Tải bản đầy đủ

Tiết 57 58 dãy số

TIẾT 57-58

DÃY SỐ
Ngày soạn: ……………….
Ngày giảng: ………………

I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức.
- Các kiến thức về logarit
- Các dạng phương trình, bất phương trình mũ.
2. Kỹ năng.
2.1. Với học sinh xét TN
- Biết tìm số hạng của một dãy số cho bới công thức số hạng tông quát.
- Biết tìm số hạng, công sai, tính tổng của một cấp số cộng, cấp số nhân.
2.1. Với học sinh xét ĐH.
- Biết tìm số hạng của dãy số dựa vào SHTQ
- Biết x/đ u1, d,un, Sn của CSC
- Biết x/đ u1, d,un, Sn của CSC
3. Về tư duy và thái độ.
- Tư duy nhanh để định hướng lời giải, tìm đáp án đúng, tư duy sử dụng MTCT
- Tích cực hợp tác nhóm trong quá trình ôn tập

II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH.
- Giáo viên: Phiếu ôn tập phát cho học sinh, máy chiếu
- Học sinh: Ôn tập phần nội dung dãy số-csc-csn trong SGK
III. PHƯƠNG PHÁP:
Thuyết trình - Gợi mở - Thảo luận nhóm – luyện tập
IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Sĩ số:……………
2. Kiểm tra bài cũ – khởi động vào bài mới: (5 phút)
- HS nhắc lại một số kiến thức cơ bản về CSC-CSN
3. Bài mới:
Hoạt động
1: Dãy số(15’)
Mục tiêu: Học sinh giải nhớ một số kiến thức cơ bản về dãy số, biết vận dụng giải bài tập.
Cách thức thực hiện:
- GV tổ chức cho học sinh nhắc lại các kiến thức cơ bản về dãy số
- HS lên bảng chữa 01 bài tập minh họa, theo tự luận và trắc nghiệm.
- GV và cả lớp nhận xét chốt bài
* Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên �* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy
số).
Kí hiệu: u : �* � �
n a u (n).
Dạng khai triển: u1 ; u2 ; u3 ;...; un ;...
Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un  u (n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M   1; 2;3;...; m với m ��* được gọi là một dãy số hữu
hạn.
2. Dãy số tăng, dãy số giảm


a) Dãy số (un ) được gọi là tăng nếu un 1  un với mọi n ��* .
b) Dãy số (un ) được gọi là giảm nếu un 1  un với mọi n ��* .
3. Dãy số bị chặn
*
a) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un �M , n �� .
*
b) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un �m, n �� .

c) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các
*


số m, M sao cho m �un �M , n �� .

* Bài tập vận dụng
Câu 1:

[1D3-2.2-1] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho dãy số  un  với
un  2n  5 . Số hạng thứ tư u4 của dãy số là

A. u4  19 .

B. u4  11 .

C. u4  21 .
Lời giải

D. 13.

Chọn
D.
Số hạng thứ tư tương ứng với n  4 nên ta có u4  2.4  5  13
Câu 2:

[1D3-2.4-1] (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Trong
các dãy số sau đây dãy số nào bị chặn?
A. u  n2  2 .
B. u  n .
C. u  3n  1 .
D. u  n  2 .
n
n
n
n
2n  1
n
Lời giải
n
2n  1
n

 1 , n ��* nên un 
Ta có 0 
bị chặn.
2n  1 2 n  1
2n  1
Hoạt động
2: Cấp số cộng (30’)
Mục tiêu: Học sinh nhớ các kiến thức cơ bản, có kỹ năng biến đổi, có kỹ năng sử dụng MTCT
Cách thức thực hiện:
- Ôn tập kiến thức cơ bản
- GV tổ chức cho học sinh hoạt động cá nhân và chọn 02 học sinh lên bảng trình bày
- Nhận xét chốt bài, lưu ý giải theo tự luận và trắc nghiệm
* Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d .
Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng

nhau).
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
1) Nếu  un  là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi

un 1  un  d , n ��* .

2) Cấp số cộng  un  là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d  0 .

3) Cấp số cộng  un  là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d  0 .
2. Định lý:


Định lý 1. (Số hạng tổng quát)
Nếu cấp số cộng  u  có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u được
n
1
n
xác định bởi công thức:

un  u1  (n  1)d , n �2.
Định lý 2. ( Tính chất của CSC)

Trong một cấp số cộng  un  , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của
hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

uk 

uk 1  uk 1
Với k �2 .
2

Định lý 3. (Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng)

Cho một cấp số cộng  un  . Đặt S n  u1  u2  ...  un . Khi đó:

Sn 

n(u1  un )
n(n  1)
d.
hoặc Sn  nu1 
2
2

* Bài tập luyện tập:
Câu 3:

[1D3-3.2-1] (SỞ GD&ĐT LÀO CAI 2019) Công thức nào sau đây là đúng với một cấp số
cộng có số hạng đầu u1 , công sai d và số tự nhiên n �2 .
A. un  u1   n  1 d .

B. un  u1   n  1 d . C. un  u1   n  1 d . D. un  u1  d .
Lời giải

Chọn C
Số hạng tổng quát của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d và số tự nhiên n �2 là:

un  u1   n  1 d .
Câu 4:

[1D3-3.2-2] (SỞ GD&ĐT ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng (un ) có số hạng
đầu u1  2 , số hạng thứ ba u3  8. Giá trị của công sai bằng
A. 5.
B. 10.
C. 4.
Lời giải
Ta có: u3  8 � u1  2d  8 � 2  2d  8 � d  3 .

Câu 5:

D. 3.

[1D3-3.2-2] (SỞ GD QUẢNG NAM 2019) Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  2 và
công sai d  3 . Tìm L  lim
A. L 

1
3

n
.
un

B. L 

1
2

C. L  3

D. L  2

Lời giải
Ta có un  u1   n  1 d  2  3  n  1  3n  1 .

n
1
1
n  lim

lim

1 3.
Vậy L  lim
3n  1
3
un
n
Câu 6:

[1D3-3.3-1] (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng  un  có u3  10 và

u1  u6  17 . Số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng
A. 3 .

B. 16 .

C. 19 .

D. 13 .


Lời giải
Chọn B
Gọi d là công sai của cấp số cộng  un  .
u1  2d  10

Theo để bài ta có: �
u1   u1  5d   17

Giải hệ ta được u1  16, d  3 .

Vậy số hạng đầu u1  16 .
Câu 7:

[1D3-3.3-1] (SỞ GD&ĐT LẠNG SƠN NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng  un  có u1  3
1
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
1
1
A. un  3   n  1 . B. un  3   n  1 .
2
2
1
� 1

3   n  1 �.
C. un  n �
D. un  3  n  1 .
4
2


Lời giải
Chọn B
Sử dụng công thức số hạng tổng quát un  u1   n  1 d  n �2  .

và công sai d 

Ta có: un  3   n  1
Câu 8:

1
.
2

[1D3-3.3-2] (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho cấp số cộng  un 
có u1  3 và công sai d  7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của  un  đều lớn
hơn 2018 ?
A. 288 .
Cấp số cộng

B. 286 .

 un 



C. 287 .
Lời giải

u1  3 và công sai

d 7

D. 289 .
thì có số hạng tổng quát

un  u1   n  1 d  3  7  n  1  7 n  4 .

un  2018 � 7n  4  2018 � n 

2022
7

Mà n nguyên dương nên n �289
Vậy kể từ số hạng thứ 289 trở đi thì các số hạng của  un  đều lớn hơn 2018 .
Câu 9:

[1D3-3.3-2] (SỞ GD&ĐT BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng  un  ,
biết u2  3 và u4  7 . Giá trị của u2019 bằng
A. 4038.
B. 4400.
C. 4040.
Lời giải
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho. Ta có
u2  3 �
u d 3

�d  2
� �1
��

u1  1
u4  7 �
u1  3d  7 �

Do đó u2019  u1  2018d  4037 .

D. 4037.


Câu 10:

[1D3-3.3-2] (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng  un  biết

u5  18 và 4 S n  S 2 n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng?
A. u1  3; d  2 .

B. u1  2; d  3 .

C. u1  2; d  2 .

D. u1  2; d  4 .
Lời giải

Chọn D
Ta có:

u1  4d  18

u5  18


� � n�

2u1   n  1 d �
2u1   2n  1 d �

� 2n �


�4S n  S 2 n
�4.

2
2
u  4d  18
u  4d  18 �
u 2


� �1
� �1
� �1
4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d
2u1  d  0
�d  4


Vậy số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng là: u1  2; d  4 .
Câu 11:

[1D3-3.3-2] (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng  un  với

u1  3 và u4  24 . Tìm giá trị của u11
A. u11  73 .

B. u11  6144 .

C. u11  80 .

D. u11  3072 .

Lời giải
Chọn A
Với cấp số cộng  un  ta có un  u1   n  1 d ( với d là công sai).

� u4  u1  3d � d 
Câu 12:

u4  u1
 7 � u11  u1  10d  73 .
3

[1D3-3.3-2] (SỞ GD&ĐT CÀ MAU NĂM 2018-2019) Cấp số cộng  un  là một dãy số tăng,
2
2
với số hạng đầu u1 và công sai d thỏa mãn u1  u3  4 và u1  u3  10 . Tính tỉ số

A.

u1 1
 .
d 2

B.

u1 1
 .
d 3

C.

u1
 3.
d

D.

u1
.
d

u1
1.
d

Lời giải
Chọn D
u3  4  u1

u1  u3  4
u3  4  u1
u1  1 �
u1  3








Ta có � 2
.




2
u3  3 �
u3  1
u1  u32  10
2u12  8u1  6  0
u12   4  u1   10




u
Vì  un  là một dãy số tăng nên u1  1, u3  3 . Từ u3  u1  2d , suy ra d  1 . Vậy 1  1 .
d

Câu 13:

[1D3-3.3-3] (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho a và b lần lượt là
số hạng thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai d . Giá trị của biểu thức
ba
là một số nguyên có số ước tự nhiên bằng
d
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
Gọi số hạng đầu của cấp số cộng là u1.
log 2

Ta có a  u1  d ; b  u1  9d .

D. 4 .


Khi đó log 2
Câu 14:

 u  9d    u1  d   log 8  3.
ba
 log 2 1
2
d
d

[1D3-3.3-3] (SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hai
cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số có 100 số hạng là 4, 7, 10, 13, 16,K và 1, 6, 11, 16, 21,K Hỏi
có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả hai cấp số cộng trên?
A. 20 .
B. 18 .
C. 21 .
D. 19 .
Lời giải
Xét cấp số cộng 4, 7, 10, 13, 16,K Đặt
u1  4 � d  3, un  u1   n  1 d  3n  1 1 �n �100, n �� .
Xét cấp số cộng 1, 6, 11, 16, 21,K Đặt

v1  1 � d  5, vm  v1   m  1 d  5m  4  1 �m �100, m �� .
Nếu có số hạng cùng có mặt trong cả hai cấp số, tức là 5m  4  3n  1 � m 
3n
��� nM5 � n  5k , k ��.
5
1
n 100,
 n��
��
 1 5k 100
k 20
Do 1 ����
5

3n
1 .
5

Do m ���

Câu 15:

[1D3-3.4-3]

(SỞ

GD&ĐT

NINH

BÌNH

k

 1; 2;3;K ; 20
NĂM

2018-2019

LẦN

02)

Cho

m
; m, n ��*, ( m, n )  1 . Biết ba số log 3 x , 1 , log3 (81x ) theo thứ tự lập thành một cấp số
n
cộng. Tính m  n .
A. 28 .
B. 82 .
C. 10 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
m
Vì x  ; m, n �N * � x  0
n
x

Ba số ba số log 3 x , 1 , log 3  81x  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên:

log 3 x  log 3  81x 
1
2
2
2
 1 � log 3 x  log 3  81x   2 � log 3  9 x   2 �  9 x   3 
9
2
2
1
�1 � � 9 x  1 ,
do x  0 � x 
.
�  9x  � �
3
27
�3 �
Vậy m  1, n  27 � m  n  28
2

Câu 16:

[1D3-3.4-3]

(SỞ

GD&ĐT

NINH

BÌNH

NĂM

2018-2019

LẦN

02)

Cho

m
; m, n ��*, ( m, n )  1 . Biết ba số log 3 x , 1 , log3 (81x ) theo thứ tự lập thành một cấp số
n
cộng. Tính m  n .
A. 28 .
B. 82 .
C. 10 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
m
Vì x  ; m, n �N * � x  0
n
Ba số ba số log 3 x , 1 , log 3  81x  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên:
x


log 3 x  log 3  81x 
 1
2
� log 3 x  log 3  81x   2
� log 3  9 x   2
2

�  9 x   32 
2

1
9

2

2
�1 �
�  9x  � �
�3 �

1
� 9 x  , do x  0
3
1
�x
.
27
Vậy m  1, n  27 � m  n  28
Câu 17:

[1D3-3.5-2] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho cấp số cộng  un  có
1
1
và công sai d  . Giá trị của u1  u2  ...  u5 bằng
4
4
4
4
5
A.
B. 
C.
5
5
4
Lời giải
5
5� 1 1 � 5
   1�
Chọn C: S5   u1  u5   �
2
2� 4 4 � 4
u1  

Câu 18:

D.

15
8

[1D3-3.3-1] (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho cấp số cộng  un  có số
hạng đầu u1  2 và công sai d = 5. Giá trị của u4 bằng
A. 22 .

B. 17 .

C. 12 .
Lời giải

D. 250 .

Chọn B
Ta có un  u1   n  1 d  2  5(n  1)  5n  3.
Khi đó u4  5.4  3  17.
Câu 19: [1D3-3.3-1] (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2018-2019)
Cho cấp số cộng  un  với u1  3 và u2  9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 6 .

B. 3 .

C. 12 .
Lời giải

D. 6 .

Ta có: u2  u1  d � 9  3  d � d  6
Hoạt động
3: Cấp số nhân (25’)
Mục tiêu: Học sinh nhớ kiến thức cơ bản có kỹ năng biến đổi
Cách thức thực hiện;
- Cho Hs nhắc lại phương pháp tự luận và trắc nghiệm
- Tổ chức cho HS hoạt độngt heo nhóm bàn vè lên bảng trình bày đáp số, có giải thích các đáp
án
* Kiến thức cơ bản:
1 – Định nghĩa


Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu  un  là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

un 1  un q với n ��* .
Đặc biệt:
�Khi q  0, cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, ..., 0, ...

�Khi q  1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ...
�Khi u1  0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ...
2 – Số hạng tổng quát
Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được
xác định bởi công thức

un  u1 .q n1 với n �2.
3 – Tính chất
Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều
là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

uk2  uk 1 .uk 1 với k �2.
4 – Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Định lí 3. Cho cấp số nhân  un  với công bội q �1. Đặt S n  u1  u2  ...  un .
Khi đó S n 

u1  1  q n 
1 q

.

Chú ý: Nếu q  1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... khi đó S n  nu1 .
* Bài tập luyện tập:
Câu 20:

[1D3-4.1-1] (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Ba số nào sau đây tạo thành một cấp
số nhân?
A. 1; 2;  4 .
B. 1; 2;  4 .
C. 1; 2; 4 .
D. 1;  2;  4 .
Lời giải
Vì 2  1.  2  và 4  2.  2  nên ba số 1; 2;  4 lập thành cấp số nhân.

Câu 21:

[1D3-4.3-1] (SỞ GD&ĐT BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho cấp số nhân  un 
1
có số hạng đầu u1  , công bội q  2. Giá trị của u25 bằng
2
26
A. 2
B. 223
C. 224
Lời giải
Chọn B

D. 225

1 24
24
23
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân ta có: u25  u1.q  .2  2 .
2

Câu 22:

[1D3-4.3-1] (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho cấp số nhân  un  có

u1  3 và có công bội q 

1
. Giá trị của u3 bằng
4


A.

3
.
8

B.

3
.
16

16
.
3
Lời giải

C.

D.

3
.
4

Chọn B
2

Ta có công thức un  u1q
Câu 23:

n 1

�1 � 3
� u3  3. � � .
�4 � 16

[1D3-4.3-1] (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho cấp số nhân  un  có
số hạng đầu u1  2 và công bội q  3 . Số hạng thứ 5 bằng
A. 486 .

B. 162 .

C. 96 .
Lời giải

D. 48 .

Chọn B
n 1
4
4
Số hạng tổng quát un  u1.q suy ra u5  u1 .q  2.3  162 .

Câu 24:

[1D3-4.3-1] (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho cấp số nhân  un  có
số hạng đầu u1  2 và công bội q  3 . Số hạng thứ 5 bằng
A. 486 .
B. 162 .
C. 96 .
Lời giải
Chọn B
n 1
4
4
Số hạng tổng quát un  u1.q suy ra u5  u1.q  2.3  162 .

Câu 25:

D. 48 .

[1D3-4.3-1] (SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH NĂM 2018-2019) Cho cấp số nhân  un  có

u1  1, u2  2 . Giá trị của u2019 bằng:
2018
A. u2019  2 .

2018
B. u2019  2 .

2019
C. u2019  2 .

2019
D. u2019  2 .

Lời giải
Chọn B

u1  1

2018
� q  2 . Vậy u2019  u1.q 2018  1.  2 
 22018 .
Ta có: �
u2  u1.q  2

Câu 26:

[1D3-4.3-2] (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho cấp số nhân  un  có u1  2 và
biểu thức 20u1  10u2  u3 đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng thứ bảy của cấp số nhân  un  có giá trị
bằng
A. 6250 .

B. 31250 .

C. 136250 .
D. 39062
Lời giải
2
2
2
Ta có P  20u1  10u2  u3  2q  20q  40  2 q  10q  25  10  2  q  5   10 �10 .





Vậy Pmin  10 � q  5 .
6
6
Khi đó u7  u1.q  2.5  31250 .
Câu 27:

[1D3-4.3-2] (SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019) Cho cấp số nhân
1
3
khi đó
là số hạng thứ mấy?
2
256
A. Thứ 8 .
B. Thứ 9 .
C. Thứ 7 .
Lời giải
u1  3, q 

D. Thứ 6 .

 un  có


n 1
Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là un  u1.q .

Theo đề bài ta có un 

1
�1 �
, u1  3, q  � �.
256
�2 �

n 1

n 1

n 1

8

8

8

1
Suy ra, 3
�1 �
�1 �
�1 � �1 � mà �1 � �1 �.
 3. � � � � � 
�� � ��
� � � �
256
�2 � �2 �
�2 �
�2 � 256
�2 � �2 �
n1

A.

8

�1 � �1 �
� � �  � �.
�2 � �2 �

� n  1  8 � n  9 . Vậy
Câu 28:

3
là số hạng thứ 9.
256

[1D3-4.3-2] (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM NĂM 2018-2019) Cho cấp số nhân

 un 

có số hạng đầu u1  2 và công bội q 

A. u3 

1
.
4

1
B. u3   .
4

1
. Tính u3 .
2

1
C. u3   .
2
Lời giải

D. u3  1 .

1
1
2
Ta có u3  u1.q  2.   .
4
2
4. Củng cố bài học. (5’)
- Học sinh nhắc lại một số dạng bài thường gặp trong các đề thi THPTQG?
5. Hướng dẫn học bài.
- HS về tiếp tục ôn tập, buổi sau thi thử THPTQG lần 2
Bổ sung – Rút kinh nghiệm.
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

Duyệt của tổ chuyên môn

-----------------------------------------------------------------------



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×