Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số - Huỳnh Chí Hào

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(Ơn thi TRUNG H

ỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2015)

Biên so

ạn: Huỳnh Chí H

ào - THPT Chuyên Nguy

ễn Quang Di

êu

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Bài 1: Giải hệ phương trình





3 2

2 2

2 12 25 18 2 9 4 (1)

3 1 3 14 8 6 4 (2)

y y y x x

x x x y y

      



 _{      }



(Thi thử của THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa)
Bài giải

♥ Điều kiện:

2
1
3

6 4 0

x

y y
 


   


(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u

 

 f v

 

)

♦ 2y312y225y18



2x9



x4  2



y2

 

3 y2



2



x4



3 x4 (3)
[Tại sao ?]

♦ Xét hàm đặc trưng _{f t}

 

_2t3_{t trên  ta có:}

 

2

' 6 1 0,

f t  t    t   f t

 

đồng biến trên 

Nên:

 













2 ₂

2 2

3 2 4 2 4

4 (4)

2 4

y y

f y f x y x

x y y

y x

  

   

 

        _ 

  

  

 



♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

2

3x 1 6 x 3x 14x 8 0 (5)
♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân

liên hợp.

 



 



2

4 1

5  3x1  6x 3x 14x50 (Tách thành các biểu thức liên hợp)





_

_

_

3 5 5

5 3 1 0

3 1 4 6 1

x x

x x

x x

 

     

    (Nhân liên hợp)









0

3 1

5 3 1 0

3 1 4 6 1

x x

x x



 

 

 

  _    _

   

 

 



5
x
 

♦ Với x5  y1 (thỏa điều kiện (*))

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bước 1:Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2:Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3:Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình cịn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

Bước 4:Giải phương trình 1 ẩn (cần ơn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

Bài 2: Giải hệ phương trình









3 3 2 2

2

17 32 6 9 24 (1)

2 4 9 2 9 9 1 (2)

x y x y x y

y x x y x x y

      



         



(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải

♥ Điều kiện: 4

2 9 0

x
y x
 


   

 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u

 

 f v

 

)

♦ 3 3 2 2

17 32 6 9 24

x y  x y x  y   x36x217x18 y39y232y42 [Tại sao ?]




x2



35



x 2

 

y2



35



y2



(3)

♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

 t3 5t trên  ta có:

 

2

' 3 5 0,

f t  t    t   f t

 

đồng biến trên 

Nên:

 

3  f x



 2



f y



3



x2  y 3 yx1 (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn



x3



x  4



x 9



x11x29x10 (5)

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x5 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật nhân
liên hợp.

  















2

5  x3 x43  x 9 x114 x 2x35 (Tách thành các biểu thức liên hợp)



3 .



5



9 .



5



5



7



4 3 11 4

x x

x x x x

x x

 

      

    (Nhân liên hợp)



5



3 9



7



0

4 3 11 4

x x

x x

x x

 _{ } 

 

  _    _

   

 





5 0

3 9

7 0 (6)

4 3 11 4

x

x x

x

x x

  



_  _  _{  }

 _{   }



♦ Chứng minh (6) vô nghiệm

 

6 3 5 9 9 0

2 2

4 3 11 4

x x x x

x x

   

    

    [Tại sao ?]









0

0 0

1 1 1 1 2

5 9 0

2 2

4 3 11 4 4 3

x x

x x x



 

 _  _

 _  _

  _  _  __  _ 

       _{} 

 

: phương trình VN

♦ Với x5  y6 (thỏa điều kiện (*))

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất



x y;

  

 5;6 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình

1)

3 3 2

2 2

3 6 3 4

6 10 5 4

x y x x y

x y x y y x y

     



        

 2)









2

53 5 10 5 48 9 0

2 6 2 66 2 11

x x y y

x y x x x y

      



 _{        }



3)









2

2012 3 4 6 2009 3 2 0

2 7 8 3 14 18 6 13

x x y y

x y x y x x

      



 _{     }

 4)





3

3

4 3 2

1 0

1 1 1

x x y y

x x x x y

    



 _{     }

Bài 3: Giải hệ phương trình





4
4

2 2

3 2 5 (1)
2 2 8 4 0 (2)

x x y y

x x y y y

 _{     }



 _{     }



(Phạm Trọng Thư GV THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp – THTT số 2)
Bài giải

♥ Điều kiện: x2 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y

♦ _{x 3} 4_{x 2 y}4_{ 5 y } 4 _{x 2}



_{x   2}



_{5 y y}4_{5 (3)}
♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

 t t45 trên nữa khoảng



0;



.

f liên tục trên



0;



và

 





3

4
2

' 1 0, 0;

5
t

f t t

t

     

  f t

 

đồng biến trên



0;



Do 4_x _{2 0 và 4y}



_x _{y 2}



2 _{y 0 nên}

 

₃  _f



4 _x₂



 _{f y}

 

4 _x₂_y_x_y4_{2 (4)}

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

4y



y4y



2



7 2 4 4



0 ₇ 0 ₄

2 4 0 (5)
y

y y y y

y y y

 


  _{        }


♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Xét hàm số

 

7 4

2 4

g y y  y  y trên nữa khoảng



0;



.

Do g liên tục trên



0;



và g'

 

y 7y68y3   1 0, y



0;



 g y

 

đồng biến trên



0;



Nên:

 

5 g y

 

g

 

1  y 1

♣ Với y0  x2 [thỏa (*)]
♣ Với y1  x3 [thỏa (*)]

Bài 4: Giải hệ phương trình:

 





 

 

      






 _   _ 



x
x x y y y

y

y x y x

3 3 2

2 3

1

3 6 9 2 ln 0 1

1

log 3 log 1 2

.

(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải

♥ Điều kiện:
1

0
1

3
3 0

0

0

x
y

x
x

y
y





 

 _{ }



  

 



 






(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y

♦

 

1 



x1



33



x1



2ln



x1

 

 y1



33



y1



2ln



x1



(3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

t33t2lnt trên khoảng



0;



f

 

t 3t2 6t 1 0 t 0
t

        f t

 

đồng biến trên khoảng



0;



Do x 1 0 và y 1 0 nên

 

3  f x



1



 f y



1



x 1 y 1 yx2 (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn



x2



_log₂



x3



log₃



x2



_ x 1 (5)

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

 

5 log₂



3



log₃



2



1 log₂



3



log₃



2



1 0 6

 

2 2

x x

x x x x

x x

 

          

 

♣ Xét hàm số

 

log₂



3



log₃



2



1
2
x

g x x x

x


    

 trên khoảng



3;



 









_

_

2

1 1 3

0 3

3 ln 2 2 ln 3 ₂

g x x

x x _x

      

  _

g x

_{ }

đồng biến trên khoảng

_

3;

_

.

Nên

_{ }

6 g x

_{ }

g

_{ }

5 x  5  4 y 3 [thỏa mãn (*)]

Bài 5: Giải hệ phương trình:.









 









 

 _{      }




     




x y y x y xy x

x y y x

2 2 2 2

3 3 8 6 1

13 3 14 1 5 2

(Thi thử của THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
Bài giải

♥ Điều kiện:

1
1 0

14
3 14 0

3

x
x

y y

 

 

 



 

  

 



 

*

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
♦

_{ }

1 



x1



33



x1

 

 y1



33



y1



(3)
♦ Xét hàm đặc trưng

 

3

3 ,

f t t  t t

 

2

3 3 0,

f t  t    t  f t

 

đồng biến trên .
Do x 1 0 và y 1 0 nên

_{ }

3  f x

_

1

_

 f y

_

1

_

x 1 y 1 x 2 y (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

_

2x11

_



3x 8 x1



5

_{ }

5
♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

Ta nhận thấy 11
2

x không là nghiệm của phương trình

_{ }

5 nên

 

5 3 8 1 5 0.
2 11

x x

x

     



 

6

Xét hàm số

_{ }

3 8 1 5 , 8 11; 11;
2 11 3 2 2

g x x x x

x

   

     _{ }_ _

    

 





2





 



2

3 1 10 3 1 3 8 10

0
2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

x x

g x

x x x x x x

  

      

     

8 11 11

; & ;
3 2 2

x    

 _{  } _

   

 g x

 

đồng biến trên các khoảng 8 11; & 11;
3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 8 11;
3 2

 




 thì g x

 

đồng biến,

 

8 11

3 ; , 3 0
3 2 g

 

_{ } 

  nên

 

6  g x

 

g

 

3 x  3  4 y 5 [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng 11;
2

 



 

 thì g x

 

đồng biến,

 

11

8 ; , 8 0

2 g

 

_ _ 

  nên

 

6  g x

 

g

 

8 x  8  4 y 10 [thoả mãn (*)]

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Giải các hệ phương trình

1)









2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

 _{    }




    



2)

3 3 2

3

3 4 2

3 3 19 105

x y y y x

x y x y y xy

     



 _{      }



3)





3





4 2 2 4 6

2 2 1 2 1 2 3 2

x y

x x y y

 _{   }



 _{     }

Bài 6: Giải hệ phương trình
3

2 2 2

2 2 1 3 1 (1)
9 4 2 6 7 (2)

y y x x x

y x y

 _{    }



 _{   }



(Thi thử của THPT Trần Phú – Thanh Hóa)
Bài giải

♥ Điều kiện:
1

3 3

2 2

x
y
 



  

 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u

 

 f v

 

)

♦ 2y3 y 2x 1 x 3 1x  2y3 y 2 1 x 2x 1 x 1x

 _2y3_{ y 2 1}



_x



_{1 x 1x (3)}
♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

2t3t trên  ta có:

 

2

' 6 1 0,

f t  t    t   f đồng biến trên 
Nên:

 

3

 



1



1 ₂ 0

1
y

f y f x y x

y x

 


       _

 

 (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

_{4x 5 2x}2_{6x1 (5)}

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ đối xứng loại II
 Phương trình (5) viết lại thành:



2x3



22 4x 5 11

Điều kiện

Đặt 4x  5 2t 3 3
2
t

 _
  

 _

 , ta được hệ phương trình: [Tại sao ?]









2

2

2 3 4 5 (6)
2 3 4 5 (7)

x t

t x

 _{  }



 _{  }



 Trừ theo từng vế của (6) và (7) ta được:







4 x t 3 x  t 4t 4x 



xt



x  t 2



0
+ Khi xt, thay vào (7) ta được:

4x212x 9 4x 5 x24x    1 0 x 2 3
So với điều kiện của x và t ta chọn x 2 3. [không thỏa mãn (*)]



12x



24x 5 x22x    1 0 x 1 2 (loại)
So với điều kiện của x và t ta chọn x 1 2.
♦ Với x 1 2 _y 4_{2. [thỏa mãn (*)]}

♥ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm



x y;



là



_{1 2;}4₂



_và



_{1 2; 2}4



_

Bài 7: Giải hệ phương trình





3 2 3

3

2 4 3 1 2 2 3 2 (1)

2 14 3 2 +1 (2)

x x x x y y

x x y

      



 _{   }



(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)
Bài giải

♥ Điều kiện:
3
2
2
y
x
 

 


(*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u

 

 f v

 

)

♦ Do x0 khơng thỏa hệ nên ta có:

 

1  2 4 3₂ 1₃ 2 2



y



3 2y

x x x

     







3

1 1

1 1 3 2y 3 2y 3 2y

x x

 _  _

 _{   } _{    }

 _  _

 

    (3)
♦ Xét hàm đặc trưng f t

 

 t3 t trên  ta có:

_f'

 

_{t 3t}2_{   1 0, t   f đồng biến trên }
Nên:

 

3 f 1 1 f



3 2y



1 1 3 2y

x x

 _


 _  _      (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

_x ₂ 3₁₅ _{x 1 (5)}

♦ Phương trình (5) có một nghiệm là x7 nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ thuật
nhân liên hợp.

 

5  _x   _{2 3 2} 3₁₅ _{x 0}











2

3 3

0

1 1

7 0

2 3 _{4 2 15 15}

x

x _{x x}



 _

 _

 _

 _

 

 

 _  _

  

 _{    }

 _

 _

 



♦ Với x7  111
98

y [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm



x y;



là 7;111
98

 _

 _

 _

 

Bài 8: Giải hệ phương trình

2

3

1 3 4

3 1 + (1)
1

9 2 7 2 2 2 3 (2)
x

x y y

y x

y x y y

 

    

 _



      



(Thi thử của THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng)
Bài giải

♥ Điều kiện:

1
2
9
x
y
 


 

 (*)

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
(sử dụng phương pháp hàm số kiểu f u

 

 f v

 

)

♦ Ta có

 

1  2 1 3 1 1 3 1
1

y y x x

y x

      

 (3)

♦ Xét hàm đặc trưng _{f t}

 

_t2 1 _3t
t

   trên



0;



ta có:

 











2

2

2 1 1

' t t 0, 0;

f t t

t

 

      f đồng biến trên



0;



Nên:

 

3  f y

 

 f



x  1



y x  1 x y21 (4)

♥ Thế (4) vào (2) để được phương trình một ẩn

_9y ₁ 3_7y2_2y _{5 2y}_{3 (5)}

♦ Phương trình (5) có hai nghiệm là y2 y3và nên có thể biến đổi về phương trình tích số bằng kỹ
thuật nhân liên hợp. Định hướng biến đổi về dạng



y2



y3 .

  

h x 0 hay



y25y6 .



h x

 

0

 

5  _9y₂



_y₂



3_7y2_2y₅



_y₁



₀













 







2
2

2

2 ₃ 2 ₃ 2

1 5 6

5 6

0

9 2 2 _{1 1 7 2 5 7 2 5}

y y y

y y

y y _{y y y y y y}

  

 

 

   _{       }









 







2

2

2 3 2 3 2

0

1 1

5 6 0

9 2 2 _{1 1 7 2 5 7 2 5}

y

y y

y y _{y y y y y y}



 _

 _

 _

 _

 _{ }

 

 

  _  _

 _{   }

 _{        }

 _

 _

 

 2 2

5 6 0

3
y

y y
y
 

   
 

♦ Với y2  x3 [thỏa mãn (*)]

♦ Với y3  x8 [thỏa mãn (*)]

♥ Vậy hệ phương trình có nghiệm



x y;



là

 

3; 2 ;

 

8;3 

Bài 9: Giải hệ phương trình:.







 

 

 _{    }


  

 


x y y x y
x y

x y

2 2 _{2 1 2 1}

5

3 8 2

2

Bài giải

♥ Điều kiện:

8
3
0
12 0
x
y
x y






   



_{ }

*

♥ Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giảncủa x và y
♦

 

1 



y x 1



20 y x 1 (3)

♥ Thế (3) vào (2) để được phương trình một ẩn

3 8 1 5
2 11

x x

x

   



 

5

♦ Giải phương trình (5) bằng phương pháp hàm số

_{ }

5 3 8 1 5 0.
2 11

x x

x

     



 

6

Xét hàm số

 

3 8 1 5 , 8 11; 11;
2 11 3 2 2

f x x x x

x

   

     _{ }_ _

    

 





2





 



2

3 1 10 3 1 3 8 10

' 0

2 3 8 2 1 2 11 2 3 8 1 2 11

x x

f x

x x x x x x

  

     

     

8 11 11
; & ;
3 2 2

x    

 _{  } _

   

 f x

_{ }

đồng biến trên các khoảng 8 11; & 11;
3 2 2

   



   

   

♣ Trên khoảng 8 11;
3 2

 




 thì f x

 

đồng biến,

 

8 11

3 ; , 3 0
3 2 f

 

_{ } 

  nên

 

6  f x

 

 f

 

3 x  3  4 y 4 [thoả mãn (*)]

♣ Trên khoảng 11;
2

 



 

 thì f x

 

đồng biến,

 

11

8 ; , 8 0

2 f

 

_ _ 

  nên

 

6  f x

 

 f

 

8 x  8  4 y 9 [thoả mãn (*)]

XEM THÊM PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ DẠNG TRÊN

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG



_ax_b



n _{p a x}n '  _b' _qx_r

(x là ẩn số; p q r a b a b, , , , , ', ' là các hằng số; paa'0; n

 

2;3
Dạng thường gặp:



axb



2 p a x'  b' qxr

1. Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ:

+ Đặt n_{a x}'  _b' _ay_{b nếu pa'}₀
+ Đặt n_{a x}'   _b'



_ay_b



_{nếu pa'}₀

Bài toán dẫn đến giải hệ phương trình hai ẩn đối với x và y :





( )

( ) ' '

h x Ay Bx C

h y A B x C

   



   

 (*)

(*) thường là hệ đối xứng loại 2 đối với x và y.

Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp nâng lũy thừa để đưa về phương trình bậc bốn.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x1532x232x20 (1)

Lời giải
 Điều kiện: 2 15 0 15

2
x   x

 Phương trình (1) viết lại thành: 2 4



x2



2 2x1528
Đặt 2x154y2 1

2
y

 _

  

 _

 , ta được hệ phương trình:









2

2

4 2 2 15 (2)
4 2 2 15 (3)

y x

x y

 _{  }



 _{  }





4y4x4 4



y4x



2



xy







xy



_18



x y 1



_0
+ Khi x y, thay vào (3) ta được:





2 2

1
2

4 2 2 15 16 14 11 0

11
8
x

x x x x

x

 


        

 _{ }



So với điều kiện của x và y ta chọn 1
2
x .

+ Khi 1 8



1



0 9

8

x y y x

        , thay vào (3) ta được:



4 2



2 2 9 15 64 2 72 35 0 9 221

4 16

x    x  x  x   x  

So với điều kiện của x và y ta chọn 9 221
16
x  .

 Tập nghiệm của (1) là 1; 9 221

2 16

S

 

 _{ } 

 

 _ _

 

 



Ví dụ 2: Giải phương trình 4x2 3x  1 5 13x (1)

Lời giải

 Điều kiện: 3 1 0 1
3
x    x

 Phương trình (1) viết lại thành:



2x3



2  3x  1 x 4
Đặt 3x  1



2y3



3

2
y

 _
  

 _

 , ta được hệ phương trình:









2

2

2 3 2 1 (2)
2 3 3 1 (3)

x y x

y x

 _{   }



 _{  }



 Trừ theo từng vế của (2) và (3) ta được:







2 2x2y6 xy 2y2x 



xy



2x2y 5



0
+ Khi x y, thay vào (3) ta được:

4 2 12 9 3 1 4 2 15 8 0 15 97
8
x  x  x  x  x   x 

+ Khi 2x2y  5 0 2y 5 2x, thay vào (3) ta được:



2 2



2 3 1 4 2 11 3 0 11 73
8

x x x x x 

        

So với điều kiện của x và y ta chọn 11 73
8
x  .

 Tập nghiệm của (1) là 11 73 15; 97

8 8

S

 

 _{ } 

 

 _ _

 

 



3. Một số bài toán tự luyện

Giải các phương trình

1) x 6 x24x 2) x24x 3 x5 3) 2x 1 x23x 1 0

4) _4x2_{14x 11 4 6x10 5) 9x}2_{12x 2 3x8 7) 6) 9x}2_{6x 5 3x5}