Tải bản đầy đủ

4 CAUCHY SWARZT

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
1. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
Cho a, b, c, d ��


a

2

Cho a, b, c, m, n, p ��

 b 2   c 2  d 2  � a.c  b.d 

2

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
a b


c d.


a

2


 a 2  b2  c 2   m2  n 2  p 2  � a.m  b.n  c. p  2

a b c
 
m
n p.
"

"
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi

 b 2   c 2  d 2  �a.c  b.d



Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
a b

c d.


a

2

a

2

 b 2  c 2   m 2  n 2  p 2  �a.m  b.n  c. p



a b c
 
m
n p.
"

"
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi

 b 2   c 2  d 2  �a.c  b.d

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi
a b
 �0
c d
.

a



2

 b2  c 2   m 2  n 2  p 2  �a.m  b.n  c. p

a b c
  �0
m
n p
"

"
Dấu
xảy ra khi và chỉ khi
.

Tổng quát:

1. Cho 2n số ( n  Z ,n 2): a1,a2,...,an ,b1,b2,...,bn ta có:

a

2
1


Dấu “=’ xảy ra





 a22  L  an2 b12  b22  L  bn2 �(a1b1  a2b2  L  an bn )2

a
a1 a2

 L  n (quy �


c ne�
u bi  0 � ai  0)
b1 b2
bn

2. Hệ quả: Cho a1 , a2 ,..., an là các số thực bất kỳ, b1 , b2 ,..., bn là các số thực dương. Khi đó
a 2  a  a2  ...  an 
a12 a22

 ...  n � 1
b1 b1
bn
b1  b2  ...  bn

a
a1 a2

 ...  n
bn
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b1 b1
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau

2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

16
2 x2  3y2 �
5 .
a/ Nếu 2 x  3 y  4 thì

2
2
b/ Nếu 6 x  y  5 thì 9 x  y �5 .

49
x2  y2 �
25 .
c/ Nếu 3 x  4 y  7 thì

2
2
d/ Nếu 6 x  12 y  5 thì 4 x  9 y �1 .

2
2
e/ Nếu 3x  4 y  10 thì x  y �4 .

2
2
f/ Nếu x  7 y  10 thì x  y �2 .

2
2
g/ Nếu 3a  4b  7 thì 3a  4b �7 .

735
3a 2  5b2 �
47 .
h/ Nếu 2a  3b  7 thì

2464
4
7a 2  11b2 �
a 2  b2 �
137 . j/ Nếu a  2b  2 thì
5.
i/ Nếu 3a  5b  8 thì

k/ Nếu 2a  3b  5 thì 2a  3b �5 .
2

2

l/

 x  2 y  1

2

9
2
  2 x  4 y  5 �
5.

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau
2
2
3x  4 y �5
a/ Nếu x  y  1 thì
.

c/ Nếu x  4 y  1 thì
2

2

x y �

2
2
2 x  3 y �2 17
b/ Nếu x  2 y  8 thì
.

5
2 .

5
y  2x �
4.
d/ Nếu 36 x  16 y  9 thì
2

2

2
2
2
2
x  u  v  y  u  v � 2
e/ Nếu x  y  u  v  1 thì
.

4  a  1  9  b  2   5
2

f/ Nếu

2

thì

2a  6b  20 �5

.

Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a/ Nếu

x � 1;3

thì A  6 x  1  8 3  x �10 2 .

b/ Nếu

x � 1;5

thì B  3 x  1  4 5  x �10 .

c/ Nếu

x � 2;1

thì C  1  x  2  x � 6 .

d/ Nếu

x � 4;13

thì D  2 x  4  13  x �3 5 .

e/ Nếu

x � 5;20

thì E  3 x  5  2 20  a �13 .

f/ Nếu

x � 9;20

thì F  5 x  9  2 20  x �29 .

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a/ Nếu x, y , z  0 và x  y  z  1 thì 1  x  1  y  1  z � 6 .

3  a 2  b 2  c 2  � a  b  c 
a
,
b
,
c
��
b/ Nếu
thì
.
2

2
2
2
c/ Nếu a  b  c  1 thì a  3b  5c � 35 .
2
2
2
d/ Nếu a  b  c  1 thì a  2b  2 5c �5 .

e/ Nếu a  c  0 và b  c  0 thì

c  a  c   c  b  c  � ab

.


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

1 25 64


�49
4
a

9
b

16
c

49
a
b
c
f/ Nếu
thì
.

g/ Nếu a  b  c  1 thì

a  1  b  1  c  1 �2 3 .

h/ Nếu a  b  c  12 thì

a  3  b  2  c  1 �3 6 .

i/ Nếu a  b  c  4 thì

a  b  b  c  c  a �2 6 .

2
2
2
j/ Nếu a , b, c là ba số thực thay đổi thỏa a  b  c  6 thì a  b  c �12 .

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1
a 2  b2 �
2.
a/ Nếu a  b �1 thì

1
a 3  b3 �
4.
b/ Nếu a  b �1 thì

1
a 4  b4 �
8.
c/ Nếu a  b �1 thì

4
4
d/ Nếu a  b  2 thì a  b �2 .

e/ Nếu a, b  c �0 thì

 a  b

2

�1 1 �
� a 3  b3  �  �
�a b �.

f/ Nếu 1  x  1  y  2 1  z thì x  y �2 z .
4
a  a  1  b  b  1  c  c  1 �
3 thì a  b  c �4 .
g/ Nếu

h/ Nếu

�x, y , z  0

�x  y  z �1

x2 

thì

1
1
1
 y 2  2  z 2  2 � 82
2
x
y
z

3
3
3
2
2
2
i/ Nếu a, b, c �0 thì a  b  c �a bc  b ca  c ab .

x
y
z


�1
x
,
y
,
z

0
y

2
z
z

2
x
x

2
y
j/ Nếu
thì
.
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
x � 1;3
a/ A  7  x  2  x , với 2 �x �7 . b/ B  6 x  1  8 3  x với
.
x2 y2

1
2
2
C

y

2
x

5
D

2
x

y

2
36
x

16
y

9
4
9
c/
với
. d/
với
.
e/ E  x  1  3  x .

f/ F  3  x  x  5 .

g/ G  2 x  4  8  x .

h/ H  5 x  1  3 6  x .

i/ I  4 x  3  5 4  x .

j/ J  1  2 x  x  8 .

Bài 7. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức (nếu có)
2
2
a/ Cho x , y �� và x  y  5 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A  2 x  y .
2
2
b/ Cho x , y �� và 2 x  3 y  6 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B  4 x  2 y .


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

c/ Cho x , y �� và x  4 y  10 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức C  3 x  5 y .
2

2

4
4
4
d/ Cho x, y , z �� và xy  yz  zx  1 . Tìm GTNN của biểu thức D  x  y  z .
2
2
e/ Cho x , y �� và x  y  1 . Tìm GTLN của biểu thức E  x 1  y  y 1  x .

f/ Cho a �1 . Tìm GTLN của biểu thức F  a  sin x  a  sin x .
g/ Cho x, y  0 và x  y  1 . Tìm GTNN của biểu thức

G

4 1

x 4y .

h/ Cho x, y , z  0 và x  y  z  1 . Tìm GTLN của H  1  x  1  y  1  z .
i/ Cho

x � 2;2

2
. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức I  x  4  x (Đại học B – 2003).

 a  b  c
a2
b2
c2



2
Bài 8. Cho ba số thực dương a, b, c  0 . Chứng minh: b  c c  a a  b
.
Bài 9. Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh ∆ABC.
a2
b2
c2


�a  b  c
b

c

a
c

a

b
a

b

c
Chứng minh rằng:
.
Bài 10.

a
b
c
3



Cho ba số a, b, c  0 . Chứng minh rằng: b  c c  a a  b 2 .

Bài 11.

a3
b3
c3
a 2  b2  c 2



2
Cho ba số thực a, b, c bất kỳ. Chứng minh: b  c c  a a  b
.
a

Bài 12.

b  c
Cho ba số a, b, c  0 . Chứng minh: 

Bài 13.

Cho a , b, c  0 thỏa điều kiện a  b  c  3 .

2



b

 c  a

2



c

 a  b

a2
b2
c2


�1
2
2
2
a

2
b
b

2
c
c

2
a
Chứng minh rằng:
.
Bài 14.
Cho x, y , z  0 thỏa mãn x  y  z �3 . Chứng minh rằng
x2
y2
z2
3



x  yz y  zx z  xy 2
Lời giải:

2

9

4 a  b  c

.


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

 x  y  z
x2
y2
z2



x  yz y  zx z  xy x  y  z  xy  yz  zx
2



 x  y  z


x yz

1

2

Bài 15.
HD: Đặt
Bài 16.

1

2

2

 12  12 

1
2
 x  y  z
3

�x, y , z  0

�xyz  1

Cho
x

2

 12  12   xy  yz  zx 

 x  y  z


x yz





x yz 3

2
2

1
1
1
3
 2
 2

. Chứng minh x  xy y  yz z  zx 2
2

a
b
c
; y  ;z 
b
c
a đưa về bài toán trên.
a
b
c


�1
Cho a, b, c  0 . Chứng minh b  2c c  2a a  2b

Lời giải

a
b
c
a2
b2
c2





b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b 

 a  b  c

 a  b  c


3  ab  bc  ca   a  b  c  2
2

2

1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c
2
2
2
Bài 17.
Cho x, y , z  0 thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
1
P


xy  2 yz  2 zx  2

Bài 18.
Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng
a3
b3
c3
abc
 2
 2

2
2
2
2
a  ab  b
b  bc  c
c  ca  a
3
Lời giải
a3
b3
c3
a4
b4
c4





a 2  ab  b 2 b2  bc  c 2 c 2  ca  a 2 a  a 2  ab  b 2  b  b 2  bc  c 2  c  c 2  ca  a 2 

a

2

 b2  c 2 

a

2

2

 b2  c 2 

2

a 2  b2  c 2
�3


a  b3  c 3  a 2 b  ab2  b2 c  bc 2  c 2 a  ca 2  a 2  b2  c 2   a  b  c 
abc

a


2

 b2  c 2   a  b  c 

 a  b  c

2

 a  b  c   a  b  c  a  b  c

3
1 1 1   a  b  c 
2

2

2

2

2

2

2

2

2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

Bài 19.

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1. Chứng minh rằng:

1
1
1
3
 3
 3

a (b  c) b ( c  a ) c ( a  b)
2
3

Lời giải
2

�1 1 1 �
1
1
1
2
�  �
2
2
2
ab  bc  ca 

ab  bc  ca
33 1
a b c�

a
b
c






a (b  c) b( c  a ) c( a  b) 2  ab  bc  ca  2  ab  bc  ca 
2
2

1
x2  y2  z2 �
3 . Chứng minh
Bài 20.
Cho x, y , z  0 thỏa mãn
3
3
3
x
y
z
1



2 x  3 y  4 z 2 y  3z  4 x 2 z  3 x  4 y 30
2
2
2
Bài 21.
Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3abc . Chứng minh
a
b
c
9
 2 2 2 2 �
2 2
bc
ca
ab
abc

Lời giải
4

4

4

a
b
c
a
b
c
 2 2 2 2  3 2 2 3 2 2 3 2 2
bc
ca
ab
abc
bca
cab
2 2

 3abc 

2
 abc   a  b  c 
2

Bài 22.



a


2

 b2  c 2 

2

 abc   a  b  c 
2

9
abc

�x, y , z.0

1
1
1
�1 1 1
P


�x  y  z �1
2x  y  z x  2y  z x  y  2z
Cho �
, tìm GTLN của

Lời giải
2 1 1
�
2x y z



4



2 1

2

2x  y  z

1
2x  y  z



� 2

4
2  1 � 2x
1

Ta có :
bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta được kết quả.

Cho a, b, c  0 thỏa mãn abc  1 . Chứng minh
b4
c4
3



2
2
2
 a  b  a  c   b  c   b  a   c  a   c  b  8

Bài 23.
a4
Lời giải



2

1
y

1�

z�
. Xây dựng thêm 2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

a
a4

b4





c4

 a  b  a  c   b  c   b  a   c  a   c  b
2

2

2



4

 a  b
ac

b
2

4

 b  c

ba

c4
2

 c  a


2

cb

2

2


�a
b
c � � a  b  c  �
�a  b  b  c  c  a � �2  a  b  c  �
a  b  c 3 3 abc 3









2 a  b  c
2 a  b  c
8
8
8
2

Bài 24.

2

2

2

a 2  b2 b2  c 2 c 2  a 2


�a  b  c
bc
ca
Cho a, b, c  0 . Chứng minh a  b

a 2  b2 b 2  c 2 c 2  a 2
a2
b2
c2
b2
c2
a2








bc
ca
ab bc ca ab bc ca
HD: a  b
Bài 25.

Cho a, b, c  0 . Chứng minh

a
b
c
3



a) b  c c  a a  b 2
a2
b2
c2
abc



2
b) b  c c  a a  b
a3
b3
c3
a 2  b2  c 2



2
c) b  c c  a a  b
Bài 26.

Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh

a
b
c


�1
a) a  2bc b  2ca c  2ab

2a
2b
2c


�1
b) 2a  bc 2b  ca 2c  ab

Lời giải
a)

 a  b  c
a
b
c
a2
b2
c2
P





� 2
a  2bc b  2ca c  2ab a  a  2bc  b  b  2ca  c  c  2ab  a  b 2  c 2  6abc
2


3  ab  bc  ca    a  b  c   ab  bc  ca  �9abc
� ab  bc  ca �3abc � 2  ab  bc  ca  �6abc �  a  b  c  �a 2  b 2  c 2  6abc
2

Vậy P �1 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 .
b) Ta cố gắng đổi chiều bất đẳng thức !
2a
2b
2c
2a  bc  bc 2b  ca  ca 2c  ab  ab


�1 �


�2
2a  bc 2b  ca 2c  ab
2a  bc
2b  ca
2c  ab
bc
ca
ab



�1
2a  bc 2b  ca 2c  ab
Ta có

Ta


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

 bc 
 ca 
 ab 
bc
ca
ab





2a  bc 2b  ca 2c  ab bc  2a  bc  ca  2b  ca  ab  2c  ab 
2

 ab  bc  ca 

2
2
2
6abc   ab    bc    ca 
2
ab  bc  ca 


�1
2
 ab  bc  ca 
2

2

2

 ab  bc  ca 

2
2
2
2  a  b  c  abc   ab    bc    ca 
2

Giả sử x và y là hai số dương và x  y  1 . Tìm GTNN của

Bài 27.
(ĐH 2001)

P

x
y

1 x
1 y

Lời giải

 x  y
x
y
x
y
x2
y2
P






1 x
1 y
y
x x y y x x yy x
2



 x  y 2
x  y xy  xy

1
1

 2
�x  y �
2 xy
2�

�2 �



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

xy

1
2

a
Cho a, b, c  0 . Chứng minh bất đẳng thức

Bài 28.

a  8bc
2



b
b  8ca
2



c
c  8ab

Lời giải
a
a 2  8bc


b



b 2  8ca

a2
a a 3  8abc



c



c 2  8ab
b2

b b3  8cab





a2
a a 2  8bc
c2
c c3  8cab



b2
b b 2  8ca





c2
c c 2  8ab

 a  b  c

2

a  b  c a 3  b3  c 3  24abc

Như vậy ta cần chứng minh

 a  b  c

2

a  b  c a 3  b 3  c 3  24abc

�1 �  a  b  c  � a  b  c a 3  b 3  c 3  24abc
2

�  a  b  c  �a 3  b 3  c 3  24abc �  a  b   b  c   c  a  �8abc
3

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo AM-GM. Kết thúc chứng minh.
Bài 29.
Lời giải

Cho a, b, c  0 . Chứng minh

P

a
b
c
3



a  3b b  3c c  3a 4

2

�1


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

 a  b  c
a2
b2
c2


� 2
a  a  3b  b  b  3c  c  c  3a  a  b 2  c 2  3ab  3bc  3ca
2

P


 a  b  c
a 2  b2  c 2 

2

8
1
 ab  bc  ca    ab  bc  ca 
3
3

 a  b  c

2


8
1
a 2  b2  c 2   ab  bc  ca    a 2  b2  c 2 
3
3


 a  b  c

2

4 2
8
a  b2  c 2    ab  bc  ca 

3
3



 a  b  c

2

4
2
 a  b  c
3

3

4

Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng
a
b
c
abc
P 2
 2
 2
� 2
2
2
2
a  ab  b
b  bc  c
c  ca  a
a  b2  c 2

Bài 30.

Lời giải
a2
b2
c2
P


a  a 2  ab  b2  b  b2  bc  c2  c  c2  ca  a 2 

 a  b  c
�3
a  b3  c 3  ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a 
2

Bài 31.

 a  b  c

 a  b  c   a 2  b2  c 2 
2



abc
a 2  b2  c 2

Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1.
Chứng minh rằng :

P 

1
1
1
3
 2
 2

a (b  c)
b (c  a)
c ( a  b)
2
2

Lời giải
1
1
1
Cách 1: Đặt x = a , y = b , z = c thì x, y, z > 0 và xyz = 1
x
y
z
3



BĐT cần chứng minh tương đương: y  z z  x x  y 2 ( BĐT Nesbit)
�1
1
1 � 9
(x  y  z) �


��

�y  z z  x x  y � 2



�1
1
1 �


��9
�y  z z  x x  z �

 ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  �


yz


2

BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1) =

1
 zx
yz

1
 x y
zx

1
x y

2







Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu
�1
1
1 �
� ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  �



�y  z z  x x  y �

Dấu (=) xảy ra � x = y = z = 1 � a = b = c = 1
2

2

1 1� � 1
1
�1
b+c +
� + + �= �
b c+a
Cách 2: Ta có �a b c � �a b + c

1

c+a +
a+ b�
c a+b


� 1

1
1
� �2
+ 2
+ 2
 b + c + c + a + a + b

b (c + a) c (a + b) �
�a (b + c)
= 2(a + b + c).P
2

1
1�
�1
1
1
� + + �
Suy ra P ≥ 2 a + b + c . �a b c �
3
1
1
1� 3
1
a+b+c
3
�1

+
=
� +
�=
2 a + b + c �ab
bc
ca � 2 a + b + c abc
2 . Dấu (=) xảy ra  a = b = c = 1

Bài 32.
a

 b  c

2

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh
b
c
9



2
2
 c  a   a  b 4  a  b  c 

Lời giải
� a

b
c
a2
b2
c2
a
b
c








 a  b  c �
2
2
2 �
2
2
2
� b  c 
 c  a   a  b �
 c  a   a  b b  c c  a a  b

�  b  c
2

2

b
c �
�a
�3 �



� 3 �� 3 9
bc ca a b�
2
�
 �� �  
11 1
2
3
2 4
Bài 33.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc  2 . Chứng minh
a 3  b3  c 3 �a b  c  b c  a  c a  b
Lời giải
Áp dụng BCS ta có

3  a 2  b2  c 2  � a  b  c 

2

a  b  c   a 3  b3  c 3  � a 2  b2  c 2 

và

2

Nhân hai BĐT trên theo vế ta được
a b c
3

3

a



3

a


2

 b2  c 3   a  b  c 
3

bc b ca c ab

Mặt khác



a


2

 b2  c 3    a  b    b  c    c  a  
6

2

6
a b  c  b c  a  c a  b �3 3 abc (a  b)(b  c )( c  a ) �3 3 2 8abc  6

suy ra


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

a

a 3  b3  c 3 �

bc b c a c a b



GV. Nguyễn Hữu Hiếu
2

6
a bc b ca c a b

. a bc b ca c ab
6
a bc b ca c ab

.6  a b  c  b c  a  c a  b
6



Bài 34.



Cho a, b, c là các số dương thỏa : abc = 1.
Chứng minh rằng :

P=

1
1
1
3
+ 2
+ 2

a (b + c)
b (c + a) c (a + b)
2
2

1
1
1
Cách 1: Đặt x = a , y = b , z = c thì x, y, z > 0 và xyz = 1
x
y
z
3



BĐT cần chứng minh tương đương: y  z z  x x  y 2 ( BĐT Nesbit)
�1
1
1 � 9
(x  y  z) �


��

�y  z z  x x  y � 2



�1
1
1 �


��9
�y  z z  x x  z �

 ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  �


yz


2
BĐT BCS ta có :9 = (1 + 1 + 1) = �

1
 zx
yz

1
 x y
zx

1
x y

2






�1
1
1 �
� ( y  z )  ( z  x)  ( x  y )  �



�y  z z  x x  y �

Dấu (=) xảy ra � x = y = z = 1 � a = b = c = 1
2

1 1� � 1
1
�1
b+c +
� + + �= �
b c+a
Cách 2: Ta có �a b c � �a b + c

2

1

c+a +
a+ b�
c a+b


� 1

1
1
� �2
+ 2
+ 2
 b + c + c + a + a + b

b (c + a) c (a + b) �
�a (b + c)
= 2(a + b + c).P
2

1
1�
�1
1
1
� + + �
Suy ra P ≥ 2 a + b + c . �a b c �
3
1
1
1� 3
1
a+b+c
3
�1

+
=
� +
�=
2 a + b + c �ab
bc
ca � 2 a + b + c abc
2

 Dấu (=) xảy ra  a = b = c = 1

Bài 35.
thức :

Cho x, y, z là các số dương thay đổi thỏa điều kiện xyz = 1. Tìm GTNN của biểu


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước
x 2 (y + z)
y 2 (z + x)
z 2 (x + y)
P=
+
+
y y + 2z z
z z + 2x x
x x + 2y y

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

(TSĐH - Khối A - Năm 2007)
 Nhận xét

 y, z > 0 :

y + z �2 yz =

� x 2 (y + z)

2
x (vì xyz = 1)
x 2 (y + z)
2x x

y y + 2z z
y y + 2z z

2x x

Xét hai bất đẳng thức tương tự nữa, ta thu được
� x x

y y
z z
P �2 �
+
+

�y y + 2z z
z z + 2x x
x x + 2y y �



 Đặt a = x x , b = y y , c = z z  a, b, c > 0 và abc = 1.
b
c �
� a
P �2 �
+
+
�= 2S
b
+
2c
c
+
2a
a
+
2b


Khi đó :
2

 Ta có :

 a + b + c

2


a
b
c �
= � a(b + 2c).
+ b(c + 2a).
+ c(a + 2b).

b + 2c
c + 2a
a + 2b �

b
c �
� a
�  a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b)  �
+
+

c + 2a
a + 2b �
�b + 2c

 (a + b + c)2 ≤ 3(ab + bc + ca).S . Suy ra

S �

 a + b + c

2

3(ab + bc + ca)

�1

.

Do đó : P ≥ 2

Dấu (=) xảy ra  a = b = c = 1  x = y = z = 1
 Vậy : Pmin = 2 khi x = y = z = 1

Bài 36.

Cho a, b, c > 0 và thỏa : a + b + c +
8
9b 2
c 2a 2
+
+
+
a2
2
4

2abc ≥ 10 . Chứng minh rằng :

8
9c 2
a 2b2
+
+
+
b2
2
4

8
9a 2
b 2c 2
+
+
�6 6
c2
2
4

Lời giải
Áp dụng bđt C - S, ta có
2 + 18 + 4.

24.

8
9b 2
c 2a 2
2 2
3b
ca
4
+
+
� 2.
+ 3 2.
+ 2.
= + 9b + ca
2
a
2
4
a
2
a
2

8
9c 2
a 2 b2
4
+
+
� + 9c + ab ,
2
b
2
4
b

24.

8
9a 2
c2 b 2
4
+
+
� + 9a + bc
2
c
2
4
c


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu
1
1�
�1
24.(VT) �4 � + + �+ 9(a + b + c) + ab + bc + ca
b
c�
�a

 Cộng 3 bđt trên vế theo vế, suy ra :

�4
� �4
� �4

� � + a �+ � + b �+ � + c �+ (2a + bc) + (2b + ca) + (2c + ab) + 6(a + b + c)
�a
� �b
� �c


�2

4
4
4
.a + 2 .b + 2 .c + 2 2abc + 2 2abc + 2 2abc + 6(a + b + c)
a
b
c
= 12 + 6(a + b + c + 2abc) �12 + 6.10 = 72

Bài 37.

Cho x, y, z > 0 . Tìm GTNN của biểu thức :

P=

(VT)

72
=6 6
24

3x
4y
5z
+
+
y+z
z+x
x+y

Lời giải
� 3x
� � 4y

� � 5z
P= �
+ 3 �+ �
+ 4 �+ �
+ 5 �- 12
� �x + y
�y + z
� �z + x

Ta có :
�3
4
5 �
=  x + y + z �
+
+
�- 12
z+x
x+y�
�y + z
1
=
2



x+y



2

+



y+x

 +
2

z+x



2



2

� 3 �


� y+z�
�+





2

� 4 �

�z+x�
�+



2
� 5 ��


�x+y�
��- 12

��

1
� ( 3 + 4 + 5)2 - 12
2

 Kết luận : MinP =

Bài 38.
Lời giải

Cho

1
( 3 + 2 + 5) 2 - 12
2

a , b, c  0


a  b  c �1


y+z
z+x
x+y
=
=
2
3
5


1
1
1
1

 
�30
2
2
ab bc ca
. Chứng minh rằng a  b  c
2


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

1
1
1
1 �

� 7�



1 �
�2


2
2
ab bc ca �
�a  b  c
� 3�



1
1
1
1 �
2

�� 2


 � a  b  c   7  ab  bc  ca 
2
2
ab bc ca �
�a  b  c



1
1
1
1 � 2

 �2


 �
a  b2  c 2  9  ab  bc  ca  

2
2
ab bc ca �
�a  b  c
2
2
2
2


� � 1 � � 1 � � 1 ��
1
�
.
� 2
� � � � � � ��
2
2


ab
bc
ca






a

b

c







� 2
2
2
� a b c


   3 ab    3 bc    3 ca 
2

2

2

2





� 1  3  3  3  100
2



1
1
1
1



�30
2
2
a b c
ab bc ca
2

Bài 39.

Cho

�x, y , z  0

�x  y  z �1

x2 

. Chứng minh

1

x2

y2 

1
1
 z 2  2 �82
2
y
z

1
�x


�1 x
�9
2

1�
1 �
1

2
2 �2

1. x   �� 1    �x  2 �
x


x
x
3




Định hướng
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Lời giải
2

1�
1 �
1
1 � 9�


1. x  9 �� 12  92  �x 2  2 �� x 2  2 �

�x  �
x�
x �
x
82 � x �. Vậy ta có



x2 


1
1
1
1 �
9 9 9�
2
2

y


z


x

y

z

 

x2
y2
z2
x y z�
82 �






� 1
1 �
9 9 9
81x  81 y  81z     80  x  y  z  ��
6 6 813.9 3  80  82

x y z
82 �
� 82

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Bài 40.

Cho

xyz

a , b, c  0


abc  ab  bc  ca


1
3

. Chứng minh rằng

b 2  2a 2
c 2  2b2
a 2  2c 2


� 3
ab
bc
ac

Định hướng giải

b2  2a 2
c 2  2b 2
a 2  2c 2



ab
bc
ac

1
2
1
2
1
2
 2  2 2  2 2
2
a
b
b
c
c
a


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

Đặt

x

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

1
1
1
;y ;z
a
b
c , ta phải chứng minh

x2  2 y 2  y2  2z2  z2  2x2 � 3 ; x  y  z  1

 1. x  1. y  1. y 

2

Ta có
tương tự ta có đpcm.
Cách khác



x   2y

�3  x 2  2 y 2  � x 2  2 y 2 �

 � 1
2

2

 2   x 2  2 y 2 

1
 x  2y
3
. Lập thêm 3 bất đẳng thức

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

�x
2y


�1
 � 2

�x  y  1

3
Ta có

 1. x 

2. 2 y



2



�12 

 2   x
2

x2  2 y 2  y 2  2z 2  z 2  2 x2 �
xyz

2

 2 y2  � x2  2 y 2 �

1
 x  2y
3
. Suy ra

3
 x  y  z  3
3
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1
�abc3
3

Cho a, b, c  0 chứng minh bất đẳng thức
a
b
c


�1
a   a  b  a  c  b   b  a   b  c  c   c  b  c  a 

Bài 41.

Định hướng giải
a
Ta sẽ chứng minh

a

 a  b  a  c 



a
a b c

.

a
a
a



a b c
a.a  ab  ac a  ab  ac a 

Ta có
thêm 2 bất đẳng thức tương tự nữa, cộng lại theo vế ta có đpcm.

a

 a  c   a  b

Bài 42.
Cho a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng
�a b c � 1  a 1  b 1  c
2 �   ��


�b c a � 1  a 1  b 1  c
Lời giải
Bất đẳng thức đã cho tương đương với

. Xây dựng


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

�a b c � a  b  c  a a  b  c  b a  b  c  c
2 �   ��


bc
ca
ab
�b c a �
b
c �
�a b c � � a
� 2 �   � 2 �


��3
�b c a � �b  c c  a a  b �
ac
ab
bc
3




b  b  c c  c  a  a  a  b 2

 ac 

abc  b  c 
2

 ab    bc 

abc  c  a  abc  a  b 
2

2

3

2

Theo bất đẳng thức C-S ta có

 ac    ab    bc  � ab  bc  ca 
abc  b  c  abc  c  a  abc  a  b  2abc  a  b  c 
2
2
 ab  bc  ca 
 ab  bc  ca 
3



2  ab.bc  ca.ab  ab.bc  2 1 ab  bc  ca 2 2


2

2

2

2

3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

abc

1
3

Bài 43.
Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng
2
2
2
 a  b    b  c    c  a  �3
a 2  b 2  2c 2 b 2  c 2  2a 2 c 2  a 2  2b2
Lời giải

 a  b

2

 b  c

2

 c  a

2

a2
b2




 ...  3
a 2  b 2  2 c 2 b 2  c 2  2 a 2 c 2  a 2  2b 2 a 2  c 2 b 2  c 2
Bài 44.
HD: Áp dụng:

1
1
1
3



2abc
Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng a a  b b b  c c c  a

 x  y  z

2

1
�  xy  yz  zx 
3
ta có:


Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước

GV. Nguyễn Hữu Hiếu

2

1
1
1
1
1
� 1
� �






��3 �

�a a  b b b  c c c  a � �ab a  b b  c ca a  b c  a bc c  a b  c �
3 �
c
b
a






abc � a  b b  c
ab ca
ca bc �



3 �
c2
b2
a2



abc �c a  b b  c b a  b c  a a c  a b  c �




2
2
2


3
c
b
a
� �



abc �c. a  2b  c b. 2a  b  c a. 2c  a  b �

2
2
2


 a  b  c
 a  b  c
6
6
� .

.
2
2
2
abc 3  ab  bc  ca   a  b  c
abc  a  b  c  2   ab  bc  ca 
2

6  a  b  c
9


abc 4 a  b  c 2 2abc


3
u “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

2

2

Dấ



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×