Tuyển tập 100 bài toán hệ phương trình

TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015



NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN
1) PHẠM VĂN QUÝ

2) NGUYỄN VIẾT THANH
3) DOÃN TIẾN DŨNG

ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XỒI, TỈNH BÌNH PHƯỚC

Bài 1 Giải hệ phương trình:

2
3

12 (12 ) 12 (1)

8 1 2 2 (2)

x y y x

x x y

 _{   }



    

 (x, y  R) (ĐH khối A – 2014)

Giải

Điều kiện : 2

2 12

12 0

y
x

  


  

 

2 12

2 3 2 3

y
x

  


  



Cách 1:

Đặt a  12y a,   0 y 12a2
PT (1) xa (12a2)(12x2)12

 122 12x2 12a2 x a2 2 12xa

 2 2 2 2 2 2 2 2

12

12 12 12 12 2.12.

xa

x a x a xa x a

 


      



 2 2

12

12 2.12 12 0

xa

x xa a

 


   



 2

12

( ) 0

xa

x a

 


  



Ta có (x – a)2 = 0  x = 12y (*)

Thế (*) vào (2) được : (12y) 12 y 8 12  y 1 2 y2

 (4y) 12 y 2 y 2 1

 (3y) 12 y 12   y 3 2 2 y 2 0

 (3 ) 12 3 2(3 ) 0

12 3 1 2

y y

y y

y y

 

    

   



3

12 3 1 2

y
y

y y

 



 _{   }

 _{   }



1 2

Vậy 3

3
x
y

 

 

Cách 2:

Ta có x 12 y (12x y2) 









Dấu “=” xảy ra

2

12
12

y
x

y
y



 



2

(12 )(12 )

x y y x

    (3)

Khi đó (1) tương đương với (3)

(3) 2 2 2 2 2

0 0 0

144 12 12 12 144 12 12 (4)

x x x

x y x y x y y x y x

  

     

  

  

_{    } _{  } _ _{ }

  

  

  

Thế (4) vào (2) ta có

3 2 3 2

(2)x 8x 1 2 10x x 8x  1 2 10x 0





3 _{8 3 2 1 10} 2 ₀

x x x

      









2

1 (10 )

3 3 1 2. 0

1 10

x

x x x

x

 

     

 









2

9

3 3 1 2. 0

1 10

x

x x x

x



     

 





2

2( 3)

3 3 1 0

1 10

x

x x x

x

 _ 

 

  _    _ 

   

 

2

2
3

2( 3)

x

x

x x

x

 



 _ 

    



  



3 3

x y

   

Vậy 3

3
x

 

 

Cách 3:

Đặt









 

2

; 12 ; 12 ;

a  x x b  y y

 

12

a  b 

(1)

2 2  

2 .

a b a b

  

 

a b

   x 12y

(2) x38x  3 2 10x2 2

3 1 0 (vo nghiem vì x 0)















2

3 3

3 3 1 2

10 1

x x

x x x

x

 

    

 

  x y 3













Đặt f x

 













 

' 0 0

f x    x phương trình vơ nghiệm.
Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3)

Bài 2 Giải hệ phương trình: (1₂ ) 2 ( 1)

2 3 6 1 2 2 4 5 3

y x y x x y y

y x y x y x y

       



        

 (ĐH khối B – 2014)

Giải

Điều kiện:

0
2

4 5 3

y
x y

x y

 

 


 _{ }



Phương trình thứ nhất viết lại thành

(1 ) (1 ) ( 1) ( 1)

1

(1 )(x y 1) 1

( 1)

1

1 1

y x y y x y x y y

y

y y

x y

x y

x y y

         

 

    _

    _{   }

   _

TH1 : y 1 thay xuống (2) ta có



93x 2 x  2 4x  8 x 3 (TM)

TH2 : x  y 1 thay xuống (2) ta có

2
2

2

2

2 3 2 2 1 1

2 3 2 1 0

2( 1) ( 1 ) 0

1

( 1) 2 0

1

5 1 5 1

( )

2 2

y y y y

y y y

y y y y

y y

y y

y x TM

     

     

      

 _

 _



   _  _



  

 

 

   

Vậy hệ đã cho có nghiệm : ( ; ) (3;1),( 5 1; 5 1)

2 2

Bài 3 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

( 2 2) ( 6)

( 1)( 2 7) ( 1)( 1)

y x x x y

y x x x y

 _{   }



      



Giải

ĐK: x y, R
Đặt a x 1

b y

  


 

 , ta có hệ trở thành:

2 2 2 2

2 2 2 2

( 1) ( 1)( 6) ( 1)( 6) ( 1) (*)

( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1)(**)

b a a b a b b a

b a a b b a a b

 

         

 

 _

 

         

 

 

 

Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có:

( )( 2 7) 0

2 7 0

a b

a b a b ab

a b ab

 


    _{      }



 Trường hợp 1: a b thay vào phương trình (*) ta có:

2 2 2 2

( 1)( 6) ( 1) 5 6 0

3
a

a a a a a a

a

 


      _{    }



1
2
x
x

 


 _{ } 

 hệ có 2 nghiệm (x; y) là:
 Trường hợp 2: a  b 2ab 7 0

Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có:

2 2

5 5 1

2 2 2

a b

 _  _

 _{  } _{  }

 _  _

   

 

   

Vậy ta có hệ phương trình: 2 2

2 7 0

5 5 1

2 2 2

a b ab

a b

    



   

_{   }

_{      }

_  _ 

_ _ _ _



Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm: 2; 3; 2; 3

2 3 3 2

a a a a

b b b b

   

       

   

   

       

   

   

Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2).

Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1;3),(2;2).

Bài 4 Giải hệ phương trình:

3 3 2

2 2 2

12 6 16 0

4 2 4 5 4 6 0

x x y y

x x y y

     



      



Giải

ĐK: x  __ 2;2 ,__ y __0;4_

Ta có PT(1)(x 2)36(x 2)y3 6y2

Xét hàm số f t( )t36 ,t t _{  }_0; 4_ ta có f t'( ) 3t2 12t 3 (t t4)  0, t _0; 4_ f t( ) nghịch

Bài 5 Giải hệ phương trình: ₃ 2 ₂ 1 3

4 1 9 8 52 4

x y

x x y x y xy

   



       

 .

Giải

§K: y  1.

3 2

3 2 1

4 1 4 4 13 8 52 0

x y

HPT

x x y xy x x y

   


 

        



2

3 2 1

( 2 1) 13 8 52 0

3 2 1

2 13 0

3 2 1

1 5

x y

x x y x y

x y

x y

x y

y y

   


 _

     



   


 

   



   


 _

  


2

3 2 1

5

11 24 0

3 2 1

7
5

3
3

8

x y

y

y y

x y

x
y

y
y

y

   



_ 

   





   

 _{ }

 _



_  _{ }

_{ }

 

 




Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: 7

3
x
y

 

 

 .

Bài 6 Giải hệ phương trình:

2 2

2

1 0

1 0

y x y x

xy

xy x y

   

  




    



ĐK: x 0;y 0;xy 1

 







Bài 7 Giải hệ phương trình:









_

_

2 3

5 8

5

5 1 2

2

x y x y

x y xy

xy _xy

x y

x y

 _{ }

 _{   }




 

 _{   }



ĐK: 1; 0 2

5

x   y

Đặt u  x y u, 0;v  xy v, 0 khi đó

 

v v v v

 

   _ _ _

 _  _{ }

     _  _ _{ }   _    
   _ _





2 0

x y xy x y x y

        thay vào

 





5 5 1 5 1

5 1 2 3 3 3 1 3 0

5 1 2 2 1 5 1 2 2 1

x x

x x x x x

x x x x

 

  _{ }

          _   _

 

       

1 1

5 1 1

3 0 ì 2

5

5 1 2 2 1

x y

VN v x

x x

   




  _{    }

 _{   }



KL: tập nghiệm của hệ pt là: S 

 

 

Bài 8 Giải hệ phương trình:













3 2

2 2

3 2

2

1 1

2 1 1 3 1

1 4

1 0

x y

x x x

x y

y x y

y y

x x

y
y

 _{ }   

  _

     _  

  

   

 _{ }

 _{  }




ĐK: y 0

Hệ



 

 





 



2

3 2

3 2 2 _{3 2 2}

1 1 0

1 0

1 4 0 _{1 4 0}

x y x y

x y x y x y

x x y y _{x x y y}

  



 _{      }

          

 _{ }

_ _

    

      

 _

1 1

1 2

y x x

x y

 

    

 

_{ } _{ }

 

 

KL: S 

 

 

Bài 9 Giải hệ phương trình:





2 2 2 2 2 2

2 2

4 3 7 4 5 6 3 2

3 10 34 47

x xy y x xy y x xy y

x xy y

 _{       }



   



ĐK:

2 2

2 2

3 2 0

4 3 7 0

x xy y
x xy y

 _{  }



   

Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình

 





 

_{ }

2 2 2 2

1

5 6 4 0

6

4 3 7 3 2

x y n
x xy y

x y n

x xy y x xy y

 _{  }

 _{ }



  _  _  _

  



      

  _

Với x y thay vào

 

1 1

x y

x

x y

   


       _

Với x  6ythay vào

 

47 47

6

82 82

82 47

47 47

6

82 82

y x

y

y x



    




  _

    



KL:

  



82 82 82 82

S

    

 _{ }

   

 _  _ 

_   _  _{ } __

 

 

   

 

 

 

Bài 10 Giải hệ phương trình:









2

4 2 2

3 3 0

9 5 0

x xy x y

x y x y x

    



    



Hệ





2

2

2 2 2

3 3 3

3 3 5 0

x y x xy

x y x y x

   


 _

   



Thay

 

 





2

0 0

1

9 15 4 0 1

3
4

4 0

3

x y

x y y y x

y x x VN



   





    _   



     




KL:

 

3

S _ __ __

 

 

 

Bài 11 Giải hệ phương trình:









2 2

2 2

2 4 1 4 13

2 2

x y xy

x xy y

x y

x y _{x y}

     



 _{ }

 _{  }

 _

 



ĐK:

0
0

2 0

x y
x y
x y

  


  


Hệ









2 2

4 4 4 8 5 0

2 2

x xy y x y

x y x y x y x y

      


 

      



Ta có PT

  







_{ }

2 5

x y

x y x y

x y l

  



    _{      }



Với x 2y1 thay vào

 





3y1 y  1 1 3y9y 6y 13y     0 y 0 x 1 thỏa mãn
KL: S 

 

 

Bài 12 Giải hệ phương trình:









2 2 2 2

2

5 2 3 2 2 1

3 6

x x y x y x y

x y

       



 _{ }



ĐK: x 2y

Ta có

 

 





KL: S 



  





Bài 13 Giải hệ phương trình:

















2
2

2 2 2 2

1 2

1 1

4 1 6 5 1 1 1 1

x y

y

x y

x y x x x y

 _

  

 _{  }

 _{ }

 _{         }

 _{ }

 _{ }



ĐK:

2

1 1

1

1 1 0

x x

y

x y

    

 _



 _{   }



Đặt:

2 _{1, 0}

1, 0

a x a

b y b

   



   

 , ta được:





2

3 2 2

2

4 5 6

b a b

a ab a b

 _{ }



   



Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S 





 





Bài 14 Giải hệ phương trình:

3 2

2 2

20 3 3 0

3 1

y y xy x y

x y y

     



   

Hệ









3

2 2

20 3 1 3 1 0

3 1

y y y x y

x y y

     



 _

  

 .

Thế

 

 

2 2 5 5

S__ _  __  ___

   

 

 

Bài 15 Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

3 3 0

2 1 2 3 1 0

x y x y

y x y x

    



 _{     }



ĐK: 1

2

y

Ta có PT

 

 

3
3

0

1 3 3

6 6 0

y x
y x

y l

x y y x

y xy

x y

 


  

 

 _{ }

    _{  } _



 

 _{ }

Với x y thay vào

 

 

2 4 3 2

1 1

2 1 3 1 6 11 8 2 0 2 2

2 2 2 2

y x

y y y y y y y y l

y x

   




              



     



KL: S 



 







Bài 16 Giải hệ phương trình:









4 4 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 2

3 4 8

x y x y

x y

y x _{x y}

xy y x

 _{ }

  


 _



 _{  }



ĐK: x y. 0

Ta có PT

 









4 2 2 4

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

1 x y x x y y 0 x y x y

x y
x y x y

 _

 _{  }

   _{ }

 _

  _{ }    _

  

 _ _ _

 

 Với x ythay vào

 

 Với x  y thay vào

 

Bài 17 Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2

10 5 2 38 6 41 0

6 1 2

x y xy x y

x xy y y x

 _{     }



 _{     }



ĐK:

3

3 2

6 0

1 0

x xy y
y x

   



   



Ta có PT

 





Tính Δ'_x  49





 

 

 

Bài 18 Giải hệ phương trình:

3 3 2 2

3 2

2 0

2 2

x y x y xy xy x y

x y x x y

       



     


ĐK: x y

Ta có PT

  







1

1 1 0

0

y x

x y x y x y

x y x y

  


      _{      }



 y  x 1 thay vào

 

1 0

x y

x x x

x y

    


 _{      }



 x2 y2      x y 0 x y 0





KL: S



  





Bài 19 Giải hệ phương trình:









2 2 3 2 3 2

2

2 3 2 2 2 2

3

8 3 1 3 1 1

4 3 1 2 1 12 1 4

y x y y

y y x y x

      




        



ĐK: 1 1

2 x 2



 

Đặt:

2
3

2
1

1 4 , 0

a y

b x b

  



 _{  }

 , ta có:

3 2 2

2

3 2 2

3 2 3 0

3 2 0

a a a b b

a b b

a a a b

     

 _{  }

    

 thay vào

 













2 ₃ 2 ₂ 2 ₃ 2 _{0 0 0}

b b  b b  b b  b      b b a .
Khi đó ta có:

2
2
3

1

1 4 0

2

1 0 ₁

x _x

y _y



 

 _{  }

   

 _

 

 _{ } 

   

 

KL: 1;1 ; 1; 1 ; 1;1 ; 1; 1

2 2 2 2

S __ __ __   _{ }_ _ _ __  ___

       

 

 

Bài 20 Giải hệ phương trình:







6 3 2 2

3 3

3 24 2 9 18 11 0

1 2 2 1 6 1

x y y x x y

y x x y

 _{     }



 _{     }



ĐK: y0

Ta có PT

 







Với x2 2y thay vào

 





3
3

3

2 3 3 2

3

1 2

1 2 1 4 1 1 0

1 (4 1) 4 1 2 1 (2 1)

x x x x

x x x x x

 _

 _

 _

       _  _

        

 

1
1

2

x y

   

KL: 1;1

2
S  __ __

 

 

 

Bài 21 Giải hệ phương trình:





2 ₂

1 1

4

x y
x y

xy

xy _{x y xy}

x y
y x

 _{ }

 _{  }

 _



 _{   }




ĐK: x 0;y0

Ta có PT

 





2

2 2

1  y  x xy  0 x  y xy   x y x y 2 xy thay vào

 







Khi đó ta có:



3 5

3 ₂

1 _{3 5}

2
x

x y

xy

y

 _

 

   

 _ 

 

  

 

 _{ }



KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: 3 5 3; 5

2 2

S

 

 _{  }

 

 

_ __


 

 

 

 

Bài 22 Giải hệ phương trình:







1 4 4

2 1 0

1 1 ₁

1

1 1 1 2 1 2

2

x

x x

y y _y

y

y x x y

 _

      

   _

 _

       



ĐK: x 1;y1

Đặt: 1, 0

1, 0

a x a

b y b

   



   

 . Ta có

  



2 _{2 2 2}

1  b2 a b 2abab 0 2

0
b
a

 

 _{ }



1 0 1

5

1 2

x x

y
y

 _{   }

 _



_ _{ }

 

 _



thỏa hệ phương trình
KL: S 

 

 

Bài 23 Giải hệ phương trình:

3

3

1

4 2

1 1 1

2

3 4 8 1

x y

y x y

x y y

 _

 

  



 _

 _{ }



   



ĐK:

1

2 0

3 4 8

y
x y
x y

 


 _{ }



 _{ }



Ta có

  



3 2

x y x y

y x y

 _

 _



  _  _  



  

  thay vào

 









2 2 2

3 6

1 1 1 1 1 1

1 2 1 0 1

2 2 2

2 y 1 y 1 a a a a a a a y 1

 _

 _



              _  _




    

6
1

1 2 8

1 y x

y

     



KL: S 



 



Bài 24 Giải hệ phương trình sau:









x y y

x y

y y x x

 _{    }

 _

 _{    }



Giải

Điều kiện: x 1.

Đặt t  x 1, t 0. Khi đó x t2 1 và hệ trở thành

2 2 2 2

(1 2 ) 2 0 2 2 0 ( ) 2 2 0

( ) 3 0 3 0 ( ) 3 3 0

t y y t y ty t y ty

y y t t y ty t t y ty

  

              

  

 _ _

  

              

  

  

  

Suy ra 2

0

2( ) 3( ) 0 _{3 3}

.

2 2

t y y t

t y t y

t y y t

 _{ }  _

 

 

     

 _{  }  _{ }

 

 

 Với 3,

2

y  t ta có 3 2 3 2 0 4 2 6 1 0 3 13.

2 t t 2 t t t 4

 _{  }

 _

  _  _       

 

Suy ra 19 3 13, 3 13.

8 4

x   y  

Vậy nghiệm (x; y) của hệ là

Bài 25 Giải hệ phương trình sau:

2 2

2

( 2) 4 7 3 2 0

1 1

x x x y y x y

x y x y

 _{        }



 _{    }



Giải

Điều kiện:x2   y 1 0

Phương trình (1) (x 2) (x 2)2     3 x 2 y (y)2  3 y
Xét hàm số f t( )t t2  3 t Có

2
2

2

'( ) 3 1 0

3
t

f t t t

t

     



Hàm số f(t) đồng biến trên RPhương trình (1)    x 2 y
Thay vào (2) ta có

:

2

2 2 2 2

2

3 3

1 2 3 2 2

1 4 12 9 1 4 12 9

3

3 ₂

1 1 1 (tmdk)

2

3 13 10 0 ₁₀

3

x x

x x x

x x x x x x x x

x
x

x x y

x x

x

 

 

 _{ }  _{ }

 

 

    _ _

           

 

 

 

  


 

 _{ } 

 

 _{  }

_ _      

    

 

 _{  }





Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).

Bài 26 Giải hệ phương trình sau:













2 6 2 11 2 66

x x y y

x y

x y x x y x

 _{     }

 _{ }

 _{        }



 

 

1
2

Giải

ĐK:

10 0 10

9 0 9

2 6 0 2 6 0

2 11 0 2 11 0

x x

y y

x y x y

x y x y

 

    

 

 

 _{ }  _

 

 _

 

       

 

 

_{   } _{   }

 

 

 

Xét hàm số f t

 







 



 



 

Giải (5) ta được



 

















2 9 9

7 4 1 10 2 63 0 9 7 0

7 4 1 10

1 1

9 [ 7 ] 0 9, 8

7 4 1 10

x x

x x x x x x

x x

x x x y

x x

 

              

   

       

   

Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

   

Bài 27 Giải hệ phương trình sau:

1

1

1 1 1

1 4 2 2

y
x

x y

x y

x y

 _

    

   



    



Giải

ĐK:0x y; 1

PT(1) 1 1

1 1 1 1 (1 )

y
x

x y

x y



    

     (*)

xét h/s ( )

1 1

t

f t t

t

 

  ; có

'

2

1 1

(1 1 ) .

2 2 1

( ) 1 0 , (1; )

(1 1 )

t t

t t

f t t

t

  



     

 

vì (*)  f x( ) f(1y)  x 1 y, thế vào pt(2) ta được :

2

1 x 5 x 2 2  6 2x 2 56x x 8

2 2 2 1 1

5 6 1 5 6 ( 1)

2 2

x x x x x x x y

              (tmđk)

vậy hệ pt có nghiệm là

1
2
1
2
x
y

 


 


Bài 28 Giải hệ phương trình sau:

3 3 3

2 2

27 7 8

9 6

x y y

x y y x

 _{ }



  



Giải

Nhận xét y 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được

3 2

(3 )xy 7(3 )xy 14(3 )xy  8 0

Từ đó tìm được hoặc 3xy 1 hoặc 3xy 2 hoặc 3xy 4

Với 3xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó 1

3

Với 3xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại)

Với 3xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó 2

3

x  

Bài 29 Giải hệ phương trình sau:

3 3

2 2

4 2

3 4

x y x y

x y

   



  



Giải

Phương trình (1)2(x3y )3 4(2 x y)

Từ phương trình (2) thay 4x2 3y2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:

2 2 3

0

6 5 0

5

y

x y xy y x y

x y

 



    _  

  


TH1 : y 0 thay vào hệ ta được

3
2

4

2
4

x x

x
x

 

 _{  }

 

  nghiệm (x; y) ( 2; 0)

TH2 : x     y y x thay vào hệ ta được :

3
2

2 2

1

4 4

x x

x
x

 

 _{  }

 



Hệ có nghiệm (x; y)(1; 1); ( 1;1) 

TH3 : x  5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) ( 5 ; 1); ( 5 1; )

7 7 7 7

 



Bài 30 Giải hệ phương trình sau:

















2 . 2 . 0

(x; y R).

1. 1 3 . 1 3

y x x y

x y y x y x

    

 _

       



Giải

ĐK: ₂ 1; 0

3 0

x y

x y x

   


   



PT (1) x 2.yx y. 2 x  2 0
có  _y x2 8



 



 

2 4

2 2

2

0

4 2

x
y

x

y loai

x

 _

 _

 _



  _

   

 _



với 2 4 2 2

2 2

x

y y x y x

x



      

 , thế vào (1) ta được













1 2 1 1 1 2 2

x  x    x   x  x   x 1.( x  2 1)



 



 (*)

Xét hàm số f t( )t





2

' 2

2

( ) 1 1 0 ( )

1
t

f t t f t

t

     

 đồng

biến.
Vì PT (*)





1

( 1) ( 1) 1 1

1 1

x

f x f x x x

x x

 


         

   

  x 3

Với x = 3  y 5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).

Bài 31 Giải hệ phương trình sau:





2 2 _{1 2 2}

2 1 2

x y x y

x y y y

    



   



Giải

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:







 





2 _{2 1 1 2 4 2 2 2 2 2 0} 2

2 0

x

x xy x y x x y x y x x y