Tải bản đầy đủ

Luận Văn Dạng toàn phương trong không gian thực

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ LOAN

DẠNG TOÀN PHƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN THỰC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S ĐINH THỊ KIM THUÝ

HÀ NỘI, 2012


MỤC LỤC
Trang
LỜI MỞ ĐẦU............................................................................................... 1
NỘI DUNG ................................................................................................... 3


Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực................................... 3
1.1. Định nghĩa dạng toàn phương.................................................................. 3
1.1.1. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương............................. 3
1.1.2. Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau..... 7
1.1.3. Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc ............................. 8
1.2. Hạng và hạch của dạng toàn phương ....................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa hạch.................................................................................. 8
1.2.2. Định nghĩa hạng ............................................................................... 10
1.2.3. Mệnh đề............................................................................................ 10
1.3. Luật quán tính của dạng toàn phương .................................................... 12
1.3.1. Định lí (Luật quán tính) .................................................................... 12
1.3.2. Định nghĩa chỉ số quán tính .............................................................. 13
1.3.3. Dạng toàn phương xác định .............................................................. 13
Bài tập chương 1 .......................................................................................... 19

Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 23
2.1. Định lí ................................................................................................... 23
2.2. Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.............. 25
2.2.1. Phương pháp Lagrange .................................................................. 25
2.2.2. Phương pháp biến đổi trực giao ........................................................ 28
2.2.3. Phương pháp Jacobi.......................................................................... 38
Bài tập chương 2 .......................................................................................... 43
KẾT LUẬN................................................................................................. 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 50


LỜI CẢM ƠN
Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của
cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc đến cô, người đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt
tình, chu đáo và nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện khóa luận.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Hình học và các
thầy cô bộ môn trường ĐHSP HN2 đã giúp đỡ em trong quá trình học tập để
thuận lợi cho việc nghiên cứu.
Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc
nghiên cứu khoa học và do năng lực còn có hạn nên khó tránh khỏi những sai
sót. Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy cô, để cho
bài khóa luận được tốt hơn.


Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan


LỜI CAM ĐOAN
Qua một thời gian nghiên cứu, được sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo
Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã hoàn thành nội dung bài khóa luận của mình.
Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùng với sự
hướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hề trùng với bất cứ đề
tài nào. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Loan


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số tuyến tính là một môn học nghiên cứu về không gian véctơ, ma
trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính... và được coi như môn học cơ sở
giúp chúng ta học tốt hơn những môn như: Hình Affin, Hình Euclide, Hình
Xạ ảnh, Giải tích hàm… Ngoài ra nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khoa học khác.
Một phần quan trọng không thể thiếu của Đại số tuyến tính là dạng
toàn phương trong không gian thực. Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu
sâu hơn về mảng kiến thức này, đồng thời được sự động viên của cô giáo
Th.S Đinh Thị Kim Thúy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Dạng toàn
phương trong không gian thực” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học
cho mình.
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: dạng toàn phương trong không gian thực.
- Phạm vi: những kiến thức liên quan đến dạng toàn phương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dạng toàn phương.
4. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu dạng toàn phương để cung cấp những kiến thức cơ bản cho
việc tiếp thu và học các môn hình học tiếp theo và một số môn thuộc bộ môn
giải tích trong chương trình Đại học.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tài liệu
có liên quan....
6. Nội dụng khóa luận
Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

1


Chương 1: Dạng toàn phương trong không gian thực
Chương này trình bày định nghĩa về dạng toàn phương, dạng toàn
phương chính tắc, ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương. Những
định nghĩa về hạng và hạch, luật quán tính của dạng toàn phương.
Chương 2: Một số phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Chương này trình bày một số phương pháp đưa dạng toàn phương về
dạng chính tắc của nó như một số phương pháp: Lagrange, biến đổi trực
giao, Jacobi và áp dụng phương pháp biến đổi trực giao để đưa đường và
mặt bậc hai về dạng chính tắc.

2


NỘI DUNG
Chương 1. DẠNG TOÀN PHƯƠNG
TRONG KHÔNG GIAN THỰC
1.1. Định nghĩa dạng toàn phương
Giả sử V là một không gian véctơ trên trường số thức.
Giả sử  : V  V 

là dạng song tuyến tính đối xứng trên không

gian véctơ V. Khi đó ánh xạ H : V 

xác định bởi

v  H(v)  (v, v) .

Được gọi là một dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính 
Nói cách khác một dạng toàn phương H : V 

là một hàm số xác

định trong không gian véctơ V có công thức xác định ảnh H(v) là một đa
thức thuần nhất bậc 2 đối với các tọa độ của véctơ v trong cơ sở bất kì.
 Chú ý:
Nói chung, một dạng toàn phương đã cho do vô số dạng song tuyến
tính sinh ra nó.
Chẳng hạn, các dạng song tuyến tính (x, y)  2xy  3ax  3ay, a 
chỉ sinh ra một dạng toàn phương H(x)  (x, x)  2x 2
Tuy nhiên, với mỗi dạng toàn phương H(x) thì chỉ có duy nhất một
dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó.
Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là dạng cực của H.
1.1.1. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương
Giả sử H là dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính đối xứng
 
 : V  V  , và ()  1,...,  n là một cơ sở của V, thì với các véctơ:





 n   n 
   x i i ,    x j  j  V ta có:
i 1

i 1

3


n
 
 n 
(, )  ( x i i ,  x j  j ) 
i 1

i 1

n



 
x i x j(i ,  j )

i, j1

 
 
Đặt a ij  (i ,  j ) i, j  1,...,n thì (, ) 

n

 a ijxi x j
i, j1

 
Định nghĩa: Ma trận A  (a ij ) nn trong đó a ij  (i ,  j ) i, j  1,...,n là

ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng  trong cơ sở () của V.
Khi đó A  (a ij ) nn cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H ứng
với dạng song tuyến tính đối xứng 
 
 
Do  đối xứng nên (i ,  j )  ( j , i ) suy ra a ij  a ji
Suy ra ma trận A  (a ij ) nn là ma trận có các a ij  a ji nên ma trận A
đối xứng.

 
Biểu thức H()  (, ) 

n

 a ijx i x j

là biểu thức tọa độ của H trong

i, j1

cơ sở ()
Biểu thức tọa độ dưới dạng ma trận:
 a11 a12
a
a 22
t
H(v)  x Ax   x1 x 2 ... x n   21
 ...
...

 a n1 a n2

... a1n   x1 
 
... a 2n   x 2 
.
... ...   ... 
 
... a nn  x n 

Như vậy việc nghiên cứu các dạng toàn phương thực chất là nghiên
cứu những ma trận trong các cơ sở khác nhau, hay cụ thể hơn là nghiên cứu
những lớp ma trận toàn đẳng.
Khi nói đến ma trận A của một dạng toàn phương nào đó ta luôn hiểu
rằng A là ma trận đối xứng. Ngược lại, mọi ma trận đối xứng A đều là ma
trận của một dạng toàn phương nào đó.

4


 Nhận xét:
n

1. Do A là ma trận đối xứng nên với v   x i i biểu thức tọa độ của
i 1

n

H có thể viết là:

H(v)   a ii x i2  2
i j

n



a ijx i x j

1i, j n
i j

2. Mối liên hệ giữa dạng toàn phương và dạng cực tương ứng
   
 
 
 
 
Ta có: (  ,   )  (, )  (, )  (, )  (, )
 
 
 
 (, )  2(, )  (, )

 

 H()  2(, )  H()
 

 

 H(  )  H()  2(, )  H()
  1
 


 (, )   H(  )  H()  H() 
2

Ví dụ1: Cho dạng toàn phương H : 3  xác định như sau:


H()  2x12  2x1x 2  4x1x 3  x 22  3x 32 ,    x1, x 2 , x 3 
Viết ma trận và biểu thức tọa độ của dạng cực của dạng toàn phương H trên
3

trong cơ sở chính tắc.
Giải:

Biểu thức tọa độ của dạng cực  tương ứng với dạng toàn phương H là:
 
(, )  2x1y1  x1y2  2x1y3  x2 y1  x2 y2  0x 2 y3  2x3y1  0x3y2  3x3y3 ,


với  (x1,x2,x3),   (y1,y2,y3)  3 ứng với cơ sở



()  1  (1,0,0),2  (0,1,0),3  (0,0,1)





 2

Suy ra ma trận của dạng cực là A   1

 2

5

1 2 


1 0 

0 3


Ví dụ 2: Tìm ma trận của dạng toàn phương có biểu thức tọa độ sau
trên

3

với cơ sở chính tắc:

2
2

a) H()  2x1  x 2  x1x 3

b) H()  x12  4x 22  3x 32  9x1x 2  5x1x 3  3x 2 x 3
Giải:
Biểu thức tọa độ của dạng cực  tương ứng với dạng toàn phương H là:



 
1
1
(, )  2x1y1  x1y3  x 2 y2  x3y1 , với  (x1,x2,x3),   (y1,y2,y3) 
2
2



ứng với cơ sở: ()  1  (1,0,0),2  (0,1,0),3  (0,0,1)





Ta gọi A  (a ij )33 là ma trận của dạng toàn phương H
 
Ta biết a ij  (i ,  j ),i, j  1,2,3 , nên:
 
1
1
a11  (1, 1)  2 11   1 0  0  0   0 1  2
2
2
 
1
1
a12  (1, 2 )  2 1 0  1 0  0 1   0 1  0
2
2
 
1
1
1
a13  (1, 3 )  2 1 0  11  0  0   0  0 
2
2
2
a 21  a12  0

 
1
1
a 22  (2 , 2 )  2  0 1   0  01 0   0 1  1
2
2
 
1
1
a 23  (2 , 3 )  2  0  0   0 1  1 0   0  0  0
2
2
a31  a13  

1
2

a32  a 23  0
 
1
1
a33  (3, 3 )  2  0  0   0 1  0  0  1 0  0
2
2

6

3


 2 0 1 
2

Vậy ma trận của dạng toàn phương là: A   0 1
0 


 1
0 0 
 2


 1

 9
b) Làm tương tự phần a) ta tìm được ma trận B  
 2
 5

 2

9
2

5 
2 

4

3 

3



3 




1.1.2. Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau
Giả sử H là dạng toàn phương trong không gian véctơ V , A và B là
  
  
hai ma trận của H trong hai cơ sở ()  1,  2 ,...,  n và ()  1,  2 ,...,  n









của V . Nếu T là ma trận chuyển từ cơ sở () sang cơ sở () thì B  T t AT
Chứng minh:
Kí hiệu A  (a ij ) nn , B  (bij ) nn ,T  (t ij ) nn , đặt T t AT  D  (d ij ) nn



 n

Ta có:  k  t1k 1  t 2k  2  ...  t nk  n   t ik i (do T là ma trận chuyển từ
i 1

cơ sở () sang cơ sở () )
Lại có:

n
 
 n

b kh  ( k ,  h )  ( t ik i ,  t jh  j )
i 1

n





 
t ik t jh (i ,  j ) 

i, j1

j1

n

 t ik a ijt jh
i, j1

 d kh

Vậy B  T t AT

7


1.1.3. Định nghĩa dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc
Giả sử  : V  V 

là một dạng song tuyến tính đối xứng trên

không gian véctơ V và H là dạng toàn phương ứng với  .

 
 
Đối với các véctơ ,  V , nếu (, )  0 thì ta nói véctơ   -trực



giao (hay  -vuông góc) với véctơ  và kí hiệu là    .
  
Cơ sở ()  1,  2 ,...,  n được gọi là một cơ sở  -trực giao (hay H-





trực giao) nếu các véctơ của cơ sở này đôi một  -trực giao với nhau, nghĩa
 
là: (i ,  j )  0, i  j
Trong cở sở H-trực giao, biểu thức tọa độ của H có dạng:
n

 n 
H()   a i x i2 trong đó    x i i , a i  a ii
i 1

(1.1)

i 1

Ta gọi biểu thức tọa độ dạng đó là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của dạng
toàn phương H. Các hệ số a i ,i  1,...,n được gọi là hệ số chính tắc của dạng
toàn phương đó.
Ta dễ dàng thấy được ma trận của dạng toàn phương chính tắc là một
ma trận đường chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là các hệ số chính
tắc của dạng toàn phương đó.
Đặc biệt nếu các a i  0,  1 , i  1,...,n thì khi đó biểu thức tọa độ (1.1)
được gọi là dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương H. Ma trận của dạng toàn
phương chuẩn tắc là ma trận chéo mà các giá trị trên đường chéo chính là

0,  1
1.2 Hạng và hạch của dạng toàn phương
1.2.1. Định nghĩa hạch
Giả sử  là một dạng song tuyến tính đối xứng trên V. Ta gọi tập hợp

 

V 0    V | (, )  0,  V





8


là hạch hay hạt nhân của  ( hoặc của dạng toàn phương H tương ứng với
 ) và kí hiệu là Ker  ( hay KerH )


 

Vậy Ker  KerH    V |  ,   0,   V



 




Nói cách khác, hạt nhân của  là tập hợp các véctơ x  V và  -trực

giao với không gian V . Nếu cố định một cơ sở cho V , và giả sử A  (a ij ) n
là ma trận của dạng song tuyến tính đối xứng  trong cơ sở này thì hạt nhân

t
của  là tập hợp các véctơ x   x1,..., x n  , sao cho x t Ay  0 với
y t   y1,..., yn   R n .

Ví dụ 1: Giả sử dạng cực  có ma trận trong một cơ sở đã cho là
1

A = 1

0


1 0

2 0  . Tìm ker 

0 2 
Giải:

Ta có: x t A   x1  x 2 ,x1  2x 2 ,2x 3  và

x t Ay  y1  x1  x 2   y 2  x1  2x 2   y3  2x 3  .
Suy ra x t Ay  0 với mọi y nếu và chỉ nếu:

x1  x 2  x1  2x 2  2x 3 = 0.
Nói cách khác, x   x1, x 2 , x 3  là nghiệm của phương trình Ax = 0.
Trong ví dụ đang xét, dễ thấy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

x1  x 2  x 3  0 .
Do đó ker ()  0 .
Ví dụ 2: Trong không gian 3 cho dạng toàn phương:


H()  x 2  y 2  z 2  4xy  4xz  4yz,   (x, y,z)
Tìm hạch của dạng toàn phương đã cho.
9


Giải:
1 2 2 
Ta có ma trận của dạng toàn phương đã cho là: A   2 1 2 
2 2 1 



1 2 2  x 
0
Ta giải hệ phương trình A  0   2 1 2 
y
 
 2 2 1  z 

 
 x  2y  2z  0
 x  4y

 2x  y  2z  0  
y  z
2x  2y  z  0


Chọn y  a ta được   ( 4a,a,a) là nghiệm của hệ phương trình.

Vậy KerH    (4a,a,a)  3 ,a 





1.2.2. Định nghĩa hạng
Giả sử H là một dạng toàn phương trên không gian véctơ V có ma trận
là A trong một cơ sở nào đó của V, khi đó:
Ta gọi rankA là hạng của dạng toàn phương H (cũng gọi là hạng của
dạng cực  của H) và kí hiệu là rankH hay r(H) (hay rank  )
Ta có rankH  dim V  dim(ker )
Nếu rankH =dimV thì dạng toàn phương H (hay dạng cực tương ứng)
được gọi là không suy biến.
Trái lại, nếu rankH < dimV thì H (hay dạng cực tương ứng) được gọi
là suy biến.
1.2.3. Mệnh đề
Hạng của dạng toàn phương H (hay dạng song tuyến tính đối xứng 
tương ứng) bằng hạng của ma trận của H trong một cơ sở bất kỳ.

10


Nói riêng, mệnh đề trên cho thấy hạng của ma trận của dạng song
tuyến tính  không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở. Như vậy, nếu C là một
ma trận khả nghịch thì luôn có cùng hạng với ma trận A.
Chứng minh:


Ta có: Ker  = x  R n | x t Ay  0,  y  R n





Dễ thấy x t Ay  0 với mọi y nếu và chỉ nếu x t A  0 .
Mặt khác, A là ma trận đối xứng nên A  A t

 

Suy ra x t A  0 tương đương với x t A  (x t A t )  (Ax) t  0 suy ra Ax  0

Nói cách khác, Ker  = { x  R n | Ax = 0} = kerA.

Áp dụng công thức: dim(kerA) + rankA = n
 rankA  n  dim(KerA)
 dim V  dim(Ker)
 dim V  dim(KerH)
 rankH

Vậy rankA=rankH
 Chú ý:
Hai ma trận A và B được gọi là tương hợp với nhau nếu tồn tại một
ma trận khả nghịch C sao cho: B = C t AC .
Dễ thấy quan hệ tương hợp là một quan hệ tương đương. Hai ma trận
tương hợp thì có cùng hạng. Điều này có thể chứng minh trực tiếp như sau.
Giả sử B = C t AC là một ma trận tương hợp với ma trận A, ở đó C là
một ma trận khả nghịch. Ký hiệu f, g, h, k là các tự đồng cấu của V có ma
trận trong một cơ sở cố định nào đó lần lượt là A, B, C t , C. Vì C khả nghịch
nên h và k là các tự đẳng cấu. Hơn nữa, g  h  f  k . Từ đẳng thức này, ta
dễ dàng suy ra các không gian con Im(f) và Im(g) đẳng cấu với nhau. Nói
riêng, chúng có cùng số chiều. Như vây B và A có hạng bằng nhau.
11


1.3. Luật quán tính
1.3.1. Định lý (Luật quán tính)
Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính tắc của một
dạng toàn phương H là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc
vào việc lựa chọn cơ sở).
Chứng minh:
Giả sử H là dạng toàn phương trên R-không gian véctơ V có hạng là
 
r>0 và hai cơ sở chính tắc: e1,...,en ,
(I)









1,..., n 

(II)

Nếu cần thì đánh số lại thứ tự các véctơ của các cơ sở đang xét, ta có
thể giả thiết rằng đối với hai cơ sở (I) và (II) dạng toàn phương H lần lượt có
biểu thức tọa độ
H(x)  a1x12  ...  a p x p2  a p 1x p2 1  ...  a r x r2

(a)

và H(x)  c1y12  ...  cq yq2  cq 1yq2 1  ...  cr y 2r

(b)

trong đó a i  0,ci  0,i  1,...,r
Ta cần chứng tỏ p = q. Xét các không gian con
 
 
L  e1,...,e p và M  q 1,...,  r









.




Giả sử x  L  M, x   . Vì x  L nên theo (a) ta có:

H(x)  a1x12  ...  a p x p2  0

Vì x  M nên theo (b) ta có H(x)  cq 1yq2 1  ...  cr y2r  0 .

Mâu thuẫn chứng tỏ giả sử là sai, vậy L  M   .
Ta lại có: dim(L  M)  dim L  dim(L  M)  dim M
= dim L  dim M

 dim V
12


Do đó ta có p  (n  q)  n . Vậy p  q  0 hay p  q
 
Tương tự xét hai không gian con L'  ep 1,...,er





và M ' 





1,..., q 

ta chứng minh được p  q .
Vậy p = q (định lí được chứng minh)
1.3.2. Định nghĩa chỉ số quán tính
Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương. Số các hệ số
âm gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương.
Giả sử (p, q) là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn
phương H trong không gian n chiều V thì: p + q = r(H).
1.3.3 Dạng toàn phương xác định
1.3.3.1 Định nghĩa
Dạng toàn phương H trên không gian véctơ V được gọi là xác định


nếu: H()  0    0 .
Dạng toàn phương H trên không gian véctơ V được gọi là xác định


 
dương (âm) nếu H()  0 H()  0 với mọi 0    V .





Hệ quả: Nếu H là dạng toàn phương xác định dương (âm) trên không
gian véctơ V, và W là không gian véctơ con của V thì thu hẹp của H trên W
(kí hiệu là H W ) cũng là một dạng toàn phương xác định dương (âm) trên W.
Nếu  là dạng cực của dạng toàn phương H thì định nghĩa xác định
dương (âm) đối với  tương tự như đối với dạng toàn phương H.
1.3.3.2. Mệnh đề
Dạng toàn phương H trên R-không gian véctơ n-chiều V xác định
dương (hoặc xác định âm) khi và chỉ khi chỉ số quán tính dương (hoặc chỉ số
quán tính âm) bằng n. Tức là nếu H có dạng chính tắc:
H(x)  b1t12  b 2 t 22  ...  b n t n2 thì bi  0 (bi  0) i  1,...,n .

13


Chứng minh:
(Ta chứng minh trường hợp xác định dương, trường hợp xác định âm
chứng minh tương tự).
Giả sử H là dạng toàn phương xác định dương có dạng chính tắc:
H(x)  b1t12  b2 t 22  ...  bn t n2 .

Nếu có hệ số chính tắc bi  0 thì ta chọn véctơ x  V có tọa độ đối với cơ

sở đang xét là: t1  0,..., t i 1  0, t1  1, t i 1  0,..., t n  0

Khi đó x   nhưng H(x)  bi  0 (mâu thuẫn)
Vậy các hệ số chính tắc bi  0 với mọi i=1,...,n
Ngược lại giả sử các hệ số bi  0,i  1,...,n . Khi đó nếu x  0 thì có ít
nhất một tọa độ t i  0 . Do đó ta có H(x)  bi t i2  0, i  1,...,n .
Vậy dạng toàn phương H xác định dương.
 Tóm lại mệnh đề được phát biểu lại như sau:
H là dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi p = n
H là dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi q = n
1.3.3.3 Định lí (Sylvester)
Giả sử có dạng toàn phương H trên R-không gian véctơ n-chiều V, với
  
ma trận là A trong một cơ sở (e)  e1,e 2 ,...,e n nào đó của V. khi đó:





a) Dạng toàn phương H xác định dương khi và chỉ khi ma trận A có các
định thức con góc trên bên trái của A đều dương.
b) Dạng toàn phương H xác định âm khi và chỉ khi ma trận A có các định
thức con góc trên bên trái cấp chẵn dương, cấp lẻ âm.
Chứng minh:
  
a) Giả sử trong cơ sở  -trực giao ()  1,  2 ,...,  n , H có ma trận chéo



14




 1

0
B
 ...

0

0
2

0 

0 
, i  H(i )
... 0 

0 n 
0
0

...
0

Gọi A k ,Bk tương ứng là các ma trận vuông con góc trên bên trái cấp k của
ma trận A và B. khi đó A k ,Bk là ma trận của H V tương ứng trong các cơ
k

  
  
sở e1,e2 ,...,ek và 1,  2 ,...,  k của Vk . Gọi Ck là ma trận chuyển từ cơ
  
  
sở e1,e2 ,...,ek sang cơ sở 1,  2 ,...,  k thì ta có:




 








Bk  Ckt A k Ck

Ta có: det Bk  det(Ckt A k Ck )  det Ckt .det A k .det Ck  det 2 Ck .det A k
Nên det Bk và det A k cùng dấu do det 2 Ck  0, k  1,...,n .
Từ đó suy ra:
H là xác định dương khi và chỉ khi các i  0, i  1,...,n , suy ra
det Bk  1 2 ... k  0 suy ra det A k  0, k  1,..., n .

Vậy H xác định dương khi và chỉ khi det A k  0, k  1,..., n
b) Chứng minh tương tự ta có:
H xác định âm khi và chỉ khi det A k  0 với mọi k chẵn, det A k  0
với mọi k lẻ, k=1,…,n
Ví dụ1: Cho dạng toàn phương xác định bởi H :

3

bởi H  x, y,z   xy  xz  yz
Tìm chỉ số quán tính dương p và chỉ số quán tính âm q.
Giải:
 0

Ta có ma trận của dạng toàn phương là: A   1
 2
1

 2

15

1

2

0
1

2

1 
2
1 
2

0 



xác định


Giải phương trình đặc trưng: A  I  0

 43  3 1  0

 1   2 

1
, 3  1
2

Vậy (p,q)=(1,2). Hay chỉ số quán tính dương p=1, chỉ số quán tính âm q=2
Ví dụ 2: Cho dạng toàn phương H :
 1

sở chính tắc là A   m

 1


3



có ma trận trong cơ

m 1

1 2  . Với giá trị nào của tham số m thì dạng

2 5 

toàn phương H xác định dương.
Giải:
Từ định lí, để dạng toàn phương đã cho xác định dương thì định thức
con chính của A luôn dương.
Điều đó tương tương với:
 D1  1  0

 1  m2  0
1 m

4

m0
 0  
D2 
5
m
1
2


5m  4m  0
D  A 0
 3

4
m0
5
Ví dụ 3: Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương
Vậy giá trị m cần tìm là:

H:

3

 , H  x, y,z   4x 2  y2  4mz 2  2mxy  4mxz  4yz

xác định âm.
Giải:
 4

Ma trận của dạng toàn phương H là: A   m

 2m


16

m 2m 

1
2 

2 4m 


Dạng toàn phương H đã cho xác định âm khi định thức con chính cấp chẵn
dương, cấp lẻ âm.
Điều này tương đương với:
 D1   4  0


4  m2  0
4 m


0 
D 2 
 m 3  m 2  4m  4  0
m

1


D  A  0
 3

Vậy những giá trị của m thỏa mãn hệ phương trình trên là giá trị cần tìm.
1.3.3.4. Định nghĩa: Hai dạng toàn phương H1,H 2 trên không gian véctơ
thực V được gọi là tương đương nếu có một tự đẳng cấu tuyến tính



 :V  V sao cho H1()  H 2 (()) ,  V
1.3.3.5. Định lí: Hai dạng toàn phương trên không gian véctơ thực V tương
đương với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng chỉ số quán tính.
Chứng minh:
Giả sử hai dạng toàn phương H1,H 2 tương đương với nhau, tức là có



tự đẳng cấu tuyến tính  :V  V sao cho H1()  H 2 (()) ,  V .
  
Nếu (e)  e1,e 2 ,...,e n là cơ sở của V mà trong cơ sở này H1 có dạng






 n 
2
2
2
2
chuẩn tắc: H1()  x1  ...  x p  x p1  ...  x pq ,    x i ei

(1)

i 1


 



Thì hệ ()  1  (e1 ),  2  (e2 ),...,  n  (en ) cũng là cơ sở của V





(do V là tự đẳng cấu).
Giả sử trong cơ sở () này H 2 có dạng chuẩn tắc là:
 n 

2
2
2
2
H 2 ()  y1  ...  y k  y k 1  ...  y k  p ,    yi i
i 1

Khi đó  :V  V là tự đẳng cấu tuyến tính của V chuyển cơ sở (e) thành cở
 
sở () , xác định bởi (ei )  i .

17


 n 



Khi đó mỗi    x i ei  x1 e1  x 2 e 2  ...  x n e n , thì:
i 1








()  (x1e1  x 2 e 2  ...  x n e n )  (x1 e1)  (x 2 e 2 )  ...  (x n e n )



 x1(e1)  x 2(e2 )  ...  x n (en )



 x11  x 2  2  ...  x n  n

(do ánh xạ  là tuyến tính)

 H 2 (())  x12  ...  x 2k  x 2k 1  ...  x 2k  q
(2)


Theo giả thiết thì H 2 (())  H1() , từ (1)(2) đồng nhất hệ số ta suy ra p=k.

Vậy H1,H 2 có cùng chỉ số quán tính suy ra chúng tương đương.

18


BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1: Cho dạng toàn phương H :

3



xác định bởi:

H(x)  x12  2x 22  x 32  4x1x 2  5x1x 3  x 2 x 3



Tìm ma trận của H trong cơ sở e1  (1,1,0),e2  (0,0,1),e3  (1,0,1)





Bài 2: Viết ma trận của dạng toàn phương H trong cơ sở chính tắc của

3

:

H  x1,x 2 , x 3   3x12  2x 2 2  x 32  2x1x 2  4x1x 3  2x 2 x 3
Bài 3 : Viết các dạng toàn phương sau dưới dạng ma trận:


a) H   3x12  x 22  4x1x 2 ,    x1, x 2 


b) H   x12  2x 22  6x1x 2  2x1x 3  x 2 x 3a ,    x1, x 2 x 3 

 
 

Bài 4: Cho dạng toàn phương H :

4



xác định bởi

H(x, y,z, t)  3x 2  2y2  z 2  2t 2  2xy  4yz  2yt . Tìm chỉ số quán tính
của dạng toàn phương đã cho.
Bài 5: Cho dạng toàn phương H :

4



xác định bởi

H(x, y,z, t)  4x 2  y2  4mz 2  2mxy  4mxz  4yz .
Tìm m để dạng toàn phương H xác định âm.
Bài 5: Tìm tất cả những giá trị của m sao cho các dạng toàn phương sau là
xác định dương:
a) 5x12  x 22  mx 32  4x1x 2  2x1x 3  2x 2 x 3
b) 2x12  x 22  3x 32  2mx1x 2  2x1x 3
c) x12  x 22  5x 32  2mx1x 2  2x1x 3  4x 2 x 3
d) x12  4x 22  x 32  2mx1x 2  10x1x 3  6x 2 x 3
Bài 7: Tìm biểu thức tọa độ của mỗi dạng toàn phương dưới đây sau khi
thực hiện phép biến đổi tọa độ tương ứng.

19




a) H()  5x12  3x 22  6x1x 2 ,    x1, x 2 

 x   y1  2y2
Phép biến đổi tọa độ:  1
x 2   y2


b) H()  x12  2x 22  x 32  4x1x 2  2x 2 x 3 ,    x1, x 2 , x 3 

 x1  y1  2y 2

Phép biến đổi tọa độ:  x 2  y2
x  y  y
2
3
 3


c) H()  2x12  3x 22  6x1x 2  2x1x 3  4x 2 x 3 ,    x1, x 2 , x 3 
y3

 x1  y1  2y 2  2

Phép biến đổi tọa độ:  x 2  y 2
x  y  y
3
2
 3



d) H()  x12  x 22  2x1x 2  4x1x 3  6x 2 x 3 ,    x1, x 2 , x 3 

 y1  x1  x 2  2x 3

Phép biến đổi tọa độ:  y 2  x 2
y  x  x
2
3
 3

Bài 8: Tìm hạch và hạng của mỗi dạng toàn phương sau trên

3

:

a) H(x)  2x1x 3  4x 2 x 3  x 32
b) H(x)  x12  5x 22  4x 32  2x1x 2  4x1x 3
Hướng dẫn
Bài 1: Dạng song tuyến tính đối xứng tương ứng với dạng toàn phương đã
cho là:
5
5
1
1
(x, y)  x1y1  2x 2 y2  x3y3  2x1y2  2x 2 y1  x1y3  x3y1  x 2 y3  x3y2
2
2
2
2

 
khi đó ta tính trực tiếp các a ij  (ei ,e j )

20


1 1 
 1
2


7

1


Ta có ma trận A 
1
2
2


7
1
5 
2



Bài 2: Cơ sở chính tắc trong

3

là e1  1,0,0  ,e2   0,1,0  ,e3   0,0,1

 3 2 4 
Ta có ma trận A   0 2 2 
 0 0 1 


  x1  3 2 
3 2 
Bài 3: a) ma trận A  
,
H(

)   

  x1 x 2 
 2 1
 x 2   2 1

 1 3
1 


1 
b)ma trận A   3 2
2

 1 1


2 0 
1 
 x   1 3

  1  
1   x x x 
H()   x 2   3 2
2 1 2 3
 x   1 1

 3 
2 0 

Bài 4: p=2, q=2
Bài 5: 2  m  1
Bài 6: Để dạng toàn phương xác định dương thì tất cả các định thức con
chính đều dương.
a) m  2

b) | m |

5
3

4
c)   m  0
5

d) Không tồn tại m
Bài 7: Gọi A, B lần lượt là ma trận của dạng toàn phương và phép biến đổi
tọa độ. Ta có biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H có thể viết ở dạng

ma trận là H()  x t Ax . Tương ứng với phép biến đổi x=By, ta có biểu thức
21


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×