Tải bản đầy đủ

Luận Văn Ứng dụng của phương pháp sai phân vào giải một số phương trình đạo hàm riêng

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************

NGUYỄN THỊ HỒNG TUYẾT

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP
SAI PHÂN VÀO GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2012


SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

1

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**************

NGUYỄN THỊ HỒNG TUYẾT

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP
SAI PHÂN VÀO GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2012

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

2

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển của


toán học đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học và giải quyết các bài
toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài
toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng. Phương trình đạo hàm
riêng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thủy động
học, đàn dẻo, cơ học lượng tử,... Vì vậy việc nghiên cứu phương trình đạo
hàm riêng đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết toán học nói
chung và trong vật lý nói riêng.
Việc tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng thường
không thể và cũng không cần thực hiện trong mọi trường hợp. Bởi vậy để tìm
nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng người ta phải sử dụng các
phương pháp gần đúng. Có nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng trong đó phương pháp sai phân là một trong hai phương pháp
phổ biến nhất. Ý tưởng của phương pháp này là đưa bài toán tìm nghiệm của
phương trình đạo hàm riêng về một bài toán đại số, thường là một hay nhiều
hệ đại số tuyến tính, giải hệ đại số tuyến tính để tìm nghiệm của bài toán ban
đầu.
Xuất phát từ những lý do trên, em đã chọn đề tài: “Ứng dụng của
phương pháp sai phân vào giải một số phương trình đạo hàm riêng” để làm
khóa luận. Khóa luận bao gồm 4 phần:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chương 2: Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
Chương 3: Giải gần đúng các bài toán phương trình đạo hàm riêng
bằng phương pháp sai phân.
Chương 4: Bài tập ứng dụng.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

3

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Chương 1:
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Một số khái niệm
1.1. Không gian vectơ
Định nghĩa
 

Cho tập V là tập các phần tử được kí hiệu:  ,  ,... và trường K có các
phần tử được kí hiệu: x, y, z,... Giả sử V có hai phép toán:
Phép toán trong: (+): V  V  V
 





( ,  )    
Phép toán ngoài: (.): K  V  V

(x,  )



x. 
  

thỏa mãn các tính chất sau: Với mọi  ,  ,   V và với mọi x, y  K:












1) (    ) +  =  + (  + 






)










2) Có 0  V sao cho: 0 +  =  + 0 = 








3) Có   V sao cho:   +  =  +   = 0
 
 

4)    = 






5) (x+y).  = x.  + y. 








6) x.(    ) = x.  + x. 




7) x.(y.  ) = (x.y). 




8) 1.  =  trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K và khi đó V cùng
2 phép toán xác định trên gọi là một không gian vectơ trên trường K, hay
K – không gian vectơ.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

4

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học
Khi K =
Khi K =

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

, V được gọi là không gian vectơ thực.
,

V được gọi là không gian vectơ phức.

Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi là
các vô hướng.
Phép toán “+” gọi là phép cộng vectơ.
Phép toán “.” gọi là phép nhân vectơ với vô hướng.




Để cho gọn, “.” nhiều khi được bỏ: x.  thành x  .
Không gian V có số chiều là n thường được gọi là không gian vectơ n
chiều và kí hiệu là V.

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Định nghĩa
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)
là không gian tuyến tính X trên trường P (P =
ánh xạ từ X vào tập số thực

hoặc P =

) cùng với một

, kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các

tiên đề sau đây:
i. xX sao cho x  0, x = 0  x =  (kí hiệu phần tử không của
X là );
ii. xX, P:  x =  x ;
iii.  x, y  X: x  y  x + y .
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X (hoặc (X, . ). Các tiên đề i,ii,iii gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Nhận xét: Nếu X là không gian định chuẩn thì X là không gian metric
với metric d(x,y) = x  y ,  x, y  X.
1.2.2. Ví dụ: Trên X =

k

=  xx =(x 1 ,x 2 ,...,x k ), x i 

, i=1,...,k 

ta xác định chuẩn:

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

5

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

k

1) x 1 = x =

x

i

: chuẩn tổng.

i 1

k

1

2

2) x 2 = (  xi ) 2 : chuẩn Euclid.
i 1

3) x  = max xi .
i 1, k

Tương ứng với các chuẩn trên ta có các không gian định chuẩn:
(

k

, . 1 ); (

k

, . 2 );...

1.3. Không gian Hilbert
1.3.1. Định nghĩa tích vô hướng:
Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P =

hoặc P =

). Ta

gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes XX vào
trường P, kí hiệu (.,.), thỏa mãn các tiên đề sau:
i.

 x, y  X: (y,x) = ( x, y) ;

ii. x, y, z  X: (x + y,z) = (x,z) + (y,z)
iii. “x, y  X,  P: ( x, y) =  (x, y);
iv. x  X: (x, x)  0, (x, x) = 0  x =  ( là phần tử không của
không gian X).
Các phần tử x, y, z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,y) gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i, ii, iii, iv gọi là hệ tiên đề
tích vô hướng.
1.3.2. Định nghĩa không gian Hilbert
Ta gọi một tập H   gồm những phần tử x, y, z,...nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P;
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

6

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

3) H là không gian Banach với chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng
x =

x, x  , x  H.
n

Ví dụ: Kí hiệu

là không gian vectơ thực n chiều, x, y 

n

với

x =(x 1 ,...,x n ) ; y =(y 1 ,...,y n ).
Đặt tích vô hướng (x, y) = x 1 y 1 +... +x n y n (*)
Công thức (*) xác định một tích vô hướng trên
tích vô hướng (*) có dạng: x =

x, x 

n

=

x

n

. Chuẩn sinh ra bởi

2

trùng với chuẩn đã biết

n

cùng với tích vô hướng

i

i 1

trên không gian

n

. Nên không gian vectơ thực

(*) là một không gian Hilbert.
1.4. Không gian C k (  )
Giả sử  là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều

n



 là bao đóng của .

Ta kí hiệu C k (  ) (k = 0, 1, 2,...) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k
trong , liên tục trong  .
Ta đưa vào C k (  ) chuẩn:
f

=

k

C ( )

D  f ( x)



(1.1.1)

  k , k

Trong đó:  = ( 1 ,..., n ) được goi là đa chỉ số, là vectơ với tọa độ
nguyên không âm,  =  1 +  2 +.....+  n

D f 

 1 .... n f


 x1 1 ....x n n

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong  của các hàm và tất cả
đạo hàm của chúng đến cấp k. Rõ ràng C k (  ) với chuẩn (1.1.1) là một không
gian Banach.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

7

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

2. Số gần đúng và sai số
2.1. Định nghĩa
- Ta nói a là số gần đúng của a* nếu a không sai khác a* nhiều. Độ lệch
h = a* - a được gọi là sai số thực sự của a.
- Số a  0 được gọi là sai số tuyệt đối của số a nếu a thỏa mãn điều

kiện a  a  a hay a - a  a*  a + a.

- Tỷ số  a =

a
được gọi là sai số tương đối của a.
a

2.2. Quy tắc làm tròn
+ Định nghĩa: Cho số thập phân a có dạng tổng quát như sau:
p
p 1
ps
a =  (  p 10   p 110  ...   p  s 10 )

Trong đó 0   i  9( i  p  1, p  s );  p > 0 là những số nguyên;
p – s = - m (m > 0) thì a có phần lẻ gồm m chữ số. Nếu s = +, a là số
thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số hàng bên phải trong biểu diễn của a để
được một số gần đúng a gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết.
+ Quy tắc làm tròn: Giả sử
p
p 1
ps
a = (  p 10   p 110  ...   p  s 10 )

Và ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần vứt bỏ là  ta đặt:
~

a  (  p10 p  ...   j 110 j 1   j 10 j ) ,
  j 1
j  
  j
~

Trong đó

neu 0.5  10 j    10 j
neu 0    0.5  10 j
~

~

Nếu  = 0.5 10j thì  j   j nếu  j là chẵn và  j   j 1 nếu  j là lẻ.
Ví dụ: Thu gọn đến ba chữ số sau dấu phẩy:

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

8

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

a = 572,96573



a  572,966

a = 90,75246



a  90,752

a = 46,388500



a  46,388

a = 127,273500



a  127,274

2.3. Sai số tính toán
Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nên khi tính toán sẽ
xuất hiện sai số tính toán.
Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức: y  f ( x1 , x 2 ,..., x n )
Gọi xi *, y* ( i  1, n ) và xi , y ( i  1, n ) là các giá trị đúng và gần đúng của
các đối số và hàm số. Nếu f khả vi liên tục thì
n

y  y *  f ( x1 , x2 ,..., x n )  f ( x1 *, x2 *,..., xn *)   f i ' xi  xi '
i 1

f
f
Trong đó f i ' là đạo hàm
tính tại các điểm trung gian. Do
liên
xi
x i
n

tục và  xi khá bé ta có thể coi y   f i ' ( x1 , x 2 ,..., x n ) xi
i 1

Do đó  y 

n
y


ln f xi .
y
i 1 x i

Sau đây là sai số các phép tính cơ bản:
2.3.1. Sai số các phép tính cộng trừ
n



y
1
xi

y   xi ;
i 1
n

Nên

y   xi .
i 1

Giả sử

x m  max xi

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

1 i  n

9

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Và chữ số chắc cuối cùng x m ở hàng thứ k, nghĩa là x m  10 k . Ta có
k
y  x m  10 , vì vậy khi làm phép cộng đại số, nên quy tròn các xi đến mức

giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải thứ k.
n

Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là y  1 thì  y  
i 1

xi
 1 , do
y

đó kết quả không chính xác. Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức
có hiệu của hai số gần nhau. Nếu không tránh được thì cần lấy các số với
nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc.
2.3.2. Sai số của phép tính nhân chia
Giả sử

y

x1 x 2 ...x p
x p 1 ...x n
p

Khi đó

n

ln y   ln xi 
i 1

 ln x

j

j  p 1

n

Suy ra

 y    xi
i 1

Gọi

 x m  max  x i và
1 i  n

 xm  k ,

Ta thấy  y   x m do đó  y  k . Vì vậy khi làm các phép tính trung
gian để tính y, chỉ cần lấy k+1, k+2 chữ số là đủ.
2.3.3. Sai số của phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y = x, khi đó  y 

d
ln y x    x
dx

- Nếu  > 1 (phép lũy thừa) thì y > x, do đó độ chính xác giảm.
- Nếu 0 <  < 1 ta có phép khai căn, khi đó y < x, hay độ chính xác
tăng.
- Nếu  = -1 ta có phép nghịch đảo, y = x nghĩa là độ chính xác không
đổi.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

10

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

2.3.4. Sai số của phép tính Logarit y = ln x.
y = ln x thì y =  x
2.4. Bài toán ngược của lý thuyết sai số
Giả sử đại lượng y tính theo công thức y  f ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Hỏi phải
lấy  x i bằng bao nhiêu để y  const cho trước? Sau đây là hai phương pháp
đơn giản để giải bài toán nêu trên.
2.4.1. Nguyên lý ảnh hưởng đều
a)

f
xi  c (const ) (i  1, n) ,
xi

Ta coi

n

f
xi  nc
xi

y  

Suy ra

i 1

c

xi 

Vậy

f
xi



y
f
n
xi

(i  1, n)

b) Nếu coi xi  const (i  1, n) thì
y

x i 

n

f

 x
i 1

i

xi
c) Nếu coi  x1   x 2  ...   x n và đặt k 
thì
xi

n

y  k  x i
i 1

f
x j

y

hay k 
n


i 1

Do đó

xi 

xi y
n


j 1

,

f
xj
x j

(i  1, n)

f
xj
x j

2.4.2. Phương pháp biên

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

11

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Giả sử hàm y  f ( x1 , x 2 ,..., x n ) đồng biến theo các biến x1 , x2 ,..., x p và
nghịch biến theo các biến còn lại x p 1 ,..., xn . Nếu biết cận thay đổi của đối
số xi  xi  xi

(i  1, n) thì

y : f ( x1 ,..., x p , x p 1 ,..., xn )  y  y : f ( x1 ,..., x p , x p 1 ,..., x n )

Từ đây suy ra 0  y  y  y.
2.5 Khái niệm sai phân
Giả sử f:



là một hàm số cho trước và h = const  0.

Ta gọi sai phân cấp 1 của f (x) tại điểm x là đại lượng

f(x)= f(x + h) – f(x).
Biểu thức:
2 f  f ( x)   f ( x  2h)  f ( x  h)   f ( x  h)  f ( x )
 f ( x  h)  f ( x)

được gọi là sai phân cấp 2 của f(x) tại x.
Một cách tổng quát  n f ( x )     n 1 f ( x )  (n  1) được gọi là sai phân
cấp n của f.
0 f ( x) : f ( x)

Giả sử hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng yi  f ( xi ) tại các mốc xi cách
đều: xi 1  xi  h  const (i  0) . Khi đó sai phân của dãy yi được xác định
như sau:
y i  y i 1  y i ;
2 y i   (y i )  y i 1  y i ;...
n y i   (n 1 y i )  n 1 y i 1  n 1 y i

Bảng sai phân

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

12

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Y

y

2y

3y

4y

...

...

...

...

...

...

...

4yi-2

...

...

...

yi-2

yi-2
2yi-2

yi-1

3yi-2

yi-1
2yi-1

yi

3yi-1

yi
2yi

yi+1

yi+1
yi+2
...

...

...

...

Mỗi số ở cột sau từ cột thứ ba trở đi là hiệu số của hai dòng trên liền kề
của cột biến trước. Ta có:
k

k f ( x )   (1) k 1 C k1 ( x  ih)
i 1

Từ công thức trên ta suy ra các tính chất của sai phân:
1)

 là toán tử tuyến tính, nghĩa là:

 , 

; f, g: ( f +  g) = f +g.

2)

Nếu c = const thì c=0

3)

n ( x n )  n! h n ; m ( x n )  0 (m  n)

4)

Nếu P(x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
n
(i )
P:=P(x + h) - P(x)=  P ( x)
i 1

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

13

hi
i!

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

n

5)

i
n

i

 C  f ( x)

f(x + nh) =

i0

n

6)

n f ( x)   (1) i C ni f ( x  (n  i ) h)
i 0

2.6. Tỷ sai phân
Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn [a,b], x0, x1,...,xn  [a,b] sao cho
a  x0 < x1<... < xn  b, ta gọi biểu thức: f(x0, x1) =

f ( x1 )  f ( x0 )
là tỷ sai
x1  x0

phân cấp một của hàm số f(x) tại điểm x0.
f ( x1 , x 2 )  f ( x0 , x1 )
là tỷ sai phân cấp
x 2  x0

Biểu thức có dạng f ( x0 , x1 , x 2 ) 
hai của hàm số f(x) tại x0 .

f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( x0 ,..., xn1 )
x n  x0

f ( x0 , x1 ,..., xn ) 

là tỷ sai phân cấp n của hàm số.
Các tính chất của tỷ sai phân
k

k

f ( xi )
trong đó  ( x)   ( x  x j )
j 0
i 0  ' ( x i )

1) f ( x0 ,..., x k )  

- Tỷ sai phân là toán tử tuyến tính
( f   g )( x0 ,..., x n )  
i

( f   g )( xi )
 ' ( xi )

 
i

f ( xi )
g ( xi )
 
 ' ( xi )
i  ' ( xi )

  f ( x0 ,..., x n )   g ( x 0 ,..., x n )

- Tỷ sai phân là hàm đối xứng:
n

f ( xi )
i  0  ' ( xi )

f ( x0 ,..., x n )  f ( x1 , x0 ,..., x n )  ...  

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

14

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

- Đặt x =  t +  (  0), ta có: f ( x 0 ,..., x n ) 
trong đó: xi =  t i  

1

n

g (t 0 ,..., t n )

(i  0 , n )

2) Tỷ sai phân cấp n của đa thức bậc n là một hằng số.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

15

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Chương 2:
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TUYẾN TÍNH

1. Các khái niệm tổng quát
1.1. Phương trình đạo hàm riêng
1.1.1.Khái niệm
Phương trình liên hệ giữa các ẩn hàm u1,u2,...,un , các biến số độc lập
x1,x2,...,xn và các đạo hàm riêng của các ẩn hàm được gọi là phương trình đạo
hàm riêng. Phương trình đạo hàm riêng có dạng:

u1
u n
 k ui
F ( x1 , x2 ,..., xn ; u1 , u 2 ,..., u n ;
,...,
,..., k 1
;...)  0 ,
x1
x1
 x1 ... kn xn
Trong đó F là một hàm số của nhiều biến số.
Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có
mặt trong phương trình.
Ví dụ:

 2u
 2 x  5 y là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.
xy

1.1.2 Các phương trình đạo hàm riêng quan trọng:
a) Phương trình Laplace: u = 0
b) Phương trình Poisson: u = f
c) Phương trình truyền sóng: utt = u
d) Phương trình truyền nhiệt: ut = u.
1.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 có dạng:

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

16

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh


u
u
F  x1 ,..., x n ; u ;
,...,
x1
x n



  0 (2.1.1)


Trong đó u = u(x1,...,xn) là hàm phải tìm của n biến số độc lập x1,...,xn;
F là hàm đã cho của các đối số trong một miền nào đó trong không gian
(2n+1) chiều.
Nghiệm của phương trình (2.1.1) là hàm u = u(x1,...,xn) xác định và liên
tục với các đạo hàm riêng

u
u
,...,
trong một miền biến thiên nào đấy của
x1
x n

các biến số x1,...,xn và biến phương trình (2.1.1) thành đồng nhất thức. Ở đấy
ta giả thiết các giá trị của x1,...,xn mà tại đó hàm u xác định như các giá trị
tương ứng của hàm u và các đạo hàm của nó nằm trong miền xác định của
hàm F.
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 (không thuần nhất) có
dạng:
X 1 ( x1 ,..., xn , u )

u
x1

 ...  X n ( x1 ,..., xn , u )

u
xn

 f ( x1 ,..., xn , u ) (2.1.2)

Nếu vế phải của phương trình (2.1.2) đồng nhất bằng không (f  0) còn
các hàm số Xi (i  1, n ) không phụ thuộc vào hàm số phải tìm u thì phương
trình (2.1.2) có dạng:
X 1 ( x1 ,..., xn , u )

u
x1

 ...  X n ( x1 ,..., xn , u )

u
xn

 0 (2.1.3)

Khi đó phương trình (2.1.3) được gọi là phương trình tuyến tính thuần
nhất.
Ví dụ:
Phương trình tuyến tính thuần nhất: 2 y

u
u
 xy
0
x
y

Phương trình tuyến tính không thuần nhất:

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

17

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

u
u
 2y
 u  xy 2
x
y
u
u
y
 2ux
0
x
y

xy

1.2.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất
Xét phương trình (2.1.3):
X 1 ( x1 ,..., xn , u )

u
x1

 ...  X n ( x1 ,..., xn , u )

u
xn

 0.

Giả sử X1, X2,...,Xn xác định và liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp
1 của chúng theo tất cả các biến ở trong một lân cận nào đó của điểm
( x10 , x 20 ,..., x n0 ) và không đồng thời bằng 0 tại điểm này, chẳng hạn
0

0

0

X ( x1 , x 2 ,..., x n )  0 (2.1.4)

Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1 thuần nhất là
hàm u = u(x1,...,xn) thỏa mãn điều kiện sau:
1)

u = u(x1,...,xn) xác định trên D.

2)

u = u(x1,...,xn) khả vi và liên tục trong lân cận điểm

( x10 , x 20 ,..., x n0 ) (nghĩa là tồn tại các đạo hàm riêng

u
liên tục trên D).
xi

Thay u = u(x1,...,xn) và các đạo hàm riêng

3)

u
vào phương trình
xi

(2.1.3) thì nó trở thành đồng nhất.
Ta thấy phương trình (2.1.3) bao giờ cũng có nghiệm u = c (2.1.5) với c
là hằng số tùy ý. Ta gọi nghiệm (2.1.5) là nghiệm tầm thường của phương
trình (2.1.3).
Cùng với phương trình (2.1.3) ta có hệ sau:
dx n
dx1
 ... 
X 1 ( x1 ,..., x n )
X n ( x1 ,..., x n )

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

18

(2.1.6)

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Hệ phương trình (2.1.6) gọi là hệ đối xứng tương ứng với phương trình
(2.1.3).
Định nghĩa: Hàm số  ( X 1 , X 2 ,..., X n ) được gọi là tích phân của hệ
(2.1.6) trong miền nào đó của các biến số x1, x2,...,xn nếu:


X 1  ... 
Xn  0
x1
x n

Định lý:
1) Nếu hàm số  ( x1 , x2 ,..., xn ) là tích phân khả vi liên tục của hệ
(2.1.6) thì hàm số u =  ( x1 , x2 ,..., xn ) là nghiệm của phương trình (2.1.3)
2) Nếu hàm số  ( x1 , x2 ,..., xn )  const là nghiệm của phương trình
(2.1.3) thì hàm số  ( x1 , x2 ,..., xn ) là tích phân của hệ (2.1.6).
Chứng minh:
1) Là hiển nhiên (dựa vào định nghĩa tích phân của hệ (2.1.6)).
2) Lấy vi phân toàn phần của hàm  dựa vào hệ (2.1.6) ta được:
d 

  X 1


 X n 
dx1  ... 
dxn  
.
 ... 
.
.dxn
x1
xn
x n X n 
 x1 X n
 
  1
 X1
 ...  X n
dx n
.
x n  X n
 x1

Ta giả thiết rằng Xn ( x10 , x 20 ,..., x n0 )  0.
Khi đó từ (2.1.5) ta có: d  0 tức   c tích phân đầu của hệ (2.1.6).
Từ định lý trên ta suy ra rằng việc tìm nghiệm của phương trình (2.1.3)
tương đương với việc tìm tích phân của hệ (2.1.6) có n – 1 tích phân độc lập.

1 ( x1 , x2 ,..., xn , u ) ;  2 ( x1 , x2 ,..., xn , u ) ;...;  n ( x1 , x2 ,..., xn , u ) (2.1.7)

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

19

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

0
0
0
xác định và khả vi liên tục trong lân cận của điểm ( x1 , x 2 ,..., x n ) khi đó

hệ (2.1.6) tương đương với hệ chuẩn tắc (n – 1) phương trình vi phân cấp 1
sau đây:

dx
X
dx1
X dx
X
 1 ; 2  2 ;...; n 1  n 1
dxn X n dx n X n
dxn
Xn

(2.1.8)

Trong đó các vế phải của (2.1.8) là các hàm số xác định và khả vi liên
0
0
0
tục trong lân cận của điểm ( x1 , x 2 ,..., x n ) .

Ta lập một hàm khả vi liên tục của các tích phân (2.1.7):
U = (1, 2,..., n)

(2.1.9)

Khi đó hàm số xác định bởi (2.1.9) cũng là tích phân (2.1.6) do đó cũng
là nghiệm của phương trình (2.1.3).
Ví dụ: Giải phương trình: x

u
u
u
y
 2z
0
x
y
z

Hệ phương trình vi phân đối xứng tương ứng với phương trình trên là:
dx dy dz


x  y 2z

Xét phương trình

dx dy

x y

suy ra ln x   ln y  ln c1
ln x   ln yc1

ln x  ln

x

1
yc1

1
1
 c1 
 1
yc1
xy

Xét phương trình

dx dz

x 2z

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

20

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

1
2

Suy ra ln x  ln z  ln c 2
ln x  ln zc 2
x  zc 2  c 2 

x
 2
z
 1 x
,  .
 xy z 

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: u   
1.2.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
Ta xét phương trình (2.1.2):
X 1 ( x1 ,..., xn , u )

u
x1

 ...  X n ( x1 ,..., xn , u )

u
x n

 f ( x1 ,..., xn , u )

Trong đó các hàm số Xi i  1, n  và f xác định và liên tục cùng với các
đạo hàm riêng cấp 1 của chúng theo các biến ở trong một lân cận nào đó của
điểm ( x10 , x 20 ,..., x n0 , u 0 ) ngoài ra: X n ( x10 , x 20 ,..., x n0 )  0 (2.1.10)
Ta sẽ chứng minh rằng nghiệm của phương trình (2.1.2) có dạng ẩn:

V ( x1 , x2 ,..., xn , u )  0

(2.1.11)

Trong đó V là hàm khả vi liên tục theo các đối số thỏa mãn:
V 0 0
( x1 , x2 ,..., xn0 , u 0 )  0
u

(2.1.12)





Thật vậy, ta lấy vi phân hệ thức (2.1.11) theo x k k  1, n trong đó u là
hàm của x1,...,xn ta được:
u
v v

:
x k
x k u

(2.1.13)

, k  1, n

Thay (2.1.13) vào (2.1.12) ta có:
X1

V
V
V
V
 X2
...  X n
f
0
x1
x2
xn
u

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

21

(2.1.14)

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Phương trình (2.1.14) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
với hàm số phải tìm là V.
Hệ phương trình đối xứng tương ứng của (2.1.14) là:

dx
dx1 dx2
du

 ...  n 
X1 X 2
Xn
f

(2.1.15)

Hệ (2.1.15) có n tích phân độc lập:

1 ( x1 , x2 ,..., xn , u ) ;  2 ( x1 , x2 ,..., xn , u ) ;...;  n ( x1 , x2 ,..., xn , u ) (2.1.16)
Khi đó hàm số V = (1,2,..., n ) (2.1.17) là nghiệm tổng quát của
phương trình (2.1.14).
Nếu đặt (2.1.17) vào (2.1.11) ta được nghiệm tổng quát của phương
trình (2.1.2) ở dạng:
V = (1, 2,..., n ) = 0 (2.1.18)
Ta có (2.1.18) là nghiệm tổng quát của (2.1.11).
Nếu từ phương trình (2.1.18) ta tìm được u =  ( x1 , x2 ,..., xn ) (2.1.19) ở
đó  là hàm khả vi, liên tục thì (2.1.19) là nghiệm tổng quát ở dạng tường
minh của phương trình (2.1.11).
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
y2

z
z
 xy
 yz
x
y

Ta có hệ phương trình đối xứng tương ứng với phương trình trên là:
dx
dy
dz


y 2  xy yz

- Xét phương trình

dx
dy

  xdx  ydy
y 2  xy

1
1
1
  x 2  C1  y 2
2
2
2
2
2
 C1  x  y  1

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

22

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

- Xét phương trình

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

dx dz
dx dz



2
yz
y
y
z

 ln y  ln z  ln C 2
 ln yC 2  ln z
 yC 2  z
 C2 

z
 2
y
z
y

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: F ( x 2  y 2 , )  0
1.3. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
- Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 là
nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng 2 chính là số cấp của phương
trình.
- Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ một nghiệm tổng
quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý.
- Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát
bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý.
- Điều kiện biên: hệ thức liên hệ giữa các giá trị của tham biến đã biết
và các đạo hàm của chúng trên biên của miền gọi là các điều kiện biên.
- Bài toán riêng của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 là bài
toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
trong miền xác định nào đấy thỏa mãn điều kiện biên.

2. Bài toán biên
Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm các
nghiệm của nó trong miền nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền
gọi là điều kiện biên.
Định lý liên quan tới sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên gọi là
định lý tồn tại và duy nhất nghiệm.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

23

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

u
u
2
 0 với u(0,y) = 4.e-y
x
y

Ví dụ:
y
x=0

u(0,y) = 4.e-y

O

x

3. Nguyên lý cộng nghiệm phương pháp tách biến
Có nhiều phương pháp giải bài toán biên của phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính. Phương pháp tách biến (phương pháp Fourier) là một trong
những phương pháp quan trọng nhất.
Đầu tiên ta tìm nghiệm tổng quát sau đó cho thỏa mãn điều kiện biên.
Các định lý sau đây là cơ sở quan trọng cho phương pháp.
Định lý: (Nguyên lý cộng nghiệm)
Giả sử 1 ,  2 ,...,  n 1 là nghiệm của phương trình (2.1.3) thì
c11  ...  cn1 n1 cũng là nghiệm của phương trình (2.1.3).

Nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính không
thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính thuần nhất với một nghiệm riêng nào đó của phương trình tuyến
tính không thuần nhất.
Phương trình tách biến: Giả thiết rằng nghiệm có thể biểu diễn dưới
dạng tích của các hàm chưa biết mà mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến độc
lập. Kết quả của phương pháp là có thể viết phương trình ở hai vế, mà mỗi vế
phụ thuộc vào một biến, vì vậy mỗi vế phải bằng hằng số. Ta lần lượt giải cho
từng hàm chưa xác định. Hợp các nghiệm này cho ta nghiệm cần tìm.

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

24

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh

Ví dụ: Giải phương trình:

u
u
2
 0 (1) với u(0,y) = 4.e-y
x
y

Giải:
Giả sử nghiệm của bài toán u(x,y) = X(x).Y(y)
Ta có:

u
u
 X ' ( x).Y ( y );
 X ( x)Y ' ( y )
x
y

Thay vào phương trình (1) ta được:
X’Y = 2XY’ hay

X ' Y'

4X Y

Vì X chỉ phụ thuộc x, Y chỉ phụ thuộc y nên mỗi vế phải bằng hằng
số, chẳng hạn bằng C. Do vậy ta có:
X’ – 2CX = 0,

Y’ – CY = 0

Ta có hệ phương trình:
X'
 X  2C

Y '  C
 Y

suy ra

 dX
 X  2Cdx

 dY  Cdy
 Y

ln X  2Cx  ln C1
 X ( x)  C1e 2Cx


Y ( y )  C 2 e cy
ln Y  Cy  ln C 2

Nghiệm của phương trình đã cho là:
u(x,y) = XY = C1.C2.e c(2x+y) = k. e c(2x+y)
Từ điều kiện biên: u(0,y) = k.ecy = 4.e-y suy ra k = 4, c = -1.
Vậy nghiệm cần tìm là: u(x,y) = 4.e -(2x+y)

4. Bài toán Côsi
4.1. Bài toán Côsi đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
thuần nhất

SVTH: Nguyễn Thị Hồng Tuyết

25

K34A- Toán


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×