Tải bản đầy đủ

Cấu trúc đại số của độ đo xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

TRƯƠNG THỊ LIÊN

CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60.46.01.06

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊNH

HÀ NỘI - NĂM 2014


Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU


3

LỜI CẢM ƠN

5

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đại số Bool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bao hình trên (Upper envelopes) . . . . . .
1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm được . . . . . . . . . .
1.1.5 Hàm cộng tính trên đại số Bool . . . . . . .
1.1.6 Đại số thương . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Độ đo đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số . . .
1.2.2 Tích đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Topo của độ đo đại số . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số . .
1.3 Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo . . . .
1.3.1 Địa phương hóa ngặt . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Nguyên tử và phi nguyên tử . . . . . . . . .
1.4 Định lý trù mật của Lebesgue . . . . . . . . . . . .
1.5 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Định lý Radon-Nikodym . . . . . . . . . . .
1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . .
1.6 Tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Định lý Vitali trên Rr . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Matingle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Không gian tuyến tính được sắp từng phần
1.9.2 Không gian Riesz . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Dải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
9
10
10
11
11
12
12
13
13
13
14
14
14
15
15
16
16
16
17
17
18
18
18
19
19


1.9.4 Không gian Acsimet . . . .
1.9.5 Không gian Riesz Acsimet .
1.9.6 Không gian đối ngẫu . . . .
1.10 Không gian hàm . . . . . . . . . . .
1.10.1 Không gian L0 . . . . . . . .
1.10.2 Suprema và infima trong L0
1.10.3 Dải trong L0 . . . . . . . . .
1.11 Tiên đề chọn và bổ đề Zorn . . . .
1.11.1 Tiên đề chọn . . . . . . . . .
1.11.2 Bổ đề Zorn . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

19
20
20
21
21
21
21
22
22
22

.
.
.
.
.
.
.

23
23
23
27
35
35
35
37

3 ĐỊNH LÝ PHÉP NÂNG
3.1 Phép nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mật độ dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Định lý phép nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
44
45
47

4 ĐỊNH LÝ KWAPIEN
4.1 Toán tử tuyến tính dương từ không gian L0 đến không gian
Acsimet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Toán tử tuyến tính dương trong độ đo đại số nửa hữu hạn .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2 ĐỊNH LÝ MAHARAM
2.1 Sự phân loại độ đo đại số thuần nhất . . . . . . . .
2.1.1 Nguyên tử tương đối . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Loại Maharam . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Đại số Bool thuần nhất . . . . . . . . . . .
2.2 Phân loại độ đo đại số địa phương . . . . . . . . .
2.2.1 Định lý Maharam . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tế bào (The cellularity) của đại sô Boolean

2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

Riesz
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

56
58
65
66


LỜI NÓI ĐẦU
Chúng ta đã được học và tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản như nhóm,
vành, trường,...Mở rộng lên chút nữa tìm hiểu về cấu trúc đại số của độ đo xác
suất phức tạp hơn rất nhiều như đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không
gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm...
Luận văn này trình bày ba định lý mà tôi thấy rất hay trong lý thuyết độ đo: Định
lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm bốn chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị .
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản về đại số Boolean, độ đo đại số.
Phần cuối của chương tôi giới thiệu về không gian Riesz.
Chương 2: Định lý Maharam.
Phần đầu của chương này định nghĩa và mô tả ’sự thuần nhất’ của độ đo xác suất.
Phần sau trình bày được định lý quan trọng Maharam trên sự phân loại của độ đo
đại số.
Chương 3: Định lý phép nâng
Chương này trình bày được phép nâng và mật độ dưới, không gian địa phương hóa
ngặt có mật độ dưới. Xây dựng phép nâng từ mật độ. Phần cuối của chương mô
tả không gian địa phương hóa ngặt đầy đủ sẽ có phép nâng.

3


Chương 4: Định lý Kwapien
Chương này trình bày một số vấn đề tương đối cơ bản liên quan tới toán tử tuyến
tính dương từ không gian L0 đến không gian Riesz Ascimet. Sau đó chuyển sang
một phân tích rất quan trọng của Kwapien về toán tuyến tính dương từ không
gian L0 đến không gian L0 của độ đo đại số nửa hữu hạn.

4


LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và tận tình
chỉ bảo của TS. Nguyễn Thịnh. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như
giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia
giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy
dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều
kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Hà Nội, Tháng 8 năm 2014.

5


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Để tìm hiểu phần chính của luận văn: Định lý Maharam, định lý phép nâng và
định lý Kwapien, chúng ta cần một lượng kiến thức cơ bản được trình bày dưới
đây. Chương này không đi sâu nghiên cứu chi tiết mà chỉ cung cấp kiến thức để
chuẩn bị cho các chương sau nên phần kiến thức được trình bày có lẽ hơi rời rạc.

1.1

Đại số Bool

Định nghĩa 1.1.1. +) Vành Bool là vành (A, +, .) trên đó a2 = a, ∀a ∈ A .
+) Đại số Bool là vành Bool A với đồng nhất nhân 1 = 1A . Trong trường hợp này
ta chấp nhận 1 = 0.
Bổ đề 1.1.2. Cho A là vành Bool, I là ideal của A và a ∈ A\I thì có một đồng
cấu vành φ : A → Z2 sao cho φa = 1 và φd = 0, ∀d ∈ I .

1.1.1

Đồng cấu

+) Đại số con: Cho A là đại số Bool. Đại số con của A có nghĩa là vành con
của A có chứa đồng nhất nhân 1 = 1A .

6


Mệnh đề 1.1.3. Ideal trong đại số Bool. Nếu A là đại số Bool, tập I ⊆ A là ideal
của A khi và chỉ khi 0 ∈ I, a ∪ b ∈ I, ∀a, b ∈ I bất kỳ và a ∈ I với mọi b ∈ I, a ⊆ b.
+) Đồng cấu Bool: Đồng cấu Bool có nghĩa là hàm π : A → B là đồng cấu vành
và π (1A ) = 1B .
Mệnh đề 1.1.4. Cho A, B, E là đại số Bool
a) Nếu π : A → B là đồng cấu Bool thì π (A) là đại số con của B.
b) Nếu π : A → B và θ : B → E là các đồng cấu Bool thì θπ : A → E là đồng cấu
Bool.
c) Nếu π : A → B là đồng cấu Bool và song ánh thì π −1 : B → A là đồng cấu Bool.
Mệnh đề 1.1.5. Cho A, B là đại số Bool và hàm π : A → B. Khi đó ta có các
điều sau tương đương:
i. π là đồng cấu Bool.
ii. π (a ∩ b) = πa ∩ πb và π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A
iii. π (a ∪ b) = πa ∪ πb và π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A
iv. π (a ∪ b) = πa ∪ πb và πa ∩ πb = 0B , a, b ∈ A, a ∩ b = 0A , π (1A ) = 1B
Bổ đề 1.1.6. Cho A là đại số Bool và A0 là đại số con của A. Cho c là phần tử
bất kỳ của A thì A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } là đại số con của A. Khi đó A1 gọi
là đại số con của A sinh bởi A0 ∪ {c}.
Bổ đề 1.1.7. Cho A, B là đại số Bool và A0 là đại số con của A và π : A0 → B
là đồng cấu Bool và c ∈ A.
Nếu v ∈ B sao cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 và a ⊆ c ⊆ b thì có duy nhất một đồng
cấu Bool π1 từ A1 của A sinh bởi A0 ∪ {c} sao cho π1 thác triển của π và π1 c = v .

7


Chúng ta sẽ có một số khái niệm quan trọng.
Định nghĩa 1.1.8. : Cho P là tập được sắp riêng phần và C là tập con của P.
a. C là có hướng đi lên (upwards-directed) nếu với p, p ∈ C bất kỳ có q ∈ C sao
cho p ≤ q và p ≤ q . Tức là nếu các tập con bất kỳ không rỗng hữu hạn của C đều
có cận trên trong C.
Tương tự, C là có hướng đi xuống (downwards-directed) nếu p, p ∈ C bất kỳ có
q ∈ C sao cho p ≤ q và q ≤ p . Tức là các tập con bất kỳ không rỗng hữu hạn trong

C đều có cận dưới trong C.
b. C là đóng có thứ tự nếu sup A ∈ C với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi
lên của C sao cho supA được định nghĩa trên P và inf A ∈ C với mỗi A là tập con
không rỗng có hướng đi xuống của C sao cho infA được xác định trên P.
c. C là dãy đóng có thứ tự nếu supn∈N pn ∈ C với mỗi (pn )n∈N là dãy không giảm
trên C sao cho supn∈N pn được xác định trên P, và infn∈N pn ∈ C với mỗi (pn )n∈N là
dãy không tăng trên C sao cho infn∈N pn được xác định trên P.
d. Bảo toàn thứ tự: Cho P và Q là 2 tập được sắp riêng phần và φ : P → Q là hàm
bảo toàn thứ tự nếu φ (p) ≤ φ (q) trên Q với p ≤ q trên P.
e. Ta nói rằng φ là liên tục có thứ tự nếu
i. φ (sup A) = sup φ (p) với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi lên của P và
p∈A

supA được xác định trên P.
ii. φ (inf A) = inf φ (p) với mỗi A là tập con không rỗng có hướng đi xuống của P
p∈A

và infA được xác định trên P.
f. φ là dãy liên tục có thứ tự hoặc σ liên tục có thứ tự nếu:
i. φ (p) = sup φ (pn ) với (pn )n∈N là dãy không giảm trên P và p = supn∈N pn trên P.
n∈N

8


ii. φ (p) = inf φ (pn ) với (pn )n∈N là dãy không tăng trên P và p=infn∈N pn trên P.
n∈N

g. Tập D ⊆ A với A đại số Bool là trù mật có thứ tự nếu ∀a ∈ A, a = 0 thì có
d = 0, d ∈ D sao cho d ⊆ a .

h. Tập Cofinal
i. C là cofinal với P nếu mọi p ∈ P có q ∈ C sao cho p ≤ q .
ii. Cofinality của P (ký hiệu cf(P)) là lực lượng nhỏ nhất của tập con cofinal bất
kỳ của P.
Mệnh đề 1.1.9. Cho A là đại số Bool.
a. Nếu e ∈ A và A ⊆ A là tập không rỗng sao cho supA được xác định trên A thì
sup {e ∩ a : a ∈ A} được xác định và bằng e ∩ sup A.

b. Nếu e ∈ A và A ⊆ A là tập không rỗng sao cho infA được xác định trên A thì
inf {e ∪ a : a ∈ A} được xác định và bằng e ∩ infA.
c. Giả sử rằng A, B ∈ A là 2 tập không rỗng và supA, supB được xác định trên A
thì sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} được xác định và bằng sup A ∩ sup B .
d. Giả sử rằng A, B ∈ A là 2 tập không rỗng và infA, infB được xác định trên A
thì inf {a ∪ b : a ∈ A, b ∈ B} được xác định và bằng infA ∪ infB .
Bổ đề 1.1.10. Nếu A là đại số Bool và D ⊆ A là trù mật có thứ tự thì với a ∈ A
bất kỳ có tập rời nhau C ⊆ D sao cho sup C = a.
Nói riêng: nếu a = sup {d : d ∈ D, d ⊆ a} thì có phân hoạch đơn vị C ⊆ D.

1.1.2

Tính Dedekind đầy đủ

Định nghĩa 1.1.11. : Cho P là tập được sắp riêng phần.
a. P là Dedekind đầy đủ hoặc tính đầy đủ có thứ tự hoặc đầy đủ một cách có điều
kiện nếu mọi tập con không rỗng của P có cận trên thì có cận trên nhỏ nhất.
9


b. P là Dedekind σ -đầy đủ hoặc σ -đóng có thứ tự nếu:
i. Mọi tập con không rỗng đếm được của P mà có cận trên thì có cận trên nhỏ
nhất.
ii. Mọi tập con không rỗng đếm được của P mà có cận dưới thì có cận dưới lớn
nhất.
Bổ đề 1.1.12. Cho A là đại số Bool và A0 là đại số con của A. Lấy c ∈ A và tập
A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } là đại số con của sinh bởi A0 ∪ {c}.
a. Giả sử rằng A0 là Dedekind đầy đủ. Nếu A0 là đóng có thứ tự trong A thì A1 là
đóng có thứ tự.
b. Giả sử rằng A0 là Dedekind σ -đầy đủ. Nếu A0 là σ -đại số con của A thì A1 là
σ -đại số con của A.

1.1.3

Bao hình trên (Upper envelopes)

Định nghĩa 1.1.13. a. Cho A là đại số Bool, E là đại số con của A. Cho a ∈ A
và viết upr (a, E) = inf {c : c ∈ E, a ⊆ c} nếu inf được xác định trên E.
b. Nếu A ⊆ A là tập sao cho upr (a, E) được xác định với mọi a ∈ A, a0 = sup A được
xác định trên A và c0 = supa∈A upr (a, E) được xác định trên E thì c0 = upr (a0 , E).
c. Nếu A ⊆ A: upr (a, E) được xác định thì upr (a ∩ c, E) = c ∩ upr (a, E) , ∀c ∈ E.
Định nghĩa 1.1.14. Cho (A, µ) , (B, ν) là độ đo đại số.
Đồng cấu Bool π : A → B là bảo toàn độ đo nếu ν (πa) = µa, ∀a ∈ A.

1.1.4

Chuỗi điều kiện đếm được

Định nghĩa 1.1.15. a. Đại số Bool A là chuỗi điều kiện đếm được hay c c c nếu
mọi tập con rời nhau của A là đếm được.
10


b. Không gian topo X là c c c hoặc thỏa mãn chuỗi điều kiện đếm được hoặc tính
chất Souslin nếu mọi tập hợp rời nhau của tập mở trong X là đếm được.
Hệ quả 1.1.16. Cho A là c c c đại số Bool.
a. Nếu A là Dedekind σ -đầy đủ thì A là Dedekind đầy đủ.
b. Nếu A ⊆ A là dãy đóng có thứ tự thì A đóng có thứ tự.
c. Nếu Q là tập đóng hoàn toàn và φ : A → Q là hàm bảo toàn thứ tự của dãy liên
tục có thứ tự thì φ là liên tục có thứ tự.

1.1.5

Hàm cộng tính trên đại số Bool

Định nghĩa 1.1.17. Cho A là độ đo đại số. Hàm ν : A → R là cộng tính hữu hạn
hoặc chỉ cộng tính nếu ν (a ∪ b) = νa + νb với mỗi a, b ∈ A, a ∩ b = 0.
Thỉnh thoảng ta gọi hàm cộng tính không âm là độ đo cộng tính hữu hạn.

1.1.6

Đại số thương

Định nghĩa 1.1.18. Vành thương Cho R là một vành và I là ideal trong R. Một
lớp của I là một tập có dạng a + I = {a + x : x ∈ I} , a ∈ R.
R/I là tập các lớp I của R. Viết a• thay cho a+I.
Mệnh đề 1.1.19. Cho A là đại số Bool và I là ideal của A. Thì vành thương
A/I là đại số Bool và ánh xạ chính tắc a → a• : A → A/I là đồng cấu Bool và
(a∆b)• = a• ∆b• , (a ∪ b)• = a• ∪ b• , (a ∩ b)• = a• ∩ b• , (a\b)• = a• \b• với mọi a, b ∈ A.

11


1.2

Độ đo đại số

Định nghĩa 1.2.1. Độ đo đại số là một cặp (A, µ) trong đó A là đại số Bool
Dedekind σ -đầy đủ và µ : A → [0, ∞] là hàm sao cho µ0 = 0 .


Với mỗi (an )n∈N là dãy rời nhau trong A, µ (supn∈N an ) =

µan
n=0

µa > 0 với mỗi a ∈ A, a = 0.

Mệnh đề 1.2.2. Cho (A, µ) là độ đo đại số và A ⊆ A là tập không rỗng có hướng
đi lên. Nếu supa∈A µa < ∞ thì supA được xác định trên A và µ (sup A) = supa∈A µa.
Mệnh đề 1.2.3. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo, N là ideal của tập µ-tập bỏ

qua được. Cho µ là đại số Bool của thương

\

µ : A → [0, ∞] được xác định bởi µE • = µE, ∀E ∈

ánh xạ chính tắc E → E • :

1.2.1

∩N thì chúng ta có phiếm hàm

và (A, µ) là độ đo đại số thì

→ A là dãy liên tục có thứ tự.

Nguyên tắc phân loại của độ đo đại số

Định nghĩa 1.2.4. Cho (A, µ) là độ đo đại số.
a. Ta nói rằng (A, µ) là độ đo xác suất nếu µ1 = 1.
b. (A, µ) là hữu hạn hoàn toàn nếu µ1 < ∞.
c. (A, µ) là σ -hữu hạn nếu có dãy (an )n∈N trong A sao cho µan < ∞, ∀n ∈ N và
supn∈N an = 1.

d. (A, µ) là nửa hữu hạn nếu với mỗi a ∈ A, µa = ∞ có b = 0, b ⊆ a sao cho µb < ∞.
Mệnh đề 1.2.5. : Cho (A, µ) là độ đo đại số nửa hữu hạn thì các điều sau tương
đương với nhau
i. (A, µ) là σ -hữu hạn

12


ii. A là c c c
iii. Có A = {0} và có phiếm hàm ν : A → [0, 1] sao cho (A, ν) là độ đo xác suất.

1.2.2

Tích đơn

a. Nếu

Xi ,

i , µi

i∈I

là họ của không gian độ đo với tổng trực tiếp (X,

thì độ đo đại số (A, µ) của (X,
số (Ai , µi ) của Xi ,

, µ)

, µ) có thể đồng nhất với tích đơn của độ đo đại

i , µi

b. Cho (A, µ) là độ đo đại số địa phương. Nếu (ei )i∈I là phân hoạch đơn vị của A
thì (A, µ) đẳng cấu với tích

1.2.3

i∈I

(Aci , µ

Aci ) của ideal chính tương ứng.

Topo của độ đo đại số

Mệnh đề 1.2.6. Nếu (A, µ) là độ đo đại số địa phương và B là đại số con của A
thì bao đóng B của B trong A là đại số con hay nói một cách chính xác B đóng
có thứ tự của A sinh bởi B.
Bổ đề 1.2.7. Nếu (A, µ) là độ đo đại số địa phương và B là đại số con đóng của
A thì a ∈ A bất kỳ đại số con E của A sinh bởi B ∪ {a} là đóng.

1.2.4

Đồng cấu

Định nghĩa 1.2.8. Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số.
Đồng cấu Bool π : A → B là bảo toàn độ đo nếu ν (πa) = µa, ∀a ∈ A.
Mệnh đề 1.2.9. Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số và đồng cấu Bool
π : A → B bảo toàn độ đo.

a. π là đơn ánh.

13


b. (A, µ) là hữu hạn hoàn toàn nếu và chỉ nếu (B, ν) cũng hữu hạn hoàn toàn và
trong trường hợp này π là liên tục có thứ tự và π [A] là đại số con đóng của B.
Mệnh đề 1.2.10. Cho (A, µ) và (B, ν) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn, đại số
con A0 topo trù mật của A và π : A0 → B là đồng cấu Bool sao cho
ν (πa) = µa, ∀a ∈ A0 thì π là mở rộng duy nhất tới đồng cấu bảo toàn độ đo từ A

tới B.
Định nghĩa 1.2.11. Cho A là đại số Bool. Hàm ν : A → R là cộng tính đếm được


hoặc σ - cộng tính nếu



νan được định nghĩa và
0

νan = ν
0

sup an
n∈N

với (an )n∈N

rời nhau và sup an được xác định trên A.
n∈N

Định nghĩa 1.2.12. Cho A là đại số Bool. Hàm ν : A → R là cộng tính đầy đủ
hoặc τ -cộng tính nếu ν là cộng tính hữu hạn và inf |νa| = 0 với mỗi A là tập
a∈A

không rỗng có hướng đi lên trên A với inf =0.

1.2.5

Phiếm hàm cộng tính trên độ đo đại số

Định nghĩa 1.2.13. Cho (A, µ) là độ đo đại số và ν : A → R là phiếm hàm cộng
tính hữu hạn thì ν là liên tục tuyệt đối đối với µ nếu cho ∀ε > 0 có δ > 0 sao cho
|νa| ≤ ε với mỗi µa ≤ δ .

1.3
1.3.1

Nguyên tắc phân loại của không gian độ đo
Địa phương hóa ngặt

Định nghĩa 1.3.1. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo. Thì µ hoặc (X,

địa phương hóa (localizable) nếu µ là nửa hữu hạn và ∀ε ∈
i, E × H bỏ qua được ∀E ∈ ε.
14

có H ∈

, µ) là

sao cho


ii, Nếu G ∈

và E\G là bỏ qua được ∀E ∈ ε thì H\G là bỏ qua được.

Ta có thể gọi H là tập hợp tất cả các cận trên đúng thực sự của E trong
Định nghĩa 1.3.2. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo thì µ hoặc (X,

.

, µ) là địa

phương hóa ngặt (strictly localizable) hoặc khai triển được nếu có một phân hoạch
Xi

i∈I

của X trên tập đo được của độ đo hữu hạn sao cho

= {E : E ⊆ X, E ∩ Xi ∈

µ (E ∩ Xi ), ∀E ∈

, ∀i ∈ I} và µE =

.

i∈I

Ta gọi họ Xi

1.3.2

i∈I

là sự khai triển của X.

Nguyên tử và phi nguyên tử

Định nghĩa 1.3.3. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo. Tập E ∈

đối với µ nếu µE > 0 và ∀F ∈

là nguyên tử

, F ⊆ E thì một trong hai tập F, E\F là bỏ qua

được.
Định nghĩa 1.3.4. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo. Thì µ hoặc (X,

, µ) là

phi nguyên tử hoặc tán xạ nếu không có nguyên tử nào của µ.

1.4

Định lý trù mật của Lebesgue

Định lí 1.4.1. Cho I là một khoảng trên R và cho f là hàm giá trị thực mà nhận
giá trị nguyên trên I thì
f (x) =

x+h
1
lim h
f
h↓0
x

=

x
1
lim h
h↓0 x−h

f=

x+h
1
lim 2h
f, ∀x
h↓0
x−h

∈ I.

Hệ quả 1.4.2. Cho E ⊆ R là tập đo được thì
1
lim 2h
µ (E ∩ [x − h, x + h]) = 1
h↓0

1
với hầu hết x ∈ E và lim 2h
µ (E ∩ [x − h, x + h]) = 0 với hầu hết x ∈ R\E .
h↓0

15


1.5
1.5.1

Định lý Radon-Nikodym
Định lý Radon-Nikodym

Định lí 1.5.1. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo và hàm ν :

→ R. Thì các

điều sau tương đương:
f, ∀E ∈

i) Có hàm f µ-khả tích sao cho νE =

.

E

ii) ν là cộng tính hữu hạn và liên tục thực sự đối với µ.
Mệnh đề 1.5.2. Cho (X,

, µ) là không gian độ đo và ν :

→ R là phiếm hàm

cộng tính hữu hạn.
a. Nếu ν là cộng tính đếm được thì ν là liên tục tuyệt đối đối với µ nếu và chỉ nếu
νE = 0 mỗi khi µE = 0.

b. ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi:
i. ν là cộng tính đếm được.
ii. ν là liên tục tuyệt đối.
iii. Với mỗi E ∈
c. Nếu (X,

và νE = 0 có F ∈

sao cho µF < ∞ và µ (E ∩ F ) = 0.

, µ) là σ -hữu hạn thì ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ khi ν là

cộng tính đếm được và liên tục tuyệt đối đối với µ.
d. Nếu (X,

, µ) là hữu hạn hoàn toàn thì ν là liên tục thực sự đối với µ khi và chỉ

khi ν là liên tục tuyệt đối đối với µ.

1.5.2

Kỳ vọng có điều kiện

Định nghĩa 1.5.3. Cho (X,
với µX = 1. Cho T ⊆

, µ) là không gian xác suất hoặc không gian độ đo

là σ - đại số con. Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của f

trên T là hàm g µ T -khả tích sao cho

gd (µ
F

16

gdµ, ∀F ∈ T .

T) =
g


Ta có g là hàm T-đo được xác định khắp nơi trong X.

1.6

Tích vô hạn

Định nghĩa 1.6.1. Cho Xi ,

i , µi i∈I

là họ của không gian xác suất.

Xi họ của hàm x với tập xác định I sao cho x (i) ∈ Xi , ∀i ∈ I . Trong

Tập X =
i∈I

trường hợp này ta nói rằng mặt trụ đo được là tập con của X biểu diễn bởi C =

Ci
i∈I

với Ci ∈

1.7

i , ∀i

∈ I và {i : Ci = Xi } hữu hạn.

Định lý Vitali trên Rr

Định lí 1.7.1. Cho A ⊆ Rr là tập bất kỳ, và I là họ hình tròn đóng không tầm
thường trên Rr sao cho mọi điểm của A chứa phần tử nhỏ bất kỳ của I thì có một
tập đếm được rời nhau I0 ⊆ I sao cho µ (A\

I) = 0.

Hệ quả 1.7.2. a. Nếu D ⊆ Rr là tập bất kỳ thì lim µ
δ↓0



(D∩B(x,δ))
µB(x,δ)

= 1 hầu hết x ∈ D.

= χE (x).
b. Nếu E ⊆ Rr là tập đo được thì lim µ(E∩B(x,δ))
µB(x,δ)
δ↓0

c. Nếu D ⊆ Rr và f : D → R là hàm bất kỳ thì hầu hết x ∈ D:

lim
δ↓0

µ∗ ({y : y ∈ D, |f (y) − f (x)| ≤ ε} ∩ B (x, δ))
= 1, ∀ε > 0
µB (x, δ)

d. Nếu D ⊆ Rr và f : D → R là hàm đo được thì với hầu hết x ∈ D:

lim
δ↓0

µ∗ ({y : y ∈ D, |f (y) − f (x)| ≥ ε} ∩ B (x, δ))
= 0, ∀ε > 0
µB (x, δ)

17


1.8

Matingle

Định lí 1.8.1. Martingale Levy
Cho (X,

, µ) là không gian xác suất và

con của

. Viết



n n∈N

là dãy không tăng của σ -đại số

cho σ -đại số con sinh bởi
n∈N

n.

Cho X là biến ngẫu nhiên

giá trị thực bất kỳ trên Ω với kỳ vọng hữu hạn và với mỗi n ∈ N cho Xn là kỳ vọng
có điều kiện của X trên

n.

Thì X∞ (ω) = lim Xn (ω) được xác định với hầu hết lim E (|X∞ − Xn |) = 0 và X∞
n→∞

n→∞

là kỳ vọng có điều kiện của X trên

1.9
1.9.1

∞.

Không gian Riesz
Không gian tuyến tính được sắp từng phần

Định nghĩa 1.9.1. Không gian tuyến tính được sắp từng phần là không gian
tuyến tính (U, +, .) trên R có thứ tự với ≤ sao cho:

u≤v ⇒u+ω ≤v+ω
u ≥ 0, v ≥ 0 ⇒ αu ≥ 0

với u, v, ω ∈ U, α ∈ R
Định nghĩa 1.9.2. Toán tử tuyến tính dương
Cho U và V là hai không gian tuyến tính được sắp từng phần. Viết L (U ; V ) cho
tập các toán tử tuyến tính từ U đến V. Nếu T ∈ L (U ; V ) và T ≥ 0 thì T được gọi
là toán tử tuyến tính dương.

18


Định nghĩa 1.9.3. Đồng cấu Riesz
Cho U, V là không gian tuyến tính được sắp từng phần. Một đồng cấu Riesz từ U
đến V là một toán tử tuyến tính T : U → V sao cho với mỗi A ⊆ U là tập hữu hạn
không rỗng và infA=0 trong U thì infT [A] = 0 trong V.

1.9.2

Không gian Riesz

Định nghĩa 1.9.4. Một dàn là một tập (P, ≤) được sắp thứ tự từng phần sao cho
p, q ∈ P bất kỳ: p ∨ q = sup {p, q} và p ∧ q = inf {p, q} được xác định trên P.

Định nghĩa 1.9.5. Không gian Riesz hoặc dàn vectơ là không gian tuyến tính
được sắp từng phần mà nó là một dàn.

1.9.3

Dải

Định nghĩa 1.9.6. Cho U là không gian Riesz. Một dải hoặc không gian con
chuẩn tắc của U là không gian con tuyến tính được sắp từng phần.
Định nghĩa 1.9.7. Dải phép chiếu
Cho U là không gian con Riesz. Khi đó một dải phép chiếu trên U là một tập
V ⊆ U sao cho V + V ⊥ = U .

1.9.4

Không gian Acsimet

Định nghĩa 1.9.8. Cho không gian tuyến tính được sắp từng phần U thỏa mãn
các điều tương đương sau:
i. Nếu u, v ∈ U sao cho nu ≤ v, ∀n ∈ N thì u ≤ 0.
ii. Nếu u ≥ 0 trong U thì infδ>0 δu = 0 thì U được gọi là không gian Acsimet.

19


1.9.5

Không gian Riesz Acsimet

Định nghĩa 1.9.9. Không gian Riesz U là Acsimet nếu mọi u ∈ U , u > 0 ( tức là
u ≥ 0 và u = 0) và v ∈ U thì có n ∈ N sao cho nu

v.

Định nghĩa 1.9.10. Không gian Riesz U là Dedekind đầy đủ (hoặc đầy đủ có
thứ tự, hoặc đầy đủ) nếu mọi tập không rỗng A ∈ U bị chặn trong U thì có cận
trên nhỏ nhất trong U.
Không gian Riesz U là Dedekind σ -đầy đủ (hoặc σ -đầy đủ có thứ tự, hoặc σ -đầy
đủ) nếu mọi tập không rỗng đếm được A ∈ U bị chặn trên thì có cận trên nhỏ nhất
trong U.

1.9.6

Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.9.11. Cho U là không gian Riesz
a. Ta viết U ∼ cho không gian L∼ (U, R) của phiếm hàm tuyến tính giá trị thực bị
chặn có thứ tự trên U , gọi là đối ngẫu bị chặn có thứ tự của U .
b. Viết Uc∼ cho không gian L∼
c (U, R) dãy phiếm hàm tuyến tính dương nhận giá
trị thực liên tục có thứ tự , gọi là dãy đối ngẫu liên tục có thứ tự.
c. Viết U × cho không gian L× (U, R) các phiếm hàm tuyến tính dương nhận giá trị
thực liên tục có thứ tự trên U , gọi là đối ngẫu liên tục có thứ tự của U .
Bổ đề 1.9.12. Giả sử rằng U là không gian Riesz sao cho U ∼ phân tách các điểm
của U thì U là Acsimet.

20


1.10

Không gian hàm

1.10.1

Không gian L0

Định nghĩa 1.10.1. Cho A là đại số Bool Dedekind σ đầy đủ. Ta viết L0 (A) cho
tập tất cả các hàm α → [[u > α]] : R → A sao cho:
a) [[u > α]] = supβ>α [[u > β]] trong A với mọi α ∈ R.
b) infα∈R [[u > α]] = 0.
c) supα∈R [[u > α]] = 1.

1.10.2

Suprema và infima trong L0

Mệnh đề 1.10.2. Cho A là đại số Bool Dedekind σ đầy đủ và tập con A của
L0 = L0 (A).

a) A bị chặn trên trong L0 nếu và chỉ nếu có một dãy (cn )n∈N trong A với infimum
0 sao cho [[u > n]] ⊆ cn , ∀u ∈ A.
b) Nếu A khác rỗng thì A có supremum trog L0 khi và chỉ khi cα = supu∈A [[u > α]]
được xác đinh trong A với mọi α ∈ R và infn∈N cn = 0; Trong trường hợp này
cα = [[sup A > α]] , ∀α.

c) Nếu A là tập không rỗng và bị chặn trên thì A có supremum trong L0 khi và chỉ
khi supu∈A [[u > α]] được xác định trên A với mọi α ∈ R.

1.10.3

Dải trong L0

Mệnh đề 1.10.3. Cho A là đại số Bool Dedekind σ - đầy đủ. Cho a ∈ A, khi đó
viết Va cho dải của L0 = L0 (A) được sinh bởi χa. Thì a → Va là đẳng cấu Bool giữa
A và phép chiếu dải của đại số trong L0 (A).

21


Bổ đề 1.10.4. Cho A là đại số Bool Dedekind σ đầy đủ và tập A ⊆ L0

+

không

bị chặn dưới trên L0 , với L0 = L0 (A). Nếu cả A là đếm được và A là Dedekind đầy
đủ thì có v > 0 trên L0 sao cho nv = supu∈A u ∧ nv, ∀n ∈ N.
Bổ đề 1.10.5. Cho A là đại số Bool σ đầy đủ Dedekind. Giả sử rằng A ⊆ L0

+

là rời nhau. Nếu cả A là đếm được và A là Dedekind đầy đủ thì A bị chặn trên trên
L0 (A).

Định lí 1.10.6. Cho U là không gian Riesz sao cho U × phân tách các điểm của
U. Thì U có thể được nhúng vào không gian con Riesz trù mật có thứ tự của L0 (A)
đối với một số độ đo đại số địa phương (A, µ).

1.11

Tiên đề chọn và bổ đề Zorn

1.11.1

Tiên đề chọn

Cho tập I bất kỳ và (Xi )i∈I là một họ các tập không rỗng có chỉ số trong I thì
có một hàm f với miền xác định là I sao cho f (i) ∈ Xi , ∀i ∈ I .

1.11.2

Bổ đề Zorn

Cho (P, ≤) là tập không rỗng được sắp thứ tự từng phần sao cho mọi tập con
được sắp thứ tự hoàn toàn của P có cận trên trong P thì P có phần tử cực đại.

22


Chương 2
ĐỊNH LÝ MAHARAM
Chương này giới thiệu về định lý Maharam và các kết quả cơ bản của định lý.
Độ đo {0, 1} có cấu trúc đơn giản và nhiều tính chất được ứng dụng. Vì vậy
định lý Maharam đã chứng minh được rằng mọi độ đo đại số địa phương đẳng cấu
được với một họ tích các độ đo đại số thì họ tích các độ đo đại số đó sẽ đẳng cấu
được với độ đo thường. Để có được định lý Maharam chúng ta tìm hiểu một bổ đề
quan trọng và phân loại độ đo đại số địa phương.

2.1
2.1.1

Sự phân loại độ đo đại số thuần nhất
Nguyên tử tương đối

Định nghĩa 2.1.1. Cho A là đại số Bool và B là đại số con đóng có thứ tự của
A.
Khi đó a ∈ A, a = 0 là nguyên tử tương đối trên B nếu ∀c ∈ a có dạng c = a ∩ b,
b ∈ B, nghĩa là {a ∩ b : b ∈ B} là ideal chính sinh bởi a.

A là phi nguyên tử tương đối trên B nếu trong A không có nguyên tử tương đối
trên B.

23


Bổ đề sau đây là trọng tâm của định lý Maharam
Bổ đề 2.1.2. Cho (A, µ) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn và B là đại số con
đóng của A sao cho A là nguyên tử tương đối trên B.
Cho ν : B → R là hàm cộng tính sao cho 0 ≤ νb ≤ µb ∀b ∈ B. Thì có c ∈ A sao
cho νb = µ (b ∩ c), ∀b ∈ B.
Chứng minh a. Cần chứng minh ν là cộng tính đếm được.
b. Mỗi a ∈ A, tập νa b = µ(b ∩ a), ∀b ∈ B. Thì νa là cộng tính đếm được.
Kiểm tra: ∀a ∈ A, a = 0 có d ⊆ a, d = 0 sao cho νd ≤ 12 νa
Thật vậy
Vì A là nguyên tử tương đối trên B nên có e ⊆ a sao cho e = a ∩ b, b ∈ B
Xét phiếm hàm cộng tính đếm được d = νa − 2νe : B → R
Có b0 ∈ B sao cho λb ≥ 0, b ∈ B, b ⊆ b0 với λb ≤ 0, b ∈ B, b ∩ b0 = 0
Nếu e ∩ b0 = 0, đặt d = e ∩ b0 thì 0 = d ⊆ a, ∀b ∈ B
νd b = νe (b ∩ b0 ) = 12 (νa (b ∩ b0 ) − λ(b ∩ b0 )) ≤ 12 νa b (vì λ (b ∩ b0 ) ≥ 0).

Vậy νd ≤ 12 νa
Nếu e ∩ b0 = 0 thì e = a ∩ b10 , vậy d = a\ (e ∪ b0 ) = 0.
Tuy nhiên d ⊆ a
Trong trường hợp này ∀b ∈ B:
νd b = νa (b/b0 ) − νe (b/b0 ) =

1
2

(λ (b/b0 ) + νa (b/b0 )) ≤ 12 νa b (vì λ (b ∩ b0 ) ≥ 0).

Vậy νd ≤ 12 νa .
c. Nếu có a ∈ A, a = 0 và n ∈ N thì có d ⊆ a, d = 0, νd ≤ 2−n νa .
d. Cho C = {a : a ∈ A, νa ≤ ν} 0 ∈ C ⇒ C = ∅. Nếu D ⊆ C là có hướng đi lên và
D = ∅ thì a = sup D được xác định trên A.

24


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×