Tải bản đầy đủ

Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian hilbert (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
---------------

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số: 9.46.01.06

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Văn Thành


Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
tại Trường Đại học Vinh
Vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ...

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin-Thư viện Nguyễn Thúc Hào
thuộc Trường Đại học Vinh


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng
định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối
hội tụ hầu chắc chắn hoặc hội tụ theo xác suất về kỳ vọng của các biến
ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên, nó vẫn luôn là vấn đề thời sự, được nhiều nhà
toán học quan tâm, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê,
toán kinh tế, khoa học tự nhiên và một số lĩnh vực khác. Chính vì vậy,
việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý
nghĩa thực tiễn.
1.2. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò quan trọng
khi nghiên cứu về lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, các hiện tượng ngẫu
nhiên xảy ra trong thực tiễn thường phụ thuộc lẫn nhau. Do đó, chúng
ta phải tìm hiểu, nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau của các biến
ngẫu nhiên để phù hợp với những bài toán ứng dụng trong thực tế như:
phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết
âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence),...
1.3. Sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn đến
nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong những hướng
tổng quát đó là, từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong
các không gian trừu tượng khác nhau như: không gian metric, không gian




2

Banach, không gian Hilbert,...
1.4. Sự hội tụ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên có nhiều ứng
dụng trong điều khiển ngẫu nhiên và thống kê toán học, như các mô hình
hồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu,...
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án của mình là:

“Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận
giá trị trong không gian Hilbert” .
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để dãy các phần
tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert thỏa mãn
luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn và sự hội tụ đầy đủ.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm:
- Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm
đôi một đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Hilbert;
- Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, sự hội
tụ đầy đủ.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu chủ yếu của luận án là tính phụ thuộc trong lý
thuyết xác suất, sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích các kết quả đã đạt được, từ đó phát triển các kỹ thuật,
kết quả đó vào những mô hình có các cấu trúc tương tự, hoặc các mô
hình tổng quát hơn;


3

- Tổ chức seminar khoa học, tổ chức các buổi trao đổi trong nhóm
nghiên cứu với các nhà khoa học trong và ngoài nước để thảo luận làm
nảy sinh các ý tưởng, kĩ thuật mới.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng
nghiên cứu về luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ đối với các phần tử ngẫu
nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên
cứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và
Thống kê toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Khái niệm phụ thuộc âm đôi một (pairwise negative dependence),
phụ thuộc âm (negative dependence) và khái niệm liên kết âm (negative
association) của các biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu từ những năm
1966, 1981, 1983 tương ứng bởi Lehmann, Ebrahimi và Ghosh và bởi
Joag-Dev và Proschan.
Năm 2000, Shao đã chứng minh được rằng, các bất đẳng thức quan
trọng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập như bất đẳng thức Rosenthal,
bất đẳng thức Kolmogorov,... vẫn còn đúng với các biến ngẫu nhiên liên
kết âm. Có nhiều định lý giới hạn được thiết lập cho dãy các biến ngẫu
nhiên liên kết âm. Khái niệm liên kết đối với các phần tử ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian Hilbert lần đầu tiên được nghiên cứu bởi
Burton, Dabrowski và Dehling vào năm 1986.
Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận
giá trị trong không gian Hilbert được nghiên cứu bởi Ko, Kim và Han


4

cho trường hợp không cùng phân phối và bởi Thành cho trường hợp cùng
phân phối. Miao đã chứng minh được bất đẳng thức Hajek-Renyi cho các
phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Sau đó, Huấn, Quảng và Thuận đã giới thiệu khái niệm các phần tử ngẫu
nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị trong không gian Hilbert và
nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ đối với loại phụ thuộc này. Gần đây nhất,
Huấn đã hoàn thiện và bổ sung các kết quả trong. Tổng có trọng số và mô
hình hồi quy phi tham số trong trường hợp nhiễu phụ thuộc cũng được
nghiên cứu bởi Thành và Yin.
7.2. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,
Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liên
quan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba
chương.
Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị làm cơ
sở cho những nghiên cứu tiếp theo của luận án.
Chương 2 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về luật số
lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm
đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Chương 3 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về luật số
lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo
tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.


5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số tính
chất cơ bản về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một,
liên kết âm xác định trên không gian xác suất (Ω; F; P). Tiếp theo, chúng
tôi trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản về liên kết âm theo
tọa độ, phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ
của các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert. Cuối
chương, chúng tôi trình bày các khái niệm về hàm biến đổi chính quy,
hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng.

1.1

Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên
liên kết âm

Năm 1981, Ebrahimi và Ghosh đã phát biểu khái niệm phụ thuộc âm
cho n biến ngẫu nhiên như sau.
Định nghĩa 1.1.1. Họ các biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } được gọi


i) phụ thuộc âm dưới, nếu với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R, ta có
P(X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ) ≤ P(X1 ≤ x1 ) . . . P(Xn ≤ xn ),

(1.1)

ii) phụ thuộc âm trên, nếu với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R, ta có
P(X1 > x1 , . . . , Xn > xn ) ≤ P(X1 > x1 ) . . . P(Xn > xn ),

(1.2)


6

iii) phụ thuộc âm, nếu thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện (1.1) và (1.2).
Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu
với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } là phụ
thuộc âm.
Năm 1981, Alam và Saxena đã đưa ra một khái niệm phụ thuộc mạnh
hơn tính phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một, đó là khái niệm liên
kết âm của các biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.1.2. Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được gọi là
liên kết âm nếu

Cov f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B) ≤ 0,

(1.3)

với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, . . . , n} và với mọi
hàm không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R sao cho Covarian
ở công thức (1.3) tồn tại, trong đó |A| là kí hiệu lực lượng của tập A.
Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là liên kết âm
nếu với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là
liên kết âm.

1.2

Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu
nhiên phụ thuộc âm

Năm 2009, Ko, Kim và Han mở rộng khái niệm liên kết âm cho dãy
các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert thực, khả
ly.
Định nghĩa 1.2.1. Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị
trong H được gọi là liên kết âm nếu mỗi d ≥ 1, dãy các phần tử ngẫu
nhiên {( Xi , e1 , . . . , Xi , ed ), i ≥ 1} nhận giá trị trong Rd là liên kết
âm.


7

Năm 2014, Huấn, Quảng và Thuận đã mở rộng khái niệm của Ko,
Kim và Han sang liên kết âm theo tọa độ của dãy các phần tử ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian Hilbert như sau.
Định nghĩa 1.2.2. Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá trị
trong H được gọi là liên kết âm theo tọa độ nếu với mỗi j ≥ 1, dãy các
biến ngẫu nhiên { Xi , ej , i ≥ 1} là liên kết âm.
Dựa vào ý tưởng của Huấn, Quảng và Thuận, chúng tôi xây dựng khái
niệm phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ của
dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert như
sau.
Định nghĩa 1.2.3. Dãy các phần tử ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} nhận giá
trị trong H được gọi là phụ thuộc âm theo tọa độ (tương ứng phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ) nếu với mỗi j ≥ 1, dãy các biến ngẫu nhiên

{ Xi , ej , i ≥ 1} là phụ thuộc âm (tương ứng phụ thuộc âm đôi một).
Tiếp theo, chúng tôi trình bày bất đẳng thức Rademacher - Menshov
và bất đẳng thức Hájek - Rényi cho tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Định lý 1.2.4. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa
mãn E Xn

2

< ∞ với mọi n ≥ 1. Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có
n

i=1

k

E

i=1

(1.4)

i=1

n

2

Xi

max

1≤k≤n

E Xi 2 ,



Xi

E


n

2

2

E Xi 2 .

≤ log (2n)
i=1

(1.5)


8

Định lý 1.2.5. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, kỳ vọng 0, nhận giá trị trong H và thỏa
mãn E Xn

2

< ∞ với mọi n ≥ 1 và {bn , n ≥ 1} là dãy không giảm các

hằng số dương. Khi đó, với mọi n ≥ 1, ta có

1
E max
1≤k≤n bk

k

n

2
2

≤ 4 log (2n)

Xi
i=1

i=1

E Xi
b2i

2

·

(1.6)

Hơn nữa, với mọi 1 ≤ m ≤ n, ta có
E

max

m≤k≤n

1.3

1
bk

k

2

Xi
i=1

2
≤ 2
bm

m

n

E Xi
i=1

2

E Xi 2
+8 log (2(n−m))
·
2
b
i
i=m+1
(1.7)
2

Hàm biến đổi chậm

Năm 1976, Seneta phát biểu khái niệm hàm biến đổi chính quy và
hàm biến đổi chậm như sau.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm số thực R(·) được gọi là hàm biến đổi chính
quy với chỉ số biến đổi chính quy ρ (với ρ ∈ R) nếu nó là hàm đo được,
dương trên [A, ∞), với A > 0, và với mỗi λ > 0 ta có

R(λx)
= λρ .
x→∞ R(x)
lim

(1.8)

Một hàm biến đổi chính quy với chỉ số biến đổi chính quy ρ = 0 được gọi
là hàm biến đổi chậm.
Bổ đề 1.3.2. Cho p > 0, L(·) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞),
với A > 0 và thỏa mãn

xL (x)
=0
x→∞ L(x)
lim

Khi đó, ta có

(1.9)


9

i) Tồn tại B ≥ A sao cho xp L(x) là hàm tăng trên [B, ∞), x−p L(x) là
hàm giảm trên [B, ∞) và lim xp L(x) = ∞, lim x−p L(x) = 0.
x→∞

x→∞

ii) Với mọi λ > 0, ta có
L(x)
= 1.
x→∞ L(x + λ)
lim

Từ Bổ đề 1.3.2, chúng tôi thu được kết quả sau đây:
Bổ đề 1.3.3. Giả sử p > 1, q ∈ R và L(x) là hàm biến đổi chậm khả vi,
xác định trên [A, ∞), với A > 0 nào đó sao cho

xL (x)
= 0.
x→∞ L(x)
lim

(1.10)

Khi đó, với n đủ lớn, ta có

2Lq (n)

3(p − 1)np−1



Lq (k) (p + 1)Lq (n)

.
p
p−1
k
(p

1)n
k=n

(1.11)

Sau đây, chúng tôi đưa ra điều kiện để E(|X|α Lα (|X| + A)) < ∞.
Mệnh đề 1.3.4. Cho α ≥ 1 và X là biến ngẫu nhiên. Cho L(·) là hàm
biến đổi chậm xác định trên [A, ∞), với A > 0. Giả sử rằng xα Lα (x) và

x1/α L(x1/α ) là các hàm tăng trên [A, ∞). Khi đó
E(|X|α Lα (|X| + A)) < ∞ khi và chỉ khi

P(|X| > bn ) < ∞ (1.12)
n≥Aα

trong đó bn = n1/α L(n1/α ), n ≥ Aα .
Kết luận của chương 1
Trong chương này, luận án đã đạt được những nội dung sau:
- Trình bày các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
và một số tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm;


10

- Trình bày các khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên liên kết âm và
một số tính chất liên quan đến biến ngẫu nhiên liên kết âm;
- Trình bày các khái niệm cơ bản về phần tử ngẫu nhiên liên kết âm,
phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian
Hilbert và một số tính chất liên quan đến phần tử ngẫu nhiên liên kết
âm, phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không
gian Hilbert;
- Xây dựng khái niệm mới, đó là khái niệm các phần tử ngẫu nhiên
phụ thuộc âm theo tọa độ, các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert;
- Chứng minh được một số bất đẳng thức cực đại đối với tổng các
phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ, liên kết âm theo
tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert;
- Trình bày một số khái niệm cơ bản và một số tính chất liên quan
đến hàm biến đổi chính quy, hàm biến đổi chậm. Thiết lập và chứng minh
chi tiết một số kết quả về hàm biến đổi chính quy, hàm biến đổi chậm.


11

CHƯƠNG 2
LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA DÃY CÁC
PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT
THEO TỌA ĐỘ NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

Trong chương này, chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luật
số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm
đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.

2.1

Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ

Trong mục này, chúng tôi trình bày luật mạnh số lớn và định lý hội
tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo
tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Định lý đầu tiên chính là
luật mạnh số lớn Rademacher - Menshov cho dãy các phần tử ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Định lý 2.1.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên kỳ
vọng 0, nhận giá trị trong H sao cho với mọi k ≥ 0, các phần tử ngẫu
nhiên {Xi , 2k ≤ i < 2k+1 } là phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ. Giả sử

{bn , n ≥ 1} là dãy không giảm các hằng số dương thỏa mãn
b2n+1
b2n+1
> 1 và sup
< ∞.
n≥0 b2n
n≥0 b2n
inf

(2.1)


12

Khi đó, nếu



2

E Xn

log2 n

<∞

(2.2)

Xi = 0 h.c.c.

(2.3)

b2n

n=1

thì

n

1
lim
n→∞ bn

i=1

Định lý tiếp theo là sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số của các
phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong
không gian Hilbert. Cho X là phần tử ngẫu nhiên trong H. Với j ∈ B ,
ký hiệu X (j) là tọa độ thứ j của X , tức là X (j) = X, ej . Khi đó, ta có
thể viết

X (j) ej .

X=
j∈B

Định lý 2.1.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trị
trong H và 1 ≤ p < 2, αp ≥ 1. Giả sử {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng
các hằng số thỏa mãn
n

a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ 1.

(2.4)

i=1

Khi đó, nếu
(j)

E|X1 |p < ∞

(2.5)

j∈B

thì với mọi ε > 0, ta có


k
αp−2

n
n=1

P

ani Xi > ε(n log2 n)α

max

1≤k≤n

< ∞.

(2.6)

i=1

Với αp = 1 và ani ≡ 1, hệ quả sau đây chính là kết quả mà chúng tôi
thu được trong bài báo Hiền, Thành và Vân (2019).


13

Hệ quả 2.1.3. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trị
trong H và 1 ≤ p < 2. Khi đó, nếu (2.5) thỏa mãn thì với mọi ε > 0, ta




k
−1

n P
n=1

Xi > ε(n log2 n)1/p

max

1≤k≤n

< ∞.

(2.7)

i=1

Hệ quả sau đây là luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund cho các
phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong
không gian Hilbert.
Hệ quả 2.1.4. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, kỳ vọng 0, nhận giá trị
trong H và 1 ≤ p < 2. Khi đó, nếu (2.5) thỏa mãn thì

1
(n log2 n)1/p

2.2

n

Xi → 0 h.c.c khi n → ∞.
i=1

Luật yếu số lớn

Định lý sau đây, chúng tôi thiết lập luật yếu số lớn của dãy các phần
tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không
gian Hilbert.
Định lý 2.2.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong H và {bn , n ≥ 1} là dãy
các hằng số dương. Với n ≥ 1, k ≥ 1, j ∈ B , đặt
(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

Ynk = −bn I Xk < −bn + Xk I |Xk | ≤ bn + bn I Xk > bn ,
(j)

Ynk =

Ynk ej .
j∈B


14

Khi đó, nếu

n
(j)

P |Xk | > bn = 0

lim

n→∞



1
lim 2
n→∞ b
n

(2.8)

k=1 j∈B

n
(j) 2

Xk

E

(j)

I |Xk | ≤ bn

=0

(2.9)

k=1 j∈B

thì ta thu được luật yếu số lớn

1
bn

n
P

(Xk − EYnk ) → 0, khi n → ∞.

(2.10)

k=1

Kết quả tiếp theo, chúng tôi thu được luật yếu số lớn của dãy các
phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối,
nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Định lý 2.2.2. Giả sử 0 < p < 2, L(x) là hàm biến đổi chậm, khả vi,
xác định trên [A, ∞), với A > 0 nào đó sao cho

xL (x)
=0
x→∞ L(x)
lim

(2.11)

và {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng các số thực thỏa mãn
n

a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ 1.

(2.12)

i=1

Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi
một theo tọa độ, cùng phân phối, nhận giá trị trong H. Với n ≥ 1, i ≥

1, j ∈ B, chúng ta đặt bn = n1/p L(n + A),
(j)

(j)

Yni = −bn I Xi

(j)

(j)

(j)

< −bn + Xi I |Xi | ≤ bn + bn I Xi
n
(j)
Yni ej , Sn

Yni =
j∈B

=

Xi .
i=1

> bn ,


15

Khi đó, nếu
P |X1 | > bn = 0

(j)

(2.13)

E(|X1 |2 I(|X1 | ≤ M )) < ∞, ∀M > 0.

(j)

(2.14)

lim n

n→∞

j∈B


(j)

j∈B

thì ta thu được luật yếu số lớn

1
bn

n
P

ani (Xi − EYni ) → 0 khi n → ∞.

(2.15)

i=1

Hệ quả 2.2.3. Giả sử L(x) là hàm biến đổi chậm, khả vi, xác định trên

[A, ∞), với A > 0 nào đó sao cho thỏa mãn điều kiện (2.11) và L(x) ≥ K
trên [A, ∞). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ, cùng phân phối, nhận giá trị trong H thỏa mãn
(j)

E(|X1 |) < ∞.

EX1 = 0,

(2.16)

j∈B

Nếu {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là mảng các số thực thỏa mãn điều kiện
(2.12). Khi đó, ta thu được luật yếu số lớn

1
bn

n
P

ani Xi → 0 khi n → ∞,

(2.17)

i=1

với bn = nL(n + A), n ≥ 1.
Kết luận của chương 2
Trong Chương 2 của luận án, một số luật số lớn và định lý dạng Baum
- Katz về sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ đã được thiết lập. Để chứng minh luật mạnh số
lớn và định lý dạng Baum - Katz về hội tụ đầy đủ, chúng ta thường phải
sử dụng một công cụ rất quan trọng đó là bất đẳng thức cực đại. Tuy
nhiên, đối với các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ,


16

bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov không còn đúng nữa. Thay vào
đó, chúng tôi phải chứng minh bất đẳng thức cực đại dạng Rademacher
- Mensov cho cấu trúc phụ thuộc này. Phương pháp chứng minh luật số
lớn sử dụng trong Chương 2 là đánh giá tổng riêng của các phần tử ngẫu
nhiên trong từng khối dạng [2k , 2k+1 ), và sau đó áp dụng phương pháp
dãy con. Cách tiếp cận này cho phép chúng tôi xét dãy các phần tử ngẫu
nhiên chỉ phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ trong từng khối. Đối với luật
yếu số lớn, chúng tôi tổng quát hóa kết quả về luật yếu số lớn Feller bằng
cách xét dãy hằng số chuẩn hóa bn = nα L(n), trong đó L(n) là hàm biến
đổi chậm. Để đạt được kết quả này, chúng tôi cần chứng minh một số
tính chất của hàm biến đổi chậm, thể hiện ở Bổ đề 1.3.6, Bổ đề 1.3.9 và
Mệnh đề 1.3.10. Ngoài ra, Chương 2 cũng trình bày một số ví dụ minh
họa tính tối ưu của các điều kiện đặt ra trong giả thiết của các định lý
(Ví dụ 2.1.9, 2.2.2 và 2.2.3).


17

CHƯƠNG 3
LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA DÃY CÁC
PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN LIÊN KẾT ÂM THEO TỌA ĐỘ
NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định lý giới hạn dạng luật
số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm
theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert.

3.1

Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ

Định lý sau đây chúng tôi trình bày về sự hội tụ đầy đủ của tổng có
trọng số của các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân
phối nhận giá trị trong không gian Hilbert.
Định lý 3.1.1. Giả sử 1 ≤ p < 2, αp ≥ 1, {X, Xn , n ≥ 1} là dãy các
phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân phối nhận giá trị
trong H và L(·) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞), với A > 0.
Trong trường hợp p = 1, ta giả sử rằng L(x) ≥ 1 và là hàm tăng trên

[A, ∞). Đặt bn = nα L(nα ), n ≥ A1/α . Giả sử {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} là
mảng các hằng số thỏa mãn
n

a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ 1.
i=1

(3.1)


18

Khi đó, nếu phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn
E |X (j) |p Lp (|X (j) | + A) < ∞,

E(X) = 0,

(3.2)

j∈B

thì
k
αp−2

n
n≥A1/α

P

max

1≤k≤n

ani Xi > εbn

< ∞, ∀ε > 0.

(3.3)

i=1

Áp dụng Định lý 3.1.1 với ani ≡ 1 và αp = 1, ta suy ra hệ quả sau
đây.
Hệ quả 3.1.2. Giả sử 1 ≤ p < 2 và {X, Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân phối nhận giá trị trong H và

L(·) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞), với A > 0. Khi p = 1, ta
giả sử rằng L(x) ≥ 1 và là hàm tăng trên [A, ∞). Đặt bn = n1/p L(n1/p ),

n ≥ Ap . Nếu phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (3.2) thì
k
−1

n P
n≥Ap

max

1≤k≤n

Xi > εbn

< ∞, với mọi ε > 0.

(3.4)

i=1

Hệ quả sau đây là một kết quả về luật mạnh số lớn.
Hệ quả 3.1.3. Giả sử 1 ≤ p < 2 và {X, Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân phối nhận giá trị trong H và

L(·) là hàm biến đổi chậm, xác định trên [A, ∞), với A > 0. Khi p = 1, ta
giả sử rằng L(x) ≥ 1 và là hàm tăng trên [A, ∞). Đặt bn = n1/p L(n1/p ),

n ≥ Ap . Nếu phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn điều kiện (3.2) thì ta thu
được luật mạnh số lớn

1
max
lim
n→∞ bn 1≤k≤n

k

Xi = 0 h.c.c.

(3.5)

i=1

Nếu H là không gian hữu hạn chiều. Chúng tôi thu được Định lý sau
đây.


19

Định lý 3.1.4. Cho 1 ≤ p < 2 và αp ≥ 1. Giả sử H là không gian Hilbert
hữu hạn chiều với hệ cơ sở trực chuẩn {e1 , e2 , . . . , ed } và {X, Xn , n ≥ 1}
là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân phối
nhận giá trị trong H. L(·) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞),
với A > 0. Trong trường hợp p = 1, ta giả sử rằng L(x) ≥ 1 và là hàm
tăng trên [A, ∞). Với n ≥ 1, đặt bn = nα L(nα ), n ≥ A1/α . Khi đó, các
phát biểu sau là tương đương.

i) Phần tử ngẫu nhiên X thỏa mãn
E(X) = 0, E ( X p Lp ( X + A)) < ∞.

(3.6)

ii) Với mảng các hằng số {ani , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n} thỏa mãn
n

a2ni ≤ Kn, ∀n ≥ 1,

(3.7)

i=1

ta có
k
αp−2

n

max

P

1≤k≤n

n≥A1/α

ani Xi > εbn

< ∞ với mọi ε > 0.

(3.8)

i=1

iii)
k
αp−2

n
n≥A1/α

P

max

1≤k≤n

Xi > εbn

< ∞ với mọi ε > 0.

(3.9)

i=1

iv) Luật mạnh số lớn sau đây thỏa mãn
max1≤k≤n
lim

n→∞

bn

k
i=1 Xi

= 0 h.c.c.

(3.10)


20

3.2

Luật yếu số lớn

Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Tn , n ≥ 1} và dãy số dương {bn , n ≥ 1}.
Ta kí hiệu Tn /bn bị chặn theo xác suất là Tn = OP (bn ), nghĩa là

lim sup P

K→∞ n≥1

|Tn |
>K
bn

= 0.

Cho {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong

H và {bn , n ≥ 1} dãy số dương. Với n ≥ 1, k ≥ 1, j ∈ B, đặt
(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

Ynk = −bn I(Xk < −bn ) + Xk I(|Xk | ≤ bn ) + bn I(Xk > bn ),
(j)

Ynk =

Ynk ej .
j∈B

Khi đó, chúng ta thu được luật yếu số lớn như sau.
Định lý 3.2.1. Cho 0 < p < 2, {Tn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn

Tn = OP (n),

(3.11)

và giả sử L(x) là hàm biến đổi chậm xác định trên [A, ∞) với A > 0 nào
đó sao cho

xL (x)
= 0.
x→∞ L(x)
lim

(3.12)

Đặt bn = n1/p L(n + A), n ≥ 1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử
ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, cùng phân phối, nhận giá trị trong H
thỏa mãn
(j)

nP(|X1 | > bn ) = 0,

lim

n→∞

(3.13)

j∈B


(j)

(j)

E(|X1 |2 I(|X1 | ≤ M )) < ∞, với mọi M > 0.
j∈B

(3.14)


21

Khi đó, ta có luật yếu số lớn

1
bn

Tn
P

(Xk − EYnk ) → 0 khi n → ∞.

(3.15)

k=1

Trong trường hợp 0 < p ≤ 1, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.2.2. Cho 0 < p ≤ 1, {Tn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên
nhận giá trị nguyên dương thỏa mãn điều kiện (3.11), L(x) là hàm biến
đổi chậm xác định trên [A, ∞) với A > 0 thỏa mãn điều kiện (3.12). Khi

p = 1 giả thiết L(x) ≥ K với x đủ lớn. Đặt bn = n1/p L(n + A), n ≥ 1.
Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa
độ, cùng phân phối, nhận giá trị trong H thỏa mãn
(j)

E(|X1 |) < ∞.

EX1 = 0,

(3.16)

j∈B

Khi đó, ta có luật yếu số lớn

1
bn

Tn
P

Xk → 0 khi n → ∞.
k=1

Kết luận của chương 3
Chương 3 của luận án thiết lập một số luật số lớn và định lý dạng
Baum - Katz về sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết
âm theo tọa độ. Khác với cấu trúc phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ đã
nghiên cứu ở Chương 2, đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo
tọa độ, chúng ta áp dụng được bất đẳng thức cực đại dạng Kolmogorov.
Do đó, so với các kết quả trình bày ở Chương 2, các điều kiện về moment
trong giả thiết thường yếu hơn hoặc các kết luận thu được thường mạnh
hơn nếu xét cùng một điều kiện về moment. Một đóng góp chính của
Chương 3 là định lý dạng Baum - Katz về sự hội tụ đầy đủ. Trong kết
quả này, chúng tôi chứng minh định lý dạng Baum - Katz và luật mạnh


22

số lớn dạng Marcinkiewicz - Zygmund với dãy hằng số chuẩn hóa rất tổng
quát. Khi xét các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị
trong không gian hữu hạn chiều, một trường hợp rất đặc biệt của Định lý
3.1.1 đã tiệm cận đến lời giải cho bài toán mở được đặt ra bởi các tác giả
Chen và Sung năm 2014 (xem Định lý 3.1.5 và Hệ quả 3.1.9). Bên cạnh
đó, chúng tôi đã xét được luật yếu số lớn đối với tổng ngẫu nhiên thay vì
tổng tất định như ở Chương 2.


23

KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận chung
Luận án đã thu được những kết quả sau đây:
- Xây dựng khái niệm mới, đó là khái niệm các phần tử ngẫu nhiên
phụ thuộc âm theo tọa độ, các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert;
- Thiết lập và chứng minh một số tính chất về hàm biến đổi chính
quy và hàm biến đổi chậm;
- Chứng minh được một số bất đẳng thức cực đại cho tổng các phần
tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ và thiết lập một số định
lý giới hạn dạng luật số lớn của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một theo tọa độ;
- Chứng minh được bất đẳng thức cực đại cho tổng các phần tử ngẫu
nhiên liên kết âm theo tọa độ và thiết lập một số định lý giới hạn dạng
luật số lớn của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ;
- Thiết lập định lý dạng Baum-Katz về sự hội tụ đầy đủ của tổng có
trọng số của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa
độ và liên kết âm theo tọa độ;
- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết.
2. Kiến nghị về những hướng nghiên cứu tiếp theo
Trong thời gian tới, chúng tôi dự định tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau
đây:
- Thiết lập luật số lớn và một số định lý giới hạn đối với dãy các
phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc khác như: phụ thuộc martingale, phụ
thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối,... nhận giá trị trong


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×