Tải bản đầy đủ

Chuyên đề 25 nguyên hàm đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

NGUYÊN HÀM

Chuyên đề 25

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ' ( x) f ( x)  h( x)
Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)]
Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x)
Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x)
Phương pháp:


Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x)
Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)

Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x)
Phương pháp:


Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x)
Suy ra e x  f ( x)   e  x  h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x)
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)
Phương pháp:
p ( x ) dx
Nhân hai vế với e 
ta được
f  ( x)  e 

p ( x ) dx

 p ( x)  e 

Suy ra f ( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x ) dx

  e

 f ( x)  h( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x ) dx

  f ( x)  e 


p ( x ) dx




  h( x)  e  p ( x ) dx


h( x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0
Phương pháp:
f  ( x)
f  ( x)
Chia hai vế với f ( x) ta đựơc
 p ( x)  0 
  p ( x)
f ( x)
f ( x)
f  ( x)
 f ( x) dx    p( x)dx  ln | f ( x) |   p( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)

Suy ra

Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  0
Phương pháp:
f  ( x)
f  ( x)
Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được

p
(
x
)

0

  p( x)
[ f ( x)]n
[ f ( x)]n
f  ( x)
[ f ( x)] n 1
Suy ra 
dx    p ( x)dx 
   p ( x)dx
[ f ( x)]n
n  1
Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x)
Câu 1.

(Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   

2
1
và f   x   4 x 3  f  x   với mọi
25

x   . Giá trị của f 1 bằng
A. 

391
400

B. 

1
40

C. 

41
400

D. 

1
10

Lời giải
Chọn D

 1 
1
3
3
  x4  C



4
x

  4 x 
2
f
x
f
x
 
 f  x  
  
1
1
1
Do f  2    , nên ta có C  9 . Do đó f  x    4
 f 1   .
25
x 9
10
2

Ta có f   x   4 x 3  f  x    

Câu 2.

f  x

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm
liên tục trên  thỏa mãn
nào sau đây?
A. 12;13  .

 f   x 

2

 f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng

B.  9;10  .

D. 13;14  .

C. 11;12  .

Lời giải
Chọn B
Vì hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f  0   2 nên f   x   0
và f  x   0 với mọi x   0;   .
2

Từ giả thiết  f   x    f  x  .e x , x   suy ra f   x  
Do đó,

x
2

f  x  .e , x   0;   .

f  x

1 x
 e 2 , x   0;   .
2 f  x 2
x

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được

f  x   e 2  C , x   0;   với C là hằng số nào đó.

Kết hợp với f  0   2 , ta được C  2  1 .





2

Từ đó, tính được f  2   e  2  1  9,81 .
Câu 3.

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số

y  f  x

thỏa mãn

f  2  

f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1 bằng
2
A.  .
3

1
B.  .
2

C. 1.

3
D.  .
4

Lời giải
Chọn C
Ta có f   x   x3 f 2  x  

f  x
f  x
1
x4
3
3

x

dx

x
dx



C .
 f 2  x

f 2  x
f  x 4

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

4
19




TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

4
19 16
3
4
Mà f  2       C  C  . Suy ra f  x    4
.
19
4
4
4
x 3
Vậy f 1  1 .
Câu 4.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn
điều kiện: f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ).





Giá trị 2 a 2  b2 là
A.

27
.
4

3
.
4
Lời giải

B. 9 .

C.

D.

9
.
2

Chọn B
2

Chia cả hai vế của biểu thức x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x cho  x  1 ta có

x
1
x
x
 x

. f  x 
f
x


.
f
x

.




2


x 1
x 1  x 1
 x 1
 x  1
Vậy

x
x
1 
 x


. f  x   
. f  x   dx  
dx   1 
dx  x  ln x  1  C .
x 1
x 1
 x 1

 x 1 

Do f 1  2 ln 2 nên ta có
Khi đó f  x  

1
. f 1  1  ln 2  C   ln 2  1  ln 2  C  C  1 .
2

x 1
 x  ln x  1 1 .
x

Vậy ta có f  2  

3
3
3 3
3
3
 2  ln 3  1  1  ln 3   ln 3  a  , b   .
2
2
2 2
2
2

 3  2  3  2 
2
2
Suy ra 2 a  b  2         9 .
 2   2  



Câu 5.



(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm
1
f   x  liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và f 1   . Giá
2
trị của biểu thức f 1  f  2   ...  f  2020  bằng

A. 

2020
.
2021

B. 

2015
.
2019

2019
.
2020

C. 

D. 

2016
.
2021

Lời giải
Chọn A
Ta có:

f   x    2 x  1 f 2  x  
Mà f 1  

f  x
f

2

 x

 2x 1  

f  x
f

2

 x

dx    2 x  1 dx  

1
 x2  x  C .
f  x

1
1
1
1
 C  0  f  x  2

 .
2
x  x x 1 x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


f

f



f



f


Câu 6.

1
1
2
1 1
 2  
3 2
1 1
 3  
4 3

1 

 2020  

 f 1  f  2   ....  f  2020   1 

1
2020
.

2021
2021

1
1

2021 2020

(Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn f 1  2 ln 2  1 ,
x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai

số hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
3
21
A. T 
.
B. T  .
16
16

C. T 

3
.
2

D. T  0 .

Lời giải
Chọn A
Ta có x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1

 f  x 

x  x  2
x2
x2
x2

f  x  1 
f  x 
f  x 
2
x  x  1
x 1
x 1
 x  1
'

 x2

x2
x2
x2
x2
x2

f  x  
dx 
f  x    x  ln x  1  c

f  x  
x 1
x 1
x 1
2
 x 1
 x 1

 f  x 


x  1  x2
 x  ln x  1  c  .
2 
x  2


Ta có f 1  2 ln 2  1  c  1.
3

a  4

x  1  x2
3 3
Từ đó f  x   2   x  ln x  1  1 , f  2    ln 3. Nên 
.
x  2
4 4

b  3

4
3
Vậy T  a 2  b   .
16
Câu 7.

(THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì
giá trị f  2  là
A. e 2 .

B. 2e .

D. e3 .

C. e  1 .
Lời giải
3

x
C
y
y
x3
Ta có y  xy   x 2   dx   x 2dx  ln y   C  y  e 3 .
y
y
3
2

Theo giả thiết f  1  1 nên e

1
 C
3

1
1 C  .
3

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy y  f  x  =e
Câu 8.

x3 1

3 3

. Do đó f  2   e3 .

(Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x và thỏa mãn

1
f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết
2
a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai?
A. a  b  2019 .

f 1  f  2   ...  f  2019  

a
1
b

với

C. 2a  b  2022 .
D. b  2020 .
Lời giải
f  x
f  x
f   x    2 x  1 f 2  x   2
 2x 1   2
dx    2 x  1dx
f  x
f  x




d  f  x
f 2  x

B. ab  2019 .

   2 x  1 dx

1
 x 2  x  C 1 (Với C là hằng số thực).
f  x

1
1
1
 .
 C  0 .Vậy f  x  
1
x 1 x

2
1
1 
 1 1  1 1 
 1
T  f (1)  f (2)  ...  f (2019)          ...  

  1  2020 .
 2 1  3 2 
 2020 2019 

Thay x  1 vào 1 được 2  C  

a  1
Suy ra: 
 a  b  2019 (Chọn đáp số sai).
b  2020
Câu 9.

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  

1
. Tính f  4  ?
2
C. 4 .
Lời giải

thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1 
A. 24 .

B. 14 .

D. 16 .

Chọn D
Trên khoảng  0;   ta có: 2 xf '  x   f  x   3x 2 x  x f '  x  








'

x. f  x 
x. f  x 

3 2
x 
2



1
2 x



3 2
x .
2

'
3
x . f  x  dx   x 2 dx .
2



1 3
x  C .  
2

x2 x
1
1
1 1
Mà f 1  nên từ   có: 1. f 1  .13  C    C  C  0  f  x  
.
2
2
2
2 2

Vậy f  4  
Câu 10.

42 4
 16 .
2

(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số

f  x   0 với mọi

x,

f  0   1 và

f  x   x  1. f   x  với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f  x   2

B. 2  f  x   4

C. f  x   6

D. 4  f  x   6

Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

f  x

Ta có:

f  x

f  x
1
1

dx  
dx  ln  f  x    2 x  1  C
f  x
x 1
x 1



Mà f  0   1 nên C  2  f  x   e 2
Câu 11.

x 1  2

 f  3  e 2  6

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên

 2; 4

3

và f   x   0, x   2; 4 . Biết 4 x 3 f  x    f   x    x3 , x   2; 4 , f  2  

7
. Giá trị của
4

f  4  bằng

A.

40 5  1
.
2

20 5  1
.
4

B.

20 5  1
.
2
Lời giải

C.

D.

40 5  1
.
4

Ta có: f   x   0, x   2; 4 nên hàm số y  f  x  đồng biến trên  2; 4  f  x   f  2  mà
f  2 

7
. Do đó: f  x   0, x   2;4 .
4
3

Từ giả thiết ta có: 4 x3 f  x    f   x    x3  x3  4 f  x   1   f   x  

 x. 3 4 f  x   1  f   x  

Suy ra:
f  2 



f  x
3

4 f  x 1

f  x
3

4 f  x 1

dx   xdx 

3

 x.

2
33
x2
1 d  4 f  x   1 x 2

4
f
x

1

C .




C



8 
2
4  3 4 f  x 1
2

7
3
1
  2C  C   .
4
2
2
3

Vậy: f  x  
Câu 12.

4 2

 3  x  1   1
40 5  1
.
 f  4 
4
4

(Chuyên Thái Bình 2019) Cho

f ( x)

là hàm số liên tục trên

f  x   f   x   x, x   và f  0   1 . Tính f 1 .

A.

2
.
e

B.

1
.
e

C. e .

D.

Lời giải

f  x  f  x  x

(1) .

Nhân 2 vế của (1) với e x ta được e x . f  x   e x . f   x   x.e x .
Hay e x . f  x    x.e x  e x . f  x    x.e x dx .
Xét I   x.e xdx .

 u  x  du  dx
Đặt  x
.
x
e dx  dv  v  e

I   x.e x dx  x.e x   e xdx  x.e x  e x  C . Suy ra e x f  x   x.e x  e x  C .
Theo giả thiết f (0)  1 nên C  2  f  x  

x.e x  e x  2
2
 f 1  .
x
e
e

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

e
.
2



thỏa mãn


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 13.

(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số

f  x  thỏa mãn

2

 xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng
A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 .
C. f 2  2   ln 2  1 .

D. f 2  2   ln 2  1 .
Lời giải

2

2

Ta có:  xf   x    1  x 1  f  x  . f "  x   ; x  0
2

 x 2 .  f '  x    1  x 2 1  f  x  . f "  x  
1
 1  f  x . f " x 
x2
2
1
  f '  x    f  x  . f "  x   1  2
x
'
1
  f  x  . f '  x    1  2
x
'
1
1

Do đó:   f  x  . f '  x   .dx   1  2 .dx  f  x  . f '  x   x   c1.
x
 x 
2

  f '  x   

Vì f 1  f ' 1  1  1  2  c1  c1  1.
Nên



1



 f  x  . f '  x  .dx    x  x 1.dx

1 

  f  x  .d  f  x      x   1.dx
x 


f 2  x  x2
1 1

  ln x  x  c2 . Vì f 1  1    1  c2  c2  1.
2
2
2 2
Vậy
Câu 14.

f 2  x  x2
  ln x  x  1  f 2  2  2ln 2  2 .
2
2

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ( f '( x))2  f ( x). f ''( x)  x 3  2 x, x  R
và f (0)  f '(0)  1 . Tính giá trị của T  f 2 (2)

43
15
Lời giải
2
3
Có ( f '( x))  f ( x). f ''( x)  x  2 x  ( f ( x). f '( x))'  x 3  2 x
A.

43
30

B.

16
15

 f ( x). f '( x)   ( x3  2 x)dx 

C.

D.

26
15

1 4 2
x  x C
4

Từ f (0)  f '(0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy f ( x ). f '( x ) 

1 4
x  x2  1
4

1 4
1
x  2 x 2  2  ( f 2 ( x))'  x 4  2 x 2  2
2
2
1
1
2
 f 2 ( x)   ( x 4  2 x 2  2)dx  x5  x3  2 x  C
2
10
3
1
2
Từ f (0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy f 2 ( x)  x5  x 3  2 x  1 .
10
3
43
Do đó T 
15
Tiếp, có 2 f ( x). f '( x) 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 15.

 
(Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn
 2
x
 
 
f  x   tan x. f   x  
. Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá
3
cos x
3
6
trị của biểu thức P  a  b bằng
14
2
7
4
A.
B. 
C.
D. 
9
9
9
9
Lời giải
Chọn D

f  x   tan x. f   x  

x
x
 cos x. f  x   sin x. f   x  
.
3
cos2 x
cos x

x
.
 sin x. f  x   
cos 2 x
Do đó

x



 sin x. f  x  dx   cos

Tính I  

2

x

dx  sin x. f  x   

x
dx
cos 2 x

x
dx .
cos2 x

u  x
 du  dx

Đặt 
. Khi đó
dx  
v  tan x
dv  cos 2 x
I 

d  cos x 
x
dx  x tan x   tan xdx  x tan x  
dx  x tan x  ln cos x .
2
cos x
cos x

Suy ra f  x  

x.tan x  ln cos x
sin x



ln cos x
x
.

cos x
sin x

3
 2 2 ln 2    3
 
 
a 3  b ln 3  3 f    f    3 

 
 2 ln


2 
3   9
3
6
 3
5 3

 ln 3 . Suy ra
9

5

a 
9 .

b  1

4
Vậy P  a  b   .
9
Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên
y  f  x

liên tục, nhận giá trị dương trên

 0;  

và thỏa mãn

f  3 

2

 f '  x     x  1 . f  x  . Tính f  8  .
A. f  8   49 .

B. f  8   256 .

C. f  8  

1
.
16

D. f  8  

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 0;   ;

49
.
64

4
9




TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải
Chọn A
Ta có với x   0;   thì y  f  x   0 ; x  1  0 .
Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên f   x   0, x   0;   .
2

Do đó  f   x     x  1 f  x   f   x  

Suy ra 

f  x
f  x

Vì f  3 

dx  

 x  1dx

 x  1 f  x  

f  x 



1
3

 x  1

3

f  x
f  x



 x  1 .

2

2

C .

4
2 8
nên C    2 .
9
3 3

1
Suy ra f  x   
3

2

 x  1  2  , suy ra f 8   49 .

3



2

 f   x    f  x   x

Câu 17. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  2 và x 2  1



 1 với mọi x   . Giá

trị của f  2  bằng
2
5

A.

B. 

2
5

C. 

5
2

D.

5
2

Lời giải
Chọn D
2

Từ giả thiết ta có: f   x    f  x   .

x2 1

x

2

 1

 0 với mọi x  1; 2 .

2

Do đó f  x   f 1  1  0 với mọi x  1;2 .
Xét với mọi x  1;2 ta có:

x

2

 1 f   x    f  x  



2

x

2

 1 

f  x
f  x
x2 1
x2  1

 2
dx  
dx .
2
2
2
f  x   x 2  1
f  x
 x2  1

1

1
d x  
2

f
x
  dx   x 
1
1
x dx 
dx  

C .
2
2  
2
2


1
f  x
f  x
f  x
1
1


x
x 
x 
x
x
x



f  x

1

x2  1
5
Mà f 1  1  1  1  C  C  0 . Vậy f  x  
 f  2  .
x
2
Câu 18.

(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , f  x   0, x  0 và f  2  

1
. Tính giá trị của
6

P  f 1  f  2   ...  f  2019  .

A.

2021
.
2020

B.

2020
.
2019

2019
.
2020
Lời giải

C.

D.

2018
.
2019

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

TH1: f  x   0  f   x   0 trái giả thiết.
TH2: f  x   0  f   x     2 x  1 . f 2  x  



f  x
f

2

 x

   2 x  1 .  

f  x
f 2  x

dx     2 x  1dx

1
   x2  x  C  .
f  x

1
1
1
1
 C  0  f  x  2
.
 
6
x  x x x 1
1 1 1 1
1
2019
.
 P      ..... 

1 2 2 3
2020 2020

Ta có: f  2  

Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn

 f  x

2

 2;1

thỏa mãn

f  0   3 và

. f   x   3 x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là
B. 2 3 15 .

A. 2 3 42 .

3

C.

42 .

D.

3

15 .

Lời giải
2

Ta có:  f  x   . f   x   3x 2  4 x  2 (*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được

  f  x 

2

2

. f   x dx    3x 2  4 x  2 dx    f  x   d  f  x    x3  2 x 2  2 x  C

 f  x


3

3

3

 x 3  2 x 2  2 x  C   f  x    3  x 3  2 x 2  2 x  C  1
3





Theo đề bài f  0   3 nên từ (1) ta có  f  0    3 03  2.02  2.0  C  27  3C  C  9
3

  f  x    3  x 3  2 x 2  2 x  9   f ( x)  3 3  x 3  2 x 2  2 x  9  .
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 .
CÁCH 1:
Vì x3  2 x 2  2 x  9  x 2  x  2   2  x  2   5  0, x   2;1 nên f  x  có đạo hàm trên  2;1

3  3x 2  4 x  2 

và f   x  

3 3  x  2 x  2 x  9  
3

3

2

2

3x 2  4 x  2


3

3  x  2 x  2 x  9  


3

2

2

 0, x   2;1 .

Hàm số y  f  x  đồng biến trên  2;1  max f  x   f 1  3 42 .
 2;1

Vậy max f  x   f 1  3 42 .
 2;1

CÁCH 2:
3

2
2  223


f  x   3 x  2x  2x  9  3  x    2  x   
.
3
3 9


3

3

2

3

3

2
2  223


Vì các hàm số y  3  x   , y  2  x   
đồng biến trên  nên hàm số
3
3 9



Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
3

2
2  223


cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y  f  x  đồng biến
y  3 3 x    2  x   
3
3 9


trên  2;1 .
Vậy max f  x   f 1  3 42 .
 2;1

Câu 20.

(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số
3

f ( x)

thỏa mãn

f (1)  4



2

f ( x)  xf ( x)  2 x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng
A. 5 .

B. 10 .

f ( x)  xf ( x)  2 x3  3x 2 

D. 15 .

1. f ( x)  x. f ( x) 2 x3  3x 2
 f ( x ) 


 2x  3
2
2
x
x
 x 

f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số g  x   2 x  3 .
x

Suy ra,
Ta có

C. 20 .
Lời giải

  2 x  3dx  x

2

 3x  C , C   .

f ( x)
 x 2  3 x  C1 , (1) với C1   nào đó.
x
Vì f (1)  4 theo giả thiết, nên thay x  1 vào hai vế của (1) ta thu được C1  0 , từ đó
Do đó,

f ( x)  x 3  3 x 2 . Vậy f (2)  20 .
Câu 21.

(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2,

f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng
26 .

24 .

C. 15 .
Lời giải
f  x. f   x
Ta có f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  
  2 x  1 .
1 f 2  x
A.

Suy ra



B.

f  x. f  x
1 f

2

 x

dx    2 x  1dx  

d 1  f 2  x  
2 1 f



Theo giả thiết f  0   2 2 , suy ra 1  2 2



 x

23 .

   2 x  1dx  1  f 2  x   x 2  x  C .

2

Với C  3 thì 1  f 2  x   x 2  x  3  f  x  
Câu 22.

2

D.

 C  C  3.

x

2

2

 x  3  1 . Vậy f 1  24 .
2

(Cần Thơ 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   2 x 2  x  1 , x   và
2

f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng

A. 28 .

B. 22 .

C.

19
.
2

D. 10 .

Lời giải
2
Ta có  f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  .

Do đó theo giả thiết ta được  f  x  f   x    2 x 2  x  1 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Suy ra f  x  f   x  

2 3 x2
x   x  C . Hơn nữa f  0   f   0   3 suy ra C  9 .
3
2

2

x2
Tương tự vì  f 2  x    2 f  x  f   x  nên  f 2  x    2  x 3   x  9  . Suy ra
2
3

2

x2
1
x3
f 2  x    2  x 3   x  9  dx  x 4   x 2  18 x  C , cũng vì f  0   3 suy ra
2
3
3
3


Câu 23.

2
1
x3
f 2  x   x 4   x 2  18 x  9 . Do đó  f 1   28 .
3
3
(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn

 x  2  f  x    x  1 f   x   e x
e
A. f  2   .
3

và f  0  

B. f  2  

1
. Tính f  2  .
2

e
.
6

C. f  2  

e2
.
3

D. f  2  

e2
.
6

Lời giải
Ta có
 x  2  f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x   f  x    x  1 f   x   e x

  x  1 f  x     x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e x  x  1 f  x    e2 x
1
 e x  x  1 f  x    e2 x   e x  x  1 f  x  dx   e2 x dx  e x  x  1 f  x   e2 x  C
2
Mà f  0  

1 ex
1
 C  0 . Vậy f  x   .
2
2 x 1

Khi đó f  2  
Câu 24.

e2
.
6

(Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa mãn điều
kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b  . Tính

a 2  b2 .
25
A.
.
4

B.

9
.
2

5
.
2
Lời giải
C.

Từ giả thiết, ta có x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x 

D.

13
.
4

x
1
x
. f  x 
f  x 
2
x 1
x 1
 x  1

x
 x


. f  x  
, với x   \ 0;  1 .
 x 1
 x 1
x
x
x
Suy ra
. f  x  
dx hay
. f  x   x  ln x  1  C .
x 1
x 1
x 1
x
. f  x   x  ln x  1  1 .
Mặt khác, ta có f 1  2 ln 2 nên C  1 . Do đó
x 1
2
3 3
3
3
Với x  2 thì . f  2   1  ln 3  f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   .
3
2 2
2
2

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

9
Vậy a  b  .
2
2

Câu 25.

2

(THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và
thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f  5   3 .

B. 1  f  5   2 .

C. 4  f  5   5 .

D. 3  f  5   4 .

Lời giải
Ta có

f  x   f   x  . 3x  1 


d  f  x
f  x

2
1
2
dx  ln f  x  
3x  1  C  f  x   e 3
3
3x  1


4

Mà f 1  1 nên e 3
Câu 26.

f  x
f  x
1
1


dx  
dx
f  x
f  x
3x  1
3x  1

C

3 x 1  C

4

4
 1  C   . Suy ra f  5   e 3  3, 794 .
3

(THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện

1
Biết
rằng
tổng
f  0   .
2
a
a
f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và
là phân số tối giản.
b
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A.  1.
B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
b
b
Lời giải
f  x
Ta có f   x    2 x  3 f 2  x   2
 2x  3
f  x
f   x    2 x  3 f 2  x 





f  x
1
dx    2 x  3 dx  
 x 2  3x  C .
f  x
f  x

1
Vì f  0     C  2 .
2
1
1
1


Vậy f  x   
.
 x  1 x  2  x  2 x  1
Do đó f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  

1
1
1009
.
 
2020 2
2020

Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 .
Câu 27.

(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x   0 , f   x  

1
f 1   . Tính f 1  f  2   ...  f  80  .
3
3240
6480
A. 
.
B.
.
6481
6481

C. 

6480
.
6481

D.

3x 4  x 2  1 2
f  x  và
x2

3240
.
6481

Lời giải

f  x 

f   x  3x 4  x 2  1
3x 4  x 2  1 2
f
x
.




x2
f 2 x
x2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489



f  x 

3x 4  x 2  1
d
x

 x 2 dx 
f 2 x



d  f  x 
f 2  x

3x 4  x 2  1

dx .
x2

d  f  x 

1 
1
1
1

   3x 2  1  2  dx 
C.
 x3  x   C  f  x  
1
f  x
x 
f x
x
3

x x
x
1
1
1
1
x

 2
Do f 1    C  0  f  x   4
=  2
.
2
3
x  x  1 2  x  x  1 x  x  1 
1  1 1
11 1
1 1 1
1 1
1 
f 1     ; f  2      ; f  3     ;.; f  80   

.
2  3 1
2 7 3
2  13 7 
2  6481 6321 
1 1 1
3240
=
.
f 1  f  2   ...  f  80     .
2 2 6481
6481


Câu 28.



2

(Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và
2

2

thỏa mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng
3

5

B. e3 .

A. e 2 .

D. e2 .

C. e 2 .
Lời giải

2

2

Theo đề bài, ta có  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 

f  x  . f   x    f   x  
 f  x  

2

2

1

 f   x  
f  x
x2

 x  C  ln f  x    C.x  D
 1
f  x
2
 f  x 
x
5
 f  0   1
2 x
C  2
2
2
Mà 

.
Suy
ra
:
f
x

e

f
1

e
.





6
D

0

 f  2   e
2

2

Câu 29. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x , x   và f  0   0 .
Tính f 1 .
1
B. f 1   .
e

A. f 1  e2 .

C. f 1 

1
.
e2

D. f 1 

1
.
e

Lời giải
Chọn D
Ta có
2

2

2



2



f   x   2 x. f  x   e x  e x f   x   2 x.e x . f  x   1  e x . f  x   1 .
2
xC

. f  x  dx   dx  e x . f  x   x  C  f  x   x 2 .
e
Vì f  0   0  C  0 .

Suy ra

 e



x2

Do đó f  x  

x

1
. Vậy f 1  .
e
e
x2

Câu 30. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0  2 . Tính f 2  2  .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

313
A. f  2  
.
15
2

332
B. f  2  
.
15
2

324
C. f  2  
.
15
Lời giải
2

D. f 2  2  

323
.
15

Chọn B

f 2  x  x5 x 3
  C .
f '  x  . f  x  dx    x  x  dx  C 
2
5 3
4

Ta có


f  0  2 nên suy ra C  2 .

Do

2

 32 8
 332
Vậy f 2  2   2    2  
.
 5 3  15
Câu 31.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   và

f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là
A.  x  2  e x  e x  C .

B.  x  2  e2 x  e x  C .

C.  x  1 e x  C .

D.  x  1 e x  C .
Lời giải

Chọn D



f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x  1  f  x  e x

  1  f  x  e

x

 x  C .

Vì f  0   2 nên C   2 . Do đó f  x  e2 x   x  2  e x . Vậy:

 f  xe

2x

 

dx    x  2  e x dx    x  2  d e x   x  2  e x   e x d  x  2    x  2  e x   e x dx 
x

x

x

  x  2  e  e  C   x  1 e  C .
Câu 32. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   2 x x   0;    ,
f 1  1 . Giá trị của biểu thức f  4  là:

A.

25
.
6

B.

25
.
3

17
.
6
Lời giải
C.

D.

17
.
3

Chọn C
Xét phương trình 2 xf   x   f  x   2 x 1 trên  0;    : 1  f   x  

1
 f  x  1 2 .
2x

1
, ta tìm một nguyên hàm G  x  của g  x  .
2x
1
1
Ta có  g  x  dx   dx  ln x  C  ln x  C . Ta chọn G  x   ln x .
2x
2
1
 f  x  x
Nhân cả 2 vế của  2  cho eG  x   x , ta được: x  f   x  
2 x
Đặt g  x  






x. f  x   x



 3 .
4

Lấy tích phân 2 vế của  3 từ 1 đến 4, ta được:


1





x. f  x 



4
1





4

x . f  x  dx   xdx
1

4

14
1  14  17
2 3

x   2 f  4   f 1   f  4     1 
(vì f 1  1 ).
3
2 3
3
1
 6
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vậy f  4  
Câu 33.

17
.
6

(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn
3

4

điều kiện x 6  f   x    27  f  x   1  0, x   và f 1  0 . Giá trị của f  2  bằng
A. 1 .
B. 1.
C. 7 .
D.  7 .
Lời giải
Chọn D
6

3

Ta có x  f   x    27  f  x   1  0 


 1
1
1
  2.
 2 
 3 f  x   1  x
f  x 1 x

f  x

4

3  f  x   1 3



1
1
1
 dx   2 dx    C. Suy ra
Do đó  
x
x
 3 f  x   1 

1

1
  C .
x
f  x  1

3

Có f 1  0  C  0 . Do đó f  x   1  x3 .
Khi đó f  2   7.
Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:

 f   x 

2

 f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và

f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng

A.

5
.
2

B. 8.

C. 10.

D. 4.

Lời giải
Chọn B
2

Theo giả thiết, x   :  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x

 f   x  . f   x   f  x  . f   x   15 x 4  12 x
  f  x  . f   x    15 x 4  12 x
 f  x  . f   x    15 x 4  12 x  dx  3 x 5  6 x 2  C 1 .

Thay x  0 vào 1 , ta được: f  0  . f   0   C  C  1 .
Khi đó, 1 trở thành: f  x  . f   x   3x5  6 x 2  1
1

1

1

1

1

1

  f  x  . f   x  dx    3 x5  6 x 2  1 dx   f 2  x     x 6  2 x3  x 
2
0 2
0
0
0


1 2
7
 f 1  f 2  0     f 2 1  1  7  f 2 1  8 .
2
2

Vậy f 2 1  8 .

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 35. Cho

hàm

y  f  x

số

 xf   x   2 f  x   .ln x  x
nào dưới đây?
25 

A. 12;  .
2 


3



đạo

hàm

liên

 f  x  , x  1;    ; biết f

27 

B. 13;  .
2 


tục

trên

1;   

 e   3e . Giá trị
3

 23 
C.  ;12  .
 2

Lời giải



thỏa

mãn

f  2  thuộc khoảng

29 

D. 14;  .
2


Chọn C
Xét phương trình  xf   x   2 f  x   .ln x  x3  f  x  1 trên khoảng 1;   :

1  x ln x. f   x   1  2 ln x  . f  x   x3  f   x  

1  2 ln x
x2
 f  x 
x ln x
ln x

2 .

1  2 ln x
. Ta tìm một nguyên hàm G  x  của g  x  .
x ln x
1  2ln x
1  2 ln x
 1

dx  
d  ln x    
 2  d  ln x 
Ta có  g  x  dx  
x ln x
ln x
 ln x


Đặt g  x  

 ln x 
 ln  ln x   2ln x  C  ln  2   C .
 x 
 ln x 
Ta chọn G  x   ln  2  .
 x 
ln x
ln x
1  2 ln x
Nhân cả 2 vế của  2  cho eG  x   2 , ta được: 2  f   x  
 f  x  1
x
x
x3
ln x
 ln x

  2  f  x    1  2  f  x   x  C  3 .
x
 x


 e   3e nên thay x 
3

Theo giả thiết, f
ln

 e.f

3

3

e

2

 e 
3

3

e C  C 

Từ đây, ta tìm được f  x  
Câu 36.

1
3

3 e2

3

e vào  3 , ta được:

 3e  3 e  0 .

x3
23
 23 
.Vậy f  2    ;12  .
 f  2 
ln x
ln 2
 2


(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn

3 f   x  .e f

3

 x   x2 1



2x
 0 với  x   . Biết f  0   1 , tính tích phân
2
f  x

11
A. .
2

15
B.
.
4

45
C.
.
8
Lời giải

7

 x. f  x  dx .
0

D.

9
.
2

Chọn C
Ta có 3 f   x  .e

f 3  x   x2 1

  3 f 2  x  . f   x  .e f

3



 x

3
2
2x
 0  3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1
f  x

2

2

dx   2 x.e x 1dx   e f

3

 x

2

d  f 3  x     e x 1d  x 2  1  e

f 3  x

 ex

2

1

C .

Mặt khác, vì f  0   1 nên C  0 .
Do đó e f

3

 x

 ex

2

1

 f 3  x   x2  1  f  x   3 x 2  1 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
7

Vậy



7

x. f  x  dx 

0

Câu 37.



x. 3 x 2  1 dx 

0

1
2

7



7
3
45
.
x 2  1 d  x 2  1   x 2  1 3 x 2  1  


8
8
0

3

0

(SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên  thỏa mãn
f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 và f  0   0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P  2M  m có dạng

a 11  b 3  c ,  a , b , c    . Tính a  b  c
A. a  b  c  7 .

B. a  b  c  4 .

C. a  b  c  6 .

D. a  b  c  5 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 

f  x . f   x
f

2

 x 1

 2x  

f  x . f   x 
f 2  x 1

dx   2 xdx

f 2  x   1  x2  C .



2

f 2  x   1  x 2  1  f 2  x    x 2  1  1  x 4  2 x 2

Mà f  0   0  C  1 

 f  x   x 4  2 x 2 (do f  x   0, x   ).
Ta có: f   x  

2 x3  2 x
x4  2 x2

 0, x  1;3  max f  x   f  3  3 11; min f  x   f 1  3 .
1;3

1;3

Ta có: P  2 M  m  6 11  3  a  6; b  1; c  0  a  b  c  7 .
Câu 38. Cho

hàm

số

y  f  x

liên

tục

trên

 \ 1;0

thỏa

mãn

f 1  2ln 2  1 ,

x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là hai số
hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
A. T 

21
.
16

B. T 

3
.
2

C. T  0 .

D. T  

Lời giải
Chọn D
Ta có: x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 .



x2
x2  2x
x2
, x   \ 1;0 .
f  x 
f
x



2
x 1
 x  1
 x  1

 x2

x2

f  x  
, x   \ 1;0 .
 x 1
 x 1


x2
x2
dx 
f  x   C  , x   \ 1;0 .
x 1
x 1

1 
x2

   x 1
d
x

f  x   C  , x   \ 1;0 .

x 1 
x 1



x2
x2
 x  ln x  1  C  
f  x   C .
2
x 1



x2
x2
 x  ln x  1  C 
f  x  , x   \ 1;0 .
2
x 1

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

3
.
16


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Ta có: f 1  2ln 2  1 và f 1  1  2ln 2  2C  C  1 .

x2
x2
 x  ln x  1  1 
f  x .
2
x 1
3 3
3
3
9 3 3
 f  2    .ln 3 và f  2  a  b ln 3  a  , b   T  a2  b    .
4 4
4
4
16 4 16


Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

 0;   

thỏa mãn 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x  , với

1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
3
hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2 . Tính M  m .
f  x   0, x   0;    và f 1 

A.

9
.
10

B.

21
.
10

5
.
3
Lời giải
C.

D.

7
.
3

Chọn C
Ta có: 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x   3x 2 . f  x   x3 . f   x   2 x. f 2  x 



3 x 2 . f  x   x3 . f   x 
f 2  x

 2 x vì f  x   0, x   0;    .

 x 3 
x3
 

2
x

  2 xdx  x 2  C .

f  x
 f  x 

Mà f 1 

1
x3
 C  2  f  x  2
.
3
x 2

Ta có: f  x  

x3
x4  6x2


f
x

 0, x   0;    .


2
x2  2
 x2  2

Vậy, hàm số f  x  

x3
đồng biến trên khoảng  0;    .
x2  2

Mà 1;2   0;    nên hàm số f  x  

x3
đồng biến trên đoạn 1; 2 .
x2  2

4
1
5
Suy ra, M  f  2   ; m  f 1   M  m  .
3
3
3
Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 1.

2





(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x x3  4x .
Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6 .

B. 5 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Ta có F   x   f  x 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

















 F  x 2  x  f x 2  x . x 2  x   2x  1 x 2  x e
  2x  1 x  x  1 e

2

2

 x  x   4
2

2

2

 x  x x2  x  2 x2  x  2



2





  2x  1 x  x  1 x  2  x  1 x 2  x  2 e



 x  x





2

 x  x   0  x   2; 1; 1 ;0;1


2

2







F  x 2  x  0 có 5 nghiệm đơn nên F x 2  x có 5 điểm cực trị.

1  cos x   sin x  cot x  dx và S
2

Câu 2.

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x   

sin 4 x

là tổng

 
tất cả các nghiệm của phương trình F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng
2

A.  6 ;9  .

B.  2 ;4  .

C.  4 ;6  .

D.  0;2  .

Lời giải
Chọn

1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx
 sin x
 sin x
sin x
1  cos x  cot x dx và B  1  cos x  sin x dx
A
 sin x
sin x
2

2

Ta có: F  x   

4

4

2

Gọi

2

4

2

4

4

Ta có:

1  cos x  cot x dx  1  2 cot x  cot x dx   cot x  2 cot x .d cot x
  


sin x
sin x
2

A

2

3

4

2

 cot 2 x cot 4 x 
 

  C1.
2 
 2

1  cos x  sin x dx  1  cos x  sin x dx
B
 1  cos x
sin x


2

2

4

2

2

Đặt t  cos x , suy ra dt   sin x.dx . Khi đó:

B  

1 t2

t

2

 1

2

dt   

1 t2
2

 t  1 .  t  1

2

dt  

1  1
1 
1 1
1 

dt  


  C2
2
2

2   t  1  t  1 
2  t 1 t  1 

1
1
1

 

  C2
2  cos x  1 cos x  1 
Do đó:

1 1
1   cot 2 x cot 4 x 
F  x  A  B  


C

2  cos x  1 cos x  1   2
2 
Suy ra:

1 1
1   cot 2 x cot 4 x 
 
F  x  F    


C  C

2  cos x  1 cos x  1   2
2 
2


1
1

 cot 2 x  cot 4 x  0
cos x  1 cos x  1

2 cos x cos 2 x cos 4 x


0
sin 2 x sin 2 x sin 4 x
Với điều kiện sin x  0 ,


Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

cos x  0
cos x  0
3

*  

cos x
2
2
3
2  cos x 

0
 2 1  cos x   cos x 1  cos x   cos x  0
2

sin x
cos x  0
cos x  0


2
cos x  1  17

2
cos
x

cos
x

2

0


4

3

3
Theo giả thiết x   0;4  nên x  ; x 
; x   2 ; x 
 2 ;
2
2
2
2
x   ; x    2 ;

x   ; x    2 .
Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 .
Câu 3.

(Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x 

2cos x  1
trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là
sin 2 x

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
 
A. F    3 3  4
6

 2
B. F 
 3

3


 2

 
C. F     3
3
Lời giải

 5
D. F 
 6


  3 3


Ta có:

2cos x  1
cos x
1
dx  2 2 dx   2 dx
2
sin x
sin x
sin x
d  sin x 
1
2
 2
  2 dx  
 cot x  C
2
sin x
sin x
sin x

 f  x  dx  

Do F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  

F  x  có công thức dạng F  x   

2cos x  1
trên khoảng  0;   nên hàm số
sin 2 x

2
 cot x  C với mọi x   0;   .
sin x

2
 cot x  C xác định và liên tục trên  0;   .
sin x
2cos x  1
F ' x  f  x 
sin 2 x
2cos x  1
1

 0  cos x   x    k 2  k   .
Xét F '  x   0 
2
sin x
2
3
Xét hàm số F  x   

Trên khoảng  0;   , phương trình F '  x   0 có một nghiệm x 


3

Bảng biến thiên:

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 
max F  x   F     3  C
0;

 
3

Theo đề bài ta có,  3  C  3  C  2 3 .
2
 cot x  2 3 .
Do đó, F  x   
sin x
Câu 4.

Biết F  x là nguyên hàm của hàm số f  x 

x cos x  sin x
. Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có
x2

bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ?
A. 2 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1.

D. 0 .

Chọn C
Ta có F ' x  f  x  
F ' x   f  x  

x cos x  sin x
trên 0; 4  .
x2

x cos x  sin x
 0  x cos x  sin x  0 trên 0; 4  .
x2

Đặt g  x  x cos x  sin x trên 0; 4  .

x  

Ta có g ' x  x.sin x  0   x  2 trên 0; 4  .

 x  3

Từ đó có bảng biến thiên của g  x  :

x

-

g'(x)

g(x)

x1

π

0

0

+



x2



0

-

0

x3



+




0
0


0

0
-3π

Vì g  x  liên tục và đồng biến trên  ; 2  và g  .g  2   0 nên tồn tại duy nhất x1   ; 2 
sao cho g  x1   0 .
Tương tự ta có g  x2   0 , g  x3   0 với x2   2 ;3  , x3  3 ; 4  .
Từ bảng biến thiên của g  x  ta thấy g  x  0 khi x  0; x1  và x   x2 ; x3  ; g  x  0 khi

x   x1 ; x2  và x   x3 ;4  . Dấu của f  x là dấu của g  x trên 0;4  .
Do đó ta có bảng biến thiên của F  x :

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x

x2

x1

0

0

-

f(x)

+

0

x3
-

0


+


F(x)
CT

CT

Vậy hàm số y  F  x có ba cực trị.
Câu 5.

(Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

x  cos x
. Hỏi đồ
x2

thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B. 2.

C. vô số điểm.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
Vì  F  x    f  x  nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f  x  để tìm cực trị hàm số đã cho.
Ta xét hàm số g  x   x  cos x , ta có g   x   1  sin x  0 x .
Vì vậy g  x  là hàm số đồng biến trên toàn trục số.
   
g  2   2  0
  
  
Hơn nữa ta có 
, do đó g  x   0 có duy nhất nghiệm     ;  .
 2 2
g         0
  2 
2
Ta có bảng xét dấu

Kết luận hàm số đã cho có một cực trị.
Câu 6.

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số

y  f '  x  trên

 5;3

như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol

y  ax2  bx  c ).

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Biết f  0  0 , giá trị của 2 f  5  3 f  2  bằng
A. 33.

B.

109
.
3

C.

35
.
3

D. 11.

Lời giải
Chon C
*)Parabol

y  ax2  bx  c qua các điểm  2;3 , 1;4 ,  0;3 ,  1;0 ,  3;0 nên xác định được

y  x2  2x  3, x  1 suy ra f  x   
f  0  0  C1  0, f  x   

x3 2
 x  3x  C1 . Mà
3

x3 2
 x  3x .
3

5
22
; f 2 
(1)
3
3

Có f   1  

*)Đồ thị f ' x trên đoạn  4; 1 qua các điểm  4;2 ,  1;0 nên
f ' x  


2
2  x 2
 x  1  f  x     x   C2 .
3
3  2


Mà f   1  


5
5 2 1
2  x 2
14
.
 C 2        2  f  x  
 x   2 , hay f  4  

3
3
3 3 2
3  2


*) Đồ thị f ' x trên đoạn  5; 4 qua các điểm  4;2 ,  5; 1 nên

f '  x   3x 14  f  x  

3x2
14x  C3 .
2
2

Mà f  4  

3.  4 
14
14
82

 14.  4   C3 
suy ra C 3 
.
3
2
3
3

Ta có f  x  

3x2
82
31
14x   f  5   (2).
2
3
6

Từ (1) và (2) ta được 2 f   5   3 f  2   
Câu 7.

31
35
.
 22 
3
3

f  x

 4 x 2  3 x và
x
f 1  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f   x  

A. y  16 x  20 . B. y  16 x  20 .

C. y  16 x  20 .

D. y  16 x  20 .

Lời giải
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn B

f  x 

f  x
 4 x 2  3 x  xf   x   f  x   4 x3  3 x 2 .
x





Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf  x    4 x3  3x 2 dx  x 4  x3  C .
Với x  1 ta có: f 1  2  C .
Theo bài ra f 1  2  2  C  2  C  0 .
Vậy xf  x   x 4  x3  f  x   x3  x 2 .
Ta có: f   x   3x 2  2 x ; f   2   16 ; f  2   12 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là:

y  16  x  2   12  y  16 x  20 .

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: http://diendangiaovientoan.vn/
ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×