Tải bản đầy đủ (.pdf) (102 trang)

Chuyên đề 26 tích phân đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.85 MB, 102 trang )

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Chuyên đề 26

 
TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM
 
Dạng 1. Tích phân Hàm ẩn
Dạng 1.1 Giải bằng phương pháp đổi biến
b

Thông thường nếu trong bài toán xuất hiện   f u  x   dx thì ta sẽ đặt  u  x   t  
a

Câu 1.

(Chuyên  Biên  Hòa  -  Hà  Nam  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   và  thỏa  mãn 
1

2

 f  x  dx  9 . Tích phân  0  f 1  3 x   9 dx bằng 
5
 
A. 15 . 
B. 27 . 
C. 75 . 
Lời giải 
Chọn D


2

2

2

D. 21 . 

2

Ta có    f 1  3 x   9  dx   f 1  3 x  dx   9dx   f 1  3 x  dx  18 . 
0

0

0

0

2

Xét   f 1  3 x  dx , đặt  t  1  3x    dt  3dx  dx  
0

dt

3

2


Đổi cận khi  x  0  t  1 ;  x  2  t  5 . Suy ra   f 1  3x  dx  
0

2

1

Khi đó    f 1  3 x   9  dx 
0

Câu 2.

5

1

1
1
f (t )dt   f (t )dt . 

31
3 5

1

1
1
f (t )dt  18   f ( x)dx  18  21 . 

3 5

3 5

(Chuyên  Lam  Sơn  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên  đoạn   0;10   thỏa  mãn 
10


0

10

1

f  x  dx  7,  f  x  dx  1 . Tính  P   f  2 x  dx . 
2

0

A. P  6 . 

B. P  6 . 

C. P  3 . 
Lời giải

D. P  12 . 

Chọn C 
2

10


10

Ta có:   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  6 . 
0

0

2

1

1
Xét  P   f  2 x  dx . Đặt  t  2 x  dt  2dx  dx  dt . 
2
0
Đổi cận: 

 
1

2

Lúc đó:  P   f  2 x  dx 
0

2

1
1

f  t  dt   f  x  dx  3 . 

20
20

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
5

Câu 3.

2

(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho I   f  x  dx  26 . Khi đó  J   x  f  x 2  1  1 dx  bằng 
1
0
 
A. 15 . 
B. 13 . 
C. 54 . 
D. 52 . 
Lời giải
Chọn A 
2

2

2


+ Ta có:  J   x  f  x 2  1  1 dx   xdx   xf  x 2  1 dx . 
0

0

0

2

+ Xét A   xdx . 
0
 
2

2

A   xdx 
0

x2
 2 . 
2 0

2

+ Xét  B   xf  x 2  1 dx . 
0
2


Đặt  t  x  1  dt  2 xdx . 
Đổi cận: 
  x 
 0 
Ta có: 
 t 
  1 

5

2

B   xf  x 2  1 dx 
0

 2 
 5 

5

1
1
1
f  t  dt   f  x  dx  .26  13 . 

21
21
2

Vậy  J  A  B  15 . 

9

Câu 4.

(Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số  y  f ( x)  liên tục trên    thỏa mãn  

f

 x  dx  4  và 

1

x


3

2

 f  sin x  cos xdx  2.  Tích phân  I   f ( x)dx  bằng
0

0

A. I  8 .

B. I  6 .

C. I  4 .
Lời giải


D. I  10 . 

Chọn C
Đặt  t 

x  dt 
9

Suy ra  

f

1
2 x

 x dx  2

1

x

dx . Khi đó  x  1  t  1; x  9  t  3  

3

3

 f (t )dt  4   f (t )dt  2.  
1


1


  
;   dt  cos dx . Khi đó.  x  0  t  0; x   t  1  
2
 2 2

Đặt  t  sin x; x   
3

1

3

Suy ra   f ( x)dx   f ( x) dx   f ( x)dx  2  2  4.  
0

0

1

5

Câu 5.

(THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết  

1


A. P  15 . 

B. P  37 . 

2

f  x dx  15 . Tính giá trị của  P    f  5  3 x   7  dx . 
0

C. P  27 . 

D. P  19 . 

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Lời giải
1
Đặt  t  5  3 x  dt  3dx  dx =  dt . 
3
Đổi cận:  x  0 thì  t  5 ;  x  2 thì  t  1 . 
2

2

2


0

0

5

1

Ta có:  P    f  5  3 x   7  dx     f  5  3x  dx +  7dx 
0



f t 

5

1
dt
2
 7 x 0   f  t  dt  14  
3 1
3

1
 .15  14  19 . 
3
4

Câu 6.


(THPT  Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Cho 

 f  x  dx  2018 . 

Tính  tích  phân 

0

2

I    f  2 x   f  4  2 x   dx . 
0

A. I  0 . 

B. I  2018 . 
2

C. I  4036 . 
Lời giải

D. I  1009 . 

2

Ta có  I   f  2 x  dx   f  4  2 x  dx  H  K
0

0


2

Tính  K   f  2 x  dx . 
0
4

Đặt  t  2 x  dt  2dx ; đổi cận:  x  0  t  2; x  2  t  4 . Nên  K 

1
f  t  dt  1009  
2 0

2

Tính  H   f  4  2 x  dx , 
0

4

Đặt  t  4  2 x  dt  2dx ; đổi cận:  x  0  t  4; x  2  t  0 . Nên  H 

1
f  t  dt  1009  
2 0

Suy ra  I  K  H  2018 . 
2

Câu 7.


Cho  y  f  x    là  hàm  số  chẵn,  liên  tục  trên   6;6 .  Biết  rằng 

3



f  x  dx  8 ;   f  2 x  dx  3 . 

1

1

6

Giá trị của  I 

 f  x  dx  là 
1

A. I  5 . 

B. I  2 . 

C. I  14 . 
Lời giải

D. I  11 . 
3


3

Ta có  y  f  x   là hàm số chẵn, suy ra  f  2 x   f  2 x  . Khi đó:   f  2 x  dx   f  2 x  dx  3 . 
1

1

3

Xét tích phân:  I1   f  2 x  dx . 
1

Đặt  t  2 x  dt  2dx 
6

1
dt  dx . Đổi cận:  x  1  t  2 ;  x  3  t  6 . 
2

6

6

6

1
1
 I1   f  t  . dt   f  t  dt  3   f  t  dt  6   f  x  dx 6 . 
2
22

2
2
2
6

Vậy  I 


1

2

f  x  dx 


1

6

f  x  dx   f  x  dx  8  6  14 . 
2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 8.

(THPT  Đoàn  Thượng  -  Hải  Dương  -2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và 

2





f  x  dx  2018 , tính  I   xf  x 2  dx.  

0

0

A. I  1008 . 

B. I  2019 . 

C. I  2017 . 
Lời giải 

D. I  1009 . 



Xét  I   xf  x 2  dx.  
0

1
Đặt  t  x 2  dt  2 xdx  xdx  dt.  
2


Đổi cận:  x  0  t  0; x    t   2 .  
1
2

Khi đó  I 

2



f  t  dt 

0

1
2

2

 f  x  dx  1009.  
0

4

2

Câu 9.

(Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho   f  x dx  2 . Khi đó  
B. 4 .


Đặt  x  t 
4

Suy ra  

f

4

1

f

2 x

x

2



C. 2 .
Lời giải 

x

D. 8 .

1

dx  2dt . Khi  x  1  thì  t  1 ;  x  4  thì  t  2 . 
x

dx  dt 

 x dx 

1

Vậy  

1

 x dx  bằng

1

1

A. 1 .

f

2

f  t  .2dt  2  f  t dt  2.2  4 . 

1

1


 x dx  4 .
x

2

5

Câu 10. (Sở Hà Nội 2019) Cho   f  x 2  1xdx  2 . Khi đó  I   f  x  dx  bằng 
1

A. 2 . 

2

B. 1. 

C. 4 . 

D. 1 . 

Lời giải 
dt

2
Đổi cận  x  1  t  2; x  2  t  5 .  

Đặt  x 2  1  t  2 xdx  dt  xdx 

2


5

Suy ra:  2   f  x 2  1 dx 
1

5

5

1
f  t  dt     f  t  dt  4  I   f  x  dx  4 . 
2 2
2
2
3

Câu 11. Cho  f , g  là hai hàm số liên tục trên  1;3  thỏa mãn điều kiện    f  x   3 g  x  dx=10  đồng thời 
1
3

3

2

 2 f  x   g  x dx=6 . Tính   f  4  x dx +2  g  2 x  1dx  
1

A. 9 . 


1

B. 6 . 

1

C. 7 . 
Lời giải

D. 8 . 

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
3

3

3

Ta có:    f  x   3 g  x  dx=10   f  x dx+3 g  x dx=10 . 
1

1

3

3


1
3

 2 f  x   g  x dx=6  2 f  x dx- g  x dx=6 . 
1

1
3

1

3

Đặt  u   f  x dx; v =  g  x dx . 
1

1

3
  f  x dx=4
u  3v  10
u  4
1
Ta được hệ phương trình:  
  
  3
 
2u  v  6
v  2
 g x dx=2

  
1
3

+ Tính   f  4  x dx  
1

Đặt  t  4  x  dt  dx; x  1  t  3; x  3  t  1 . 
3

1

3

3

 f  4  x  dx   f  t  dt    f  t  dt   f  x  dx  4 . 
1

3

1

1

2

+ Tính   g  2 x  1dx  
1


Đặt  z  2 x  1  dz  2dx; x  1  z  1; x  2  z  3 . 
2

3

 g  2 x  1 dx 
1
3

3

1
1
g  z  dz   g  x  dx  1.  

21
21
2

Vậy   f  4  x dx +2  g  2 x  1dx = 6 . 
1

1

1

2

7


Câu 12. Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa   f  x  dx  2  và   f  3 x  1 dx  6 . Tính  I   f  x  dx . 
0

A. I  16 . 

B. I  18 . 

1

0

C. I  8 . 
Lời giải

0

D. I  20 . 

2

A   f  x  dx  2 ,  B   f  3 x  1 dx  6  đặt  t  3 x  1  dt  3dx . 
0

0

Đổi cận : 

x  0  t 1
x 2t 7


 

7

Ta có:  B 
7

7

7

1
f  t  dt  6   f  t  dt  18   f  x  dx=18 . 
3 1
1
1
1

7

Vậy  I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  20 .
0

Câu 13.

0

1

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho  f  x   liên tục trên    thỏa mãn  f  x   f 10  x  và 

7


3

7

f  x  dx  4 . Tính  I   xf  x  dx . 

A. 80 . 

3

B. 60 . 

C. 40 . 
Lời giải

D. 20 . 

Đặt  t  10  x . Khi đó  dt  dx . 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đổi cận:  x  3  t  7 . 
x  7  t  3 . 
3


7

7

Khi đó  I    10  t  f 10  t  dt   10  t  f 10  t  dt   10  x  f 10  x  dx  
7

3

7

7

3

7

7

  10  x  f  x  dx  10  f  x  dx   xf  x  dx  10  f  x  dx  I . 
3

3

3

3

7


Suy ra  2 I  10  f  x  dx  10.4  40 . Do đó  I  20 . 
3

1

Câu 14.

(THPT 

Quang 

Trung 

Đống 

Đa 

Hà 

Nội 

2019) 

Cho 

 f  x  dx  9 . 

Tính 

0



6

I   f  sin 3 x  cos 3 xdx . 
0

A. I  5 . 

B. I  9 . 

D. I  2 . 

C. I  3 . 
Lời giải

Đặt  t  sin 3x  dt  3cos 3x.dx  
x  0  t  0

Đổi cận:  
 

x


t

1

6


1

6

I   f  sin 3 x  cos 3 xdx 
0

1
1
f  t  dt  .9  3  

30
3
4

Câu 15.

(Chuyên  Quốc  Học  Huế  -2019)  Cho  tích  phân 

I   f  x  dx  32.   Tính  tích 
0

2

phân J   f  2 x  dx.  
0

A. J  32  


B. J  64  

Đặt  t  2 x  dt  2dx 

C. J  8  
Lời giải

D. J  16  

dt
 dx.  
2

Đổi cận:  x  0  t  0; x  2  t  4.  
2

J 
0

4

4

1
1
1
f  2 x  dx   f  t  dt   f  t  dt  I  16.  
2
20
2

0
9

Câu 16.

(Việt Đức Hà Nội 2019) Biết  f  x   là hàm liên tục trên    và   f  x  dx  9 . Khi đó giá trị của 
0

4

 f  3x  3 dx  là 
1

A. 0 . 

B. 24 . 

C. 27 . 
Lời giải

D. 3 . 

4

Xét  I   f  3 x  3 dx . 
1

Đặt  t  3 x  3  dt  3dx . 
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
9
9
x  4  t  9
1
1
1
Đổi cận:  
. Vậy  I   f  t  dt   f  x  dx  .9  3 . 
3
30
3
x  1  t  0
0

1

Câu 17.

(Đề  Thi  Công  Bằng  KHTN  2019)  Cho  hàm  số  f ( x)   thỏa  mãn 

 f (2 x)dx  2 .Tích  phân 
0

2

 f ( x)dx  bằng 
0


A. 8. 

B. 1. 

C. 2. 
Lời giải

Đặt  t  2 x      dt  2dx      dx 

D. 4. 

dt

2

x0t 0
 
x 1 t  2
1

2

Ta có  2   f (2 x)dx  
0

0

2

2


f (t )dt 1
  f (t )dt   f (t )dt  4  
2
20
0
2

2

Theo tính chất tích phân   f (x)dx   f (t)dt  4  
0

0

2

Vậy  f ( x )dx  4  
0

2017

Câu 18. Cho hàm  f  x   thỏa mãn 

1

 f  x  dx  1 . Tính tích phân  I   f  2017 x  dx . 
0

A. I 


1

2017

0

B. I  0 . 

D. I  1 . 

C. I  2017 . 
Lời giải

1
dt  
2017
Đổi cận:  x  0  t  0 ; x  1  t  2017  
Đặt  t  2017 x  dt  2017dx  dx 

2017

Vậy  I 


0

1
1
f t .

dt 
2017
2017

2017

1
 f  t  dt  2017 . 
0

2

1





Câu 19. Cho tích phân   f  x  dx  a . Hãy tính tích phân  I   xf x 2  1 dx  theo  a . 
1

0

B. I 

A. I  4a . 

a

4


C. I 

a

2

D. I  2a . 

Lời giải
2

Đặt  t  x  1  dt  2 xdx . 
Đổi cận 
 
1

2





2

I   xf x 2  1 dx   f  t  .
0

1


2

dt 1
1
a
  f  t  dt   f  x  dx  . 
2 21
21
2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 20.

(Thpt  Hoàng  Hoa  Thám  Hưng  Yên  2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 


f  ln 2 x 

e2

4

 tan x. f  cos x  dx  2  và  
2

x ln x


e

0

A. 0 . 

2

dx  2 . Tính  

B. 1. 


1
4

f  2x
dx . 
x
D. 8 . 

C. 4 . 
Lời giải 



2
1 4 f  cos x 
2

*  I1   tan x. f  cos x  dx  
.sin2xdx . 
2 0 cos 2 x
0
4

Đặt  cos 2 x  t  sin 2 xdx  dt . 
Đổi cận  











 
4
1
 
2

1

1
f t 
1 2 f t 

dt  4 . 
dt    
Khi đó  I1   
t
21 t
1
2

e

*  I 2 

2


e

f  ln x 

2
e
1 f  ln x  2 ln x
dx  
.
dx . 
x ln x
2 e ln 2 x
x
2


2

Đặt  ln 2 x  t 

2 ln x
dx  dt . 
x

Đổi cận  

Khi đó  I 2 

4
4
1 f t 
d
t
 

1
2 1 t

2

* Tính  I  
1
4






f t 
dt  4 . 
t

e2  


f  2x 
1
dx . Đặt  2x  t  dx  dt . 
2
x

Đổi cận  



4

Khi đó  I  
1
2

Câu 21.

1
 
4

1
 
2




1
4
f t 
f t 
f t 
dt  
dt  
dt  4  4  8 . 
t
t
t
1
1
2

 x 2  3x 2 ; x  1
(THPT  Lương  Thế  Vinh  Hà  Nội  2019)  Cho  hàm  số  y  f  x   
.  Tính 
5  x ; x  1

2

1


I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx . 
0

0

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

71
A. I  . 
6

B. I  31 . 

D. I 

C. I  32 . 

32

3

Lời giải

2

Xét tích phân  I1   f  sin x  cos xdx .Đặt  t  sin x  dt  cos xdx  

0

Đổi cận 







2



 
1

Ta có  I1  
0

 

1

1

1


x2 

9
f  t  dt   f  x  dx    5  x  dx   5 x     
2 0 2

0
0
1

Xét tích phân  I 2   f  3  2 x  dx .Đặt  t  3  2 x  dt  2dx  dx 
0

Đổi cận 


Ta có 
1

I2  
0




dt
 
2

1  

3


3
3
3

1
1
1
1  x3
1
10  22
 
f  3  2 x  dx   f  t  dt   f  x  dx    x 2  3 dx    3x   18   
21
21
21
2 3
3 3
1 2 


1

2

Vậy  I  2  f  sin x  cos xdx  3 f  3  2 x  dx  9  22  31 . 
0

0


2

Câu 22.

(THPT  Yên  Khánh  -  Ninh  Bình-  2019)  Cho  I   f  x  dx  2 .  Giá  trị  của 
1


2



sin xf


0

3cos x  1

3cos x  1

 dx  bằng 
4
B.  .
3

A. 2 .

4
.

3
Lời giải 

D.  2 . 

C.



2
x   u  1

Đặt  u  3cos x  1  u 2  3cos x  1   udu  sin xdx.  Đổi cận  
2
3
 x  0  u  2

2

Do đó  
0

sin xf



3cos x  1

3cos x  1


 dx 

1


2

2uf  u 
3u

2

du 

2

2
2
4
f  u  du   f  x  dx  .  

31
31
3
4

Câu 23.

(Chuyên  Lê  Hồng  Phong  Nam  Định  2019)  Biết 



1

2

 f  x  dx  20 .  Tính 
4

ln 2

 f  4 x  3 dx   f  e  e
2x

1

5

f  x  dx  5   và 

2x

dx . 

0

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


15

4

A. I 

5
C. I  . 
2
Lời giải 

B. I  15 . 

D. I  25 . 

Chọn A 
Đặt  t  4 x  3  dt  4dx  thì 
2



f  4 x  3  dx 

1

5
4
5
 1
1

1
25

f
t
dt

f
t
dt

f  t  dt    5  20  







41
41
4
4
 4

Đặt  u  e 2 x  du  2e 2 x dx  thì 
ln 2




4

f  e2 x  e 2 x dx 

0

Vậy  I 
Câu 24.

1
5
f  u  du  . 

21
2

25 5 15
  . 
4 2 4

f ( x ) là  hàm  số  liên  tục  trên   thỏa  mãn 

(Chuyên  Thái  Bình  2019)  Cho 

2
2

f ( x )  f (2  x )  x.e x , x   . Tính tích phân  I   f ( x )dx . 
0


4

A. I 

e 1

4

B. I 

2e  1

2

C. I  e 4  2 . 

D. I  e4  1 . 

Lời giải
Đặt  x  2  t  dx   dt . 
0

2

2

 I   f  2  t   dt    f  2  t  dt    f  2  x  dx . 
2

0


0

2

2

2

2
1
1 2
 2 I    f  x   f  2  x   dx   xe dx   e x d  x 2   e x
20
2
0
0

x2

Vậy  I 
Câu 25.

2
0



e4  1


2

e4  1

4

(Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn  f  2 x   3 f  x  , 
2

1

x   . Biết rằng   f  x  dx  1 . Tính tích phân  I   f  x  dx . 
0

A. I  5  

1

B. I  6  
1

C. I  3  
Lời giải. 

1

1

Ta có:  3  3.1  3. f  x  dx   3 f  x  dx   f  2 x  dx 
0


0

0

D. I  2  
1

1
f  2 x  d  2 x  , x   . 
2 0

Đặt  2 x  t  d  2 x   dt , với  x  0  t  0 ;  x  1  t  2 . 
1

3
2

2

2

1
1
1
f  2 x  d  2 x    f  t  dt   f  x  dx , x    (do hàm số  f  x   liên tục trên   ). 

20
20
20

1

2

    f  x  dx  6, x     f  x  dx   f  x  dx  6, x   . 
0

0

1

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
2

 1   f  x  dx  6, x   . 
1
2

  f  x  dx  5, x   . 
1


e2

2

Câu 26. Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn   tan x. f  cos x  dx  2   và 

2

0

f  2x

2

Tính  

x

1
4


e

f  ln 2 x 
x ln x

dx  2 . 

dx . 
B. 1 . 

A. 0 . 

C. 4 . 
Lời giải






2

2

D. 8 . 

sin x.cos x
. f  cos 2 x  dx  2 . 
2
cos x
0

Ta có   tan x. f  cos 2 x  dx  2  
0

1
Đặt  t  cos 2 x  dt  2sin x cos xdx   dt  sin x cos xdx . 
2

Đổi cận:  x  0  t  0  và  x 


4

t 


1

2


1
f t 
sin x.cos x
2

 4 . 
.
f
cos
x
dx

2


2

cos x
t
1
0
2




2

f  ln 2 x 

e2

Ta có  

x ln x

e

e2

dx  2 

Tương tự trên ta có  

1
4

f  2x
x

2

Khi đó  
1
4


4

dx  2    

f t 
t

1

 4 . 

1
dt . 
2

1
1
 t   và  x  2    t  4 . 
4
2

f 2x
x

dx  2 . 

dx . 

Đặt  t  2 x  dx 


Đổi cận:  x 

f  ln 2 x 
x ln x

e

2

x ln 2 x

e

e2

* Tính  



ln x. f  ln 2 x 

4

dx  
1
2

f t 
t


1


1
2

f t 
t

4

dt  
1

f t 
t

 4  4  8 . 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 27.

f ( x)   liên  tục  trên 

Cho  hàm  số 


(Chuyên  KHTN  2019) 

 

thỏa 

mãn 


8

3

2
 tan x. f (cos x)dx  
0

1

f (3 x)
dx  6 . Tính tích phân 
x

A. 4 

B. 6 

2



1
2

f ( x2 )
dx  
x

C. 7 
Lời giải

D. 10 

+) Đặt  t  3 x  t 3  x  3t 2 dt  dx  
Đổi cận  x  1  t  1  và  x  8  t  2 . 
2

8

Khi đó  
1

2
2
f (t)
f (3 x)
f (t) 2
f (t)
dt  2  
dx   3 3t dt  3

dt  6  
t
x
t
t
1
1
1

+) Đặt  t  cos 2 x  dt  2 cos x sin xdx  dt  2 cos 2 x tan xdx  tan xdx  
Đổi cận:  x  0  t  1  và  x 


3



t 

1
dt  
2t

1

4

1
1


3

1 4 f (t)
f (t)
dt  6  
dt  12
Khi đó   tan x. f (cos 2 x)dx   
21 t
t
1
0
 
4

+) Đặt  t  x 2  dt  2 xdx  dt  2 x 2
Đổi cận:  x 
2


1
2

Câu 28.

dx
dx 1 dt
 


x

x 2 t

1
1
 t   và  x  2  t  2  Khi đó 
2
4
2

1

4

4

2

f ( x2 )
1 f (t)
1 f (t)
1 f (t)
2  12
dx  
dt  
dt  
dt 
7 
x
21 t
21 t

21 t
2

(Chuyên  Lê  Quý  Đôn  -  Đà  Nẵng  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     thỏa 
e 2018 1

2018



f  x  dx  2 . Khi đó tích phân 

0

0

A. 4 . 

B. 1 . 

e 2018 1

Đặt  I 




0

x

f ln  x 2  1 dx  bằng 
x 1
2



C. 2 . 
Lời giải 



D. 3 . 

x
f ln  x 2  1 dx . 
x 1
2





Đặt  t  ln  x 2  1    dt 

2x
dx . 
x 1
2

Đổi cận:  x  0    t  0 ;  x  e 2018  1    t  2018 . 

2018

Vậy  I 

2018

 f  t  dt     f  x  dx  2 . 
0

0

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

4

Câu 29.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hàm số  f  x   liên tục trên    thỏa mãn   f  tan x  dx  3  và 
0

1


0

2


1

x f  x

dx  1.  Tính  I   f  x  dx.  

x2  1

0

A. I  2 . 

B. I  6 . 

D. I  4 . 

C. I  3 . 
Lời giải


4

Ta có  K   f  tan x  dx  3 . Đặt  tan x  t  dt  d tan x 
0

1

1
dx   t 2  1 dx . 
2

cos x

1

1
1
Vậy  K   f  t  . 2 dt   f  x  . 2 dx  3 . 
t 1
x 1
0
0
1

Lại có  

x2 f  x 

1

1

1

1
1


dx    f  x   2
f  x   dx   f  x  dx   2
f  x  dx . 

2
x 1
x 1
x 1

0 
0
0

0

1

Vậy suy ra  I   f  x  dx  4 . 
0

Câu 30.

(SGD  Thanh  Hóa  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 

16

2

 cot x. f sin x  dx  

2

1


f

 x  dx  1 . Tính tích phân 
x


1
8

4

3
B. I  . 
2

A. I  3 .

1

f  4x
dx . 
x

5
D. I  . 
2

C. I  2 . 
Lời giải



2

16



1

Đặt  I1   cot x. f  sin 2 x  dx  1 ,  I 2  

f

 x  dx  1 . 
x

4

 Đặt  t  sin 2 x    dt  2 sin x.cos xdx  2sin 2 x.cot xdx  2t.cot xdx . 

 

2

1



1
2


I1   cot x. f  sin 2 x  dx  
4
1
4

Suy ra  
1
8

1
4

1

8

8

1
1
1 f t 
1 f  4x
1 4 f  4x 
f  t  . dt    
dt  
d  4x  
dx . 
2t
21 t

2 1 4x
21 x
2

f  4x
dx  2 I1  2  
x

Đặt  t  x    2tdt  dx . 
 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 x  dx   

f

16

I2  



x

1


1
1
4
f  4x
f  4x
f t 
f t 
 
 
 

2
d
4
x

2
dx . 
2
t
d
t

2
d
t
  
2



4x
x
t
t
1
1
1

4

1

4
1

Suy ra  

f 4x
x

1
4

dx 

4

1
1
I2   

2
2

Khi đó, ta có: 
1
1


1
8

Câu 31.

1
4
f 4x
f  4x
f  4x
1 5
dx  
dx  
dx  2   . 
x
x
x
2 2
1
1
8


4

(SGD  -  Nam  Định  -  2018)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên  đoạn  1; 4   và  thỏa  mãn 



  ln x . Tính tích phân  I 

f 2 x 1

f  x 

x

x
2

 f  x  dx . 
3

2

A. I  3  2 ln 2 . 

4

C. I  ln 2 2 . 

B. I  2 ln 2 . 


D. I  2 ln 2 . 

Lời giải









 f 2 x 1

4 f 2 x 1
4
ln x
ln x 


dx  
Ta có   f  x  dx    
dx  
dx . 

x
x 
x
x
1

1
1
1


4

4

4

Xét  K  
1



 dx . 

f 2 x 1
x

Đặt  2 x  1  t    x 
3

t 1
dx

 dt . 
2
x


3

 K   f  t  dt   f  x  dx . 
1

1
4

4

4

ln 2 x
ln x
 2 ln 2 2 . 
Xét  M  
dx   ln xd  ln x  
2 1
x
1
1
4

4

3

Do đó   f  x  dx   f  x  dx  2 ln 2 2   f  x  dx  2 ln 2 2 . 
1


3

1

4
2018 98
11
2018.98
197764
.  I
I
Từ  1  I   I 

7
7
3
7
7.3
33
Câu 32.

(Nam  Định  -  2018)  Cho  hàm  số  y  f ( x)   liên  tục  trên 

1; 4  

và  thỏa  mãn 

4


f ( x) 

f (2 x  1) ln x
. Tính tích phân  I   f ( x) dx . 

x
x
3

A. I  3  2 ln 2 2 . 

B. I  2 ln 2 2 . 

C. I  ln 2 2 . 

D. I  2 ln 2 . 

Lời giải 
4
4
4
4
 f (2 x  1) ln x 
f (2 x  1)
ln x

dx

dx  A  B . 
Ta có:   f ( x) dx   


dx



x
x 
x
x
1
1
1
1

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

 ln x 
ln x
dx   ln x d (ln x) 
2
x
1
1
4

4


2 4

Xét  B  
4

Xét  A  
1



 ln 4 
2

1

2



 ln1
2

2

 2 ln 2 2 . 

f (2 x  1)
dx . 
x
4


Đặt  t  2 x  1  dt 

3

3

1
f (2 x  1)
dx   f (t ) dt   f ( x) dx  
dx . Khi đó  A  
x
x
1
1
1

4
4
3
3

Vậy   f ( x) dx    f ( x) dx   2 ln 2 2   f ( x) dx   f ( x) dx  2 ln 2 2  I  2 ln 2 2 . 
1
1
1
1


Câu 33.


(Chuyên  Hùng  Vương  -  Gia  Lai  -  2020)  Cho  hàm  số f  x  liên  tục  và  là  hàm  số  lẻ  trên 
0

1

đoạn  2;2 . Biết rằng  f  x  dx  1,  f  2 x  dx  2 .Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
2

1

2

A.

1

2

f  x  dx  2  f  x  dx .


2

B.

1

C.


 f  x  dx  4 .
1
2

0
2

f  x  dx  1 .



 f  x  dx  3 . 

D.

0

0

Lời giải
Chọn D
0

Đặt t   x 

0

1


f  x  dx    f  t  dt    f  t  dt ( vì f  x  làhàm lẻ) 


1

1

0

1

  f  t  dt  1 . 
0

1

Đặt t  2 x  
1
2

1

2

2



2


1
f  2 x  dx    f  2 x  dx 
f  t  dt  
2 1
1
2

1
f  t  dt  2   f  t  dt  4.  
2 1
1
2

1

2

Vậy  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  1  4  3.  
0

0

1

1

Câu 34.

1
(Chuyên Sơn  La  -  2020)  Cho f  x    là  hàm  số  liên  tục  trên     thỏa  f 1  1   và   f  t  dt  . 

3
0
Tính 

2

I   sin 2 x. f   sin x  dx
0

A. I 

4
.
3

B. I 

2

3

C. I  

2
3

D. I 

1


3

Lời giải
Chọn A
Đặt  t  sin x, dt  cos x dx . 
Đổi cận 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 

1

2

I   sin 2 x. f   sin x  dx   2t. f   t  dt . 
0

0

u  2t
du  2dt

Đặt  
 
dv  f   t  dt v  f  t 
1
1

1 4
I   2t. f  t    2 f  t  dt  2. f 1  2.  . 
0 0
3 3

Câu 35.

(Chuyên  Vĩnh  Phúc  -  2020)  Cho  hàm  số 
9



f

 x  dx  4,
x

1


2



f  x   liên  tục  trên 

   và 

3


f sin x cos xdx  2 . Tính tích phân  I   f  x dx . 
0

0

A. I  6 . 

B. I  4 . 

C. I  10 . 
Lời giải 

9

3

1

1

D. I  2 . 

Chọn B
9

Ta có:  

f

 x  dx  2

x

1

9

Mà  

f

 f  x  d  x   2

 x  dx  4  nên  2
x

1

3



f t  dt . 

3

f t  dt  4   f t  dt  2  

1

1

3

3

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên   f t  dt  2   f  x dx  2 . 
1

2

Ta có:  

1


2

1

0

0

f sin x cos xdx   f sin x d sin x   f t  dt . 

0

2

1


0

0

Mà   f sin x cos xdx  2  nên   f t  dt  2 . 
1

1

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên   f t  dt  2   f  x dx  2 . 
0
3

1

0

3

Khi đó  I   f  x dx   f  x dx   f  x dx 2  2  4 . 
0

Câu 36.

0

1

(Sở  Hưng  Yên  -  2020)  Cho  f  x  liên  tục  trên     thỏa  mãn  f  x   f  2020  x    và 
2017




2017

f  x dx  4. Khi đó 

3

A. 16160.  



xf  x dx  bằng

3

B. 4040.  

C. 2020.  

D. 8080.

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Lời giải
Chọn B

Đặt  u  2020  x  x  2020  u . Ta có  dx  du . 
Với  x  3  thì  u  2017 . 
Với  x  2017  thì  u  3 . 
2017

Khiđó

2017

xf  x dx = 


3

3

2017

Suy ra  2



3

2017

xf  x dx = 

3


Câu 37.

2017

  2020  u  f  2020  u du    2020  x  f  x dx  
2017

2020 f  x dx = 8080.  Do đó 


3

xf  x dx  = 4040.  


3

(Sở  Phú  Thọ  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  và  xác  định  trên   .  Biết  f 1  2   và 



1

0

x 2 f   x  dx  

4

1


A. 1. 

1
1 3 x
f 2  x dx  4 . Giá trị của   f  x  dx  bằng
0
2 x
5
3
1
B. . 
C. . 
D. . 
7
7
7
Lời giải





Chọn D
Ta có 
1

1

1


1

1

0

0

0

0

4   x 2 f   x  dx   x 2 f  x     2 xf  x  dx  2  2 xf  x  dx   xf  x  dx  1  
0

Đặt  t  2  x  dt  

1
2 x

dx  

Khi đó 



4

1


1
1
0
1 3 x
f 2  x dx  4    1  3  2  t   f  t  dt  4   7 f  t  dt  3 tf  t  dt  4  
0
0
1
2 x





1

1

4  3 tf  t  dt

0

7

Suy ra   f  t  dt 
1

Vậy   f  x  dx 
0


Câu 38.

0



4  3.  1
7

1

7



1

7

(Sở  Yên  Bái  -  2020)  Cho  hàm  số  y  f ( x) liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 
4

3
4 xf ( x )  6 f (2 x)  x3  4 . Giá trị   f ( x)dx bằng 
5
0
2

A.


52
.
25

B. 52.

C.

48
.
25

D. 48. 

Lời giải
Chọn A
2

4 xf ( x 2 )  6 f (2 x) 
2

2

3 3
3

x  4    4 xf ( x 2 )  6 f (2 x)  dx    x 3  4 dx
5
5


0
0
2

4

 2 f ( x 2 )d( x 2 )  3 f (2 x)d(2 x) 
0

4

0

4

4

4

52
52
 2 f (t )dt  3 f (u )du 
5
5
0
0

 


4

52
52
52
 2 f ( x)dx  3 f ( x)dx 
 5 f ( x)dx 
  f ( x)dx 
5
5
25
0
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 39.

(Đô  Lương  4  -  Nghệ  An  -  2020)  Cho 
1

f  x  liên  tục  trên   và  thỏa  mãn 

2

f  2   16,  f  2 x  dx  2 . Tích phân   xf   x dx  bằng 

0

0

A. 30 .

B. 28 .

C. 36 .
Lời giải 

1

2

D. 16 . 

Chọn B
1

1
Ta có:   f  2 x  dx  2   f  2 x  d  2 x   2 
20
0

 f  x  dx  4 . 
0

u  x
du  dx

Đặt  
 

dv  f   x  dx
v  f  x 
2

2

2

  xf   x dx  xf  x  0   f  x dx  2 f  2   4  32  4  28 . 
0

0


2

Câu 40.

(Kim  Liên  -  Hà  Nội  -  2020)  Cho  hàm  số  f  x  liên  tục  trên  đoạn   0;1   và 
 

 f sin x  dx  5 . 
0



Tính  I   xf  sin x dx  

0

5
A. I   . 
2

B. I  10 . 

C. I  5 . 

D. I  5 . 

Lời giải 
Chọn D



2



Ta có I   xf  sin x dx   xf  sin x dx   xf  sin x dx , 
0

0



2




Tính   xf  sin x dx  


2

Đặt  x    t  
dx  dt  
xf  sin x  dx    t  f sin    t    dt    t    f  sin t  dt  



Đổi cận  x  2  t  2  
x t 0

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 


0










2

2

2

2

 xf  sin x  dx    t    f  sin t  dt    f  sin t dt   tf  sin t  dt    f  sin x dx   xf  sin x dx  





2

2

0

0

0




0





2

2

Do đó  I   xf  sin x dx   xf  sin x dx   xf  sin x dx    f  sin x  dx  5  
0



0

0

2

Vậy chọn  D.
Câu 41.

(THPT  Hoàng  Hoa  Thám  -  Hưng  Yên  2019)  Cho  hàm  số  f  x    liên  tục  trên   ,  thỏa  mãn 

4
0



tan x. f  cos x  d x  2  và  

2

e2

e

f  ln x 2 
x ln x

B. 1. 

A. 0 . 

2

d x  2 . Tính  1

4

f  2x
d x . 
x

C. 4 . 
Lời giải

D. 8 . 

Chọn D
 Đặt  t  cos 2 x  suy ra  d t  2sin x.cos x d x . 

Suy 
ra




I1   tan x. f  cos x  d x  
2

4
0

4
0

Đặt  t  ln 2 x  suy ra  d t  2

sin x
1 4 2sin x cos x
1 1 f t 
2
. f  cos x  d x   
. f  cos2 x  d x  1
dt
2
0
cos x
2
cos x
2 2 t


ln x
d x . 
x

2
1 e2 2 ln x. f  ln x 
1 4 f t 
dx 
dx 
d t . 
Suy ra  I 2  
2
e
e
x ln x
2
x ln x
2 1 t
 Đặt  t  2 x  suy ra  d t  2d x . 
Ta có 
2 f  2x
2 f  2x
4 f t 
1 f t 
4 f t 
I  1
d x  1
d  2 x   1
d  t   1

dt  
d t  2  I1  I 2   2  2  2   8.
1
x
2x
t
t
t
4
4
2
2
 
e2

Câu 42.

f  ln 2 x 

1 
(Hùng  Vương  Gia  Lai  2019)  Cho  hàm  số  y  f ( x )   liên  tục  trên   ;3   thỏa 
3 
3

f ( x)
1
mãn f ( x)  x. f    x3  x . Giá trị tích phân  I   2
dx  bằng:
x
1 x  x

3

A.

8
.
9

B.

16
.
9

2
.
3
Lời giải 

C.

D.

3
.
4

Chọn A

1

1
f 
3
3 f 
3

f ( x)
16
f ( x)
x
x
1


3
dx  
dx   (x  1)dx  . 
f ( x)  x. f    x  x  2

 x 1   2
9
x x
x 1
 x
1 x x
1 x 1
1
3

3


3

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
3

Xét  I '  
1
3

1
f 
 x  dx . 
x 1

1
1
dt
 t  2 dx  dt  dx  2 .
x
x
t
1
1
3 f 
3
3


3
f (t ) d t
f (t )
f ( x)
x
I '     dx  

dt

dx  I . 
2
2
2


1
1 x 1
1 t t
1 x  x
3
 1 t
3
3
3
t
16
8
Suy ra  2 I   I  .
9

9
Dạng 1.2 Giải bằng phương pháp từng phần

Đặt 

u  g  x 
Thông thường nếu bài toán xuất hiện   g  x  f '  x  dx  ta sẽ đặt  
 
dv  f '  x  dx
a
b

1

Câu 43.

(Đề tham khảo 2017) Cho hàm số  f  x   thỏa mãn    x  1 f   x  dx  10  và  2 f 1  f  0   2 . 
0

1

Tính   f  x  dx .
0

A. I  12

C. I  1
Lời giải

B. I  8


D. I  8  

Chọn D
1
1
u  x  1
du  dx
. Khi đó  I   x  1 f  x  0   f  x  dx  

0
dv  f   x  dx v  f  x 

Đặt  

1

1

Suy ra  10  2 f 1  f  0    f  x  dx   f  x  dx  10  2  8  
0

0

1

Vậy   f  x  dx  8 . 
0

Câu 44.


(Mã  104  -  2019)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   .  Biết  f  3   1  
1

3

0

0

và  xf  3 x  dx  1 , khi đó   x 2 f   x  dx  bằng
A.

25
.
3

C. 7 .

B. 3 .

D. 9 . 

Lời giải
Chọn D
Đặt  t  3 x  dt  3dx  dx 

1
dt . 
3


1

3
13
Suy ra  1   xf  3 x dx   tf  t dt   tf  t dt  9 . 
90
0
0

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

 du  f   t  dt
u  f  t  
Đặt  


t2
 dv  t dt
 v

2
3

3

3 2

t2
t
9
13
  tf  t dt 
f  t    f   t  dt  f  3   t 2 f '  t  dt . 
2
2
2
20
0
0
0

9

3
9 13 2
  t f   t  dt   t 2 f   t  dt  9 . 
2 20
0

3

Vậy   x 2 f   x  dx  9 .
0

Câu 45.

(Mã  101  -  2019)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  .   Biết  f  4   1   và 




1

0

4

xf  4 x  dx  1,  khi đó   x 2 f   x  dx  bằng
0

A. 8.

B. 14.

C.

31
.
2

D. 16 . 

Lời giải 
Chọn D
Xét 




1

0

xf  4 x  dx  1.  Đặt: 

t  4x  

4

0

Xét  I 



4

0

4
4
1
1
t. f  t  . dt  1   t. f  t  dt  16   x. f  x  dx  16.  
0
0
4
4
4


x 2 f   x  dx   x 2 df  x   
0

4

Suy ra:  I  x 2 . f  x  
0

Câu 46.



4

0

2 x. f  x  dx  4 2 f  4   2.16  16.

(Mã  103  -  2019)  Cho  hàm  số  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   .  Biết  f  6   1   và 
1

6

2
 xf  6 x  dx  1 , khi đó   x f   x  dx  bằng
0

A.


0

107
.
3

B. 34 .

C. 24 .

D. 36 . 

Lời giải 
Chọn D
1

Theo bài ra:   xf  6 x  dx  1 . 
0

Đặt  t  6 x  dt  6dx . 
Đổi cận: 
 
1

6

6

6


1
dt
1
Do đó:   xf  6 x  dx  1   t. f  t   1 
t. f  t  dt  1   t. f  t  dt  36 . 
6
6
36 0
0
0
0
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
6

Tính  I   x 2 f   x  dx . 
0

 u  x 2
du  2 x dx
Đặt  
 

dv  f   x  dx
 v  f  x
6
6 6
 I  x 2 f  x    2 xf  x  dx  36 f  6   2  xf  x  dx  36.1  2.36  36 .

0 0
0

Câu 47.

(Mã  102  -  2019)  Cho  hàm  số  f ( x) có  đạo  hàm  liên  tục  trên   .  Biết  f (5)  1   và 
1



5

xf (5 x)dx  1 , khi đó   x 2 f ( x)dx  bằng

0

0

A. 15

123
5
Lời giải

B. 23

D. 25  

C.


Chọn D
5

5

5

5

+) I   x f   x dx  x df  x   x . f  x    f  x dx 2  
2

2

2

0

0

0

0

5

 25. f 5  0. f  x   f  x.2 xdx  
0

5


 25  2 xf  x dx  
0
1

+) Ta có:   xf (5 x)dx  1  
0
5

Đặt  5x  t    
0

5

t
t
f (t)d  1     tf (t)dt  25  
5
5
0

Vậy  I  25  2  25  25 . 
Câu 48.

(Chuyên  ĐH  Vinh  -  Nghệ An  -2020)  Cho  f  x    là hàm  số có  đạo  hàm  liên tục  trên   0;1   và 
1

1

1

1
f 1   ,   x. f   x  dx  . Giá trị của   f  x  dx  bằng
36
18 0
0

A. 

1
.
12

B.

1
.
36

1
.
12
Lời giải 

C.

D. 

1
.
36


Chọn A
u  x
du  dx
Đặt  
, khi đó ta có 

 dv  f   x  dx v  f  x 
1

1

1

1

 x. f   x  dx  x. f  x  0   f  x  dx  f 1   f  x  dx 
0

Câu 49.

0

0

1

1
1
1

  f  x  dx  f 1 
 .
36
36
12
0

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho hàm số  f  x   có  f 1  e 2  và  f   x  

2x 1 2x
e  với mọi  x  khác  0 . 
x2

ln 3

Khi đó 

 xf  x  dx  bằng 
1

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

6  e2
B.

2


A. 6  e 2 . 

C. 9  e2 . 

D.

9  e2

2

Lời giải 
Chọn D
Xét tích phân   f   x  dx  

2x 1 2x
e dx  
x2

u   2 x  1 e2 x
du  4 xe 2 x dx


Đặt  

, khi đó 
1
1
v



d
v

d
x


x

x2


 f   x  dx  

2x 1 2x
1
1
e dx    2 x  1 e2 x  4  e 2 x dx    2 x  1 e2 x  2e 2 x  C . 
x2
x
x

Do  f 1  e 2  C  0 . Vậy  f  x   
ln 3

Khi đó, ta có 



ln 3


xf  x  dx 

1

Câu 50.

1
 2 x  1 e 2 x  2e 2 x . 
x



ln 3

1  2 x  e 2 x  2 xe 2 x  dx 

1



e 2 x dx 

1

e2 x
2

ln 3



1

1
9  e 2  . 

2

(HSG  Bắc  Ninh  2019)  Cho  hàm  số  y  f ( x )   có  đạo  hàm  liên  tục  trên     và  thỏa  mãn 
2

1

f (2)  16,  f ( x) dx  4 . Tính  I   xf (2 x)dx . 
0

0

A. I  20  

B. I  7  
1

1

Ta có:  I   xf (2 x)dx 
0

C. I  12  
Lời giải


D. I  13  

1

1

1
1
1
1
xf  2 x    f  2 x  dx  f (2)   f  2 x  d  2 x   
2
2
2
40
0
0

2

I

Câu 51.

1
1
1
1
f (2)   f ( x) dx  .16  .4  7 . 

2
40
2
4

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số  f  x  có đạo hàm liên tục trên   0;1  thỏa 
1
1
2
1
1
,  f 1  0  và    f '  x   dx  . Giá trị của   f  x  dx  bằng 
0
0
21
7
5
1
4
7
A.
.
B.  . 
C. . 
D.  . 
12
5
5
10
Lời giải

 du  f '  x  dx
u  f  x 

Đặt  



x3
2
 dv  x dx v 
3

1

mãn   x 2 f  x  dx  
0

1
1
1
x3
1
f  x
  x 2 f  x  dx   udv  uv 10   vdu   
0
0
3
21 0
1
1

  x 3 f '  x  dx  . 
0
7



1
0



1

0

x3
1 1
f '  x  dx      x 3 f '  x  dx  
3
3 0

1
1
1
1
2
2
1
1 1
   x 3  f '  x   dx   x 6 dx  2  x 3 f '  x  dx    f '  x   dx   2.   0  

0
0
0
0
7
7 7

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
2

  f '  x   x3   0, x   0;1  f '  x   x3 , x   0;1 . 
1 4
 x  1 ; x  0;1  
4
1
11
1 1
1
Vậy   f  x  dx    x 4  1 dx    x 4  1 dx   . 
0
0 4
0
4
5

Kết hợp điều kiện  f 1  0  ta có  f  x  


Câu 52.

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị -2019) Cho hàm số  f  x   có đạo hàm liên tục trên    và thỏa 
mãn 
1



1

f  x  dx  1, f 1  cot1 . Tính tích phân  I    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx . 

0

0

B. 1  ln  cos1 . 

A. 1 . 

D. 1  cot1 . 

C. 0. 
Lời giải

1

1

1


Ta có    f  x  tan 2 x  f   x  tan x  dx   f  x  tan 2 xdx   f   x  tan xdx . 
0

0

0

Lại có: 
1


0

1
1
1
1
f  x
f  x
 1

f  x  tan 2 xdx   f  x  

1
d
x

d
x


f
x
d
x

dx  1 . 



2
2



cos x
cos 2 x
 cos x 
0
0
0
0

1


0

1


1

1

f   x  tan xdx   tan xd  f  x    f  x  .tan x   f  x  d  tan x   
0

0

1

 f 1 .tan1  
0

f  x
2

cos x

1

dx  cot1.tan1  
0

f  x
2

cos x

0


1

dx  1  
0

f  x
cos 2 x

dx . 

Vậy  I  0.  
Câu 53.

(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Cho hàm số 
1

f  x

 có đạo hàm liên tục trên đoạn   0 ;1  

1

1
thỏa mãn  f 1  0 ,   x 2 f  x  dx   Tính   x 3 f '  x  dx  .
3
0
0

A. 1  


B. 1 

C. 3  

D. 3

Lời giải
Chọn A
u  f ( x)  du  f '( x) dx


x3
2
 dv  x dx  v 
 
3

I

1 3
1 1 x3
x3
13
x
f ( x)   f '( x)dx  f (1)  0. f (0)   f '( x)dx
0 0 3
3
3
3

0
1

1

1 1 3

x f '( x) dx   x3 f '( x) dx  1
3 3 0
0

 


2

Câu 54. Biết m là số thực thỏa mãn   x  cos x  2m dx=2 2 
0

A. m  0 . 

B. 0  m  3 . 


2

 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

C. 3  m  6 . 
Lời giải


D. m  6 . 

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 








2

2

2

2

Ta có:  x  cos x  2m dx= x cos xdx  2mxdx  x cos xdx 





0




0



0

0

m 2
.
4



ux

 du  dx

2

I

x
cos
x
dx
Gọi 

. Đặt 



0


dv  cos xdx v  sin x

 




2

I  x sin x |  sin xdx 
2
0

0


2



 cos x |02 



2

1 .

 


2

Khi đó:  x  cos x  2m dx=


0

Suy ra 
Câu 55.

m 2 
 1 .
4
2
 

m
 2  m  8 . 
4

(Đề  Tham  Khảo  2018)  Cho  hàm  số  y  f  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên   0;1   thỏa  mãn 
1


1

1

2

f 1  0,     f ( x )  dx  7  và   x 2 f ( x )dx 
0

0

A. 4

B.

1
. Tính tích phân   f ( x)dx
3
0

7
5

C. 1

D.

7
 
4


Lời giải
Chọn B
Cách 1: Đặt  u  f  x   du  f   x  dx ,  dv  x 2 dx  v 
1

1

x3

3

1

1 x3
x3
Ta có  
f  x  
f   x dx   x3 f   x dx  1  
3 3
3
0
0
0
1

1

1


1

2

2

Ta có   49 x 6 dx  7,     f ( x )  dx  7,  2.7 x 3 . f   x dx  14    7 x 3  f ( x )  dx  0  
0

0

0

 7 x3  f ( x)  0  f  x   

0

7 x4
7
 C , mà  f 1  0  C   
4
4

1
1
 7 x4 7 
7
  f ( x)dx    
  dx  . 
4

4
5
0
0
Cách 2: Nhắc lại bất đẳng thức Holder tích phân như sau: 
2

b
b
 b 2
f
x
g
x
dx

f
x
dx
.
g 2  x  dx  







 


a
a
 a

Dấu bằng xảy ra khi  f  x   k .g  x  ,  x   a; b  , k     
2

1
 1 x6 1
2
x3
1  x3
1
Ta có    
f   x dx    dx.  f   x   dx  . Dấu bằng xảy ra khi  f   x   k. . 
9 0 3
9
3
 0 9 0
1

Mặt khác  
0

7 x4 7
x3
1
 . 
f   x dx 
 k  21  f   x   7 x 3  suy ra  f  x   

4 4
3
3

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25


Xem Thêm

×