Tải bản đầy đủ

Luận Văn Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và khó khăn khi mới làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên trong khoa. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý
báu cả các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, và
các thầy cô giáo trong trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới Tiến sĩ Tạ Ngọc
Trí, đã giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành được bài khoa luận tốt
nghiệp của mình.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện
cho em hoàn thành được Khóa luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Lành

Nguyễn Thị Lành


1

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Kháo luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ ngọc Trí
cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện Khóa luận
tốt nghiệp của em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục tài liệu
tham khảo.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của em,
không trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách
nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Lành

Nguyễn Thị Lành

2

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Lời cảm ơn……………………………………………………….. 1
Lời cam đoan…………………………………………………….. 2
Mục lục…………………………………………………………… 3
Mở đầu…………………………………………………………… 4
Chƣơng 1. Những kiến thức cơ

6


sở……………………………….
1.1. Một vài ký hiệu…………………………………………... 6
1.2. Không gian các hàm

8

thử…………………………………..
1.3. Hàm suy rộng

12

Schwartz…………………………………...
1.4. Sự hội tụ của hàm suy rộng………………………………. 16
1.5. Đạo hàm của hàm suy rộng………………………………. 17
1.6. Nguyên hàm của hàm suy rộng…………………………... 18
1.7. Giá của hàm suy rộng…………………………………….

19

1.8. Tích chập………………………………………………..... 21
1.9. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng……………………..... 28
1.10. Tích của một hàm suy rộng và một hàm

35

trơn……………
Chƣơng 2. Hàm suy rộng theo dãy……………………………... 38
2.1. Tích của hai hàm suy rộng……………………………….. 38
2.2. Kết quả không thể của Schwartz…………………………. 44
Kết luận…………………………………………………………... 46
Tài liệu tham khảo………………………………………………. 47

Nguyễn Thị Lành

3

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm suy rộng kể từ khi ra đời vào thế kỷ XX đã góp phần quan trọng vào
việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Do nghiệm của
phương trính đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
nói riêng, thường không tồn tại toàn cục, nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm
cho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên bức xúc.
Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng với sự đóng góp chủ yếu của nhà toán
học Pháp L. Schwartz, đã giải quyết được cơ bản những vấn đề của lý thuyết của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Tuy nhiên, theo định nghĩa hàm suy rộng
của L. Schwartz không thể lấy tích của hai hàm suy rộng tùy ý. Vì vậy mở rộng
với định nghĩa của nhà toán học Mikusinski có thể lấy tích của một số hàm suy
rộng. Tuy nhiên định nghĩa của ông chưa thể giải quyết hoàn toàn vấn đề này.
Hàm suy rộng vẫn còn rất xa lạ và mới đối với sinh viên, cùng với mong
muốn được nghên cứu và tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, bước đầu làm quen với
công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài " Hàm suy rộng định nghĩa
theo dãy ".
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu một số khái niệm cơ bản về hàm suy rộng Schwartz
- Tìm hiểu và trình bày một khái niệm về hàm suy rộng định nghĩa theo dãy của
nhà toán học Mikusinski.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về một số khái niệm, tính chất của hàm suy rộng Schwartz
như: Sự hội tụ, đạo hàm, nguyên hàm, giá, tích chập, biến đổi Fourier và tích của
một hàm suy rộng và một hàm trơn.

Nguyễn Thị Lành

4

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Bước đầu làm quen và tìm hiểu về tích của hai hàm suy rộng định nghĩa theo
dãy của Mikusinski và chỉ ra tính chưa triệt để của định nghĩa này.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận
văn gồm 2 chương:
Chương 1: Những kiến thức cơ sở
Trình bày sơ lược một số khái niệm cơ bản về hàm suy rộng Schwartz
Chương 2: Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy.
Tìm hiểu khái niệm hàm suy rộn định nghĩa theo dãy của Mikusinski.

Nguyễn Thị Lành

5

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

CHƢƠNG I
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản
Trong luận văn này, ta sẽ ký hiệu  ={0 , 1 , 2 ,…} là tập các số tự nhiên ,

 * là tập các số tự nhiên khác 0,  là tập các số nguyên,  biểu thị cho tập các
số thực và trường thực,  biểu thị cho tập các số phức và mặt phẳng phức. Với
mỗi số tự nhiên n , tập  n ={  = ( 1 ,  2 , …. ,  n ) /  j   j = 1, 2, … , n },
tập  n = {x = (x1, x2 , … , xn) / xj   , j = 1 , 2, … , n } là không gian thực n
chiều với chuẩn Euclid
n

x =(

x
j 1

2
j

)1/2

Mỗi phần tử  = ( 1 ,  2 , … ,  n )   n là một n - chỉ số (hay đa chỉ số) với
bậc  = 1 +  2 + … +  n .
Với mỗi đa chỉ số  , toán tử vi phân ký hiệu  = 1  2 ...  n ở đây  j =
1

và toán tử D = D1 D2 … Dn , trong đó D j =
1

n

2

2

n


x j


= - i j , j = 1 , 2 ,… , n.
ix j

Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu  là một tập mở trong  n .
Với mỗi 1  p   thì:

Lp    = {f :    /



f  x  dx < +  }
p



Lp    là không gian định chuẩn với chuẩn
f

Nguyễn Thị Lành

p

=(

 f  x

p

)

1
p



6

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Khi p =  thì L    = { f

:    / esssup f  x  < +  }, trong đó:
x

esssup f  x  = inf {M > 0 sao cho  { x / f  x  > M} = 0.
x

Chuẩn trong L    là f



= esssup f  x  .
x

Với mỗi  = ( 1 ,  2 , …,  n )   n ,  = ( 1 ,  2 , …,  n )   n thì    khi

 j   j , j = 1, 2, …, n. Nếu    ta viết:
   =     …  
     
 
      
 
1

2

n

1

2

n

Trong đó

j !
 
=
   !   !
 
j 
j
j
j

, j = 1, 2, … , n

j

Ta ký hiệu C k    là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới cấp k. Với f, g 

C k    thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz

!
  f    g
   !   !

(1.1.1)

!
D  fD  g
   !   !

(1.1.2)

  fg  = 

D  fg  = 

Trong đó  ! = 1 ! 2 !... n ! và   k. Cho  là tập khác rỗng và    n . Ta
ký hiệu C     là tập hợp những hàm f giá trị phức xác định trên  sao cho
 f tồn tại với mọi đa chỉ số  . Ta nói của hàm liên tục f :    , là tập hợp

ký hiệu bởi supp f và được xác định bởi supp f = cl { x : f  x   0}.

Nguyễn Thị Lành

7

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Nếu K là một tập compact trong  n ta ký hiệu Dk là tập hợp { f  C    n  :
supp f  K}.
1.2. Không gian các hàm thử
Bổ đề 1.2.1. Cho    n và    . Khi đó tồn tại dãy các tập compact { K j },
( j = 1, 2, 3, …) thỏa mãn K j  int K j 1 và U j 1K j   .
Do đó ta ký hiệu K là một tập compact của  và K j là một trong các tập
compact trong họ K j nói trong bổ đề (1.2.1).
Mệnh đề 1.2.2. C     là một không gian Frechet và DK là không gian con
đóng của C     , với mọi K   .
Chứng minh: Do  là mở nên theo bổ đề 1.2.1 có dãy các tập compact K j , ( j
= 1, 2, …..) sao cho K j  int  K j 1  và   j 1 K j
Với mỗi N = 1, 2, … ta đặt

pN  f  = max{  f  x  : x  K N ,  < N } ,
Thì pN là một nửa chuẩn. Hơn nữa họ các nửa chuẩn pN có tính chất tách được
các điểm trong C     và topo sinh bởi chuẩn có một cơ sở lân cận đếm được.
Do đó một mêtric bất biến qua phép tịnh tiến tương thích với họ đếm được chuẩn

pN , N =1, 2, … có thể được xác định như sau:

2 N pN  f , g 
.
d  f ;g  
N 1 1  p  f , g 
N


Metric xác định như trên là đầy đủ. Từ đó suy ra C     là không gian Freclet.

Nguyễn Thị Lành

8

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Với mỗi x , hàm Fx : f  f  x  là hàm liên tục trong topo bởi họ sinh bởi
họ đếm được chuẩn pN với N = 1, 2, …Ngoài ra ta cũng có

DK   Ker
Fx

x

K

Do đó DK là không gian con đóng của C     với mọi tập compact K của  .
Mệnh đề được chứng minh.
Vậy với mọi tập compact K   thì DK    là một không gian Frelet. Hợp
tất cả các không gian đó ta lại có một không gian quan trọng, đó là không gian
các hàm thử.
Định nghĩa 1.2.3. Ta ký hiệu D    là tập hợp

D    = {  C     : supp  là tập compact trong  }.
Ta gọi D    là không gian các hàm thử (test function ).
Dễ thấy D    = j 1 DK    nên D    là không gian vectơ.
j

Mệnh đề 1.2.4. Không gian các hàm thử D    là một không gian vectơ topo
lồi địa phương.
Chứng minh: Theo mệnh đề (1.2.1) ta có DK    là không gian Frelet. Ký
hiệu  K là topo lồi trên DK    ,  là họ tất cả các tập W cân, lồi của D    sao
cho DK  W  K với mọi tập compact K   . Gọi  là họ tất cả các tập hợp có
dạng   W với   W với   D    và W   .
a) Ta sẽ chứng minh  là một topo trên D    và  là một cơ sở lân cận của

 . Thật vậy, với V1 , V2  và V1  V2 , ta chỉ cần chứng minh tồn tại W  

Nguyễn Thị Lành

9

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
sao cho   W  V1  V2 . Ta có, do  Vi , ( i = 1, 2, …) nên tồn tại  j  D   
và Wi   , sao cho i  Wi , ( i = 1 ,2)
Chọn tập compact K   sao cho  ,  i  DK ( i = 1, 2). Do DK  Wi mở trong

DK nên tồn tại  i > 0, ( i = 1, 2 ) sao cho   i  1   i  Wi
Do Wi là tập lồi nên

  i +  iWi  1   i  Wi +  iWi = Wi
Suy ra

   i Wi   i + Wi  Vi

( i = 1, 2)

Từ đó ta chọn W = 1W1    2 W2  thì   W  V1  V2
Vởy  là một topo trong.
Dễ dàng chỉ ra được  là một cơ sở của  . Giả sử 1 ,  2 là hai phần tử phân
biệt tùy ý của D    . Với mỗi   D   ta đặt

 0 = sup   x  và
x

W ={  D    : 1   2 0 } thì W   và 1  2 + W .
Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong D    theo topo  .
b) Tiếp theo ta sẽ chứng minh các phép toán trên D liên tục với topo  .
Với mọi 1 ,  2  D    và 1 +  2 + W   với W  . Vì W là cân nên

1
W 
2

suy

ra

1
1  W  ;
2

1
 2  W 
2



1
1
1  W    2  W   1  2  W
2
2
Vậy phép cộng hai phần tử trong D    là liên tục theo  . Với 0  và

0  D   ta có:

Nguyễn Thị Lành

10

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

  00 =     0  +   0  0
1
1
Với mọi W   tồn tại  > 0 sao cho  0  W . Đặt c 
thì do W
2  0   
2
là tập lồi và cân nên ta có   0W , với mọi   0   và 0  cW
Vậy phép nhân phần tử trong D    với phần tử vô hướng là liên tục trong

D    theo topo  . Suy ra không gian các hàm thử D    là không gian vectơ
lồi địa phương.
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện đại.
Sau đây chúng ta thừa nhận các tính chất của D    .
Định lí 1.2.5. Cho không gian D    với topo  . Ta có:
1. Dãy các hàm {  l } l1 hội tụ theo topo  tới  0 trong D    khi và chỉ khi tồn
tại j   * sao cho supp l  K j với mọi l  * và l  0 trong Dk    , nga
j


sup  l  x    0  x   0 khi l  

(1.2.1)

xK j

Với mọi đa chỉ số 
2. Tập E  D    khi và chỉ khi tồn tại j   * sao cho E là tập con bị chặn
trong DK    . Đặc biệt nếu {  l } l1 là dãy Cauchy trong D    thì tồn tại
j

j   * sao cho  l hội tụ trong DK    và do đó hội tụ trong D    .
j

3. Một phiếm hàm tuyến tính  : D      liên tục khi và chỉ khi với mọi
j   tồn tại N j  và hằng số c j > 0 sao cho:
sup      c j sup {    x  :   N j }

DK j   

Nguyễn Thị Lành

xK j

11

(1.2.2)

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Định lí 1.2.6. Trong không gian D   
1. Phép lấy vi phân  :     là tuyến tính, liên tục trên D    với mọi đa
chỉ số  .
2. Với mọi f  C    thì ánh xạ M f :   f  cũng là tuyến tính liên tục trên

D   .
1.3. Hàm suy rộng Schwartz
Định nghĩa 1.3.1. Cho    n là một tập mở. Một ánh xạ dạng u : D    
được gọi là hàm suy rộng nếu, với mọi tập compact K   , tồn tại một số thực

c  0 và một số nguyên không âm N thỏa mãn
u,   c  sup  

(1.3.1)

 N

Với tất cả các   D    với supp   K .
Tập tất cả các hàm suy rộng trên  được ký hiệu D'    . Với mỗi hàm suy rộng
u ta viết là u,  .

Chú ý 1.3.2. D'    là không gian vectơ với các phép toán
 Phép cộng: Với mọi u, v  D'    . Khi đó u  v  D'   và ta có:

u  v,  = u,  + v,  , với mọi   D  
 Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi u  D'   và mọi số phức  ta
định nghĩa u như sau:

u,  =  u,  ,   D   
Khi đó u  D'   .

Nguyễn Thị Lành

12

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Mệnh đề 1.3.3. Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D    . Các mệnh đề
sau tương đương:
i) u  D'  
ii) Với mọi tập compact K   , tồn tại số thực c > 0 và một số nguyên không
âm N , sao cho:

u,   c  sup  

(1.3.2)

 N

Với mọi   D   , và supp   K
iii) Mọi dãy {  } j 1 hội tụ về 0 trong D    thì lim
u,  = 0.
j
Nhận xét: Trong (1.3.2) nếu ta thay N bởi N '  N thì vẫn đúng.
Định lí 1.3.4. Cho    n là một tập mở và cho f  D   . Khi đó:

f ,    f dx ,  D   

(1.3.3)

là một hàm suy rộng. Hơn nữa nếu vế phải của (1.3.3) triệt tiêu với tất cả

 D    thì f  0 trên  .
Chứng minh:
Rõ ràng (1.3.3) là một hàm suy rộng, khi

 f dx  sup  

f dx ,  D   

(1.3.4)

K

ở đó K   là một tập compact và

D  K  ={  :  D   n  , supp   K }

(1.3.5)

Bây giờ, ta giả sử vế phải của (1.3.3) bị triệt tiêu cho tất cả  D    nhưng

f  y  với vài điểm y   . Từ tính liên tục của f thì tồn tại   0 thì
Re  f  x  ; f  y   

Nguyễn Thị Lành

1
nếu
2

x  y 

và rõ ràng ta có thể giả sử rằng

13

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
{ x : x  y   }   . Do đó, với mọi giá trị thực   D    thỏa mãn   0,

supp   { x  1 },   dx  1.


0 = Re 

f  x  x  y 
1 x y
1 n

 dx    
dx   là vô lý.
2   
2
f  y   

Vậy định lí được chứng minh.


dụ

1.3.5.

Mỗi

hàm

f  Lloc   



một

hàm

suy

rộng

f :   f ,    f  x    x dx


Thật vậy, với mọi tập compact K   và mọi hàm  D   sao cho

supp   K ta có:
f , 

 f  x    x  dx   f  x    x  dx   f  x    x  dx  sup



K

  x   f  x  dx

K

K

K

Vậy với N  0 và c   f  x  dx thì f là hàm suy rộng cấp 0.
K

Chú ý 1.3.6. : (Cấp của hàm suy rộng)
Cho K   , f  D'    . Ta nói hàm suy rộng f có cấp hữa hạn trên K nếu
có một số nguyên không âm k và có một số dương c sao cho

f ,  c  sup D  x  ,   C0    , supp   K

(1.3.6)

  k xK

Số nguyên không âm k nhỏ nhất trong các số nguyên không âm mà ta có bất
đẳng thức (1.3.6) được gọi là cấp của hàm suy rộng f trên tập hợp K . Nếu
không có số nguyên không âm k nào để có bất đẳng thức (1.3.6) với số dương c
nào đó thì ta nói rằng hàm suy rộng f có cấp vô hạn trên tập hợp K .

Nguyễn Thị Lành

14

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Để đơn giản, ta nói rằng hàm suy rộng f  D'   có cấp k nếu nó có cấp k
trên  .
Ví dụ 1.3.7. (Hàm Dirac)
Hàm Dirac ký hiệu là  được xác định như sau:

 : D   n    và  ,  =   0 
là một hàm suy rộng cấp 0.
Thật vậy, với mọi tập compact K   n và với mọi  D   n  sao cho

supp   K ta có  ,     0   1.sup K   x  .
Ví dụ 1.3.8. Với mỗi f  L1,loc   và với   n , ánh xạ:
u f , :    f  x   D    x  dx là một hàm suy rộng.


Ví dụ 1.3.9. Trên  xét hàm suy rộng f xác định như sau:


f ,      j   j  ,   D    ,
j 0

Thế thì f là hàm suy rộng cấp vô hạn.

 1 1
Thật vậy: Chọn   D    sao cho   x   1, x    ,  , supp    1;1 . Đặt
 2 2
j
x j
 j  x   x  j   j 
 , với  j  0 chọn thích hợp.
  

Ta có D k  j  k   0 nếu k  j và D j  j  j   j ! nên f ,  j  j !
Nhưng nếu x  j   j thì  j  x   0 nên sup Dk  j  x   c jj k , k  j ta chọn  j
x

sao cho:
j 1

f ,  j  j !  j  sup D k  j  x  .
k 1

Nguyễn Thị Lành

15

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Do đó với mỗi k  0, c  0 ta chọn j =max k  1, c  1 thì ta có:
j 1

j 1

l 1 x

l 1 x

f ,  j  j !  j  sup Dl  j  x   c sup Dl  j  x  .
Bởi vậy f có cấp vô hạn.
Định nghĩa 1.3.10. Cho u  D'  
1. Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K   , ký hiệu u

K

0

nếu u,   0 với mọi  D  K 
2. Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu supp u và được xác định bởi

supp u =  \ {  { K \ K mở}   và u K  0 }
Nếu u có supp u là tập compact trong  thì ta nói u là hàm suy rộng có giá
compact.
1.4. Sự hội tụ của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.4.1. Cho    n là một tập mở và cho  u j  , 0  j   là dãy các
hàm suy rộng trên  . Dãy được gọi là hội tụ trong D'    tới u  D'   nếu
lim
u j ,  = u,  với mọi   D  
j

Chú ý: Định nghĩa hội tụ này được mở rộng một cách rõ ràng cho các tập hợp
nhất định của các hàm suy rộng phụ thuộc vào một tham số liên tục.
Định lí 1.4.2. Nếu ( f j ), 1  j    L1    là một dãy mà hội tụ hầu khắp nơi
loc

tới một hàm f và có một hàm g  L1    mà f j  g cho tất cả j , thì
loc

f  L1    và D'    khi j  
loc

Chứng minh: áp dụng các định lí hội tụ chiếm ưu thế để kết luận rằng

Nguyễn Thị Lành

16

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

f j ,    f j dx   f dx  f ,  khi j   với tất cả  D   
Chú ý: Điều này đúng với các trường hợp cơ bản của một dãy các hàm liên tục
mà hội tụ đều trên tập compact.
Định lí 1.4.3. Cho    n là một tập mở và cho ( u j ), 1  j   là một dãy các
hàm suy rộng trên  mà có tính chất rằng, với mỗi   D   dãy u j ,  hội tụ
khi j   . Sau đó

  u,   lim
u j ,  ,  D   
j 
Là một phần tử của D'    .
1.5. Đạo hàm của hàm suy rộng
Một trong những lý do cần mở rộng khái niệm hàm đó là mọi hàm trong đó
phải khả vi. Trong không gian D'    ta có:
Mệnh đề 1.5.1. Cho u  D'   là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ số

  n toán tử tuyến tính được ký hiệu  u xác định bởi
 u,    1



u,   ,  D   

(1.5.1)

Là một hàm suy rộng.
Chứng minh:
Với mỗi tập compact K   và mọi hàm  D   sao cho supp   ta có:

 u ,   u ,   
Ta lấy dãy   j  trong D    sao cho supp  j  K , j = 1, 2, … và  j  0 khi

j   . Do tính liên tục của phép lấy vi phân trong D    nên ta cũng có
  j  0 , khi j   . Từ đó suy ra

Nguyễn Thị Lành

17

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp


lim

u
,


lim
u
,

 0
j
j 

Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.5.2. Cho u  D'   . Hàm suy rộng  u ,  = 1, 2, …, n được cho
bởi (1.5.1) được gọi là đạo hàm cấp  của hàm suy rộng u .
Ví dụ 1.5.3.
Lấy    .
Hàm Heaviside xác định bởi

1
H  x  
0

khi x>0
khi x  0

Ta có:


H ,    H ,       x dx    0  ,   C c    .


0

Do đó: H  
1.6. Nguyên hàm suy rộng
Trong trường hợp    , với f , F  D'    , ta nói F là nguyên hàm suy
rộng của hàm f nếu đạo hàm suy rộng của F là f , nghĩa là DF  f .
Mệnh đề 1.6.1. Mọi hàm suy rộng f  D'    đều có nguyên hàm suy rộng.
Chứng minh: Với mỗi   C0    đặt


  x     x     x     x  dx


x

  x      t dt


Có   x   C0    nên với mỗi hàm suy rộng f  D'    , ta có thể đặt:

F ,   f , .

Nguyễn Thị Lành

18

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Khi đó, F  D'    và
x

DF ,  F ,  f ,  x      t  dtdy  f ,
'



Nếu hàm suy rộng F có đạo hàm suy rộng DF  0 thì

 

F ,  F ,      t  dt  F , 
 

 

= DF ,      t  dt  F , 
 

 

=     t  dt  F , 
 

Do đó, nếu hàm suy rộng F có nguyên hàm suy rộng DF  0 thì F tương ứng
với hàm hằng F  F ,  trong lớp khả tích địa phương Lloc
 .
1 
Khi đó, với mỗi hàm suy rộng f  D'    , luôn có một họ các nguyên hàm
suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng có thể
biểu diễn dưới dạng hàm khả tích địa phương hằng.
1.7. Giá của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.7.1 Giá của hàm   x   D'   n  được định nghĩa là bao đóng của
tất cả các điểm x  n sao cho   x   0 .
Supp  ={ x   n :   x   0 }

(1.7.1)

Rõ ràng supp  là tập compact
Với mỗi tập mở   n ta có tập
D     C 0     {   D   n  : supp    }


(1.7.2)

 
D  
 và supp K  K , trong đó K là tập
Khi đó: K 
 nếu  K 
D n

Nguyễn Thị Lành

19

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
compact trong  là độc lập với K . Phép nhúng D    D   n  là liên tục và
ánh xạ đối ngẫu D'   n   D'   n  được định nghĩa bởi phép toán lấy hạn chế
của hàm suy rộng u  x  trên tập mở  : u  u
Từ định nghĩa ta có: u ,






 u, ,  D  x  . Trong đó .,. là ký hiệu đối

ngẫu giữa D'    và D    .
Định nghĩa 1.7.2. Cho u, v  D'   n  ta nói rằng u  x   v  x  với x nếu

u



v



, nghĩa là nếu: u,  v, ,   D    . Như vậy tồn tại một miền mở

rộng   u    n ở đó u  x   0 , đơn giản   u   V  ,  : u



0

Định nghĩa 1.7.3. Giá của hàm u  D'   là tập: supp u : 

n

 u 

. Nếu

supp u  K trong đó K là một tập trên  n thì ta nói rằng u là một tập trung
trên K . Ta viết: D'  K  = { u  D'   n  : supp u  K }.
Nếu K là tập đóng trong R n thì D'  K  là không gian con đóng của D ' và
định nghĩa hội tụ trên D'  K  trùng với định nghĩa hội tụ trên D ' .
Ví dụ 1.7.4. Supp   x     trong đó   = { x   : x  0 }
Supp   x  a  = supp     x  a   a , a  n

Định nghĩa 1.7.5. Tập tất cả các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu là

 ,  n  .

Nguyễn Thị Lành

20

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

D
Ta định nghĩa, uk 
u nếu uk 
u và supp uk  K trong đó K là
,

'

tập compact trên  n độc lập với k . Mọi hàm suy rộng u  x    '   n  là hàm có
giá compact.
Bổ đề 1.7.6. Nếu u   '   n  và supp u  K thì với mọi   0

u ,  c 

cm  K 

 C  n 

(1.7.3)

Với mỗi c  0 và với mỗi số nguyên âm m . Trong đó K là một  - lân cận
của K .
Khi đó m là một bậc của hàm suy rộng u .
Hệ quả 1.7.7. Nếu u  D'   n  và supp u    trong đó   n thì:

u  x 

C    x  a 



(1.7.4)

m

Với mỗi m   và C  .
Định nghĩa 1.7.8. Nếu u  x   D'   n  và   x     C    n  , trong đó K : =
supp u  supp  là tập bị chặn trên  n , khi đó ta viết:

u  x  ,  x   u  x  ,  x  ,  x 

(1.7.5)

Trong đó   x   D   n  và   x   1 trên một lân cận của K . Công thức
(1.7.5) không phụ thuộc vào cách chọn hàm   x  .
1.8. Tích chập

Nguyễn Thị Lành

21

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Cho 1  p   , đặt Lp   n  là tập hợp các hàm xác định và đo được trên
 n và



f  x  dx   . Ta biết rằng không gian Lp   n  là không gian Banach
p

n

tách được với chuẩn f

Lp

1

p


:   f  x  dx 



p

n

Bổ đề 1.8.1. Nếu f , g  L1   n  thì h  x  

 f  x  y g  y  dy  L   
n

1

n

Chứng minh:
Theo định lí Fubini ta có:





 h  x  dx    f  x  y  g  y  dy dx     f  x  y  g  y  dy dx

n

n n

n







n

 g  y  dy  f  x  y  dx

n

 g

n

1

f 1   với hầu khắp x  n

Vậy h  x   L1   n 
Bổ đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.8.2. (Tích chập trong không gian Lp   n  )
Giả sử f , g  L1   n  . Tích chập của hai hàm f và g là một hàm được xác
định bởi  f  g  x  

 f  x  y  g  y  dy

n

Định lí 1.8.3. (Bất đẳng thức Young)

Nguyễn Thị Lành

22

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Giả sử f  L1   n  , g  L1   n  với 1  p   . Khi đó f  g  Lp   n  và

f g p  f

1

g p.

Chứng minh:
+) Với p  1 ta có f  g 1  f
+) Với 1  p   đặt hp  x  

1

g 1 theo bổ đề

 f  x  y g  y

(1.8.1)
p

dy

n

Khi đó như đã chứng minh trong bổ đề (2.7.1) ta có hp  x    với hầu khắp

x  n .
Gọi p ' là số mũ liên hợp của p (nghĩa là 1  1 '  1), áp dụng bất đẳng thức
p
p
Holder ta có:





f  x  y  g  y  dy 

n

f  x  y





1

p

f x  y

1

p

g  y  dy

n

 {  f  x  y  dy} p {  f  x  y  g  y  dy}
1

p

n

 f
Như vậy

 f  x  y g  y  dy

1

p

n

1
1

p

{hp  x }

1

p

(1.8.2)

là tồn tại với hầu khắp x  n . Hơn nữa theo (1.8.2)

n

ta có:
p


f  g p    f  x  y  g  y  dy dx 
 


1

p

n

p
 


     f  x  y  g  y  dy  dx 

  

n

Nguyễn Thị Lành

1

p

n

23

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp





n

f

1

p

1

hp  x 

1

p



p


dx 


1

p


 f




 f 1 p   hp  x dx 



1

1

p


p
 hp  x  dx 
1



1

1

 f

p

n

1
1

p

f

1

G 1

p

n

Với G  x   g  x   x  n .
p

Như vậy f  g p  f

1

g

với 1  p  

p

+) Cuối cùng ta chứng minh định lí đúng với p  
Tacó:

 f  x  y  g  y  dy 

g



n

Như vậy

 f  x  y  dy 

g



f

(1.8.3)

1

n

 f  x  y  g  y dy

là tồn tại với mọi x  n . Hơn nữa từ (1.8.3) ta có:

n

f g



 f

1

g



Định lí được chứng minh.
Định lí 1.8.4. Giả sử   L1   n  sao cho

   x  dx  a , với mọi   0

ta định

n

 x
nghĩa hàm   x     n   , x  n . Khi đó với mỗi hàm f  Lp   n  ,
 
1  p   ta có f    af trong Lp   n  khi   0 .

Chứng minh:


   x  dx  a ,   . Từ bất đẳng thức Minkovski dạng tích phân, ta có:

n

f    af

p

p


    f    af  x  dx 



1

p

n

Nguyễn Thị Lành

24

K34D Toán


Khóa luận tốt nghiệp

p


    f    x   af  x  dx 



1

p

n


 



n


 



n


f  x  y   y  dy  f  x     y  dy 



p





n


f
x


y

f
x

y
dy
dx












p

1

p

n

1

p
p

 p
    f  x   y   f  x    y  dx  dy

 
n

n

1





n

p

 p
  y    f  x   y   f  x  dx  dy     y  f  y  f



n

n

p

dy

Trong đó f  y  f  x   y 
Do C0   n  trù mật trong Lp   n  nên với mỗi   0 tồn tại hàm

g  C0   n  sao cho f  g p 

f  y  f

p

 f  y  g  y


3

. Do đó sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

 g  y  g p  g  f
p

p




3




3




3

=

(1.8.4)

Khi  y đủ nhỏ.

Nguyễn Thị Lành

25

K34D Toán

1

p


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×