Tải bản đầy đủ

Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
---------------

ĐỖ THẾ SƠN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
TRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học
Mã số: 9460106

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2020


Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học: 1. GS. TS. Nguyễn Văn Quảng
2. TS. Lê Hồng Sơn


Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường
tại Trường Đại học Vinh
Vào hồi ... ngày ... tháng ... năm ...

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào
thuộc Trường Đại học Vinh


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên
cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành
khoa học thực nghiệm khác. Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiên
cứu cho nhiều đối tượng khác nhau. Chẳng hạn, luật số lớn cho các biến
ngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất không
giao hoán. Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán
đang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được những
kết quả nhất định.
1.2. Lý thuyết tích phân không giao hoán được bắt đầu nghiên cứu vào
những năm 1952-1953 bởi Segal. Sau đó, nó tiếp tục được nghiên cứu bởi
Kunze (1958), Stinespring (1959), Nelson (1974), Yeadon (1979) ... Trên
cơ sở của lý thuyết tích phân không giao hoán, lý thuyết xác suất không
giao hoán đã được nghiên cứu bởi Batty (1979), Padmanabhan (1979),

Luczak (1985), Jajte (1985) và đang tiếp tục được quan tâm. Trong xác
suất không giao hoán, không có không gian xác suất cơ bản, thay vì
nghiên cứu các biến ngẫu nhiên ta nghiên cứu các toán tử trên đại số von
Neumann hoặc toán tử đo được. Do phép nhân các toán tử không có tính
giao hoán và chúng ta cũng không thể nói về max, min của các toán tử


nên để nghiên cứu các vấn đề của lý thuyết xác suất không giao hoán,


2

cần có những công cụ mới và kỹ thuật mới.
1.3. Luật số lớn trong xác suất không giao hoán được nghiên cứu theo
hai hướng chính: toán tử bị chặn trên đại số von Neumann với trạng thái
và toán tử đo được với trạng thái vết. Khó khăn trong hướng thứ nhất là
tính chất hạn chế của trạng thái, còn trong hướng thứ hai thì tính không
bị chặn của các toán tử đo được làm nảy sinh nhiều vấn đề phức tạp. Các
đặc điểm đó góp phần tạo nên sự đa dạng của các vấn đề cần được quan
tâm, nghiên cứu về các định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán.
1.4. Do yêu cầu của nhiều bài toán nảy sinh từ lý thuyết vật lý lượng
tử, những vấn đề của toán tử bị chặn trên đại số von Neumann hoặc các
toán tử đo được đã được nghiên cứu sôi nổi từ những năm bảy mươi của
thế kỷ trước và tiếp tục được nghiên cứu cho đến nay. Chính vì vậy, việc
nghiên cứu định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán không chỉ có
ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án của mình là:

“Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán” .
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận án là thiết lập một số định lý giới hạn
dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện
khác nhau.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các toán tử đo được và luật số
lớn cho các toán tử đo được đối với trạng thái vết trong xác suất không
giao hoán.
4. Phạm vi nghiên cứu


3

Luận án tập trung nghiên cứu về các định lý giới hạn dạng luật số lớn
của các toán tử đo được dưới các dạng hội tụ khác nhau như: hội tụ hầu
đều hai phía, hội tụ trong LP , hội tụ theo độ đo; nghiên cứu mở rộng các
khái niệm khả tích sang không gian xác suất không giao hoán.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phối hợp các phương pháp cơ bản của lý thuyết
xác suất trong chứng minh luật số lớn và các kỹ thuật của lý thuyết toán
tử như: phương pháp chặt cụt, phương pháp dãy con, kỹ thuật biểu diễn
phổ của toán tử.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng
nghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất không giao
hoán.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê
toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng
luật số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được.
Đối với luật mạnh số lớn, đầu tiên chúng tôi thiết lập một số luật
mạnh số lớn cho dãy các toán tử đo được dương. Sử dụng những kết quả
này, chúng tôi chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán
tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối hoặc không cùng phân phối.
Tiếp đến, chúng tôi chứng minh các điều kiện tương đương của khả tích
đều đối với dãy các toán tử đo được. Dựa vào kết quả đó, chúng tôi xây


4

dựng một số khái niệm khả tích đối với dãy các toán tử đo được trong
xác suất không giao hoán. Cuối cùng, luật mạnh số lớn đối với dãy các
toán tử độc lập đôi một và khả tích mạnh Cesàro mức α được chúng tôi
nghiên cứu.
Đối với luật yếu số lớn, trước hết chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ trong

L1 đối với dãy các toán tử đo được, khả tích Cesàro dư mức α và độc lập
đôi một hoặc m-phụ thuộc. Sau đó, chúng tôi xây dựng các khái niệm:
khả tích đều theo nghĩa Cesàro, h-khả tích tương ứng với mảng hằng số

{ani } và h-khả tích với mũ r của mảng các toán tử đo được. Cuối cùng,
chúng tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu số lớn
cho mảng các toán tử đo được từ các khái niệm trên.
7.2. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần: Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu,
Kết luận chung và kiến nghị, Danh mục các công trình của tác giả liên
quan đến luận án, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba
chương.
Chương 1 dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho
những nghiên cứu của luận án.
Chương 2 nghiên cứu về một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số
lớn đối với dãy các toán tử đo được.
Chương 3 nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đối với
dãy và mảng các toán tử đo được.


5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của
lý thuyết xác suất không giao hoán.

1.1

Toán tử trên không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử D là không gian con của H, toán tử tuyến
tính T : D → H được gọi là toán tử xác định bộ phận trên H. Nếu miền
xác định D(T ) của toán tử T trù mật trong H thì T được gọi là toán tử
xác định trù mật trên H.
Một toán tử xác định bộ phận (hoặc xác định trù mật) trên H có thể
bị chặn hoặc không bị chặn.
Toán tử xác định trù mật trên H được gọi là toán tử đóng nếu đồ thị
của nó là một không gian con đóng của H × H.
Định lý 1.1.2. Nếu T là toán tử tự liên hợp xác định bộ phận trên H thì
tồn tại duy nhất khai triển đơn vị E xác định trên các tập con Borel B
của tập số thực R sao cho
+∞

T (x), y =

λdEx,y (λ)

(x ∈ D(T ), y ∈ H).

(1.1)

−∞

Hơn nữa, E tập trung trên σ(T ) ⊂ (−∞, +∞), tức là E σ(T ) = 1.


6

Công thức (1.1) được gọi là biểu diễn phổ của toán tử T và thường
+∞

được viết dưới dạng: T =

+∞

λdE(λ) hoặc T =
−∞

λedλ (T ).
−∞

Khai triển đơn vị E trong Định lý 1.1.2 được gọi là phép phân tích
phổ của toán tử T và E(B) được gọi là phép chiếu phổ của toán tử T
tương ứng với tập con Borel B của tập số thực R, ta viết E(B) = eB (T ).

1.2

Đại số von Neumann

Định nghĩa 1.2.1. Một đại số con A của L(H) được gọi là đại số von
Neumann nếu:
i) A đóng đối với phép liên hợp, nghĩa là nếu T ∈ A thì T ∗ ∈ A;
ii) A chứa toán tử đồng nhất 1;
iii) A đóng yếu, nghĩa là nếu dãy suy rộng {Ti } ⊂ A và Ti → T theo
tôpô toán tử yếu thì T ∈ A.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann. Ký hiệu

A+ = {X ∈ A : X ≥ 0} và τ : A → C là phiếm hàm tuyến tính. Khi đó
i) τ được gọi là dương nếu τ (X) ≥ 0, ∀X ∈ A+ .
ii) τ được gọi là chính xác nếu τ (X) = 0 suy ra X = 0 với mọi X ∈ A+ .
iii) τ được gọi là trạng thái nếu τ dương và τ (1) = 1.
iv) Trạng thái τ được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi dãy suy rộng

{Xi } ⊂ A+ , Xi ↑ X (theo tôpô toán tử mạnh) đều có τ (Xi ) ↑ τ (X).
v) Trạng thái τ được gọi là trạng thái vết nếu

τ (XY ) = τ (Y X), ∀X, Y ∈ A;


7

τ (p ∨ q)

1.3

τ (p) + τ (q), ∀p, q ∈ P rojA.

Toán tử đo được

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử toán tử đóng xác định trù mật X trên H có
phân tích cực X = U |X|. Khi đó, toán tử X được gọi là liên kết với đại
số von Neumann A nếu U thuộc A và mọi phép chiếu phổ của toán tử

|X| cũng thuộc A.
Ký hiệu A là tập các toán tử liên kết với đại số von Neumann A. Mỗi
phần tử X ∈ A được gọi là một toán tử đo được.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A ⊂ L(H) là đại số von Neumann với trạng
thái vết chuẩn tắc, chính xác τ . Với P ≥ 1, ta gọi không gian Banach các
phần tử trong A, ký hiệu LP (A, τ ), là tập các phần tử thuộc A thỏa mãn
1

||X||P = [τ (|X|P )] P < ∞.
Để thống nhất, A sẽ được ký hiệu là L0 (A, τ ). Khi đó, với 1 ≤ P ≤

Q < ∞, chúng ta có bao hàm thức
A ≡ L∞ (A, τ ) ⊂ LQ (A, τ ) ⊂ LP (A, τ ) ⊂ ... ⊂ L0 (A, τ ) = A.

1.4

Các dạng hội tụ và sự độc lập

Trong mục này, chúng tôi gọi A ⊂ B(H) là đại số von Neumann với
trạng thái vết chuẩn tắc, chính xác τ và L0 (A, τ ) là đại số các toán tử
đo được tương ứng.
Định nghĩa 1.4.1. Dãy {Xn , n ≥ 1}) ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ
τ

theo độ đo đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn →
− X , nếu với mọi ε > 0,

τ e(ε,∞) (|Xn − X|) −→ 0 khi n −→ ∞.


8

Định nghĩa 1.4.2. Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ trong
LP

LP đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −→ X , nếu τ |Xn − X|P −→ 0 khi
n −→ ∞.
Định nghĩa 1.4.3. Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ hầu
a.u.

đều đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −−→ X , nếu với mọi ε > 0, tồn tại
phép chiếu p ∈ A sao cho

τ (p⊥ ) < ε, (Xn − X)p ∈ A và lim (Xn − X)p
n→∞



= 0.

Định nghĩa 1.4.4. Dãy {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là hội tụ hầu
b.a.u.

đều hai phía đến X ∈ L0 (A, τ ), ký hiệu Xn −−−→ X , nếu với mọi ε > 0,
tồn tại phép chiếu p ∈ A sao cho

τ (p⊥ ) < ε, p(Xn − X)p ∈ A và lim p(Xn − X)p
n→∞



= 0.

Kết luận của chương 1
Trong chương này, luận án đã giải quyết những vấn đề sau:
- Trình bày tóm tắt một số khái niệm và tính chất cơ bản của các
toán tử trên không gian Hilbert;
- Chứng minh một số tính chất của toán tử đo được;
- Hệ thống một số dạng hội tụ trong xác suất không giao hoán và
mối quan hệ giữa chúng;
- Trình bày một số khái niệm độc lập của dãy và mảng các toán tử
đo được.


9

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT MẠNH SỐ
LỚN ĐỐI VỚI DÃY CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC

Trong chương này, chúng tôi thiết lập các định lý giới hạn dạng luật
mạnh số lớn (với sự hội tụ hầu đều hai phía) đối với dãy các toán tử đo
được.

2.1

Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương

Mục này được dành để trình bày một số luật mạnh số lớn đối với dãy
các toán tử đo được dương.
Định lý sau đây là mở rộng từ Định lý 1 của Chandra và Goswami
(1992) sang xác suất không giao hoán.
Định lý 2.1.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử dương
thỏa mãn các điều kiện sau:
τ (Sn )
(i) sup
< ∞,
n≥1 f (n)

(2.1)

(ii) tồn tại dãy (kép) các số thực không âm {ρij } sao cho
n
2

τ |Sn − τ (Sn )|

n



ρij với mọi n ≥ 1,

(2.2)

i=1 j=1




(iii)
i=1 j=1

ρij
< ∞, i ∨ j = max(i, j).
(f (i ∨ j))2

(2.3)


10

Khi đó

Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
f (n)

Định lý 2.1.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử dương
sao cho tồn tại dãy {Bn , n ≥ 1} các tập con Borel của R thỏa mãn các
điều kiện sau:


(i)

τ eBnc (Xn ) < ∞,

(2.4)

τ Xk eBkc (Xk ) = o (f (n)) ,

(2.5)

n=1
n

(ii)
k=1

(iii) sup
n≥1

τ (Sn )
< ∞,
f (n)

(2.6)

(iv) tồn tại dãy (kép) {ρij } của các số thực không âm sao cho
n

τ |Sn − τ (Sn )|

2

n



ρij với mọi n ≥ 1
i=1 j=1





i=1 j=1

ở đây

Bnc

ρij
< ∞, (2.7)
(f (i ∨ j))2
n

là phần bù của Bn , i ∨ j = max(i, j) và Sn =

Xk eBk (Xk ).
k=1

Khi đó

Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
f (n)

Korchevsky (2015) đã sử dụng các phương pháp được phát triển bởi
Petrov (2008), Cso¨rg˝o, Tandori, Totik (1983) và Chandra, Goswami (1992,
1993) để đạt được một định lý tổng quát của luật mạnh số lớn Petrov
(1969). Sau đây chúng tôi giới thiệu mở rộng của định lý này (Định lý
1 của Korchevsky (2015)). Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt, khi

f (n) = n, p = 2, một kết quả tương tự cho dãy các toán tử đo được độc


11

lập liên tiếp với sự hội tụ hầu đều cũng được chứng minh bởi Klimczak
(2012).
Định lý 2.1.3. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ LP (A, τ ) (P ≥ 1) là dãy các toán
tử dương. Nếu

(i) sup
n≥1

τ (Sn )
<∞
f (n)

(2.8)


P

P

(ii) τ |Sn − τ (Sn )|
thì

=O

f (n)
ψ f (n)

với hàm ψ ∈ ψc

(2.9)

Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
f (n)

2.2

Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc
lập đôi một

Trong mục này, chúng tôi thiết lập một số luật mạnh số lớn cho dãy
các toán tử đo được độc lập đôi một cùng phân phối hoặc độc lập đôi
một không cùng phân phối. Những kết quả đạt được trong mục này nhờ
các kết quả trong Mục 2.1.
Trong trường hợp f (n) = n, định lý sau đây là mở rộng Định lý 1 của
Cso¨rg˝o, Tandori và Totik (1983) sang xác suất không giao hoán.
Định lý 2.2.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên
hợp, độc lập đôi một sao cho:

1
(i) sup
n≥1 f (n)


(ii)
n=1

n

τ (|Xk − τ (Xk )|) < ∞,

(2.10)

1
2
< ∞.
2 τ |Xn − τ (Xn )|
(f (n))

(2.11)

k=1


12

Khi đó

Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
f (n)

Định lý tiếp theo là mở rộng kết quả chính trong bài báo của Klimczak
(2012).
Định lý 2.2.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên
hợp, độc lập đôi một. Đặt G(x) = sup τ e[x,∞) (|Xn |) , với x ≥ 0.
n≥1

Nếu



G(x)dx < ∞
0

thì

1
n

n
b.a.u.

ck Xk − τ (Xk ) −−−→ 0 khi n → ∞,
k=1

với mọi dãy bị chặn {cn }.
Trong trường hợp đặc biệt, khi {Xn , n ≥ 1} ⊂ L1 (A, τ ) là dãy các
toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một cùng phân phối, ta có hệ quả sau
đây
Hệ quả 2.2.3. [Định lý 2.1, Klimczak (2012)] Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂

L1 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một cùng phân phối.
Khi đó

1
n

n
b.a.u.

Xk −−−→ τ (X1 ) khi n → ∞.
k=1

Tiếp theo chúng tôi sẽ chứng minh một phiên bản không giao hoán của
Định lý 3 trong Chandra và Goswami (1992). Chú ý rằng trong trường
hợp dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập liên tiếp chúng ta sẽ nhận được
sự hội tụ hầu đều [Định lý 4.7.3, Jajte (1985)].


13

Định lý 2.2.4. Giả sử gn : (0, ∞) → (0, ∞) là dãy các hàm không giảm
x
gn (x)
sao cho

không tăng đối với biến x, với mọi n ≥ 1. Giả
gn (x)
x2
an
sử {an , n ≥ 1} là dãy số dương tăng với an ↑ ∞ và
bị chặn. Nếu
f (n)
{Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một
thỏa mãn


n=1



1
sup
n≥1 f (n)
thì

τ (gn (|Xn |))
<∞
gn (an )

n

τ |Xk |e[0,ak ) (|Xk |) < ∞
k=1

Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
f (n)

2.3

Một số dạng khả tích đều và luật mạnh số lớn
đối với dãy các toán tử đo được

Trong mục này, đầu tiên chúng tôi sẽ chứng minh một số tính chất
tương đương của điều kiện khả tích đều đối với dãy các toán tử đo được.
Sau đó, chúng tôi sẽ xây dựng một số khái niệm khả tích trong xác suất
không giao hoán và mối liên hệ giữa chúng. Cuối cùng, chúng tôi sẽ thiết
lập một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử độc lập đôi một thỏa
mãn điều kiện khả tích mạnh mức α hoặc khả tích đều mạnh Cesa
`ro.
Định nghĩa 2.3.1. Một tập con bị chặn K của L1 (A, τ ) được gọi là khả
tích đều (ký hiệu UI) nếu

lim sup pn Xpn

n→∞ X∈K

1

= 0,


14

với mọi dãy các phép chiếu giảm {pn }n≥1 thuộc A với pn ↓ 0 (theo tôpô
toán tử mạnh).
Bây giờ chúng ta chứng minh một số tính chất tương đương của điều
kiện khả tích đều. Lưu ý rằng nếu X là toán tử tự liên hợp thì X có thể
giao hoán với mọi phép chiếu phổ eB (X) của nó, ở đây B là tập con Borel
của tập số thực R, từ đó suy ra eB (X)XeB (X) = XeB (X). Điều này là
rất hữu ích để thiết lập định lý sau đây.
Định lý 2.3.2. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được. Các
khẳng định sau đây là tương đương:
(i) Dãy {Xn , n ≥ 1} khả tích đều.
(ii) Tồn tại hàm lồi φ ∈ Φ sao cho

sup τ [φ(|Xn |)] < ∞.

(2.12)

n≥1

(iii) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi phép chiếu p ∈ A, nếu

τ (p) < δ thì
sup τ (|Xn |p) < ε

(2.13)

n≥1



sup τ (|Xn |) < ∞.

(2.14)

n≥1

(iv) lim sup τ |Xn |e(a,∞) (|Xn |) = 0.
a→∞ n≥1

Định nghĩa 2.3.3. Dãy các toán tử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là
khả tích đều Cesa
`ro, ký hiệu CUI, nếu

lim sup

c→∞ n≥1

1
n

n

τ |Xk |e(c,∞) (|Xk |)
k=1

= 0.

(2.15)


15

Dựa vào Định lý 2.3.2, ta dễ dàng thấy rằng nếu dãy {Xn , n ≥ 1}
thỏa mãn điều kiện UI thì nó cũng thỏa mãn điều kiện CUI.
Mệnh đề sau đây là phiên bản không giao hoán của tiêu chuẩn khả
tích đều Cesa
`ro trong Chandra và Goswami (1992).
Mệnh đề 2.3.4 (Dạng không giao hoán của tiêu chuẩn khả tích đều
Cesa
`ro). Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được. Các khẳng định
sau đây là tương đương:
(i) {Xn , n ≥ 1} là CUI.
(ii) Tồn tại một hàm lồi* φ ∈ Φ, sao cho

1
sup
n≥1 n

n

τ [φ(|Xk |)]

= M < ∞.

(2.16)

k=1

* Tính chất này không sử dụng trong trường hợp (ii) ⇒ (i).
Định nghĩa 2.3.5. Giả sử α là số thực dương. Khi đó, dãy các toán tử

{Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là:
(i) Khả tích Cesa
`ro mức α, ký hiệu CI(α), nếu
1
sup
n≥1 n


lim

n→∞

1
n

n

τ |Xi |

<∞

i=1

n

τ |Xi |e(iα ,∞) (|Xi |)

= 0.

i=1

(ii) Khả tích mạnh Cesa
`ro mức α, ký hiệu SCI(α), nếu
1
sup
n≥1 n




n=1

n

τ |Xi |

<∞

i=1

1
τ |Xn |e(nα ,∞) (|Xn |) < ∞.
n


16

Hiển nhiên, nếu 0 < α < β thì CI(α) suy ra CI(β) và SCI(α) suy ra
SCI(β). Hơn nữa, từ bổ đề Kronecker suy ra rằng SCI(α) kéo theo CI(α),
với mọi α > 0.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng với mọi α > 0, CUI =⇒ CI(α) và SCUI

=⇒ SCI(α).
Bổ đề 2.3.6. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được và α là số
thực dương. Khi đó

(i) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện CUI thì nó cũng thỏa mãn
điều kiện CI(α).

(ii) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCUI thì nó cũng thỏa mãn
điều kiện SCI(α).
Định nghĩa 2.3.7. Giả sử α là số thực dương. Khi đó, dãy các toán tử

{Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) được gọi là:
(i) Khả tích Cesa
`ro dư mức α, ký hiệu RCI(α), nếu
1
sup
n≥1 n


lim

n→∞

1
n

n

τ |Xi |

<∞

i=1

n

τ |Xi | − iα e(iα ,∞) (|Xi |)

= 0.

i=1

(ii) Khả tích mạnh Cesa
`ro dư mức α, ký hiệu SRCI(α), nếu
1
sup
n≥1 n




n=1

n

τ |Xi |

<∞

i=1

1
τ |Xn | − nα e(nα ,∞) (|Xn |) < ∞.
n

Rõ ràng với mọi α > 0, SRCI(α) =⇒ RCI(α) bởi bổ đề Kronecker.
Mặt khác, từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu 0 < α < β thì RCI(α) =⇒


17

RCI(β) và SRCI(α) =⇒ SRCI(β). Hơn nữa, CI(α) =⇒ RCI(α) và SCI(α)

=⇒ SRCI(α), với mọi α > 0.
Định lý 2.3.8. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên
hợp, độc lập đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCI(α)
1
với α ∈ (0, ) thì
2
Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
n
Bổ đề 2.3.6 cho thấy rằng với mọi α > 0, điều kiện SCI(α) yếu hơn
điều kiện SCUI. Vì vậy, ta được hệ quả sau đây là mở rộng của Định lý
6 trong Chandra (1992).
Hệ quả 2.3.9. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên
hợp độc lập đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện SCUI thì
Sn − τ (Sn ) b.a.u.
−−−→ 0 khi n → ∞.
n
Kết luận của chương 2
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Thiết lập một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được
dương;
- Chứng minh một số luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo
được độc lập đôi một cùng phân phối và không cùng phân phối;
- Thiết lập các điều kiện tương đương của dãy các toán tử đo được
khả tích đều;
- Xây dựng một số khái niệm khả tích trong xác suất không giao
hoán và mối quan hệ giữa chúng;
- Chứng minh luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc
lập đôi một thoả mãn điều kiện khả tích mạnh mức α.


18

CHƯƠNG 3
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN DẠNG LUẬT YẾU SỐ LỚN
ĐỐI VỚI DÃY VÀ MẢNG CÁC TOÁN TỬ ĐO ĐƯỢC

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật
yếu số lớn đối với dãy và mảng các toán tử đo được.

3.1

Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được

Trong mục này chúng tôi sẽ thiết lập một số định lý hội tụ trong L1 .
Chúng ta biết rằng hội tụ trong L1 kéo theo hội tụ theo độ đo. Vì vậy, từ
các định lý trong mục này chúng ta có thể nhận được kết quả dạng luật
yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được.
Định lý 3.1.1. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên
hợp độc lập đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện RCI(α)
với α ∈ (0, 1) thì

Sn − τ (Sn ) L1
−→ 0 khi n → ∞.
n
Áp dụng Định lý 3.1.1, ta dễ dàng nhận được hệ quả sau đây.
Hệ quả 3.1.2. [Định lý 4.1(b), Lindsay và Pata (1997)] Giả sử {Xn , n ≥

1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự liên hợp, độc lập đôi một. Với n ≥ 1,
n

Xi e[0,n] (|Xi |).

đặt Sn =
i=1


19

Nếu

K(a) := sup a Xi e(a,∞) (|Xi |)
i

1

→ 0 khi a → ∞

thì

Sn − τ (Sn ) L1
−→ 0 khi n → ∞.
n
Tương tự như trong xác suất giao hoán, ta nói rằng dãy các toán tử
đo được {Xn , n ≥ 1} là m-phụ thuộc đôi một nếu Xi và Xj độc lập khi

|i − j| > m.
Định lý 3.1.3. Giả sử {Xn , n ≥ 1} ⊂ L0 (A, τ ) là dãy các toán tử tự
liên hợp m-phụ thuộc đôi một. Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện
RCI(α) với α ∈ (0, 1) thì

Sn − τ (Sn ) L1
−→ 0 khi n → ∞.
n

3.2

Luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo
được

Trong mục này, chúng tôi tiếp tục xây dựng một số khái niệm mới về
một số dạng khả tích đối với mảng các toán tử đo được. Sau đó, chúng
tôi thiết lập một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu số lớn cho mảng
các toán tử đo được dưới điều kiện thích hợp.
Sau đây chúng tôi trình bày một số bổ đề sẽ được sử dụng để chứng
minh các định lý trong mục này.
Chứng minh của Bổ đề 3.2.1 sau đây tương tự như cách chứng minh
của Bổ đề 2.1 trong Wu và Guan (2011) và được bỏ qua.
Bổ đề 3.2.1. Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các toán tử đo
được và r > 0. Gọi {h(n), n ≥ 1} là dãy tăng các số dương với h(n) ↑ ∞


20

khi n → ∞. Gọi {ani , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các số thực thỏa mãn

h(n) supun ≤i≤vn |ani |r → 0 khi n → ∞. Giả sử rằng các điều kiện sau đây
thỏa mãn:
vn

|ani |r τ (|Xni |r ) < ∞,

(i) sup

(3.1)

n≥1 i=u
n
vn

|ani |r sup yτ e(y1/r ,∞) (|Xni |) = 0.

(ii) lim

n→∞

(3.2)

y≥h(n)

i=un

Khi đó với mọi β > r, ta có
vn

|ani |β τ |Xni |β e[0,kn1/r ] (|Xni |) = 0,

lim

n→∞

i=un

trong đó kn = 1/ supun ≤i≤vn |ani |r .
−1/r

Lấy ani = kn

với un ≤ i ≤ vn và n ≥ 1 trong Bổ đề 3.2.1, ta nhận

được bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.2.2. Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các toán tử đo
được và r > 0. Gọi {h(n), n ≥ 1} là dãy số dương tăng với h(n) ↑ ∞ khi
h(n)
→ 0 và các điều kiện sau đây thỏa
n → ∞. Giả sử rằng kn → ∞,
kn
mãn:
v

1 n
(i) sup
τ (|Xni |r ) < ∞,
n≥1 kn i=u

(3.3)

n

v

1 n
(ii) lim
sup yτ e(y1/r ,∞) (|Xni |) = 0.
n→∞ kn
y≥h(n)
i=u
n

Khi đó với mọi β > r, ta có
vn

lim kn−β/r
n→∞

τ |Xni |β e[0,kn1/r ] (|Xni |) = 0.
i=un

(3.4)


21

Bây giờ chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả chính của mục này. Dưới
một số điều kiện thích hợp, một số định lý hội tụ trung bình và luật yếu
số lớn cho mảng các toán tử đo được sẽ được thiết lập.
Định lý 3.2.3. Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các toán tử
độc lập đôi một theo hàng và 1 ≤ r < 2. Giả sử rằng kn → ∞, h(n) ↑ ∞
h(n)
→ 0. Nếu điều kiện (3.3) và (3.4) thỏa mãn thì

kn
vn

1

τ

Xni − τ (Xni ) →
− 0 khi n → ∞.

1/r

kn

i=un

Định lý 3.2.4. Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các toán
tử đo được độc lập đôi một theo hàng và {ani , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là
mảng các số thực không âm, kn = 1/ sup ani . Giả sử rằng h(n) ↑ ∞
un ≤i≤vn

h(n)
→ 0. Nếu (3.1), (3.2) thỏa mãn với r = 1 và

kn
vn

ani τ |Xni |e(kn ,∞) (|Xni |) = 0

lim

n→∞

thì

(3.5)

i=un

vn

L1

ani Xni − τ (Xni ) −→ 0 khi n → ∞.
i=un

Định lý sau đây cho thấy rằng với điều kiện mạnh hơn giả thiết của
Định lý 3.2.3, ta có thể nhận được hội tụ trong Lr đối với mảng các toán
tử độc lập đôi một theo hàng.
Định lý 3.2.5. Giả sử {Xni , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các toán tử
độc lập đôi một theo hàng và {ani , un ≤ i ≤ vn , n ≥ 1} là mảng các số
thực không âm. Giả sử rằng 1 ≤ r < 2, kn = 1/ supun ≤i≤vn arni , h(n) ↑ ∞


h(n)
kn

→ 0. Nếu (3.1), (3.2) và điều kiện sau đây thỏa mãn
vn

arni τ |Xni |2 e(kn1/r ,∞) (|Xni |) = O(log δ kn ), với δ > 0
i=un

(3.6)


22

thì

vn

Lr

ani Xni − τ (Xni ) −→ 0 khi n → ∞.
i=un

Định lý sau đây là phiên bản không giao hoán của Định lý 3.1 trong
bài báo của Ankirchner, Kruse và Urusov (2017).
Định lý 3.2.6. Giả sử {Xni , 1 ≤ i ≤ kn , n ≥ 1} là mảng các toán tử đo
được dương độc lập đôi một theo hàng. Nếu
kn

(i) lim

τ e[kn ,∞) (Xni ) = 0

n→∞

(3.7)

i=1


1

kn

(ii) lim

n→∞

z

τ e[kn z,∞) (Xni )
i=1 0

thì

τ e[0,kn u) (Xni ) dudz = 0
0

kn

1
kn

(3.8)

τ

Xni − τ Xni e[0,kn ) (Xni )


− 0 khi n → ∞.

i=1

Hệ quả sau đây tổng quát hơn Định lý 3.1 trong Luczak (1985), bởi
vì điều kiện “độc lập liên tiếp” được thay thế bởi điều kiện yếu hơn “độc
lập đôi một”.
Hệ quả 3.2.7. Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy các toán tử đo được tự liên
hợp, độc lập đôi một cùng phân phối. Nếu

lim nτ e[n,∞) (|X1 |) = 0

n→∞

thì

1
n

n
τ

Xi − τ X1 e[0,n) (|X1 |) →
− 0 khi n → ∞.
i=1

(3.9)


23

Kết luận của chương 3
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Thiết lập luật yếu số lớn đối với dãy toán tử đo được tự liên hợp
và khả tích Cesàro dư mức α trong trường hợp dãy độc lập đôi một
hoặc m-phụ thuộc đôi một;
- Xây dựng một số khái niệm khả tích đối với mảng các toán tử đo
được;
- Chứng minh một số luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo
được độc lập đôi một theo hàng.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×