Tải bản đầy đủ

Bài tập các quy tắc đếm cơ bản hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

Giải tích tổ hợp Xác suất
Các quy tắc đếm cơ bản
Hoán vị ... Chỉnh hợp ... Tổ hợp
I ... Các quy tắc đếm cơ bản
1/ Quy tắc cộng
Một công việc A đợc chia ra k công việc A1 , A2 , ... , Ak để thực hiện ; mỗi
công việc độc lập không liên quan đến nhau . Trong đó :
+ Công việc A1 có n1 cách thực hiện
+ Công việc A2 có n2 cách thực hiện
+ Công việc A3 có n3 cách thực hiện
...
+ Công việc Ak có nk cách thực hiện .
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1 + n2 + ... + nk) cách .
2/ Quy tắc nhân
Một công việc A đợc thực hiện lần lợt qua k giai đoạn A1 , A2 , ... , Ak .
Trong đó :
+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện
...
+ Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện .

Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất cứ cách thực hiện
nào ở giai đoạn còn lại .
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1. n2 ... nk) cách .
Chú ý : Với bài toán phải chia ra các trờng hợp thì sau khi xét các trờng hợp ta
phải dùng quy tắc cộng .
II ... Hoán vị
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó mỗi cách sắp
thứ tự n phần tử của X gọi là một hoán vị của n phần tử .
2/ Công thức tính số các hoán vị của n phần tử
Pn = n! = 1.2.3...n
III ... Chỉnh hợp
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một chỉnh hợp
chập k của n phần tử (0 k n , k N) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác
nhau lấy từ n phần tử của X .

2/ Công thức tính số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

A kn =

n!
(n k) !

(0k n)

Chú ý : Hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n phần tử khác nhau
Pn = A nn =

n!
=n!
(n n) !

IV ... tổ hợp

Trng THPT Gũ Cụng ụng

1

GV: Trn Duy Thỏi



Giải tích tổ hợp Xác suất
1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n 1) . Khi đó một tổ hợp
chập k của n phần tử (0 k n , k N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau
lấy từ n phần tử của X .
2/ Công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử

Ckn =

n!
k!(n k) !

(0k n)

3/ Các tính chất của tổ hợp
C kn = C nn - k
C kn + C kn + 1 = C kn ++ 11
4/ Chú ý : Phân biệt hoán vị , chỉnh hợp , tổ hợp
Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ các phần tử của tập X .
Chỉnh hợp là lấy ra một vài phần tử của X và sắp thứ tự .
Tổ hợp là chỉ lấy ra một vài phần tử của X không sắp thứ tự .

Dạng 1 : Bài toán tập hợp số
A . Một số chú ý
1/ Số chẵn : Chữ số tận cùng là : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8
2/ Số lẻ : Chữ số tận cùng là : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9
3/ Dấu hiệu chia hết cho 3 : Tổng các chữ số chia hết cho 3 .
4/ Dấu hiệu chia hết cho 9 : Tổng các chữ số chia hết cho 9 .
5/ Dấu hiệu chia hết cho 5 : Số tận cùng là 0 ; 5 .
6/ Dấu hiệu chia hết cho 6 : Số đó đồng thời chia hết cho 2 và 3 .
7/ Dấu hiệu chia hết cho 4 : Hai số tận cùng chia hết cho 4 .
8/ Dấu hiệu chia hết cho 8 : Ba số tận cùng chia hết cho 8 .
9/ Dấu hiệu chia hết cho 10 : Số tận cùng là 0 .
Giả sử số phải lập có dạng : N = a1a 2a 3a 4 ...a n . Khi chọn các chữ số a1 , a2 , ... , an
ta chọn những chữ số bị ràng buộc trớc .
Ví dụ
+ a1 phải khác 0
+ Nếu N lẻ thì an phải chọn các số lẻ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 .
B . Bài tập
Bài 1 : Cho tập A có các phần tử 1,2,3,4,5,6,7 . Có bao nhiêu số có năm chữ số
đôi một khác nhau đợc lấy ra từ tập A .
Giải
Cách 1
Tập A không chứa số 0 .
Số các số có năm chữ số đợc lấy từ tập A là số chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử
nên có
A57 = 2520 số .
Cách 2 : Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4a 5
Chọn a1 có 7 cách (chú ý a1 0 )
Chọn a2 có 6 cách
Trng THPT Gũ Cụng ụng

2

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
...
Chọn a5 có 3 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3 = 2520 số thoả mãn .
Bài 2 : Cho tập A có các phần tử 0,1,2,3,4,5,6,7 . Có bao nhiêu số có năm chữ số
đôi một khác nhau đợc lấy ra từ tập A .
Giải
Cách 1
Tập A chứa số 0 .
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4 a 5
Chọn a1 có 7 cách vì a1 0
Bốn chữ số còn lại có A 74 cách chọn .
Theo quy tắc nhân co 7. A 74 = 5880 số thoả mãn .
Cách 2 : Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4a 5
Chọn a1 có 7 cách vì a1 0
Chọn a2 có 7 cách
Chọn a3 có 6 cách
Chọn a4 có 5 cách
Chọn a5 có 4 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4 = 5880 số thoả mãn .
Bài 3 : Cho tập A = {1,2,3,4,5}
1/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau ?
Tính tổng các số này .
2/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác
nhau .
3/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số lẻ gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau .
4/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau sao
cho các số này chia hết cho 9.
Giải
1/
a) Số các số có 5 chữ số đôi một khác nhau là : P5 = A 55 = 120 (số)
b) Tính tổng
Nhận xét : Trong 120 số trên có 60 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổng bằng
66666
Ví dụ : (12345 và 54321 ; 13254 và 53412 ; 43512 và 23154 ...)
Do đó , tổng của 120 số là : S = 60.66666 = 3999960
2/ Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4a 5 . Vì N là số chẵn nên
Chọn a5 có 3 cách (1 , 3 , 5)
Chọn a1 có 4 cách
Chọn a2 có 3 cách
Chọn a3 có 2 cách
Chọn a4 có 1 cách
Theo quy tắc nhân có : 3.4.3.2.1 = 72 (số lẻ)
3/ Tơng tự có 2.4.3.2.1 = 48 số chẵn
Trng THPT Gũ Cụng ụng

3

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
4/ Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3 . Vì N là số chia hết cho 9 nên ta có : (a1 + a2 +
a3 ) chia hết cho 9 . Nên ta chọn bộ ba chữ số (a1 ; a2 ; a3 ) là : {(1,3,5) ; (2,3,4)}
Trờng hợp 1 : Chọn bộ (1,3,5) có P3 = A 33 = 6 số thoả mãn .
Trờng hợp 2 : Chọn bộ (2,3,4) có P3 = A 33 = 6 số thoả mãn .
Theo quy tắc cộng có : 6 + 6 = 12 số thoả mãn .
Bài 4 : Với các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số
đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5 .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4
Cách 1 :
Bớc 1 : Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau
Chọn a1 có 6 cách vì a1 0 .
Chọn a2 có 6 cách
Chọn a3 có 5 cách
Chọn a4 có 4 cách
Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.4 = 720 số .
Bớc 2 : Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau nhng không có chữ số 5 (bỏ chữ
số 5)
Có 5.5.4.3 = 300 số .
Bớc 3 : Số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5
là :
720 ... 300 = 420 số .
Cách 2
- Chọn a1 = 5
- Chọn a2 = 5
....
- Chọn a4 = 5
Bài 5 : Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6
mà các số đó nhỏ hơn 345 .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3 . Vì N < 345 nên a1 chỉ có thể là 1 , 2 , 3 .
Trờng hợp 1 : a1 = 1 N = 1a 2a 3
+ Chọn a2 có 5 cách chọn .
+ Chọn a3 có 4 cách chọn .
Có 5.4 = 20 số dạng 1a 2 a 3
Trờng hợp 2 : a1 = 2 N = 2a 2 a 3
+ Chọn a2 có 5 cách chọn .
+ Chọn a3 có 4 cách chọn .
Có 5.4 = 20 số dạng 2a 2 a 3
Trờng hợp 3 : a1 = 3 N = 3a 2a 3
* Chọn a2 có 3 cách chọn (1 , 2 , 4 ).
- Nếu a2 = 1 thì a3 có 4 cách chọn (2,4,5,6) Có 4 số dạng 31a 3 thoả mãn
Trng THPT Gũ Cụng ụng

4

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
- Nếu a2 = 2 thì a3 có 4 cách chọn (1,4,5,6) Có 4 số dạng 32a 3 thoả mãn
- Nếu a2 = 4 thì a3 có 2 cách chọn (1,2) Có 2 số dạng 34a 3 thoả mãn
Có 4 + 4 + 2 = 10 số dạng 3a 2a 3 thoả mãn
Vậy theo quy tắc cộng có : 20 + 20 + 10 = 50 số thoả mãn bài toán .
Bài 6 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 . Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số
trong đó chữ số 5 lặp lại 3 lần , các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8 . Vì trong N chữ số 5 có mặt 3 lần nên
ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5 .
Chọn a1 có 7 cách vì a1 0
Chọn a2 có 7 cách
Chọn a3 có 6 cách
Chọn a4 có 5 cách
Chọn a5 có 4 cách
Chọn a6 có 3 cách
Chọn a7 có 2 cách
Chọn a8 có 1 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 số .
* Trong N chữ số 5 có mặt 3 lần nên khi ta hoán vị 3 chữ số 5 này thì N vẫn
không thay đổi nên N bị lặp lại 3! lần .
Vậy số các số thoả mãn bài toán là :

35280
= 5880 số .
3!

Ví dụ : Số 10355564 thì khi ta hoán vị 3 chữ số 5 vẫn đợc số đó .
Bài 7 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau mà
hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau .
Giải
Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau là : P6 = A 66 = 6! = 720 số
Bây giờ ta tìm số các số có 6 chữ số mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau .
- Hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau ta xem nh một số a thống nhất . Vậy bây giờ
còn các chữ số : 2,3,4,5,a Có A 55 = 5! = 120 số .
- Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số 1 và 6 trong a ta đợc 2! Số mới .
có cả thảy : 2!.120 = 240 số mà có hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau .
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh
nhau là :
720 ... 240 = 480 số
Bài 8 : Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số
đôi một khác nhau sao cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1 .
Giải
Gọi số cần tìm là N = a1a 2a 3a 4 a 5a 6
Trờng hợp 1 : a1 = 1 N = 1a 2a 3a 4 a 5a 6
- Có 5 vị trí cho chữ số 0
- Còn 4 vị trí còn lại có A84 cách chọn .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

5

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
4
8

Có 5. A = 8400 số dạng 1a 2a 3a 4 a 5a 6 thoả mãn bài toán .
Trờng hợp 2 : a2 = 1 N = a11a 3a 4 a 5a 6
- Có 4 vị trí cho chữ số 0 vì a1 0
- Còn 4 vị trí còn lại có A84 cách chọn .
Có 4. A84 số dạng a11a 3a 4 a 5a 6 thoả mãn bài toán .
Nếu a3 = 1 hoặc a4 = 1 hoặc a5 = 1 hoặc a6 = 1 thì cũng tơng tự nh a2 = 1 .
Vậy theo quy tắc cộng có : 5. A84 + 5.(4. A84 ) = 8400 + 33600 = 42000 số thoả
mãn bài toán .
Bài tập tự giải
Bài 9 : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 70.000
Đáp số
Các chữ số lấy là : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
Có 4386 số thoả mãn .
Bài 10 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác
nhau đôi một sao cho số vừa tìm đợc lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600 .
Đáp số
a1 chọn 3 , 4 , 5
Có 90 số thoả mãn
Bài 11 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau
đôi một thoả mãn :
1/ Không bắt đầu bằng 123 .
2/ Không tận cùng bằng 4 .
Đáp số
1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) . Có 594 số thoả mãn bài toán .
2/ a5 4 . Có 504 số thoả mãn bài toán .
Bài 12 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau
đôi một thoả mãn không chia hết cho 3 .
Đáp số
Dùng phơng pháp loại trừ (Tìm số các số chia hết cho 3 trớc )
Có 60 số thoả mãn bài toán .
Bài 13 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác
nhau đôi một thoả mãn :
1/ Luôn có mặt chữ số 6 và chữ số hàng trăm là 4 .
2/ Một trong hai số đầu tiên là 3 và số đó chia hết cho 5 .
Đáp số
1/ Có 52 số cần tìm .
2/ Có 76 số cần tìm .
Bài 14 :
1/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chữ
số đứng đầu tiên là số lẻ .
2/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có
đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)
Đáp số
Ta lấy các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
1/ Có 42000 số thoả mãn
2/
Trng THPT Gũ Cụng ụng
6
GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số lẻ là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35
Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số chẵn là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35
Mỗi lần hoán vị 6 chữ số đã chọn ta sẽ có 6! Số mới .
Có C35 . C35 .6! số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ .
Khi ta hoán vị nh trên thì có trờng hợp có số 0 nhảy lên đứng đầu .Xét trờng
hợp này có C35 . C 24 .5! số .
Vậy có : C35 . C35 .6! - C35 . C 24 .5! = 64800 số thoả mãn bài toán .
Bài 15 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đồng thời thoả mãn các tính chất
sau :
1/ Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn .
2/ Chữ số ở vị trí cuối cùng không chia hết cho 5 .
3/ Các chữ số ở vị trí thứ 4 , thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau .
3
Đáp số Có 10.10.5. A10
.8 = 2.880.000 số thoả mãn bài toán .

Trng THPT Gũ Cụng ụng

7

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất

Dạng 2 : Bài toán chọn ngời
Bài 1 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ . Hỏi
1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 ngời .
2/ Chọn ra một đội văn nghệ gồm 13 ngời trong đó có ít nhất 10 nữ và
phải có cả nam và nữ .
Giải
1/
Tổng số học sinh của lớp là : 10 + 15 = 25 học sinh .
Chọn 12 ngời bất kì trong 25 ngời có C12
cách chọn .
25
2/ Ta chia ra các trờng hợp sau
* Trờng hợp 1 : 10 nữ và 3 nam Có C10
. 3 cách chọn
15 C10
* Trờng hợp 2 : 11 nữ và 2 nam Có C11
. 2 cách chọn
15 C10
* Trờng hợp 3 : 12 nữ và 1 nam Có C12
. 1 cách chọn
15 C10
3
11
2
12
1
Theo quy tắc cộng có : C10
15 . C10 + C15 . C10 + C15 . C10 = 426335 cách chọn
Bài 2 : Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ . Hỏi
1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 6 ngời có cả nam và
nữ .
2/ Chọn ra một nhóm gồm 10 ngời trong đó có ít nhất 2 nam .
Giải
1/ Tổng số học sinh của lớp là : 20 học sinh
Cách 1 : Chia ra các trờng hợp
+ Có 1 nam và 5 nữ
+ Có 2 nam và 4 nữ
+ Có 3 nam và 3 nữ
+ Có 4 nam và 2 nữ
+ Có 5 nam và 1 nữ
Dùng quy tắc cộng .
Cách 2 : Dùng phơng pháp loại trừ

- Chọn ra 6 ngời bất kì trong 20 ngời có C620 cách
- Chọn ra 6 ngời toàn là nam trong 8 nam có C86 cách
6
- Chọn ra 6 ngời toàn là nữ trong 12 nữ có C12
cách
6
Số cách chọn 6 ngời có cả nam và nữ là : C620 - C86 - C12
= 37808 cách .
2/ Chia ra các trờng hợp có 183370 cách chọn .

Bài 3 : Một lớp học có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ trong đó có
Bình . Hỏi
Trng THPT Gũ Cụng ụng

8

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong
đó luôn có mặt của Bình .
2/ Chọn ra một nhóm gồm 8 ngời trong đó có một tổ trởng còn lại là
thành viên biết rằng không có Bình trong đó .
Giải
1/ Tổng số học sinh của lớp là : 6 + 9 = 15 học sinh
Vì ban đại diện luôn có mặt của Bình nên ta chỉ cần chọn 6 ngời trong 14
6
bạn còn lại . Vậy có C14
cách chọn ban đại diện .
2/ Vì không có Bình tham gia nên chỉ có 14 bạn .
Chọn một tổ trởng có C114 cách chọn . (còn 13 bạn )
7
Chọn 7 bạn còn lại trong 13 bạn có C13
cách chọn .
7
Theo quy tắc nhân có : C114 . C13
= 24024 cách chọn
Bài 4 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có Nam .
1/ Chọn ra một tổ trực nhật có 8 bạn , trong đó có một tổ trởng và còn
lại là thành viên . Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam luôn có mặt trong
tổ .
2/ Chọn ra một đội văn nghệ 10 ngời trong đó có 1 tổ trởng , 1 th kí và
các thành viên . Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam nhất thiết phải có
mặt .
Giải
1/ Ta chia ra các trờng hợp sau :
Trờng hợp 1 : Nam là tổ trởng Chỉ cần chọn 7 bạn còn lại trong 19 ngời còn lại
7
Có C19
cách chọn .
Trờng hợp 2 : Nam không là tổ trởng

- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời còn lại có C119 cách chọn .
6
- Chọn 6 thành viên trong 18 ngời còn lại có C18
cách chọn .
6
Có C119 . C18
cách chọn .
7
6
Vậy theo quy tắc cộng có : C19
+ C119 . C18
cách chọn .
2/ Ta chia ra các trờng hợp sau :
Trờng hợp 1 : Nam là tổ trởng

- Chọn một th kí trong 19 ngời có C119 cách chọn .
8
- Chọn 8 thành viên trong 18 ngời còn lại có C18
cách
8
Có C119 . C18
cách chọn .
Trờng hợp 2 : Nam là th kí

- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời có C119 cách chọn .
8
- Chọn 8 thành viên trong 18 ngời còn lại có C18
cách
8
Có C119 . C18
cách chọn

Trờng hợp 3 : Nam là thành viên .
- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời có C119 cách chọn .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

9

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
1
18

- Chọn một th kí trong 18 ngời có C

cách chọn .

7
- Chọn 7 thành viên trong 17 ngời còn lại có C17
cách
7
Có C119 . C118 . C17
cách chọn .
Bài 5 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp . Hỏi có bao nhiêu
cách chọn 3 ngời đi dự đại hội sinh viên của trờng sao cho trong 3 ngời
đó có ít nhất một cán bộ lớp .
Giải
Ta chia ra các trờng hợp sau :
Trờng hợp 1 : Có 1 cán bộ lớp

- Chọn 1 cán bộ lớp trong 2 cán bộ có C12 cách chọn .
2
- Chọn 2 bạn còn lại trong 18 bạn có C18
cách chọn .
2
Có C12 . C18
cách chọn .
Trờng hợp 2 : Có 2 cán bộ lớp
- Chọn 2 cán bộ lớp trong 2 cán bộ có C 22 cách chọn .
2
- Chọn 2 bạn còn lại trong 18 bạn có C18
cách chọn .
2
Có C 22 . C18
cách chọn .
2
2
Vậy theo quy tắc cộng có : C12 . C18
+ C 22 . C18
= 324 cách chọn .
Bài tập tự giải
Bài 6 : Một đội văn nghệ có 20 ngời trong đó có 10 nam và 10 nữ .
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời sao cho :
1/ Có đúng 2 nam
2/ Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong đó .
Đáp số
2
3
1/ C10
. C10
= 5400 cách
2
3
3
2
4
2/ C10
. C10
+ C10
. C10
+ C10
. C110 = 12900 cách
Bài 7 : Một tập thể gồm 14 ngời trong đó có 6 nam và 8 nữ trong đó có
Thanh và Thơ , ngời ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 ngời . Tìm số
cách chọn trong mỗi trờng hợp sau :
1/ Trong tổ phải có cả nam và nữ .
2/ Trong tổ phải có 1 tổ trởng , 5 tổ viên hơn nữa Thanh và Thơ không
đồng thời có mặt trong tổ .
Đáp số
1/ Có thể dùng phơng pháp loại trừ Có 2974 cách thoả mãn bài toán .
2/
Hớng dẫn (có thể dùng phơng pháp loại trừ)

- Bớc 1 : Tìm số cách chọn 1 tổ trởng và 5 tổ viên (A)
- Bớc 2 : Tìm số cách chọn 1 tổ trởng và 5 tổ viên trong đó cả Thanh và Thơ
cùng có mặt (B)
Kết quả : A ... B = 15048 cách
Bài 8 : Một lớp học có 30 học sinh gồm 3 loại : Có 5 học sinh giỏi , 10 học
sinh trung bình và 15 học sinh yếu .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

10

GV: Trn Duy Thỏi


Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt
1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 5 häc sinh cã ®ñ c¶ ba lo¹i vµ
kh«ng cã qu¸ 2 häc sinh yÕu .
2/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 7 häc sinh cã ®óng 2 häc sinh
yÕu , cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái vµ cã Ýt nhÊt mét häc sinh trung b×nh .
§¸p sè
3
2
2
2
2
1/ C115 . C15 . C10
+ C115 . C52 . C10
+ C115 . C35 . C110 + C15
. C15 . C10
+ C15
. C52 . C110
2
4
2
3
2
2
2
2/ C15
. C15 . C10
+ C15
. C52 . C10
+ C15
. C35 . C10
+ C15
. C54 . C110

Trường THPT Gò Công Đông

11

GV: Trần Duy Thái


Giải tích tổ hợp Xác suất

Dạng 3 : Bài toán đếm số điểm ,
số đa giác , số cạnh
Bài 1 : Tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh .
Giải
Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta đợc một đờng chéo hoặc một cạnh .
Vậy số đờng chéo và số cạnh của đa giác là : C 2n
Số cạnh của đa giác là n
Số đờng chéo của đa giác là : C 2n - n =

n(n 3)
.
2

Bài 2 : Trên một đờng tròn cho 10 điểm . Hỏi có bao nhiêu tam giác nhận
các điểm đó làm đỉnh .
Nhận thấy 10 điểm trên một đờng
tròn
thì không có 3 điểm nào thẳng
hàng .
Cứ 3 điểm không thẳng hàng tạo
thành một tam giác .
3
Số tam giác phải tìm là : C10
= 120

Bài 3 : Cho hai đờng thẳng song song . Trên đờng thứ nhất có 10
điểm , trên đờng thứ hai có 15 điểm . Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo bởi
các điểm đã cho .
Để tạo một tam giác cần có 3 điểm
không thẳng hàng . Do đó 3 đỉnh
của tam giác không thể nằm trên một
đờng thẳng .
Trờng hợp 1 : Tam giác tạo bởi một
điểm trên đờng thẳng thứ nhất và hai
điểm trên đờng thẳng thứ hai . Ta có
2
10. C15
tam giác thoả mãn .
Trờng hợp 2 : Tam giác tạo bởi một
điểm trên đờng thẳng thứ hai và hai
điểm trên đờng thẳng thứ nhất . Ta có
2
15. C10
tam giác thoả mãn .
2
Theo quy tắc cộng có : 10. C15
+ 15.
2
tam giác .
C10

Bài 4 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều n cạnh . Hỏi
1/ Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác đó .
2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác .
Trng THPT Gũ Cụng ụng
12
GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
3/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác .
4/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác .
Giải
1/ Ta biết n đỉnh của đa giác thì
không có 3 đỉnh nào thẳng hàng . Do
đó cứ 3 đỉnh của đa giác tạo thành
một tam giác . Vậy số tam giác là : C3n

2/ Tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa
giác là tam giác có chứa hai cạnh của
đa giác . Các tam giác bắt đầu là :
A1A2A3 , A2A3A4 , ... , An-2An-1An , An-1AnA1 ,
AnA1A2 .
Có n tam giác (để ý chỉ số in đậm
chạy từ 1 đến n )

3/ Tam giác chứa đúng một cạnh của
đa giác là tam giác có hai đỉnh thuộc
một cạnh của đa giác và đỉnh thứ 3
đối diện với cạnh đã chọn . Nh vậy ứng
với một cạnh có n ... 4 đỉnh thoả mãn
( trừ đi 2 đỉnh thuộc cạnh đó và hai
đỉnh liền kề với hai đỉnh đó ) . Đa
giác có n cạnh
Có n.(n ... 4) tam giác thoả mãn .

4/ Số tam giác không có cạnh nào là
cạnh của đa giác là : C3n - n ... n(n ... 4)
Bài 5 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều 20 cạnh . Xét các tam giác có
3 đỉnh đợc lấy từ 3 đỉnh của đa giác . Hỏi
1/ Có tất cả bao nhiêu tam giác nh vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2
cạnh là cạnh của đa giác .
2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ? Có bao
nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác .
Đáp số
1/
C320 = 1140 tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

13

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất

Có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác .
2/
Có 16.20 = 320 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác .
Có 800 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác .
Bài 6 : Cho đa giác lồi n cạnh . Kẻ tất cả các đờng chéo của đa giác đó biết
rằng không có 3 đờng chéo nào đồng quy . Có bao nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác .
Giải
Mỗi giao điểm của hai đờng chéo tơng ứng duy nhất với một tứ giác lồi có các
đỉnh là đỉnh của đa giác .
Do đó có bao nhiêu tứ giác lồi thì có bấy nhiêu giao điểm của hai đờng chéo
nằm trong đa giác .
Vậy số giao điểm phải tìm là : C 4n
Bài 7 : Cho đa giác đều A1A2...A2n ( n 3) nội tiếp trong đờng tròn (O) . Biết
rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , ... , A2n nhiều gấp 20 lần
số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , ... , A2n . Tìm n .

Số tam giác là : C32n
Số đờng chéo của đa giác đi qua
tâm O là n đờng chéo .
Ta thấy cứ hai đờng chéo đi qua O
thì tạo thành một hình chữ nhật .
Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong
2n đỉnh của đa giác là C 2n .
Theo giả thiết ta có : C32n = 20 C 2n n =
8

Trng THPT Gũ Cụng ụng

14

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất

Phần 4 : Xác suất
A . Lý thuyết
I / Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
1/ Phép thử ngẫu nhiên
1.1. Khái niệm : Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) là một thí nghiệm hay hành
động mà :
- Kết quả của nó không đoán trớc đợc .
- Có thể xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra của phép thử đó .
1.2. Kí hiệu
Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu là : T
1.3. Ví dụ
Ví dụ 1 : Gieo một con súc sắc . Khi đó :
- Không đoán đợc số chấm trên mặt xuất hiện .
- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Xuất hiện mặt 1 chấm , 2
chấm , 3 chấm , 4 chấm , 5 chấm , 6 chấm .
Vậy hành động gieo một con súc sắc trên là một phép thử ngẫu nhiên .
Ví dụ 2 : Gieo một đồng xu . Khi đó :
- Không đoán đợc mặt xuất hiện .
- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Đồng xu lật ngửa hoặc lật
sấp .
Vậy hành động gieo một đồng xu trên là một phép thử ngẫu nhiên .
2/ Không gian mẫu của phép thử
2.1. Khái niệm : Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép phép thử gọi
là không gian mẫu của phép thử đó .
2.2. Kí hiệu
Không gian mẫu đợc kí hiệu là : ( Đọc là ômêga)
2.3. Ví dụ : Xác định không gian mẫu của phép thử ở hai ví dụ trên
Ví dụ 1 : Gieo một con súc sắc . Khi đó : = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
Ví dụ 2 : Gieo một đồng xu . Khi đó : = {S , N} ( N : lật ngửa , S : lật
sấp )
3/ Biến cố của phép thử
3.1. Khái niệm
Cho phép thử T
a/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc xảy ra hay không
xảy ra của A phụ thuộc vào kết quả của phép thử T .
b/ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi cho
A . Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A kí hiệu là : A . Khi đó ta nói biến cố A đợc mô tả bởi tập A .
3.2. Chú ý
- Biến cố của một phép thử ta hay kí hiệu là : A , B , C , D ... hoặc A1 , A2 , ...
- Ta luôn có : A
- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T . Biến cố
chắc chắn đợc mô tả bởi tập là không gian mẫu của phép thử T .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

15

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
- Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T .
Biến cố không thể đợc mô tả bởi tập rỗng .
3.2. Ví dụ
Xét phép thử T : Gieo một con súc sắc
Không gian mẫu của T là : = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}
Xét biến cố A : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ . Khi đó :
- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 2 chấm (hoặc 4 , 6 chấm ) thì
rõ ràng biến cố A không xảy ra .
- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 1 chấm (hoặc 3 , 5 chấm ) thì
rõ ràng biến cố A xảy ra .
Vậy có 3 kết quả thuận lợi cho A là : mặt 1 , 3 , 5 chấm xuất hiện .
A = {1 ; 3 ; 5}.
Xét biến cố B : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng 6
Thì rõ ràng biến cố B luôn xảy ra . Khi đó B là biến cố chắc chắn và B đợc
mô tả bởi không gian mẫu .
Xét biến cố C : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng > 7
Thì rõ ràng biến cố C không bao giờ xảy ra vì số chấm của một con súc sắc
nhiều nhất là 6 chấm . Khi đó biến cố C là biến cố không thể và đợc mô tả bởi
tập rỗng .
II . Xác suất của biến cố
1/ Định nghĩa
- Cho phép thử T với không gian mẫu là một tập hữu hạn phần tử và các kết
quả của phép thử T là đồng khả năng .
- Gọi A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A là tập hợp các kết quả
thuận lợi cho A .
- Khi đó xác suất của A là một số , kí hiệu P(A) , đợc xác định bởi công thức :

P(A) =

A


Trong đó
+ A là số phần tử của A .
+ là số phần tử của .
Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép thử T ta làm theo các bớc
sau :
- Xác định không gian mẫu và đếm số phần tử của nó ( số kết quả có thể
xảy ra của phép thử T ) .
- Xác định số kết quả thuận lợi cho A ( là số phần tử của A) .
- áp dụng công thức (1) .
2/ Chú ý
0 P(A) 1
P() = 1 , P() = 0
Xác suất là một số dơng nhỏ hơn 1 , xác suất của biến cố chắc chắn bằng
1 , xác
suất của biến cố không thể bằng 0 .
3/ Ví dụ
Ví dụ 1 :
Trng THPT Gũ Cụng ụng
16
GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất
a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn .
b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố .
( Chú ý : Số nguyên tố là số nguyên dơng chỉ có hai ớc là 1 và chính nó và số 2
là số nguyên tố nhỏ nhất )
Giải
a/ Không gian mẫu : = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .
Số phần tử của không gian mẫu : = 6
b/
Gọi A là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn .
Tập mô tả A là : A = {2 , 4 , 6} Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 3
Xác suất của A là : P(A) =

3
1
=
= 0,5 .
6
2

c/
Gọi B là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố .
Tập mô tả B là : B = {2 , 3 , 5} Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 3
Xác suất của A là : P(B) =

3
1
=
= 0,5 .
6
2

Ví dụ 2 :
Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất . Tính xác suất để :
a/ Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn .
b/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 .
Giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : = 62 = 36 .
a/
Gọi A là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là
những số chẵn .
Tập mô tả A là : A = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ; (4,6) ; (6,4) ; (6,6) }
Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 8 .
Xác suất của A là : P(A) =

8
2
=
36
9

b/
Gọi B là biến cố : Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là
một số 7 .
Tập mô tả A là : A = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) }
Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 6 .
Xác suất của A là : P(A) =

6
1
=
36
6
Bài tập áp dụng

Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dơng nhỏ hơn 9 . Tính xác suất
để :
1/ Số đợc chọn là số nguyên tố .
Trng THPT Gũ Cụng ụng
17
GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
2/ Số đợc chọn chia hết cho 3 .
Giải
Không gian mẫu : = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : = 8 .
1/
Gọi A là biến cố : số đợc chọn là số nguyên tố
Tập mô tả A là : A = {2,3,5,7}
Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 4 .
Xác suất của A là : P(A) =

4
1
=
= 0,5
8
2

2/
Gọi B là biến cố : số đợc chọn chia hết cho 3
Tập mô tả A là : B = {3,6}
Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 2 .
Xác suất của B là : P(B) =

2
1
=
= 0,25 .
8
4

Bài 2 : Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất . Tính xác
suất để :
a/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc 7 .
b/ Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
c/ Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
Giải
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là : = 62 = 36 .
a/
Gọi A là biến cố : Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là
những số chẵn .
Tập mô tả A là : A = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ;
(2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ;
(5,2)}
Số kết quả thuận lợi cho A là : A = 21 .
Xác suất của A là : P(A) =

21
7
=
36
12

b/
Gọi B là biến cố : Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
Tập mô tả B là :
B = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) }
Số kết quả thuận lợi cho B là : B = 10 .
Xác suất của B là : P(B) =

10
5
=
.
36
18

c/
Gọi C là biến cố : Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm .
Có hai khả nẳng xảy ra :
+ Có một con xuất hiện mặt 6 chấm .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

18

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
+ Cả hai con xuất hiện mặt 6 chấm .
Tập mô tả C là :
C = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ;
(6;6) }
Số kết quả thuận lợi cho C là : C = 11 .
Xác suất của C là : P(C) =

11
.
36

Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 5 ngời có tên trong danh sách 20 ngời đợc đánh
số từ 1 đến 20 . Tính xác xuất để năm ngời đợc chọn có số thứ tự không
lớn hơn 10 .
Giải
Số kết quả có thể sảy ra là số cách chọn 5 ngời bất kì trong 20 ngời .
Vậy = C520 .
Gọi A là biến cố : 5 ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn hơn 10
Số kết quả thuận lợi cho A là số cách chọn 5 trong 10 ngời có số thứ tự từ 1
đến 10 .
5
Vậy A = C10
.

C105
Khi đó xác suất của A là : P(A) = 5 .
C20
Bài 4 : Một hộp đựng 4 quả cầu đỏ và 6 quả cầu xanh . Chọn ngẫu nhiên
4 quả cầu . Tính xác xuất để trong 4 quả đó có cả đỏ và xanh .
Giải
Tổng số quả cầu trong hộp là : 10 quả
Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là số cách chọn ngẫu nhiên 4 quả trong
10 quả .
4
Vậy : = C10

Gọi A là biến cố : Bốn quả đợc chọn ra có cả đỏ và xanh .
Ta tìm số kết quả thuận lợi cho A tức là số cách chọn ra 4 quả có cả đỏ và xanh .
+ Trờng hợp 1 : Chọn 1 đỏ và 3 xanh Có C14 . C36 cách chọn .
+ Trờng hợp 2 : Chọn 2 đỏ và 2 xanh Có C 24 . C62 cách chọn .
+ Trờng hợp 3 : Chọn 3 đỏ và 1 xanh Có C34 . C16 cách chọn .
Số kết quả thuận lợi cho A là : A = C14 . C36 + C 24 . C62 + C34 . C16
Vậy

C14C36 + C 24C62 + C34C16
97
P(A) =
=
.
4
C10
105

Bài 5 : Gieo đồng thời ba con súc sắc cân đối đồng chất . Tính xác
suất để tổng số nút xuất hiện trên mặt ba con là 8 .
Đáp số P(A) =

21
7
=
3
6
72

Bài 6 : Ba cửa hàng bán xe máy nh nhau . Có 3 ngời khách A1 , A2 , A3 độc
lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe . Tính xác suất để :
1/ Ba ngời vào cùng một cửa hàng .
Trng THPT Gũ Cụng ụng

19

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
2/ Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia .
Giải
Ta đánh số ba cửa hàng là : 1 , 2 , 3 .
Ba ngời khách A , B , C độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe
nên số khả năng có thể xảy ra là : 33 = 27
Có thể liệt kê nh sau : = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) ,
(1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , ... , (3,3,3)} .
1/ Gọi A là biến cố : Ba ngời vào cùng một cửa hàng Số kết quả thuận lợi cho
A là : A = 3 ( Có 3 khả năng là (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ) .
P(A) =

3
1
=
.
27
9

2/ Gọi B là biến cố : Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa
hàng kia . Số kết quả thuận lợi cho B chính là số cách chọn hai ngời vào cùng một
cửa hàng và ngời còn lại vào cửa hàng kia .
Ta chia các trờng hợp sau :
Trờng hợp 1 : (1,1,2) tức là 2 ngời vào cửa hàng 1 , một ngời vào cửa hàng 2 .
Có 3 cách chọn trờng hợp này .
+ A1 , A2 vào của hàng 1 và A3 vào cửa hàng 2 .
+ A1 , A3 vào của hàng 1 và A2 vào cửa hàng 2 .
+ A2 , A3 vào của hàng 1 và A1 vào cửa hàng 2 .
Hoàn toàn tơng tự :
Trờng hợp 2 : (1,1,3) có 3 cách
Trờng hợp 3 : (2,2,1) có 3 cách
Trờng hợp 4 : (2,2,3) có 3 cách
Trờng hợp 5 : (3,3,1) có 3 cách
Trờng hợp 6 : (3,3,2) có 3 cách
Vậy có cả thảy : 6.3 = 18 cách
P(B) =

18
2
=
.
27
3

Bài 7 : Công ty FPT cần tuyển 2 nhân viên . Có 6 ngời nộp đơn , trong đó có 4
nam và 2 nữ . Giả sử khả năng ứng cử là nh nhau . Tính xác suất để :
1/ Hai ngời trúng tuyển là nam .
2/ Hai ngời trúng tuyển đều là nữ .
3/ Hai ngời trúng tuyển có ít nhất 1 nữ .
Đáp số : 1/ P(A) =

2
1
1
; 2/ P(B) =
; 3/ P(C) =
5
15
5

III.Biến cố đối
1/ Định nghĩa
Cho A là một biến cố . Khi đó biến cố không xảy ra A , kí hiệu là A , đợc gọi
là biến cố đối của A .
Ví dụ : Gieo một đồng xu
- Xét biến cố A : Mặt ngửa xuất hiện
Biến cố đối của A là : Mặt ngửa không xuất hiện
2/ Nhận xét
Gọi là không gian mẫu
Gọi A là tập kết quả thuận lợi cho A
A
Trng THPT Gũ Cụng ụng

20

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
A


Khi đó tập kết quả thuận lợi cho A là :
A = \ A

IV. Quy tắc nhân xác suất
1/ Biến cố giao
a/ Khái niệm : Cho hai biến cố A và B . Biến cố Cả A và B cùng xảy ra gọi là
biến cố giao của hai biến cố A và B và kí hiệu là : AB .
Vậy AB là biến cố : Cả A và B cùng xảy ra .
b/ Nhận xét : Gọi A và B lần lợt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì
tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố giao AB là : AB = A B .
c/ Ví dụ
Chọn ngẫu nhiên một em học sinh trong lớp .
- Gọi A là biến cố : Bạn đó là học sinh giỏi Toán .
- Gọi B là biến cố : Bạn đó là học sinh giỏi Văn .
Biến cố giao của A và B là Bạn đó học giỏi cả Văn và Toán .
Tổng quát
Cho k biến cố A1 , A2 , ... , Ak . Khi đó biến cố giao của k biến cố là : Tất cả k
biến cố A1 , A2 , ... , Ak đều xảy ra , kí hiệu : A1A2...Ak .
2/ Hai biến cố độc lập
a/ Khái niệm : Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố
kia .
b/ Ví dụ
Xét phép thử T là : Gieo hai đồng xu cùng một lúc .
- Gọi A là biến cố : Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp .
- Gọi B là biến cố : Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa .
Khi đó rõ ràng A và B chẳng liên quan gì đến nhau . A và B là hai biến cố độc
lập .
c/ Nhận xét
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì A và B ; A và B ; A và B cũng
độc lập với nhau .
Tổng quát
Cho k biến cố A1 , A2 , ... , Ak ; k biến cố này đợc gọi là độc lập với nhau nếu
việc xảy ra hay không của mỗi biến cố không làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra
của các biến cố còn lại .
3/ Quy tắc nhân xác suất
Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì :

P(AB) =
Nếu A1 ; A2 ; A3 là ba biến cố P(A).P(B)
đôi một độc lập với nhau thì :
P(A1 A2 A3) =
P(A1).P(A2).P(A3)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một ngời bắn cung là 0,2 .
Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :
Trng THPT Gũ Cụng ụng

21

GV: Trn Duy Thỏi


Giải tích tổ hợp Xác suất
1/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần .
2/ Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần .
Giải
Gọi A1 ; A2 ; A3 là biến cố ngời đó bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ nhất , thứ
hai và thứ ba
Khi đó A1 ; A 2 ; A 3 là biến cố ngời đó bắn không bắn trúng hồng tâm ở lần
bắn thứ nhất , thứ hai và thứ ba .
Theo giả thiết ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0,2
và P( A1 ) = P( A 2 ) = P( A 3 ) = 1 ... 0,2 = 0,8
1/ Gọi B là biến cố : Ngời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần .
Khi đó : B = A1 A 2 A 3 A1 A2 A 3 A1 A 2 A3
Vậy P(B) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384
2/ Gọi C là biến cố : Ngời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần .
Nhận xét : Biến cố đối của C là C : Ngời đó không bắn trúng hồng tâm lần
nào
Khi đó : P( C ) = A1 A 2 A 3 = 0,8.0,8.0,8 = 0,512
P(C) = 1 - P( C ) = 1 ... 0,512 = 0,488 .
Bài 2 : Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập . Tính xác suất để :
1/ Cả ba đồng xu đều sấp .
2/ Có ít nhất một đồng xu sấp .
Giải
Do đồng xu cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp (S) và mặt ngửa (N) là
bằng nhau
P(S) = P(N) = 0,5 .
1/ Gọi A là biến cố : Cả ba đồng xu đều sấp . Khi đó : A = SSS
Vậy P(A) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = 0,53 = 0,125
2/ Gọi B là biến cố : Có ít nhất một đồng xu sấp .
Nh vậy biến cố đối của B là B : Cả ba đồng xu đều ngửa
P( B ) = P(NNN) = P(N).P(N).P(N) = 0,53 = 0,125 .
Vậy P(B) = 1 - P( B ) = 1 ... 0,125 = 0,875
Bài tập tự giải
Bài 1 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu
nhiên 3 viên bi trong hộp . Tính xác suất để :
1/ Lấy đợc cả 3 viên bi đỏ .
2/ Lấy đợc cả 3 viên bi không phải bi đỏ .
3/ Lấy đợc một viên bi trắng , một đen và một đỏ .
Đáp số
1/ P(A) =

1
560

2/ P(B) =

143
280

3/ P(C) =

9
40

Bài 2 : Một hộp chứa 16 viên bi với 7 bi trắng , 6 bi đen và 3 bi đỏ . Lấy ngẫu
nhiên 4 viên bi trong hộp . Tính xác suất để :
1/ Lấy đợc đúng một viên bi trắng .
2/ Lấy đợc đúng 2 viên bi trắng .
Đáp số
Trng THPT Gũ Cụng ụng

22

GV: Trn Duy Thỏi


1/ P(A) =

Giải tích tổ hợp Xác suất
27
2/ P(B) =
65

21
65

Bài 3 : Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập {1 , 2 , ... , 11} . Tính xác suất để :
1/ Tổng ba số đợc chọn là 12 .
2/ Tổng ba số đợc chọn là số lẻ .
Đáp số
1/ P(A) =

7
165

2/ P(B) =

16
33

Bài 4 : Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất . Giả sử con súc sắc xuất hiện
mặt b chấm . Xét phơng trình : x2 + bx + 2 = 0 (1) . Tính xác suất sao cho :
1/ Pt (1) có nghiệm .
2/ Pt (1) vô nghiệm .
3/ Pt (1) có nghiệm nguyên .
Gợi ý
+ b {1,2,3,4,5,6}
+ Tính = b2 ... 8 . Xét dấu của
Đáp số
1/ P(A) =

2
3

2/ P(B) =

1
3

3/ P(C) =

1
6

Bài 5 : Có hai hộp chứa quả cầu . Hộp thứ nhất có 6 cầu trắng , 4 đen . Hộp thứ
hai chứa 4 quả trắng , 6 quả đen . Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả . Tính xác
suất để :
1/ Hai quả lấy ra là cùng màu .
2/ Hai quả lấy ra là khác màu .
Đáp số
1/ P(A) =

12
25

Trng THPT Gũ Cụng ụng

2/ P(B) =

23

13
25

GV: Trn Duy Thỏi



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×