Tải bản đầy đủ

Chuyên đề 26 tích phân đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Chuyên đề 26

 
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM
 
Dạng 1. Tích phân Hàm ẩn
Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến
b

Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện   f u  x   dx thì ta sẽ đặt  u  x   t  
a

Câu 1.

(Chuyên  Biên  Hòa  -  Hà  Nam  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   và  thỏa  mãn 
1


2

 f  x  dx  9 . Tích phân  0  f 1  3 x   9 dx bằng 
5
 
A. 15 . 
B. 27 . 
C. 75 . 
Lời giải 
Chọn D
2

2

2

D. 21 . 

2

Ta có    f 1  3 x   9  dx   f 1  3 x  dx   9dx   f 1  3 x  dx  18 . 
0

0

0

0

2

Xét   f 1  3 x  dx , đặt  t  1  3x    dt  3dx  dx  
0

dt

3

2


Đổi cận khi  x  0  t  1 ;  x  2  t  5 . Suy ra   f 1  3x  dx  
0

2

1

Khi đó    f 1  3 x   9  dx 
0

Câu 2.

5

1

1
1
f (t )dt   f (t )dt . 

31
3 5

1

1
1
f (t )dt  18   f ( x)dx  18  21 . 

3 5
3 5

(Chuyên  Lam  Sơn  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên  đoạn   0;10   thỏa  mãn 
10


0

10

1

f  x  dx  7,  f  x  dx  1 . Tính  P   f  2 x  dx . 
2

0

A. P  6 . 

B. P  6 . 

C. P  3 . 
Lời giải

D. P  12 . 

Chọn C 
2

10

10

Ta có:   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6 . 
0

0

2

1

1
Xét  P   f  2 x  dx . Đặt  t  2 x  dt  2dx  dx  dt . 
2
0
Đổi cận: 

 
1

2

Lúc đó:  P   f  2 x  dx 
0

2

1
1
f  t  dt   f  x  dx  3 . 

20
20

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
5

Câu 3.

2

(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho I   f  x  dx  26 . Khi đó  J   x  f  x 2  1  1 dx  bằng 
1
0
 
A. 15 . 
B. 13 . 
C. 54 . 
D. 52 . 
Lời giải
Chọn A 
2

2

2

+ Ta có:  J   x  f  x 2  1  1 dx   xdx   xf  x 2  1 dx . 
0

0

0

2

+ Xét A   xdx . 
0
 
2

2

A   xdx 
0

x2
 2 . 
2 0

2

+ Xét  B   xf  x 2  1 dx . 
0
2

Đặt  t  x  1  dt  2 xdx . 
Đổi cận: 
  x 
 0 
Ta có: 
 t 
  1 

5

2

B   xf  x 2  1 dx 
0

 2 
 5 

5

1
1
1
f  t  dt   f  x  dx  .26  13 . 

21
21
2

Vậy  J  A  B  15 . 
9

Câu 4.

(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số  y  f ( x)  liên tục trên    thỏa mãn  

f

 x  dx  4  và 

1

x


3

2

 f  sin x  cos xdx  2.  Tích phân  I   f ( x)dx  bằng
0

0

A. I  8 .

B. I  6 .

C. I  4 .
Lời giải

D. I  10 . 

Chọn C
Đặt  t 

x  dt 
9

Suy ra  

f

1
2 x

 x dx  2

1

x

dx . Khi đó  x  1  t  1; x  9  t  3  

3

3

 f (t )dt  4   f (t )dt  2.  
1

1


  
;   dt  cos dx . Khi đó.  x  0  t  0; x   t  1  
2
 2 2

Đặt  t  sin x; x   
3

1

3

Suy ra   f ( x)dx   f ( x) dx   f ( x)dx  2  2  4.  
0

0

1

5

Câu 5.

(THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết  

1

A. P  15 . 

B. P  37 . 

2

f  x dx  15 . Tính giá trị của  P    f  5  3 x   7  dx . 
0

C. P  27 . 

D. P  19 . 

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Lời giải
1
Đặt  t  5  3 x  dt  3dx  dx =  dt . 
3
Đổi cận:  x  0 thì  t  5 ;  x  2 thì  t  1 . 
2

2

2

0

0

5

1

Ta có:  P    f  5  3 x   7  dx     f  5  3x  dx +  7dx 
0



f t 

5

1
dt
2
 7 x 0   f  t  dt  14  
3 1
3

1
 .15  14  19 . 
3
4

Câu 6.

(THPT  Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Cho 

 f  x  dx  2018 . 

Tính  tích  phân 

0

2

I    f  2 x   f  4  2 x   dx . 
0

A. I  0 . 

B. I  2018 . 
2

C. I  4036 . 
Lời giải

D. I  1009 . 

2

Ta có  I   f  2 x  dx   f  4  2 x  dx  H  K
0

0

2

Tính  K   f  2 x  dx . 
0
4

Đặt  t  2 x  dt  2dx ; đổi cận:  x  0  t  2; x  2  t  4 . Nên  K 

1
f  t  dt  1009  
2 0

2

Tính  H   f  4  2 x  dx , 
0

4

Đặt  t  4  2 x  dt  2dx ; đổi cận:  x  0  t  4; x  2  t  0 . Nên  H 

1
f  t  dt  1009  
2 0

Suy ra  I  K  H  2018 . 
2

Câu 7.

Cho  y  f  x    là  hàm  số  chẵn,  liên  tục  trên   6;6 .  Biết  rằng 

3



f  x  dx  8 ;   f  2 x  dx  3 . 

1

1

6

Giá trị của  I 

 f  x  dx  là 
1

A. I  5 . 

B. I  2 . 

C. I  14 . 
Lời giải

D. I  11 . 
3

3

Ta có  y  f  x   là hàm số chẵn, suy ra  f  2 x   f  2 x  . Khi đó:   f  2 x  dx   f  2 x  dx  3 . 
1

1

3

Xét tích phân:  I1   f  2 x  dx . 
1

Đặt  t  2 x  dt  2dx 
6

1
dt  dx . Đổi cận:  x  1  t  2 ;  x  3  t  6 . 
2

6

6

6

1
1
 I1   f  t  . dt   f  t  dt  3   f  t  dt  6   f  x  dx 6 . 
2
22
2
2
2
6

Vậy  I 


1

2

f  x  dx 


1

6

f  x  dx   f  x  dx  8  6  14 . 
2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 8.

(THPT  Đoàn  Thượng  -  Hải  Dương  -2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và 
2





f  x  dx  2018 , tính  I   xf  x 2  dx.  

0

0

A. I  1008 . 

B. I  2019 . 

C. I  2017 . 
Lời giải 

D. I  1009 . 



Xét  I   xf  x 2  dx.  
0

1
Đặt  t  x 2  dt  2 xdx  xdx  dt.  
2

Đổi cận:  x  0  t  0; x    t   2 .  
1
2

Khi đó  I 

2



f  t  dt 

0

1
2

2

 f  x  dx  1009.  
0

4

2

Câu 9.

(Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho   f  x dx  2 . Khi đó  
B. 4 .

Đặt  x  t 
4

Suy ra  

f

4

1

f

2 x

x

2



C. 2 .
Lời giải 

x

D. 8 .

1
dx  2dt . Khi  x  1  thì  t  1 ;  x  4  thì  t  2 . 
x

dx  dt 

 x dx 

1

Vậy  

1

 x dx  bằng

1

1

A. 1 .

f

2

f  t  .2dt  2  f  t dt  2.2  4 . 

1

1

 x dx  4 .
x

2

5

Câu 10. (Sở Hà Nội 2019) Cho   f  x 2  1xdx  2 . Khi đó  I   f  x  dx  bằng 
1

A. 2 . 

2

B. 1. 

C. 4 . 

D. 1 . 

Lời giải 
dt

2
Đổi cận  x  1  t  2; x  2  t  5 .  

Đặt  x 2  1  t  2 xdx  dt  xdx 

2

5

Suy ra:  2   f  x 2  1 dx 
1

5

5

1
f  t  dt     f  t  dt  4  I   f  x  dx  4 . 
2 2
2
2
3

Câu 11. Cho  f , g  là hai hàm số liên tục trên  1;3  thỏa mãn điều kiện    f  x   3 g  x  dx=10  đồng thời 
1
3

3

2

 2 f  x   g  x dx=6 . Tính   f  4  x dx +2  g  2 x  1dx  
1

A. 9 . 

1

B. 6 . 

1

C. 7 . 
Lời giải

D. 8 . 

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
3

3

3

Ta có:    f  x   3 g  x  dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 . 
1

1

3

3

1
3

 2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 . 
1

1
3

1

3

Đặt  u   f  x dx; v =  g  x dx . 
1

1

3
  f  x dx=4
u  3v  10
u  4
1
Ta được hệ phương trình:  
  
  3
 
2u  v  6
v  2
 g x dx=2
  
1
3

+ Tính   f  4  x dx  
1

Đặt  t  4  x  dt  dx; x  1  t  3; x  3  t  1 . 
3

1

3

3

 f  4  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f  x  dx  4 . 
1

3

1

1

2

+ Tính   g  2 x  1dx  
1

Đặt  z  2 x  1  dz  2dx; x  1  z  1; x  2  z  3 . 
2

3

 g  2 x  1 dx 
1
3

3

1
1
g  z  dz   g  x  dx  1.  

21
21
2

Vậy   f  4  x dx +2  g  2 x  1dx = 6 . 
1

1

1

2

7

Câu 12. Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa   f  x  dx  2  và   f  3 x  1 dx  6 . Tính  I   f  x  dx . 
0

A. I  16 . 

B. I  18 . 

1

0

C. I  8 . 
Lời giải

0

D. I  20 . 

2

A   f  x  dx  2 ,  B   f  3 x  1 dx  6  đặt  t  3 x  1  dt  3dx . 
0

0

Đổi cận : 

x  0  t 1
x 2t 7

 

7

Ta có:  B 
7

7

7

1
f  t  dt  6   f  t  dt  18   f  x  dx=18 . 
3 1
1
1
1

7

Vậy  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 .
0

Câu 13.

0

1

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho  f  x   liên tục trên    thỏa mãn  f  x   f 10  x  và 
7


3

7

f  x  dx  4 . Tính  I   xf  x  dx . 

A. 80 . 

3

B. 60 . 

C. 40 . 
Lời giải

D. 20 . 

Đặt  t  10  x . Khi đó  dt  dx . 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đổi cận:  x  3  t  7 . 
x  7  t  3 . 
3

7

7

Khi đó  I    10  t  f 10  t  dt   10  t  f 10  t  dt   10  x  f 10  x  dx  
7

3

7

7

3

7

7

  10  x  f  x  dx  10  f  x  dx   xf  x  dx  10  f  x  dx  I . 
3

3

3

3

7

Suy ra  2 I  10  f  x  dx  10.4  40 . Do đó  I  20 . 
3

1

Câu 14.

(THPT 

Quang 

Trung 

Đống 

Đa 

Hà 

Nội 

2019) 

Cho 

 f  x  dx  9 . 

Tính 

0


6

I   f  sin 3 x  cos 3 xdx . 
0

A. I  5 . 

B. I  9 . 

D. I  2 . 

C. I  3 . 
Lời giải

Đặt  t  sin 3x  dt  3cos 3x.dx  
x  0  t  0

Đổi cận:  
 

x


t

1

6

1

6

I   f  sin 3 x  cos 3 xdx 
0

1
1
f  t  dt  .9  3  

30
3
4

Câu 15.

(Chuyên  Quốc  Học  Huế  -2019)  Cho  tích  phân 

I   f  x  dx  32.   Tính  tích 
0

2

phân J   f  2 x  dx.  
0

A. J  32  

B. J  64  

Đặt  t  2 x  dt  2dx 

C. J  8  
Lời giải

D. J  16  

dt
 dx.  
2

Đổi cận:  x  0  t  0; x  2  t  4.  
2

J 
0

4

4

1
1
1
f  2 x  dx   f  t  dt   f  t  dt  I  16.  
2
20
2
0
9

Câu 16.

(Việt Đức Hà Nội 2019) Biết  f  x   là hàm liên tục trên    và   f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của 
0

4

 f  3x  3 dx  là 
1

A. 0 . 

B. 24 . 

C. 27 . 
Lời giải

D. 3 . 

4

Xét  I   f  3 x  3 dx . 
1

Đặt  t  3 x  3  dt  3dx . 
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
9
9
x  4  t  9
1
1
1
Đổi cận:  
. Vậy  I   f  t  dt   f  x  dx  .9  3 . 
3
30
3
x  1  t  0
0

1

Câu 17.

(Đề  Thi  Công  Bằng  KHTN  2019)  Cho  hàm  số  f ( x)   thỏa  mãn 

 f (2 x)dx  2 .Tích  phân 
0

2

 f ( x)dx  bằng 
0

A. 8. 

B. 1. 

C. 2. 
Lời giải

Đặt  t  2 x      dt  2dx      dx 

D. 4. 

dt

2

x0t 0
 
x 1 t  2
1

2

Ta có  2   f (2 x)dx  
0

0

2

2

f (t )dt 1
  f (t )dt   f (t )dt  4  
2
20
0
2

2

Theo tính chất tích phân   f (x)dx   f (t)dt  4  
0

0

2

Vậy  f ( x )dx  4  
0

2017

Câu 18. Cho hàm  f  x   thỏa mãn 

1

 f  x  dx  1 . Tính tích phân  I   f  2017 x  dx . 
0

A. I 

1

2017

0

B. I  0 . 

D. I  1 . 

C. I  2017 . 
Lời giải

1
dt  
2017
Đổi cận:  x  0  t  0 ; x  1  t  2017  
Đặt  t  2017 x  dt  2017dx  dx 

2017

Vậy  I 


0

1
1
f t .
dt 
2017
2017

2017

1
 f  t  dt  2017 . 
0

2

1





Câu 19. Cho tích phân   f  x  dx  a . Hãy tính tích phân  I   xf x 2  1 dx  theo  a . 
1

0

B. I 

A. I  4a . 

a

4

C. I 

a

2

D. I  2a . 

Lời giải
2

Đặt  t  x  1  dt  2 xdx . 
Đổi cận 
 
1

2





2

I   xf x 2  1 dx   f  t  .
0

1

2

dt 1
1
a
  f  t  dt   f  x  dx  . 
2 21
21
2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 20.

(Thpt  Hoàng  Hoa  Thám  Hưng  Yên  2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 


f  ln 2 x 

e2

4

 tan x. f  cos x  dx  2  và  
2

x ln x

e

0

A. 0 . 

2

dx  2 . Tính  

B. 1. 


1
4

f  2x
dx . 
x
D. 8 . 

C. 4 . 
Lời giải 



2
1 4 f  cos x 
2
*  I1   tan x. f  cos x  dx  
.sin2xdx . 
2 0 cos 2 x
0
4

Đặt  cos 2 x  t  sin 2 xdx  dt . 
Đổi cận  











 
4
1
 
2

1

1
f t 
1 2 f t 
dt  4 . 
dt    
Khi đó  I1   
t
21 t
1
2

e

*  I 2 

2


e

f  ln x 

2
e
1 f  ln x  2 ln x
dx  
.
dx . 
x ln x
2 e ln 2 x
x
2

2

Đặt  ln 2 x  t 

2 ln x
dx  dt . 
x

Đổi cận  

Khi đó  I 2 

4
4
1 f t 
d
t
 

1
2 1 t

2

* Tính  I  
1
4





f t 
dt  4 . 
t

e2  


f  2x 
1
dx . Đặt  2x  t  dx  dt . 
2
x

Đổi cận  



4

Khi đó  I  
1
2

Câu 21.

1
 
4
1
 
2




1
4
f t 
f t 
f t 
dt  
dt  
dt  4  4  8 . 
t
t
t
1
1
2

 x 2  3x 2 ; x  1
(THPT  Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Cho  hàm  số  y  f  x   
.  Tính 
5  x ; x  1

2

1

I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx . 
0

0

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

71
A. I  . 
6

B. I  31 . 

D. I 

C. I  32 . 

32

3

Lời giải

2

Xét tích phân  I1   f  sin x  cos xdx .Đặt  t  sin x  dt  cos xdx  
0

Đổi cận 







2



 
1

Ta có  I1  
0

 

1

1

1


x2 
9
f  t  dt   f  x  dx    5  x  dx   5 x     
2 0 2

0
0
1

Xét tích phân  I 2   f  3  2 x  dx .Đặt  t  3  2 x  dt  2dx  dx 
0

Đổi cận 


Ta có 
1

I2  
0




dt
 
2

1  

3

3
3
3

1
1
1
1  x3
1
10  22
 
f  3  2 x  dx   f  t  dt   f  x  dx    x 2  3 dx    3x   18   
21
21
21
2 3
3 3
1 2 


1

2

Vậy  I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx  9  22  31 . 
0

0

2

Câu 22.

(THPT  Yên  Khánh  -  Ninh  Bình-  2019)  Cho  I   f  x  dx  2 .  Giá  trị  của 
1


2



sin xf


0

3cos x  1

3cos x  1

 dx  bằng 
4
B.  .
3

A. 2 .

4
.
3
Lời giải 

D.  2 . 

C.



2
x   u  1

Đặt  u  3cos x  1  u 2  3cos x  1   udu  sin xdx.  Đổi cận  
2
3
 x  0  u  2

2

Do đó  
0

sin xf



3cos x  1

3cos x  1

 dx 

1


2

2uf  u 
3u

2

du 

2

2
2
4
f  u  du   f  x  dx  .  

31
31
3
4

Câu 23.

(Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Biết 


1

2

 f  x  dx  20 .  Tính 
4

ln 2

 f  4 x  3 dx   f  e  e
2x

1

5

f  x  dx  5   và 

2x

dx . 

0

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

15

4

A. I 

5
C. I  . 
2
Lời giải 

B. I  15 . 

D. I  25 . 

Chọn A 
Đặt  t  4 x  3  dt  4dx  thì 
2



f  4 x  3  dx 

1

5
4
5
 1
1
1
25

f
t
dt

f
t
dt

f  t  dt    5  20  







41
41
4
4
 4

Đặt  u  e 2 x  du  2e 2 x dx  thì 
ln 2



4

f  e2 x  e 2 x dx 

0

Vậy  I 
Câu 24.

1
5
f  u  du  . 

21
2

25 5 15
  . 
4 2 4

f ( x ) là  hàm  số  liên  tục  trên   thỏa  mãn 

(Chuyên  Thái  Bình  2019)  Cho 

2
2

f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân  I   f ( x )dx . 
0

4

A. I 

e 1

4

B. I 

2e  1

2

C. I  e 4  2 . 

D. I  e4  1 . 

Lời giải
Đặt  x  2  t  dx   dt . 
0

2

2

 I   f  2  t   dt    f  2  t  dt    f  2  x  dx . 
2

0

0

2

2

2

2
1
1 2
 2 I    f  x   f  2  x   dx   xe dx   e x d  x 2   e x
20
2
0
0

x2

Vậy  I 
Câu 25.

2
0



e4  1

2

e4  1

4

(Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn  f  2 x   3 f  x  , 
2

1

x   . Biết rằng   f  x  dx  1 . Tính tích phân  I   f  x  dx . 
0

A. I  5  

1

B. I  6  
1

C. I  3  
Lời giải. 

1

1

Ta có:  3  3.1  3. f  x  dx   3 f  x  dx   f  2 x  dx 
0

0

0

D. I  2  
1

1
f  2 x  d  2 x  , x   . 
2 0

Đặt  2 x  t  d  2 x   dt , với  x  0  t  0 ;  x  1  t  2 . 
1

3
2

2

2

1
1
1
f  2 x  d  2 x    f  t  dt   f  x  dx , x    (do hàm số  f  x   liên tục trên   ). 

20
20
20
1

2

    f  x  dx  6, x     f  x  dx   f  x  dx  6, x   . 
0

0

1

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
2

 1   f  x  dx  6, x   . 
1
2

  f  x  dx  5, x   . 
1


e2

2

Câu 26. Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn   tan x. f  cos x  dx  2   và 
2

0

f  2x

2

Tính  

x

1
4


e

f  ln 2 x 
x ln x

dx  2 . 

dx . 
B. 1 . 

A. 0 . 

C. 4 . 
Lời giải





2

2

D. 8 . 

sin x.cos x
. f  cos 2 x  dx  2 . 
2
cos x
0

Ta có   tan x. f  cos 2 x  dx  2  
0

1
Đặt  t  cos 2 x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xdx . 
2

Đổi cận:  x  0  t  0  và  x 


4

t 

1

2


1
f t 
sin x.cos x
2

 4 . 
.
f
cos
x
dx

2


2

cos x
t
1
0
2



2

f  ln 2 x 

e2

Ta có  

x ln x

e

e2

dx  2 

Tương tự trên ta có  

1
4

f  2x
x

2

Khi đó  
1
4

4

dx  2    

f t 
t

1

 4 . 

1
dt . 
2

1
1
 t   và  x  2    t  4 . 
4
2

f 2x
x

dx  2 . 

dx . 

Đặt  t  2 x  dx 

Đổi cận:  x 

f  ln 2 x 
x ln x

e

2

x ln 2 x

e

e2

* Tính  



ln x. f  ln 2 x 

4

dx  
1
2

f t 
t

1


1
2

f t 
t

4

dt  
1

f t 
t

 4  4  8 . 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 27.

f ( x)   liên  tục  trên 

Cho  hàm  số 

(Chuyên  KHTN  2019) 

 

thỏa 

mãn 


8

3

2
 tan x. f (cos x)dx  
0

1

f (3 x)
dx  6 . Tính tích phân 
x

A. 4 

B. 6 

2


1
2

f ( x2 )
dx  
x

C. 7 
Lời giải

D. 10 

+) Đặt  t  3 x  t 3  x  3t 2 dt  dx  
Đổi cận  x  1  t  1  và  x  8  t  2 . 
2

8

Khi đó  
1

2
2
f (t)
f (3 x)
f (t) 2
f (t)
dt  2  
dx   3 3t dt  3
dt  6  
t
x
t
t
1
1
1

+) Đặt  t  cos 2 x  dt  2 cos x sin xdx  dt  2 cos 2 x tan xdx  tan xdx  
Đổi cận:  x  0  t  1  và  x 


3



t 

1
dt  
2t

1

4

1
1

3

1 4 f (t)
f (t)
dt  6  
dt  12
Khi đó   tan x. f (cos 2 x)dx   
21 t
t
1
0
 
4

+) Đặt  t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2
Đổi cận:  x 
2


1
2

Câu 28.

dx
dx 1 dt
 


x
x 2 t

1
1
 t   và  x  2  t  2  Khi đó 
2
4
2

1

4

4

2

f ( x2 )
1 f (t)
1 f (t)
1 f (t)
2  12
dx  
dt  
dt  
dt 
7 
x
21 t
21 t
21 t
2

(Chuyên  Lê  Quý  Đôn  -  Đà  Nẵng  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa 
e 2018 1

2018



f  x  dx  2 . Khi đó tích phân 

0

0

A. 4 . 

B. 1 . 

e 2018 1

Đặt  I 




0

x
f ln  x 2  1 dx  bằng 
x 1
2



C. 2 . 
Lời giải 



D. 3 . 

x
f ln  x 2  1 dx . 
x 1
2





Đặt  t  ln  x 2  1    dt 

2x
dx . 
x 1
2

Đổi cận:  x  0    t  0 ;  x  e 2018  1    t  2018 . 
2018

Vậy  I 

2018

 f  t  dt     f  x  dx  2 . 
0

0

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

4

Câu 29.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn   f  tan x  dx  3  và 
0

1


0

2

1

x f  x

dx  1.  Tính  I   f  x  dx.  

x2  1

0

A. I  2 . 

B. I  6 . 

D. I  4 . 

C. I  3 . 
Lời giải


4

Ta có  K   f  tan x  dx  3 . Đặt  tan x  t  dt  d tan x 
0

1

1
dx   t 2  1 dx . 
2
cos x

1

1
1
Vậy  K   f  t  . 2 dt   f  x  . 2 dx  3 . 
t 1
x 1
0
0
1

Lại có  

x2 f  x 

1

1

1

1
1


dx    f  x   2
f  x   dx   f  x  dx   2
f  x  dx . 
2
x 1
x 1
x 1

0 
0
0

0

1

Vậy suy ra  I   f  x  dx  4 . 
0

Câu 30.

(SGD  Thanh  Hóa  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 

16

2

 cot x. f sin x  dx  

2

1

f

 x  dx  1 . Tính tích phân 
x


1
8

4

3
B. I  . 
2

A. I  3 .

1

f  4x
dx . 
x

5
D. I  . 
2

C. I  2 . 
Lời giải


2

16



1

Đặt  I1   cot x. f  sin 2 x  dx  1 ,  I 2  

f

 x  dx  1 . 
x

4

 Đặt  t  sin 2 x    dt  2 sin x.cos xdx  2sin 2 x.cot xdx  2t.cot xdx . 

 

2

1



1
2

I1   cot x. f  sin 2 x  dx  
4
1
4

Suy ra  
1
8

1
4

1

8

8

1
1
1 f t 
1 f  4x
1 4 f  4x 
f  t  . dt    
dt  
d  4x  
dx . 
2t
21 t
2 1 4x
21 x
2

f  4x
dx  2 I1  2  
x

Đặt  t  x    2tdt  dx . 
 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 x  dx   

f

16

I2  



x

1

1
1
4
f  4x
f  4x
f t 
f t 
 
 
 

2
d
4
x

2
dx . 
2
t
d
t

2
d
t
  
2


4x
x
t
t
1
1
1

4

1

4
1

Suy ra  

f 4x
x

1
4

dx 

4

1
1
I2   
2
2

Khi đó, ta có: 
1
1


1
8

Câu 31.

1
4
f 4x
f  4x
f  4x
1 5
dx  
dx  
dx  2   . 
x
x
x
2 2
1
1
8

4

(SGD  -  Nam  Định  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên  đoạn  1; 4   và  thỏa  mãn 



  ln x . Tính tích phân  I 

f 2 x 1

f  x 

x

x
2

 f  x  dx . 
3

2

A. I  3  2 ln 2 . 

4

C. I  ln 2 2 . 

B. I  2 ln 2 . 

D. I  2 ln 2 . 

Lời giải









 f 2 x 1

4 f 2 x 1
4
ln x
ln x 


dx  
Ta có   f  x  dx    
dx  
dx . 

x
x 
x
x
1
1
1
1


4

4

4

Xét  K  
1



 dx . 

f 2 x 1
x

Đặt  2 x  1  t    x 
3

t 1
dx

 dt . 
2
x

3

 K   f  t  dt   f  x  dx . 
1

1
4

4

4

ln 2 x
ln x
 2 ln 2 2 . 
Xét  M  
dx   ln xd  ln x  
2 1
x
1
1
4

4

3

Do đó   f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 
1

3

1

4
2018 98
11
2018.98
197764
.  I
I
Từ  1  I   I 

7
7
3
7
7.3
33
Câu 32.

(Nam  Định  -  2018)  Cho  hàm  số  y  f ( x)   liên  tục  trên 

1; 4  

và  thỏa  mãn 

4

f ( x) 

f (2 x  1) ln x
. Tính tích phân  I   f ( x) dx . 

x
x
3

A. I  3  2 ln 2 2 . 

B. I  2 ln 2 2 . 

C. I  ln 2 2 . 

D. I  2 ln 2 . 

Lời giải 
4
4
4
4
 f (2 x  1) ln x 
f (2 x  1)
ln x

dx

dx  A  B . 
Ta có:   f ( x) dx   

dx



x
x 
x
x
1
1
1
1

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

 ln x 
ln x
dx   ln x d (ln x) 
2
x
1
1
4

4

2 4

Xét  B  
4

Xét  A  
1



 ln 4 
2

1

2



 ln1
2

2

 2 ln 2 2 . 

f (2 x  1)
dx . 
x
4

Đặt  t  2 x  1  dt 

3

3

1
f (2 x  1)
dx   f (t ) dt   f ( x) dx  
dx . Khi đó  A  
x
x
1
1
1

4
4
3
3

Vậy   f ( x) dx    f ( x) dx   2 ln 2 2   f ( x) dx   f ( x) dx  2 ln 2 2  I  2 ln 2 2 . 
1
1
1
1


Câu 33.

(Chuyên  Hùng  Vương  -  Gia  Lai  -  2020)  Cho  hàm  số f  x  liên  tục  và  là  hàm  số  lẻ  trên 
0

1

đoạn  2;2 . Biết rằng  f  x  dx  1,  f  2 x  dx  2 .Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
2

1

2

A.

1

2

f  x  dx  2  f  x  dx .


2

B.

1

C.

 f  x  dx  4 .
1
2

0
2

f  x  dx  1 .



 f  x  dx  3 . 

D.

0

0

Lời giải
Chọn D
0

Đặt t   x 

0

1

f  x  dx    f  t  dt    f  t  dt ( vì f  x  làhàm lẻ) 


1

1

0

1

  f  t  dt  1 . 
0

1

Đặt t  2 x  
1
2

1

2

2



2

1
f  2 x  dx    f  2 x  dx 
f  t  dt  
2 1
1
2

1
f  t  dt  2   f  t  dt  4.  
2 1
1
2

1

2

Vậy  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1  4  3.  
0

0

1

1

Câu 34.

1
(Chuyên Sơn  La  -  2020)  Cho f  x    là  hàm  số  liên  tục  trên     thỏa  f 1  1   và   f  t  dt  . 
3
0
Tính 

2

I   sin 2 x. f   sin x  dx
0

A. I 

4
.
3

B. I 

2

3

C. I  

2
3

D. I 

1

3

Lời giải
Chọn A
Đặt  t  sin x, dt  cos x dx . 
Đổi cận 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 

1

2

I   sin 2 x. f   sin x  dx   2t. f   t  dt . 
0

0

u  2t
du  2dt

Đặt  
 
dv  f   t  dt v  f  t 
1
1
1 4
I   2t. f  t    2 f  t  dt  2. f 1  2.  . 
0 0
3 3

Câu 35.

(Chuyên  Vĩnh  Phúc  -  2020)  Cho  hàm  số 
9



f

 x  dx  4,
x

1


2



f  x   liên  tục  trên 

   và 

3

f sin x cos xdx  2 . Tính tích phân  I   f  x dx . 
0

0

A. I  6 . 

B. I  4 . 

C. I  10 . 
Lời giải 

9

3

1

1

D. I  2 . 

Chọn B
9

Ta có:  

f

 x  dx  2
x

1

9

Mà  

f

 f  x  d  x   2

 x  dx  4  nên  2
x

1

3



f t  dt . 

3

f t  dt  4   f t  dt  2  

1

1
3

3

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên   f t  dt  2   f  x dx  2 . 
1

2

Ta có:  

1


2

1

0

0

f sin x cos xdx   f sin x d sin x   f t  dt . 

0

2

1

0

0

Mà   f sin x cos xdx  2  nên   f t  dt  2 . 
1

1

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên   f t  dt  2   f  x dx  2 . 
0
3

1

0

3

Khi đó  I   f  x dx   f  x dx   f  x dx 2  2  4 . 
0

Câu 36.

0

1

(Sở  Hưng  Yên  -  2020)  Cho  f  x  liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  x   f  2020  x    và 
2017



2017

f  x dx  4. Khi đó 

3

A. 16160.  



xf  x dx  bằng

3

B. 4040.  

C. 2020.  

D. 8080.

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Lời giải
Chọn B
Đặt  u  2020  x  x  2020  u . Ta có  dx  du . 
Với  x  3  thì  u  2017 . 
Với  x  2017  thì  u  3 . 
2017

Khiđó

2017

xf  x dx = 


3

3

2017

Suy ra  2



3

2017

xf  x dx = 

3

Câu 37.

2017

  2020  u  f  2020  u du    2020  x  f  x dx  
2017

2020 f  x dx = 8080.  Do đó 


3

xf  x dx  = 4040.  


3

(Sở  Phú  Thọ  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  và  xác  định  trên   .  Biết  f 1  2   và 



1

0

x 2 f   x  dx  

4

1

A. 1. 

1
1 3 x
f 2  x dx  4 . Giá trị của   f  x  dx  bằng
0
2 x
5
3
1
B. . 
C. . 
D. . 
7
7
7
Lời giải





Chọn D
Ta có 
1

1

1

1

1

0

0

0

0

4   x 2 f   x  dx   x 2 f  x     2 xf  x  dx  2  2 xf  x  dx   xf  x  dx  1  
0

Đặt  t  2  x  dt  

1
2 x

dx  

Khi đó 



4

1

1
1
0
1 3 x
f 2  x dx  4    1  3  2  t   f  t  dt  4   7 f  t  dt  3 tf  t  dt  4  
0
0
1
2 x





1

1

4  3 tf  t  dt

0

7

Suy ra   f  t  dt 
1

Vậy   f  x  dx 
0

Câu 38.

0



4  3.  1
7

1

7



1

7

(Sở  Yên  Bái  -  2020)  Cho  hàm  số  y  f ( x) liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 
4

3
4 xf ( x )  6 f (2 x)  x3  4 . Giá trị   f ( x)dx bằng 
5
0
2

A.

52
.
25

B. 52.

C.

48
.
25

D. 48. 

Lời giải
Chọn A
2

4 xf ( x 2 )  6 f (2 x) 
2

2

3 3
3

x  4    4 xf ( x 2 )  6 f (2 x)  dx    x 3  4 dx
5
5

0
0
2

4

 2 f ( x 2 )d( x 2 )  3 f (2 x)d(2 x) 
0

4

0

4

4

4

52
52
 2 f (t )dt  3 f (u )du 
5
5
0
0

 

4

52
52
52
 2 f ( x)dx  3 f ( x)dx 
 5 f ( x)dx 
  f ( x)dx 
5
5
25
0
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 39.

(Đô  Lương  4  -  Nghệ  An  -  2020)  Cho 
1

f  x  liên  tục  trên   và  thỏa  mãn 

2

f  2   16,  f  2 x  dx  2 . Tích phân   xf   x dx  bằng 
0

0

A. 30 .

B. 28 .

C. 36 .
Lời giải 

1

2

D. 16 . 

Chọn B
1

1
Ta có:   f  2 x  dx  2   f  2 x  d  2 x   2 
20
0

 f  x  dx  4 . 
0

u  x
du  dx
Đặt  
 

dv  f   x  dx
v  f  x 
2

2

2

  xf   x dx  xf  x  0   f  x dx  2 f  2   4  32  4  28 . 
0

0


2

Câu 40.

(Kim  Liên  -  Hà  Nội  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x  liên  tục  trên  đoạn   0;1   và 
 

 f sin x  dx  5 . 
0



Tính  I   xf  sin x dx  
0

5
A. I   . 
2

B. I  10 . 

C. I  5 . 

D. I  5 . 

Lời giải 
Chọn D



2



Ta có I   xf  sin x dx   xf  sin x dx   xf  sin x dx , 
0

0



2



Tính   xf  sin x dx  


2

Đặt  x    t  
dx  dt  
xf  sin x  dx    t  f sin    t    dt    t    f  sin t  dt  



Đổi cận  x  2  t  2  
x t 0

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


0









2

2

2

2

 xf  sin x  dx    t    f  sin t  dt    f  sin t dt   tf  sin t  dt    f  sin x dx   xf  sin x dx  





2

2

0

0

0




0




2

2

Do đó  I   xf  sin x dx   xf  sin x dx   xf  sin x dx    f  sin x  dx  5  
0



0

0

2

Vậy chọn  D.
Câu 41.

(THPT  Hoàng  Hoa  Thám  -  Hưng  Yên  2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   ,  thỏa  mãn 

4
0



tan x. f  cos x  d x  2  và  
2

e2

e

f  ln x 2 
x ln x

B. 1. 

A. 0 . 

2

d x  2 . Tính  1

4

f  2x
d x . 
x

C. 4 . 
Lời giải

D. 8 . 

Chọn D
 Đặt  t  cos 2 x  suy ra  d t  2sin x.cos x d x . 
Suy 
ra




I1   tan x. f  cos x  d x  
2

4
0

4
0

Đặt  t  ln 2 x  suy ra  d t  2

sin x
1 4 2sin x cos x
1 1 f t 
2
. f  cos x  d x   
. f  cos2 x  d x  1
dt
2
0
cos x
2
cos x
2 2 t

ln x
d x . 
x

2
1 e2 2 ln x. f  ln x 
1 4 f t 
dx 
dx 
d t . 
Suy ra  I 2  
2
e
e
x ln x
2
x ln x
2 1 t
 Đặt  t  2 x  suy ra  d t  2d x . 
Ta có 
2 f  2x
2 f  2x
4 f t 
1 f t 
4 f t 
I  1
d x  1
d  2 x   1
d  t   1
dt  
d t  2  I1  I 2   2  2  2   8.
1
x
2x
t
t
t
4
4
2
2
 
e2

Câu 42.

f  ln 2 x 

1 
(Hùng  Vương  Gia  Lai  2019)  Cho  hàm  số  y  f ( x )   liên  tục  trên   ;3   thỏa 
3 
3

f ( x)
1
mãn f ( x)  x. f    x3  x . Giá trị tích phân  I   2
dx  bằng:
x
1 x  x
3

A.

8
.
9

B.

16
.
9

2
.
3
Lời giải 

C.

D.

3
.
4

Chọn A

1
1
f 
3
3 f 
3

f ( x)
16
f ( x)
x
x
1


3
dx  
dx   (x  1)dx  . 
f ( x)  x. f    x  x  2

 x 1   2
9
x x
x 1
 x
1 x x
1 x 1
1
3

3

3

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
3

Xét  I '  
1
3

1
f 
 x  dx . 
x 1

1
1
dt
 t  2 dx  dt  dx  2 .
x
x
t
1
1
3 f 
3
3

3
f (t ) d t
f (t )
f ( x)
x
I '     dx  

dt

dx  I . 
2
2
2


1
1 x 1
1 t t
1 x  x
3
 1 t
3
3
3
t
16
8
Suy ra  2 I   I  .
9
9
Dạng 1.2 Giải bằng phương pháp từng phần

Đặt 

u  g  x 
Thông thường nếu bài toán xuất hiện   g  x  f '  x  dx  ta sẽ đặt  
 
dv  f '  x  dx
a
b

1

Câu 43.

(Đề tham khảo 2017) Cho hàm số  f  x   thỏa mãn    x  1 f   x  dx  10  và  2 f 1  f  0   2 . 
0

1

Tính   f  x  dx .
0

A. I  12

C. I  1
Lời giải

B. I  8

D. I  8  

Chọn D
1
1
u  x  1
du  dx
. Khi đó  I   x  1 f  x  0   f  x  dx  

0
dv  f   x  dx v  f  x 

Đặt  

1

1

Suy ra  10  2 f 1  f  0    f  x  dx   f  x  dx  10  2  8  
0

0

1

Vậy   f  x  dx  8 . 
0

Câu 44.

(Mã  104  -  2019)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   .  Biết  f  3   1  
1

3

0

0

và  xf  3 x  dx  1 , khi đó   x 2 f   x  dx  bằng
A.

25
.
3

C. 7 .

B. 3 .

D. 9 . 

Lời giải
Chọn D
Đặt  t  3 x  dt  3dx  dx 

1
dt . 
3

1

3
13
Suy ra  1   xf  3 x dx   tf  t dt   tf  t dt  9 . 
90
0
0

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

 du  f   t  dt
u  f  t  
Đặt  


t2
 dv  t dt
 v

2
3

3

3 2
t2
t
9
13
  tf  t dt 
f  t    f   t  dt  f  3   t 2 f '  t  dt . 
2
2
2
20
0
0
0

9

3
9 13 2
  t f   t  dt   t 2 f   t  dt  9 . 
2 20
0

3

Vậy   x 2 f   x  dx  9 .
0

Câu 45.

(Mã  101  -  2019)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  .   Biết  f  4   1   và 



1

0

4

xf  4 x  dx  1,  khi đó   x 2 f   x  dx  bằng
0

A. 8.

B. 14.

C.

31
.
2

D. 16 . 

Lời giải 
Chọn D
Xét 



1

0

xf  4 x  dx  1.  Đặt: 

t  4x  

4

0

Xét  I 



4

0

4
4
1
1
t. f  t  . dt  1   t. f  t  dt  16   x. f  x  dx  16.  
0
0
4
4
4

x 2 f   x  dx   x 2 df  x   
0

4

Suy ra:  I  x 2 . f  x  
0

Câu 46.



4

0

2 x. f  x  dx  4 2 f  4   2.16  16.

(Mã  103  -  2019)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   .  Biết  f  6   1   và 
1

6

2
 xf  6 x  dx  1 , khi đó   x f   x  dx  bằng
0

A.

0

107
.
3

B. 34 .

C. 24 .

D. 36 . 

Lời giải 
Chọn D
1

Theo bài ra:   xf  6 x  dx  1 . 
0

Đặt  t  6 x  dt  6dx . 
Đổi cận: 
 
1

6

6

6

1
dt
1
Do đó:   xf  6 x  dx  1   t. f  t   1 
t. f  t  dt  1   t. f  t  dt  36 . 
6
6
36 0
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
6

Tính  I   x 2 f   x  dx . 
0

 u  x 2
du  2 x dx
Đặt  
 

dv  f   x  dx
 v  f  x
6
6 6
 I  x 2 f  x    2 xf  x  dx  36 f  6   2  xf  x  dx  36.1  2.36  36 .
0 0
0

Câu 47.

(Mã  102  -  2019)  Cho  hàm  số  f ( x) có  đạo  hàm  liên  tục  trên   .  Biết  f (5)  1   và 
1



5

xf (5 x)dx  1 , khi đó   x 2 f ( x)dx  bằng

0

0

A. 15

123
5
Lời giải

B. 23

D. 25  

C.

Chọn D
5

5

5

5

+) I   x f   x dx  x df  x   x . f  x    f  x dx 2  
2

2

2

0

0

0

0

5

 25. f 5  0. f  x   f  x.2 xdx  
0

5

 25  2 xf  x dx  
0
1

+) Ta có:   xf (5 x)dx  1  
0
5

Đặt  5x  t    
0

5

t
t
f (t)d  1     tf (t)dt  25  
5
5
0

Vậy  I  25  2  25  25 . 
Câu 48.

(Chuyên  ĐH  Vinh  -  Nghệ An  -2020)  Cho  f  x    là hàm  số có  đạo  hàm  liên tục  trên   0;1   và 
1

1

1
1
f 1   ,   x. f   x  dx  . Giá trị của   f  x  dx  bằng
36
18 0
0

A. 

1
.
12

B.

1
.
36

1
.
12
Lời giải 

C.

D. 

1
.
36

Chọn A
u  x
du  dx
Đặt  
, khi đó ta có 

 dv  f   x  dx v  f  x 
1

1

1

1

 x. f   x  dx  x. f  x  0   f  x  dx  f 1   f  x  dx 
0

Câu 49.

0

0

1

1
1
1
  f  x  dx  f 1 
 .
36
36
12
0

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số  f  x   có  f 1  e 2  và  f   x  

2x 1 2x
e  với mọi  x  khác  0 . 
x2

ln 3

Khi đó 

 xf  x  dx  bằng 
1

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

6  e2
B.

2

A. 6  e 2 . 

C. 9  e2 . 

D.

9  e2

2

Lời giải 
Chọn D
Xét tích phân   f   x  dx  

2x 1 2x
e dx  
x2

u   2 x  1 e2 x
du  4 xe 2 x dx


Đặt  

, khi đó 
1
1
v


d
v

d
x


x

x2


 f   x  dx  

2x 1 2x
1
1
e dx    2 x  1 e2 x  4  e 2 x dx    2 x  1 e2 x  2e 2 x  C . 
x2
x
x

Do  f 1  e 2  C  0 . Vậy  f  x   
ln 3

Khi đó, ta có 



ln 3

xf  x  dx 

1

Câu 50.

1
 2 x  1 e 2 x  2e 2 x . 
x



ln 3

1  2 x  e 2 x  2 xe 2 x  dx 

1



e 2 x dx 

1

e2 x
2

ln 3


1

1
9  e 2  . 

2

(HSG  Bắc  Ninh  2019)  Cho  hàm  số  y  f ( x )   có  đạo  hàm  liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 
2

1

f (2)  16,  f ( x) dx  4 . Tính  I   xf (2 x)dx . 
0

0

A. I  20  

B. I  7  
1

1

Ta có:  I   xf (2 x)dx 
0

C. I  12  
Lời giải

D. I  13  

1

1

1
1
1
1
xf  2 x    f  2 x  dx  f (2)   f  2 x  d  2 x   
2
2
2
40
0
0

2

I

Câu 51.

1
1
1
1
f (2)   f ( x) dx  .16  .4  7 . 
2
40
2
4

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số  f  x  có đạo hàm liên tục trên   0;1  thỏa 
1
1
2
1
1
,  f 1  0  và    f '  x   dx  . Giá trị của   f  x  dx  bằng 
0
0
21
7
5
1
4
7
A.
.
B.  . 
C. . 
D.  . 
12
5
5
10
Lời giải
 du  f '  x  dx
u  f  x 

Đặt  



x3
2
 dv  x dx v 
3

1

mãn   x 2 f  x  dx  
0

1
1
1
x3
1
f  x
  x 2 f  x  dx   udv  uv 10   vdu   
0
0
3
21 0
1
1
  x 3 f '  x  dx  . 
0
7



1
0



1

0

x3
1 1
f '  x  dx      x 3 f '  x  dx  
3
3 0

1
1
1
1
2
2
1
1 1
   x 3  f '  x   dx   x 6 dx  2  x 3 f '  x  dx    f '  x   dx   2.   0  
0
0
0
0
7
7 7

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
2

  f '  x   x3   0, x   0;1  f '  x   x3 , x   0;1 . 
1 4
 x  1 ; x  0;1  
4
1
11
1 1
1
Vậy   f  x  dx    x 4  1 dx    x 4  1 dx   . 
0
0 4
0
4
5

Kết hợp điều kiện  f 1  0  ta có  f  x  

Câu 52.

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên    và thỏa 
mãn 
1



1

f  x  dx  1, f 1  cot1 . Tính tích phân  I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx . 

0

0

B. 1  ln  cos1 . 

A. 1 . 

D. 1  cot1 . 

C. 0. 
Lời giải

1

1

1

Ta có    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx   f  x  tan 2 xdx   f   x  tan xdx . 
0

0

0

Lại có: 
1


0

1
1
1
1
f  x
f  x
 1

f  x  tan 2 xdx   f  x  

1
d
x

d
x

f
x
d
x

dx  1 . 



2
2



cos x
cos 2 x
 cos x 
0
0
0
0

1


0

1

1

1

f   x  tan xdx   tan xd  f  x    f  x  .tan x   f  x  d  tan x   
0

0

1

 f 1 .tan1  
0

f  x
2

cos x

1

dx  cot1.tan1  
0

f  x
2

cos x

0

1

dx  1  
0

f  x
cos 2 x

dx . 

Vậy  I  0.  
Câu 53.

(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số 
1

f  x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn   0 ;1  

1

1
thỏa mãn  f 1  0 ,   x 2 f  x  dx   Tính   x 3 f '  x  dx  .
3
0
0

A. 1  

B. 1 

C. 3  

D. 3

Lời giải
Chọn A
u  f ( x)  du  f '( x) dx


x3
2
 dv  x dx  v 
 
3

I

1 3
1 1 x3
x3
13
x
f ( x)   f '( x)dx  f (1)  0. f (0)   f '( x)dx
0 0 3
3
3
3
0
1

1

1 1 3

x f '( x) dx   x3 f '( x) dx  1
3 3 0
0

 


2

Câu 54. Biết m là số thực thỏa mãn   x  cos x  2m dx=2 2 
0

A. m  0 . 

B. 0  m  3 . 


2

 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

C. 3  m  6 . 
Lời giải

D. m  6 . 

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 








2

2

2

2

Ta có:  x  cos x  2m dx= x cos xdx  2mxdx  x cos xdx 





0



0



0

0

m 2
.
4



ux

 du  dx

2

I

x
cos
x
dx
Gọi 
. Đặt 



0


dv  cos xdx v  sin x

 




2

I  x sin x |  sin xdx 
2
0

0


2



 cos x |02 


2

1 .

 


2

Khi đó:  x  cos x  2m dx=


0

Suy ra 
Câu 55.

m 2 
 1 .
4
2
 

m
 2  m  8 . 
4

(Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn 
1

1

1

2

f 1  0,     f ( x )  dx  7  và   x 2 f ( x )dx 
0

0

A. 4

B.

1
. Tính tích phân   f ( x)dx
3
0

7
5

C. 1

D.

7
 
4

Lời giải
Chọn B
Cách 1: Đặt  u  f  x   du  f   x  dx ,  dv  x 2 dx  v 
1

1

x3

3

1

1 x3
x3
Ta có  
f  x  
f   x dx   x3 f   x dx  1  
3 3
3
0
0
0
1

1

1

1

2

2

Ta có   49 x 6 dx  7,     f ( x )  dx  7,  2.7 x 3 . f   x dx  14    7 x 3  f ( x )  dx  0  
0

0

0

 7 x3  f ( x)  0  f  x   

0

7 x4
7
 C , mà  f 1  0  C   
4
4

1
1
 7 x4 7 
7
  f ( x)dx    
  dx  . 
4
4
5
0
0
Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: 
2

b
b
 b 2
f
x
g
x
dx

f
x
dx
.
g 2  x  dx  







 

a
a
 a

Dấu bằng xảy ra khi  f  x   k .g  x  ,  x   a; b  , k     
2

1
 1 x6 1
2
x3
1  x3
1
Ta có    
f   x dx    dx.  f   x   dx  . Dấu bằng xảy ra khi  f   x   k. . 
9 0 3
9
3
 0 9 0
1

Mặt khác  
0

7 x4 7
x3
1
 . 
f   x dx 
 k  21  f   x   7 x 3  suy ra  f  x   
4 4
3
3

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×