Tải bản đầy đủ

Luận Văn Phổ của một phần tử trong đại số Banach

MỤC LỤC

Phần mở đầu ............................................................................... 1
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị ...................................... 3
1.1 Nguồn gốc của lý thuyết phổ ................................................ 3
1.2 Phổ của một toán tử................................................................ 5
1.3 Đại số Banach......................................................................... 8
1.4 Nhóm tuyến tính tổng quát A ................................................10
1.5 Định lí Hahn-Banach.............................................................12
1.6 Định lí Liouvelle....................................................................15
1.7 Định lí Banach-Steinhauss ...................................................16
Chương 2: Phổ của một phần tử trong đại số Banach .........18
Chương 3: Bán kính phổ ........................................................... 22
Phần kết luận ............................................................................... 26
Tài liệu tham khảo ....................................................................27

1


LỜI CẢM ƠN


Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học Tiến
sĩ TẠ NGỌC TRÍ thầy đã tận tình giúp đỡ và nghiêm khắc hướng dẫn em
để em có thể hoàn thành được khóa luận này
Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực
hiện khóa luận,em nhận được sự dậy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ
bảo của các thầy cô. Qua đây cho phép em được bầy tỏ sự biết ơn chân
thành đến các thầy, cô giáo trong tổ giải tích, khoa toán trường ĐHSP Hà
Nội 2
Xin cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề “Giải tích lồi” những
người đã cùng tôi san sẻ những kiến thức, hun đúc quyết tâm và công tác
hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội. Ngày 01 tháng 05 năm 2012
SV thực hiện
LƯƠNG THẾ TOÀN

2


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận
tình nghiêm khắc của thầy TẠ NGỌC TRÍ bên cạnh đó em được sự quan
tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2
Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài “ Phổ của một phần tử
trong đại số Banach”không có sự trùng lặp với các đề tài khác nếu sai em
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội. Ngày 01 tháng 05 năm 2012
SV thực hiện
LƯƠNG THẾ TOÀN

3


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sau 4 năm học đại học, bộ môn giải tích đã thực sự cuốn hút đối với
em mặc dù nó là bộ môn không phải là dễ dàng tiếp cận, các đối tượng


trong giải tích là các đối tượng có tính chặt chẽ và mang tính trừu tượng
hóa cao.
Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với
toán học cơ bản và toán học ứng dụng, nội dung của nó rất phong phù và đa
dạng. Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian ít nên khó có thể đi sâu
nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm, với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và
trong pham vi của một khóa luận tốt nghiệp, cùng với sự giúp đỡ của thầy
giáo tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em xin mạnh dạn nêu lên những hiểu biết của
mình về đề tài “Phổ của một phần tử trong đại số Banach”
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài, đã giúp em bước đầu làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn giải tích hàm, đặc
biệt là tìm hiểu sâu hơn về “Phổ của một phần tử trong đại số Banach”
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về phổ của một phần tử trong đại số Banach bán kính
phổ của phần tử đó.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác và làm nổi bật phổ
của một phần tử trong đại số Banach
5. Các phương pháp nghiên cứu
Phương pháp suy luận logic

4


Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá.
6. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận bao gồm 3 chương
Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phổ của một phần tử trong đại số Banach
Chương 3: Bán kính phổ

5


Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Nguồn gốc của lý thuyết phổ
Mục đích phổ của toán tử phát triển nhằn để hiểu cụ thể vấn đề của đại
số tuyến tính có liên quan tới các cách giải của phương trình tuyến tính và
khái niệm vô hạn chiều.
Vấn đề cơ bản của đại số tuyến tính trên trường số phức là cách giải
của hệ phương trình tuyến tính. Một là cho
(a)

n x n ma trận (aij) của số phức

(b)

n_chiều

g = (g1, g2,..., gn) của số phức

Và một trong những cách giải hệ phương trình tuyến tính

a11 f1 + a12 f2 + ... + a1n fn = g1
(1.1) …..

an1 f1 + an2 f2 + ...+ ann fn = gn
Với

f  ( f1 , f2 ,..., fn ) 

n

Chính xác hơn người ta muốn xác định nếu (1.1) có các cách giải và
tìm thấy các cách giải đó khi chúng tồn tại.
Khoa học cơ bản trên đại số tuyến tính nhấn mạnh rằng vế trái của (1.1)
định nghĩa một toán tử tuyến tính

f  Af trên một không gian vectơ

n_chiều £ n sự tồn tại các cách giải của (1.1) với g là bất kỳ.
Sự tồn tại của (1.1) là duy nhất, lời giải của (1.1) cho tất cả sự lựa chọn của
g nếu và chỉ nếu toán tử tuyến tính A là khả nghịch điều này liên quan tới

6


việc tìm cách giải hệ (1.1) và trong trường hợp này là hữu hạn chiều toán tử
A là khả nghịch hay chính xác hơn khi phần tử quyết định ma trận (aij) là
khác không. Còn trong trường hợp vô hạn chiều thì găp nhiều khó khăn
hơn bởi vì các toán tử trên không gian Banach vô hạn chiều không có khái
niệm phần tử quyết định.
Việc giải (1.1) liên quan đến khái niệm giá trị riêng và trong trường hợp
hữu hạn chiều. Lý thuyết phổ làm giảm các lý thuyết về giá trị riêng, chính
xác hơn giá trị riêng và giá trị vectơ của toán tử

A xuất hiện trong cặp

(l , f ) với Af = l f ở đây f là một vectơ khác không trong £ n và l là
một số phức
Nếu chúng ta thay một số phức l và xét cách thiết lập V  

n

của tất cả

vectơ f vì Af = l f chúng ta thấy Vl là một không gian tuyến tính con
của £ n và với cách chọn l bất kỳ nó là không gian con tầm thường {0},

Vl là không tầm thường nếu và chỉ nếu toán tử A- l 1 có phần tử không
tầm thường hay nếu và chỉ nếu toán tử A- l 1 là không khả nghịch. Phổ

s ( A) của A được định nghĩa là tập hợp tất cả số   như vậy và nó là
một tập số thực của số phức không chứa hơn n phần tử
Chý ý 1.1.1 Chúng ta đã chỉ ra rằng phổ của bất kỳ toán tử nào trên £ n là
số thực chứng minh quen thuộc nhất là việc liên quan đến
hàm f (l ) = det( A- l 1) trong đó f là một đa thức với hệ số phức có số
không là điểm của

s ( A) và sau đó thu hút các định lý cơ bản của đại số

Ví dụ1.1.2 Ví dụ này cho bởi Niels Henrik Abel (1823)
Chọn một số a trong khoảng mở đơn vị và g là một hàm nhẵn trên khoảng
(0,1) thỏa mãn g(a ) = 0 Abel tìm kiếm hàm f mà

7


x

1

 ( x  y) f ( y)dy  g ( x)
Trên khoảng a

< x < 1 và ông viết cách giải sau.
f ( y) 

sin 



y

g '( x )
 ( y  x)2 dx

1.2. Phổ của một toán tử
Ký hiệu

E là không gian Banach phức, với một toán tử trên E

chúng ta làm một biến đổi giới hạn tuyến tính

T : E ® E, B(E) là ký hiệu

của tất cả các không gian toán tử trên E , chúng ta lấy 2 toán tử

A, B Î B(E)

để có được kết quả toán tử AB Î B( E) ta định nghĩa phép

nhân thỏa mãn 2 luật kết hợp và phân phối


A(B + C) = AB + AC

(A+ B)C = AC + BC

Chúng ta viết 1 để nhận dạng toán tử.
Định lý1.2.1 Với mỗi A Î B(E) các điều kiện sau là tương đương

y Î E có duy nhất x Î E thỏa mãn Ax = y

(1)

Với mỗi

(2)

Có một toán tử B Î B(E) thỏa mãn AB = BA = 1

Chứng minh. (1)  (2)
Giả sử
vectơ

A là khả nghịch như một biến đổi tuyến tính trên không gian

E và ta xét nghịch đảo của nó là B : E ® E là một tập hợp của

E Å E đồ thị của nó có liên quan đến đồ thị của A như sau

G(B) = {(x, Bx): x Î E}= {(Ay, y): y Î E)

8


Không gian bên phải là đóng trong E Å E vì
của

A là liên tục. Do đó đồ thị

B là đóng và theo nguyên lý đồ thị đóng thì B Î B(E)

Định nghĩa1.2.2 Cho A Î B(E)

A là khả nghịch nếu có một toán tử B Î B(E) thỏa

(1)

mãn AB = BA = 1
(2)

Phổ

s ( A) của A là tập hợp tất cả các số phức l mà A- l 1 là không

khả nghịch
(3)

Lập tập hợp

r ( A) của A là phần bù r (A) = £ \ s (A)

Ví dụ 1.1.2 ở phần trước, chúng ta đã trình bầy với một toán tử và khẳng
định về sự khác nhau của các phổ. Đối với ví dụ để xác định xem một toán
tử nào là khả nghịch, người ta đi xác định vấn đề có hay không

0 Î s ( A) .

Các phổ là quan trọng nhất khi chúng bất biến gắn liền với một toán tử.
Chú ý 1.2.3 Nhận xét về phổ toán tử
Chúng ta đã xác định được phổ của một toán tử

T Î B(E) nhưng đó

chỉ là bắt đầu, để có thông tin chính xác hơn về các điểm khác nhau của

s (T )
Xét ví dụ 1.2.4 Giả sử rằng có một vectơ khác không x Î E mà Tx = l x
với mỗi số phức l trong trường hợp này l được gọi là một giá trị riêng
(liên hệ với vetơ riêng x ) rõ ràng T - l 1 là không khả nghịch. Do
đó l

Î s (T ) tập hợp tất cả các giá trị riêng của T là tập hợp con của s (T )

được gọi là điểm phổ của T (và được viết là

s r (T ) )

Khi E là hữu hạn chiều thì s (T) = (s r (T) nhưng nói chung là không phải
vậy.Thật vậy có nhiều toán tử khác khi phân tích không có điểm phổ

9


Một loại điểm phổ xẩy ra khi T - l là 1-1 nhưng không trên nó điều này
có thể xẩy ra theo 2 cách. Hoặc là phạm vi của

T - l là không đóng

trên E hoặc là đóng nhưng không tất cả trong E
Ví dụ 1.2.5 Xét sự thay đổi của toán tử V xác định trên C [0,1] như sau:
x

Vf (x) 



f ( x )dx

0£ x £ 1

0

Toán tủ này là không khả nghịch thực tế ta thấy phổ của nó chính xác là

{0} mặt khác ta có thể dễ dàng kiểm tra V là 1-1 nghĩa là phạm vi của nó
không phải là đóng và phạm vi đóng của nó là một không gian con của hàm
giá trị thực trong C [0,1]
1.3. Đại số Banach
Định nghĩa1.3.1 (Bao đại số)
Bởi một đại số trên
vectơ

chúng ta nói đến một bao đóng không gian

A liên tục với một toán tử nhị phân khẳng định x, y Î A ® xy Î A

thỏa mãn
Với a , b Î £ và x, y, z Î A ta có

(1)

(a x+ b y)z = a.xz + b.yz
x(a y + b z)z = a.xy + b.xz
x ( yz ) = ( xy ) z

(2)
Với
bởi

A là bao đóng không gian vectơ, phép nhân trong A được xác định

xy = 0

với mọi x, y . Khi một đại số được nhận diện thì nó là yếu tố

quyết định duy nhất
Định nghĩa1.3.2 (đại số Banach,chuẩn đại số )

10


Chuẩn đại số là một cặp
chuẩn ||.||: A® [0, ¥

A , ||.|| gồm một đại số A cùng với một

) có liên quan đến phép nhân như sau:

|| xy ||£ || x || . || y ||, " x , y Î A
Đại số Banach là chuẩn đại số đầy đủ, một không gian Banach thiên về
chuẩn có liên quan đến nó.
Nhận xét 1.3.3 Chúng ta biết rằng một chuẩn có lợi đầy đủ.
Một không gian tuyến tính định chuẩn

E là một không gian Banach

nếu và chỉ nếu tất cả các dãy cơ bản trong chúng hội tụ. Một cách chính xác
hơn

E là đầy đủ nếu và chỉ nếu tất cả các dãy con xn Î E thỏa mãn

å

xn < ¥ có một phần tử y Î E mà.

n

lim|| y (x1  x2 ... xn)||0
n

Ví dụ 1.3.4 Cholà E không gian Banach bất kỳ và

A là đại số B(E) tất cả

các hàm có giới hạn trên E , x. y là phép hợp thành của hàm đó đây là một
đại số Banach với đơn vị là ||1||= 1, nó là đầy đủ vì E là đầy đủ
Ví dụ 1.3.5 C( X ) , X là một không gian Hausdorff thu gọn và xem đơn vị
của đại số C( X ) của tất cả các hàm phức tạp có giá trị liên tục xác định trên
X phép nhân và phép cộng được xác định bởi:

f .g( x) = f ( x).g( x)
( f + g)(x) = f (x) + g( x)
So với định chuẩn sup, C(X ) trở thành một đại số Banach giao hoán có đơn
vị.

11


Ví dụ 1.3.6 C1,1 là không gian các hàm liên tục trên đoạn  1,1 vì mọi
hàm liên tục trên một đoạn là bị chặn nên x, y  C 1,1 , t   1,1
Ta có y.x  sup

  y.x  t : t  1









 sup y  x  t   : t  1
 sup y . x  t  : t  1





 y .sup x  t  : t  1
 y.x

Hay y.x  y . x
Vậy C1,1 là một đại số Banach có đơn vị.
Định lý 1.3.6

Đối với bất kỳ nhóm G Compact có một Radon độ

đo m trên G đó là bất biến theo phiên dịch trái. Nghĩa là m(x.E) = m(E)
cho mỗi

E ta thiết lập Borel và với mỗi x Î G . Nếu n là một độ đo đủ,

n(E) = c.m(E) cho mỗi E thiết lập

sau đó có một số c không đổi như vậy
Borel.

Hewitt và Ross cho rằng việc tìm cách giải của Haar ví dụ cụ thể như

ax+ b

nhóm và các nhóm

SL(n, ¡ ).

Một chứng minh về sự tồn tại của

cách giải Haar được tìm thấy trong Loomis hoặc Hewitt và Ross
Chúng ta viết dx thay bởi dm( x) , ở đây m là một độ đo Haar trái trên một
1

địa phương thu nhỏ nhóm G . Đại số nhóm G là không gian L (G) tất cả
các hàm khả tích

f : G® £

với chuẩn

|| f ||  | f ( x ) | dx
G

12


Và được xác định bởi

f * g   f (t )g (t 1 x)dt

xÎ G

G

Các thông tin cơ bản về các nhóm đại số
hoán trong trường hợp
(1)

Với

L1(G) tương tự như đối với giao

L1 (Z) và L1(¡ ) chúng ta đã gặp phải

f , g Î L1 (G), f * g Î L1 (G) và chúng ta có

|| f * g ||£ || f || . || g ||
(2)

L1(G) là một đại số Banach

(3)

L1(G) là giao hoán nếu và chỉ nếu G là một nhóm giao hoán

(4)

L1(G) có đơn vị nếu và chỉ nếu G là một nhóm riêng biệt

1.4. Nhóm tuyến tính tổng quát

A

Định nghĩa 1.4.1 Phần tử khả nghịch
Cho

A là đại số Bannach với đơn vị 1, như kết quả trước ta giả sử

|| x ||= 1 một phần tử

x Î A được gọi là nghịch nếu có một phần tử

y Î A sao cho xy = yx = 1
Chú ý 1.4.2 Nếu x là một phần tử của

A mà cả bên trái và phải đều

nghịch nghĩa là có những phần tử y1 , y2 Î A với xy1 = y2 x = 1 thì x là
nghịch
Thật vậy rõ ràng ta có

y2 = y2.1= y2xy1 = 1.y1 = y1

Định nghĩa 1.4.3 Nhóm tuyến tính tổng quát của

13

A


- 1

Chúng ta viết A (hay viết GL(A)) cho tập hợp tất cả phần tử nghịch
của

A . Rõ ràng là A- 1 là một nhóm, nhóm này được gọi là nhóm tuyến

tính tổng quát của đại số bannach
Định lí 1.4.4 Nếu

A có đơn vị

x là một phần tử của A thỏa mãn || x ||< 1 Ta có 1- x là

nghịch và nghịch đảo của nó được cho bởi chuỗi hội tụ tuyệt đối

(1- x)- 1 = 1 + x + x 2 + ...
Hơn nữa ta có kết quả sau.

|| ( x   ) 1 ||

(1.4)

1
(1.5) || 1  (1  x ) ||

1
1 || x ||

|| x ||
1 || x ||

Chứng minh:
n
n
Từ || x ||£ || x || với mọi n=1,2,…. Chúng ta có thể xác định một

phần tử

z Î A là tổng của chuỗi hội tụ tuyệt đối
¥

z=

å

xn

n= 0

Chúng ta có:
¥

z (1- x ) = (1- x ) z = lim (1- x )å x k = lim (1- x N + 1 ) = 1
N® ¥

N® ¥

k= 1

Do đó 1 - z là khả nghịch và nghịch đảo của nó là z
Từ bất đẳng (1.4) ta có
¥

|| x ||£

å
n= 0

¥
n

|| x ||£

å

|| x ||n =

n= 0

Từ

14

1
1- || x ||




1  z    x n   xz
n0

Ta có

|| 1 - z ||£ || x || . || z || do đó (1.4) tương đương (1.5)

Hệ quả 1.4.5 A-1 là tập mở trong

-1
A và x a x là hàm liên tục đồ thị

của A-1 là chính nó.
Chứng minh.
A-1 là mở.
Thật vậy chọn một phần tử khả nghịch x 0 và một phần tử tùy ý
-1
-1
h Î A chúng ta có x0 + h = x0 (1+ x0 h) vì vậy nếu || x0 h ||< 1 thì theo

định lí trước x 0 + h là nghịch. Đặc biệt nếu

|| h ||< || x0 - 1 ||- 1 thì điều

đó là hiển nhiên
Bây giờ ta chứng minh x 0 + h là nghịch khi

|| h || đủ nhỏ

Giả sử ta chọn được h như vậy ta có thể viết

( x0 + h )- 2 - x0- 1 = ( x0 (1 + x0- 1h ))- 1 - x0- 1 =
- 1 Do vậy cho || h ||< || x 0 ||

- 1

- 1

1

é(1 + x0- 1h )- 1 êë

1ùúû.x0- 1

chúng ta có
- 1

- 1

|| ( x0 + h) - x0 ||£ || (1 + x0 h) - 1|| . || xo

- 1

|| x0- 1h || . || x0- 1 ||
||£
1- || x0- 1h ||

Vậy cuối cùng giá trị đó tiến tới không khi || h ||® 0
Hệ quả 1.4.6 A-1 là một nhóm tôpô trong nhóm tôpô chuẩn của nó.nghĩa

(1)

( x, y) Î A- 1 ´ A- 1 a xy Î A- 1 là liên tục

(2)

x Î A- 1 a x- 1 Î A- 1 là liên tục

15


1.5. Định lí Hahn–Banach
Định lí 1.5.1 (định lí Hahn-Bannach thực)
Giả sử F là không gian vectơ con của không gian vecto thực

p

E và

là sơ chuẩn trên E . Khi đó đối với mọi phiến hàm tuyến tính

f : F ® ¡ thỏa mãn: f (x) £ p( x), " x Î F
^

Tồn tại phiến hàm tuyến tính f : E ® ¡ sao cho
^

f ( x ) = f ( x ), " x Î F

^

f ( x ) £ p ( x ), " x Î E
Định lí 1.5.2 (định lí Hahn-Bannach phức)
Giả sử F là không gian con vectơ của không gian vectơ phức

p

E và

là một nửa chuẩn trên E . Khi đó với mọi phiến hàm tuyến tính phức

f : E ® £ thỏa mãn.
f ( x) £ p( x), " x Î F
^

Tồn tại phiến hàm tuyến tính f : E ® £ sao cho
^

^

f |F = f và | f ( x ) |£ p ( x ), " x Î E
Bổ đề 1.5.3 Giả sử

E là không gian vectơ phức và f : E® ¡ . Khi

đó f là tuyến tính (phức) nếu và chỉ nếu f viết dưới dạng

f ( x ) = f1 ( x ) - if1 (ix ), x Î F
Với f1 : E ® ¡ là tuyến tính thực

16


Chứng minh định lí 1.5.2
Theo bổ đề trên tồn tại f1 : E ® ¡ tuyến tính thực sao cho

f ( x) = f1 ( x) - if1 (ix), x Î F
Do f1  x   f1  x   f  x  nên f1 ( x ) £ p ( x ) với mọi x Î F theo
^

định lí 1.5.1 tồn tại phiến hàm tuyến tính thực f1 : E ® ¡ sao cho:
^

f1 |F = f1 và | f1 ( x ) |£ p ( x ), " x Î E
^

^

^

^

Đặt f (x) = f 1(x) - i f 1(ix) khi đó f là tuyến tính phức và
^

^

^

f (x) = f 1(x) - i f 1(ix) = f (x), " x Î F
^

^

^

iq
Cho x Î E với f ( x ) ¹ 0 viết f ( x) = | f ( x) | .e ở đây θ là argument

^

của f ( x )
Suy ra
^

- iq

| f (x)|= e

^

^

^

- iq

- iq

^

f (x) = f (e x) = f1(e x) - i f 1(ie- iq x)

Do đó
^

^

| f (x) |= f1(e- iq x) £ p(e- iq x) = p(x)
^

Vậy

| f ( x ) |£ p ( x ) với mọi x Î E

Hệ quả 1.5.4 Giả sử

F là không gian con của không gian định chuẩn (thực

hoặc phức) và f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên F . Khi đó tồn tại
^

phiến hàm tuyến tính liên tục f trên

E sao cho

17


Ù

^

| f | F = f và || f ||= || f ||
Chứng minh

p( x) = || f || .|| x ||, x Î E

Đặt
Khi đó

p

là nửa chuẩn trên

E thỏa mãn

| f ( x) |£ p( x), " x Î F
^

Theo định lí 1.5.2 thì tồn tại phiến hàm tuyến tính f
Ù

trên

E sao cho

Ù

f |F = f và || f ||£ p( x), " x Î E
Ù

Suy ra || f ||£ || f ||
Ù

Mặt khác ta có || f ||³ || f ||
Ù

Do đó

|| f ||= || f ||

Hệ quả 1.5.5 Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn

E và n Î E \ F khi đó tồn tại f Î E ' để
f | F = 0, || f ||= 1v à f ( v ) = inf{|| v - y ||: y Î F }
Hệ quả 1.5.6 Giả sử
tồn tại f Î E

'

E là không gian định chuẩn và x Î E , x ¹ 0 khi đó

để f ( x ) = || x || và || f ||= 1

Nhận xét:
Theo định nghĩa chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục
Ta có

|| f ||= sup{| f ( x) |:|| x ||£ 1}

Mặt khác. Do hệ quả 1.5.6 ta lại có || x ||£ sup{| f ( x) |:|| f ||£ 1} nhưng

sup{| f ( x ) |:|| f ||£ 1} £ sup{|| f || . || x ||:|| f ||£ 1} £ || x ||

18


Do đó ta có kết quả sau.

|| x ||= sup{| f ( x ) |:|| f ||£ 1}
1.6. Định lí Liouville
Định nghĩa 1.6.1. (hàm giải tích giá trị Banach)
Giả sử D là tập mở trong K và f : D  E là hàm trên D với giá trị
trong không gian Banach E. Ta nói
(i) f giải tích tại 0  D nếu
n



f      an    0  ,    0    0 , D  ,
n0

ở đây an  E , n  0
(ii) f là giải tích trên D nếu nó giải tích taị mọi   D
Khi K 

từ giải tích được thay bởi chỉnh hình.

Định lí 1.6.2. Giả sử

f :£ ® E

là hàm chỉnh hình bị chặn

M = sup{|| f (z) ||: z Î £ } < + ¥
Khi đó f là hàm hằng.
Chứng minh
Nếu f không phải là hàm hằng thì tồn tại

z1 , z2 Î £ để

f (z1) ¹ f (z2) Do hệ quả 1.5.6 tồn tại u Î E ' để u( f (z1)) ¹ u( f (z2 )) do
đó u o f là chỉnh hình


| ( u o f )( z ) |= | u ( f ( z )) |£ || u || . || f ( z ) ||, " z Î £

Nên sup{| ( f ( z ) |: z Î £ } £ || u || sup{|| f ( z ) ||: z Î £ } < + ¥
Do đó u o f bị chặn trên

. Theo định lí Liouville đối với hàm chỉnh hình

vô hướng u o f là hàm hằng, tuy nhiên u( f (z1)) ¹ u( f (z2 ))

19


Vậy f là hằng.
1.7. Định lí Banach-Steinhauss

E và F là hai không gian định chuẩn. Họ

Định nghĩa 1.7.1 Cho

{fa }a Î J Ì L(E, F ) được gọi là

C(x) = sup{|| fa (x)||: a Î J}< +¥ , " x Î E

(i)

Bị chặn điểm nếu

(ii)

Bị chặn đều nếu sup{|| fa ||: a Î J } < + ¥

Định lí 1.7.2 Giả sử

E là không gian Bannach và F là không gian định

chuẩn. Khi đó mọi họ trong
Hệ quả 1.7.3 Nếu
Bannach

L(E, F) bị chặn điểm là bị chặn đều

{ f n } n ³ 1 là dãy các ánh xạ tuyến tính từ không gian

E vào không gian Bannach F hội tụ điểm tới ánh xạ tuyến tính

f :E® F
f ( x) = lim fn ( x), x Î E
n® ¥

Thì f liên tục

|| f n ||
Hơn nữa || f ||£ nlim
®¥
Chứng minh
Vì với mọi x Î E dãy { f n ( x )} hội tụ nên {fn} Ì L(E,F) bị chặn
điểm
Do

E là Banach theo định lí trên ta có

M = sup || f n ||< + ¥
n³ 1

Suy ra

|| f ( x ) ||= lim || f n ( x ) ||£ || x || lim || f n ||£ M || x ||, " x Î E
n® ¥

n® ¥

|| f n || .
Vậy f là liên tục và || f ||£ nlim
®¥

20


Chương 2
PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH

Trong phần này

A là ký hiệu đại số Banach với đơn vị là ||1||=1. Tập

hợp lý thuyết toán tử trong đó

A là một đại số B ( E ) của giới hạn toán tử

trên không gian Banach phức E , với mỗi phần tử x Î A và số phức l sử
dụng ký hiệu bằng cách viết x - l thay vì x - l 1
Định nghĩa 2.1. Với mỗi phần tử x Î A phổ của

 ( x )  { 

tập

x

được định nghĩa là

: x    A 1 }

Chúng ta sẽ phát triển các thuộc tính cơ bản của phổ đầu tiên nó luôn là tập
Compact
Định đề 2.2. Với mỗi x Î A , s ( A) là tập con đóng của

{Z 

:| Z | || x ||}

Chứng minh.
Bổ sung của phổ được cho bởi;

21

\  (x)  {  : x    A1}


- 1

Khi A

là mở và f  Af là liên tục, bổ sung của

s ( A) phải mở, để

chứng minh khẳng định này chúng ta thấy rằng không có số phức l nào
với | l |> || x || có thể thuộc về

s ( A) .

Thật vậy với mỗi l như vậy công thức

x - l = (- l )(1- l - 1x)
Mà thực tế là || l

- 1

x ||< 1

Tức là x - l khả nghịch.
Định lý 2.3.

s (x) ¹ Æ với mỗi x Î A

Chứng minh
Ý tưởng là để cho thấy rằng nếu s ( x) = Æ,

A _giá trị hàm

f (l ) = ( x - l )- 1 là một hàm hoàn toàn có giới hạn, nó tiến tới không
khi l ® ¥ . Một yêu cầu đối với kết quả định lý Liouville mong muốn có
được kết luận chi tiết như sau:
- 1
Với mỗi 0  ( x) , ( x - l ) là định nghĩa của tất cả l đủ gần l 0 bởi vì

s ( x ) là đóng và chúng ta thấy rằng
(2.1)

1
[( x   )1  ( x  0 )1 ]  ( x  0 )2
 0   
0
lim

Trong chuẩn tôpô của

A

Thật vậy
Chúng ta có thể viết

(x - l )- 1 - (l - l 0 )- 1 = (x - l )- 1 [(x - l 0 ) - (x - l )](x - l 0 )- 1

= ( x - l 0 )( x - l )- 1 ( x - l 0 )- 1

22


Chia cả hai vế cho l - l

-1

0

-1

và sử dung kết quả (x- l ) ® (x- l 0 )

khi

l ® l 0 để có được kết quả trên.
Ngược lại
Giả sử rằng

s ( A) là rỗng và chọn tùy ý một gới hạn hàm tuyến tính r trên

A các vô hướng có giá trị hàm là
f (l ) = r (( x - l )- 1) Được định nghĩa hầu khắp nơi trong

và nó là dễ

hiểu trong (2.1). f có một phát sinh phức tạp hầu khắp nơi thỏa mãn

f '(l ) = r (( x - l )- 2 ) do đó f là một toàn bộ hàm
Chú ý rằng là có giới hạn để biết được điều này chúng ta cần phải cho

|| (x - l )- 1 || của l lớn. Thật vậy nếu | l |> || x ||
Ta có

|| (x  )1 ||

1
||

|| (1 1x)1 ||

Áp dụng định lý 1.4
Ta có

|| ( x   )  1 ||

1
1

|  | (1  || x || | |) |  |  || x ||

Và rõ ràng vế phải của nó tiến tới không khi | l |® ¥ . Do đó hàm

l a || ( x - l ) - 1 || không tồn tại ở vô cực.
Ta có f là toàn bộ hàm có giới hạn mà theo định lý Liouville thì nó phải
liên tục. Giá trị của hằng số là 0 vì f không tồn tại ở vô cực.
Chúng ta kết luận rằng r ((x - l

-1

) )= 0

với mỗi  

và với mọi giới

hạn hàm tuyến tính r . Định lý Hahn – Banach cho biết rằng (x - l

23

-1

) =0


với mỗi  
trong

. Nhưng điều này là vô lý vì (x - l

- 1

)

là nghịch (và 1 ¹ 0

A)

Định nghĩa 2.4. Một đại số bộ phận

A (trên £ ) là một đại số phức tạp về

mặt kết hợp với đơn vị là 1 mà mỗi phần tử khác không trong

A đều có

khả nghịch
Định nghĩa 2.5 Một đẳng cấu của đại số Banach

A và B là một đẳng cấu

q : A ® B của các cấu trúc đại số cơ bản, cũng là một đẳng cấu Tôpô do
đó có các hằng số dương a , b sao cho

a || x ||£ || q ( x ) ||£ b || x ||
Với mọi phần tử x Î A
Hệ quả 2.6. Bất kỳ bộ phận đại số Banach là đẳng cấu một chiều với đại
số
Chứng minh.
Xác định  :

 A bởi q (l ) = l 1 , θ rõ ràng là đẳng cấu

của

vào 1 bao gồm tất cả các tích vô hướng của nó cho thấy rằng θ là

vào

A , Tuy nhiên với bất kỳ phần tử x Î A theo định lý Gelfand có một

số phức

l Î s ( x) vậy x - l là không khả nghịch,từ A là một đại số bộ

phận nên x - l phải là 0 do đó

x = q (l )

Có nhiều đại số bộ phận trong toán học đặc biệt là giao hoán
Ví dụ 2.7. Có một đại số của tất cả các hàm hợp r ( z ) = p( z) q( z ) của
biến phức. Trong đó p , q là những đa thức với q ¹ 0 hoặc là đại số của
tất cả tổng






an z n

Trong đó a n là một chuỗi vô hạn với an = 0 khi n đủ lớn

24


Chương 3
BÁN KÍNH PHỔ

Trong phần này

A có nghĩa là một đại số Banach với đơn vị 1 và

||1|| =1. Chúng tôi giới thiệu các khái niệm về bán kính phổ và chứng minh
một tiệm cận hữu ích công thức do Gelfand, Mazur và Beurling
Định nghĩa 3.1. Đối với mỗi x Î A bán kính phổ của x được định nghĩa
bởi:

r( x) = sup{| l |: l Î s ( x)}
Chú ý 3.2. Khi phổ của

x

được xác định ở vị trí trung tâm bán kính ||x||

sau đó r ( x ) £ || x || tức là đối với  

chúng ta có

r (l ( x )) = | l | r ( x))
Chúng ta yêu cầu các hình thức sau đây của ánh xa phổ Orem. Nếu
một phần tử của

A và f là một đa thức

Sau đó
(3.1)

f (s ( x)) Í s ( f ( x))

25

x




Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×