

Lời giải

Chọn C.

Tập xác định: \ ;
2

D _



k



k _

 

  và a0.

2
4 sin
cos
a x
y
a x

 

0 sin 4

y   x a

Để hàm số có ba điểm cực trị thuộc khoảng 0;7
3



 

 

  thì phương trình sinx4a có 3 nghiệm

thuộc khoảng 0;7
3



 

 

 .

Xét hàm số f x

 

s inx.

Dưa vào đồ thi hàm số ysinx trên 0;7
3



 

 

  ta có YCBT

3 3

0 4 0

2 8

a a

      .

Câu 22: Biết hai hàm số f x

 

x3ax22x1 và g x

 

 x3bx23x1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b bằng

A. 30. B. 2 6. C. 3 6. D. 3 3

Lời giải

Chọn A.

 

3 2 2

f x  x  ax , g x

 

 3x22bx3

Gọi x0 là điểm cực trị chung của hai hàm số.

Ta có hệ:

 





0 0 2

0
2

0 0

3 2 2 0

6 2 5 0

3 2 3 0

f x x ax

x a b x

g x x bx

(152)

22 | VD_VDC
Vì hai phương trình có nghiệm chung nên tồn tại   0

_

a b

_

230 a b  30.
Ta có a b  a   b a b  30

Vậy giá trị nhỏ nhất của ab là 30. .

Câu 23: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1

_

_

2 50

2 1 1

3 2 9

y x  m x  x

có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁2x₂.



2;3



. B.



3; 2



. C.



 3; 2



. D.



2;3



Lời giải

Chọn A.





2 ₂ ₁ 50

y x  m x

Vì x x₁, ₂ là nghiệm của phương trình y 0 nên ta có hệ phương trình:

 

1 2

2 1 1
50

. 2

9
2 3

x x m

x x

x x

  








 


. Thay

 

3 vào

 

2 ta được:

2 1

2
2

2 1

5 10

2 1 5 3

25 3 3

5 10

2 1 5 2

3 3

x x m m



       


  

 

 _ _ _ _ _{   } _{ }


Vậy m 



2;3



Câu 24: Cho hàm số y



m2



x33x2mx5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng



0;





3;1 \

  

2 . B.



 3; 2



. C.



2;1



. D.



 ; 3

 

  2;



Lời giải

Chọn B.





3 2 6

y  m x  x m

(153)

23 | VD_VDC
2

2 0

0 ₃ ₆ ₉ ₀ 2

0 3 1

3 2

0 ₂ 0

0 2 2

0
2

a _m _m m

m _m

P _m m

S m

m
 



  

 _ _ _{ } 



_{ }_ _{ } _

  

      

   

 _ 

  

 _  _  _{ }

 _ 





Câu 25: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 ₃ ₂
3

y x m x  m x có hai điểm

cực trị phân biệt x x₁; ₂ thỏa mãn x₁x₂ 4là

_

;a

_{ }

 b;

_

.Tính S ab.

A. S 4. B. S12. C. S  4. D. S  12.
Lờigiải

Chọn A.

Ta có 2

' 2 3

y x  m x m .

Để hàm số có cực trị thì 'y 0có hai nghiệm phân biệt ' 0 3
2

m
m




     _


.

Gọix x₁; ₂ là hai nghiệm của 'y 0. Theo định lý vi et ta có: 1 2
1 2

. 3

x x m

x x m

  






Theo giả thiết x₁x₂  4

_

x₁x₂

_

216





2 2

1 2 1 2

4 1

4 . 16 4 12 16 0

1 4

m a

x x x x m m

m b

  

 

        _  

  

 

Câu 26: Số điểm chực trị của hàm số 3 2

yax b x c xd



a0



có thể là?

A. 2. B. 0 hoặc 2. C. 1hoặc 2. D. 0 hoặc 1hoặc 2.
Lờigiải

Chọn B.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2cực trị khi 'y 0có hai nghiệm phân biệt hoặc khơng có cực trị.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 3

yx m x có cực trị.

A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.
Lờigiải

Chọn C.

Ta có y'3x2m để hàm số có cực trị thì y'0có hai nghiệm phân biệt.

3x m 0

   có hai nghiệm phân biệt   0m0.

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 4 2

2 3

yx  m x  có cực trị.

(154)

24 | VD_VDC
Chọn B.

Nhận xét: hàm số bậc bốn trung phương ln có cực trị nên chọn đáp án D.

với câu hỏi này nên hỏi có một hay ba cực trị thì hay hơn.
Hoặc giải như sau.

Ta có 3





2
0

' 4 4 4 ' 0 x

y x m x x x m y

x m




      _{ }




Nếu m0thì 'y 0có nghiệm x0nên hàm số có 1 cực trị.

Nếu m0thì 'y 0có nghiệm có ba nghiệm nên hàm số có ba cực trị.

Vậy với mọi mthì hàm số đều có cực trị.

Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x m
x

  có cực trị.

A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.

Lời giải.

Chọn B.

Tập xác định D\ 0

_{ }

.
Ta có y 1 m₂

   , y 0 1 m₂ 0

   __x2 __m

 

* .

Để hàm số có cực trị thì y 0 có nghiệm và y đổi dấu khi đi qua nghiệm đó.

Do đó

_{ }

* có hai nghiệm phân biệt m0.

Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx43mx24 có ba điểm cực trị đều

nằm trong khoảng

_

2; 2

_

m



0

. B. 4 0

3 m

   . C.

 

2 m



0

. D. 8 0

3 m

   .

Lời giải.

Chọn D.

Ta có y 4x36mx, y 0 ₂

0
3

m
x







 _{ }



Hàm số có ba điểm cực trị nằm trong

_

2; 2

_

0
3

2
2

m
m



 

 




0
8
3

m
m




 

 



(155)

25 | VD_VDC

Câu 31: Cho hai hàm số

_{ }

1 3 1 2

3 2

f x  x  x ax và

_{ }

1 3 2

3
3

g x  x x  axa. Tìm tất cả các giá trị

A. 1

a . B. 15

a  hoặc 0 1
4

  .

C. 15 0

4 a

   . D. 15

a  .

Lời giải.

Chọn C.

Ta có f

_{ }

x x2 x a và g x

_{ }

x22x3a.

 

f x và g x

_{ }

có hai điểm cực trị khi 1 4 0

1 3 0

a
a

 




 



1
4

  .

Khi đó f

_{ }

x 0 1 1 4

x  

  , g x

_{ }

0  x 1 1 3 a.

* 1 1 4 1 1 3
2

 

    3 1 4 a2 1 3 a 3 1 4 a 4a3

4a 15a 0

   15 0

4 a
    .

* 1 1 3 1 1 4

a  

    1 4 a2 1 3 a1 

_

1 3 a

_

1 4 a

_

4a1

2
4a a 0

   0

a
a



  _



  (vì 1
4

a ).

Vậy 15 0

4 a
   .

Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42mx21 có ba điểm cực trị đều
lớn hơn 1.

m



0

. B.

0 

m



1

. C.

m



0

. D.

0 

m



1

Lời giải.

Chọn B.

Ta cóy 4x34mx,

2
0

0 x

x m




  _{ }




Hàm số số có ba điểm cực trị khi m0.

Ba điểm cực trị lớn hơn 1   m 1 m1.

(156)

26 | VD_VDC

Câu 33: Cho các số thực abc. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng về cực trị của hàm số







y x a x b x c  .

A. Hàm số khơng có cực trị.

B. Hàm số đạt cực trị x x₁; ₂ tại thỏa mãn ax₁ b x₂c.

C. Hàm số đạt cực trị tại x x₁; ₂ thỏa mãn x₁x₂a hoặc x₁x₂ c.

D. Hàm số đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn x1  a c x2.

Lời giải
Chọn B

Ta có đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị x x₁; ₂.
Do hàm số bậc ba có hệ số a0 nên x x₁; ₂ lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.

Do đó ax₁ b x₂c.

Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

_

₆

_

₂ ₁
3

y x mx  m x m có cực

trị.

A. m 3 hoặc m2. B.  2 m3.

C.  3 m2. D. m 2 hoặc m3.

Lời giải
Chọn D

Ta có y'x22mx m 6.

Hàm số có cực trị  phương trình 2

2 6 0

x  mxm  có hai nghiệm phân biệt
2

' m m 6 0

     

2
3

m
m

 


  _



Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y



m2



x33x2mx5 có cực trị.

A.  3 m1 hoặc m 2. B. m1 hoặc m3.

C.  1 m3. D.  3 m1.

Lời giải
Chọn D

 Xét m 2: hàm số trở thành y3x22x5. Hàm số có điểm cực tiểu nên m 2 thỏa
mãn.

 Xét m 2:

x
x₂

x₁ _b c

(157)

27 | VD_VDC
Ta có _y_'_₃

_

_m_₂

_

_x2_₆_x__m_.

Hàm số có cực trị  phương trình

_

_

3 m2 x 6xm0 có hai nghiệm phân biệt
2

' 3m 6m 9 0
      

3 m 1
    .

Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx2



m1



x1khơng có
cực trị.

A. 0 1
4

  . B. 4 0
13 m

   . C. 0 4
13

  . D. 1 0
4 m
   .

Lời giải
Chọn A

 Xét m0: hàm số trở thành y x 1. Hàm số khơng có điểm cực trị nên m0 thỏa mãn.

 Xét m0:

Ta có y'3mx26mx m 1.

Hàm số khơng có cực trị  phương trình ₃_mx2_₆_{mx m}_ _{ }_{1 0}_{vơ nghiệm hoặc có nghiệm}
kép

' 12m 3m 0
    

1
0

   .

Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx42



m1



x2 1 có ba điểm cực
trị.

A. 0 m1. B. m0 hoặc m 1.

C.  1 m1. D. m1 hoặc m0.

Lời giải

Chọn A









3 2

4 4 1 4 1

y  mx  m x  x mx m

Hàm số có ba điểm cực trị  y0 có ba nghiệm phân biệt m m



1



00m1.

Giải nhanh:

Hàm số bậc bốn trùng phương yax4bx2 c có 3 cực trị





0 2 1 0 0 1

ab m m m

        .

Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 4 2 3

4 2

y x mx  chỉ có cực tiểu mà

khơng có cực đại.

A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.

Lời giải

Chọn C





3 2

2 2

(158)

28 | VD_VDC

 

2
2

0
0

2 *

2 0

x
x

x m



 



  _ _{ }


 

 

Hàm số chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại 

_{ }

* vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép là
02m0m0.

Giải nhanh:

Hàm số yax4 bx2 c chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại
1

0 ₄

0
0

0
4

ab m






 

_ _  



 _ _




Câu 39: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số _y _

_

_x__m

_



_x2_₃_x__m_₁



đạt cực trị tại x x₁, ₂ thỏa mãn x x_{1 2} 1. Tính tổng các phần tử của S.

A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2.

Lời giải

Chọn B

Ta có y x23xm 1



xm



2x3



3x22



m3



x2m1

Hàm số đạt cực trị tại x x₁, ₂ thỏa mãn x x_{1 2} 1









12 0

3 3 2 1 0

2
2

2 1 ₁

1
3

m m

m
m

m _m

        




 

     _{ }

  

  _{ }





Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số









3 2 2

3 4 3

y x  m x  m xm m đạt cực trị tại các điểm x x₁, ₂ thỏa mãn

1 2

1 x x

   .

A. 7

m  . B. 7 3

2 m

    . C. m 3. D. m1 hoặc m 3.

Lời giải

Chọn B









2 3 4 3

y x  m x m .

Hàm số có cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn  1 x₁ x₂

y

(159)

29 | VD_VDC



 





 



1 2
1 2
0

1 1 0

1 . 1 0

x x
x x
  

   


  






















3 4 3 0

2 3 2 0

4 3 2 3 1 0

m m
m
m m
 _ _ _ _


 _   

    



2 ₂ ₃ ₀

2
7
2
m m
m
m

   


_  
 _
 




; 3

 



2
7
2
m
m
m

     

_  
 _
 

7
3
2 m

    .

Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3





2 (5 4)
3

y x  m x  m x có hai

điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1  1 x2.

A. 1

m  . B. m 3. C. 1

m  . D. m 3.

Lời giải

ChọnD.

Ta có y x22



m2



x5m4.





0 2 2 5 4 0 (*)

y   x  m x m  .

Để hàm số có hai cực trị x x₁, ₂   0 2 9 0 9
0
m

m m
m
 
   _{ }



Theo hệ thức viet : 1 2

1 2

4 2

. 5 4

x x m

x x m

   



 



(*)

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁  1 x₂ khi và chỉ khi

1 2 1 2 1 2

(x 1)(x 1)0 x x (x x ) 1 0  (**)
Từ (*) và (**) ta có :4 2 m5m4 1 0  m 3.
Đối chiếu điều kiện ta có : m 3

Câu 42: Cho hàm số

3 2

(cos 3 sin ) 8(1 cos 2 ) 1
3

y  x  a a x   a x

(với a là tham số thực). Biết hàm
số ln có hai điểm cực trị x x1, 2_{. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức} 2 2

1 2

Sx x

A. 8. B. 18 . C. 38 . D. 33 .

Lời giải

Chon B.

(160)

30 | VD_VDC

' 0 2 2(cos 3 sin ) 8(1 cos 2 ) 0

y   x  a a x  a  (*)

Theo giả thiết hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2_{nên theo hệ thức viet :}

1 2

3sin cos
4((1 cos 2 )

x x a a

x x a

   



  



Do đó :

2 2

1 2 1 2

( ) 2 (3sin cos ) 8(1 cos 2 )

S x x  x x  a a   a

2 2

9 sin cos 6 sin cos 8(1 cos 2 )
1 cos 2 1 cos 2

9 3 sin 2 8(1 cos 2 )

2 2

a a a a a

a a

    

 

    

13 4 cos 2a 3 sin 2a

  

Do  5 4 cos 2a3 sin 2a5 với mọi giá trị a nên S_max 13 5 18

Câu 43: Biết hàm số 2 3 ( 1) 2 ( 2 4 3)
3

y  x  m x  m  m x có hai điểm cực trị a và b. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức S  ab2(ab)

A. 8. B. 18 . C. 38 . D. 33 .

Lời giải

Chon B.

Ta có : _y_'_₂_x3 _₂₍_m_₁₎_x__m2 _₄_m_₃

3 2

' 0 2 2( 1) 4 3 0

y   x  m xm  m  (*)

Để hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2

2 2

' 0 (m 1) 2(m 4m 3) 0

        

2 ₆ ₅ ₀ ₅ ₁

m m m

         

Theo hệ thức viet :

4 3

a b m

m m

    


  





2 ₈ ₇

2( )

m m

S ab ab   

Xét hàm số f m( )m2 8m7 trên ( 5; 1) 

Nên miền giá trị của f m( ) trên ( 5; 1)  là

x

– ∞

-4

+ ∞

y

+

-9

+ ∞

– 5 – 1

(161)

31 | VD_VDC

0; 9

 
 

Do đó max

9
2

S 

Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3 2 ₂₍ 2 ₃₎
3

y x mx  m  x đạt cực trị tại

các điểm x1_,x2_{sao cho}x1_,x2_{là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng có độ dài}
cạnh huyền bằng 5

A. 13

m  . B. 14

m  . C. 13

m . D. 14

m  .

Lời giải

Chọn B.

Ta có : y'2x3 2mx2m26

3 2

' 0 2 2 2 6 0

y   x  mx m   (*)

Để hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2_{là độ dài các cạnh của một tam giác}

(*)

 _{có hai nghiệm}0 x₁ x₂

' 0 6 6

0 0 3 6

0 ₃

S m m

P _m





    




_  _    

 _ _


 _

  _


Theo hệ thức viet :

1 2

1 2 3

x x m

x x m

  




 




Theo giả thiết:

2 2 2

1 2 1 2 1 2

5 5

( ) 2

2 2

x x   x x  x x 

Hay

2 2 5 2 7 14

2 6

2 2 2

m  m   m  m 

Đối chiếu điều kiện ta được: 14
2

m

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 45: Cho hai hàm số ( ) 1 3 2 3 1

f x  x mx  mx và ( ) 1 3 2 4 1
3

g x  x mx  mx . Tìm tất cả các

(162)

32 | VD_VDC

A. 0

4
m
m
 




. B. 1 0

56 m

   . C. 1 1

4 m 56

    . D. 1 0

4 m

   .

Lời giải

Chọn B.

Ta có: f'( )x  x2 2mx3m; g x'( ) x3 2mx4m

Để f x( ) có hai cực trị x x₁, ₂ và g x( ) có hai cực trị x x₃, ₄ khi và chỉ khi

2
'( )

0 3 0 4

0 4 0 0

f x

g x

m m m

m
m m
      

 
 
  
  _   
  


Khi đó f'( )x 0 có hai nghiệm:

2
1
2
2
3
3

x m m m

 _{ } _ _


   



'( ) 0

g x  có hai nghiệm

2
3
2
4
4
4

x m m m

 _ _ _


  



Để hai điểm cực trị của hàm số f x( ) nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số g x( ) khi và chỉ khi

3 1 2 4

x x x x

hay

2 2 2 2

4 3 2 3 4 (1)

(*)

3 4 3 2 4 (2)

m m m m m m m m m m m

 _ _ _{ } _ _  _ _ _ _
 

 
         
 
 

Nếu m4 thì

2 2 2 2 2 2

(1)4m m 3m4m m 3mm 4m4m m4m m 3m0

Vô nghiệm với m4 nên trường hợp này bị loại

Nếu m0 thì

2 2 2 2 2 2

3 2 4 3 4 4 4 4

(*)

3 2 4 3 4 4 3 4

m m m m m m m m m m m m m

m m m m m m m m m m m m m

 _ _{ } _ _  _ _ _ _ _ _
 
_ _
         
 
 
2 2
2 2

(4 1 4 4 ) 0 4 1 4 4 (3)

(4 1 4 3 ) 0 4 1 4 3 (4)

m m m m m m m

 _{ } _ _  _{ } _
 
_ _
      
 
 

(do m0 )

Do m0 nên (3) luôn đúng

2 2

4 1 0 ₄ 1

(4)

1 56

16 8 1 16( 3 )

m
m

m m m m

m

 

  
 
    
   

  _{ }



Vậy 0 1

(163)

Câu 46: Cho hàm số y f x

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g x

 

xác
định theo f x

 

có đạo hàm g x'

 

 f x

 

m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

 

g x có duy nhất một điểm cực trị.

A.  4 m0. B. 4

m
m

 


 _



. C. 4

m
m

 


 _



. D.  4 m0.

Lời giải
Chọn C

Hàm số y f x

 

m có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị y f x

 

theo trục Oy m đơn vị.
Để hàm số g x

 

có duy nhất một điểm cực trị khi và chỉ khi g x'

 

0 có một nghiệm mà

 

g x đổi dấu qua nghiệm này.

Mà g x'

 

 f x

 

m nên y f x

 

m phải cắt trục Ox tại một điểm (điểm cịn lại có thể
tiếp xúc với trục Ox) và điều kiện là 4

m
m

 


 _



Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx3x2



m1



x3 có hai điểm
cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.

A. 0 3 21
6

m 

  . B. 0 3 21
3

m 

  . C. 3 21 0

3 m



  . D. 3 21 0

6 m



  .

Lời giải
Chọn D

Với m0 hàm số khơng có cực trị.

Xét m0. Ta có y' 3 mx22x m 1.

Để hàm cố có hai điểm cực trị, điều kiện là   ' 1 3m m



1



0

2 3 21 3 21

3 3 1 0

6 6

m m  m 

       .

(164)

Vậy 3 21 0

6 m



  .

Câu 48: Cho hàm số yax4bx2c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a0,b0,c0. B. a0,b0,c0. C. a0,b0,c0. D. a0,b0,c0.

Lời giải
Chọn A

Do lim 0

xy  a .

Đồ thị có hai điểm cực trị, nên ,a b trái dấu. Suy ra b0.

Cho x 0 yc0 (đồ thị cắt trục Oy tại điểm phía trên trục hồnh).

Vậy a0,b0,c0

Câu 49: Tìm m để hàm số 1 3 1

_

_

_

_

3 2 1 1

3 2

y x  m x  m x có hai điểm cực trị lớn hơn 1.

A. 0m1. B. m1. C.  1 m1. D. m 1.

Lời giải
Chọn A

Ta có y'x2



m3



x2



m1



Để hàm số có hai điểm cực trị, điều kiện là  

_

m3

_

28

_

m1

_

0





1 0 1

m m

     . Khi đó ' 0 2

x
y

x m




   _ _



Để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn 1 khi m  1 1 m0.

Vậy 0m1.

Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx23 2



m1



x1 có hai
điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn

2 2

1 2 1 2 3 2 4 1 5 2 1

(165)

35 | VD_VDC

A. 4;1
11

 



 

 . B.

4
1;
11
 

 

 . C.

4
1;

 

 

 . D.

4
1;
11
 
 
 
 .
Lời giải

Chọn A.

Ta có: ymx33mx23 2



m1



x1 y3mx26mx3 2



m1



Hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x₁, ₂khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân

biệt x x₁, ₂





9 9 2 1 0

m m m




 

    


0 1
3
1
0
0
3
m
m
m m
m

 
 
 _
_ 

   
 _
 
Khi đó
1 2
1 2

2
2 1
x x
m
x x
m
 


 
 


2 2

1 2 1 2 3 2 4 1 5 2 1

x  x x  x  x  x 

_

_

2 2

_

_

1 2 2 2 4 1 2 2 1

x x x x x x

        4 2x₂24.2x₂1

2
2

2 2

2
1

2 3 0 ₃

2
x
x x
x
 


    
 _


Vơi x₂  1 x₁3 mà x x_{1 2} 2m 1



  3.

 

1 2m 1



    m1

Vơi ₂ 3 ₁ 1

2 2

x  x  mà x x_{1 2} 2m 1



  3 1. 2 1
2 2

m
m



   4

  

Câu 51: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm

_{ }

_

_





1 2 5

f x x x x  mx . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số y f x

 

có đúng một điểm cực trị.

A. 3. B. 4. C. 6 . D. 5.

Lời giải

Chọn D.

Hàm số y f x

 

có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi f'

 

x 0 có đúng 1 nghiệm bội
lẻ phương trình x22mx 5 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép    m2 5 0

5 m 5

   

Do m nguyên nên m  



2; 1;0;1; 2



.
Vậy có 5 giá trị thỏa mãn.

Câu 52: Biết hàm số f x

 

x3x2mx có một cực trị bằng 1. Cực trị còn lại của hàm số đã cho bằng.

A. 5

 . B. 13

27. C.

27 . D.

5
27 .

Lời giải

Chọn D.

 

3 2

f x x x mx

_{ }

' 3 2

f x x x m

    .

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi ' 1 3 0 1
3

m m

(166)

36 | VD_VDC
Giả sử x x₁, ₂ là hai điểm cực trị của hàm số

1 2
1 2

2
3
.
3
x x
m
x x

  


 
 _



Ta có ' 1 1 2



3 1



3 9 9 9

y y _ x _ m x

 

Giả sử y x

 

₁ 1.

Ta có

_{ }

₁

_{ }

₂ 2

_

3 1

_

₁ ₂

_

9 9

y x y x  m x x  m

_{ }

₂ 2 23

3 27

y x m

    .

Mặt khác

   











2
2

1 2 1 2 1 2

4 1 2

. 3 1 . 3 1

81 9 9 81

y x y x  m x x  m m x x 

3 2

36 9

243

m  m



 

3 2
2
36 9
243
m m

y x 

 

3 2

36 9 2 23

243 3 27

m m

m


    _₃₆_m3_₉_m2_₁₆₂_m_₂₀₇_₀__m_{ }₁_.

 

2
5
27

y x

   .

Câu 53: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số yx3



m1



x2



m4



x4 có giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu đều dương.

A. 11. B. 13 . C. 12. D. 14.

Lời giải

Chọn B.









3 2

1 4 4

yx  m x  m x





3 2 1 4

y x m x m

     

Hàm số đã cho có cực đại, cực tiều khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt



m 1



2 3m 12 0


       m2m110

1 45
2
1 45
2
m
m
  




 _{ }




Giả sử x x₁, ₂ là hai điểm cực trị của hàm số

1 2
1 2
2 2
3
4
3
m
x x
m
x x


 


 

 _


.

Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là









2 1

: 5 13 5 13 3

9 9

d y  m  m x m  m  .

Ta có

 

_

_





_

_

1 2 1 2

2 2

5 13 5 13 6

9 9

y x y x   m  m x x  m  m 













4 2

5 13 1 5 13 6

27 m m m 9 m m

        

(167)

37 | VD_VDC

Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số yx33x2mx m 2 có hai cực trị trái dấu.

A. 4. B. 2. C. vô số. D. 3.

Lời giải

Chọn B.

3 2

yx  x mx m  2

3 6

y x x m

    .

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi    9 3m0m3

Giả sử x x₁, ₂ là hai điểm cực trị của hàm số

1 2

x x

m
x x

  



 













1 1 2 2

' 3 3

3 3 3 3

y y  x  m m

  _  _   

  .

   

1 . 2 0

ycbt y x y x  4

_

_

2 _{1 2} 4

_

_{ }

2 ₁ ₂

_

_

_

2 0

9 m x x 9 m x x 9 m

       





1 2 1 2 1 0

x x x x

     2 1 0

     m3.

Do m nguyên nên m

 

1; 2

Câu 55: Cho hàm số 1 3 1 2 4 10

3 2

y x  mx  x có hai điểm cực trị x x1, 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức







1 1 2 9

S x  x  là?

A. 49 . B. 49. C. 1. D. 1.

Lời giải
Chọn A

y x mx .

Ta có  m2160 m  nên hàm số ln có hai điểm cực trị x x₁, ₂

Khi đó







_

_

_

1 1 2 9 1 1 1 1 2 3 2 3

S  x  x   x  x  x  x 



x x1 2 3 3x1 x2



x x1 2 3 3x1 x2



       

_

x x_{1 2}3

_

2

_

3x₁x₂

_

2

_

x x_{1 2}3

_

21
Vậy maxS1xảy ra khi 3 ₁ ₂ 0 4

x x  m  .

Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 5 2₍ ₁₎ 3 ₍₂ ₃₎ ₁

5 3

y x  m x  m x có

bốn điểm cực trị lập thành một cấp số cộng.

A. m

 

6 . B. m

 

9 . C. 6;14
9

m  

 . D.

14
9;

m  

 .

Lời giải
Chọn A





4 ₂ ₁ 2 ₂ ₃

y x  m x  m .





4 2

0 2 1 2 3 0

y  x  m x  m  .

_{ }

1
Đặt _t__x2

_

_t_₀

_

_{ta được phương}





2 ₂ ₁ ₂ ₃ ₀

t  m t m  .

_{ }

(168)













1 2 3 0

0 2 1 0 .

0 2 3 0

m m

S m m

P m
 _ _ _ _

 
 _
 
_  _    
 _  _{ }
 __

Khi đó phương trình

 

1 có bốn nghiệm là  t₂; t₁; t₁; t₂ .

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi 2 1 1 ₂ ₁ ₂ ₁

1 2 1

3 9

t t t

t t t t

t t t

   

   

  


.

Theo định lí Vi-ét thì 1 2
1 2

2( 1)

2 3

t t m

t t m

  


 







1 1
1 1

9 2( 1

9
.

)

2 3

t t m

  

 _ _

2

9 68 84 0 ₁₄

9
m
m m
m



    
 _


(thỏa mãn điều kiện 3
2

m ).

Câu 57: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số _y__x3__m ₄__x2 _{có ba điểm cực trị là}



6; 6 \ 0



_{ }

. B.

_

6; 6 \ 0

_{  }

. C.

_

2; 2 \ 0

_{  }

. D.



2; 2 \ 0



_{ }

Lời giải
Chọn A

Tập xác định của hàm số là D 

_

2; 2

_

.
2

2 2

3 3

4 4

mx m

y x x x

x x
 
    _  _
   
.

 

2
0
0

3 0 1

4
x
y m
x
x




  
  
 _

.

 

1 __{3 . 4}_x __x2 __m

_

_x_{ }₂

_

_.
Xét hàm số

_{ }

3 . 4

f x  x x có

 

2 2

3 6 12

3. 4

4 4

x x

f x x

x x

 

    

 

 

0 2

f x   x  .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy khi m 

_

6; 6 \ 0

_{  }

thì

_{ }

1 ln có hai nghiệm đơn phân biệt khác
0 . Suy ra y ln có 3 nghiệm đơn và y đổi dấu khi qua các nghiệm này.

Vậy khi m 

_

6; 6 \ 0

_{  }

thì hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 58: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42(m2)x24(m3)x1 có ba
điểm cực trị.

A. 11

m  . B. 13

m  . C. 5 13

    . D. 5 11
4

(169)

39 | VD_VDC

Lời giải
Chọn D









4 4 2 4 3

y  x  m x m

















3 2

0 4 4 2 4 3 0 1 3 0

y   x  m x m   x x  x m  .

 

3 0 1

x x m



 

   



Hàm số đã cho có ba điểm cực trị 

_{ }

1 có hai nghiệm phân biệt khác 1







1 4 3 0

1 1 3 0

m m

m


  

  

 



 

   



 _ _{ }

 5 11

    .

Câu 59: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx48mx33



m2



x24 chỉ có
đúng một điểm cực trị.

A. m2 hoặc  2 m 1. B. m 2 hoặc 1 2
2 m 3
   .

C. m2 hoặc m 1. D.  1 m2.

Lời giải

Chọn B.

Ta có y 4x324mx26



m2







 

0
0

2 12 3 2 0 *

x
y

x mx m



   

   



Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị  phương trình

 

* vơ nghiệm hoặc có một nghiệm
0

x ; hoặc có một nghiệm kép khác 0 .









36 6 2 0

3 2 0

m m



    
 

 


   hoặc 1 2
2 m 3
   .

Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số









2 2

2 2 3 9 2

y m  m x  m m x  m x có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂ và

1 2 2 1

x x  mx mx .

A. 1 5

2 m 2

   . B. 0 5
2

  .

C. 1 5

2 m 2

   và m0. D. 1

m  hoặc 5
2

m .

Lời giải

Chọn C.

Ta thấy _m2_₂_m_₂_₀_và_₉_m2 _₀_{, với mọi}

m.
Hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2  m0.

(170)

40 | VD_VDC
Theo định lí Viet, ta có





1 2 2

2 2

m m

x x

m m

m
x x

m m

 

   

 _ _




 

 _ _



Theo giả thiết, x x_{1 2} mx₂ mx₁ x x_{1 2}  m x

_

₁x₂

_





2
2

2 2

2
3

2 2 2 2

m m

m m m m

  

 

   

  _   _

 





3m 2 m m

    1 5

2 m 2

   và m0.

Câu 61: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 2

1
3

y x mx mx có hai điểm cực trị x x₁, ₂

thỏa mãn x₁x₂ 2 2.

A. m 1 hoặc m2. B. m 2 hoặc m1.

C. m1 hoặc m0. D. m0 hoặc m2.

Lời giải

Chọn A.

y x  mx m .

Hàm số có hai điểm cực trị x x₁, ₂ m 0 m1.

Khi đó, Theo định lí Viet, ta có 1 2
1 2

x x m

x x m

 






Theo giả thiết, x₁x₂ 2 2





1 2 4 1 2 8

x x x x

    4m24m 8 0m  1 m2.

Câu 62: Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số 3

_

_





2 1 4 1 2 2

yx  m x  m  m x m  có hai

điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn



₁ ₂



1 2

1 1 1

2 x x

x x   .

A. m

 

1;5 . B. m 



1;5



. C. m 



1;1



. D. m 



5;1



Lời giải

Chọn A.





2 2

3 4 1 4 1

y  x  m x m  m .

Hàm số có hai điểm cực trị x x₁, ₂ 2

4 1 0

m m

    m  2 3m  2 3.

Khi đó, Theo định lí Viet, ta có





1 2

2
1 2

4 1

x x

m m

x x

 

  





 
 _

(171)

Theo giả thiết,



₁ ₂



1 2

1 1 1

2 x x

x  x  



1 2



_{1 2}

1 1

0
2

x x

x x

 

  _  _

 





4 1

0
3

4 1

2
3

m m

 

 





  





  (chọn) hoặc m 1 (loại) hoặc m5(chọn).

Kết luận m

 

1;5 .

Câu 63: Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.

Lời giải

Chọn B.

Từ đồ thị ta thấy đồ thị bên phải đi lên và giao điểm với trục tung nằm phía trên Ox nên
0; 0

a d  .

Hai điểm cực trị nằm về bên phải trục tung, nên chúng cùng dấu, do đó a c, cùng dấu, suy ra
0

c .

Tâm đối xứng của đồ thị nằm bên phải trục tung nên 0
3

  . Suy ra b0.

Câu 64: Biết hàm số f x( )2x33ax26x1 và g x( )2x33bx212x4 có chung ít nhất một
điểm cực trị.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b bằng

A. 2 22. B. 2 6. C. 3 2. D. 3 6.

Lời giải

Gọi t là điểm cực trị của hàm số ( )f x và ( )g x .Vì ( ), ( )f x g x có đạo hàm trên



 ;



nên

'( ) 0
'( ) 0

f t
g t








6 6 6 0

6 6 12 0

t at

t bt

   


 

  




a t

b t

t


  



 

   




.Ta có:a b t 1 t 2

t t

    t 1 t 2

t t

   

2t 2 6

(172)

42 | VD_VDC

Câu 65: Tìm m để hàm số f x( )x33x2mx1 có hai điểm cực trị x x₁, ₂ thỏa mãn x₁2x₂2 3.

A. 3

m  . B. 2

m . C. 3

m . D. 2

m  .

Lời giải

TXĐ:D; ta có f x'( )3x26x m  x D.Giả sử hàm số f x( ) có hai điểm cực trị
1, 2

x x x x1, 2 là các nghiệm của phương trình f x'( )0

1 2
1 2
2

3
x x
m
x x
 


 




.Do đó x₁2x2₂ 3



x1 x2



2 2x x1 2 3

    4 2 3 3

3 2

     .(Đến đây có thể chọn đáp án:Chọn B. )

Với 3
2

m , thử trực tiếp thấy hàm số ( )f x có hai điểm cực trị.Chọn B.

Câu 66: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y



1m x



3x2



m2



x2 có hai
điểm cực trị trái dấu.

A. m 2. B.  2 m1. C. m1. D. 2

1
m
m
 

 _

.
Lời giải

TXĐ:D; ta có f x'( )3 1



m x



22x



m2



 x D.Giả sử hàm số f x( ) có hai điểm
cực trị x x₁, ₂x x₁, ₂ là các nghiệm của phương trình f x'( )0





1 2
2
3 1
m
x x
m

 

 .Do đó

1 2 0

x x  





1
2
0
2
3 1
m
m
m
m



 _{ }
 

 _ .Mặt khác khi

2
1
m
m
 

 _



thì f x'( )0có hai nghiệm phân

biệt x x₁, ₂ đồng thời f x'( ) đổi dấu qua các nghiệm đó f x( ) có hai điểm cực trị x x₁, ₂.

Chọn D.

Câu 67: Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số ymx33



m1



x29



m2



x1có hai điểm
cực trị x₁, x₂ thỏa mãn x₁2x₂ 1 bằng

A. 10

3 . B.

3. C.

3. D.

8
3.

Lời giải
Chọn D

Với m0 ta có y3x218x1 đồ thị chỉ có một cực trị, khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.

Với m0.

Ta có y 3mx26



m1



x9



m2



Để đồ thị hàm số có hai cực trị khi 3mx26



m1



x9



m2



0 có hai nghiệm phân biệt
khi   18m236m 9 0 2 6 2 6

2 m 2

 

   .

Theo vi et ta có x₁ x₂ 2m 2 1

_{ }



  ;x₁2x₂1 2

 

; x x_{1 2} 3m 6 3

_{ }



(173)

Từ

 

1 và

 

2 ta có
1

3 4

m
x

m
m
x

m










 _




thay vào

 

3 ta có ₆_m2_₁₆_m_{ }₈ ₀

2
3

m
m






 


Vậy ta có tổng các giá trị của tham số m là: 2 2 8
3 3
  .

Câu 68: Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.

C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.

Lời giải
Chọn C

Ta có y 3ax22bx c .

Dựa vào đồ thị hàm số ta có a0, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên ta có
0

d .

Mặt khác đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực trị có hồnh độ bằng 0 , theo Vi-et ta có
1 2

2
0
3

x x

    b0, (vìa0 ); ₁. ₂
3

c
x x

 0

c
a

   c 0.

Câu 69: Tìm m để hàm số f x

 

mx42x21 có ba điểm cực trị x1_, x2_, x3_{thỏa mãn}

2 2 2

1 2 3 2

x x x  _.

A. m1. B. 1

m . C. m2. D. 1

m .

Lời giải
Chọn A

Với m0 ta có y 2x21 đồ thị chỉ có một cực trị, khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
Với m0.

Ta có y 4mx34x_₄_{x mx}



2_₁



Đồ thị hàm số có ba cực trị khi ₄_{x mx}



2_₁



_₀

0
1

x
x

m
x

m


 _




_ 




 





m0



Khi đó ta có x₁2x₂2x₃2 2 1 1 2

m m

   _₂_m2_₂_m_₀ 0





m ktm

m


 




.
Vây ta có m1.

(174)

44 | VD_VDC

A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .

Lời giải
Chọn A

Ta có y 3x26x m .

Đồ thị hàm số có hai cực trị khi   0m3.

Gọi hai điểm cực trị là ₁;



2 6



1
3

m x m

A x_   _

 

; ₂;



2 6



2
3

m x m

B x_   _

 

, với x x₁, ₂ là hai

nghiệm của phương trình 2

3x 6xm0.

TH1: A là điểm có cực trị bằng 1 , khi đó ta có



2 6



1 1
3

m x m

 





3 1

2 3 2

m
x

m


  

 .

Theo Vi-et ta có x₁x₂ 2 ₂ 5

   mà ₁. ₂ 15

3 4

x x  m  .

TH2: B là điểm có cực trị bằng 1 , khi đó ta có



2 6



2 1
3

m x m

 





3 1

2 3 2

m
x

m


  

 .

Theo Vi-et ta có x1x2 2 1
5
2

   mà ₁. ₂ 15

3 4

x x  m  .

Vậy 15

(175)

1 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1: Cho hàm số f x

 

x33x2.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng





;0



và nghịch biến trên khoảng



0;





B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



 

;



C. Hàm số đồng biến trên khoảng



 

;



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng





;0



và đồng biến trên khoảng



0;





Câu 2: Hỏi hàm số

2

1 y

x





nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?



0;





. B.





1;1



. C.



 

;



. D.





;0



Câu 3: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng



 

;



1

3 x

y

x







. B.

y



x



x

. C.

1

2 x

y

x







. D.

3 y

 

x



x

Câu 4: Cho hàm số y f x

 

x33x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0; 2



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



2;





C. Hàm số đồng biến trên khoảng



0; 2



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng





;0



Câu 5: Cho hàm số

y



f x

 

có đạo hàm f '

 

x x2   1, x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng





;0



B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



1;





C. Hàm số nghịch biến trên khoảng





1;1



D. Hàm số đồng biến trên khoảng



 

;



Câu 6: Cho hàm số _y__x4_₂_x2_{. Mệnh đề nào dưới đây đúng?}

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



 ; 2



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

_

 ; 2

_

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



1;1



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

_

1;1

_

Câu 7: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

+

-

+
_

+ 0 ₀

0 2

-2

(176)

2 | VD_VDC

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



2;0



B. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0



C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0; 2



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



 ; 2



Câu 8: Cho hàm số y 2x21. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



1;1



B. Hàm số đồng biến trên khoảng

_

0;

_

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0;



Câu 9: Xét các mệnh đề sau:

(1) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng



a; b



. Hàm số y f x( ) đồng biến trên
khoảng



a; b



khi và chỉ khi f x( )0, x



a; b



(2) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng



a; b



. Hàm số y f x( ) đồng biến trên
khoảng



a; b



khi và chỉ khi f x( )0, x



a; b



(3) Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

 

và f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f a  f b( )ab.

(4) Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

_{ }

và f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f a  f b( )ab.

Số mệnh đề đúng là:

A. 2 B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 10: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên



a b;



. Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu f

 

x 0, x



a b;



thì hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng



a b;



.
(2) Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

thì hàm số f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng

_

a b;

_

.
(3) Nếu f

 

x 0, x



a b;



thì hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng



a b;



.
(4) Nếu f

 

x 0, x



a b;



thì hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng



a b;



.
(5) Nếu hàm số f x

 

đồng biến trên



a b;



thì f

 

x 0, x



a b;



(6) Nếu hàm số f x

 

nghịch biến trên



a b;



thì f

 

x 0, x



a b;



.
Số mệnh đề đúng là?

A. 6 B. 4 C. 0 D. 2

Câu 11: Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

x 0,  x



2; 2 ;



f

 

x 0, x \



2; 2



và

 



2; 2



f x   x 

(177)

3 | VD_VDC

Xét các mệnh đề sau:

(1) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



2; 2



(2) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi khoảng

_

 ; 2

_

và

_

2;

_

.
(3) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



2; 2



(4) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi nửa khoảng



 ; 2



và

_

2;



.
(5) Hàm số đã cho là hàm hằng trên đoạn

_

2; 2

_

(6) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên

_

 ; 2

_{ }

 2;

_

.
Số mệnh đề đúng là?

A. 5 B. 6 C. 4 D. 2

Câu 12: Cho hàm số f x

 

đồng biến trên đoạn



2; 2



. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
B. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
C. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
D. f

_

2

_

 f

_{ }

1  f

_{ }

1  f

_{ }

Câu 13: Cho hàm số f x

_{ }

nghịch biến trên đoạn

_

2; 2

_

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
B. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
C. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
D. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

Câu 14: Cho hàm số f x

 

xác định trên đoạn



2; 2



và với mọi x x₁, ₂ 



2; 2



và x₁ x₂ ta ln có



x1x2





f x

 

1  f x

 



0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
B. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
C. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

2
D. f



2



 f

 

1  f

 

1  f

 

Câu 15: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm

_{ }

f x  x   x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

_

 ;

_

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng



 ; 1



và



1;



C. Hàm số đồng biến trên khoảng



1;1



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



 ;



Câu 16: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

_

 ;

_

A.
2

2
1

x x

y
x




 B. 2

2
1
y



 C.

1
y x

(178)

4 | VD_VDC

Câu 17: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng



 ;



A.
2

2
1

x x

y
x




 B. 2

2
1
x
y



 C. yxcos 2x D. 2
1

x
y




Câu 18: Hỏi hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng



 ;



A. 2 1

3
x
y




 B. 2

1
1
y



 C.

y xx D. y cosx2x

Câu 19: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm

 







₂



4
,
1

x x

f x x



   



. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0; 4 .



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



 ;



C. Hàm số đồng biến trên khoảng

_

 ;

_

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng



;0



và



4;



Câu 20: Cho hàm số f x

_{ }

có đạo hàm f

_{ }

x 0, x  và

_{ }

0 ,

f x  x k k. Mệnh đề
nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



 ;



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

_

 ;

_

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2

3 k 3 k



 

 

 

 .

D. Hàm số đồng biến trên



;



\ ,

3 k k



 

  _  _ 

  .

Câu 21: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên khoảng

_

a b;

_

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Nếu f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

a b;

_

thì f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

.
B. Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a; b

_

thì f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

a b;

_

C. Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

thì f x

_{ }

nhận giá trị không đổi trên khoảng

_

a b;

_

.
D. Nếu f x

_{ }

nhận giá trị không đổi trên

_

a b;

_

thì f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

Câu 22: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên khoảng

_

a b;

_

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Nếu f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng

_

a b;

_

thì f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

.
B. Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a; b

_

thì f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng

_

a b;

_

C. Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

thì f x

_{ }

nhận giá trị không đổi trên khoảng

_

a b;

_

.
D. Nếu f x

_{ }

nhận giá trị khơng đổi trên

_

a b;

_

thì f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

Câu 23: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên đoạn

_

a b;

_

và f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

. Xét các mệnh đề

(179)

5 | VD_VDC
(3) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng

_

a b;

_

(4) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng

_

a b;

_

.
Số mệnh đề đúng là?

A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 .

Câu 24: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên đoạn

_

a b;

_

và f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

. Xét các mệnh đề
sau:

(1) Hàm số nghịch biến trên đoạn



a b;



.
(2) Hàm số nghịch biến trên

_

a b;

_

(3) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng

_

a b;

_

.
(4) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng

_

a b;

_

.
Số mệnh đề đúng là?

A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 .

Câu 25: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm trên đoạn



a b;



Xét các mệnh đề sau:

(1) Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a; b

_

thì f x

_{ }

đồng biến trên đoạn



a b;



.
(2) Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a; b

_

thì f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

a b;

_

.
(3) Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a; b

_

thì f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng

_

a b;

_

.
(4) Nếu f

_{ }

x 0, x

_

a; b

_

thì f x

_{ }

nghịch biến trên đoạn

_

a b;

_

(5) Nếu phương trình f

_{ }

x 0 có nghiệm x₀

_

a b;

_

thì f

_{ }

x đổi dấu khi qua x₀.
Số mệnh đề đúng là?

A. 5. B. 2 . C. 4 . D. 3.

Câu 26: Cho hàm số y f x

_{ }

có đạo hàm f

_{ }

x 0, x

_

0;

_

và f

_{ }

1 2. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. f

_{ }

2  f

_{ }

4 4. B. f

_{ }

2  f

_{ }

4 4.
C. f

_{ }

2  f

_{ }

4 4. D. f

_{ }

2  f

_{ }

4 4.

Câu 27: Cho hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

1;3

_

. Đặt _{g x}

_{ }

_ _{f x}

 

2 _{. Mệnh đề nào dưới đây}

đúng?

A. Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

1;3

_

B. Hàm số y f x

_{ }

đồng biến trên khoảng



1; 3 .



(180)

D. Hàm số y f x

 

nghịch biến trên khoảng



1; 3 .



Câu 28: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện x x₁, ₂;x₁x₂ thì

_

x₁x₂

_



f x

_{ }

₁  f x

_{ }

₂



0?

A. y x 1

  . B. yx42x21.

C. yx32x21. D. yx3x23x1.

Câu 29: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện x x₁, ₂;x₁x₂ thì

_

x₁x₂

_



f x

_{ }

₁  f x

_{ }

₂



0?

A. y 1 x3. B. 2 3

1
x
y




 .

2 ₁
x
y




. D. yx33x1.

Câu 30: Cho hàm số y f x

_{ }

xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hỏi số nguyên nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số y f x

_{ }

A. 1. B. 1.

C. 0. D. 3.

Câu 31: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm f

 

x 0, x



0;



và f

 

1 2. Mệnh đề nào dưới đây

có thể xảy ra

A. f

 

1 2. B. f

 

2 1. C. f

 

2  f

 

4 4. D.



2018





2019



f  f .

Câu 32: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm và là hàm đơn điệu trên khoảng



a b;



. Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A. f

 

x 0, x



a b;



.
B. f

 

x 0, x



a b;



.
C. f

 

x 0, x



a b;



D. f

 

x không đổi dấu trên khoảng



a b;



Câu 33: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm trên khoảng



a b;



. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Nếu f x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

a b;

_

thì f

_{ }

x 0, x

_

a b;

_

.
B. Nếu f

 

x 0, x



a b;



thì hàm số nghịch biến trên khoảng



a b;



.
C. Nếu hàm số nghịch biến trên



a b;



thì f

 

x 0, x



a b;



D. Nếu f

 

x 0, x



a b;



thì hàm số đồng biến trên khoảng



a b;



Câu 34: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm và đồng biến trên khoảng



a b;



. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?

(181)

C. f '

 

x 0, x



a b;



. D. f '

 

x 0, x



a b;



Câu 35: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm và nghịch biến trên khoảng



a b;



. Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. f '

 

x 0, x



a b;



. B. f '

 

x 0, x



a b;



C. f '

 

x 0, x



a b;



. D. f '

 

x 0, x



a b;



Câu 36: [2D1-1] Cho hàm số y f x( ) đồng biến trên ( ; ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. x x₁, ₂ ta có f x( )₁  f x( )₂ . B. x x₁, ₂,x₁x₂ ta có f x( )₁  f x( )₂ .
C. x x₁, ₂ ta có f x( )₁  f x( ₂). D. x x₁, ₂,x₁x₂ ta có f x( )₁  f x( ₂).
Câu 37: [2D1-2] Cho hàm số y f x( ) liên tục trên

_

3; 3

_

và có đạo hàm f x( ) trên

_

3;3

_

. Đồ thị

của hàm số y f x( ) như hình vẽ sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng



 3; 1



và



1; 3 .



B. Hàm số nghịch biến trên

_

1;1

_

C. Hàm số đồng biến trên

_

2; 3

_

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

_

 3; 1

_

và

_

1; 3 .

_

Câu 38: [2D1-2] Cho hàm số y f x( ). Hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng



 ; 1



. B.



2;



. C.



1;1



. D.



1; 4 .



-2

O 1

-3

-1
-1

(182)

8 | VD_VDC
Câu 39: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x( )x x



2



3 với mọi x. Hàm số đã cho nghịch

biến trên khoảng nào dưới đây?

_

1; 0

_

. B.

_

1; 3 .

_

_

0;1 .

_

_

2; 0

_

Câu 40: Hàm số y



x2x



2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây

_

0;1 .

_

B. 0;1
2

 

 

 . C.



2; 0



. D.



1; 2 .



Câu 41: Cho hàm số y f x

_{ }

có bảng biến thiên như sau

x  1 1 2 

y + 0 + 0  0 +

y 




Hàm số f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng nào sau đây



; 0



. B.



0;1 .





 ; 1



. D.



1; 2 .



Câu 42: Cho hàm số y f x

_{ }

có bảng biến thiên như sau

x  0 2 

y  0 + 0 
y







Hàm số f x

_{ }

đồng biến trên khoảng nào sau đây

_

1; 5

_

. B.

_

0; 2

_

. C.

_

; 0

_

. D.

_

2;

_

Câu 43: Cho hàm số y f x

_{ }

có bảng biến thiên như sau

x  1 3 

y + 0  0 +

y 






Hàm số f x

_{ }

đồng biến trên khoảng nào sau đây

_

; 4

_

. B.

_

2; 4

_

. C.

_

 2;

_

. D.

_

3;

_

(183)

Hàm số f x

_{ }

đồng biến trên khoảng nào sau đây



1; 2 .





 ; 2



. C.



2;



. D. 1;3
2

 



 

 

Câu 45: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?

1
x
y



 . B.

4 2
1

yx x  . C. ₂1
1
y



 . D.

3
1
yx  .

Câu 46: [2D2-2] Cho hàm số f x

_{ }

có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f x

_{ }

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

_

5; 2

_

. B.

_

1; 2

_

. C.

_

 ; 1

_

. D.

_

 1;

_

Câu 47: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?

A. yx3x2. B. yx4x2. C. yx3x. D. y x4x.

Câu 48: [2D1-2] Cho hàm số y f x

_{ }

có bảng biến thiên sau

A. 30. B. 36. C. 34. D. 32.

Câu 49: [2D1-2] Cho hàm số y f x

_{ }

có bảng biến thiên như sau

A. 30. B. 36. C. 34. D. 32.

---HẾT---

-5

+ 0 - 0 +

+∞
2

-1
-∞

(184)

10 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO

VTED_2019

CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12

Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc

BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số f x

 

x33x2.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng





;0



và nghịch biến trên khoảng



0;





B. Hàm số nghịch biến trên khoảng



 

;



C. Hàm số đồng biến trên khoảng



 

;



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng





;0



và đồng biến trên khoảng



0;





Hướng dẫn giải
Chọn B

Do f '

 

x 3x2 30  x 

Câu 2: Hỏi hàm số ₂

2

1 y

x





nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?



0;





. B.





1;1



. C.



 

;



. D.





;0



.
Hướng dẫn giải

Chọn A

'

 

₂

4

₂

0 (

1)

x

f

x







 



Câu 3: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng



 

;



1

3 x

y

x







. B.

y



x



x

. C.

1

2 x

y

x







. D.

3 y

 

x



x

.
Hướng dẫn giải

Chọn B

Do f '

_{ }

x 3x2  1 0  x 

Câu 4: Cho hàm số y f x

_{ }

x33x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0; 2



(185)

11 | VD_VDC

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



0;2



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng





;0



Hướng dẫn giải
Chọn A

Do f '

 

x 3x2 6x0  x (0; 2)

Câu 5: Cho hàm số

y



f x

 

có đạo hàm f '

 

x x2   1, x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng





;0



B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng



1;





C. Hàm số nghịch biến trên khoảng





1;1



D. Hàm số đồng biến trên khoảng



 

;



Hướng dẫn giải
Chọn D

Do f '

 

x  x2 1 0  x 

Câu 6: Cho hàm số _y__x4_₂_x2_{. Mệnh đề nào dưới đây đúng?}

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



 ; 2



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

_

 ; 2

_

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



1;1



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

_

1;1

_

Hướng dẫn giải
Chọn B

Ta có 4 3 4 0 1

0 1

y x x

 


   _{  }

 



Câu 7: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



2;0



B. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0



C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

_

0; 2

_

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



 ; 2



Hướng dẫn giải
Chọn C

Câu 8: Cho hàm số y 2x21. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



1;1



B. Hàm số đồng biến trên khoảng



0;



+

-

+ 0 ₀

0 2

-2
y'

(186)

12 | VD_VDC

C. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0



D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



0;



Hướng dẫn giải
Chọn B

Câu 9: Xét các mệnh đề sau:

(1) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng



a; b



. Hàm số y f x( ) đồng biến trên
khoảng



a; b



khi và chỉ khi f x( )0, x



a; b



(2) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng



a; b



. Hàm số y f x( ) đồng biến trên
khoảng



a; b



khi và chỉ khi f x( )0, x



a; b



(3) Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

 

và f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f a  f b( )ab.

(4) Cho hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

_{ }

và f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f a  f b( )ab.

Số mệnh đề đúng là:

A. 2 B. 3. C. 0. D. 1.

Hướng dẫn giải
Chọn C

Mệnh đề (1) và (2) sai. Với hàm f x( )có đạo hàm trên khoảng



a; b



, khi nhắc đến điều kiện
cần và đủ để hàm số đồng biến trên khoảng

_

a; b

_

thì gồm f x( )0, x

_

a; b

_

và f x( )0 tại
hữu hạn điểm trên khoảng



a; b



Mệnh đề (3) sai. Chẳng hạn xét hàm f x( ) x 1
x



 có f x( ) 1₂ 0, x 0
x

     , với
1; 1, a b

a b   nhưng (1)f 0, f( 1) 2, f(1)f( 1) .
Tương tự mệnh đề (4) sai.

Câu 10: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên



a b;



. Xét các mệnh đề sau: