Tải bản đầy đủ

Tài liệu tự học giới hạn của hàm số – nguyễn trọng

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

CHƯƠNG

4

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

GIỚI HẠN
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).
Giả sử ( a ; b ) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp

( a ; b ) \  x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu
với mọi dãy số ( xn ) trong tập hợp ( a ; b ) \  x0  mà lim xn = x0 ta đều có lim f ( xn ) = L .
Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → x0 .
x→ x
0


Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a ; + ) . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực

L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số

( xn )

trong khoảng

( a ; + )

mà lim xn = + ta đều có

lim f ( xn ) = L .

Khi đó ta viết lim f ( x ) = L hoặc f ( x ) → L khi x → + .
x →+

GIỚI HẠN HỮA HẠN

GIỚI HẠN VÔ CỰC

Giới hạn đặc biệt

Giới hạn đặc biệt

1) lim x = x0 .

1) lim x k = + .

c
=0.
xk
1
1
3) lim− = − .
4) lim+ = + .
x →0 x
x →0 x


+ khi k 2 ( k  0 )
5) lim x k = 
x →−
− khi k  2


x → x0

2) lim c = c ( c 

x →+

).

x → x0

Định lí

2) lim

x →

Định lí 1

Nếu lim f ( x ) = L và lim g ( x ) = M thì

Nếu lim f ( x ) = L  0 và lim f ( x ) =  thì

1) lim  f ( x )  g ( x )  = L  M .
x → x0

+ khi L. lim g ( x )  0
x → x0

lim  f ( x ) .g ( x )  = 
.
x → x0
g ( x)  0
− khi L. xlim
→ x0

x → x0

x → x0

2) lim  f ( x ) .g ( x )  = L.M .
x → x0
3) lim

x → x0

x → x0

Nếu f ( x )  0 và lim f ( x ) = L thì
x → x0

lim f ( x ) = L và lim

f ( x) = L .

lim

x → x0

f ( x) 
+ khi L.g ( x )  0
.
=
g ( x) 
− khi L.g ( x )  0

Page

1

x → x0

x→ x0

Nếu lim g ( x ) = 0 thì

f ( x) L
với M  0 .
=
g ( x) M

x → x0

x → x0

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Giới hạn một bên
lim f ( x ) = L  lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L .

x → x0

x → x0

x → x0

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng

0
, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức.
0

Phương pháp giải:
Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng
chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.
 VÍ DỤ

2 x 2 + 3x − 14
.
x →2
x2 − 4

Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim

Đs: A =

11
.
4

Lời giải

7
2(x − 2)(x + )
2 x 2 + 3x − 14
2 = lim 2 x + 7 = 11
Ta có A = lim
= lim
2
x →2
x →2 (x − 2)(x + 2)
x →2 x + 2
x −4
4
! Cần nhớ: f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
f ( x ) = 0 . Học sinh thường quên nhân thêm a .

2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
Ví dụ 2. Tính giới hạn A = lim 3
.
x →2 4 x − 13x 2 + 4 x − 3

Đs: A =

11
.
17

Lời giải

( x − 3) ( 2 x2 + x + 1)
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
2 x 2 + x + 1 11
A = lim 3
= lim
= lim
=
x →3 4 x − 13 x 2 + 4 x − 3
x →3 x − 3 4 x 2 − x + 1
( )(
) x→3 4 x2 − x + 1 17
Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) như sau:
Phân tích 2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 thành tích số:

 2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3) ( 2 x 2 + x + 1)

Page

2

Phân tích 4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3 thành tích số:

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

 4 x3 − 13x 2 + 4 x − 3 = ( x − 3) ( 4 x 2 − x + 1) .

Ví dụ 3. Tính giới hạn A = lim
x →1

x100 − 2 x + 1
.
x50 − 2 x + 1

Đs: A =

49
.
24

Lời giải

x ( x99 − 1) − ( x − 1)
x100 − 2 x + 1
( x100 − x) − ( x − 1)
Ta có A = lim 50
= lim 50
= lim
x →1 x − 2 x + 1
x →1 ( x − x) − ( x − 1)
x →1 x x 49 − 1 − x − 1
(
) ( )
= lim
x →1

x ( x − 1) ( x98 + x97 + x96 + .... + x + 1) − ( x − 1)

x ( x − 1) ( x 48 + x 47 + x 46 + .... + x + 1) − ( x − 1)

( x − 1) ( x99 + x98 + x97 + .... + x 2 + x − 1)
x →1 x − 1 x 49 + x 48 + x 47 + .... + x 2 + x − 1
( )(
)

= lim

= lim
x →1

(x
(x

+ x98 + x97 + .... + x 2 + x − 1)

99

+ x + x + .... + x + x − 1)

49

48

47

2

=

98 49
=
48 24

!Cần nhớ: Hằng đẳng thức x n − 1 = ( x − 1) ( x n −1 + x n − 2 + .... + x 2 + x + 1) .
Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, x, x 2 , x3 ,...., x n−1 có n số hạng và u1 = 1, q = x.
Khi đó

Sn = 1 + x + x 2 + ... + x n−1 = u1

qn −1
xn −1
= 1.
 x n − 1 = ( x − 1) (1 + x + x 2 + ... + x n−1 ) .
q −1
x −1

 BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1.

Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
x →2

1
x 2 − 3x + 2
. ĐS: A = .
2
4
x −4

x 2 − 7 x + 12
1
3) A = lim
. ĐS: A = − .
2
x →3
x −9
6

x →1

2
x2 −1
. ĐS: A = .
2
5
x + 3x − 4

x 2 − 9 x + 20
1
4) A = lim
. ĐS: A = .
2
x →5
x − 5x
5

3x 2 − 10 x + 3
. ĐS: A = 8 .
x →3 x 2 − 5 x + 6

6) A = lim

4
x2 + 2 x − 3
. ĐS: A = .
2
3
2x − x −1

x 4 − 16
. ĐS: A = −16 .
x →−2 x 2 + 6 x + 8

8) A = lim

x −2 x −3
4
.ĐS: A = − .
3
x −5 x + 4

5) A = lim

7) A = lim
9) A = lim
x →2

x3 − 8
. ĐS: A = 12 .
x 2 − 3x + 2

x →1

x →1

x3 + 8
12
. ĐS: A = .
2
x →−2 x + 11x + 18
7

10) A = lim

3

Tính các giới hạn sau:

Page

Bài 2.

2) A = lim

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
. ĐS: A = −1.
x →1
x2 − 1

2) A = lim

1
x3 − 3x + 2
. ĐS: A = .
4
2
x − 4x + 3

3) A = lim

1
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
. ĐS: A = .
3
2
x →−1
2
x + x − x −1

4) A = lim

x 4 − x3 − x + 1
3
. ĐS: A = − .
3
2
x − 5x + 7 x − 3
2

2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3
5) A = lim
.
x →− 3
3 − x2

ĐS: A =

1) A = lim

6) A = lim
x →3

x →1

18 + 19 3
.
6

x3 − 5 x 2 + 3x + 9
. ĐS: A = 0 .
x4 − 8x2 − 9

3
1 − x3
7) A = lim 4
. ĐS: A = .
x →1 x − 4 x 2 + 3
4

1
12 
 1
8) A = lim 
− 3
 . ĐS: A = 2 .
x →2 x − 2
x −8 


1
1


9) A = lim  2
+ 2
.
x →2 x − 3x − 2
x − 5x − 6 


1
1 

10) A = lim  2
− 3  .
x →1 x + x − 2
x −1 


Bài 3.

x →1

ĐS: A = −2 .

1
ĐS: A = .
9

Tính các giới hạn sau:
1) A = lim
x →1

3) A = lim

x 20 − 2 x + 1
8
. ĐS: A = .
30
x − 2x +1
14
x n − nx + n − 1

( x − 1)

x →1

4) A = lim

x n +1 − ( n + 1) x + n

( x − 1)

x →1

5) A = lim
x →1

2

(Với n là số nguyên).

2

.

2) A = lim
x →1

x50 − 1
. ĐS: A = −50 .
x 2 − 3x + 2

ĐS: A =

n2 − n
.
2

ĐS: A =

n ( n + 1)
.
2

n ( n + 1)
x + x 2 + x3 + ... + x n − n
( m, n là số nguyên) . ĐS: A =
.
2
3
m
m ( m + 1)
x + x + x + ... + x − m

n 
 m
6) A = lim 

 .
m
x →1 1 − x
1 − xn 


ĐS: A =

m−n
.
2

 LỜI GIẢI
Bài 1.

( x − 1)( x − 2 ) = lim x − 1 = 1 .
x 2 − 3x + 2
1) Ta có A = lim
= lim
2
x →2
x

2
x −4
( x − 2 )( x + 2 ) x→2 x + 2 4
2) Ta có A = lim
x →1

( x − 1)( x + 1) = lim x + 1 = 2 .
x2 − 1
= lim
2
x + 3x − 4 x→1 ( x − 1)( x + 4 ) x→1 x + 4 5

Page

4

( x − 3)( x − 4 ) = lim x − 4 = − 1 .
x 2 − 7 x + 12
3) Ta có A = lim
=
lim
x →3
x →3 ( x − 3)( x + 3)
x →3 x + 3
x2 − 9
6

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
4) Ta có A = lim
x →5

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

( x − 4 )( x − 5) = lim x − 4 = 1 .
x 2 − 9 x + 20
= lim
2
x →5
x →5
x − 5x
x ( x − 5)
x
5

( 3x − 1)( x − 3) = lim 3x − 1 = 8 .
3x 2 − 10 x + 3
= lim
2
x →3 x − 5 x + 6
x →3 ( x − 2 )( x − 3)
x →3 x − 2

5) Ta có A = lim

6) Ta có A = lim
x →1

( x − 1)( x + 3) = lim x + 3 = 4 .
x2 + 2x − 3
= lim
2
2 x − x − 1 x→1 ( x − 1)( 2 x + 1) x→1 2 x + 1 3

( x − 2)( x + 2) ( x 2 + 4 )
( x − 2) ( x2 + 4)
x 4 − 16
=
lim
=
lim
= −16 .
x →−2 x 2 + 6 x + 8
x →−2
x →−2
( x + 2 )( x + 4 )
( x + 4)

7) Ta có A = lim

8) Ta có A = lim
x →1

x −2 x −3
= lim
x − 5 x + 4 x→1

(
(

)(
x − 1)(
x −1

) = lim (
x − 4)
(
x +3

x →1

) =−4.
3
x − 4)
x +3

x2 + 2x + 4)
( x − 2) ( x2 + 2 x + 4)
(
x3 − 8
9) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= 12 .
x →2 x − 3 x + 2
x →2
x →2
( x − 2 )( x − 1)
( x − 1)

! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) và a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) .

( x + 2) ( x2 − 2x + 4)
( x2 − 2x + 4) = 12 .
x3 + 8
=
lim
=
lim
x →−2 x 2 + 11x + 18
x →−2
x →−2
7
( x + 2 )( x + 9 )
( x + 9)

10) Ta có A = lim

Bài 2.

( x − 1) ( 2 x2 − 3x − 1)
2 x3 − 5 x 2 + 2 x + 1
2 x 2 − 3x − 1
=
lim
=
lim
= −1 .
x →1
x →1
x →1
x2 − 1
x +1
( x − 1)( x + 1)

1) A = lim

( x − 1) ( x + 2 ) = lim x + 2 = 1 .
x3 − 3x + 2
= lim
2) A = lim 4
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1
( x − 1) ( x 2 + 2 x + 3) x→1 x 2 + 2 x + 3 2
2

( x + 1) ( 2 x + 1) = lim 2 x + 1 = 1 .
2 x3 + 5 x 2 + 4 x + 1
3) A = lim
=
lim
2
x →−1
x →−1
x3 + x 2 − x − 1
( x + 1) ( x − 1) x→−1 x − 1 2
2

( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x 4 − x3 − x + 1
x2 + x + 1
3
= lim
= lim
=− .
4) A = lim 3
2
x →1 x − 5 x 2 + 7 x − 3
x →1
x →1
x −3
2
( x − 1) ( x − 3)
2

)(

(

(

)

)

 x + 3 2x2 − 3 + 2 3 x + 7 + 3 3 
2 x3 − 3x 2 + x + 9 + 7 3

5) Ta có A = lim
= lim  −
2


x →− 3
x
→−
3
3− x
x+ 3
3−x




(

(

)(

)

)

 2x2 − 3 + 2 3 x + 7 + 3 3 
 = 18 + 19 3 .
= lim  −
x →− 3 

6
3−x



( x − 1)( x − 3)
( x − 1)( x − 3) = 0 .
x3 − 5 x 2 + 3x + 9
6) Ta có A = lim
= lim
=
lim
4
2
x →3
x →3 x − 3
x − 8x − 9
( )( x + 3) ( x2 + 1) x→3 ( x + 3) ( x2 + 1)
Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !

Page

5

2


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

− x 2 − x − 1)
( x − 1) ( − x2 − x − 1)
(
1 − x3
3
7) Ta có A = lim 4
= lim
= lim 3
= .
2
3
2
2
x →1 x − 4 x + 3
x →1 x − 1 x + x − 3x − 3
( )(
) x→1 ( x + x − 3x − 3) 4
12 
x3 − 12 x + 16
 1
8) Ta có A = lim 
− 3
=
lim

x →2 x − 2
x − 8  x →2 ( x − 2 ) ( x 3 − 8 )


( x + 4 )( x − 2 ) = lim x + 4 = 1 .
= lim
2
x →2
( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x →2 x 2 + 2 x + 4 2
2

1
1
x 2 − 5 x − 6 + x 2 − 3x − 2


+ 2
=
lim
9) Ta có A = lim  2

x →2 x − 3x − 2
x − 5 x − 6  x→2 ( x 2 − 3x − 2 )( x 2 − 5 x − 6 )


= lim
x →2

2 ( x − 2)

2

( x − 2) ( x − 3)( x − 1)
2

= lim
x →2

2

( x − 3)( x − 1)

= −2 .

1
1 
x3 − 1 − x 2 − x + 2
x3 − x 2 − x + 1

− 3  = lim 2
=
lim
10) Ta có A = lim  2
x →1 x + x − 2
x − 1  x→1 ( x + x − 2 )( x3 − 1) x→1 ( x 2 + x − 2 )( x3 − 1)


( x − 1) ( x + 1)
x +1
1
= lim
= lim
= .
2
2
2
x →1
x →1 x + 2
(
) ( x + x + 1) 9
( x − 1) ( x + 2 ) ( x + x + 1)
2

Bài 3.

x ( x19 − 1) − ( x − 1)
x 20 − x − ( x − 1)
x 20 − 2 x + 1
1) Ta có A = lim 30
= lim 30
= lim
x →1 x − 2 x + 1
x →1 x − x − ( x − 1)
x →1 x x 29 − 1 − x − 1
(
) ( )

( x − 1) ( x19 + x18 + ... + x − 1)
x →1 x x − 1 x 28 + x 27 + ... + x + 1 − x − 1
( )(
) ( ) x→1 ( x − 1) ( x29 + x28 + ... + x − 1)

= lim

x ( x − 1) ( x18 + x17 + ... + x + 1) − ( x − 1)

(x
= lim
(x

19

x →1

29

+ x18 + ... + x − 1)

+ x + ... + x − 1)
28

=

= lim

18 9
.
=
28 24

( x − 1) ( x49 + x48 + ... + x + 1)
x50 − 1
x 49 + x 48 + ... + x + 1
2) Ta có A = lim 2
= lim
= lim
= −50
x →1 x − 3x + 2
x →1
x →1
x−2
( x − 1)( x − 2 )
3) Ta có A = lim

x n − nx + n − 1

n

− 1) − n ( x − 1)

( x − 1)
( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n ( x − 1)
= lim
2
x →1
( x − 1)
x →1

( x − 1)

(x
= lim

2

x →1

2

( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 − n )
x n−1 + x n−2 + ... + x + 1 − n
= lim
= lim
2
x →1
x →1
x −1
( x − 1)

Page

6

x n−1 − 1 + x n−2 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
= lim
x →1
x −1

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
= lim

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x n−3 + x n−4 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
x −1

x →1

= lim ( x n −2 + x n −3 + ... + x + 1) + ( x n −3 + x n −4 + ... + x + 1) + ... + 1 = ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
x →1

4) Ta có A = lim

x n+1 − ( n + 1) x + n

n +1

− x ) − n ( x − 1)

= lim

x ( x n − 1) − n ( x − 1)

x →1
( x − 1)
( x − 1)
x ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + ... + x + 1) − n ( x − 1)
( x − 1) ( xn + xn−1 + ... + x− n )
= lim
=
lim
2
2
x →1
x →1
( x − 1)
( x − 1)
x →1

( x − 1)

(x
= lim

n2 − n
.
2

2

2

x →1

2

x n + x n−1 + ... + x 2 + x − n
x n − 1 + x n−1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
= lim
x →1
x →1
x −1
x −1
n −1
n−2
n−2
( x − 1) ( x + x + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x + x n−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)
= lim
x →1
x −1
= lim ( x n −1 + x n − 2 + ... + x + 1) + ( x n − 2 + x n −3 + ... + x + 1) + ... + 1
x →1
n ( n + 1)
.
= n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1 =
2
= lim

x + x 2 + x3 + ... + x n − n
x n − 1 + x n−1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
=
lim
x →1 x + x 2 + x3 + ... + x m − m
x →1 x m − 1 + x m −1 − 1 + ... + x 2 − 1 + x − 1
( x − 1) ( xn−1 + xn−2 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)

5) Ta có A = lim

= lim
x →1

( x − 1) ( xm−1 + xm−2 + ... + x + 1) + ( x − 1) ( xm−2 + xm−3 + ... + x + 1) + ... + ( x − 1)

(x
= lim
(x
x →1

n −1

m −1

+ x n−2 + ... + x + 1) + ( x n−2 + x n−3 + ... + x + 1) + ... + 1

+ x m−2 + ... + x + 1) + ( x m−2 + x m−3 + ... + x + 1) + ... + 1

n + ( n − 1) + ( n − 2 ) + ... + 1
n ( n + 1)
.
=
x →1 m + ( m − 1) + ( m − 2 ) + ... + 1
m ( m + 1)

= lim

n 
 m
1   n
1 
 m

= lim 

−

6) Ta có A = lim 



m
n
m
n
x →1 1 − x
1 − x  x →1  1 − x
1 − x   1 − x 1 − x  

1 
1 
 m
 n
= lim 

− lim 



m
n
x →1 1 − x
1 − x  x→1  1 − x 1 − x 


m − (1 + x + x 2 + ... + x m −1 )
(1 − x ) + (1 − x 2 ) + ... + (1 − x m−1 )
1 
 m

= lim
Và lim 
 = lim
x →1 1 − x m
x →1
1 − x  x →1
1 − xm
1− xm


(1 − x ) 1 + (1 + x ) + .... + (1 + x + x 2 + ... + x m−2 )
= lim
x →1
(1 − x ) (1 + x + x 2 + ... + x m−1 )
1 + (1 + x ) + .... + (1 + x + x 2 + ... + x m− 2 ) 1 + 2 + 3 + ... + m − 1
= lim
x →1

1 + x + x + ... + x
2

m −1

=

m

=

m −1
2

7

1  n −1
 n
Tương tự ta có lim 

=
n
x →1 1 − x
1− x 
2


Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Page

n  m −1 n −1 m − n
 m
Vậy lim 
.


=
=
x →1 1 − x m
1 − xn 
2
2
2


Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

0
, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức.
0

Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng
Phương pháp giải:

Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.
 VÍ DỤ
3− x +3
.
x →6
x−6

1
Đs: B = − .
6

Ví dụ 1. Tính giới hạn B = lim

Lời giải

(

)(

3− x +3 3+ x +3
3− x +3
= lim
x →6
x →6
x−6
( x − 6) 3 + x + 3

Ta có: B = lim

= lim
x →6

9 − ( x + 3)

( x − 6) (3 +

x+3

Ví dụ 2. Tính giới hạn E = lim

)

= lim
x →6

(

)

6− x

( x − 6) (3 +

x+3

)

)

= lim
x →6

−1
−1
1
=
=−
6
3+ x +3 3+ 6+3

3x + 2 − 5 x − 6
.
x−2

3

x →2

Đs: E = −1 .
Lời giải

Ta có E

3x

2

2

lim
x

2

5x 6

3

lim

x 2

2

x

2

3x 2 2
x 2

lim
x

2

2

A
3

A

lim
x

2

3x 2 2
x 2

B

2

3

x 2

lim
x

2

2

3x

2

2

2

2

5x 6
x 2

x 2

3

3x

2

lim
x

2

x

2 2

Suy ra E

A

5x 6

B

1
4

Ví dụ 3. Tính giới hạn L = lim

x →−1

5
4
3

B

8

2

2. 3 3x

2

4
3

lim
2. 3 3x

5

lim
x

x

2

3 x 2

lim
x

3x

lim

4

2

x

4

5x 6

x 2 2

2 3

3x

x

2

2

2

5 2

lim

5x 6

5x 6
x 2

x 2 2

2. 3 3x

2

4

1
4

x
5x 6

5
4

1.

5x − 3 + 2
.
x +1

Đs: L =

5
.
12

8

3

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Page

Lời giải

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
3

Ta có: L

lim

x

1

5x 3 2
x 1

5x 3

lim

x

1

3

x 1

5 x 1

lim

x

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1

3

x 1

2

5x 3

Ví dụ 4. Tính giới hạn E = lim

5x 3

8

2

2. 3 5 x 3
5

lim

2. 3 5 x 3

x

4

4

1 3

2

5x 3

2. 3 5 x 3

4

5
.
12

3x + 2 − 3x − 2
.
x−2

3

x →2

Đs: E =

−1
.
2

Đs: F =

7
.
3

Lời giải
3

Ta có E

3x

x

x

3

2

3x

2

x

3

2

3x

2 3

3x

2

2

3

2

x

3x 2 2
x 2

2

3x

lim

2. 3 3x

2

x

4

2
2

2

2

8

2

2

2

lim

2

x

2

2. 3 3x

2
lim

2. 3 3x

2

x

4

x

4

2

2

3
3x 2

lim
x

2

2

4

3x

2

2

2

2

x

2

3x
1
4

2

3
4

1
.
2

1 + 2x.3 1 + 4x −1
.
x

Ví dụ 5. Tính giới hạn F = lim
x →0

3x 2 2
x 2

3 x 2

lim

3

lim
x

2

3 x

lim
x

3x

x
3x

2

2

2

lim
x

2

lim

Lời giải

F

x

1 2x. 3 1 4 x 1

1 2x.3 1 4 x 1
x

lim
0

lim
x

lim
x

0

x

3

1 4x

0 3

2

0

3

1 4x

2

3

1 4x

x

1

lim

1 4x

1 2x 1

lim

4. 1 2 x

lim
x

x

1 2x. 1 4x 1

lim
x

1 2x 1
x

lim

x

0

x

0

1 2x. 3 1 4x 1

1

1 2x 1

x

0

0

x

1 2x 1

2
1 2x 1

4
3

1

7
.
3

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các giới hạn sau:
Page

9

Bài 1.

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
lim

3) B

2 x 2 3x
lim
x 3
2x 6

5) B

lim

7) B

lim

9) B

x

2

3x 2
. Đs: B
x 4

x
2x

2

2x

lim

x

2

1

2 2
. Đs: B
x 10
8

1

2

lim

3
16

6) B

lim

x 3
. Đs: B
9 x x2

8) B

lim

7 2x x
x2 1

2) B

lim

x 3 2
4x 5
3x

4) B

lim

x 1
2x 3

6) B

lim

x

x

2

9

x

. Đs: B

x 2 2
. Đs: B
x2 4

4) B

1
36

2x2 x
3x 2

5
x2

x

x x2
x 1

1
4

. Đs: B

2

2

4

lim

1

2

1
4

1
16

1
54

. Đs: B

1
3

5
2

. Đs: B

Tính các giới hạn sau:
1) B

lim

3x 1
x 3
. Đs: B
x 8 3

3) B

lim

x 2
x 1

5) B

lim

7) B

x 1

x

2

x

x2

x

2x
. Đs: B
3 x

2 x2

1

2x

x2

1

x

2

1
4

x 2
1 x
. Đs: B
4
x
x

1

lim

3

5

. Đs: B

3

x 1

x

3

4

0

x 1

6

. Đs: B

3x 5
. Đs: B
x 6

4x 3 1
. Đs: B
x 1

3
2

3

1

2 5
3

Tính các giới hạn sau:
1) L

lim

2) L

lim

3) L

lim

4) L

lim

5) L

lim

x

x

9

x 16

2

5x
x 1

4

5

2 x

6

2x
x 3

2

8

x

x

3

2x x 1 x2
2
x 2

6

5x 4

8

2x 3
x 6

Đs: B

7
24

.

Đs: B

4
3

.

Đs: L

5
6

.

2x

x 1

x

7

x

0

.
x 84

.

Đs: L

8

Đs: L

74
3

Page

Bài 3.

x

x

2) B

6

10

Bài 2.

x 8
. Đs: B
8 3
x 1

1) B

x

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

6) L

lim

7) L

lim

8) L

lim

9) L

lim

x

x

1 4x 1 6x 1
.
x

Đs: L

4x 3

2 x 1 3x 1
.
2x 1

Đs: L

5
2

4 x 3 2 2x 1
.
x2 2 x 1

Đs: L

17
16

Đs: L

5
12

x

0

3x 7

x

4x

4

9 6x
x

0

6x

lim

5

2

2x2

3

x 1

5x

2

x 1

.

5

11
6

Đs: L

.

Tính các giới hạn sau:
3

1) L

lim

3) L

lim

5) L

lim

7) L

lim

x

2

3
x

3

4x 2
.
x 2

Đs: L

1
3

2) L

lim

x2 1 2
.
x 3

Đs: L

1
2

4) L

lim

Đs: L

5
12

6) L

lim

x 1
. Đs: L
2

3
2

3
x

x

1

3

9) L

x

2x

8

3

lim

lim
x

x3

12) L

lim

x

2 x2

2

x

0

5

.

7
x2
x 1
3

3

8

x

x
3

lim

9

2 1 x

0

11) L

2

10 2 x3
x 2 3x

x 1

10) L

4

x . 3 8 3x
x2 x

8) L

.

Đs: L

11
12

4

.

.

x 1 3

Đs: L

lim
x

2

1 x
.
x

7

2

x 1

3

1
4

7

x

x 1

3

Đs: L

x

0

3

.

4 x 11
x2 4

x

3

1

.

x 1
.
x 2 1

Đs: L

1
3

Đs: L

1
6

Đs: L 1

8 x 11
x 7
. Đs: L
2
x 3x 2

7
54

5
72

Đs: L 1

Tính các giới hạn sau:
n

lim
x

0

1 ax 1
.
x

Đs:

a
n

Page

1) F

11

Bài 5.

2

x 1

10) L

Bài 4.

0

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
n

2) F

lim

3) F

lim m

4) F

lim

x

0

n
x

1 bx

.

Đs:

a
n

0).

Đs:

am
bn

x

0

n
x

m

1 ax

0

1 ax 1
(ab
1 bx 1

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1 ax m 1 bx
.
1 x 1

b
m

a
n

Đs: 2

b
m

 LỜI GIẢI

x

x 8 3
lim
x

2) B

x

1

3) B

4) B

x

2 x 2 3x
lim
x 3
2x 6

x

x

5) B

x

x 2 x

lim
x

2

2

6) B

x

Fb: ThayTrongDGL

x 1

3

3x

2x

x

x

3

2

2

2x2

2x2

x 1

x2

2

3x

2

2

2

2

2

x

2 2

4 2

3

9

9x

x

2

x

x

2

2

2

3x 2
3x

x

2

2 2

2

3
3

x

2

x

9

4
x2

x 9
x 9

x

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

3x

4 2

2
3x

2

3
.
16

3x 2

lim
x

x

1
.
4

1
.
16

3
x

4

2

x

1
x

1

2

lim

x

3x

1
.
4

x

x

2

x

x

x

lim

2

lim

x2

lim

2

3x

3x

x

2

3x 2

x

2x2

4

2

2

x2

x

x

x

6

2

x

lim
x

x

x
2

x2

2

x

x

4

lim

2 2

x 3
9 9x
x2

lim

1

2
x

4

4

lim

x

2

3 2
x 2 x

9

8

x x 1

2x2

x

2

x 1

x

lim

3x 2
x 4

lim
2

1

2

3x

2

x2

x

lim

x 2 2
x2 4

2

x 1

6.

x 1

lim

x

2 x2

2 x 3

x

x

x 1

lim

x x 3

lim

2

3

8

x

x

4

lim
x

x 1 3

4

2

2

lim
3

x

4

x

x 1

3

lim

x2

4

x 8 3
lim

8

x x2
x 1

1

lim

x

x

x

4

lim

x 1

lim

x 1

8

8

x

x 8 3

x 8
8 3
x 1

lim

1

lim
x

3

x

9

x

x

3

1
.
54

Chúc các em học tốt !

12

1) B

Page

Bài 1.


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

x

lim
x

2x

2

2 2
x 10

2

x

1

9) B

x 2 2x

2x

2x2 x
3x 2

1

1

5
x2

2 x2
x2

3x

x

1

1) B

2 2x

x 1

x 1

4x

x 1

3) B

lim
x

4) B

2

lim
x

3

2
lim

x

1

6

x x 1 x

x2

1

x

2

1

7 2x
2

5

3x

2

x

2x

3

7 2x

2

x

1
.
3

x

2 x2

x

5

2 x2

2 2x

2

8
x

8

x 1 2 x 17

1

x 1 x

2 2x

2x2

5

x

8

8

x

8

3

2
lim

x 1

3x 1

x

4x

x 1

3

5

3x

x

8

3

3x 1

x

3

3

6

x 1

x

3

2

3
.
2

x

2

x

x 1

3 x

x

2

2 x 2

lim
x

x 1

lim

lim

2 3 x
x 3

3

x

2

2x

x

2x

3

x

x 1

2

2

x

3 x

2

2x

1
.
4

6

3x 5

6

3.

x 2
1 x
4
x
x

x

x

x

2

5
.
2

x 1

3x 5

2

x

1
.
36

lim

x 1

lim

x 1

8

x 1

3x 5
x 6

5

lim

lim

x

2x

3 x

x2

x

2

2

2

2x

lim

x 1

x 1
2x 3

1

2

x 2

2 x 1

2x
3 x

x2

1

x

lim

x 2
x 1

3

2

7 2x

x

x

2 x2

5

6

2x

lim

1

1

x

2 x2

5
3x
x 3 2

x 1

3

5) B

x

8

5

x 3 2
4x 5
3x

lim

lim

2

3x 1
x 3
x 8 3

lim

2) B

1

2 x 17
x

x

19 x 17

2 2x

lim

5

lim

7 2x

x

x

x

2

1

lim

7 2x

lim

x 1 x 1

lim

lim

x

2

x 1 3 x

lim

x

x

7 2x x 2
lim
x
1
x2 1

8) B

Bài 2.

x 2

lim

2

x

lim

x

1

x2
x x 1 x2

x

x

2

1 x
x2

2

x

2
2

x

2

1 x

1

1 x

x 1

lim

x

2

x x

2

x

2

x2

x

2

1 x

Fb: ThayTrongDGL

Page

0.

13

7) B

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

x 1

4x 3 1
x 1

x 1 4

lim
x

1) L

x

2x

x2

1

x

2x

x

1

2

1
x

lim

lim

3

2x

5

lim
x

x
x 9

2

2 x 1
2x

2

x 1

2
x 6

lim
x

2 x

3

4

4

x

lim
x

5) L

2x 2

x

2

x

lim
x

6

Fb: ThayTrongDGL

5x 4

x

9

1
x 9

2

4x 3 1

x

3

2x

5

2

2

2 x

6

6

4

3

5x

4

2x 2

4
.
3

3

2

x 3

3

x 3
x 3
2
x 6 3
2x 2 2
x 3

lim
3

5
.
6
x2

2x x 1
lim

x

2

2

x
x

2 x

5x

7
.
24

5

2x

2

2

2 x

4

2

lim

x

4

1
x 16

2

lim

x

9

x

lim

2x 3
x 6

1

x

x 1

3

x

3

3

2x

2

2

2 x 1

8

2 x
x

4

1

2x2

2

lim

2

2

x2

2

x

0

6

4 x 4 x2
x
lim 2 x 1 x

x

x 1

2x x 1 x2
lim
x 2
x 2

4) L

x2

lim

5x 4 5
x 1
5 x 1

3

4

0

2x 2 8
x 3
x 3
x 6 9
2x 2 4
2
x 6 3
2x 2 2
lim
x 3
x 3
lim

4x 3

lim

x

2
5x
x 1

2x

x

7

x
2x

2

x

x
x 16

3

4

2 5
.
3

x

x 1

3) L

3

4x 3 1
2x2

5

x 16

0

lim

lim

4x 3

1.
4

3

x

9

0

2) L

4

x 1

2

4x 3

1

x2

lim

4

2 x2

2

2

Bài 3.

3

4x 3

7) B

2

x 1

4

lim

x

4 x 1

lim

2

x 84

2 x2

4

2

x

2

2

2 x 1

2

x
x

2 x

2 x

2

2

8.
5x

4

2x 3 3 5x

lim
x

6

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

4

16 x 96

14

lim

Page

4

6) B

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x 6
Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

5x

4

2x 3 3

lim
x

0

7) L

24 x 2

x

x

x 1

2

x 1

x

x 1

16 x

7

4 x

2x

x 1

x 1

9) L

x 1

x

x

lim

3

4

x

2

1
4x

4 x

3

x 7

2 2x 1 2x

lim
x 1

x 1

4 x2

x 1
x

2

7

2

2

4 x 1

4 x

x 1

5

2x

3

4

x

2

2 2x 1

2

9 6x

x 3

x2

0

lim
x

x 3

2

17
.
16
4x

2

9 6x

x 1

lim

1
4

2

2x 1

9 6x x2 6x 9
9 6x x 3
x

2

x 1

2 2x 1

x

4 x2 4x 4
4x 4 x 2

2x 1

5
.
2

2 2x 1

9 6x

4x 3

x

x

0

2

x2
4x

x2
3

9 6x
x

x 3

2

5
.
12

Page

15

0

2x

10 x 1 1

lim

x2

0

2x 1

4

0

lim
x

4x

lim

4x
x

7

1
4 x

10 x 1 1

24 x 2

x

2

x 1

4x 3

4 2x 1

3

lim

lim

2

4 x 3 2 2x 1
x2 2 x 1

x 2 14 x 49

48
x

x 1

0

5.

2x 1

x 1

4
4x 3 2x 1

3x 7

lim

x

x

10 x 1 1

lim

4x 3

2x 1

1
2x 1

lim

24 x 2

24 x 2

lim

24 x 10

2 x 1 3x 1
2x 1

2

10 x 1 1
x

0

0

2x 1 x2

lim

8) L

x

10 x 1 1

x 1

x 1

x

lim

4x 3

lim

24 x 2

lim

x 24 x 10

lim

6

74
.
3

1 4x 1 6x 1
lim
x 0
x

6) L

x

x

16 x 6

2x 3 3
x 6

lim

10 x 8
16
2x 3 3

6

2 x 6

5x 4

16 x 6

x 6

6

lim
x

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

10) L

6x

lim
x 1

x 1

x 1

3

1) L

4x 2
x 2

lim
x

2) L

2

lim
x

3

1

0

3

3) L

3

x

3

x

1 x
x

x2 1

3

3

4) L

2

x

lim

x 1 3

x

2

7

0

3

x1

2

6x 3
2
x 1

x 1

x

lim

2 3 4x

x

2

3

1 x

1 x

x2

3

x 3

3

x2 1

4

2 3

x

4

1 x

lim

16 x 2

2 3 4x

x

0

4

1

lim

2

1
.
3

3

1

3

1 x

1 x

2

1
.
3

9
2

2 3 x2 1

4

23 x

4

1
.
2

4

x 1

lim

x 1
.
x 1

x 1

1
23 x

3

x 1

2

lim

1

2 3 x2 1

7

2 x 1

16 x 2

lim

x 1

x 1

3

x 2

3

2

x

lim

x 1

4x 8

2

x

6x
2

11
.
6

lim

x

lim

2x 1

x 1

2

x2 1 2
x 3

lim
x

1
3 x

6x

x 1

lim

2

2 x2

3 x2 4 x 4
6x 3 x 2
2
x 1

lim

lim 2

5x

6x

2

2 x 1

Bài 4.

2x2

3

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

7

3

x

7

2

7

1
.
6

4

x 8
3

5) L

lim
x

2x

8

x

3

2
9

5

lim
x

x

8

2

23 x 4
2 x 16
2x 9 5

2x

lim
x

8

3

2

x2

9

5

23 x

5
.
12

4

x 1
3

6) L

x 1
lim 3
x 1
x 2 1

3

lim
x 1

3

10 2 x3
lim
x
1
x 2 3x
3

x

2

3

x
x 1
2

3

3

x 1
2

lim

x

1

10

3

1

lim
x 1

x

2

1

2 x3

2

x 1 x

x 2
3

x2

2

3
3

x 2 1
x

1.

1

x 1
2

Page

16

7) L

x

2

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

2 x3
10

3

2x

3 2

2

x 1

3

lim

x

1

2 10

2x

x 1 x

2

2 x 1 x2
10

3

2x

3 2

1

10

3

2x

2x

x 1 x

2

3 2

2 10
x

3

lim
x

2

x 1 x

3

x 1
3

9) L

lim

3

2

x3

x 1

x 1

x3

3

x 1

lim
x

2

3 3 8 x 11

3

lim
x 1

x3
lim
x

2

2 3 x3

7

3

2 1 x

41 x

4

x 2 1 x
4
2 1 x

7

lim

2

0

x

3

0 3

x 1

x2

3

2 1 x 2
0
x
8 x 8

x

2

8 x

2

x2

x 1

23 8

23 8 x

1
4

2

3

lim
x

x

1

lim
x

8

3

8
27

7

1
7

3

7
.
54

x2 3 2
x 1
3 4

lim

x 1
x2

7

x

3

2

3

2

x2 1

lim
x

x

x 1

x

x 1

x 1

4

7 9

x 1 x 2

x 1

x2

x 1

4

7

4

x

x

1

2

x3 7 2
x 1

lim

8

2

2

lim

x

0

9

x

9

7

2 3 x3

x 1

x

lim

2 3 x3

x2

x

7 3
3x 2

lim

3 3 8 x 11

2

7

2

x
2

0

x
x

1
.
4
2

4
1

4

8

1
2

1
12

11
.
12

Page

17

0

3

x3

3

lim

x

2

x3 1

x 1

lim

8 x 11 3
x 2 3x 2

lim

2

2

7

lim

0

x

7
x2 3
x 1
x3 7 8

lim

x

3

lim

8 x 11

8 x 11

x 1

lim

3
.
2

8

2

10) L

4

8 x 11 27

2

x 1

3

2

lim
x

2x

8 x 11
x 7
2
x 3x 2

lim
x

4

1

3

1

8) L

3

x 1

lim

x

4

x 1

2 10

2 x2

3

x 1
3

lim

x

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

2 x2

3

11) L

lim
x

4 x 11
x2 4

2

3

lim
2

x2

4

2 x2

3

2 x2

x2

4

2x2

3

x

x

2

1
24

12) L

3

x.

lim

x

0

0

2

4
3

x x 1

1
2

x 1
1
2

1) F

3

lim
x

0

1 ax
n

2) F

lim
x

n
x

0

2

x2

x

4 x 11 9

2

4

x

2

3 3 2x2

4 x 11

9

x

4

7

3

x

7

3

1

lim
x

7 9

x 2

lim

4

x.

8 3x

8 3x

2

x

8 3x

2

0

2

x2

0

x

2

x

7

3

2 4

x

4

x

2 4 x 4
x2 x
2 4

x

4

x x 1

4

x

x

2

lim

2 3 8 3x

x

4)

x .3
2

3

lim

x . 8 3x 8

0

2 3 8 3x

x

4

0

2

2

lim
x 1

4

1 ax 1

lim
x

0

x

n 1

n

1 ax

n

1 ax
m

1 ax

n 2

n 1

n

1 ax

x

0

n

lim
x

0

...

n

1 ax

1

a
.
n

1
m

1 ax 1

n 2

1 bx 1

x

0

a
n

b
.
m

1 ax 1
1
.m
x
1 bx 1
x

Page

x

1 ax 1
1 bx 1

1 ax

lim

m
1 ax 1
1 bx 1
lim
x 0
x
x

lim m

n

...
n

1 bx

x

0

n

3) F

4

a

0 n

lim

x

1 ax 1
x

lim
x

x

4 x 11 9

x

1.
n

Bài 5.

2

lim

4

0

lim

4

2

x

lim
x

4 x 11

8 3x

lim
x

2

3 3 2x2

x . 3 8 3x 4
x2 x

4

0

4
x

4 x 11 3
x 7 3
lim
x 2
x 4
x2 4

5
72

lim
x

2 x2

3

2x2

2

3 3 2 x2

2

2 x

2

1
9

2

4 x 11

lim

lim

4 x 11 27

2 x 2 x

2

3

7

x

4 x 11

lim
x

x

18

x

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
n

Xét A

lim
x

0

1 ax 1
x

a 1
.
n b
m

F

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
m

a
;B
n

lim
x

n

1 ax m 1 bx
lim
x 0
1 x 1
n

lim
x

0

n
0

n

m

lim
x

0

lim
x

0

1 ax 1
x

1 bx 1
x

a
.2
n

F

x

m

1 ax 1

lim

1

0

m

1 ax 1
x
.
x
1 x 1

Ta có A

B

b
m

1 bx 1

x 1

m
1 ax 1
1 bx 1
lim
x
0
1 x 1
1 x 1

lim
x

1 bx 1
x

am
.
bn

n

4) F

0

b
.2
m

b
C
m
2

a
n

lim
x

0

1 bx 1
x
.
x
1 x 1

a
n

lim
x

0

x
1 x 1

x
lim
x

0

1
1

x

1

x 1

lim
x

1

0

x

1

2

b
.
m

Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x →  .
Phương pháp giải:
- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → +
1. lim x k = +
x →+

 + khi k = 2l
2. lim x k = 
x →−
− khi k = 2l + 1
c
3. lim k = 0 (c hằng số)
x →+ x
- Đối với dạng phân số không căn, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử
và mẫu, sau đó áp dụng công thức trên.
- Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài
căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân
biệt khi x → + hoặc x → −

 VÍ DỤ

(

)

Ví dụ 1. Tính giới hạn A = lim − x3 − 6 x2 + 9 x + 1 .
x →+

Đs:

.

lim x3

x

1

6
x

9
x2

1
x3

(vì lim x3
x

và lim
x

1

6
x

9
x2

1
x3

1 ).

Page

A

19

Lời giải

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
Ví dụ 2. Tính giới hạn B

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

x3

3x 1
.
2 6 x 2 6 x3

lim

x

Đs:

1
.
6

Lời giải

3
x2

x3 1
B

lim

x

x3

2
x3

Ví dụ 2. Tính giới hạn C

1
x3
6
x

3
x2

1
lim

x

6
x2

lim

x

2
x3

1
x3
6
x

6

1 0 0
0 0 6

1
.
6

Đs:

2x .

x 1

.

Lời giải


C = lim 
x →−


= lim  − x
x →−





 1 1
 1 1
x 2 1 + + 2  + 2 x  = lim  x 1 + + 2  + 2 x 
 x x 
 x x 
 x→− 


 
1 1
 1 1 
 x  2 − 1 + + 2
1 + + 2  + 2 x  = xlim
→−
x x
 x x 

 

(Vì lim x

và lim 2

x

x

1

1
x

1
x2


  = −
 

2 1 1 0 ).

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính các giới hạn sau:
1) A
3) A
5) A

Bài 2.

lim x3

3x 2

2 . Đs:

.

2) A

lim x4

2 x2

1 . Đs:

.

4) A

6 . Đs:

.

x

x

lim

x

x4

x2

lim

x3

3x2 1 . Đs:

lim

x4

2x2

x

x

3 . Đs:

.
.

Tính các giới hạn sau:
1) B
2) B
3) B

1 8x
.
2x 1

Đs: B

lim

x 2
.
x 1

Đs: B 1 .

x

x

lim

x

4) B

lim

x

lim

x

2 x4

7 x3 15
.
x4 1

2 x3 3x 4
.
x3 x 2 1

3x 2 x 7
.
2 x3 1

4.

Đs: B 2 .
Đs: B

2.

Đs: B 0 .

Page

5) B

lim

20

Bài 1.

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

6) B

7) B

8) B

9) B

lim

3x

x

2

lim

x2
.
3x 2

4

4x

3

x

3

2

lim

20

lim

x

2

30

3x 2 x 3
.
x 4

lim

2 x3

x

2x
5 x

3

3
2

Đs: B

.

50

1 2x

Đs: B 8 .

.

7

3x

2
.
9

Đs: B

4

2x 1
2x

2x 3

x

10) B

.

30

.

Đs: B

.

Đs: B

.

Tính các giới hạn sau:
1) C

2) C
3) C
4) C
5) C
6) C
7) C
8) C
9) C

10) C

x2

lim

2 x4 x2 1
.
1 2x

lim

4x2

lim

x2

lim

2 x2

1

x .

lim

x2

4x

x

lim

x2

x

x2

x

x

x

x

x

x

x

lim

x

lim

x

3x

x

3
x

4 x4

2 x 13 .

17
.
2

.

Đs: 14.
Đs:

5 .

x

Đs:
Đs:

4x 1

2x
x2

x 10 .

2

9
.
2

Đs:

.

Đs: 2019 .

2021 .

Đs:

1 .

1
.
2

Đs: -2.

.
5

3x 2

1 2 x2

.

Đs:

3
.
4

lim

x2 x 2x
.
2x 3

Đs:

1
.
2

lim

x2

Đs:

3
.
2

x

x

x 1

x 1.

Page

11) C

lim

21

Bài 3.

x3

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

12) C
13) C
14) C
15) C
16) C

17) C

18) C

19) C

x2 x
.
x 10

x

x

4x2

lim

x

lim

Đs:
4x2

9 x 21

4 x2 x

3x 2

7x 1

2

2 x 1 . x2

3x

lim

4x2

2x

lim

x 1

lim

16 x 2

x

x

x

x

lim x

x

4x 1

7 x 13 .

4x

3.

5.

Đs: 4
Đs: -1
Đs:

2 x3 x
.
x5 x 2 3

Đs:

x2

Đs:

lim x 3

x

1
2

Đs: 1.

.

3 x
.
5 3x x3
3x

Đs:

2.

x 1 .

43
8

2
5
2

Tính các giới hạn sau:
2 x3 x
.
x5 x 2 3

1) lim x.
x

2) lim
x

3) lim

2x
x

5

x2

x

2

x

4x2
2 x4

x

5) lim
x

6) lim
x

3x 1

Đs: 4.

.

1 1 x

x2 x x2
x 5 2x

3

2 x 1 3 4 x2

x 5

2 9 x2

x 10

1 3x

2.

Đs: 2.

.

2

x

4) lim

3

Đs:

3 x2 1
6x

.

Đs:

3

1 8 x3
.
9
3

Đs:
Đs:

.

8
.
3
1
.
6

2
.
5

Page

2x 1 x2
7) lim
x
x 5x2

2 1
.
2

Đs:

22

Bài 4.

lim

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

x

8) lim
x

9x

3x 1

x

3 5x 3

2

2x 1

9) lim

x2

x

x

x2

8x

3

10) lim
x

x2
x2

x

x

12) lim

Đs: 1.

.
x

x

Đs: 2.

3

1 7x
3x

2

2
5x

.

Đs:

1.

3

2 1 2x
.
1 x

x

1
4

Đs:

.

.

4x2

6x

11) lim

Đs: 1 .

Tính các giới hạn sau:
Đs:

1) lim

x2

x

2) lim

x2

4x

3) lim

x

4) lim

x2

x

5) lim

x2

4x 1

x 2 .

Đs: 0.

6) lim

x2

3x

x 1 .

Đs:

x

x

x

x

x

x

7) lim
x

3

x .

27 x3

x2

x

9) lim 2 x 3
x

Đs:

1
.
27

2x 1 .

Đs:

1
.
2

Đs:

4.

4 x2

4x

4 x4

3x 2

11) lim

4 x2

3x 1 2 x

12) lim

4 x2

4x 1

x

3 .

Đs:

3
.
4

4 .

Đs:

19
.
4

3 .

Đs: 4 .

1 2 x2 .

2x

Page

x

5
.
2

3x .

x2

10) lim
x

1
.
2

Đs:

1 .

5

2.

Đs: 0.

2 .

x

4 x2

8) lim 2 x

Đs:

x .

2

.

23

Bài 5.

4x2

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11
3

x

13) lim
x

2x

14) lim

3

x

4 x2
4x

8 x3

x3

2

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Đs:

.

3x

16
.
9

Đs: 1 .

1 2x 1 .

 LỜI GIẢI

2) A

3) A

4) A

5) A

Bài 2.

1) B

2) B

3) B

3
x

lim x3 1

x

lim x3

2
x3

3
x

1

x

x

x

1
x3

2
x2

lim x 4 1

, (vì lim x3

6) B

2
x3

và lim

1

3
x

x

x

1
x4

x

, vì lim x 4
x

0 ).

1

1
x3

và lim 1

2
x2

1
x4

1

x

0 .

1

0 .

lim x 4

1

2
x2

3
x4

, vì lim x 4

và lim

1

2
x2

3
x4

1

0 .

lim x 4

1

1
x2

6
x4

, vì lim x 4

và lim

1

1
x2

6
x4

1

0 .

x

x

lim

x

lim

x

lim

2x

2
x
lim
x
1
x1
x

7x
x

x

x 2

1
x

lim

x

lim

x

lim

4

3

x

15

Fb: ThayTrongDGL

x3
4

7
x

lim

1

x

3x x 7
2 x3 1

3x

2
x
lim
x
1
1
x
1

x4 2
x 1

lim

x

x

3

lim

x

x2
3x 2

3
x2
1
1
x

3
x

x3

3

x 2

lim

x

x

0 8
2 0

1
x2

15
x4

lim

x

lim

x

lim

x

x2 2 x

4

4 3x

15
x4
1
x4

1

2

1
x3

3x 2

7
x

2

4
x3
1
x3
7
x3

4.

1 0
1.
1 0

1
x4

4

x3 2

2 x 3x 4
x3 x 2 1

2

1
8
x
lim
x
1
2
x

x1

x 2
x 1

4

8

lim

x

x

x

1
x

x

1 8x
2x 1

x

2

5) B

3
x

, vì lim x 3

3

4) B

và lim 1

3
x2
1
1
x

3
x

1
x2
2

4
x3
1
x3
7
x3

1
x3

2

0 0
1 0

2.

2 0 0
1 0 0

0 0 0
2 0

2.

0.

24

1) A

Page

Bài 1.

2

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11

4
x

x3 2
lim

x

7) B

8) B

9) B

4x

lim

3

x

lim

x

lim

2
x
3

2

2x 3

x

lim

3x

3

20

2
x

4

3
x

lim

7

2x

4
3
x2

4

2x 1

2 0
3 0 3 0
3

x

3x

2

lim

50

1
x

x2 3

x 3
x 4

lim

3
x2

lim x.

1
x

và lim

x

10) B

lim

2x

3

x

2x
5 x

x

1

2
3
2
x
x3
5
x
1
x

lim

x

vì lim x 2

1) C
10

x2

lim

x

3x

lim

x

3x

x

2

3
10

lim

x

3
x

x 10

2

10

2
2
x
2
x2

x

10

1

10

lim

x

lim

x

3
2

x

2

3x

3x

2

3x

2

0

50

2

30

3
2

30

.

,

2
3
2
x
x3
5
1
x

2
3
2
x
x3
5
1
x

x2

3 0

3 .

4
x

lim x 2 .

x

8.

,

2 .

x

x

17
.
2

Page

25

1

2

3x

3
x2

x

và lim

x

4

7

3
x2

2

2

Bài 3.

1
x

x3 2

3

0

4
1
x

x

3
vì lim x

20

2

3

4
x1
x

x

2
0

2 0

50

1
x

3

30

2
x

3

2

0
2

20

x

2

4

7

3
x

3
x

2

30

2
9

4

1
x

2

2

1 2x

x

4
x

2

4
3
x2

x3 3

GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Fb: ThayTrongDGL

Tài liệu biên soạn và sưu tầm

Chúc các em học tốt !


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×