Tải bản đầy đủ

Chuyên đề 18 hàm số mũ hàm số logarit câu hỏi

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT

Chuyên đề 18

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức
 Định nghĩa logarit:
Cho hai số thực dương a , b với a  1, α  log a b  a α  b :
 Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương a, b, c với 0  a, b, c  1
log a b 

log c b
log a b
; log a b  log a c  log a bc; log a b  log a c 
;
log a a
log a c

log a b.log b c  log a c.


0  a  1; b  0 .

 Phương trình mũ cơ bản nhất a x  b  x  log a b

 Cách giải phương trình mũ có dạng α1a 2 x  α2 ab  α3b 2 x  0 trong đó αi i  1, 2,3 là hệ số,
x

cơ số 0  a , b  1
2x
x
a
a
B1: Biến đổi phương trình về dạng: 2α1    α2    α3  0 * .
 b 
 b 
x
a
B2: Đặt ẩn phụ    t , t  0 , phương trình * trở thành α1t 2  α2t  α3  0 .
 b 

B3: Giải tìm t thỏa mãn t  0 .
x
a
B4: Giải phương trình mũ cơ bản    t . Tìm được x .
 b 

Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho
log 9 x  log 6 y  log 4  2 x  y  . Giá trị của

y

là các số thực dương thỏa mãn

x
bằng
y


3
C. log 2   .
D. log 3 2 .
2
2
2
(Chuyên Lào Cai - 2020) các số thực a , b , c thỏa mãn (a  2)  (b  2) 2  (c  2) 2  8 và
A. 2 .

Câu 2.

x,

B.

1
.
2

2 a  3b  6  c . Khi đó a  b  c bằng

A. 2 .
Câu 3.

B. 4 .

C. 2 2 .

(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho 4 x  4 x  7 . Khi đó biểu thức P 
a
là phân số tối giản và a, b   . Tích a.b có giá trị bằng
b
A. 10 .
B. 8 .
C. 8 .

Câu 4.

D. 8 .
5  2 x  2 x
a
 với
x
x
b
8  4.2  4.2

D. 10 .

(Sở Ninh Bình 2019) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a  9b  6c . Khi đó
bằng
1
A. .
2

B.

1
.
6

C.

6.

c c

a b

D. 2 .

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 5.

Biết a  log 30 10 , b  log 30 150 và log 2000 15000 
nguyên, tính S 

x1a  y1b  z1
với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y 2 ; z 2 là các số
x2 a  y2b  z2

x1
.
x2

2
.
D. S  1 .
3
log x y  log y x
Câu 6. Cho các số thực dương x, y khác 1 và thỏa mãn 
.
log x  x  y   log y  x  y 

Giá trị của x 2  xy  y 2 bằng
A. S 

1
.
2

A. 0.
Câu 7.

B. S  2 .

C. S 

B. 3.

C. 1.

Cho các số thực dương a , b thỏa mãn

D. 2.

log a  log b  log a  log b  100 và

log a ,

log b , log a , log b đều là các số nguyên dương. Tính P  ab .
A. 10164.
Câu 8.

Câu 9.

C. 10 200.
D. 10144.
mb  nac
Cho log 9 5  a; log 4 7  b; log 2 3  c .Biết log 24 175 
.Tính A  m  2n  3 p  4q
pc  q
A. 27
B. 25
C. 23
D. 29
1  log12 x  log12 y
Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x 2  6 y 2  xy . Tính M 
.
2 log12  x  3 y 
A. M 

Câu 10. Cho

B. 10100.

1
.
4

B. M  1 .





f  x   a ln x  x 2  1  b sin x  6

C. M 
với

1
.
2

1
D. M  .
3

a , b   . Biết

f log log e  2 . Tính

f log ln10 .
A. 4 .

B. 10 .
x

C. 8 .

D. 2 .

-x

a
6+3(3 +3 ) a
= với
là phân số tối giản. Tính P  a.b.
x+1 1-x
b
2-3 -3
b
A. P  10.
B. P  45.
C. P  10.
D. P  45.
a
Câu 12. Cho hai số thực dương a, b thỏa log 4 a  log 6 b  log9  a  b  . Tính .
b
Câu 11. Cho 9 x + 9-x = 14 và

1
.
2

1  5
.
2
x
Câu 13. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 6 x  log 9 y  log 4  2 x  2 y  . Tính tỉ số ?
y
x 2
x
2
x
2
x 3
A.  .
B. 
.
C. 
.
D.  .
y 3
y
y
y 2
3 1
3 1
A.

B.

1 5
.
2

C.

Câu 14. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 25

1  5
.
2

D.

x
x y
x a  b
 log15 y  log9
và 
, với a ,
2
4
y
2

b là các số nguyên dương, tính a  b .
A. a  b  14 .
B. a  b  3 .
C. a  b  21 .
D. a  b  34 .
*
Câu 15. Cho dãy số  un  thỏa mãn log3  2u5  63  2log 4  un  8n  8 , n   . Đặt
S n  u1  u2  ...  un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn

un .S2 n 148
.

u2n .Sn 75

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 18 .

B. 17 .

D. 19 .

C. 16 .

Dạng 2. Bài toán tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất mũ – loagrit (sử dụng phương pháp
bất đẳng thức – biến đổi)
 Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
 a, b  0, thì a  b  2 ab . Dấu "  " xảy ra khi: a  b.
 a, b, c  0, thì a  b  c  3. 3 abc . Dấu "  " xảy ra khi a  b  c.
2

3

 ab
 abc
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.b  
 và a.b.c  
 
3
 2 


 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
a b
 a, b, x, y, thì: (a.x  b. y ) 2  (a 2  b 2 )( x 2  y 2 ) . Dấu "  " khi  
x y
 a, b, c, x, y, z thì: (a.x  b. y  c.z ) 2  (a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) .

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi:

a b c
  
x y z

Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b. y  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ).
Hệ quả. Nếu a, b, c là các số thực và x, y, z là các số dương thì:
a 2 b 2 (a  b) 2
a 2 b2 c 2 (a  b  c) 2
 
  

: bất đẳng thức cộng mẫu số.
x
y
x y
x
y z
x y z

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét các số thực dương a, b, x, y thoả mãn a  1, b  1 và
ax  by 

ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  2 y thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. 1;2 .
Câu 2.

 5
B.  2;  .
 2

C. 3; 4  .

5 
D.  ;3  .
2 

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

log 3 ( x  y )  log 4  x 2  y 2  ?
A. 3 .
Câu 3.

B. 2 .

C. 1 .

D. Vô số.

(Mã 103 2018) Cho a  0, b  0 thỏa mãn log 4 a 5b 1 16a 2  b2  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 . Giá
trị của a  2b bằng
A. 6

Câu 4.

B.

27
4

C.

20
3

D. 9

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2 x  y.4 x  y 1  3 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  4 x  6 y bằng
A.

Câu 5.

33
.
4

B.

65
.
8

Xét các số thực x, y thỏa mãn 2 x
P

C.
2

 y 2 1

49
.
8

D.

57
.
8

  x 2  y 2  2 x  2  4 x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4y
gần nhất với số nào dưới đây?
2x  y 1

A. 2 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 4 .

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 6.

Cho các số thực x , y thỏa mãn bất đẳng thức log 4 x2 9 y2  2 x  3 y   1 . Giá trị lớn nhất của biểu
thức P  x  3 y là
A.

Câu 7.

3
.
2

B.

2  10
.
4

C.

5  10
.
4

D.

3  10
.
4

1
(Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a  , b  1. Khi
3
biểu thức P  log 3a b  log b  a 4  9a 2  81 đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a  b bằng
A. 3  9

Câu 8.

2

(Chuyên

B. 9  2
Trần

Phú

Hải

3

C. 2  9 2

Phòng

2019)

Cho

D. 3  3 2
các

số

thực

a, b, c

1
3
 b  1;  c  1 . Gọi
là giá trị nhỏ nhất của
M
8
8
3
b 1  1
c 3  1
P  log a     logb     log c a . Khẳng định nào sau đây đúng?
16
 2 16  4
 2 16  3

0  a  1;

A.
Câu 9.

3  M  2.

B. M  2 .

C.

2 M  3.

thỏa

mãn

biểu

thức

D. M  2 .

Cho các số thực a, b, m, n sao cho 2m  n  0 và thoả mãn điều kiện:
log 2  a 2  b 2  9   1  log 2  3a  2b 

4

2
9 m.3 n.3 2 m  n  ln  2m  n  2   1  81




Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
A. 2 5  2 .

2

 a  m  b  n

B. 2 .

C.

2

5 2.

D. 2 5

1
3
 b  1;  c  1 . Gọi M là giá trị nhỏ nhất của
8
8
3
b 1  1
c 3  1
biểu thức P  log a     logb     log c a . Khẳng định nào sau đây đúng?
16
 2 16  4
 2 16  3

Câu 10. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0  a  1;

A.
Câu 11.

3  M  2.

B. M  2 .

C.

2 M  3.

D. M  2 .

(Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét các số thực dương a , b, c lớn hơn 1 ( với a  b ) thỏa mãn

4  log a c  logb c   25log ab c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức log b a  log a c  log c b bằng
A. 5 .

B. 8 .

C.

17
.
4

D. 3 .

Câu 12. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn

a  1, b  1 và a 2 x  b 3y  a 6 b 6 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4 xy  2 x  y có dạng
m  n 165 (với m, n là các số tự nhiên), tính S  m  n .
A. 58 .
Câu 13.

B. 54 .

C. 56 .

D. 60

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn

log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức P  2 x  3 y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x  2 y  a  b 3
với a, b  . Tính T  ab ?
A. T  9 .

B. T 

7
.
3

C. T 

5
.
3

D. T  7 .

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 14.

(Chuyên

Phan

Bội

Châu

-

Nghệ

An

-

Cho

2020)

a  0, b  0

thỏa

mãn

log 4 a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  2 . Giá trị của a  2b bằng
2

A.
Câu 15.

2

27
.
4

B. 6 .

20
.
3

D. 9 .

(Chuyên Sơn La - 2020) Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

4040
1010
8080


bằng
log bc a log ac b 3log ab 3 c

A. 2020 .
Câu 16.

C.

B. 16160 .

C. 20200 .

D. 13130 .

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn

c
c
 2 log b  3 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
b
b
P  log a b  logb c . Giá trị của biểu thức S  3m  M bằng

log 2a b  log b2 c  log a

A. 16 .
Câu 17.

y2
4
4
đạt giá trị nhỏ nhất tại x  x0 , y  y0 . Đặt T  x0  y0 mệnh đề nào
2

sau đây đúng
A. T  131 .

B. T  132 .

C. T  129 .

D. T  130 .

(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  10 . Biết giá trị lớn nhất của
biểu thức F  5 log a.log b  2 log b.log c  log c.log a bằng
giản. Tổng m  n bằng
A. 13.
B. 16.

Câu 19.

D. 6 .

(Sở Hưng Yên - 2020) Cho các số thực x, y  1 và thỏa mãn điều kiện xy  4 . Biểu thức

P  log 4 x 8 x  log 2 y 2

Câu 18.

C. 6 .

B. 4 .

(Lê

Lai

-

m
m
với m , n nguyên dương và
tối
n
n

C. 7.

Thanh

Hóa

-

2020)

D. 10.
Cho

a  0, b  0

thỏa

mãn

log10 a 3b 1  25a 2  b 2  1  log10 ab 1 10a  3b  1  2 . Giá trị biểu thức a  2b bằng?

A. 6.
Câu 20.

B.

11
.
2

C.

5
.
2

D. 22.

(Liên trường Nghệ An - 2020) Cho các số thực dương a; b; c khác 1 thỏa mãn

c
c
 log a 3 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
b
ab
P  log a ab  log b bc . Tính giá trị biểu thức S  2m2  9M 2 .

log 2a b  log b2 c  2 logb

A. S  28 .
Câu 21.

(Lý

B. S  25 .

Nhân

Tông

-

Bắc

C. S  26 .
Ninh

-

2020)

D. S  27 .
Cho

a  0, b  0

thỏa

mãn

log 4 a5 b1 (16a  b  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  2 . Giá trị của a  2b bằng
2

A. 9 .
Câu 22.

2

B. 6 .

C.

27
.
4

D.

20
.
3

(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  1 và
ax  by 

a
. Giá trị lớn nhất của biểu thức P  x  2 y thuộc tập nào dưới đây?
b
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 1
A.  0;  .
 2

Câu 23.

1

B.  1;   .
2


 3
C. 1;  .
 2

3 5 
D.  ;  .
2 2 

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho biểu thức P  3 y  2 x 3 (1  4 2 x  y 1 )  2 2 x  y 1 và biểu thức
Q  log y 3 2 x 3 y . Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn P  1 và Q  1 là số y0 .

Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. 4 y0  1 là số hữu tỷ. B. y0 là số vô tỷ.
C. y0 là số nguyên dương.
Câu 24.

D. 3 y0  1 là số tự nhiên chẵn.

(Trường VINSCHOOL - 2020) Cho dãy số

 un 

có số hạng đầu u1  1 thỏa mãn

log 22  5u1   log 22  7u1   log 22 5  log 22 7 và un 1  7un với mọi n  1. Giá trị nhỏ nhất của n để
un  1111111 bằng:
B. 8 .

A. 11 .
Câu 25.

C. 9 .

D. 10 .

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn
log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức P  2 x  3 y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x  2 y  a  b 3

với a, b   . Tính T  ab .
A. T  9 .

B. T 

7
.
3

C. T 

5
.
3

D. T  7 .

Câu 26. Xét các số thực a , b , c  0 thỏa mãn 3a  5b  15 c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  a 2  b2  c2  4(a  b  c) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.  1; 2  .

C.  2; 4  .

B.  5; 1 .

D.  4;6  .

Câu 27. Xét các số thực dương a , b , c , x , y , z thỏa mãn a  1 , b  1 , c  1 và a x  b y  c z  abc .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z 
A. 10;13 .

B.  7;10  .

1
thuộc tập hợp nào dưới đây?
2
C. 3;5  .
D. 5;7  .
2

2

Câu 28. Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  1 và a x  b y  a.b . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  x. y là
A. P 

9
.
4

B. P 

6
.
2

C. P 

3
.
2

Câu 29. Xét các số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a  1, b  1 và a

D. P 
x2
y

b

y2
x

4
.
9

 ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P  x. y là
A. P  2 .

B. P  4 .

C. P  3 .

D. P  1 .

Câu 30. Xét các số thực dương a , b, c, x , y , z thỏa mãn a  1, b  1, c  1, y  2 và a x 1  b y  2  c z 1  abc .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z là
A. P  13 .

B. P  3 .

C. P  9 .

D. P  1 .

Dạng 3. Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit
1. Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên  a; b  thì
* u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

* Phương trình f  x   k  k  const  có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  a; b  .
2. Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên  a; b  , đồng thời
lim f  x  . lim f ( x)  0 thì phương trình f  x   k  k  const  có duy nhất nghiệm trên  a; b  .

xa

x b

3. Tính chất của logarit:
1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:
Cho số dương a  1 và các số dương b, c .

1.2. Hệ quả:
Cho số dương a  1 và các số dương b, c .

 Khi a  1 thì log a b  loga c  b  c .

 Khi a  1 thì log a b  0  b  1 .

 Khi 0  a  1 thì log a b  loga c  b  c .

 Khi 0  a  1 thì log a b  0  b  1 .
 log a b  loga c  b  c .

2. Logarit của một tích:
Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a  1 , ta

3. Logarit của một thương:
Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a  1 , ta

có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2

có log a

b1
 log a b1  log a b2
b2

Đặc biệt: với a, b  0, a  1 log a
4. Logarit của lũy thừa:
Cho a, b  0, a  1 , với mọi  , ta có

5. Công thức đổi cơ số:
Cho 3 số dương a, b, c với a  1, c  1 , ta có

log a b   log a b .
Đặc biệt: log a n b 

1
  log a b .
b

log a b 

1
log a b ( n nguyên dương).
n

Đặc biệt: log a c 

log c b
.
log c a

1
1
và log a b  log a b với

log c a

  0.
Câu 1.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 số
nguyên y thỏa mãn log 4  x 2  y   log 3  x  y  ?
A. 55 .

Câu 2.

C. 29 .

B. 28 .

D. 56 .

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số





nguyên y thỏa mãn log 4 x 2  y  log3 ( x  y ) ?
A. 59 .
Câu 3.

B. 58 .

C. 116 .

D. 115 .

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số
nguyên y thỏa mãn log 3  x 2  y   log 2  x  y  ?
A. 89 .

Câu 4.

B. 46 .

C. 45 .

D. 90 .

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2 x  y.4 x  y 1  3 . Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P  x 2  y 2  6 x  4 y bằng
A.

Câu 5.

65
.
8

B.

33
.
4

C.

49
.
8

D.

57
.
8

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn 0  x  2020 và
log 3 3 x  3  x  2 y  9 y ?
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 2019 .
Câu 6.

B. 6 .

D. 4 .

C. 2020 .

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2 x  y.4 x  y 1  3 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  2 x  4 y bằng
A.

Câu 7.

33
.
8

B.

9
.
8

C.

21
.
4

D.

41
.
8

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 255 số
nguyên y thỏa mãn log 3  x 2  y   log 2  x  y  ?
A. 80 .

Câu 8.

B. 79 .

C. 157 .

D. 158

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2 x  y.4 x  y 1  3 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  4 x  2 y bằng

33
9
21
41
.
B. .
C.
.
D.
.
8
8
4
8
(Mã 102 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m, n  sao cho m  n  16 và ứng với

A.
Câu 9.





mỗi cặp  m, n  tồn tại đúng 3 số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a 2  1 ?
A. 16 .
Câu 10.

C. 15.

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét các số thực thỏa mãn 2
của biểu thức P 
A. 9

Câu 11.

B. 14 .

D. 13 .

x 2  y 2 1

  x  y  2 x  2  4 x . Giá trị lớn nhất
2

2

8x  4
gần với giá trị nào sau đây nhất?
2x  y  1
B. 6 .
C. 7 .

D. 8 .

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m; n  sao cho m  n  10 và ứng với





mỗi cặp  m; n  tồn tại đúng 3 số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a 2  1 ?
A. 7 .
Câu 12.

B. 8 .

C. 10 .

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x , y thỏa mãn 2 x
nhất của biểu thức P 
A. 1.

D. 9 .
2

 y 2 1

  x 2  y 2  2 x  2  .4 x . Giá trị nhỏ

8x  4
gần nhất với số nào dưới đây
2x  y  1

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 13. Có bao nhiêu cắp số nguyên dương  m, n  sao cho m  n  14 và ứng với mỗi cặp  m, n  tồn tại





đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a 2  1 ?
A. 14 .
Câu 14.

B. 12 .

C. 11 .

D. 13 .

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m, n) sao cho m  n  12 và ứng với
mỗi cặp (m, n) tồn tại đúng 3 số thực a  (1,1) thỏa mãn 2 a m  n ln( a  a 2  1) ?
A. 12 .

Câu 15.

B. 10 .

C. 11 .

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x và y thỏa mãn 2 x
lớn nhất của biểu thức P 
A. 1 .

D. 9 .
2

 y 2 1

  x 2  y 2  2 x  2  4 x . Giá trị

4y
gần nhất với số nào dưới đây?
2x  y 1

B. 0 .

C. 3 .

D. 2 .

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 16.

1  xy
(Mã 123 2017) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log 3
 3 xy  x  2 y  4 . Tìm giá trị
x  2y

nhỏ nhất Pmin của P  x  y

Câu 17.

A. Pmin 

2 11  3
3

B. Pmin 

9 11  19
9

C. Pmin 

18 11  29
21

D. Pmin 

9 11  19
9

(Mã 110 2017) Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log 2

1  ab
 2ab  a  b  3 . Tìm giá trị
ab

nhỏ nhất Pmin của P  a  2b .
A. Pmin 
Câu 18.

3 10  7
2

B. Pmin 

2 10  1
2

C. Pmin 

2 10  3
2

2 10  5
2

D. Pmin 

(Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2

 x y 
ln 

 2 

ln  x  y 

.5

 2ln 5 . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức P  ( x  1) ln x  ( y  1) ln y .
A. Pmax  10 .
Câu 19.

C. Pmax  1 .

x y
  x  1 y  1  2  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  2 x  y .
1  xy

A. 2 .

B. 1 .

C.

1
.
2

1
a
 log a đạt giá trị lớn nhất khi b  a k . Khẳng định nào sau đây là sai
log ab a
b

A. k   2;3 .

B. k   0;1 .

C. k  0;1 .

Câu 21. Cho hai số thực a, b thỏa mãn log a 2  4b 2 1  2a  8b   1 . Tính P 
đạt giá trị lớn nhất.
8
A.
5

B.

13
2

C.

13
4

 3
D. k   0;  .
 2

a
khi biểu thức S  4a  6b  5
b
D.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b là các số dương thỏa mãn b  1 và
a
nhỏ nhất của biểu thức P  log a a  2 log b   .
b
b
A. 6 .
B. 7 .
C. 5 .

Câu 23.

D. 0 .

(Chuyên Hạ Long 2019) Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b  1. Biết rằng biểu thức

P

Câu 22.

D. Pmax  ln 2 .

(THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho các số thực x, y thỏa mãn 0  x, y  1 và

log 3

Câu 20.

B. Pmax  0 .

17
44
a  b  a . Tìm giá trị

D. 4 .

(THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn

 4a  2b  5 
2
2
log5 
  a  3b  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  a  b
 ab 
1
3
5
A. .
B. 1.
C. .
D. .
2
2
2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 24.

(THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Với hai số thực

a, b

bất kì, ta kí

hiệu f  a ,b   x   x  a  x  b  x  2  x  3 .Biết rằng luôn tồn tại duy nhất số thực x0
để min f  a ,b   x   f  a ,b   x0  với mọi số thực a, b thỏa mãn ab  ba và 0  a  b . Số x0 bằng
xR

B. 2,5

A. 2e  1
Câu 25.

C. e

D. 2e

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số thực a  1, b  1 . Biết phương trình
a xbx

2

1

 1 có hai nghiệm phân biệt

x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

 xx 
S   1 2   4  x1  x2  .
 x1  x2 
A. 3 3 4 .
Câu 26.

C. 3 3 2 .

B. 4

D.

3

4.

 

(Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 sao cho y x e x

ey

ex

 x y ey  .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  log x xy  log y x .

2
2

A.

B. 2 2

C.

Câu 27. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3

1 2 2
2

D.

1 2
2

1 y
 3xy  x  3 y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
x  3xy

của P  x  y .

Câu 28.

A. Pmin 

4 34
.
3

(Chuyên

Vĩnh

B. Pmin 
Phúc

4 34
.
3

2019)

Xét

C. Pmin 
các

số

4 34
.
9
thực

4 34
.
9

D. Pmin 

dương

x,

y

thỏa

mãn

thỏa

mãn

log 1 x  log 1 y  log 1  x  y 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  x  3 y .
2

2

2

A. Pmin  9
Câu 29.

(Chuyên

C. Pmin 

B. Pmin  8
Vĩnh

Phúc

2019)

Cho

x, y



25 2
4
các

D. Pmin 
số

thực

17
2

dương

log 2019 x  log 2019 y  log 2019  x 2  y  . Gọi Tmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  2 x  y . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. Tmin   7;8
Câu 30.

B. Tmin   6;7 

(Mã 105 2017) Xét hàm số f  t  

C. Tmin   5; 6 

D. Tmin   8;9 

9t
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các
9t  m2

giá trị của m sao cho f  x   f  y   1 với mọi số thực x , y thỏa mãn e x y  e  x  y  .Tìm số
phần tử của S .
A. 0
Câu 31.

B. Vô số

C. 1

D. 2

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có bảng biến
thiên như hình vẽ và có đạo hàm cấp hai f   x   0,  x   .

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

2



Gọi a, b, c, n là các số thực và biểu thức: P   e

f a

e

f b

e

f c



3   abc  
 f 
  1 . Khẳng
2 
3
 

định đúng với mọi a, b, c, n   là
B. 7  3e  P  0 .

A. 0  P  3 .
Câu 32.

C. P  3 .

D. P  7  3e .

x
x
(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f ( x)  2  2 . Gọi m0 là số lớn nhất trong các số
12
nguyên m thỏa mãn f (m)  f (2m  2 )  0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m0  1513; 2019 
Câu 33.

B. m0  1009;1513

C. m0  505;1009 

D. m0  1;505 

(Việt Đức Hà Nội 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề đồ thị hàm số

y  m log22 x  2log 2 x  2m  1 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ thuộc khoảng

1;   .

Câu 34.

1  1 

A. m   ;      .
2  2


 1  1 
B. m    ;0     .
 2  2

1  1 

C. m   ;      .
2 2


 1  1 
D. m   ;0    .
 2  2

(Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho x; y là hai số thực dương thỏa mãn x  y và
y

x

x2  3 y2
 x 1   y 1 
.
Giá
trị
nhỏ
nhất
của
biểu
thức
bằng
P

2  x   2  y 
xy  y 2
2  
2 

A.
Câu 35.

13
.
2

B.

9
.
2

C.  2 .

D. 6 .

(Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Xét các số thực dương

x, y

thỏa mãn

2 2 1
x
2
2 x 2  y 2  4  log 2      xy  4  . Khi x  4 y đạt giá trị nhỏ nhất,
bằng
y
x y 2
1
1
A. 2 .
B. 4 .
C. .
D. .
2
4



Câu 36.



(Chuyên Hưng Yên - 2020) Biết phương trình x 4  ax 3  bx 2  cx  1  0 có nghiệm. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức T  a2  b2  c2
4
A. Tmin  .
B. Tmin  4 .
3

C. Tmin  2 .

8
D. Tmin  .
3

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 37.

(Chuyên

KHTN

-

Cho

2020)

x, y



các

3x  3 y  4
  x  y  1 2 x  2 y  1  4  xy  1 . Giá
x2  y2
5x  3 y  2
.
P
2x  y 1
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
log 2

Câu 38.

(Chuyên

Bến

Tre

-

2020)

Cho

các

số

thực

số
trị

thực
lớn

dương
nhất

của

thỏa

mãn

biểu

thức

D. 4 .
x, y

thỏa

0  x, y  1

mãn



 x y 
log3 
  x  1 y  1  2  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P với P  2x  y
 1  xy 
1
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. .
2



Câu 39.





(Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
A.

Câu 40.

1
.
4

B.

x  4y
 2 x  y  1.
x y

3 x 4 y  2 xy  2 y 2
.
x( x  y)2

1
.
2

C.

3
.
2

D. 2.

(Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Xét các số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a  1, b  1
2

2

2

và a x  b y   ab  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 2 x  y thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. 10;15  .
Câu 41.

B.  6;10  .

D.  4;6  .

C. 1; 4  .

(Chuyên Lào Cai - 2020) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log  x  log  y  log   x  y 2  .
Biểu thức P  x  8 y đạt giá trị nhỏ nhất của bằng:
B. Pmin 

A. Pmin  16 .
Câu 42.

33
.
2

C. Pmin  11 2 .

D. Pmin 

31
.
2

(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn

log 2  x  1  log 2  y  1  1 . Khi biểu thức P  2 x  3 y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x  2 y  a  b 3
với a, b  . Tính T  ab ?
A. T  9 .
Câu 43.

B. T 

7
.
3

C. T 

5
.
3

D. T  7 .

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn
log a 2 b2  2  4a  6b  7   1 và 27c.81d  6c  8d  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

2

P   a  c  b  d  .
A.
Câu 44.

49
.
25

(Chuyên

B.
Thái

Bình

64
.
25
-

C.
2020)

Cho

7
.
5

hai

D.
số

thực

8
.
5

dương

x, y

log 2 x  x  x  y   log 2  6  y   6 x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x  3 y là
3

A. 16 .

B. 18 .

C. 12 .

D. 20 .

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

thỏa

mãn


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 45.

(Chuyên
log 2

Thái

Nguyên

Xét

B. Pmin  2  5 .

các

số

thực

dương

a, b

thoả

mãn

C. Pmin  1  5 .

D. Pmin  1  2 5 .

2 x 
(ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn log 2 
  log 2 y  2 x  2 y  xy  5 .
2
 x
Hỏi giá trị nhỏ nhất của P  x 2  y 2  xy là bao nhiêu?

A. 30  20 2 .
Câu 47.

2020)

1  ab
 2ab  a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P  a  b .
ab

A. Pmin  1  2 5 .
Câu 46.

-

(Sở

B. 33  22 2 .

Bình

Phước

-

Cho

2020)

C. 24  16 2 .

x, y



các

D. 36  24 2 .
số

thực

dương

thỏa

mãn

log 2 x  log 2 y  1  log 2  x 2  2 y  . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x  2 y bằng

A. 2 2  3 .
Câu 48.

B. 2  3 2 .

D. 9.

C. 3  3 .

(Sở Yên Bái - 2020) Cho các số thực x, y thuộc đoạn  0;1 thỏa mãn 20201 x  y 

x 2  2021
.
y 2  2 y  2022

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 x3  6 y 3  3 x 2  9 xy . Tính
M .m .
5
A.  .
2

Câu 49.

(Bỉm

B. 5.
Sơn

-

Thanh

Hóa

C. 5.
-

2020)

Xét

các

D. 3.
số

thực

dương

x. y

thỏa

mãn

log 1 x  log 1 y  log 1  x  y 2  . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P  x  3 y .
2

2

A. Pmin 
Câu 50.

2

17
.
2

B. Pmin  8 .

C. Pmin  9 .

D. Pmin 

25 2
.
4

(Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x 2  y 2  xy  1 và
hàm số f  t   2t 3  3t 2  1 . Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

 5x  y  2 
Q f 
 . Tổng M  m bằng
 x y4 
A. 4  3 2 .
Câu 51.

B. 4  5 2 .

D. 4  4 2 .

(Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hai số thực a, b lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
 2

thức S  log a  a  4b  



A.
Câu 52.

C. 4  2 2 .

5
.
4

4



B.

1
.
4 log ab b
11
.
4

C.

9
.
4

D.

7
.
4

(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với các số thực dương x, y , z thay đổi sao cho
 x  2 y  2z 
log 2  2
 x  x  4   y  y  8   z  z  8   2 , gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
2 
x y z 
biểu thức T 
A. 

3
.
2

x 2  y 2  z 2  4 x  7 y  11z  8
thứ tự là M và m . Khi đó M  m bằng:
6 x  5 y  86
5
1
B. 1.
C.  .
D.  .
2
2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 53.

(Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn ln y  ln( x 3  2)  ln 3 . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức H  e 4 y  x
A. 1 .

Câu 54.

3

 x2



x2  y2
 x ( y  1)  y.
2

B. 0 .

C. e .

1
.
e

D.

(Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 22 xy x y 

8  8 xy
.
x y

Khi P  2 xy 2  xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức 3 x  2 y bằng
A. 4 .
Câu 55.

C. 3 .

B. 2 .

(Tiên

Lãng

-

Hải

Phòng

-

Cho

2020)

D. 5 .
x, y



các

số

log  x  2 y   log  x   log  y  . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 
31
.
5

A.
Câu 56.

B. 6 .

C.

29
.
5

D.

dương

thỏa

mãn

x2
4 y2

là:
1 2y 1 x
32
.
5

(Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thay đổi, thỏa mãn x  y  0 và

1
ln  x  y   ln  xy   ln  x  y  . Giá trị nhỏ nhất của M  x  y là
2
A. 2 2 .
Câu 57.

B. 2.

C. 4.

D. 16.

(Sở Hà Nội - Lần 2 - 2020) Xét x, y, z là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện xyz  2 . Giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1
S  log32 x  log 32 y  log32 z bằng
4
1
1
A.
.
B. .
4
32

C.

1
.
16

D.

1
.
8

Câu 58. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn log3 ( x  y )  log 4  x 2  2 y 2  ?
B. 3

A. 1

C. 2

 x; y 

Câu 59. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương

D. Vô số

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1  x  10 6 và

2

log 10 x 2  20 x  20   10 y  y 2  x 2  2 x  1 ?
A. 4 .
Câu 60. Có

bao
y

5

C. 3 .

B. 2 .

2  x 2

nhiêu
y

 2  5x

2

số

nguyên

 x 1

  x  1 ?

A. 10

y  10

sao

cho

D. 1 .
tồn

tại

số

nguyên

x

thỏa

mãn

2

C. 5

B. 1

D. Vô số

Câu 61. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x ; y  thoả mãn 1  x  2020 và 2 y  y  2 x  log 2  x  2 y 1 
A. 2021 .
Câu 62. Có

bao

B. 10 .
nhiêu

số



x

nguyên



2 log 2  x  y   log 2 1  3  log
A. 1

C. 2020 .

B. 3

3

x

2

sao

cho

tồn

D. 11.
tại

số

thực

 y 2  1
C. 2

D. 5

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

y thỏa

mãn


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 2x 1 
x
Câu 63. Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 0  y  2020 và log 3 
  y 1 2 ?
 y 
A. 2019 .
B. 11 .
C. 2020 .
D. 4 .
Câu 64. (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a, b, x thoả mãn
2

a logb x  b loga ( x ) .

a  1, b  1, 0  x  1 và
2

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

2

P  ln a  ln b  ln(ab).
A.

1 3 3
.
4

B.

e
.
2

C.

1
.
4

D. 

3 2 2
.
12

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing
Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong
Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber
Tải nhiều tài liệu hơn tại: http://diendangiaovientoan.vn/
ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ!

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×