Tải bản đầy đủ (.pdf) (69 trang)

Phân dạng và bài tập hệ phương trình nhiều ẩn - Trần Sĩ Tùng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.59 MB, 69 trang )

(1)

---- ›š & ›š ----


TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG




(2)

1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn


a x b y c a b a b


a x b y c1 1 1 12 12 22 22


2 2 2


( 0, 0)


ì + = + ¹ +


+ =



Gii v bin lun:


Tớnh các định thức: D a b


a b


1 1


2 2


= , Dx c b



c b


1 1


2 2


= , Dy a c


a c


1 1


2 2


= .


Chú ý:Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.


2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn


Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có sốẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế nhưđối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.


Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) ì -í57xx 49yy=38


- =



ỵ b)


x y


x y


2 11


5 4 8


ì + =
í - =


ỵ c)


x y


x y


3 1


6 2 5


ì - =


í - =




d)

(

(

)

x y

)




x y


2 1 2 1


2 2 1 2 2


ìï + + =




- - =


ïỵ e)


x y


x y


3 2 16


4 3


5 3 11


2 5


ì


+ =



ï
í


ï - =




f) x y


y


3 1


5x 2 3


ìï - =
í


+ =


ïỵ


ĐS:


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:


a) x y
x y
1 8 18


5 4 51


ì


- =
ïï


í


ï + =
ïỵ


b) x y


x y


6 5 3
9 10 1


ì


+ =
ïï


í


ï - =
ïỵ


c) x y



x y


10 1 1


1 2


25 3 2


1 2


ì


+ =


ïï - +
í


ï + =


ï - +




d) x y x y


x y x y


27 32 7



2 3


45 48 1


2 3


ì


+ =


ïï - +


í


ï - =


-ï - +




e) x y x y


x y x y


6 2 3


2 2


3 4 1



2 2


ì


+ =


ïï - +


í


ï + =


-- +


ïỵ


f) x y
x y


4 1 3


1


2 2 4


1


ì


+ =



ïï


ï - =



-ïỵ


ĐS: a) b) c) d) e) 3 ; 87


70 140


-


ỗ ữ


ố ứ f)


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)


x y


y x


x y


y x



6 3 2 5


1 1


4 2 4 2


1 1


ì - - =


ïï - +


í


-ï - =


- +


ïỵ


b)


x x


y y


x x


y y



3 6 1


1 2


2 3 7


1 2


ì - - =


ïï +


í


-ï + =


+


-ïỵ


c)


x y


x y


x y


x y



2 3 7 5


2 3


1 3 1 5


2 3


ì - + + =


ïï - +


í + +


ï + =


- +


ïỵ


I. H

PH

ƯƠ

NG TRÌNH B

C NH

T NHI

U

N



Xét D Kết quả


D ¹ 0 Hệ có nghiệm duy nhất x Dx y Dy


D ; D


ổ ử



= =


ỗ ữ


ố ứ


Dxạ 0 hoặc Dy¹ 0 Hệ vơ nghiệm
D = 0



(3)

d)
x y
x y
x y
x y
1 1


3( ) 2 6


1 1


3( ) 2 4


ì ỉ ư
+ + - =
ù ỗ ữ
ù

ù - + + =
ù


e)
x y
x y
x y
y x


3( ) 7


5 5
3
ì +
=
ïï

=

-ïỵ
f)


S: a) 0;1
2


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ b)


5 7
;


8 4


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ c) d) ( )


2 2 2 2


1;1 , 1; , ;1 , ;


3 3 3 3


- ử ổ ử ổ -
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ


Bi 4. Giải các hệ phương trình sau:


a) x x y


x x y


2
2


2 2 1 3


2 1 4



ìï + - - =


í


+ + - =


ïỵ b)


x y


x y


2


2 3 1


2 7 15


ìï + =
í
- =
ïỵ c)
x
y
x
y
2
2
5



2(4 ) 2


2
4 4
ì
- + =
ï
ï
í
ï - + =
ïỵ


ĐS: a) (1;2),( 2;2)- b) (± -2; 1) c)


Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:


a) x y


x y1 0


2 1


ì - + =
í - =


ỵ b)


x y



x y


1 2 1


1 3


ì - + - =
í - + =


ỵ c)


x y


x 2 y 2


2 3 1


ì + =


í - =




d) x y


x y


2 6 3 1 5



5 6 4 1 1


ì - + + =


í - - + =


ỵ e)


x y x y


x y x y


2 9


3 2 17


ì + - - =


í + + - =


ỵ f)


x y x y


x y x y


4 3 8


3 5 6



ì + + - =


í + - - =




ĐS:


Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:


a) mx m y m


x my


( 1) 1


2 2


ì + - = +


í + =


ỵ b)


mx m y


m x (m 2)y 5


( 2) ( 1) 2



ì + - =


í + + + =


ỵ c)


m x y m


m x y m


( 1) 2 3 1


( 2) 1


ì - + =


+ =


-ỵ
Bài 7. Trong các hệ phương trình sau hãy:


i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Ỵ Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.


a) m x y m


m x y m2 2 m


( 1) 2 1


2


ì + - =

- = +
ỵ b)
mx y
x 4(m 1)y 14m


ì - =


í + + =


ỵ c)


mx y


x my 3 32m 1 0


ì + - =
í + - + =


Bài 8. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.


ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a) mx y m


x my2 m 1


2 2 5



ì + = +


í + = +


ỵ b)


mx m y


m x my


6 (2 ) 3


( 1) 2


ì + - =


í - - =


ỵ c)


mx m y m


x my


( 1) 1


2 2


ì + - = +



í + =



Bài 9. Trong các hệ phương trình sau:


i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm ngun.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a) x y


y x m


2 5


2 10 5


ì + =


í - = +


ỵ b)


mx y m


x my 32m 1


ì + =
í + = +


ỵ c)



x y m


x y2 4m


2 3 3


ì - =


+ = +




Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) ì + =í + = -3ax y bx 2y 5


ỵ b)


y ax b


x y


2 3 4


ì - =


í - =


ỵ c)



ax y a b
x 2y a


ì + = +
í + =


Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:
a)


x y z


x y z


x y z


3 1


2 2 5


2 3 0


ì + - =
ï
- + =
í
ï - - =

b)



x y z


x y z
x y z


3 2 8


2 6
3 6
ì + + =
ï
+ + =
í
ï + + =

c)


x y z


x y z


x y z


3 2 7


2 4 3 8



(4)

1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.



· Thế vào phương trình bậc hai đểđưa về phương trình bậc hai một ẩn.
· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1


Hệ có dạng: (I) f x y
g x y( , ) 0( , ) 0


ì =


í =


ỵ (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hốn vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) khơng thay đổi).
·Đặt S = x + y, P = xy.


·Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.


· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2-SX P+ =0.
3. Hệ đối xứng loại 2


Hệ có dạng: (I) f x y


f y x( , ) 0( , ) 0 (1)(2)


ì =


í =





(Có nghĩa là khi hốn vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:


(I) Û ìíf x yf x y( , )( , ) 0- f y x( , ) 0 (3)= (1)
=




· Biến đổi (3) về phương trình tích:


(3) Û (x y g x y- ). ( , ) 0= Û é =êx yg x y( , ) 0
=


ë .


· Như vậy: (I) Û


f x y
x y


f x y
g x y


( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0


éì =



í
ê =
ê


ì =


êí


ê =


ë


.


· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).


Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( ; )x y0 0 thì ( ; )y x0 0
cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =y0.


4. Hệ đẳng cấp bậc hai


Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d


a x b xy c y d


2 2


1 1 1 1


2 2



2 2 2 2


ì + + =


ï
í


+ + =


ïỵ .


· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).


· Khi x ¹ 0, đặt y kx= . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từđó tìm được (x; y).





(5)

VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:


a) x y


x y


2 4 2 8


2 4



ì + =


í + =


ỵ b)


x xy


x y


2 24


2 3 1


ì - =
í - =
ỵ c)
x y
x y
2


( ) 49


3 4 84


ì - =


í + =





d) x xy y x y


x y


2 2 2 6


2 3


ì + + - - =


í - =


ỵ e)


x y


xy x y


3 4 1 0


3( ) 9


ì - + =


í = +


-ỵ f)


x y



xy x y


2 3 2


6 0


ì + =


í + + + =


g) y x x


x y


2 4


2 5 0


ì + =
í + - =


ỵ h)


x y


x2 y2 y


2 3 5



3 2 4


ì + =


í - + =


ỵ i)


x y
x2 xy y2


2 5
7
ì - =
í + + =

ĐS:


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a) x y


y2 x2 x y


2 7 0


2 2 4 0


ì - - =



í - + + + =


ỵ b)


x y


x2 xy x y


4 9 6


3 6 3 0


ì + =


í + - + =


ỵ c)


x x y


x x y


2
2


2 1 0


12 2 10 0


ìï + + + =


í


+ + + =


ïỵ


d) x y x y


xy y2 x


( 2 1)( 2 2) 0
3 1 0


ì + + + + =


í + + + =


ỵ e)


x y x y


x y


(2 3 2)( 5 3) 0
3 1


ì + - - - =


í - =



ỵ f)


x y


x y


2 11 5 2


2 3 12


ì + =


í + =




ĐS:


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:


a) x xy y y y


x y


2 2


2 3 7 12 1


1 0



ì - + = +


-í - + =


ỵ b)


x y x y


x y


2 2 6 2 0


8 0


ì + + + =


í + + =


c) x y xy x y


x y


2 2


9 4 6 42 40 135 0


3 2 9 0


ì + + + - + =



í - + =


ỵ d)


x xy x


x y
2 10
2 5
ì + + =
í =
-ỵ


d) x y xy x y


x y


2 2


7 9 12 5 3 5 0


2 3 1


ì + - + + + =


í - =


ỵ e)



x xy y x y


x y


2 3 2 2 3 6 0


2 3


ì - + + + - =


í - =


ĐS:


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:


a)


x y x y


x y
x y
3 2
1 2
4
ì +
-- =
ï
í


-ï - =


b) x y


x2 y2


1 1 1


3 2 3


1 1 1


4
9 4
ì
- =
ïï
í
ï - =
ïỵ


c) x y


x 2 y2


1 1 1


1 3



1 1 1


4
( 1)
ì
+ =
ï +
ï
í
ï - =
ï +


d) x y x y


x y


2 2


( ) 4( ) 117 0


25


ì + + + - =


í - =


ỵ e)


x y


x3 y3


1
7


ì - =
í - =


ỵ f)


x y x y


x y


2 2


( )( ) 45


5


ì - - =


í + =


ĐS:


Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) x y



x2 y2 m
6


ì + =


í + =


ỵ b)


x y m
x2 y2 2x 2


ì + =


í - + =


ỵ c)


x y


x2 y2 m


3 2 1


ì - =


í + =






(6)

VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:


a) x xy y


x2 y2 xy x y
11


2( ) 3


ì + + =


í + - - + =


-ỵ b)


x y
x2 xy y2


4


13


ì + =


í + + =


ỵ c)


xy x y


x2 y2 x y


5
8
ì + + =
í + + + =

d)
x y
y x
x y
13
6
6
ì
+ =
ï
í
ï + =


e) x x y y


x y xy


3 3 3 3 17


5


ì + + =



í + + =


ỵ f)


x x y y


x xy y


4 2 2 4


2 2 37481


ìï + + =


í


+ + =


ïỵ


ĐS: a) (2;3),(3;2) b) (1;3),(3;1) c) (1;2),(2;1)
d) 12 8; , ;8 12


5 5 5 5


ỉ ư ổ ử


ỗ ữ ỗ ữ



ố ứ ố ứ e) (1;2),(2;1) f) (4;3),(3;4),( 4; 3),( 3; 4)- -
-Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:


a) x xy y
x y y x2 2


1
6
ì + + =
+ =
-ỵ b)
x y


x x y y


2 2


4 2 25 4 13


ìï + =
í


- + =


ïỵ c)


x y y x


x y



2 2


3 3 3530


ìï + =


í


+ =
ïỵ


d) x y


x y x y


3 3


5 5 12 2


ìï + =
í


+ = +


ïỵ e)


x y xy


x y x y



2 2


4 4 2 27 21


ìï + + =
í


+ + =


ïỵ f)


x y xy


x2 y2 x y


11


3( ) 28


ì + + =


í + + + =




ĐS: a) b) c) (2;3),(3;2)


d) e) f)


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:


a) x xy y


x xy y


2 2 4


2


ì + + =


í + + =


ỵ b)


x xy y
x2 y2 xy


5
13


ì + - =


í + + =


ỵ c)


x xy y


x xy y



2 2 19


7


ì - + =


í + + =
-ỵ


d) x y xy


x2 y2 x y


11


3( ) 28


ì + + =


í + + + =


ỵ e)


x xy y


x xy y


2 2 3


2 2 3



ì + + =


í + + =


-ỵ f)


x y xy
x2 y2 xy


5
7


ì + + =


í + + =




ĐS: a)(1;1) b) c)


d) e) f) (1;2),(2;1)


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a) x xy y


x x y y


2 2



4 2 2 47 21


ìï + + =
í


+ + =


ïỵ b)


x y


x x y y


2 2


4 2 25 4 13


ìï + =
í


- + =


ïỵ c)


x y


x y xy


4 4



2 2 17 3


ìï + =
í


+ + =


ïỵ
d) x y


xy x y


3 3 7


( ) 2


ì + =


í + =


-ỵ e)


x y


x y xy


3 3 19


( )(8 ) 2



ì + =


í + + =


ỵ f)


x y


x y x y


5 5


9 9 14 4


ìï + =
í


+ = +


ïỵ


ĐS: a) b) c)


d) e) f)


Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:


a) x x y y


x x y y



2 2 18


( 1). ( 1) 72


ì + + + =


í + + =


ỵ b)


x x x y


x2 x y


( 2)(2 ) 9


4 6


ì + + =


í + + =


ỵ c)


x y


x2 y2
1
1


2
ì + =
ï
í + =
ïỵ
d)
x
x y
y
x y x


y


3


( ) 2


ì
- + =
ïï
í
=
ïỵ
e)
x
x y
y
x y x


y



9


( ) 20


ì
+ + =
ïï
í +
ï =
ïỵ
f)


x y xy
xy
x y


11


6 6 11


ì + + =
ï


í + + =
ïỵ


ĐS: a)(3; 3),( 3;3),(2;3),(3,2),( 4; 3),( 3; 4),(2; 4),( 4;2)- - - b)


c) d) e) f) (2;3),(3;2)




(7)

a)


x y


xy


x y


x y


2 2


2 2
1


( ) 1 5


1


( ) 1 49


ì ỉ ư


+ + =


ù ỗ ữ


ù ố ứ





ù + + =


ù




b)

(

)



y x x y


x y


x y


2 2


2 2


2 2
( 1) 2 ( 1)


1


1 24


+ = +


ù



+ + =


ù


ố ứ




c)
x y


x y


x y


x y


2 2


2 2


1 1 4


1 1 4


ì


+ + + =
ïï



í


ï + + + =


ïỵ


d)


x y


x y


x y


xy


2 2


2
3


1 1


1


( )(1 ) 6


ì



+ =


ïï + +


í


ï + + =


ïỵ


e) xyx y y xy xy x xy
xy x y


2 2


2 2 6


1 4


ì + + + =


ï


í + + + =


ïỵ f)


xy
xy
x y



xy
1 4


1


( ) 1 5




+ =


ùù




ù + + =


ù




S: a) 7 3 5; 1 , 1;7 3 5


2 2


ử ổ


-



-ỗ ữ ỗ ữ


ố ø è ø b) c) (1;1)


d) e) f)


Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a) xy x y


x y x y


2 2


2 2 4 4


3 ( ) 5


7 ( ) 155


ìï - + =


í


- + =


ïỵ b)


x y y x
x x y y



30
35


ìï + =


í


+ =


ïỵ


c) x y


x y xy


4
4


ìï + =
í


+ - =


ïỵ d)


x y


x y


x y



x y


2 2


2 2


1 1


( ) 5


1 1


( ) 49


ì ỉ ư


+ + =


ï ç ÷


ï è ø


í ư


ï + ç + ÷=


ï è ø







e)


x y


y x xy


x xy y xy


7 1


78


ì


+ = +


ï
í


ï + =




f) x y


x y y x x y



1 1 3


1 1 1 1 6


ìï + + + =
í


+ + + + + + + =


ïỵ


ĐS: a) b) (4;9),(9;4) c)


d) e) f)


Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) x y xy m


x2 y2 3 2m


ì + + =


í + =


-ỵ b)


x y m


x y xy2 2 m2 m
1



2 3


ì + = +


í + =


-ỵ c)


x y m


xy x y m


( 1)( 1) 5


( ) 4


ì + + = +


í + =



(8)

VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại 2
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:


a) x x y


y y x


2



2 33 22


ìï = +
í


= +


ïỵ b)


x y x y


y x y x


2 2


2 22 2 22


ìï - = +


í


- = +


ïỵ c)


x y y


y x x


2 2



2 22 2 55 44


ìï - = +


í


- = +


ïỵ


d) xy x y


xy y x


2


2 8(8( 1)1)


ìï + =


+ =


-ïỵ e)


x x y


y y x



3


3 33 88


ìï = +
í


= +


ïỵ f)


x x y


y y x


3
3 22


ìï = +
í


= +
ïỵ


ĐS: a) b) c)


d) e) f)


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:



a) x x y


y y x


2 2


2 2


2 3 2


2 3 2


ìï - =




- =


-ïỵ b)


x x y


y y x


2


2 22 44


ìï = + +
í



= + +


ïỵ c)


x y y


y x x


2
2


2 4 5


2 4 5


ìï = - +
í


= - +


ïỵ


d) xy x y


xy y x


2
2 11



ìï + =


+ =


-ïỵ e)


x x y


y y x


3
3 22


ìï + =
í


+ =


ïỵ f)


x x y


y y x


3
3
3
4
2


3
4
2
ì
+ = +
ï
í
ï + = +


ĐS: a) b) c)


d) e) (0;0) f)


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:


a)
y
x y
x
x
y x
y
3 4
3 4
ì
- =
ïï
í
ï - =


ïỵ
b)
x y
x
y x
y
2
2
3
2
3
2
ì
+ =
ïï
í
ï + =
ïỵ
c)
x
x
y
y
y
x
2
2
2
2
2

3
2
3
ì +
=
ï
ï
í
+
ï =
ïỵ
d)
x y
y
y x
x
2
2
1
2
1
2
ì
= +
ïï
í
ï = +
ïỵ
e)
x

y x
y
x y
1 3
2
1 3
2
ì + =
ïï
í
ï + =
ïỵ
f)


ĐS: a) b) c) (1;1)


d) e)


Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:


a) x y


y x


2 3 4 4


2 3 4 4


ìï + + - =



í


+ + - =


ïỵ b)


x y


y x


1 7 4


1 7 4


ìï + + - =
í
+ + - =
ïỵ c)
x y
x y
2 2
2 2
ìï + - =
í
- + =
ïỵ


d) x y


y x



6 2 3


6 2 3


ìï + - =
í


+ - =


ïỵ e)


x y


x y


5 2 7


2 5 7


ìï + + - =
í
- + + =
ïỵ f)
2 2
2 2
91 2
91 2
ì + = - +
ï


í
+ = - +
ïỵ


x y y


y x x


S: a) (3;3), 11 11;
9 9


ổ ử


ỗ ữ


ố ø b) (8;8) c)


d) e) f) (3;3)


Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a) x x my


y y mx


2
2 33


ìï = +
í



= +


ïỵ b)


x y m m


y x m m


2 2


2 2


(3 4 ) (3 4 )
(3 4 ) (3 4 )


ìï - =




- =


-ïỵ c)


xy x m y


xy y m x


2


2 (( 1)1)



ìï + =




+ =



(9)

a) x y m y


xy m x


2 2


2 2


ìï + =
í


+ =


ïỵ b)


xy x m y


xy y m x


2


2 (( 1)1)



ìï + =

+ =
-ïỵ c)
m
x y
y
m
y x
x
2
2
2
2
2
2
ì
= +
ïï
í
ï = +
ïỵ


VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:


a) x xy y


x xy y



2 2


2 3 2 1


3 3 13


ìï - + =


- + =


ïỵ b)


x xy y


x xy y


2 2


2 2


2 4 1


3 2 2 7


ìï - + =


+ + =



ïỵ c)


y xy


x xy y


2


2 34 42 1


ìï - =
í


- + =


ïỵ


d) x xy y


x xy y


2 2


2 2


3 5 4 38


5 9 3 15


ìï + - =



í


- - =


ïỵ e)


x xy y


x xy y


2 2


2 24 35 2 95


ìï - + =


í


- + =


ïỵ f)


x xy y


x xy y


2 2


2 2



3 8 4 0


5 7 6 0


ìï - + =


í


- - =


ïỵ


ĐS: a) b) c)


d) e) f)


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:


a) x xy y


x xy y


2 2


2 2


3 2 11


2 3 17



ìï + + =


í


+ + =


ïỵ b)


x xy y


x xy y


2 2


2 2


3 5 5 37


5 9 3 15


ìï + - =


í


- - =


ïỵ c)


x xy y



x xy y


2 2


2 4 22 1


2 4


ìï - + =


í


- + =


ïỵ
d) x xy y


x xy y


2 2


2 3 2 1


2 2 8


ìï - + =


+ + =



ïỵ e)


x xy y


x xy y


2 2


2 2


2 3 2


2 4


ìï + - =


- + =


ïỵ f)


x xy y


y xy x


2 2


2 2



3 5 4 3


9 11 8 13


ìï - - =




+ - =


ïỵ


ĐS: a) b) c)


d) e) f)


Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) x y


xy x y


3 3 7


( ) 2


ì - =


í - =


ỵ b)



y x


x y xy


3 3


2 72


2 3 16


ìï - =
í


+ =


ïỵ c)


x y


x y xy y


3 3


2 2 12 3 2


ìï + =
í


+ + =



ïỵ
d) x xy y


x x y y


3 2 3


3 2 3 1


2 2


ìï - + =
í


- + =


ïỵ e)


x x y xy y


y x y xy


3 2 2 3


3 3 2 2 6


3 2 2


ìï + + + =



í


+ - =


ïỵ f)


x y x y


x y x y


2 2


2 2


( )( ) 13


( )( ) 25


ìï - + =


í


+ - =


ïỵ


ĐS: a) b) c)


d) e) f)



Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:


a) x mxy y m


x m xy my m


2 2


2 ( 1) 2


ìï + + =


í


+ - + =


ïỵ b)


xy y


x xy m


2


2 12 26


ìï - =
í



- = +


ïỵ c)


x xy y m


y xy


2 2


2 34 4


ìï - + =


í


- =



(10)

Vấn đề 1: Phương pháp thế


Từ phương trình đơn giản nhất của hệ hoặc từ phương trình tích tìm cách rút một ẩn theo
ẩn kia, rồi thế vào phương trình cịn lại. Giải phương trình này. Số nghiệm của hệ tuỳ
thuộc số nghiệm của phương trình này.


Một số dạng thường gặp:


·Dng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y).


·Dng 2: Trong hệ có một phương trình có thểđưa về dạng tích của các biểu thức bậc
nhất hai ẩn.



· Dng 3: Trong hệ có một phương trình có thể đưa về dạng phương trình bậc hai của
một ẩn với ẩn còn lại là tham số.


Chú ý:Đơi khi có thể ta phải kết hợp biến đổi cả 2 phương trình của hệđể đưa về một
trong các dạng trên.


Bài 1. Giải hệ phương trình sau: ìï + + =í


+ + + =


ïỵ


x x y


x x y xy x


2


3 5 2 9 2


3 2 6 18


· HPT Û y x x


x x x x+


2


4 94 3 552 18 18 0



ìï =


+ - - =


ïỵ Û


y x x


x
x
x


2


9 5


1
3
1 7


ì =
-ïïé =


íê =
-ïê


ïë = - ±





Û


x y


x y


x y


x y


1; 3
3; 15


1 7; 6 3 7
1 7; 6 3 7


é = =


ê = - =
ê


= - - = +


ê


ê = - + =



Bài tương t:


a) x y xy x y


y x x


2 2


2


2 3 4 9


7 6 2 9


ìï + = +


í


+ = +


ïỵ . Nghiệm


16 1 1 9 3 33


2; , ; , ;3


7 2 7 4


ỉ ư



- - ư ỉ - ử -


ỗ ữ ỗ ữ ố


ố ø è ø .


Bài 2. Giải hệ phương trình sau: x y xy


x x y


2 2


3 1


2


ìï + - =
í


= +
ïỵ


· HPT Û x x x


y x x


6 4 2


3



4 6 3 1 0


2


ìï - + - =


í


=


-ïỵ Û


x
y 11


ì =
í =
.
Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- - .


Bài 3. Giải hệ phương trình sau: x x y x y x


x xy x


4 3 2 2


2 22 6 6 2 9 (1)(2)


ìï + + = +



í


+ = +


ïỵ


· Từ (2), rút xy 6x 6 x2
2


+


-= . Thay vào (1) ta được: x x( +4)3=0 Û é =ê = -xx 04


ë
Nghiệm: 4;17


4


ổ ử




-ỗ ữ


ố ứ.



(11)

Bi 4. Gii hệ phương trình sau: x xy y


y xy



2 2


2 32 5 11 (1)(2)


ìï - + =
í


- =


ïỵ


· Dễ thấy y¹0. Từ (2), rút x y
y


2 5


2




-= .


Thay vào (1) ta được: y y y y


y y


2


2 2



2


5 3 5 11


2 2


-


-- + =


ỗ ÷


è ø Û y y


4+24 2-25 0= Û y= ±1
Nghiệm: (2; 1),( 2;1)- - .


Bài 5. Giải hệ phương trình sau: x y y x y


x y x y


2


2 1 ( ) 4 (1)


( 1)( 2) (2)


ìï + + + =



+ + - =


ùợ


à D thy y ạ 0. HPT Þ

[

4y y y x y x- ( + ) (

]

+ - =2)

[

y- -(3 x)

]

2=0 Û y= -3 x
Nghiệm: (1;2), ( 2;5)- .


Bài 6. Giải hệ phương trình sau: x x y


x y x y


2 2


2 22 1 3 02 0 (1)(2)


ìï + + - =
í


+ - + - =


ïỵ


· (1) Û (x+1)2 =y2 Û é = +ê = - -y xy x11


ë
Nghiệm:


Bài 7. Giải hệ phương trình sau: x xy y



x x y xy


2 2


2 4 2 3 1 30 (1)(2)


ìï + + =


í


+ + =
-ïỵ


· (1) Û (x y x+ )( +3 ) 0y = Û é = -ê = -xx 3yy


ë
Nghiệm: (3; 1)- .


Bài 8. Giải hệ phương trình sau: x xy y x y


x y


2 2


2 2


2 4 2 3 3 2 0 (1)


3 32 5 0 (2)



ìï + + + + - =


í


- + =


ïỵ


· (1)Û2(x y+ )2+3(x y+ - =) 2 0 Û x yx y 12
2


é + =


+ =
ê
ë
Nghiệm:


Bài 9. Giải hệ phương trình sau: x x y x


x xy y


3 2 3


2 3 5 3 1 (1)(2)


ìï + = -





+ + =
ïỵ


· (1) Û x3+3x2+3x+ =1 y3 Û (x+1)3=y3 Û y x= +1
Nghiệm: (1;2),( 2; 1)- - .


Bài 10.Giải hệ phương trình sau:


x xy


x y


x


x y


2


2 4 1 5 (1)


2


3 (2)


2


ì + +


=


-ïï +


í


ï =


-ï +


· (1) Û x


x y


1


2 5


2


+ =


-+ . Thay vào (2) ta được: x x


2


2 +5 - =3 0 Û xx 13 ((yy 2)1)


2 3


é = - =


ê


= =



(12)

Nghiệm: ( 3;2), 1 1;
2 3


ổ ử


- -


ố ứ.


Bài 11.Giải hệ phương trình sau: x y


x xy


2 2


3 2


2( ) 1 (1)


2 6 1 (2)


ìï + =


í


+ =



ùợ


à HPT ị 2 (x x2+y2) 4+ xy2 =1 +x 4xy2=1 Û xy2 1 (1 )x
4


= - (*)


Thay vào (2) ta được: 4x3-3x+ =1 0 Û xx 11
2


é =


=
ê
ë


.
Nghiệm:


Bài 12.Giải hệ phương trình sau: x xy x y


x xy x y


2
2


2 4 2 2 0 (1)



3 6 3 0 (2)


ìï + - - + =


í


+ - + =


ïỵ


· Lấy (2) (1)- ta được: x2+(2y+1)x+4y- =2 0 Û é = -ê = -xx 12y


ë
Nghiệm:


Bài 13.Giải hệ phương trình sau: x y


x y xy x


2 2


2 2(1 ) 23 2 1


ìï + =


í


+ =


-ïỵ



· HPT Û x x y


x y xy x


2 2 2


2 2 32 2 1 (1)(2)


ìï + =


í


+ =


-ïỵ .


Lấy (1) (2)- ta được: x2-xy= -3 3x2 Û xy=4x2-3.
Thay vào (1) ta được: 16x4-23x2+ =7 0 Û x


x
2
2


1
7
16


é =
ê


ê =
ë


.
Nghiệm:


Bài 14.Giải hệ phương trình sau:


x y


x y


y x


x y


2 2


2 2


1 1 2( ) (1)


2


1 1 (2)


2


ì



+ = +


ïï
í


ï - =


-ïỵ


· Lấy (1) (2)± ta được:


x y


x


x y


y


2 2


2 2


2 3


1 3


ì


= +



ïï
í


ï = +


ïỵ


Û x xy


y x y


3 2


3 33 2 1 (4)2 (3)


ìï + =


í


+ =


ïỵ


Lấy (3) 4± ta được: x y
x y


3
3



( ) 3


( ) 1


ìï + =
í


- =


ïỵ Û


x y
x y


33
1


ì + =
í - =

Nghim:


33 1 3 13
;


2 2


+ -


ỗ ÷



è ø.


Bài 15.Giải hệ phương trình sau: x y xy


x y x


2 2


2 4 6 (1)


2 8 3 7 (2)


ìï + + =


í


+ = +
ïỵ


· Lấy (1) (2)+ ta được: 3x2+(4y-7)x y+ 2-3y+ =2 0 Û xx 21 yy
3


é =




-=
ê
ë




(13)

Nghiệm:


Bài 16.Giải hệ phương trình sau: x xy y


x xy x y


2 2


2 2 7 35 9 0 (1)(2)


ìï + + =
í


+ - - + =


ïỵ


· Lấy (1) (2)+ ta được: (2x y+ -3)(x y+ -2) 0= Û é = -ê = -yy 3 22 xx


ë


Nghiệm: (1;1),(2; 1)- .


Bài 17.Giải hệ phương trình sau: x y x


y x y


4 3



4 3


1


2 3 3 (1)


4
1


2 3 3 (2)


4


ì + - = - +
ï


í


ï + =
-ỵ


· Lấy (1) (2)+ ta được: x4 2x3 x y4 2y3 y 1
2


+ - + + =


(x2 x)2 (x2 x) 1 (y2 y)2 (y2 y) 1 0


4 4



+ - + + + + - + + =


Û x x y y


2 2


2 1 2 1 0


2 2


ỉ ư ỉ ử


+ - + + - =


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ è ø Û


x
y


1 3


2


1 3


2


ì


-=
ïï
í


- +
ï =
ïỵ
Nghiệm: 1 3 1; 3


2 2


- - - +


ỗ ữ


ố ø.


Bài 18.Giải hệ phương trình sau:


x xy z


y yz x


z xz y


2 2


2 2


2 2



4 4 12 0 (1)


4 12 0 (2)


16 8 4 0 (3)


ì - + + =


ï


í - + - =


ï - + =




· Lấy (1) (2) (3)+ + ta được: (x-2 )y 2+(4z x- )2+ -(y 2 )z 2=0 Û xx yz


y z


2
4
2


ì =
ù =

ù =


Thay vo HPT ta c: z2 =1 z= ±1.


Nghiệm: (4;2;1),( 4; 2; 1)- - - .


Bài 19.Giải hệ phương trình sau: x y


x y x y


3 3


2 235 (1)


2 3 4 9 (2)


ìï - =
í


+ =


-ïỵ


· Lấy (1) 3 (2)- ´ , ta được (x-2)3= +(3 y)3 Þ x y= +5.
Nghiệm: (3; 2),(2; 3)- - .


Bài 20.Giải hệ phương trình sau: x y


x y x y


3 3



2 2 2 9 4 (1)(2)


ìï + =
í


+ = +


ïỵ


· Lấy (1) 3 (2)- ´ , ta được (x-1)3 =(2-y)3 Þ x= -3 y.
Nghiệm: (2;1),(1;2).


Bài 21.Giải hệ phương trình sau: x y


x y x y


3 3


2 291 (1)


4 3 16 9 (2)


ìï + =
í


+ = +


ïỵ



(14)

Bài 22.Giải hệ phương trình sau: xy x y



x2 y2 x y


3 2 16 (1)


2 4 33 (2)


ì - - =


í + - - =




· Lấy 2 (1) (2)´ + , ta được (x y+ )2-8(x y+ -) 65 0= Û (x y+ +5)(x y+ -13) 0=
Û é + + =ê + - =x yx y 13 05 0


ë
Nghiệm:


Bài 23.Giải hệ phương trình sau: xy x y


x2 y2 x y


2 3 4 6 (1)


4 4 12 3 (2)


ì + + =


+ + + =





· Lấy 2 (1) (2)´ + , ta được (x+2 )y 2+10(x+2 ) 9 0y + = Û é +ê + = -xx 22yy= -19


ë
Nghiệm:


Bài 24.Giải hệ phương trình sau: x xy y y


x xy y x y


2 2


2 2 2 23 114 06 2 0 (1)(2)


ìï + - + + =
í


+ - + + - =


ïỵ


· Lấy 2 (1) (2)´ - , ta được x2-11x+10 0= Û é =ê =xx 110


ë


Nghiệm:


Bài 25.Giải hệ phương trình sau: x y



x x y x


2 2


2


1 (1)


5
57


4 3 (3 1) (2)


25


ì


+ =


ï
í


ï + - = - +




· Lấy (1) 25 (2) 50´ + ´ , ta được 25(3x y+ )2+50(3x y+ -) 119 0= Û x y


x y


7
3


5
17
3


5


é


+ =
ê


ê


ê + =


Nghiệm: 2 1; , 11 2;
5 5 25 25


ổ ử ổ ử


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ.


Bi 26.Gii h phng trình sau: x xy



x xy y y x


3 2


2 38 2498 17 (1)(2)


ìï + =


- + =


-ïỵ


· Lấy (1) 3 (2)+ ´ ta được: (x+1) (éë x+1)2+3(y-4)2ûù=0 Û é = -ê = -xx 11,y=4


ë


Nghiệm: ( 1;4),( 1; 4)- - - .


Bài 27.Giải hệ phương trình sau: x y y


x y xy x y


2 3


2 2


6 2 35 0 (1)


5 5 2 5 13 0 (2)



ìï + + =


í


+ + + + =


ïỵ


· Lấy (1) 3 (2)+ ´ ta được: y x y


2 2


1 5


(2 5) 3 0


2 2




ờ ỳ


+ + + + =


ờ ố ứ ố ứ ỳ


ở û Û


y



x y


5
2


1, 5


2 2


é
=

ê


ê = - =


Nghiệm: 1; 5 , 1; 5


2 2 2 2


æ - ử ổ- -


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ø.


Bài 28.Giải hệ phương trình sau: x xy y x



y xy y


2 2


2 2 32 1 03 0 (1)(2)


ìï + + + =


í


+ + + =



(15)

· Lấy (1) 2 (2)+ ´ ta được: (x+2 )y 2+3(x+2 ) 2 0y + = Û é +ê + + =xx 22yy+ =1 02 0


ë


Nghiệm: ( 3 2 2;1- - + 2),( 3 2 2;1- + - 2), 3 5;1 5 , 3 5;1 5


2 2


æ - ử ổ +


- +


-ỗ ữ ỗ ữ


ố ø è ø.


Bài 29.Giải hệ phương trình sau: x y



x y x y x y


4 4


3 2 3 2403( 2 4 ) 4(2 8 ) (1)(2)


ìï - =
í


- = - -


-ïỵ


· Lấy (1) 8 (2)- ´ ta được: (x-2)2=(y-4)4 Û é = -ê = -x yx 6 y2


ë .


Nghiệm: (4;2),( 4; 2)- - .


Bài 30.Giải hệ phương trình sau: x y


y x y y x


2


4 34(2 93) 2 48 48 155 0 (1)(2)


ìï + =
í



+ - - - + =


ïỵ


· Lấy 16 (1) (2)´ + ta được: ëéy2+2(2x-3)ûù2 =25
Nghiệm:


Bài 31.Giải hệ phương trình sau: x x y


y xy


3 2


3 2


2 3 5 (1)


6 7 (2)


ìï + =


í


+ =


ïỵ


· Lấy 4 (1) (2)´ + ta được: 8x3+12x y2 +6xy2+y3=27 Û (2x y+ )3 =27Û 2x y+ =3
Nghiệm: (1;1), 5 105 7; 105 , 5 105 7; 105



8 4 8 4


- + ử ổ + -


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ .


Bi 32.Gii h phương trình sau: x y


x y x y


3 3


2 2 2 9 4 0 (2)(1)


ìï - =
í


+ - + =


ïỵ


· Lấy (1) 3 (2)- ´ ta được: (x-1)3=(y+2)3 Û x y= +3.
Nghiệm: (2; 1),(1; 2)- - .


Bài 33.Giải hệ phương trình sau: x y xy
x y


3 3



2 2


3( ) 4 (1)


9 (2)


ìï - =


í
=
ïỵ


· Từ (2): x y2 2= Û9 xy= ±3.


· Khi: xy=3, ta có: x3-y3=4 và x3.

( )

-y3 = -27


Suy ra: x3;(-y3) là các nghiệm của phương trình: X2-4X-27 0= Û X= ±2 31
Vậy nghiệm của Hệ PT là x=32+ 31,y= -32- 31


hoặc x=32- 31,y= -32+ 31 .
· Khi: xy= -3, ta có: x3-y3= -4 và x3.

( )

-y3 =27


Suy ra: x3;(-y3) là nghiệm của phương trình: X2+4X+27 0= (PTVN)
Bài 34.Giải hệ phương trình sau: x x y y


y x3


1 1 (1)



2 1 (2)


ì


=


í


ï = +




(A - 2003)


·Điều kiện: xy ¹ 0. Ta có: (1) Û x y x yxy
xy


1


( - ) 1ổ + ử= 0 ộ = 1


=



(16)

Trường hợp 1:


x y


x y x y x y



x x x x x


x y


3 2


1


1 5


2


2 1 ( 1)( 1) 0


1 5


2


é = =
ê


ì = Ûì = Ûê = = - +


í = + í - + - = ê


ỵ ỵ


ê



-= -=
ê


ë


Trường hợp 2: xy y x y x


y x x x x VN


x


3 3


4


1 1


1


2


2 1 1 2 0 ( )


ì ì


=


ì = - Ûï Ûï =



= + í í


ỵ ï- = + ï + + =


ïỵ


Nghiệm (1;1), 1 5 1; 5 , 1 5 1; 5;


2 2 2 2


- - - - ư ỉ- + - +


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ.


Bi 35.Giải hệ phương trình sau: x y x y x x


xy x x


2 2


2


( 1)( 1) 3 4 1 (1)


1 (2)


ìï + + + = - +



í


+ + =
ïỵ


· Dễ thấy x=0 không thoả mãn (2) nên (2) Û y x
x


2 1


1


-+ = , thay vào (1) ta c:


x x


x x x x


x x


2 2


2. -1+ -1ư÷=3 2-4 +1


è ø Û x x x x


3 2


( -1)(2 +2 -4 ) 0= Û x=1;x= -2.



Þ Hệ cú nghim: (1; 1), 2; 5
2


ổ ử


- ỗ- - ữ.


Bài 36.Giải hệ phương trình sau: y x x


y x xy x y


2


2 5(52 4)(44 16) 8 16 0 (1)(2)


ìï = +




- - + - + =


ïỵ


· Từ (1) Þ y2= -5x2+16x+16.


Thay vào (2) ta được: 2y2-4xy-8y=0 Û é =ê = +yy 20x 4


ë


· Với y = 0 Þ -5x2+16x+16 0= Û x


x


4
5
4


é
=

ê =
ë


· Với y=2x+4 Þ (2x+4)2 = -5x2+16x+16Û x = 0 Þ y = 4.
Kết luận: Nghiệm (x; y): (0;4), (4;0), 4;0


5


æ ử




-ỗ ữ


ố ứ.
Bi 37.Gii h phng trỡnh sau: xy x y


x y2 2 xy y2


7 1 (1)



13 1 (2)


ì + - =


+ - =


-ỵ


· Từ (1) Þ xy+ =1 7y x- . Thay vào (2) ta được: x2-15xy+36y2=0 Û é =ê =xx 123yy


ë
Nghiệm: (3;1), 1;1


3


ổ ử
ỗ ữ
ố ứ.


Bi 38.Gii h phng trỡnh sau: xy x y
x y2 2 y2


7 1 (1)


10 1 (2)


ỡ = + +


=



-ợ


à T (1) ị x y
y
7 1


1


+
=


- . Thay vào (2) ta được:


y y y


y
2


2 2


7 1 10 1


1


ổ + ử


=


-ỗ - ÷




(17)

Û 39y4+34y3-8y2-2y+ =1 0 Û yy 1 (1 ( 1)xx 3)


3


é = - =
ê


= - =
ê


ë
Nghiệm: (3; 1), 1; 1


3


ổ ử


- -
ố ứ.


Bi 39.Gii hệ phương trình sau: y xy


x y x y


2


2 2 1 02 2 1 0 (1)(2)


ìï - + =
í



+ + + + =


ïỵ


· Từ (1) Û y2+ =1 xy. Thay vào (2) ta được: (x+2)(x y+ ) 0= Û é = -ê = -xx 2y


ë
Nghiệm: ( 2; 1)- - .


Bài 40.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y x y


4 2 2


2 4 2 2 22 06 9 0 (1)(2)


ìï - + - + =


í


+ + - =


ùợ


à T (2) ị y x
x


2


2
22


2



-=


+ . Thay vào (1) ta được:


x


x x


x


2
2


4 2


2
22


4 3 0


2


æ -



- +ỗ - ữ =
+


ố ứ


x
x x


x


2 2


2 2


2 2


16( 4)


( 4) 0


( 2)




-- + =


+


Û (x2-4)(x6+4x4+20x2-64) 0= Û



x y


x y


x y


x y


2 ( 3)


2 ( 3)


2 ( 5)


2 ( 5)


é = - =


ê = =


ê


= - =


ê


ê = =


ë



Bài 41.Giải hệ phương trình sau: x y xy y


x xy y x y


2 2


3 2 2 22 2 (1)


2 3 2 3 (2)


ìï + = +


í


+ = +


ïỵ


· Vi y=0 x=0 l nghim ca h.


Vi yạ0, nhân (1) với -y rồi cộng với (2), ta được:
2x3-4x y2 +4xy2-2y3=0 Û x y=
Nghiệm: (1;1),(0;0).


Bài 42.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y


2 2



2 2


( 1) 6( 1) 4 20 (1)


(2 1) 2 (2)


ìï - + - + =


í


+ + =


ïỵ


· HPT Û


x
y


x


x2 y2 y


9
3 5


4 1 4


ì +



=
ï





ï + =


-ỵ


.
Nghiệm: ( 1; 1)- - .


Bài 43.Giải hệ phương trình sau:


x y


x


x y


y x


y


x y


2 2


2 2



3 3 (1)


3 0 (2)


ì + + =


ïï +


í


-ù - =


ù +




à + Vi x=0 y=1 (0;1) là 1 nghiệm của HPT.
+ Với y=0 không thoả HPT.


+ Với x¹0,y¹0 ta có: (1) Û xy xy y y


x y


2


2 2


3 3



+


+ =



(18)

(2) Û xy xy x


x y


2


2 2


3 0




-- =


+ (4)


Lấy (3) (4)+ ta được: 2xy+ =3 3y x y
y


3 1


2


ổ - ử


= ỗ ữ



ố ø


Nghiệm:


Bài 44.Giải hệ phương trình sau: x xy y x


x x y y


6 4


3 2


1


8 3 (1)


2


4 (2)


ì


- =



í


ï - =





· (1) Û y x x
x


6 2


8 3


2


+
=


+ ; (2) Û


x
y


x
3
2


4 1


=
+
Từđó: x x x


x x



6 2 3


2


8 3


2 4 1


+
=


+ + Þ x x x x x


3(64 6+16 4+23 2-2 +6) 0= Þ x=0(y=0)
Nghiệm: (0;0).


Bài 45.Giải hệ phương trình sau:


x x y
x y


x
2


2


( 1) 3 0


5



( ) 1 0


ì + + - =
ï


í + - + =


ïỵ (D – 2009)


· Vì x ¹ 0 nên HPT Û


x y
x
x y


x
2


2
3 1
5


( ) 1 0


ì


+ =
-ïï



í


ï + - + =


ïỵ


Û x y x


x
x2


3 1
4 6 2 0


ì


+ =
-ïï


í


ï - + =
ïỵ




Û x x


x y x y



1 1


1 1 2


1
2


2


ì


ì ï =


ï = Ú ï


í í


ï + = ï + =


ùợ


. Nghim: (1;1), 2; 3
2


ổ ử




-ỗ ữ



ố ứ.


Bài 46.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y


3 3


2 2


8 2


3 3( 1)


ì - = +
ï


í


- = +


ïỵ (DB A – 2006)


· Hệ PT Û x y x y


x y


3 3


2 2



3( ) 6(4 ) (1)


3 6 (2)


ìï - = +


í


- =


ïỵ .


Thế (2) vào (1) ta được: 3(x3-y3) (= x2-3 )(4y2 x y+ ) Û x3+x y2 -12xy2 =0


Û


x


x y


x y


0
3
4


é =
ê =
ê =




.


Nghiệm (x; y): (3;1), ( 3; 1), 4. 6 ; 6 , 4. 6 ; 6


13 13 13 13


ổ ử ổ ử


- - ỗ- ữ ỗ - ÷


è ø è ø.


Bài 47.Giải hệ phương trình sau: x y
xy x y


3 3 7


( ) 2


ì - =


í - =




· Hệ PT Û x y
xy x y



3 3


2( ) 14 (1)


( ) 2 (2)


ì - =


í - =



(19)

Thay (2) vào (1) ta được: (x y- )(2x2-5xy+2 ) 0y2 = Û x yx y
y 22x


é =
ê =
ê =
ë


.
Nghiệm: (2;1),( 1; 2)- - .


Bài 48.Giải hệ phương trình sau: x y x y xy


x xy y


3 3


2 2


2 9 ( )(2 3) (1)



3 (2)


ìï - = - +


í


- + =


ïỵ


· Thay (2) vào (1) ta được: 2x3-9y3=x3-y3 Û x=2y
Nghiệm: (2;1),( 2; 1)- - .


Bài 49.Giải hệ phương trình sau: x y y x


y x


3 3


24 162 (1)


1 5(1 ) (2)


ìï + = +
í


+ = +


ïỵ



· Từ (2) suy ra y2–5x2 =4 (3). Thế vào (1) được:


(

y

)



x3+ 2–5x y y2 . = 3+16x Û x3–5x y2 –16 x=0 x


x2 xy
0


5 16 0


é =


ê - - =


ë


· Với x=0 Þ y2 =4 Û y= ±2.
· Với x2–5 –16 0xy = Û y x


x


2 16


5




-= (4). Thế vào (3) được:



x x


x
2
2


2


16 5 4


5


-


- =


ỗ ữ


ố ứ x432x2+256 –125x4=100x2


Û124 x4+132 –256 0x2 = Û x2 =1Û x y
x 1 (1 (y 3)3)
é


êë == - = -= .


Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)


Bài 50.Giải hệ phương trình sau: x y x y x x y



x x y


2


(2 )( ) (2 1) 7 2 (1)


(4 1) 7 3 (2)


ì + + + + =


+ =


-ỵ


· Thế 7 4= x2+ +x 3y ở (2) vào (1) ta được: (2x2+y x y)( + ) 2= x2+y Û y x


y x


2
2
1


é =
ê =

Nghiệm: 1 17 3; 17 , 1 17 3; 17


4 4 4 4



- + ử ổ + -


ỗ ữ ç ÷


è ø è ø.


Bài 51.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y x


x y y x


3 2 2


2 7 2 ( ) 7 4 (1)


3 8 4 8 (2)


ìï + = + + + +


í


+ + + =


ïỵ


· Ta có: (2) Û 4 8= x-3x2-y2-8y.


Thay vào (1) ta được: (x y x- )( 2+2x-15) 0= Û x yx
x 35


é =


ê =
ê =


.
Nghiệm: (3; 1),(3; 7)- - .


Bài 52.Giải hệ phương trình sau: x y xy


x y x y


3 3 2


4 4 1 (1)


4 4 0 (2)


ìï + - =
í


+ - - =


ïỵ



(20)

Û xy y(3 2-4xy x+ 2) 0= Û


x
y
x y



x y


0
0
3


é =
ê =
ê =


=
ờở


.


Nghim: (0;1),(1;0),(1;1), 33 ;31
25 25


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ.


Bi 53.Giải hệ phương trình sau: y x


2x y y x


2 2



3 3


2 1 (1)


2 (2)


ìï - =
í


- =


-ïỵ


· Thay (1) vào (2) ta được:
x3 y3 y x y2 x2


2 - =(2 - )(2 - ) Û x3+2x y2 +2xy2-5y3=0 (3)
Dễ thấy y¹0. Đặt t x


y


= , ta có (3) Û t3+2t2+ - =2 5 0t Û t=1 Þ x y= .
Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- - .


Bài 54.Giải hệ phương trình sau: x y


x y xy y


3 3



2 2 12 3 2 (2)(1)


ìï + =
í


+ + =


ïỵ


· Thay (1) vào (2) ta được:


x y2 +2xy2+y3=2(x3+y3) Û 2x3-x y2 -2xy2+y3=0 (3)
Dễ thấy y¹0. Đặt t x


y


= , ta có (3) Û 2t3- - + =t2 2 1 0t Û tt
t


1
1
1
2


é =
ê =

ê =
ë



Þ x yx y
x y
2


é =
ê =
=
ë


.


Nghiệm: 31 ;31 , 31 ;32
9 9
2 2


ổ ử ổ ử


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ.


Bi 55.Gii h phng trình sau: x y xy x y


x y xy


3 3


5 5 2 (30 32) 6



ìï + + + =


í


+ + =


ïỵ


· HPT Û x y xy x y


x y xy


3 3


5 5 2 (6.5 32) 6 (1)(2)


ìï + + + =


í


+ + =


ïỵ . Thay (1) vào (2) ta được:


x5+y5+5éëx3+y3+2 (xy x y xy+ )ùû =32 Û(x y+ )5 =32 Û x y+ =2
Nghiệm:


Bài 56.Giải hệ phương trình sau: x x y
x3 y3 y



( ) 6


18 27


ì + =


í + + =




· HPT Û x x y


x3 y3 y


( ) 6 (1)


6.3 27 (2)


ì + =


í + + =


. Thay (1) vào (2) ta được:


x3+y3+3 (xy x y+ ) 27= Û(x y+ )3=27 Û x y+ =3
Nghiệm:


Bài 57.Giải hệ phương trình sau: x y


x y xy x y



2 2


3 3 2 2 2 (1)(2)


ìï + =
í


+ + = +


ïỵ



(21)

Bài 58.Giải hệ phương trình sau: x xy y


y x


3 2


2 2 2 12 0 (1)


8 12 (2)


ìï + + =


í


+ =


ïỵ



· Thay (2) vào (1) ta được: x3+2xy2+(8y2+x y2) =0 Û x3+x y2 +2xy2+8y3=0 (3)
Dễ thấy y=0 không thoả HPT.


Với y¹0, đặt t x
y


= ta được: (3) Û t3+ + + =t2 2 8 0t Û t= -2 Þ x= -2y
Nghiệm: (2; 1),( 2;1)- - .


Bài 59.Giải hệ phương trình sau: x y
xy x


2 2


2


2 1 (1)


2 (2)


ìï - =
í


+ =


ïỵ


· Thay (1) vào (2) ta được: xy x+ 2 =2(2x2-y2) Û 3x2-2y2-xy=0 (3)
Dễ thấy x=0 khơng thoả HPT.



Với x¹0, đặt t y
x


= ta được: (3) Û 2t2+ - =t 3 0 Û tt 1 3
2


é =
ê


=

ë


Þ y xy 3x
2


é =
ê


=

ë
Nghiệm: ( 1; 1),(1;1)- - .


Bài 60.Giải hệ phương trình sau:


x y


xy



x y


xy
2


2 2


1


( ) 1 6 (1)


1


( ) 1 18 (2)


ỡ ổ ử


+ + =


ù ỗ ữ


ù ố ứ




ổ ử


ù + + =


ỗ ữ



ù




à Bỡnh phương (1) rồi chia vế theo vế, được x y


x y


2


2 2


( + ) =2


+ Û x y xy


2+ 2-2 =0 Û x y=


Nghiệm:


Bài 61.Giải hệ phương trình sau:


xy x y x y


x y


xy
2



2 2


(2 6) 2 0


1


( ) 1 8


ì + - + + =


ï


ỉ ử


+ + =


ỗ ữ


ù




Ãiu kin: xyạ0. HPT Û x y xy xy
x2 y2 xy 2 x y2 2


(2 )( 1) 6 (1)


( )(1 ) 8 (2)


ì + + =



í + + =




Bình phương (1) rồi chia vế theo vế, được x y


x y


2


2 2


(2 ) 9


2


+ =


+ Û


x y


x y7


é =
ê =


ë .



Nghiệm:


Bài 62.Giải hệ phương trình sau: x y


x y xy x y


4 2


2 2


698 (1)


81


3 4 4 0 (2)


ì


+ =
ï


í


ï + + - - + =




· Ta có: (2) Û x2+ -(y 3)x+ -(y 2)2=0.
Để PT này có nghiệm đối với x thì ta phải có:
D=(y-3)2-4(y-2)2³0 Û1 y 7



3


£ £ (3)
Mặt khác (2) Û y2+(x-4)y x+ 2-3x+ =4 0.



(22)

D=(x-4)2-4(x2-3x+4) 0³ Û 0 x 4
3


£ £ (4)


Từ (3) và (4) ta có: x4 y2 256 49 697 698


81 9 81 81


+ £ + = < Þ khơng thoả (1)
Vậy: HPT đã cho vơ nghiệm.


Bài 63.Giải hệ phương trình sau: xy y


xy x


2
2
4 8
2


ìï =



= +
ïỵ


· Nếu xy ³ 4 thì HPT Û xy y


xy x


2
2
4 8 (1)


2 (2)


ỡù =
-ớ


= +
ùợ


T (2) ị x ạ 0, x2 ³2 và y x
x


2
2+


=


Thay vào (1) ta được: x x
x



2
2


2 2


2+ - = - ç4 8 ỉ + ư÷


è ø Û x x


2 2


( -2)( - =1) 0 Û x= ± 2
Þ Hệ có nghiệm (x; y) là:

(

2; 8 ,

) (

- 2;- 8

)



· Nếu xy < 4 thì x2<2.


HPT Û xy y


xy x


2
2


4 8


2


ỡù =
-ớ



= +


ùợ


x
x


x
2
2


2 2


4 2- - = - ỗ8 ổ + ửữ


ố ứ x


2


2(2- ) 0= Û x2 =2 (loại)
Kết luận: Nghiệm (x; y) của hệ:

(

2; 8 ,

) (

- 2;- 8

)



Bài 64.Giải hệ phương trình sau: x x x y y y


x y 5 8 (1)(2)


ì - = +


í - =



·Điều kiện ì >í >xy 00


. (1) Û x x

(

- =1

)

y y( +8) Û x x y y


2 2


( -1) = ( +8) (3)
Thay (2) vào (3) ta được: 3y2+8y-80 0= Û y=4 (x=9) (vì y > 0)


Nghiệm: (9;4).


Bài 65.Giải hệ phương trình sau: x x y y x y


x 3y 6 8 2


ì - = +


í


- =


·Điều kiện: ì >í >xy 00


. HPT Û

(

) (

)



x x y y x y


x y



3 6 4 (1)


3 6 (2)


ìï - = +


í


- =
ïỵ


Thay (2) vào (1) ta được: 3

(

x x y y-

)

=(x-3 ) 4y

(

x + y

)



Û x

(

x -3 y

)(

x+4 y

)

=0 Û x =3 y.
Nghiệm: (9;1).


Bài 66.Giải hệ phương trình sau: x x y y xy


x y


2
2


ìï + =


í


+ =



ïỵ


·Điều kiện: x
y 00


ì ³
í ³


. HPT Û


x y xy x y xy


x y


3


( ) 3 ( ) 2


2


ìï + - + =


í


+ =


ïỵ Û


xy



x y


1
2


ìï =
í


+ =



(23)

Bài 67.Giải hệ phương trình sau: x y xy


x y


2 2 2 8 2 (1)


4 (2)


ìï + + =


í


+ =


ïỵ


· (1) Û 2x2+2y2 =16 2- xy Û 2x2+2y2 =

(

x+ y

)

2-2 xy


Û 2x2+2y2 = +x y Û 2x2+2y2=(x y+ )2 Û (x y- )2=0 Û x y=
Nghiệm: (4;4).



Bài 68.Giải hệ phương trình sau:


2 2


2 2


1 1 18 (1)


1 1 2 (2)


ì + + + + + + + + + =


ï
í


+ + + - + + + + - =


ïỵ


x x y x y x y y


x x y x y x y y


· Lấy (1) (2)- ta được: x y+ =8
Nghiệm: (4;4).


Bài 69.Giải hệ phương trình sau:


2 2



2 2


3 (1)


1 1 4 (2)


ì + - =


ï
í


+ + + =


ïỵ


x y xy


x y


· (2) Û x2+y2+2 (x2+1).(y2+ =1) 14Ûxy+2 ( )xy 2+xy+ =4 11 (3)


Đặt xy = p. p p p p p


p


p p


2



2


3
11


(3) 2 4 11 35


3 26 105 0


3


é =


ì £ ê


Û + + = - Ûí + - = Ûê =


-ỵ ë


(1) Û

(

x y+

)

2 =3xy+3 · p = xy = 35
3


- (loại) · p = xy = 3 Þ x y+ = ±2 3
1/ Với xy x y


x y


3 3


2 3



ỡ = ị = =


+ =


2/ Với


xy x y


x y


3 3


2 3


ì = Þ = =


+ =
-ỵ


Vậy hệ có hai nghiệm là:

(

3; 3 ,

) (

- 3;- 3

)



Bài 70.Giải hệ phương trình sau: x y x y


x y


3


2 2 3 2 (1)



6 1 4 (2)


ìï + = -




+ + - =


ïỵ


·Đặt t= 2x y t+ , ( ³0). (1) Û t2+ - =2 3 0t Û t=1 Û 2x y+ =1.
Thay vào (2) ta được: 3 x+ +6 2x =4 (4). Đặt u x v


v x


3


6 ( 0)
2


ìï = + ³


í
=


ïỵ .


Khi đó: u v
u3 v2



4
(4)


2 12


ì + =


Û í - =




u
v 22


ỡ =
ớ =




x
y 23


ỡ =
ớ =


-ỵ .


Nghiệm: (2; 3)- .


Bài 71.Giải hệ phương trình sau:



x x y y


y


x x y x y


6 2 3 3 (1)


2 3 3 6 3 4 (2)


ì


- = - +


ù


ù + - = +


-ợ


Ãiu kin yạ0. Đặt t x y
y
3


-= .


Ta có: (1) Û x y x y
y


y2


3
3


2. - - - - =3 0Û 2t2- - =t 3 0 Û tt 31
2


é =


=
ê
ë


Þ x y y


x y y


3


3
3


2


é =


ê - =




(24)

+ Với 3x y- = -y Þ y£0. Thay vào (2) ta được: x y y


y x y


2
3


2 6 3 4


ì - =


í = +


-ỵ Û


x
y 44


ì =
í =

+ Với 3x y 3y


2


- = Þ y³0. Thay vào (2) ta được: x y y


x y x y



2
9
3


4


2 6 3 6 3 4


ì - =
ï


í


ï + = +


-ỵ




Û x y 8


9


= =
Nghiệm: (4;4), 8 8;


9 9


æ ử



ỗ ữ


ố ứ.


Bi 72.Gii h phng trỡnh sau: x y xy x y xy


x y


2 2


2 2


8 18 36 5(2 3 ) 6 0 (1)


2 3 30 (2)


ìï + + - + =


í


+ =


ïỵ


·Điều kiện: xy³0. Dễ thấy x¹0,y¹0. (1) Û x y x y


xy xy


2



2 3 2 3


2 5 2 0


6 6


ỉ + ư - + + =


ỗ ữ


ỗ ữ


ố ứ (3)


t t x y


xy
2 3


6


+


= . (3) Û 2t2- + =5 2 0t Û tt 21
2


é =
ê


=


ê
ë
+ Với t=2 Þ x y


xy


2 3 2


6


+


= Þ 2x=3y. Thay vào (2) ta được: x=3 Þ y=2.
+ Với t 1


2


= Þ x y


xy


2 3 1


2
6


+ = Þ


vơ nghiệm
Nghiệm: (3;2).



Bài 73.Giải hệ phương trình sau: x x y xy y


x y x y


3 6 2 9 2 4 3 0 (1)


2 (2)


ìï - + - =


í


- + + =


ïỵ


· Ta có: (1) Û (x y x- ) (2 -4 ) 0y = Û x y
x 4y


é =
ê =
ë
+ Với x = y: (2) Þ x = y = 2


+ Với x = 4y: (2) Þ x=32 8 15;- y= -8 2 15


Bài 74.Giải hệ phương trình sau: xy x y x y


x y y x x y



2 2 2 (1)


2 1 2 2 (2)


ìï + + =


- - =


-ïỵ


·Điều kiện: ì ³í ³xy 10


. Ta có: (1) Û x y y x y


2 2


( + )( + =1) - Û (x y+ )(2y x- + =1) 0


Û 2y x- + =1 0


Thay vào (2) ta được: (y+1) 2y =2y+2 Û y=2 (vì y³0) Þ x=5.
Nghiệm: (2;5).


Bài 75.Giải hệ phương trình sau: x y xy


x y


2 0 (1)



1 4 1 2 (2)


ìï - - =
í


- + - =


ïỵ


·Điều kiện: x
y


1
1
4


ì ³
ï
í ³



(25)

Thay vào (2) ta được: 4y- =1 1Û y 1
2


= x=2.
Nghim: 2;1


2


ổ ử


ỗ ữ
ố ứ.


Bi tương t:


a) x y xy


x y


2 0


1 2 1 1


ìï - - =
í


- - - =


ïỵ . Nghiệm:


1 5


2; , 10;


2 2


ổ ử ổ ử


ỗ ữ ỗ ữ



ố ø è ø.


Bài 76.Giải hệ phương trình sau:


xy


x y


x y


x y x y


2 2


2


2 1 (1)


(2)


ì


+ + =


ï +


í


ï + =



-ỵ


·Điều kiện: x y+ >0.
(1) Û x y xy


x y


2 1


( + ) 1 2- - ổ1- ử=0


+


ố ứ x y x y x y


2 2


( + -1)( + + + ) 0= Û x y+ - =1 0
(vì x y+ >0 nên x2+y2+ + >x y 0)


Thay x= -1 y vào (2) ta được: 1=x2- -(1 x) Û x2+ - =x 2 0 Û x y
x 1 (2 (y 0)3)


é = =


ê = - =
ë


Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).



Bài 77.Giải hệ phương trình sau:

(

)



2


3 2 (1)


2 8 (2)


ì - =


ï
í


- =
ïỵ


x y xy
x y


·Điều kiện : x y. ³0 ;x y³


Ta có: (1) Û 3(x y- )2=4xy Û (3x y x- )( -3 ) 0y = x 3y hay x y
3


Û = =


· Với x=3y, thế vào (2) ta được : y2-6y+ = Û =8 0 y 2 ;y=4
ị H cú nghim yx=26; ỡyx=124


= =



ợ ợ


à Với x y
3


= , thế vào (2) ta được : 3y2-2y+24 0= Vô nghiệm.
Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: x x


y 26; y 124


ì = ì =
í = í =


ỵ ỵ


Bài 78.Giải hệ phương trình sau: xy x y x y


x y y x x y


2 2 2 (1)


2 1 2 2 (2)


ìï + + =


- - =


-ïỵ



· Điều kiện x ³ 1, y ³ 0 Þ x + y > 0.


(1) Û (x y x+ )( -2y- =1) 0 Û x=2y+1 (3)


Thay (3) vào (2) ta được: (2y+1) 2y y- 2y =2(2y+ -1) 2y
Û (y+1) 2

(

y-2

)

=0 Û y = 2 Þ x = 5


Nghiệm: (5;2).


Bài 79.Giải hệ phương trình sau:


xy


x y


x y


x y x y x


2 2


3


8 16 (1)


3 3 2 1 (2)


ì



+ + =


ï +


í


ï + - + + =


-ỵ



(26)

Từ (1) Û x y xy


x y


2 4


( + ) 16 2- - ổ1- ử=0


+


ố ứ x y x y x y


2 2


( + -4)éë + +4( + )ùû=0
Û x y+ - =4 0 Û x y+ =4


Thay vào (2) ta được: 32x+ = -7 3 2x Û 2x3-9x2+14x- =5 0 x 1 y 7


2 2



ổ ử


= =


ố ứ


Nghim: 1 7;
2 2


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ.


Bi 80.Giải hệ phương trình sau: x y x y


x y x y


3 (1)


2 (2)


ì - =



í


+ = + +



ïỵ (B - 2002)


·Điều kiện: ì - ³í + ³x yx y 0 (3)0


. (1) Û

(

)



x y


x y x y x y


3 1 6 0


1


é =


- - - = Û ê = +


ë .


Thay vào (2) ta được: x y


x y


1
3, 1


2 2



é = =
ê


= =


ê
ë


.
Nghiệm: (1;1), 3 1;


2 2


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ.


Bi 81.Gii h phng trỡnh sau: xy x y x y


x y y x x y


2 2 2 (1)


2 1 2 2 (2)


ìï + + =



- - =


-ïỵ


·Điều kiện: x³1,y³0. (1) Û (x y x+ )( -2y- =1) 0 Û x-2y- =1 0 Û x=2y+1.
Thay vào (2) ta được: (y+1)( 2y-2) 0= Û 2y- =2 0 Û y=2 Þ x=5.


Nghiệm: (5;2).


Bài 82.Giải hệ phương trình sau: yx xy
x y xy


2 2 3


3


ì


ï + =


í


ï - + =


·Điều kiện: ì >í >xy 00


. HPT Û


x y



y x


x y xy


2 2 5


3


ì + =


ï
í


ï - + =


Û ì -í - + =(x y xyx 2 )(2y x y-3 ) 0=



Nghiệm: (2;1),( 1; 2), 3; 3 , 3;3


2 2


ỉ ư ổ ử


- - ỗ- - ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø.


Bài 83.Giải hệ phương trình sau: x y xy


x2 y2


2( ) (1)


3 (2)


ìï - =


í


- =
ïỵ


·Điều kiện: x y³ . Khi đó (1) Û 2x2-5xy+2y2 =0 Û é =ê =xy 22yx


ë .


Nghiệm: (2;1).


Bài 84.Giải hệ phương trình sau: x y y x


y x x2


2 3 2 3 2 (1)


1 4 8 0 (2)


ì + + - = +


ï


í


- - - + - =


ïỵ


· (1) Û 2 x+3y+ =2 x+ +2 3 y Û 4(x+3y+2)= + +x 2 9y+6 (y x+2)



(27)

x+ -1 4- + -x 8 x2=0 Û x x


x x


1 1


( 3) 3 0


1 2 4 1


ổ ử


- + - - =


+ + - +


ố ứ


x=3 y=5.


Ta cn chứng minh PT: x



x x


1 1 3


1 2+ 4 1= +


+ + - + (*) vô nghiệm trên đoạn

[

-1;4

]

.
Thật vậy:


x x


1 1; 1 1


2


1 2£ 4 1£


+ + - + Þ x x


1 1 3


2
1 2+ 4 1£


+ + - +


Mà: x+ ³3 2 nên (*) vô nghiệm.
Kết luận: Nghiệm (3;5).


Bài 85.Giải hệ phương trình sau:



x x y y


y
y


x


2 2


2


( 1)( 1) 1 (1)


35 0 (2)


12
1


ì + + + + =


ï


í + + =


ï



-ỵ



· Chú ý: ( x2+ +1 x)( x2+ -1 x) 1= , ( y2+ +1 y)( y2+ -1 y) 1=
Từ (1) Þ x x y y


x x y y


2 2


2 2


1 1 (3)


1 1 (4)


ìï + + = +




+ - = + +


ïỵ . Lấy (3) (4)- ta được: x= -y.
Nghiệm: 5 5; , 5; 5


3 3 4 4


ổ ử ổ ử


- -


÷ è ø



è ø .


Bài 86.Giải hệ phương trình sau: x y


y x


7 11 6 (1)


7 11 6 (2)


ìï + + - =
í


+ + - =


ïỵ


· Lấy (1) (2)- ta được: 7+ -x 7- +y 11- -y 11- =x 0


Û x y x y


x y x y 0


7 7 11 11


- + - =


+ + + - + - Û x y- =0


Nghiệm: (2;2).



Bài tương t:


a) x y


y x


2 2


2 2


ìï + - =
í


+ - =


ïỵ . Nghiệm: (0;0),(2;2). b)


x y


y x


1 7 4


1 7 4


ìï + + - =
í


+ + - =



ïỵ . Nghiệm: (3;3).


Bài 87.Giải hệ phương trình sau:

(

x y x

)

x y


x y x x


2 2


2


3 3 (1)


3 (2)


ìï + + + =




ï + + = +




·Để ý rằng:

(

x2+ +y x2+3

)(

x2+ -y x2+3

)

= -y 3


Do đó: (1) Û

(

x2+ +y x2+3

)(

x2+ -y x2+ -3 x

)

=0 Û x2+ -y x2+ =3 x
Kết hợp với (2) ta được: x + x2+ =3 3 Û x=1 Þ y=8


Nghiệm: (1;8).



Bài 88.Giải hệ phương trình sau: y

(

x x

)



x y x


3 3 (1)


1 (2)


ìï + + =


í


+ = +


ïỵ


·Điều kiện: ì ³í ³yx 00



(28)

Nghiệm: (1;1).


Bài 89.Giải hệ phương trình sau: x y x y
x2 y2 x2 y2


1 (1)


1 (2)


ì + - - =


ï


í


+ + - =


ïỵ


·Điều kiện: ì + ³í - ³x yx y 00


.


Ta có (1) Þ x y x y


x y x y y


1
2


ìï + - - =
í


+ + - =


ïỵ Þ 2 x y+ =2y+1 Þ y x


2 1


4


= - (3)



(2) Þ x y x y


x y x y y


2 2 2 2


2 2 2 2 2


1
2


ỡù + + - =




+ - - =


ùợ x y y


2 2 2


2 + =2 +1 Þ 4x2 =4y4+1 (4)


Từ (3), (4) Þ x 5
8


= Þ y 3


8



= .


Nghim: 5; 3


8 8


ổ ử




ỗ ữ


ố ứ.


Bài tương t:


a) x y x y
x2 y2 x2 y2


2
4


ì + - - =


ï
í


+ + - =


ïỵ . Nghiệm:



b) x y


x y


2


3 3 4


ìï + =
í


+ + + =


ïỵ . Nghiệm:


Bài 90.Giải hệ phương trình sau:


x
x


y y


xy y x


1


1 (1)


1 1 1 (2)



ì


+ + =


ï
í


ï + + + - =




·Điều kiện: ì Ê Êớ- Ê ạ01 xy 10


. Ta cú (1) Û xy + y+ =1 x .
Thay vào (2) ta được: x + 1- =x 1 Û é =ê =xx 10


ë .
Nghiệm: (0; 1),(1;0)- .


Bài 91.Giải hệ phương trình sau: x xy y x y


x xy y x y


2 2 2 2


2 2 2 2


( ) 185 (1)



( ) 65 (2)


ìï + + + =


í


- + + =


ïỵ


· Lấy (1) (2)+ ta được: 2(x2+y2) x2+y2 =250 Û x2+y2 =5 Û x2+y2 =25
Khi đó: HPT Û ìíxxy2+=12y2 =25




Nghiệm: (4;3),( 4; 3),(3;4),( 3; 4)- - - - .


Bài 92.Giải hệ phương trình sau:


x


x y
y


x y
1


3 1 2


1



7 1 4 2


ì ỉ ử


+ =


ù ỗ ữ


ù +




ù - =


ù +





(29)

Do ú: HPT Û x y x


x y y


1 2


1


3


1 4 2



1


7


ì


+ =


ï +


ï
í


ï - =


+
ïỵ


Û x y x y


x y


1 1 2 2 (1)


3 7


1 2 2


1 (2)



3 7


ì


=



+
ï
í


ï = +


ï

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:


x y x y


1 1 8


3 7


=


-+ Û 21xy=(x y+ )(7y-3 )x


Û(y-6 )(7x y+4 ) 0x = Û y=6x (vì x>0,y>0).
Nghiệm: 11 4 7 22 8 7;



21 7


æ + +


ỗ ữ


ố ứ.


Bi 93.Gii h phng trỡnh sau:


x


y x


y


y x


12


1 2


3
12


1 6


3



ỡổ -=


ùỗ +


ùố ứ


ớổ ử


ù + =


ù +


à HPT y x x


y x y


12 2


1


3


12 6


1


3


ì



- =


ï +


ï
í


ï + =


+
ïỵ


x y


y x y x


1 3


1 (1)


12 3 1 (2)


3


ì


= +


ï


ï
Û í


ï =


-+
ïỵ
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta được:


x y y x


12 3 1


3 + = - Û x y y


2 2


(3 -2 ) =5 .
Nghiệm:



(30)

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ


Biến đổi các phương trình của hệđể có thểđặt ẩn phụ, rồi chuyển về hệ cơ bản.
Thông thường đưa về dạng: f u v


g u v( , ) 0( , ) 0


ì =


í =





Bài 1. Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y x y


4 2 2


2 4 2 2 22 06 9 0


ìï - + - + =


í


+ + - =


ïỵ


· HPT Û x y


x y x


2 2 2


2 2


( 2) ( 3) 4


( 2 4)( 3 3) 2 20 0



ìï - + - =


í


- + - + + - - =


ïỵ .


Đặt u x
v y


2 2


3


ì =
=


-ỵ . HPT Û


u u


u v


v v


uv u v


2 2 4 2 0



0 2


4( ) 8


ì + = Ûì = Ú ì =


í + + = í = í =


ỵ ỵ


.


Nghiệm: (2;3),( 2;3),( 2;5),( 2;5)- - .


Bài 2. Giải hệ phương trình sau: ìï + + =í


+ + + =


ïỵ


x x y


x x y xy x


2


3 5 2 9 2


3 2 6 18



· HPT Û x x x y


x x x y


2


2 2 3 9


( 2 )(3 ) 18


ìï + + + =
í


+ + =


ïỵ . Đặt


u x x


v x y


2 2


3


ì = +
í = +


. HPT Û



u v
uv 189


ì + =
í =




Nghiệm: (1;3),( 3;15),( 1- - - 7;6 3 7),( 1+ - + 7;6 3 7)- .
Bài 3. Giải hệ phương trình sau: x y x y


x y x y


2 2


2 23 4 1


3 2 9 8 3


ìï + - + =
í


- - - =


ïỵ


· HPT Û x x y y


x x y y



2 2


23 42 1


3( 3 ) 2( 4 ) 3


ìï - + + =
í


- - + =


ïỵ . Đặt


u x x


v y y


2
2 34


ìï =


= +


ïỵ . HPT Û


u v
u v1



3 2 3


ì + =
í - =


.


Nghiệm: 3 13;0 , 3 13; 4


2 2


ử ổ




-ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ è ø.


Bài 4. Giải hệ phương trình sau:


x y y


xy x y


x2 2


1 1 2
3


2 2


3
ì


ï


í + = ì


ù + +




+ + =


à HPT


x y


x 2 y 2


( 1)( 1) 4


1 1 2


3
( 1) 1 ( 1) 1


ì + + =



ï


í + =


ï + - +


-ỵ


. Đặt ì = +í = +u xv y 11 (uạ 1,vạ 1)


.


HPT uv


u2 v2
4


1 1 2


3


1 1


ì =
ï


í + =


ï -



-ỵ


uv


u2 v2 u v2 2 u2 v2
4


3( 2) 2( 1)


ì =


Û í + - = - - +




uv
u2 v2


4
8


ì =
Û í + =




u v
u v 22


é = =



Û ê = = -ë . Nghiệm: íìxy=11;ìíyx= -33


= =


-ỵ ỵ .


Bài 5. Giải hệ phương trình sau:


x y


x y
x y
xy


xy y x


1 1 4


1 4


ì


+ + + =
-ïï


í


ï + + + =




(31)

· HPT Û
x y


x y


x y


x y


1 1 4


1 1 4


ì
+ + + =
-ùù
ớổ ửổ ử
ù + ữỗ + =
ố ứ
ù ø


. Đặt
u x
x
v y
y
1
1
ì


= +
ïï
í
ï = +
ïỵ


. HPT Û ì + = -í =u vuv 4 4


Û


u
v 22


ì =
í =
-ỵ
Nghiệm: ( 1; 1)- - .


Bài 6. Giải hệ phương trình sau:


y x x y


x y


x y


2 2


2 2



2 2
( 1) 2 ( 1)


1


( ) 1 24


+ = +
ù
+ + =
ỗ ÷
ï
è ø


· HPT Û


x y
x y
x y
x y
2 2
2 2
2 2


1 2 1


1 1 24


ì + +


=
ïï
í
ï + + + =
ïỵ
Û
x y
x y
x y
x y
2 2


1 2 1


1 1 28


ì ổ ử
+ = +
ù ỗ ữ
ù ố ứ

ổ ử ổ ử
ù + + + =
ỗ ữ
ùố ứ

.
Đặt
u x
x


v y
y
1
1
ì
= +
ïï
í
ï = +
ïỵ


. HPT Û ì =í + =uu2 2vv2 28



Nghiệm:


Bài 7. Giải hệ phương trình sau:


x y
x y
x y
xy
2 2
2
3
1 1
1


( ) 1 6




+ =
ùù + +

ù + + =
ù


à HPT x x y y


x y


x y


1 1 2


1 1 3


1 1 6


ì
+ =
ï
ï + +
í
ï
+ + + =
ï



. Đặt
u x
x
v y
y
1
1
ì = +
ïï
í
ï = +
ïỵ


. HPT Û u v
u v
1 1 2


3
6
ìï + =
í
ï + =


Û u v= =3


Nghiệm:


Bài 8. Giải hệ phương trình sau:



x y
xy
x y
xy
2
2 2
3
3 3
1


( ) 1 9


1


( ) 1 27



ù + + =
ù

ổ ử
ù + + =
ỗ ữ
ù
ố ø


· HPT Û


x y


y x
x y
y x
2 2
3 3


1 1 9


1 1 27


ỡổ ử ổ ử
ù + + + ÷ =
ïè ø è ø
í
ỉ ư ỉ ư
ï + + + =
ỗ ữ
ỗ ữ
ù
ố ứ


. t
u x
y
v y
x
1
1
ì


= +
ïï
í
ï = +
ïỵ


. HPT Û u v


u v


2 2


3 3 279


ìï + =
í


+ =


ïỵ .


Nghiệm:


Bài 9. Giải hệ phương trình sau:
ïỵ
ï
í
ì
=


-+
+
+
+
=

-+
+
+
+
0
11
)
1
(
0
30
)
2
(
)
1
(
2
2
3
2
2
3
y

y
y
x
y
x
xy
y
y
x
y
y
x


· Hệ PT Û xy x y x y x y


xy x y xy x y


2 2 2


( ) ( ) 30


( ) 11


ì + + + =


í + + + + =


Û


xy x y x y xy


xy x y(( )() xy x y) 3011


ì + + + =


í + + + + =



(32)

Đặt ì + =íx y uxy v
=


. HPT Û


uv u v
uv u v( ) 3011


ì + =


í + + =


Û


uv uv


uv u v(11 ) 30 (1)11 (2)


ì - =


í + + =


. T (1) ị



uv
uv 56


ộ =
ờ =


à Vi uv = 5 Þ u v+ =6. Nghiệm (x; y) là: 5 21 5; 21


2 2


- +


ỗ ữ


ố ứ v


5 21 5; 21


2 2


+ -


ỗ ÷


è ø


· Với uv = 6 Þ u v+ =5. Nghiệm (x; y) là: (1;2)(2;1)
Kết luận: Hệ PT có 4 nghiệm: (1;2), (2;1), 5 21 5; 21



2 2


- +


ỗ ữ


ố ứ,


5 21 5; 21


2 2


+ -


ỗ ữ


ố ứ


Bi 10.Gii h phng trỡnh sau: xy x y


x2 y2 x y


3 2 16


2 4 33


ì - - =


í + - - =





· HPT Û x y x y


x 2 y 2


( 1)( 2) ( 1) ( 2) 21
( 1) ( 2) 38


ì - - - =


í - + - =


. Đặt


u x
v y 12


ì =
í =


-ỵ . HPTÛ


uv u v
u2 v2


( ) 21
38


ì - + =



í + =



Nghiệm:

(

- +3 3; 2- - 3 , 3

) (

- - 3; 2- + 3

)

.


Bài 11.Giải hệ phương trình sau:


x xy


x y


x


x y


2


2 4 1 5


2
3
2


ì + +


=
-ïï +


í



ï =


-ï +


· HPT Û x x y


x


x y


1


2 5


2
1


2 6


2


ì


+ =


-ïï +


í



ï =


-+
ïỵ


. Đặt


u x


v


x y


2
1


2


ì =
ï
í =


ï +




. HPT Û ì + = -í =u vuv 6 5


Û



u v


u 2,3,v 32


é = - =
-ê = - =


.


Nghiệm: 1;1 , 3 1;


3 2 2


ổ ử ổ ử


- -


ữ è ø


è ø .


Bài 12.Giải hệ phương trình sau:


y x x


y


x y x



y
1


( 1) 1 2


1


2( 1) 1


ì ổ ử


+ + + =


ù ỗ ữ


ù




ù + = + +


ù




Ãt
u x
v y x


y


1


1
1


ỡ = +


ù


ớ = + +


ù




. HPT ỡ =ớuv2u v=2


Û


u v


u 1,1,v 2 2


é = =
ê = =


.


Nghiệm: (0;1),( 2;3)- .



Bài 13.Giải hệ phương trình sau:


x y xy


x y
x


x y


2 2


2
3


4( ) 7


( )


1


2 3


ì


+ + + =


ïï +


í



ï + =


ï +




· HPT Û x y x y x y


x y x y


x y
2


2
1


3 ( ) 13


1 3


ỡ ổ ử


ù + + ÷ + - =


ï è + ø


í


ï + + + - =



ï +




. Đặt u x y x y
v x y


1


ì = + +
ï


í +


ï =
-ỵ



(33)

HPT Û u v
u v
2 2
3 13
3
ì + =
í
+ =


u vỡ u


v 12 ( 2)



ỡ =


ớ =




x y x


x y y


x y


1 2 1


0
1
ì
+ + =
ï Ûì =
í + í =

ï - =

.


Bài 14.Giải hệ phương trình sau:


x y xy



x y
x
x y
2 2
2
1


3( ) 2(10 )


( )
1
2 5
ì
+ + =
-ïï

ï + =
ï
-ỵ


· HPT Û


x y x y


x y
x y x y


x y


2 2



2
1


2( ) ( ) 20


( )
1 5
ì
+ + - + =
ïï

ï + + - + =
ï
-ỵ


. Đặt


u x y
v x y


x y
1
ì = +
ï
í = - +
ï
-ỵ


(với v ³2)



HPT Û u v
u v


2 2


2 2 20


5
ì + - =
í + =
Û
u
u
v v
1
3 3
2 14
3
ì
=
ï
ì = Ú
í = í
ï =

.


Nghiệm: (2;1), 4 10 3; 10 , 4 10 3; 10



3 3 3 3


+ - - ư ỉ - - +


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ.


Bi 15.Gii hệ phương trình sau:
ïỵ
ï
í
ì
=
+
=
+
35
8
15
2
3
3
2
2
y
x
xy
y
x



· Hệ PT Û xy x y
x 3 y3
2 (2 ) 30


(2 ) 35


ì + =


í + =


. Đặt


u x


v y2


ì =
í =


. Hệ PT Û


uv u v
u3 v3


( ) 30
35


ì + =



í + =


Û


u v


u 3;2;v 32


é = =


ê = =



Nghim (x; y): (1;3), 3;2


2


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ.
Bi 16.Giải hệ phương trình sau:



í
ì
=
+
+


=
+
+
6
4
9
)
2
)(
2
(


2 x y


x


y
x
x


x


· Hệ PT Û x x x y


x x x y


2
2


( 2 )(2 ) 9


( 2 ) (2 ) 6


ìï + + =


í


+ + + =


ïỵ . Đặt


u x x


v x y


2 2


2


ì = +
í


= +


. HPT Û


uv
u v9 6


ì =
í + =



Nghiệm: (1;1),( 3;9)- .


Bài 17.Giải hệ phương trình sau: x y xy x y


x y


2 2


2 2 3 (1)(2)


ìï + = + +
í


- =
ïỵ


· Chú ý: x2 xy y2 1 3(x y)2 (x y)2


4é ù


- + = ë - + + û. Đặt ì = +í = -u x yv x y


, ta được:


u v v


uv
2 2
3 4


3
ì + =
í =

Nghiệm: (2;1).


Bài 18.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y


x y


2 2


2 2 5


2( ) 5


ìï + + - + - =
í


+ =


ïỵ


·Đặt u x y u v


v x y ( , 0)


ì = + ³


í =



-ỵ . HPT Û


u v uv
u2 v2


5
5
ì + + =
í + =
Û
u v
uv 2 3


ì + =
í =


Û


u v


u 1,2,v 21


é = =
ê = =
ë


Nghiệm: 1; 3 , 1; 3 , 3 1; , 3 1;


2 2 2 2 2 2 2 2



ỉ ư ỉ ư ỉ ư ổ ử


- -


ỗ ữ ỗ ữ ç ÷ ç ÷



(34)

Bài 19.Giải hệ phương trình sau:


y
x


x y


x


x y


y


2 2


2 2


3 2 1


1


4 22



ì


+ =


ùù +
-ớ


ù + + =


ùợ


à iu kin: xạ0,yạ0,x2+y2- ¹1 0
Đặt u x y v x


y


2 2 1;


= + - = . Hệ PT trở thành: u v u v


u v u v


3 2 1 3 2 1 (1)


1 4 22 21 4 (2)


ì ì


ï + = Ûï + =



í í


ï + + = ï =


-ỵ ỵ


Thay (2) vào (1) ta được: v v v
v
v v


2 3


3 2 1 2 13 21 0


7
21 4


2


é =
ê


+ = Û - + = Û


=
ê





· Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT:


xx y xx yy xy xy


y


2 2


2 2


1 9 3 3


10


1 1


3 3


ì + - =
ì


ï Û + = Ûì = Ú ì =


= í = í = í =


-ỵ ỵ



ïỵ



· Nếu v 7
2


= thì u = 7, ta có Hệ PT:




y y


x y x y


x


x y


y x x


2 2 1 7 2 2 8 4 2 4 2


53 53


7 7


2 2


2 2 14 53 14 53


ì ì


ì + - = ì + = ï = ï =



Ûï Ûï Ú ï


í = í = í í


ï ï ï = ï =


-ỵ ï ï


ỵ î


So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT.
Bài 20.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y3 3 x y2 2 xy y3
1 1


(1 ) 1 4 (1)


1 4 (2)


ì + ++=


ù ỗ ữ


ớ ố ứ


ù + + + =





à D thấy y¹0. HPT Û


x x


y y


x x


y y


2
2
2


2


1 1 4


1 1 4


ỡổ ử ổ ử


+ + + =


ùỗ ữ ỗ ữ


ùố ứ ố


ớổ ửổ ử



ù + ữỗ + =


ùố ứố




.


t
u x


y
v x


y
2


2
1


1


= +
ïï
í


ï = +
ïỵ



. HPT Û ì + =í =u vuv 4 4


Û u v= =2.
Nghiệm: (1;1).


Bài 21.Giải hệ phương trình sau: xy x y
x y2 2 xy y2


1 7
1 13


ì + + =
í


+ + =


ỵ (B - 2009)


· Dễ thấy y ¹ 0. HPT


x
x


y y


x
x


y y



2


1 7


1 13


ỡổ ử


+ + =


ùỗ ữ


ùố ứ




ổ ử


ù + - =


ỗ ữ


ùố ứ




. t
u x


y


x
v


y
1


ì
= +
ïï
í
ï =
ïỵ


. HPT Û u v
u2 v


7
13


ì + =
í - =



(35)

Nghiệm 1;1 , (3;1)
3


ỉ ử
ỗ ữ


ố ứ .



Bi 22.Gii h phng trỡnh sau: x y y


x y x y


3 3 3


2 2


8 27 18


4 6


ỡù + =




+ =


ùợ


à D thy yạ0.HPT


x
y


x x


y y


3



3 3


(2 ) 18


3 3


2 . 2 3


ì ỉ ử


ù +ỗ ữ =


ù ố ứ




ổ ử


ù + =


ỗ ữ


ù è ø




. Đặt a = 2x; b =


y


3


. HPT Û ì + =ía bab=1 3




Nghiệm: 3 5; 6 , 3 5; 6


4 3 5 4 3 5


- ử ổ +


ỗ ữ ỗ ữ


+ ữ ỗ -


ố ứ ố ứ


Cỏch 2: Dễ thấy y¹0. HPT Û x y y


x y xy y


3 3 3


2 2 3


8 27 18


4 6



ìï + =


í


+ =


ùợ x y x y xy


3 3 2 2


8 +27 18(4= +6 ) (*)


Đặt t xy= . (*) Û (2 3)(4t+ t2-42 9) 0t+ = Û t


t


3
2
21 9 5


4


é
=

ê


±
ê =
êë



Bài tương t:


a) x y y


x y x y


3 3 3


2 2


27 125 9


45 75 6


ìï + =


í


+ =


ïỵ . Nghiệm


2;5 , ;1 5


3 3 2


ổ ử ổ ử


ỗ ữ ỗ ữ



ố ứ ố ứ.


Bài 23.Giải hệ phương trình sau:


x y y


x x


y y


3 3 3


2
2
1 2


2


ì + =


ï


í + =


ï


· Dễ thấy y¹0.HPT Û
x



y
x x


y y


3
3
1 2


1 2


ì + =


ïï


í ỉ ư


ï + =


ù ố ứ




.


t t
y
1



= . HPT Û ì + =íxxt x t3( t+ =3 ) 22


Û


x t
xt 1 2


ì + =
í =




Nghiệm: (1;1).


Bài 24.Giải hệ phương trình sau: y xy x


x y x


2 2


2 2 6 2


1 5


ìï + =
í


+ =


ùợ



à D thy y ạ 0. HPT


x
x


y y


x x


x


y y y


2


2 2


1 6


1 5 2


ì ỉ ư


ï + = ç ÷


ï è ø


í



ỉ ư ỉ ư


ï + = +


ç ữ ỗ ữ


ù ố ứ




. t
u x


y
x
v


y
1



= +
ùù

ù =
ïỵ


.


HPT Û u v



u v v


2


2 65 2 2


ìï =
í


= +


ïỵ


Nghiệm:



(36)

a) y xy x


x y x


2 2


3 3 6 3


1 19


ìï + =


+ =



ïỵ . Nghim


1; 2 , 1;3


3 2


ổ ử ổ ử


- -


ữ ố


ố ứ .


Bi 25.Gii h phng trình sau: x y y x y


x y x y


2


2 1 ( ) 4


( 1)( 2)


ìï + + + =


+ + - =



ùợ


à D thy y ạ 0. HPT Û


x y x


y


x y x


y
2


2


1 2 2


1( 2) 1


ì +
+ + - =
ï
ï
í
+
ï + - =
ïỵ


. Đặt u x y
v y x



2 1
2
ì +
ï =
í
ï = +
-ỵ


. HPT Û ì + =í =u vuv 1 2




Nghiệm: (1;2),( 2;5)- .


Bài 26.Giải hệ phương trình sau: x y y xy


x y y xy


2 2 2


2 2 22 6 4 73 2


ìï + + =


í


+ + =


ùợ



à D thy y ạ 0. HPT


x
x
y
y
x x
y y
2
2
2
4
2 7
6
2 3

+ + =
ù
ù

ổ ử
ù + + =
ỗ ữ
ùố ứ


x
x
y y


x x
y y
2
2


2 3 2


2
3 2
ỡổ ử
ù - - =
-ùố ứ

ổ ử ổ ử
ù - - =
-ỗ ữ ỗ ữ
ùố ứ

t
u x
y
x
v
y
2

=
-ùù

ù =


ùợ


. HPT Û u v


v u


2


2 33 22


ìï =


- =


-ïỵ Û


u v
u v 12


é = =
ê = =


ë


+ Với u v= =1 thì
x
y
x
y


2 1
1
ì
- =
ïï
í
ï =
ïỵ


Û é = = -ê = =x yx y 21


ë


+ Với u v= =2 thì
x
y
x
y
2 2
2
ì
- =
ïï
í
ï =
ïỵ


Û x y


x y


1 5
1 5;
2
1 5
1 5;
2
é
-= - =
ê
ê
+
ê = + =
êë


Nghiệm: ( 1; 1),(2;2), 1 5;1 5 , 1 5;1 5


2 2


- ư ỉ + ư


- - ç - ÷ ç + ÷


è ø è ø.


Bài 27.Giải hệ phương trình sau: x y y


x y x y y x y


2



4 2( 1) 62 2 2 2( 2 1) 12 2 1


ìï + =




+ + + =


-ùợ


à D thy y ạ 0. HPT
x
y y
x
x x
y y
2
2
4 2
2
1 2
1 6
1 1
2 12
ì ỉ ư
+ =
-ù ỗ ữ
ù ố ứ
+
ù + + =


-ïỵ
Û
x
x
y y
x
x
y y
2
2
2 2
2
1 1
1 7
1 1
1 13
ì +
+ + + =
ù
ù

ổ ử +
ù + + - =
ỗ ữ
ùố ứ

t
u x
y
x

v
y
2
2
1
1
1
ì
= + +
ïï
í +
ï =
ïỵ


. HPT Û ì + =í - =u vu2 v 713


Û


u v


u 4,5,v 312



(37)

+ Vi ỡ = -ớ =uv 125

x
y
x
y
2
2


1
1 5
1 12
ì
+ + =
-ïï
í +
ï =
ïỵ


(vơ nghiệm)


+ Vi ỡ =ớ =uv 34



x
y
x
y
2
2
1
1 4
1 3

+ + =
ùù
+
ù =
ùợ



x y


x y
1
0,
3
2, 1

= =


= =

.


Nghim: 0;1 ,

(

2;1

)


3


ổ ử

ỗ ữ


ố ứ .


Bi 28.Gii hệ phương trình sau: x y y xy x xy


x y y x y x x y


2 2



4 2 2 2 4 182 208 2 2


ìï + + + =


+ + + =


ùợ


à Vi x=0 y=0.


+ Vi x
y 00


ỡ ạ
ớ ạ


ta cú: HPT


x y
x y
x y
x y
2 2
2 2


1 1 18


1 1 208



ì
+ + + =
ïï
í
ï + + + =
ïỵ
Û
x y
x y
x y
x y
2 2


1 1 18


1 1 212


ì
+ + + =
ù
ù

ổ ử ổ ử
ù + + + =
ùố ø è ø

Đặt
u x
x


v y
y
1
1
ì
= +
ïï
í
ï = +
ïỵ


. Ta được HPT Û ì + =í + =u vu2 v218212


Û


u u


v 144 v 144


ì = Úì =


í = í =


ỵ ỵ


Nghiệm: (0;0),(2+ 3;7 4 3),(2± - 3;7 4 3)± ,(7 4 3;2+ ± 3),(7 4 3;2- ± 3).
Bài 29.Giải hệ phương trình sau: x xy x y


x x y x y



2


4 24 2 3 2 02 0


ìï - + + =
í


- + + =


ïỵ


à Vi x=0 y=0.


+ Vi ỡ ạớ ạyx 00


ta có: HPT Û


y
x y
x
y
x y
x
2
2


2 1 0


4 3 0




- + + =
ùù

ổ ử
ù - + +ỗ ữ =
ï è ø

Û
y
y x
x
y y
x x
x x
2


2 1 (1)


3 0 (2)



= + +
ùù

ổ ử ổ ử
ù + - + =
ùố ứ ố ứ



t t x y
x


= + . (2) Û t2- =3t 0 Û é =ê =tt 03


ë Þ


y y


x x


x 0 x 3


+ = Ú + =


Nghiệm: (0;0),(1;2),(2;2).


Bài 30.Giải hệ phương trình sau: x x y


y y x y


2
2 2
1
2 2
2 2
ì
+ - =
ï
í


ï - - =
-ỵ


· HPT Û


x x
y
x
y y
2
2
1
2 2


1 2 2


ì
+ - =
ïï
í
ï =
-ïỵ


. Đặt
u x
v
y
1
ì =


ï
í =


ïỵ . HPT Û


u u v


v u v


2
2


2 2 (1)


2 2 (2)


ìï + - =
í


- + =
ïỵ


Lấy (1) (2)- ta được: 2(u2-v2) 2(+ u v- =) 0 Û é - =ê + + =u vu v 1 00



(38)

Nghiệm: (1;1),( 1; 1), 3 1; 3 1 , 3 1;1 3


2 2


æ + ử ổ -



- - ỗ- + ữ ỗ - ÷


è ø è ø.


Bài 31.Giải hệ phương trình sau:


2 2


3 3


2 1


2 2


y x


x y y x


ì - =


ù


- =


-ùợ


à HPT ị 2x3-y3=(2y2-x2)(2y x- )x3+2x y2 +2xy2-5y3=0
Khi y=0 thì hệ VN.



Khi y¹0, chia 2 vế cho y3¹0 ta được: x x x


y y y


3 2


2 2 5 0


æ ử ổ ử ổ ử


+ + - =


ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ ố ứ


t t x
y


= , ta có : t3+2t2+ - = Û =2 5 0t t 1 y x x y
x y
y2


1
1
1


ì = é = =


Ûí Ûê = =



-= ë



Nghiệm: (1;1),( 1; 1)- - .


Bài 32.Giải hệ phương trình sau:


2 2


2 2


1 4


( ) 2 7 2


x y xy y


y x y x y


ì + + + =


í


+ = + +




à T h PT ị yạ0. Khi ú ta có:



x x y


x y xy y y


y x y x y x y x


y
2


2 2


2 2 2


2


1 4


1 4 .


( ) 2 7 2 ( ) 2 1 7


ì +


+ + =
ï


ì + + + =


ï Ûï



í í


+ = + + +


ï ï


+ - =


ïỵ


Đặt u x v x y


y
2


1,


+


= = + ta có hệ: u v u v v u


v u


v2 u v2 v


4 4 3, 1


5, 9


2 7 2 15 0



ì + = ì = - é = =


ï Ûï Û


í í ê = - =


- = + - =


ï ï ë


ỵ ỵ


· Với v=3,u=1ta có hệ: x y x y x x x y


y x x y


x y y x


2 1 2 1 2 2 0 1, 2


3 2, 5


3 3


ì ì ì é = =


ï + = Ûï + = Û + - = Û


í í í = - ê = - =



+ = = - ỵ


ï ï ë


ỵ ỵ .


· Với v= -5,u=9ta có hệ: x y x y x x


x y y x y x


2 1 9 2 1 9 2 9 46 0


5 5 5


ì ì ì


ï + = Ûï + = Ûï + + =


í í í


+ = - = - - =


-ï ï ï


ỵ ỵ ỵ , hệ VN


Nghiệm: (1; 2), ( 2; 5)- .


Bài 33.Giải hệ phương trình sau: x y x y x y


x y


x y


2 2 2


(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0 (1)


1


2 0 (2)


2


ì + - - + + =


ï


í + + =


ù


-ợ


à D thy 2x y+ ạ0. HPT


x y x y


x y



x y


(2 ) 5(2 ) 6 0
1


2 0


2


ì + - - + =


ï


í + + =


ï


-ỵ


. Đặt u x y u v
v 22x y ( . 0)


ỡ = +


ớ =


-ợ .


HPT



u v


u
v


5 6


1 0


ì - =


í + =


ïỵ Û


u v


u v


1, 1
1
5,


5


é = - =
ê


= - =


ê


ë


.
Nghiệm:


Bài 34.Giải hệ phương trình sau: x x y


x xy y


2


2 2 26 7 1 (1)(2)


ìï + + = +
í


+ + =


ïỵ


·Điều kiện: y³ -1. HPT Û íì -3((x y x yx y+)()2+ ++(x y-2))= -2=528



(39)

Đặt ì = +í = -u x yv x y


, ta được:


v u
u2 v2


( 2) 5


3 28


ì + =


+ =


.


Nghiệm: ( 3;2),(1;2)- .


Bài 35.Giải hệ phương trình sau: x y x y


x2 y 1 1


3 2 4


ì + + - + =


í + =




· Hệ PT Û x y x y


x y x y


2 1 1



(2 1) ( ) 5


ì + + - + =


í


+ + + + =


. Đặt u= 2x y+ + ³1 0,v= x y+ ³0.


Hệ PT Û u v uu vv loại


u2 v2


1 2, 1


1, 2 ( )
5


ì - = Ûé = =


í + = ê = - =



Nghiệm: (2; 1)- .


Bài tương t:


a) x y x y



x2 y 1 20


3 2 4


ì + + - + =


í + =




Bài 36.Giải hệ phương trình sau: x y y


x y x y


2 6 3


ìï + = +
í


+ +


-ïỵ


·Điều kiện ì + ³í ³ ³ -x yx y 03


. Hệ PT Û


x y y y



x y x y


2 6 2 6 9


4


ìï + = + +
í


+ + - =


ïỵ Û


x y x y


x y x y


( )( ) 9


4


ì + - =


í + + - =




Đặt u x y u v


v x y ( , 0)



ìï = + ³


í


=


-ïỵ . HPT Û


u v
u v


2 2 9


4


ì =


í + =


Û


u v


u 1,3,v 31


é = =
ê = =
ë



Nghiệm: (5;4).


Bài 37.Giải hệ phương trình sau: x y x y
x2 y2 x2 y2


2


1 3


ì + = +



í


+ + - - =


ïỵ


·Điều kiện: x y+ >0, x y- ³0.


Đặt: u x y
v x y


ì = +
í


=


-ỵ ta có hệ:



u v u v u v uv


u2 v2 uv u2 v2 uv


2 ( ) 2 4


2 3 2 3


2 2


ì - = > ì + = +


ï ï


Û


í + + í + +


ï - = ï - =


ỵ ỵ




u v uv


u v 2 uv uv


2 4 (1)



( ) 2 2 3 (2)


2


ì + = +


ï


Û í + - +


ï - =




.


Thế (1) vào (2) ta có: uv+8 uv+ -9 uv = Û3 uv+8 uv+ = +9 (3 uv)2 Ûuv=0.
Kết hợp (1) ta có: uv u v


u v
0


4, 0
4


ì =


Û = =


í


+ =


(với u > v).
Nghiệm: (2; 2).


Bài tương tự:
a) x y x y


x2 y2 x2 y2
2


4


ì + - - =


ï
í


+ + - =



(40)

Bài 38.Giải hệ phương trình sau: x y x y


x x( 4y 92) y y(42 2) 41


ì + = - +


í


+ - + + =





· HPT Û x y x y


x y 2 x y


2 9


( 2 ) 2( ) 41


ìï - + + =
í


+ - - =


ïỵ . Đặt


u x y u v


v x 2y ( , 0)


ìï = - ³


í


= +


ïỵ .


HPT Û u v


v2 u2


9
2 41
ì + =
í - =

u
v 27


ỡ =
ớ =




x y x y


x 2y 72 x 2y 27


ì - = ì - =


Ú


í + = í + =


-ỵ ỵ


Nghiệm: (5;1), ;1 11
3 3



ổ ử




-ỗ ữ


ố ứ.


Bi 39.Gii h phng trỡnh sau: x y x y x y


x x y xy y x


2


21 1 4( ) 3 2 3 (1)


12 (2 3 7 ) 1 12 (3 5 ) (2)


ìï + + + = + + +


í


+ + = - - +


ïỵ


·Đặt x y u


x y v



1 0


3 3 0


ìï + + = ³
í


+ = ³


ïỵ . (1) Û


u v


u v v


2 2


4


3 3


9 9 4 9


ìï - =
í


+ = +


ïỵ Û



u v


u u v v v


2 2


2 2 2 4


3 3


9 (3 ) 4 9


ìï - =
í


+ - = +


ïỵ


Û u v


u v u u v uv v


2 2


3 2 2 3


3 3


( )(9 9 3 3 ) 0



ìï - =
í


- + + + =


ïỵ Û u v


6
2


= = Þ 2x+2y=1.


Nghiệm: 5 4; , 7 ; 1
6 3 10 6


- ử ổ -


ỗ ữ ỗ ữ


ố ø è ø.


Bài 40.Giải hệ phương trình sau: x y x y
x y x y


7 2 5 (1)


2 2 (2)


ìï + + + =



í


+ + - =
ïỵ


·Đặt u x y u v


v x y


7 ( , 0)
2


ìï = + ³


í


= +


ïỵ . (1) Û


u v x


u v


2 2 5


5
ỡ - =
ớ + =



x
v 5
2

-= .
Thay vào (2) ta được: x=2y-1.


Nghiệm: 10 77;11 77
2


-




-ỗ ữ


ố ứ.


Bi 41.Gii h phng trỡnh sau: y x y


x y x y


2 2
2 2
12 (1)
12 (2)
ìï - =
í
+ + - =


ïỵ


·Đặt u x y
v x y


2 2
ỡù =
-ớ
= +
ùợ
u
x y
v
x y v


2

ù - =

ù + =


u v
x
v


v u v u


y



v v


2 2


22 2 6( )


2
ì +
=
ïï
í
-
-ï = =
ïỵ


HPT Þ v u uv


u v


6( ) . 12
12
ì
-ï =
í
ï + =


ộ =ờ =uu 3,4,vv==98





x y


x 5,5,y 43


ộ = =


ê = =


ë .


Nghiệm: (5;4),(5;3).


Bài 42.Giải hệ phương trình sau: x y

(

x y xy

)



x y


2 2


3 3


3 3


2( ) 3
6


ìï + = +


í



+ =


ïỵ


·Đặt u x


v y
3
3
ìï =
í
=


ïỵ . HPT Û


u v u v uv


u v


3 3 2 2


2( ) 3( )


6


ì + = +


í + =



Û


u v
uv 8 6


ì + =
í =


Û


u v


u 2,4,v 42


é = =
ê = =


ë .



(41)

Bài 43.Giải hệ phương trình sau: x y


x y


4 3 5 3


4 5


35
5



ìï + =


í


+ =


ïỵ


·Đặt u x


v y


4
5


ìï =
í


=


ïỵ . HPT Û


u v


u v


3 3 35


5



ì + =
í + =


Û


u v


u 2,3,v 32


é = =


ê = =


ë .


Nghiệm: (16;243),(81;32).


Bài 44.Giải hệ phương trình sau: x y
x y


3 1 3 1 3


11


ì - + - =


í
+ =



·Đặt u x


v y


3
3


1
1


ìï =


=


-ïỵ . HPT Û


u v
u3 v3


3
9


ì + =
í + =




Nghiệm: (2;9),(9;2).



Bài 45.Giải hệ phương trình sau: x y x y


x y 2 2 7


3 2 23


ì + + + + =


í + =




·Đặt u x y u v


v 2x y 2 ( , 0)


ìï = + ³


í


= + +


ïỵ . HPT Û


u v
u2 v2


7
25



ì + =
í + =


Nghiệm: (5;4),( 9;25)- .


Bài tương t:


a)


x x y


y
x y


y


1 3 3


1


2 8


ì


+ + + - =


ïï
í



ï + + =
ïỵ


. Nghiệm (3;1),(5; 1),(4- + 10;3- 10),(4- 10;3+ 10)


Bài 46.Giải hệ phương trình sau: x y


x2 x y x y y


1 6


2 2 1 2 1 29


ì + - =
ï


í


+ + + - + - =


ïỵ


· HPT Û x y


x 2 y y x


1 1 7


( 1) 1 2 1( 1) 29



ì + + - =
ï


í


+ + - + - + =


ïỵ . Đặt


u x v


v y


1 ( 0)
1


ì = + ³


í =
-ỵ


HPT Û u v


u2 v2 uv
7


2 29


ì + =
ï


í


+ + =


ïỵ Û


u v


u 3,4,v 43


é = =


ê = =


ë Þ


x y


x 3,2,y 1017


é = =


ê = =


ë
Nghiệm: (2;17),(3;10).


Bài 47.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y 3



(3 ) 2 2 2 1 0 (1)


2 2 (2 1) 1 (2)


ì - - - - =


ï
í


- - - =


ïỵ


·Đặt u x u v


v y


2 ( , 0)
2 1


ìï = - ³


í


=


-ïỵ . HPT Û


u u v v



u v


2 2


3


( 1) ( 1) 0 (3)


2 1 (4)


ìï + - + =


í


- =
ïỵ


Ta có (3) Û (u v u- )( 2+uv v+ 2+ =1) 0 Û u v=
Thay vào (4) ta được: u3-2u+ =1 0 Û


u
u


1
5 1


2


é =



ê


-ê =
ë


Þ x y


x y


1 ( 1)


5 1 ( 5 5)


2 4


é = =


ê +


-ê = =


ë
Nghiệm: (1;1), 5 1 5; 5


2 4


æ + -


ỗ ữ




(42)

Bi 48.Gii h phng trỡnh sau: x y


x y


5


5 7 7


ìï + =
í


+ + + =


ïỵ


· HPT Û

(

(

x x

)

)

(

(

y y

)

)



x x y y


5 7 12


5 7 2


ì + + + + + =


ï
í


+ - + + - =



ïỵ Û


(

x x

)

(

y y

)



x x y y


5 7 12


5 7 2


5 7


ì + + + + + =


ï


í + =


ï + + + +




Đặt u x x u v


v y y


5 ( , 0)


7



ìï = + + ³


í


= + +


ïỵ . HPT Û


u v
u v


12
5 7 2


ì + =
ï


í + =
ïỵ


Nghiệm:


Bài tương t:


a) x y


x y


1 1 4



6 4 6


ìï + + - =
í


+ + + =


ïỵ . Nghiệm (3;5). b)


x y


x y


2 2 4


2 5 2 5 6


ìï + =


í


+ + + =


ïỵ . Nghiệm (2;2)


c) x y


x y



3 3 6


3 16 3 16 10


ìï + =


í


+ + + =


ïỵ . Nghiệm (3;3). d)


x y


x y


6


7 7 8


ìï + =
í


+ + + =


ïỵ . Nghiệm (9;9)
Bài 49.Giải hệ phương trình sau:



(43)

Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá



Từđiều kiện của ẩn, xét trường hợp xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức.


Bài 1. Giải hệ phương trình sau:


x z z a


y x x b


z y y c


3 2


3 2


3 2


9 27( 1) ( )


9 27( 1) ( )


9 27( 1) ( )


ì = -




í = -


-ï = -



-ỵ


· Cộng (a), (b), (c) ta được: (x-3)3+ -(y 3)3+ -(z 3)3=0 ( )d
+ Nếu x > 3 thì từ (b) suy ra: y3 =9 (x x- +3) 27 27> Þ >y 3


từ (c) suy ra: z3 =9 (y y- +3) 27 27> Þ >z 3Þ (d) khơng tho mãn


+ Tương tự, nếu x < 3 thì từ (a) Þ 0 < z < 3 Þ 0 < y <3 Þ (d) khơng thoả mãn
+ Nếu x = 3 thì từ (b) Þ y = 3; thay vào (c) Þ z = 3.


Vậy: x y z= = =3.


Bài tương tự:


a)


x z z


y x x


z y y


3 2


3 2


3 2


12 48 64



12 48 64


12 48 64


ì = - +


ï


í = - +


ï = - +




. Nghiệm: x y z= = =4.


b)


x z z


y x x


z y y


3 2


3 2


3 2



6 12 8


6 12 8


6 12 8


ì = - +


ï


í = - +


ï = - +




. Nghiệm: x y z= = =2.


Bài 2. Giải hệ phương trình sau:


x y


y z


z x


1
1
1



ì - =
ï


í - =
ï - =


· Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0.


Khơng mất tính tổng qt, giả sử x ³ y Þ y+ ³1 z+ Þ ³1 y z.
Ta lại có: z= x+ ³1 y+ =1 x Þ x ³ y ³ z ³ x Þ x = y = z.
Þ x- x- =1 0 Û x

(

)



2
5 1


4


+


= . Nghiệm x = y = z =

(

)


2
5 1


4


+
.


Bài tương t:



a) x x y


y y x


2


2 22


ìï + =
í


+ =


ïỵ . Nghim


3 5 3 5


(0;0),(1;1), ;


2 2


- -


ỗ ÷


è ø.


Bài 3. Giải hệ phương trình sau:



x y


x


y z


y


z x


z
2
2


2
2


2
2
2


1
2


1
2


1


ì



=
ï


+
ï


ïï =


í
+
ï
ï


=
ï


ï +


· Nếu x = 0 thì y = 0, z = 0 Þ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0)
· Nếu x ¹ 0 thì y > 0, z > 0 Þ x > 0.


Ta có: y x x x
x
x


2 2


2



2 2


2
1


= £ =



(44)

Þ x x
x


2
2
2


1=


+ Þ x = 1. Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1).


Bài tương t:


a)


x y x y


y z y z


z x z x


2 2



2 2


2 2


36 60 25 0


36 60 25 0


36 60 25 0


ì - + =


ï


í - + =


ï - + =




. Nghiệm (0;0;0), 5 5 5; ;
6 6 6


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ.



Bi 4. Gii h phương trình sau: y x x


x y y


3


3 3 4


2 6 2


ìï = - + +
í


= -


-ïỵ


· y x x


x y y


3


3 3 4


2 6 2


ìï = - + +
í



= -


-ïỵ Û


y x x


x y y


2
2


2 ( 1) ( 2) (1)
2 2( 1) ( 2) (2)


ìï - = - +


- = +


-ïỵ


Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là một nghiệm của hệ.


Nếu x > 2 thì từ (1) Þ y < 2. Nhưng từ (2) Þ x – 2 và y – 2 cùng dấu Þ Mâu thuẫn.
Nếu x < 2 thì cũng suy ra điều mâu thuẫn tương tự.


Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2.


Bài 5. Giải hệ phương trình sau: x y x



x y x y


2 3


2 2 2


2 4 3 0


2 0


ìï + - + =
í


- + =


ïỵ


· HPT Û y x x y
x


2 3


2


2


2( 1) ( 1) 0 (1)


2 (2)



1


- + + =


ù
=


ù +




T (1) ị y3+ £1 0 Þ y£ -1 (3)
Từ (2) Þ x³0. Ta có x


x2


2 1


1+ £ Þ y


2£1 Þ - £ £1 y 1 (4)
Từ (3), (4) Þ y= -1 Þ x=1.


Nghiệm: (1; 1)- .


Bài 6. Giải hệ phương trình sau: x y x y


x x y x


2 2 2



3 22 0


2 3 6 12 13 0


ìï - + =


í


+ + - + =


ùợ


à Ta cú: (1) y x
x
2


2
2


1


=


+ x y


2
0, 1


ị ³ £



(2)Û(x-1) (22 x+ +7) 6(y+ =1) 0 Û ì =í = -yx 11


(vì x x y


2


( -1) (2 +7),( +1) không âm)
Nghiệm: (1; 1)- .


Bài 7. Giải hệ phương trình sau: xy x


xy y


2
2


10 20 (1)


5 (2)


ì - =



í


= +
ïỵ


· Từ (2) Þ y


y
y


y


x=5+ 2 = 5+ .


Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: = 5 + y ³2 5
y


x Þ x2 ³20. Mà theo (1) thì x2 £20.


Do đó x2 =20 Û x y


x y


2 5 ( 5)


2 5 ( 5)


é = =


ê


= - =



(45)

Bài 8. Giải hệ phương trình sau:


xy



x x y


x x


xy


y y x


y y


2
3 2


2
2


3
2


2 9
2


2 9


ì


+ = +


ï



ï - +


í


ï + = +


ï - +




· Cộng hai phương trình, vế theo vế, ta được: xy xy x y


x x y y


2 2


3 2 3 2


2 2


2 9 + 2 9 = +


- + - + (*)


Ta có: 3 2x -2x+ =9 3(x-1)2+ ³8 2, 3y2-2y+ =9 3(y-1)2+ ³8 2


Þ VT (*) £ 2xy 2xy 2xy 2 xy x2 y2


2 + 2 = £ £ + . Dấu "=" xảy ra Û



x y
x y 10


é = =
ê = =


ë .


Nghiệm: (0; 0), (1; 1).


Bài 9. Giải hệ phương trình sau: x x y


x x y


2
4


4 3232 6 3 024 0 (2)(1)


ìï + - - + =


í


+ - + - =


ïỵ


·Điều kiện: x


y y



0 32


3 4; 3


ì £ £


í £ £ £


-ỵ .


Lấy (1) (2)+ ta được: x+ 32- +x 4x+432- =x y2-6y+21 (*)
Mà: + y2-6y+21 (= y-3)2+12 12³


+ x + 32- £x (1 1)(+ x+32-x) 8= ; 4x+432- £x (1 1)(+ x + 32-x) 4£


Þ x + 32- +x 4x +432- £x 12


Do đó (*) Û


x x


x x


y


4 43232


3 0



ì =




í =


-ï - =


Û ì =í =xy 163


.


Nghiệm: (16;3).


Bài 10.Giải hệ phương trình sau: x y
xy


2 4 32 (1)


8 (2)


ì + =
í =


· Ta có x, y phải là các số dương. Vì nếu x, y < 0 thì 2x +4y < <2 32.
Khi đó ta có: 2x+4y³2 2 .4x y =2 22 2+ y ³2 22 2xy =32


Do đó: (1) Û x=2y. Thay vào (2), ta được: x=4,y=2.


Nghiệm: (4;2).


Bài 11.Giải hệ phương trình sau: y x x y


x y


3 2 2


2 3


64 (1)


( 2) 6 (2)


ìï + =




+ = +


ùợ


à T (2): y+ =6 (x2+2)38 y2 y3+x2 ³8
Mặt khác 64-x y2 £8. Do đó (1) Û y x


x y


3 2


2


8


64 8


ì + =
ï


í


- =


ïỵ Û


x
y 20


ì =
í =

Nghiệm: (0;2).


Bài 12.Giải hệ phương trình sau: x x y


x y 2


1 3 (1)


( 4) 5 5 (2)


ì + + + =



ï
í


+ - + =



(46)

· Ta có: x ³0, (y-4)2+ ³5 5. Do đó: (2) Û ì =í =yx 40


(thoả (1))
Nghiệm: (0;4).


Bài 13.Giải hệ phương trình sau: x y x


x x y


3 2


2 2


3 4 (1)


1 1 (2)


ìï + + =


í


- + + =


ïỵ



·Điều kiện: x
x y


2
2
1 0


0


ìï - ³
í


+ ³


ïỵ . Từđó x y x


3 2


3 + + ³4. Dó đó (1) Û ì =í =yx 01



Nghiệm: (1;0).


Bài 14.Giải hệ phương trình sau: y x y


x y x y


2



3 ( 1) (1)


8 9 (2)


ìï - + =


+ =


-ïỵ


· Ta có: (1) Û x y- - = - +3 (y 1)2£0 Þ x y- £3 Þ 0£ - £x y 9 (a)
Từ (2) ta có điều kiện: x y- - ³9 0 Þ x y- ³9 (b)


Từ (a) và (b) Þ x y- =9
Nghiệm: (8; 1)- .



(47)

Vấn đề 4: Phương pháp hàm số
Chọn hàm số thích hợp, rồi sử dụng tính đơn điệu của hàm số.


Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b). Khi đó, với mọi
a, b Ỵ (a; b) ta có: f(a) = f(b) Û a = b.


Chú ý: Các hệ phương trình hốn vị vịng quanh


x f y
y f z
z f x
( )
( )


( )


ì =
ï =
í
ï =


, thường sử dụng tính đơn
điệu của hàm sốđể chứng minh x = y = z.


– Xét tính đơn điệu hàm số f(t).


– Chứng tỏ x < y, x > y, … khơng xảy ra.


– Từđó suy ra x = y = z. Thế vào hệđã cho để giải tìm x, y, z.


Bài 1. Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y


3 3


8 54 1 5 (1)(2)


ìï =


+ =



ïỵ


· Từ (2) Þ x8£1, y4£1Þ x £1, y £1.


Xét hàm số f t( )= -t3 5 ,t tẻ -[ 1;1] f tÂ( ) 3= t2- <5 0," ẻ -t [ 1;1] Þ f(t) nghịch biến
trên [–1; 1].


Do đó: Từ (1) Þ f(x) = f(y) Û x = y.


Thay vào (2) ta được: x8+x4- =1 0Û x 4 1 5 y
2


- +


= ± =


Bài tương tự: x x y y


x y


3 3


6 36 1 3


ìï =


+ =


ïỵ



Bài 2. Giải hệ phương trình sau: x x y y y


y x y


3 3 2


3 2 2 3 0 3 4 (1)(2)


ìï + - = + +
í


- + =


ïỵ


· Ta có: (1) Û x3+ =x (y+1)3+ +y 1 (3).


Xét hàm số f t( )= +t3 t Þ f t( ) đồng biến trên R. Do đó (3) Û x y= +1.
Thay vào (2) ta được: y3- +(y 1)3y+ =3 0 Û yy 1 3


2


é =
ê


=

ë



.
Nghiệm: (2;1), 1 3;


2 2


æ ử


-


-ỗ ữ


ố ứ.


Bi 3. Gii h phng trỡnh sau:


x y x y x y


y x


y x y x


x y x


4 4 2 2


4 4 2 2


2 6


2 (1)



8 6 0 (2)


ỡ ổ ử


ù + -ỗ + ữ+ + =


è ø


ï + - + =




·Điều kiện: ỡ ạớ ạyx 00


. t x y ty x+ = Þ


x y t


y x


2 2


2


2 + 2 = -2,


x y t t


y x



4 4


4 2


4 + 4 = -4 +2


Mặt khác, ta có: x y t t


y x


2 2


2


2 + 2 ³ Þ2 ³ Þ ³4 2



(48)

+ Vi t2 g t >( ) 0 + Vi tÊ -2 g t <( ) 0
Dựa vào BBT, ta có g t( )= -2 Û t= -2 Û x= -y


Thay vào (2) ta được: x6+x2-8x+ =6 0 Û (x-1)2ëéx x2( +1)2+2(x+1)2+4ùû=0
Û x= Þ = -1 y 1.


Nghiệm: (1; 1)- .


Bài 4. Giải hệ phương trình sau: x y xy


x y xy x y


2 2



2 2


7
(2 1)(2 1)


2


7 6 14 0


ì


- - =


ï
í


ï + + - - + =




à D thy xy=0 khụng tho HPT.


Vi xyạ0 ta có: HPT Û x x y y


x2 y2 xy x y


1 1 7


2 2 (1)



2


7 6 14 0 (2)


ìỉ ưỉ ử


- - =


ùỗ ữỗ


ớ ố ứ


ù + + - - + =




+ Điều kiện để (2) (ẩn x) có nghiệm là: 1 (y 7)2 4y2 24y 56 0 1 y 7
3


D = - - + - ³ Û £ £


+ Điều kiện để (2) (ẩn y) có nghiệm là: 2 (x 6)2 4x2 28x 56 0 2 x 10
3


D = - - + - ³ Û £ £


Xét hàm số f t t
t
1



( ) 2= - Þ f t( ) ng bin trờn (0;+Ơ) f x f y( ). ( ) f(2). (1)f 7
2


³ =


Do đó: (1) Û ì =í =xy 12
.
Nghiệm: (2;1).


Bài 5. Giải hệ phương trình sau:


x y


x y


x xy y


4 4


2 2


16 1 (1)


8


2 8 (2)


ì -



-=
ï


í


ï - + =




Ãiu kin: ỡ ạớ ạxy 00


. (1)


x y


x y


3


3


2 1


8 - = - (*)
Xét hàm số f t t t


t


3 1



( )= - ( ạ0) f t t t
t


2
2
1


( ) 3 0, 0


¢ = + > " ạ f t( ) ng bin trờn các
khoảng ( ;0),(0;-¥ +¥). Do đó:


+ Trên ( ;0)-¥ : (*) Û x y


2 = . Thay vào (2), ta được: y


2 =8 Û y= -2 2 Þ x= -4 2


+ Trên (0;+¥): (*) Û 2x y= . Thay vào (2), ta được: y2 =8 Û y=2 2 Þ x=4 2
Nghiệm:

(

-4 2; 2 2 , 4 2;2 2-

) (

)

.


Bài 6. Giải hệ phương trình sau: x y


xy y y x


3
2


(3 55) 64



( 3 3) 12 51


ìï + =


í


+ + = +


ïỵ


· Dễ thấy x=0 khơng thoả HPT. Với x¹0, HPT Û y t t
x


y y y t


3


3 2


4


3 55 ( )


3 3 3 51


ìï + = =


í


+ + = +



ïỵ



(49)

Từđó ta có: t3-3(y- -1) 55 0= Û ( 4)(t- t2+ +4 13) 0t = Û t=4


Nghiệm: (1;3).


Bài 7. Giải hệ phương trình sau: x y
x y


3
3


(2 3 ) 1 (1)
( 2) 3 (2)


ìï + =


í


- =
ïỵ


· Dễ thấy x=0 khơng thoả HPT. Với x¹0 ta có: HPT Û y x


y
x


3
3



1


2 3 (3)


3 2 (4)


ì


+ =
ïï


í


ï = +
ïỵ


Lấy (3) (4)+ ta được: y y


x
x
3


3
1 3


3 2 2


+ + = + + (*)



Xét hàm số f t( )= + +t3 3 2t Þ f t( ) đồng biến. Do đó (*) Û y
x
1


=
Nghiệm: ( 1; 1), 1;2


2


ỉ ử


- - ỗ ữ


ố ứ.


Bi tng t:


a) x y
x y


3
3


(2 3 ) 8
( 2) 6


ìï + =


í



- =


ïỵ . Nghiệm (1;2),( 2; 1)- - .


Bài 8. Giải hệ phương trình sau: x x x y


y y y x


2 4 7


2 4 7


(1 )(1 )(1 ) 1
(1 )(1 )(1 ) 1


ìï + + + = +


í


+ + + = +


ùợ


à HPT ị (1+x)(1+x2)(1+x4)+x7= +(1 y)(1+y2)(1+y4)+y7 (*)
Xột hàm số f t( ) (1 )(1= +t +t2)(1+t4)+t7.


Ta có: f t¢ =( ) 11t6+3 ( 1)t t4 + 2+2 ( 1)t t2 + 2+ +( 1)t 2> "0, t Þ f t( ) đồng biến trên R.
Do đó: (*) Û x y= . HPT Þ (1+x)(1+x2)(1+x4) 1= +x7 Û é =ê = -xx 01


ë .



Nghiệm: (0;0),( 1; 1)- - .


Bài 9. Giải hệ phương trình sau: x y y x


x x y y


3 3 2


2 2 2


3 3 2


1 3 2 2


ì - + - =


ï
í


+ - - - =


-ïỵ


·Điều kiện: x yx
y y


2
2



1 0 1 1


0 2


2 0


ìï - ³ Ûì- £ £


í í £ £


- ³ ỵ


ïỵ (*)


Đặt t x= +1, 0£ £t 2. HPT Û t t y y


x x y y


3 2 3 2


2 2 2


3 3 (1)


1 3 2 2 (2)


ì - =



í



+ - - - =


-ïỵ


Xét hàm số f a( )=a3-3 , 0a2 £ £a 2. f a¢( ) 3= a2-6a, f a¢( ) 0= Û ê =é =aa 02
ë .
Dựa vào BBT Þ f a( ) nghịch biến trên

[ ]

0;2 .


Do đó (1) Û f t( )= f y( )Û =t y Û x+ =1 y.
Nghiệm: (0;1).


Bài 10.Giải các hệ phương trình sau: y
x


x x x


y y y


2 1


2 1


2 2 3 1


2 2 3 1






-ìï + - + = +


í


+ - + = +



(50)

·Đặt ì = -í = -u xv y 11


. HPT


v
u


u u


v v


2
2


1 3
1 3


ỡù + + =


+ + =


ùợ



3u+ +u u2+ =1 3v+ +v v2+1 Û f u( )= f v( ) với f t( ) 3= + +t t t2+1.
Ta có: f t t t t


t
2
2


1


( ) 3 ln3 0


1


+ +


 = + >


+ ị f(t) đồng biến.


Þ u v= Þ u+ u2+ =1 3u Û -u log3

(

u+ u2+ =1

)

0 (2)


Xét hàm số: g u( )= -u log3

(

u+ u2+1

)

g uÂ( ) 0> Þ g(u) đồng biến.
Mà g(0) = 0 nên u = 0 là nghiệm duy nhất của (2).


Nghiệm: (1; 1).


Bài 11.Giải hệ phương trình sau:

(

x x

)

(

y y

)



x x xy xy x



2 2


1 1 1 (1)


6 2 1 4 6 1 (2)


ìï + + + + =


í


- + = + +


ïỵ


· Xét hàm số f t( )= +t t2+1. Ta có: f t t t t t


t t


2


2 2


1


( ) 1 0,


1 1


+ +



 = + = "


+ +


f t( ) đồng biến trên R.


(1) Û x+ x2+ = - +1 y y2+1 Û f x( )= -f y( ) Û x= -y.


(2) Û x 6x+2x2+ = -1 4x2+6x+1Û x x x x
2


2 25 2


2 6 1


2 4


æ ử


+ + - =


ỗ ữ


ố ứ


x x x


x x x


2


2


2 6 1 3


2 6 1 2


é + + =


ê


ê + + =


Û


x y


x y


1 ( 1)


3 11 ( 3 11)


2 2


é = =


- - +


ê = =



ë
Nghiệm: (1; 1), 3 11 3; 11


2 2


æ - - +


- ỗ ữ


ố ứ.


Bi 12.Gii h phương trình sau: x x x x y y


x x y


3 2 3


3


2 4 3 1 2 (2 ) 3 2 (1)


2 14 3 2 1 (2)


ì - + - = -



í


+ = - - +



ïỵ


· Dễ thấy x¹0. (1) Û y y


x x


3


3


1 1


1 1 (3 2 ) 3 2


ỉ ư ỉ ư


- + - = - +


-ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ (*)


Xột hàm số f t( )= +t3 t. Ta có f t =( ) 3t2+ >1 0,"t f t( ) đồng biến trên R.
Do đó (*) Û f f

(

y

)



x
1


1 3 2



ổ ử


- =


-ỗ ữ


ố ứ x y


1


1- = 3 2- . Thay vào (2), ta được:

(

x+ - -2 3

) (

315- -x 2

)

=0 Û x x


x 3 x 2 3 x


7 7 0


2 3 (15 ) 2 15 4


-


-+ =


+ + - + - +


x 7 (y 111)
98


= =



Nghim: 7;111
98


ổ ử


ỗ ÷


è ø.



(51)

x x y x x x y x y x xy


x x x


2 2 2 2


3 3


2 2


3


log (2 1) log ( ) 4 4 2 ( ) 1 3 4 2 1 (1)


log (2 ) 4 4 1 1 2 (2)


ì + - - = + + - - + - + - -



í



+ - + =


-ïỵ


· (1)Û (2x+1)2+ -1 (2x+1)2-log (23 x+ =1) (x y- )2+ -1 (x y- )2-log (3 x y- ) (*)
Xét hàm số: f t( )= t2+ - -1 t2 log3t t( >0) Þ f t t t


t
t2


1


( ) 2 0


ln3
1


ổ ử


 = - + Ê


ố ứ


+


f t( ) nghch bin. Do ú (*) Û f x(2 + =1) f x y( - ) Û 2x+ = -1 x y (1)
Với phương trình (2), xét hàm số: f x( ) log (2 ) 4= 3 x + x2- 4x2+1 (x>0)


Þ f x x



x
x2


1 1


( ) 4 2 0


ln3


4 1


ổ ử


 = - + >


+


ố ứ


f x( ) ng bin.
M f 1 1 2


2


ổ ử
=
-ỗ ÷


è ø nên x



1
2


= Þ y 3


2


= - .
Nghim: 1 3;


2 2


ổ ử




-ỗ ữ


ố ứ.


Bi 14.Gii hệ phương trình sau: x x y y y


y y x x x


2 2


2 2


2 22 2 1 (1)



2 22 2 1 (2)


ìï + + - = + +


í


+ + - = + +


ïỵ


·Điều kiện: ì ³í ³yx 00


. Dễ thấy x=0 hoặc y=0 không thoả HPT, nên x>0,y>0.
Lấy (1) (2)- ta được:


x2+2x+22+ x x+ 2+2x+ =1 y2+2y+22+ y y+ 2+2y+1 (a)
Phương trình (a) có dạng: f x( )= f y( ) với f t( )= t2+ +2 22t + t t+ + +2 2 1,(t t>0)


Ta có: f t t t t


t
t2 t


1 1


( ) 2 2 0, 0


2
2 22



+


¢ = + + + > " >


+ + Þ f t( ) đồng biến


Do đó: (a) Û x y= . Thay vào (1) ta được: x2+2x+ -1 x2+2x+22+ x =0 (b)
Phương trình (b) có dạng: g x( )=g(1) với g t( )= + + -t2 2 1t t2+ +2 22t + t


Ta có: g t t t t


t t2 t t2 t


1 1 1


( ) 2 2 2 0


2 2 22 2 22


+ +


¢ = + + - > - >


+ + + + Þ g t( ) đồng biến
Do đó: (b) Û x=1Þ y=1


Nghiệm: (1;1).


Bài 15.Giải hệ phương trình sau: x x x x y y y



x y x y


2 2 2


2 2


3 2 5 2 1 2( 1) 2 2


2 2 4 3


ìï - - + + = + + +


í


+ = - +


ïỵ


· HPT Û x x x x y y y


x x y y


2 2 2


2 2


3 2 5 2 1 2( 1) 2 2 (1)


2 2 4 3 (2)



ìï - - + + = + + +


í


- = - - +


ïỵ


Lấy (1) (2)- ta được: x2+x x2+ =1 (y+1)2+ +(y 1) (y+1)2+1 (3)


Xét hàm số: f t( )= +t2 t t2+1. Ta có: f t t t t t t t
t


2
2


2


( ) 2 1 2 2 0,


1


¢ = + + + > + ³ "
+



(52)

Nghim: ( 1; 2), ;8 5
3 3


ổ ử



- - ỗ ÷


è ø.


Bài 16.Giải hệ phương trình sau: x y x


x y


2
4


1 8 (1)


( 1) (2)


ìï - - =


- =


ïỵ


·Điều kiện: x
y 10


ì ³
í ³
.


Thế (2) vào (1) ta được: x- -1 (x-1)2 = -8 x3Û x- = - +1 x3 x2-2x+9 (3)


+ Xét hàm số f x( )= - +x3 x2-2x+9, x³1. Ta có: f x¢( )= -3x2+2x- < " ³2 0, x 1


Þ f x( ) nghịch biến khi x³1


+ Xét hàm số g x( )= x-1 Þ g x( ) đồng biến khi x³1


Mặt khác, f(2)=g(2) nên x=2 là nghiệm duy nhất của (3)
Nghiệm: (2;1).


Bài 17.Giải hệ phương trình sau: x xy y y


x y


5 4 10 6


2


(1)


4 5 8 6 (2)


ỡ + = +


ù


+ + + =


ùợ



à D thy yạ0. Khi đó (1) Û x x y y


y y


5


5


ỉ ư


+ = +


ỗ ữ


ố ứ (*)


Xột hm s f t( )= +t5 t f t =( ) 5t4+ > "1 0, t Þ f t( ) đồng biến trên R
Do đó (*) Û x y


y = Û x y= 2. Thay vào (2) ta được: 4x+ +5 x+ =8 6 Û x=1
Nghiệm: (1;1),(1; 1)- .


Bài 18.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y 3


(3 ) 2 2 2 1 0 (1)


2 2 (2 1) 1 (2)



ì - - - - =


ï
í


- - - =


ïỵ


· Ta có: (1) Û

(

(2-x)2 +1 2

)

- =x

(

(2y-1)2 +1 2

)

y-1 (*)
Xét hàm số f t( ) (= t2+1)t Þ f t( ) đồng biến.


Do đó (*) Û f

(

2-x

)

= f

(

2y-1

)

Û 2- =x 2y-1 Û x= -3 2y
Nghiệm: (1;1), 5 1 5; 5


2 4


+ -


ỗ ữ


ố ứ.


Bi 19.Giải hệ phương trình sau: x x y y


x y


3


2(2 1) 2 1 (2 3) 2 (1)



4 2 2 4 6 (2)


ìï + + + = -




+ + + =


ïỵ


· (1) Û 2(2x+1)3+2x+ =1 2 (y-2)3 + y-2 (*)
Xét hàm số f t( ) 2= t3+t Þ f t( ) đồng biến.


Do đó (*) Û 2x+ =1 y-2 y=4x2+4x+3
Nghim: 1 ;6


2


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ.


Bài 20.Giải hệ phương trình sau: y y x x x


x y y


3 3 2



2


3 4 2 (1)


1 2 1 (2)


ì + = + + +


ï
í


- - =



(53)

· (1) Û y3+ =y (x+1)3+ +x 1 (*). Xét hàm số f t( )= +t3 t Þ f t( ) đồng biến.
Do đó (*) Û f y( )= f x( +1) Û y x= +1


Nghiệm: (0;1).


Bài 21.Giải hệ phương trình sau: y y x x x


y y x


3
2


2 2 1 3 1 (1)


2 1 4 4 (2)



ì + + - =



í


+ + = + +
ïỵ


·Điều kiện: - £ £4 x 1. Ta có: (1) Û 2y3+ =y 2(1-x) 1- +x 1-x (3)
Xét hàm số f t( ) 2= t3+t Þ f t( ) đồng biến trên R. Do đó (3) Û y= 1-x .
Thay vào (2) ta được: 3 2- x + 1- = +x 4 x+4 (4)


Ta có: VT của (4) là hàm số nghịch biến trên ( 4;1)- , VP của (4) là hàm sốđồng biến trên
( 4;1)- , nên (4) có nghiệm duy nhất x= -3.


Nghiệm: ( 3;2)- .


Bài 22.Giải hệ phương trình sau:


x x y y


x


x xy x


2
2


(4 1) 2 1 0 (1)



2 3 2 0 (2)


2


ì + - - =


ï
í


- + + - + =


ï


·Điều kiện: x 4,y 1
2


³ - ³ .


Ta có (1) Û x x(4 2+ -1) y y2 - = Û1 0 2 (4x x2+ =1) 2 2y y- =1 0
Û(2 )x 3+2x=( 2y-1)3+ 2y-1 (3)


Xét hàm số f t( )= +t3 t Þ f t( ) đồng biến trên ¡, từđó


x y x2 y x


(3)Û2 = 2 - Û1 4 + =1 2 ( ³0)
Thay vào (2) ta được:


x2 x x2 x x x3 x2 x x



4 (4 1) 6 2 8 0 4 4 7 2 8 0


- + + + - + = Û - + - + = (4)


Xét hàm số g x( )= -4x2+4x3+7x- 2x+8


x


g x x x x x x


x x


2 1 2 2 5 2 8 1


( ) 12 8 7 4 2(2 1) 0, 0


2 8 2 8


+


-¢ = - + - = + - + > " ³


+ +


nên g x( ) đồng biến trên nửa khoảng [0;+¥). Mà g x( ) g 1
2


ỉ ư



= ç ÷è ø nên (4) Û x 1
2


= .
Nghiệm: 1 ;1


2


ổ ử
ỗ ữ
ố ứ.


Bi 23.Gii h phng trình sau: x y x y
x y2 y


cos cos
3 18 0


ì - =


- - =




· HPT Û íì -xx y2 cos-3yx y-= -18 0=cosy (2)(1)


.


Xét hàm số f t( )= -t cost Þ f t = +( ) 1 sint "0, tị f t( ) đồng biến trên R.



Do đó (1) Û f x( )= f y( ) Û x y= . Thay vào (2) ta được: x3-3x-18 0= Û x=3.
Nghiệm: (3;3).



(54)

Vấn đề 5: Hệ phương trình hốn vị vòng quanh


Để giải các hệ phương trình hốn vị vịng quanh


x f y
y f z
z f x
( )
( )
( )


ì =
ï =
í
ï =


, thường sử dụng tính đơn
điệu của hàm sốđể chứng minh x = y = z.


– Xét tính đơn điệu hàm số f(t).


– Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy ra.


– Từđó suy ra x = y = z. Thế vào hệđã cho để giải tìm x, y, z.


Bài 1. Giải hệ phương trình sau:



x y
y z
z x


1 (1)


2 (2)


3 (3)


ì + =
ï


+ =
í
ï + =




· Cộng 3 phương trình, vế theo vế, ta được: x y z+ + =3 (4)
Từ (4) và (1) Þ z = 2; từ (4) và (2) Þ x = 1; từ (4) và (3) Þ y = 0.
Thử lại Þ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2).


Bài 2. Giải hệ phương trình sau:


xy x y
yz y z
zx z x



2 1


2 7


2 2


ì = + +


ï


= + +
í


ï = + +




· yz y zxy x y
zx z x


2 1


2 7


2 2


ì = + +


ï



= + +
í


ï = + +


Û xy zy


z x


(2 1)(2 1) 3
(2 1)(2 1) 15
(2 1)(2 1) 5


ì - - =


ï


- - =


í


ï - - =




(*)
Nhân các phương trình trên, vế theo vế, ta được:



x 2 y 2 z 2


(2 -1) (2 -1) (2 1)- =225Û x y z a


x y z b


(2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )
(2 1)(2 1)(2 1) 15 ( )


é - - - =


ê - - =



Kết hợp với (*) ta được:


+ Trường hợp (a) Þ
x
y
z
2 1 1
2 1 3
2 1 5


ì - =
ï


- =
í



ï - =


Û xy
z


1
2
3


ì =
ï


=
í
ï =

+ Trường hợp (b) Þ


x
y
z


2 1 1


2 1 3


2 1 5


ì =




=


ï =
-ỵ


Û xy
z


0
1
2


ì =
ï


=

ï =
-ợ


Th li ị Nghim (x; y; z): (1;2;3), (0; 1; 2)- - .


Bài tương t:


a)


x xy y


y yz z
z zx x


1
3
7


ì + + =
ï


+ + =
í


ï + + =


Û xy zy


z x


( 1)( 1) 2
( 1)( 1) 4
( 1)( 1) 8


ì + + =


ï


+ + =



í


ï + + =




. Nghiệm: (1;0;3),( 3; 2; 5)- - - .


Bài 3. Giải hệ phương trình sau:


x y


y z


z x


2
2
2
( 1) 2
( 1) 2
( 1) 2


ì - =


ï


í - =


ï - =




(I)
à T (I) ị x y z, , ³0.


Xét hàm số f t( ) 1( 1)t 2
2


= - Þ f t( ) đồng biến trên (1;+¥), nghịch biến trên [0;1].


Khi đó HPT Û


f x y


f y z


f z x


( )
( )
( )


ì =


ï
=
í



(55)

Từ hệ (I) ta suy ra được: + nếu x<1 thì y<1,z<1 + nếu x>1 thì y>1,z>1
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f t( ) ta chứng minh được x y z= = .


Khi đó: (x-1)2=2x Û x= ±2 3.


Nghiệm:

(

2- 3;2- 3;2- 3 , 2

) (

+ 3;2+ 3;2+ 3

)

.


Bài tương t:


a)


x y


y z


z x


2
2
2


1
1
1


ì = +
ï


í = +
ï = +


. Nghiệm: 1 5 1; 5 1; 5 , 1 5 1; 5 1; 5



2 2 2 2 2 2


æ - - - ử ổ + + +


ỗ ữ ç ÷


è ø è ø.


Bài 4. Giải hệ phương trình sau:


x x x y


y y y z


z z z x


3 2


3 2


3 2


3 2 5


3 2 5


3 2 5


ì + + - =



ï


í + + - =


ï + + - =




· Giả sử x=max{ , , }x y z . Xét 2 trường hợp:
a) x y z³ ³ .


Từ HPT ta có: x x x x


z z z z


3 2


3 332 22 55


ìï + + - Ê


+ + -


ùợ


x x


z z



2
2


( 1) ( 2) 1 0
( 1) ( 2) 1 0


ì é ù


ï - ë + + £û


í é ù


- + +


ù ở ỷ




x
z 11


ỡ Ê


b) x z y ³ .


Từ HPT ta có: x x x x


y y y y



3 2


3 33 2 22 55


ìï + + - Ê


+ + -


ùợ


x x


y y


2
2


( 1) ( 2) 1 0
( 1) ( 2) 1 0


ì é ù


ï - ë + + £û


í é ù


- + +



ù ở ỷ




x
y 11


ỡ Ê



C 2 trng hp đều cho: x y z= = =1. Thử lại thấy x y z= = =1 là nghiệm của HPT.
Nghiệm: (1;1;1).


Bài 5. Giải hệ phương trình sau:


x x x x y


y y y y z


z z z z x


3 2


3 2


3 2


3 3 ln( 1)



3 3 ln( 1)


3 3 ln( 1)


ì + - + - + =


ï


í + - + - + =


ï + - + - + =




· Xét hàm số f t( )= + - +t3 3 3 ln(t t2- +t 1) Þ f t t t t


t t


2


2
2 1


( ) 3 1 0,


1




-¢ = + + > "


- +


Þ f t( ) đồng biến trên R. Khi đó HPT Û


f x y


f y z


f z x


( )
( )
( )


ì =


ï
=
í


ï =




.


Giả sử x=min( , , )x y z . Khi đó x y£ Þ f x( )£ f y( ) Þ y z£ Þ f y( )£ f z( ) Þ z x£


Þ x y z x£ £ £ Þ x y z= = .



Với x y z= = ta có: x3+2x- +3 ln(x2- + =x 1) 0 (*)


Hàm số g x( )=x3+2x- +3 ln(x2- +x 1) đồng biến và g(1) 0= nên (*) có nghiệm duy
nhất x=1.


Nghiệm: (1;1;1).
Bài tương t:


a)


x y y y


y z z z


z x x x


3 2


3 2


3 2


2 1
2 1
2 1


ì + = + +


ï



í + = + +


ï + = + +


. Xét hàm số f t t t t


3 2 1


( )


2


+ +



(56)

b)
ï

ï
í
ì


=
+
+


-=
+
+




-=
+
+


-x
z


z
z


z
y


y
y


y
x


x
x


4
1
5
3



4
1
5
3


4
1
5
3


2
3


2
3


2
3


. Xét hàm số f t( )= -t3 3t2+ +5 1t .


Nghiệm: (1;1;1),

(

1± 2;1± 2;1± 2

)

.
Bài 6. Giải hệ phương trình sau:


x x y x


y y z y


z z x z



2


3
2


3
2


3


2 6.log (6 )
2 6.log (6 )
2 6.log (6 )


ì - + - =


ïï


í - + - =


ï


- + - =


ïỵ


·Điều kiện x y z, , £6. HPT Û


x
y



x x


y
z


y y


z
x


z z


3 2


3 2


3 2


log (6 )


2 6


log (6 )


2 6
log (6 )


2 6



ì


- =
ï


- +


ï


ïï - =


í


- +
ï


ï


- =
ï


- +
ïỵ


(a)


Xét các hàm số f t t g t t


t2 t 3



( ) , ( ) log (6 )


2 6


= =


-- + với t<6. Ta có:


+ f t t t


t2 t
6


( ) 0, 6


2 6




-¢ = > " <


- + Þ f t( ) đồng biến


+ g t t


t
1


( ) 0, 6



6


¢ = < " <


- Þ g t( ) nghịch biến
Khi đó: (a) Û f xf y g yg z


f z g x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )


ì =


ï =


í


ï =




Giả sử x=min( , , )x y z . Khi đó x y£ Þ f x( )£ f y( ) Þ g y( )£g z( ) Þ y z³


Þ f y( )³ f z( )Þ g z( )³g x( ) Þ z x£ Þ f z( )£ f x( ) Þ g x( )£g y( ) Þ x y³


Þ x y z= = .


Với x y z= = ta có: x x



x x


3 2


log (6 )


2 6


- =


- + (b)


Hàm số f t t
t2 t
( )


2 6


=


- + đồng biến, g t( ) log (6 )= 3 -t nghịch biến và f(3)=g(3) 1=
nên (b) có nghiệm duy nhất x=3.


Nghiệm: (3;3;3).



(57)

Vấn đề 6: Hệ phương trình giải được bằng phương pháp lượng giác hoá


· Nếu x a a£ ( >0) ta đặt x a= cosa với aỴ[0; ]p .


· Nếu x2+y2 =a a( >0) ta đặt x= asin ,a y= acosa với aỴ[0;2 ]p .



· Với mọi số thực x ln có một số a với ;
2 2
p p


ổ ử


ẻ -


ố ứ


a sao cho x=tana .


Bài 1. Giải hệ phương trình sau: x y y x


x y


2 2


1 1 1 (1)


(1 )(1 ) 2 (2)


ìï - + - =


í


- - =


ïỵ



·Điều kiện: x xy
y


2
2


1 0 1 1


1 1


1 0


ìï - ³ Ûì- £ £


í í- £ £


- ³ ỵ


ïỵ . Đặt x=cos ,a y=cosb với a b, Ỵ[0; ]p .
Khi đó: HPT Û ìí -(1 cos )(1 cos ) 2cos .sina ab+cos .sinbb a =1


+ =


Û sin cos2 sin cos 1 0 (3)


p
a b


a a a a



ìï + =
í


ï - - - =




t t=sina-cos ,a t Ê 2 sin cos 1 t2
2


a a = - .


Khi đó: (3) Û t 1 t2 1 0
2




-- - = Û t2+ - =2 3 0t Þ t=1


Với t=1 ta có: 2 sin 1
4
p


-=


ỗ ữ


a 2



p


=


a b =0 ỡ =ớ =yx 10



Nghim: (0;1).


Bi 2. Gii h phương trình sau: x y xy
x2 y2


2( )(1 4 ) 3 (1)


1 (2)


ìï - + =


í


+ =
ïỵ


· Do x2+y2 =1 nên x y, Ỵ -[ 1;1]. Đặt x=sin ,a y=cosa với aỴ[0;2 ]p .
Khi đó (1) Û 2(sina -cos )(1 2sin 2 )a + a = 3


Û 4sin sin2 sin 3


4 6



p p


a a


ỉ ưỉ ư


- + =


ỗ ữỗ ữ


ố ứố ứ 8sin 4 sin 12 cos 12 3


p p p


a a a


ỉ ư ỉ ử ổ ử


- + - =


ỗ ữ ỗ ữ ỗ ÷


è ø è ø è ø


Û 4cos cos cos 2 3


12 3 6


p p p



a é a ù


- ư --=


ỗ ữờ ỗ ữỳ


ố ứở ố øû


Û 2cos 4cos cos 2 3


12 12 6


p p p


a a a


ỉ ư ỉ ư ỉ ư


- - - - =


ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ ố ø


Û 2cos 2 cos 3 cos 3


12 4 12


p p p



a é a a ù


- ư-- ư+-=


ỗ ữ ờ ỗ ữ ỗ ữỳ


ố ø ë è ø è øû


Û 2cos 3 3


4
p
a


ỉ ư


- - =


ố ứ


3
cos 3


4 2


p
a


-=



-ỗ ÷


è ø Û


k


k Z
k


13 2


36 3 ( )


7 2


36 3


p p


a


p p


a


é


= +


ê




ê


ê = - +
ë


Vì a Ỵ[0;2 ]p nên 13 37 51 17 41 65, , , , ,
36 36 36 36 36 36


p p p p p p


ỡ ỹ


ẻ ớ ý


ợ ỵ



(58)

Nghim: x y


13 13 37 37 51 51


sin ;cos , sin ;cos , sin ;cos ,


36 36 36 36 36 36


( ; )


17 17 41 41 65 65



sin ;cos , sin ;cos , sin ;cos


36 36 36 36 36 36


p p p p p p


p p p p p p


ìỉ ử ổ ử ổ ử ỹ


ỗ ữ ỗ ữ ỗ ÷


ï ï


ïè ø è ø è ø ï


Ỵ í ư ổ ử ổ ý


ù ữ ỗ ữ ỗ ù


ùố ứ ố ứ ố ứ ù


ợ ỵ


Bi 3. Gii hệ phương trình sau:


x x y y
y y z z
z z x x



2
2
2
2
2
2


ì + =


ï


í + =


ï + =




(I)


· Từ các phương trình của hệ ta suy ra x y z, , ¹ ±1.


Do đó: (I) Û


x
y


x
y
z



y
z
x


z
2
2
2


2 (1)


1


2 (2)


1


2 (3)


1


ì
=
ï




ï =
í





ï =


ï


-ỵ


.


Đặt x=tana với ;
2 2
p p


ổ ử


ẻ -ỗ ữ


ố ứ


a sao cho tan ,tan 2 ,tan 4a a a ¹ ±1.


Khi ú ta cú:
y
z
x


tan2
tan 4
tan8



ỡ =
ù


=

ù =


a
a


a tan8a =tana k 7 (k Z)


p


= ẻ


a


Vỡ ;


2 2
p p


ổ ử


ẻ -


ố ứ



a nờn k= 0, 1, 2, 3.


Nghiệm: ( ; ; )x y z tank ;tank2 ;tank4 ,k Z, 3 k 3


7 7 7


p p p


ỡổ ử ỹ


ẻớỗ ẻ - Ê Ê ý


ợ þ.


Bài 4. Giải hệ phương trình sau:


x z x z z


y x y x x


z y z y y


2 3


2 3


2 3


3 3 0



3 3 0


3 3 0


ì - - + =


ï


í - - + =


ï - - + =




· HPT Û


x z z z


y x x x


z y y y


2 3


2 3


2 3


(1 3 ) 3


(1 3 ) 3
(1 3 ) 3


ì - =




í - =


- =


-ỵ


(I). Từ hệ suy ra x y z, , 1
3


¹ ± .


Do đó: (I) Û


z z
x


z
x x
y


x
y y
z



y
3
2
3
2
3
2


3 (1)


1 3


3 (2)


1 3


3 (3)


1 3


ì


-=
ï





ïï



-=
í





ï


-=
ï



-ïỵ


(II)


Đặt x=tana với ;
2 2
p p


ổ ử


ẻ -ỗ ữ


ố ứ


a sao cho tan ,tan3 ,tan9 1
3



¹ ±


a a a .


Khi đó ta cú:
y
z
x


tan3
tan 9
tan 27


ỡ =
ù


=

ù =


a
a


a tan27a =tana


(

)



k , k Z



26
p


= Ỵ



(59)

;
2 2
p p


ổ ử


ẻ -


ố ứ


a nờn k £12.


Nghiệm: ( ; ; )x y z tank ;tank3 ;tank9 ,k Z, 12 k 12


26 26 26


p p p


ìỉ ử ỹ


ẻớỗ ẻ - Ê Ê ý


ợ ỵ.


Bi 5. Giải hệ phương trình sau: x x y y z z


xy yz zx


1 1 1


3 4 5


1


ì ỉ +=+=+


ù ỗ ữ ç ÷ ç ÷


í è ø è ø è ø


ï + + =


à Nhn xột: xyzạ0 x y z, , cùng dấu. Nếu ( ; ; )x y z là một nghiệm của HPT thì
x y z


( ; ; )- - - cũng là nghiệm của hệ, nên ta sẽ tìm nghiệm x y z, , dương của hệ.
Đặt x=tan ,a y=tan ,b z=tan (0g <a b g, , <90 )0 .


Khi đó: HPT trở thành:


1 1 1


3 tan 4 tan 5 tan (1)


tan tan tan



tan .tan tan .tan tan .tan 1 (2)


a b g


a b g


a b b g g a


ì ỉ ư ỉ ử ổ ử


+ = + = +


ù ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ


ớ ố ứ


ù + + =




Ta có: (1) Û 3 1 tan2 4 1 tan2 5 1 tan2


tan tan tan


a b g


a b g


æ + ử ổ + ử ổ +



= =


ỗ ữ ç ÷ ç ÷


è ø è ø è ø Û


3 4 5


sin2a =sin 2b =sin 2g


Từ (2) Þ tan (tang a +tan ) 1 tan tanb = - a b Þ cotg =tan(a b+ )


Þ tan 90

(

0-g

)

=tan(a b+ ) Þa b g+ + =900
Do đó:


0 0


3 4 5


sin2 sin2 sin 2


0 , , 90 ; 90


ì


= =


ï
í



ï < < + + =


a b g


a b g a b g


Þ 2 ,2 ,2a b g là các góc của một tam giác
có độ dài 3 cạnh là 3, 4, 5.


Do tam giác có độ dài 3 cạnh là 3, 4, 5 là tam giác vuông nên:
2g =900 Þ g =450 Þ z=tang =1


+ tan2 2 tan2 3
4
1 tan


a
a


a


= =


- Û


x
x2



2 3


4
1- = Þ x


1
3


=
+ tan2 2tan2 4


3
1 tan


b
b


b


= =


- Û


y
y2


2 4


3
1- = Þ y



1
2


= .
Nghiệm: 1 1; ;1 , 1 1; ; 1


3 2 3 2


ổ ử ổ ử


- -


-ỗ ữ ỗ ữ


ố ø è ø.


Bài 6. Giải hệ phương trình sau:



(60)

Vấn đề 7: Hệ phương trình chứa tham số


Bài 1. Tìm m để hệ phương trình:


2 2


2 2


2


( ) 4



ì - + =


ï
í


+ - =


ïỵ


x y x y


m x y x y có ba nghiệm phân biệt.


· Hệ PT Û m x x m x m


y
x


4 2


2
2


( 1) 2( 3) 2 4 0 (1)


2
1


ì - + - + - =



ï


í = +
ï


+


.


+ Khi m = 1: Hệ PT Û x x VN
y


x
2


2
2


2 1 0


( )
2


1


ì + =


ï



í = +
ï


+




+ Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , t³0. Xét f t( ) (= m-1)t2+2(m-3) 2t+ m- =4 0 (2)
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt Û (1) có ba nghiệm x phân biệt


Û (2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 Û

(

)


f


m
m


S


m
(0) 0


... 2


2 3


0
1



ì =


ï - Û Û =


í


= >


ï


-ỵ


.


Bài 2. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x xy y I


x xy y m


2 2


2 2


2 1 ( )


ìï + - =


í


+ + =



ïỵ


· + Với y=0 HPT trở thành: x


x m


2
2


2 1


ìï =
í


=


ïỵ . Hệ có nghiệm khi m


1
2


= .


+ Với y¹0. Đặt x t


y = . (I) trở thành:


t t


y


m


t t


y
2


2
2


2
1


2 1


1


ì


+ - =
ïï


í


ï + + =
ïỵ


Û t t y II


t t m t t



2


2


2 2


1


2 1


( )


1 (2 1)


ì


+ - =
ï


í


ï + + = +


-ỵ
Do đó (I) có nghiệm ( ; )x y Û (II) có nghiệm ( ; )t y .


Xét hệ (II), từ t t


y


2


2
1


2 + - =1 Þ 2t2+ - >1 1 0 Û tt 11
2


é <


>
ê
ë


.


Do đó (II) có nghiệm ( ; )t y Û m t t


t t


2
2


1


2 1


+ +
=



+ - cú nghim t


1
( ; 1) ;


2


ổ ử


ẻ -Ơ - ẩỗ +Ơữ.
Xột hm s f t t t


t t


2
2


1
( )


2 1


+ +
=


+ - , t


1
( ; 1) ;



2


ổ ử


ẻ -Ơ - ẩ
ố ứ.
Ta cú: f t t t


t t


2


2 2


6 2
( )


(2 1)


+ +
¢ =


-+ - , f t¢ =( ) 0 Û


t
t


3 7



3 7


é =


= - +


ë .


Dựa vào BBT của hàm số f t( ) suy ra HPT có nghiệm khi m 14 5 7
28 11 7


+
³


+ .


Bài 3. Biết ( ; )x y là nghiệm của hệ x y m
x2 y2 6 m2


ì + =


í + =



(61)

· HPT x y m
xy m2 3


ì + =


Û í =



-ỵ (I).


Hệ (I) có nghiệm ÛS2-4P³ Û0 m2-4m2+12 0³ Û - £ £2 m 2


A P= +2S m= 2+2m-3. Bài tốn tìm lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số với mỴ -éë 2;2ùû
Đạo hàm A¢ =2m+2, A¢ = Û = -0 m 1


Tìm được maxA=5, tại m=2 hay ì + = Û = =íx yxy 1 2 x y 1
=




minA= -4, tại m= -1 hay ìíx yxy+ = -2íìyx= -12


= - =


ỵ ỵ hoặc


x
y 12


ì =
í =


-ỵ .


Bài 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: xy x y m
x y xy2 2 m



2
1


ì + + = +


í + = +




· Nếu

(

x y0 0;

)

là nghiệm của hệ thì

(

y x0 0;

)

cũng là nghiệm của hệ.
Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0=y0.


Khi đó, hệ trở thành: x x m


x m


2


0 0


3
0


2 2


2 1


ì + = +


ï


í


= +


ïỵ x x x


2 3


0 2 0 2 0 1


Þ + = + Û2x03-x02-2x0+ =1 0


1) x0= Þ =1 m 1 2) x0 = - Þ = -1 m 3 3) x0 1 m 3


2 4


= Þ =
-Ngược lại:


1) m=1, hệ trở thành xy x y
x y xy2 2


3
2


ì + + =


í + =





S P S


SP 2 3 P 21


ì + = ì =


®í Ûí


= =


ỵ ỵ (I) hoặc


S
P 12


ì =
í =
(II)
Hệ (I) có nghiệm

( )

1;1 , hệ (II) vơ nghiệm. Như vậy, hệđã cho có nghiệm duy nhất.
2) m= -3, hệ trở thành xy x y


x y xy2 2
1
2


ì + + =


+ =



-ỵ


S P S


SP 2 1 P 12


ì + = - ỡ =




= - =


ợ ợ (I) v


S
P 12


ì =
í =
-ỵ (II)
Hệ (I) có nghiệm( 1; 1)- - , hệ (II) có nghiệm ( 1;2),(2; 1)- - . Như vậy, hệ đã cho có 3
nghiệm.


3) m 3
4


= - , hệ trở thành xy x y
x y xy2 2


5


4
1
4




+ + =
ù




ù + =




S P
SP


5
4
1
4




+ =
ù


đ ớ
ù =




S
P


1
1
4


ì =
ï
Û í =


ïỵ (I) v


S
P


1
4
1


ìï =
í
ï =


(II)


H (I) cú nghim 1 1;


2 2


ổ ử


ỗ ÷


è ø, hệ (II) vô nghiệm. Như vậy, hệđã cho có nghiệm duy nhất.


ĐS: m 1; 3
4


ì ü


í - ý
ợ ỵ.


Bi 5. Tỡm m h phng trỡnh sau: x y y m


y x x m


2
2


ìï = - +
í


= - +
ïỵ


a) có nghiệm b) có nghiệm duy nhất.



· HPT Þ - =x y y2-x2+ -x y Û - =x y (x y- )(1- -x y) Û ê + =é =x yx y 0


ë
a) *) Với x y= , ta được x x= 2- +x mÛ x2-2x m+ =0 (1)



(62)

Vậy hệ có nghiệm Ûmột trong 2 pt có nghiệm m
m
1


2


1 0


4 0


D
D


é ¢ = - ³
Û ê = - ³


ë Û £m 1


b) Nếu

(

x y0; 0

)

là nghiệm của hệ thì

(

y x0 0;

)

cũng là nghiệm của hệ.
Vậy nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0=y0.


Khi đó, ta có: x0 =x02-x0+m Û x02-2x0+ =m 0 (*)
Phương trình (*) có nghiệm x0 duy nhất ÛD/ = - =1 m 0.



Thử lại,m=1 hệ trở thành: x y y


y x x


2


2 11


ìï = - +
í


= - +
ïỵ


x y


x y 0


é =
Þ ê + =ë


* Vớix y= : ta có x x= 2- +xx2-2x+ =1 0 Û =x 1Þ =y 1, nghiệm duy nhất.
* Với x= -y: ta có Ûx2+ =1 0, vô nghiệm


ĐS: m=1.


Bài 6. Chứng tỏ rằng với m¹0 thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:





m


x y


y
m


y x


x
2
2


2
2


2
2


ì


= +
ïï


í


ï = +


ïỵ



· Vi mạ0 y m
y
2
,


cựng du, mt khỏc 2x2 ³0 nên y>0. Tương tự x>0.


HPT x y y m


y x x m


2 2 2


2 2 2


2
2


ìï = +




= +


ùợ ị2 (xy x y- ) (= y x y x- )( + )


x y


x y 2xy 0 (*)



é =


Û ê + +ë =
(*) vơ nghiệm vì x>0,y>0


Vậy HPT x y


x3 x2 m2


2 (1)


ì =


Û í - =


, ta chỉ cần chứng tỏ hệ này có nghiệm duy nhất.
Xét hàm số f x( ) 2= x3-x2, f xÂ( ) 6= x2-2x


x -Ơ 0 1


3 +Ơ


f xÂ( ) + 0 - 0 +


f x( )




0 1



27


- +¥


Dựa vào BBT, đường thẳng y m= 2 cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất có hồnh độ
dương hay phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi m2 >0 Ûm¹0.
Bài 7. Chứng tỏ rằng với m>0 thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:


x y y m


y x x m


2 2


2 2


3 2 0 (1)


3 2 0 (2)


ìï - - =


í


- - =


ïỵ



(63)

f x'( ) 9= x2-4x , f x'( ) 0 x 0,x 4
9



= Û = =


Dựa vào BBT ta thấy với mọi m>0 phương trình f x( )=m có nghiệm x 0> duy nhất.
Bài 8. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y


x x y y m


1
1 3


ìï + =
í


+ =


-ïỵ (D – 2004)


·Đặt u= x v, = y u( ³0,v³0). Hệ PT Û u v u vuv m


u3 v3 m


1 1


1 3


ì + = Ûì + =


í + = - í =





.


ĐS: 0 m 1
4


£ £ .


Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: y x m


y xy


2 (1)


1 (2)


ỡ - =


ớ + =




à T (1) ị x=2y m- , nên (2) Û 2y2-my = -1 y ym y
y
1


1 2


ì £


ï


Û í = - +


ïỵ (vì y ¹ 0)
Xét f y y f y


y y2


1 1


( )= - + ị2 Â( ) 1= + >0


Da vào BTT ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất Ûm>2.
ĐS: m>2.


Bài 10.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m


x y m2 m


1 1 (1)


4 6 (2)


ìï + + - =
í


+ = - +


ïỵ (I)



·Đặt u x u v
v y 11 ( , 0)


ìï = + ³


í


=


-ïỵ , ta được hệ


u v m


u2 v2 m2 4m 6


ì + =


í + = - +


u v m
uv 2m 3


ì + =


Û í = - (II)
Hệ (I) có nghiệm

( )

x y; Ûhệ (II) có nghiệm ( ; )u v với u³0;v³0


Ta biết u v, là nghiệm của phương trình f t

( )

= -t2 mt+2m- =3 0 (*), nên hệ (II) có

nghiệm u³0,v³0 khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép khơng âm hay có hai nghiệm phân
biệt khơng âm


S P


S
P


2 4 0


0
0


ì - ³


ï
Ûí ³


ï ³


m m


m
m


2 8 12 0


0



2 3 0


ì - + ³


ï
Ûí ³


ï - ³


m m


m
m


2, 6
0
3
2


ì


ï £ ³


ï
Ûí ³


ï
³
ïỵ



m
m


6


3 2


2


é ³
ê
Û


£ £
ê


ë


ĐS: 3 m 2 m 6


2 £ £ Ú ³ .


Bài 11.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m


y x m


2 1


2 1



ìï + - =
í


+ - =


ùợ .


à t u= x- ị =1 0 x u2+1, v= y- ³ Þ =1 0 y v2+1
HPT trở thành: u v m


v u m


2
2


2 2


2 2


ìï + + =
í


+ + =


ïỵ (II)



(64)

(II)Þ(u v u- )(2 +2v- =1) 0. Hệ (II) Û


u v A



u u m


u v B


u v m


2
2


( )


2 2 0


2 2 1 0 ( )


2 2 0


éì =
í


ê + + - =



ê


ì


ê + - =



í


ê + + - =



ë


Với hệ (A), PT: 2u2+ + - =u 2 m 0 có P 2 m 0
2




-= £ (vì m³2) nên có nghiệm u0.
Khi đó hệ (II) có nghiệm u v u= = 0 Þ hệ ban đầu có nghiệm x y u= = 02+1.


ĐS: m³2.


Chú ý: Ta không cần xét hệ (B), vì chỉ cần (A) có nghiệm thì hệ ban đầu có nghiệm.
Bài 12.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y m


y x m


1 3 (1)


1 3 (2)


ìï + + - =
í


+ + - =


ïỵ


·Điều kiện: - £1 x y, £3.


Lấy (1) (2)- ta được: x+ -1 3- =x y+ -1 3-y (3)
Xét hàm số f t( )= t+ -1 3-t Þ f t( ) đồng biến trên ( 1;3)- .


Do đó (3) Û x y= . Thay vào (1) ta được: g x( )= x+ +1 3- =x m (4)
HPT có nghiệm Û (4) có nghiệm


g x( ) là hàm số liên tục trên [ 1;3]- và g x g x x


x x


1 1


'( ) , '( ) 0 1


2 1 2 3


= - = Û =


+


-Dựa vào BBT ta có (4) có nghiệm Û 2£ £m 2 2
Kết luận: 2£ £m 2 2.


Bài 13.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y y x


x x y y m



3 3 2


2 2 2


3 3 2 0 (1)


1 3 2 0 (2)


ì - + - - =


ï
í


+ - - - + =


ïỵ


·Điều kiện - £ £1 x 1; 0£ £y 2. Khi đó -1£ y-1£1 nên:
)


1
(
)
(
)
1
(
3
)


1
(
3
)


1


( Û x3 - x= y- 3 - y- Û f x = f y- trong đó f(t)=t3 -3t,t

[ ]

-1;1


Ta có: f'(t)=3t2 -30"t

[ ]

-1;1 f(t) ng bin trờn on

[ ]

-1;1 .
Do đó (1)Ûx= y-1, thế vào (2) ta được m=2 2y-y2 +2y-y2 -1.
Đặt t = 2y-y2 , vì 0£ y£2 nên 0£t£1.


Khi đó (2)Ûm= f(t) với f(t)=t2 +2t-1,t

[ ]

0;1.


Xét hàm số g t( )= + -t2 2 1t trên đoạn

[ ]

0;1 , ta có g t'( ) 2 2= t+ , g t'( ) 0= Û = -t 1.
Suy ra bảng biến thiên của g t( )= + -t2 2 1t trên đoạn

[ ]

0;1 là:


x 0 1
g’(x) +


g(x)


2
-1


Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị cần tìm của m là m

[

-1;2

]

.
Bài 14.Tìm m để hệ phương trình sau:



(65)

Vấn đề 8: Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình


Bài 1. Giải phương trình sau: 8x+ =1 2 23 x+1-1


·Đặt 2x = >u 0; 23 x+1- =1 v.


Ta được hệ u v u v u v


u u


v u u v u uv v


3 3


3


3 2 2


0


1 2 1 2


2 1 0


1 2 ( )( 2) 0


ì ì ì = >


ï + = Ûï + = Û


í í í - + =



+ = - + + + =


ï ï ỵ


ỵ ỵ


Û x


x 2


0


1 5


log
2


é =


ê - +


ê =
ë


Bài 2. Giải phương trình sau: x3+ =1 2 23 x-1


·Đặt y=32x-1. Ta được hệ x y


y x



3
3 1 21 2


ỡù + =


+ =


ùợ x y x y xy


2 2


( - )( + + +2) 0= Û x y=


Þ x3-2x+ =1 0 Û x
x


1


1 5


2


é =
ê - ±
ê =
ë


.



Bài 3. Giải phương trình sau: 2 33 x- +2 3 6 5- x - =8 0


·Đặt u=33x-2,v= 6 5 ,- x v³0 (*).
Ta có hệ: u v


u3 v2


2 3 8


5 3 8


ì + =


í + =


Û


u
v


u3 u2 u


8 2
3


15 4 32 40 0


ì =

í



ï + - + =




u


v 42


ỡ =
-ớ =


ị x = 2.
Bài 4. Giải phương trình sau:



(66)

ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002B) Giải hệ phương trình: x y x y


x y x y


3


2


ì - =



í


+ = + +



ïỵ .


ĐS: (1;1), 3 1;
2 2


ổ ử


ỗ ữ


ố ứ


Baứi 2. (ĐH 2003A) Giải hệ phương trình: x x y y
y x3


1 1


2 1


ì


=


í


ï = +





.


ĐS: (1;1), 1 5 1; 5 , 1 5 1; 5


2 2 2 2


- + - + ư ỉ- - - -


ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ


Baứi 3. (ĐH 2003B) Giải hệ phương trình:


y
y


x
x
x


y
2


2
2


2
2
3



2
3


ì +


=
ï
ï


í +


ï =
ïỵ


.


ĐS: (1; 1)


Bài 4. (ĐH 2004D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x y


x x y y m


1
1 3


ì + =


ï
í



+ =


-ïỵ


ĐS: 0 m 1
4


£ £


Bài 5. (ĐH 2004A–db1) Gọi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình ì -ímx yx my= -32 4m m1


+ = +


ỵ (m là


tham số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x= 2+y2-2x, khi m thay đổi.
ĐS:


Baøi 6. (ĐH 2005A–db1) Giải hệ phương trình: x y x y


x x y y y


2 2 4


( 1) ( 1) 2


ì + + + =
í



+ + + + =


ỵ .


ĐS:

(

2;- 2 ,

) (

- 2; 2 , (1; 2), ( 2;1)

)

-


-Baøi 7. (ĐH 2005A–db2) Giải hệ phương trình: x y x y


x2 y 1 1


3 2 4


ì + + - + =


í


+ =


ỵ .


ĐS: (2; 1)


-Bài 8. (ĐH 2006A) Giải hệ phương trình: x y xy


x y


3


1 1 4



ì + - =


ï
í


+ + + =


ïỵ .


ĐS: (3; 3). Đặt t= xy.


Baøi 9. (ĐH 2006A–db1) Giải hệ phương trình: x y y x y


x y x y


2


2 1 ( ) 4


( 1)( 2)


ìï + + + =


í


+ + - =


ïỵ .


ĐS: (1;2), ( 2;5)



-Baøi 10. (ĐH 2006A–db2) Giải hệ phương trình: x x y y


x y


3 3


2 83 3( 2 21)


ìï - = +
í


- = +



(67)

ĐS: (3;1), ( 3; 1), 4 6; 6 , 4 6; 6


13 13 13 13


ỉ ư ỉ ử


- - ỗ- ữ ỗ - ữ


ố ứ ố ứ.


Chú ý: 3(x3-y3) 6(4= x y+ ) (= x2-3 )(4y2 x y+ ).
Baøi 11. (ĐH 2006B–db2) Giải hệ phương trình: x y x y


x y x y


2 2



2 2


( )( ) 13


( )( ) 25


ìï - + =


í


+ - =


ïỵ .


ĐS: (3;2), ( 2; 3)- - . HPT Û x y
xy x y


3 3 19


( ) 6


ì - =


í - =


.


Bài 12. (ĐH 2006D–db1) Giải hệ phương trình: x xy y x y



x xy y x y


2 2


2 2 3(7( ))3


ìï - + =




+ + =


-ïỵ .


ĐS: (2;1), ( 1; 2)- - . Đặt u x y
v xy


ì =
-í =


.


Bài 13. (ĐH 2007D) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:


x y


x y


x y m



x y


3 3


3 3


1 1 5


1 1 15 10


ì


+ + + =
ïï


í


ï + + + =


-ïỵ


.


ĐS: 7 m 2 m 22


4£ £ Ú ³ . Đặt

(

)



u x



x u v


v y
y
1


2, 2
1


ì = +


ïï ³ ³


í
ï = +
ïỵ


. Dùng PP hàm số.


Bài 14. (ĐH 2007A–db2) Giải hệ phương trình: x x y x y


x y x xy


4 3 2 2


3 2 1 1 (1)(2)


ìï - + =


í



- + =


ïỵ .


ĐS: (1;1), ( 1; 1)- - . Đặt u x xy
v x y


2
3


ìï =


=


ïỵ . Cách 2: Hệ PT Û


x x
xy


2( 2 1) 0


1 0


ì - =


í


- =



Û


x
xy 11


ì = ±
í =


Bài 15. (ĐH 2007B–db2) Giải hệ phương trình:


xy


x x y


x x


xy


y y x


y y


2
3 2


2
2



3
2


2 9
2


2 9


ì


+ = +


ï


ï - +


í


ï + = +


ï - +




.


ĐS: (0;0), (1;1). Cộng 2 PT vế theo vế, ta được:


VT xy x y VP



x y


2 2


2 2


3 3


1 1


2


( 1) 8 ( 1) 8


ổ ử


= + = + =


- + - +


ố ứ


M VT £2 xy x£ 2+y2 =VP. Dấu "=" xảy ra Û x y
x y 10


é = =
ê = =


ë .



Bài 16. (ĐH 2007D–db2) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: x y m


x xy


2 0


1


ì - - =


í + =




ĐS: m > 2. PT Û x


x2 m x


1


(2 ) 1 0


ì £
í


+ - - =



(68)

Bài 17. (ĐH 2008A) Giải hệ phương trình: x y x y xy xy


x y xy x



2 3 2


4 2


5
4
5
(1 2 )


4


ì + + + + =



í


ï + + + =


-ỵ


.


ĐS: 3 5; 3 25 , 1; 3


4 16 2


ử ổ


-



-ỗ ữ ỗ


ố ø . Đặt


u x y


v xy
2


ì = +
í =


.


Bài 18. (ĐH 2008B) Giải hệ phương trình: x x y x y x


x xy x


4 3 2 2


2 22 6 6 2 9


ìï + + = +




+ = +


ùợ .



S: 4;17
4


ổ ử




-ỗ ÷


è ø. HPT Þ x x x x


3


( +4) = Þ = -0 4 ( ¹0).
Bài 19. (ĐH 2008D) Giải hệ phương trình: xy x y x y


x y y x x y


2 2 2


2 1 2 2


ìï + + =


- - =


-ïỵ .



ĐS: (5; 2). HPT Û x y x y


x y y x x y


( )( 2 1) 0


2 1 2 2


ì + - - =


í - - =


-ỵ . Chú ý x y+ >0.
Baøi 20. (ĐH 2009B) Giải hệ phương trình: xy x y


x y2 2 xy y2
1 7


1 13


ì + + =


í + + =


ợ .


S: 1;1 , (3;1)
3


ổ ử


ỗ ÷


è ø . Đặt


u x
y
x
v


y
1


ì


= +
ïï


í
ï =
ïỵ


.


Bài 21. (ĐH 2009D) Giải hệ phương trình:


x x y
x y


x
2



2


( 1) 3 0


5


( ) 1 0


ì + + - =
ï


í + - + =


ïỵ .


ĐS: (1;1), 2; 3
2


ổ ử




-ỗ ữ


ố ứ. HPT


x y
x
x y



x
2


2
3


1 0


5


( ) 1 0


ì


+ + - =
ïï


í


ï + - + =


ïỵ


. Đặt u x y
v


x
1



ì = +
ï
í =


ïỵ .


Bài 22. (ĐH 2010A)


Giải hệ phương trình: x x y y


x y x


2


2 2


(4 1) ( 3) 5 2 0


4 2 3 4 7


ìï + + - - =


í


+ + - =


ïỵ .


ĐS: 1 ;2
2



ổ ử


ỗ ữ


ố ứ. HPT ị x x x


2


2 5 2


4 2 2 3 4 7 0


2


ổ ử


+ - ÷ + - - =


è ø . Dùng phương pháp hàm số.


Bài 23. (ĐH 2011A) Giải hệ phương trình: x y xy y x y


xy x y x y


2 2 3


2 2 2


5 4 3 2( ) 0 (1)



( ) 2 ( ) (2)


ìï - + - + =


í


+ + = +


ïỵ .


ĐS: Ta có: (2) Û (xy-1)(x2+y2- =2) 0 Û xy= Ú1 x2+y2 =2.
Hệ có nghiệm: (1;1), ( 1; 1), 2 10 10; , 2 10; 10


5 5 5 5


ỉ ư ổ ử


- - ỗ ữ ỗ- - ữ


ố ứ ố ø.


Bài 24. (ĐH 2011D) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x y x xy m


x x y m


3 2


2



2 ( 2)


1 2


ìï - + + =


í



(69)

ĐS: HPT Û x x x y m


x x x y m


2
2


( )(2 ) (1)


( ) (2 ) 1 2 (2)


ìï - - =


í


- + - =


-ïỵ . Đặt


u x x u


v x y



2 , 1


4
2


ìï = - ³


ï =
-ỵ


.


Với u 1
4


³ - , ta có: (1) Û m u(2 + = - +1) u2 u Û m u u
u


2
2 1


- +
=


+ .
Xét hàm số f u u u u


u



2 1


( ) ,


2 1 4


- +


= ³


-+ .


Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra giá trị cần tìm là: m 2 3
2




.


Baøi 25. (ĐH 2012A) Giải hệ phương trình: x x x y y y x y R


x y x y


3 2 3 2


2 2


3 9 22 3 9



( , )
1


2


ì - - + = +






+ - + =


ùợ .


S: 1 3; , 3 1;


2 2 2 2


ỉ ư ỉ ử


-


-ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ.


Baứi 26. (ĐH 2012D) Giải hệ phương trình: xy x x y R


x3 x y x2 2 y2 xy y



2 0 ( , )


2 2 0


ì + - =




í - + + - - =


ỵ .


ĐS: (1;1), 1 5; 5 , 1 5; 5


2 2


- + ư ổ- -




-ỗ ữ ỗ ữ


ố ứ ố ứ .


Chân thành cm ơn các bn đồng nghip và các em hc sinh đã đọc tp tài liu này.






×