Tải bản đầy đủ (.pdf) (26 trang)

Chuyên đề 25 nguyên hàm đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (655.35 KB, 26 trang )

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

NGUYÊN HÀM

Chuyên đề 25

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
Dạng 1. Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x ) f  ( x)  u ' ( x) f ( x)  h( x)
Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u ( x) f  ( x)  u  ( x) f ( x)  [u ( x) f ( x)]
Do dó u ( x) f  ( x)  u  ( x ) f ( x)  h( x)  [u ( x) f ( x)]  h( x)
Suy ra u ( x) f ( x)   h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 2. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x )  f ( x)  h( x)
Phương pháp:


Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e x  f ( x)  e x  h( x)  e x  f ( x)   e x  h( x)
Suy ra e x  f ( x)   e x  h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 3. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  f ( x)  h( x)
Phương pháp:


Nhân hai vế vói e x ta durọc e x  f  ( x)  e  x  f ( x)  e x  h( x)  e  x  f ( x)   e  x  h( x)
Suy ra e x  f ( x)   e  x  h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dạng 4. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúrc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  h( x)
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)
Phương pháp:


p ( x ) dx
Nhân hai vế với e 
ta được
f  ( x)  e 

p ( x ) dx

 p ( x)  e 

Suy ra f ( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x ) dx

  e

 f ( x)  h( x)  e 

p ( x ) dx

p ( x ) dx

  f ( x)  e 


p ( x ) dx




  h( x)  e  p ( x ) dx


h( x)dx

Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)
Dang 5. Bài toán tích phân liên quan đến biếu thúc f  ( x)  p ( x)  f ( x)  0
Phương pháp:
f  ( x)
f  ( x)
Chia hai vế với f ( x) ta đựơc
 p ( x)  0 
  p ( x)
f ( x)
f ( x)
f  ( x)
 f ( x) dx    p( x)dx  ln | f ( x) |   p( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x)

Suy ra

Dạng 6. Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f  ( x)  p( x)  [ f ( x)]n  0
Phương pháp:
f  ( x)
f  ( x)
Chia hai vế với [ f ( x)]n ta được

p
(
x

)

0

  p( x)
[ f ( x)]n
[ f ( x)]n
f  ( x)
[ f ( x)] n 1
Suy ra 
dx    p ( x)dx 
   p ( x)dx
[ f ( x)]n
n  1
Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x)
Câu 1.

(Mã 103 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   

2
1
và f   x   4 x 3  f  x   với mọi
25

x   . Giá trị của f 1 bằng

A. 

391
400

B. 

1
40

C. 

41
400

D. 

1
10

Lời giải
Chọn D

 1 
1
3
3
  x4  C




4
x

  4 x 
2
f
x
f
x
 
 f  x  
  
1
1
1
Do f  2    , nên ta có C  9 . Do đó f  x    4
 f 1   .
25
x 9
10
2

Ta có f   x   4 x 3  f  x    

Câu 2.

f  x

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm

liên tục trên  thỏa mãn
nào sau đây?
A. 12;13  .

 f   x 

2

 f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng

B.  9;10  .

D. 13;14  .

C. 11;12  .

Lời giải
Chọn B
Vì hàm số y  f  x  đồng biến và có đạo hàm liên tục trên  đồng thời f  0   2 nên f   x   0
và f  x   0 với mọi x   0;   .
2

Từ giả thiết  f   x    f  x  .e x , x   suy ra f   x  
Do đó,

x
2

f  x  .e , x   0;   .


f  x

1 x
 e 2 , x   0;   .
2 f  x 2
x

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được

f  x   e 2  C , x   0;   với C là hằng số nào đó.

Kết hợp với f  0   2 , ta được C  2  1 .





2

Từ đó, tính được f  2   e  2  1  9,81 .
Câu 3.

(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số

y  f  x

thỏa mãn

f  2  


f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1 bằng
2
A.  .
3

1
B.  .
2

C. 1.

3
D.  .
4

Lời giải
Chọn C
Ta có f   x   x3 f 2  x  

f  x
f  x
1
x4
3
3

x

dx


x
dx



C .
 f 2  x

f 2  x
f  x 4

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

4
19




TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

4
19 16
3
4
Mà f  2       C  C  . Suy ra f  x    4
.
19
4
4

4
x 3
Vậy f 1  1 .
Câu 4.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn
điều kiện: f 1  2 ln 2 và x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ).





Giá trị 2 a 2  b2 là
A.

27
.
4

3
.
4
Lời giải

B. 9 .

C.

D.


9
.
2

Chọn B
2

Chia cả hai vế của biểu thức x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x cho  x  1 ta có

x
1
x
x
 x

. f  x 
f
x


.
f
x

.




2



x 1
x 1  x 1
 x 1
 x  1
Vậy

x
x
1 
 x


. f  x   
. f  x   dx  
dx   1 
dx  x  ln x  1  C .
x 1
x 1
 x 1

 x 1 

Do f 1  2 ln 2 nên ta có
Khi đó f  x  

1
. f 1  1  ln 2  C   ln 2  1  ln 2  C  C  1 .
2


x 1
 x  ln x  1 1 .
x

Vậy ta có f  2  

3
3
3 3
3
3
 2  ln 3  1  1  ln 3   ln 3  a  , b   .
2
2
2 2
2
2

 3  2  3  2 
2
2
Suy ra 2 a  b  2         9 .
 2   2  



Câu 5.




(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm
1
f   x  liên tục trên khoảng  0;    thỏa mãn f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và f 1   . Giá
2
trị của biểu thức f 1  f  2   ...  f  2020  bằng

A. 

2020
.
2021

B. 

2015
.
2019

2019
.
2020

C. 

D. 

2016
.
2021


Lời giải
Chọn A
Ta có:

f   x    2 x  1 f 2  x  
Mà f 1  

f  x
f

2

 x

 2x 1  

f  x
f

2

 x

dx    2 x  1 dx  

1
 x2  x  C .
f  x


1
1
1
1
 C  0  f  x  2

 .
2
x  x x 1 x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


f

f



f



f


Câu 6.


1
1
2
1 1
 2  
3 2
1 1
 3  
4 3

1 

 2020  

 f 1  f  2   ....  f  2020   1 

1
2020
.

2021
2021

1
1

2021 2020

(Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn f 1  2 ln 2  1 ,
x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai


số hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
3
21
A. T 
.
B. T  .
16
16

C. T 

3
.
2

D. T  0 .

Lời giải
Chọn A
Ta có x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1

 f  x 

x  x  2
x2
x2
x2

f  x  1 

f  x 
f  x 
2
x  x  1
x 1
x 1
 x  1
'

 x2

x2
x2
x2
x2
x2

f  x  
dx 
f  x    x  ln x  1  c

f  x  
x 1
x 1
x 1
2
 x 1
 x 1

 f  x 



x  1  x2
 x  ln x  1  c  .
2 
x  2


Ta có f 1  2 ln 2  1  c  1.
3

a  4

x  1  x2
3 3
Từ đó f  x   2   x  ln x  1  1 , f  2    ln 3. Nên 
.
x  2
4 4

b  3

4
3
Vậy T  a 2  b   .
16
Câu 7.

(THPT Nguyễn Trãi - Đà Nẵng - 2018) Cho hs y  f  x  thỏa mãn y  xy 2 và f  1  1 thì
giá trị f  2  là

A. e 2 .

B. 2e .

D. e3 .

C. e  1 .
Lời giải
3

x
C
y
y
x3
Ta có y  xy   x 2   dx   x 2dx  ln y   C  y  e 3 .
y
y
3
2

Theo giả thiết f  1  1 nên e

1
 C
3

1
1 C  .
3


Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy y  f  x  =e
Câu 8.

x3 1

3 3

. Do đó f  2   e3 .

(Sở Hà Nội Năm 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  , f  x   0 với mọi x và thỏa mãn

1
f 1   , f   x    2 x  1 f 2  x  .Biết
2
a, b  ,  a, b   1 .Khẳng định nào sau đây sai?
A. a  b  2019 .

f 1  f  2   ...  f  2019  

a
1
b

với


C. 2a  b  2022 .
D. b  2020 .
Lời giải
f  x
f  x
f   x    2 x  1 f 2  x   2
 2x 1   2
dx    2 x  1dx
f  x
f  x




d  f  x
f 2  x

B. ab  2019 .

   2 x  1 dx

1
 x 2  x  C 1 (Với C là hằng số thực).
f  x

1
1
1
 .

 C  0 .Vậy f  x  
1
x 1 x

2
1
1 
 1 1  1 1 
 1
T  f (1)  f (2)  ...  f (2019)          ...  

  1  2020 .
 2 1  3 2 
 2020 2019 

Thay x  1 vào 1 được 2  C  

a  1
Suy ra: 
 a  b  2019 (Chọn đáp số sai).
b  2020
Câu 9.

(THPT Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  0;  

1
. Tính f  4  ?
2
C. 4 .
Lời giải


thỏa mãn 2 xf   x   f  x   3 x 2 x . Biết f 1 
A. 24 .

B. 14 .

D. 16 .

Chọn D
Trên khoảng  0;   ta có: 2 xf '  x   f  x   3x 2 x  x f '  x  








'

x. f  x 
x. f  x 

3 2
x 
2



1

2 x



3 2
x .
2

'
3
x . f  x  dx   x 2 dx .
2



1 3
x  C .  
2

x2 x
1
1
1 1
Mà f 1  nên từ   có: 1. f 1  .13  C    C  C  0  f  x  
.
2
2
2
2 2


Vậy f  4  
Câu 10.

42 4
 16 .
2

(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số

f  x   0 với mọi

x,

f  0   1 và

f  x   x  1. f   x  với mọi x   . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f  x   2

B. 2  f  x   4

C. f  x   6

D. 4  f  x   6

Lời giải
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


f  x

Ta có:

f  x

f  x
1
1

dx  
dx  ln  f  x    2 x  1  C
f  x
x 1
x 1



Mà f  0   1 nên C  2  f  x   e 2
Câu 11.

x 1  2

 f  3  e 2  6

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên

 2; 4


3

và f   x   0, x   2; 4 . Biết 4 x 3 f  x    f   x    x3 , x   2; 4 , f  2  

7
. Giá trị của
4

f  4  bằng

A.

40 5  1
.
2

20 5  1
.
4

B.

20 5  1
.
2
Lời giải

C.

D.


40 5  1
.
4

Ta có: f   x   0, x   2; 4 nên hàm số y  f  x  đồng biến trên  2; 4  f  x   f  2  mà
f  2 

7
. Do đó: f  x   0, x   2;4 .
4
3

Từ giả thiết ta có: 4 x3 f  x    f   x    x3  x3  4 f  x   1   f   x  

 x. 3 4 f  x   1  f   x  

Suy ra:
f  2 



f  x
3

4 f  x 1

f  x
3


4 f  x 1

dx   xdx 

3

 x.

2
33
x2
1 d  4 f  x   1 x 2

4
f
x

1

C .




C



8 
2

4  3 4 f  x 1
2

7
3
1
  2C  C   .
4
2
2
3

Vậy: f  x  
Câu 12.

4 2

 3  x  1   1
40 5  1
.
 f  4 
4
4

(Chuyên Thái Bình 2019) Cho

f ( x)

là hàm số liên tục trên


f  x   f   x   x, x   và f  0   1 . Tính f 1 .

A.

2
.
e

B.

1
.
e

C. e .

D.

Lời giải

f  x  f  x  x

(1) .

Nhân 2 vế của (1) với e x ta được e x . f  x   e x . f   x   x.e x .
Hay e x . f  x    x.e x  e x . f  x    x.e x dx .
Xét I   x.e xdx .

 u  x  du  dx
Đặt  x

.
x
e dx  dv  v  e

I   x.e x dx  x.e x   e xdx  x.e x  e x  C . Suy ra e x f  x   x.e x  e x  C .
Theo giả thiết f (0)  1 nên C  2  f  x  

x.e x  e x  2
2
 f 1  .
x
e
e

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

e
.
2



thỏa mãn


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 13.

(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Cho hàm số


f  x  thỏa mãn

2

 xf   x    1  x 2 1  f  x  . f   x   với mọi x dương. Biết f 1  f  1  1 . Giá trị f 2  2  bằng
A. f 2  2   2 ln 2  2 . B. f 2  2   2 ln 2  2 .
C. f 2  2   ln 2  1 .

D. f 2  2   ln 2  1 .
Lời giải

2

2

Ta có:  xf   x    1  x 1  f  x  . f "  x   ; x  0
2

 x 2 .  f '  x    1  x 2 1  f  x  . f "  x  
1
 1  f  x . f " x 
x2
2
1
  f '  x    f  x  . f "  x   1  2
x
'
1
  f  x  . f '  x    1  2

x
'
1
1

Do đó:   f  x  . f '  x   .dx   1  2 .dx  f  x  . f '  x   x   c1.
x
 x 
2

  f '  x   

Vì f 1  f ' 1  1  1  2  c1  c1  1.
Nên



1



 f  x  . f '  x  .dx    x  x 1.dx

1 

  f  x  .d  f  x      x   1.dx
x 


f 2  x  x2

1 1

  ln x  x  c2 . Vì f 1  1    1  c2  c2  1.
2
2
2 2
Vậy
Câu 14.

f 2  x  x2
  ln x  x  1  f 2  2  2ln 2  2 .
2
2

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ( f '( x))2  f ( x). f ''( x)  x 3  2 x, x  R
và f (0)  f '(0)  1 . Tính giá trị của T  f 2 (2)

43
15
Lời giải
2
3
Có ( f '( x))  f ( x). f ''( x)  x  2 x  ( f ( x). f '( x))'  x 3  2 x
A.

43
30

B.


16
15

 f ( x). f '( x)   ( x3  2 x)dx 

C.

D.

26
15

1 4 2
x  x C
4

Từ f (0)  f '(0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy f ( x ). f '( x ) 

1 4
x  x2  1
4

1 4
1
x  2 x 2  2  ( f 2 ( x))'  x 4  2 x 2  2
2
2
1
1
2

 f 2 ( x)   ( x 4  2 x 2  2)dx  x5  x3  2 x  C
2
10
3
1
2
Từ f (0)  1 . Suy ra C  1 . Vậy f 2 ( x)  x5  x 3  2 x  1 .
10
3
43
Do đó T 
15
Tiếp, có 2 f ( x). f '( x) 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 15.

 
(Sở Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn
 2
x
 
 
f  x   tan x. f   x  
. Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b . Giá
3

cos x
3
6
trị của biểu thức P  a  b bằng
14
2
7
4
A.
B. 
C.
D. 
9
9
9
9
Lời giải
Chọn D

f  x   tan x. f   x  

x
x
 cos x. f  x   sin x. f   x  
.
3
cos2 x
cos x

x

.
 sin x. f  x   
cos 2 x
Do đó

x



 sin x. f  x  dx   cos

Tính I  

2

x

dx  sin x. f  x   

x
dx
cos 2 x

x
dx .
cos2 x

u  x
 du  dx


Đặt 
. Khi đó
dx  
v  tan x
dv  cos 2 x
I 

d  cos x 
x
dx  x tan x   tan xdx  x tan x  
dx  x tan x  ln cos x .
2
cos x
cos x

Suy ra f  x  

x.tan x  ln cos x
sin x



ln cos x
x
.

cos x
sin x

3

 2 2 ln 2    3
 
 
a 3  b ln 3  3 f    f    3 

 
 2 ln


2 
3   9
3
6
 3
5 3

 ln 3 . Suy ra
9

5

a 
9 .

b  1

4
Vậy P  a  b   .
9
Câu 16. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  đồng biến trên

y  f  x

liên tục, nhận giá trị dương trên

 0;  

và thỏa mãn

f  3 

2

 f '  x     x  1 . f  x  . Tính f  8  .
A. f  8   49 .

B. f  8   256 .

C. f  8  

1
.
16

D. f  8  

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

 0;   ;

49

.
64

4
9




TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải
Chọn A
Ta có với x   0;   thì y  f  x   0 ; x  1  0 .
Hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   nên f   x   0, x   0;   .
2

Do đó  f   x     x  1 f  x   f   x  

Suy ra 

f  x
f  x

Vì f  3 

dx  

 x  1dx


 x  1 f  x  

f  x 



1
3

 x  1

3

f  x
f  x



 x  1 .

2

2

C .

4
2 8
nên C    2 .
9

3 3

1
Suy ra f  x   
3

2

 x  1  2  , suy ra f 8   49 .

3



2

 f   x    f  x   x

Câu 17. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f 1  2 và x 2  1



 1 với mọi x   . Giá

trị của f  2  bằng
2
5

A.


B. 

2
5

C. 

5
2

D.

5
2

Lời giải
Chọn D
2

Từ giả thiết ta có: f   x    f  x   .

x2 1

x

2

 1

 0 với mọi x  1; 2 .


2

Do đó f  x   f 1  1  0 với mọi x  1;2 .
Xét với mọi x  1;2 ta có:

x

2

 1 f   x    f  x  



2

x

2

 1 

f  x
f  x
x2 1
x2  1

 2
dx  
dx .

2
2
2
f  x   x 2  1
f  x
 x2  1

1

1
d x  
2

f
x
  dx   x 
1
1
x dx 
dx  

C .
2
2  
2
2


1
f  x

f  x
f  x
1
1


x
x 
x 
x
x
x



f  x

1

x2  1
5
Mà f 1  1  1  1  C  C  0 . Vậy f  x  
 f  2  .
x
2
Câu 18.

(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên
khoảng  0;    , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 , f  x   0, x  0 và f  2  


1
. Tính giá trị của
6

P  f 1  f  2   ...  f  2019  .

A.

2021
.
2020

B.

2020
.
2019

2019
.
2020
Lời giải

C.

D.

2018
.
2019


Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

TH1: f  x   0  f   x   0 trái giả thiết.
TH2: f  x   0  f   x     2 x  1 . f 2  x  



f  x
f

2

 x

   2 x  1 .  

f  x
f 2  x

dx     2 x  1dx

1
   x2  x  C  .
f  x

1

1
1
1
 C  0  f  x  2
.
 
6
x  x x x 1
1 1 1 1
1
2019
.
 P      ..... 

1 2 2 3
2020 2020

Ta có: f  2  

Câu 19. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn

 f  x

2

 2;1

thỏa mãn

f  0   3 và


. f   x   3 x 2  4 x  2 . Giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 là
B. 2 3 15 .

A. 2 3 42 .

3

C.

42 .

D.

3

15 .

Lời giải
2

Ta có:  f  x   . f   x   3x 2  4 x  2 (*)
Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được

  f  x 

2

2


. f   x dx    3x 2  4 x  2 dx    f  x   d  f  x    x3  2 x 2  2 x  C

 f  x


3

3

3

 x 3  2 x 2  2 x  C   f  x    3  x 3  2 x 2  2 x  C  1
3





Theo đề bài f  0   3 nên từ (1) ta có  f  0    3 03  2.02  2.0  C  27  3C  C  9
3

  f  x    3  x 3  2 x 2  2 x  9   f ( x)  3 3  x 3  2 x 2  2 x  9  .
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  2;1 .
CÁCH 1:
Vì x3  2 x 2  2 x  9  x 2  x  2   2  x  2   5  0, x   2;1 nên f  x  có đạo hàm trên  2;1

3  3x 2  4 x  2 

và f   x  


3 3  x  2 x  2 x  9  
3

3

2

2

3x 2  4 x  2


3

3  x  2 x  2 x  9  


3

2

2

 0, x   2;1 .

Hàm số y  f  x  đồng biến trên  2;1  max f  x   f 1  3 42 .
 2;1

Vậy max f  x   f 1  3 42 .
 2;1


CÁCH 2:
3

2
2  223


f  x   3 x  2x  2x  9  3  x    2  x   
.
3
3 9


3

3

2

3

3

2
2  223


Vì các hàm số y  3  x   , y  2  x   
đồng biến trên  nên hàm số

3
3 9



Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
3

2
2  223


cũng đồng biến trên . Do đó, hàm số y  f  x  đồng biến
y  3 3 x    2  x   
3
3 9


trên  2;1 .
Vậy max f  x   f 1  3 42 .
 2;1

Câu 20.

(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số
3


f ( x)

thỏa mãn

f (1)  4



2

f ( x)  xf ( x)  2 x  3x với mọi x  0 . Giá trị của f (2) bằng
A. 5 .

B. 10 .

f ( x)  xf ( x)  2 x3  3x 2 

D. 15 .

1. f ( x)  x. f ( x) 2 x3  3x 2
 f ( x ) 


 2x  3
2
2
x
x
 x 


f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số g  x   2 x  3 .
x

Suy ra,
Ta có

C. 20 .
Lời giải

  2 x  3dx  x

2

 3x  C , C   .

f ( x)
 x 2  3 x  C1 , (1) với C1   nào đó.
x
Vì f (1)  4 theo giả thiết, nên thay x  1 vào hai vế của (1) ta thu được C1  0 , từ đó
Do đó,

f ( x)  x 3  3 x 2 . Vậy f (2)  20 .
Câu 21.

(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện: f  0   2 2,

f  x   0, x   và f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  , x   . Khi đó giá trị f 1 bằng
26 .


24 .

C. 15 .
Lời giải
f  x. f   x
Ta có f  x  . f   x    2 x  1 1  f 2  x  
  2 x  1 .
1 f 2  x
A.

Suy ra



B.

f  x. f  x
1 f

2

 x

dx    2 x  1dx  

d 1  f 2  x  
2 1 f




Theo giả thiết f  0   2 2 , suy ra 1  2 2



 x

23 .

   2 x  1dx  1  f 2  x   x 2  x  C .

2

Với C  3 thì 1  f 2  x   x 2  x  3  f  x  
Câu 22.

2

D.

 C  C  3.

x

2

2

 x  3  1 . Vậy f 1  24 .
2


(Cần Thơ 2018) Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f   x    f  x  . f   x   2 x 2  x  1 , x   và
2

f  0   f   0   3 . Giá trị của  f 1  bằng

A. 28 .

B. 22 .

C.

19
.
2

D. 10 .

Lời giải
2
Ta có  f  x  f   x     f   x    f  x  f   x  .

Do đó theo giả thiết ta được  f  x  f   x    2 x 2  x  1 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Suy ra f  x  f   x  

2 3 x2

x   x  C . Hơn nữa f  0   f   0   3 suy ra C  9 .
3
2

2

x2
Tương tự vì  f 2  x    2 f  x  f   x  nên  f 2  x    2  x 3   x  9  . Suy ra
2
3

2

x2
1
x3
f 2  x    2  x 3   x  9  dx  x 4   x 2  18 x  C , cũng vì f  0   3 suy ra
2
3
3
3


Câu 23.

2
1
x3
f 2  x   x 4   x 2  18 x  9 . Do đó  f 1   28 .
3

3
(Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn

 x  2  f  x    x  1 f   x   e x
e
A. f  2   .
3

và f  0  

B. f  2  

1
. Tính f  2  .
2

e
.
6

C. f  2  

e2
.
3

D. f  2  

e2
.

6

Lời giải
Ta có
 x  2  f  x    x  1 f   x   e x   x  1 f  x   f  x    x  1 f   x   e x

  x  1 f  x     x  1 f  x    e x  e x  x  1 f  x    e x  x  1 f  x    e2 x
1
 e x  x  1 f  x    e2 x   e x  x  1 f  x  dx   e2 x dx  e x  x  1 f  x   e2 x  C
2
Mà f  0  

1 ex
1
 C  0 . Vậy f  x   .
2
2 x 1

Khi đó f  2  
Câu 24.

e2
.
6

(Liên Trường - Nghệ An - 2018) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 0;  1 thỏa mãn điều
kiện f 1  2 ln 2 và x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Giá trị f  2   a  b ln 3 , với a, b  . Tính

a 2  b2 .
25

A.
.
4

B.

9
.
2

5
.
2
Lời giải
C.

Từ giả thiết, ta có x  x  1 . f   x   f  x   x 2  x 

D.

13
.
4

x
1
x
. f  x 
f  x 
2

x 1
x 1
 x  1

x
 x


. f  x  
, với x   \ 0;  1 .
 x 1
 x 1
x
x
x
Suy ra
. f  x  
dx hay
. f  x   x  ln x  1  C .
x 1
x 1
x 1
x
. f  x   x  ln x  1  1 .
Mặt khác, ta có f 1  2 ln 2 nên C  1 . Do đó
x 1
2
3 3
3
3

Với x  2 thì . f  2   1  ln 3  f  2    ln 3 . Suy ra a  và b   .
3
2 2
2
2

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

9
Vậy a  b  .
2
2

Câu 25.

2

(THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử hàm số y  f  x  liên tục, nhận giá trị dương trên  0;   và
thỏa mãn f 1  1 , f  x   f   x  . 3x  1 , với mọi x  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 2  f  5   3 .

B. 1  f  5   2 .

C. 4  f  5   5 .

D. 3  f  5   4 .


Lời giải
Ta có

f  x   f   x  . 3x  1 


d  f  x
f  x

2
1
2
dx  ln f  x  
3x  1  C  f  x   e 3
3
3x  1


4

Mà f 1  1 nên e 3
Câu 26.

f  x
f  x
1
1


dx  

dx
f  x
f  x
3x  1
3x  1

C

3 x 1  C

4

4
 1  C   . Suy ra f  5   e 3  3, 794 .
3

(THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Cho hàm số f  x   0 thỏa mãn điều kiện

1
Biết
rằng
tổng
f  0   .
2
a
a
f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  với  a  , b  *  và
là phân số tối giản.
b
b

Mệnh đề nào sau đây đúng?
a
a
A.  1.
B.  1 .
C. a  b  1010 .
D. b  a  3029 .
b
b
Lời giải
f  x
Ta có f   x    2 x  3 f 2  x   2
 2x  3
f  x
f   x    2 x  3 f 2  x 





f  x
1
dx    2 x  3 dx  
 x 2  3x  C .
f  x
f  x

1
Vì f  0     C  2 .
2

1
1
1


Vậy f  x   
.
 x  1 x  2  x  2 x  1
Do đó f 1  f  2   f  3  ...  f  2017   f  2018  

1
1
1009
.
 
2020 2
2020

Vậy a  1009 ; b  2020 . Do đó b  a  3029 .
Câu 27.

(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hàm số f  x   0 , f   x  

1
f 1   . Tính f 1  f  2   ...  f  80  .
3
3240
6480
A. 
.

B.
.
6481
6481

C. 

6480
.
6481

D.

3x 4  x 2  1 2
f  x  và
x2

3240
.
6481

Lời giải

f  x 

f   x  3x 4  x 2  1
3x 4  x 2  1 2
f
x
.





x2
f 2 x
x2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489



f  x 

3x 4  x 2  1
d
x

 x 2 dx 
f 2 x



d  f  x 
f 2  x

3x 4  x 2  1


dx .
x2

d  f  x 

1 
1
1
1

   3x 2  1  2  dx 
C.
 x3  x   C  f  x  
1
f  x
x 
f x
x
3

x x
x
1
1
1
1
x

 2
Do f 1    C  0  f  x   4

=  2
.
2
3
x  x  1 2  x  x  1 x  x  1 
1  1 1
11 1
1 1 1
1 1
1 
f 1     ; f  2      ; f  3     ;.; f  80   

.
2  3 1
2 7 3
2  13 7 
2  6481 6321 
1 1 1
3240
=
.
f 1  f  2   ...  f  80     .
2 2 6481
6481


Câu 28.




2

(Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hàm số f  x  đồng biến có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn  0; 2 và
2

2

thỏa mãn  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 . Biết f  0   1 , f  2   e6 . Khi đó f 1 bằng
3

5

B. e3 .

A. e 2 .

D. e2 .

C. e 2 .
Lời giải

2

2

Theo đề bài, ta có  f  x    f  x  . f   x    f   x    0 

f  x  . f   x    f   x  
 f  x  


2

2

1

 f   x  
f  x
x2

 x  C  ln f  x    C.x  D
 1
f  x
2
 f  x 
x
5
 f  0   1
2 x
C  2
2
2
Mà 

.
Suy
ra
:
f
x


e

f
1

e
.





6
D

0

 f  2   e
2

2

Câu 29. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  thỏa mãn f   x   2 x. f  x   e x , x   và f  0   0 .
Tính f 1 .
1
B. f 1   .
e

A. f 1  e2 .


C. f 1 

1
.
e2

D. f 1 

1
.
e

Lời giải
Chọn D
Ta có
2

2

2



2



f   x   2 x. f  x   e x  e x f   x   2 x.e x . f  x   1  e x . f  x   1 .
2

xC

. f  x  dx   dx  e x . f  x   x  C  f  x   x 2 .
e
Vì f  0   0  C  0 .

Suy ra

 e



x2

Do đó f  x  

x

1
. Vậy f 1  .
e
e
x2

Câu 30. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x  . f  x   x4  x2 . Biết f  0  2 . Tính f 2  2  .
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


313
A. f  2  
.
15
2

332
B. f  2  
.
15
2

324
C. f  2  
.
15
Lời giải
2

D. f 2  2  

323
.
15

Chọn B

f 2  x  x5 x 3
  C .
f '  x  . f  x  dx    x  x  dx  C 

2
5 3
4

Ta có


f  0  2 nên suy ra C  2 .

Do

2

 32 8
 332
Vậy f 2  2   2    2  
.
 5 3  15
Câu 31.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e x , x   và

f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm của f  x  e 2 x là
A.  x  2  e x  e x  C .

B.  x  2  e2 x  e x  C .

C.  x  1 e x  C .

D.  x  1 e x  C .

Lời giải

Chọn D



f  x   f   x   e x  f  x  e x  f   x  e x  1  f  x  e x

  1  f  x  e

x

 x  C .

Vì f  0   2 nên C   2 . Do đó f  x  e2 x   x  2  e x . Vậy:

 f  xe

2x

 

dx    x  2  e x dx    x  2  d e x   x  2  e x   e x d  x  2    x  2  e x   e x dx 
x

x

x

  x  2  e  e  C   x  1 e  C .

Câu 32. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  0;    thỏa mãn 2 xf   x   f  x   2 x x   0;    ,
f 1  1 . Giá trị của biểu thức f  4  là:

A.

25
.
6

B.

25
.
3

17
.
6
Lời giải
C.

D.

17
.
3

Chọn C
Xét phương trình 2 xf   x   f  x   2 x 1 trên  0;    : 1  f   x  


1
 f  x  1 2 .
2x

1
, ta tìm một nguyên hàm G  x  của g  x  .
2x
1
1
Ta có  g  x  dx   dx  ln x  C  ln x  C . Ta chọn G  x   ln x .
2x
2
1
 f  x  x
Nhân cả 2 vế của  2  cho eG  x   x , ta được: x  f   x  
2 x
Đặt g  x  






x. f  x   x



 3 .
4


Lấy tích phân 2 vế của  3 từ 1 đến 4, ta được:


1





x. f  x 



4
1





4

x . f  x  dx   xdx
1

4

14
1  14  17
2 3


x   2 f  4   f 1   f  4     1 
(vì f 1  1 ).
3
2 3
3
1
 6
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Vậy f  4  
Câu 33.

17
.
6

(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn
3

4

điều kiện x 6  f   x    27  f  x   1  0, x   và f 1  0 . Giá trị của f  2  bằng
A. 1 .
B. 1.
C. 7 .
D.  7 .

Lời giải
Chọn D
6

3

Ta có x  f   x    27  f  x   1  0 


 1
1
1
  2.
 2 
 3 f  x   1  x
f  x 1 x

f  x

4

3  f  x   1 3



1
1
1
 dx   2 dx    C. Suy ra
Do đó  

x
x
 3 f  x   1 

1

1
  C .
x
f  x  1

3

Có f 1  0  C  0 . Do đó f  x   1  x3 .
Khi đó f  2   7.
Câu 34. (Bến Tre 2019) Cho hàm số f  x  thỏa mãn:

 f   x 

2

 f  x  . f   x   15 x 4  12 x , x   và

f  0   f   0   1 . Giá trị của f 2 1 bằng

A.

5
.
2


B. 8.

C. 10.

D. 4.

Lời giải
Chọn B
2

Theo giả thiết, x   :  f   x    f  x  . f   x   15 x 4  12 x

 f   x  . f   x   f  x  . f   x   15 x 4  12 x
  f  x  . f   x    15 x 4  12 x
 f  x  . f   x    15 x 4  12 x  dx  3 x 5  6 x 2  C 1 .

Thay x  0 vào 1 , ta được: f  0  . f   0   C  C  1 .
Khi đó, 1 trở thành: f  x  . f   x   3x5  6 x 2  1
1

1

1

1

1

1


  f  x  . f   x  dx    3 x5  6 x 2  1 dx   f 2  x     x 6  2 x3  x 
2
0 2
0
0
0


1 2
7
 f 1  f 2  0     f 2 1  1  7  f 2 1  8 .
2
2

Vậy f 2 1  8 .

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 35. Cho

hàm

y  f  x

số


 xf   x   2 f  x   .ln x  x
nào dưới đây?
25 

A. 12;  .
2 


3



đạo

hàm

liên

 f  x  , x  1;    ; biết f

27 

B. 13;  .
2 


tục

trên


1;   

 e   3e . Giá trị
3

 23 
C.  ;12  .
 2

Lời giải



thỏa

mãn

f  2  thuộc khoảng

29 

D. 14;  .
2


Chọn C
Xét phương trình  xf   x   2 f  x   .ln x  x3  f  x  1 trên khoảng 1;   :

1  x ln x. f   x   1  2 ln x  . f  x   x3  f   x  


1  2 ln x
x2
 f  x 
x ln x
ln x

2 .

1  2 ln x
. Ta tìm một nguyên hàm G  x  của g  x  .
x ln x
1  2ln x
1  2 ln x
 1

dx  
d  ln x    
 2  d  ln x 
Ta có  g  x  dx  
x ln x
ln x
 ln x


Đặt g  x  

 ln x 
 ln  ln x   2ln x  C  ln  2   C .
 x 
 ln x 

Ta chọn G  x   ln  2  .
 x 
ln x
ln x
1  2 ln x
Nhân cả 2 vế của  2  cho eG  x   2 , ta được: 2  f   x  
 f  x  1
x
x
x3
ln x
 ln x

  2  f  x    1  2  f  x   x  C  3 .
x
 x


 e   3e nên thay x 
3

Theo giả thiết, f
ln

 e.f

3

3


e

2

 e 
3

3

e C  C 

Từ đây, ta tìm được f  x  
Câu 36.

1
3

3 e2

3

e vào  3 , ta được:

 3e  3 e  0 .

x3
23
 23 
.Vậy f  2    ;12  .
 f  2 

ln x
ln 2
 2


(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  thỏa mãn

3 f   x  .e f

3

 x   x2 1



2x
 0 với  x   . Biết f  0   1 , tính tích phân
2
f  x

11
A. .
2

15
B.
.
4

45

C.
.
8
Lời giải

7

 x. f  x  dx .
0

D.

9
.
2

Chọn C
Ta có 3 f   x  .e

f 3  x   x2 1

  3 f 2  x  . f   x  .e f

3



 x

3

2
2x
 0  3 f 2  x  . f   x  .e f  x   2 x.e x 1
f  x

2

2

dx   2 x.e x 1dx   e f

3

 x

2

d  f 3  x     e x 1d  x 2  1  e

f 3  x

 ex

2

1

C .

Mặt khác, vì f  0   1 nên C  0 .

Do đó e f

3

 x

 ex

2

1

 f 3  x   x2  1  f  x   3 x 2  1 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
7

Vậy



7

x. f  x  dx 

0

Câu 37.




x. 3 x 2  1 dx 

0

1
2

7



7
3
45
.
x 2  1 d  x 2  1   x 2  1 3 x 2  1  


8
8
0

3

0

(SP Đồng Nai - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên  thỏa mãn

f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 và f  0   0 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 1;3 . Biết rằng giá trị của biểu thức P  2M  m có dạng

a 11  b 3  c ,  a , b , c    . Tính a  b  c
A. a  b  c  7 .

B. a  b  c  4 .

C. a  b  c  6 .

D. a  b  c  5 .

Lời giải
Chọn A
Ta có: f  x  . f   x   2 x f 2  x   1 

f  x . f   x
f

2

 x 1

 2x  

f  x . f   x 
f 2  x 1

dx   2 xdx


f 2  x   1  x2  C .



2

f 2  x   1  x 2  1  f 2  x    x 2  1  1  x 4  2 x 2

Mà f  0   0  C  1 

 f  x   x 4  2 x 2 (do f  x   0, x   ).
Ta có: f   x  

2 x3  2 x
x4  2 x2

 0, x  1;3  max f  x   f  3  3 11; min f  x   f 1  3 .
1;3

1;3

Ta có: P  2 M  m  6 11  3  a  6; b  1; c  0  a  b  c  7 .
Câu 38. Cho

hàm

số

y  f  x


liên

tục

trên

 \ 1;0

thỏa

mãn

f 1  2ln 2  1 ,

x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a, b là hai số
hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
A. T 

21
.
16

B. T 

3
.
2

C. T  0 .


D. T  

Lời giải
Chọn D
Ta có: x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 .



x2
x2  2x
x2
, x   \ 1;0 .
f  x 
f
x



2
x 1
 x  1
 x  1

 x2

x2

f  x  
, x   \ 1;0 .
 x 1

 x 1


x2
x2
dx 
f  x   C  , x   \ 1;0 .
x 1
x 1

1 
x2

   x 1
d
x

f  x   C  , x   \ 1;0 .

x 1 
x 1



x2
x2
 x  ln x  1  C  
f  x   C .
2
x 1




x2
x2
 x  ln x  1  C 
f  x  , x   \ 1;0 .
2
x 1

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

3
.
16


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Ta có: f 1  2ln 2  1 và f 1  1  2ln 2  2C  C  1 .

x2
x2
 x  ln x  1  1 
f  x .
2
x 1
3 3
3
3

9 3 3
 f  2    .ln 3 và f  2  a  b ln 3  a  , b   T  a2  b    .
4 4
4
4
16 4 16


Câu 39. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên

 0;   

thỏa mãn 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x  , với

1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
3
hàm số y  f  x  trên đoạn 1; 2 . Tính M  m .
f  x   0, x   0;    và f 1 

A.

9
.
10

B.

21
.

10

5
.
3
Lời giải
C.

D.

7
.
3

Chọn C
Ta có: 3x. f  x   x 2 . f   x   2 f 2  x   3x 2 . f  x   x3 . f   x   2 x. f 2  x 



3 x 2 . f  x   x3 . f   x 
f 2  x

 2 x vì f  x   0, x   0;    .

 x 3 
x3
 

2
x


  2 xdx  x 2  C .

f  x
 f  x 

Mà f 1 

1
x3
 C  2  f  x  2
.
3
x 2

Ta có: f  x  

x3
x4  6x2


f
x

 0, x   0;    .


2
x2  2
 x2  2


Vậy, hàm số f  x  

x3
đồng biến trên khoảng  0;    .
x2  2

Mà 1;2   0;    nên hàm số f  x  

x3
đồng biến trên đoạn 1; 2 .
x2  2

4
1
5
Suy ra, M  f  2   ; m  f 1   M  m  .
3
3
3
Dạng 2. Một số bài toán khác liên quan đến nguyên hàm
Câu 1.

2





(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x x3  4x .

Hàm số F  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6 .

B. 5 .

C. 3 .
Lời giải

D. 4 .

Ta có F   x   f  x 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


















 F  x 2  x  f x 2  x . x 2  x   2x  1 x 2  x e
  2x  1 x  x  1 e

2

2

 x  x   4
2

2

2

 x  x x2  x  2 x2  x  2



2





  2x  1 x  x  1 x  2  x  1 x 2  x  2 e




 x  x





2

 x  x   0  x   2; 1; 1 ;0;1


2

2







F  x 2  x  0 có 5 nghiệm đơn nên F x 2  x có 5 điểm cực trị.

1  cos x   sin x  cot x  dx và S
2

Câu 2.

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho F  x   


sin 4 x

là tổng

 
tất cả các nghiệm của phương trình F  x   F   trên khoảng  0;4  . Tổng S thuộc khoảng
2

A.  6 ;9  .

B.  2 ;4  .

C.  4 ;6  .

D.  0;2  .

Lời giải
Chọn

1  cos x   sin x  cot x  dx  1  cos x  sin x dx  1  cos x  cot x dx
 sin x
 sin x
sin x
1  cos x  cot x dx và B  1  cos x  sin x dx
A
 sin x
sin x
2

2


Ta có: F  x   

4

4

2

Gọi

2

4

2

4

4

Ta có:

1  cos x  cot x dx  1  2 cot x  cot x dx   cot x  2 cot x .d cot x
  


sin x
sin x
2


A

2

3

4

2

 cot 2 x cot 4 x 
 

  C1.
2 
 2

1  cos x  sin x dx  1  cos x  sin x dx
B
 1  cos x
sin x


2

2

4


2

2

Đặt t  cos x , suy ra dt   sin x.dx . Khi đó:

B  

1 t2

t

2

 1

2

dt   

1 t2
2

 t  1 .  t  1

2

dt  

1  1

1 
1 1
1 

dt  


  C2
2
2

2   t  1  t  1 
2  t 1 t  1 

1
1
1

 

  C2
2  cos x  1 cos x  1 
Do đó:

1 1
1   cot 2 x cot 4 x 
F  x  A  B  


C


2  cos x  1 cos x  1   2
2 
Suy ra:

1 1
1   cot 2 x cot 4 x 
 
F  x  F    


C  C

2  cos x  1 cos x  1   2
2 
2


1
1

 cot 2 x  cot 4 x  0
cos x  1 cos x  1

2 cos x cos 2 x cos 4 x


0
sin 2 x sin 2 x sin 4 x
Với điều kiện sin x  0 ,



Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

cos x  0
cos x  0
3

*  

cos x
2
2
3
2  cos x 

0
 2 1  cos x   cos x 1  cos x   cos x  0
2

sin x
cos x  0
cos x  0


2
cos x  1  17


2
cos
x

cos
x

2

0


4

3

3
Theo giả thiết x   0;4  nên x  ; x 
; x   2 ; x 
 2 ;
2
2
2
2
x   ; x    2 ;

x   ; x    2 .
Khi đó tổng các nghiệm này sẽ lớn hơn 9 .
Câu 3.


(Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số

f  x 

2cos x  1
trên khoảng  0;   . Biết rằng giá trị lớn nhất của F  x  trên khoảng  0;   là
sin 2 x

3 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
 
A. F    3 3  4
6

 2
B. F 
 3

3


 2

 
C. F     3
3
Lời giải

 5
D. F 

 6


  3 3


Ta có:

2cos x  1
cos x
1
dx  2 2 dx   2 dx
2
sin x
sin x
sin x
d  sin x 
1
2
 2
  2 dx  
 cot x  C
2
sin x
sin x
sin x

 f  x  dx  

Do F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  


F  x  có công thức dạng F  x   

2cos x  1
trên khoảng  0;   nên hàm số
sin 2 x

2
 cot x  C với mọi x   0;   .
sin x

2
 cot x  C xác định và liên tục trên  0;   .
sin x
2cos x  1
F ' x  f  x 
sin 2 x
2cos x  1
1

 0  cos x   x    k 2  k   .
Xét F '  x   0 
2
sin x
2
3
Xét hàm số F  x   

Trên khoảng  0;   , phương trình F '  x   0 có một nghiệm x 



3

Bảng biến thiên:

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 
max F  x   F     3  C
0;

 
3

Theo đề bài ta có,  3  C  3  C  2 3 .
2
 cot x  2 3 .
Do đó, F  x   
sin x
Câu 4.

Biết F  x là nguyên hàm của hàm số f  x 

x cos x  sin x
. Hỏi đồ thị của hàm số y  F  x có
x2


bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng 0; 4  ?
A. 2 .

C. 3 .
Lời giải

B. 1.

D. 0 .

Chọn C
Ta có F ' x  f  x  
F ' x   f  x  

x cos x  sin x
trên 0; 4  .
x2

x cos x  sin x
 0  x cos x  sin x  0 trên 0; 4  .
x2

Đặt g  x  x cos x  sin x trên 0; 4  .

x  

Ta có g ' x  x.sin x  0   x  2 trên 0; 4  .

 x  3


Từ đó có bảng biến thiên của g  x  :

x

-

g'(x)

g(x)

x1

π

0

0

+



x2



0

-


0

x3



+




0
0


0

0
-3π

Vì g  x  liên tục và đồng biến trên  ; 2  và g  .g  2   0 nên tồn tại duy nhất x1   ; 2 
sao cho g  x1   0 .
Tương tự ta có g  x2   0 , g  x3   0 với x2   2 ;3  , x3  3 ; 4  .
Từ bảng biến thiên của g  x  ta thấy g  x  0 khi x  0; x1  và x   x2 ; x3  ; g  x  0 khi

x   x1 ; x2  và x   x3 ;4  . Dấu của f  x là dấu của g  x trên 0;4  .
Do đó ta có bảng biến thiên của F  x :

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
x

x2

x1

0

0

-

f(x)

+

0

x3
-

0


+


F(x)

CT

CT

Vậy hàm số y  F  x có ba cực trị.
Câu 5.

(Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Biết F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  

x  cos x
. Hỏi đồ
x2

thị của hàm số y  F  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.

B. 2.

C. vô số điểm.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
Vì  F  x    f  x  nên ta xét sự đổi dấu của hàm số f  x  để tìm cực trị hàm số đã cho.
Ta xét hàm số g  x   x  cos x , ta có g   x   1  sin x  0 x .
Vì vậy g  x  là hàm số đồng biến trên toàn trục số.
   
g  2   2  0
  

  
Hơn nữa ta có 
, do đó g  x   0 có duy nhất nghiệm     ;  .
 2 2
g         0
  2 
2
Ta có bảng xét dấu

Kết luận hàm số đã cho có một cực trị.
Câu 6.

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số

y  f '  x  trên

 5;3

như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol

y  ax2  bx  c ).

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Biết f  0  0 , giá trị của 2 f  5  3 f  2  bằng
A. 33.


B.

109
.
3

C.

35
.
3

D. 11.

Lời giải
Chon C
*)Parabol

y  ax2  bx  c qua các điểm  2;3 , 1;4 ,  0;3 ,  1;0 ,  3;0 nên xác định được

y  x2  2x  3, x  1 suy ra f  x   
f  0  0  C1  0, f  x   

x3 2
 x  3x  C1 . Mà
3

x3 2
 x  3x .
3


5
22
; f 2 
(1)
3
3

Có f   1  

*)Đồ thị f ' x trên đoạn  4; 1 qua các điểm  4;2 ,  1;0 nên
f ' x  


2
2  x 2
 x  1  f  x     x   C2 .
3
3  2


Mà f   1  


5
5 2 1
2  x 2
14
.
 C 2        2  f  x  

 x   2 , hay f  4  

3
3
3 3 2
3  2


*) Đồ thị f ' x trên đoạn  5; 4 qua các điểm  4;2 ,  5; 1 nên

f '  x   3x 14  f  x  

3x2
14x  C3 .
2
2

Mà f  4  

3.  4 
14
14
82

 14.  4   C3 
suy ra C 3 
.
3
2
3

3

Ta có f  x  

3x2
82
31
14x   f  5   (2).
2
3
6

Từ (1) và (2) ta được 2 f   5   3 f  2   
Câu 7.

31
35
.
 22 
3
3

f  x

 4 x 2  3 x và
x
f 1  2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  0;   thỏa mãn f   x  


A. y  16 x  20 . B. y  16 x  20 .

C. y  16 x  20 .

D. y  16 x  20 .

Lời giải
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn B

f  x 

f  x
 4 x 2  3 x  xf   x   f  x   4 x3  3 x 2 .
x





Lấy nguyên hàm hai vế ta được: xf  x    4 x3  3x 2 dx  x 4  x3  C .
Với x  1 ta có: f 1  2  C .
Theo bài ra f 1  2  2  C  2  C  0 .
Vậy xf  x   x 4  x3  f  x   x3  x 2 .
Ta có: f   x   3x 2  2 x ; f   2   16 ; f  2   12 .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x  2 là:


y  16  x  2   12  y  16 x  20 .

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: http://diendangiaovientoan.vn/
ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25


Xem Thêm

×