Tải bản đầy đủ

TÍCH PHÂN BỘI BA Giảng viên: ThS Nguyễn Hải Sơn

BÀI
À 2
TÍCH PHÂN BỘI BA

Giảng viên: ThS.
ThS Nguyễn Hải Sơn

1


TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI

???
THỂ TÍCH CỦA HÌNH ELIPSOID
Thể tích của hình cầu bán kính R
Diện tích của hình tròn bán
kính R:
R

S  R 2


Diện tích của hình elip có độ
dài các bán trục là a và b

b

a

S  ab

2


TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo)

???
THỂ TÍCH CỦA HÌNH ELIPSOID
Thể tích của hình cầu bán kính R

4
V  R 3
3
???

Thể tích của elipsoid có các bán trục là a, b, c

V  ...

3


MỤC TIÊU BÀI HỌC

Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể:


Trình bày được khái niệm tích phân bội ba và các
ứng dụng của nó, thấy được tích phân bội ba là
sự phát triển tự nhiên của tích phân kép.




Vận dụng được các kĩ thuật tính tích phân bội ba
và làm được các bài tập liên quan đến tích phân
ộ ba.
bội

4


CÁC KIẾN THỨC CẦN CÓ



Giống như đối với tích phân kép, sinh viên cần có
các kiến thức cơ bản về giải tích, đặc biệt là phép
tính tích phân hàm một biến số.



Bên cạnh đó, sinh viên cũng cần có các kiến thức
về hình học phẳng, hình học không gian.

5


HƯỚNG DẪN HỌC



Xem bài giảng đầy đủ và tóm tắt những nội dung
chính của từng bài.
bài



Tích cực thảo luận trên diễn đàn và đặt câu hỏi ngay
nếu có thắc mắc.



Làm bài tập và luyện thi trắc nghiệm theo yêu cầu
từng bài.

6


CẤU TRÚC NỘI DUNG

1 Đị
1.
Định
h nghĩa
hĩ – Tính
Tí h chất
hất

2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề các
2.

3. Phép đổi biến số trong tích phân bội ba

4. Ứng dụng của tích phân bội ba

7


1. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT

1.1. Định nghĩa tích
phân bội ba

1.2. Tính chất

8


1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA


f = f(x,y,z)
f(x y z) xác định trên vật thể đóng,
đóng bị chặn 




Chia  một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: 1,  2 ,...,  n .
Thể tích tương ứng mỗi khối V(1), V(2 ),..., V(n ).



Trên mỗi khối i lấy tuỳ ý một điểm Mi (x i , yi , zi ).



Lập tổng tích phân:

n

In   f (Mi )  V(i )
i 1



Cho

n   sao cho

 0 , nếu I  I xác định không phụ thuộc
Max {di} 
n
i 1,n
1n

cách chia miền  , và cách lấy điểm Mi
f=f(x,y,z) trên khối.

thì I được gọi là tích phân bội ba của

I   f (x, y, z)dxdydz




Khi đó, f gọi là khả tích trên 
9


1.1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BỘI BA (tiếp theo)


Nhận xét: Thể tích vật thể  là

V   dxdydz




Định lý: Nếu  là một miền đóng, bị chặn, có biên trơn từng mảng và f(x,y,z)
liên tục trên  thì f(x,y,z) khả tích trên .

10


1.2. TÍNH CHẤT

1.

V   dxdydz


2.

  f (x, y,z)dxdydz  f (x, y,z)dxdydz

3.

 (f  g)dxdydz   fdxdydz   gdxdydz







4. Nếu





 được chia làm hai khối 1 và 2 không dẫm lên nhau:

 fdxdydz   fdxdydz   fdxdydz


5.

1

2

(x, y,z) ,f (x, y,z)  g(x, y,z)   fdxdydz   gdxdydz




11


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
Cách tính: đưa về 3 tích p
phân xác định
ị theo từng
g biến ((tích phân
p
lặp)
ặp)

Tích phân bội ba



Tích phân kép

Trường hợp miền  là hình hộp chữ nhật
Khi đó

b

d

n

a

c

m



Tích phân lặp

a  x  b

 : c  y  d
m  z  n


( y, z)dxdydz
)d d d   dx
d  dy
d  f (x,
( y, z)dz
)d
 f (x,


12


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
(tiếp theo)

Ví dụ 1: Tính

0  x  1
I   xy 2dxdydz , với  : 1  y  2

1  z  3

1

Ta có:

I   dx
d
0

2

1

2 1

x

2



3

1

2

3

1

0

1

1

dy
d  xy 2 dz
d   xdx.
d  y 2 dy.
d  dz
d
2 2

y

3
0

1

3
z1

1
 3 2  3
2

13


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
(tiếp theo)

a  x  b

 :  y1 (x)  y  y 2 (x)
z (x, y)  z  z (x, y)
2
 1

 xác định bởi

Trường hợp miền

b

I

y 2 (x)

 f (x, y, z)dxdydz   dx 


I

Ví dụ 2: Tính

a

y1 (x)

z 2 (x,y)

dy



f (x, y, z)dz

z1 (x,y)

 y  x  y2

 : 1  y  2
0  z  xy


 zdxdydz , với


Ta có:
2

I   dy
1

y2



y

xy

dx

 zdz
0

2

y2

1

y

  dy



 z2
dx 
 2


xy

0

2
 12
9
6
y

1
y
8
5

y  y dy      ...
 6
6  9
6 

1
1





14


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
(tiếp theo)
Trường hợp miền
mặt trên là các mặt

 được giới hạn bởi: Mặt dưới và

z  z2 (x, y)

z  z1 (x, y) và z  z 2 (x, y) , có

hì h chiếu
hình
h ế lê
lên mặt
ặ phẳng
hẳ Oxy là miền
ề D.

z  z1 (x, y)

Khi đó

Hình chiếu D

z 2 ( x , y)

 f (x, y, z)dxdydz   dxdy 


D

f (x, y, z)dz

z1 ( x , y)

15


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
(tiếp theo)
z  2  x 2  y2

Ví dụ 3: Tính I 
zdxdydz , với  được giới hạn bởi 
 z  x 2  y 2




Trước hết ta xác định giao tuyến của 2 mặt cong
cong.

z  2  x 2  y2
z  x 2  y2  0




2
2
 2  z 2  z
 z  x  y

 z  1  x 2  y2  1
Vậy giao tuyến của 2 mặt cong là đường tròn x

2

 y2  1

 x 2  y 2  1
 hình chiếu của  lên mặt phẳng Oxy là hình tròn D : 
z  0
2
2
2x  y
2
11
1


2
2
2
2
 I   dxdy
d d
d   dxdy
d d  2  x  y  x  y   ...   
 zdz
12
2D


D
2 2



 



x y

16


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
(tiếp theo)
Ví dụ 4: Tính tích phân bội ba

I   zdxdydz
d dd

trong đó V là vật thể
ể giới hạn bởi

V

y  1  x,z  1  x và các mặt phẳng tọa độ, (phần z  0)
2

Hình chiếu của V xuống 0xy: Tam giác OAB
Mặt phía trên: z2 (x, y)  1  x
Mặt phía dưới: z=0

1x2 
I     zdz
d dxdy
d d
OAB  0


2

B





2
2
 2 1x2 
1 x
z


 
d d  
dxdy
dxdy
d
d
2

2
OAB
OAB
 0 
1

1x

0

0

  dx 



1 x
2

2

 dy  11

A
A

2

60

O

B

17


2. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BỘI BA TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC
(tiếp theo)
Ví dụ 5: Tính I 




x 2  z2  4

2
2
x  z dxdydz , với  :  y  0
y  2


Hình chiếu của V xuống 0xz là D:
Mặt phía trên: y=2
Mặt phía dưới: y=0

 I



2

dxdz

D



z

x 2  z2  4

x 2  z 2 dy  2

y
x



2

x 2  z 2 dxdz

D

0

Đổi sang tọa độ cực, ta có
2

32
 I  2  d  r dr
d 
3
0
0
2

2

18


3. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA

3 1 Phép đổi biến số
3.1.

tổng quát

3.2. Phép đổi biến số
trong tọa độ trụ

3.3. Phép đổi biến số
trong tọa độ cầu

19


3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT

I

Xét tí
tích
h phân


(x y,
y z)dxdydz
 f (x,


Đặt

 x  x(u, v, w)

 y  y(u, v, w)
z  z(u, v, w)


x 'u

D(x, y, z)
J
 y 'u
D(u, v, w)
z 'u

x 'v

x 'w

y 'v

y 'w

z 'v

z 'w

  1
Khi đó

I

 f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)). J dudvdw
1

20


3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)
2
2
 2
Ví dụ: Tính

I

 2dxdydz


Đặt

x
3  u
x 'u

y
  v  J  y 'u
2
z 'u
z
1  w


I




với

x
y
z
 

1
: 9
4
1
z  0


x 'v

x 'w

3 0 0

y 'v
z 'v

y 'w  0 2 0  3  2  1  6
z 'w
0 0 1

3

1
12
4

r
 
2.6dudvdw  12   V  
  8
2  3 
2

21


3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)

I

(x yy, z)dxdydz
 f (x,




Khi  là một miền đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ hoặc các trục tọa độ hoặc
gốc
ố O,
O ta có
ó kết
kế quả
ả sau:
với 1 ,  2
rời nhau.
  1   2
 Nếu 1 ,  2 đối xứng nhau qua Oxy thì

khi f(x,y,-z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f ((x,, y, z)dxdydz
)
y
khi f(x,y,-z)
( ,y, ) = f(x,y,z)
( ,y, )

 1



 Nếu

1 ,  2 đối xứng nhau qua Oyz thì
khi f(-x,y,z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,y,z) = f(x,y,z)

 1



22


3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)
 Nếu

1 ,  2 đối xứng nhau qua Ozx thì
khi f(x,-y,z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f (x,
(x yy, z)dxdydz khi f(x
f(x,-y,z)
y z) = f(x
f(x,y,z)
y z)

 1



 Nếu

1 ,  2 đối xứngg nhau qqua Ox thì
khi f(x,-y,-z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f (x, y, z)dxdydz khi f(x,
f(x,-y,-z)
y, z) = f(x,y,z)

 1



 Nếu

1 ,  2 đối xứng nhau qua Oy thì
khi f(-x,y,-z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,y,-z) = f(x,y,z)

 1



23


3.1. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG QUÁT (tiếp theo)
 Nếu

1 ,  2 đối xứng nhau qua Oz thì
khi f(-x,-y,z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f (x,
(x yy, z)dxdydz khi f(
f(-x,-y,z)
x y z) = f(x
f(x,y,z)
y z)

 1



 Nếu

1 ,  2 đối xứngg nhau qqua ggốc O thì
khi f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z)
0

I  2 f (x, y, z)dxdydz khi f(-x,-y,-z)
f( x, y, z) = f(x,y,z)

 1



24


3.2. PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TỌA ĐỘ TRỤ
Tọa độ trụ

Điểm M(x,y,z)
Điể
M(
) trong
t
hệ trục
t
t độ 0xyz.
tọa
0
M được xác định duy nhất bởi bộ (r, , z)
 (r, ) là tọa độ cực của hình chiếu M1
của M lên Oxy.
Oxy
 Z là độ cao của M.
 (r, , z) được gọi là tọa độ trụ của
điểm M.
M
 Công thức đổi biến từ tọa độ
Decasters sang tọa độ trụ:



z

M(x,
( , y,
y,z))

z

x

y
r

x  r  cos 

 y  r  sin 
 zz


M1(x, y,0)

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×