Tải bản đầy đủ

Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------------------------------

NGUYỄN DUY CƯỜNG

NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT
TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN
Chuyên ngành: QUANG HỌC
Mã số: 9440110

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ

NGHỆ AN - 2020
i


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Đinh Xuân Khoa
2. GS.TSKH. Marek Trippenbach


Phản biện 1:

.............................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

Phản biện 2:

.............................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

Phản biện 3:

.............................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại

.......

...................................................................................................................................................................................................................

vào hồi………..….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm 2020

Cóthể tìm hiểu luận án tại thư viện Quốc gia và
Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh
ii


MỞ ĐẦU
Lýdo chọn đề tài
Sự phávỡ đối xứng tự phát làhiện tượng thường thấy trong tự nhiên cũng như
trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau như: trong vật lýhạt cơ bản, vật liệu từ hay trong
hệ ngưng tụ Bose - Einstein, v.v… Trong quang học, hiện tượng phávỡ đối xứng tự
phát cóthể được hiểu như là kết quả của sự tương tác giữa các số hạng phi tuyến với
các cấu trúc ống dẫn sóng. Khi thành phần phi tuyến mạnh, nósẽ triệt tiêu các liên kết
tuyến tí


nh giữa các lõi trong ống dẫn sóng song song dẫn tới hệ tồn tại trạng thái bất
đối xứng. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học, sự phávỡ đối xứng tự phát làsự cạnh
tranh giữa hiệu ứng tuyến tí
nh vàhiệu ứng phi tuyến, vídụ như giữa khuếch đại tuyến

nh vàmất mát phi tuyến, dẫn tới xuất hiện trạng thái không đối xứng, thậm chícó
trường hợp xuất hiện trạng thái hỗn loạn.
Sự phávỡ đối xứng trong quang học cónhiều ứng dụng trong công nghệ quang tử.
Trong ống dẫn sóng hiệu ứng chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh cóthể được
sử dụng làm cơ sở cho việc thiết kế các thiết bị chuyển mạch toàn quang, bộ khuếch
đại phi tuyến, ổn định trong mạch phân chia bước sóng, cổng logic vàtruyền dẫn lưỡng
ổn định. Bộ ghép hai sợi quang phi tuyến dùng để nén solitons hiệu quả bằng cách điều
khiển độ tán sắc trong hai sợi. Trong hệ vòng quang, sự phávỡ đối xứng tự phát trong
hệ cũng cónhiều ứng dụng trong các thiết bị quang tử. Vídụ như hệ vòng quang học
kết hợp với ống dẫn sóng, do hiện tượng giao thoa trong vòng quang màmột số bước
sóng được giữ lại trong đó, hệ này được ứng dụng trong mạch chọn sóng. Một số hệ
cộng hưởng vòng quang do sự phávỡ đối xứng nên hình thành trạng thái hỗn loạn.
Trạng thái này cónhiều ứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ, bảo mật thông
tin hay phát tí
n hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1”. Đặc biệt động lực học dao động hỗn loạn
cực nhanh của laser ứng dụng giải quyết triệt để bài toán giả định trítuệ nhân tạo.
Với nhiều ứng dụng quan trọng như vậy, sự phávỡ đối xứng tự phát đã và đang
được các nhàkhoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu với nhiều loại hệ quang học
khác nhau cả trong lý thuyết vàthực nghiệm. Trong ống dẫn sóng với sự có mặt của
phi tuyến Kerr không đổi, sự phávỡ đối xứng tự phát đã được nghiên cứu với nhiều
loại thế tuyến tí
nh khác nhau như: thế kép dạng bậc vuông, thế kép dạng chữ H, thế
kép dạng bậc ngăn cách bởi hàm delta, v.v... Trường hợp ống dẫn sóng có mặt phi
tuyến Kerr biến điệu sự phávỡ đối xứng tự phát cũng được xem xét với nhiều dạng
hàm phi tuyến biến điệu khác nhau như: dạng hàm delta, hàm Gauss kép, v.v... Ứng
với mỗi hệ ống dẫn sóng trên sẽ cócác vùng tham số điều khiển khác nhau tồn tại các
loại trạng thái soliton cũng như đặc trưng rẽ nhánh của sự phávỡ đối xứng tự phát
khác nhau. Trong hệ vòng quang, năm 2017 lần đầu tiên nhóm của Marek
Treppenbach đã đề xuất một hệ gồm hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến

nh với sự cómặt của khuếch đại tuyến tí
nh vàmất mát phi tuyến. Đầu tiên nhóm đã
nghiên cứu quá trình động lực học của hệ với liên kết hằng số, sau đó mở rộng cho liên
kết Gauss đơn. Kết quả nghiên cứu cho thấy trong hệ xuất hiện sự phávỡ đối xứng tự
phát dẫn đến nhiều loại trạng thái thúvị hứa hẹn cónhiều ứng dụng trong công nghệ
như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái xoáy, trạng thái hỗn loạn. Trên cơ
sở các nghiên cứu đó, chúng tôi nhận thấy có thể mở rộng nghiên cứu sự phávỡ đối
xứng tự phát trong các hệ quang học nói trên. Việc nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự
1


phát trong các hệ một cách hệ thống, đầy đủ thìrất cần thiết trong định hướng cho
nghiên cứu thực nghiệm vàphong phúcác ứng dụng trong kỹ thuật hiện nay.
Với tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu vàcác lý do nêu trên, chúng tôi chọn
đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học
phi tuyến”.
Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phávỡ
đối xứng tự phát trong hai hệ quang học bảo toàn: thứ nhất làhệ ống dẫn sóng với sự
cómặt của phi tuyến Kerr vàthế tuyến tính Gauss kép, thứ hai làhệ hai ống dẫn sóng
liên kết tuyến tí
nh vàphi tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta.
- Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số điều khiển như cường độ liên kết, tham
số khuếch đại, tham số mất mát, độ rộng của hàm liên kết lên sự phávỡ đối xứng tự
phát và quá trình động lực học của hệ không bảo toàn đó là hệ gồm hai vòng cộng
hưởng quang học liên kết tuyến tính với sự cómặt của khuếch đại tuyến tính vàmất
mát phi tuyến.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu làcác hệ quang học có phi tuyến kiểu Kerr vàhệ cộng
hưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với sự cómặt của khuếch đại tuyến

nh vàmất mát phi tuyến.
Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp số và phương pháp giải tích.

2


Chương 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN
Trong Chương 1 này tác giả đã trì
nh bày các nội dung sau đây: khái quát về một
số khái niệm trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, phương trình
Schrodinger miêu tả một số hiện tượng trong các hệ quang học khác nhau; các hiệu
ứng phi tuyến bậc ba liên quan được trì
nh bày như hiệu ứng phi tuyến Kerr, hiện
tượng hấp thụ hai photon; các phương pháp tính toán đối với phương trình
Schrodinger được nghiên cứu trì
nh bày chi tiết, trong đó quan tâm đến lời giải soliton
vàtính chất ổn định của chúng. Phương pháp để tìm kiếm lời giải soliton được chúng
tôi áp dụng đó là phương pháp thời gian ảo. Phương pháp dùng để tìm kiếm trạng thái
cuối cùng với kỹ thuật tiến triển dưới tác dụng của nhiễu loạn nhỏ đó là phương pháp
Split - Step Fourier; một số phương pháp để kiểm tra tí
nh chất ổn định của các trạng
thái soliton như phương pháp Split - Step Fourier, phương pháp tuyến tính hóa trị
riêng của các mode nhiễu loạn, phương pháp Vakhitov – Kolokolov. Các nội dung
được liên kê trên đây là kiến thức cơ sở, phương pháp tính toán để nghiên cứu sự phá
vỡ đối xứng trong một số hệ quang học. Tiếp theo tác giả trì
nh bày một số nội dung
liên quan đến sự phávỡ đối xứng tự phát như: bản chất của sự phávỡ đối xứng, đặc
trưng rẽ nhánh của sự phávỡ đối xứng, trạng thái hỗn loạn, kịch bản dẫn tới trạng
thái hỗn loạn. Những nội dung này được chúng tôi trì
nh bày ngắn gọn sau đây, bởi vì
chúng liên quan trực tiếp đến các kết quả nghiên cứu của Chương 2 và Chương 3.
1.1. Bản chất của sự phávỡ đối xứng tự phát
Ta hãy tưởng tượng có một đoạn dây thép thẳng đàn hồi đặt thẳng đứng trong
không gian. Rõ ràng nó có tính đối xứng trục. Ta cóthể quay nóxung quanh trục đối
xứng một góc bất kỳ mànóvẫn giữ nguyên hì
nh dạng. Bây giờ ta ấn đoạn dây này từ
trên xuống dọc theo trục của nó. Rõràng hệ dây vàlực vẫn có tính đối xứng trục, khi
lực ấn lànhỏ. Khi ấn với một lực mạnh thì đoạn dây bị cong đi theo một hướng nào
đó mà ta không biết được, song chắc chắn đối tượng xem xét đã mất tính đối xứng
trục. Đó chính là sự phávỡ đối xứng tự phát. Nếu độ lớn của lực làmột tham số, thì
hệ được xem xét sẽ mất đi đối xứng ban đầu ở một giátrị nào đó của tham số được
gọi làgiátrị tới hạn.

3


Hình 1.6. Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng.
1.2. Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn
Chúng ta xét vídụ cụ thể phương trình Schrödinger phi tuyến rút gọn mô tả sự
lan truyền xung ánh sáng trong hệ quang học phi tuyến đồng nhất có cấu trúc giếng
thế tuyến tí
nh kép (do chiết suất thay đổi theo không gian) códạng như sau:
𝜕𝜓
1
𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓 ,
(1.1)
𝜕𝑧
2
Công suất xung được tính theo mô đun của hàm bao biến thiên chậm:
+∞
+∞
𝑁 = ∫−∞ |𝜓(𝑥, 𝑧)|2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥,
(1.2)
Sự bất đối xứng của solitons được đặc trưng bởi độ bất đối xứng được kýhiệu 𝜈:
ν=

N+ −N−
N

+∞

=

(∫0

0

|u(x)|2 dx−∫−∞|u(x)|2 dx)
+∞

∫−∞ |u(x)|2 dx

.

(1.3)

Sự xuất hiện các solitons không đối xứng ổn định với điều kiện làcông suất xung
vượt mức giátrị tới hạn, loại phávỡ đối xứng này được gọi làtrên tới hạn.

𝑁𝑏𝑖𝑓
Hình 1.7. Sự rẽ nhánh trên tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hình một
chiều.
Trong trường hợp thứ hai, các solitons không đối xứng ổn định xuất hiện tại giátrị
công suất xung nhỏ hơn giá trị tới hạn, loại phávỡ này gọi làrẽ nhánh dưới tới hạn.

𝑁𝑏𝑖𝑓
4


Hình 1.8. Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hình hai
chiều.
1.3. Trạng thái hỗn loạn
Trạng thái hỗn loạn được hiểu làtrạng thái lộn xộn, không trật tự. Tuy nhiên, để
hiểu một cách chí
nh xác chúng ta cần phân biệt hỗn loạn với ngẫu nhiên. Theo đó,
đối với hỗn loạn nếu biết hiện tại (có thể làtrạng thái đầu) thì tương lai (có thể là
trạng thái cuối) sẽ xác định vànếu có một nhiễu loạn nhỏ ở hiện tại (trạng thái đầu)
thì tương lai (trạng thái cuối) sẽ không xác định được nữa. Ngược lại, ngẫu nhiên thì
nếu biết trước hiện tại (có thể trạng thái ban đầu) thì tương lai (trạng thái cuối) sẽ
không xác định được, mang tí
nh chất ngẫu nhiên. Hỗn loạn có tí
nh chất rất quan
trọng đó là tính chất nhạy cảm với điều kiện ban đầu. “Hiệu ứng cánh bướm” là một
vídụ nói về tí
nh chất này. Hiệu ứng cánh bướm đó là nếu chúng ta thực hiện một
thay đổi nhỏ ở trạng thái ban đầu của hệ phi tuyến cóthể dẫn tới kết quả là thay đổi
lớn của trạng thái sau đó.

Hình 1.9. Quỹ đạo của hệ Lorenz khi các giátrị tham số ρ = 28, σ = 10, β = 8/3.
1.4. Một số kịch bản dẫn đến hỗn loạn
Hình vẽ 1.10 miêu tả ba kịch bản dẫn tới hỗn loạn thường được quan sát trong
nhiều hệ động lực học khi một tham số của hệ thay đổi. Hình (a) làkịch bản nhân đôi
tần số dẫn tới hỗn loạn; hì
nh (b) làkịch bản gần tuần hoàn dẫn tới hỗn loạn; hì
nh (c)
làkịch bản không liên tục (không trơn) dẫn đến hỗn loạn.

5


Hình 1.10. Ba kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn.
Trong hì
nh vẽ 1.10, các kíhiệu “S” nghĩa là trạng thái dừng, “P1”, “P2”,…lần
lượt làtrạng thái dao động một tần số, hai tần số,…, “C” là trạng thái hỗn loạn, “QP”
làtrạng thái gần tuần hoàn, “IM” là trạng thái không liên tục (không trơn).

Chương 2
SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC
PHI TUYẾN BẢO TOÀN
Chương này chúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung vàhằng số lan truyền
lên sự phávỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học bảo toàn. Đồng thời xét tí
nh
chất ổn định của các trạng thái solitons tồn tại trong hai hệ đó.
2.1. Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép
2.1.1. Mô hình và phương trình mô tả hệ
Chúng tôi nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng trong ống dẫn sóng với sự cómặt của
hiệu ứng phi tuyến Kerr đồng nhất đồng thời bị bẫy trong ống dẫn sóng có chiết suất
biến đổi theo không gian. Phương trình Schrödinger phi tuyến rút gọn mô tả sự lan
truyền ánh sáng códạng sau đây:
𝜕𝜓
1
𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓,
(2.1)
𝜕𝑧
2
trong đó 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑧) là hàm bao biến thiên chậm; 𝜓𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai của
𝜓(𝑥, 𝑧) theo tọa độ không gian 𝑥; 𝜎 làhệ số phi tuyến (𝜎 = −1 ứng với phi tuyến tự
hội tụ, 𝜎 = +1 ứng với phi tuyến tự phân kỳ); thế tuyến tính (do chiết suất của ống
dẫn sóng biến đổi theo không gian) códạng hàm Gauss kép:
𝑈(𝑥) = −

1
𝑎 √𝜋

[𝑒𝑥𝑝 (−

trong đó a là độ rộng của hàm thế.

(𝑥+1)2
𝑎2

6

) + 𝑒𝑥𝑝 (−

(𝑥−1)2
𝑎2

)],

(2.2)


Hình 2.1. Thế tuyến tính Gauss kép được chuẩn hóa 𝑈(𝑥)⁄|𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥 theo tọa độ
không gian 𝑥.
Hình vẽ 2.1 mô tả thế tuyến tí
nh dạng hàm Gauss kép (có biểu thức (2.2)) với
các độ rộng 𝑎 khác nhau. Khi độ rộng của thế tăng lên chúng ta thấy rằng hàm thế
Gauss kép dần tới hàm thế Gauss đơn bắt đầu tại giátrị độ rộng 𝑎 ≈ 1.35. Lưu ý rằng
sự phávỡ đối xứng không xảy ra trong trường hợp một kênh.
Chúng tôi tìm kiếm các trạng thái solitons của hệ có dạng 𝜓(𝑥, 𝑧) = 𝑢(𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑧
trong đó 𝜇 làhằng số lan truyền, 𝑧 làchiều dài lan truyền và𝑢(𝑥) làhàm thỏa mãn
phương trình:
1
−𝜇𝑢 + 𝑢𝑥𝑥 − 𝑈(𝑥)𝑢 − 𝜎𝑢3 = 0,
(2.3)
2
trong đó 𝑢𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai của 𝑢(𝑥) theo tọa độ không gian 𝑥 và𝑢 = 𝑢(𝑥).
Công suất của xung của hệ làmột đại lượng bảo toàn cóbiểu thức:
+∞
+∞
𝑁 = ∫−∞ |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥 .
(2.4)
Độ bất đối xứng được định nghĩa như sau:
Θ=

N+ −N−
N

+∞

=

(∫0

0

|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥−∫−∞|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥)
+∞

∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥

,

(2.5)

nóđặc trưng cho sự bất đối xứng của solitons.
2.1.2. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ vàthế tuyến tính kép
Xét trường hợp phi tuyến trong ống dẫn sóng làtự hội tụ thì𝜎 = −1, phương
trì
nh môtả hệ trở thành:
𝜕𝜓
1
𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 − |𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓.
(2.6)
𝜕𝑧
2
Trong hình vẽ 2.4, các đường màu xanh lam (đậm nét) tương ứng tập hợp các
trạng thái của solitons ổn định, đường màu đỏ (đứt nét) là tập hợp của các solitons
không ổn định (tính chất ổn định của chúng tôi sẽ xem xét ở ngay sau đây). Ở đây,
chúng tôi nhận thấy tồn tại giá trị công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 0.925 (hay hằng số lan
truyền tới hạn 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 0.646), màkhi 𝑁 > 𝑁𝑏𝑖𝑓 (hay 𝜇 > 𝜇𝑏𝑖𝑓 ) thì solitons của hệ trở
nên bất đối xứng. Một trường hợp soliton đối xứng được biểu diễn bằng điểm A,
soliton bất đối xứng được biểu diễn bằng điểm C, D ở hì
nh vẽ 2.4b. Lưu ý rằng tại các
7


giátrị công suất 𝑁 lớn hơn công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 cũng tồn tại soliton đối xứng, tập
hợp các trạng thái đó được biểu diễn bằng đường nét đứt màu đỏ trên hình vẽ 2.4, một
trường hợp trong số đó là trạng thái tại điểm B, hình dạng đối xứng của chúng cũng
giống như trạng thái tại điểm A. Điểm khác biệt ở đây là trạng thái soliton của chúng
không ổn định khi lan truyền với nhiễu loạn nhỏ.
(a)

C
A

(b)

B

D
𝝁𝒃𝒊𝒇

𝑵𝒃𝒊𝒇

Hình 2.4. Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng số lan
truyền 𝜇, vàcông suất xung 𝑁.
Tiếp theo, chúng tôi kiểm tra tính chất ổn định của các solitons bằng ba
phương pháp khác nhau: phương pháp tiến triển solitons trong không gian thực với
nhiễu loạn nhỏ bởi phương pháp SSF, phương pháp tuyến tí
nh hóa trị riêng của
mode nhiễu loạn, phương pháp V-K. Tất nhiên các kết quả thu được đều giống nhau,
đó như là điều khẳng định các phương pháp đều chính xác. Sau đây chúng tôi trình
bày chỉ phương pháp tiến triển trong không gian thực. Kết quả xét cho các trạng thái
tại các điểm A, B, C và D.
(B)

(A)

(C, D)

(b)

(A)
z

(a)

(C, D)

(B)
(c)

(d)

z

z
8


Hình 2.5. Hình (a) làcông xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền; hì
nh
(b) làtiến triển trong không gian trạng thái soliton đối xứng với 𝑁 = 0.5, 𝑎 =
0.5; hì
nh (c), (d) lần lượt làtiến triển trạng thái soliton đối xứng vàtrạng thái
soliton đối xứng khi 𝑁 = 2, 𝑎 = 0.5.
Chúng tôi tiếp tục thực hiện mười giátrị khác nhau của độ rộng hàm thế Gauss
𝑎, mỗi giátrị chúng tôi thu được một điểm ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 và 𝜇𝑏𝑖𝑓 kết quả thu được
như hình vẽ 2.9.

Hình 2.9. Hình (a) công suất xung vào ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎
(đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓 như là hàm
của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn).
Như vậy, mỗi trường hợp độ rộng của thế Gauss 𝑎 xác định, nếu công suất xung
𝑁 nhỏ hơn giá trị tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 thìtrạng thái của hệ là đối xứng ổn định, nếu công suất
xung 𝑁 lớn hơn giá trị tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 thìtrạng thái của hệ chuyển sang trang thái bất
đối xứng ổn định, lưu ý rằng ở vùng giátrị công suất 𝑁 lớn hơn giá trị tới hạn đó
cũng tồn tại trạng thái đối xứng nhưng không ổn định. Từ tính chất đó và hình vẽ 2.9,
chúng tôi suy ra được vùng (1) (vùng gạch chéo) tồn tại đồng thời trạng thái solitons
không đối xứng ổn định và trạng thái solitons đối xứng không ổn định, vùng (2)
(vùng không gạch chéo) tồn tại trạng thái solitons đối xứng ổn định.
2.1.3. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự phân kỳ vàthế tuyến tí
nh kép
Chúng tôi xét trường hợp phi tuyến tự phân kỳ nghĩa là 𝜎 = +1 phương trình
(2.1) trở thành:
𝜕𝜓
1
𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + |𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓.
(2.7)
𝜕𝑧
2
Bằng cách cố định độ rộng của thế Gauss kép 𝑎, thay đổi tăng dần giátrị công
suất của xung 𝑁. Thực hiện với nhiều giá trị độ rộng 𝑎 khác nhau, chúng tôi nhận
thấy rằng giátrị độ bất đối xứng Θ luôn luôn bằng không, một vídụ với độ rộng thế
𝑎 = 1.0 được miêu tả như hình vẽ 2.10. Điều đó có nghĩa là luôn thu được trạng thái
đối xứng, không xuất hiện sự phávỡ đối xứng. Nguyên nhân được giải thích như sau:
phi tuyến tự phân kỳ cũng giống như tán sắc ánh sáng nó luôn làm cho chùm sáng mở
rộng trong không gian, kết quả chùm sáng luôn có dạng đối xứng. Trong khi đó phi
tuyến tự hội tụ làm cho chùm sáng hội tụ tại điểm nào đó trong không gian.

9


Hình 2.10. Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong trường
hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tí
nh Gauss kép 𝑎 = 1.0.
Một số kết quả tí
nh toán minh họa được môtả bởi các hì
nh vẽ dưới đây: hình vẽ
2.11 môtả các trạng thái solitons ứng với các độ rộng khác nhau 𝑎 = 1/3 và𝑎 = 1.0,
hình vẽ 2.12 miêu tả sự tiến triển của solitons trong không gian thực, kết quả cho thấy
các trạng thái soltion đối xứng của hệ có tính ổn định cao. Chúng tôi cũng tiến hành
khảo sát nhiều giá trị độ rộng của hàm thế Gauss kép khác nhau và kết quả đều không
có sự phá vỡ đối xứng trong hệ phi tuyến tự phân kỳ, các trạng thái solitons có tính
ổn định cao.

(a)

(b)

Hình 2.11. Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng khác
nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất 𝑁=2 và hình (b) tương ứng
với a =1.0, công suất 𝑁=2.

(b)

(a)

10


Hình 2.12. Tiến triển trong không gian thực các trạng thái solitons, hình (a) ứng
với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung 𝑁=2, hì
nh (b) ứng với trường hợp
độ rộng a =1.0, công suất xung 𝑁=2.
2.2. Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến
tính
2.2.1. Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu
Hệ nghiên cứu được mô tả bởi hệ phương trình Schrödinger phi tuyến viết ở
dạng rút gọn như sau:
𝑖

𝜕𝜙
𝜕𝑧
𝜕𝜓

=−

1 𝜕2 𝜙

2 𝜕𝑥 2
1 𝜕2 𝜓

+ 𝑔(𝑥)|𝜙|2 𝜙 − 𝑘𝜓

,
(2.8)
{
2
𝑖 =−
+ 𝑔(𝑥)|𝜓| 𝜓 − 𝑘𝜙
𝜕𝑧
2 𝜕𝑥 2
trong giới hạn ống dẫn sóng quang, 𝜙 và𝜓 là các hàm bao biến thiên chậm của
xung ánh sáng lan truyền trong hai ống, 𝑥 làtọa độ ngang, 𝑔(𝑥) làhệ số phi tuyến
địa phương phụ thuộc tọa độ không gian 𝑥 và𝑘 là hệ số liên kết, z khoảng cách lan
truyền. Tổng công suất xung của hệ thì bảo toàn:
+∞
𝑁 ≡ ∫−∞ [|𝜙(𝑥)|2 + |𝜓(𝑥)|2 ]𝑑𝑥,
(2.9)
và Hamilton của hệ cũng bảo toàn:
1 +∞
𝐻 ≡ ∫−∞ [|𝜙𝑥 |2 + |𝜓𝑥 |2 + 𝑔(𝑥)(|𝜙|4 + |𝜓|4 ) − 2𝑘(𝜙𝜓 ∗ + 𝜙 ∗ 𝜓)]𝑑𝑥
2
(2.10)
trong đó dấu “*“ là kí hiệu của liên hợp phức hàm bao.
Xét phi tuyến địa phương 𝑔(𝑥) có dạng hàm delta:
𝑔(𝑥) = −𝛿(𝑥).
(2.11)
2.2.2. Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của các
trạng thái
Bằng phương pháp giải tích, chúng tôi đã tính toán được các loại trạng thái
solitons khác nhau. Từ đó xét được ảnh hưởng của các tham số lên sự phá vỡ đối
xứng của hệ.
(b)

(a)

(c)

Hình 2.13. Các loại trạng thái solitons: hình (a) làtrạng thái đối xứng, hình (b)
trạng thái phản đối xứng và hình (c) trạng thái không đối xứng của hệ trong
trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = 1 vàhằng số lan truyền 𝜇 = 4.
Qua hình vẽ 2.13a cho thấy hàm bao của hai trạng thái trong hai ống dẫn sóng
trùng nhau miêu tả trạng thái đối xứng, hình 2.13b thì hai hàm bao đối xứng nhau
qua trục nằm ngang miêu tả trạng thái phản đối xứng, còn đối với hình 2.13c hai
hàm bao lệch nhau miêu tả trạng thái không đối xứng.
11


Tổng công suất xung dạng (2.9) của các trạng thái đối xứng và phản đối xứng là
𝑁𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑁𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 2. Tổng công suất của trạng thái bất đối xứng là:
N a sym m 

3 





2

 

2

2

2

.

2

(2.12)
với giá trị giới hạn 𝑁𝑎𝑠𝑦𝑚𝑚 (𝜇 → ∞) = 1. Các tổng công suất của các solitons đối
xứng và bất đối xứng phụ thuộc vào hằng số lan truyền 𝜇, được vẽ ở hình 2.14a
dưới đây.
Giá trị của năng lượng được tính dựa theo công thức (2.10), áp dụng tính cho tất cả
trạng thái được xem xét, có biểu thức tổng quát là:
E 

2 A

2



2 C

2

4

 A

 A (C )  4 A
2

*

2

2

C

2

 (A ) C
*

2

2



 A


2



 C

2



(2.13)
Các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và bất đối xứng tương ứng năng lượng là
𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘 và𝐸𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑘, và
3

2(𝜇+𝜅)

8
5

2(𝜇−𝜅)

𝐸𝑎𝑠𝑦𝑚 = − 𝜅 [√

+√

2(𝜇−𝜅)
2(𝜇+𝜅)

].

(2.14)

Tại điểm rẽ nhánh 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 𝜅 thay vào biểu thức (2.14) suy ra 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘.
4

Hình 2.14. Hình (a) miêu tả công suất xung vàhình (b) miêu tả năng lượng của
các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối xứng theo hằng số lan
truyền 𝜇.
Độ bất đối xứng giữa hai ống dẫn sóng được định nghĩa là:
+∞

Θ =

∫−∞ [|𝑢2 (𝑥)|−|𝑣 2 (𝑥)|]𝑑𝑥
+∞

∫−∞ [|𝑢2 (𝑥)|+|𝑣 2 (𝑥)|]𝑑𝑥

.

(2.15)

Thế các giátrị 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) đã xác định ở trên vào (2.15) vàtính tính phân chúng ta
suy ra:
 

4

3 



2



5


2



2



2

 3 .

2    





2





2

2    



(2.16)
Nó được vẽ như là hàm của tổng công suất vàhằng số lan truyền trong hình 2.15.
Lưu ý rằng   1 khi hằng số lan truyền 𝜇 → +∞. Tất cả các trạng thái bất đối xứng
là không ổn định trong mô hình với phi tuyến biến điệu là hàm delta dạng (2.11).
12


Hình 2.15. Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng  được định nghĩa theo biểu
thức (2.15) theo hằng số lan truyền 𝜇 vàtổng công suất 𝑁.
Để xác định tính chất ổn định của các trạng thái chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn
ổn định V-K. Từ hình vẽ 2.14a chúng ta thấy hệ số góc của đường cong tổng công
suất 𝑁 theo hằng số lan truyền 𝜇 luôn luôn âm, do đó theo tiêu chuẩn V-K các trạng
thái không đối xứng luôn luôn không ổn định. Trong các hình vẽ trên, đường liền
nét và nét đứt tương ứng với trạng thái ổn định và không ổn định. Từ hình vẽ 2.15
chúng tôi suy ra được: thứ nhất công suất tới hạn và hằng số lan truyền tới hạn lần
lượt là 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 2 và𝜇𝑏𝑖𝑓 = 1.25; thứ hai solitons đối xứng vàsolitons phản đối xứng
của hệ tồn tại chỉ khi công suất 𝑁 = 2, hệ tồn tại solitons bất đối xứng khi công suất
1 < 𝑁 < 2 (hay khi hằng số lan truyền 𝜇 > 1.25), thứ ba các trạng thái solitons bất
đối xứng không ổn định, đối chiếu với cách phân loại sự rẽ nhánh chúng ta thấy
SSB của hệ này thuộc loại dưới tới hạn.

Chương 3
SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG CỘNG
HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT
3.1. Môhình nghiên cứu vàhệ phương trình mô tả
Hệ phương trình miêu tả hệ cộng hưởng giữa hai vòng quang học là:
𝑖𝜕𝑡 𝜓1 = −𝜕𝑥2 𝜓1 + 𝑖𝛾𝜓1 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1 |2 𝜓1 + 𝐽(𝑥)𝜓2
, (3.1)
{
𝑖𝜕𝑡 𝜓2 = −𝜕𝑥2 𝜓2 + 𝑖𝛾𝜓2 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2 |2 𝜓2 + 𝐽(𝑥)𝜓1
trong đó 𝜓1 , 𝜓2 lần lượt là hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng trong vòng thứ nhất
vàvòng thứ hai. Tùy thuộc vào vị trí tương đối giữa hai vòng màhàm số liên kết 𝐽(𝑥)
có thể là hằng số (gọi tắt là liên kết hằng số) được nghiên cứu bởi Nguyễn Việt Hưng
và cộng sự, hàm liên kết dạng Gauss đơn (gọi tắt là liên kết Gauss đơn) được nghiên
cứu bởi Aleksandr Ramaniuk và cộng sự, hay hàm liên kết Gauss kép (gọi tắt là liên
kết Gauss kép) đã được chúng tôi nghiên cứu và công bố trong các công trình. Hàm
liên kết Gauss đơn và Gauss kép gọi là liên kết địa phương tức là chúng tương ứng
liên kết tại một điểm và hai điểm. Các dạng hàm liên kết đó được miêu tả bởi các
biểu thức sau đây:
với liên kết hằng số: 𝐽(𝑥) = 𝑐 = ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố,
(3.2)
với liên kết Gauss đơn: 𝐽(𝑥) =

𝑥2

𝐽0


𝑒𝑥𝑝 (− 2),
𝜋𝑎
𝑎
13

(3.3)


với liên kết Gauss kép: 𝐽(𝑥) =

𝐽0
√𝜋𝑎

{𝑒𝑥𝑝 (−

𝜋 2
2
𝑎2

(𝑥− )

) + 𝑒𝑥𝑝 (−

𝜋 2
2
𝑎2

(𝑥+ )

)} .

(3.4)
Trong đó 𝐽0 là cường độ liên kết đặc trưng cho liên kết mạnh hay yếu giữa các vòng;
𝑎 là độ rộng của hàm liên kết, nó phụ thuộc vào độ nghiêng tiếp xúc của các vòng.
Độ rộng đóhẹp hay rộng khi so sánh với chu vi của các vòng quang, độ rộng rất hẹp
nếu 𝑎 ≪ 𝜋, độ rộng rất rộng nếu 𝑎 ≫ 𝜋.


nh 3.1. Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với sự có mặt
của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên kết tuyến tính với nhau.
Trong hì
nh vẽ 3.1, các kýhiệu 𝛾 vàΓ lần lượt là tham số khuếch đại và tham số mất
mát trong mỗi vòng; 𝑗1 , 𝑗2 , 𝑗⊥ lần lượt là mật độ dòng trong vòng 1, vòng 2 và mật độ
dòng ngang trao đổi giữa hai vòng.
Mục đích của chương này là nghiên cứu SSB trong hai vòng cộng hưởng quang
học nói trên. Để nghiên cứu SSB của hệ chúng ta cần sử dụng một số đại lượng vật lý
đặc trưng được định nghĩa sau đây:
Công suất ánh sáng trong mỗi vòng:
2𝜋
𝑁𝑖 (𝑡) = ∫0 |𝜓𝑖 (𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥,
(3.5)
với 𝑖 = 1, 2 là chỉ số chỉ tương ứng công suất trong vòng 1 và vòng 2 mô tả bởi hai
hàm sóng 𝜓1 , 𝜓2 .
Tổng công suất ánh sáng trong hai vòng:
2𝜋
𝑁(𝑡) = ∫0 [|𝜓1 (𝑥, 𝑡)|2 + |𝜓2 (𝑥, 𝑡)|2 ]𝑑𝑥.
(3.6)
Biến đổi Fourier của tổng công suất:
̃ (𝜔) = ℱ(𝑁(𝑡)).
𝑁
(3.7)
với ℱ làkíhiệu của phép biến đổi Fourier, 𝜔 là tần số trong miền không gian Fourier.
Mật độ dòng quang giữa bên trong mỗi vòng quang học:
1
𝜕𝜓
𝜕𝜓∗
𝑗𝛼 (𝑥, 𝑡) = (𝜓𝛼∗ 𝛼 + 𝜓𝛼 𝛼 ), với 𝛼 = 1,2.
(3.8)
2𝑖
𝜕𝑥
𝜕𝑥
Mật độ dòng ngang giữa các vòng quang học:
𝐶
𝑗⊥ (𝑥, 𝑡) = (𝜓1∗ 𝜓2 + 𝜓2∗ 𝜓1 ),
(3.9)
2𝑖
và tổng dòng giữa hai vòng là:
2𝜋
𝐽⊥ (𝑥, 𝑡) = ∫0 𝑗⊥ (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥.
(3.10)
Nguồn tô-pô đặc trưng sự xoáy của trạng thái ánh sáng trong các vòng được định
nghĩa:
14


2𝜋 𝜕

1

𝜅 = ∫0
𝑎𝑟𝑔(𝜓𝑖 )𝑑𝑥.
(3.11)
2𝜋
𝜕𝑥
Đây là một đại lượng được lượng tử hóa, nếu 𝜅 = 0 thìứng với trạng thái không xoáy
vànếu 𝜅 nguyên khác không thì ứng với trạng thái xoáy.
Độ bất đối xứng trong mỗi vòng:
𝜋

Θ𝑖 =

0

∫0 |𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥− ∫−𝜋|𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥
+𝜋

∫−𝜋 |𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥

.

(3.12)

với 𝑖 = 1, 2 là chỉ số tương ứng với vòng 1 và vòng 2. Nếu Θ𝑖 = 0 thìtrạng thái của
hệ cótính chất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥, nếu Θ𝑖 ≠ 0 thì trạng thái của hệ mất tính chất
đối xứng trên hay gọi là có SSB.
Chúng tôi sử dụng phương pháp SSF (cụ thể là kỹ thuật tiến triển) để nghiên cứu
SSB của hệ. Điều kiện đầu được chọn là trạng thái dừng trong mỗi vòng khi không có
liên kết. Khi các vòng chưa liên kết với nhau (𝐽0 = 0), trạng thái dừng của hệ có dạng
sau đây:
𝛾

2

𝑖𝜅𝑥−𝑖( +𝜅 )𝑡
Γ
𝜓1,2 (𝑡) = 𝜌1,2 𝑒
,
(3.13)
trong đó, 𝜌1,2 lần lượt là mô đun của các hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng trong
vòng 1 vàvòng 2, 𝜅 là nguồn tô-pô.
Với điều kiện đầu không xoáy (𝜅 = 0) và thêm nhiễu vào (3.13) thì biểu thức đó sẽ
trở thành:
𝛾

𝜓1,2 (𝑥, 𝑡 = 0) = √ (1 ± 𝛽sin(k𝑥)),
Γ

(3.14)

trong đó 𝛽 = 0.01 là hệ số nhiễu, k là số nguyên.
Khi các vòng liên kết với nhau, sự bất ổn định xảy ra dẫn tới xuất hiện nhiều loại
trạng thái như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn và các hiện
tượng như hiện tượng phá vỡ đối xứng, hiện tượng xoáy. Trước khi chuyển sang phần
nghiên cứu chính của chúng tôi về SSB của hệ trong trường hợp liên kết Gauss kép,
chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về các loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ.
3.2. Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng vòng
quang

15


3.2.1. Trạng thái dừng và sự phá vỡ đối xứng
Trạng thái dừng là trạng thái mà mô đun hàm sóng mô tả trạng thái không thay
đổi theo thời gian. Trong hình 3.3, hình (a) miêu tả tổng công suất không thay đổi
theo thời gian của trạng thái cuối cùng. Hình (b) là biến đổi Fourier của tổng công
suất, chúng ta thấy chỉ có tần số ω=0 có biến đổi Fourier khác không, đó chính là do
tính chất của trạng thái dừng, hay nói các khác trạng thái dừng thì biến đổi Fourier
của tổng công suất chỉ thu được giá trị khác không tại tần số ω=0, còn tại các tần số
khác biến đổi Fourier đều bằng không. Hình (c) là tiến triển của một hàm sóng theo
thời gian, còn hình (d) là mô đun của hai hàm sóng.

(c)

(b)

Mô đun hàm sóng

(a)

(d)

Hình 3.3. Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với các tham số:
𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1.
3.2.2. Trạng thái dao động
Trạng thái dao động là trạng thái mà mô đun hàm sóng biến đổi tuần hoàn theo
thời gian. Hình 3.9a miêu tả tổng công suất của ánh sáng trong hai vòng biến đổi theo
thời gian. Sự tiến triển của một hàm sóng được miêu tả ở hình vẽ 3.9c. Để biết số
lượng tần số của trạng thái dao động, chúng tôi thực hiện biến đổi Fourier của tổng
công suất được miêu tả ở hình 3.9b. Qua đó, chúng tôi thấy rằng xuất hiện 7 tần số ω
trong không gian Fourier có biến đổi Fourier của tổng công suất khác không. Đây là
trường hợp trạng thái dao động với 7 tần số. Hình 3.9d miêu tả mô đun hai hàm sóng
tại cùng một thời điểm, cho thấy có sự bất đối xứng chẵn x→-x của các hàm sóng.

16


(b)

Mô đun hàm sóng

(a)

(d)

(c)

Hình 3.9. Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số. Hình
(a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo thời gian, (b) là biến
đổi Fourier của tổng công suất, (c) là tiến triển của hàm sóng theo thời gian và
(d) là mô đun của các hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và𝑐 = 1.25.
3.2.3. Trạng thái hỗn loạn
Trạng thái hỗn loạn được hiểu là sự phân bố cường độ ánh sáng trong các vòng
không đồng đều, lộn xộn và không trật tự.

(a)

(b)

17


Mô đun hàm sóng

(c)

(d)
Hình 3.11. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên kết
hằng số (trong đó hình nhỏ của hình vẽ (a) là kết quả của), khi các tham số đặc
trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và𝑐 = 2.
3.3. Sự phávỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép
3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phávỡ đối xứng của hệ
Trong mục này chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự
phávỡ đối xứng của hệ với các bộ tham số: cố định bộ các tham số khuếch đại 𝛾 = 3,
tham số mất mát Γ = 1 và thay đổi cường độ liên kết 𝐽0 . Các trường hợp độ rộng hàm
liên kết khác nhau đã được kiểm tra và cho thấy quá trình biến đổi trạng thái tương tự
nhau khi độ rộng của hàm liên kết lệch nhau không quá lớn, chúng có sự khác nhau
đáng kể khi độ rộng đó lớn gấp hàng trăm lần nhau. Vì vậy, sau đây chúng tôi sẽ trình
bày sự phá vỡ đối xứng của hệ trong hai trường hợp: độ rộng liên kết hẹp (𝑎 = 0.01)
và độ rộng liên kết lớn (𝑎 = 1.0) là hai trường hợp đại diện. Kết quả thu được vùng
các tham số tồn tại các loại trạng thái và có sự phá vỡ đối xứng được tổng hợp trên
các hình vẽ và sơ đồ dưới đây.
3.3.1.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp
Sơ đồ 3.1. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết
khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Trong sơ đồ các ký hiệu có nghĩa như sau:
 O-SSB nghĩa là không có sự phá vỡ  S: ký hiệu của trạng thái dừng
 O: ký hiệu của trạng thái dao động
đối xứng
 SSB nghĩa là có sự phá vỡ đối xứng  Chaos: ký hiệu của trạng thái hỗn loạn

18


Hình 3.16. Sơ đồ rẽ nhánh sự chuyển đổi trạng thái của hệ khi các tham số 𝜸 =
𝟑, 𝚪 = 𝟏, 𝒂 = 𝟎. 𝟎𝟏 theo cường độ liên kết 𝑱𝟎 ∈ [𝟏. 𝟗𝟕, 𝟑. 𝟓𝟕].
3.3.1.2. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết rộng
Sơ đồ 3.2. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết
khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

Hình 3.18. Sơ đồ rẽ nhánh môtả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng cường
độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.
3.3.2. Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phávỡ đối xứng của hệ
Mục này, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của tham số khuếch đại 𝛾 lên SSB của
hệ trong hai trường hợp sau đây: trường hợp thứ nhất tham số mất mất Γ = 1, cường
độ liên kết được chọn 𝐽0 = 2.85, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 0.01 và thay đổi 𝛾;
19


trường hợp thứ hai tham số mất mất Γ = 1, cường độ liên kết được chọn 𝐽0 = 12.75,
độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1 và thay đổi 𝛾. Kết quả thu được vùng các tham số tồn
tại các loại trạng thái và có sự phá vỡ đối xứng được tổng hợp trên các hình vẽ và sơ
đồ dưới đây.
3.3.2.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp

Hình 3.19. Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các tham số
cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và𝛾 thay đổi.
Sơ đồ 3.3. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại
khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

3.3.2.2. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết rộng

20


Hình 3.23. Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực học
của hệ, khi các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = 1.
Sơ đồ 3.4. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại
khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

3.3.3. Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phávỡ đối xứng của hệ
Tương tự các phần trên, trong phần này chúng tôi xét hai trường hợp với hai loại độ
rộng hàm liên kết khác nhau: trường hợp thứ nhất cố định các tham số khuếch đại 𝛾 = 3,
𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và thay đổi tham số mất mát Γ; trường hợp thứ hai xét 𝛾 = 3, 𝐽0 =
12.75, 𝑎 = 1 và thay đổi tham số mất mát Γ.
Trường hợp 1. Cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, thay đổi Γ.
Kết quả quá trình biến đổi trạng thái được tổng hợp dưới hình vẽ 3.25. Qua giản đồ
chúng ta thấy trạng thái dừng của hệ tồn tại trong các khoảng tham số mất mát Γ ≲
0.99 vàΓ ≳ 1.60 tương ứng với vùng màu xanh toàn bộ trên giản đồ rẽ nhánh (ký
hiệu bằng chứ S). Trong khoảng tham số mất mát 0.99 ≲ Γ ≲ 1.4 thì hệ xảy ra trạng
21


thái hỗn loạn ứng với vùng có vệt rộng theo chiều thẳng đứng vuông góc với trục
hoành (vùng ký hiệu bằng “Chaos”). Trạng thái dao động xảy ra trong một vùng của
tham số mất mát 1.4 ≲ Γ ≲ 1.6.

Hình 3.25. Giản đồ rẽ nhánh của quátrì
nh biến đổi trạng thái của hệ khi cố định
các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi.
Sơ đồ 3.5. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi
độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01.

Trường hợp 2. Cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, thay đổi Γ.
Trong trường hợp này chúng tôi nhận thấy sự biến đổi trạng thái cũng biến đổi qua lại
giữa các trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn. Nhưng trạng thái
hỗn loạn không toàn bộ thể hiện các vệt sáng của vùng hỗn loạn không liên tục từ tần
số 𝜔 = 0 đến một tần số nào đó. Sự biến đổi giữa các trạng thái cũng không ổn định
giống như các trường hợp độ rộng 𝑎 = 1 đã xét ở trên. Sự biến đổi trạng thái không
ổn định đó được miêu tả trên hình 3.26, các vệt sáng xuất hiện gián đoạn trên nền
màu xanh.

22


Hình 3.26. Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi các
tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi.
Sơ đồ 3.6. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi
độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1.

KẾT LUẬN CHUNG
Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong
một số hệ quang học khác nhau và thu được các kết quả như sau.
Đối với hệ ống dẫn sóng với phi tuyến Kerr đồng nhất vàthế tuyến tí
nh dạng
Gauss kép, chúng tôi nghiên cứu trong hai trường hợp. Trường hợp phi tuyến Kerr tự
hội tụ, chúng tôi nhận thấy hệ cósự phávỡ đối xứng tự phát, đã xác định được vùng
các tham số như công suất xung, hằng số lan truyền tồn tại các loại trạng thái solitons
đối xứng, trạng thái soliton không đối xứng cũng như vùng ổn định, không ổn định
của các trạng thái đó. Đồng thời chúng tôi thu được đặc trưng rẽ nhánh của sự phávỡ
đối xứng trong trường hợp này thuộc loại trên tới hạn. Trường hợp thứ hai phi tuyến
Kerr tự phân kỳ thìhệ không cósự phávỡ đối xứng tự phát, các trạng thái đối xứng
của hệ luôn luôn cótí
nh chất ổn định cao.
Đối với hệ hai ống dẫn sóng có mặt phi tuyến biến điệu dạng hàm delta vàliên
kết tuyến tí
nh với nhau, chúng tôi đã xác định được vùng các tham số như công suất
xung, hằng số lan truyền để tồn tại các loại khác nhau. Đặc trưng rẽ nhánh của sự phá
vỡ đối xứng của trường hợp này là dưới tới hạn (subcritical), các trạng thái solitons
bất đối xứng làkhông ổn định, các trạng thái solitons đối xứng thìluôn ổn định.
Đối với hệ cộng hưởng vòng có liên kết tuyến tính dạng Gauss kép, chúng tôi
xét ba trường hợp ảnh hưởng của ba tham số điều khiển khác nhau (cường độ liên kết,
tham số khuếch đại vàtham số mất mát) lên SSB và thu được:
- Các vùng tham số của cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mất
mát để tồn tại các loại trạng thái khác nhau như: trạng thái dừng, trạng thái dao động,
trạng thái hỗn loạn vàsự phávỡ đối xứng hàm sóng.
23


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×