Tải bản đầy đủ (.pdf) (822 trang)

Một số chuyên đề vận dụng và vận dụng cao của Vted ôn thi THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (23.72 MB, 822 trang )

(1)

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VẬN


DỤNG VÀ VẬN DỤNG


CAO VTED CÓ LỜI GIẢI



CHI TIẾT



Sưu tầm và chỉnh sửa bởi tạp chí và tư liệu toán học


Link: https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/




(2)

1 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO


VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút


Câu 1. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2 3


3 3 1


yxmxmxm có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh.
A.

1;1

. B. 3 3;


2 2



 




 


 . C.


2 2
;
3 3


 




 


 . D.


4 4
;
3 3


 




 



 .


Câu 2. Có bao nhiêu số ngun khơng âm m đề đồ thị hàm số yx33x2mxm2 có các điểm
cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành?


A. 4. B. 2. C. Vơ số. D. 3 .


Câu 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 3 2 3 2 1 3


yxmxmx m có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A.

1;1

. B. 3 3;


2 2


 




 


 . C.


2 2
;
3 3



 




 


 . D.


4 4
;
3 3


 




 


 .


Câu 4. [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số yx42x22 và ymx4nx21 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015m3 .n


A. 2018. B.

2017

. C. 2017. D. 2018.


Câu 5. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số





3 2 2 3


2


2 1 1


3


y  xmxmxm có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A.

1;

. B.

0;1

.


C.

;1

. D.

; 0

 

 1;

.


Câu 6. [2D1-3] Cho hàm số f x

 

x3ax2bx c , có đồ thị

 

C với , ,a b c là các số thực. Biết

 

C có hai điểm cực trị AB, ba điểm , ,O A B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sabc ab c  bằng


A. 9. B.

25


9



. C. 16


25


 . D. 1.


Câu 7. [2D1-2.10-3] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Có bao nhiêu số nguyên

2018; 2018



m  để đồ thị hàm số 1 3 2

2 1

3

3


yxmxmx có hai điểm cực trị nằm về
hai phía của đường thẳng y x?


A. 2017. B. 4034. C. 4033. D. 2016.


Câu 8. [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số yx33x22. Tính đố dài đoạn thẳng AB.


A. AB2 2. B. AB2 17. C. AB2 5. D. AB2 10.



(3)

2 | VD_VDC
A. 5; 358


3 27
M  


 . B.


5 338
;
3 27
N  


 . C. Q

 5; 234

. D. P

5; 14

.


Câu 10. [2D1-2] Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3x22x1. Viết phương
trình đường thẳng AB.



A. 7 14


9 9


y  x . B. 14 7


9 9


yx . C. 7 14


9 9


yx . D. 14 7


9 9


y  x .
Câu 11. [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

2 1



3


yxmxmx có hai
điểm cực trị AB sao cho góc AOB nhọn.


A.  1 m1. B. m1. C. m 1. D. 1
1
m
m


 






.


Câu 12. [2D1-2] Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x1. Tính cos

OA OB ,

.
A. cos

,

2


5


OA OB    . B. cos

,

2
5
OA OB   .
C. cos

,

1


5


OA OB   . D. cos

,

1
5
OA OB    .


Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số


3 2


6 9 2


yxmxxm có hai điểm cực trị ,A B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng 4 5



5 . Tính tích các phần tử của S
A. 1. B. 37


8 . C.


37


64. D. 1


Câu 14. Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33mx23

m21

xm3m (với m
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại


2;1


C
A. 5


8


 . B. 8


5. C.


8
5


 . D. 5


8



Câu 15. Biết rằng đồ thị hàm số yx33mx23

m21

xm3 ln có hai điểm cực trị AB,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi Anằm trên đường thẳng nào dưới đây?


A. y 3x1. B. y 3x1. C. y3x1. D. y3x1


Câu 16. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33x2m có hai điểm cực trị A, B sao cho
góc AOB1200


A. 2. B. 0. C. 1. D. 4.


Câu 17. Biết rằng đồ thị hàm yx33mx23

m21

xm3 ln có hai điểm cực trị ,A B trong đó A
là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?


A. y 3x1. B. y 3x1. C. y 3x1. D. y3x1


Câu 18. Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số




3 2 2 3


3 3 1



(4)

3 | VD_VDC
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
Tính tổng các phần tử của S.


A. 6. B. 4 2. C. 6. D. 4 2
Câu 19. Tìm m để hàm số 1 3

1

2 4

1

3



3 3


yxmxm có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác
phía với đường trịn x2y24x 3 0?


A

1;1 .

B.

2; 2 .

C. 1 1; .
2 2


 




 


  D.

 ; 1

 

 1;

.
Câu 20. Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 ln có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính


đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?
A m1. B.


3
3


.
4


mC. m 32. D.


3
1



.
2
m


Câu 21. Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 luôn có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường
trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?


A 2. B.


3
3


.


2 4 C. 1. D. 3


1
.
2


Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2


2 1 3 2 4


y xmxmmx có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục


tung.


A. 1


2


m  . B. 1m2. C. 1
2


m  . D. m1 hoặc m2.
Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2


3 1 3 2 2


yxmxm mx m có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?


A. 0. B. 3. C. 1. D. 4.


Câu 24. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số y2x3mx212x13 có điểm cực đại và điểm
cực tiểu cách đều trục tung.


A. 2. B. 1. C. 0 . D. 3 .


Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x2mx2
có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1



2


yx . Tính tổng các phần tử của S.
A. 2


3. B.


3


2. C.


-3


2. D.


2
3
 .


Câu 26. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33mx24m3 có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng yx.


A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.


Câu 27. Có bao nhiêu số nguyên m 

5;5

để đồ thị của hàm số yx3

m2

x2m x m2  32m2
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh?



(5)

4 | VD_VDC
Câu 28. Với mọi m0; đồ thị hàm số 1 4 2 2



4


yxmxm luôn có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua
ba điểm cực trị nay đi qua điểm (2; 24)A . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. 1m3. B. 5m7. C. 3m5. D. 0m2.
Câu 29. Biết rằng hàm số


2


2 3


2


x x m


y


x
 


 có hai điểm cực trị phân biệt x x1; 2.Tính giá trị biểu thức


1 2


1 2
( ) ( )
f x f x


S


x x



 .


A. S  2. B. S 4. C. S 2. D. S  4.
Câu 30. [2D1-4] Cho hàm số



2 3


1 1


x m m x m
y


x m


   




 có đồ thị

Cm

. Hỏi điểm nào trong các điểm
dưới đây là điểm cực đại của

Cm

tương ứng với mm1 đồng thời cũng là điểm cực tiểu của


Cm

tương ứng với mm2.
A. 1 5;



2 4
M


 . B.


1 7


;


2 4


N  


 . C.


1 5


;


2 4


P  


 . D.


1 7
;
2 4
Q 



 .
Câu 31. [2D1-4] Biết rằng hàm số


2
2


3 5 1


2


x x


y


x x m


 


  có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m1. Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số


A. 3


1 1


x
y


m m



 


  . B.



3


2 1 2 1


x
y
m m
 
  .
C.


3


2 1 2 1


x
y


m m


 


  . D.


3


1 1
x
y
m m
 
  .
Câu 32. Gọi , , A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 4 2 2


2


yxx  . Viết phương trình đường
trịn đi qua ba điểm , , A B C.


A. x2 y2 4 0 B. 2 2 3 7 0.


2


xyy 
C. 2 2 3 1 0.


2


xyy  D. x2 y2 3y100.


Câu 33. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2m x2 2m có ba điểm
cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích
bằng nhau.


A.

 2; 2

B.

62; 26

C.



 

2 D.

 

62


Câu 34. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

2m1

x 3 m vng góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21


A. 3
4


m. B. 1


4


mC. 1


2


m  D. 3


2
m



(6)

5 | VD_VDC
A.

 

3 . B.

 

1 . C.

 

6 . D. .


Câu 36. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

m1

x 4 m tạo với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21 góc 45 . 0


A. 4; 2
3



 




 


 . B.


2
4;


3


 


 


 


 . C.

4; 2

. D.


4 2


;


3 3


 


 



 


 .


Câu 37. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx2m có ba
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.


A. m1. B. 0m1. C. 0m2. D. m2.


Câu 38. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2mx2 m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 2.


4
A. 1 .


2


mB. 1.


2


mC. m 2. D. 1 .


2 2
m


Câu 39. Cho hàm số


2 3 3



x x m


y


x m
  


 có đồ thị

 

C . Biết đồ thị

 

C có một điểm cực trị thuộc
đường thẳng yx1. Tìm điểm cực trị cịn lại của hàm số đã cho.


A. x2. B. x3. C. x5. D. x7.
Câu 40. Cho hàm số


2
2


x x m


y


x m
 


 có đồ thị

 

C . Biết

 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng


4 8



yx . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. m 1. B.  1 m0. C. 0m1. D. m1.


Câu 41. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x33mx23m1 có hai điểm cực trị
đối xứng nhau qua đường thẳng :d x8y740.


A. m2. B. m 4. C. m 2. D. m4.
Câu 42. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4 2


2 2


yxxm có ba điểm cực trị cùng với
gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.


A. m0. B. m1. C. m 2. D. 2
2
m .


Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 2m1 có ba điểm
cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ nhất.


A.


6


1
5


m  . B.



3


1
5


m   . C. 1


5


m  . D.


4


1
5


m  .


Câu 44. Gọi A x y

1; 1

, B x

2; y2

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 3 2
3


yxmx  x m. Tính tỉ


số 1 2


1 2
y y
T



x x







A. 2

1 2


3


T   m . B. 2

1 2


3


T  m . C. 1

1 2


3


T  m . D. 1

1 2


3



(7)

6 | VD_VDC
Câu 45. Với m1, đồ thị hàm số yx44

m1

x22m1 có ba điểm cực trị. Viết phương trình


của parabol đi qua ba điểm đó.


A. y 2

m1

x22m1. B. y2

m1

x22m1.
C. y6

m1

x22m1. D.


2


6 1 2 1



y  mxm .


Câu 46. Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 2x24x3. Tính diện tích S của
tam giác OAB.


A. 322
27


S  . B. 166


27


S . C. 232


27


S  . D. 116


27
S  .


Câu 47. [2D1-3] Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số yx33x m có hai điểm cực
trị là ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 10, với O là gốc tọa độ.


A. m 20m20. B. m20. C. m10. D. m 10m10
Câu 48. [2D1-4] Gọi ,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x m . Hỏi tam giác OAB


chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).



A. 4 5. B. 2 5. C. 2 5 2 . D. 4.


Câu 49. [2D1-4] Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3ax b có phương
trình y 6x7. Tính y

 

2 .


A. y

 

2 33. B. y

 

2  3. C. y

 

2 3. D. y

 

2  33.
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 1 3 2

2 1

3


3


yxmxmx
có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung.


A. m1. B. 1; \ 1

 


2


m 


  . C.
1


1


2 m


   . D. 0m2.


Câu 51. Cho hàm số yax3bx2cx d a ,( 0,b23ac0) có đồ thị

 

C . Biết gốc tọa độ O thuộc
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



Sabcdbc ad ?
A. 1


36


 . B. 27


4


 . C. 9


4


 . D. 25


9
 .


Câu 52. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m2

x2m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200.


A.


3
1
2


3


m   . B.



3
1
2


2


m   . C.
3


1
3


mD.


3
1


2
m .


Câu 53. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x23 1

m x

 1 3m có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .


A. m2. B. m4. C. 1
2


m . D. m1.



(8)

7 | VD_VDC


A. 5


8


 . B. 8


5. C.


8
5


 . D. 5


8.


Câu 55. Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số yx42mx22 có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho tứ
giác ABCD nội tiếp với 3 9;


5 5
D


 


A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.


Câu 56. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx4 2mx22có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho
tứ giác ABCD nội tiếp với 3 9;


5 5
D



 .


A. 4. B. 2 . C. 3. D. 1.


Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2mx22m3 có ba điểm
cực trị và ba điểm này nội tiếp đường trịn có bán kính bằng 1.


A. 1; 1 3


2


mm   . B. 1; 1 5


2
mm   .


C. m1. D. 1 3


2
m  .


Câu 58. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m1

x23m2 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đơi độ dài cạnh đáy.


A. m  1 315. B. m  1 3120. C. m  1 360. D. m  1 2 1203 .
Câu 59. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 4

2


2 1 3 2



yxmxm có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.


A. m 1. B. 0m1. C.  1 m1. D.  1 m0.


Câu 60. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m1

x22m3 có ba điểm cực
trị , ,A B C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện tích
của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng 4


9.
A. 1 15


2


m  . B. 1 3
2


m   . C. 5 3
2


m  . D. 1 15
2
m  .



(9)

8 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO


VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018


MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc


BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI


Câu 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2 3


3 3 1


yxmxmxm có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh.
A.

1;1

. B. 3 3;


2 2


 





 


 . C.


2 2
;
3 3


 




 


 . D.


4 4
;
3 3


 




 


 .
Lời giải


Chọn C



Ta có y 3x26mx3

m21

 

1 .


Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hồnh khi

 

1 có hai nghiệm phân
biệt x1, x2y y1. 20.


Khi đó ta có
1 2


0


. 0


y y

 









2 2


1 2


9 9 9 0


2 2 0



m m


x m x m


   



 


    






2 2


2


1 2 1 2


9 9 9 0


4 . 2 0


m m


x x m x x m



   



 


   





2 2


2 2 2


9 9 9 0


4 4 4 0


m m


m m m


   



 


   






2
9m 4 0


   2 2


3 m 3


    .


Vậy 2 2


3 m 3


   thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 2: Có bao nhiêu số ngun khơng âm m đề đồ thị hàm số 3 2


3 2


yxxmxm có các điểm
cực đại, điểm cực tiểu nằm về hai phía của trục hồnh?


A. 4. B. 2. C. Vô số. D. 3.


Lời giải
Chọn D


Ta có y 3x26xm

 

1 .



(10)

9 | VD_VDC
Khi đó ta có


1 2
0
. 0
y y

 






2
1 2


9 3 0


2 6


1 1 0


3
m
m
x x
 



   
  
 

 


2


1 2 1 2
3


2 6


. 1 0


3
m


m


x x x x



   
   
 

 


2
3


2 6 3


0
3 3
m
m m



      

   

   

3
m
  .


Vậy m

0;1; 2

thỏa mãn u cầu bài tốn.


Câu 3: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2 3



3 3 1


yxmxmxm có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A.

1;1

. B. 3 3;


2 2


 




 


 . C.


2 2
;
3 3
 

 


 . D.


4 4
;
3 3
 

 


 .
Lời giải
Chọn A


Ta có 2

2



3 6 3 1


y  xmxm

 

1 .


Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi

 

1 có hai nghiệm phân biệt
1


x , x2x x1. 20.


Ta có
1 2
0
. 0
x x

 




2 2
2


9 9 0 0



3 1
0
3
m m
m
   

  




2 1 0
m


     1 m1.


Vậy m 

1;1

thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 4: [2D1-3] Cho biết hai đồ thị của hai hàm số yx42x22 và ymx4nx21 có chung ít
nhất một điểm cực trị. Tính tổng 1015m3 .n


A. 2018. B.

2017

. C. 2017. D. 2018.
Lời giải


Chọn D


Ta khảo sát hàm yx42x22 xem các điểm cực trị. y 4x34x.
0


' 0
1
x
y
x


 
 

.


a 1 0 nên ta có A

0; 2

là điểm cực đại, B

1;1 ,

C

 

1;1 là điểm cực tiểu.


Để đồ thị hai hàm số trên có chung ít nhất 1 điểm cực trị, điểm cực trị đó là ,B C ứng với
trường hợp m0,n0 (các trường hợp cịn lại loại)


Hàm sốymx4nx21 có điểm cực đại là ,B Cnên

 



 



1 1 1 1 2


1015 3 2018


4 2 0 4


1 0



y m n m


m m


m n n


y

       

     
  
  
   



Câu 5: [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2 3


2


2 1 1


3


y  xmxmxm có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.


A.

1;

. B.

0;1

.



(11)

10 | VD_VDC
Lời giải


Chọn A


Ta tính 2

2



2 2 2 1 1


y   xmxm .
0


y  có 2 nghiệm trái dấu 1 0 1
2


m


m


   


 .


Câu 6: [2D1-3] Cho hàm số f x

 

x3ax2bx c , có đồ thị

 

C với , ,a b c là các số thực. Biết

 

C có hai điểm cực trị AB, ba điểm , ,O A B thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Sabc ab c  bằng



A. 9. B.

25


9



. C. 16


25


 . D. 1.


Lời giải
Chọn B


Ta có cơng thức đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số yax3bx2cx d a , 0 là
2


2 2


3 9 9


c b bc


y x d


a a


 


 


 



Áp dụng vào bài, ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số f x

 

x3ax2bx c
2


2 2


:


3 9 9


b a ab


d y  x c


 


Ba điểm , ,O A B thẳng hàng 0 9
9


ab


c ab c


     .
2


2 5 25 25


9 9 9



9 9 9


Sabcab c cc cc    


 


Câu 7: [2D1-2.10-3] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Có bao nhiêu số nguyên

2018; 2018



m  để đồ thị hàm số 1 3 2



2 1 3


3


yxmxmx có hai điểm cực trị nằm về
hai phía của đường thẳng y x?


A. 2017. B. 4034. C. 4033. D. 2016.


Lời giải
Chọn B.


Hàm số 1 3 2



2 1 3


3


yxmxmx

 

1

TXĐ: D.


Ta có y x2mx2m1


Hàm số có

 

1 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y x2mx2m1 có hai nghiệm phân biệt

m 1

2 0




     m1


Khi đó hai điểm cực trị là 1; 11
3
A m 


  và

 



2
1


2 1; 2 1 2 3


3


B mm m  


 .



(12)

11 | VD_VDC

 

2




11 1


1 2 1 2 1 2 3 0


3 3


m m m m


    


     


   


 


3 2



3m 8 4m 12m 3m 10 0


      


3m 8



m 2

4m2 4m 5

0


      


1 6


2



1 6


2
2


8
3
m


m


m







 


 











m là số nguyên thỏa mãn m 

2018; 2018

nên ta có

2018; 2017;... 1;3; 4;...2018



m    có 4034 giá thị thỏa mãn.


Câu 8: [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số yx33x22. Tính đố dài đoạn thẳng AB.


A. AB2 2. B. AB2 17. C. AB2 5. D. AB2 10.
Lời giải


Chọn C.
TXĐ: D.
Ta có y 3x26x
Khi đó y 0 0


2
x
x




 




Khơng mất tính tổng qt, giả sử hai điểm cực trị là A

0; 2

B

2; 6


Dễ có AB2 5


Câu 9: [2D1-2.6-2] [CỰC TRỊ - ĐẶNG THÀNH NAM] Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị


hàm số yx35x23x1. Tìm tọa độ trung điểm của AB.


A. 5; 358
3 27
M  


 . B.


5 338
;
3 27
N  


 . C. Q

 5; 234

. D. P

5; 14

.
Lời giải


Chọn A.
TXĐ: D.


Ta có y 3x210x3. Dễ có y ln có hai nghiêm phân biệt nên hàm số ln có hai cực trị
A, B. Trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm uốn I


Ta có y 6x10; y 0 5
3
x


  5; 358
3 27


I 






(13)

12 | VD_VDC
Câu 10: [2D1-2] Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3x22x1. Viết phương


trình đường thẳng AB.
A. 7 14


9 9


y  x . B. 14 7


9 9


yx . C. 7 14


9 9


yx . D. 14 7


9 9


y  x .
Lời giải


Chọn B.


Ta có y  3x22x2, y   0 3x22x 2 0 có hai nghiệm phân biệt là hồnh độ ,A B



Do 1 1 . 14 7


3 9 9 9


y x  y x


  nên phương trình đường thẳng AB


14 7


9 9


yx .


Câu 11: [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

2 1


3


yxmxmx có hai
điểm cực trị AB sao cho góc AOB nhọn.


A.  1 m1. B. m1. C. m 1. D. 1
1
m
m


 





.
Lời giải


Chọn D.


Ta có 2

2



2 1


y xmxm  , 0 1
1
x m
y


x m
 

   




.


Do đó

 

 



2 2


1 2 1 2


1; , 1;



3 3


m m m m


A m     B m    


   


   


. Để AOB nhọn thì


 



2


2 2


2 1 4


cos , 0 . 0 1 0


9


m m


OA OB   OA OB   m     

2




4 2 2


1 1


5 13 0 1 0


1
9


m m


m m m


m


   


 


       





.


Câu 12: [2D1-2] Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x1. Tính cos

OA OB ,

.
A. cos

,

2


5



OA OB    . B. cos

,

2
5
OA OB
 


.
C. cos

,

1


5


OA OB   . D. cos

,

1
5
OA OB  
 


.
Lời giải


Chọn A.


Ta có y 3x33, y  0 x 1. Do đó A

1; 1 ,

B

1;3

.


Do đó OA

1; 1 ,

OB 

1;3

. Suy ra cos

,

4 2


2. 10 5



(14)

13 | VD_VDC
Câu 13: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số



3 2


6 9 2


yxmxxm có hai điểm cực trị ,A B sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến
đường thẳng AB bằng 4 5


5 . Tính tích các phần tử của S


A. 1. B. 37


8 . C.


37


64. D. 1


Lời giải
Chọn A


TXĐ: D
2


3 12 9


y  xmx


Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y0 có hai nghiệm phân biệt


2



36m 27 0


    


3
2


3
2
m


m








 



 

1


Lấy y chia cho y ta được: 1 2 2 3 4

2

4



3 3


m


y x y  m xm


 


Phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2



2 3 4 m xy4m0


Theo giả thiết:



2

2


4 4 5


;


5


2 3 4 1


m
d O


m



  




 


 


2


2 16 2


16 4 3 4 1


5


mm


   


 


 


4 2


1024m 1616m 592 0


   



2
2


1
37
64
m
m
 







Kết hợp với điều kiện

 

1 suy ra giá trị m thỏa mãn là m1;m 1
Do đó tích các giá trị m của S là 1.

 

1  1.


Câu 14: Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

2

3


3 3 1


yxmxmxmm (với m
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC vuông tại


2;1


C
A. 5


8



 . B. 8


5. C.


8
5


 . D. 5



(15)

14 | VD_VDC
Chọn C


TXĐ: D


Ta có: 2

2



3 6 3 1


y  xmxm


Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y0 có 2 nghiệm phân biệt




2 2


9m 9 m 1 9 0





       luôn đúng với m


1 1; 2 1


x m x m


    


Lấy y chia cho y ta được: 1 2


3 3


m


y x y x


 


 phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2xy0
Gọi A m

 1; 2m2

; B m

 1; 2m2



3 ;3 2



AC m m


    và BC

 1 m m; 2 1



Theo giả thiết AC BC. 0

3m



1m

 

 3 2 m



2m1

0
 


2


5m 8m 0


  


0
8
5
m
m







  


Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m là: 8
5
 .
Câu 15: Biết rằng đồ thị hàm số 3 2

2

3


3 3 1


yxmxmxm ln có hai điểm cực trị AB,
trong đó A là điểm cực đại. Hỏi Anằm trên đường thẳng nào dưới đây?



A. y 3x1. B. y 3x1. C. y3x1. D. y3x1
Lời giải


Chọn B
TXĐ: D


Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  y0 có 2 nghiệm phân biệt




2 2


9m 9 m 1 9 0




       luôn đúng với m


1 1; 2 1


x m x m


    


Lấy y chia cho y ta được: 1 2


3 3


m



y x y x m


 



(16)

15 | VD_VDC
Gọi A m

 1; 3m2

; B m

 1; 3m2

.


Ta thấy điểm cực đại Anằm trên đường thẳng 3xy 1 0 hay y 3x1


Câu 16: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33x2m có hai điểm cực trị A, B sao cho
góc AOB1200


A. 2. B. 0. C. 1. D. 4.


Lời giải
Chọn C


3 3 2 3 2 6 0 0


2 4


A A


B B


x y m


y x x m y x x



x y m


  




        


    


.






0


2
4


1 . 1 2


120 4


2 . 4 4 2 3


m m


OA OB


cos AOB cos m


OA OB m m




 


       


 



.


Câu 17: Biết rằng đồ thị hàm yx33mx23

m21

xm3


ln có hai điểm cực trị ,A B trong đó A
là điểm cực tiểu. Hỏi A nằm trên đường thẳng nào dưới đây?


A. y 3x1. B. y 3x1. C. y3x1. D. y3x1
Lời giải


Chọn B


1


3 2 2 3 2 2



2
1


3 3 1 3 6 3 1 0


1
x m


y x mx m x m y x mx m


x m
 




            


 


.


Hàm số có hệ số a0 nên xCTxCDxAm 1 yA 3m  2 3xA1.


Câu 18: Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số





3 2 2 3


3 3 1


yxmxmx m m có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ.
Tính tổng các phần tử của S.


A. 6. B. 4 2. C. 6. D. 4 2
Lời giải


Chọn A




3 2 2 3 2 2


3 3 1 3 6 3 1 0


1 2 2


1 2 2


CD CD


CT CT


y x mx m x m m y x mx m


x m y m



x m y m




           


     


     


Theo giả thiết ta có:


2

2

2

2 2


1 2


1 2 2 2 1 2 2 6 1 0 6


m   m   m  m mm  mm  



(17)

16 | VD_VDC
Câu 19: Tìm m để hàm số 1 3

2 4

3


1 1


3 3



yxmxm có điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác
phía với đường tròn x2y24x 3 0?


A

1;1 .

B.

2; 2 .

C. 1 1; .
2 2


 




 


  D.

 ; 1

 

 1;

.
Lời giải


Chọn C


Ta có





2 0


2 1 0


2 1


x


y x m x y



x m



     


  .
Để hàm số có ĐCĐ, ĐCT thì m 1.


Khi đó, đặt F x y

;

x2y24x3


3 1

6


4 16


0 1 ; 1 3 0


3 9


x  ym FF x ym   m.


2

2


2


2 1 0 ; 4 1 8 1 3 4 1.


xm y FF x ym  m   m  .


Giả thiết suy ra 2



1 2 2


1 1


. 0 0 4 1 0 .


2 2


F F  F   m    m


Câu 20: Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 ln có ba điểm cực trị. Tìm m khi bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất?


A m1. B.
3


3
.
4


mC. m 32. D.


3
1


.
2
m
Lời giải



Chọn D




3 2


4 4 4


y  xmxx xm
0


0 x


y


x m



  


  .


Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là









2
2
0; 3


; 3


; 3


A


B m m


C m m



 


  


Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có


4
2
2


BC m


AB AC m m



AH m


  



(18)

17 | VD_VDC


Do đó, 1 . . .


2 4


ABC


AB AC BC


S BC AH


R


 


4

2


2
2


3


. 1



2 2 2 2


1 1 1


3 .


2 4 4 32


m m


AB AC m


R


AH m m


m


m m




    


   


Dấu bằng xảy ra khi
2


3



1 1


.


2 4 2


m


m
m


  


Câu 21: Với mọi m0, đồ thị hàm số yx42mx23 ln có ba điểm cực trị. Hỏi bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba điểm này có giá trị nhỏ nhất là?


A 2. B.


3
3


.


2 4 C. 1. D. 3


1
.
2
Lời giải


Chọn B


3 2


4 4 4


y  xmxx xm
0
0 x
y
x m

  
  .


Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là





2
2
0; 3
; 3
; 3
A


B m m


C m m




 


  


Khi đó, gọi H là trung điểm BC, ta có


4
2
2


BC m


AB AC m m


AH m


  




Do đó, 1 . . .


2 4


ABC


AB AC BC



S BC AH


R


 


4

2


2
2


3


3


. 1


2 2 2 2


1 1 1 3


3 .


2 4 4 32 2 4


m m


AB AC m



R


AH m m


m


m m




    


    


Dấu bằng xảy ra khi
2


3


1 1


.


2 4 2


m


m
m




(19)

18 | VD_VDC
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2


2 1 3 2 4


y xmxmmx có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục
tung.


A. 1


2


m  . B. 1m2. C. 1
2


m  . D. m1 hoặc m2.
Lời giải.


Chọn B.


Ta có y  3x22 2

m1

x

m23m2



Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu ằm về hai phía trục tung
0


y



   có hai nghiệm phân biệt trái dấu


2



3 m 3m 2 0


     1 m2.


Câu 23: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2


3 1 3 2 2


yxmxm mx m có hai điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm
cực đại đến Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu đến Oy. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?


A. 0. B. 3. C. 1. D. 4.


Lời giải.


Chọn D.


Ta có y 3x26

m1

x3m m

2






2


0 2 1 2 0


y  xmx m m  


2
x m
x m




 




đồ thị hàm số ln có hai điểm cực
trị với mọi m.


Khi đó yCDy m

 

3 2


3 2


m m m


    và xCTm2


Ta có m33m2m2  m2


3 2



3 2


3 2 2


3 2 2


m m m m


m m m m


     


 


     


3 2


3 2


3 4 0


3 2 0


m m


m m m



   


 


  




1
2
1
0
m
m
m
m




 



  





.



Vậy có 4 giá trị thực của m thỏa yêu cầu đề.


Câu 24: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số 3 2


2 12 13


yxmxx có điểm cực đại và điểm
cực tiểu cách đều trục tung.


A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.


Lời giải.



(20)

19 | VD_VDC
Ta có y 6x22mx12, y  0 3x2mx 6 0

 

*


Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khi m2720 luôn đúng với mọi
m.
Khi đó

 

* có hai nghiệm phân biệt x1, x2.


Giả thiết suy ra x1x20 0
3


m


  m0.
Vậy có 1 số thực m thỏa đề bài.



Câu 25: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x2mx2
có điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng 1


2


yx . Tính tổng các phần tử của S.
A. 2


3. B.


3


2. C.


-3


2. D.


2
3
 .
Lời giải


Chọn C


Tập xác định D.
Đạo hàm: y 3x26x m .


Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2



9 3m 0 m 3


     

 

1 .


Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B của đồ thị hàm số là
2


2 2


: : ( 3) 2


3 3 9 3 3


b bc m


AB y c x d AB y m x


a a


 


       


 


Tọa độ trung điểm I của AB là 1 2


1 2
1


; ( 3) 2 (1; )



2 3 3


x x


I  mxx  mIm


  với


1 2 2
xx


Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng d: 1
2
yx




2


3 1


/ / 3


1
1


2
m
AB d



I d


m


  




 




  








 




 




9


(không thỏa mãn)
2


3


(thỏa mãn)
2


m


m


.


Câu 26: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx33mx24m3 có điểm cực đại và điểm cực
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng yx.


A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.


Lời giải
Chọn A


Tập xác định D.


Đạo hàm y 3x26mx; 0 0
2
x
y



x m




   




Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu m0.



(21)

20 | VD_VDC
,


A B đối xứng qua đường thẳng yxOAOB 3 2 1


4 2 4 2


2


m m m m


       .


Câu 27: Có bao nhiêu số nguyên m 

5;5

để đồ thị của hàm số 3

2 2 3 2


2 2


yxmxm x m  m
có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh?



A. 8. B. 5. C. 7. D. 6.


Lời giải
Chọn C


Đồ thị

 

C của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hồnh

 

C cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt.


Xét phương trình x3

m2

x2m x m2  32m20

 

1 .


( )( 2)( ) 0


2
x m


x m x m x m x m


x m




        




   



.


 

1 có ba nghiệm phân biệt 2 0 { 4; 3; 2;1; 2;3; 4}
1


2


m m


m


m m m


m


m m


 






        
 



   



.


Vậy có 7 giá trị nguyên của m thuộc

5;5

.
Câu 28: Với mọi m0; đồ thị hàm số 1 4 2 2


4


yxmxm ln có ba điểm cực trị. Biết parabol đi qua
ba điểm cực trị nay đi qua điểm (2; 24)A . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. 1m3. B. 5m7. C. 3m5. D. 0m2.
Lờigiải


Chọn B.


Ta có: y'x32mx ' 0 0
2
x
y


x m




   


 



.


2 2


4 2 2 3 2 2


1 1 1


( 2 ) '


4 4 2 4 2


mx mx


yxmxmx xmx  mxy m .


Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc parabol: ( ) :P


2
2
2
mx


y  m .


Vậy điểm (2; 24)A thuộc ( ) :P 2 6
24 2


4
m


m m


m


     


 


.


Đối chiếu điều kiện ta có m6.
Câu 29: Biết rằng hàm số


2


2 3


2


x x m


y


x
 


 có hai điểm cực trị phân biệt x x1; 2.Tính giá trị biểu thức



1 2


1 2
( ) ( )
f x f x
S


x x



 .



(22)

21 | VD_VDC
Chọn B.


Bổ đề: ( )
( )
u x
y


v x


 có 0


0
'( ) 0
( ) 0
y x


v x






thì 0 0


0


0 0


( ) '( )
( )


( ) '( )
u x u x
y x


v x v x


 


Thật vậy: ' '( ) ( ) ( ) '( ) '( )0 0 '( ) ( )0 0 ( ) '( )0 0 0
( )


u x v x u x v x


y y x u x v x u x v x



v x


     


0 0 0 0


'( ) ( ) ( ) '( )
u x v x u x v x


   0 0


0 0


( ) '( )
( ) '( )
u x u x
v xv x


0 0
0
0 0
( ) '( )
( )
( ) '( )
u x u x
y x


v x v x



  


Áp dụng bổ đề ta có f x( )1 4x13; f x( 2)4x23.


Vậy 1 2 1 2


1 2 1 2


( ) ( ) 4( )


4


f x f x x x


S


x x x x


 


  


  .


Câu 30: [2D1-4] Cho hàm số



2 3


1 1



x m m x m
y


x m


   




 có đồ thị

Cm

. Hỏi điểm nào trong các điểm
dưới đây là điểm cực đại của

Cm

tương ứng với mm1 đồng thời cũng là điểm cực tiểu của


Cm

tương ứng với mm2.
A. 1 5;


2 4
M


 . B.


1 7


;


2 4


N  


 . C.



1 5


;


2 4


P  


 . D.


1 7
;
2 4
Q 


 .
Lời giải


Chọn B.


Ta có




2 2


2


2 1



x mx m
y
x m
  
 
 .
1
0
1
x m
y
x m
 

   


Lập BBT suy ra điểm CĐ và điểm CT của đồ thị hàm số là

1; 2 2 ;

 

1; 2 2



A m mmB m mm .


YCBT


1


1 2


2 2



1 1 2 2


2
3


1 1 2


1


2 2


2
m


m m


m m m m


m




  


      
 



Suy ra điểm cần tìm là 1; 7


2 4


N  
 .
Câu 31: [2D1-4] Biết rằng hàm số


2
2


3 5 1


2


x x


y


x x m


 


  có hai điểm cực trị phân biệt với mọi m1. Viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số


A. 3



1 1


x
y


m m


 


  . B.



3


2 1 2 1


x
y


m m


 



(23)

22 | VD_VDC
C.




3


2 1 2 1



x
y


m m


 


  . D.


3
1 1
x
y
m m
 
  .
Lời giải


Chọn C.


Ta có





2


2
2



6 2 5 2


2


x m x m


y


x x m


    


 


 


Các điểm cực trị x x1; 2 của hàm số thỏa mãn phương trình x2

6m2

x5m 2 0.
Theo định lý ViÉt ta có: 1 2


1 2


6 2


. 5 2


x x m


x x m
  





 


Các điểm cực trị ,A B của đồ thị hàm số thỏa mãn phương trình 6 5


2 2
x
y
x


 .


Ta có





1 2 1 2


1 2


1 2


1 2 1 2 1 2


24 22 20



6 5 6 5 3 4


2 2 2 2 4 1 1


x x x x


x x m


y y


x x x x x x m


  


  


    


      .


Gọi I là trung điểm của AB



3 4
3 1;
2 1
m
I m
m
  

   

 
.


Suy ra I thuộc đường thẳng




3


2 1 2 1


x
y


m m


 


  .


Câu 32: Gọi , , A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 4 2 2
2


yxx  . Viết phương trình đường
trịn đi qua ba điểm , , A B C.


A. x2 y2 4 0 B. 2 2 3 7 0.
2



xyy 
C. 2 2 3 1 0.


2


xyy  D. x2 y2 3y100.
Lờigiải
ChọnC


3


2 2


y  xx,


0 2
3
0 1
2
3
1
2
x y


y x y


x y

   




    


    



Suy ra ba điểm cực trị là A

0; 2

, 1;3
2
B


 ,


3
1;


2
C 


 .



(24)

2 4
3 13
2 4
3 13
2 4
b c
a b c



a b c



   


   



    


0
3
2
1
a
b
c




 

 



.


Vậy phương trình đường trịn là 2 2 3 1 0
2


xyy 


Nhận xét: Dạng bài tập này nếu làm theo cách trên thì mang thiên hướng tự luận nhiều; sau
đây tôi đưa ra một cách làm khác để bạn đọc tham khảo.


Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình 3


0
xx
Ta thấy x42x2 4 2y x x

3x

x2 42y 2


2y 4 x


  


Ngoài ra, x42x2 4 2y

42y

22x242y0


2 2


4y 18y 2x 20 0


     2 2


4y 6.2y 2x 20 6y 0



     




2 2 2


4y 6 4 x 2x 20 6y 0


       4x24y26y 4 0 2 2 3


1 0
2


x y y


    


Câu 33: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2m x2 2m có ba điểm
cực trị và trục hoành chia tam giác tạo thành từ ba điểm cực trị thành hai đa giác có diện tích
bằng nhau.


A.

 2; 2

B.

62; 26

C.

 

2 D.

 

62
Lờigiải


ChọnD


Trước hết để trục hoành chia tam giác tạo bởi ba điểm cực trị
thành hai đa giác thì phương trình x4 2m x2 2 m0 có bốn
nghiệm phân biệt, tức là



4
0
1
0
m m
m
m
  
 


 


*


Do tam giác AMN và tam giác ABC đồng dạng theo tỉ số k


nên 2


AMN ABC
Sk S .


Theo giả thiết 1


2


AMN MNCB AMN ABC


SSSS . Do đó 1


2


k .


Suy ra:

;

1

;

1 Δ


4


2 2


d A Ox d A BC c c


a


   


4

3



1


2 0


2


m m m m m m


       6



(25)

24 | VD_VDC
Từ

 

* và

 

** ta có 6


2


m


Câu 34 Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

2m1

x 3 m vng góc với đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21


A. 3
4


m. B. 1


4


mC. 1


2


m  D. 3


2
m
Lờigiải


ChọnA


2



3 2


y  xx , 0 0 1



2 3


x y


y


x y


  


 


   


 .


Vậy hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A

0;1

, B

2; 3

. Suy ra hệ số góc của đường thẳng
AB là 3 1 2


2 0
AB


k     


 .


Do đường thẳng y

2m1

x 3 m vng góc với AB nên 2 1 1 3



2 4


m  m .


Câu 34: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

m1

x 4 m song
song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21.


A.

 

3 . B.

 

1 . C.

 

6 . D. .
Lời giải


Chọn D


3 2 2


3 1 ' 3 6


yxx  yxx


0 1


' 0


2 3


x y


y


x y



  


 


   


Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là

0;1 , 2; 3

 

suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

 

d :y 2x1.


Ta có y

m1

x 4 m song song

 

d :y 2x1 1 2


4 1


m


m
m


  


  


 


.



Câu 35: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y

m1

x 4 m tạo với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x21 góc 45 . 0


A. 4; 2
3


 




 


 . B.


2
4;


3


 


 


 


 . C.

4; 2

. D.


4 2


;



3 3


 


 


 


 .
Lời giải


Chọn A


3 2 2


3 1 ' 3 6



(26)

25 | VD_VDC


0 1


' 0


2 3


x y


y



x y


  


 


   


Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là

0;1 , 2; 3

 

suy ra đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

 

d :y 2x1.


Đặt

 

 :y

m1

x 4 m.


Ta có

   



2


2


2 1 1 2


cos , 4


2


5 1 1 3


m


m


d


m
m





  


   


 


   


 


.


Câu 36: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx2m có ba
điểm cực trị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tứ giác.


A. m1. B. 0m1. C. 0m2. D. m2.
Lời giải


Chọn B



4 2


2


yxmxm
3


' 4 4


yxmx.


Hàm số có 3 điểm cực trị m0.


2
0


' 0 x y m


y


x m y m m


  


 


     



Nên tọa độ 3 điểm cực trị là A

0;m B

,

m;m2m C

 

,  m;m2m

.
, , ,


A B C O tạo thành 1 tứ giác (tứ giác lồi) 2


0 0 0 1


B


y m m m


         .


Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2mx2 m có ba điểm cực trị cùng
với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 2.


4
A. 1 .


2


mB. 1.


2


mC. m 2. D. 1 .


2 2
m
Hướng dẫn giải



Chọn B.




3


2


2


' 4 4


' 0 4 0


0


y x mx


y x x m


x


x m


 


   





 



(27)

26 | VD_VDC
Với m0 hàm số có ba điểm cực trị A

0;m B

,

m;m2 m

 

, C m;m2 m

cùng với
gốc tọa độ O tạo thành tứ giác khi m2m00m1.


Ta có 2 2. .1 . 2 1 1.


2 4 2 2 2


ABOC ABO B A


SSx y  m m  m


Câu 38: Cho hàm số


2 3 3


x x m


y


x m
  


 có đồ thị

 

C . Biết đồ thị

 

C có một điểm cực trị thuộc
đường thẳng yx1. Tìm điểm cực trị còn lại của hàm số đã cho.



A. x2. B. x3. C. x5. D. x7.
Hướng dẫn giải


Chọn C.
Ta có


 



2
'


2


2 2 3


* .


x mx m


y


x m


  






Đặt g x

 

x2 2mx2m3.

Hàm số có 2 cực trị khi


 



' 0 1 3


1 3.


0 1 3


m m


m m


g m m m


 


     




     


 


    


 





Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình y2x3.


Đồ thị

 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng yx1 nên tọa độ điểm cực trị là nghiệm
của hệ sau:


2 3 2


1 1


y x x


y x y


  


 




 


  


 


Thay vào (*) suy ra 7.
2
m



Với 7
2


m thay vào (*) ta có x2x5.


Câu 39: Cho hàm số


2 2


x x m


y


x m
 


 có đồ thị

 

C . Biết

 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng


4 8


yx . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. m 1. B.  1 m0. C. 0m1. D. m1.
Hướng dẫn giải



(28)

27 | VD_VDC
Ta có



 



2
'


2
2


* .


x mx m


y


x m


 





Đặt g x

 

x2 2mxm.


Hàm số có 2 cực trị khi

 


' 0


0 1.


0 m m



g m
 



   







Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có phương trình y2x2.


Đồ thị

 

C có một điểm cực trị thuộc đường thẳng y4x8 nên tọa độ điểm cực trị là
nghiệm của hệ sau:


2 2 3


4 8 4


y x x


y x y


  


 





 


  


 


Thay vào (*) suy ra 9.
5
m


Câu 40: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x33mx23m1 có hai điểm cực trị
đối xứng nhau qua đường thẳng :d x8y740.


A. m2. B. m 4. C. m 2. D. m4.
Lời giải


Chọn A.


Ta có: 3 2 6 ; 0 0


2
x


y x mx y


x m





     





.
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m0.


Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là:

3

3



0; 3 1 ; 2 ; 4 3 1 2 ; 4


AmB m mm ABm m .
Trung điểm của đoạnABI m m

; 2 33m1

.


Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng d x: 8y740ABvng góc với
đường thẳng d x: 8y740 và I

 

d




3 3


3 3


0


8.2 4 0 4 16 0



2
2


8 2 3 1 74 0 16 23 82 0


2
m


m m m m


m
m


m m m m m


m
 


     


  


    


        


 







.


Câu 41: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42x22m có ba điểm cực trị cùng với
gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.


A. m0. B. m1. C. m 2. D. 2
2
m .
Lời giải



(29)

28 | VD_VDC


Ta có: 3 0


' 4 4 0


1
x


y x x


x


    


 



. Khi đó 3 điểm cực trị là:

0; 2

,

1; 2 1 ,

1; 2 1



A m BmC m


Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác ABCD. Do tính chất đối xứng, ta
có:A O I, , thẳng hàng AO là đường kính của đường trịn ngoại tiếp (nếu có) của tứ giác


ABOC.


Vậy ABOB AB OB. 0  

 

1 1 2

m1

0m1.


Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 2m1 có ba điểm
cực trị lập thành một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp nhỏ nhất.


A.


6


1
5


m  . B.


3


1
5



m   . C. 1


5


m  . D.


4


1
5


m  .
Lời giải


Chọn B.


Ta có y 4x3 4m x2 0 x 0


x m




     


 


.


Điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị là m0.



Khi đó ba điểm cực trị là:A

0;m1 ,

B m

;m4m1 ,

 

C m;m4m1

.
Ta lại có: AB m2m8,AC m2m8,BC 4m2 2m .


Gọi I là trung điểm của BCI

0;m4m1

AIm8 m4.
Diện tích tam giác ABC là: 1. . 4


2
ABC


SAI BCm m .
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC là:


2 8

3


4 4 3 4


4 2 2 2 2 2


2


. . 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2


.3 . .


4 ABC 4 2 2 2 2 2 2 2 4


m m m


AB AC BC



R m m m


Sm m m m m m m




      


   


Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCnhỏ nhất bằng
3
3 2


4 khi


4 6


2 6


1 1 1


2mmm 2m  2.


Câu 43: Gọi A x y

1; 1

, B x

2; y2

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 3 2
3


yxmx  x m. Tính tỉ



số 1 2


1 2
y y
T


x x







A. 2

1 2


3


T   m . B. 2

1 2


3


T  m . C. 1

1 2


3


T  m . D. 1

1 2


3


T   m .
Lời giải



(30)

29 | VD_VDC
Ta có y  x2 2mx1 và 1 2

2 1

2


3 3 3


m
y xm y  mx


  .


Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B là 2

2 1

2


3 3


m
y  mx .


Giá trị 1 2
1 2
y y
T


x x





 chính là hệ số góc của đường thẳng AB. Do đó



2
2



1
3


T  m  .


Câu 44: Với m1, đồ thị hàm số yx44

m1

x22m1 có ba điểm cực trị. Viết phương trình
của parabol đi qua ba điểm đó.


A. y 2

m1

x22m1. B.


2


2 1 2 1


ymxm .
C.

2


6 1 2 1


ymxm . D.

2


6 1 2 1


y  mxm .
Lời giải


Chọn A


Ta có y 4x38

m1

x và .1 2

1

2 2 1
4


yyxmxm .


Do đó đường parabol đi qua ba điểm cực trị là y 2

m1

x22m1.


Câu 45: Gọi A B, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 2x24x3. Tính diện tích S của
tam giác OAB.


A. 322
27


S  . B. 166


27


S . C. 232


27


S  . D. 116


27
S  .
Lời giải


Chọn…


Đáp án diện tích là 76
27
OAB



S  .


Đạo hàm y 3x24x4.
2


0 2


3
x
y


x


 


 


  



.


Các điểm cực trị là A

2;5

và 2 121;
3 27
B 


. Khi đó



8 256 8 1105


;


3 27 37


AB  AB





.


Phương trình đường thẳng AB: 32x9y190.
Ta có



2 2


19 19


;


1105
32 9


d O AB  


 .


Vậy 1

;

. 1 19 . 8 1105 76



2 2 1105 27 27


OAB



(31)

30 | VD_VDC
Câu 46: [2D1-3] Tìm các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số yx33x m có hai điểm cực


trị là ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng 10, với O là gốc tọa độ.


A. m 20m20. B. m20. C. m10. D. m 10m10
Hướng dẫn giải


Chọn D.


Ta có y 3x23 0 1
1
x
y


x




   
 


 Hàm số đạt cực trị tại x 1 và x1.
Với x  1 ym2.



Với x 1 ym2


 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A

1;m2 ,

B

1;m2


Đường thẳng AB có phương trình 2xym0


;


5
m
d O AB


  , AB

1 1

2

m 2 m2

2  20




1 1


. ; . 20.


2 2 5


OAB


m


S AB d O AB m


   


Theo giả thiết SOAB10



10
10


10
m
m


m


   


 


.


Câu 47: [2D1-4] Gọi ,A B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x m . Hỏi tam giác OAB
chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?( với O là gốc tọa độ).


A. 4 5. B. 2 5. C. 2 5 2 . D. 4.


Hướng dẫn giải
Chọn A


Ta có y 3x23 0 1
1
x
y



x




   
 


 Hàm số đạt cực trị tại x 1 và x1.
Với x  1 ym2.


Với x 1 ym2


 Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là A

1;m2 ,

B

1;m2



Ta có 2


1 ( 2)


OA  m , 2


1 ( 2)



(32)

31 | VD_VDC


Chu vi tam giác OAB2 5 1 ( 2)2 1 ( 2)2


OAB



COA OB AB   m   m


2 2 2 2


2 5 1 (2 m) 1 (2 m)


      


Đặt u

1; 2m v

, 

1; 2m

  u v

2; 4



   


2 5 2 5 2 5 22 42 4 5


OAB


C   u  v   u v     .


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 0
1 2


m
m
m


  


 .



Vậy chu vi tam giác OABnhỏ nhất bằng 4 5.


Câu 48: [2D1-4] Biết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3ax b có phương
trình y 6x7. Tính y

 

2 .


A. y

 

2 33. B. y

 

2  3. C. y

 

2 3. D. y

 

2  33.
Hướng dẫn giải


Chọn B.


Ta có y 3x2a


Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệta0.


Khi đó hàm số đạt cực trị tại 1
3


a
x   và 2


3
a
x    .


Ta có 3 1 2


.


3 3



yxax b  x y ax b


 Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số là 1 2 1
3


yaxb, 2 2 2
3


yaxb.


 Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình 2
3
yax b


Theo giả thiết, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình


6 7


y  x
2


9
6


3


7
7



a
a


b
b




 
  






 





(33)

32 | VD_VDC
Câu 49: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 1 3 2



2 1 3


3


yxmxmx
có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía với trục tung.



A. m1. B. 1; \ 1

 


2


m 


  . C.
1


1


2 m


   . D. 0m2.
Lời giải


Chọn B.


Ta có: y'x22mx2m1
2


' 0 2 2 1 0


y  xmxm  ,  ' m22m1


m 1

2
 
Để hàm số có hai cực trị thì

m1

20m1


Gọi x x1, 2 là hai điểm cực trị. Để hai cực trị nằm về cùng một phía với trục tung thì;
1 2



1


. 0 2 1 0


2
x x   m  m .
Vậy 1; \ 1

 



2
m 


  thỏa điều kiện bài toán đã cho. Đáp án B.


Câu 50: Cho hàm số yax3bx2cx d a ,( 0,b23ac0) có đồ thị

 

C . Biết gốc tọa độ O thuộc
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức


Sabcdbc ad ?
A. 1


36


 . B. 27


4


 . C. 9


4



 . D. 25


9
 .
Lời giải


Chọn D


Ta có: y' 3 ax22bx c , 'y'b23ac0 (theo giả thiết) nên hàm số đã cho ln có hai
cực trị.


Ta lại có:


2


1 2 2


'.


3 9 3 9 9


b b bc


y y x c x d


a a a


 


 



 


   


. Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị của


hàm số là


2


2 2


3 9 9


b bc


y c x d


a a


 


 


 


.


Vì đường thẳng này đi qua O nên 0


9
bc
d


a
 


9
bc
d


a
  .


Ta có:



2 2


2 2
1


10


9 9 9


b c bc


abcdbcad bc  b cbc 1

5

2 25 25


9 bc 9 9



     .


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó là 25
9


 đạt được khi bc 5.


Câu 51: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m2

x2m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng 1200.


A.


3
1
2


3


m   . B.


3
1
2


2


m   . C.
3



1
3


mD.


3
1



(34)

33 | VD_VDC
Lời giải


Chọn A.


Do 5


3 3


  


  nghiệm âm lớn nhất của phương trình là
3


Ta có: y'4x34

m2

x

2



4x x m 2


   .


Để hàm số có ba cực trị thì m  2 0 m 2. Khi đó ba điểm cực trị lần lượt là A

0;m2

,


2; 4 4



Bm  m và C

m2; 4 m4

.


Do đặc điểm cực trị của hàm bậc bốn, tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A. Tham khảo
hình vẽ minh họa:


Suy ra A120, ACI30. Xét tam giác vng ACI, ta có:






2


3


4 4


1 1


tan 2


3 2 3


m m


AI



C m


IC m


  


     


 3


1
2
3
m


   .
Đáp án A.


Câu 52: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33x23 1

m x

 1 3m có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 .


A. m2. B. m4. C. 1
2


m . D. m1.
Lời giải


Chọn D
TXĐ:D.





2


3 6 3 1


y  xx m


Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A By0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2




9 9 1 m 0 9m 0 m 0


        .


Hai điểm cực trị: A

1 m; 2m m2

, B

1 m; 2 2 m m

.

2 ; 4

2

1; 2



ABmm mmm



x


y



I


A



C


B





(35)

34 | VD_VDC
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB y:  2mx2m2.




1


4 . ; . 4


2
OAB


S   d O AB AB 3


2


2 2


. 4 16 8 1 2


4 1


m


m m m m


m



     




3 2


2 4 0 1


m m m m


       .


Câu 53: Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thì hàm số yx33mx23

m21

xm3m (với
m
tham số thực). Tính tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để tam giác ABC có bán kính
đường trịn ngoại tiếp bằng 5, trong đó C

2;1

.


A. 5
8


 . B. 8


5. C.


8
5


 . D. 5


8.


Lời giải


Chọn A
TXĐ:D.






2 2


3 6 3 1 3 1 1


y  xmxm   xmxm


Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ,A By0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2


1 1


m m m


      .


Hai điểm cực trị: A m

1; 2 2 m

, B

1m; 2 2  m

.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị AB: 2xy0.


2; 4


AB 



, AC  

1 m m; 2 1 ,

BC 

m3; 2m3

.
Ta có: 1. .

;

. .


2 4R


AB AC BC
AB d C AB


1

2

2 1 .

2

3

2

2 3

2
4 1


1
.


2 5 4 5


m  mm  m
 


 


4 3 2


0


25 80 64 0 8


5
m


m m m



m




    


 


.


Câu 54: Có bao nhiêu số thực để đồ thị hàm số yx42mx22 có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho tứ
giác ABCD nội tiếp với 3 9;


5 5
D


 


A. 4 . B. 2 . C. 3. D. 1.


Lời giải
Chọn



(36)

35 | VD_VDC
3


4 4



y  xmx


Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị , ,A B Cm0.
Ba điểm cực trị: A

0; 2

, B

m; 2m2

,


; 2 2


Cmm .


Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2

2 2



2 2 0 0


xyaxby c ab  c nên ta có:






2


2 2


2


2 2


0 4 4


2 2 2 2



2 2 2 2


a b c


ma m b c m m


ma m b c m m


  




      




       




3


3
0


4 1


2



2 4 2


a


m m


b


m


m m


c


m


 


 





   







.


Vậy phương trình đường trịn

 



3 3


2 2 4 1 2 4 2


: m m m m 0


C x y y


m m


    


    .


Theo đề:

 



 


3


2


1
1



3 9 1 5


; 2 1 0


5 5 1 0 2


1 5


2
m
m


D C m m m


m m


m l



 



  


     





 


  


 




 




Câu 55: Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx4 2mx22có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho
tứ giác ABCD nội tiếp với 3 9;


5 5
D


 .


A. 4. B. 2 . C. 3. D. 1.


Lời giải
Chọn B


Ta có: y x4 2mx22y'4x34mxx x

2m

.
Đồ thị hàm số có 3 cực trị m0 *

 

.



(37)

36 | VD_VDC
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IOyI

0;a

. Để ABCD nội tiếp thì


D phải thuộc đường tròn tâm I này.








 



 



2 2


2
2


2 2 2 2 2


2


3 9


2 2


5 5


1
0
1
1



1 5


1 1 0


2


1 5


2


IA IB IC ID a m m a a


a


m l


m
a


m m m m m


m l


   


           


   






















 


   


 










 
 





.


Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra.


Cách giải theo cơng thức tính nhanh: ab0m0 *

 





 



2 2


2 2 2 2


3


2 2 2 0 2 2 2 0


1



1 5


2 1 0


2


1 5


2


D ABC m m b m c m m m


m


m m m


m l


             



 


 


    



 




Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra.


Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2mx22m3 có ba điểm
cực trị và ba điểm này nội tiếp đường trịn có bán kính bằng 1.


A. 1; 1 3


2


mm   . B. 1; 1 5


2
mm   .


C. m1. D. 1 3


2
m  .
Lời giải


Chọn B


Ta có: y x4 2mx22m 3 y'4x34mxx x

2m

.
Đồ thị hàm số có 3 cực trị m0 *

 

.



(38)

37 | VD_VDC


Gọi I là tâm đường trịn có bán kính bằng 1 ngoại tiếp tam giác ABC  IOyI

0;a

. Để


ABC nội tiếp đường trịn có bán kính 1






2
2


2 2 2 2


3


2


3


1 2 3 2 3 1


2 2 1


2 2


2 1 0( ) 1 5


2 4


2



2 4


2 3 1


1 5


2 1 0 ( )


2


IA IB IC a m m m a m


a m m


a m


m m VN


a m m


a m


m m a m


m m m l


            





    


   


  


    


 


 








   




 





.


Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề ra chọn B.



Câu 57: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m1

x23m2 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác cân có độ dài cạnh bên gấp đôi độ dài cạnh đáy.


A. m  1 315. B. m  1 3120. C. m  1 360. D. m  1 2 1203 .
Lời giải


Chọn A


Ta có 3

2



' 4 4 1 4 1


yxmxx xm ;


2
0
' 0


1
x


y


x m


 


 




.


Để hàm số có ba điểm cực trị m 1.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là


0;3 2 ,

1; 2 1 ,

 

1; 2 1


A mBm mmC m mm .


Do AOy B C; , đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A.
Theo giả thiết AB2BC AB24BC2


m 1

 

m 1

4 16

m 1

m 1

3 15 m 1 315


             (thỏa mãn).
Vậy m  1 315.


Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm, khi tìm được điều kiện

m1

 

m1

4 16

m1

ta thay
lần lượt các giá trị của m ở đáp án vào biểu thức trên để tìm đáp án đúng.


Câu 58: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m1

x23m2 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.


A. m 1. B. 0m1. C.  1 m1. D.  1 m0.
Lời giải



(39)

38 | VD_VDC


Ta có 3

2




' 4 4 1 4 1


yxmxx xm ;


2
0
' 0


1
x


y


x m


 


 


.


Để hàm số có ba điểm cực trị m 1.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là


0;3 2 ,

1; 2 3 ,

 

1; 2 3


A mBm mmC m mm .



Do AOy B C; , đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A.


Khi đó 1 .

1

2 1


2


ABC B A B


SAH BCx yymm .
Theo giả thiết SABC  1

m1

5 1 m0.


Kết hợp với điều kiện, ta được  1 m0.


Câu 59: Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42

m1

x22m3 có ba điểm cực
trị , ,A B C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai đa giác, biết tỉ số giữa diện tích
của tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác ABC bằng 4


9.
A. 1 15


2


m  . B. 1 3
2


m   . C. 5 3
2


m  . D. 1 15
2


m  .
Lời giải


Chọn D


x
y


H
A


O



(40)

39 | VD_VDC


Ta có 3

2



' 4 4 1 4 1


yxmxx xm ;


2
0
' 0


1
x


y



x m


 


 


.


Để hàm số có ba điểm cực trị m 1.
Gọi ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là


0; 2 3 ,

1; 2 2 ,

 

1; 2 2


A mBm mC m m  .


Do AOy B C; , đối xứng với nhau qua trục Oy nên ABC cân tại A.


Gọi M N, lần lượt là giao điểm giữa AB AC, với trục hoành; gọi H là trung điểm của BC.


Ta có






 



2



2 2


2 4


1


. 2 3 4


2 *


1 . 1 9


2


AMN A


ABC A B


AO MN m


S AO y


S AH BC AH y y m






 



    


   


Do 2m 3 0,m 1 nên

 

* 2 2 2 7 0 1 15
4


m m m


      .


Do m 1 nên 1 15
4
m  .


Nhận xét: Khi làm trắc nghiệm, khi tìm được điều kiện





2
4


2 3 4


9
1
m
m







ta thay lần lượt các giá
trị của m ở đáp án vào biểu thức trên để tìm đáp án đúng.


x
y


H
N
M


A


O



(41)

(42)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút


Câu 1: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

  

xx1



x1

 

2 x2

1. Hàm số g x

 

f x

 

x
có bao nhiêu điểm cực trị.


A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.



Câu 2: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

x

x21

x4

. Hàm số yf

3x

có bao nhiêu
điểm cực đại.


A. 3. B. 0. C. 2 . D. 1.


Câu 3: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm f '

 

xx x

1



x2 ,

3  x . Số điểm cực trị của hàm số


2



2
yf xx


A. 3. B. 2. C. 5. D.

4.



Câu 4: Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên như sau


Tìm số điểm cực trị của hàm số yf

3x



A. 6. B. 3. C. 5. D. 2.


Câu 5: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f '

 

x x2

x1

x26x4

. Hàm số


 

2


yf x có bao
nhiêu điểm cực trị.


A. 6. B. 3. C. 5. D. 2 .


Câu 6: Cho hàm số f x

 

  

2

2




' 1 2


f xxxx , với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số f x

28xm

có 5 điểm cực trị


A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.


Câu 7: Cho hàm số yf x

 

là một đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm
số yff x

 

.



(43)

Câu 8: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

xx2

x1 13



x15

3. Tìm số điểm cực trị của hàm
số 25


4
x
y f


x
 



 


A. 4 . B. 7. C. 2 . D. 6.


Câu 9: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )x x2( 1)(x4) ,2  x . Tìm số cực trị của hàm số
2



( )
yf x .


A. 3. B. 5. C. 2 . D. 4 .


Câu 10: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )x x2( 1)(x4) ,2  x . Tìm số điểm cực trị của


hàm số yf x( 2).


A. 4 . B. 5. C. 3. D. 2 .


Câu 11: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm


3
3


( 1)(4 5)(13 15)


'( ) x x x


f x


x


  


 . Tìm số điểm cực trị của hàm


số 25



4


x
y f


x


 





 .


A. 4 B. 7.


C. 3. D. 6.


Câu 12: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( ) trên . Đồ thị của hàm số yf x( ) như hình vẽ


Đồ thị hàm số

2
( )


yf x có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?


A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại


C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu


Câu 13: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f

 

x . Đồ thị của hàm số f

 

x như hình vẽ


Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y2f x

 

x2


A.

x

2

. B.

x

1

. C.

x

 

1

. D.

x

0

.



(44)

Đồ thị của hàm số yf x

 

3x có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4 . B. 7. C. 3. D. 2 .


Câu 15: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )x22x, mọi xR. Hàm số yf x( 28 )x có bao
nhiêu điểm cực trị?


A. 6 B. 3 C. 5 D. 2


Câu 16: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R thỏa mãn f(x) f"'(x)x(x 1) ( 2 x4)3 mọi
xR. Hàm số g x( )( '( ))f x 22 ( ). "( )f x f x có bao nhiêu cực trị?


A. 3 B. 1 C. 2 D. 6


Câu 17: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn


2 4


'(x) (x). f''(x) 15 x 12 ,


ff   x  x R. Hàm số g(x)f(x). f'(x) có bao nhiêu điểm cực
trị?


A. 3 B. 1 C. 2 D. 4



Câu 18: Cho hàm số yf(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số


(x) (x)
2f 3f


y 


A. 6 B. 5 C. 4 D. 3


Câu 19: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên R và đồ thị f x

 

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y3f x 5f x  bằng:



(45)

Câu 20: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên R và đồ thị f '

 

x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y2f x 3f x  bằng:


A. 3. B. 2. C. 4 D. 7.



(46)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc


BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25



26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI


Câu 1: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

  

xx1



x1

 

2 x2

1. Hàm số g x

 

f x

 

x
có bao nhiêu điểm cực trị.


A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.


Lời giải
Chọn C


Ta có g x

 

f

 

x  1

x1



x1

 

2 x2

.
Do đó g x

 

0 

x1



x1

 

2 x2

0


1
1


2
x
x
x


 



 




 


.


Từ đó suy ra bảng xét dấu


Do vậy, g x

 

f x

 

xcó hai cực trị.


Câu 2: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

x

x21

x4

. Hàm số yf

3x

có bao nhiêu
điểm cực đại.


A. 3. B. 0. C. 2 . D. 1.


Lời giải
Chọn D


Ta có y f

3x

 

3x

21 3

 x 4

x26x8

x1

.
Do đó f

3x

0

x26x8

x1

0


1
4
2
x
x
x


 





 


.



(47)

Từ đó suy ra hàm số có một cực đại.


Câu 3:

Cho hàm số

f x

 

có đạo hàm

f'

 

xx x

1



x2 ,

3  x .

Số điểm cực trị của hàm


số

yf x

22x



A.

3.

B.

2.

C.

5.

D.

4.



Hướng dẫn giải
Chọn A.


Ta có yf x

22x

y'

f x

22x

'

2x2

f'

x22x




3

2

3


2x x 2 x 1 x 2x 2 .


    



Từ đó suy ra hàm số

2


2


yf xx

có 3 điểm cực trị



Câu 4:

Cho hàm số

yf x

 

có bảng biến thiên như sau




Tìm số điểm cực trị của hàm số

yf

3x



A.

6.

B.

3.

C.

5.

D.

2.


Hướng dẫn giải
Chọn B.


Ta có yf

3x

y'

f

3x

' f ' 3

x

  

1


Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

yf x

 

có 3 điểm cực trị.



Như vậy từ

 

1

ta thấy hàm số

yf

3x

cũng có 3 điểm cực trị



Câu 5: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f '

 

x x2

x1

x26x4

. Hàm số


 

2


yf x có bao
nhiêu điểm cực trị.


A. 6. B. 3. C. 5. D. 2.



(48)

 

2 4

2



4 2



' 2 . ' 2 . 1 6 4


yx f xx x xxx  .


Cho 2



2


0
0


' 0 3 5 3 5


3 5 3 5


x
x


y x x


x x











       






   




Do đó 'y 0 có 5 nghiệm phân biệt và 5 nghiệm này là nghiệm đơn nên hàm số đã cho có 5
cực trị.


Câu 6: Cho hàm số f x

 

f'

  

xx1

2

x22x

, với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để hàm số f x

28xm

có 5 điểm cực trị


A. 16. B. 17. C. 15. D. 18.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


Câu 7: Cho hàm số yf x

 

là một đa thức có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm
số yff x

 

.


A. 5. B. 3. C. 4 . D. 6.


Lời giải


Chọn C.


Vì hàm số yf x

 

là một đa thức nên dựa vào đồ thị ta có

 

3 2


3
f xxx

 

3

 

2

 




3


y f f x f x f x


   


 

 

   

   

 



 


 


 



2


0


3 . 6 . 3 . 2 0 0


2
f x


y f x f x f x f x f x f x f x f x


f x
 



         






2


3 2


3 2


0


0


3 6 0


2


3 0


3


3 2


3
x


x x


x



x x


x


x x


x x


  






  
 







(49)

8 | VD_VDC


Câu 8: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

xx2

x1 13



x15

3. Tìm số điểm cực trị của hàm
số 25


4


x
y f


x
 



 


A. 4 . B. 7. C. 2 . D. 6.


Lời giải


Chọn D.




2


2 2


2


2


2


20 5 5



. 0 5


0
4


4 4


x


x x


y f x


f
x


x x


 


   


   
  


   





 


.


3


2 2 2


2 2 2 2


0
1


5 5 5 4 15 65 60


0 0 4


4 4 4 4


3
4
3
x
x


x x x x x x


f x



x x x x


x
x

 




       


   


      


   


       




 


.


Trong đó x0 là nghiệm bội chẵn. Vậy hàm số 25


4
x
y f


x
 




  có 6 điểm cực trị.


Câu 9: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )x x2( 1)(x4) ,2  x . Tìm số cực trị của hàm số


2


( )
yf x .


A. 3. B. 5. C. 2 . D. 4 .


Lời giải


Chọn A.


Theo đề bài ta có: y f x( 2) suy ra


2 4 2 2 2


' 2 . '( ) 2 . ( 1)( 4)


yx f xx x xx  .


5 2 2


2 .(x x 1)(x 1)(x 2) (x 2)


    


Dễ thấy phương trình y'02 .(x5 x1)(x1)(x2) (2 x2)2 0 có 3 nghiệm đơn hoặc


nghiệm bội lẻ. là: x0;x1;x 1 nên hàm số 2


( )


yf x đạt cực trị tại các điểm đó.
yf x( 2)là hàm số chẵn nên (1)ff( 1) suy ra hàm số có 2 cực trị.


Câu 10: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )x x2( 1)(x4) ,2  x . Tìm số điểm cực trị của


hàm số yf x( 2).


A. 4 . B. 5. C. 3. D. 2 .


Lời giải



(50)

Theo đề bài ta có: yf x( 2) suy ra


2 4 2 2 2


' 2 . '( ) 2 . ( 1)( 4)


yx f xx x xx  .


5 2 2


2 .(x x 1)(x 1)(x 2) (x 2)


    


Dễ thấy phương trình y'02 .(x5 x1)(x1)(x2) (2 x2)2 0 có 3 nghiệm đơn hoặc
nghiệm bội lẻ. nên hàm số y f x( 2)


3 điểm cực trị.


Câu 11: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm


3
3


( 1)(4 5)(13 15)


'( ) x x x


f x


x


  


 . Tìm số điểm cực trị của hàm



số 25


4


x
y f


x


 





 .


A. 4 B. 7.


C. 3. D. 6.


Hướng dẫn giải
Chọn B.


Đặt 25


4


x
u



x




 . Ta có:



2 2 2 2 3


2 2


2 53
2


20 5 (5 4)(20 5 20)(65 15 60)


( ) ' '. '( )


( 4) 5


( 4)


4


x x x x x x x


f u u f u


x x


x



x


      


 








. Phương trình

f u( ) '

0 có các nghiệm bội lẻ là 1, 2, 4; 3; 4
3


xx  xxx và điểm làm cho
đạo hàm không xác định là x0. (Đến đây phải chứng minh hàm f liên tục tại điểm x0


bằng cách lấy nguyên hàm


3
3


( 1)(4 5)(13 15)


'( ) x x x


f x



x


  


 , vượt quá kiến thức học kỳ I của lớp
12)


Câu 12: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( ) trên . Đồ thị của hàm số yf x( ) như hình vẽ


Đồ thị hàm số y

f x( )

2 có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?


A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại


C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu D. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu


Hướng dẫn giải
Chọn A.


Từ đồ thị ta có: f x( )0 có nghiệm đơn là x0;x3 và nghiệm kép x1



(51)

Ta có:

2


( ) ' 2 '( ). ( )


yf xyf x f x có các nghiệm đơn là x0;x3; ;x x1 2 và nghiệm bội 3 là


1


x . Xem bảng xét dấu sau:



Câu 13: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f

 

x . Đồ thị của hàm số f

 

x như hình vẽ


Hỏi điểm cực tiểu của hàm số

 

2


2


yf xx


A.

x

2

. B.

x

1

. C.

x

 

1

. D.

x

0

.


Hướng dẫn giải
Chọn D.


 



2 2


y fxx.


 



0


y  fx  x


0
1
1


2


x
x
x
x




 



 





.


x  1 0 1 2 


y 

0

0

+

0

0


y



(52)

Câu 14: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f

 

x . Đồ thị của hàm số f

 

x như hình vẽ


Đồ thị của hàm số yf x

 

3x có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4 . B. 7. C. 3. D. 2 .



Hướng dẫn giải
Chọn C.


 

3


y fx


 



0 3


y  fx  


0
1
1


2
x
x
x
x




 



 







.


x  1 0 1 2 


y 

0

0

0

0



y


Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.


Câu 15: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x'( )x22x, mọi xR. Hàm số yf x( 28 )x có bao
nhiêu điểm cực trị?


A. 6 B. 3 C. 5 D. 2


Hướng dẫn giải
Chọn C


Xét hàm số yf x( )cóf x'( )x22x=0


0
x


  hoặc x2



Xét hàm số y f x( 28 )x y'(2x8).f'(x28 )x =0


2x 8 0


   , x28x0,x28x2 x4 3 2, x0,x4,x8,x 4 3 2 y'đổi


dấu qua các nghiệm nên hàm số có 5 cực trị


Câu 16: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R thỏa mãn f(x) f"'(x)x(x 1) ( 2 x4)3 mọi
xR. Hàm số g x( )( '( ))f x 22 ( ). "( )f x f x có bao nhiêu cực trị?


A. 3 B. 1 C. 2 D. 6



(53)

Chọn C


Xét hàm số g(x)


'( ) 2. '( ). "(x) (2. '(x).f"(x) 2.f(x).f"'(x))


g xf x ff  = 2.f(x).f"'(x)) =2 .(x x1) .(2 x4)3=0


0, 1, 4


x x x


     . '( )g x chỉ đối dấu qua x=0,x= -4 nên hàm số có 2 cực trị


Câu 17: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên R thỏa mãn



2 4


'(x) (x). f''(x) 15 x 12 ,


ff   x  x R. Hàm số g(x)f(x). f'(x) có bao nhiêu điểm cực
trị?


A. 3 B. 1 C. 2 D. 4


Lời giải:


Ta có g'(x)f'(x). f'(x) f(x). f''(x) 

f'(x)

2 f(x). f''(x) 15 x4 12x


  


4


'(x) 0 15x 12 0


g    x


3
0


4
5
x
x
 




 



nên hàm số có 2 điểm cực trị.


Chọn đáp án C


Câu 18: Cho hàm số yf(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số


(x) (x)
2f 3f


y 


A. 6 B. 5 C. 4 D. 3


Lời giải:


Ta có ' '(x). 2

f(x)ln 2 3f(x)ln 3

0


yf   '(x)(x) 0 (1)(x)


2f ln 2 3f ln 3 (2)


f


 



 





+ Đồ thị hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nên phương trình (1) có 3 nghiệm
+


(x)


2 3


(2) ln


3 2


f
 


 


2


3
3


(x) log 1


2



f   


Từ đồ thị hàm số suy ra phương trình (2) có 1 nghiệm kép
Vậy số điểm cực trị của hàm số là: 3



(54)

Câu 19: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên R và đồ thị f x

 

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y3f x 5f x  bằng:


A. 6. B. 5. C. 4 D. 3.


Lời giải


Chọn B.


Ta có y' f'

 

x .3f x ln 3 f'

 

x .5f x ln 5


 

   


' 3f x ln 3 5f x ln 5


f x  


 


 


 

   

 



   



' 0


' 0 ' 3 ln 3 5 ln 5 0


3 ln 3 5 ln 5 0


f x f x


f x f x


f x


y   f x     


 





Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số f x

 

có 3 điểm cực trị  f'

 

x 0 có 3 nghiệm phân
biệt.


Với    


 


 



5
ln



3


3 5 3


3 ln 3 5 ln 5 0 ln


5 3 5


f x


f x f x


f x


     


      


     


Do đồ thị hàm số f x

 

cắt đường thẳng


5
ln


3


3
5


y   


  tại hai điểm phân biệt nên f x

 

0có hai
nghiệm phân biệt.


Vậy Số điểm cực trị của hàm số y3f x 5f x  bằng 5


Câu 20: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên R và đồ thị f '

 

x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của
hàm số y2f x 3f x  bằng:


A. 3. B. 2. C. 4 D. 7.


Lời giải


Chọn C.


Ta thấy đồ thị của hàm số f

 

x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, suy ra hàm số f x

 


4 điểm cực trị.



(55)

14 | VD_VDC


2f x ln 2 5 f x .ln 5

với mọi x nên y'0 f

 

x 0.



(56)

1 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO


VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 12



Thời gian làm bài 90 phút


MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1
ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)


I. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số


Định lý 1: Nếu hàm số yf x

 

đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó nếu f x

 

có đạo hàm tại x0


thì f

 

x0 0.


+ Điều ngược lại có thể khơng đúng, tức có thể f

 

x0 0 nhưng hàm số f x

 

không đạt cực
trị tại x0.


Chẳng hạn như hàm số yx y3, x5


+ Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
Chẳng hạn như hàm số yx y,  x x

2

.


Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.


+ Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại x0 là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x0 hoặc hàm
số khơng có đạo hàm tại x0.


+ Điều kiện đủ:


Định lý 2: Giả sử hàm số yf x

 

liên tục trên khoảng

a b;

chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên các khoảng

a x; 0

x b0;

. Khi đó:


+ Nếu f

 

x 0, x

a x; 0

f

 

x 0, x

x b0;

thì hàm số yf x

 

đạt cực tiểu tại
điểm x0.


+ Nếu f

 

x 0, x

a x; 0

f

 

x 0, x

x b0;

thì hàm số f x

 

đạt cực đại tại điểm


0


x .


Nói một các khác:


II. Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số


Định lí 3: Giả sử hàm số yf x

 

có đạo hàm đến cấp hai tại x0 và f

 

x0 0, f

 

x0 0



(57)

2 | VD_VDC


+ Nếu f

 

x0 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
+ Nếu f

 

x0 0 thì x0 là điểm cực đại.


Trong trường hợp f

 

x0 0 thì chưa thể khẳng định được x0 là điểm cực trị của hàm số hay
không.


Chứng minh


Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng

a b;

chứa điểm x0; f

 

x0 0 và f

 

x0 0. Khi
đó theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có:


 

 

 

 




0 0


0
0


0 0


lim lim 0


x x x x


f x f x f x


f x


x x x x


 


   


   


 


Do đó tồn tại h0 sao cho

x0h x; 0h

a b;

 



0
0



f x


x x





 với mọi


0 ; 0

  

\ 0


xxh xh x .


+ Vì x x 00, x

x0h x; 0

nên f

 

x 0, x

x0h x; 0



+ Vì x x00, x

x x0; 0h

nên f

 

x 0, x

x x0; 0h



Vậy f

 

x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0. Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại x0.


Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng

a b;

chứa điểm x0, f

 

x0 0 nếu f

 

x0 0.
Hàm số f đạt cực trị tại x0.


Chú ý: Định lý này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số
cho các hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó
khăn).


Tổng qt của định lí 3. Nếu hàm số f x

 

có đạo hàm đến cấp n tại điểm x0


 

 

 1

 




0 0 ... 0 0


n


fxf x   fx  và f n

 

x0 0. Khi đó:
+ n lẻ, hàm số không đạt cực trị tại điểm x0.


+ n chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm x0; cụ thể nếu f n

 

x0 0 hàm số đạt cực tiểu tại điểm


0


x và nếu f n

 

x0 0 hàm số đạt cực đại tại điểm x0.


Nếu f n

 

x0 0 chưa kết luận được x0 có là điểm cực trị của hàm số hay không



(58)

3 | VD_VDC
Câu 1: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf

 

x như hình vẽ bên. Hỏi hàm số yf x

 



có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2 B. 3 C. 4 D. 1


Câu 2: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị của yf x( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số yf x( ) có bao nhiêu
điểm cực trị ?


A. 2. B. 3 . C. 4. D. 1.


Câu 3: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị của yf x( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số yf x( )x có bao



nhiêu điểm cực trị ?


A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 .



(59)

4 | VD_VDC


A. 2 B. 3. C. 4. D. 5.


Câu 5: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf'

 

x như hình vẽ bên.


Hỏi điểm cực đại của hàm số yf x

 

x là?


A. x1. B. x0. C. x2. D. x 1.


Câu 6: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf'

 

x như hình vẽ bên.


Đồ thị của hàm số y2f x

  

x1

2 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4. B. 2. C. 3 . D. 0 .



(60)

5 | VD_VDC


Đồ thị của hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.


Câu 8: Cho hàm số yf x( ). Đồ thị hàm số yf x( ) như hình vẽ


Đồ thị của hàm số y3 ( ) 7f xx có bao nhiêu điểm cực trị?



A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .


Câu 9: Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Nếu x0 là nghiệm của phương trình f x( )0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.


B. Nếu hàm số ( )f x đạt cực trị tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0.


C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm.


D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì f x( 0)0.


Câu 10: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x( ) xác định trên . Đồ thị hàm số yf x( ) như hình
vẽ dướ đây:


Hỏi hàm số yf x( 2) có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?


A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.


B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.


C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.


D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.



(61)

6 | VD_VDC


x
y



-1 2


-1
1


O 1


Hỏi điểm cực tiểu của hàm số yf(x) x là:


A. x1 B. x0 C. x2 D. x 1


Câu 12: Cho hàm số 3


3


yxx. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Cực đại của hàm số là 2 B. Cực đại của hàm số là -1


C. Cực đại của hàm số là -2 D. Cực đại của hàm số là 1


Câu 13: Cho hàm số yf(x) có f'(x)x (x 2)2  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số yf(x) là:


A. 2 B. 3 C. 1 D. 0


Câu 14: Cho hàm số yf x( ) có f x( )x2

x1



x2

. Hỏi số điểm cực trị của hàm số yf x( ) là
bao nhiêu ?


A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .



Câu 15: Cho hàm số yf x( ) có f x( )x2

x3

2. Hỏi số điểm cực trị của hàm số yf x( ) là bao
nhiêu ?


A. 2. B. 3 . C. 1. D. 0 .


Câu 16: Cực đại của hàm số yx33x2 là


A. 1. B. 1. C. 4 . D. 0 .


Câu 17: Các điểm nào dưới đây là điểm cực đại của hàm số y2 sin 2x


A. ,


4 2


x kk B. 3 ,


4


x  kk


C. ,


4


x kk D. 3 ,


4 2


x  kk


Câu 18: Các điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số y2 sin 2x


A. ,


4 2


x kk B. 3 ,


4


x  kk


C. ,


4


x kk D. 3 ,


4 2


x  kk


Câu 19: Cho hàm số 1 3 2 3 4


3 3


yxxx . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Chực tiểu của hàm số là 3 . B. Chực tiểu của hàm số là 1.



C. Cực tiểu của hàm số là 23
3


 . D. Cực tiểu của hàm số là 9 .


Câu 20: Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x0 thuộc khoảng ( ; ).a b



(62)

7 | VD_VDC


I. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )0 0.


II. Nếu f x( ) f x( ),0  x ( ; )a b thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f x( ).


III. Nếu f x( ) f x( ),0  x ( ; )\{ }a b x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f x( ).


IV. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số f x( ) thì f"( )x0 0.


Số mệnh đề đúng là?


A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.


Câu 21: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và điểm x0 thuộc khoảng ( ; ).a b Xét các
mệnh đề sau:


(1) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )0 0.


(2) Nếu f x'( )0 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ).


(3) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x0) và f x'( )  0, x ( ; )x b0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số



( ).


f x


(4) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x0) và f x'( )  0, x ( ; )x b0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số


( ).


f x


(5) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm


0 0


( ; ( ))x f x song song hoặc trùng với trục hoành.


Số mệnh đề đúng là?


A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.


Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0, f x'( )0 0và hàm số f(x) có đạo
hàm cấp 2 tại điểm x0.


Xét các mệnh đề sau:


(1) Nếu f"( )x 0thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x).
(2) Nếu f"( )x 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
(3) Nếu f"( )x 0thì x0 khơng là điểm cực trị của hàm số f(x).
(4) Nếu f"( )x 0thì x0 là điểm cực trị của hàm số f(x).
(5) Nếu f"( )x 0thì f x( 0)là cực đại của hàm số f(x).


(6) Nếu f"( )x 0thì f x( )0 là cực tiểu của hàm số f(x).


Số mệnh đề đúng là?


A. 6 B. 4 C. 5 D. 2


Câu 23: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0 thuộc khoảng (a,b).


(1) Nếu f x( 0)f(x), x ( , )a b thì f x( 0)là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).
(2) Nếu f x( 0)f(x), x ( , )a b thì f x( 0)là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).
(3) Nếu f x( 0)f(x), x ( , ) \a b

 

x0 thì f x( )0 là cực đại của hàm số f(x).



(63)

8 | VD_VDC


Số mệnh đề đúng là?


A. 0 B. 2 C. 1 D. 4


Câu 24: Cho hàm số yf x( ). Đồ thị của hàm số yf x'( )như hình vẽ bên


Đồ thị của hàm số y2 ( )f x x2 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4 B. 2 C. 3 D. 5


Câu 25: Cho hàm số yf x

 

xác định và có đạo hàm f

 

x . Đồ thị của hàm số f

 

x như hình dưới
đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?


A. Hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

; 2

.


B. Hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

 ; 1

.


C. Hàm số yf x

 

có ba điểm cực trị.


D. Hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng

0;1

.


Câu 26: Đồ thị hàm số 3 2


3 9 1


   


y x x x có hai điểm cực trị là AB. Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB?


A. P

1; 0

. B. M

0; 1

. C. N

1; 10

. D. Q

1;10

.


Câu 27: Đồ thị hàm số y x33x25 có hai điểm cực trị là AB. Tính diện tích S của tam giác


OAB với O là gốc tọa độ.


A. S9. B. 10


3




S . C. S5. D. S10.


Câu 28: Đồ thị của hàm số yx33x2 có 2 điểm cực trị



A, B. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AB.


A. M

0; 2

. B. M

2; 0

. C. M

1; 0

. D. M

2; 4

.


Câu 29: Đồ thị hàm số yx36x29x1 có 2 điểm cực trị A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.


A. AB 5. B. AB4 2. C. AB2 2. D. AB2 5.


Câu 30: Đồ thị hàm số


2 5


2


x
y


x





 có hai điểm cực trị A, B. Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A, B


là?



(64)

9 | VD_VDC
Câu 31: Đồ thị hàm số



2 1


2


x x
y


x


 


 có hai điểm cực trị AB. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB5. B. AB2 5. C. AB2 15. D. AB2 13.


Câu 32: Đồ thị hàm số yx48x22 có ba điểm cực trị A, B, C. Gọi S là diện tích tam giác


ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. S 4 2. B. S16. C. S 8 2. D. S32.


Câu 33: Đồ thị hàm số y 2x44x23 có ba điểm cực trị


A, B, C. Gọi R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. 5


2



R . B. 5


4


R . C. 5


2


R . D. 5


4


R .


Câu 34: Cho hàm số yf x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ


Hỏi hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.


Câu 35: Cực đại của hàm số yx35x x21


A. 1. B. 5.


3 C. 4. D.
148
27





Câu 36: Cho hàm số yf x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ


Hỏi hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực đại?


A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.


Câu 37: Cho hàm số yf x

 

liên tục trên Rvà có bảng xét dấu như hình vẽ


Hỏi hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực đại.


A. 2. B. 4. C. 3 . D. 1.



(65)

10 | VD_VDC


A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 9 .


Câu 39: Cho 3 đường cong

     

C1 , C2 , C3 là đồ thị của các hàm số yf x

 

, yf'

 

x , yf"

 

x .


Hỏi đồ thị các hàm số yf x

 

, yf '

 

x , yf"

 

x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào?


A.

  

C3 , C2

  

, C1 . B.

     

C2 , C1 , C3 . C.

     

C2 , C3 , C1 . D.

     

C1 , C2 , C3 .


Câu 40: Cho hàm số yf x( )x35xx21 . Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là?


A. 1 và 5 .


3 B. 4 và 4. C. 1 và 1. D. 4 và 148 . 27


Câu 41: Cho hàm số ( ) 1 4 2 1.



4 2


yf xxx  Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Cực tiểu của hàm số là  2 và 2. B. Cực tiểu của hàm số là 0.


C. Cực tiểu của hàm số là 1 .
2


D. Cực tiểu của hàm số là 3 .
2



Câu 42: Cho hàm số


2 5


( )


2


x
y f x


x




 



 Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Cực đại của hàm số là 5. B. Cực đại của hàm số là 1.


C. Cực đại của hàm số là 10. D. Cực đại của hàm số là 2.


Câu 43: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

  

x x1

x22



x44

. Số điểm cực trị của hàm số

 



yf x là?


A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 1.


Câu 44: Cho hàm số 1 4 2 1
4x x 2


y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Cực đại của hàm số là 1
2



(66)

11 | VD_VDC
C. Cực đại của hàm số là  2 và 2 . D. Cực đại của hàm số là 3


2


 .


Câu 45: Cho hàm số yf x

 

có đồ thị như hình vẽ


Đồ thị hàm số y 2f x

 

3 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4 . B. 7 . C. 5. D. 9.


Câu 46: Điểm cực đại của hàm số 2


2 sin .


yxx


A. , .


12


x  k  kB. 2 , .


6


x  kk


C. 7 , .


12


x  kk D. 7 2 , .


6


x  kk


Câu 47: Điểm cực đại của hàm số yx2 sin2x.


A. , .


12


x  k  kB. 2 , .


6


x  kk


C. 7 , .


12


x  kk D. 7 2 , .


6


x  kk
Câu 48: Gọi S là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số 2


2 sin


yxx trên khoảng

0; 2018

.
Tính tổng tất cả các phần tử của S.


A. 412271



2




. B. 2468491


12




. C. 412699


2




. D. 1221798


6




.


Câu 49: Cho hàm số yx3ax2bxc có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị


của hàm số f x

   

y 22 .y y 


A. 0 . B. 2. C. 3. D. 1.




(67)

12 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO


VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc


BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI


MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP 1
ĐẠO HÀM CẤP 2 (ĐỀ 01)


I. Mối quan hệ giữa cực trị và đạo hàm của hàm số


Định lý 1: Nếu hàm số yf x

 

đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó nếu f x

 

có đạo hàm tại x0


thì f

 

x0 0.


+ Điều ngược lại có thể khơng đúng, tức có thể f

 

x0 0 nhưng hàm số f x

 

không đạt cực
trị tại x0.


Chẳng hạn như hàm số yx y3, x5


+ Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
Chẳng hạn như hàm số yx y,  x x

2

.


Như vậy, một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.


+ Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị tại x0 là hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x0 hoặc hàm


số khơng có đạo hàm tại x0.


+ Điều kiện đủ:


Định lý 2: Giả sử hàm số yf x

 

liên tục trên khoảng

a b;

chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên các khoảng

a x; 0

x b0;

. Khi đó:



(68)

13 | VD_VDC


+ Nếu f

 

x 0, x

a x; 0

f

 

x 0, x

x b0;

thì hàm số f x

 

đạt cực đại tại điểm


0


x .


Nói một các khác:


II. Mối quan hệ giữa điểm cực trị và đạo hàm cấp hai của hàm số



Định lí 3: Giả sử hàm số yf x

 

có đạo hàm đến cấp hai tại x0f

 

x0 0, f

 

x0 0


thì x0 là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa,
+ Nếu f

 

x0 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
+ Nếu f

 

x0 0 thì x0 là điểm cực đại.


Trong trường hợp f

 

x0 0 thì chưa thể khẳng định được x0 là điểm cực trị của hàm số hay
không.


Chứng minh


Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng

a b;

chứa điểm x0; f

 

x0 0 và f

 

x0 0. Khi
đó theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có:


 

 

 

 



0 0


0
0


0 0


lim lim 0


x x x x


f x f x f x


f x



x x x x


 


   


   


 


Do đó tồn tại h0 sao cho

x0h x; 0h

a b;

 



0
0


f x


x x





 với mọi


0 ; 0

  

\ 0


xxh xh x .


+ Vì x x00, x

x0h x; 0

nên f

 

x 0, x

x0h x; 0




+ Vì x x00, x

x x0; 0h

nên f

 

x 0, x

x x0; 0h



Vậy f

 

x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0. Do đó hàm số f đạt cực tiểu tại x0.


Tương tự, hàm số f có đạo hàm trên khoảng

a b;

chứa điểm x0, f

 

x0 0 nếu f

 

x0 0.
Hàm số f đạt cực trị tại x0.


Chú ý: Định lý này thường được sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số
cho các hàm số có chứa lượng giác và hàm có chứa căn thức (khi việc xét dấu của đạo hàm khó
khăn).


Tổng quát của định lí 3. Nếu hàm số f x

 

có đạo hàm đến cấp n tại điểm x0 và


 

 

 1

 



0 0 ... 0 0


n



(69)

14 | VD_VDC


+ n chẵn, hàm số đạt cực trị tại điểm x0; cụ thể nếu f n

 

x0 0 hàm số đạt cực tiểu tại điểm


0


x và nếu f n

 

x0 0 hàm số đạt cực đại tại điểm x0.


Nếu f n

 

x0 0 chưa kết luận được x0 có là điểm cực trị của hàm số hay không



BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM


Câu 1: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf

 

x như hình vẽ bên. Hỏi hàm số yf x

 



có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2 B. 3 C. 4 D. 1


Lời giải
Chọn B


Xét phương trình:

 

0


x a


f x x b


x c






  


 


Khi đó ta có bảng xét dấu:




(70)

15 | VD_VDC


A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1.


Lời giải
Chọn D.


Ta có bảng biến thiên từ sự quan sát đồ thị hàm số yf x( )


Vậy hàm số yf x( )một điểm cực trị.


Câu 3: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị của yf x( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số yf x( )x có bao


nhiêu điểm cực trị ?


A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 .


Lời giải
Chọn A.


Ta đặt hàm số yg x( ) f x( )x, có g x( ) f x( ) 1 ;


số nghiệm của phương trình f x( ) 1 0  bằng số giao điểm của đường yf x( ) và y1.


Từ đồ thị ta thấy hai đường cắt nhau tại 2 điểm x 1, x2; tiếp xúc tại1 điểm x1, nên
( ) ( ) 1


   



(71)

16 | VD_VDC


Câu 4: Cho hàm số yf x( ). Đồ thị của hàm sốyf x'( ) như hình vẽ dưới. Hỏi hàm số yf x( )có


bao nhiêu điểm cực trị?.


A. 2 B. 3. C. 4. D. 5.


Hướng dẫn giải
Chọn B.


Đạo hàm đổi dấu khi qua các điểm x0,xx x1, x2 nên đồ thị hàm số yf x( ) có 3 điểm cực
trị


Câu 5: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf'

 

x như hình vẽ bên.


Hỏi điểm cực đại của hàm số yf x

 

x là?


A. x1. B. x0. C. x2. D. x 1.



(72)

17 | VD_VDC


Xét hàm số yf x

 

xy' f '

 

x 1
Từ đồ thị ta thấy


 

1


' 0 ' 1


2


 




    





x


y f x


x


 

1


' 0 ' 1


2


 


    





x


y f x



x

 



'0 '    1 1 2


y f x x


Vậy hàm số đạt cực đại tại x 1


Câu 6: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf'

 

x như hình vẽ bên.


Đồ thị của hàm số y2f x

  

x1

2 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4. B. 2. C. 3 . D. 0 .


Lời giải
Chọn C.



(73)

18 | VD_VDC


Từ đồ thị ta thấy:


 

1


' 0 ' 1


3






      


 


x


y f x x


x


 

3


' 0 ' 1


1 3


 


      


 


x


y f x x



x


 

3 1


' 0 ' 1


3


  


      





x


y f x x


x


Ta thấy hàm số có đạo hàm đổi dấu ba lần khi qua các nghiệm nên hàm số có ba cực trị.


Câu 7: Cho hàm số yf x

 

. Đồ thị của hàm số yf'

 

x như hình vẽ bên.


Đồ thị của hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2 . B. 3 . C. 0 . D. 1.



Lời giải
Chọn C.


Từ đồ thị hàm số ta thấy f '

 

x   0 x R; f '

 

x 0 x 1. Vậy hàm số yf x

 

đồng
biến trên Rdo đó hàm số khơng có cực trị.



(74)

19 | VD_VDC


Đồ thị của hàm số y3 ( ) 7f xx có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .


Lời giải
Chọn C.


Ta có y3f x( ) 7 .


Xét phương trình 0 ( ) 7
3


y  f x 


Từ đồ thị hàm số yf x( ), ta thấy phương trình ( ) 7
3


f x  có 2 nghiệm xx00và x2.


 Bảng biến thiên của hàm số y3 ( ) 7f xx:



Vậy đồ thị hàm số y3 ( ) 7f xx có đúng 1 điểm cực trị.


Câu 9: Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Nếu x0 là nghiệm của phương trình f x( )0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số.


B. Nếu hàm số ( )f x đạt cực trị tại x0 thì hàm số có đạo hàm tại x0.


C. Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà tại đó hàm số khơng tồn tại đạo hàm.


D. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì f x( 0)0.


Lời giải
Chọn C.


- Mệnh đề A sai.


Xét hàm số yx3y3x2


0



(75)

20 | VD_VDC


- Mệnh đề B, D sai. Xét hàm số yx


Hàm số đạt cực tiểu tại x0 nhưng hàm số khơng có đạo hàm tại x0.


Câu 10: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x( ) xác định trên . Đồ thị hàm số yf x( ) như hình
vẽ dướ đây:



Hỏi hàm số 2


( )


yf x có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?


A. 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.


B. 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại.


C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.


D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.


Lời giải
Chọn B.


Từ đồ thị hàm số yf x( ), ta thấy:
0


( ) 0 1
3


x


f x x


x







  


 


,


 



( ) 0 ; 0 3;


f x   x   


 



( ) 0 0;1 1;3


f x   x  .
Ta có y

f x( 2)

2 . (x f x 2)


2


0
0


0 1



( ) 0


3


x
x


y x


f x


x


 


 


    


 


  




 



2
2



2
0


( ) 0 ; 3 3;


3
x


f x x


x


 


       






(76)

21 | VD_VDC


Vậy hàm số y f x( 2) có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại.
Câu 11: Cho hàm số yf(x). Đồ thị hàm số yf'(x) như hình vẽ


x
y


-1 2



-1
1


O 1


Hỏi điểm cực tiểu của hàm số yf(x) x là:


A. x1 B. x0 C. x2 D. x 1


Hướng dẫn giải
Chọn C


Ta có: yf(x) x  y' f'(x) 1


Đồ thị hàm số:yf'(x) cắt đường thẳng y1 tại 3 điểm trong đó có 1 điểm tiếp xúc nên
phương trình y' f'(x) 1 0  có 3 nghiệm trong đó có 1 nghiệm kép.


Dấu của 'y


Vậy điểm cực tiểu của hàm số yf(x) x là:x2


Câu 12: Cho hàm số 3


3


yxx. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Cực đại của hàm số là 2 B. Cực đại của hàm số là -1


C. Cực đại của hàm số là -2 D. Cực đại của hàm số là 1



Hướng dẫn giải
Chọn A


Ta có: ' 3 2 3 0 1
1
x


y x


x


 


    



(77)

22 | VD_VDC


BBT:


Câu 13: Cho hàm số yf(x) có f'(x)x (x 2)2  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số yf(x) là:


A. 2 B. 3 C. 1 D. 0


Hướng dẫn giải
Chọn C


Ta có: '(x) x (x 2)2 0 2
0
x


f


x


  


    





(x0 là nghiệm kép)
Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.


Câu 14: Cho hàm số yf x( ) có f x( )x2

x1



x2

. Hỏi số điểm cực trị của hàm số y f x( )


bao nhiêu ?


A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .


Lời giải
Chọn A.


Ta thấy 2





( ) 1 2


   


f x x x x có nghiệm đơn là 2 và 1, nghiệm kép là 0 nên







2


( ) 1 2


   


f x x x x đổi dấu qua hai nghiệm đơn. Vậy hàm số có hai điểm cực trị.


Câu 15: Cho hàm số yf x( ) có f x( )x2

x3

2. Hỏi số điểm cực trị của hàm số yf x( ) là bao
nhiêu ?


A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 0 .


Lời giải
Chọn D.


Ta thấy f x( )x2

x3

2 có 2 nghiệm kép là 0 và 3 nên f x( )x2

x3

2 khơng đổi dấu
qua hai nghiệm đó. Vậy hàm số khơng có cực trị.


Câu 16: Cực đại của hàm số yx33x2 là


A. 1. B. 1. C. 4. D. 0 .


Lời giải
Chọn C.


+ Có y 3x23, nghiệm của y 3x23 là x 1.



+ y 6x, suy ra y 

 

1  6, hàm số đạt cực đại tại x 1, giá trị cực đại là y

 

1 4.



(78)

23 | VD_VDC


A. ,


4 2


x kk B. 3 ,
4


x  kk


C. ,


4


x kk D. 3 ,
4 2


x  kk
Lời giải
Chọn C


2sin 2 ' 4 cos 2 0 ,
4 2


yxyx x kk



Mà '' 8sin 2 '' 8sin 0 2 ,
4 2 2


y   xy  k   kkhi kl l


   




Vậy ,
4


x kk là các điểm cực đại của hàm số.


Câu 18: Các điểm nào dưới đây là điểm cực tiểu của hàm số y2 sin 2x


A. ,


4 2


x kk B. 3 ,
4


x  kk


C. ,


4


x kk D. 3 ,


4 2


x  kk
Lời giải
Chọn B


2sin 2 ' 4 cos 2 0 ,
4 2


yxyx x kk


Mà '' 8sin 2 '' 8sin 0 2 1,
4 2 2


y   xy  k   kkhi kll


   




Vậy 3 ,
4


x  kk là các điểm cực tiểu của hàm số.


Câu 19: Cho hàm số 1 3 2 3 4


3 3


yxxx . Mệnh đề nào sau đây đúng?



A. Chực tiểu của hàm số là 3 . B. Chực tiểu của hàm số là 1 .


C. Cực tiểu của hàm số là 23
3


 . D. Cực tiểu của hàm số là 9.


Lời giải
Chọn C


Ta có: 3 2 2


1 3


1 4


3 ' 2 3 0 23


3 3 3


3


x y


y x x x y x x


x y


   






         


    



(79)

24 | VD_VDC


Vậy Cực tiểu của hàm số là 23
3




Câu 20: Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x0 thuộc khoảng ( ; ).a b


Xét các mệnh đề sau:


I. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )0 0.


II. Nếu f x( ) f x( ),0  x ( ; )a b thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f x( ).


III. Nếu f x( ) f x( ),0  x ( ; )\{ }a b x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f x( ).


IV. Nếu x0 là điểm cực đại của hàm số f x( ) thì f"( )x0 0.


Số mệnh đề đúng là?



A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


Câu 21: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và điểm x0 thuộc khoảng ( ; ).a b Xét các
mệnh đề sau:


(1) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì f x'( )0 0.


(2) Nếu f x'( )0 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ).


(3) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x0) và f x'( )  0, x ( ; )x b0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số


( ).


f x


(4) Nếu f x'( )  0, x ( ;a x0) và f x'( )  0, x ( ; )x b0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số


( ).


f x


(5) Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f x( ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm


0 0


( ; ( ))x f x song song hoặc trùng với trục hoành.



Số mệnh đề đúng là?


A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x0, f x'( )0 0và hàm số f(x) có đạo
hàm cấp 2 tại điểm x0.


Xét các mệnh đề sau:



(80)

25 | VD_VDC


(6) Nếu f"( )x 0thì f x( )0 là cực tiểu của hàm số f(x).
Số mệnh đề đúng là?


A. 6 B. 4 C. 5 D. 2


Hướng dẫn giải:


Các mệnh đề đúng là 1,2,5,6


Câu 23: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0 thuộc khoảng (a,b).


(1) Nếu f x( 0)f(x), x ( , )a b thì f x( 0)là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).
(2) Nếu f x( 0)f(x), x ( , )a b thì f x( 0)là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên khoảng (a,b).
(3) Nếu f x( 0)f(x), x ( , ) \a b

 

x0 thì f x( )0 là cực đại của hàm số f(x).


(4) Nếu f x( 0)f(x), x ( , ) \a b

 

x0 thì f x( )0 là cực tiểu của hàm số f(x).

Số mệnh đề đúng là?


A. 0 B. 2 C. 1 D. 4


Hướng dẫn giải:


Các mệnh đề đúng là 1,2,3,4


Câu 24: Cho hàm số yf x( ). Đồ thị của hàm số yf x'( )như hình vẽ bên


Đồ thị của hàm số y2 ( )f x x2 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4 B. 2 C. 3 D. 5


Hướng dẫn giải:


Xét hàm số g(x)= 2



(81)

26 | VD_VDC


'( ) 2 '( ) 2 x 0


g xf x   xf x'( )x 2hoặc 2x4(quan sát đồ thị)
BBT


Từ bbt ta có đt hàm số y= g(x) có 3 điểm cực trị


Câu 25: Cho hàm số yf x

 

xác định và có đạo hàm f

 

x . Đồ thị của hàm số f

 

x như hình dưới
đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?



A. Hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

; 2

.


B. Hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

 ; 1

.


C. Hàm số yf x

 

có ba điểm cực trị.


D. Hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng

0;1 .



Hướng dẫn giải
Chọn C.


Ta có bảng biến thiên


A, B, D sai, C đúng.


Câu 26: Đồ thị hàm số 3 2


3 9 1


   


y x x x có hai điểm cực trị là AB. Điểm nào dưới đây thuộc
đường thẳng AB?


A. P

1; 0

. B. M

0; 1

. C. N

1; 10

. D. Q

1;10

.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


3 3 2 9 1 3 2 6 9



       


y x x x y x x


Lấy y chia cho y. Ta có: . 1 1 8 2
3 3


 




 


 


y y x x


Vậy đường thẳng AB có phương trình là y 8x2.
Thay tọa độ các điểm trong đáp án vào thì N

1; 10

thỏa.


Câu 27: Đồ thị hàm số 3 2


3 5


   


y x x có hai điểm cực trị là AB. Tính diện tích S của tam giác



(82)

27 | VD_VDC



A. S9. B. 10


3




S . C. S5. D. S10.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


3 2 2


3 5  3 6


       


y x x y x x


0
0  2


  





x


y x



Khi đó ta có 2 điểm cực trị A

0;5 ;

B

2;9

. Ta có OA5; d B OA

;

d B Oy

;

xB 2
Diện tích tam giác OAB là 1 .

;

1.5.2 5


2 2


  


S OA d B Oy .


Câu 28: Đồ thị của hàm số yx33x2 có 2 điểm cực trị


A, B. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn
thẳng AB.


A. M

0; 2

. B. M

2; 0

. C. M

1; 0

. D. M

2; 4

.


Lời giải
Chọn A


TXĐ: D.


2


3 3 0 1


y  x    x  .


Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị là A

1; 4

B

1; 0

. Vậy M

0; 2


Câu 29: Đồ thị hàm số 3 2


6 9 1


yxxx có 2 điểm cực trị A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.


A. AB 5. B. AB4 2. C. AB2 2. D. AB2 5.


Lời giải
Chọn D


TXĐ: D.


2 1


3 12 9 0


3
x


y x x


x





      






. Suy ra tọa độ 2 điểm cực trị là A

1;3

B

3; 1

.
Vậy AB2 5.


Câu 30: Đồ thị hàm số


2 5


2


x
y


x





 có hai điểm cực trị A, B. Hỏi đường thẳng đi qua hai điểm A, B


là?


A. y2x. B. y 2x. C. 2yx. D. 2y x.


Lời giải
Chọn A


TXĐ: D.


Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là






2


5
2
2


x


y x


x





 





.


Câu 31: Đồ thị hàm số


2


1


2


x x
y


x


 


 có hai điểm cực trị AB. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
A. AB5. B. AB2 5. C. AB2 15. D. AB2 13.



(83)

28 | VD_VDC


Ta có







2


2


2 1 2 1
2


x x x x


y



x


    


 




2


2


4 1


2


x x


x


 





.
0


y  2



4 1 0


x x


    2 3


2 3


x
x


   
 


  



3 2 3
3 2 3


y
y


   
 


  



.


Suy ra AB

2 3

 

2 4 3

2 2 15.


Câu 32: Đồ thị hàm số yx48x22 có ba điểm cực trị A, B, C. Gọi S là diện tích tam giác


ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. S 4 2. B. S16. C. S 8 2. D. S32.


Lời giải
Chọn D.


Ta có y 4x316x0 0
2
x
x




   




0; 2
A


 , B

 2; 14

, C

2; 14

M

0; 14



trung điểm của BC.


Ta có AM 16, BC4 suy ra 1 .


2


SAM BC 1.4.16 32
2


  .


Câu 33: Đồ thị hàm số y 2x44x23 có ba điểm cực trị A, B, C. Gọi R là bán kính đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. 5


2


R . B. 5


4


R . C. 5


2


R . D. 5


4


R .


Lời giải
Chọn B.



Ta có y 8x3 8x 0


     0


1
x
x




   




0;3
A


 , B

1;5

, C

1;5

M

0;5

.
Ta có ABAC 1222  5, BC2 và AM 2.


Suy ra 1 . . .
2 4


AB AC BC


S AM BC


R



  .


2


AC AB
R


AM


  5. 5 5


2.2 4


  .


Câu 34: Cho hàm số yf x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ


Hỏi hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực trị?



(84)

29 | VD_VDC
Chọn B.


Câu 35: Cực đại của hàm số yx35x x21


A. 1. B. 5.


3 C. 4. D.
148
27







Hướng dẫn giải
Chọn C.


2


2


2


2 . 1
' 3 5


1


x x


y x


x




  




2



2


2


2 1
' 0 3 5


1


x x


y x


x




   


(1)


Nếu x 1 thì (1) 2


1
3 5 2 5


3


x



x x


x


 



   


 




Nếu x 1 thì (1) 2


1
3 5 2 5


3


x


x x


x







    


 


(loại)
Lập bảng biến thiên ta thấy cực đại của hàm số là y

 

1 4.


Câu 36: Cho hàm số yf x

 

xác định và liên tục trên có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ


Hỏi hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực đại?


A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Hướng dẫn giải


Chọn A.


Câu 37: Cho hàm số yf x

 

liên tục trên Rvà có bảng xét dấu như hình vẽ


Hỏi hàm số yf x

 

có bao nhiêu điểm cực đại.


A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1.


Lời giải


Chọn A.


Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 2 nên hàm số đạt cực đại tại x 2.




(85)

30 | VD_VDC


A. 4 . B. 7 . C. 5 . D. 9 .


Lời giải


Chọn C.


Ta có g x'

 

2f x f

 

. '

 

x ;

 

 



 



1 1


0
0


' 0 1


' 0


2
3


x x


x
f x



g x x


f x


x
x


   






 




    









 


.



Bảng xét dấu


x  x1 1 0 2 3 


 



'


g x 0 + 0  0 + 0  0 +


Vậy hàm số g x

 

 f x

 

2 có 5 điểm cực trị.


Câu 39: Cho 3 đường cong

     

C1 , C2 , C3 là đồ thị của các hàm số yf x

 

, yf'

 

x , yf"

 

x .
Hỏi đồ thị các hàm số yf x

 

, yf '

 

x , yf"

 

x theo thứ tự, lần lượt tương ứng với
đường cong nào?


A.

  

C3 , C2

  

, C1 . B.

     

C2 , C1 , C3 . C.

     

C2 , C3 , C1 . D.

     

C1 , C2 , C3 .


Lời giải



(86)

31 | VD_VDC
+ Nhận xét: Nếu đồ thì hàm số yg x'

 

cắt Oxtại điểm có hồnh độ x0, và g x'

 

đổi dấu
khi qua x0 thì hàm số yg x

 

đạt cực trị tại x0.


+

C2

đạt cực trị tại các điểm đồng thời là hoành độ giao điểm của

 

C1Ox.
+

 

C1 đạt cực trị tại các điểm đồng thời là hoành độ giao điểm của

 

C3Ox.


Vậy đồ thị các hàm số yf x

 

, yf '

 

x , yf"

 

x theo thứ tự, lần lượt tương ứng là


C2

    

, C1 , C3 .


Câu 40: Cho hàm số yf x( )x35xx21 . Cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là?


A. 1 và 5 .


3 B. 4 và 4. C. 1 và 1. D. 4 và 148 .27
Hướng dẫn giải


Chọn D.


+ Tập xác định 
+


 





3 2


3 2


5 ( 1) ; 1 1;


( )


5 1 1;1


x x x


f x



x x x


    



 


 




nếu x
nếu x


-Xét tại x1, ta có:


3 2


1 1


( ) (1) 5 ( 1)


lim lim


1 1


x x


f x f x x x



x x


 


   


  


  Hàm số khơng có đạo hàm tại x1


-Xét tại x 1, ta có:


3 2


( 1) ( 1)


( ) ( 1) 5 1


lim lim


1 1


x x


f x f x x x


x x


     



 


  


  Hàm số khơng có đạo hàm tại x 1


-Tại mọi x\

1;1

thì


 





2
/


2


3 2 5 ; 1 1;


( ) .


3 2 5 1;1


x x


f x


x x



   



 


    




neáu x
neáu x


+ f/( )x 0x53.
+ Xét dấu f/( )x



(87)

32 | VD_VDC


Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực đại là 4 và và giá trị cực tiểu là 148 .
27




Câu 41: Cho hàm số ( ) 1 4 2 1.


4 2


yf xxx  Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Cực tiểu của hàm số là  2 và 2. B. Cực tiểu của hàm số là 0.



C. Cực tiểu của hàm số là 1 .
2


D. Cực tiểu của hàm số là 3 .
2



Hướng dẫn giải


Chọn D.


+ Tập xác định 


+ Hàm số có đạo hàm trên  và f/( )xx32 .x


/


0


( ) 0 2


2
x


f x x


x






 


 


+ Hàm số có đạo hàm cấp hai trên  và f/ /( )x 3x22.


/ /


(0) 2 0


f    Hàm số đạt cực đại tại x0, giá trị cực đại là (0) 1.


2


f  


/ /( 2) 4 0


f    Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  2, giá trị cực tiểu ( 2) 3.
2


f   


Vậy hàm số đã cho chỉ có duy nhất một giá trị cực tiểu là 3 .
2





Câu 42: Cho hàm số


2


5
( )


2


x
y f x


x




 


 Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Cực đại của hàm số là 5. B. Cực đại của hàm số là 1.


C. Cực đại của hàm số là 10. D. Cực đại của hàm số là 2.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


+ Tập xác định \

 

2


+ Hàm số có đạo hàm tại mọi x 2 và



2
/


2


4 5


( )


( 2)


x x


f x


x


 



(88)

33 | VD_VDC


/ 1


( ) 0


5
x


f x



x




 


 


+ Hàm số có đạo hàm cấp hai tại mọi x 2 và //( ) 18 3.


( 2)


f x


x





/ / 2


(1) 0
3


f   Hàm số đạt cực tiểu tại x1, giá trị cực tiểu là (1)f 2.


/ /( 5) 2 0



3


f     Hàm số đạt cực đại tại x 5, giá trị cực đại là ( 5)f   10.
Vậy hàm số đã cho chỉ có duy nhất một giá trị cực đại là 10.


Câu 43: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

  

x x1

x22



x44

. Số điểm cực trị của hàm số

 



yf x là?


A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 1.


Hướng dẫn giải
Chọn D.


Ta có

  

2

 

2 2



1 2 2


fxxxx  .
Khi đó f

 

x chỉ đổi dấu khi đi qua x1.
Do đó hàm só đã cho có 1 cực trị.


Câu 44: Cho hàm số 1 4 2 1


4x x 2


y   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Cực đại của hàm số là 1


2


 . B. Cực đại của hàm số là 0 .


C. Cực đại của hàm số là  2 và 2 . D.Cực đại của hàm số là 3
2


 .


Hướng dẫn giải
Chọn A.


Ta có y x3 2x


   .


3


0
2 0 2


2
0


x
x


y x x


x







  


 




   .



(89)

34 | VD_VDC


Vậy cực đại của hàm số là 1
2


 .


Câu 45: Cho hàm số yf x

 

có đồ thị như hình vẽ


Đồ thị hàm số y 2f x

 

3 có bao nhiêu điểm cực trị?


A. 4 . B. 7 . C. 5. D. 9.


Hướng dẫn giải
Chọn B.


Số điểm cực trị của hàm số y 2f x

 

3 bằng số điểm cực trị của hàm số

 

3

2


yf x  .
Đồ thị của hàm số

 

3

 



2


yf xC được suy ra từ đồ thị ban đầu bằng cách tịnh tiến theo trục


Oy xuống dưới 3


2 đơn vị.
Đồ thị hàm số

 

3


2


yf x  được suy ra từ

 

C bằng cách giữ nguyên phần của

 

C bên trên
trục hoành; lấy đối xứng qua Ox phần của

 

C dưới trục Ox.


Dựa vào đồ thị suy ra số điểm cực trị là 7.


Câu 46: Điểm cực đại của hàm số yx2 sin2x.


A. , .


12


x  k  kB. 2 , .


6



x  kk


C. 7 , .


12


x  kk D. 7 2 , .


6


x  kk
Hướng dẫn giải


Chọn A.


TXĐ: D.
' 1 2.2.cos .sin



(90)

35 | VD_VDC


1 12


' 0 sin 2 ,


7
2


12



x k


y x k


x k





  

      
  



" 4 cos 2


yx


Ta có: " 2 3 0
12


y k 


  , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 12 k ,k .






    


7


" 2 3 0
12


y  k  


 


, suy ra hàm số đạt cực đại tại 7 , .
12


x  k  k


Câu 47: Điểm cực đại của hàm số 2


2 sin .


yxx


A. , .


12


x  k  kB. 2 , .


6



x  kk


C. 7 , .


12


x  kk D. 7 2 , .


6


x  kk
Hướng dẫn giải


Chọn C.


TXĐ: D.
' 1 2.2.cos .sin


y   x x


1 12


' 0 sin 2 ,


7
2


12



x k


y x k


x k





  

      
  



" 4 cos 2


yx


Ta có: " 2 3 0
12


y k 


  , suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 12 k ,k .






    


7


" 2 3 0
12


y  k  


 


, suy ra hàm số đạt cực đại tại 7 , .
12


x  k  k


Câu 48: Gọi S là tập hợp tất cả các điểm cực đại của hàm số yx2 sin2x trên khoảng


0; 2018 .



Tính tổng tất cả các phần tử của S.


A. 412271


2




. B. 2468491



12




. C. 412699


2




. D. 1221798


6




.


Hướng dẫn giải
Chọn A.



(91)

36 | VD_VDC


4 cos 2


y  x


Do 4 cos 2 2 3 0



12 6


y 

k



k

 


   


7 7


4 cos 2 2 3 0


12 6


y

k

 

k

  


    nên hàm số đạt cực đại tại


7
12


x  k.

0; 2018

0 7 2018 0 641


12


x    k   k


Ta có các phần tử của tập S7 ;19 ;...;7699
12 12 12


  



, các phần tử này lập thành một cấp số cộng
có 642 số hạng với số hạng đầu 7


12




và cơng sai d .
Do đó tổng của các phần tử tập S bằng


7


642 2. 641.


412271
12


2 2


T








 





 


 


  .


Câu 49: Cho hàm số 3 2


yxaxbxc có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị
của hàm số f x

   

y 22 .y y 


A. 0 . B. 2. C. 3. D. 1.


Hướng dẫn giải
Chọn C.


Ta có f

 

x 2 .y y 2 .y y 2 .y y 12y 12

x3ax2bxc



Hàm số yx3ax2bxc có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt nên phương trình


3 2


0


xaxbx c có ba nghiệm đơn phân biệt.



(92)

1 | VD_VDC



NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút


Câu 1. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2 9x15. Viết
phương trình của đường thẳng .


A. :y8x12.. B. :y 8x12.. C. :y12x8.. D. :y12x8..


Câu 2. Tìm điều kiện của tham số ,a m sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số




3 2


2 3 1 6 2 1


yxmxmx song song với đường thẳng d y: ax.


A. m 2 a a

0 .

. B. m 3 a a

0 .

.


C. m  3 a a

0 .

. D. m2 a a

0 .

.


Câu 3. Cho hàm số 3 2



0



yaxbxcxd a có đồ thị

 

C . Biết b2 3ac0, tìm phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C .


A. y 2 .


3 3 9


b bc


c x d


a a


 


 


  . B.


2


2


y .


3 3 9


b bc



c x d


a a
 
 
 
.
C.
2
2
y .


3 3 9


b bc


c x d


a a


 


 


 


. D. y 2 .


3 3 9



b bc


c x d


a a


 


 


  .


Câu 4. Cho hàm số yax3 bx2cxd b,

23ac0

có đồ thị


 

C . Biết đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O.Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. 9adbc.. B. 9cab.. C. cd 3ab.. D. ad 9bc..


Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số a m, sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm


số 3

2



2 3 1 6 1 2


yxmxmm x vng góc với đường thẳng yax.


A. 1 1 1

0



3


m a
a
 

 


. B. 1 1 1

0



3
m a
a
 


 
.


C. 1 1 1

0



2
m a
a
 

 


. D. 1 1 1

0



2
m a


a
 


 
.


Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3


3 4


yxmxm có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.


A. 1


2


m  . B. 1


2


m  . C. 1


4


m  . D. m 1.


Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số yx32mx2

m21

x1 ln có hai cực trị
1, 2


x x . Tính giá trị
biểu thức

 

1

 

2


1 2


f x f x


k


x x





 .


A. 2

2



3 2 3


9


kmm . B. 2

2



3 2 3


9


kmm .



C.



2


2 3


9


m


k    . D.



2


2 3


9


m



(93)

2 | VD_VDC


Câu 8. Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x5. Tính bán kính R của đường tròn
ngoại tiếp tam giác OAB.


A. R5. B. R 5. C. R10. D. R2 5.


Câu 9. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x26x8. Viết
phương trình của .



A. :y 6x6. B. :y6x6. C. :y 6x6. D. :y6x6.


Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y2x33

m1

x26m

1 2 m x

là đường thẳng y 4x.


A. m0. B. m1. C. 1


2


m . D. 1


3


m  .


Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số yx3mx27x3 vng góc với đường thẳng 9 1


8


yx .


A. m 1. B. m 6. C. m 12. D. m 10.


Câu 12. Kí hiệu dmin là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số


3 2


1



1
3


yxmx  x m . Tìm dmin.


A. min 2


3


d  . B. min 4 13


3


d  . C. min 4


3


d  . D. min 2 13


3


d  .


Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số


3 3 2


2



m


yxxm nằm khác phía đối với đường thẳng yx.


A. m0. B. m0. C. m0. D. 0m2.


Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số msao cho hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số


3 2 2


3


yxxm x m đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5


2 2


yx


A. m 1. B. m0. C. m1. D. 1


2


m .


Câu 15. Với mọi m1, đồ thị hàm số ymx33mx2(2m1)x 3 m ln có hai điểm cực trị và
gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà  đi qua.


A. 1; 3
2
K  



 . B.


1
3;


2
K  


 . C.


1
;3
2
K 


 . D.


1
3;


2
K 


 .


Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị A B, của đồ thị hàm
sốyx3- 3mx2 4m3 cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4


A. m 2. . B. m 3. . C. m 4. . D. m  1..



Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị


hàm số 3

2

2

2


- 3 -1 2 - 3 2


-yx m xm mx mm có hệ số góc bằng 2


3



(94)

3 | VD_VDC


Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 3 2 4 3




-27


yx mxm có hai


điểm cực trị A B, cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp
(1; 2)


I .


A. 0m12.. B. m 6. C. m3.. D. m12..


Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4- 2mx22m m 4 có ba cực


trị tạo thành một tam giác đều.


A. m33.. B. m2. . C. m 32. . D. m3..
Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số 4 2



0


yaxbxc a có ba điểm cực ,A BC, khi đó tìm tung độ
của điểm G là trọng tâm ABC


A.
2
6
G
b
y c
a


  . B.


2
12
G
b
y c
a


  . C.


2


6
G
b
y c
a


  . D.


2
12
G
b
y c
a
  .


Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4mx2m m 4 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 0


120 .


A. 31


3


m  . B. m 33. C. 32
3


m  . D. 34



3
m  .


Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22m4m có ba
điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.


A. m1. B. m2. C. 1


2


m . D. m3.


Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị thàm số yx4mx21 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.


A. m 1. B. m 2. C. m1. D. m2.


Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2(m1)x2 3m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.


A. m0. B. 1


2


m  . C. m1. D. 1


2
m .


Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số



2
1
2
x x
y
x
 



A. y2x1. B. y 2x1. C. y 2x1. D. y2x1.


Câu 26. Biết rằng hàm số


2


2


1
x mx n
y


x


 




 có hai điểm cực trị x x1; 2. Viết phương trình đườngthẳng đi



qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.


A. ymxn. B.


2


m


yxn. C. y mxn. D.


2


m


y xn.


Câu 27. Biết rằng hàm số


2


2


2
)


2
( x x m
f x



x


 




 có hai điểm cực trịx x1; 2. Tính


 

1

 

2


1 2


f x f x


k


x x







A. 1


2


k  . B. k 1. C. 1


2




(95)

4 | VD_VDC


Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a

0

có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của
đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó.


A.


2


1 8


8


b
R


a b


  . B.


2


1 8


4


b
R



a b


  . C.


2


1 8


8


b
R


a b


  . D.


2


1 8


4


b
R


a b


  .



Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ymx42

m1

x21


có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy và thỏa mãn OABC.


A. 3


4


m. B. 4


3


m  . C. 3


4


m  . D. 4


3


m .


Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a c

, 0

có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy
và thỏa mãn OBAC. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.


A. b2 2ac. B. b24ac. C. b2 2ac. D. b2  4ac.


Câu 31. . Tìm tất cả các tham số m sao cho đồ thị hàm số yx4

2m3

x2m1 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác đều.



A. m 2 3.3 . B. m 3 33.


2


  . C. m33.. D. m 33..


Câu 32. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx42mx22m m 4 có ba điểm cực trijlaf ba
đỉnh của một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1


A. 2. . B. 3. . C. 0. . D. 1..


Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx23

m21

xm3m


hai điểm cực trị cùng với điểm I

 

1;1 tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính


5.
R


A. m 3;1 .
5


 


 


 . B.


3
m 1; .



5


 


 


  . C.


3
m ;1 .


5


 


  


  . D.


3
m 1; .


5


 


  


  .



Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số


2


2 1


2 1


mx x m


y


x


  




 vng góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.


A. m 1. . B. m 1.
2


 . C. m 1.. D. m 1.


2


  .


Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx2m3 có hai điểm cực


trị cùng với điểm 1;7


8


C


 


tạo thành một tam giác cân tại C.


A. m 1. B. 1


2


m . C. m 1. D. 1


2


m  .


Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 4

2


2 1 3


8


yxmxm có ba
điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.


A. 1



2



(96)

5 | VD_VDC


Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx32mx2m3 có hai điểm cực
trị AB sao cho góc AOB120.


A. 24 27


25


m  . B. 6 3


5


m  . C. 2 3


5


m  . D. 12


5


m  .


Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số


3
3 9 2 27



2 2


m m


yxx  có hai điểm


cực trị AB cùng với gốc tọa độ O là ba đỉnh của một tam giác vuông.


A. Với mọi m. B. m3. C. m9. D. m0.


Câu 39. Biết đồ thị hàm số yx46x24x6 có ba điểm cực trị , ,A B C. Hỏi ba điểm cực trị của
đồ thị hàm số thuộc đường cong nào dưới đây?


A. y3

x2 x 2

. B. 3


1 4
4 2x
yx   .


C.

2



2


3 x


yx   . D. y4x312x4.


Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 22m1 có ba điểm cực trị
là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm H

 

0;1 là:


A. m1. B. m0.


C. 2

4



2


1m m  2m 0. D. 2

4



2


1m m  2m 0.


Câu 41. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




4 2


1


4 2 1


yxmxm có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
120.


A.


3



24
1 1


m  . B.


3


16
1 1


m  . C.


3


48
1 1


m  . D.


3


1
2
1


m  .


Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số





3 2 2


1


1


3x mx


y   mx có hai điểm cực trị ,A B sao cho ,A B nằm khác phía và cách đều
đường thẳng y5x9. Tính tổng tất cả các phần tử của S.


A. 0 . B. 6 . C. 6. D. 3.


Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2


1 1


2 1 1


3 2


yxmxmm x có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB
diện tích bằng 2. Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên.


A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 .



Câu 44. Cho hàm số 1 3 2

2 1

1


3


yxmxmx có đồ thị là

Cm

. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm


,



A a b sao cho A là điểm cực đại

Cm

tương ứng với mm1A là điểm cực tiểu ứng với


2


mm . Tính ab


A. S 1. B. S 1. C. S  2. D. S 3.


Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số


3 2 3


3 4


yxmxm có hai điểm cực trị , A B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng


2 1 0



(97)

6 | VD_VDC


A. 0 . B. 1



2


 . C. 1. D. 1


2.


Câu 46. Cho điểm C

5;9 .

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2


1


1
3


yxmxmx có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC cân tại C. Tính
tổng tất cả các phần tử của S.


A. 0. . B. 9.


2 . C.


15
.
2


 . D. 15.



2 .


Câu 47. Cho

Cm

là đồ thị của hàm số yx33mx1 (với m0 là tham số thực). Gọi d là đường
thẳng đi qua hai điểm cực trị của

Cm

. Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I

1;0

bán kính


3


R tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích
tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử?


A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0 .


Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số


3 2 2 3


3 3( 1)


yxmxmx m m có hai điểm cực trị ,A B sao cho OA 2.


OB Tính tổng tất


cả các phần tử của S.


A. 6. B. 6 . C. 3. D. 0 .


Câu 49. Biết đồ thị của hàm số yx3bx2cx d có hai điểm cực trị và gốc tọa độ nằm trên đường
thẳng đi qua hai điểm này. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Sbcdbc3d.



A. 4. B. 6. C.

4

. D. 6 .


Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 4 2 2 3


2


m


yxmx


có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần
tử của S.


A. 2 2 3 . B.  2 3. C.

1

. D. 0 .


Câu 51. [2D1-3] Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn

0; 2017

để đồ thị hàm số




3 2


2 1 3 2 2


yxmxmxm có hai điểm cực trị A B, nằm về hai phía của trục
hoành?


A. 2014 . B. 2015 . C. 2013. D. 2012.


Câu 52. [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ymx33x



có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC đều với C

2;1

. Tính tổng tất cả các phần tử
của S.


A. 0 . B.

4



3

. C.


1


3. D. 3.


Câu 53. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx3mx24m3 có 2
điểm cực trị AB sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.


A. m0. B.

m

1

. C.


4 4


1 1


;


2 2



(98)

7 | VD_VDC


Câu 54. [2D2-3] Tìm tất của các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số yx42mx2 có 3
điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.


A. m1. B.

0

m

1

. C. 3


0m 4. D. m0.


Câu 55. Ta có y 4x34mx4x x

2m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số


m để đồ thị hàm số


4 2


2


yxmx có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2 1


A. m1. B. m2 22. C. m 2. D. m 2 1 .


Câu 56. Cho hàm số y3x46x22, có đồ thị

 

C . Gọi A là điểm cực đại của

 

C ; ,B C là điểm
cực tiểu của

 

C . Gọi d là đường thẳng đi qua AS là tổng khoảng cách từ ,B C đến d.
Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S.


A. 4 4 5
5


 . B. 6 3 10


5


 . C. 4 4 5 . D. 2 2.


Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx4

3m1

x23 có ba điểm cực

trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2


3 độ dài cạnh bên.


A. 5


3


m  . B. 3


5


m  . C. 5


3


m . D. 3


5
m .


Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33x22 có hai điểm cực
trị nằm về hai phía của đường tròn

Cm

:x2y22mx4my5m2 1 0


A. 1 5


3
m


  . B. 1 5



3
m


   . C. 3 1


5m . D.
3


1
5 m


   .


Câu 59. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số yx33mx26m3 tạo với trục hồnh góc 45.


A. m 1;m1. B. 1 ; 1


2 2


m  m . C. m 1. D. 1


2


m  .


Câu 60. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số


4 2



2 4


y xmx  có các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.


A.

;0

  

 2 . B.

;0

 

2 . C.

2; 2

. D.

 

2 .



(99)

8 | VD_VDC


NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019


CHUN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc


BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI


Câu 1. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2 9x15. Viết
phương trình của đường thẳng .


A. :y8x12. B. :y 8x12. C. :y12x8. D. :y12x8.



Hướng dẫn giải
Chọn B.


Ta có:


3 2


2


3 9 15.
y' 3 6 9.


1
' 0


3


y x x x


x x


x
y


x


   


  



 


 





Đồ thị có 2 điểm cực trị là A

1; 20 ,

B

3; 12 .



Gọi phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là yaxb. Ta có:


3 12 8


20 12


a b a


a b b


    


 




 


   



 


Vậy phương trình của đường thẳng  là y 8x12..


Câu 2. Tìm điều kiện của tham số a m, sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số




3 2


2 3 1 6 2 1


yxmxmx song song với đường thẳng d y: ax.


A. m 2 a a

0 .

B. m 3 a a

0 .


C. m  3 a a

0 .

D. m2 a a

0 .




(100)

9 | VD_VDC
Ta có phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị có dạng là:


2


2


y .


3 3 9


b bc



c x d


a a


 


 


 


Suy ra

2

2


6 9 3 3.


y mmx mm


Vì đường thẳng  song song song với đường thẳng d y: axnên:


2


2


2


6 9


3 3 0


6 9 0.



m m a


m m


m m a


   


   


    
.
a
  


Với a0 thì m  3 a.


Câu 3. Cho hàm số yax3 bx2cxd a

0

có đồ thị


 

C . Biết b2 3ac0, tìm phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C .


A. y 2 .


3 3 9


b bc



c x d


a a


 


 


  B.


2


2


y .


3 3 9


b bc


c x d


a a
 
 
 
C.
2
2


y .


3 3 9


b bc


c x d


a a


 


 


 


D. y 2 .


3 3 9


b bc


c x d


a a


 


 



 


Hướng dẫn giải


Chọn B.




3 2


2


2


0


' 3 2 .


b 3 .


y ax bx cx d a


y ax bx c


ac


    


  



  


Với b2 3ac0,phương trình 'y 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 và 'y đổi dấu khi đi qua 2
nghiệm đó nên đồ thị có 2 điểm cực trị A x

1; y , B1

x2; y2

.


Lấy y chia cho 'y ta được:


y x'

 

1y x'

 

2 0 nên ta có


2


1 1


2


2 2


2


3 3 9


2


3 3 9


b bc


y c x d


a a



b bc


y c x d


a a
  
   
  
  

 

 

 


Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của

 

C là:


2


2


y .


3 3 9


b bc



c x d


a a


 


 



(101)

10 | VD_VDC


Câu 4. Cho hàm số 3 2

2



, 3 0


yaxbxcxd bac có đồ thị

 

C . Biết đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O.Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. 9adbc. B. 9cab. C. cd 3ab. D. ad 9bc.


Hướng dẫn giải
Chọn A.


Ta có phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị có dạng là:


2


2


y .



3 3 9


b bc


c x d


a a
 
 
 

 


2
2
'.g .


3 3 9


b bc


y y x c x d


a a


 


   


 


Vì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đi qua gốc tọa độ O nên: 0 9 .


9


bc


d ad bc


a


   


Câu 5. Tìm điều kiện của các tham số a m, sao cho đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm


số 3

2



2 3 1 6 1 2


yxmxmm x vng góc với đường thẳng yax.


A. 1 1 1

0



3
m a
a
 

 


. B. 1 1 1

0



3


m a
a
 


 
.


C. 1 1 1

0



2
m a
a
 

 


. D. 1 1 1

0



2
m a
a
 


 
.
Lời giải
Chọn A.



Ta có: 2



6 6 1 6 1 2


y  xmxmm .


Khi đó: '. 1

9 2 6 1

6

1 1 2





3 6


x m


yy     mmxm m  m


  .


Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y 

9m26m1

x m m

1 1 2



m

.


Vì hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3

2



2 3 1 6 1 2


yxmxmm x vng góc với đường


thẳng yax nên


2

2


0
0



1


9 6 1 1 3 1 1 1 1


3 1 1


3


a
a


m m a m


m m
a
a a




 
           
   
 
   
.


Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3



3 4


yxmxm có hai điểm
cực trị ,A B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O.


A. 1


2


m  . B. 1


2


m  . C. 1


4


m  . D. m 1.



(102)

11 | VD_VDC


Ta có:





3


2 0 0; 4


3 6 0



2 2 ; 0


x A m


y x mx


x m B m


  


   


  




.


Để hàm số có hai cực trị thì m0.


Vì tam giác OAB vng cân tại O nên


6 2 0( )


16 4


1


. 0



2


m loai


OA OB m m


m
m
OA OB



  

 
 
 


 


  .


Vậy 1


2


m  .



Câu 7. Biết rằng với mọi m hàm số yx32mx2

m21

x1 ln có hai cực trị
1, 2


x x . Tính giá trị
biểu thức

 

1

 

2


1 2


f x f x


k


x x





 .


A. 2

3 2 2 3



9


kmm . B. 2

3 2 2 3



9


kmm .



C.



2


2 3


9


m


k    . D.



2


2 3


9


m


k    .


Lời giải
Chọn D.


Ta có: 2 2


3 4 1


y  xmxm  .



Khi đó:


2


3


2 2 2 2 2


'. 1


3 9 9 3 9 9


x m


yy   m   xmm


   


.


Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:


2


3


2 2 2 2


1


9 3 9 9
m


y   xmm


 


.


Nên

 

 



2 2


3 3


1 2


1 2


1 2 1 2


2 2 2 2 2 2 2 2


1 1


9 3 9 9 9 3 9 9


m m


x m m x m m



f x f x


k


x x x x


   
          
   

 
 


2



2 2 3


2 2


9 3 9


m
m


k


      .


Câu 8. Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x5. Tính bán kính R của đường tròn


ngoại tiếp tam giác OAB.


A. R5. B. R 5. C. R10. D. R2 5.


Lời giải
Chọn A.


Ta có: 2



3 3 0 1 1;3 , 1; 7


y  x   x  A B  .


Khi đó: 


2 2 2


40 2


10, 5 2, 2 5 cos


2. . 20 5 5


OA OB AB


OA OB AB AOB


OA OB


 




(103)

12 | VD_VDC


 4 5


sin 1


5 5


AOB


    1. . .sin 1. 10.5 2. 5 5


2 2 5


OAB


S OA OB AOB


    .


Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OABlà: . . 10.5 2.2 5 5


4 OAB 4.5


OA OB AB
R


S



  


Câu 9. Gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x26x8. Viết
phương trình của .


A. :y 6x6. B. :y6x6. C. :y 6x6. D. :y6x6.


Lời giải
Chọn A


Đạo hàm y 3x2 6x 6. Ta có 1 1 6 6
3 3


y x y x


 . Do đó đường thẳng đi qua hai


điểm cực trị là y 6x6.


Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y2x33

m1

x26m

1 2 m x

là đường thẳng y 4x.


A. m0. B. m1. C. 1


2


m . D. 1


3



m  .


Lời giải
Chọn C


Đạo hàm y 6x26 1

m x

6m

1 2 m

.


Ta có 0


1 2


x m


y


x m


 

  


  


 .


Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì 1 2 1


3


m  mm .



Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là


2


2


3 3 9


b bc


y c x d


a a







   


 , do đó đường


thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là




2


9 1 3 1 .6 1 2



2


6 1 2


3 6 9.2


m m m m


y m m x




 


 


 


 


.


Đường thẳng có hệ số góc k 4 nên



2


9 1


2



6 1 2 4


3 6


m


m m




 


 


 


 


2


3m 2m 1 0


   


1
1
3


m


m
 




  



.


Nhận xét 1


3


m  thì 0


9


bc
d


a



(104)

13 | VD_VDC


Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số y x3 mx27x3 vng góc với đường thẳng 9 1


8



yx .


A. m 1. B. m 6. C. m 12. D. m 10.


Lời giải
Chọn B


Đạo hàm y 3x22mx7.


Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi y 0 có hai nghiệm phân biệt


2


0 m 21 0




      .


Hệ số góc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là



2 2


2


2 2 2


7 21



3 3 3 3 9


b m


k c m


a


   




   


    .


Ycbt tương đường 2

21 2

.9 1 2 25 5


5


9 8


m


m m


m


 



     


 


 .


Câu 12. Kí hiệu dmin là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số


3 2


1


1
3


yxmx   x m . Tìm dmin.


A. min 2


3


d  . B. min


4 13
3


d  . C. min 4


3



d  . D. min 2 13


3


d  .


Lời giải
{Ban đọc xem lại hai cách giải để chọn đáp án đúng}


Chọn C


Đạo hàm y  x2 2mx1. Nhận xét y 0 có hai nghiệm phân biệt với mọi m.


Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là




2


2 2


2


2 2


2


4 2 3 2 4



1 . 1 1 . 9 1


9 3 3 3 9


b b ac


AB c m m


a a


    




    


   


6 4 2


2


4 4 5 4


3


AB m m m


    



Đặt tm t2, 0. Ta có 2 4 3 4 2 5 4, 0
3


ABtt  t t


Xét hàm số y4t34t2 5t 4 với t0.


Đạo hàm y 12t2  8t 5 0, t . Do đó yy

 

0 4, t 0.


Do đó 4


3


AB . Vậy khoảng cách nhỏ nhất hai điểm cực trị là min 4
3


d  .


Chọn D.



(105)

14 | VD_VDC
Xét phương trình y 0 hay x22mx 1 0


2


1 0,


m m





      


 Hàm số ln có cực đại, cực tiểu.


Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình y 0 1 2
1 2


2
1


x x m


x x


 



 


 


.


Ta có 1 3 2 1 1 1 2

1 2

2 1


3 3 3 3 3


yxmx  x m xm y  m xm



 


Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là: 1 2

1 2

1 2 1


3 3


y   m xm ,


2



2 2


2 2


1 1


3 3


y   m xm


 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y

1; 1

,B x y

2; 2



2

2

2

2

2

2

2


1 2 1 2 1 2 1 2


4 4


1 1 1 4



9 9


d AB x x m x xm   x x x x


             




 




2 2 2


4 4 2 13


1 (1 ) 4 4 1 .4


9 m m 9 3


   


   


   


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m0.


Vậy min 2 13



3


d  .


Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số


3 3 2


2


m


yxxm nằm khác phía đối với đường thẳng yx.


A. m0. B. m0. C. m0. D. 0m2.


Lời giải
Chọn C.


Ta có y 3x23mx.


Xét phương trình y 0 3x2 3mx 0 x 0


x m



      






 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt m0.
Với x0ym.


Với


3



(106)

15 | VD_VDC


 Với m0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị



3


0; , ;


2


m


A m B m m  


 


.


Để ABnằm khác phia đối với đường thẳng yx thì

xAyA



xByB

0



Hay



3 4


0 0 0 0


2 2


m m


mm mm


       


 


Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của tham số msao cho hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số


3 2 2


3


yxxm x m đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5


2 2


yx


A. m 1. B. m0. C. m1. D. 1



2


m .


Lời giải
Chọn B


Ta có y 3x26x m 2


Xét phương trình y 0 2 2


3x 6x m 0


   


2


9 3m



   


Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì    9 3m2   0 3m 3.


Khi đó hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2


1 2
2


1 2



2


3


x x


m
x x


 




 






.


Ta có


2 2


3 2 2 1 1


3 2 1



3 3 3 3


m m


yxxm xmx y   xm


   


 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là


2 2


1 2 1 1


3 3


m m


y    xm


 


,


2 2


2 2 1 2


3 3



m m


y    xm


 


.


 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y

1; 1

,B x y

2; 2

.
Đề AB đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1 5


2 2


d yx thì d AB


M d









, với Mlà trung
điểm của AB


Ta có 1 2 1 2


;



2 2


x x y y


M   


  hay



2


1; 2


M mm


Mdnên 2 2 1.1 5 2 0 0


1
2 2


m


m m m m


m



        




(107)

16 | VD_VDC


Ta lại có



2


2 1; 2 1 2 1; 2 1 ( 2 1)


3


m


ABxx yy xx    xx 


 


 





2;1



d


u


dAB nên AB u. d 0


 



hay



2


2 1 2 1


2 2 1 0 0


3


m


xx     xx  m


 


(do x1x2)


Vậy với m0 thì AB đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1 5


2 2


d yx .


Câu 15. Với mọi m1, đồ thị hàm số ymx33mx2(2m1)x 3 m ln có hai điểm cực trị và
gọi  là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Tìm điểm cố định K mà  đi qua.


A. 1; 3
2
K  



 . B.


1
3;


2
K  


 . C.


1
;3
2
K 


 . D.


1
3;


2
K 


 .


Lời giải
Chọn C.


Ta có y 3mx26mx2m1



Xét phương trình y  0 3mx26mx2m 1 0


2


9m 3 (2m m 1) 3 (m m 1) 0, m 1




         


 Với mọi m1, hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2.


Ta có: 3 3 2 (2 1) 3 1 1 2 2 10


3 3 3 3 3


m
ymxmxmx m xym x  


   


 Giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số là: 1 2 2 1 10


3 3 3


m
y m x  


 



2 2


2 2 10


3 3 3


m
y m x  


 


 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A x y

1; 1

,B x y

2; 2



 Đường thẳng  đi qua AB có phương trình 2 2 10


3 3 3


m
ym x  


 


hay 2

m1

x3y m 100.


Gọi K x y

0; 0

là điểm cố định mà  luôn đi qua khi m thay đổi


0 0


2 m 1 x 3y m 10 0, m 1



       


2x0 1

m 2x0 3y0 10 0, m 1



(108)

17 | VD_VDC


0 0


0 0


0


1


2 1 0 1


;3
2


2 3 10 0 2


3
x x
K
x y
y

   
   


    
 
 


Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị A B, của đồ thị hàm
sốyx3- 3mx2 4m3 cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4


A. m 2. B. m 3. . C. m 4. D. m  1.


Lời giải
Chọn D


2


2


' 3 6


' 0 3 6 0
0




2


y x mx


y x mx


x


x m
 
   


 


Để hàm số có 2 cực trị m0.


Toạ độ 2 điểm ,A B là:A(0; 4m3) , (2 ;0)B m . Suy ra tam giác

OAB

vng tại

O



Ta có 4 1. . 4 1. 4 3 2 4


2 2


OAB


S   OA OB  m m


4


1 1


m m


    


Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị



hàm số 3

2

2

2


- 3 -1 2 - 3 2


-yx m xm mx mm có hệ số góc bằng 2


3


A. m 1. B. m 4. C. m

0;3

D. m 

1; 4



Lời giải
Chọn C


2 2


' 3 6( 1) (2 3 2)
yxmxmm


Hàm số có 2 cực trị   ' 0  9(m1)23(2m23m2)0


2


3 5


2


3 1 0


3 5


2
m
m m
m
 



    




Ta có:
2 2
2


1 2 2 (2 3 2)( 1)


( ). ' ( 2 )


3 3 3 3 3


x m m m m m


y   y    mxmm    


 


Suy ra đường thẳng đi qua 2 cực trị là:



2 2


2


2 2 (2 3 2)( 1)


( 2 )


3 3 3


m m m m


y   mx m m   


Hệ số góc bằng 2
3


 2 2 2 2 0


2 (t/m)


3


3 3 3


m
m
m
m





      


.


Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số 3- 2 4 3


27


yx mxm có hai


điểm cực trị A B, cùng với gốc toạ độ tạo thành một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp
(1; 2)


I .


A. 0m12. B. m 6 C. m3. D. m12.



(109)

18 | VD_VDC


Chọn C


2


2


' 3 2



' 0 3 2 0
0


2
3


y x mx


y x mx


x
m
x
 
   




 


Để hàm số có 2 cực trị m0.
Toạ độ 2 điểm ,A B là:


3


4 2



(0; ) , ( ; 0)
27 3


m m


A B .


(1; 2)


I là tâm đường tròn ngoại tiếp


2 2


2 2


IA IO
OAB IA IB IO


IB IO
 

     



3 3
2
2
4 4



1 ( 2) 5 2 2 3 (t/m)


27 27


0 (l)


2 2


( 1) 4 5 1 1


3 3
m m
m
m
m m
 
     
 
 



   
 
 


. Chọn C


Câu 19. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4- 2mx22m m 4 có ba cực
trị tạo thành một tam giác đều.



A. m33. B. m2. . C. m 32. D. m3.


Lời giải
Chọn A


3 2


' 4 4 4 ( )
yxmxx xm


Hàm số có 3 cực trị m0.
Toạ độ 3 điểm cực trị là


4 4 2 4 2


(0; 2 ) , ( ; 2 ) , ( ; 2 )
A m mB m mmm Cm mmm .
Rõ ràng ABC cân tại A.


Để ABC đều 3


2


AI BC


  . Với I(0;m4m22 )m là trung điểm BC


2 2 4



3


0 (l)
4 3 4 12


3 (t/m)
m


AI BC m m


m


     


.


Câu 20. Cho biết đồ thị hàm số y ax4bx2c a

0

có ba điểm cực ,A BC, khi đó tìm tung độ


của điểm G là trọng tâm ABC
A.
2
6
G
b
y c
a


  . B.



2
12
G
b
y c
a


  . C.


2
6
G
b
y c
a


  . D.


2
12
G
b
y c
a
  .


Hướng dẫn giải


Chọn A



TXĐ: D.


3


4 2
y  axbx.



(110)

19 | VD_VDC
Với x0yc


2 2 2


2


4


2 4 2 4 4


b ab b b ac


x y c


a a a a a


   


         với  b24ac.


Vậy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

0;

, ; , ;


2 4 2 4


b b


A c B C


a a a a


     
    
   
   
   
.


Tung độ của điểm G là trọng tâm ABC:


2


3 6


A B C


G


y y y b


y c



a


 


   .


Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4mx2m m 4 có ba điểm
cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200.


A.


3


1
3


m  . B. m 33. C.


3


2
3


m  . D.


3


4
3
m  .



Hướng dẫn giải


Chọn C


TXĐ: DR.




3 2


4 2 2 2


y  xmxx xm .


Đồ thị hàm số có ba cực trị ab0m0.
Khi đó ba điểm cực trị: A

0;m m 4

,


2 2


4 4


; , ;


2 4 2 4


m m m m


B  m m Cm m



   


.


Gọi I là trung điểm


2
4


0;
4


m


BCI m m


 
.
2
,
4 2
m m


AIBI   .


Theo đề

 


4
0
3

0


cot 60 3 3. 2


2 16


3


m l


AI m m


BI AI
BI m



      
 

.


Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx42mx22m4m có ba
điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ.


A. m1. B. m2. C. 1


2


m . D. m3.



Hướng dẫn giải


Chọn A


TXĐ: DR.




3 2


4 4 4


y  xmxx xm .


Đồ thị hàm số có ba cực trị ab0m0.


Khi đó ba điểm cực trị: A

0;2m4m

,

4 2

 

4 2



;2 , ; 2


Bm mmm C m mmm .


Yêu cầu bài toán 4 2

 



3


0


2 0 1



2 1 0


m l


m m m m


m m


      
  

.


Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị thàm số yx4mx21 có ba điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.


A. m 1. B. m 2. C. m1. D. m2.


Hướng dẫn giải



(111)

20 | VD_VDC
TXĐ: DR.




3 2


4 2 2 2



y  xmxx xm .


Đồ thị hàm số có ba cực trị ab0m0.
Khi đó ba điểm cực trị: A

0;1

,


2 2


;1 , ;1


2 4 2 4


m m m m


B    C   


   


.


Gọi I là trung điểm


2


0;1
4


m


BCI  



 
.
2
, 2
4 2
m m


AIBC  .


2 5


2


1


. 2 .2 4 2


2 4 2 2


ABC


m m m


SAI BC      m  .


Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx4 2(m1)x2 3m2 có ba
điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.


A. m0. B. 1



2


m  . C. m1. D. 1


2
m .


Lời giải


Chọn A




3 2


' 4 4( 1) 4 1


yxmxx xm . Đồ thị hàm số có 3 cực trị m 1 *

 

.


Khi đó 3 cực trị là: A

0; 3m2 ,

B

m1;1mm2

 

,C m1;1mm2

 ABC cân


đỉnh A, BC//Ox. Để hàm số có có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân đỉnh
A


 





4 1



. 0 1 1 0


0


m L


AB AC m m


m TM
 

        


 
.


Câu 25. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số


2
1
2
x x
y
x
 




A. y2x1. B. y 2x1. C. y 2x1. D. y2x1.


Lời giải


Chọn D


Ta có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:.




2
1 '
2 1
2 '
x x
y x
x
 
  
 .


Câu 26. Biết rằng hàm số


2
2


1
x mx n
y


x



 




 có hai điểm cực trị x x1; 2. Viết phương trình đườngthẳng đi


qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.


A. ymxn. B.


2


m


yxn. C. y mxn. D.


2


m


y  xn.


Lời giải
Chọn B



2
1 2
2

2
2 1
' 1
1


mx n x m


y x x


x


   


   





(112)

21 | VD_VDC


Hai điểm cặc trị là:


1 2



1 2 2 1


1 2 1 2


;1 ; ;1 ; 1;


2 2 2 2



m x x


m m m


M x N x MN x x u


x x x x



 
   
    
     
 
     
 


là vectơ chỉ
phương của MN vậy chọn. B.


Câu 27. Biết rằng hàm số


2


2


2
)



2
( x x m
f x


x


 




 có hai điểm cực trịx x1; 2. Tính


 

1

 

2


1 2


f x f x


k


x x







A. 1


2



k  . B. k 1. C. 1


2


k . D. y 1.


Lời giải


Chọn A


Ta có





2


1 2
2


2 2 2 4


' ;


2


x m x


y x x



x


  


 


 là hai nghiệm của phương


trình:x2 

2m x

20x x1 2  2


 

 

1 2 1 2


1 2


1 2 1 2 1 2


2 2 2 2 1 1


1 1


2 2


x x x x


f x f x


x x x x x x


  



        


 

1

 

2 1 2


1 2 1 2 1 2 1 2


1 1 1


.


2


f x f x x x


k


x x x x x x x x


  


   


 


Cách 2:


Ta có

 






2


2
2


2 2 2 4


'


2


x m x


f x


x


  






; f '

 

x  0 x2

2m x

 2 0 *

 

.


Mà 

  

*  2m

2 8 0, m  suy ra hàm số f x

 

ln có hai điểm cực trị x x1, 2 với
mọi mx1x2m2; x x1 2  2.


Khi đó








2
1 2 1 2


2 2


2 2


1 2 1 2 1 2


2 2 4 4 12 1


.
2


2 4 12


2 2 4


m x x x x m m


k


m m


x x x x x x


     



    


   


   


 


Câu 28. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a

0

có ba điểm cực trị. Tìm bán kính R của
đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đó.


A.
2
1 8
8
b
R
a b


  . B.


2
1 8
4
b
R
a b


  . C.



2
1 8
8
b
R
a b


  . D.


2
1 8
4
b
R
a b
  .
Lời giải
Chọn A


Ta có 3

2



2


0


' 4 2 2 2 ; ' 0


2


x



y ax bx x ax b y b


x
a



     
 

.


Để hàm số có ba cực trị, điều kiện là 0
2


b
a



(113)

22 | VD_VDC


Gọi A B C, , là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số và giả sử A

0;c

,


; ,
2 4
b
B
a a

  


 
 
 
;
2 4
b
C
a a

 
 
 
 


với  b24ac


.


Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:


2
0; ;
4 4
b
H AH
a a

 
  
 


 
4
2
16 2
b b
AB AC
a a
  


Ta có 1 . . . 4 2. 2 4


2 4


ABC


AB BC CA


S AH BC R AH AB


R


    


2 2


2 4 2


2


2



1 8
4 .


4 16 2 8


b b b b


R R


a a a a b


   


  


   


.


Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số ymx42

m1

x21


có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy và thỏa mãn OABC.


A. 3


4


m. B. 4



3


m  . C. 3


4


m  . D. 4


3


m .


Lời giải
Chọn B


*) Với m0 hàm số có một cực trị. Khơng thỏa mãn bài tốn.


*) Xét m0, ta có 2



2


0


' 4 1 ; ' 0 1


x


y x mx m y m


x


m



 
   
 

.


Để hàm số có ba điểm cực trị, điều kiện là 1 0 1


0
m
m
m
m
 


 



Do A Oy , nên gọi A

0; 1 ,

B m 1;y0 ,C m 1;y0


m m


     



  


   


.


Theo giả thiết 2 2 1 4. 1 4


3


m


OA BC m


m




      (thỏa mãn)


Vậy 4


3


m  .


Câu 30. Cho biết đồ thị của hàm số yax4bx2c a c

, 0

có ba điểm cực trị , ,A B C với A Oy
và thỏa mãn OBAC. Tìm hệ thức đúng trong các hệ thức sau.


A. b2 2ac. B. b24ac. C. b2 2ac. D. b2  4ac.


Lời giải



(114)

23 | VD_VDC


Ta có 3

2



2


0


' 4 2 2 2 ; ' 0


2


x


y ax bx x ax b y b


x
a



     
 

.


Để hàm số có ba cực trị, điều kiện là 0
2



b
a


  .


Do A Oy , nên giả sử A

0;c

, ; ,
2 4
b
B
a a

  
 
 
 
;
2 4
b
C
a a

 
 
 
 


với 2


4


b ac
   .
Ta có
2
2
4
,
2 4


b b ac


OB
a a
  
   
 
4
2
16 2
b b
AC
a a
 


Theo giả thiết 2 2 2 2


2


0
4



2


ac


OB AC b ac b


b ac


     


Do ,a c0 nên b22ac


.


Câu 31. . Tìm tất cả các tham số m sao cho đồ thị hàm số yx4

2m3

x2m1 có ba điểm cực
trị là ba đỉnh của một tam giác đều.


A. m 2 3.3 B. m 3 33.


2


  C. m33. D. m 33.


Lời giải
Chọn B


Ta có: y'4x32 2

m3

x


2


0


' 0 3 2


2
x
y m
x



 



Để hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 2 0 3.


2 2


m


m




  



 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:




2 2


3 2 4 8 13 3 2 4 8 13


0; 1 , ; , C ;


2 4 2 4


m m m m m m


AmB          


   


   


Ta thấy ABAC nên để ABC đều thì ABBC


2
2


12 9 4 3 2
4.


4 2



m m m


    




 


3 2

4 3 2


3.


16 2


m m


 


  3 2 2 33 3 33.


2


m m


     


Câu 32. Có bao nhiêu số thực m để đồ thị hàm số yx42mx22m m 4 có ba điểm cực trijlaf ba
đỉnh của một tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 1


A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.




(115)

24 | VD_VDC


Chọn B


Ta có: y'4x34mx


2


0


' 0 x


y
x m


 



Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m0.


 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là:


4

4 2

 

4 2



0; 2 , ; 2 , C ; 2


A mm B m mmmm mmm



Ta thấy ABACm m 4 nên để ABC cân tại A.


Gọi I là trung điểm của BC

4 2



0; 2


I m m m


    AIm2 và AIBC.


1
.
2
ABC


S AI BC


 . Mà . .


4
ABC


AB AC BC
S


R







2


2AI AB


  ( vì R1 và ABAC ) 2 4


2m m m


  


3


2 1 0


m m
    
1
1 5
2
m
m



 





Câu 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx23

m21

xm3m


hai điểm cực trị cùng với điểm I

 

1;1 tạo thành một tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính


5.
R


A. m 3;1 .
5


 


 


  B.


3
m 1; .


5


 


 


  C.


3
m ;1 .



5


 


  


  D.


3
m 1; .


5
 
  
 
Lời giải
Chọn B


Ta có: y'3x26mx3

m21



2 2 1


' 0 2 1 0


1
x m


y x mx m


x m


 

       
 


Để hàm số có 2 điểm cực trị thì m 1 m1( ln đúng ).


 Điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A

m 1; 2  m2 ,

B

m 1; 2  m2



 đường thẳng AB có phương trình: 2xy0.


;

2 1 3 5


5
4 1
d I AB   


 .


2 2


2 5, 5 12 9, 5 8 5
ABIAmmIBmm .




1


; .



2
ABI


Sd I AB AB. Mà . .


4
ABI


AB AI BI
S


R





(116)

25 | VD_VDC


 2 2


1


5 12 9. 5 8 5 6 3


5


m


m m m m



m
 


     
 

.


Câu 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số


2


2 1


2 1


mx x m


y


x


  




 vng góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.


A. m 1. B. m 1.



2


C. m 1. D. m 1.


2
 
Lời giải
Chọn C
Ta có:


2
2


(2 2 1)


'


2 1


m x x


y


x


 







Để hàm số có 2 điểm cực trị thì 'y 0 có hai nghiệm phân biệt 1
2


x  m0


2x22x 1 0có hai nghiệm phân biệt 1


2


x  .


Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:


2


( 2 1) '


1
(2 1) '


mx x m


y mx


x


  



  


 .


Vì đường thẳng trên vng góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhấtyx nênm 1


Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx33mx2m3 có hai điểm cực
trị cùng với điểm 1;7


8


C


  tạo thành một tam giác cân tại C.


A. m 1. B. 1


2


m . C. m 1. D. 1


2


m  .


Lời giải


Chọn B.


Ta có y 3x26mx.



Để hàm số có hai điểm cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt   36m20m0
Gọi x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó


1
2
2
0
x m
x





.


Gọi AB là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó

3



2 ; 3


A mm

3



0;


B m .


Gọi

3



;



M mm là trung điểm của AB.


Ta có

2 ; 4 3

, 1; 3 7


8


ABm m CM m  m  


 


 


. Để tam giác ABC cân tại C thì


. 0


CMABAB CM


 


6 7 3 2


4 2 2 0


2


m m m m


     1



2


m


  .


Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 4

2 1

2 3


8



(117)

26 | VD_VDC


A. 1


2


m . B. m1. C. m2. D. m4.


Lời giải
Chọn B


Ta có 1 3



2 2 1


2


y  xmx



2
0
0
8 4
x
y
x m


   
 


. Để hàm số có ba điểm cực trị thì 8 4 0 1
2


m  m .


Gọi A B C, , là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó


2

 

2



0; 3 , 8 4; 8 9 1 , 8 4; 8 9 1


A mB m  mmCm  mm .


Gọi I là trung điểm của AO 0; 3
2


m



I  


  


 .


Ta có AB

8m4; 8 m28m2 ,

AC

8m4; 8 m28m2



Để ABOC là hình chữ nhật thì ABACI cũng là trung điểm của BC



2
2
2
2
2


8 4 8 8 2 0
8 4 8 8 2 0


1
3


8 9 1 1


2


16



m m m


m m m


m
m
m m
m
      
 
 


   
 




.


Nhận thấy m1 thỏa mãn.


Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx32mx2m3 có hai điểm cực
trị AB sao cho góc AOB120.


A. 24 27


25



m  . B. 6 3


5


m  . C. 2 3


5


m  . D. 12


5


m  .


Lời giải
Chọn A


Ta có y 3x24mx. Để hàm số có hai điểm cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt


2


16m 0 m 0


      .


Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của y 0 khi đó 1
2
4
3
0


x m
x






.


Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó 4 5 3

3



; , 0;


3 27


A mm B m


 


Dựa trên tọa độ điểm ,A B ta nhận thấy để góc AOB120 khi


3


2 2 4


5


3 5 12 3 27



27


tan 30 2


4 3 36 5 25


3


m


m m m


m


       


.


Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số


3
3 9 2 27


2 2


m m


yxx  có hai điểm


cực trị AB cùng với gốc tọa độ O là ba đỉnh của một tam giác vuông.




(118)

27 | VD_VDC


Lời giải
Chọn D


Ta có y 3x29mx


Để hàm số có hai điểm cực trị thì y 0 có hai nghiệm phân biệt   81m20m0
Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình y 0


1


2


3
0


x m


x


 





.



Gọi ,A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó



3


27
3 ; 0 , 0;


2
m
A m B


 


Nhận thấy A nằm trên trục hoành và B nằm trên trục tung. Như vậy tam giác ABO luôn là
tam giác vuông với mọi giá trị m0


Câu 39. Biết đồ thị hàm số yx46x24x6 có ba điểm cực trị , ,A B C. Hỏi ba điểm cực trị của
đồ thị hàm số thuộc đường cong nào dưới đây?


A. y3

x2 x 2

. B. y4x312x4.


C.

2



2


3 x


yx   . D. y4x312x4.


Lời giải


Chọn A


4 2 3


6x 4x 6 y 4x 12x 4


yx       


3


4 4


0 x 12 0


y   x  . Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt là x x x1; 2; 3


Chia y cho y ta được


2


1


3 6


4


. 3


yy x x x



 


   , khi đó ta có y1 3

x12 x1 2

,



2


2 3 2 2 2


y   xx  và


2



3 3 3 3 2


y   x  x


Vậy ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thuộc đồ thị hàm số y3

x2 x 2

.


Câu 40. Điều kiện đầy đủ của tham số m để đồ thị hàm số yx42m x2 22m1 có ba điểm cực trị
là ba đỉnh của một tam giác có trực tâm H

 

0;1 là:


A. m1. B. m0.


C. 1m2

m4 2 2m

0. D. 1m2

m4 2 2m

0.


Lời giải
Chọn C


4 2 2 3 2



2 2 1 4 4


yxm xm  yxm x. Để hàm số có ba cực trị thì m0 khi đó


4


4


0 2 1


2 1


0


2 1


x y m


x m y m m


x y m


y


m m


    






     


      



 




0; 2 1 ,

; 4 2 1 ,

 

; 4 2 1



A m B m m m C m m m



(119)

28 | VD_VDC
Tam giác ABC cân tại A, để H

 

0;1 là trực tâm của tam giác ABC thì BHAC


; 4 2 2 ;

; 4



BHm mmACmm


 




2 4 4


2 2 0


AC m m m m



BH        1 m2

m42m2

0.


Câu 41. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




4 2


1


4 2 1


yxmxm có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng
120.


A.


3


24
1 1


m  . B.


3


16
1 1



m  . C.


3


48
1 1


m  . D.


3


1
2
1


m  .


Lời giải
Chọn A


Cách 1:




4 2 3


4 1 2m 1 y 4x 8 m 1


yxmx       x



Để hàm số có ba cực trị thì 4.

8

m1

 0 m1


Khi đó





2


2


0 2 1


2 1 4 1 2 1


2 1 4 1 2 1


0


x y m


x m y m m


x m y m m


y
    



       



      


 



2

2



0; 2 1 , 2 1 ; 4 1 2 1 , 2 1 ; 4 1 2 1


A m B m m m C m m m


            


ABC


 cân tại A do đó BAC120 OAC 60




2


2 1
tan 3
4 1
C
A C
m


x
OAC


y y m



   
 


3 1
1
24
m
  
3
1
1
24
m
   .
Cách 2:


Ta có





3


2


0



4x 8 1 0


2 1


x


y m x


x m


 


      


 



Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị m1


Khi đó


2


0 2 1


0


2 1 2 1 4 1



x y m


y


x m y m m


    


 


       





Suy ra ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A

0; 2m1 ;

B

 2

m1 ; 2

m 1 4

m1

2

,




2



2 1 ; 2 1 4 1



(120)

29 | VD_VDC
Do tam giác ABC luôn cân tại A A1200.


Ta có





4



2 2 2


0


4


4 1 32 1 8 1


cos cos120


2 . 4 1 32 1


m m m


AB AC BC


A


AB AC m m


    
 
  
  



3
3
3 3


8 1 1


1 1


24 1 1 1


2 8 1 1 24


m
m m
m
 
        
 
.


Cách khác: Áp dụng công thức


3
3
8
cos
8
b a
A
b a


 .



Câu 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số




3 2 2


1


1


3x mx


y   mx có hai điểm cực trị ,A B sao cho ,A B nằm khác phía và cách đều
đường thẳng y5x9. Tính tổng tất cả các phần tử của S.


A. 0 . B. 6 . C. 6. D. 3.


Lời giải
Chọn A


Cách 1: 1 3 2

2 1

2 2 2 1


3


yxmxmxyxmxm




3

3
1
1 3
0
2
3
1


1 3 2


3


x m y m m


x m y m m


y

      

 
   

 



3

3



1 1



1; 3 2 , 1; 3 2


3 3


A m m m  B m m m 


        


Để hai điểm cực trị ,A B nằm khác phía và cách đều đường thẳng y5x9 thì trung điểm I


của AB phải thuộc đường thẳng y5x9


Với 1

3 3



3


; m


I mm   5 9 1

3 3

3


3 18 27 0


m m m mm


     


Gọi m m m1; 2; 3 là nghiệm của phương trình này, khi đó ta có 1 2 3 0
b
m



a


mm    


(Định lý Vi-et cho phương trình bậc ba).


Cách 2:


Ta có y x22mx m 21


Do   m2m2   1 1 0 m nên hàm số ln có hai điểm cực trị với mọi m.


Gọi I là trung điểm của AB


2


A B
I


x x


xm


   1 3


3


I



y m m



(121)

30 | VD_VDC
YCBT trung điểm I của AB thuộc đường thẳng y5x9


5x 9


I I


y


   1 3 3


5 9 18 27 0


3m m m m m


       


Suy ra tổng tất cả các giá trị của m bằng 0.


Câu 43. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2


1 1


2 1 1



3 2


yxmxmm x có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB
diện tích bằng 2. Hỏi S có bao nhiêu phần tử nguyên.


A. 1. B. 0 . C. 2. D. 4


Lời giải:


Chọn A




2 2


2 1


yxmxmm. 0


1
x m
y


x m



 



 





Suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:


3 2


1 1


; 1


3 2


A m mm  


 ,


3 2


1 1 5


1;


3 2 6


B mmm  


 



1
1;


6


AB  


  


 





Suy ra 37


6


AB và AB x: 6y2m33m2m 6 0.




3 2


2 3 6


;


37



m m m


d O AB    


Vậy diện tích tam giác OAB


3 2


3 2


2 3 6


2 2 3 6 24


12


m m m


S       mmm 


Phương trình trên chỉ có một nghiệm nguyên là m3.


Câu 44. Cho hàm số 1 3 2

2 1

1
3


yxmxmx có đồ thị là

Cm

. Biết rằng tồn tại duy nhất điểm


,



A a b sao cho A là điểm cực đại

Cm

tương ứng với mm1A là điểm cực tiểu ứng với


2


mm . Tính ab


A. S 1. B. S 1. C. S  2. D. S 3


Lời giải:


Chọn B


Ta có: y x2 2mx m 21; 0 1
1
x m
y


x m
    


 




.



(122)

31 | VD_VDC
Với m1 thì A a b

,

là điểm cực đại nên


 


1 1


m a


y a b
 







Với m2 thì A a b

,

là điểm cực tiểu nên


 


2 1


m a


y a b
 







Từ hai điều trên ta có:



2

2


3 2 3 2


1 1


1 1 1 1 1 1 1 1


3a a a a a 3a a a a a


   


            


    a0b 1


Khi a0 thì m1 1 và m2  1 thử lại vào hàm số kiểm tra điều kiện ta thấy thoả mãn yêu


cầu bài toán. Vậy A

0; 1

.


Câu 45. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số


3 2 3


3 4


yxmxm có hai điểm cực trị , A B nằm cùng một phía và cách đều đường thẳng


2 1 0



xy  . Tổng các phần tử của S


A. 0 . B. 1


2


 . C. 1. D. 1


2


Lời giải:


Chọn B


Đồ thị hàm số yx33mx24m3 có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía và cách đều
đường thẳng Δ :x2y 1 0 khi và chỉ khi ABΔ


Hệ số góc của đường thẳng AB2 2


AB


k   m ; hệ số góc của Δ là Δ 1
2


k   .


Do đó Δ 2 2 1 1


2 2



AB


kk   m   m  .


Khi 1


2


m thì đồ thị hàm số 3 3 2 1


2 2


yxx  có hai điểm cực trị là 0;1
2


A


 


B

1; 0

; loại
trường hợp này vì ABΔ


Khi 1


2


m  thì đồ thị hàm số 3 3 2 1


2 2



yxx  có hai điểm cực trị là 0; 1
2


A  


  và B

1;0

.
Trường hợp này nhận.


Câu 46. Cho điểm C

5;9 .

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số




3 2 2


1


1
3


yxmxmx có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC cân tại C. Tính
tổng tất cả các phần tử của S.


A. 0. B. 9.


2 C.


15
.
2



D. 15.


2


Lời giải



(123)

32 | VD_VDC
3
3
2 2
3 3
3 29


3 2 4;


3


1 3


' 2 1 0


1 3 2 3 25


6;
3 3
A
A
B
B
m m



m m AC m


y


x m


y x mx m


x m m m m m


y BC m


     
  
  


 
   

      
         

 







Yêu cầu bài toán




2 2


3 3


2 3 29 2 3 25


4 6


3 3


m m m m


AC BC m     m    


         


   


3


3


3 3


8 60 36 0



2


3 3


2


m


m m m


m

 

 

    

 


.


Vậy tổng 3 3 3 3 3 0.


2 2


S      


Câu 47. Cho

Cm

là đồ thị của hàm số yx33mx1 (với m0 là tham số thực). Gọi d là đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị của

Cm

. Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I

1;0

bán kính


3


R tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho diện tích
tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử?


A. 1. B. 2. C. 3. D. 0 .


Lời giải
Chọn A


Ta có y 3x23m, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi 2


3 0


xm có hai nghiệm phân biệt
khi m0.


Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là :d y2m1 và


  

C : x1

2y2 9.


Đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt

A

,

B

nên hoành độ của điểm

A

,

B


nghiệm của phương trình

1 4 m2

x22 1 2

m x

70.


Ta có A x

A; 2mxA1

, B x

B; 2mxB1

; IA

xA1; 2mxA1





; IB

xB1; 2mxB1







.


Khi đó 1 . .sin


2
IAB


SIA IB AIB suy ra diện tích tam giác

IAB

đạt giá trị lớn nhất khi




sinAIB1AIB90.
Hay ta có


1



1

 

2 1 2



1



cos


.


A B A B


x x mx mx


AIB


IA IB



    


  


1



1

 

2 1 2



1



0
3.3


A B A B


xx   mxmx


  

xA1



xB1

 

 2mxA1 2



mxB1

0


1 4 2

.

1 2



2 0


A B A B


m x x m x x



(124)

33 | VD_VDC


2



2 2


2 1 2
7



1 4 1 2 2 0


1 4 1 4


m


m m


m m


 


 


 


     


 


 


7


7 8 0


8


m m



       .


Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số


3 2 2 3


3 3( 1)


yxmxmx m m có hai điểm cực trị ,A B sao cho OA 2.


OB  Tính tổng tất


cả các phần tử của S.


A. 6. B. 6 . C. 3. D. 0 .


Lời giải


Chọn D.


Cách 1: Tập xác định D.


2 2


' 3 6 3( 1) 0(*)
yxmxm  


2 2



' 9m 9(m 1) 9 0


      (ln đúng)


 Phương trình (*) ln có 2 nghiệm phân biệt với  m


Ta có 1 1


1 1


A A


B B


x m x m


x m x m


   


 




 


   


 



Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị ,A B có dạng: y 2x


( A; 2 A); ( B; 2 B)


A x x B x x


  


2 2 2


2


2 2


2 2 2 2


2 2 A A 2 A 2 2


A B


B B B


x y x


OA OA


x x


OB OB x y x





        




TH1: xAm1;xBm1


2 2 2 2


2 ( 1) 2( 1) 3 2 2


A B


xxm  m m 


TH2: xAm1;xBm1


2 2 2 2


2 ( 1) 2( 1) 3 2 2


A B


xxm  m m  


Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng 0.


Câu 49. Biết đồ thị của hàm số yx3bx2cx d có hai điểm cực trị và gốc tọa độ nằm trên đường
thẳng đi qua hai điểm này. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Sbcdbc3d.



A. 4. B. 6. C.

4

. D. 6 .


Lời giải
Chọn A


Ta có y 3x22bx c . Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị b23c0.
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là


2


2
:


3 3 9


b bc


d y c x d


a a


 


 


 


.



O

0;0

  

d 9


9


bc


d bc d


    ,

a1

.


Vậy ta có Sbcdbc3d 9d212d

3d2

24 4.


Câu 50. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 4 2 2 3
2


m


yxmx


có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tính tổng tất cả các phần
tử của S.



(125)

34 | VD_VDC


Lời giải
Chọn B


Ta có y 8x34mx

2



4x 2x m



  .


Đồ thị hàm số có ba cực trị khi 2x2m0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi


0


m .


Khi đó ba điểm cực trị là 0; 3
2


m


A  


 


;


2 3


;


2 2


m m m


B    



 


;


2 3


;


2 2


m m m


C    


 


.


Gọi I

0;t

là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC.
Ta có hệ phương trình


2 2
2 2
IA IO
IA IB
 






2
2
2
2 2
3
2
3 3


2 2 2


m


t t


m m m m


t t
 
 
 
 

 
  
 

   
 


 

 


4 3
3
4


4 12 8 0,


m
t


m m m



 

 


.


Từ

 

 ta có 4 3


0 (ktm)
1 3 (ktm)
4 12 8 0


1
1 3


m


m


m m m


m
m



  

   
 

   

.


Vậy ta có tổng các phần tử của Slà:  2 3.


Câu 51. [2D1-3] Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn

0; 2017

để đồ thị hàm số




3 2


2 1 3 2 2



yxmxmxm có hai điểm cực trị A B, nằm về hai phía của trục
hồnh?


A. 2014 . B. 2015 . C. 2013. D. 2012.


Lời giải


Chọn A




2


3 2 2 1 3 2


y  xmxm . Để hàm số có 2 cực trị


2


5 105


8


4 5 5 0


5 105
8
m
m m
m


 




      
 




Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là




3 2


2 1 3 2 2 0


xmxmxm 


2



1 2 2 0


x x mx m


     


 

2


1


2 2 0


x


g x x mx m




 


    




Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì g x

 

0 có 2 nghiệm phân biệt


 


2


2 0 1 2


3


1 0


g m m m m



m
g
         



 




(126)

35 | VD_VDC


Câu 52. [2D1-3] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ymx33x


có hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC đều với C

2;1

. Tính tổng tất cả các phần tử
của S.


A. 0 . B.

4



3

. C.


1


3. D. 3.


Lời giải


Chọn C


Ta có y 3mx2 3x 0 x 1



m


       . (Điều kiện: m0)


Gọi A 1; 2 1 ;B 1; 2 1


m m m m


   


 


   


   


   


là 2 điểm cực trị. Gọi I

0; 0

là tâm đối xứng của hàm
số trên.




1 1


2 ; 4 ; 2; 1


AB CI



m m


 


    


 


 


Để hai điểm cực trị ,A B sao cho tam giác ABC đều


. 0


20 3


. 5 3


3 2


2


AB CI


m


AB m


CI







   







 


Câu 53. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số yx3mx24m3 có 2
điểm cực trị AB sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ.


A. m0. B.

m

1

. C.


4 4


1 1


;


2 2


m  m . D. m 1;m1.


Lời giải



Chọn C


Ta có 3 2 6 0 0


2
x


y x mx


x m





     





.


2 điểm cực trị AB sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa độ


3



1 2


1 1


4 2 4 1



2 9 2


bc


S d x x m m m


a


 


     


 


Câu 54. [2D2-3] Tìm tất của các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số yx42mx2 có 3
điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.


A. m1. B.

0

m

1

. C. 0m34. D. m0.
Lời giải


Chọn C


Ta có y 4x34mx0 có 3 cực trị m0.


3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn 1


5 5


2 5



3


32


1 1 1


32 32


b m


S m m


a


         


So sánh điều kiện thì 0m1 thỏa u cầu.


Câu 55. Ta có y 4x34mx

2



4x x m


  Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số


4 2


2




(127)

36 | VD_VDC


A. m1. B. m2 22. C. m 2. D. m 2 1 .


Lời giải


Chọn A.


Cách 1. Giải theo cách làm tự luận.


Hàm số có ba điểm cực trị  2m0 m0


0
0 x
y


x m




   


 


Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là A

0;0

, B

m;m2

, C

m;m2

và trung điểm


AB


2




0;


Im


Ta có ABACm4m, BC2 m, AIm2


Diện tích tam giác ABC là 1 2


.
2
ABC


SBC AIm m


ABC


S
r


p


 


2


4


m m



m m m




 


2 1


 


2


3 2 1


1 1
m
m


  


 


3


1 1


2 1
m



m
 


  




3


1 2 1 1


m m


    




3 3 2 2 2 2 2 1 0


m m m


     




1


2 2 1


m


m







  





Đối chiếu điều kiện có m1


Cách 2. Giải trắc nghiệm


2


3


1 1


b
r


b
a


a





 


 


 


 


 


2


3


4
1 1 8


m
m


 


2 1


 


Câu 56. Cho hàm số y3x46x22, có đồ thị

 

C . Gọi A là điểm cực đại của

 

C ; ,B C là điểm
cực tiểu của

 

C . Gọi d là đường thẳng đi qua AS là tổng khoảng cách từ ,B C đến d.

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S.


A. 4 4 5
5


 . B. 6 3 10


5


 . C. 4 4 5 . D. 2 2.


Lời giải



(128)

37 | VD_VDC
Ta có y 12x312x


0
0


1
x
y


x


     





Giả sử ba điểm cực trị lần lượt là A

0; 2

, B

1; 1

C

 1; 1



Gọi I

0; 1

là trung điểm của đoạn BC


Ta có Sd B d

;

d C d

;

2d I d

;

2IA


Vậy maxS2IA6
Ta xét hai trường hợp


TH1: d x: 0. Ta có Sd B d

;

d C d

;

2


TH2: :d kx  y 2 0


;

;



Sd B dd C d


2


3 3
1


k k


k


  





 2


6
1
k




Với k 

3;3

ta có


2


6 3 10


5
1


k





(Lập bảng biến thiên)


Vậy min 3 10


5


S . Chọn đáp án B



Câu 57. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx4

3m1

x23 có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2


3 độ dài cạnh bên.


A. 5


3


m  . B. 3


5


m  . C. 5


3


m . D. 3


5
m .


Lời giải


Chọn A.


Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi 3 1 0 1
3



m  m 


Giả sử ba điểm cực trị là A

0; 3

,


2


3 1 3 1


; 3


2 2


m m


B       


 


 




2


3 1 3 1


; 3


2 2



m m


C       


 


 


Dễ có


4


3 1 3 1


2 2


m m


AB      


  ,


3 1
2


2
m


BC  



Theo bài ta ta có


2


BCAB


4


3 1 2 3 1 3 1
2


2 3 2 2


m m m


      


   



(129)

38 | VD_VDC


4


3 1 3 1


8


2 2


m m



   


   




   


3 1


0( )


5
2


3 1 3


2
2


m


l
m
m


 








   


 







Câu 58. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số yx33x22 có hai điểm cực
trị nằm về hai phía của đường tròn

Cm

:x2y22mx4my5m2 1 0


A. 1 5


3
m


  . B. 1 5


3
m


   . C. 3 1


5m . D.
3



1
5 m


   .


Lời giải


Chọn C.


Ta có

Cm

có tâm I m m

; 2

, bán kính R1


2


3 6


y  xx. 0 0
2
x
y


x


   




Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A

0; 2

B

2; 2



Dễ có IA 5m28m4,



2


2 2 36


5 4 8 5 1


5
5


IBmm   m   R


 


Ta có B nằm ngồi đường trịn

Cm

. Vậy ,A B nằm về hai phía của đường trịn

Cm

khi và
chỉ khi A nằm trong đường tròn

Cm



1


IA


   5m28m415m28m 3 0 3 1


5 m


  


Câu 59. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số yx33mx26m3 tạo với trục hồnh góc 45.



A. m 1;m1. B. 1 ; 1


2 2


m  m . C. m 1. D. 1


2


m  .


Lời giải
Chọn B.


Ta có y 3x26mx, 0 0
2
x
y


x m




   




. Hàm số có 2 cực trị khi m0.


Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A

0; 6m3

 

,B 2 ; 2m m3

. Do đó



2 ; 4 3



ABmm





.


Để đường thẳng AB tạo với trục hồnh góc 45 thì


3


3


4 2 1


2
4 2


m m


m


m m


 


  





 



(130)

39 | VD_VDC


Câu 60. [2D1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số


4 2


2 4


y xmx  có các điểm cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.


A.

;0

  

 2 . B.

;0

 

2 . C.

2; 2

. D.

 

2 .


Lời giải
Chọn D.


Ta có y  4x34mx, y 0 x2 0


x m




   






.


TH1: Hàm số có 1 điểm cực trị khi m0. Khi đó điểm cực trị của đồ thị là A

0; 4

(thỏa
mãn).


TH2: Hàm số có 3 điểm cực trị khi m0.


Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A

0; 4 ,

B

m m; 24 ,

 

C m m; 24

.


Để các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên các trục tọa độ thì 2


4 0 2


m   m (do


0


m ).



(131)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MÔN: TOÁN 12


Thời gian làm bài 90 phút


Câu 1. Cho hàm số y2x39mx212m x2 1 ( với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số mđể hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn xCD2 xCT.



A. m 2 B. 1


4


m


B. m 2 hoặc m4 D. m 2 hoặc m 4


Câu 2. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực.


Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Phương trình 'y 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.


B. Phương trình 'y 0 có đúng 1 nghiệm thực.


C. Phương trình 'y 0 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.


D. Phương trình 'y 0 vơ nghiệm trên tập số thực.


Câu 3. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d với , , ,a b c d là các số thực.


Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Phương trình 'y 0 có 2 nghiệm thực phân biệt.


B. Phương trình 'y 0 có đúng 1 nghiệm thực.


C. Phương trình 'y 0 vơ nghiệm trên tập số thực.



D. Phương trình ' 0y  có 3 nghiệm thực phân biệt.



(132)

Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A.


2
0


3 0


a


b ac






 


B.


2
0


3 0


a



b ac






 


C.


2
0


3 0


a


b ac






 


D.



2
0


3 0


a


b ac






 


Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số ymx4

m2018

x22019 có ba điểm
cực trị


A. 2018m0 B. 0


2018


m
m










C. 2018


0


m
m
 






D. 0m2018


Câu 6. Đường cong ở hình bên là của đồ thị hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực. Mệnh
đề nào dưới đây đùng


A. ab0 B. ab0 C. ab0 D. ab0


Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3

1

2

2 4 3

1
3


yxmxmmx


có hai điểm cực trị



A.  5 m 1 B. 1m5 C.  5 m1 D.  1 m5


Câu 8. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số




3 2 2


1


2 10 1


3


yxmxmx có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn
1 2


1 1


10


xx  . Hỏi


S có bao nhiêu phần tử nguyên


A. 3 B. 4 C. 1 D. 2


Câu 9. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 1 3 2


3 4



3


yxaxax có


điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn


2 2


1 2


2 2


2 1


2 9


2


2 9


x ax a a


a x ax a


 


 


  . Tính tổng các phần tử của S.




(133)

Câu 10. Biết hàm sốyax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ


Mệnh đề nào dưới đây đúng:


A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d0.


C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0


Câu 11. Cho hàm số
2


1


x m


y
x





 ( với m là tham số thực ). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có
hai điểm cực trị.


A.

 1;

. B.

 1;

  

\ 1 . C.

1;

. D.

 1;

  

\ 1


Câu 12. Cho hàm số y2x33

m1

x26

m2

x1. Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số có
điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng

2;3

.



A.

1;3

 

 3; 4

. B.

1; 4

. C.

4;1

. D.

 4; 3

 

 3;1



Câu 13. Đuờng cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d . Mệnh đề nào sau đây
đúng?


A a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.


C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.


Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên m 

2018; 2018

để hàm số yx3mx2

3m4

xm22m
hai điểm cực tri trái dấu?


A 2020. B. 2019. C. 2017. D. 2018.


Câu 15. Cho hàm số yf x

 

có đạo hám f

  

xx m

x23x m 5 ,

x. Tìm tập hợp tất cả các


x
y



(134)

4 | VD_VDC


A 29; \

5;1


4


 


 


 



  B.



29


; \ 1; 5
4


 


  


 


 


C. 29; \

5;1


4


 


  


 


  D.



29


; \ 1;5
4



 


 


 


 


Câu 16. Cho hàm số 2 3 2 2 3

2 1

2


3 3


yxmxmx . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m


để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x x1 22

x1x2

1. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?


A 2. B. 0. C. 1. D. 3.


Câu 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2

2



3 8 1


yxxmm x có hai cực
trị trái dấu.


A. 0m8 B. 4 19m 4 19


C. m0 hoặc m8 D. 1 15



2m 2


Câu 18. Cho hàm số 3 2

2

3


3 3 1


yxmxmxm . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai
điểm cực trị trái dấu.


A.  1 m1 B. m 1 C. m1 D. m 1hoặc m1


Câu 19. Cho hàm số
3


2


3 1


6


2 4 2


x


y  xmx . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai điểm cực
trị thuộc đoạn

1;1

.


A. 1 ;
16



 


 


 


  B.


1
;0
16


 




 


  C.

0;

D.


1
; 0
16


 







 


Câu 20. Biết hàm số 1 3

2

2

5 4

3 1
3


yxmxmxm có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn


1 2 2


x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. m0 B. 0m1 C. m1 D. 1m2


Câu 21. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 4 sin cos 1
cos


a x x


y


a x


 


 có ba điểm


cực trị thuộc khoảng 0;7
3





 


 


 .


A. 0 3


2


a


  . B. 0a1. C. 0 3


8


a


  . D. 0a2


Câu 22. Biết hai hàm số f x

 

x3ax22x1 và g x

 

 x3bx23x1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab bằng


A. 30. B. 2 6. C. 3 6. D. 3 3


Câu 23. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1

2 1

2 50 1


3 2 9



yxmxx


có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x2.



(135)

5 | VD_VDC


Câu 24. Cho hàm số y

m2

x33x2mx5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng

0;

.


A.

3;1 \

  

2 . B.

 3; 2

. C.

2;1

. D.


 ; 3

 

  2;



Câu 25. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 3 2
3


yxm xm x có hai điểm


cực trị phân biệt x x1; 2 thỏa mãn x1x2 4là

;a

 

b;

.Tính Sab.


A. S 4. B. S12. C. S  4. D. S  12.


Câu 26. Số điểm chực trị của hàm số 3 2


yaxb xc xd

a0

có thể là?


A. 2 . B. 0 hoặc 2 . C. 1hoặc 2 . D. 0 hoặc 1hoặc 2 .


Câu 27. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 3



1


yxm x có cực trị.


A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.


Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 4 2


2 3


yxm x  có cực trị.


A. m0. B. m0. C. m0. D.  m .


Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x m
x


  có cực trị.


A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.


Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx43mx24 có ba điểm cực trị đều
nằm trong khoảng

2; 2

.


A.

m

0

. B. 4 0


3 m


   . C.

 

2

m

0

. D. 8 0



3 m


   .


Câu 31. Cho hai hàm số

 

1 3 1 2 1


3 2


f xxxax và

 

1 3 2 3


3


g xxxaxa. Tìm tất cả các giá trị


thực của tham số a để mỗi hàm số trên đều có hai điểm cực trị đồng thời giữa hai điểm cực trị
của hàm số này có một điểm cực trị của hàm số kia.


A. 1


4


a . B. 15


4


a  hoặc 0 1
4


a



  .


C. 15 0


4 a


   . D. 15


4


a  .


Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42mx21 có ba điểm cực trị đều
lớn hơn 1.


A.

m

0

. B.

0

m

1

. C.

m

0

. D.

0

m

1

.


Câu 33. Cho các số thực abc. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng về cực trị của hàm số








yx ax b x c  .


A. Hàm số khơng có cực trị.


B. Hàm số đạt cực trị x x1; 2 tại thỏa mãn ax1 b x2c.


C. Hàm số đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn x1x2a hoặc x1x2c.



(136)

6 | VD_VDC



Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2



6 2 1


3


yxmxmxm có cực


trị.


A. m 3 hoặc m2. B.  2 m3.


C.  3 m2. D. m 2 hoặc m3.


Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y

m2

x33x2mx5 có cực trị.


A.  3 m1 hoặc m 2. B. m1 hoặc m3.


C.  1 m3. D.  3 m1.


Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx2

m1

x1khơng
cực trị.


A. 0 1
4


m


  . B. 4 0


13 m


   . C. 0 4
13


m


  . D. 1 0
4 m
   .


Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx42

m1

x2 1 có ba điểm cực
trị.


A. 0 m1. B. m0 hoặc m 1.


C.  1 m1. D. m1 hoặc m0.


Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 4 2 3


4 2


yxmx  chỉ có cực tiểu mà


khơng có cực đại.


A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.


Câu 39. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2




3 1


yxm xxm


đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 1. Tính tổng các phần tử của S.


A. 1. B. 2. C. 1. D. 2.


Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số




3 2 2


1


3 4 3


3


yxmxmxmm đạt cực trị tại các điểm x x1, 2 thỏa mãn


1 2


1 x x


   .


A. 7



2


m  . B. 7 3


2 m


    . C. m 3. D. m1 hoặc m 3.


Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3

2

2 (5 4)
3


yxmxmx có hai


điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1  1 x2.


A. 1


7


m  . B. m 3. C. 1


7


m  . D. m 3.


Câu 42. Cho hàm số


3 2


2



(cos 3 sin ) 8(1 cos 2 ) 1
3


yxaa x   a x


(với a là tham số thực). Biết hàm
số ln có hai điểm cực trị x x1, 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2


1 2


Sxx



(137)

Câu 43. Biết hàm số 2 3 ( 1) 2 ( 2 4 3)
3


yxmxmmx có hai điểm cực trị a và b. Tìm giá trị lớn


nhất của biểu thức Sab2(ab)


A. 8. B. 18 . C. 38 . D. 33 .


Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3 2 2
2( 3)
3


yxmxmx đạt cực trị tại


các điểm x1, x2 sao chox1, x2 là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng có độ dài
cạnh huyền bằng 5



2


A. 13


2


m  . B. 14


2


m  . C. 13


2


m . D. 14


2


m  .


Câu 45. Cho hai hàm số ( ) 1 3 2 3 1
3


f xxmxmx và ( ) 1 3 2 4 1
3


g xxmxmx . Tìm tất cả các


giá trị thực của tham số m để hai điểm cực trị của hàm số f x( ) nằm giữa hai điểm cực trị của


hàm số g x( ).


A. 0


4


m
m


 






. B. 1 0


56 m


   . C. 1 1


4 m 56


    . D. 1 0


4 m


   .


Câu 46. Cho hàm số yf x

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g x

 

xác

định theo f x

 

có đạo hàm g x'

 

f x

 

m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số


 



g x có duy nhất một điểm cực trị.


A.  4 m0. B. 4


0


m
m


 






. C. 4


0


m
m


 







. D.  4 m0.


Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx3x2

m1

x3 có hai điểm
cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.


A. 0 3 21
6


m


  . B. 0 3 21
3


m


  . C. 3 21 0


3 m




  . D. 3 21 0


6 m





  .



(138)

A. a0,b0,c0. B. a0,b0,c0. C. a0,b0,c0. D. a0,b0,c0.


Câu 49. Tìm m để hàm số 1 3 1

3

2 2

1

1


3 2


yxmxmx có hai điểm cực trị lớn hơn 1.


A. 0m1. B. m1. C.  1 m1. D. m 1.


Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx23 2

m1

x1 có hai
điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x122x x1 23x224x15x21.


A. 4;1
11


 




 


 . B.


4
1;



11


 




 


 . C.


4
1;


11


 


 


 . D.


4
1;


11


 


 



 


 .


Câu 51. Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

x x2

x1

x22mx5

. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số yf x

 

có đúng một điểm cực trị.


A. 3 . B. 4. C. 6 . D. 5.


Câu 52. Biết hàm số f x

 

x3x2mx có một cực trị bằng 1. Cực trị cịn lại của hàm số đã cho bằng.


A. 5


27


 . B. 13


27. C.


11


27 . D.


5
27 .


Câu 53. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số yx3

m1

x2

m4

x4 có giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu đều dương.


A. 11. B. 13 . C. 12. D. 14.



Câu 54. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số yx33x2mx m 2 có hai cực trị trái dấu.


A. 4. B. 2. C. vô số. D. 3.


Câu 55. Cho hàm số 1 3 1 2 4 10


3 2


yxmxx có hai điểm cực trị x x1, 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức

2



2



1 1 2 9


Sxx  là?


A. 49 . B. 49. C. 1. D. 1.


Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 5 2( 1) 3 (2 3) 1


5 3


yxmxmx có


bốn điểm cực trị lập thành một cấp số cộng.


A. m

 

6 . B. m

 

9 . C. 6;14
9


m  



 . D.


14
9;


3


m  


 .


Câu 57. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
4



(139)

A.

6; 6 \ 0

 

. B.

6; 6 \ 0

  

. C.

2; 2 \ 0

  

. D.

2; 2 \ 0

 

.


Câu 58. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42(m2)x24(m3)x1 có ba
điểm cực trị.


A. 11


4


m  . B. 13


4


m  . C. 5 13



4


m


    . D. 5 11
4


m


    .


Câu 59. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx48mx33

m2

x24 chỉ có
đúng một điểm cực trị.


A. m2 hoặc 2 m 1. B. m 2 hoặc 1 2
2 m 3
   .


C. m2 hoặc m 1. D.  1 m2.


Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2 2 2

3 3

2

2 9 2 2


ymmxmm xm x có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1x2


1 2 2 1


x xmxmx .


A. 1 5



2 m 2


   . B. 0 5
2


m


  .


C. 1 5


2 m 2


   và m0. D. 1


2


m  hoặc 5
2


m .


Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 2


1
3


yxmxmx có hai điểm cực trị x x1, 2



thỏa mãn x1x2 2 2.


A. m 1 hoặc m2. B. m 2 hoặc m1.


C. m1 hoặc m0. D. m0 hoặc m2.


Câu 62. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số yx32

m1

x2

m24m1

x2m22 có hai
điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn

1 2



1 2


1 1 1


2 x x


xx   .


A. m

 

1;5 . B. m 

1;5

. C. m 

1;1

. D. m 

5;1

.


Câu 63. Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.


Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.



(140)

Câu 64. Biết hàm số f x( )2x33ax26x1 và g x( )2x33bx212x4 có chung ít nhất một
điểm cực trị.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab bằng


A. 2 22. B. 2 6. C. 3 2. D. 3 6.



Câu 65. Tìm m để hàm số f x( )x33x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x22 3.


A. 3


2


m  . B. 2


3


m . C. 3


2


m . D. 2


3


m  .


Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y

1m x

3x2

m2

x2 có hai
điểm cực trị trái dấu.


A. m 2. B.  2 m1. C. m1. D. 2


1


m
m



 






.


Câu 67. Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số ymx33

m1

x29

m2

x1có hai điểm
cực trị x1, x2 thỏa mãn x12x2 1 bằng


A. 10


3 . B.


5


3. C.


4


3. D.


8
3.


Câu 68. Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.



C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.


Câu 69. Tìm m để hàm số f x

 

mx42x21 có ba điểm cực trị x1, x2, x3 thỏa mãn


2 2 2


1 2 3 2


xxx.


A. m1. B. 1


2


m . C. m2. D. 1


4


m .


Câu 70. Có bao nhiêu giá trị thực của m để hàm số yx33x2mx có một cực trị bằng 1.


A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2.



(141)

NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO
VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ - NĂM HỌC 2018-2019
MƠN: TỐN 12



Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc


BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI


Câu 1: Cho hàm số y2x39mx212m x2 1 ( với m là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số mđể hàm số có điểm cực đại, cực tiểu thỏa mãn xCD2 xCT.


A. m 2 B. 1


4


m


B. m 2 hoặc m4 D. m 2 hoặc m 4


Lời giải
Chọn A


2 2


' 6 18 12



yxmxm


HS có CĐ, CT   ' 81m272m29m20m0
Khi đó 2 điểm cực trị là x1 2 ;m x2 m.


+ Nếu 2 m mm0 thì xCD  2 ;m xCT  m


2 2


0


4 1( )


4


CD CT


m


x x m m L


m




    


 





+ Nếu 2 m mm0 thì xCD  m x; CT  2m


2 2 0( )


2


2( )


CD CT


m L


x x m m


m TM





     


 


Câu 2: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực.


Mệnh đề nào dưới đây đúng?




(142)

B. Phương trình ' 0y  có đúng 1 nghiệm thực.


C. Phương trình ' 0y  có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.


D. Phương trình 'y 0 vô nghiệm trên tập số thực.


Lời giải
Chọn A


Dựa vào đồ thị thấyđồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Phương trình 'y 0 có 3 nghiệm thực
phân biệt.


Câu 3: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d với , , ,a b c d là các số thực.


Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Phương trình ' 0y  có 2 nghiệm thực phân biệt.


B. Phương trình ' 0y  có đúng 1 nghiệm thực.


C. Phương trình 'y 0 vô nghiệm trên tập số thực.


D. Phương trình 'y 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.


Lời giải
Chọn A


Dựa vào đồ thị thấyđồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Phương trình 'y 0 có 2 nghiệm thực
phân biệt.



Câu 4: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số yax3bx2cx d với , , ,a b c d là các số thực.


Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. 2 0


3 0


a


b ac






 


B. 2 0


3 0


a


b ac







 


C. 2 0


3 0


a


b ac






 


D. 2 0


3 0


a


b ac







 


Lời giải
Chọn A


2


' 3 2


yaxbx c


Dựa vào đồ thị thấy a0



(143)

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số ymx4

m2018

x22019 có ba điểm
cực trị


A. 2018m0 B. 0


2018


m
m










C. 2018


0


m
m
 






D. 0m2018


Lời giải


Chọn D


Ta có y 4mx32

m2018

x;




 



3


2



0


0 4 2 2018 0


2 2018 0 1


x


y mx m x


mx m





       


  


Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình

 

1 có hai nghiệm phân biệt x0




0


0; 2018


2 2018 0



0 2018


2018 0


m


m m


m m


m
m





 




  




 







0 m 2018
  


Câu 6: Đường cong ở hình bên là của đồ thị hàm số yax4bx2c với , ,a b c là các số thực. Mệnh
đề nào dưới đây đùng


A. ab0 B. ab0 C. ab0 D. ab0


Lời giải


Chọn B


Ta có: 3

2



4 2 4 2


y  axbxx axb


2
0
0


2


x


y b



x


a





  


 


Từ dáng điệu đồ thị hàm số suy ra a0 và do hàm số có ba điểm cực trị nên y 0 phải có ba
nghiệm phân biệt, do đó b0


0


ab



(144)

14 | VD_VDC


Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3

2

2



1 4 3 1


3


yxmxmmx



có hai điểm cực trị


A.  5 m 1 B. 1m5 C.  5 m1 D.  1 m5
Lời giải


Chọn B


Ta có y 2x22

m1

x m 24m3


Hàm số có hai điểm cực trị  y0 có hai nghiệm phân biệt


2

2



' m 1 2 m 4m 3 0
       


2 6 5 0 1 5


m m m


       


Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số




3 2 2


1



2 10 1


3


yxmxmx có hai điểm cực trị x1x2 thỏa mãn
1 2


1 1


10


xx  . Hỏi


S có bao nhiêu phần tử nguyên


A. 3 B. 4 C. 1 D. 2


Lời giải


Chọn C


Ta có y x22

m2

x m 210


2 2


2 10


m m





     4m14


Hàm số có hai điểm cực trị 4 14 0 7
2


m m


     


Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình y 0 lần lượt là x1x2.


Theo giả thiết: 1 2 1 2


1 2


1 1


10 x x 10x x


xx    


2

2


2 m 2 10 m 10 10m 2m 96 0


        





3
/
16


5


m


t m
m







  


Vậy có 1 giá trị nguyên của m


Câu 9: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 1 3 2


3 4


3


yxaxax có


điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn



2 2


1 2


2 2


2 1


2 9


2


2 9


x ax a a


a x ax a


 


 



(145)

15 | VD_VDC


A. 6. B. 12. C. 4. D. 12 .


Lời giải


Chọn C



3 2 2


1


3 4 2 3


3 x


yxaxax y  axa.


Để hàm số có điểm cực trị x x1, 2 thì 2


2 3 0


xaxa có hai nghiệm phân biệt x x1, 2.


2 0


3 0


3


a


a a


a





     


 


.


Theo vi-et: 1 2
1 2


2


. 3


x x a


x x a


 




 


x12 2ax13 ;a x222ax23a











2 2


1 2


1 2


2 2


2 1 1 2


1 2


1 2


2 12


2 3 2 9


2 2


2 3 2 9 2 12



2 12 2.2 12


2 2 4( )


2 12 2.2 12


a x x a


ax a ax a a a


a ax a ax a a a x x a


x x a a a


a tm


a x x a a


 


  


    


    


  


        



  


Câu 10: Biết hàm sốyax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ


Mệnh đề nào dưới đây đúng:


A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d0.


C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0


Lời giải


Chọn A


- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d0.


- Vì lim


xy  nên 0


a .


- Hàm số có hai điểm cực trị dương nên phương trình y 3ax22bx c 0có hai nghiệm
dương phân biệt. Do đó


x
y



(146)

16 | VD_VDC
2



0 0


3


0 0


3


b


b
a


c


c
a





  





  





Câu 11: Cho hàm số
2


1


x m


y
x





 ( với m là tham số thực ). Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có
hai điểm cực trị.


A.

 1;

. B.

 1;

  

\ 1 . C.

1;

. D.

 1;

  

\ 1


Lời giải


Chọn A




2 2


2


2


0


1 1


x m x x m


y y


x x


  




   


có hai nghiệm phân biệt. Khi đó, phương trình


2 2 0


xx m  có hai nghiệm phân biệt khác 1.


1 0 1


1 2 0 1


m m



m m




      





     




Câu 12: Cho hàm số y2x33

m1

x26

m2

x1. Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số có
điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng

2;3

.


A.

1;3

 

 3; 4

. B.

1; 4

. C.

4;1

. D.

 4; 3

 

 3;1



Lời giải


Chọn A




3 2 2 1


2 3 1 6 2 1 6 6 1 6 2 0


2



x


y x m x m x y x m x m


x m


 



              


  


Để hàm sơ có điểm cực đại, điểm cực tiêu đều thuộc khoảng

2;3

thì




1


1 4


2 2;3


3


1 2


x



m


x m


m
m


 


  




     


 




  





(147)

A a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.


C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.



Lời giải


Chọn A


Vì lim


xy  nên a0.


Đồ thị cắt trục tung thì x0yd 0.


Vì hai điểm cực trị của hàm số trái dấu nên .a c0 c 0.


Điểm uốn 0 0.


3


b


x b


a




   


Câu 14: Có bao nhiêu số nguyên m 

2018; 2018

để hàm số yx3mx2

3m4

xm22m
hai điểm cực tri trái dấu?


A 2020. B. 2019. C. 2017. D. 2018.



Lời giải


Chọn A


Ta có giả thiết . 0 3 4 0 4
3


a c m m


      


2018,...,1



m


  


Câu 15: Cho hàm số yf x

 

có đạo hám f

  

xx m

x23x m 5 ,

x. Tìm tập hợp tất cả các
giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị?


A 29; \

5;1


4


 


 


 



  B.



29


; \ 1;5
4


 


  


 


 


C. 29; \

5;1


4


 


  


 


  D.



29


; \ 1;5
4



 


 


 


 


Lời giải



(148)

18 | VD_VDC
Ta có giả thiết suy ra f

 

x 0 có ba nghiệm phân biệt.


f

 

x  0

x m

x23x m 5

0


 



2


3 5 0 1


x m


x x m





   



Do đó, PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khác m:




2


9 4 20 0


3 5 0


29
4
1;5


m


m m m


m
m


    




   







 


Câu 16: Cho hàm số 2 3 2 2 3

2 1

2


3 3


yxmxmx . Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m


để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x x1 22

x1x2

1. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?


A 2. B. 0. C. 1. D. 3 .


Lời giải


Chọn B


Ta có




3 2 2


2 2


2 3 1


3 3



yxmxmx








2 2


2 2


2 2


2 2 2 3 1


0 2 2 2 3 1 0


3 1 0


y x mx m


y x mx m


x mx m


    


      



    


Giả thiết suy ra:


2
2


2 / 13


13 4 0 2 / 13 2


.
3


3 1 2 1 0


2 / 3


m


m m


m


m m m


m





       


  


 


   


  





Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx33x2

m28m x

1 có hai cực
trị trái dấu.


A. 0m8 B. 4 19m 4 19


C. m0 hoặc m8 D. 1 15


2m 2


Lời giải



(149)

19 | VD_VDC


Hàm số 3 2

2



3 8 1



yxxmm x có hai cực trị trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số




3 2 2


3 8 1


yxxmm x cắt trực hồnh tại ba điểm phân biệt


Xét phương trình: x33x2

m28m x

 1 0




3 3 2 1 2 8


x x m m x


     

 

1


x0 khơng phải là nghiệm của

 

1 nên

 

1



3 2


2


3 1


8



x x


m m


x


 


    , với x0.


Xét hàm số

 



3 2


2


3 1 1


3


x x


f x x x


x x


 


    , với x0.



Ta có: f

 

x 2x 3 12


x


    ;

 



1


0 1


2


x


f x


x





  


  


Bảng biến thiên


Từ bảng biến thiên:

 

1 có ba nghiệm phân biệt 

2 8

15
4


m m


    1 15


2m 2


Chọn D.


Câu 18: Cho hàm số yx33mx23

m21

xm3. Tìm tất cả các giá trị thực


m để hàm số có hai
điểm cực trị trái dấu.


A.  1 m1 B. m 1 C. m1 D. m 1hoặc m1


Lời giải


Chọn A.


Tập xác định: D.


Ta có y 3x26mx3

m21

.


Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình 2

2



3 6 3 1 0


y  xmxm  



có hai nghiệm trái dấu a c. 0

2


9 m 1 0


    1 m1. Chọn A


Câu 19: Cho hàm số
3


2


3 1


6


2 4 2


x


y  xmx . Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số có hai điểm cực
trị thuộc đoạn

1;1

.


+ ∞


+∞



+

+


1
1


2



+



15
4




+



f x

( )


f' x

( )



x

0



0

0






(150)

20 | VD_VDC


A. 1 ;
16


 


 


 



  B.


1
;0
16


 




 


  C.

0;

D.


1
; 0
16


 




 


 


Lời giải


Chọn D.



Tập xác định: D.
Ta có


2


3 3


6


2 2


x


y   xm.


Hàm số có hai điểm cực trị thuộc đoạn

1;1

khi và chỉ khi phương trình
2


3 3


6 0


2 2


x


y   xm

 

1 có hai nghiệm x x1; 2 

1;1

.


Phương trình
2



3 3


6 0


2 2


x


x m


   2


4


x x m


    f x

 

4m.
Ta có: f x

 

x2x


 

2 1


fxx ;


 

2 1 0 1


2


fxx  x



Bảng biến thiên


Từ Bảng biến thiên ta được: 1 4 0 1 0


4 m 16 m


       . Chọn D.


Câu 20: Biết hàm số 1 3

2



2 5 4 3 1


3


yxmxmxm có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn


1 2 2


x  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. m0 B. 0m1 C. m1 D. 1m2


Lời giải


Chọn A.


Ta có y x22

m2

x

5m4

. Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 2 x2
khi và chỉ khi phương trình y 0có hai nghiệm phân biệt x1, x2thỏa mãn x1  2 0 x22


1



4



0


2



1



1



2

1



0



x


y'



y




(151)

21 | VD_VDC








2


1 2


2 5 4 0



2 2 0


m m
x x
      


  




2


1 2 1 2


9 0


2 4 0


m m


x x x x



   


   




; 0

 

9;



9 0
m
m
   






m0. Chọn A


Câu 21: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số 4 sin cos 1
cos


a x x


y


a x


 


 có ba điểm


cực trị thuộc khoảng 0;7


3




 


 


 .


A. 0 3


2


a


  . B. 0a1. C. 0 3


8


a


  . D. 0a2


Lời giải


Chọn C.


Tập xác định: \ ;
2



D 

k

k 


 


  và a0.


2
4 sin
cos
a x
y
a x

 


0 sin 4


y   xa


Để hàm số có ba điểm cực trị thuộc khoảng 0;7
3




 


 


  thì phương trình sinx4a có 3 nghiệm



thuộc khoảng 0;7
3




 


 


 .


Xét hàm số f x

 

s inx.


Dưa vào đồ thi hàm số ysinx trên 0;7
3




 


 


  ta có YCBT


3 3


0 4 0


2 8



a a


      .


Câu 22: Biết hai hàm số f x

 

x3ax22x1 và g x

 

 x3bx23x1 có chung ít nhất một
điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab bằng


A. 30. B. 2 6. C. 3 6. D. 3 3


Lời giải


Chọn A.


 

2


3 2 2


fxxax , g x

 

 3x22bx3


Gọi x0 là điểm cực trị chung của hai hàm số.


Ta có hệ:

 



 



2


0 0 2



0
2


0 0


3 2 2 0


6 2 5 0


3 2 3 0


f x x ax


x a b x


g x x bx



(152)

22 | VD_VDC
Vì hai phương trình có nghiệm chung nên tồn tại   0

a b

230 a b  30.
Ta có aba   b a b  30


Vậy giá trị nhỏ nhất của ab là 30. .


Câu 23: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 1

2 50


2 1 1


3 2 9


yxmxx



có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x2.


A.

2;3

. B.

3; 2

. C.

 3; 2

. D.

2;3


Lời giải


Chọn A.




2 2 1 50


9


y xmx


x x1, 2 là nghiệm của phương trình y 0 nên ta có hệ phương trình:


 


 


 


1 2


1 2


1 2


2 1 1
50



. 2


9
2 3


x x m


x x


x x


  








 


. Thay

 

3 vào

 

2 ta được:


2 1


2
2



2 1


5 10


2 1 5 3


25 3 3


5 10


9


2 1 5 2


3 3


x x m m


x


x x m m




       


  


 



     



Vậy m 

2;3

.


Câu 24: Cho hàm số y

m2

x33x2mx5. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
hàm số có hai điểm cực trị thuộc khoảng

0;

.


A.

3;1 \

  

2 . B.

 3; 2

. C.

2;1

. D.


 ; 3

 

  2;



Lời giải


Chọn B.


2


3 2 6


y  mxx m



(153)

23 | VD_VDC
2


2 0


0 3 6 9 0 2



0 3 1


3 2


0


0 2 0


0 2 2


0
2


m


a m m m


m


m m


P m m


S m


m
 




  


 




  


  


      


   




  


 








.


Câu 25: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2 3 2
3



yxm xm x có hai điểm


cực trị phân biệt x x1; 2 thỏa mãn x1x2 4là

;a

 

b;

.Tính Sab.


A. S 4. B. S12. C. S  4. D. S  12.
Lờigiải


Chọn A.


Ta có 2


' 2 3


yxm xm .


Để hàm số có cực trị thì 'y 0có hai nghiệm phân biệt ' 0 3
2


m
m





    



.



Gọix x1; 2 là hai nghiệm của 'y 0. Theo định lý vi et ta có: 1 2
1 2


2


. 3


x x m


x x m


  






.


Theo giả thiết x1x2  4

x1x2

216


2 2


1 2 1 2


4 1


4 . 16 4 12 16 0



1 4


m a


x x x x m m


m b


  


 


          


  


 


.


Câu 26: Số điểm chực trị của hàm số 3 2


yaxb xc xd

a0

có thể là?


A. 2. B. 0 hoặc 2. C. 1hoặc 2. D. 0 hoặc 1hoặc 2.
Lờigiải


Chọn B.


Hàm số bậc ba chỉ có thể có 2cực trị khi 'y 0có hai nghiệm phân biệt hoặc khơng có cực trị.



Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 3


1


yxm x có cực trị.


A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.
Lờigiải


Chọn C.


Ta có y'3x2m để hàm số có cực trị thì y'0có hai nghiệm phân biệt.


2


3x m 0


   có hai nghiệm phân biệt   0m0.


Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể hàm số 4 2


2 3


yxm x  có cực trị.



(154)

24 | VD_VDC
Chọn B.


Nhận xét: hàm số bậc bốn trung phương ln có cực trị nên chọn đáp án D.



với câu hỏi này nên hỏi có một hay ba cực trị thì hay hơn.
Hoặc giải như sau.


Ta có 3

2



2
0


' 4 4 4 ' 0 x


y x m x x x m y


x m





       





.


Nếu m0thì 'y 0có nghiệm x0nên hàm số có 1 cực trị.


Nếu m0thì 'y 0có nghiệm có ba nghiệm nên hàm số có ba cực trị.


Vậy với mọi mthì hàm số đều có cực trị.



Câu 29: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x m
x


  có cực trị.


A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.


Lời giải.


Chọn B.


Tập xác định D\ 0

 

.
Ta có y 1 m2


x


   , y 0 1 m2 0


x


   x2 m


 

* .


Để hàm số có cực trị thì y 0 có nghiệm và y đổi dấu khi đi qua nghiệm đó.


Do đó

 

* có hai nghiệm phân biệt m0.


Câu 30: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx43mx24 có ba điểm cực trị đều


nằm trong khoảng

2; 2

.


A.

m

0

. B. 4 0


3 m


   . C.

 

2

m

0

. D. 8 0


3 m


   .


Lời giải.


Chọn D.


Ta có y 4x36mx, y 0 2


0
3


2


x


m
x








 




Hàm số có ba điểm cực trị nằm trong

2; 2



0
3


2
2


m
m



 


 





0
8
3



m
m





 


 



8



(155)

25 | VD_VDC


Câu 31: Cho hai hàm số

 

1 3 1 2


1


3 2


f xxxax và

 

1 3 2


3
3


g xxxaxa. Tìm tất cả các giá trị



thực của tham số a để mỗi hàm số trên đều có hai điểm cực trị đồng thời giữa hai điểm cực trị
của hàm số này có một điểm cực trị của hàm số kia.


A. 1


4


a . B. 15


4


a  hoặc 0 1
4


a


  .


C. 15 0


4 a


   . D. 15


4


a  .


Lời giải.



Chọn C.


Ta có f

 

xx2 x ag x

 

x22x3a.


 



f xg x

 

có hai điểm cực trị khi 1 4 0


1 3 0


a
a


 





 




1
4


a


  .


Khi đó f

 

x 0 1 1 4


2


a


x  


  , g x

 

0  x 1 1 3 a.


* 1 1 4 1 1 3
2


a


a


 


    3 1 4 a2 1 3 a 3 1 4 a 4a3


2


4a 15a 0


   15 0


4 a
    .


* 1 1 3 1 1 4


2


a


a  


    1 4 a2 1 3 a1 

1 3 a



1 4 a

4a1


2
4a a 0


   0


4


a
a



 




0


a


  (vì 1
4



a ).


Vậy 15 0


4 a
   .


Câu 32: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42mx21 có ba điểm cực trị đều
lớn hơn 1.


A.

m

0

. B.

0

m

1

. C.

m

0

. D.

0

m

1

.


Lời giải.


Chọn B.


Ta cóy 4x34mx,


2
0


0 x


y


x m





   





.


Hàm số số có ba điểm cực trị khi m0.


Ba điểm cực trị lớn hơn 1   m 1 m1.



(156)

26 | VD_VDC


Câu 33: Cho các số thực abc. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng về cực trị của hàm số








yx ax b x c  .


A. Hàm số khơng có cực trị.


B. Hàm số đạt cực trị x x1; 2 tại thỏa mãn ax1 b x2c.


C. Hàm số đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn x1x2a hoặc x1x2c.


D. Hàm số đạt cực trị tại x x1; 2 thỏa mãn x1  a c x2.


Lời giải
Chọn B



Ta có đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị x x1; 2.
Do hàm số bậc ba có hệ số a0 nên x x1; 2 lần lượt là điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.


Do đó ax1 b x2c.


Câu 34: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

6

2 1
3


yxmxmxm có cực


trị.


A. m 3 hoặc m2. B.  2 m3.


C.  3 m2. D. m 2 hoặc m3.


Lời giải
Chọn D


Ta có y'x22mx m 6.


Hàm số có cực trị  phương trình 2


2 6 0


xmxm  có hai nghiệm phân biệt
2


' m m 6 0



     


2
3


m
m


 


 




.


Câu 35: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y

m2

x33x2mx5 có cực trị.


A.  3 m1 hoặc m 2. B. m1 hoặc m3.


C.  1 m3. D.  3 m1.


Lời giải
Chọn D


 Xét m 2: hàm số trở thành y3x22x5. Hàm số có điểm cực tiểu nên m 2 thỏa
mãn.


 Xét m 2:



x
x2


x1 b c



(157)

27 | VD_VDC
Ta có y'3

m2

x26xm.


Hàm số có cực trị  phương trình

2


3 m2 x 6xm0 có hai nghiệm phân biệt
2


' 3m 6m 9 0
      


3 m 1
    .


Câu 36: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx2

m1

x1khơng
cực trị.


A. 0 1
4


m


  . B. 4 0
13 m



   . C. 0 4
13


m


  . D. 1 0
4 m
   .


Lời giải
Chọn A


 Xét m0: hàm số trở thành y x 1. Hàm số khơng có điểm cực trị nên m0 thỏa mãn.


 Xét m0:


Ta có y'3mx26mx m 1.


Hàm số khơng có cực trị  phương trình 3mx26mx m  1 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm
kép


2


' 12m 3m 0
    


1
0



4


m


   .


Câu 37: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx42

m1

x2 1 có ba điểm cực
trị.


A. 0 m1. B. m0 hoặc m 1.


C.  1 m1. D. m1 hoặc m0.


Lời giải


Chọn A




3 2


4 4 1 4 1


y  mxmxx mxm


Hàm số có ba điểm cực trị  y0 có ba nghiệm phân biệt m m

1

00m1.


Giải nhanh:


Hàm số bậc bốn trùng phương yax4bx2 c có 3 cực trị





0 2 1 0 0 1


ab m m m


        .


Câu 38: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 4 2 3


4 2


yxmx  chỉ có cực tiểu mà


khơng có cực đại.


A. m0. B. m0. C. m0. D. m0.


Lời giải


Chọn C




3 2


2 2



(158)

28 | VD_VDC


 



2
2


0
0


0


2 *


2 0


x
x


y


x m


x m




 




    



 


 


.


Hàm số chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại 

 

* vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép là
02m0m0.


Giải nhanh:


Hàm số yax4 bx2 c chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại
1


0


0 4


0
0


0
4


a


m


ab m








 


 










.


Câu 39: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y

xm

x23xm1


đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 1. Tính tổng các phần tử của S.


A. 1. B. 2 . C. 1. D. 2.


Lời giải


Chọn B


Ta có y x23xm 1

xm



2x3

3x22

m3

x2m1



Hàm số đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 1


2

2


12 0


3 3 2 1 0


2
2


2 1 1


1


1
3


m


m m


m
m


m m


m


        






 


      


  


   






.


Câu 40: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số




3 2 2


1


3 4 3


3



yxmxmxmm đạt cực trị tại các điểm x x1, 2 thỏa mãn


1 2


1 x x


   .


A. 7


2


m  . B. 7 3


2 m


    . C. m 3. D. m1 hoặc m 3.


Lời giải


Chọn B




2


2 3 4 3


y xmxm .



Hàm số có cực trị x x1, 2 thỏa mãn  1 x1x2


0


y



(159)

29 | VD_VDC

 


 


1 2
1 2
0


1 1 0


1 . 1 0


x x
x x
  

   


  




2


3 4 3 0


2 3 2 0


4 3 2 3 1 0


m m
m
m m



    

    



2 2 3 0


2
7
2
m m
m
m

   


 

 


; 3

 

1;



2
7
2
m
m
m

     

 

 

7
3
2 m

    .


Câu 41: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3

2

2 (5 4)
3


yxmxmx có hai



điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1  1 x2.


A. 1


7


m  . B. m 3. C. 1


7


m  . D. m 3.


Lời giải


ChọnD.


Ta có y x22

m2

x5m4.




2


0 2 2 5 4 0 (*)


y   xmxm  .


Để hàm số có hai cực trị x x1, 2   0 2 9 0 9
0
m


m m
m
 
    



Theo hệ thức viet : 1 2


1 2


4 2


. 5 4


x x m


x x m


   




 




(*)


Hàm số đã cho có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn x1  1 x2 khi và chỉ khi



1 2 1 2 1 2


(x 1)(x 1)0 x x (xx ) 1 0  (**)
Từ (*) và (**) ta có :4 2 m5m4 1 0  m 3.
Đối chiếu điều kiện ta có : m 3


Câu 42: Cho hàm số


3 2


2


(cos 3 sin ) 8(1 cos 2 ) 1
3


yxaa x   a x


(với a là tham số thực). Biết hàm
số ln có hai điểm cực trị x x1, 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2


1 2


Sxx


A. 8. B. 18 . C. 38 . D. 33 .


Lời giải


Chon B.




(160)

30 | VD_VDC


3


' 0 2 2(cos 3 sin ) 8(1 cos 2 ) 0


y   xaa x  a  (*)


Theo giả thiết hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2 nên theo hệ thức viet :


1 2


1 2


3sin cos
4((1 cos 2 )


x x a a


x x a


   




  





Do đó :


2 2


1 2 1 2


( ) 2 (3sin cos ) 8(1 cos 2 )


Sxxx xaa   a


2 2


9 sin cos 6 sin cos 8(1 cos 2 )
1 cos 2 1 cos 2


9 3 sin 2 8(1 cos 2 )


2 2


a a a a a


a a


a a


    


 


    



13 4 cos 2a 3 sin 2a


  


Do  5 4 cos 2a3 sin 2a5 với mọi giá trị a nên Smax 13 5 18


Câu 43: Biết hàm số 2 3 ( 1) 2 ( 2 4 3)
3


yxmxmmx có hai điểm cực trị a và b. Tìm giá trị lớn


nhất của biểu thức Sab2(ab)


A. 8. B. 18 . C. 38 . D. 33 .


Lời giải


Chon B.


Ta có : y'2x3 2(m1)xm2 4m3


3 2


' 0 2 2( 1) 4 3 0


y   xmxmm  (*)


Để hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2



2 2


' 0 (m 1) 2(m 4m 3) 0


        


2 6 5 0 5 1


m m m


         


Theo hệ thức viet :


2


1


4 3


2


a b m


m m


ab


    



  






2 8 7


2( )


2


m m


Sabab   


Xét hàm số f m( )m2 8m7 trên ( 5; 1) 


Nên miền giá trị của f m( ) trên ( 5; 1)  là


x

– ∞

-4

+ ∞



y

+



-9



+ ∞



– 5 – 1




(161)

31 | VD_VDC


0; 9


 
 


Do đó max


9
2


S


Câu 44: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 3 2 2( 2 3)
3


yxmxmx đạt cực trị tại


các điểm x1, x2 sao chox1, x2 là độ dài các cạnh góc vng của một tam giác vng có độ dài
cạnh huyền bằng 5


2


A. 13


2


m  . B. 14



2


m  . C. 13


2


m . D. 14


2


m  .


Lời giải


Chọn B.


Ta có : y'2x3 2mx2m26


3 2


' 0 2 2 2 6 0


y   xmxm   (*)


Để hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2 là độ dài các cạnh của một tam giác


(*)


có hai nghiệm 0 x1x2



' 0 6 6


0 0 3 6


0 3


3


m


S m m


P m


m






    




     









  


Theo hệ thức viet :


1 2


2


1 2 3


x x m


x x m


  





 





Theo giả thiết:



2 2 2


1 2 1 2 1 2


5 5


( ) 2


2 2


xx   xxx x


Hay


2 2 5 2 7 14


2 6


2 2 2


mm   m  m 


Đối chiếu điều kiện ta được: 14
2


m


Vậy ta chọn đáp án B.


Câu 45: Cho hai hàm số ( ) 1 3 2 3 1


3


f xxmxmx và ( ) 1 3 2 4 1
3


g xxmxmx . Tìm tất cả các



(162)

32 | VD_VDC


A. 0


4
m
m
 




. B. 1 0


56 m


   . C. 1 1


4 m 56


    . D. 1 0


4 m



   .


Lời giải


Chọn B.


Ta có: f'( )xx2 2mx3m; g x'( ) x3 2mx4m


Để f x( ) có hai cực trị x x1, 2g x( ) có hai cực trị x x3, 4 khi và chỉ khi


2
'( )


2
'( )


0 3 0 4


0 4 0 0


f x


g x


m m m


m
m m
      


 
 
  
    
  


Khi đó f'( )x 0 có hai nghiệm:


2
1
2
2
3
3


x m m m


x m m m


 


   



'( ) 0


g x  có hai nghiệm



2
3
2
4
4
4


x m m m


x m m m





  



Để hai điểm cực trị của hàm số f x( ) nằm giữa hai điểm cực trị của hàm số g x( ) khi và chỉ khi


3 1 2 4


xxxx


hay


2 2 2 2


2 2 2 2



4 3 2 3 4 (1)


(*)


3 4 3 2 4 (2)


m m m m m m m m m m m


m m m m m m m m m m m


 
 

 
         
 
 


Nếu m4 thì


2 2 2 2 2 2


(1)4mm 3m4m m 3mm 4m4mm4m m 3m0


Vô nghiệm với m4 nên trường hợp này bị loại


Nếu m0 thì


2 2 2 2 2 2



2 2 2 2 2 2


3 2 4 3 4 4 4 4


(*)


3 2 4 3 4 4 3 4


m m m m m m m m m m m m m


m m m m m m m m m m m m m


 
 

         
 
 
2 2
2 2


(4 1 4 4 ) 0 4 1 4 4 (3)


(4 1 4 3 ) 0 4 1 4 3 (4)


m m m m m m m


m m m m m m m



   
 

      
 
 


(do m0 )


Do m0 nên (3) luôn đúng


2 2


1


4 1 0 4 1


(4)


1 56


16 8 1 16( 3 )


56


m
m


m



m m m m


m

 

  
 
    
   

   



Vậy 0 1


56


m



(163)

Câu 46: Cho hàm số yf x

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g x

 

xác
định theo f x

 

có đạo hàm g x'

 

f x

 

m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số


 



g x có duy nhất một điểm cực trị.


A.  4 m0. B. 4



0


m
m


 






. C. 4


0


m
m


 






. D.  4 m0.


Lời giải
Chọn C



Hàm số yf x

 

m có đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị yf x

 

theo trục Oy m đơn vị.
Để hàm số g x

 

có duy nhất một điểm cực trị khi và chỉ khi g x'

 

0 có một nghiệm mà


 



'


g x đổi dấu qua nghiệm này.


g x'

 

f x

 

m nên yf x

 

m phải cắt trục Ox tại một điểm (điểm cịn lại có thể
tiếp xúc với trục Ox) và điều kiện là 4


0


m
m


 






Câu 47: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx3x2

m1

x3 có hai điểm
cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.


A. 0 3 21
6



m


  . B. 0 3 21
3


m


  . C. 3 21 0


3 m




  . D. 3 21 0


6 m




  .


Lời giải
Chọn D


Với m0 hàm số khơng có cực trị.


Xét m0. Ta có y' 3 mx22x m 1.


Để hàm cố có hai điểm cực trị, điều kiện là   ' 1 3m m

1

0


2 3 21 3 21


3 3 1 0


6 6


m mm


       .



(164)

Vậy 3 21 0


6 m




  .


Câu 48: Cho hàm số yax4bx2c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. a0,b0,c0. B. a0,b0,c0. C. a0,b0,c0. D. a0,b0,c0.


Lời giải
Chọn A


Do lim 0


xy  a .



Đồ thị có hai điểm cực trị, nên ,a b trái dấu. Suy ra b0.


Cho x 0 yc0 (đồ thị cắt trục Oy tại điểm phía trên trục hồnh).


Vậy a0,b0,c0


Câu 49: Tìm m để hàm số 1 3 1

2



3 2 1 1


3 2


yxmxmx có hai điểm cực trị lớn hơn 1.


A. 0m1. B. m1. C.  1 m1. D. m 1.


Lời giải
Chọn A


Ta có y'x2

m3

x2

m1

.


Để hàm số có hai điểm cực trị, điều kiện là  

m3

28

m1

0


2


1 0 1


m m


     . Khi đó ' 0 2



1


x
y


x m





  




.


Để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn 1 khi m  1 1 m0.


Vậy 0m1.


Câu 50: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ymx33mx23 2

m1

x1 có hai
điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn


2 2


1 2 1 2 3 2 4 1 5 2 1



(165)

35 | VD_VDC



A. 4;1
11


 




 


 . B.


4
1;
11
 

 


 . C.


4
1;


11


 


 


 . D.



4
1;
11
 
 
 
 .
Lời giải


Chọn A.


Ta có: ymx33mx23 2

m1

x1 y3mx26mx3 2

m1

.


Hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x1, 2khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân


biệt x x1, 2




2


0


9 9 2 1 0


m


m m m






 

    


0 1
3
1
0
0
3
m
m
m m
m

 
 



   

 
Khi đó
1 2
1 2


2
2 1
x x
m
x x
m
 


 
 


2 2


1 2 1 2 3 2 4 1 5 2 1


xx xxxx

2 2



1 2 2 2 4 1 2 2 1


x x x x x x


        4 2x224.2x21


2
2


2 2



2
1


2 3 0 3


2
x
x x
x
 


    



Vơi x2  1 x13 mà x x1 2 2m 1


m




  3.

 

1 2m 1


m




    m1



Vơi 2 3 1 1


2 2


x  x  mà x x1 2 2m 1


m




  3 1. 2 1
2 2


m
m




   4


11


m


  


Câu 51: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm

 

2

2



1 2 5



fxx xxmx . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để hàm số yf x

 

có đúng một điểm cực trị.


A. 3. B. 4. C. 6 . D. 5.


Lời giải


Chọn D.


Hàm số yf x

 

có đúng một điểm cực trị khi và chỉ khi f'

 

x 0 có đúng 1 nghiệm bội
lẻ phương trình x22mx 5 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép    m2 5 0


5 m 5


   


Do m nguyên nên m  

2; 1;0;1; 2

.
Vậy có 5 giá trị thỏa mãn.


Câu 52: Biết hàm số f x

 

x3x2mx có một cực trị bằng 1. Cực trị còn lại của hàm số đã cho bằng.


A. 5


27


 . B. 13


27. C.


11



27 . D.


5
27 .


Lời giải


Chọn D.


 

3 2


f xxxmx

 

2


' 3 2


f x x x m


    .


Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi ' 1 3 0 1
3


m m



(166)

36 | VD_VDC
Giả sử x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số


1 2
1 2


2
3
.
3
x x
m
x x

  


 




Ta có ' 1 1 2

3 1



3 9 9 9


m


yy x mx


 


Giả sử y x

 

1 1.


Ta có

 

1

 

2 2

3 1



1 2

2



9 9


y xy xmxxm

 

2 2 23


3 27


y x m


    .


Mặt khác

   





2
2


1 2 1 2 1 2


4 1 2


. 3 1 . 3 1


81 9 9 81


m


y x y xmx xm mxx


3 2


36 9



243


mm



 


3 2
2
36 9
243
m m


y x


 


3 2


36 9 2 23


243 3 27


m m


m


    36m39m2162m2070m 1.



 

2
5
27


y x


   .


Câu 53: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số yx3

m1

x2

m4

x4 có giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu đều dương.


A. 11. B. 13 . C. 12. D. 14.


Lời giải


Chọn B.




3 2


1 4 4


yxmxmx




2


3 2 1 4



yx m x m


     


Hàm số đã cho có cực đại, cực tiều khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt


m 1

2 3m 12 0


       m2m110


1 45
2
1 45
2
m
m
  




 




Giả sử x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số



1 2
1 2
2 2
3
4
3
m
x x
m
x x


 


 




.


Ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là


2

2



2 1


: 5 13 5 13 3



9 9


d y  mmxmm  .


Ta có


 

 

2

2



1 2 1 2


2 2


5 13 5 13 6


9 9


y xy x   mmxxmm 


2

2



4 2


5 13 1 5 13 6


27 m m m 9 m m


        



(167)

37 | VD_VDC



Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số yx33x2mx m 2 có hai cực trị trái dấu.


A. 4. B. 2. C. vô số. D. 3.


Lời giải


Chọn B.


3 2


3 2


yxxmx m  2


3 6


yx x m


    .


Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi    9 3m0m3


Giả sử x x1, 2 là hai điểm cực trị của hàm số


1 2


1 2


2



3


x x


m
x x


  



 








1 1 2 2


' 3 3


3 3 3 3


y yxm m


     


  .



   

1 . 2 0


ycbty x y x  4

3

2 1 2 4

3

 

2 1 2

4

3

2 0


9 m x x 9 m x x 9 m


       




1 2 1 2 1 0


x x x x


     2 1 0


3


m


     m3.


Do m nguyên nên m

 

1; 2


Câu 55: Cho hàm số 1 3 1 2 4 10


3 2


yxmxx có hai điểm cực trị x x1, 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức


2



2



1 1 2 9


Sxx  là?


A. 49 . B. 49. C. 1. D. 1.


Lời giải
Chọn A


2


4


y xmx .


Ta có  m2160 m  nên hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2


Khi đó

2



2









1 1 2 9 1 1 1 1 2 3 2 3


Sxx   xxxx


x x1 2 3 3x1 x2



x x1 2 3 3x1 x2



       

x x1 23

2

3x1x2

2

x x1 23

21
Vậy maxS1xảy ra khi 3 1 2 0 4



3


xx  m  .


Câu 56: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 5 2( 1) 3 (2 3) 1


5 3


yxmxmx có


bốn điểm cực trị lập thành một cấp số cộng.


A. m

 

6 . B. m

 

9 . C. 6;14
9


m  


 . D.


14
9;


3


m  


 .


Lời giải
Chọn A





4 2 1 2 2 3


y xmxm .




4 2


0 2 1 2 3 0


y  xmxm  .

 

1
Đặt tx2

t0

ta được phương




2 2 1 2 3 0


tmtm  .

 

2



(168)





2


1 2 3 0



0


3


0 2 1 0 .


2


0 2 3 0


m m


S m m


P m


 

 
     
 


Khi đó phương trình

 

1 có bốn nghiệm là  t2; t1; t1; t2 .


Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi 2 1 1 2 1 2 1


1 2 1



2


3 9


2


t t t


t t t t


t t t


   

   

  


.


Theo định lí Vi-ét thì 1 2
1 2


2( 1)


2 3


t t m



t t m


  


 



1 1
1 1


9 2( 1


9
.


)


2 3


t t m


t t m


  



2


6


9 68 84 0 14


9
m
m m
m



    



(thỏa mãn điều kiện 3
2


m ).


Câu 57: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số yx3m 4x2 có ba điểm cực trị là


A.

6; 6 \ 0

 

. B.

6; 6 \ 0

  

. C.

2; 2 \ 0

  

. D.

2; 2 \ 0

 

.


Lời giải
Chọn A


Tập xác định của hàm số là D 

2; 2

.
2



2 2


3 3


4 4


mx m


y x x x


x x
 
   
   
.

 


2
0
0


3 0 1


4
x
y m
x
x




  
  


.


 

1 3 . 4x x2 m

x 2

.
Xét hàm số

 

2


3 . 4


f xxx

 



2 2


2


2 2


3 6 12


3. 4


4 4


x x


f x x


x x



 


    


 


.


 

0 2


fx   x  .


Bảng biến thiên


Từ bảng biến thiên ta thấy khi m 

6; 6 \ 0

  

thì

 

1 ln có hai nghiệm đơn phân biệt khác
0 . Suy ra y ln có 3 nghiệm đơn và y đổi dấu khi qua các nghiệm này.


Vậy khi m 

6; 6 \ 0

  

thì hàm số có ba điểm cực trị.


Câu 58: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số yx42(m2)x24(m3)x1 có ba
điểm cực trị.


A. 11


4


m  . B. 13


4



m  . C. 5 13


4


m


    . D. 5 11
4


m



(169)

39 | VD_VDC


Lời giải
Chọn D




3


4 4 2 4 3


y  xmxm




3 2


0 4 4 2 4 3 0 1 3 0



y   xmxm   xx  x m  .


 


2


1


3 0 1


x


x x m




 


   




.


Hàm số đã cho có ba điểm cực trị 

 

1 có hai nghiệm phân biệt khác 1




11



1 4 3 0


4


1 1 3 0


5


m m


m


m


  


  


 




 


   




   



 5 11


4


m


    .


Câu 59: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yx48mx33

m2

x24 chỉ có
đúng một điểm cực trị.


A. m2 hoặc  2 m 1. B. m 2 hoặc 1 2
2 m 3
   .


C. m2 hoặc m 1. D.  1 m2.


Lời giải


Chọn B.


Ta có y 4x324mx26

m2

x;


 



2


0
0



2 12 3 2 0 *


x
y


x mx m




   


   




Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị  phương trình

 

* vơ nghiệm hoặc có một nghiệm
0


x ; hoặc có một nghiệm kép khác 0 .






2


36 6 2 0


3 2 0



m m


m




    
 


 



2


m


   hoặc 1 2
2 m 3
   .


Câu 60: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số


2

3

2

2 2


2 2 3 9 2


ymmxmm xm x có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x1x2


1 2 2 1



x xmxmx .


A. 1 5


2 m 2


   . B. 0 5
2


m


  .


C. 1 5


2 m 2


   và m0. D. 1


2


m  hoặc 5
2


m .


Lời giải


Chọn C.



Ta thấy m22m209m2 0, với mọi


m.
Hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2  m0.



(170)

40 | VD_VDC
Theo định lí Viet, ta có


2



1 2 2


2


1 2 2


2


2 2


3


2 2


m m


x x


m m



m
x x


m m


 


   







 






Theo giả thiết, x x1 2mx2mx1x x1 2m x

1x2


2
2


2 2


2
3



2 2 2 2


m m


m


m


m m m m


  


 


   


   


 


2


3m 2 m m


    1 5


2 m 2


   và m0.


Câu 61: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số 1 3 2



1
3


yxmxmx có hai điểm cực trị x x1, 2


thỏa mãn x1x2 2 2.


A. m 1 hoặc m2. B. m 2 hoặc m1.


C. m1 hoặc m0. D. m0 hoặc m2.


Lời giải


Chọn A.


2


2


y xmx m .


Hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2m 0 m1.


Khi đó, Theo định lí Viet, ta có 1 2
1 2


2


x x m



x x m


 






Theo giả thiết, x1x2 2 2

2


1 2 4 1 2 8


x x x x


    4m24m 8 0m  1 m2.


Câu 62: Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số 3

2

2

2


2 1 4 1 2 2


yxmxmmxm  có hai


điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn

1 2


1 2


1 1 1


2 x x



xx   .


A. m

 

1;5 . B. m 

1;5

. C. m 

1;1

. D. m 

5;1

.


Lời giải


Chọn A.




2 2


3 4 1 4 1


y  xmx m  m .


Hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 2


4 1 0


m m


    m  2 3m  2 3.


Khi đó, Theo định lí Viet, ta có




1 2


2
1 2


4 1


3


4 1


3


m


x x


m m


x x


 


  





 




(171)

Theo giả thiết,

1 2


1 2


1 1 1


2 x x


xx  

1 2

1 2


1 1


0
2


x x


x x


 


 


 




2


4 1



0
3


4 1


2
3


m


m m


 


 






  





1


m



  (chọn) hoặc m 1 (loại) hoặc m5(chọn).


Kết luận m

 

1;5 .


Câu 63: Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên dưới.


Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.


C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.


Lời giải


Chọn B.


Từ đồ thị ta thấy đồ thị bên phải đi lên và giao điểm với trục tung nằm phía trên Ox nên
0; 0


ad  .


Hai điểm cực trị nằm về bên phải trục tung, nên chúng cùng dấu, do đó a c, cùng dấu, suy ra
0


c .


Tâm đối xứng của đồ thị nằm bên phải trục tung nên 0
3


b


a


  . Suy ra b0.


Câu 64: Biết hàm số f x( )2x33ax26x1 và g x( )2x33bx212x4 có chung ít nhất một
điểm cực trị.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab bằng


A. 2 22. B. 2 6. C. 3 2. D. 3 6.


Lời giải


Gọi t là điểm cực trị của hàm số ( )f x và ( )g x .Vì ( ), ( )f x g x có đạo hàm trên

 ;

nên


'( ) 0
'( ) 0


f t
g t









2


2



6 6 6 0


6 6 12 0


t at


t bt


   



 


  





1


2


a t


t


b t


t



  



 


   




.Ta có:ab t 1 t 2


t t


    t 1 t 2


t t


   


3


2t 2 6


t



(172)

42 | VD_VDC



Câu 65: Tìm m để hàm số f x( )x33x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn x12x22 3.


A. 3


2


m  . B. 2


3


m . C. 3


2


m . D. 2


3


m  .


Lời giải


TXĐ:D; ta có f x'( )3x26x m  x D.Giả sử hàm số f x( ) có hai điểm cực trị
1, 2


x xx x1, 2 là các nghiệm của phương trình f x'( )0


1 2
1 2
2


3
x x
m
x x
 


 




.Do đó x12x22 3


x1 x2

2 2x x1 2 3


    4 2 3 3


3 2


m


m


     .(Đến đây có thể chọn đáp án:Chọn B. )


Với 3
2


m , thử trực tiếp thấy hàm số ( )f x có hai điểm cực trị.Chọn B.



Câu 66: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y

1m x

3x2

m2

x2 có hai
điểm cực trị trái dấu.


A. m 2. B.  2 m1. C. m1. D. 2


1
m
m
 



.
Lời giải


TXĐ:D; ta có f x'( )3 1

m x

22x

m2

 x D.Giả sử hàm số f x( ) có hai điểm
cực trị x x1, 2x x1, 2 là các nghiệm của phương trình f x'( )0



1 2
2
3 1
m
x x
m

 


 .Do đó



1 2 0


x x  



1
2
0
2
3 1
m
m
m
m



 
 


.Mặt khác khi


2
1
m
m
 





thì f x'( )0có hai nghiệm phân


biệt x x1, 2 đồng thời f x'( ) đổi dấu qua các nghiệm đó f x( ) có hai điểm cực trị x x1, 2.


Chọn D.


Câu 67: Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số ymx33

m1

x29

m2

x1có hai điểm
cực trị x1, x2 thỏa mãn x12x2 1 bằng


A. 10


3 . B.


5


3. C.


4


3. D.


8
3.


Lời giải
Chọn D


Với m0 ta có y3x218x1 đồ thị chỉ có một cực trị, khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.


Với m0.


Ta có y 3mx26

m1

x9

m2

.


Để đồ thị hàm số có hai cực trị khi 3mx26

m1

x9

m2

0 có hai nghiệm phân biệt
khi   18m236m 9 0 2 6 2 6


2 m 2


 


   .


Theo vi et ta có x1 x2 2m 2 1

 



m




  ;x12x21 2

 

; x x1 2 3m 6 3

 



m





(173)

Từ

 

1 và

 

2 ta có
1


2



3 4


2


m
x


m
m
x


m















thay vào

 

3 ta có 6m216m 8 0


2


2
3


m
m







 


.


Vậy ta có tổng các giá trị của tham số m là: 2 2 8
3 3
  .


Câu 68: Cho hàm số yax3bx2cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. a0,b0,c0,d 0. B. a0,b0,c0,d 0.


C. a0,b0,c0,d 0. D. a0,b0,c0,d 0.


Lời giải
Chọn C


Ta có y 3ax22bx c .



Dựa vào đồ thị hàm số ta có a0, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên ta có
0


d .


Mặt khác đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực trị có hồnh độ bằng 0 , theo Vi-et ta có
1 2


2
0
3


b


x x


a


    b0, (vìa0 ); 1. 2
3


c
x x


a


 0


3



c
a


   c 0.


Câu 69: Tìm m để hàm số f x

 

mx42x21 có ba điểm cực trị x1, x2, x3 thỏa mãn


2 2 2


1 2 3 2


xxx.


A. m1. B. 1


2


m . C. m2. D. 1


4


m .


Lời giải
Chọn A


Với m0 ta có y 2x21 đồ thị chỉ có một cực trị, khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
Với m0.



Ta có y 4mx34x4x mx

21

.


Đồ thị hàm số có ba cực trị khi 4x mx

21

0


1


2


3


0
1


1


x
x


m
x


m













 



,

m0

.


Khi đó ta có x12x22x32 2 1 1 2


m m


   2m22m0 0



1


m ktm


m


 





.
Vây ta có m1.




(174)

44 | VD_VDC


A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .


Lời giải
Chọn A


Ta có y 3x26x m .


Đồ thị hàm số có hai cực trị khi   0m3.


Gọi hai điểm cực trị là 1;

2 6

1
3


m x m


A x   


 


; 2;

2 6

2
3


m x m


B x   


 



, với x x1, 2 là hai


nghiệm của phương trình 2


3x 6xm0.


TH1: A là điểm có cực trị bằng 1 , khi đó ta có

2 6

1 1
3


mxm


 




1


3 1


2 3 2


m
x


m


  


 .



Theo Vi-et ta có x1x2 2 2 5


2


x


   mà 1. 2 15


3 4


m


x x  m  .


TH2: B là điểm có cực trị bằng 1 , khi đó ta có

2 6

2 1
3


mxm


 




2


3 1


2 3 2



m
x


m


  


 .


Theo Vi-et ta có x1x2 2 1
5
2


x


   mà 1. 2 15


3 4


m


x x  m  .


Vậy 15


4



(175)

1 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO



VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút


Câu 1: Cho hàm số f x

 

x33x2.Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0

và nghịch biến trên khoảng

0;



.


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

;

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

;

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0

và đồng biến trên khoảng

0;



.


Câu 2: Hỏi hàm số


2


2


1



y


x






nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


A.

0;



. B.

1;1

. C.

 

;

. D.



;0

.


Câu 3: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

 

;

?


A.

1



3



x


y



x






. B.


3


y

x

x

. C.

1



2



x


y



x







. D.


3


3



y

 

x

x

.


Câu 4: Cho hàm số yf x

 

x33x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0; 2

.


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

2;



.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

0; 2

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0

.


Câu 5: Cho hàm số

y

f x

 

có đạo hàm f '

 

xx2   1, x . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0

.


B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

1;



.


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

1;1

.



D. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

;

.


Câu 6: Cho hàm số yx42x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 ; 2

.


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ; 2

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

1;1

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

1;1

.


Câu 7: Cho hàm số yf x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:


Mệnh đề nào dưới đây đúng?


+


-


+
_


_


+ 0 0


0 2


-2


y'



(176)

2 | VD_VDC


A. Hàm số đồng biến trên khoảng

2;0

.


B. Hàm số đồng biến trên khoảng

;0

.


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0; 2

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ; 2

.


Câu 8: Cho hàm số y 2x21. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

1;1

.


B. Hàm số đồng biến trên khoảng

0;

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

;0

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0;

.


Câu 9: Xét các mệnh đề sau:


(1) Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng

a; b

. Hàm số yf x( ) đồng biến trên
khoảng

a; b

khi và chỉ khi f x( )0, x

a; b

.


(2) Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng

a; b

. Hàm số yf x( ) đồng biến trên
khoảng

a; b

khi và chỉ khi f x( )0, x

a; b

.



(3) Cho hàm số yf x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

 

f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f af b( )ab.


(4) Cho hàm số yf x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

 

f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f af b( )ab.


Số mệnh đề đúng là:


A. 2 B. 3. C. 0. D. 1.


Câu 10: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên

a b;

. Xét các mệnh đề sau:


(1) Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

a b;

.
(2) Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng

a b;

.
(3) Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng

a b;

.
(4) Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng

a b;

.
(5) Nếu hàm số f x

 

đồng biến trên

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.


(6) Nếu hàm số f x

 

nghịch biến trên

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.
Số mệnh đề đúng là?


A. 6 B. 4 C. 0 D. 2


Câu 11: Cho hàm số f x

 

thỏa mãn f

 

x 0,  x

2; 2 ;

f

 

x 0, x \

2; 2



 

0

2; 2



fx   x 



(177)

3 | VD_VDC


Xét các mệnh đề sau:


(1) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

2; 2

.


(2) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi khoảng

 ; 2

2;

.
(3) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

2; 2

.


(4) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên mỗi nửa khoảng

 ; 2

2;

.
(5) Hàm số đã cho là hàm hằng trên đoạn

2; 2

.


(6) Hàm số đã cho nghịch biến biến trên

 ; 2

 

 2;

.
Số mệnh đề đúng là?


A. 5 B. 6 C. 4 D. 2


Câu 12: Cho hàm số f x

 

đồng biến trên đoạn

2; 2

. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
B. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
C. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
D. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2


Câu 13: Cho hàm số f x

 

nghịch biến trên đoạn

2; 2

. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
B. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
C. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
D. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2


Câu 14: Cho hàm số f x

 

xác định trên đoạn

2; 2

và với mọi x x1, 2 

2; 2

x1x2 ta ln có

x1x2

f x

 

1  f x

 

2

0. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
B. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
C. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2
D. f

2

f

 

1  f

 

1  f

 

2


Câu 15: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm

 

2


1,


fx  x   x . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 ;

.


B. Hàm số đồng biến trên các khoảng

 ; 1

1;

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

1;1

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ;

.


Câu 16: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

 ;

?


A.
2


2
1


x x



y
x





B. 2


2
1
y


x




C.


1
y x


x



(178)

4 | VD_VDC


Câu 17: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

 ;

?


A.
2



2
1


x x


y
x





B. 2


2
1
x
y


x




C. yxcos 2x D. 2
1


x
y


x






Câu 18: Hỏi hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng

 ;

?


A. 2 1


3
x
y


x





B. 2


1
1
y


x




C.


3



yxx D. y cosx2x


Câu 19: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm

 



2

2


4
,
1


x x


f x x


x




   




. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0; 4 .



B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ;

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 ;

.


D. Hàm số đồng biến trên các khoảng

;0

4;

.


Câu 20: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm f

 

x 0, x  và

 

0 ,


3


fx  x kk. Mệnh đề
nào sau đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 ;

.


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ;

.


C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2


3 k 3 k






 


 


 


 .



D. Hàm số đồng biến trên

;

\ ,


3 k k





 


 


  .


Câu 21: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên khoảng

a b;

. Mệnh đề nào dưới đây sai?


A. Nếu f x

 

đồng biến trên khoảng

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.
B. Nếu f

 

x 0, x

a; b

thì f x

 

đồng biến trên khoảng

a b;

.


C. Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì f x

 

nhận giá trị không đổi trên khoảng

a b;

.
D. Nếu f x

 

nhận giá trị không đổi trên

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.


Câu 22: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên khoảng

a b;

. Mệnh đề nào dưới đây sai?


A. Nếu f x

 

nghịch biến trên khoảng

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.
B. Nếu f

 

x 0, x

a; b

thì f x

 

nghịch biến trên khoảng

a b;

.


C. Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì f x

 

nhận giá trị không đổi trên khoảng

a b;

.
D. Nếu f x

 

nhận giá trị khơng đổi trên

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.


Câu 23: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên đoạn

a b;

f

 

x 0, x

a b;

. Xét các mệnh đề

sau:



(179)

5 | VD_VDC
(3) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng

a b;

.


(4) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng

a b;

.
Số mệnh đề đúng là?


A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 .


Câu 24: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên đoạn

a b;

f

 

x 0, x

a b;

. Xét các mệnh đề
sau:


(1) Hàm số nghịch biến trên đoạn

a b;

.
(2) Hàm số nghịch biến trên

a b;

.


(3) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng

a b;

.
(4) Hàm số nghịch biến trên nửa khoảng

a b;

.
Số mệnh đề đúng là?


A. 1. B. 3. C. 4 . D. 2 .


Câu 25: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên đoạn

a b;

.


Xét các mệnh đề sau:


(1) Nếu f

 

x 0, x

a; b

thì f x

 

đồng biến trên đoạn

a b;

.
(2) Nếu f

 

x 0, x

a; b

thì f x

 

đồng biến trên khoảng

a b;

.
(3) Nếu f

 

x 0, x

a; b

thì f x

 

nghịch biến trên khoảng

a b;

.
(4) Nếu f

 

x 0, x

a; b

thì f x

 

nghịch biến trên đoạn

a b;

.


(5) Nếu phương trình f

 

x 0 có nghiệm x0

a b;

thì f

 

x đổi dấu khi qua x0.
Số mệnh đề đúng là?


A. 5. B. 2 . C. 4 . D. 3.


Câu 26: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

x 0, x

0;

f

 

1 2. Mệnh đề nào dưới đây


đúng?


A. f

 

2  f

 

4 4. B. f

 

2  f

 

4 4.
C. f

 

2  f

 

4 4. D. f

 

2  f

 

4 4.


Câu 27: Cho hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

1;3

. Đặt g x

 

f x

 

2 . Mệnh đề nào dưới đây


đúng?


A. Hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

1;3

.


B. Hàm số yf x

 

đồng biến trên khoảng

1; 3 .




(180)

D. Hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng

1; 3 .



Câu 28: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện x x1, 2;x1x2 thì

x1x2

f x

 

1f x

 

2

0?


A. y x 1


x


  . B. yx42x21.



C. yx32x21. D. yx3x23x1.


Câu 29: Hàm số nào dưới đây thỏa mãn điều kiện x x1, 2;x1x2 thì

x1x2

f x

 

1f x

 

2

0?


A. y 1 x3. B. 2 3


1
x
y


x





 .


C.


2 1
x
y


x





. D. yx33x1.



Câu 30: Cho hàm số yf x

 

xác định và liên tục trên  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau


Hỏi số nguyên nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số yf x

 

?


A. 1. B. 1.


C. 0. D. 3.


Câu 31: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm f

 

x 0, x

0;

f

 

1 2. Mệnh đề nào dưới đây


có thể xảy ra


A. f

 

1 2. B. f

 

2 1. C. f

 

2  f

 

4 4. D.


2018

2019



ff .


Câu 32: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm và là hàm đơn điệu trên khoảng

a b;

. Mệnh đề nào dưới


đây đúng?


A. f

 

x 0, x

a b;

.
B. f

 

x 0, x

a b;

.
C. f

 

x 0, x

a b;

.


D. f

 

x không đổi dấu trên khoảng

a b;

.


Câu 33: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm trên khoảng

a b;

. Mệnh đề nào dưới đây sai?


A. Nếu f x

 

đồng biến trên khoảng

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.
B. Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì hàm số nghịch biến trên khoảng

a b;

.
C. Nếu hàm số nghịch biến trên

a b;

thì f

 

x 0, x

a b;

.


D. Nếu f

 

x 0, x

a b;

thì hàm số đồng biến trên khoảng

a b;



Câu 34: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm và đồng biến trên khoảng

a b;

. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?



(181)

C. f '

 

x 0, x

a b;

. D. f '

 

x 0, x

a b;

.


Câu 35: Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm và nghịch biến trên khoảng

a b;

. Mệnh đề nào dưới đây


đúng?


A. f '

 

x 0, x

a b;

. B. f '

 

x 0, x

a b;

.


C. f '

 

x 0, x

a b;

. D. f '

 

x 0, x

a b;

.


Câu 36: [2D1-1] Cho hàm số yf x( ) đồng biến trên ( ; ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. x x1, 2 ta có f x( )1f x( )2 . B. x x1, 2,x1x2 ta có f x( )1f x( )2 .
C. x x1, 2 ta có f x( )1f x( 2). D. x x1, 2,x1x2 ta có f x( )1f x( 2).
Câu 37: [2D1-2] Cho hàm số yf x( ) liên tục trên

3; 3

và có đạo hàm f x( ) trên

3;3

. Đồ thị


của hàm số yf x( ) như hình vẽ sau


Mệnh đề nào dưới đây đúng?



A. Hàm số đồng biến trên các khoảng

 3; 1

1; 3 .


B. Hàm số nghịch biến trên

1;1

.


C. Hàm số đồng biến trên

2; 3

.


D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

 3; 1

1; 3 .



Câu 38: [2D1-2] Cho hàm số yf x( ). Hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây


Hàm số yf x( ) đồng biến trên khoảng


A.

 ; 1

. B.

2;

. C.

1;1

. D.

1; 4 .



4


2


-2


5


O 1


-3


-1
-1


1




(182)

8 | VD_VDC
Câu 39: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x( )x x

2

3 với mọi x. Hàm số đã cho nghịch


biến trên khoảng nào dưới đây?


A.

1; 0

. B.

1; 3 .

C.

0;1 .

D.

2; 0

.


Câu 40: Hàm số y

x2x

2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây


A.

0;1 .

B. 0;1
2


 


 


 . C.

2; 0

. D.

1; 2 .



Câu 41: Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên như sau


x  1 1 2 


,


y + 0 + 0  0 +


y 






Hàm số f x

 

nghịch biến trên khoảng nào sau đây


A.

; 0

. B.

0;1 .

C.

 ; 1

. D.

1; 2 .



Câu 42: Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên như sau


x  0 2 


,


y  0 + 0 
y





1


5





Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng nào sau đây


A.

1; 5

. B.

0; 2

. C.

; 0

. D.

2;

.


Câu 43: Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên như sau



x  1 3 


,


y + 0  0 +


y 


4


2







Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng nào sau đây


A.

; 4

. B.

2; 4

. C.

 2;

. D.

3;

.



(183)

Hàm số f x

 

đồng biến trên khoảng nào sau đây


A.

1; 2 .

B.

 ; 2

. C.

2;

. D. 1;3
2


 





 


 


.


Câu 45: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?


A.


1
x
y


x




. B.


4 2
1


yxx. C. 21
1
y


x





. D.


3
1
yx.


Câu 46: [2D2-2] Cho hàm số f x

 

có bảng biến thiên như sau


Hàm số yf x

 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?


A.

5; 2

. B.

1; 2

. C.

 ; 1

. D.

 1;

.


Câu 47: [2D1-2] Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ?


A. yx3x2. B. yx4x2. C. yx3x. D. yx4x.


Câu 48: [2D1-2] Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên sau


A. 30. B. 36. C. 34. D. 32.


Câu 49: [2D1-2] Cho hàm số yf x

 

có bảng biến thiên như sau


A. 30. B. 36. C. 34. D. 32.


---HẾT---


2


-5


4


2


+ 0 - 0 +


+∞
2


-1
-∞



(184)

10 | VD_VDC
NHÓM GIẢI VẬN DỤNG CAO


VTED_2019


CHUYÊN ĐỀ ĐƠN ĐIỆU - NĂM HỌC 2017-2018
MƠN: TỐN 12


Thời gian làm bài 90 phút
Đề đã thay đổi thứ tự câu (sắp xếp theo độ khó tăng dần) so với đề gốc


BẢNG ĐÁP ÁN THAM KHẢO


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50


HƯỚNG DẪN GIẢI



Câu 1: Cho hàm số f x

 

x33x2.Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng



;0

và nghịch biến trên khoảng

0;



.


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

;

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

;

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0

và đồng biến trên khoảng

0;



.


Hướng dẫn giải
Chọn B


Do f '

 

x 3x2 30  x


Câu 2: Hỏi hàm số 2

2



1



y


x





nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?


A.

0;



. B.

1;1

. C.

 

;

. D.



;0

.
Hướng dẫn giải



Chọn A


Do

'

 

2

4

2

0

0



(

1)



x



f

x

x



x





 





Câu 3: Hỏi hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

 

;

?


A.

1



3



x


y



x







. B.


3


y

x

x

. C.

1



2



x


y



x






. D.


3


3



y

 

x

x

.
Hướng dẫn giải


Chọn B


Do f '

 

x 3x2  1 0  x


Câu 4: Cho hàm số yf x

 

x33x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0; 2

.



(185)

11 | VD_VDC


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

0;2

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0

.


Hướng dẫn giải
Chọn A


Do f '

 

x 3x2 6x0  x (0; 2)


Câu 5: Cho hàm số

y

f x

 

có đạo hàm f '

 

xx2   1, x . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng



;0

.


B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

1;



.


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

1;1

.


D. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

;

.


Hướng dẫn giải
Chọn D


Do f '

 

xx2 1 0  x


Câu 6: Cho hàm số yx42x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng

 ; 2

.


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ; 2

.


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

1;1

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

1;1

.


Hướng dẫn giải
Chọn B


Ta có 4 3 4 0 1


0 1


x


y x x


x


 


     


 




.


Câu 7: Cho hàm số yf x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:


Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Hàm số đồng biến trên khoảng

2;0

.


B. Hàm số đồng biến trên khoảng

;0

.


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0; 2

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 ; 2

.


Hướng dẫn giải
Chọn C


Câu 8: Cho hàm số y 2x21. Mệnh đề nào dưới đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

1;1

.


B. Hàm số đồng biến trên khoảng

0;

.


+


-


+


_


_


+ 0 0


0 2


-2
y'



(186)

12 | VD_VDC


C. Hàm số đồng biến trên khoảng

;0

.


D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

0;

.


Hướng dẫn giải
Chọn B


Câu 9: Xét các mệnh đề sau:


(1) Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng

a; b

. Hàm số yf x( ) đồng biến trên
khoảng

a; b

khi và chỉ khi f x( )0, x

a; b

.


(2) Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng

a; b

. Hàm số yf x( ) đồng biến trên
khoảng

a; b

khi và chỉ khi f x( )0, x

a; b

.


(3) Cho hàm số yf x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

 

f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f af b( )ab.


(4) Cho hàm số yf x( ) xác định và có đạo hàm trên tập R\ 0

 

f x( )0, x 0. Khi đó
với mọi ,a b khác 0 ta có ( )f af b( )ab.


Số mệnh đề đúng là:


A. 2 B. 3. C. 0. D. 1.


Hướng dẫn giải
Chọn C


Mệnh đề (1) và (2) sai. Với hàm f x( )có đạo hàm trên khoảng

a; b

, khi nhắc đến điều kiện
cần và đủ để hàm số đồng biến trên khoảng

a; b

thì gồm f x( )0, x

a; b

f x( )0 tại
hữu hạn điểm trên khoảng

a; b

.


Mệnh đề (3) sai. Chẳng hạn xét hàm f x( ) x 1
x




 có f x( ) 12 0, x 0
x


     , với
1; 1, a b


ab   nhưng (1)f 0, f( 1) 2, f(1)f( 1) .
Tương tự mệnh đề (4) sai.


Câu 10: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm trên

a b;

. Xét các mệnh đề sau: