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File b chuyên đề 3 nguyên hàm tích phân ứng dụng

3A. Nguyên hàm

 

3A. NGUYÊN HÀM
 

 Dạng 39. Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức
Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3 x 2 
x2
 C . 
4
x2
C.   f  x  dx x3 
 C . 
2
A.   f  x  dx x3 

x

2


x3 x 2

 C .  
3
4
x2
D.   f  x  dx x3 
 C . 
2
Lời giải tham khảo 
B.   f  x  dx 

 2 x
x2
3
3
x

dx

x

 C . 
 
2 
4
5

 x3

Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số   f  x   x   1  . 
 18

2

6

A.




6

 x3

f  x  dx    1   C . 
 18


 x3

B.   f  x  dx  6   1   C . 
 18


6

6


1  x3
C.   f  x  dx    1   C . 
6  18



1  x3
D.   f  x  dx    1   C . 
2  18

Lời giải tham khảo 

3

Đặt  t 

x
 1.  
18
2

Câu 3. Cho  f   x   3  x  2  , f  0   8.  Hàm số  y  f  x   là hàm số nào trong các hàm sau 
đây? 
3

2

A.  f  x   2  x  2   8.  

B.  f  x    x  2   4 . 

C.  f  x   6  x  2   4 . 

D.  f  x    x  2  . 

 

3

Lời giải tham khảo 
Sử dụng  f  x    f   x  dx .  
Giả thiết  f  0   8  giúp ta tìm được hằng số C . 
Câu 4. Tìm  giá  trị  của  tham  số  m   để  hàm  số  F  x   mx 3   3m  2  x 2  4 x  3   là  một 
nguyên hàm của hàm số  f ( x)  3x 2  10 x  4 . 
A.  m  3 . 

B.  m  0 . 
C.  m  1 . 
Lời giải tham khảo 
Áp dụng  F ’  x   f  x   và đồng nhất hệ số ta có  m  1.  

D.  m  2 . 

 

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[ Nguyễn Văn Lực ]

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3A. Nguyên hàm

Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

1

x3

1
 C . 
2x2
1
C.   f  x  dx   x 2  C . 
2

A.   f  x  dx  

B.   f  x  dx 

1
 C . 
x4

 

D.   f  x  dx  ln 3 x  C . 

Lời giải tham khảo 
1
x
1 2
1
I   3 dx   x 3 dx 
C 
x  C  2  C . 
2
2
x
2x
2

 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x) 
A.   f ( x)dx  x 
C.   f ( x)dx 

x2  x  1

x 1

1
 C . 
x 1

B.   f ( x)dx  1 

x2
 ln x  1  C . 
2

D.   f ( x)dx  x 2  ln x  1  C . 

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Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x) 

1
 C . 
( x  1)2

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1

x  3x  2
2

 f ( x)dx  ln

x2
 C . 
x1

B.   f ( x)dx  ln

x2
 C . 
x1

C.   f ( x)dx  ln

x1
 C . 
x2

D.   f ( x)dx  ln

x1
 C . 
x2

A.

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[ Nguyễn Văn Lực ]

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3A. Nguyên hàm

x 4  2 x3  1
 thoả mãn  F  1  2 . 
x2
x3
1 5
B.   x2   .  
3
x 3
3
x
1
D.   x2   9 . 
3
x

Câu 8. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x  
x3
1 5
 x 2   . 
3
x 3
3
x
1 5
C.   x 2   . 
3
x 3
A.

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Câu 9. Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số  y 
x2  x  1

x1
x2

C.  y 
x1
A.  y 

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x(2  x)

( x  1)2

x2  x  1
.   
x1
x2  x  1

D.  y 
x1
B.  y 

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Câu 10. Tìm nguyên  hàm  F  x    của hàm  số  f  x    thoả  mãn  f '  x   ax+

b
, f '  1  0,
x2

f  1  4, f  1  2 .  

x2 1 5
  . 
2 x 2
x2 1 5
C.    . 
2 x 2
 
A. 

B. 

 

D. Kết quả khác. 

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x2 1 5
  .
2 x 2  

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[ Nguyễn Văn Lực ]

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3A. Nguyên hàm

Câu 11. Tìm giá trị  của tham số  a  để  hàm số  F( x) 
hàm số  f ( x) 

6

 x  2

2



A.  a  1 . 
C.  a  3 . 

B.  a  1  hoặc  a  3 . 
D.  a  1  hoặc  a  3 . 

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Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx   ln x 
C.

ax  a 2  3
 là một nguyên hàm của 
x2

1
 C . 
x

1

 f  x  dx  ln x  x  C . 

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x 1

x2
1
 C . 
x
1
D.   f  x  dx   ln x   C . 
x

B.   f  x  dx  ln x 

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5

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số   f ( x)   3 x  1 . 
6
1
3 x  1  C . 

3
5
1
3 x  1  C . 
C.   f ( x)dx 

18

A.   f ( x)dx 

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6
1
3 x  1   C . 

18
6
1
D.   f ( x)dx   3 x  1  C . 
6

B.   f ( x)dx 

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[ Nguyễn Văn Lực ]

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3A. Nguyên hàm
 

 Dạng 40. Nguyên hàm hàm căn thức
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2 

3
 2 x . 
x

x3
4 3
x3
4 3

3
ln
x

x

C

B. 
f
x
dx

 3 ln x 
x . 




3
3
3
3
x3
4 3
x3
4 3
C.   f  x  dx   3 ln x 
x  C . 
D.   f  x  dx   3 ln x 
x  C . 
3
3
3
3
Lời giải tham khảo 
 2 3

3
2
  x  x  2 x  dx   x dx   x dx  2  xdx  
A.

f  x  dx 

1

3

1
1
4
  x dx  3  dx  2  x 2 dx  x 3  3 ln x  x 2  C . 
x
3
3
2

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 1  x 2 .  
3
1  x2
2
2
C.   f  x dx  1  x2
3



A.   f  x dx 








3
2

3
2

f  x    1  x xdx   1  x
2

1
1  x2
3
1
 C . 
D.   f  x dx  1  x2
3
Lời giải tham khảo 

B.   f  x dx 

 C . 





1
2 2



1

1
1
xdx   1  x 2 2 d 1  x2  1  x 2
2
3



 







3
2



3
2



3
2

 C . 
 C . 

C.

 

Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3x+2 . 
2
 3x  2  3x+2  C . 
3
9
3
C.   f ( x)dx   3 x  2  3x+2  C . 
D.   f ( x)dx   3 x  2  3x+2  C . 
2
2
Lời giải tham khảo 
1
2
Ta có   f ( x)dx   3x+2dx    3x+2  2 dx   3 x  2  3 x  2  C . 
9

A.

2

 f  x  dx  9  3x  2 

B.   f  x  dx 

3x+2  C . 

Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 1  x 2 . 
2
1
1
1  x 2  C . 
B.   f  x  dx 
2
3
2
2
1
x
C.   f  x  dx 
1  x2  C . 
D.   f  x  dx 
3
2
Lời giải tham khảo 
2
1
x2
2
2
2
2
x
1

x
dx

1

x
d
1

x

1

x
 C . 

2
2
 

A.   f  x  dx 











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3

  C . 
1  x   C . 

1  x2

2

2



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[ Nguyễn Văn Lực ]

|5


3A. Nguyên hàm

Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3 3x  1 . 
A.   f  x  dx (3x  1) 3 3x  1  C . 

B.   f  x  dx 

13
3 x  1  C . 
3

1
C.   f  x  dx  (3 x  1) 3 3 x  1  C . 
D.   f  x  dx  3 3x  1  C . 
4
Lời giải tham khảo 

 f  x dx  
    f  x dx 

3

3 x  1dx    3 x  1

1
3

d  3 x  1
3



4
3

1
1  3 x  1
3 x  1  d  3 x  1 
C 


4
3
3
3
1
3

1
 3x  1 3 3x  1  C .  
4

Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   3 x 2 

14

1 x

53 5
3
x  14 ln 1  x  C . 
B.   f  x  dx   3 x 5  14 ln 1  x  C . 
3
5
3
3
C.   f  x  dx  3 x 5  14 ln 1  x  C . 
D.   f  x  dx  3 x 5  14 ln 1  x  C . 
5
5
Lời giải tham khảo 
2
 3
3 2
14 
1 
33 5
x

dx

x

14.
x  14 ln 1  x  C .

dx 





1 x
1 x
5


A.   f  x  dx 

 

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[ Nguyễn Văn Lực ]

|6


3A. Nguyên hàm
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

1
1 x

B.   f  x  dx 2 ln

A.   f  x  dx  2 x  C.  
C.   f  x  dx  2 x  2 ln

B.   f  x  dx  2 x  1  ln






2 x  1  ln 

C.   f  x  dx  2 x  1  4 ln

. nào sau đây là đúng? 



2 x  1  4  C.  


2 x  1  4   C.  

2 x  1  4  C.   



x  1  C.  


1 
C.   f  x  dx  2 ln  x 
  C.  
x

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2x  1  4



Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

 f  x  dx 2 ln 

1

2 x  1  4  C.   

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A.

x  1  C.  

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Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  2 x  1  2 ln

x  1  C.  

D.   f  x  dx  2 x  2 ln

x  1  C.  

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D.   f  x  dx  2



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1
x x

.  

B.   f  x  dx  2 ln

1
x 1

 C.  

D.   f  x  dx  2 ln x  x  C.  
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[ Nguyễn Văn Lực ]

|7


3A. Nguyên hàm

Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  
C.   f  x  dx  

2
xx
2

2x  x x  x



B.   f  x  dx  

 C . 

x  x1

1

D.   f  x  dx  

 C .  

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2
x 1
2

 C . 

2 xx

 

 C . 

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Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2  k  với  k  0 .  
k
ln x  x 2  k  C . 
2
1 2
x
x  k  ln x  x 2  k  C . 
B.   f  x  dx 
2
2
k
C.   f  x  dx  ln x  x 2  k  C . 
 
2
1
D.   f  x  dx 
 C . 
2
x k

A.

x

 f  x  dx  2

x2  k 

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Câu 25. Cho  F  x   3 x  1  ax 2  bx  c
f  x 

10 x 2 - 7 x  2

2x - 1
A.  S  3 . 



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2 x - 1  là một nguyên hàm của hàm số 

1

 trên khoảng   ;   . Tính  S  a  b  c . 
2

B.  S  0 . 
C.  S  4 . 

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D.  S  2 . 

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[ Nguyễn Văn Lực ]

|8


3A. Nguyên hàm

Câu 26. Tìm các giá trị của tham số  a , b , c  để  F  x   ( ax 2  bx  c ) 2 x - 3  là một nguyên 
hàm của hàm số  f  x  

20 x2 - 30 x  7
2x - 3

A.  a  4, b  2, c  2 . 

3

 trong khoảng   ;   .  
2

B.  a  1, b  2, c  4 . 

C.  a  2, b  1, c  4 . 

D.  a  4, b  2, c  1 . 

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Câu 27. Trong các hàm số sau: 
 

 I       f  x  

 

 III    f  x  

x2  1  
1
2

 

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 II      f  x  

 

 

 IV     f  x  

x 1

x2  1  5  
1
2

- 2 

x 1

Hỏi hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số  F( x)  ln x  x 2  1 ? 
A.Chỉ   I  . 

B. Chỉ   III  . 

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C. Chỉ  II  . 

D. Chỉ   III   và (IV). 

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2


1 
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x    3 x 
 . 
x

3

A.



C.  

1
1 
3
12 6 5
f  x  dx  x 3 x 2 
x  ln x  C .  B.   f  x  dx   3 x 
  C . 
3
5
5
x
2
3
12 5 6
f  x  dx  x 3 x  x  C . 
x  C . 
D.   f  x  dx  x 3 x 2  ln x 
5
5





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[ Nguyễn Văn Lực ]

|9


3A. Nguyên hàm

Câu 29. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

x
a2  x 2



A.   f  x  dx  1  x2  C . 

B.   f  x  dx  ln a  x 2  C . 

C.   f  x  dx  a2  x 2  C . 

D.   f  x  dx  ln a 2  x 2  C . 

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 10


3A. Nguyên hàm
 

 Dạng 41. Nguyên hàm hàm lượng giác
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 2 x . 
x sin 2 x

 C . 
2
2
x sin 2 x
 C . 
C.   f  x  dx  
2
4

A.   f  x  dx 

 sin

2

xdx  

x sin 2 x

 C . 
2
4
x sin 2 x
 C . 
D.   f  x  dx  
2
2
Lời giải tham khảo 

B.   f  x  dx 

 

1  cos 2 x
x sin 2 x
dx  
 C . 
2
2
4

Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin  2 x  1 . 
B.   f  x  dx 

A.   f  x  dx  cos(2 x  1)  C . 

1
cos(2 x  1)  C . 
2

1
C.   f  x  dx  cos(2 x  1)  C . 
D.   f  x  dx   cos(2 x  1)  C . 
2
Lời giải tham khảo 
1

1

 sin  2x  1 dx  2  sin  2x  1 d  2x  1   2 cos  2x  1  C . 
 
Câu 32. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   1  sin 3 x  thoả mãn  F    0 . 
6
1

1

A.  F( x)  x  cos 3 x  . 
B.  F( x)   cos 3 x  . 
3
6
3
6
1

1

C.  F( x)  x  cos 3 x  . 
D.  F( x)  x  cos 3 x  . 
3
6
3
6
Lời giải tham khảo 
1

F  x   x  cos 3 x  .
3
6  
Câu 33.  Tìm  nguyên  hàm  F  x    của  hàm  số  f  x   2 x 3  3 x 2  1  sin 2 x   thoả  mãn 
F  0   1 . 

x4
x3
1
1
x4
x3
1
1
A. F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
B.  F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
4
3
2
2
4
3
2
2
4
3
4
3
x
x
1
1
x
x
1
1
C.  F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
D.  F  x   2  3  x  . cos 2 x  . 
4
3
2
2
4
3
2
2
Lời giải tham khảo 
x4
x3
1
F  x    2 x 3  3 x2  1  sin 2 x dx  2  3  x  . cos 2 x  C
4
3
2
1
1
 
Vì  F  0   1  nên  cos 0  C  1  C  .
2
2   



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[ Nguyễn Văn Lực ] | 11


3A. Nguyên hàm

Câu 34. Cho  f   x   3  5 sin x  và  f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 
A.  f  x   3 x  5 cos x  2 . 

B.  f    3 . 

   3
C.  f   

2 2

D.  f  x   3 x  5 cos x . 
Lời giải tham khảo 

         f  x    f '  x dx  3 x  5 cos x  C ;  f (0)  10  C  5  
Vậy  f  x   3 x  5 cos x  5  f     3 . 
Câu 35. Mệnh đề nào dưới đây là sai? 
A.   cos x dx  sin x  C . 

B.   sin x dx   cos x  C . 

C.   e x dx  e x  C . 

D.  

1
dx   tan x  C . 
sin 2 x

Lời giải tham khảo 
1

 sin

2

x

dx   cot x  C . 

Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   1  cot 2 x .  
A.   f  x  dx  tan x  C . 

B.   f  x  dx   tan x  C .   

C.   f  x  dx  cot x  C . 

D.   f  x  dx   cot x  C . 
Lời giải tham khảo 

1

 1  cot x dx   sin
2

2

x

dx   cot x  C  

Câu 37. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x cos x . 

 f  x  dx x sin x – cos x  C . 
C.   f  x  dx x sin x  cos x  C . 
A.

B.   f  x  dx   x sin x – cos x  C .     
D.   f  x  dx   x sin x  cos x  C . 

Lời giải tham khảo 
Đặt  u  x , dv  cos xdx;  ta chọn  du  dx , v  sin x.   
Do đó  I  x sin x    sin xdx  x sin x  cos x  C .
Câu 38. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 3 x.cos5 x . 
1
1
B.   f  x  dx  sin 2 x  cos8 x  C . 
4
16
1
1
1
1
C.   f  x  dx  cos2 x  sin 8 x  C . 
D.   f  x  dx   cos2 x  cos8 x  C . 
4
16
4
16
Lời giải tham khảo
1
1
1
f ( x)dx    sin 8 x  sin 2 x dx  cos2 x  cos8 x  C .
2
4
16

A.



1

1

 f  x  dx  4 cos2x  16 cos8 x  C .

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 12


3A. Nguyên hàm

Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

1
1
1
sin cos .  
2
x
x
x

1
2
1
1
A.   f  x  dx  cos  C.  
B.   f  x  dx  sin  C.   C. 
4
x
4
x
1
1
1
2
 f  x  dx  4 cos x  C.   D.   f  x  dx  4 sin x  C.  
Lời giải tham khảo 
1
Đặt  t  . 
x
1
 thoả mãn  F  0   1.  
cos 2 x
B.  1 – tan x . 
C.  1  tan x . 
D.  tan x  1 . 
Lời giải tham khảo 

Câu 40. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   
A.  – tan x . 
Chọn đáp án B.
F( x)   

1
dx   tan x  C. F  0   1  nên   C  1.
cos 2 x

 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

 f  x  dx x tan x+ ln cosx  C . 
C.   f  x  dx x tan x- ln sin x  C . 
A.

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Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
1
1

 C . 
3
3 cos x cos x
1
1

 C . 
C.   f  x  dx 
3
3 cos x cos x

A.   f  x  dx 

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x

cos 2 x
B.   f  x  dx x tan x+ ln sin x  C . 

D.   f  x  dx x tan x- ln cosx  C . 
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sin 3 x

cos 4 x
1
1

 C . 
3
3 cos x cos x
1
1

 C . 
D.   f  x  dx 
3
3 cos x cos 2 x

B.   f  x  dx  

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 13


3A. Nguyên hàm

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  cot x  tan x  C.  
C.   f  x  dx   cot x  tan x  C.  
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Câu 44. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  

1


tan  x    C.  
2
4


C.   f  x  dx  

1


tan  x    C.  
2
4


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Câu 45. Cho  I  
A.  A  B 

1

sin x cos2 x
B.   f  x  dx   cot x  tan x  C.  
2

D.   f  x  dx  cot x  tan x  C.  
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1

 cos x  sin x 

2



1


B.   f  x  dx  tan  x    C.  
2
4

1


D.   f  x  dx  tan  x    C.  
2
4

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s inx
 cos x  s inx  
dx    A  B 
 dx . Tính giá trị  A , B . 
cos x  s inx
 cos x  s inx  


1

2

1
1
C.  A   , B  .  
2
2

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B.  A  B   .  
2
1
1
D.  A  , B   .  
2
2

 

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 14


3A. Nguyên hàm

Câu 46. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x sin 1  x2 . 
A.   f  x  dx   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.  

 

B.   f  x  dx   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.  
C.   f  x  dx  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C.    
D.   f  x  dx  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2  C .  
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Câu 47. Xét các mệnh sau đây: 

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2

 
 


x
x
 I     F  x  x  cos x  là một nguyên hàm của  f  x    sin - cos   
2
2

4
3
x
 II    F  x   6 x  là một nguyên hàm của  f  x  x3   
4
x
 III  F  x  tan x  là một nguyên hàm của  f  x    ln cos x  

Mệnh đề nào sai? 
A.  I   và   II  . 

B. Chỉ   III  . 

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C.Chỉ   II  . 

D. Chỉ   I   và   III  . 

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Câu 48. Cho  hàm  số  F  x   e x 2 ( a tan 2 x  b tan x  c )   là  một  nguyên  hàm  của 
  
tan 3 x  trên khoản    ;  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 2 2
1
2
2
A.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x 
 . 
2
2
2 

1
2
1
B.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x   . 
2
2
2 

1
2
1
C.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x   . 
 
2
2
2 

1
2
2
D.  F  x   e x 2  tan 2 x 
tan x 
 . 
2
2
2



f  x  ex

2

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 15


3A. Nguyên hàm

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Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   tan 2 x . 
A.   f  x  dx  tan x  x  C .        

B.   f  x  dx  tan x  x  C .   

C.   f  x  dx   tan x  x  C . 

D.   f  x  dx   tan x  x  C . 

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 

Câu 50. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   xcos x2 . 
1
A.   f  x  dx  s inx  C . 
2
1
C.  f  x  dx   s in x 2  C . 
2

 

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1
B.   f  x  dx   s inx  C . 
2
1
D.   f  x  dx  s in x 2  C . 
2

 

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Câu 51. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x sin 2 x .  
1 2
1
1
1
x  x sin 2 x  cos 2 x  C .  B.   f  x  dx  x 2  x sin 2 x  cos 2 x  C . 
2
2
4
2
1
1
1
1

C.  f  x  dx  x 2   x   cos 2 x C . 
D.   f  x  dx  x 2  x sin 2 x  cos 2 x  C . 
4
2
4
2


A.   f  x  dx 

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 16


3A. Nguyên hàm

Câu 52. Cho  a  0 ,  C  là hằng số. Mệnh đề nào dưới đây sai? 
1
1
A.   sin  ax  b dx   cos  ax  b   C . 
B.   cos  ax  b dx   sin  ax  b   C . 
a
a

 1
1
1
C.   ax  b  dx 
ax  b   C .  D.    e axb dx  e axb  C . 

a
   1
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Câu 53. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   sin 2 x  cos x . 
1
cos 2 x  sin x  C . 
2
D.   f  x  dx  sin 2 x  sin x  C . 

A.   f  x  dx  cos 2 x  sin x  C . 

B.   f  x  dx  

C.   f  x  dx   cos 2 x  sin x  C . 
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Câu 54. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2 

x3
1
 ln | x |  cos 2 x  C . 

3
2
3
x
1
C.   f  x  dx   ln | x |  cos 2 x  C . 
3
2
A.

f  x  dx 

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1
 sin 2 x . 
x

x3
1
 ln | x |  cos 2 x  C . 

3
2
3
x
1
D.   f  x  dx   ln | x |  cos 2 x . 
3
2
B.  f  x  dx 

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 17


3A. Nguyên hàm

 Dạng 42. Nguyên hàm hàm mũ – lôgarit
Câu 55. Mệnh đề nào sau đây là sai? 
1
 F  x    e  x  C . 
x
e
1
D.  y   x  F  x    e  x  C . 
 C . 
e
Lời giải tham khảo 

A.  y  e  x  F  x    e  x  C . 
C.  y  e  x  F  x   e  x

e

x

B.  y 

dx   e  x  C   Đáp án A đúng. 

1

x

x

 e dx   e dx  e
 e dx    e dx e

 C   Đáp án B đúng. 

x

x

1

e

x

x

dx   

x

 C   Đáp án C đúng. 

1
dx    e  x dx  e  x  C   Đáp án D sai. 
x
e

Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x.e x .  
A.   f  x  dx x.e x – e x  C . 

B.   f  x  dx xe x  e x  C . 

C.   f  x  dx   x.e x – e x  C . 

D.   f  x  dx e x  x.e x  C . 
Lời giải tham khảo 

+

 f ( x).dx   x.e

x

.dx   

+ Đặt  u  x  du  dx   và  dv  e x .dx  v  e x   
+ Vậy    f ( x).dx  x.e x   e x .dx  x.e x  e x  C  
2

Câu 57. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   2 xe x . 
2

2

A.   f  x  dx  2e x  C . 

B.   f  x  dx 2 x2 e x  C . 

2

2

C.   f  x  dx e x  C . 

D.   f  x  dx  2 xe x  C . 
Lời giải tham khảo 

2

Đặt  t  x .  
Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.   f  x  dx  x  ln  e x  1  C . 

1

e 1
B.   f  x  dx   x  ln  e x  1  C . 
x

C.   f  x  dx   x  ln  e x  1  C . 

D.   f  x  dx  x  ln  e x  1  C . 

Lời giải tham khảo 
x

Đặt  t  e  1 . 
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.

 f  x  dx 2e

x

 C . 

e x
C.   f  x  dx 
 C . 
2

e

x

x


B.   f  x  dx e2

x

 C . 

D.   f  x  dx e

x

 C . 

Lời giải tham khảo 
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[ Nguyễn Văn Lực ] | 18


3A. Nguyên hàm

Đặt  t  x  . 
Câu 60. Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng? 
1
xdx
1
 
 ln  x 2  4  C                 II     cot xdx  - 2  C  
 I       2
sin x
x 4 2
1
 
 III     e2cos x sin xdx  - e2cos x  C  
2
A.Chỉ   I  . 
B. Chỉ   III  .                   C.Chỉ   I   và   II  .  D. Chỉ   I   và   III  . 
Lời giải tham khảo 





2

xdx
1 d x 4
1
2

 x2  4 2  x2  4  2 ln x  4  C  
1 2 cos x
1 2 cos x
2 cos x
 e sin xdx   2  e d  cos x    2e  C . 





 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  
A.  f  x  dx 

ln 2  ln 2 x 

C.  f  x  dx  

2

 C . 

ln 2  ln 2 x 
2

 C . 

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ln  ln x 
x ln x



B.   f  x  dx 
D.   f  x  dx 

ln 2  ln x 

 C . 

2



ln 2 ln 2 x
2

  C . 

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Câu 62. Tìm giá trị của tham số  a , b  để  F  x    ax  b  e x  là một nguyên hàm của hàm số 
f  x    xe x . 

A.  a  1, b  1 . 

B.  a  1, b  2 . 

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File word liên hệ qua

C.  a  2, b  1 . 

D.  a  1, b  1 . 

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 19


3A. Nguyên hàm

Câu 63. Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   xe x
2

e x 1
 e . 
A. 
2

2

e x 1
 e . 
B. 
2

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2

1

 thoả mãn  F  0  

2

e x 1
 e . 
C. 
4

3e

2

2

e x 1
 e . 
D. 
4

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Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   e x (2 x  e 3 x ) .  
1 4x
e  C . 
4
1
C.   f  x  dx  2 xe x  2 e x  e 4 x  C . 
4

A.   f  x  dx  2 xe x  2e x 

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1 4x
e  C . 
4
1
D.   f  x  dx  2 xe x  2e x  e 4 x  C . 
4

B.   f  x  dx  2 xe x  2 e x 

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Câu 65. Cho  a  0  và  a  1 .  C  là hằng số. Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
a2 x
2x
x
x
A.   a dx  a . ln a  C . 
B.   a dx 
 C . 
2 ln a
C.   a2 x dx  a2 x  C . 
D.   a2 x dx  a2 x . ln a  C .
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[ Nguyễn Văn Lực ] | 20


3A. Nguyên hàm
 

 Dạng 43. Bài tập tổng hợp về nguyên hàm
 

Câu 66. Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại? 
x2  x  1
A.  
dx . 
B.    x 2  2 x  2dx . 
x 1
C.   sin 3 xdx . 
D.   e 3 x xdx . 
Lời giải tham khảo 
Trong ý B biểu thức trong căn luôn âm nên hàm không liên tục dẫn đến không có nguyên 
hàm 
Câu 67. Cho    F  x    là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  f  x    trên  khoảng   a; b  .   Giả  sử 
G( x) cũng  là  một  nguyên  hàm  của  f  x    trên  khoảng   a; b  .   Mệnh  đề  nào  dưới  đây  là 

đúng? 
A. F  x   G  x  trên khoảng   a; b  .
B. G  x   F  x  – M  trên khoảng   a; b   với  M   là một hằng số nào đó.
C. F  x   G  x   C  với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.
D.  F  x   và  G  x   là hai hàm số không có sự liên quan. 
 
Câu 68. Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại? 

x2  x  2

A.  f  x  
x3
C.  f  x   s in3x.  

B.  f  x    x 2  2 x  2.  
D.  f  x   xe3 x .  
Lời giải tham khảo 

Ta có:   x  2 x  2  0 x    Vậy không tồn tại   x 2  2 x  2  
 
                                                              nên không nguyên hàm   x 2  2 x  2dx
2



 

2

Mặt khác:biểu thức : 

File word liên hệ qua

x  x 1
có nghĩa  x ≠ 1, biểu thức:  sin 3x ;  e3x x  có nghĩa x. 
x 1  

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 21


3A. Nguyên hàm

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[ Nguyễn Văn Lực ] | 22


3B. Tích phân

 
 
 
 

3B. TÍCH PHÂN

 Dạng 44. Tích phân hàm đa thức, phân thức
b

Câu 1. Tìm các giá trị của  b  sao cho    (2 x  4)dx  5 . 
0

A.  5 . 

B.  1;5 . 

C.  1 . 

D.  1;4 . 

Lời giải tham khảo 
b

b

 (2 x  4)dx  5  ( x

b  1
 4 x)  5  b 2  4b  5  0  

b

5

0

2

0

1

Câu 2. Cho  I  3 x 2  2 x  ln(2 x  1) dx . Tìm giá trị của  a  biết  I  b ln a  c  với  a , b , c  


0

là các số hữu tỉ. 
A.  a  3 . 

2

3

C.  a 

B.  a  3 . 

D.  a  

2

3

Lời giải tham khảo 
1

1

1

2

2

I   3 x  2 x  ln(2 x  1) dx   3 x  2 x  dx    ln(2 x  1) dx  I1  I 2  
0

0

0

u  ln(2 x  1)

Giải  I 2  bằng phương pháp từng phần 

dv  dx

 

3
I  ln3  1  a  3 . 
2
 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
0

Câu 3. Tính tích phân  I 

2

3

 x ( x  1) dx . 

1

A.  I 

7

70

B.  I 

1

60

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File word liên hệ qua

C.  I 

2

15

D.  I 

1

60

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[ Nguyễn Văn Lực ]  | 23   


3B. Tích phân
1

Câu 4. Tính tích phân  I  x(1  x)5 dx . 


0

A.  I  

1

42

B.  I 

1

42

1
C.  I   . 
6

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1

Câu 5. Tính tích phân  I 

x

3

 3x

1000



D.  I 

1

6

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.( x 2  1)dx . 

0

1001

31001
B.  I 

3000

4
A.  I 

3003

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41000
C.  I 

3000

31001
D.  I 

3003

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2

x2  4 x
Câu 6. Tính tích phân  I  
dx . 
x
1

A.  I 

29

2

B.  I 

11

2

11

2

C.  I 

D.  I 

29

2

Lời giải tham khảo 
2

I
1

2

x2  4 x
11
dx   ( x  4)dx  .
x
2
1
5

Câu 7. Cho  
1

dx
 ln a . Tính giá trị của  a . 
2x  1

A. 2. 
5

dx

B. 3. 

1

 2x  1  2 ln(2 x  1)
1

5
1



1

0


4



File word liên hệ qua

D. 5. 

1
ln 9  ln 3.  
2

Câu 8. Tính tích phân  I  
A.  I 

C. 4. 
Lời giải tham khảo 

1

1  x2

B.  I  





C.  I 



4
2
Lời giải tham khảo 



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D.  I 


6



[ Nguyễn Văn Lực ]  | 24   


3B. Tích phân


  
Đặt  x  tan t , t    ;  ,  viết tích phân theo biến  t  và các cận mới  t  0, t   rồi tính 
4
 2 2
tích phân mới nhận được. 
1
dt  1  tan 2 t dt  
Từ  x  tan t  ta có:  dx 
2
cos t



1
1
1

2
4
4
4
dx

.
1

tan
t
dt

dt

t
|
 .
Do đó:  I  
0


2
2
0 1 x
0 1  tan t
0
4
1
2
2 x  3x  6
dx  a  b ln 3 . Tính  P  a.b . 
Câu 9. Cho  
2x  1
0
 







A. P  

21

4

B. P 



21
4

C. P   . 
4
21
Lời giải tham khảo 

D.  P 

4

21

1

2 x 2  3x  6
3 7
0 2 x  1 dx  2  2 ln 3 .  
 
 

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1

1016
dx . 
Câu 10. Tính tích phân  I  
2x
0 1 e
1 16
2e 2
10 ln 2

2
e 1
1
e2
D.  I  1016 ln 2

2
e 1

1 16
10 ln e . 
2
1
2e 2
C.  I  1015 ln 2

2
e 1

A.  I 

B.  I 

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2

Câu 11. Cho  
0

1
2

x  2x  k

A. k  1 . 

dx  ln

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15
. Tính giá trị của  k . 
7

B. k  4 . 

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File word liên hệ qua

 

C. k  2 . 

D.  k 

3

4

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[ Nguyễn Văn Lực ]  | 25   


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