Tải bản đầy đủ

CƠ học CHẤT điểm

CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
PHẦN I. MỞ ĐẦU
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cơ học là một phần của Vật lý nghiên cứu chuyển động của các vật thể dưới tác
dụng tương hỗ của chúng.
Nhiệm vụ quan trọng của cơ học là phương pháp xác định vị trí của một vật ở
một thời điểm bất kỳ dựa trên việc nghiên cứu tác dụng tương hỗ của vật ấy với các vật
khác.
Cơ học chất điểm là một phần quan trọng của chương trình vật lý. Các vấn đề
nghiên cứu trong cơ học chất điểm xuất phát từ hiện tượng mang bản chất vật lý
gắn liền với các vấn đề kỹ thuật, nhưng phương pháp nghiên cứu nó là toán học
giải tích chặt chẽ như: Giải tích, đại số cao cấp, hình giải tích, phương trình vi, tích
phân, phương trình toán – lý…
Cơ học chất điểm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của giao
thông vận tải, kỹ thuật quân sự, hàng không vũ trụ, thiên văn khí tượng, thuỷ lợi…, để giải
quyết các vấn đề xảy ra trong thực tế kỹ thuật, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau.
Bài tập cơ chất điểm luôn xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi Olympic Vật lý các
nước và quốc tế. Do đó, học sinh chuyên lý, học sinh ở đội tuyển học sinh giỏi Vật lý
cần nắm vững kiến thức và vận dụng giải tốt các bài tập về phần này để vừa có thể đáp
ứng tốt cho các kỳ thi học sinh giỏi cũng đồng thời có kiến thức nền tảng để sau này có
cơ hội tìm hiểu sâu hơn về cơ học chất điểm, đặt cơ sở hoặc liên quan trực tiếp đến các

môn chuyên ngành khác có liên quan.
Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy học
sinh lớp 10 chuyên Vật lý và các đội tuyển học sinh giỏi Vật lý, chúng tôi đã rút ra
được một vài kinh nghiệm nhỏ về mảng kiến thức này, xin được trao đổi cùng các bạn
đồng nghiệp.
B. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài này nhằm mục đích hệ thống kiến thức, giúp học sinh lớp 10 chuyên Vật
lý và học sinh các đội tuyển học sinh giỏi Vật lý nắm vững các kiến thức cơ bản để
giải bài tập một cách dễ hiểu, từ thấp đến cao, giúp học sinh có kỹ năng giải quyết tốt
các bài tập, hiểu được ý nghĩa vật lý của từng bài đã giải, rèn luyện thói quen làm việc
độc lập, sáng tạo, phát triển khả năng tư duy,... chuẩn bị cho các kì thi của trại hè, thi
chọn học sinh giỏi quốc gia hay khu vực. Có kiến thức nền tảng để sau này có cơ hội
tìm hiểu sâu hơn về các chuyên ngành có liên quan.
Chuyên đề được chia làm hai phần:
Phần 1: Những kiến thức cơ bản về cơ học chất điểm.
Phần 2: Phân chia dạng bài tập và một số bài tập minh họa và vận dụng.


PHẦN II. NỘI DUNG
A. KIẾN THỨC TOÁN HỌC BỔ TRỢ
I.
HÌNH HỌC
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
+

+

sin 

AB
CA

tan  

(1)

AB
CB

+



(3)

+

cos  

CB
CA (2)

cot an 

CB
AB (4)

α

2. Công thức hình chiếu
B

Hình chiếu của véc tơ AB trên trục Ox
A

' '
là A B được xác định theo công thức:

A ' B ' =| AB |.cosα =| AB |.sin

O

(5)

3. Định lý hàm số cosin
Trong tam giác A, B, C cạnh a, b, c ta luôn có:
+ a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A
(6)
2
2
2
+ b = a + c - 2a.c.cos B
(7)
+ c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C
(8)
4. Định lý hàm số sin
Trong tam giác bên ta có:

a
b
c


sin A sin B sin C
5. Phép cộng hai véc tơ
 
  
a
,
b
c
Cho hai véc tơ
gọi: = a  b

A’

a

(9)
b

(10)

(11)

Suy ra:

 
a
+ Nếu , b cùng hướng thì:
 
a
+ Nếu , b ngược hướng thì:

a

c

| c |2 = | a |2 + | b |2 +2| a || b |cos  (12)

| c| = | a| + |b|

x

b

 
a
theo quy tắc hình bình hành. Gọi α là góc giữa hai véc tơ , b
thì theo định lí hàm số cosin ta có:

Hay

B’

c



c là véc tơ tổng của hai véc tơ đó thì c được xác định

| c |2 = | a |2 + | b |2 -2| a || b |cos 

α

(13)


| c | = || a | - | b ||

(14)

 
a
+ Nếu , b vuông góc thì:

| c |2 = | a |2 + | b |2
6. Bất đẳng thức Cô si

(15)

a  b �2 ab ( a, b dương).

(16)

a  b  c �3 3 abc ( a, b, c dương).

(17)

- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau.
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau.
7. Bất đẳng thức Bunhiacôpski
(a1b1  a2b2 ) 2 �(a1  a2 ) 2 (b1  b2 ) 2

(18)

a1 b1

a
b2
2
Dấu bằng xảy ra khi

II. ĐẠO HÀM. NGUYÊN HÀM. VI PHÂN. TÍCH PHÂN
1. Đạo hàm
 Định nghĩa:

y
.
x  0 x
Trong đó x x - x 0 ; y f(x 0  x) - f(x 0 ).

y' (x 0 )  lim

 Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa:
Bước 1: Cho x một số gia x rồi tính y = f(x0 + x) – f(x0).
lim

y
.
x

Bước 2: Tìm giới hạn
 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 là hệ số
x  0

góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm M0(x0; f(x0)) có phương trình y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).
 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm: v(t0) = s’(t0).
 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
+ Hàm số f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ’(x) tại x  J.
+ Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f ’(x) xác định bởi
đạo hàm của hàm số f(x).
 Đạo hàm của vài hàm số thường gặp:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
(x)’ = 1
(xn)’ = nxn-1

f ': J  R
x  f '(x)

gọi là


(uv)’ = u’v + uv’

(ku)’ = ku’ (k là hằng số)
(k là hằng số)

 Đạo hàm của các hàm số lượng giác
(sinx)’ = cosx;
(cosx)’ = - sinx;

1
;
cos 2 x
1
'
 cotx   - 2 ;
sin x

 tanx 

'



(sinu)’ = u’cosu
(cosu)’ = - u’sinu

 tanu 

'



u'
cos 2 u

 cotu 

 -

u'
sin 2 u

'

2. Vi phân
 Vi phân của hàm số tại một điểm ứng với số gia x: df(x0) = f ’(x0)x. Vi phân
của hàm số: df(x) = f ’(x)x hay dy = y’x.
 Ứng dụng của vi phân: f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0).x
3. Bảng các nguyên hàm

dx  x  C


kdx  kx  C


x 1
x dx 
 C   �1

 1
dx
�x  ln x  C  x �0 

1  ax  b 
ax

b
dx

 C   �1



a  1
dx
1

ln ax  b  C  x �0 

ax  b a
1 ax b
ax b
e
dx

e
C

a
1
cos
ax

b
dx

sin  ax  b   C



a



e dx  e

x

a x dx 


x

C

ax
 C  0  a �1
ln a

cos xdx  sin x  C

sin xdx   cos x  C


1
dx  tan x  C

cos 2 x
1
dx   cot x  C

sin 2 x
tan xdx   ln cos x  c


cot xdx  ln sin x  c


 1



1

1

dx  tan  ax  b   C

cos  ax  b 
a
 0  a �1
2

1

1

dx   cot  ax  b   C

sin  ax  b 
a
2

dt  t  C


t  1
t du 
 C   �1

 1
du
�t  ln t  C  t �0 



e dt  e

t

t

C

at
a dt 
C

ln a
t

cos tdt  sin t  C


sin tdt   cos t  C


1
dt  tan t  C

cos 2 t
1
dt   cot t  C

sin 2 t


4. Các tính chất tích phân
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
a

f ( x )dx  0

a

b

a

a

b

f ( x )dx   �
f ( x )dx

b

b

a

a

k . f ( x) dx  k �
f ( x)dx


( k là hằng số)

b

b

b

a

a

a

[ f ( x) �g ( x)]dx  �
f ( x)dx ��
g ( x)dx

b

c

b

a

a

c

f ( x)dx  �
f (c )dx  �
f ( x )dx

5. Phương pháp đổi biến số
b

f ( x )dx


Cần tính I = a
Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: t = t(x) rồi suy ra dt = t’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì  = t(a);  = t(b).
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Lưu ý về cách đặt:

f ( x) có chứa

a2  x2

Cách đặt

x  a sin t (với
0 �t � )





�t �
2
2 ) hoặc x  a cos t (với

x  a tan t
Đặt
0t  )





t 
2
2 ) hoặc x  a cot t (với

Đặt

a 2  x 2 hoặc
1
a  x2
2

x2  a2
Đặt

x

(với

a
�  �
t ��
 ;
\  0
�2 2�

sin t (với

hoặc

x

a
cos t (với


f ( x) có chứa

Cách đặt

� �
t � 0;  \ � �
�2
6. Phương pháp tích phân từng phần
b

udv  uv


 Công thức:

a

b
a

b

�
vdu
a

b

 Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính

I �
P ( x ).Q( x)dx
a

P(x): Đa thức
Dạng hàm

Cách đặt

P(x): Đa thức
P(x): Đa thức
Q(x):
sinkx
Q(x):ekx
hay coskx
* u = P(x)
* dv là Phần
còn lại của
biểu thức dưới
dấu tích phân

P(x): Đa thức
Q(x):ln(ax+b)

* u = P(x)
* u = ln(ax + b)
* dv là Phần * dv = P(x)dx
còn lại của
biểu thức dưới
dấu tích phân

1
2
Q(x): sin x hay
1
cos 2 x
* u = P(x)
* dv là Phần còn
lại của biểu thức
dưới dấu tích
phân

7. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích
a) Diện tích hình phẳng
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục)
b

S=

f ( x ) dx


(1)

a

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = f(x), y = g(x) (liên tục)
b

�f ( x)  g ( x) dx

x = a; x= b được tính bởi: S = a
(2)
b) Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay
b

�
f 2 ( x)dx

quanh trục Ox được tính bởi: V = a
(3)
8. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
Dạng 1. Khảo sát trực tiếp


Nếu hàm số y = f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản, ta có thể khảo sát trực
tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.
Dạng 2. Khảo sát gián tiếp
Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể
gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó
thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách
sau:
- Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t).
- Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng
thức…)
- Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số.
B. CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
I. Hệ quy chiếu
1. Định nghĩa chuyển động cơ học
Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự
chuyển động của một bộ phận này so với bộ phận khác của cùng một vật.
Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì
điều này còn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng ở vị trí nào.
Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta
đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một cách
tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. Vậy, khi nói rằng một vật chuyển
động thì ta phải nói rõ là vật đó chuyển động so với vật nào mà ta quy ước là đứng
yên.
2. Hệ quy chiếu
Vật hay hệ vật mà ta quy ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một
vật khác được gọi là hệ quy chiếu. Với cùng một chuyển động nhưng trong các hệ quy
chiếu khác nhau sẽ xảy ra khác nhau.
Khi xét một chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu sao cho chuyển động
được mô tả đơn giản nhất.
a) Hệ tọa độ Descartes


Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz
tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng
tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc toạ
độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác

r
định bởi bán kính véc tơ r , hay bởi tập hợp của 3 số
r
(x, y, z) là hình chiếu của điểm mút M của véc tơ r

Hệ tọa độ Descartes

lên các trục Ox, Oy, Oz tương ứng, được gọi là 3 toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ
Descartes.
b) Hệ tọa độ cầu
Trong hệ toạ độ cầu, vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r, θ,

r
φ. Trong đó, r là độ dài bán kính véc tơ, θ là góc giữa trục Oz và r , còn φ là góc trục
r
Ox và tia hình chiếu của r trong mặt phẳng xOy. Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có
thể tính được toạ độ Descartes của điểm M theo công thức sau:

Hệ tọa độ cầu
Trong hệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 180 0 và 0 ≤ φ ≤ 3600. Các đường tròn ứng với cùng
một giá trị của θ gọi là các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá
trị của φ gọi là các đường kinh tuyến. Hệ toạ độ cầu rất thuận tiện khi định vị các địa
điểm trên quả đất.
3. Chất điểm và vật rắn
Để mô tả chuyển động của các hạt có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động
của mọi điểm của vật. Tuy nhiên, khi kích thước của vật là nhỏ so với khoảng cách
dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau, khi đó có thể
mô tả chuyển động của vật như chuyển động của một điểm. Trong trường hợp này ta
đã coi vật là một chất điểm, tức là một điểm hình học nhưng lại có khối lượng bằng
khối lượng của vật (không có kích thước nhưng có khối lượng).


Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển
động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Một tập hợp chất điểm được gọi là hệ
chất điểm. Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất
điểm của hệ không thay đổi.
4. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm
a) Phương trình chuyển động
Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất
điểm tại những thời điểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc
theo thời gian của bán kính véc tơ r của chất điểm:

r r
r=r(t)

Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương
trình chuyển động của chất điểm.
Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ
gồm 3 phương trình:
�x  x(t)

�y  y (t)
�z  z (t)


(1.1)

Tương tự trong hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là:
r  r (t)


   (t)


   (t)


b) Phương trình quỹ đạo
Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhauvạch ra
trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quỹ đạo của chuyển động.
Vậy quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của
nó trong không gian, trong suốt quá trình chuyển động. Phương trình mô tả đường
cong quỹ đạo gọi là phương trình quỹ đạo.
f (x, y, z)  C

Trong đó f là một hàm nào đó của các toạ độ x, y, z và C là một hằng số. Về
nguyên tắc, nếu biết phương trình chuyển động (1.1) thì bằng cách khử tham số t ta có
thể tìm được mối liên hệ giữa các toạ độ x, y, z tức là tìm phương trình quỹ đạo. Vì
vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyền động (1.1) là phương trình quỹ đạo
cho ở dạng tham số.


II. Chuyển động thẳng trên trục Ox
1. Độ dời
Xét một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo bất kỳ. Tại thời điểm t1, chất
điểm ở vị trí M1. Tại thời điểm t2, chất điểm ở vị trí M2. Trong khoảng thời gian
 t = t2 – t1 chất điểm đã dời từ điểm M1 đến điểm M2. Véc tơ

uuuuuur
M 1M 2

gọi là véc tơ độ

dời của chất điểm trong khoảng thời gian nói trên.
2. Vận tốc
Vận tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều và độ nhanh chậm của chuyển
động chất điểm. Để đặc trưng một cách đầy đủ về cả phương, chiều và độ nhanh chậm
của chuyển động chất điểm, người ta đưa ra một véc tơ gọi là véc tơ vận tốc. Theo
định nghĩa, véc tơ vận tốc tại một vị trí M là

r
v
một véc tơ có phương nằm trên tiếp tuyến
với quỹ đạo tại M, có chiều theo chiều
chuyển động và có giá trị bằng giá trị tuyệt

r

đối của v

uu
r
r ds
v
dt

Véc tơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes

Véc tơ vận tốc

uu
r uu
r
r ds dr
v

dt dt
� dx
vx 

dt
r�
� dy
v�
vy 
dt

� dz
vz 

� dt

Độ lớn của vận tốc sẽ được tính theo công thức:
r
dx
dy
dz
v  vx2  vy2  vz2  ( ) 2  ( ) 2  ( ) 2
dt
dt
dt

3. Gia tốc
Gia tốc là một đại lượng vật lý đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc.
Giả sử sau một khoảng thời gian Δt, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là
Δv thì gia tốc trung bình atb trong khoảng thời gian Δt là:
r
r
v
a tb 
t


Ta thấy rằng, muốn đặc trưng cho độ biến thiên của véc tơ vận tốc ở từng thời
r
v
điểm, ta phải xác định tỷ số t trong khoảng thời gian Δt vô cùng nhỏ, nghĩa là cho
r
Δt → 0, ta được biểu thức của gia tốc tức thời a tại một điểm trên quỹ đạo:
r
r
r
r
v d v d 2 r
a  lim


t �0 t
dt d 2t

Ta có thể tính ba toạ độ của véc tơ gia tốc theo ba trục toạ độ Descartes:
� dvx d 2 x
ax 
 2

dt
d t

r�
dv
d2y
a�
ay  y  2
dt
d t

� dvz d 2 z
az 
 2

dt
d t


r
d 2x
d2y
d 2z
a  ax2  a y2  az2  ( 2 ) 2  ( 2 ) 2  ( 2 ) 2
dt
dt
dt
Độ lớn gia tốc được tính theo công thức:

4. Các phương trình của chuyển động thẳng đều
a=0
v = hằng số
x = x0 + vt
5. Các phương trình của chuyển động thẳng biến đổi đều
a = hằng số
vt = v0 + at
1
x = x0 + v0t + 2 at2

a cùng dấu với v: chuyển động thẳng nhanh dần đều.
a trái dấu với v: chuyển động thẳng chậm dần đều.
6. Chuyển động rơi tự do
a=g
vt = gt
1
h = 2 gt2


vt2 = 2gh
III. Chuyển động tròn đều
1. Định nghĩa
Chuyển động tròn đều là chuyển động trên quỹ đạo tròn và chất điểm đi được
những cung tròn có độ dài bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau tuỳ ý.
2. Tốc độ góc. Vận tốc dài. Gia tốc hướng tâm
a) Tốc độ góc
Xét một chất điểm chuyển động tròn đều. Trong khoảng thời gian t bán kính
OM0 quét được góc  .
Lúc đó




t

M

gọi là tốc độ góc.

0

r

M0

 đo bằng rađian trên giây (rad/s).

b) Vận tốc dài
Giả sử trong khoảng thơi gian t chất điểm đi được cung tròn có độ dài s thì
vận tốc dài của chất điểm tính bằng công thức
v

s
t = hằng số

(1.2)

Đơn vị : (m/s)
Vận tốc dài trong chuyển động tròn đều có phương trùng với tiếp tuyến với quỹ
đạo tại điển ta xét, có chiều trùng với chiều chuyển động của chất điểm.
c) Gia tốc hướng tâm
r

Vì trong chuyển động tròn đều v luôn luôn thay đổi về hướng nên chuyển động
tròn đều có gia tốc.
- Tại t0 = 0 vật ở A, có vận tốc
nghĩa gia tốc của vật là

uu
r
v0

, sau t giây vật đến M và có vận tốc

ur
vt

. Theo định

r r
r
v

v

v
t
0
r

a = t
t

Trong khoảng thời gian t rất nhỏ thì điểm M rất gần
r

r

r
với điểm A và véc tơ vt rất gần với véc tơ v0 kéo theo v tiến

0

r
r
r
tới bán kính R. Véc tơ gia tốc a gần như trùng với véc tơ v . Vậy véc tơ gia tốc a có

hướng theo bán kính và hướng vào tâm quỹ đạo nên được gọi là gia tốc hướng tâm.


* Độ lớn của gia tốc hướng tâm
Xét hai tam giác đồng dạng AOM và CAB ta có
CB
AB

AM AO

CB = v

với

AM = v. t
AB = vt = v
v
v

v.t R

Nên ta có

a

hay

v2
R

là công thức tính độ lớn của gia tốc hướng tâm.

3. Chu kỳ. Tần số
a) Chu kỳ
Chu kỳ T (s) là khoảng thời gian mà chất điểm đi được một vòng trên đường tròn.
Từ công thức (1.2) ta có

v

2 r
T

T

Ta có

(1.3)

2 r
v

(1.4)

Trong đó r là bán kính đường tròn; vì v không đổi nên T là một hằng số và được
gọi là chu kỳ.
b) Tần số
Tần số f là số vòng mà chất điểm đi được trong một giây
f 

1
T

(1.5)

Đơn vị của tần số là Héc. Ký hiệu Hz.
4. Mối liên hệ giữa tốc độ dài, vận tốc góc, chu kỳ, tần số
Ta có
Hay

v

s

r
t = t

v  r

(1.6)


Công thức (1.6) cho ta mối quan hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc trong chuyển động
tròn đều.
Từ công thức (1.3) và (1.6) ta có
2 r
v  r = T



Từ đó

2
T

(1.7)

  2 f



(1.8)

Các công thức (1.7) và (1.8) cho ta mối liên hệ giữa tốc độ góc  với chu kỳ T hay
với tần số f.
Từ (1.8),  còn được gọi là tần số góc.
IV. Tổng hợp chuyển động. Công thức cộng vận tốc
Một vật đồng thời tham gia nhiều chuyển động thì các chuyển động thành phần xảy
ra độc lập với nhau.
Muốn khảo sát chuyển động chung của vật ta phải kết hợp các chuyển động thành
phần, đó chính là phép tổng hợp các chuyển động. Ngược lại khảo sát chuyển động phức
tạp của vật, để đơn giản ta phải phân tích chuyển động đó ra các thành phần phù hợp.
1. Tổng hợp chuyển động
Xét trường hợp một vật đồng thời tham gia hai chuyển
r r

động với các vận tốc tương ứng v1 , v2 .

0

thì chuyển động của vật có vận tốc
r r r
v  v1  v2

r
Độ lớn của v :

(1.9)

v  v12  v22  2v1v2cos

r r
v
Với α là góc hợp bởi hai véc tơ 1 , v2 .

Nếu α = 0

thì

v = v 1 + v2


Nếu α = 2

thì

v  v12  v22

Nếu α = 

thì

v  v1  v2

(1.10)


r r

r

Trường hợp vật đồng thời tham gia n chuyển động với các vận tốc v1 , v2 ,...vn thì
chuyển động của vật có vận tốc
r r r
r
v  v1  v2  ...  vn

(1.11)

Chú ý:
- Nếu các chuyển động thành phần là chuyển động thẳng đều thì chuyển động tổng
hợp là chuyển động thẳng đều.
- Nếu các chuyển động thành phần không phải là chuyển động thẳng đều thì các véc
tơ vận tốc trong các công thức (1.9) và (1.11) phải ở cùng một thời điểm (hay một
điểm trên quỹ đạo).
2. Công thức cộng vận tốc
a) Tính tương đối của chuyển động
Ta biết rằng muốn xác định vị trí của một vật ta phải so sánh vật đó với một vật khác
dùng làm mốc, tức là xác định toạ độ của vật trong hệ toạ độ gắn với vật làm mốc.
Trong hệ toạ độ này vật có toạ độ x1 vận tốc v1, thì trong hệ toạ độ khác vật ấy lại toạ
độ x2 vận tốc v2. Vì thế ta bảo toạ độ và vận tốc của vật có tính tương đối.
b) Công thức cộng vận tốc.
r
r
r
v1,3  v1,2  v2,3

Trong đó

r
v1,3

là vận tốc tuyệt đối.

r
v1,2

là vận tốc tương đối.

r
v2,3

là vận tốc kéo theo.

Vậy tại mỗi thời điểm, véc tơ vận tốc tuyệt đối bằng tổng véc tơ vận tốc tương đối
và véc tơ vận tốc kéo theo.
Chú ý:
- Nếu hai chuyển động theo phương vuông góc với nhau thì:
2
2
2
v1,3
 v1,2
 v2,3

- Nếu hai chuyển động cùng phương, cùng chiều thì:
v1,3  v1,2  v2,3

- Nếu hai chuyển động cùng phương, ngược chiều thì:


v1,3  v1,2  v2,3
r
v1,3

có chiều của véc tơ vận tốc lớn hơn.

V. Khảo sát chuyển động của vật ném theo phương ngang, phương xiên góc với
mặt phẳng nằm ngang
1. Phương pháp toạ độ
Để khảo sát những chuyển động phức tạp có quỹ đạo là những đường cong, ta
thường sử dụng một phương pháp gọi là phương pháp toạ độ. Nội dung của phương
pháp này như sau:
a) Chọn hệ toạ độ (thường là hệ toạ độ Đêcac) và phân tích chuyển động phức tạp
thành các chuyển động thành phần đơn giản hơn trên các trục toạ độ, nghĩa là chiếu chất
điểm M xuống hai trục Ox và Oy để có các hình chiếu Mx và My.
b) Khảo sát riêng rẽ các chuyển động của Mx và My.
c) Phối hợp các lời giải riêng rẽ thành lời giải đầy đủ cho chuyển động thực.
2. Chuyển động của vật bị ném theo phương nằm ngang
Xét vật ném từ độ cao h với vận tốc ban đầu
nằm ngang v0. Ta dùng phương pháp toạ độ để giải bài 0
toán này.
Để bài toán đơn giản ta chọn chiều dương của
trục Oy hướng xuống dưới.

h

Các phương trình chuyển động theo Ox của Mx là

x = v0t

A
y

vx = v0;
(1.12)

Các phương trình chuyển động theo Oy của My là
vy = gt ;
gt 2
y
2

(1.13)

Khử t giữa hai phương trình ta có ta có phương trình quỹ đạo:
y

g 2
x
2v02

(1.14)

x


Quỹ đạo thực là cung parabon OA, A là điểm rơi trên mặt đất. Tầm xa IA bằng
hoành độ của điểm A có tung độ yA = h. Thay vào (1.14) ta suy ra
x A  v0

2h
g

(1.15)

Vận tốc của vật khi chạm đất là:
v  vx2  v y2

(1.16)

3. Chuyển động của vật bị ném theo phương xiên góc với mặt phẳng nằm ngang
r
v
Chọn mặt phẳng toạ độ xOy là mặt phẳng thẳng đứng chứa 0 . Gốc O trùng với

điểm xuất phát của vật. Trục Oy hướng lên trên. Gốc thời gian là thời điểm ném vật.
Các phương trình của chuyển động của vật theo phương Ox là
vx  v0 x  v0cos
ax  0
x  (v0 cos )t

(1.17)

Các phương trình của chuyển động của vật theo phương Oy là
v0 y  v0 sin 
ay  g

v y  v0 sin   gt

y  (v0 sin  )t 

gt 2
2

(1.18)

(1.17), (1.18) là phương trình chuyển động của vật.
Rút t từ (1.17) thay vào (1.18), ta được
 gx 2
y  2 2  (tan  ) x
2v0 cos 

(1.19) là phương trình quỹ đạo của vật. Quỹ đạo này là một parabol.
* Tầm bay cao.

(1.19)


Ta gọi độ cao cực đại mà vật đạt tới là tầm bay cao, ở đó vy triệt tiêu. Thời điểm tương
vx sin 
t

ứng là

thay vào (5.7) ta có

yMax 

g

v02 sin 2 
2g

(1.20)

* Tầm bay xa.
Ta gọi khoảng cách giữa điểm ném và điểm rơi (cùng trên mặt đất) là tầm bay xa.
2v0 sin 
Thời điểm vật chạm đất:

Thay vào (1.17) ta có

tA 

xMax

g

v02 sin 2

g

(1.21)

CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
I. Khái niệm về lực và khối lượng
 Khái niệm về lực
Lực là nguyên nhân vật lý gây ra sự chuyển động cũng như sự thay đổi chuyển
động của các vật. Lực thể hiện mức độ tương tác giữa các vật.
 Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) vật chất chứa trong vật thể, có thể
tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật.
II. Các định luật Niutơn
Các định luật Niutơn nêu lên quan hệ giữa chuyển động của một vật với tác dụng
bên ngoài và quan hệ giữa các tác dụng tương hỗ của các vật.
1. Định luật I Niutơn
a) Định luật
Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có
hợp lực bằng 0, thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
Ta gọi vật không chịu tác dụng của vật nào khác là vật cô lập.
b) Quán tính


Mỗi vật đều có xu hướng bảo toàn vận tốc của mình. Tính chất ấy gọi là quán tính.
Quán tính có hai biểu hiện:
- Xu hướng giữ nguyên trạng thái đứng yên. Ta nói vật có “tính ì”.
- Xu hướng giữ nguyên trạng thái chuyển động thẳng đều. Ta nói các vật chuyển
động có “đà”.
Với ý nghĩa này, định luật I Niutơn còn gọi là định luật quán tính. Chuyển động
thẳng đều gọi là chuyển động theo quán tính.

2. Định luật II Niutơn
Véc tơ gia tốc của một vật luôn cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của
véc tơ gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của véc tơ lực tác dụng lên vật và tỉ lệ nghịch với
khối lượng của vật.
Biểu thức :
Hay

r
r F
a
m
r
r
F  ma

r
Trong trường hợp vật chịu nhiều lực tác dụng thì F là hợp lực của các lực đó
r r r r
F  F1  F2  F3  ...

3. Định luật III Niutơn
a) Định luật
Khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng trở lại vật A một lực.
Hai lực này là hai lực trực đối.
Biểu thức:

r
r
FAB   FBA

b) Lực và phản lực

r
r
F
F
AB
Trong hai lực
và BA , ta gọi một lực là lực tác dụng, lực kia là phản lực.

Cần chú ý rằng hai lực này là hai lực trực đối, nhưng không cân bằng nhau, vì chúng
tác dụng lên hai vật khác nhau.
Lực tác dụng thuộc loại gì (hấp dẫn , đàn hồi, ma sát…), thì phản lực cũng thuộc loại đó.
III. Các lực cơ học thường gặp
1. Lực hấp dẫn. Định luật vạn vật hấp dẫn.
a) Định luật vạn vật hấp dẫn.


Lực hấp dẫn giữa hai vật (coi như chất điểm) tỉ lệ thuận với tích của hai khối
lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.
Biểu thức:

Fhd  G

m1m2
r2

trong đó m1, m2 là khối lượng của hai vật , r là khoảng cách giữa chúng.
Hệ số G là một hằng số chung cho mọi vật, gọi là hằng số hấp dẫn.
G = 6,67.10-11 N.m2/kg2
b) Trọng lực. Trọng lượng.
Trọng lực của một vật theo nghĩa gần đúng là lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật đó,
có biểu thức
F G

Mm
r2

M và m là các khối lượng của Trái Đất và vật, r là khoảng cách từ tâm Trái Đất đến
vật ấy. Theo định luật II Niutơn, gia tốc mà vật thu được là:
g0 

F GM
 2
m
r

(2.1)

chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r.
Vì vật chỉ tham gia vào chuyểnr động tự quay của Trái Đất nên ngoài lực hút rcủa
r r
r
Q
P
Trái Đất F nó còn chịu một lực
gọi là lực quán tính li tâm. Hợp lực  F  Q là
trọng lực theo nghĩa chính xác.
Vật theo định nghĩa chính xác, trọng lực của một vật là lực mà Trái Đất hút nó khi
có kể đến sự tự quay của Trái Đất.
c) Biểu thức của gia tốc rơi tự do
Coi Trái Đất như một quả cầu đồng tính thì lực hấp dẫn do nó tác dụng lên một vật
khối lượng m ở độ cao h so với mặt đất là
Fhd  G

Mm

 R  h

2

(2.2)

trong đó M, R là khối lượng và bán kính Trái Đất.
Vì lực này cũng là trọng lực của vật, nên nếu đối chiếu (2.2) với công thức P = mg, ta
tính được gia tốc g của sự rơi tự do ở độ cao h
g

2. Lực ma sát

GM

 R  h

2


a) Lực ma sát trượt
Lực ma sát trượt xuất hiên ở mặt tiếp xúc khi hai vật trượt trên bề mặt của
nhau.
Đặc điểm của lực ma sát trượt:
- Lực ma sát trượt tác dụng lên một vật luôn cùng phương và ngược chiều với vận
tốc tương đối của vật ấy đối với vật kia.
- Độ lớn của lực ma sát trượt tỉ lệ thuận với N (N là độ lớn của áp lực do vật A nén lên
vật B hoặc phản lực pháp tuyến do vật A tác dụng lên vật A) tác dụng lên mặt tiếp xúc:
Fmst = µtN

trong đó µt là hệ số ma sát trượt (không có đơn vị)

b) Lực ma sát lăn.
Khi một vật lăn trên mặt một vật khác, lực ma sát lăn (F mal) xuất hiện ở chỗ tiếp xúc
giữa hai vật và có tác dụng cản trở sự lăn đó.
Lực ma sát lăn cũng tỉ lệ với áp lực N giống như ma sát trượt, nhưng hệ số ma sát
lăn nhỏ hơn hệ số ma sá trượt hàng chục lần.
c) Lực ma sát nghỉ
Lực ma sát nghỉ chỉ xuất hiện khi có ngoại lực tác dụng lên vật. Ngoại lực này có xu
hướng làm cho vật chuyển động nhưng chưa đủ để thắng lực ma sát.
r

Đặc điểm của lực ma sát nghỉ ( F msn).
r

- Giá của F msn luôn nằm trong mặt tiếp xúc giữa hai vật.
r

- F msn ngược chiều với ngoại lực.
r

r

- F msn cân bằng với ngoại lực F . Vậy độ lớn của Fmsn luôn bằng F.
Nhưng khi F tăng dần Fmsn tăng theo đến một giá trị FM nhất định thì vật A bắt đầu
trượt trên vật B. FM là giá trị lớn nhất của lực ma sát nghỉ.
Fmsn �FM
Ta có FM tỉ lệ thuận với áp lực N:

FM = µnN

trong đó µn gọi là hệ số ma sát nghỉ (không có đơn vị). Trị số của nó phụ thuộc vào
từng cặp vật tiếp xúc.
Từ các công thức trên ta có thể viết

Fmsn �µnN

Fmsn = Fx (thành phần ngoại lực song song với mặt tiếp xúc)
3. Lực đàn hồi. Định luật Húc


a) Lực đàn hồi
Lực đàn hồi là lực xuất hiện khi một vật bị biến dạng đàn hồi, và có xu hướng
chống lại nguyên nhân gây ra biến dạng.
Đặc điểm của lực đàn hồi:
- Lực đàn hồi chỉ xuất hiện khi vật đàn hồi bị biến dạng.
- Độ lớn của lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng.
- Hướng của lực đàn hồi ngược với hướng của biến dạng.
- Độ biến dạng cực đại để lực đàn hồi còn có khả năng lấy lại hình dạng ban đầu
của vật đàn hồi gọi là giới hạn đàn hồi.
b) Định luật Húc.
Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi của lò xo tỉ lệ thuận với độ biến dạng của lò xo.
Fdh = -k l
trong đó l là độ biến dạng của lò xo, k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo.
Đơn vị hệ số đàn hồi là N/m, giá trị của nó phụ thuộc vào kích thước lò xo và vật liệu
dùng làm lò xo.
Dấu "-" chỉ rằng lực đàn hồi luôn ngược hướng với chiều biến dạng.
IV. Phương pháp giải bài toán động lực học
Vận dụng các định luật Niutơn, chúng ta có thể dễ dàng giải các bài toán cơ học
đa dạng theo 4 bước cơ bản sau:
- Bước 1: Phân tích bản chất các lực tác dụng lên từng vật (theo định luật
Newtton III, các lực này chỉ xuất hiện thành từng cặp).
- Bước 2: Viết các phương trình định luật Niutơn II cho từng vật cụ thể.
- Bước 3: Chọn hệ quy chiếu quán tính và hệ trục toạ độ sao cho bài toán trở
nên đơn giản, chọn chiều chuyển động giả định cho hệ, sau đó chiếu phương trình véc
tơ (viết được ở bước 2) lên các trục toạ độ để được các phương trình đại số.
- Bước 4: Giải hệ các phương trình đại số để tìm các nghiệm số theo yêu cầu
của đề bài, sau đó biện luận ý nghĩa của các giá trị.
CHƯƠNG III. CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
I. Hệ kín.
Một hệ vật được gọi là hệ kín nếu chỉ có những lực của các vật trong hệ tác dụng lẫn
nhau (gọi là nội lực) mà không có tác dụng của những lực từ bên ngoài hệ (gọi là
ngoại lực), hoặc nếu có thì những lực này phải triệt tiêu lẫn nhau. Ta nhớ lại, các nội
lực từng đôi trực đối nhau theo định luật III Niutơn.


II. Động lượng. Định luật bảo toàn động lượng
1. Động lượng
Động lượng của một vật chuyển động là đại lượng đo bằng tích của khối lượng và
vận tốc của vật.
Động lượng là một đại lượng véc tơ, có cùng hướng với véc tơ vận tốc (vì khối
r

lượng luôn dương) và được kí hiệu là p :
r
r
p  mv

Động lượng của hệ bằng tổng véc tơ động lượng của từng vật trong hệ.
r
r r
r
ph  p1  p2  ...  pn

Đơn vị của động lượng trong hệ SI là kg.m/s.
2. Định lí biến thiên động lượng
r
r
p  �F t
Độ biến thiên động lượng của một vật trong khoảng thời gian t bằng xung lượng
của tổng các lực tác dụng lên vật trong khoảng thời gian ấy.
3. Định luật II Niu Tơn dưới dạng tổng quát
r dpr
�F  dt

4. Định luật bảo toàn động lượng
Véc tơ tổng động lượng của hệ kín được bảo toàn.
r r
p  p'

(3.1)

Trong trường hợp hệ gồm hai vật khối lượng m1 và m2. Trước khi tương tác vận tốc
r

r

r

r

'
'
tương ứng của vật là v1 và v2 , sau khi tương tác vận tốc của vật là v1 và v2 .

Từ (3.1) ta có:

r
r
r
r
m1v1  m2v2  m1v1�
 m2v2�

(3.2)

Nếu ban đầu hai vật đứng yên thì vận tốc của hai vật sau khi tương tác sẽ ngược
chiều nhau.
r
m r
v1�
  2 v2�
m1

III. Động năng. Thế năng. Định luật bảo toàn cơ năng


1. Động năng. Định lí về động năng
a) Động năng
Động năng của một vật là năng lượng do vật chuyển động mà có. Động năng có
giá trị bằng một nửa tích của khối lượng và bình phương vận tốc của vật.
Kí hiệu động năng là Wđ
mv 2
Wđ = 2

Ta có:
* Tính chất và đơn vị.

- Động năng là đại lượng vô hướng và luôn luôn dương.
- Vận tốc có tính tương đối, phụ thuộc vào hệ quy chiếu, cho nên động năng cũng có
tính tương đối.
- Đơn vị của động năng là đơn vị của công và năng lượng: jun, kilôjun.
b) Định lý động năng
Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật.
Biểu thức:

A12 = Wđ 2 - Wđ 1

Hay

1 2 1 2
mv2  mv1
2
A12 = 2

Nếu công của ngoại lực là dương (công phát động), động năng của vật tăng; nếu
công này âm (công cản), động năng của vật giảm.
2. Thế năng
a) Khái niệm thế năng
Thế năng là năng lượng mà một hệ vật (một vật) có do tương tác giữa các vật của
hệ (các phần của vật) và phụ thuộc vào vị trí tương đối của các vật (các phần) ấy.
Có hai loại thế năng: Thế năng của trường trọng lực (thế năng hấp dẫn) và thế năng
đàn hồi.
Đơn vị của thế năng cũng là jun.
b) Thế năng của trường trọng lực
Ta đã biết, nếu vật ở độ cao h thì trọng lượng P = mg của nó có khả năng thực hiện
công A = mgh, nghĩa là vật có năng lượng bằng A.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×