Tải bản đầy đủ

Hiệu ứng trơn và tính chất fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

HOÀNG THỊ NHUNG

HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM
ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
HYPERBOLIC CẤP MỘT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–

HOÀNG THỊ NHUNG


HIỆU ỨNG TRƠN VÀ TÍNH CHẤT FREDHOLM
ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
HYPERBOLIC CẤP MỘT
Chuyên ngành: Giải Tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH

THÁI NGUYÊN - 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là sự trình bày và tìm hiểu bài báo của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. TRỊNH THỊ DIỆP LINH. Các nội
dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực.

Tác giả

Hoàng Thị Nhung

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn

TS. Trịnh Thị Diệp Linh

i


Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm
chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốt
thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Trịnh Thị Diệp Linh đã giúp đỡ tôi


trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận
văn tốt nghiệp này. Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong
Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 05 năm 2019
Tác giả

Hoàng Thị Nhung

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Hiệu ứng trơn đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Lý thuyết Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Điều kiện biên tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Điều kiện biên tuyến tính của dạng địa phương . . .

10

1.3.3

Hiện tượng trơn cho bài toán biên ban đầu . . . . .

12

2 Hiệu ứng trơn và tính chất Fredholm đối với các phương
trình đạo hàm riêng Hyperbolic cấp một

15

2.1

Hiệu ứng trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1

Trường hợp điều kiện biên cổ điển . . . . . . . . . .

15

2.1.2

Trường hợp điều kiện biên tích phân trong các mô
hình cấu trúc tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.3
2.2

21

Trường hợp điều kiện biên phân tán và bài toán tuần
hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Tính chất Fredholm với bài toán tuần hoàn . . . . . . . . .

28

iii


Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35

iv


Lời mở đầu
Trái với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng
parabolic, tính chất Fredholm và dáng điệu chính quy của các bài toán
hyperbolic đã được biết ít hơn. Một số kết quả trong luận văn này và phần
mở rộng nhấn mạnh vào hiện tượng trơn, xây dựng các tham số và tính chất
Fredholm. Một bước quan trọng trong nghiên cứu phương trình vi phân phi
tuyến (các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng
parabolic) là thiết lập khả năng tuyến tính hóa Fredholm trong các trường
hợp hyperbolic. Vì tính kỳ dị của phương trình hyperbolic nửa tuyến tính,
dọc theo các đường cong đặc trưng, nghiệm không phải là nghiệm chính
quy trong miền nguyên trên biên. Nó được gọi là chính quy khi xuất hiện
sai số của tính trơn. Vì vậy phân tích tính chất Fredholm về các bài toán
hyperbolic đòi hỏi phải thiết lập sự tối ưu của tính chính quy giữa không
gian của các nghiệm và vế phải của các phương trình vi phân. Các bước giải
quyết tính chất Fredholm thường dựa trên thực tế cơ bản là bất kỳ toán
tử Fredholm nào độ chính xác là một sự nhiễu compact của một toán tử
song ánh. Trong trường hợp hyperbolic bằng cách sử dụng tính compact,
argument trở nên phức tạp bởi vì toàn bộ miền thiếu tính chính quy trên
phương pháp tiếp cận của bài báo được nghiên cứu. Dựa trên thực tế là
đối với một loạt các toán tử biên, nghiệm cải thiện độ trơn một cách tự
động. Sau k lần liên tục có thể thay đổi cho từng trường hợp của k . Các kết
quả như vậy được chứng minh và trình bày trong chương II. Khi đó thấy
rằng trong một số trường hợp, hiện tượng trơn đã được trình bày sớm hơn
trong các tài liệu [3,4,10,11]. Hiện tượng này cho phép chúng ta xây dựng

1


một tham số. Trình bày một cách tiếp cận chung để chứng minh tính chất
Fredholm cho các phương trình đạo hàm riêng cấp một và áp dụng nó vào
các bài toán tuần hoàn. Kết quả Fredholm bao gồm các hệ thống hyperbolic
không ngặt với các hệ số gián đoạn, nhưng chúng cũng đúng trong trường
hợp hyperbolic ngặt và hệ số trơn. Từ một số quan điểm chung, hiệu ứng
trơn và tính chất Fredholm đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu
sự rẽ nhánh Hopf và đồng thời trong phương trình đạo hàm riêng hyperbolic
phi tuyến [1] thông qua định lý hàm ẩn và các nghiên cứu của Lyapunov –
Schmidt [2,5].
Luận văn trình bày lại bài báo [9] với phần mở đầu, kết luận, tài liệu
tham khảo bao gồm 2 chương
Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Nội dung chính của luận văn trình bày về hiệu ứng trơn và
tính chất Fredholm đối với các phương trình đạo hàm riêng hyperbolic cấp
một.

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hiệu ứng trơn đối với các phương trình đạo hàm
riêng hyperbolic cấp một
Đặt

ΠT = {(x, t) : 0 < x < 1, T < t < ∞}.
Ở đây ta sẽ nghiên cứu vấn đề:

(∂t + a(x, t)∂x + b(x, t))u = f (x, t),

(1.1)

u(x, 0) = ϕ(x),

(1.2)

uj (0, t) = (Ru)j (t), 1 ≤ j ≤ m,

(1.3)

uj (1, t) = (Ru)j (t), m < j ≤ n.
trong nửa giải Π0 và bài toán (1.1), (1.3) trong dải Π−∞ . Trong đó u =

(u1 , ..., un ), f = (f1 , ..., fn ) và ϕ = (ϕ1 , ..., ϕn ) là vectơ của các hàm có giá
trị thực, b = {bjk }nj,k=1 và a = diag(a1 , ..., an ) là các ma trận chéo của các
hàm có giá trị thực và 0 ≤ m ≤ n là số nguyên cố định. Hơn nữa, ánh xạ
R: C(Π0 )n → C([0, ∞))n là toán tử, tương tự với R trong Π−∞ . Trong miền
đang xét, giả sử rằng

aj > 0, ∀j ≤ m và aj < 0, ∀j > m,
3

(1.4)


inf |aj | > 0, ∀j ≤ n.

(1.5)

x,t

và với mọi 1 ≤ j = k ≤ n tồn tại pjk ∈ C 1 ([0, 1] × R) sao cho

bjk = pjk (ak − aj ), và pjk = 0

(1.6)

Đặc biệt, điều kiện (1.4) là đúng trong các mô hình sóng laze và động
lực sóng di chuyển cũng như động học hóa học, trong đó hàm uj cho j ≤ m
(tương ứng, m + 1 ≤ j ≤ n). Điều kiện (1.5) được hiểu là tất cả các tính
chất của (1.1) bị chặn và không suy biến. Cuối cùng, điều kiện (1.6) là điều
kiện Levy thường xuất hiện để bù lại cường độ hyperbol không nghiêm ngặt,
trong đó các hệ số aj và ak đối với một số j = k trùng nhau tại một điểm,
ví dụ tại (x0 , t0 ).
Chúng ta sẽ áp dụng các giả thiết của tính trơn sau đây trên dữ liệu
ban đầu: Giả sử a, b và f là C ∞ - trơn trong tất cả các đối số của chúng
trong các miền tương ứng, trong đó ϕ chỉ được giả thiết là các hàm liên tục
Từ (1.1), (1.3) dọc theo các đường cong đặc trưng, cho j ≤ n, x ∈ [0, 1]
và t ∈ R, đặc trưng thứ j của (1.1) đi qua điểm (x, t) được định nghĩa như
là nghiệm ξ ∈ [0, 1] → ωj (ξ; x, t) ∈ R của giá trị ban đầu bài toán

∂ξ ωj (ξ; x, t) =

1
, ωj (x; x, t) = t.
aj (ξ, ωj (ξ; x, t))

(1.7)

Xác định
ξ

cj (ξ, x, t) = exp
x

cj (ξ, x, t)
bjj
(η, ωj (η; x, t))dη, dj (ξ, x, t) =
.
aj
aj (ξ, ωj (ξ; x, t))

Do (1.5) đường cong đặc trưng τ = ωj (ξ; x, t) đạt đến biên của ΠT trong
hai điểm với các tọa độ riêng biệt. Cho xj (x, t) biểu thị hoành độ của điểm
đó có tung độ nhỏ hơn. Các phép tính đơn giản cho thấy rằng C 1 - ánh xạ

u : [0, 1] × [0, ∞) → Rn là một nghiệm từ (1.1) - (1.3) khi nó thỏa mãn hệ

4


phương trình tích phân sau đây

uj (x, t) = (BSu)j (x, t)
x


xj (x,t)
x

+

n

bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))uk (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ

dj (ξ, x, t)
k=1,k=j

(1.8)

dj (ξ, x, t)fj (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ, j ≤ n.

xj (x,t)

trong đó

(Bu)j (x, t) = cj (xj (x, t), x, t)uj (xj (x, t)), ωj (xj (x, t); x, t),
(Ru)j (t), t > 0
ϕj (x), t = 0

(Su)j (x, t) =

(1.9)
(1.10)

Ở đây B là toán tử dịch chuyển từ ∂Π0 dọc theo các đường cong đặc trưng
của (1.1), trong khi toán tử S được sử dụng để biểu thị toán tử biên trên
toàn bộ ∂Π0 . Tương tự, một C 1 – ánh xạ u : [0, 1]× R → Rn là một nghiệm
cho (1.1), (1.3) nếu và chỉ khi nó thỏa mãn hệ (1.8), nếu định nghĩa của S
được thay đổi thành S = R. Khi đó ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 1.1.1. ([9]) Hàm liên tục u được gọi là một nghiệm liên tục
của (1.1) - (1.3) trong Π0 nếu nó thỏa mãn (1.8) với S được xác định bởi
(1.10).
Hàm liên tục u được gọi là nghiệm liên tục của (1.1), (1.3) trong Π−∞ nếu
nó thỏa mãn (1.8) với S = R.
Định nghĩa 1.1.2. ([9]) Một nghiệm u cho bài toán (1.1) - (1.3) hoặc
(1.1), (1.3) được gọi là trơn nếu đối với mỗi k ∈ N, tồn tại T > 0 sao cho

uj ∈ C k (ΠT ) với mọi j ≤ n.
Đối với bài toán biên ban đầu (1.1) - (1.3), Định nghĩa 1.1.2 thấy
rằng tính chất động lực của thuộc tính trơn cho biết tính chính quy của các
5


nghiệm tăng theo thời gian. Thực tế rằng tính chính quy không đều trong
miền nguyên là hệ quả đơn giản của điểm kỳ dị dọc theo đường cong đặc
trưng. Hơn nữa, việc thay đổi từ C k sang C k+1 - chính quy là một bước
nhảy, hiện tượng này được chú ý thường xuyên trong các tình trạng khi
nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng hyperbolic thay đổi tính
chính quy của chúng.
Ta thấy, nếu bài toán (1.1), (1.3) phải tuân theo các điều kiện tuần
hoàn trong t, thì Định nghĩa 1.1.2 được hiểu rằng các nghiệm trơn là C ∞ chính quy trong toàn bộ miền.
Định nghĩa 1.1.2 trình bày được tính chất chung của hiện tượng trơn
đối với các phương trình vi phân hyperbolic.
Việc đạt được C k - chính quy đối với các nghiệm chỉ cần C k+1 - chính
quy đối với a, b và f . Các điều kiện chính quy chính xác hơn đối với dữ liệu
biên, cũng phụ thuộc vào k , có thể được bắt nguồn từ các chứng minh này.
Những cải tiến này rất hữu ích trong một số ứng dụng.
Định nghĩa 1.1.2 có thể mạnh hơn bằng cách thêm vào các tính chính
quy cho dữ liệu ban đầu. Một phần mở rộng của tính chất này, khi dữ liệu
ban đầu là các hàm suy biến mạnh tập trung ở một số điểm hữu hạn.
Trong những điều sau đây, chứng minh hiệu ứng trơn trên các ví dụ
của các toán tử biên và cho thấy các tính chất của bài toán có thể được các
tính chất bao hàm của chúng. Cách tiếp cận để thiết lập kết quả trơn dựa
trên việc xem xét các phép tích phân của các bài toán và quan sát rằng biên
và các phần tích phân không thể tách rời của phép toán này có ảnh hưởng
khác nhau đến độ chính quy của các nghiệm.
Ta thấy rằng trong trường hợp của bài toán (1.1)-(1.3) trong Π0 miền
ảnh hưởng của các điều kiện ban đầu được xác định bởi cả hai phần của hệ
6


tích phân là vô hạn. Điều này làm cho hiệu ứng trơn chưa được rõ ràng.

1.2

Lý thuyết Fredholm
Giả sử X và Y là hai không gian Banach và T : X → Y là một ánh

xạ tuyến tính. Khi đó tập tất cả các phần tử của X có ảnh là θ ∈ Y gọi là
hạt nhân của T , ký hiệu là Ker T và

Ker T := {x|x ∈ X, T (x) = θ} .
Tập tất cả các phần tử của Y là ảnh của ít nhất một phần tử của X
gọi là ảnh của T , ký hiệu là Im T và

Im T := {y|y ∈ Y, ∃x ∈ X, T (x) = y} .
Như vậy: Im T = T (X).
Định nghĩa 1.2.1. ([5]) Cho X và Y là các không gian Banach, gọi T :

X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn. T được gọi là Fredholm nếu
(i) dim Ker T < ∞
(ii) Im T đóng
(iii) dim Coker T < ∞

(dim Coker T = dim Y / Im T )

Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số của T ký hiệu là Ind(T ) là số nguyên
xác định bởi

Ind(T ) = dim Ker T − co dim Im T.
Từ định nghĩa trên và những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính,
tồn tại các phép chiếu liên tục

P : X → X, Q : Y → Y thỏa mãn Im P = Ker T, Ker Q = Im T.
7


Do đó,

X = Ker T ⊕ Ker P
I = Im T ⊕ Im Q.
Bổ đề 1.2.2. Cho T : X → Y là toán tử thỏa mãn Im T chứa một không
gian con đầy, đóng thì Im T đóng.
Bổ đề 1.2.3. Ký hiệu F red(X, Y ) là không gian các toán tử Fredholm từ

X vào Y và F red(X) là tập các toán tử Fredholm xác định trên X . Ta có
F red(X, Y ) là tập mở của B(X, Y ).
Bổ đề 1.2.4. Cho T : X → X là toán tử compact, khi đó I +T là Fredholm.
Bổ đề 1.2.5. Cho T : X → Y và S : Y → Z là các toán tử Fredholm. Khi
đó, ST : X → Z cũng là Fredholm. Hơn nữa, Ind(ST ) = Ind(T )+Ind(S).

1.3

Điều kiện biên
Xét bài toán

(∂t + Λ(x, t)∂x + A(x, t))u = g(x, t), (x, t) ∈ π.

(1.11)

u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1).

(1.12)

với các điều kiện biên cổ điển

ui (0, t) = hi (t),

k + 1 ≤ i ≤ n,

ui (1, t) = hi (t),

1 ≤ i ≤ k,

t ∈ (0, ∞)

t ∈ (0, ∞).

(1.13)

Ở đây u, g và ϕ là n vectơ thực, A = {aij }ni,j=1 , Λ = diag(λ1 , ..., λn ) và

v(t) = (v1 (t), ..., vn (t)) = (u1 (0, t), ..., uk (0, t), uk+1 (1, t), ..., un (1, t))

8


Chú ý rằng điều kiện biên

ui (1, t) = hi (t, v(t)),

1 ≤ i ≤ k,

t ∈ (0, ∞),

ui (0, t) = hi (t, v(t)),

k < i ≤ n,

t ∈ (0, ∞).

bao gồm các tập hợp của các điều kiện biên cổ điển (nếu hi không phụ thuộc
trên v ) và các điều kiện biên đối xứng của dạng địa phương và không địa
phương.
Định lý 1.3.1. ([7]) Giả sử rằng λi , aij , gi và hi là trơn trong tất cả các
đối số của nó, thỏa mãn điều kiện

λ1 < ... < λk < 0 < λk+1 < ... < λn .

(1.14)

Khi đó nghiệm liên tục của bài toán (1.11), (1.12), (1.13) là trơn với bất kỳ

ϕ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn điều kiện tương thích:
ϕi (0) =hi (0, v(0)), k + 1 ≤ i ≤ n,

(1.15)

ϕi (1) =hi (0, v(0)), 1 ≤ i ≤ k.
trong đó v(0) = (ϕi (0), ..., ϕk (0), ϕk+1 (1), ..., ϕn (1)).
Ở đây, có thể không có sự đối xứng từ biên, xảy ra mỗi quỹ đạo mở
rộng đi qua (x, t) bao gồm một đặc trưng duy nhất. Hơn nữa, do các giả
thiết về độ trơn trên Λ và định nghĩa đặc trưng đối với bất kỳ T > 0, T > T
sao cho tất cả các đặc trưng t = T , t = T . Do đó, điều kiện T > 0 tồn tại

T > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) với t = T được
thỏa mãn. Định lý được chứng minh.

1.3.1

Điều kiện biên tuần hoàn
Giả sử rằng ít nhất một phần đầu tiên của nghiệm thỏa mãn điều

kiện biên. Cụ thể, điều kiện biên

ui (1, t) = hi (t, v(t)),

1 ≤ i ≤ k,

t ∈ (0, ∞),

ui (0, t) = hi (t, v(t)),

k < i ≤ n,

t ∈ (0, ∞).

9

(1.16)


được viết dưới dạng u1 (0, t) = u1 (1, t). Khi đó miền xác định của dữ liệu
ban đầu u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (0, 1) trên u1 là Π nguyên. Hơn nữa với mỗi

(x, t) ∈ Π, là quỹ đạo mở rộng bị chặn đi qua (x, t), ít nhất một quỹ đạo
mở rộng được xây dựng bằng các đặc trưng của phương trình

ui (1, t) = hi (t, v(t)),

1 ≤ i ≤ k,

t ∈ (0, ∞)

ui (0, t) = hi (t, v(t)),

k < i ≤ n,

t ∈ (0, ∞).

Điều kiện này đòi hỏi điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T > T sao
cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0 mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi (τ ; x; T ) với

t = T không được thỏa mãn và do đó nghiệm cho bài toán (1.11) với các
điều kiện (1.12) (1.13) là không trơn.

1.3.2

Điều kiện biên tuyến tính của dạng địa phương
Xét các điều kiện biên đối xứng
k

ui (0, t) =

bij uj (0, t),

k + 1 ≤ i ≤ n, t ∈ (0, ∞)

j=1
n

(1.17)

ui (1, t) =

cij uj (1, t),

1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞),

j=k+1

trong đó bij và cij là các hằng số. Các phương trình (1.11), (1.12), (1.17) là
tuyến tính hóa đối với mô hình động lực học.
Mục đích là cải tiến điều kiện đủ của bài toán
k

ui (0, t) =

bij uj (0, t),

k + 1 ≤ i ≤ n, t ∈ (0, ∞)

j=1
n

ui (1, t) =

cij uj (1, t),

1 ≤ i ≤ k, t ∈ (0, ∞).

j=k+1

Lưu ý rằng, bij = 0 với một số k + 1 ≤ i ≤ n và j ≤ k , (tương tự

cij = 0 với i ≤ k và k + 1 ≤ j ≤ n).
Khi đó mỗi đặc trưng của phương trình thứ j từ biến x = 0 (tương tự
như biến x = 1, các đối xứng là đặc trưng của phương trình thứ i. Vì tất cả
10


các quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) được xây dựng bằng các phép đối xứng
tiếp theo. Cho mỗi quỹ đạo mở rộng đi qua (x, t) và có nhiều hơn một giá
trị trơn, nó là một chuỗi duy nhất (hữu hạn nếu quỹ đạo mở rộng đi qua

(x, t) là bị chặn và vô hạn trong các trường hợp khác) có dạng
bi2 i1 , ci3 i2 , bi4 i3 , ci5 i4 , . . .

(1.18)

ci2 i1 , bi3 i2 , ci4 i3 , bi5 i4 , . . .

(1.19)

hoặc là dạng

với các phần tử khác 0. Điều kiện T > 0 tồn tại T > T sao cho x ∈ [0, 1]
mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T được thỏa mãn cho mỗi T > 0
tất cả các quỹ đạo mở rộng đi qua (x, T ) bị chặn đơn điệu trong x ∈ [0, 1].
Tiếp theo, tương đương mệnh đề đã trình bày rằng tất cả các chuỗi (1.18)
và (1.19) là bị chặn. Có nghĩa là điều kiện T > 0 tồn tại T > T sao cho

x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua (x, T ) và t = T có thể biểu thị ở đây
dưới dạng đại số, cụ thể là một số hữu hạn của các đẳng thức

bi2 i1 · ci3 i2 · bi4 i3 · ci5 i4 · . . . · bin−1 in−2 · cin in−1 = 0

(1.20)

với i1 , . . . , in sao cho ma trận

Bn−k,k = {bij }k+1≤i≤n,j≤n và Ck,n−k = {cij }i≤k,k+1≤j≤n .
xuất hiện trong (1.20) không quá một lần. Điều kiện (1.20) có thể được điều
chỉnh lại như sau

R=

In−k Bn−k,k
,
Ck,n−k
Ik

trong đó Ij là ma trận đơn vị có kích thước j . Xét việc mở rộng hệ số xác
định của R dọc theo n − k hàng đầu tiên, cụ thể là
det R =

Di1 ,...,in−k Fi1 ,...,in−k .

(1.21)

i1 <...
Ở đây các định thức tương ứng thứ tự từ n − k , được kí hiệu là Di1 , . . . , in−k
và phần phụ đại số là Fi1 , . . . , in−k . Nó chỉ ra rằng mỗi số hạng trong (1.21)
11


là tích của (1.20). Có thể chỉ ra rằng (1.21) được hoàn thành nếu tất cả các
tích thu được trong (1.21) bằng 1.

1.3.3

Hiện tượng trơn cho bài toán biên ban đầu

Định lý 1.3.2. ([7]) Giả sử λi , aij , gi , ϕi và hi là các hàm liên tục trong
tất cả các đối số của chúng, và các hệ số λi là Lipschit trong x ∈ [0, 1], t ∈

[0, ∞].
Giả sử hi (t, z) khả vi liên tục trong z ∈ Rn và với mỗi T > 0 tồn tại

C > 0 sao cho
∇z h(t, z) ≤ c(log log H(t, z ))1/4 ,

(1.22)

trong đó H là một đa thức trong z với các hệ số thuộc C[0, T ].
Nếu tính tương thích không theo thứ tự thì điều kiện (1.15) được áp
dụng. Khi đó bài toán (1.11)-(1.13) có một nghiệm liên tục duy nhất trong

Π có thể được xây dựng bằng phương pháp của dãy.
Định lý 1.3.3. ([7]) Giả sử λi , aij , gi , ϕi và hi là các hàm trơn trong tất cả
các đối số của chúng và thỏa mãn điều kiện (1.14), (1.22). Ta có
(i) Giả sử điều kiện T > 0 tồn tại T > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo
mở rộng qua (x, T ) và t = T được áp dụng. Khi đó nghiệm liên tục cho bài
toán (1.11)-(1.13) trơn với mọi ϕ ∈ C[0, 1]n thỏa mãn đẳng thức (1.15).
(ii) Giả sử nghiệm liên tục cho bài toán (1.11)-(1.13) trơn với φ ∈ C[0, 1]n
thỏa mãn đẳng thức (1.15). Khi đó, điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T > T
sao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0 mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi (τ ; x; T )
với t = T được thỏa mãn.
Sử dụng Định lý 1.3.2 và Định lí 1.3.3, ngoài ra có thể lấy ngay bài
12


toán biên ban đầu được xác định cho phương trình không thuần nhất

(∂t2 − a2 ∂x2 )u = f (x, t).

(1.23)

và được kết quả trơn. Chẳng hạn, xét (1.23) theo điều kiện ban đầu

u(x, 0) = ϕ(x),

∂t u(x, 0) = ψ(x).

(1.24)

và điều kiện biên

u(0, t) =h1 (t, u(1, t), (∂tu+a ∂xu )|x=0 ),

(1.25)

(∂tu+a ∂xu )|x=1 =h2 (t, u(1, t), (∂tu+a ∂xu )|x=0 ).
Bài toán(1.23)-(1.25) tương đương với bài toán sau đối với phương trình
đạo hàm riêng hyperbolic cấp một

(∂t+a ∂x )u = w,

u(x, 0) = ϕ(x),

(∂t−a ∂x )w = f (x, t),

w(x, 0) = ψ(x) + a

dϕ(x)
,
dx

u(0, t) = h1 (t, u(1, t), w(0, t)),

(1.26)

(1.27)

(1.28)

w(1, t) = h2 (t, u(1, t), w(0, t)).
Bài toán (1.23)-(1.25) có nghiệm liên tục, nghĩa là thành phần nghiệm đầu
tiên (u, w) liên tục cho bài toán (1.26)-(1.28). Trong các điều kiện được giả
sử tương ứng với bài toán (1.26)-(1.28), các kết quả trơn cho (1.23)-(1.25)
là hệ quả của Định lý 1.3.2 và Định lý 1.3.3.
Định lý 1.3.4. ([7]) Giả sử rằng f và hi là các hàm trơn trong tất cả các
đối số của chúng và điều kiện (1.22) được thỏa mãn, khi đó
(i) Nếu T > 0 tồn tại T > T sao cho x ∈ [0, 1] mọi quỹ đạo mở rộng qua

(x, T ) và t = T là đúng, thì nghiệm liên tục cho bài toán (1.23)-(1.25) là
trơn đối với bất kì ϕ ∈ C 1 [0, 1] và ∂ ∈ C[0, 1] thỏa mãn điều kiện (1.27) và
(1.28).
13


(ii) Giả sử rằng nghiệm liên tục cho bài toán (1.23)-(1.25) là trơn cho bất
kỳ ϕ ∈ C 1 [0, 1] và ∂ ∈ C[0, 1] thỏa mãn các điều kiện (1.27) và (1.28) thì
điều kiện T > 0 và i ≤ n tồn tại T > T sao cho x ∈ [0, 1] với (x, T ) ∈ Xi0
mọi quỹ đạo mở rộng chứa ωi (τ ; x; T ) với t = T được thỏa mãn.

14


Chương 2
Hiệu ứng trơn và tính chất
Fredholm đối với các phương trình
đạo hàm riêng Hyperbolic cấp một
2.1
2.1.1

Hiệu ứng trơn
Trường hợp điều kiện biên cổ điển
Xác điều kiện biên tổng quát

uj (0, t) = (Ru)j (t), 1 ≤ j ≤ m;
uj (1, t) = (Ru)j (t), m < j ≤ n.

(2.1)

Trong trường hợp đặc biệt, điều kiện có dạng

uj (0, t) = hj (t), 1 ≤ j ≤ m;
uj (1, t) = hj (t), m < j ≤ n.

(2.2)

Xét bài toán (2.2) và các bài toán sau

(∂t + a(x, t)∂x + b(x, t))u = f (x, t);

(2.3)

u(x, 0) = ϕ(x).

(2.4)

Định lý 2.1.1. ([9]) Giả sử rằng aj , bjk , fj và hj là trơn trong tất cả các đối
số của chúng và φj là các hàm liên tục, với aj > 0, ∀j ≤ m và aj < 0, ∀j >
15


m, inf |aj | > 0, ∀j ≤ n, và 1 ≤ j = k ≤ n tồn tại pjk ∈ C 1 ([0, 1] × R)
x,t

sao cho bjk = pjk (ak − aj ), và pjk = 0 nằm trong miền {(x, t) : aj (x, t) =

ak (x, t)}. Khi đó, bất kỳ nghiệm liên tục nào của bài toán (2.3), (2.4) và bài
toán (2.2) đều là trơn.
Chứng minh. Giả sử rằng u là một nghiệm liên tục của bài toán (2.1) (2.3) cho thấy rằng toán tử của bài toán cải thiện tính khả quy của u trong
thời gian. Để toán tử tuyến tính giới hạn D, F : C(Π0 )n → C(Π0 )n bởi
x

(Du)j (x, t) = −

n

(bjk uk )(ξ, ωj (ξ; x, t))dξ,

dj (ξ, x, t)
k=1,k=j

xj (x,t)
x

(F f )j (x, t) =

dj (ξ, x, t)fj (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ.
xj (x,t)

Lưu ý rằng F f là hàm trơn trong x, t. Trong ký hiệu này, tích phân

uj (x, t) = (BSu)j (x, t)
x


xj (x,t)
x

+

n

dj (ξ, x, t)

bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))uk (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ
k=1,k=j

(2.5)

dj (ξ, x, t)fj (ξ, ωj (ξ; x, t))dξ, j ≤ n.

xj (x,t)

có thể được viết dưới dạng

u = BSu + Du + F f

(2.6)

u = BSu + (DBS + D2 )u + (I + D)F f.

(2.7)



Trước tiên cần chứng minh rằng vế phải của (2.7) bị giới hạn ở ΠT1 đối với
một số T1 > 0 liên tục khác nhau trong t. C 1 (ΠT1 )n - chính quy của u sau
đó từ thực tế là u được cho bởi (2.5) thỏa mãn (2.3) theo phương. Theo giả
thiết inf |aj | > 0, ∀j ≤ n có thể thay T1 > 0 đủ lớn sao cho toán tử S ở vế
x,t

16


phải (2.7) bị giới hạn thành Πt1 không phụ thuộc vào ϕ do đó Su = Ru = h
với h = (h1 , ..., hn ). Từ đó có kết quả

u|ΠT 1 = Bh + DBh + D2 u + (I + D)F f.

(2.8)

Khi đó u|ΠT biểu thị sự hạn chế của u thành ΠT1 . Theo tính chính quy trên
1

a, b, f , và h, hàm Bh + DBh + (I + D)F f là trơn. Bài toán chỉ ra rằng
toán tử D2 là trơn, cụ thể hơn, D2 u là C 1 - trơn trong t trên ΠT1 .
Lưu ý rằng đối với t ≥ T1 , hàm xj (x, t) là hằng số chỉ phụ thuộc vào j .
Do đó sẽ giảm sự phụ thuộc của xj vào x và t. Thay một dãy ul ∈ C 1 (Π0 )n
sao cho

ul → u ∈ C(Π0 )n , l → ∞.

(2.9)

Bằng sự hội tụ trong C(Ω)n nghĩa là sự hội tụ trên bất kỳ tập hợp con nào
của Ω. Tương tự D2 ul → D2 u trong C(Π0 )n . Khi đó ∂t [D2 ul ] hội tụ trong

C(ΠT1 )n khi l → ∞. Với j ≤ n ta có (D2 ul )j (x, t) thu được bằng cách thay
đổi thứ tự tích phân

(D2 ul )j (x, t) =
x

x

n

n

djki (ξ, η, x, t)bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))uli (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη
k=1 i=1 xj η
k=j i=k

(2.10)
với

djki (ξ, η, x, t) = dj (ξ, x, t)dk (η, ξ, ωj (ξ; x, t))bki (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t))).
Sau đó
∂t [(D2 ul )j (x, t)] =
n

n

x

x

∂t [djki (ξ, η, x, t)bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))]uli (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη
k=1 i=1 xj η
k=j i=k
x
n
n

+

x

djki (ξ, η, x, t)bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))
k=1 i=1 xj η
k=j i=k

× ∂3 ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t))∂t ωj (ξ; x, t)∂2 uli (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη.
(2.11)
17


trong đó ∂r g biểu thị đạo hàm của g đối với đối số thứ r. Số hạng đầu tiên
ở vế phải hội tụ trong C(ΠT1 ). Do đó, bài toán được giảm xuống để cho
thấy sự hội tụ của tất cả các tích phân trong số hạng thứ hai, bất cứ khi
nào (x, t) thay đổi trên một tập con của ΠT1 . Với mục đích này, sẽ chuyển
đổi các tích phân như sau
Đầu tiên giả sử rằng 1 ≤ j = k ≤ n tồn tại pjk ∈ C 1 ([0, 1] × R) sao
cho bjk = pjk (ak − aj ), và pjk = 0 nằm trong miền

{(x, t) : aj (x, t) = ak (x, t)} xác định hàm pjk duy nhất, kết hợp với
các công thức sau
x

1
∂x ωj (ξ; x, t) = −
exp
aj (x, t)

∂t aj
a2j

ξ

(η, ωj (η; x, t))dη

(2.12)

x

∂t ωj (ξ; x, t) = exp
ξ

∂t aj
a2j

(η, ωj (η; x, t))dη.

(2.13)

Khi đó nhận được
x

x

djki (ξ, η, x, t)bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))
xj η

× ∂3 ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t))∂t ωj (ξ; x, t)∂2 uli (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη
x

x

=

djki (ξ, η, x, t)∂3 ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t))∂t ωj (ξ; x, t)
xj η

× bjk (ξ, ωj (ξ; x, t))[(∂ξ ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t))]−1 (∂ξ uli )(η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη
x

x

=

djki (ξ, η, x, t)∂t ωj (ξ; x, t)(ak aj pjk )(ξ, ωj (ξ; x, t))
xj η

× (∂ξ uli )(η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη
x

x

d˜jki (ξ, η, x, t)(∂ξ uli )(η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη

=
xj η
x

x

∂ξ d˜jki (ξ, η, x, t)uli (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))dξdη

=−
xj η

18


x

d˜jki (ξ, η, x, t)uli (η, ωk (η; ξ, ωj (ξ; x, t)))

+

ξ=x
ξ=η

dη.

xj

Trong đó d˜jki (ξ, η, x, t) = djki (ξ, η, x, t)∂t ωj (ξ; x, t)(ak aj pjk )(ξ, ωj (ξ; x, t)).
Do đó, nhận được sự hội tụ theo (2.9).
Trong bước thứ hai, chứng minh rằng có tồn tại T2 > T1 sao cho ∂t u
bị giới hạn ở ΠT2 là C 1 - trơn trong t trên ΠT2 . Khi bước này được thực
2
hiện, phân biệt (2.3) đối với t và lấy ∂xt
u ∈ C(ΠT2 )n ; phân biệt (2.3) đối

với x, ta nhận được ∂x2 u ∈ C(ΠT2 )n có thể kết luận rằng u ∈ C 2 (ΠT2 )n . Để
chứng minh sự tồn tại của T2 , cho v = ∂t u, sự khác biệt của (2.3) trong t
dẫn đến
n

n

bjk vk +

(∂t + aj ∂x )vj +

∂t bjk uk + ∂t aj ∂x uj = ∂t fj .

k=1

k=1

Kết hợp với (2.3) ta có
n

bjk vk −

(∂t + aj ∂x )vj +
k=1

∂ t aj
vj
aj
n

n

∂ t aj
(
= ∂t fj −
bjk uj − fj ) = Gj (fj , ∂t fj , u).
∂t bjk uk +
a
j
k=1
k=1

(2.14)

Ở đây, với mỗi j ≤ n, Gj là một hàm tuyến tính nhất định với các hệ số
trơn. Đặt
ξ

c˜j (ξ, x, t) = exp
x

=

bjj ∂t aj
− 2
aj
aj

(η, ωj (η; x, t))dη, d˜j (ξ, x, t)

c˜j (ξ, x, t)
.
aj (ξ, ωj (ξ; x, t))

˜ D,
˜ F˜ : C(Π0 )n → C(Π0 )n bởi
và giới thiệu ba toán tử tuyến tính B,
˜ j (x, t) =˜
(Bu)
cj (xj , x, t)uj (xj , ωj (xj ; x, t)),
x

n

d˜j (ξ, x, t)

˜ j (x, t) = −
(Du)
xj

(2.15)

(bjk uk )(ξ, ωj (ξ; x, t))dξ,
k=1
k=j

19

(2.16)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×