Tải bản đầy đủ (.pdf) (4 trang)

ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐÔI CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (296.35 KB, 4 trang )

(1)

Vũ Hồng Quân Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 176(16): 117 - 120


117

ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐƠI CỦA ÁNH XẠ TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN



Vũ Hồng Quân*
Trường Đại học Kỹ thuật công nghiệp- ĐH Thái Nguyên


TÓM TẮT



Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Tốn học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí
thuyết trị chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Các định lý điểm
bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại
không gian khác nhau. Trong bài viết này, tác giả đề cập đến khái niệm khơng gian mê tric nón,
điểm bất động đôi, và một vài định nghĩa về hội tụ dãy Cauchy. Sau đó tác giả trình bày định lý về
điểm bất động đôi của ánh xạ trong không gian metric nón. Tác giả chứng minh định lý tổng quát
và từ đó rút ra những hệ quả quan trọng. Những kết quả này giúp sinh viên và giảng viên nghiên
cứu điểm bất động toán học hệ thống, logic hơn.


Từ khóa: Ánh xạ, điểm bất động, metric, Mohamed A. Khamsi, nón...


GIỚI THIỆU


Định lý điểm bất động của Banach đối với các
ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ là
một kết quả kinh điển của toán học. Sau khi
được Banach chứng minh, định lý điểm bất
động đối với các ánh xạ co trở thành một
trong những vấn đề thu hút được rất nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các định
lý điểm bất động đối với ánh xạ co được


nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ,
trên nhiều loại không gian khác nhau. Cho
đến nay có khoảng 10000 cơng trình về định
lý điểm bất động, được công bố trên các tạp
chí tốn học. Năm 2007, L-G. Huang and
X.Zang [3] với bài báo “cone metric spaces
and fixed poin theorems of contractive
mapping’’ đưa ra khái niệm khơng gian
metric nón và đã đặt nền móng cho điểm*bất


động trong khơng gian mới-khơng gian metric
nón. Bài báo đã vận dụng sáng tạo, đưa định
lý ánh xạ co d Tx Ty

,

kd x y

 

, , k

0,1


từ không gian metric thông thường sang
khơng gian metric nón, và khẳng định sự tồn
tại và duy nhất của điểm bất động của ánh xạ
đó. Khơng những thế các tác giả cịn mở rộng
kết quả sang các ánh xạ dạng co kiểu


,

( , )

,



d Tx Ty  k d Tx xd Ty y,



*


Tel: 0974 902509, Email: vuhongquan.cb@gmail.com


1
0,



2


k . Từ đó rất nhiều nhà tốn học trên


thế giới quan tâm như Bhaskar, T.G,
Lakshmikanthan [1], D. Ilíc and V. Racocevi
[2], Mohamed A. Khamsi [4], M. Abbas and
G. Jungck [5], Nguyen Huu Dien [6],
S.Rezapour and R. Hamlbarani [7]...Bài báo
này đưa ra kết quả khác về điểm bất động ánh
xạ 2 biến trên không gian metric nón.


KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN


Định lý 1. Cho

X ,d là không gian metric



nón đầy đủ. Giả sử ánh xạ F X:  X X


thỏa mãn điều kiện sau với

x y u v

, , ,

X



1
0,


2
 


  : d F x y F u v( ( , ), ( , ))0


(1)



0

d x u d y v d F x y x( , ), ( , ), ( ( , ), ),
d F u v u d F x y u d F u v x( ( , ), ), ( ( , ), ), ( ( , ), )





Khi đó F có điểm bất động đơi duy nhất.


Định nghĩa 2. [3] Cho X là tập khác

và E
là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự
bộ phận  đối với nón P. Giả sử rằng


:


d X X E thỏa mãn:
i) 0d x y

 

, x y, X


ii) d x y

 

,   0 x y


iii) d x y

 

, d x z

   

, d z y,



(2)

Vũ Hồng Quân Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 176(16): 117 - 120


118


Hơn nữa nếu d thỏa mãn


iv) d (x, y)=d (y, x)

x y

,

X

thì d gọi


là metric nón trên X và cặp

X ,d gọi là



khơng gian metric nón.


Định nghĩa 3. [3] Cho

X ,d là khơng gian



metric nón, xX

 

xn n1 là dãy trong X.
Thế thì


i)

 

xn hội tụ tới x nếu  c E, c0,


0


n


 : n n0, d x x

n,

c


Kí hiệu lim n


nxx hoặc xnx


ii)

 

x

n là dãy Cauchy nếu  c E, c0,


0


n


 : m n, n0:d x

m,xn

c


iii)

X ,d

là không gian metric đầy đủ nếu


mọi dãy Cauchy trong X hội tụ trong X.


Bổ đề 4. [3] Cho

X ,d là không gian metric


nón, lấy P là nón chuẩn tắc với hằng số K và


 

xn n1

X.


i)xnxd x x

n,

0


( tương đương d x x

n,

0)


ii)

 

xn là dãy Cauchy d x x

n, m

0


iii) xnx,yny thì d x y

n, n

d x y

 

,
Định nghĩa 5.[1] Cho

X ,d là không gian



metric nón. Phần tử ( , )x y  X X gọi là


điểm bất động đôi của ánh xạ
:


F X X Xnếu F x y( , )x ,
( , )


F y xy


Chứng minh định lý 1


Chọn

x y

0

,

0

X

và tập

x

1

F x y

( ,

0 0

)

,


1 ( 0, 0)



yF y x ,..,xn1F x y( ,n n),


1 ( , )
n n n


y F y x


Bởi (1) ta có:


n, n1

( ( n1,, n1), ( n, n)


d x xd F x y F x y


1 1 1 1 1


{ (d xn ,xn), (d yn ,yn), ( (d F xn ,yn ),xn ),


     




1 1 1


( ( ,n n), n), ( ( n , n ), n), ( ( ,n n), n )}
d F x y x d F xyx d F x y x


1 1


{ (d xn ,xn), (d yn ,yn),



  




d x( n1,xn), (d xn1,xn1)} (2)
Tương tự:


n, n1

( n1, n), ( n1, n),


d y y  d y y d x x



d y( n1,yn), (d yn1,yn1)



(3)
Từ (2) xảy ra các khả năng sau:




0


1 1


(1 ).d x xn, n d x xn, n


n, n1

0 n 1 n ... 0


d x x x x x


     



Hay

, 1

1,

, 0,1
2
n n n n


d x x d xx


 


  




0


1 1


1


(2 ). , , , 0,


2
n n n n


d x x d xx  




0



1 1 1


(3 ). d x xn, n d xn,xn


d x

n1,xn

d x x

n, n1



Hay

, 1

1,


1


n n n n


d x xd x x




 


Vì 0,1
2


  nên

0,1


1






(40). d x x

n, n1

d y

n1,yn



Theo (3) ta xét các trường hợp sau:


i)


2



1 1 2 1


, , ,


n n n n n n


d x x d y y  d x x






0 1


1
1 2
, , 2
...


, , 2 1
n


n


d x x n m



d x x n m



 


 



 






, 0,1
2


m  


ii)

2



1 1 1 2


, , ,


n n n n n n


d x x d y y  d y y


0 1




1
... , , 0,


2
n


d y y


   


   


iii) d x x

n, n1

d y

n1,yn







2


1, 1


n n n n


d y y x x n


 


   



1

1



1


, , , 0,


2


n n n n


d x x

d xx

 


   


iv) d x x

n, n1

d y

n1,yn





2 2


1, 2 1,


n n n n


d y y d y y


 



 



1



0 1


1


... , , 0,


2
n n


d y y


     


   



(3)

Vũ Hồng Quân Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 176(16): 117 - 120


119
Từ (10


), (20), (30), (40),và kết hợp với (i), (ii),


(iii), (iv) ta suy ra

 

x

n là dãy Cauchy trong


X. Tương tự:

 

y

n cũng là dãy Cauchy trong


X.



Vì (X,d) là không gian đầy đủ nên nên
* *


x , y X


  : lim n x*


n


x


 


, lim n *


n


y y


 


0,


suy ra c  N0


* *


0



: : ( , x ) , ( , )


2 2


n n


c c


n N d x d y y


m m


   


Ta sẽ chứng minh

x y, 

là điểm bất động
đơi của F.


Thật vậy, ta có:


* * * * * *


1 1


( ( , ), ) ( ( , ), N ) ( N , )


d F x y xd F x y x d x x


* * *


1


( ( , ), ( N, N)) ( N , )


d F x y F x y d x x


 


*
1
( N , )


d x x


 


 


* * * * *


{ ( ,d x xN), (d y y, N), ( ( ,d F x y),x),





( ( N, N), N),


d F x y x d F x( ( N,yN),x , *)
* *


( ( , ), N),


d F x y x }


Hay: * * *


( ( , ), )


d F x y x  + (d xN1,x*)


* * * * *


* * *
1


{ ( , ), ( , ), ( ( , ), ),


( , ), ( ( , ), )


N N


N N


d x x d y y d F x y x
d x x d F x y x











d x x( ,* N), (d xN1,x*)}


Suy ra:


* * * * * *


( ( , ), ) ( ( , ), )


d F x y x d F x y x




2 2


c c


m m




 


Hay: ( ( ,* *), *) 1
1 2


c
d F x y x


m









m

N

tùy ý nên:


d F x y( ( ,* *),x*)0F x y( ,* *)x*


Tương tự F y x( *, *)y*. Từ đó ( ,x y là * *)
cặp điểm bất động của F


Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất.
Giả sử

( ', ')

x y

là cặp điểm bất động khác của
F. Theo (1):




* * *


( ', ) ( ( ', '), ( , )


d x xd F x y F x y  


* * *


{ ( ',d x x ), ( ',d y y ), ( ( ', '),d F x y x ),






* * * * * *


( ( , ), ), ( ( ', '), ), ( ( , ), ')}


d F x y x d F x y x d F x y x


Hay

d x x

( ',

*

)

  với


{ ( ',d x x*), ( ',d y y*)} (4)
Tương tự: *


( ', )


d y y   với
*


{ ( ',d x x ), ( ,d y y )}


(5)


Từ (4) và (5) ta có:




*


* *
*



( ', ) 0


( ', ') ( , ).
( ', ) 0


d x x


x y x y
d y y


 


 







Từ định lý trên ta có các kết quả sau:


Hệ quả 6. Cho

X ,d là khơng gian metric


nón đầy đủ. Giả sử hàm :F X X X thỏa
mãn điều kiện sau với

x y u v

, , ,

X



1
0,


2


 


 : d F x y F u v( ( , ), ( , ))0



0 d x u d y v( , ), ( , ),
 


( ( , ), ) ( ( , ), )
,
2


d F x y xd F u v u


( ( , ), ) ( ( , ), )
2


d F x y ud F u v x




 (6)


Khi đó F có điểm bất động đơi duy nhất.


Chứng minh:


Không giảm tổng quát giả sử


( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F x y x( ( , ), )


Tráo vai trò

x y,

 

u v, ta được:


( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F u v u( ( , ), )
Từ đó:


d F x y F u v

   

, , ,



( ( , ), ) ( ( , ), )
2


d F x y xd F u v u




Tương tự, nếu:


( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F x y u( ( , ), )
thì ta cũng có:


( ( , ), ( , ))d F x y F u v d F u v x( ( , ), )
Từ đó:


d F x y F u v

   

, , ,



( ( , ), ) ( ( , ), )
2


d F x y ud F u v x






(4)

Vũ Hồng Qn Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ 176(16): 117 - 120


120


KẾT LUẬN


Tác giả chứng minh một kết quả về điểm bất
đôi của ánh xạ trong khơng gian mê tric nón.
Từ đó rút ra các hệ quả quan trọng. Từ định lý
này ta có thể phát triển kết quả lên khơng gian
b mêtríc.


LỜI CẢM ƠN


Nghiên cứu này được tài trợ bởi trường Đại
học Kỹ thuật công nghiệp- Đại học Thái
Nguyên trong đề tài cấp cơ sở năm 2017-2018
mã số T2017-B17.


TÀI LIỆU THAM KHẢO


1. Bhaskar, T.G, Lakshmikanthan, V (2006),
Fixed poin theory in partially ordered metric
spaces anh applications, NonlinearAnal,
65:1379-1393.


2. D. Ilíc and V. Racocevi ( 2008), Common fixed
points for maps on the cone metric space, Journal
of Mathematical Analysis and Applications, vol.


341, no.2, pp.876-882.


3. L-G. Huang and X.Zang (2007), Cone metric
spaces and fixed poin theorems of contractive
mapping, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, vol. 332, no.2, pp.1468-1476.
4. Mohamed A. Khamsi (2010), Remarks on cone
metric spaces and fixed poin theorems of
contractive mappings, fixed point theory and
Applications, vol.2010, Article ID 315398, 7
pages, doi: 10.1155/ 315398.


5. M. Abbas and G. Jungck (2008), Common fixed
poin results for noncommuting mappings without
continuity in cone metric spaces, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol. 341,
no.1, pp.416-420.


6. Nguyen Huu Dien (1994), Some remarks on
common fixed poin theorems, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol. 187,
no.1, october 1.


7. S.Rezapour and R. Hamlbarani (2008), Some
notes on the paper: Cone metric spaces and fixed
poin theorems of contractive mapping, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, vol. 345,
no.2, pp.719-724.


SUMMARY



COUPLED FIXED POINT OF MAPPING IN THE CONE METRIC SPACE


Vu Hong Quan*
University of Technology – TNU


The Fixed point theory is a growing and exciting branch of mathematics with a variety of wide
applications in optimal theory, game theory, differential formulations, and in physics sciences. The
fixed point theorems for spatial mapping are extensively studied for many types of mappings, on a
variety of different types of spaces. In this article, the author mentions the concept of the cone
metric space, coupled fixed point and several definitions of Cauchy sequence converges. The author
then demonstrates the theorem about coupled fixed point of mapping in the cone metric space. The
author also proves the general theorem and obtains important corollaries of theorem. These results
help students and lectures study fixed point more systematically and logically.


Key words: Mapping, fixed point, metric, Mohamed A. Khamsi, cone…


Ngày nhận bài: 01/11/2017; Ngày phản biện: 24/11/2017; Ngày duyệt đăng: 05/01/2018




*





×