Tải bản đầy đủ (.pdf) (71 trang)

Chuyên đề 18 hàm số mũ hàm số logarit đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.75 MB, 71 trang )

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

Chuyên đề 18

 
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức
 Định nghĩa logarit: 
Cho hai số thực dương  a , b  với  a  1, α  log a b  a α  b : 
 Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương  a, b, c  với  0  a, b, c  1  
log a b 

log c b
log a b
; log a b  log a c  log a bc; log a b  log a c 
;
log a a
log a c  

log a b.log b c  log a c.

0  a  1; b  0 . 

 Phương trình mũ cơ bản nhất  a x  b  x  log a b

 Cách giải phương trình mũ có dạng  α1a 2 x  α2 ab  α3b 2 x  0  trong đó  αi i  1, 2,3  là hệ số, 
x

cơ số  0  a , b  1  


2x
x
a
a
B1: Biến đổi phương trình về dạng:  2α1    α2    α3  0 * . 
 b 
 b 
x
a
B2: Đặt ẩn phụ    t , t  0 , phương trình *  trở thành  α1t 2  α2t  α3  0 . 
 b 

B3: Giải tìm t  thỏa mãn  t  0 . 
x
a
B4: Giải phương trình mũ cơ bản     t . Tìm được  x . 
 b 

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho  x ,  y   là  các  số  thực  dương  thỏa  mãn 
log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Giá trị của 

A. 2 . 

B.

1

2


x
 bằng 
y
3
C. log 2   . 
2
Lời giải

D. log 3 2 . 
2

Chọn B
 x  9t

Đặt  t  log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Khi đó   y  6t
   2.9t  6t  4t  
 2 x  y  4t


 3 t
   1
t
t
t
2
9 3
3 1

      . 

 2.       1  0   
 3 t 1
4 2
2 2


  
 2  2
t

Do đó: 

t

x 9 3 1
       . 
y 6 2 2

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 2.

(Chuyên Lào Cai - 2020) các  số  thực  a ,  b ,  c   thỏa  mãn  (a  2)2  (b  2)2  (c  2)2  8   và 
2 a  3b  6  c . Khi đó  a  b  c  bằng

A. 2 .


B. 4 .

D. 8 . 

C. 2 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có  a  c log 2 6  và  b  c log3 6 . Suy ra 

1 1
1
1 1 1
   . Hay     0 . 
a b
c
a b c

Hay  ab  bc  ca  0 .Suy  ra  a 2  b2  c2  (a  b  c)2   nên  (a  b  c)2  4(a  b  c)  4  0. Vậy 

a  b  c  2 . 
Câu 3.

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho  4 x  4 x  7 . Khi đó biểu thức  P 
a
 là phân số tối giản và  a, b   . Tích  a.b  có giá trị bằng
b
A. 10 .
B. 8 .
C. 8 .

Lời giải
Chọn A
2

2

5  2 x  2 x
a
  với 
x
x
b
8  4.2  4.2

D. 10 . 

2

Ta có  4 x  4 x  7   2 x   2.2 x .2 x   2 x   2  7   2 x  2 x   9  2 x  2 x  3 . 

5   2 x  2 x 
5  2 x  2 x
53
2
1



 . 
Do đó  P 

x
x
x
x
8  4.2  4.2
8  4.  2  2  8  4.3 20 10
Suy ra  a  1, b  10 . 
Vậy  a.b  10 . 
Câu 4.

(Sở Ninh Bình 2019) Cho  a ,  b ,  c  là các số thực khác  0  thỏa mãn  4a  9b  6c . Khi đó 
bằng
1
A. .
2

B.

1
.
6

6.

C.

c c
  
a b


D. 2 .

Lời giải 
Chọn D

a  log4 t

Đặt  t  4  9  6  b  log9 t . 
c  log t
6

c c log6 t log6 t

 log6 t.logt 4  log6 t.logt 9  log6 t  logt 4  logt 9  
Khi đó   
a b log 4 t log9 t
a

b

c

 log6 t.logt 36  log6 36  log6 62  2 .
Câu 5.

Biết  a  log 30 10 ,  b  log 30 150  và  log 2000 15000 
nguyên, tính  S 
A. S 

1


2

x1a  y1b  z1
 với  x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y 2 ; z 2  là các số 
x2 a  y2b  z2

x1

x2
B. S  2 . 

C. S 

2

3

D. S  1 . 

Lời giải
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Chọn A
Ta có  log 2000 15000 

log 30 15000 log 30 150  2 log 30 10


  1  
log30 2000
log 30 2  3log 30 10

Ta có  a  log 30 10  log 30 5  log 30 2  log 30 2  a  log 30 5   2  
b  log 30 150  1  log 30 5  log 30 5  b 1  thay vào  2  ta được  log 30 2  a  b  1  
b  2a
2a  b
 

a  b  1  3a 4a  b  1
x
2 1
Suy ra  S  1   . 
x2 4 2

Ta có  log 2000 1500 

log x y  log y x
Cho các số thực dương  x, y  khác 1 và thỏa mãn  

log x  x  y   log y  x  y 

2
2
Giá trị của  x  xy  y bằng 

Câu 6.


A. 0. 

B. 3. 

C. 1. 
Lời giải

D. 2. 

Chọn D
ĐK:  x  y . 


1


y 
1




log x y  log y x
x
log x y  log y
Ta có  
 
 
 
x

 x  y
log x  x  y   log y  x  y  






log x  x  y   log y  x  y  


log x  x  y   log x1  x  y 
1


1


y
 xy  1
y  x


x


  2
 x 2  xy  y 2  2 . 
2




2
2


 x  y  1


log x  x  y   log x  x  y   0 log x  x  y   0

Câu 7.

Cho  các  số  thực  dương  a ,  b   thỏa  mãn 

log a  log b  log a  log b  100   và 

log a , 

log b ,  log a ,  log b  đều là các số nguyên dương. Tính  P  ab . 
A. 10164.  

B. 10100.  

C. 10 200.  
Lời giải

D. 10144.  

Chọn A

Ta có:  log a  log b  log a  log b  100  

 log a  log b  2 log a  2 log b  200   log a  1   log b 1  202  81  121   *  
2

2

Mà  log a ,  log b ,  log a ,  log b  đều là các số nguyên dương nên 






*  









a  1064

log a  64




 b  10100
log b  1  11 
log
b

100


 
 
 
100


log a  1  11 log a  100 a  10


64



 log b  64
log b  1  9
b  10
log a  1  9

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 


Vậy:  P  ab  1064.10100  10164.  
Câu 8.

mb  nac
.Tính  A  m  2n  3 p  4q  
pc  q
C. 23  
D. 29  
Lời giải

Cho  log 9 5  a; log 4 7  b; log 2 3  c .Biết  log 24 175 
A. 27  

B. 25  

Chọn B
Ta có  log 24 175  log 24 7.52  log 24 7  2 log 24 5 

1
2


3
log 7 3  log 7 2
log5 3  log 5 23
1
1
3


log 2 7.log3 2 log 2 7



1
2

 
log 7 24 log 5 24

1
1
3

log3 7 log 2 7

2

2
1
3

log3 5 log 2 5

1

3

1 2b
2b.

c
1
2
2b
4ac
2b  4ac





c
3
c
3
c

3
c

3
c

3


2b 2b 2ac 2ac
A  m  2n  3 p  4 q  2  8  3  12  25.  
Câu 9.


1
3

log3 5 log 2 3.log3 5





1



 

2
1
3

2a c.2a

Cho  x ,  y  là các số thực lớn hơn  1 thoả mãn  x 2  6 y 2  xy . Tính  M 

1

4

A. M 

B. M  1 . 


C. M 

1

2

 

1  log12 x  log12 y

2 log12  x  3 y 
1
D. M  . 
3

Lời giải
Chọn B 
Ta có  x 2  6 y 2  xy  x 2  xy  6 y 2  0 * . 
Do  x ,  y  là các số thực dương lớn hơn  1 nên ta chia cả 2 vế của  *  cho  y 2  ta 
 x
được  
 y 

2

x
 3
 x  3 y n
y

x
 
 6  0  
 
x
y
x


2
y
l




  2
 y

Vậy  x  3 y  (1). 
Mặt khác  M 

1  log12 x  log12 y
log12 12 xy
 (2). 

2
2 log12  x  3 y 
log12  x  3 y 


Thay (1) vào (2) ta có  M 

log12 36 y 2
1.
log12 36 y 2





Câu 10. Cho  f  x  a ln x  x 2  1  b sin x  6   với  a ,  b   .  Biết  f log log e  2 .  Tính 

f log ln10 . 
A. 4 . 

B. 10 . 

C. 8 . 

D. 2 . 

Lời giải 
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Chọn B 
Đặt  x0  log log e  






Có:  f  x0   a ln x0  x02  1  b sin x0  6  2  

  1 
  f  log log e  f x0   
Ta có  f log ln10  f log 



  log e 
f  x0   a ln









x02  1  x0  b sin  x0   6  a ln x0  x02  1  b sin x0  6  








   a ln x0  x02 1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10 . 


Câu 11. Cho  9 x + 9-x = 14  và 
A. P  10.  

a
6+3(3x +3-x ) a
=  với   là phân số tối giản. Tính  P  a.b.
x+1 1-x
b
2-3 -3
b
B. P  45.  
C. P  10.  
D. P  45.  
Lời giải 

Chọn B 
Ta có 

9 x  9 x  14  32 x  2.32 x.32 x  32 x  16
 3x  3 x   16  3x  3 x  4.
2

 

6  3(3x  3 x ) 6  3(3x  3 x )
6  3(3x  3 x )



2  3x1  31x
2  3.3x  3.3 x 2  3.3x  3 x 


 
6  3.4
18
a
9
      ab  45.
2  3.4
10
b
5

a
Câu 12. Cho hai số thực dương  a, b  thỏa  log 4 a  log 6 b  log9  a  b  . Tính  . 
b
A.

1

2

B.

1 5


2

1  5

2
Lờigiải
C.

D.

1  5

2

Chọn D
Đặt  t  log 4 a  log6 b  log9  a  b  . 

  2  t 1  5
a  4t
  
2t
t

2
 3
2
 2
t
t
t

t
 b  6
 4  6  9       1  0  

t

3
 3
2

1

5


a  b  9t
  
( L)

2
 3 
t

a 4 t  2  1  5

   
b 6t  3 
2

Câu 13. Cho các số thực dương  x, y  thỏa mãn  log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y  . Tính tỉ số 


x

y

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A.

x 2
 . 
y 3

B.

x
2


y
3 1

C.

x

y


2

3 1

D.

x 3
 . 
y 2

Lờigiải
Chọn B

 x  6t

Giả sử  log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y   t . Ta có:   y  9t
 2 x  2 y  4t


(1)
(2) . 
(3)

t

x 6t  2 

    0 . 
y 9t  3 

Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có 

Khi đó 

  2 t
2
(thoûa)
   1  3 
2t
t
3 1
3
2
2


t
t
t


2.6  2.9  4     2.    2  0 
 2 t
3
3


   1  3
(loaïi)
 3 

Câu 14. Cho  x ,  y  là các số thực dương thỏa mãn  log 25

b  là các số nguyên dương, tính  a  b . 
A. a  b  14 . 
B. a  b  3 . 

x
x y
x a  b
 log15 y  log9
 và  
, với  a , 
y
2
2
4

C. a  b  21 . 
Lờigiải

D. a  b  34 . 

Chọn D
x
log 25

2
y

15


x
x y
x
Ta có  log 25  log15 y  log 9
 

log 25
2
4
log x  15 2  log x
25
 9
4
2
2t

Đặt  t  log 25

t

x
5
5
 x  2.25t , ta được  2.25t  15t  4.9t  2       4  
2
3
3
t


 t  log 5
3

1  33
x 2.25t
 5  1  33

 
 2.   
t
4
y
15
2
3

Do đó  a  1 ,  b  33  nên  a  b  34 . 
Câu 15. Cho dãy số   un   thỏa mãn  log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8 ,  n   * . Đặt 
S n  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất  n  thỏa mãn 
A. 18 . 

B. 17 . 

C. 16 . 
Lờigiải

un .S2 n 148


u2n .Sn 75

D. 19 . 

Chọn A
Ta có  n   * ,  log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8  log 3  2u5  63  log 2  un  8n  8  . 
 2u  63  3t
 2u5  63  3t
Đặt  t  log 3  2u5  63     5
( với  n  5 ) 


t
t
un  8n  8  2
u5  32  2
 1  3t  2.2t  t  2  un  8n  4 . Khi đó  u5  36  
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Với  un  8n  4  và  u5  36 , ta có: 
log 3  2u5  63  2 log 4  un  8n  8   log 3  2.36  63  2 log 4  8n  4  8n  8 

 log 3 9  2 log 4 4  2  2  đúng  n   * . 
Ta có:  un 1  un  8  n  1  4   8n  4   8 . Vậy   un   là cấp số cộng có số hạng đầu  u1  4 , công 
sai  d  8 . 
 S n  u1  u2  ...  u n 

 u1  un  .n  4n 2 . 
2


2

Do đó 

un .S 2 n  8n  4  .16n 148
 n  19 . 


u2 n .S n 16n  4  .4n 2 75

Dạng 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất mũ – loagrit (sử dụng phương pháp
bất đẳng thức – biến đổi)
 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
       a, b  0,  thì  a  b  2 ab .  Dấu  "  "  xảy ra khi:  a  b.  
 

    a, b, c  0,  thì  a  b  c  3. 3 abc .  Dấu  "  "  xảy ra khi  a  b  c.  
2

3

 ab
 abc
  Nhiều trường hợp đánh giá dạng:  a.b  
  và  a.b.c  
  
3
 2 



 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
a b
      a, b, x, y,  thì:  (a.x  b. y ) 2  (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ) .  Dấu  "  "  khi     
x y
 

    a, b, c, x, y, z  thì:  (a.x  b. y  c.z ) 2  (a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) .   

Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi: 

a b c
   
x y z

    Nhiều trường hợp đánh giá dạng:  a.x  b. y  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ).  
Hệ quả.  Nếu  a, b, c  là các số thực và  x, y, z  là các số dương thì: 
 

a 2 b 2 (a  b) 2
a 2 b2 c 2 (a  b  c) 2
 và 
: bất đẳng thức cộng mẫu số. 
 
  
x
y
x y
x
y z

x y z

 
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét  các  số  thực  dương  a, b, x, y   thoả  mãn a  1, b  1   và
 
 
a x  b y  ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  2 y  thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. 1;2 .

 5
B.  2;  .
 2

C. 3; 4  .

5 
D.  ;3  .
2 

Lời giải 
Chọn D
Đặt  t  log a b . Vì  a, b  1  nên  t  0 . 

1
1
1  log a b   1  t  . 
2
2

1
1  1
b y  ab  y  logb ab  1  log b a   1   . 
2
2 t 
1
1 3 t 1 3
Vậy  P  x  2 y  1  t   1       2 . 
2
t 2 2 t 2
Ta có:  a x  ab  x  log a ab 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

t 1
  b  a 2 . 
 2 t
3
5 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  2 y bằng  2  thuộc nửa khoảng  ;3  .
 2
  2 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Câu 2.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên  x  sao cho tồn tại số thực  y  thỏa mãn 


log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2  ?
A. 3 .

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. Vô số.

Chọn B
Cách 1:
 x  y  3t
Đặt  t  log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2    2
1 . 
2
t
 x  y  4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 
2

9t   x  y   2  x 2  y 2   4t 

9t
 2  t  log 9 2
4t
2

 


Như vậy, 
x 2  y 2  4 t  x 2  4t  4

log 9 2

 1,89  x  1; 0;1

4

t
t  0
 y  3
 Trường hợp 1:  x  0   2


t
y 1
 y  4

 

t
t  0
 y  3  1
 Trường hợp 2:  x  1   2


t
 y  4  1  y  0

t
t  0
 y  3  1
 Trường hợp 3:  x  1   2

 x 2  y 2  5  mâu thuẫn với 
t
t
y

3

1

2
 y  1  4  1 

x2  y 2  4

log 3 2

 suy ra loại  x  1 . 

2

Vậy có hai giá trị  x  0;1  
Cách 2:
 x  y  3t
Đặt  t  log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2    2
1 . 

2
t
 x  y  4

Suy ra  x, y  là tọa độ của điểm  M  với  M  thuộc đường thẳng  d : x  y  3t  và đường tròn 

 C  : x2  y 2  4t . 
Để tồn tại  y  tức tồn tại  M  nên  d ,  C   có điểm chung, suy ra  d  O, d   R  trong đó 
t

O  0;0  , R  2  nên 

3t
2

 2t  t  log 3 2 . 
2


0  x  y  3
Khi đó  1  
log
 x 2  y 2  4 32


log 3 2
2

2




Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Minh họa quỹ tích điểm  M  như hình vẽ sau 

 
Ta thấy có 3 giá trị  x    có thể thỏa mãn là  x  1; x  0; x  1 . 
Thử lại: 
 y  3t
t  0
 Trường hợp 1:  x  0   2


t
 y  4
y 1
t
t  0
 y  3  1
 Trường hợp 2:  x  1   2


t
 y  4  1  y  0
t
t  0

 y  3  1
 Trường hợp 3:  x  1   2

 x 2  y 2  5  mâu thuẫn với 
t
t
y

3

1

2
y

1

4

1



x2  y 2  4
Câu 3.

log 3 2
2

 suy ra loại  x  1 . 


(Mã 103 2018) Cho  a  0, b  0  thỏa mãn  log 4 a 5b1 16a 2  b 2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 . Giá 
trị của  a  2b  bằng
A. 6

B.

27
4

20
3
Lời giải
C.

D. 9  

Chọn B
Từ giả thiết suy ra  log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  0  và  log 8ab 1  4a  5b  1  0 . 
Áp dụng BĐT Côsi ta có 

log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 log 4 a 5b1 16a 2  b 2  1 .log8ab1  4a  5b  1  
 2log 8ab1 16a 2  b2  1 . 
2

Mặt khác  16a 2  b 2  1   4a  b   8ab  1  8ab  1 a, b  0  , 
suy ra  2 log 8 ab1 16a 2  b 2  1  2 . 
Khi đó  log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2  

log

8ab  1  log8ab1  4a  5b  1
  4 a 5b 1
 
b  4a
3

log 24 a 1  32a 2  1  1
32a 2  24a
a 



4 . 
b  4a
b  4a
b  3
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Vậy  a  2b 
Câu 4.

3
27
6 
.
4
4


(Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm  x  và  y  thỏa mãn  2 x  y.4 x  y 1  3 . Giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức  P  x 2  y 2  4 x  6 y  bằng 
A.

33

4

B.

65

8

49

8
Lời giải
C.

D.

57

8

Chọn
B.
Cách 1:

Nhận xét: Giá trị của  x, y  thỏa mãn phương trình  2 x  y  4 x  y 1  3 1  sẽ làm cho biểu thức  P  
nhỏ nhất. Đặt  a  x  y , từ  1  ta được phương trình 
2
3
4a 1  .a  2   0 . 
y
y

2
3
Nhận thấy  y  4a 1  .a  2   là hàm số đồng biến theo biến  a , nên phương trình trên có 
y
y
nghiệm duy nhất  a 

3
3
 x  y  . 
2
2

65
1  1 65
2

Ta viết lại biểu thức  P   x  y   4  x  y   2  y     . Vậy  Pmin  . 
4 8 8
8

Cách 2:

Với mọi  x, y  không âm ta có 
2 x  y.4 x  y 1  3  x  y.4

x y 

3
2



 x y  3

3
3

  x  y    y.  4 2  1  0  (1) 
2
2




 x y  3

3
3

 0  thì   x  y    y.  4 2  1  0  y.  40  1  0  (vô lí) 
2
2




3
Vậy  x  y  . 
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được 

Nếu  x  y 

2

2

P  x2  y 2  4 x  6 y   x  3   y  2   13  
2

1
13
65
2

  x  y  5   13    5   13 
 
2
22
8


5


3
y


x  y 

4

Đẳng thức xảy ra khi  

2
 x  3  y  2
x  1

4
65
Vậy  min P 

8
Câu 5.

Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn  2 x

2

 y 2 1

  x 2  y 2  2 x  2  4 x .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 


4y
 gần nhất với số nào dưới đây? 
2x  y 1
A. 2 . 
B. 3 . 
C. 5 . 
Lời giải
P

D. 4 . 

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Chọn B
Ta có  2 x
 2

2

 y 2 1

2

x 1  y 2

  x2  y2  2 x  2 4x  2x


2

 y 2 1 2 x

 x2  y2  2x  2  

2

2

  x  1  y 2  1 . Đặt  t   x  1  y 2  t  0  , ta được BPT:  2t  t  1 . 

Đồ thị hàm số  y  2t  và đồ thị hàm số  y  t  1  như sau: 

 
Từ đồ thị suy ra  2  t  1  0  t  1   x  1  y  1 . Do đó tập hợp các cặp số   x; y   thỏa 
2

t

2

mãn thuộc hình tròn   C  tâm  I 1;0  , R  1 . 
Ta có  P 

4y
 2 Px   P  4  y  P  0  là phương trình của đường thẳng  d . 
2x  y 1

Do  d  và   C   có điểm chung   d  I ,  d    R 


3P
2

4P   P  4

2

 1  4 P 2  8 P  16  0  

 1  5  P  1  5 , suy ra giá trị nhỏ nhất của  P  gần nhất với  3 . 
Câu 6.

Cho  các  số  thực  x , y   thỏa  mãn bất  đẳng  thức  log 4 x2 9 y2  2 x  3 y   1 .  Giá  trị  lớn  nhất  của  biểu 
thức  P  x  3 y  là 
A.

3

2

B.

2  10

4

5  10

4

Lời giải
C.

D.

3  10

4

Điều kiện  4 x 2  9 y 2  1 . 
Trường hợp 1:  4 x 2  9 y 2  1 . 

1
3
2 x  1
2
2
 x  3 y   1  P  .  1  
Ta có   2 x    3 y   1  
2
2
3 y  1
Trường hợp 2: 4 x 2  9 y 2  1. 
 
2
2
1 
1 1

Khi đó  log 4 x2 9 y2  2 x  3 y   1  2 x  3 y  4 x 2  9 y 2   2 x     3 y    . 

2 
2 2

1
1 
1 3
P  x  3 y   2 x     3 y    . 
2
2 
2 4
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta được: 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
2
2
2
1 
1 
1    1  
1 
1  5
 2  2 x  2    3 y  2     4  1  2 x  2    3 y  2    8 . 
 
 
 
 
 

 

1
1 
1  3 3  10
Suy ra  P   2 x     3 y    
.   2   
2
2 
2 4
4
 
1
1

5  10
x
2  2 x  2   3 y  2

8
x

6
y

1





20
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi   
. Từ 


 4 x  12 y  3  10
3  10

 y  5  2 10
 x  3 y 
30

4

1  và   2   suy ra giá trị lớn nhất của  P  là 
Câu 7.

3  10

4

1
(Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực  a, b  thay đổi, thỏa mãn  a  , b  1.  Khi 
3
biểu thức  P  log 3a b  log b  a 4  9a 2  81  đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng  a  b  bằng 
A. 3  9 2  

B. 9  2 3  

C. 2  9 2  

Lời giải

D. 3  3 2  

Chọn A
2
1
Do  a 4  9a 2  81  9a 2   a 2  9   0  đúng  a  ;  Dấu bằng xảy ra khi  a  3  
3

2

Suy ra  P  log3a b  log b  3a   log3a b  2 logb 3a  2 2  

 a  3
a  3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  
 
2
b  9
log 3a b  2 logb 3a
Vậy, khi  P  đạt giá trị nhỏ nhất thì  a  b  3  9 2.  
Câu 8.

(Chuyên  Trần  Phú  Hải  Phòng  2019)  Cho  các  số  thực 

a, b, c   thỏa  mãn 

1

3
0  a  1;    b  1;    c  1 .  Gọi  M   là  giá  trị  nhỏ  nhất  của 
8
8
3
b 1  1
c 3  1
P  log a     logb     log c a . Khẳng định nào sau đây đúng? 
16
 2 16  4
 2 16  3
A.

3  M  2 . 

B. M  2 . 

C.

2  M  3 . 

D. M  2 . 

Lời giải 
2

b 1 8b  1 1 8b  1  2b 
    b2 . 
 .
Ta có:   

2 16
16
4 4
 2 
4

c 3 8c  3 1 1 1 8c  3  4c 
    c 4 . 
 
 . . .
2 16
16
2 2 2 2
 4
3
b 1  1
c 3  1
Suy ra  P  log a     log b     log c a  
16
 2 16  4
 2 16  3


3
1
1
2 3
log a b 2  log b c 4  log a c    3. 3
 . 
16

4
3
16 2

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

biểu 

thức 


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Vậy  Pmin

Câu 9.


1

b  4
8b  1  1


3
1

    8c  3  1
 c 


2
2
3

1
 log a b  log b c  log c a

2
3
8
a 

4

Cho các số thực  a, b, m, n  sao cho  2m  n  0  và thoả mãn điều kiện: 
log 2  a 2  b 2  9   1  log 2  3a  2b 

 
4

2
9  m.3 n.3 2 m  n  ln  2m  n  2   1  81



2

 a  m  b  n

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P 

B. 2 . 

A. 2 5  2 . 

2

C. 5  2 . 
Lời giải

D. 2 5

   log 2  a 2  b 2  9   1  log 2  3a  2b   a 2  b2  9  6a  4b  a 2  b2  6a  4b  9  0 1  
Gọi  A  a; b  . Từ  1  ta suy ra điểm  A  thuộc điểm đường tròn   C   có tâm  I  3; 2  , bán kính 

R  2 . 
4

 2 m n 

2
2
   9 m.3 n.32 m n  ln  2m  n  2   1  81  ln  2m  n  2   1  81  3





4
2 m n


   
4

 2 m n  
4
4
2 m n
 81 . 
 2   2m  n  .
 4 3
2m  n
2m  n
4
 2m  n  2 ) 
(Đẳng thức xảy ra khi:    2m  n  
2m  n

Theo bất đẳng thức Cô-si:    2m  n  

2
2
2
Từ     ln  2m  n  2   1  0   2m  n  2   1  1   2m  n  2   0  



 2m  n  2  0   2  . 

Gọi  B  m; n  . Từ   2   ta suy ra điểm  B  thuộc đường thẳng   :  2 x  y  2  0  


 
Ta có:  P 

2

 a  m  b  n 

2

 AB  

 min P  min AB  d  I ;    R 

3.2  2  2
22  12

 2  2 5  2.  

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

1
3
Câu 10. Cho  các  số  thực  a, b, c   thỏa  mãn  0  a  1;    b  1;    c  1 .  Gọi  M   là  giá  trị  nhỏ  nhất  của 
8
8
3
b 1  1

c 3  1
biểu thức  P  log a     logb     log c a . Khẳng định nào sau đây đúng? 
16
 2 16  4
 2 16  3
A.

3  M  2 . 

B. M  2 . 

C.

2  M  3 . 

D. M  2 . 

Lời giải 
Chọn C
2

b 1 8b  1 1 8b  1  2b 
    b2 . 
 .
Ta có:   
2 16
16
4 4
 2 
4


c 3 8c  3 1 1 1 8c  3  4c 
    c 4 . 
 
 . . .
2 16
16
2 2 2 2
 4
3
b 1  1
c 3  1
Suy ra  P  log a     logb     log c a  
16
 2 16  4
 2 16  3


3
1
1
2 3
log a b 2  log b c 4  log a c    3. 3
 . 
16
4
3
16 2

Vậy  Pmin


Câu 11.


1

b  4
8b  1  1


3
1

 c 

    8c  3  1
2
2
3

1
 log a b  log b c  log c a

2
3
8
a 

4


(Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét  các  số  thực  dương  a , b, c   lớn  hơn  1  (  với  a  b )  thỏa  mãn 

4  log a c  logb c   25log ab c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  log b a  log a c  log c b  bằng 
A. 5 . 

B. 8 .   

17

4
Lời giải
C.

D. 3 . 

Chọn A 
Đặt  log c a  x, log c b  y . 
Vì  a, b, c  1  và  a  b  nên suy ra  log c a  log c b  hay  x  y  0 . 

 1
1 
1
4 4
25

Từ giả thiết suy ra:  4 
 
   
  25.
log c ab

x y x y
 log c a log c b 
x
2
y 4
x  y

25
x y 17
     x  4 y  ( vì  x  y ). 

 
        
y x 4
xy
4
x 1
y  4

Ta có:  log b a  log a c  log c b 

 

x 1
log c a
1

 log c b        y  
log c b log c a
y x


x 1
1

 y  42
. y  5 . 
y 4y
4y

1
 và  x  2 , tức là  a  c 2 ; c  b 2  
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng  5 . 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  y 

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Cách khác 
Từ giả thiết suy ra:  4  log a b.log b c  log b c   25.log ab b.log b c  
 log b c  0
log b c
   

   4 log b c  log a b  1  25
25
 4  log a b  1 

log b ab
log b a  1

Do  a, b, c  1  nên  log b c  0 ; suy ra  4 1  log a b 1  log b a   25      log a b 

1

4

Khi đó:  log b a  log a c  log c b  4  2 log a c.log c b  4  2 log a b  5 . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng  5  đạt được khi và chỉ khi  a  b 4 , a  c 2 , c  b 2 . 
Câu 12. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét  các  số  thực  dương  a ,  b ,  x , y   thỏa  mãn 

a  1 ,  b  1 và  a 2 x  b 3y  a 6 b 6 .  Biết  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  P  4 xy  2 x  y có  dạng 
m  n 165 (với  m, n là các số tự nhiên), tính  S  m  n . 
A. 58 . 

B. 54 . 

C. 56 . 
Lời giải

D. 60

Chọn C
Theo bài ra ta có:  a

2x

b


3y







2x  log a a 6 b 6
a 2x  a 6 b 6
 2x  6  6log a b


 a b   3y

 
6 6
6 6
 b  a b
3y  6  6log b a
3y  log b a b
6

6

 x  3 1  log a b 

 
 y  2 1  log b a 

Vì  a ,  b  1 nên  log a b  log a 1  0 . 
Do đó: 
 
P  4 xy  2 x  y  24(1  log a b)(1  log b a )  6  6 log a b  2  2 log b a  
 52  30 log a b  22 log b a  52  2 30 log a b.22 log b a  52  4 165  

11
ba
Vậy  P  đạt giá trị nhỏ nhất là  m  n 165  khi  30 log a b  22 logb a  log a b 
15
m  52
 m  n  56 . 
Ta có:  
n  4
Câu 13.

11
15

 

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn 

log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức  P  2 x  3 y  đạt giá trị nhỏ nhất thì  3x  2 y  a  b 3  
với  a, b  . Tính  T  ab ? 
A. T  9 . 

B. T 

7


3

C. T 

5

3

D. T  7 . 

Lời giải
Chọn C 
x 1  0
x  1
Điều kiện:  

 
 y 1  0
y 1
Khi đó:  log 2  x  1  log 2  y  1  1   x  1 y  1  2  y  1 

2
2
 y
 1 
x 1
x 1

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

6
6
 3  2  x  1 
5 
x 1
x 1
Cách 1: Dùng bất đẳng thức 
Suy ra:  P  2 x  3 y  2 x 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  2  x  1 

 2  x  1 

6
 4 3  P  4 3 5 
x 1

Dấu “=” xảy ra   2  x  1 

y

6
6
 2 2  x  1 .
 
x 1

x 1

x  1 3  N 
6
2
  x  1  3  x  1  3  
 
x 1
 x  1  3  L 

2
2 3 3

1 
3
3

 2 3 3
5
5
5
3  a  1; b   T  ab  . 
Do đó:  3x  2 y  3 1  3  2 
  1 
3
3
3
 3 
Cách 2: Dùng bảng biến thiên 
6

6
 3  P'  2 
Ta có:  P  2 x 
 
2
x 1
 x  1





x  1 3  N 
P'  0  
 
 x  1  3  L 
Bảng biến thiên 

 
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  Pmin  4 3  5  x  1  3  y 

2 3 3

3

 2 3 3
5
5
5
3  a  1; b   T  ab  . 

Do đó:  3x  2 y  3 1  3  2 
  1 
3
3
3
 3 



Câu 14.

(Chuyên

Phan



Bội

Châu

-

Nghệ

An

-

2020)


Cho 

a  0, b  0   thỏa  mãn 

log 4 a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 . Giá trị của  a  2b  bằng
2

A.

2

27

4

B. 6 . 

20

3
Lời giải 

C.

D. 9 . 

Chọn
A.
Ta có:  a  0, b  0  


Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 





2
2
4a  5b  1  1 log 4a 5b1 16a  b  1  0
Nên  
 

8ab  1  1
log8ab1  4a  5b  1  0

P  log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1  log 8 ab 1  4a  5b  1  2 log 4 a 5b 1 16a 2  b 2  1 .log 8 ab 1  4a  5b  1
 P  2 log 8 ab 1 16a 2  b 2  1

Mặt khác: 
16a 2  b 2  1  2 16a 2b 2  1  8ab  1  P  2 log 8 ab 1  8ab  1  2  
3

16a 2  b 2
 4a  b
a 




 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:  
8ab  1  4a  5b  1  2b  1  6b  1 b  3


Do đó  a  2b 
Câu 15.

27

4

(Chuyên Sơn La - 2020) Cho  a, b, c   là  các số  thực  lớn  hơn  1 .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 
P

4040
1010
8080


 bằng
log bc a log ac b 3log ab 3 c

A. 2020 .

B. 16160 .


C. 20200 .
Lời giải

D. 13130 . 

Chọn C

4040
1010
8080
4040
1010
8080
 





3
1
1
log bc a log ac b 3log ab c 2 log bc a
log ac b 3. log ab c
2
3
 2020 log a bc  2020 log b ac  8080 log c ab  

Ta có  P 


 2020  log a b  log a c   2020  log b a  log b c   8080  log c a  log c b   

 2020 log a b  2020 log b a  2020 log a c  8080 log c a  2020 log b c  8080 log c b  
Vì  a, b, c  1  nên các số  log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b  0  
Khi đó ta có 
2020 log a b  2020 log b a  2 20202 log a b log b a  4040  
2020 log a c  8080 log c a  2 40402 log a c log c a  8080  

2020 log b c  8080 log c b  2 4040 2 log b c log c b  8080  

Suy ra  P  4040  8080  8080  20200  
Câu 16.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho  a, b, c   là  các  số  thực  dương  khác  1  thỏa  mãn 

c
c
 2 log b  3 . Gọi  M , m   lần  lượt là  giá trị  lớn  nhất, giá  trị  nhỏ  nhất  của 
b
b
P  log a b  log b c . Giá trị của biểu thức  S  3m  M  bằng 

log 2a b  log b2 c  log a

A. 16 . 

B. 4 . 

C. 6 . 
Lời giải


D. 6 . 

Chọn C
Biến đổi đẳng thức đề bài ta được 
c
c
log 2a b  log b2 c  log a  2 logb  3  log 2a b  logb2 c  log a c  log a b  2 logb c  1
b
b
 
2
2
                                                           log a b  logb c  log a b.logb c  log a b  2 logb c  1
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Đặt  u  log a b; v  log b c  ta có phương trình 

u 2  v 2  uv  u  2v  1  
 u 2  2uv  v 2  u 2  2u  1  v 2  4v  4  3  
 (u  v)2  (u  1)2  (v  2)2  3       (*)  
Ta có bất đẳng thức quen thuộc  x 2  y 2 

1
( x  y ) 2  dấu bằng xảy ra khi  x   y , áp dụng bất 
2


đẳng thức này ta có 

1
1
(u  1) 2  (v  2) 2  (u  1  v  2)2  (u  1) 2  (v  2)2  (u  v  1)2  (**) 
2
2
1
Từ (*) và (**) ta có  3  (u  v )2  (u  v  1) 2  hay 
2
1
5
3  P 2  ( P  1)2  3P 2  2 P  5  0  1  P   
2
3
5
Vậy  m  1, M   suy ra  S  m  3M  6 . 
3
Câu 17.

(Sở Hưng Yên - 2020) Cho  các  số  thực  x, y  1   và  thỏa  mãn  điều  kiện  xy  4 .  Biểu  thức 

P  log 4 x 8 x  log 2 y 2
sau đây đúng 
A. T  131 . 

y2
4
4
đạt  giá  trị  nhỏ  nhất  tại  x  x0 , y  y0 .  Đặt  T  x0  y0   mệnh  đề  nào 

2
B. T  132 . 

C. T  129 . 
Lời giải 

D. T  130 . 

Chọn D

Ta có  P  log 4 x 8 x  log 2 y 2

y2
y 2 log 2 8 x log 2 2
3  log 2 x 2log 2 y  1





2
2  log 2 x 2log 2 y  1
2 log 2 4 x log 2 2 y

3  a 2b  1
1
2





2  a 2b  1 2  a 2b  1
Vì  xy  4  suy ra  log 2 x  log 2 y  2  a  b  2  0  a  2  b  
Đặt  log 2 x  a ,  log 2 y  b  ( a, b  0 ), ta được  P 

1
2
1
2




2  a 2b  1 4  b 2b  1
1
2
Xét hàm  f (b) 
 trên   0; 2 ,ta có: 

4  b 2b  1
1
4
 
f (b) 

2
2
 4  b   2b  1
Suy ra  P 


2

f   b   0   2b  1  4(4  b) 2  0  b 
Ta có:  f  0  

7

4

9
9
7 8
, f  2   , f    . 
4
10  4  9

1
1
1



log 2 x 
4
4

x

2
x


2
8
 0

4 
Suy ra trên đoạn   0; 2  ta có:  min P   
 



7
7
7
9
 y  24
 y  24
log y 

 0
 2
4
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 



1

4



4



7
4



4

Vậy  T  x04  y04   2    2   130 . 



Câu 18.







(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương  a , b , c  thỏa mãn  abc  10 . Biết giá trị lớn nhất của 
biểu thức  F  5 log a.log b  2 log b.log c  log c.log a  bằng 
giản. Tổng  m  n  bằng

A. 13.
B. 16.

m
m
 với  m , n  nguyên dương và   tối 
n
n

C. 7.
Lời giải

D. 10.

Chọn C
x
log a  x a  10


Đặt  log b  y  b  10 y , mà  abc  10  10 x.10 y.10 z  10  x  y  z  1 * . 
log c  z

z

c  10
Ta có  F  5log a.log b  2 log b.log c  log c.log a  5 xy  2 yz  zx . 

Từ  *  y  1  x  z , thay vào biểu thức  F , ta được: 

F  5 x 1  x  z   2 1  x  z  z  xz  2 z 2  5 x 2  6 xz  2 z  5 x  

9 2 1
1
5
x   6 xz  2 z  3x  x 2  2 x  2   
2
2
2
2
9
1
3  1
5

 2  z 2  x 2   3xz  z  x    x 2  4 x  4    
4
4
2  2
2


 2 z 2 

2

3
1 1
5 5
2

 2  z  x     x  2    . 

2
2 2
2 2


3

x  y  z  1
y  2
 3

1
5

Vậy  max F   khi và chỉ khi   z  x   0   x  2 . 
2
2
 2

5
 x  2  0
z  
2

Vậy  m  5, n  2  m  n  5  2  7.
Câu 19.

(Lê

Lai


-

Thanh

Hóa

-

2020)

Cho 

a  0, b  0  

thỏa 

mãn 

log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 ab 1 10a  3b  1  2 . Giá trị biểu thức  a  2b  bằng? 

A. 6. 

B.

11

2

5


2
Lời giải

C.

D. 22. 

Chọn B
Với  a  0, b  0  ta có  25a 2  b 2  1  10ab  1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  b  5a . 
Suy ra  log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 a 3b 1 10ab  1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  b  5a . 
Mặt khác, ta lại có với  a  0, b  0  thì  log10 a 3b1 10ab  1  0,log10 ab1 10a  3b  1  0 . 
Do đó: 
log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 ab 1 10a  3b  1  log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1  

 2 log10 a 3b1 10ab  1 .log10 ab1 10a  3b  1  2  
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

5

b

b  5a
b

5

a






log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1
10a  3b  1  10ab  1
a  1

2
11
 a  2b 
2  
Câu 20.

(Liên trường Nghệ An - 2020) Cho  các  số  thực  dương  a; b; c   khác  1  thỏa  mãn 

c
c
 log a 3 . Gọi  M , m  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 
b
ab
P  log a ab  log b bc . Tính giá trị biểu thức  S  2m2  9M 2 .

log 2a b  log b2 c  2 log b

A. S  28 .


B. S  25 . 

C. S  26 .
Lời giải

D. S  27 .

Chọn D
Đặt  x  loga b; y  logb c,  x; y  0  loga c  xy  P  loga ab  logb bc  x  y  x  P  y  

log 2a b  logb2 c  2logb

c
c
 log a 3  x 2  y 2  2 y  2  xy  3  x
b
ab

2

Khi đó ta có   P  y   y 2  2 y  2   P  y  y  3   P  y 



 y 2   P  3 y  P 2  P  1  0
Phương trình có nghiệm khi    0  3P 2  2 P  5  0  1  P 

5
5
 m  1; M   S  27  

3
3

1
1
1



log 2 x 
4
4

x

2
x

2
8


 0
4
Nên giá trị nhỏ nhất của  P  là   


 T  x0 4  y0 4  130  

7

7
9
log y  7

 y  24
4
y  2
 0
 2
4
Câu 21.

(Lý

Nhân

Tông

-

Bắc

Ninh

-

2020)

Cho 


a  0, b  0  

thỏa 

mãn 

log 4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  2 . Giá trị của  a  2b  bằng 
A. 9 . 

B. 6 . 

27

4
Lời giải 
C.

D.

20

3

Chọn C
Theo bất đẳng thức Côsi với  a  0, b  0  ta có: 

16a2  b2  1  2 16a2 b2  1  8ab  1  16a2  b2  1  8ab  1  (*) 
Do  4a  5b  1  1  nên từ (*) có: 
log 4 a5 b1 (16a2  b2  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  log 4 a5b1 (8ab  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  


 log 4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  log4 a5b1 (8ab  1) 
Mặt khác  4a  5b  1  1  và  8ab  1  1 nên:  log 4 a5b1 (8ab  1) 

1
 
log 4 a5 b1 (8ab  1)

1
 2 . 
log4 a5 b1 (8ab  1)

Suy ra  log 4 a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  2 . 

Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

16a2  b2
b  4a

a  3

 2
Đẳng thức xảy ra khi  4a  5b  1  8ab  1  2b  6b  0  
4 . 



a, b  0

a, b  0
b  3
Vậy  a  2b 
Câu 22.

27

4

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét  các  số  thực  a , b, x, y   thỏa  mãn  a  1, b  1   và 
ax  by 

a
. Giá trị lớn nhất của biểu thức  P  x  2 y  thuộc tập nào dưới đây?
b

 1
A.  0;  .
 2

1

B.  1;   .
2


 3
C. 1;  .
 2
Lời giải 


3 5 
D.  ;  .
2 2 

Chọn A
1
 x


a
a
a 
 x  log a
 x  2 1  log a b 
b
b



Từ giả thiết ta có:  


 


b y  a
 y  log a
 y  1  1  1
b




2  log a b 
b
b
Đặt  t  log a b . Vì  a  1, b  1 , nên  t  0 . 
Khi đó: P 

1
1
3 t 1 3
t 1
3
t 1 32 2
 
1  t     1           2.  
2
t
2
2
t
2
2
t
2
2
t
2






Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Câu 23.

3 2 2
t 1
 1
 0, 086   0;  .
  t  2    t  0  .  Pmax 
2
2 t
 2

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho  biểu  thức  P  3 y  2 x 3 (1  4 2 x  y 1 )  2 2 x  y 1   và  biểu  thức 
Q  log y 3 2 x 3 y . Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn  P  1  và  Q  1  là số  y0 . 

Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. 4 y0  1 là số hữu tỷ. B. y0 là số vô tỷ. 
C. y0 là số nguyên dương.

D. 3 y0  1 là số tự nhiên chẵn. 
Lời giải

Chọn A
 y  2x  3  0
Điều kiện  


y  0
P  3 y  2 x 1.(1  42 x  y 1 )  22 x  y 1  3 y  2 x 1.(1 

Đặt  t  y  2 x  1  ta có  P  3t (1 
Cho  P  1  3t (1 

1
4

2 x  y 1

)

1
2

y  2 x 1



1
1
) t . 
t
4
2

1
1
)  t  1  12t  3t  4t  2t (1).  

t
4
2

* Với  t  0  thỏa mãn (1). 
* Với  t  0  ta có 

12t  4t 
t
t
t
t
  12  3  4  2  (1) thỏa mãn. 
t
t
3  2 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

12t  4t 
t
t
t
t
* Với  t  0  ta có 
  12  3  4  2  (1) không thỏa mãn. 
t
t

3  2 
Vậy  (1)  t  0  hay  y  2 x  1  0 (a). 
Vì 

y  2x 1  0   

y  2x  3  2  1 

nên 

Q  log   y  2 x 1 3 y  1  3 y  y  2 x  3  2 x  2 y  3 (b). 

 y  2x 1  0

Từ (a), (b) và điều kiện ta có   2 x  2 y  3 .  
y  0


Cặp số  ( x; y)  thỏa mãn hệ được biểu diễn ở miền không bị gạch ở hình bên. Điểm A thuộc miền 
2
không bị gạch và có  ymin  .  
3

 
2
11
Vậy  y0  .  Do đó  4 y0  1   .  
3
3


Câu 24.

(Trường VINSCHOOL - 2020) Cho  dãy  số   un    có  số  hạng  đầu  u1  1   thỏa  mãn 

log 22  5u1   log 22  7u1   log 22 5  log 22 7   và  un 1  7un   với  mọi  n  1.  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  n   để 
un  1111111  bằng: 
A. 11 . 

B. 8 . 

C. 9 . 
Lời giải

D. 10 . 

Chọn D 
Ta có  un 1  7un , n  1   un   là một cấp số nhân với số hạng đầu là  u1 , công bội  q  7 . 
2

2

log 22  5u1   log 22  7u1    log 2 5  log 2 u1    log 2 7  log 2 u1   

 log 22 5  2.log 2 5.log 2 u1  log 22 u1  log 22 7  2.log 2 7.log 2 u1  log 22 u1  

 2log 22 u1  2.  log 2 5  log 2 7  .log 2 u1  log 22 5  log 22 7  
 2 log 22 u1  2.log 2 35.log 2 u1  log 22 5  log 22 7  log 22 5  log 22 7  

 2log 22 u1  2.log 2 35.log 2 u1  0  2log 2 u1.  log 2 u1  log 2 35  0  
u1  1  loai 

log 2 u1  0
1


 u1 
 nhan  . 
35
log 2 u1  log 2 35  0
log 2 u1   log 2 35
Số hạng tổng quát của dãy số là  un  u1.q n 1 

1 n 1
1 n 1 1 n  2
.7 
.7  .7 . 
35
5.7
5

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

1
un  1111111  .7 n  2  1111111  7 n  2  5555555  n  2  log 7 5555555  
5
 n  log 7 5555555  2 . Vì  n     nên giá trị nhỏ nhất của  n  bằng  10 . 

Câu 25.


(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét  các  số  thực  x, y   thỏa  mãn 
log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức  P  2 x  3 y  đạt giá trị nhỏ nhất thì  3x  2 y  a  b 3  

với  a, b   . Tính  T  ab .
B. T 

A. T  9 . 

7
.
3

C. T 

5

3

D. T  7 . 

Lời giải
Chọn C

 x, y  1
x  1


Ta có  log 2  x  1  log 2  y  1  1  


2

2 . 
y

1

y

1



x 1
x 1

6
 2

 1  2  x  1 
 5  2 12  5 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ 
Khi đó  P  2 x  3 y  2 x  3 
x 1
 x 1 
khi 

x  1
x 1  3

6

2 
5 3




 1

2  x  1 
2  3x  2 y  3 1  3  2 1 

x 1
3
3


 y  1
3

2

y

1


x 1
5
5
Vậy  a  1, b   nên  T  . 

3
3





Câu 26. Xét  các  số  thực  a ,  b ,  c  0   thỏa  mãn  3a  5b  15 c .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức 

P  a 2  b2  c2  4(a  b  c)  thuộc tập hợp nào dưới đây? 
A.  1; 2  . 

C.  2; 4  . 

B.  5; 1 . 

D.  4;6  . 

Lời giải 
Chọn B
a

b

Đặt  3  5  15

c

 a  log 3 t


 t  0  b  log 5 t . Khi đó 
 c   log t
15


2
P  log32 t  log52 t  log15
t  4(log3 t  log5 t  log15 t )  





2
 log 32 t 1  log 52 3  log15
3  4 log 3 t 1  log5 3  log15 3  





2
 X 2 1  log 52 3  log15
3  4 X 1  log 5 3  log15 3 , (với  X  log3 t ) 

 2 1  log5 3  log15 3 
Pmin  P 
  4 , 
2
2

 1  log5 3  log15 3 
khi  log3 t 

2 1  log5 3  log15 3
2
1  log52 3  log15
3

t

21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3

 

Suy ra 
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

a

2 1  log5 3  log15 3
2
1  log52 3  log15
3


b  log5

21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3

c   log15

21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3



Câu 27. Xét các số thực dương  a ,  b ,  c ,  x , y ,  z  thỏa mãn  a  1 ,  b  1 ,  c  1  và  a x  b y  c z  abc . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  z 
A. 10;13 . 

B.  7;10  . 

1
 thuộc tập hợp nào dưới đây? 
2
C. 3;5  . 
D. 5;7  . 

Lời giải 
Chọn D

Từ giả thiết ta có 
1
1
1
x  1  log a b  loga c  ,  y  1  log b a  log b c  ,  z  1  logc b  logc a  . Khi đó ta có 
2
2
2
2 P  4  log a b  log b a  log a c  log c a  log b c  log c b . 
Vì  a  1 ,  b  1 ,  c  1 nên  log a b  0 ,  log b c  0 ,  log c a  0 ,  log b a  0 ,  log c b  0 ,  log a c  0 . 
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được 

loga b  logb a  2 loga b.logb a  hay  log a b  log b a  2 . 
Tương tự  log a c  logc a  2  và  log b c  logc b  2 . 
Do đó  2P  10  hay  P  5 . Dấu  "  "  xảy ra khi và chỉ khi  a  b  c . 
Vậy giá trị nhỏ nhất  Pmin  5 . 
2

2

Câu 28. Xét  các  số  thực  dương  a, b, x, y   thỏa  mãn  a  1, b  1   và  a x  b y  a.b .  Giá  trị  nhỏ  nhất  của 
biểu thức  P  x. y  là 
A. P 

9
.
4

B. P 


6
.
2

C. P 

3
.
2

D. P 

4

9

Lời giải 
Chọn B
1
 2 1
x  log a b 


2

a x  b y  a.b  
1
 y 2  log a  1
b


2
2
2

2

1  1
1 1 1
1
2
1
+)  xy    log a b    log b a         log a b  log b a     
2  2
2 4 2
4
2
3
  ( a, b  1  log a b  0,logb a  0 ). 
2

Vì  x  0, y  0  xy 

6
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b .
2

Câu 29. Xét các số thực dương  a , b, x, y  thỏa mãn  a  1, b  1  và  a

x2
y


y2

 b x  ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu 

thức  P  x. y  là 
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

A. P  2 .

B. P  4 .

C. P  3 .
Lời giải 

D. P  1 . 

Chọn B
x

2

y2

a y b x

 x2

 y  1  log a b


 ab  
2
y
  1  log a
b
 x

Ta có  xy 

x2 y 2
.  1  log a b 1  log a b   
y x

 1  1  log a b  log b a  

 4 ( a, b  1  log a b  0, logb a  0 ). 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b . 
Câu 30. Xét các  số  thực  dương  a , b, c , x, y , z   thỏa  mãn  a  1, b  1, c  1, y  2   và  a x 1  b y  2  c z 1  abc . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  z  là 
A. P  13 .

B. P  3 .

C. P  9 .
Lời giải 

D. P  1 . 


Chọn C
a

x 1

b

y 2

c

z 1

 x  1  1  log a b  log a c

 abc   y  2  1  log b a  log b c . 

 z  1  1  log c b  log c a

Ta có:  x  1  y  2  z  1  3  log a b  log a c  logb c  logb a  log c b  log c a  
 x  y  z  3 6 

 P  9 ( a, b, c  1  log a b  0,log a c  0,logb a  0,logb c  0,logc a  0,logc b  0 ). 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  a  b  c . 
Dạng 3. Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit
1. Định lý: Nếu hàm số  y  f  x   đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên   a; b   thì 
*  u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v . 
* Phương trình  f  x   k  k  const   có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng   a; b  . 

2. Định lý: Nếu hàm số  y  f  x   đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên   a; b  , đồng thời 
lim f  x  . lim f ( x)  0  thì phương trình  f  x   k  k  const   có duy nhất nghiệm trên   a; b  . 

xa

x b

3. Tính chất của logarit:
1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:
Cho số dương  a  1  và các số dương  b, c . 

1.2. Hệ quả:
Cho số dương  a  1  và các số dương  b, c . 

  Khi  a  1  thì  log a b  loga c  b  c . 

  Khi  a  1  thì  log a b  0  b  1 . 

  Khi  0  a  1  thì  log a b  loga c  b  c . 

  Khi  0  a  1  thì  log a b  0  b  1 . 

 

   log a b  loga c  b  c .

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25



Xem Thêm

×