Tải bản đầy đủ (.pdf) (4 trang)

CONG THUC NGUYEN HAM b0d3c5fb8a090178f55962b8fcdf347d

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (198.61 KB, 4 trang )

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

a/ Định nghĩa:
Cho hai hàm số F  x  , f  x xác định trong khoảng a, b . F  x  được gọi là một nguyên hàm của

f x nếu F ' x   f x , x  a, b .
b/ Định lý:
Nếu F  x  là một nguyên hàm của f  x trong khoảng a, b thì f  x sẽ có vô số nguyên hàm
trong khoảng a, b . Các nguyên hàm này có dạng F x   c (c là hằng số).
Người ta thường ký hiệu

 f x dx là tập hợp các nguyên hàm của f x .

 f x  dx  F x  c
c/ Các tính chất:
/

1)

  f ( x)  f (x).

2)

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx (k  0)
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
 f (t )dt  F (t )  C   f (u( x)).u '( x)dx  F (u( x))  C

3)
4)

d/ Các công thức nguyên hàm


Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
thường gặp

 0dx  C;

 x dx 



 dx  x  C

x 1
 C (  1)
 1

dx
 ln x  C ( x  0)
x
x

 e dx  e
x
 a dx 

x

C

ax
 C (0  a  1)

ln a

 coxdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

2

x

dx

 sin

2

x

Nguyên hàm của các hàm số hợp
( với u = u(x) )

 u ' dx   du  u  C

 u ' u dx 





 u du 

u  1
C
 1

u'
du
dx  
 ln u  C
u
u

 u 'e

u

(   1)

( u  0)

dx   e u du  e u  C

u
 u ' a dx 

u
 a du 

au

C
ln a

(0  a  1)

 u' cos udx   cos udu  sin u  C
 u' sin udx   sin udu   cos u  C
u ' dx
du

 tan u  C
2
u
cos 2 u
u ' dx
du

  cot u  C
2
sin u
sin 2 u

 tan x  C

 cos

 cotx  C





e/ Công thức các nguyên hàm thường gặp
dx 1
0. 2 
c
x
x
2.  ax  b  dx 

4. xdx 

6.
8.

1
x

2
3

ax 2
 bx  C
2

 
x

dx

ax  b


n



1
n1

a n  1ax  b

1  ax  b 
3.  ax  b  dx 
a n 1

3

C

7.

dx
1
 ln ax  b  c
ax  b a

9.

e kx
C
k

a kx
12. a kx dx 
C
k.ln a



dx

ax  b

2





1
c
a ax  b

1 axb
e
c
a
1
13. a px  q dx 
a px  q  c
p ln a
dx

1
15. 2

cot  ax  b   c
sin  ax  b  a
dx
1
17.
 tan  ax  b   c
2
cos ax  b  a
dx
1
ax  b
19.
 ln tan
c
sin  ax  b  a
2
11. eaxb dx 

1

14  sin ax  b dx   a cos ax  b  c
1

16  cos ax  b dx  a sin ax  b  c
dx
1
ax  b

 ln tan
c
sin  ax  b  a
2

20. tan xdx   ln cos x  c

21.  cot xdx  ln sin x  c

1
22. tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   c
a

23. cot  ax  b  dx 

24.  tan 2 xdx  tan x  x  C



c

3
2
ax  b  c
3a
1
2
dx 
ax  b  C
a

ax  b

5. ax  bdx 

dx  2 x  C

c

n 1

n

10. e kx dx 

18.

1.

1
ln sin  ax  b   c
a

25.  cot 2 xdx   cot x  x  C








26.  tan 2 x  1 dx  tan x  C

27.  co t 2 x  1 dx   cot x  C

1
28.  tan 2  ax  b  dx  tan  ax  b   x  C
a

29. 

1
30.  cot 2  ax  b  dx   cot  ax  b   x  C
a
32. ln  ax  b  dx  x ln  ax  b   x 
33.
35. 

31.

dx
1
x a

ln
c
2
2a
x a
x a
2


b 
ln ax  b   c
a

x
1
x 2  1  ln x  x 2  1  c
2
2
x
k
x2  kdx 
x2  k  ln x  x2  k  c
2
2

34. lnx dx  x lnx  x  c

x 2  1dx 

37. 1  x 2 dx , đặt x = sin t

dx
1
x 1
 ln
c
x 1 2 x 1
2


36.
38.

dx
2

x k
1
1  x2

 ln x  x 2  k  c

dx , đặt x = sin t


39. a 2  x 2 dx , đặt x = a.sin t
1
dx , đặt x = tan t
x 1
sin n 1 x
43. sin n x.cosx .dx 
C
n 1
45. esin x .cos xdx  esin x  C
41.

1

dx , đặt x = a.sin t

a  x2
1
42. 2
dx , đặt x =a tan t
x  a2
cos n 1 x
44. cos n x.sinx .dx  
C
n 1
46. e cos x .sin xdx  e cos x  C

40.

2

2

1.1.1. Tích Phân:
a/ Định nghĩa:
Cho hàm số f x lên tục trên đoạn a, b , F  x  là một nguyên hàm của f  x . Tích phân của f  x
 
trên đoạn a, b là một số thực. Kí hiệu:
 

b

 f x dx và được xác định bởi :
a

b


 f x dx  F b  F a 
a

b

b

Người ta thường dùng kí hiệu F x  (hoặc F x  ) để chỉ F b  F a  .

a
a
b

Khi đó:


a

b

f x  dx   F x 

a

b/ Các tính chất :
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng  ;   và có nguyên hàm trên khoảng đó, a,
b, c   ;   , ta có:
a


1)

b



f ( x)dx  0

a
b

4)


a

b

a

b

f ( x)dx    f ( x)dx

3)

b

b


 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx
a

a

b

  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
a

c

5)

2)


a

a

b

a

c

f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a


b

b

6)

f ( x)  0 trên đoạn [a; b] =>

 f ( x)dx  0
a

b

7)

f ( x)  g ( x) trên đoạn [a; b] =>


a

b

f ( x)dx   g ( x )dx
a

b

8) m  f ( x)  M trên đoạn [a; b] => m(b  a )   f ( x)dx  M (b  a )
a


t

9) Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] => G (t )   f ( x)dx là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0
a


ỨNG DỤNG HINH HỌC CỦA TÍCH PHÂN.
1.1.1.1. Tính diện tích hình phẳng :
a/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), các đường thẳng
b

x = a, x = b và trục hoành Ox là : S   f ( x) dx

(đvdt)

a

* Chú ý :
- Nếu f(x) không đổi dấu đoạn [a;b] (hay phương trình f(x) = 0 vô nghiệm, hoặc có nghiệm kép
b

trên đoạn [a;b]) thì S 

(đvdt)

 f ( x)dx
a

- Nếu f(x) đổi dấu trên đoạn [a;b] ( phương trình f(x) = 0 có nghiệm đơn trên đoạn [a;b], giả sử
x2


x1

các nghiệm đó là x1, x2 thì S 



f ( x ) dx

+

a



b

f ( x)dx

+

 f ( x)dx

x1

( đvdt)

x2

b/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1): y = f(x), (C2) : y = g(x) và các đường

b

thẳng x = a, x = b là : S   f ( x)  g ( x) dx

( đvdt)

a

( Lập luận tương tự ta có các trường hợp như ở phần a) )
1.1.1.2. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
- Vật thể tròn xoay được tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường (C):y = f(x)
b

x = a, x = b và y = 0 quay quanh Ox có thể tích là:

V    y 2 dx
a

- Vật thể tròn xoay được tạo nên khi hình phẳng giới hạn bởi các đường (C):x = g(y)
b

x = a, x = b và x = 0 quay quanh Oy có thể tích là:

V    x 2 dx
a



Xem Thêm

×