# DẤU TAM THỨC bậc HAI bất PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI

Đ6. DU CA TAM THC BC HAI
A. TểM TT Lí THUYT.
1. Tam thc bc hai
Tam thc bc hai (i vi x ) l biu thc dng ax2 + bx + c . Trong ú a,b,c l nhng s cho
trc vi a ạ 0.
Nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 c gi l nghim ca tam thc bc hai
f ( x ) = ax2 + bx + c ; D = b2 - 4ac v D ' = b'2- ac theo th t c gi l bit thc v bit
thc thu gn ca tam thc bc hai f ( x ) = ax2 + bx + c .
2. Du ca tam thc bc hai
Du ca tam thc bc hai c th hin trong bng sau
f ( x ) = ax2 + bx + c, ( a ạ 0)
a.f ( x ) > 0, " x ẻ Ă

D <0

D =0
D>0

ùỡ b ùỹ
ùý
a.f ( x ) > 0, " x ẻ Ă \ ùớ ùợù 2a ùỵ

ù
a.f ( x ) > 0, " x ẻ ( - Ơ ;x1 ) ẩ ( x2; +Ơ
a.f ( x ) < 0, " x ẻ

( x1;

)

x2 )

Nhn xột: Cho tam thc bc hai ax2 + bx + c
ỡù a > 0
ax2 + bx + c > 0, " x ẻ R ùớ
ùù D < 0

ỡù a > 0
ax2 + bx + c 0, " x ẻ R ùớ
ùù D Ê 0

ỡù a < 0
ax2 + bx + c < 0, " x ẻ R ùớ
ùù D < 0

ỡù a < 0
ax2 + bx + c Ê 0, " x ẻ R ùớ
ùù D Ê 0

B. CC DNG TON V PHNG PHP GII.
DNG TON 1: XẫT DU CA BIU THC CHA TAM THC BC HAI.
1. Phng phỏp gii.
Da vo nh lớ v du ca tam thc bc hai xột du ca biu thc cha nú.
* i vi a thc bc cao P (x) ta lm nh sau
Phõn tớch a thc P ( x ) thnh tớch cỏc tam thc bc hai (hoc cú c nh thc bc nht)
Lp bng xột du ca P ( x ) . T ú suy ra du ca nú .
* i vi phõn thc

P (x)
(trong ú P ( x ) , Q ( x ) l cỏc a thc) ta lm nh sau
Q(x)

Phõn tớch a thc P ( x ) , Q ( x ) thnh tớch cỏc tam thc bc hai (hoc cú c nh thc bc
nht)
Lp bng xột du ca

P (x)
. T ú suy ra du ca nú.
Q(x)

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

2. Cỏc vớ d minh ha.
Vớ d 1: Xột du ca cỏc tam thc sau
a) 3x2 - 2x + 1
b) - x2 + 4x + 5
c) - 4x2 + 12x - 9
d) 3x2 - 2x - 8
e) 25x2 + 10x + 1
f) - 2x2 + 6x - 5
Li gii
2
a) Ta cú D ' = - 2 < 0, a = 3 > 0 suy ra 3x - 2x + 1 > 0, " x ẻ Ă
ộx = - 1
2
b) Ta cú - x + 4x + 5 = 0 ờ
ờx = 5

Bng xột du
- Ơ
x
- 1
2
0
- x + 4x + 5

5
+

|

-

1;5) v - x2 + 4x + 5 < 0 x ẻ
ỡù 3ỹ
ù
2
c) Ta cú D ' = 0, a < 0 suy ra - 4x + 12x - 9 < 0 " x ẻ Ă \ ùớ ùý
ùợù 2ùỵ
ù
Suy ra - x2 + 4x + 5 > 0 x ẻ

(-

ộx = 2

d) Ta cú 3x - 2x - 8 = 0 ờ
ờx = - 4

3
Bng xột du
x
4
- Ơ
3
2
0
+
3x - 2x - 8

4ử
2
- Ơ ;- ữ

Suy ra 3x - 2x - 8 > 0 x ẻ ỗ

ữẩ ( 2; +Ơ

3ứ

(-

Ơ ;- 1) ẩ ( 5; +Ơ

)

2

2
|

+

ổ4 ử
2
- ;2ữ

v 3x - 2x - 8 < 0 x ẻ ỗ

ố 3 ứ
ỡù 1ỹ
ù
2
e) Ta cú D ' = 0, a > 0 suy ra 25x + 10x + 1 > 0 " x ẻ Ă \ ùớ - ùý
ùợù 5ùỵ
ù

)

2
f) Ta cú D ' = - 1 < 0, a < 0 suy ra - 2x + 6x - 5 < 0 " x ẻ Ă

Nhn xột:
Cho tam thc bc hai ax2 + bx + c . Xột nghim ca tam thc, nu:
* Vụ nghim khi ú tam thc bc hai f ( x ) = ax2 + bx + c cựng du vi a vi mi x
* Nghim kộp khi ú tam thc bc hai f ( x ) = ax2 + bx + c cựng du vi a vi mi x ạ * Cú hai nghim f ( x ) cựng du vi a khi v ch khi x ẻ

b
2a

( - Ơ ;x1 ) ẩ ( x2;+Ơ ) (ngoi hai
( x1;x2 ) (trong hai nghim)(ta cú th nh cõu

nghim) v f ( x ) trỏi du vi a khi v ch khi x ẻ
l trong trỏi ngoi cựng)
Vớ d 2: Tựy theo giỏ tr ca tham s m, hóy xột du ca cỏc biu thc
f (x) = x2 + 2mx + 3m - 2
Li gii
Tam thc f (x) cú a = 1 > 0 v D ' = m2 - 3m + 2.
* Nu 1 < m < 2 ị D ' < 0 ị f (x) > 0 " x ẻ R .

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

ộm = 1
* Nu ờ
ờm = 2 ị D ' = 0 ị f (x) 0 " x ẻ R v f (x) = 0 x = - m

ộm > 2
* Nu ờ
ờm < 1 ị D ' > 0 ị f (x) cú hai nghim

x1 = - m - m2 - 3m + 2 v x2 = - m + m2 - 3m + 2 . Khi ú:
+) f (x) > 0 x ẻ (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +Ơ )
+) f (x) < 0 x ẻ (x1;x2) .
Vớ d 3: Xột du ca cỏc biu thc sau
x2 - x - 2
- x2 + 3x + 4

2
2
a) ( - x + x - 1) ( 6x - 5x + 1)

b)

c) x - 5x + 2

x2 - x + 6
d) x - x2 + 3x + 4

3

Li gii
a) Ta cú - x2 + x - 1 = 0 vụ nghim, 6x2 - 5x + 1 = 0 x =
Bng xột du

x

- Ơ
-

- x2 + x - 1
6x2 - 5x + 1
( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1)

+
-

1
3
0
|
0

1
1
hoc x =
2
3
2
3
|
0
0

+

ổ1 1ử
2
2
; ữ

Suy ra ( - x + x - 1) ( 6x - 5x + 1) dng khi v ch khi x ẻ ỗ

ố3 2ứ

1ử ổ
1
ẩỗ
; +Ơ

( - x2 + x - 1) ( 6x2 - 5x + 1) õm khi v ch khi x ẻ ỗỗỗ- Ơ ; ữ

ỗ2
3ứ ố

ộx = - 1
2
2
b) Ta cú x - x - 2 = 0 ờ
ờx = 2 , - x + 3x + 4 = 0

Bng xột du
- Ơ
x
- 1
2
2
+
0
0
x - x- 2
2
0
+
|
- x + 3x + 4
x2 - x - 2
- x2 + 3x + 4

-

||

x2 - x - 2
dng khi v ch khi x ẻ
- x2 + 3x + 4
x ẻ ( - Ơ ;- 1) ẩ ( - 1;2) ẩ ( 4; +Ơ ) .

Suy ra

3
2
c) Ta cú x - 5x + 2 = ( x - 2) ( x + 2x - 1)

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

-

( 2;4) ,

0

+
-

ộx = - 1

ờx = 4

+
+

4
|
0

+
-

+

||

-

x2 - x - 2
õm khi v ch khi
- x2 + 3x + 4

Ta có x2 + 2x - 1 = 0 Û x = - 1 ± 2
Bảng xét dấu
x
- ¥
- 10
x- 2
2
+
0
x + 2x - 1
0
x3 - 5x + 2

( - ¥ ;- 1 -

+

( - 12) È ( - 1 + 2;2) .

Suy ra x3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x Î
khi và chỉ khi x Î

2

- 1+ 2
0
|
+
0

2
|
0
0

+
+
+

)

2;- 1 + 2 È ( 2; +¥ ) , x3 - 5x + 2 âm

2
x2 - x + 6
- x3 + 2x2 + 5x - 6 ( x - 1) ( - x + x + 6)
d) Ta có x =
=
- x2 + 3x + 4
- x2 + 3x + 4
- x2 + 3x + 4
éx = - 2
éx = - 1
2
2
ê
,
x
+
3
x
+
4
=
0
Û
Ta có - x + x + 6 = 0 Û ê
êx = 3
êx = 4
ê
ê
ë
ë
Bảng xét dấu
x
- ¥
1
3
4
- 2
- 1

|
|
0
+ |
+
|
x- 1
2
0
+
|
+
|
+
0
|
- x +x +6
|
0 +
|
+
|
+
0
- x2 + 3x + 4

x2 - x + 6
0
+ || 0
+
0 ||
- x2 + 3x + 4
x2 - x + 6
Suy ra x dương khi và chỉ khi x Î ( - 2;- 1) È ( 1;3) È ( 4; +¥ ) ,
- x2 + 3x + 4
x2 - x + 6
xâm khi và chỉ khi x Î ( - ¥ ;- 2) È ( - 1;1) È ( 3;4) .
- x2 + 3x + 4
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau
1
a) f (x) = - 2x2 + 3x - 1 b) g(x) = x2 - x + 1 c) h(x) = - 2x2 + x - 1.
4
Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau
8
a) f (x) = (x2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x2) b) f (x) = x2 - 3x - 2 - 2
.
x - 3x
Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau
1
1 1
a)
b) x4 - 4x + 1.
x +9 x 2
3x + 7
c) 2
d) x3 - 3x + 2
+5
x - x- 2
Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của biểu thức
g(x) = (m - 1)x2 + 2(m - 1) + m - 3
x-

+
+

 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC
HAI LUÔN MANG MỘT DẤU.
1. Các ví dụ minh họa.
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
a) Phương trình mx2 - ( 3m + 2) x + 1 = 0 luôn có nghiệm
2
2
b) Phương trình ( m + 5) x -

(

)

3m - 2 x + 1 = 0 luôn vô nghiệm

Lời giải
a) Với m = 0 phương trình trở thành - 2x + 1 = 0 Û x =

1
suy ra phương trình có nghiệm
2

2

Với m ¹ 0, ta có D = ( 3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + 4
Vì tam thức 9m2 + 8m + 4 có am = 9 > 0, D 'm = - 20 < 0 nên 9m2 + 8m + 4 > 0 với mọi
m
Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m .
b) Ta có D =

(

)

2

3m - 2 - 4( m2 + 5) = - m2 - 4 3m - 16

Vì tam thức - m2 - 4 3m - 8 có am = - 1 < 0, D 'm = - 4 < 0 nên - m2 - 4 3m - 8 < 0
với mọi m
Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m .
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm
a) f ( x ) = mx2 - x - 1
b) g( x ) = ( m - 4) x2 + ( 2m - 8) x + m - 5
Lời giải
a) Với m = 0 thì f ( x ) = - x - 1 lấy cả giá trị dương(chẳng hạn f ( - 2) = 1) nên m = 0 không
thỏa mãn yêu cầu bài toán
Với m ¹ 0 thì f ( x ) = mx2 - x - 1 là tam thức bậc hai dó đó
ïì a = m < 0
f ( x ) < 0, " x Û ïí
Û
ïï D = 1 + 4m < 0
î

ìï m < 0
ïï
1
Û - í
ïï m > - 1
4
ïî
4

1
< m < 0 thì biểu thức f ( x ) luôn âm.
4
b) Với m = 4 thì g( x ) = - 1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy với -

Với m ¹ 4 thì g( x ) = ( m - 4) x2 + ( 2m - 8) x + m - 5 là tam thức bậc hai dó đó
ìï
a = m- 4 < 0
ï
g( x ) < 0, " x Û í
ïï D ' = ( m - 4) 2 - ( m - 4) ( m - 5) < 0
ïî
ïì m < 4
Û ïí
Û m<4
ïï m - 4 < 0
î
Vậy với m £ 4 thì biểu thức g( x ) luôn âm.
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương
- x2 + 4( m + 1) x + 1 - 4m2
a) h ( x ) =
b) k ( x ) = x2 - x + m - 1
2
- 4x + 5x - 2
Lời giải
2
a) Tam thức - 4x2 + 5x - 2 có a = - 4 < 0, D = - 7 < 0 suy ra - 4x + 5x - 2 < 0 " x
Do đó h ( x ) luôn dương khi và chỉ khi h '( x ) = - x2 + 4( m + 1) x + 1- 4m2 luôn âm
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

ìï
a = - 1< 0
5
Û ïí
Û 8m + 5 < 0 Û m < ïï D ' = 4( m + 1) 2 + ( 1 - 4m2 ) < 0
8
ïî
5
Vậy với m < thì biểu thức h ( x ) luôn dương.
8
2
b) Biểu thức k ( x ) luôn dương Û x - x + m - 1 > 0, " x
Û

x2 - x + m > 1, " x Û x2 - x + m > 0, " x

ìï
a = 1> 0
1
Û ïí
Û m>
ïï D = 1- 4m < 0
4
î
1
Vậy với m > thì biểu thức k ( x ) luôn dương.
4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m .
mx
2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1
a) y =
b)
y
=
( 2m2 + 1) x2 - 4mx + 2
m2x2 - 2mx + m2 + 2
Lời giải
2
2
a) ĐKXĐ: ( 2m + 1) x - 4mx + 2 ¹ 0
2
2
Xét tam thức bậc hai f ( x ) = ( 2m + 1) x - 4mx + 2
2
2
2
Ta có a = 2m + 1 > 0, D ' = 4m - 2( 2m + 1) = - 2 < 0
2
2
Suy ra với mọi m ta có f ( x ) = ( 2m + 1) x - 4mx + 2 > 0 " x Î ¡
2
2
Do đó với mọi m ta có ( 2m + 1) x - 4mx + 2 ¹ 0, " x Î ¡

Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡
2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1
b) ĐKXĐ:
³ 0 và m2x2 - 2mx + m2 + 2 ¹ 0
2 2
2
m x - 2mx + m + 2
Xét tam thức bậc hai f ( x ) = 2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1 và
2

2

Ta có af = 2 > 0, D ' = ( m + 1) - 2( m2 + 1) = - m2 + 2m - 1 = - ( m - 1) £ 0
2
2
Suy ra với mọi m ta có f ( x ) = 2x - 2( m + 1) x + m + 1 ³ 0, " x Î ¡ (1)

Xét tam thức bậc hai g( x ) = m2x2 - 2mx + m2 + 2
Với m = 0 ta có g( x ) = 2 > 0, xét với m ¹ 0 ta có
ag = m2 > 0, D g ' = m2 - m2 ( m2 + 2) = - m2 ( m2 + 1) < 0
2 2
2
Suy ra với mọi m ta có g( x ) = m x - 2mx + m + 2 > 0, " x Î ¡ (2)

Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì

2x2 - 2( m + 1) x + m2 + 1

³ 0 và
m2x2 - 2mx + m2 + 2
m2x2 - 2mx + m2 + 2 ¹ 0 đúng với mọi giá trị của x
Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
a) Phương trình x2 - 2( m + 2) x - ( m + 3) = 0 luôn có nghiệm
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

(

)

2
2
b) Phương trình ( m + 1) x + 3m - 2 x + 2 = 0 luôn vô nghiệm
Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm
a) f ( x ) = - x2 - 2x - m
b) g( x ) = 4mx2 - 4( m - 1) x + m - 3
Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m .
2x + 3m
a) y = m2x2 - 4mx + m2 - 2m + 5 b) y =
2
x + 2( 1 - m) x + 2m2 + 3
Bài 4.91: Tìm m để
a) 3x2 - 2(m + 1)x - 2m2 + 3m - 2 ³ 0 " x Î R

b) Hàm số y = (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 có nghĩa với mọi x.
c)

x +m
£1
x +x +1
2

"x Î R

§7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa và cách giải
Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng
f ( x ) > 0, f (x) < 0, f (x) ³ 0, f (x) £ 0 , trong đó f (x) là một tam thức bậc hai.
Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
2. Ứng dụng
Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng
 DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) - 3x2 + 2x + 1 < 0
b) x2 + x - 12 < 0
c) 5x2 - 6 5x + 9 > 0
d) - 36x2 + 12x - 1 ³ 0
Lời giải
a) Tam thức f (x) = - 3x2 + 2x + 1 có a = - 3 < 0 và có hai nghiệm x1 = ( f (x) cùng dấu với hệ số a ).

1
; x2 = 1
3

1
hoặc x > 1
3
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S = (- ¥ ;- ) È (1; +¥ ) .
3
2
b) Tam thức f ( x ) = x + x - 12 có a = 1 > 0 và có hai nghiệm x1 = - 4; x2 = 3
( f (x) trái dấu với hệ số a ).
Suy ra x2 + x - 12 < 0 Û - 4 < x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( - 4;3)
Suy ra - 3x2 + 2x + 1 < 0 Û x < -

c) Tam thức f ( x ) = 5x2 - 6 5x + 9 có a = 5 > 0 và D = 0
( f (x) cùng dấu với hệ số a ).
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Suy ra 5x2 - 6 5x + 9 > 0 x ạ

3 5
5

ùỡ 3 5 ùỹ
ùý
Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l S = Ă \ ùớ
ùù 5 ùù

2
d) Tam thc f ( x ) = - 36x + 12x - 1 cú a = - 36 < 0 v D = 0
ổ1ử
1

f (x) trỏi du vi h s a nờn f ( x ) õm vi " x ạ

v f ỗ

ữ= 0

ố6ứ
6
Suy ra - 36x2 + 12x - 1 0 x =

1
6

ỡù 1ỹ
ù
Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l S = ùớ ùý
ùợù 6ùỵ
ù
Vớ d 2: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim
a) x2 - mx + m + 3 = 0
b) (1 + m)x2 - 2mx + 2m = 0
Li gii
a) Phng trỡnh cú nghim khi v ch khi D 0
ộm 6
m2 - 4( m + 3) 0 m2 - 4m - 12 0 ờ
ờm Ê - 2

Vy vi m ẻ (- Ơ ;- 2] ẩ [6; +Ơ ) thỡ phng trỡnh cú nghim
b) Vi m = - 1 phng trỡnh tr thnh 2x - 2 = 0 x = 1 suy ra m = - 1 tha món yờu cu
bi toỏn
Vi m ạ - 1 phng trỡnh cú nghim khi v ch khi D 0
m2 - 2m( 1 + m) 0 m2 + 2m Ê 0 - 2 Ê m Ê 0
Vy vi - 2 Ê m Ê 0 thỡ phng trỡnh cú nghim

Vớ d 3: Tỡm m mi x ẻ ộ
ở- 1;1ỷ u l nghim ca bt phng trỡnh
3x2 - 2( m + 5) x - m2 + 2m + 8 Ê 0 (1)
Li gii

Ta cú 3x2 - 2( m + 5) x - m2 + 2m + 8 = 0 x = m + 2 hoc x =
4- m
1
3m + 6 > 4 - m m > - ta cú
3
2
4- m
Bt phng trỡnh (1)
Ê x Ê m+2
3
ộ4 - m

;m + 2ỳ
Vy tp nghim ca bt phng trỡnh (1) l ờ

ở 3

Suy ra mi x ẻ ộ
ở- 1;1ỷ u l nghim ca bt phng trỡnh (1)

ộ4 - m
ự ùùù - 1 4 - m
ự ờ

khi v ch khi ộ
3
ở- 1;1ỷè ờ 3 ;m + 2ỳ ớù

ỷ ùù 1 Ê m + 2

ùỡ m 7
ùớ
m 7
ùù m - 1

* Vi m + 2 >

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

4- m
3

1
ta cú m 7 tha món yờu cu bi toỏn
2
4- m
1
* Vi m + 2 <
m < - ta cú
3
2
4- m
Bt phng trỡnh (1) m + 2 Ê x Ê
3

4 - mự

Vy tp nghim ca bt phng trỡnh (1) l ờm + 2;

3 ỳ

Kt hp vi iu kin m > -

Suy ra mi x ẻ ộ
ở- 1;1ỷ u l nghim ca bt phng trỡnh (1)

ự ùùù - 1 m + 2
4
m
ự ờ

khi v ch khi ộ
ở- 1;1ỷè ờm + 2; 3 ỳ ớù 1 Ê 4 - m

ỷ ùù

3
ùỡ m Ê - 3
ùớ
mÊ - 3
ùù m Ê 1

1
Kt hp vi iu kin m < - ta cú m Ê - 3 tha món yờu cu bi toỏn
2
1
3
1
* Vi m = ta cú bt phng trỡnh (1) x =
nờn m = khụng tha món yờu cu bi
2
2
2
toỏn.
Vy m ẻ (- Ơ ;- 3] ẩ [7; +Ơ ) l giỏ tr cn tỡm.
Vớ d 4:Gii v bin lun bt phng trỡnh (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 4m + 2 < 0
Li gii
Vi m = - 1: bt phng trỡnh tr thnh 6x + 6 < 0 x < - 1
Vi m ạ - 1 ta cú g(x) = (m + 1)x2 - 2(2m - 1)x - 4m + 2 l tam thc bc hai cú :
a = m + 1; D ' = 8m2 - 2m - 1.
Bng xột du
m
- Ơ

- 1

-

1
4
|
0

1
2
|
0

m+1
0
+
+
+
2
+
0
+
+
8m - 2m - 1
ùỡ a > 0
1
1
ị g(x) 0 " x ẻ R ị bt phng trỡnh vụ nghim.
* - Ê m Ê ị ùớ
ùù D ' Ê 0
4
2

1
ờm >
ỡù a > 0

ùớ
2

ị S = (x1;x2) , vi
* ờ
ùù D ' > 0
1
ờ- 1 < m < ợ

4
2m - 1 - (2m - 1)(m + 1)
2m - 1 + (2m - 1)(m + 1)
.
x1 =
;x2 =
m+1
m+1
ỡù a < 0
ị S = (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +Ơ )
* m < - 1 ị ùớ
ùù D ' > 0

Kt lun
GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

m = - 1 bt phng trỡnh cú tp nghim l S = ( - Ơ ;- 1)
1
1
Ê m Ê bt phng trỡnh cú tp nghim l S = ặ
4
2

1
ờm >

2
bt phng trỡnh cú tp nghim l S = (x1; x2)

ờ- 1 < m < - 1

4
m < - 1 bt phng trỡnh cú tp nghim l S = (- Ơ ;x1) ẩ (x2; +Ơ )
2. Bi tp luyn tp.
Bi 4.92: Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
1
a) - 2x2 + 3x - 1 0
b) x2 - x + 1 Ê 0 c) - 2x2 + x - 1 Ê 0 .
4
-

d) 7x > 2x2 - 6
e) x2 - 22x + 51 < 0
Bi 4.93: Tỡm m phng trỡnh sau vụ nghim
a) x2 - 2mx + m + 3 = 0
b) (m - 1)x2 -

f) x2 + 5x + 6 0

( 2m - 2) x + 2m = 0

Bi 4.94: Gii v bin lun bt phng trỡnh mx2 - 2mx + m - 1 > 0
Bi 4.95: Tỡm m mi x ẻ ộ
ở0; +Ơ ) u l nghim ca bt phng trỡnh

( m2 - 1) x2 -

8mx + 9 - m2 0

ổ 7ử
3, ữ
ữ. Gii bt phng trỡnh f(
Bi 4.96: Cho hm s f ( x ) = x2 + bx + 1 vi b ẻ ỗ

ố 2ứ

DNG TON 2: GII H BT PHNG TRèNH BC HAI MT N.
1. Cỏc vớ d minh ha.
Vớ d 1: Gii cỏc h bt phng trỡnh sau:
ỡù 2x2 + 9x + 7 > 0
ỡù 2x2 + x - 6 > 0
ù
a) ớ 2
b) ùớ 2
ùù x + x - 6 < 0
ùù 3x - 10x + 3 0

ỡù x2 + 4x + 3 0
ùù
ỡù - x2 + 5x - 4 0
2
ù
c) ớ 2
d) ùớ 2x - x - 10 Ê 0
ùù x + x - 13 Ê 0
ùù 2

ùùợ 2x - 5x + 3 > 0
Li gii
ùỡù ộx - 1
ùù ờ
ỡù 2x2 + 9x + 7 > 0

ù
ù
ớ ờx Ê - 7 - 1 < x < 2
a) Ta cú ớ 2
ùù x + x - 6 < 0
ùù ờ

2

ùù - 3 < x < 2
ùợ
Vy tp nghim h bt phng trỡnh l S = ( - 1;2) .

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

( x) )

>x .

ìï
ïï
ïï
ïï
ìï 2x2 + x - 6 ³ 0
Û ïí
b) Ta có ïí 2
ïï 3x - 10x + 3 > 0
ïï
î
ïï
ïï
ïïî

é
3
êx ³
ê
2
êx £ - 2
ê
ë
Û
éx > 3
ê
ê
êx < 1
ê
ë
3

éx > 3
ê
êx £ - 2
ê
ë

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = (- ¥ ;- 2] È (3; +¥ ) .
1£ x £ 4
ïìï
ìï - x2 + 5x - 4 ³ 0
ï
ï
Û í - 1- 53
c) Ta có í 2
- 1 + 53
ïï x + x - 13 £ 0
ïï
£ x£
î
ïî
2
2
- 1 + 53
Û 1£ x £
2
é - 1 + 53 ù
ú.
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê
ê1;
ú
2
ê
ú
ë
û
ïìï éx ³ - 1
ïï ê
2
ïï ê
êx £ - 3
ìï x + 4x + 3 ³ 0
ë
ïï
ïï
5
3
2
d) Ta có ïí 2x - x - 10 £ 0 Û ïí - 2 £ x £ Û 1 £ x £
ïï
ïï 2
2
2
ïï
ïïî 2x - 5x + 3 £ 0
3
ïï 1 £ x £
2
ïï
ïî
é 3ù
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê1; ú.
ê
ë 2ú
û

ìï
mx2 - x - 5 £ 0
ï
Ví dụ 2: Cho hệ bất phương trình í
ïï ( 1 - m) x2 + 2mx + m + 2 ³ 0
î
a) Giải hệ bất phương trình khi m = 1
b) Tìm m để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Lời giải
a) Khi m = 1 hệ bất phương trình trở thành
ìï 1 - 21
1 + 21
ïï
£ x£
ìï x2 - x - 5 £ 0
1 - 21
1 + 21
ïí
ï
2
2
Û í
Û
£ x£
ïï 2x + 3 ³ 0
ïï
3
2
2
î
x³ ïï
ïî
2
é1 - 21 1 + 21ù
ú
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S = ê
ê 2 ;
ú
2
ê
ú
ë
û
ìï - x - 5 £ 0
b) Khi m = 0 hệ bất phương trình trở thành ïí 2
(vô nghiệm) do đó m = 0 không thỏa
ïï x + 2 ³ 0
î
mãn yêu cầu bài toán
Khi m = 1 theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

ỡù m ạ 0
Khi ùớ
ta cú h bt phng trỡnh nghim ỳng vi mi x khi v ch khi cỏc bt phng trỡnh
ùù m ạ 1

trong h bt phng trỡnh nghim ỳng vi mi x
ùỡù m < 0
m<0
ùỡù
ùỡù
ùù
ùù

ùù m Ê - 1
ù
D
=
1
+
20
m
Ê
0
ù
ợù 1
ùớ
ùớ
ùù ùỡù
ùù m < 1 20
1- m > 0
ùù ớ
ùù
2
ùùợ ợùù D '2 = m - ( 1 - m) ( m + 2) Ê 0
ùù 2m2 + m - 2 Ê 0
ùợ
ùỡù m < 0
ùù
ùù m Ê - 1
ù
- 1- 17
1
20
ùớ

Ê mÊ ùù m < 1
4
20
ùù
- 1 + 17
ùù - 1 - 17
Ê mÊ
ùùợ
4
4
- 1 - 17
1
Vy
l giỏ tr cn tỡm.
Ê mÊ 4
20
Vớ d 3: Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m h sau cú nghim
ỡù x2 - 3x + 2 Ê 0
ùớ
.
ùù mx2 - 2( 2m + 1) x + 5m + 3 0

Li gii
Ta cú bt phng trỡnh x2 - 3x + 2 Ê 0 1 Ê x Ê 2.
Yờu cu bi toỏn tng ng vi bt phng trỡnh:

mx2 2( 2m + 1) x + 5m + 3 Ê 0 (1) cú nghim x ẻ S = ộ
ở1;2ỷ.
Ta i gii bi toỏn ph nh l: tỡm m bt phng trỡnh (1) vụ nghim trờn S
Tc l bt phng trỡnh f ( x ) = mx2 - 2( 2m + 1) x + 5m + 3 < 0 (2) ỳng vi mi x ẻ S .
m = 0 ta cú (2) - 2x + 3 < 0 x >

3
nờn (2) khụng ỳng vi " x ẻ S
2

m ạ 0 tam thc f ( x ) cú h s a = m , bit thc ' = - m2 + m + 1
Bng xột du
m
1- 5
1+ 5
- Ơ

0
2
2
m
|
0
+
|
+
2
0
+
|
+
0
- m +m+1
ỡù a > 0
1+ 5
1+ 5
+) m
ta cú: ùớ
nờn f ( x ) 0, " x ẻ Ă , suy ra m
khụng tha món
ùù ' Ê 0
2
2

ỡù a < 0
ổ3 - 5 ử

1- 5

ù

f
x
Ê
0
,
"
x

Ă
f
= 0 , suy ra m Ê 1 - 5
+) m Ê
ta cú: ớ
nờn ( )
v ỗ

ù
D
'
Ê
0
ỗ 2 ứ

2
2
ùợ
tha món.
GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

+)

1-

5
2

< m < 0 ta có: a < 0 và f ( x ) có hai nghiệm phân biệt

2m + 1 + ∆ '
2m + 1 - ∆ ' x < x
( 1
, x2 =
2)
m
m
éx < x1
éx1 > 2
ê
Û
"
x
Î
S
Do đó: f ( x ) < 0 Û ê
,
suy
ra
(2)
đúng
với
êx > x
êx < 1 (*)
2
ê
ê
ë
ë2
x1 =

1+ ∆ '
<2
m
ìï 1 - 5
ï
x2 < 1 Û ∆ ' < m + 1 Û ïí
2
ïï
2
ïî ∆ ' < m + 2m + 1
ìï 1 - 5
ïï
ìï 1 - 5
ïï
2
ï
1- 5
1
Û ïí
Û íï é m > 0
Û
2
ïï
ïï ê
2
2
2
ïï ê
1
ïî 2m + m > 0
ê
ïï êm < îë
2

Ta có x1 = 2 +

1-

Suy ra (*) Û

2

+) 0 < m <
x1 =

5

1
2

1+ 5
ta có: a < 0 và f ( x ) có hai nghiệm phân biệt
2

2m + 1 + ∆ '
2m + 1 , x2 =
m
m

Suy ra f ( x ) < 0 Û x Î

∆' x > x
( 1
2)

( x2;x1 )

ìï x2 < 1
Û
Do đó (2) đúng với " x Î S Û ïí
ïï x1 > 2
î
Vì m > 0 nên (**) vô nghiệm.

ïìï
í
ïï
ïî

Từ đó, ta thấy (2) đúng với " x Î S Û m < Vậy m ³ -

∆' +m +1< 0
∆' +1> 0

(**)

1
.
2

1
là những giá trị cần tìm.
2

3. Bài tập luyện tập
Bài 4.97: Giải các hệ bất phương trình sau:
ìï - x2 + 4x - 7 < 0
ìï x2 + x + 5 < 0
ï
a) í 2
b) ïí 2
ïï x - 2x - 1 ³ 0
ïï x - 6x + 1 > 0
î
î
2
x - 2x - 7
1
x2 - 2x - 2
4
£
£
1
£
£1
c)
d)
13 x2 - 5x + 7
x2 + 1
Bài 4.98: Tìm m để bất phương trình m2x + m(x + 1) - 2(x - 1) > 0 nghiệm đúng với mọi
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

xẻ ộ
ở- 2;1ỷ

ỡù x2 - ( 1 + 2m) x + 2m Ê 0
Bi 4.99: Gii v bin lun h bt phng trỡnh ùớ 2
ùù x + ( 2 + m) x + 2m Ê 0

Bi 4.100: Tỡm m bt phng trỡnh 2x2 ộ1 ự
mi x ẻ ờ ;2ỳ.

ở2 ỳ

( 2m + 1) x + m2 -

2m + 2 Ê 0 nghim ỳng vi

Bi 4.101: Cho phng trỡnh: x2 - 2mx + m2 - m + 1 = 0( 1)
a) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim x 1.
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim x Ê 1.
c) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim x1 < 1 < x2 .
d) Tỡm m phng trỡnh (1) cú nghim x1 < x2 < 1.
DNG TON 3: GII BT PHNG TRèNH TCH V BT PHNG TRèNH
CHA N MU THC.
1. Cỏc vớ d minh ha.
Vớ d 1: Gii cỏc bt phng trỡnh :
2
a) ( 1 - 2x ) ( x - x - 1) > 0
b) x4 - 5x2 + 2x + 3 Ê 0
Li gii
a) Bng xột du
x
1
1- 5
1+ 5
- Ơ

2
2
2
|
0
+
|
+
1 - 2x
2
+
0

|

0
+
x - x- 1
VT
0
+
0
0
+
Da vo bng xột du, ta cú tp nghim ca bt phng trỡnh ó cho l:
ổ1 - 5 1ử
ổ1 + 5

S=ỗ
;

;

2
2
2

ứ ố

b) Bt phng trỡnh (x4 - 4x2 + 4) - (x2 - 2x + 1) Ê 0
(x2 - 2)2 - (x - 1)2 Ê 0 (x2 + x - 3)(x2 - x - 1) Ê 0 .
Bng xột du
x
- 1 - 13 1 - 5 - 1 + 13 1 + 5
- Ơ
2
2
2
2
2
+
0

|

0
+
|
+
x +x- 3
+
|
+
0

|

0
+
x2 - x - 1
VT
+
0

0
+
0

0
+
Da vo bng xột du, ta cú tp nghim ca bt phng trỡnh ó cho l:
ộ- 1 - 13 1 - 5 ự ộ- 1 + 13 1 + 5 ự
ỳẩ ờ
ỳ.
S=ờ
;
;

ỳ ờ

2
2
2
2

ỷ ở

Vớ d 2: Gii cỏc bt phng trỡnh :

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

x2 - 1
>0
a) 2
( x - 3) ( - 3x2 + 2x + 8)
Lời giải
a) Bảng xét dấu
x

b) x2 + 10 £

2x2 + 1
x2 - 8

4
- 1
1
3
+
|
+
|
+
0
0 +
x2 - 1
2
+
0
|
|
| x - 3
|
0
+
0
+
| +
- 3x2 + 2x + 8
||
+
||
0
+ 0 VT
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
æ

S =ç
- 3;- ÷
÷
ç
÷È ( - 1;1) È 3;2
ç

è
- ¥

-

-

3

(

2

3
|

+ |
0 + |
|
+ 0
||
+ ||

+
+
-

)

2x2 + 1
2x2 + 1
Û
- ( x2 + 10) ³ 0
x2 - 8
x2 - 8
2x2 + 1 - ( x2 - 8) ( x2 + 10)
81 - x4
Û
³
0
Û
³ 0
x2 - 8
x2 - 8
( 9 - x2 ) ( 9 + x2 )
9 - x2
Û
³ 0Û 2
³ 0
x2 - 8
x - 8
Bảng xét dấu
x
- ¥
- 3
3
- 2 2
2 2
0
+
|
+
|
+
0
9 - x2
+
|
+
0
|
+
|
x2 - 8
VT
0
+
||
||
+
0
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
S = [ - 3;- 2 2) È (2 2;3]
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau
x2 - x - 2
x2 + 1 - x + 1
£ 0
a) 2
b)
³ 0
x - x- 1
x2 + 3x - 6
Lời giải
2
a) Vì x - x + 2 > 0 nên
b) Ta có x2 + 10 £

x2 - x - 2
x2 - x - 1
Bảng xét dấu

³ 0Û

(

x2 - x - 2) ( x2 - x + 2)

x

x2 - x - 2
x2 - x + 2
x2 - x - 1
( x2 - x - 2) ( x2 - x + 2)

x2 - x - 1
- ¥

³ 0Û
1-

- 1
+
+
+

0
|
|

+
+

( x2 -

Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

+
-

x - 2) ( x2 - x + 2)

1+ 5
2
|
+
|
||

+
0
||
+
||
x2 - x - 1
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655

-

x2 - x - 1
5

2
|
|
||

³ 0

2
+
+

0
|
0

+
+
+

-

0

+

ổ1 - 5 1 + 5 ử

S = (- Ơ ;- 1] ẩ ỗ
;
ẩ [2; +Ơ )

2 ứ
ố 2
ỡù x - 1
ùù
x +1 0
ùỡù
ùỡ x - 1
ớù x ạ 3
ớù
b) KX: ớ 2
ùù x + 3x - 6 ạ 0
ùù
ùù x ạ 3

ùù x ạ - 2 3

Vỡ x2 + 1 + x + 1 > 0 nờn
x2 + 1

x +1

x2 + 3x - 6
x2 - x

x2 + 3x - 6
Bng xột du
x

Ê 0

(

)(

x2 + 1 -

x +1

)Ê0

x2 + 1 + x + 1

x2 + 3x - 6

Ê 0
- Ơ
+
+

x2 - x
x2 + 3x - 6
x2 - x

- 2 3
0
0

+

x2 + 3x - 6

||

+
-

0
0
|

-

0

-

1
0
|

+

0

+
-

3
|
0

+
+

-

||

+

Da vo bng xột du v i chiu iu kin, ta cú tp nghim ca bt phng trỡnh ó cho l

S=ộ
ở- 1;0ỷẩ [1; 3)

Nhn xột: cõu b chỳng ta phi t iu kin thỡ khi ú cỏc phộp bin i trờn mi m bo l
phộp bin i tng c.

x +1
2

3- 3

Vớ d 4: Tỡm m bt phng trỡnh x - m - m ỗ

2
ữ< 0 (*) cú nghim .

x - x - 3x + 3ứ
Li gii
x +1
ùỡù
3- 3
>0
ù

Ta cú ( * ) ớ
x - x2 - 3x + 3
ùù
2
x > m +m
ùợ
Bng xột du
x
x- 1
x- 2
2
3x + 3x - 4
x2 - 3

( x - 2) ( 3x + 3x - 4)
( x - 1) ( x2 - 3)

- Ơ - 3+
+

57
6

0

-

ỡù ( x - 2) ( 3x2 + 3x - 4)
ùù
<0
x - 1) ( x2 - 3)
(**)
ớù
(
ùù
2
x > m +m
ùùợ
- 3 + 57
6

3

+

0

-

-

||

+

1
-

0

+
-

0

2

3
+
+
-

0

+
+
+

||

-

0

+
+
+
+

2

+

0

0

( x - 2) ( 3x2 + 3x - 4)
Tp nghim ca bt phng trỡnh
( x - 1) ( x2 - 3)

GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

-

||

< 0 l

+

0

+

ổ- 3 - 57

ổ- 3 + 57 ử

S =ỗ
;
3

;1ữ
ẩ 3;2

ữ ố

6
6

Do ú bt phng trỡnh (*) cú nghim khi v ch khi h bt phng trỡnh (**) cú nghim
m2 + m < 2 m2 + m - 2 < 0 - 2 < m < 1
Vy - 2 < m < 1 l giỏ tr cn tỡm.
2. Bi tp luyn tp.
Bi 4.102: Gii cỏc bt phng trỡnh sau
3
Ê 0
a) (4 - 3x)(- 2x2 + 3x - 1) Ê 0
b) x2 + x - 2
x +x- 2
( x2 - 4) ( - 3x2 + 2x + 8)
c) x4 - x2 - 2x - 1 > 0
d)
<0
x2 - 2x
1 - x2 - 2x
x2 + 1 - x3 + 1
e) 2
f)
0
Ê 0
x +x- 2
x2 + x

(

)

ỡù x3 + 2x + 3 > 0
ỡù
x>- 1
ù
ù
bpt

Bi 4.103: Ta cú
ớ 2

ùù m - 3m - x > 0
ùù x < m2 - 3m

Bt phng trỡnh ó cho cú nghim khi v ch khi
3- 5
3+ 5
m2 - 3m < - 1 m2 - 3m + 1 < 0
2
2
DNG TON 4: NG DNG TAM THC BC HAI, BT PHNG TRèNH BC
HAI TRONG CHNG MINH BT NG THC V TèM GI TR LN NHT,
NH NHT.
1. Phng phỏp gii.
Ta a bt ng thc v mt trong cỏc dng ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c 0 ,
ùỡù a > 0
ax2 + bx + c < 0 hoc ax2 + bx + c Ê 0 ri i chng minh(theo th t) ớù D < 0 ,
ùợ
ùỡù a > 0 ùỡù a < 0
ùỡ a < 0
,ớ
hoc ùớ
.

ùù D Ê 0 ùù D < 0
ùù D Ê 0

Nu BT cn chng minh cú dng: A 2 Ê 4BC (hoc A2 Ê BC ) ta cú th
chng minh tam thc f (x) = Bx2 + Ax + C (hoc f (x) = Bx2 + 2Ax + C )
luụn cựng du vi B. Khi ú ta s cú D Ê 0.
2. Cỏc vớ d minh ha.
Vớ d 1: Cho hai s thc x, y . Chng minh rng 3x2 + 5y2 - 2x - 2xy + 1 > 0
Li gii
Vit bt ng thc li di dng 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 > 0
t f (x) = 3x2 - 2(y + 1)x + 5y2 + 1 xem y l tham s khi ú f ( x ) l tam thc bc hai n x
cú h s ax = 3 > 0 v
D x ' = (y + 1)2 - 3(5y2 + 1) = - 14y2 + 2y - 2
Xột tam thc g( y ) = - 14y2 + 2y - 2 cú h s ay = - 14 < 0 v D 'y = - 27 < 0
GV: Vừ Hunh Hiu ST: 0907102655
Fanpage: Hc Toỏn Cựng Thy Hunh Hiu

Suy ra D 'x < 0
Do đó f ( x ) < 0 với mọi x, y .
Nhận xét: * Khi gặp bài toán chứng minh BĐT có dạng: f (a1,a2,...,an ) ³ 0
" a1,a2,...,an mà f (a1,a2,...,an ) = g(ai ) là một tam thức bậc hai với ẩn ai có hệ số a > 0 , ta có
thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh. Khi đó g(ai ) ³ 0 Û D ai £ 0.
Ví dụ 2: Cho x, y, z là số thực. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2 + x2y2z2 - 4xyz + y2z2 - 2yz + 1 ³ 0.
Lời giải
2 2
2
2
2
2 2
Bất đẳng thức viết lại ( 1 + y z ) x - 4xyz + y + z + y z - 2yz + 1 ³ 0
2 2
2
2
2
2 2
Đặt f ( x ) = ( 1 + y z ) x - 4xyz + y + z + y z - 2yz + 1, khi đó f ( x ) là một tam thức bậc
2 2
hai ẩn x có hệ số a = 1 + y2z2 > 0 và D 'x = 4y z -

( 1 + y2z2 ) ( y2 + z2 + y2z2 -

Þ D 'x = - (1 + y2 - 2yz + z2 - 2y2z2 + y4z2 - 2y3z3 + y2z4 + y4z4)
Áp dụng BĐT a2 + b2 ³ 2ab ta có
y4z2 + y2z4 ³ 2y3z3 , y4z4 + 1 ³ 2y2z2 và y2 + z2 ³ 2yz
Cộng vế với vế lại suy ra D 'x £ 0
Do đó f ( x ) ³ 0, " x, y, z . ĐPCM.
Ví dụ 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và x, y, z thỏa mãn:
a2x + b2y + c2z = 0.Chứng minh rằng: xy + yz + zx £ 0 .
Lời giải
* Nếu trong ba số x,y,z có một số bằng 0, chẳng hạn x = 0 Þ b2y = - c2z .
c2 2
Þ xy + yz + zx = yz = - 2 z £ 0 .
b
b2y + c2z
* x, y, z ¹ 0.Do a2x + b2y + c2z = 0 Þ x = a2
2
2
Þ xy + yz + zx £ 0 Û - (y + z) b y + c z + yz £ 0
a2
Û f (y) = b2y2 + (b2 + c2 - a2)yz + c2z2 ³ 0 .
2
2
2 2
2 2ù 2
Tam thức f (y) có D y = é
ë(b + c - a ) - 4b c ûz .
ìï | b - c |< a
Þ - 2bc < b2 + c2 - a2 < 2bc
Vì ïí
ïï b + c > a
î
Þ (b2 + c2 - a2)2 < 4c2b2 Þ D y £ 0, " z Þ f (y) ³ 0 " y, z .
Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1,a2,..,an ,b1,b2,...,bn . Chứng minh rằng :
(a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 £ (a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2) .
Lời giải
* Nếu a12 + a22 + ... + an2 = 0 Þ BĐT hiển nhiên đúng.
* Nếu a12 + a22 + ... + an2 > 0. Xét tam thức :
f (x) = ( a12 + a22 + ... + an2 ) x2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn )x +b12 + b22 + ... + bn2
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

2yz + 1)

= (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + ... + (anx - bn )2 ³ 0 " x
Þ D = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 - (a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2) £ 0.
Û (a1b1 + a2b2 + ... + anbn )2 £ (a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2)
a1 a2
a
=
= ... = n .
b1
b2
bn
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.104: Tìm tất cả các giá trị của y sao cho BĐT sau đúng với " x, z Î R .
x2 + 9y2 + 5z2 + 6xy - 4xz - 12yz - 2z + 1 ³ 0 .
Bài 4.105: Cho x, y,z ³ 0thỏa mãn: xy + yz + zx + xyz = 4.
Chứng minh rằng : x + y + z ³ xy + yz + zx .
Bài 4.106: Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng:
xzy + 2(x2 + y2 + z2) + 8 ³ 5(x + y + z) (THTT).
Bài 4.107: Cho các số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x2 + 5y2 - 5x - 15y + 8 £ 0. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + 3y.
Bài 4.108: Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 + b2 = 4a - 3b. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
của biểu thức P = 2a + 3b.
Bài 4.109: Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 5 và x - y + z = 3 . Tìm giá trị lớn
Đẳng thức có Û

x +y - 2
z +2
Bài 4.110: Cho a,b,c là số thực. Chứng minh rằng
2(a + b + c - ab - bc - ca + 1)2 + (ab + bc + ca - 2)2 ³ 3
nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =

Bài 4.111: Cho a và b là các số thực thỏa mãn 9a2 + 8ab + 7b2 £ 6. Chứng minh rằng
7a + 5b + 12ab £ 9 .
Bài 4.112: Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất
của: P = 9xy + 10yz + 11zx .

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

### Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×