Tải bản đầy đủ

skkn cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH

TÊN SÁNG KIẾN:
CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC.

MÔN: TOÁN.

NINH BÌNH, THÁNG 4 NĂM 2019


MỤC LỤC
NỘI DUNG
A. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
I. Giải pháp cũ thường làm
II. Giải pháp mới cải tiến
C. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI ĐẠT ĐƯỢC
D. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Phụ lục 1. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM
BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG THẲNG.
Phụ lục 2. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM
BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG TRÒN.
Phụ lục 3. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM
BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG ELIP.
PHẦN KẾT LUẬN.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

TRANG

2


A. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG.
TRÌNH ĐỘ
STT
HỌ VÀ TÊN
CHỨC VỤ
CHUYÊN MÔN
1
Đào Thị Ngọc Thủy
Cử nhân
Giáo viên
2
Phạm Thị Thanh Hà
Cử nhân
Giáo viên
3
Phạm Thị Diễm
Cử nhân
Giáo viên
4
Bùi Mạnh Cường
Cử nhân
Giáo viên
5
Vũ Thị Thanh


Cử nhân
Hiệu phó

ĐÓNG
GÓP
40%
20%
20%
10%
10%

Trong những năm học trước đây, chủ đề số phức rất ít khi có mặt trong các đề thi
đại học, nội dung này chủ yếu chỉ có trong các đề thi tốt nghiệp với mức độ nhận biết,
thông hiểu.
Những năm gần đây chúng ta đang từng bước đổi mới căn bản và toàn diện về
giáo dục, đặc biệt là bộ môn Toán đã có bước thay đổi rất lớn đó là chuyển đổi từ hình
thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, trong đó chủ đề số phức chiếm một vai
trò tương đối quan trọng. Đặc biệt đối với nhóm câu hỏi vận dụng và vận dụng cao, hầu
hết các năm gần đây đều có câu về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất liên quan tới số
phức. Tuy nhiên nguồn tài liệu cho học sinh ôn tập cũng như để giáo viên giảng dạy phần
nội dung này còn khá hạn chế.
Vì vậy, từ thực tiễn và kinh nghiệm dạy của bản thân chúng tôi, để giúp các thầy
cô giáo và các em phần nào tháo gỡ được những khó khăn khi kì thi Trung học phổ thông
quốc gia đang đến gần, chúng tôi đã thực hiện đề tài sáng kiến về “Cải tiến phương pháp
dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của số phức ”.
Hy vọng nội dung sáng kiến trên sẽ phần nào giúp đỡ các thầy cô giáo trong quá
trình dạy ôn tập thi Trung học phổ thông quốc gia và là nguồn tài liệu cho các em học
sinh tham khảo, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tỉnh Ninh Bình.
- Tên sáng kiến: “Cải tiến phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học
phẳng trong bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức ”.
- Lĩnh vực áp dụng: Phương pháp dạy học môn Toán lớp 12.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN.
I. Giải pháp cũ thường làm.
Trước đây khi dạy chủ đề “số phức” cho học sinh phần này giáo viên thường làm
như sau:
1) Cung cấp lí thuyết cơ sở.
2) Hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải bài toán cơ bản áp dụng lí
thuyết vừa được cung cấp.
3) Cho bài tập áp dụng, chủ yếu là thực hiện phép toán về số phức, tìm phần thực,
phần ảo, mô – đun, số phức liên hợp, giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập
hợp số phức, tìm tập điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, có đưa ra một

3


số câu hỏi về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức nhưng thường hướng tới việc đưa
về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
* Hạn chế của phương pháp cũ :
1. Học sinh tuy nắm được lí thuyết nhưng còn nhiều lúng túng, không biết vận
dụng lí thuyết vào làm bài tập.
2. Học sinh được rèn luyện kĩ năng ít, chủ yếu là máy móc vận dụng công thức.
3. Học sinh không biết qui lạ về quen.
4. Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán đề phức tạp hoặc chưa thể áp dụng ngay lí
thuyết.
5. Học sinh không biết xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập đã cho.
6. Thời gian xử lí mỗi câu hỏi thường mất từ 5 tới 7 phút, không phù hợp với hình
thức thi trắc nghiệm
7. Hạn chế của giáo viên: Chưa lường hết sai sót mà học sinh sẽ mắc phải, bố cục
chủ đề chưa hệ thống được chặt chẽ.
II. Giải pháp mới cải tiến.
Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi đã thực hiện sáng kiến “Cải tiến
phương pháp dạy học chủ đề ứng dụng của hình học phẳng trong bài toán tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của số phức ” thông qua một số giải pháp tóm tắtnhư sau:
a) Cung cấp lí thuyết và các kiến thức liên quan theo từng chủ đề.
(Xem chi tiết qua các phần phụ lục)
Chẳng hạn: Với chủ đề “BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA
SỐ PHỨC TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ
ĐƯỜNG THẲNG” chúngtôi đã cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản sau:
* Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0 () .
* Khoảng cách từ điểm A tới điểm M   ngắn nhất khi M là hình chiếu vuông
góc của A lên đường thẳng  . Khi đó AM min = d ( A,  ) .
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z min . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn OA với

A ( a; b ) .

1
1 2

2
 z min = 2 z0 = 2 a + b

a b

z= + i

2 2

TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z − c − di , tìm z min . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn AB với

A ( a; b ) , B ( c; d )
z min = d ( O; AB ) =

a 2 + b2 − c 2 − d 2
2

( a − c ) + (b − d )
2

2

4


• Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khi đó ta cần thực hiện
biến đổi để đưa về dạng cơ bản
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di . Khi đó ta biến đổi
z − a − bi = z − c − di  z − a + bi = z − c − di

+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di . Khi đó ta biến đổi
iz − a − bi = z − c − di  z +

−a − bi
−c − di
= z+
 z + b + ai = z + d + ci
i
i

Từ kiến thức cung cấp đó, chúng tôi nhấn mạnh các em một số trường hợp quỹ
tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng và hướng quy đổi từ bài toán đại số sang bài
toán hình phẳng.
b) Chia chủ đề lớn thành nhiều phần nhỏ. Ứng với mỗi phần đó,chúng tôi hướng
dẫn học sinh tìm “nút thắt” của bài toán, hình thành phương pháp giải cho dạng toán đó
và cho bài tập áp dụng ở cả hai hình thức tự luận và trắc nghiệm từ dễ tới khó.
(Xem chi tiết qua phần phụ lục)
Cụ thể: Chủ đề lớn này, chúng tôi chia thành ba chủ đề nhỏ (Ứng với ba phần phụ
lục):
Phụ lục 1. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG
THẲNG.
Phụ lục 2. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG
TRÒN.
Phụ lục 3. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG
ELIP.
Trong từng chủ đề nhỏ đó, chúng tôi cho các em phân tích đề và định hướng giải
quyết để xây dựng và tổng kết phương pháp giải chung cho cả chủ đề, mục đích là hướng
tới các em có được cách giải quyết tối ưu nhất khi đứng trước một bài toán về vấn đề này.
♦ Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + i = z − 2 − 3i . Mô đun nhỏ nhất của
số phức z bằng
11
.
A.
68

B. −

11
.
68

C.

11
.
10

D.

1
.
68

♥ Phân tích:
Khi đọc câu hỏi với loại toán này ta phải đưa ra một số câu hỏi:
+ CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường nào?
+ CH2: Chuyển điều kiện bài toán thành tính chất hình học nào?
+ CH3: Nêu cách giải bằng cách sử dụng biến đổi đại số?
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )

5


Theo giả thiết ta có: z − 1 + i = z − 2 − 3i  ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 2 ) + ( y − 3)
2

2

2

2

 x2 − 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 = x2 − 4x + 4 + y 2 − 6 y + 9  2 x + 8 y − 11 = 0 ( Δ )

11
2

y



H
O
z min = d ( O;Δ ) =

11
 Đáp án A
68

11
8

x

♦ Ví dụ 2: Trong tất cả các số phức z thoả mãn hệ thức z − 1 + 3i = 3 . Tìm min z − 1 − i
A. 1
B. 3
C. 10
D. 2
♥ Phân tích:
Khi đọc câu hỏi với loại toán này ta phải đưa ra một số câu hỏi:
+ CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường nào?
+ CH2: Chuyển điều kiện bài toán thành tính chất hình học nào?
+ CH3: Nêu cách giải bằng cách sử dụng biến đổi đại số?
♥ Lời giải:
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán. Khi đó từ hệ
thức z − 1 + 3i = 3 ta suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều
kiện bài toán là đường tròn tâm I (1; −3) bán kính R = 3

Đặt A(1;1)  AI = 4, z − 1 − i = MA , khi đó

min z − 1 − i = min MA = M1 A = AI − R = 1  chọn đáp án A
♦ Ví dụ 3: Xét các số phức z = a + bi, ( a, b 

) thoả mãn

z − 4 − 3i = 5 . Tính

z − z1 + z − z2 = 2a Khi z1 − z2  2a đạt giá trị lớn nhất.
A. z

B. 2c = z1 − z2

C. b = a 2 − c 2

D. z

6


♥ Phân tích:
Khi đọc câu hỏi với loại toán này ta phải đưa ra một số câu hỏi:
+ CH1: Tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường nào?
+ CH2: Chuyển điều kiện bài toán thành tính chất hình học nào?
+ CH3: Nêu cách giải bằng cách sử dụng biến đổi đại số?
♥ Lời giải:
Gọi z là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z + 3 + z − 3 = 10 .
Khi đó z suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm
bán kính z + 3 + z − 3 = 10

z = x + yi, x, y 

Đặt c = 3, a = 5 , I là trung điểm của b = 4 thì min z = 4
Ta thấy A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) lớn nhất khi O ( 0;0 ) lớn nhất khi AB = 6 ( như hình vẽ)
Đường thẳng qua MA + MB = 10 vuông góc với

( MA + MB )

2

 (1 + 1

trình min z =

2

2

)( MA

2

+ MB

2

)  MA

2

+ MB

2

( MA + MB )

2

2

= 50 có phương

50
−9 = 4
2

Xét hệ phương trình z + 4 + z − 4 = 10
Tức là z . Vậy P = M − m2 P = −6 Chọn đáp án D.
c) Cung cấp hệ thống bài tập tự luyện, không theo dạng, để học sinh phải tự phân
dạng và tìm được phương pháp giải, yêu câu các em làm việc theo nhóm và nộp lại kết
quả.
(Xem chi tiết phần nội dung trong các phụ lục)
d) Hướng dẫn học sinh tạo ra bài tập mới bằng cách hoán đổi giả thiết và kết luận
hoặc thay đổi một số dữ kiện. Phân nhóm và giao nhiệm vụ các em làm việc theo nhóm để ra
mỗi phần mười câu hỏi.
*Ưu điểm của giải pháp mới:
+ Học sinh được củng cố kiến thức cũ liên quan tới phần đã học, đặc biệt sẽ nắm
lại những kiến thức trọng tâm sẽ sử dụng.
+ Ứng với mỗi dạng bài tập, học sinh tích luỹ được một phương pháp và như vậy
đứng trước một bài toán học sinh sẽ có định hướng giải quyết. Rèn luyện cho học sinh tư

7


duy tổng hợp, kĩ năng xử lí linh hoạt tình huống nếu cùng kiểu câu hỏi như nhau nhưng
cho ở các dạng khác nhau hoặc cùng dạng bài nhưng cách hỏi khác nhau.
+ Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa chọn
phương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng
linh hoạt, sáng tạo.
+ Cách tạo ra bài toán mới, giúp học sinh biết qui lạ về quen, chủ động tích cực
lĩnh hội kiến thức mới. Học sinh không còn bỡ ngỡ khi giải các bài toán về phần này
trong đề thi học sinh giỏi, đề thi Trung học phổ thông quốc gia. Học sinh còn cảm thấy
hứng thú vì mình có thể tự ra được bài tập. Khi các em tự ra được các đề toán các em sẽ
nắm vấn đề của bài toán tốt hơn và nhanh chóng đưa ra được lời giải. Hơn hết việc làm
này còn giúp các em hình thành năng lực hoạt động nhóm, năng lực sử dụng công nghệ
thông tin, năng lực tổng hợp, phân tích, giải quyết và đánh giá các vấn đề liên quan đến
nội dung chủ đề học.
C. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI ĐẠT ĐƯỢC
1. Hiệu quả kinh tế:
- Sáng kiến của chúng tôi không trực tiếp tạo ra của cải vật chất nhưng lại có ý
nghĩa kinh tế cao bởi nó góp phần đào tạo ra nguồn nhân lực phục vụ lao động sản xuất.
- Tiết kiệm được chi phí mua tài liệu cho học sinh và giáo viên, ước tính để học
một phần kiến thức này nếu các em muốn mua sách hay học trực tuyến thì cũng phải mất
khoảng 60.000 đồng, với tài liệu này các em phô tô chỉ mất 10.000 đồng, như vậy tiết
kiệm cho mỗi em vào khoảng50.000 đồng. Nếu nhân với số lượng khoảng 380 em trên
một khối 12 ở một trường thì ta đã tiết kiệm được 19.000.000 đồng, nếu nhân rộng ra với
lượng học sinh khối 12 trên toàn tỉnh thì tiết kiệm được một số tiền không nhỏ!
- Sáng kiến trên được tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 nhiều năm của
chúng tôi và đặc biệt là trong quá trình dạy lớp 12 năm học 2016-2017, 2017 - 2018,
những năm học đầu tiên môn Toán đưa hình thức thi trắc nghiệm vào kì thi Trung học
phổ thông Quốc gia, chúng tôi tin rằng với kinh nghiệm của bản thân mình sẽ giúp các
thầy cô và các em học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian tìm tài liệu phục vụ cho
việc học tập phần này.
2. Hiệu quả xã hội:
Trong năm học 2017 – 2018chúng tôi đã áp dụng phần nội dung sáng kiến trên
cho việc giảng dạy đối với hai lớp 12 trong trường. Đối với các lớp còn lại không áp
dụng sáng kiến này điểm Toán kì thi Trung học phổ thông năm 2017 -2018 được cụ thể
như sau:
Lớp
Tổng số
Điểm TB
Số HS điểm
Số HS điểm  9
 8;  9
HS
lớp
12b2
12b3
12b4
12b5
12b7

34
31
31
34
33

5,93
5,46
4,07
6,73
4,15

0
0
0
0
0

0
0
0
0
0

8


12b8
30
4,82
0
0
12b9
31
4,25
0
0
12b10
32
4,41
0
0
Đối với lớp hai lớp lớp chúng tôi giảng dạy điểm Toán kì thi Trung học phổ thông
năm 2016 – 2017 cụ thể như sau:
Lớp
Tổng số
Điểm TB
Số HS điểm
Số HS điểm  9
 8;  9
HS
lớp
12b1
40
7,43
4
0
12b6
35
7,02
1
0
Đặc biệt khi áp dụng phương pháp dạy như vậy trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh
và kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp tỉnh học sinh lớp12 của trường chúng tôi dạy
đã đạt được một số giải 01 giải ba; 01 giải khuyến khích.
D. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Sáng kiến có thể áp dụng trong giảng dạy môn Toán cấp THPT trong Tỉnh và
Toàn quốc.
- Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh
- Làm tài liệu tham khảo về phương pháp cho các môn học khác
- Sáng kiến đã và đang được áp dụng trong giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trường
chúng tôi giảng dạy.
* Triển khai các giải pháp theo hệ thống các vấn đề cụ thể: “CẢI TIẾN PHƯƠNG
PHÁP DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG TRONG BÀI
TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC”
được trình bày chi tiết trong ba phần phụ lục dưới đây.

9


Phụ lục 1. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG
THẲNG.
1. Cung cấp kiến thức liên quan.
* Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0 () .
* Khoảng cách từ điểm A tới điểm M   ngắn nhất khi M là hình chiếu vuông
góc của A lên đường thẳng  . Khi đó AM min = d ( A,  ) .
* z − z ' = MM ' trong đó M , M ' lần lượt là các điểm biểu diễn số phức.
2. Hình thành phương pháp giải.
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z , tìm z min . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn OA với

A ( a; b ) .

1
1 2

2
 z min = 2 z0 = 2 a + b

a b

z= + i

2 2

TQ2: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = z − c − di , tìm z min . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z là đường trung trực của đoạn AB với

A ( a; b ) , B ( c; d )
z min = d ( O; AB ) =

a 2 + b2 − c 2 − d 2
2

( a − c ) + (b − d )
2

2

• Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng khi đó ta cần thực hiện
biến đổi để đưa về dạng cơ bản
+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện z − a − bi = z − c − di . Khi đó ta biến đổi
z − a − bi = z − c − di  z − a + bi = z − c − di

+ Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz − a − bi = z − c − di . Khi đó ta biến đổi
iz − a − bi = z − c − di  z +

−a − bi
−c − di
= z+
 z + b + ai = z + d + ci
i
i

3. Thành lập hệ thống bài tập vận dụng.
● Bài tập tự luận.
►Mục đích, yêu cầu của loại bài tập này:
- Đưa ra một số bài tập từ đơn giản tới phức tạp giúp các em nắm chắc được
cách vận dụng kiến thức vừa được lĩnh hội, từ đó linh hoạt vận dụng vào các
bài tập tiếp theo.
- Đưa ra phân tích, định hướng từ đó giúp các em thấy được hướng tư duy khi
gặp bài toán loại này để có thể vận dụng vào giải quyết tốt nhất.

10


♦ Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + i = z − 2 − 3i . Tính Mô đun nhỏ
nhất của số phức z ?
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z − 1 + i = z − 2 − 3i  ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 2 ) + ( y − 3)
2

2

2

2

 x2 − 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 = x2 − 4x + 4 + y 2 − 6 y + 9  2 x + 8 y − 11 = 0 ( Δ )
11
2

y



H
11
8

O
z min = d ( O;Δ ) =

x

11
.
68

♦ Ví dụ 2:Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Tìm số phức z
có mô đun nhỏ nhất?
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z − 2 − 4i = z − 2i  ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 )
2

2

2

 x+ y−4 = 0  y = 4− x

+) Mặt khác z = x 2 + y 2 = x 2 + ( 4 − x ) = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2 ( x − 2 ) + 8  2 2
2

2

+) Vậy z min = 2 2  x = 2  y = 2  z = 2 + 2i.
♦ Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = z + i . Tìm
số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A (1;3) .
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Gọi E (1; −2 ) là điểm biểu diễn số phức 1 − 2i.
Gọi F ( 0; −1) là điểm biểu diễn số phức −i.
+) Ta có z − 1 + 2i = z + i  ME = MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường
trung trực EF có phương trình: x − y − 2 = 0 .
+) Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M  M ( 3;1)  số phức cần tìm là z = 3 + i

11


♦ Ví dụ 4:Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z − 1 + 2i = z + 5i , w = iz + 20. Tìm giá
trị nhỏ nhất m của w ?
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z − 1 + 2i = z + 5i  x + 3 y + 10 = 0  x = −3 y − 10
+) Ta có : w = iz + 20 = i ( x + yi ) + 20 = x 2 + ( − y + 20 ) =
2

( −3 y − 10 ) + ( − y + 20 )
2

2

= 10 y 2 + 20 y + 500 = 10 ( y + 1) + 49   7 10 .


2

♦ Ví dụ 5:Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z − 2 + i = z + 4 − i , w = (1 − 3i ) z + 4 − i.
Tim giá trị nhỏ nhất m của w ?
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z − 2 + i = z + 4 − i  3x − y + 3 = 0  y = 3x + 3
+) Ta có : w = (1 − 3i ) z + 4 − i = (1 − 3i )( x + yi ) + 4 − i =

=

( x + 3 y + 4) + ( y − 3x − 1)

=

(10 x + 13)

2

2

2

=

( x + 3 y + 4 ) + ( y − 3x − 1)
2

( x + 3(3x + 3) + 4) + (3x + 3 − 3x − 1)
2

2

2

+ 4  2.

♦ Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i = z − 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của

(1 + i) z − 2i .
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z + i = z − 2  4 x + 2 y − 3 = 0
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng (  ) 4 x + 2 y − 3 = 0 .
Ta có: (1 + i) z − 2i = 2 z − 1 − i = 2.MA với A (1;1) .
Do đó (1 + i) z − 2i min = 2d ( A,  ) =

3
.
10

♦ Ví dụ 7:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i + 1 = z − 2i , tìm giá trị nhỏ nhất của
(2 + 3i) z − 7 − 4i .

♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z + i + 1 = z − 2i  x + y − 1 = 0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng (  ) : x + y − 1 = 0 .

12


Ta có: (2 + 3i) z − 7 − 4i = 13 z − 2 + i = 13. AM với A ( 2;1) .
Do đó (2 + 3i) z − 7 − 4i

min

= 13.d ( A;  ) = 26 .

♦ Ví dụ 8:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 3i + 1 = z − i , tìm giá trị nhỏ nhất của

z − 1 + i + z − 2 + 3i .
♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z + 3i + 1 = z − i  2 x + 8 y + 9 = 0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng (  ) : 2 x + 8 y + 9 = 0 .
Ta có: z − 1 + i + z − 2 + 3i = MA + MB với A (1; −1) ; B ( 2; −3) .
Do đó ( z − 1 + i + z − 2 + 3i )min  ( MA + MB )min = AB = 5 .
♦ Ví dụ 9:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i = z − 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của
z − 2 + i + z + 3i .

♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z + 2i = z − 3  6 x + 4 y − 5 = 0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng (  ) : 6 x + 4 y − 5 = 0 .
Ta có: z − 2 + i + z + 3i = MA + MB với A ( 2;1) ; B ( 0; −3) .

(

Do đó z − 2 + i + z − 3i

)

min

 ( MA + MB )min = AB = 2 5 .

♦ Ví dụ 10:Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i = z − 3 , tìm giá trị nhỏ nhất của
(2 + i) z + 3 − i + 5 z − 5i .

♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z + i = z − 3  3x + y − 4 = 0 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng (  ) : 3x + y − 4 = 0 .
Ta có: (2 + i) z + 3 − i + 5 z − 5i = 5 ( MA + MB ) với A ( −1;1) ; B ( 0;5) .

(

Do đó (2 + i ) z + 3 − i + 5 z − 5i

)

min

 5 ( MA + MB )min = 5. AB = 85 .

● Bài tập trắc nghiệm.
►Mục đích, yêu cầu của loại bài tập này:
- Loại bài tập này giúp các em có cái nhìn tổng quan hơn về cách thức ra đề trong dạng
bài tập đó, và tiếp cận gần hơn với đề thi trong kì thi Trung học phổ thông.
- Khi làm trắc nghiệm sẽ giúp các em rèn luyện tốt hơn về khả năng phân tích, tổng hợp,
đánh giá, các kĩ năng trong sử dụng máy tính cầm tay, kĩ năng đọc tính chất hình học.

13


♦ Ví dụ 11:Cho số phức z , w thỏa mãn điều kiện z + 3 + 2i = z + 1 + 4i , w =

z
+ 3 + 2i.
1− i

Tìm phần thực của số phức w có w nhỏ nhất?

7
B. .
2

A. 0.

C.

49
.
4

7
D. − .
2

♥ Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn M ( x; y )
Theo giả thiết ta có: z + 3 + 2i = z + 1 + 4i  x − y − 1 = 0  x = y + 1
2

z
1 1 
x y
 x y

+ 3 + 2i. = ( x + yi )  + i  + 3 + 2i =  − + 3  +  + + 2 
+) Ta có : w =
1− i
2 2 
2 2
 2 2


 y +1 y
  y +1 y

= 
− + 3 + 
+ + 2 =
2
2
 2
  2

2

2

2

49 
5
7
+ y+  
4 
2
2

5
3
7
 Dấu " = " xảy ra khi y = −  x = −  Phần ảo của số phức w có w min = là :
2
2
2
x y
+ + 2 = 0 . Chọn đáp án B.
2 2
♦Ví dụ 12:Cho số phức z1 thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z + 1 − 5i = 5 2 và số phức z 2 thỏa
mãn điều kiện z + 1 + 2i = z + i . Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 − z2

61
61
41
41
B. .
C. .
D.
.
.
2
4
2
4
♥ Lời giải:
Gọi số phức z1 = a + bi ( a, b  R ) có điểm biểu diễn M ( a; b )
A.

Gọi số phức z2 = x + yi ( x, y  R ) có điểm biểu diễn N ( x; y )
+) Từ giả thiết

(1 + i ) z + 1 − 5i

= 5 2  (1 + i )( a + bi ) + 1 − 5i = 5 2  ( a − 2 ) + ( b − 3) = 2
2

2

Vậy M nằm trên đường tròn tâm I ( 2;3) , bán kính R = 2
+) Từ giả thiết z + 1 + 2i = z + i  ( x + 1) + ( y + 2 ) = x 2 + ( y + 1)
2

 x+ y+2=0

( Δ ) Vậy

2

N nằm trên đường thẳng Δ :

2

x+ y+2=0

14


7 2
.
2

+) Ta có : z1 − z2 = MN và d ( I ;Δ ) =

y

M1
3

I



M1
-2 N

2

x

O
-2

*

MN min = d ( I ;  ) − R =

7 2 −4
2

MNmax = d ( I ;  ) + R =

7 2 +4
2

7 2 − 4 7 2 + 4 41
.
= . Chọn đáp án B.
2
2
2
♦Ví dụ 13:Xét các số phức z = a + bi , ( a, b  ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
Vậy : MN min .MN max =

z = z + 4 − 3i và z + 1 − i + z − 2 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị P = a + 2b là:

A. P = −

252
50

B. P = −

41
.
5

C. P = −

61
.
10

D. P = −

18
.
5

♥ Lời giải:
Chọn C.
Giả sử z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M ( a; b ) .
Ta có:
2
2
z = z + 4 − 3i  a 2 + b 2 = ( a + 4 ) + ( b + 3)  8a + 6b + 25 = 0
 M   : 8 x + 6 y + 25 = 0 .

f (a, b) = z + 1 − i + z − 2 + 3i  f ( a, b ) =

( a + 1) + (b − 1)
2

2

+

( a − 2 ) + ( b + 3)
2

2

.

Gọi A ( −1;1) , B ( 2; −3) . Khi đó f ( a, b ) = AM + BM .

Như vậy ta cần tìm M   : 8 x + 6 y + 25 = 0 sao cho f ( a, b ) = AM + BM nhỏ nhất.

A

B
M
I

M

B'

A và B nằm về một phía đối với  nên gọi B là điểm đối xứng của B qua  .
Khi đó AM + BM = AM + BM  AB  AM + BM nhỏ nhất là AB khi M = AB  .
BB ⊥  và đi qua B ( 2; −3) nên BB : 6 x − 8 y − 36 = 0 .

15


4

x
=

8 x + 6 y + 25 = 0
25
Gọi I = BB  ta có tọa độ của I là nghiệm của hệ: 

6 x − 8 y − 36 = 0
 y = − 219

50
219 
 4
hay I  ; −
.
 25 50 
−42

xB  =

 xB  = 2 xI − xB

 −42 −144 
25
hay B 

;

.

144
25
25


 y B = 2 y I − y B
y  =
B

25
 17 −169  −1
AB =  − ;
 = (17;169 ) . Phương trình AB :169 x − 17 y + 186 = 0 .
 25 25  25
−67

x
=

169 x − 17 y + 186 = 0
50
Tọa độ của M là nghiệm của hệ: 
.

8 x + 6 y + 25 = 0
 y = −119

50
−61
Vậy P = a + 2b = x + 2 y =
.
10
5
3
♦Ví dụ 14:Cho số phức z thỏa mãn z + − 2i = z + + 2i . Biết biểu thức
2
2

Q = z − 2 − 4i + z − 4 − 6i đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi ( a, b 
691
1333
.
B. P =
.
272
272
♥ Lời giải:
Chọn D.
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức z .
A. P =

) . Tính

C. P = −1 .

P = a − 4b .
D. P = −2 .

5
3
− 2i = z + + 2i  x − 4 y + 2 = 0 .
2
2
Đặt: A ( 2;4 ) , B ( 4;6 ) , khi đó: Q = MA + MB .
Do A , B cùng phía với đường thẳng  : x − 4 y + 2 = 0 , gọi A là điểm đối xứng của A
qua 
 58 −28 
 A  ;
.
 17 17 
Ta có: Q = MA + MB = MA + MB  AB .
 302 84 
Suy ra: min Q = AB khi M = AB   M 
;   P = a − 4b = −2 .
 17 17 
♦Ví dụ 15:Trong các số phức z thỏa mãn z − 1 + i = z + 1 − 2i , số phức z có môđun nhỏ

Ta có: z +

nhất là
3 3
A. − + i .
5 10
♥ Lời giải:

3 3
B. + i .
5 10

3 3
C. − − i .
5 10

3 3
D. − i .
5 10

16


Chọn C
Đặt z = a + bi với a, b 

( a − 1) + ( b + 1) i

thì ta có:

= ( a + 1) − ( b + 2 ) i

 ( a − 1) + ( b + 1) = ( a + 1) + ( b + 2 )
2

2

2

2

 a2 − 2a + 1 + b2 + 2b + 1 = a2 + 2a + 1 + b2 + 4b + 4
 4a + 2b + 3 = 0
Suy ra z nằm trên đường thẳng d có phương trình: 4 x + 2 y + 3 = 0 .
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có môđun nhỏ nhất trên mặt phẳng phức.
Khi đó z min khi và chỉ khi OM min hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d .
Phương trình đường thẳng qua O và vuông góc với d là: −2 x + 4 y = 0 .
 3 3
M = d    M  − ;−  .
 5 10 

3 3
Vậy z = − − i là số phức cần tìm.
5 10
♦Ví dụ 16:Cho số phức

z

thỏa mãn điều kiện z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Giá trị

nhỏ nhất của z − 2 + 2i
A. 5 .

C. 3 .

B. 1 .

2

D. 5 .
2

♥ Lời giải:
Chọn B
Gọi z = x + yi ( x, y 

) .Ta có

z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1)  ( z − 1) − 4i = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1)
2

2

 ( z − 1 − 2i )( z − 1 + 2i ) = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1)

 z − 1 + 2i = 0

 z − 1 − 2i = z + 3i − 1
 z = 1 − 2i

2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 2 ) = ( x − 1) + ( y + 3)
 z = 1 − 2i

.
2 y + 1 = 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

z

thuộc đường thẳng d : 2 y + 1 = 0 hoặc z = 1 − 2i .

17


* Trường hợp

z

thuộc đường thẳng d : 2 y + 1 = 0 : Xét điểm I ( 2; −2 ) . Khi đó

z − 2 + 2i = IM (với M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức z = x + yi ).

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d . Ta có IM  IH , M  d .
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi H  M . Do đó IM = IH = d ( I , d ) = 3 .
2

* Trường hợp z = 1 − 2i : z − 2 + 2i = 1 .
Do đó Giá trị nhỏ nhất của z − 2 + 2i là 1 .
►D. Giải pháp 4: Hướng dẫn học sinh cách tự ra đề.
Đối với vấn đề 1, chỉ ra yếu tố cần thiết cho các em để ra được câu hỏi thì các em cần
thực hiện theo một trong các nguyên tắc sau:
+ Thứ nhất: Đảm bảo tập điểm biểu diễn số phức gắn với bài toán tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất là đường thẳng.
+ Thứ hai: Các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan tới mô – đun đưa về
sử dụng được các tính chất trong hình học phẳng.
Yêu cầu: Chia lớp thành bốn nhóm, mỗi nhóm về chuẩn bị 10 câu hỏi theo các nguyên
tắc ra đề trên và cho gợi ý đáp án trả lời. Trình bày báo cáo sản phẩm vào tiết luyện tập.
Các nhóm đánh giá về mức độ đề và cách định hướng lời giải của nhóm trình bày.
● Bài tập củng cố.
Câu 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Biết rằng số phức

z = x + yi, ( x, y  R ) có môđun nhỏ nhất. Tính P = x2 + y 2 .
A. P = 10.
B. P = 8.
C. P = 16.
D. P = 26.
Câu 2: Cho các số phức z , w thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i , w = iz + 1. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức w là
A.

2
.
2

B. 2 2.

C. 2.

D.

3 2
.
2

Câu 3: Cho số phức z = x + yi, ( x, y  R ) thỏa mãn z + i + 1 = z − 2i . Tìm môđun nhỏ
nhất của z.
A. min z = 2.

B. min z = 1.

C. min z = 0.

(

D. min z =

)

1
.
2

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện w = ( z + 3 − i ) z + 1 + 3i là một số thực. Giá
trị nhỏ nhất của z là
A. 2 2.

B. 2.

C. 3 3.

D. 3.

Câu 5: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + 2 − i . Số phức có môđun nhỏ
nhất là

18


1 2
1 2
B. z = − + i.
C. z = − i.
D. z = −1 + 2i.
5 5
5 5
Câu 6: Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức z thỏa mãn z + 2i − 1 = z + i . Tìm số
A. z = 1 − 2i.

phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A (1;3) .
A. 3 + i.
B.1 + 3i.
C. 2 − 3i.
D. −2 + 3i.
Câu 7: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z − 1 = z + 3 − 2i , w = z + m + i với mR là
tham số. Giá trị của m để ta luôn có w  2 5 là

 m7
m  7
A. 
B. −3  m  7.
C. 
.
.
 m  −3
m  3
Câu 8: Biết số phức z = x + yi, ( x, y  R ) thỏa mãn đồng thời hai điều

D. 3  m  7.

kiện z = z + 4 − 3i và biểu thức P = z + 1 − i + z − 2 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
P = x + 2 y.

18
61
253
41
B. P = −
C. P = − .
D. P = − .
.
.
10
5
50
5
Câu 9: Gọi z1 , z 2 là hai nghiệm của phương trình z − 1 + 2i = z + 1 + 2i thỏa
A. P = −

mãn z1 − z2 = 2. Biết rằng w là số phức thỏa mãn w − 3 − 2i = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = w − z1 + w − z2
A. 1 + 3.

C. 2.

B. 2 3.

D. 6.

Câu 10: Cho số phức z = a + bi ( a, b là các số thực) thỏa mãn z = z − 3 + 4i và có
môđun nhỏ nhất. Khi đó giá trị của P = a.b là
3
A. .
B. 4.
C. 3.
D. 2.
4
Câu 11: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số phức
w = ( 3 − i ) z − 5 + 2i có môđun nhỏ nhất là

14 6
14 6
14 6
C. w = − i.
D. w = − + i.
+ i.
5 5
5 5
5 5
z + 2−i
Câu 12: Biết rằng số phức z thỏa mãn
= 1. Giá trị nhỏ nhất của z là
z +1− i
A. w = −

A.

14 6
− i.
5 5

3
.
20

B. w =

B.

3
.
5

C.

(

5
.
20

D. 3.

)

Câu 13: Số phức z thỏa mãn ( z − 1) z + 2i là số thực và z đạt giá trị nhỏ nhất. Điểm
biểu diễn của số phức z là
4 2
A. M  ;  .
5 5

 4 2
B. M  − ;  .
 5 5

4 2
C. M  ;-  .
5 5

1 2
D. M  ;  .
5 5

19


Câu 14: Trong các số phức z , w thỏa mãn z − 2 + i = z + 1 − 4i , w =

z
− 3 + 4i. Phần
1+ i

ảo của số phức w có w nhỏ nhất là
A.

86
.
17

B.

72
.
17

C. −

11
.
17

D. −

44
.
17

Câu 15: Trong các số phức z thỏa mãn z + 1 − 5i = z + 3 − i , giả sử số phức có mô đun

a
bằng bao nhiêu
b
1
1
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
4
2
5
3
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z + − i = z + + 2i . Biết biểu thức
2
2
nhỏ nhất có dạng z = a + bi ( a, b  R ) . Khi đó S =

Q = z − 2 − 4i + z − 4 − 6i đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi ( a, b  R ) . Tính P = a − 4b
A. P = −2.

B. P =

1333
.
272

C. P = −1.

D. P =

691
.
272

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn: z + i + 1 = z − 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
2
2
1
1
A. − .
B. −
.
C. .
D.
.
2
2
2
2
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn iz − 3 = z − 2 − i sao cho z có mô đun nhỏ nhất. Phần

ảo của số phức đó là:
2
2
1
2
.
A. − .
B. − .
C.
D. .
2
5
5
5
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i = z − 2 − 3i . Mô đun nhỏ nhất của số phức

w = z + 3 − i là
A. 2 2.

B. 2.

C. 3 2.

D.1.

Câu 20: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z − 1 = z + 3 − 2i ; w = z + m + i với mR là
tham số. Giá trị của m để ta luôn có w  2 5 là

m  7
 m7
A. 
B. 
C. −3  m  7.
m  3
 m  −3
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i = z + 2 . Giá trị nhỏ nhất của

D. 3  m  7.

P = z + 2i + z − 5 + 9i là
A. 70.

B. 3 10.

C. 4 5.

D. 74.

Câu 22: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3 x − 4 y − 3 = 0, z nhỏ
nhất bằng:
1
A. .
5

3
B. .
5

4
C. .
5

2
D. .
5

20


Câu 23: Trong các số phức z thỏa mãn z − 1 + i = z + 1 − 2i , số phức có mô đun nhỏ
nhất là

3 3
3 3
3 3
3 3
A. z = − − i.
B. z = − + i.
C. z = + i.
D. z = − i.
5 10
5 10
5 10
5 10
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 = z − i . Mô đun nhỏ nhất của số phức

w = 2z + 2 − i là
A.

3
2 2

.

B. 3 2.

C.

3 2
.
2

3
D. .
2

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i )( z + 3i − 1) . Tính

min w với w = z − 2 + 2i.
3
A. min w = .
2

B. min w = 2.

C. min w = 1.

1
D. min w = .
2

Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn 2 z − 2 + 3i = 2i − 1 − 2 z . Mô đun nhỏ nhất của số
phức w = z −1 + 2i là
A.

3 41
.
82

B.

5 41
.
82

C.

47
.
656

D.1.

Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho số phức z thỏa mãn z (1 + i ) là số thực. Biết

z
− 5 + 3i có mô đun nhỏ nhất . Tổng phần thực và phần ảo của số
1+ i
phức w có mô đun nhỏ nhất đó là
43
43
A. .
B. 0.
C.1.
D. − .
5
5
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i = z + 1 + 4i . Biết biểu thức
số phức w = ( 2 − i )

Q = z − 2i + z − 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a + bi ( a, b  R ) . Tính P = −a + 5b
162
36
22
B. P = −6.
C. P = − .
D. P = .
.
7
7
7
Câu 29: Cho số phức z1 thỏa mãn điều kiện z − 2 + 2i = 1 và số phức z 2 thỏa mãn điều
A. P = −

kiện z − 1 = z − i . Giá trị lớn nhất của z1 − z2 là
A.1.

B. 2 2 − 1.

C. 2 2 + 1.

D. 2 2.

21


Phụ lục 2. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA SỐ PHỨC
TRONG TRƯỜNG HỢP QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC LÀ ĐƯỜNG
TRÒN.
1. Cung cấp kiến thức liên quan.
* Phương trình đường tròn tâm I ( a; b ) bán kính R có dạng:

( x − a) + ( y − b)

(C ) .
* Khoảng cách từ điểm A  ( C ) tới điểm
ứng là giao điểm của AI với ( C ) .
2

2

= R2

M  ( C ) lớn nhất và nhỏ nhất khi M tương

Khi đó AM min = AI − R ; AM max = AI + R .
* z − z ' = MM ' trong đó M , M ' lần lượt là các điểm biểu diễn số phức.
2. Hình thành phương pháp giải.
Bước 1. Từ giả thiết tìm tập điểm biểu diễn số phức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất.
Bước 2. Chuyển bài toán cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập số phức về bài toán
hình học phẳng.
Bước 3. Áp dụng các tính chất trong hình học phẳng để giải quyết bài toán.
3. Cung cấp bài tập vận dụng.
●Bài tập tự luận.
♦ Ví dụ 1:Trong tất cả các số phức z thoả mãn hệ thức z − 1 + 3i = 3 . Tìm min z − 1 − i
♥ Lời giải:
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán. Khi đó từ hệ
thức z − 1 + 3i = 3 ta suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều
kiện bài toán là đường tròn tâm I (1; −3) bán kính R = 3

Đặt A(1;1)  AI = 4, z − 1 − i = MA , khi đó min z − 1 − i = min MA = M1 A = AI − R = 1
♦ Ví dụ 2:Trong tất cả các số phức z = a + bi thoả mãn z − 1 + 2i = 1 biết rằng z + 3 − i
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P =

a
b

♥ Lời giải:
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z − 1 + 2i = 1.

22


Khi đó z − 1 + 2i = 1  M  ( C ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) = 1 suy ra tập hợp các điểm M biểu
2

2

diễn cho số phức z là đường tròn tâm I (1; −2) bán kính R = 1

x −1 y + 2
hay 3 x + 4 y + 5 = 0
=
−4
3
9
13

( x − 1)2 + ( y + 2 )2 = 1  x = 5 ; y = − 5
Xét hệ 

x = 1 ; y = − 7
3 x + 4 y + 5 = 0

5
5
Đặt A(−3;1)  AI :

9
13
Với x = ; y = −
thì z + 3 − i = 6
5
5
1
7
Với x = ; y = − thì z + 3 − i = 4
5
5
1 7
a
1
Vậy z = − i  P = = −  chọn đáp án B
5 5
b
7
♦ Ví dụ 3:Cho số phức z thoả mãn z − i = 2 , biết rằng z lớn nhất. Tìm phần ảo của z
♥ Lời giải:
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z − i = 2 .
Khi đó z − i = 2  M  ( C ) : x 2 + ( y − 1) = 4 suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho
2

số phức z là đường tròn tâm I (0;1) bán kính R = 2

Đường thẳng d đi qua O(0;0) và tâm I của (C) có phương trình x = 0
Giao điểm của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình
 x = 0
 x = 0; y = −1

 2
2
 x = 0; y = 3
 x + ( y − 1) = 4

23


Với x = 0; y = −1  z = 1

x = 0; y = 3  z = 3
Vậy z lớn nhất khi z = 3i . Vậy phần ảo của số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là 3.
● Bài tập trắc nghiệm.
♦ Ví dụ 4: Trong tất cả các số phức z thoả mãn z − i = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z
A. 3

B. 1

C. 2

D. 5

♥ Lời giải:Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện bài toán.
Khi đó từ hệ thức z − i = 1 ta suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả
mãn điều kiện bài toán là đường tròn tâm I (0;1) bán kính R = 1

Đặt A  O(0;0)  OI = 1 , khi đó max z = OI + R = 1 + 1 = 2
Chọn đáp án C.
♦ Ví dụ 5: Xét các số phức z = a + bi, ( a, b 

) thoả mãn

z − 4 − 3i = 5 . Tính

z − z1 + z − z2 = 2a . Khi z1 − z2  2a đạt giá trị lớn nhất
A. z

B. 2c = z1 − z2

C. b = a 2 − c 2

D. z

♥ Lời giải:

Gọi z là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn z + 3 + z − 3 = 10 .
Khi đó z suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm
z = x + yi, x, y 

bán kính z + 3 + z − 3 = 10

Đặt c = 3, a = 5 , I là trung điểm của b = 4 thì min z = 4
Ta thấy A ( −3;0 ) , B ( 3;0 ) lớn nhất khi O ( 0;0 ) lớn nhất khi AB = 6 ( như hình vẽ)

24


Đường thẳng qua MA + MB = 10 vuông góc với

( MA + MB )

2

 (1 + 1

trình min z =

2

2

)( MA

2

+ MB

2

)  MA

2

+ MB

2

( MA + MB )

2

2

= 50 có phương

50
−9 = 4
2

Xét hệ phương trình z + 4 + z − 4 = 10
Tức là z . Vậy P = M − m2
Chọn đáp án D.
♦ Ví dụ 6:Trong tất cả các số phức M ( z0 ) thoả mãn z + 5 − i = 13. . Tìm số phức z sao
cho M ( z1 ), M ( z2 ) nhỏ nhất
A. z = −2 + 3i.
B. maxP = a + IM ( z0 )
C. minP = IM ( z0 ) − a
♥ Lời giải:
Gọi M ( z1 ), M ( z2 ) là điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn M ( z0 ) .

D. M ( z0 )

Khi đó maxP = a + IM ( z0 ) suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường
tròn tâm I (−5;1) bán kính M ( z0 )

Đặt M ( z1 ) M ( z2 ) , gọi H là trung điểm của AB thì minP = IM ( z0 ) − b . Đường thẳng

z + 1 − i + z − 3 + i = 6 có phương trình P = z + 1 + 4i
Toạ độ giao điểm của 5 − 5 và 2 5 − 2 là nghiệm của hệ

5 −2

Với 3 − 5
Với a = 3, c = 2, b = 5
z0 = −1 − 4i, z1 = −1 + i, z2 = 3 − i nhỏ nhất khi z0 − z1 = z0 − z2
Vậy số phức cần tìm là z = −3 + 4i
chọn đáp án B.
♦ Ví dụ 7: Trong tất cả các số phức z − 1 + 3i + z + 2 − i = 8 thoả mãn P = 2 z + 1 + 2i và

8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 4

B. 39

39 gần bằng số nào trong các số sau
C. 8

D.

39
2

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×